全书按「章」前进，一章 50 页。每章的节奏是：第 1 页导引（这个问题在人类文明里是怎么长出来的，本章路线），随后 18 页讲义（定义、定理与方法一条一条立起来，含历史注与现代接口旁注），12 页例题（带完整解答与逐步演算），12 页习题（由浅入深，末页复盘归档），2 页格物札记——一章一思：一页回到《九章算术》的对照传统，一页接通现代数学；末 6 页为综合站（章小结 · 思想卡 · 挑战一 · 挑战二 · 实验 · 章测试与评讲）。
本册三条线索，贯穿每一章：
① 明线——少广与割圆。《九章算术》少广章的开方术，把「负数开平方」这个古人的「不可能」逼成了新数 i；刘徽割圆注的圆周精神，则在辐角、单位根、eiθ 与 Cauchy 的圆周积分中一次次重现。凡标〔少广〕〔割圆〕处，都是这条线索的接续点：从开方到共形，一条从「求根」长成「风景」的长路。
② 实·复对照——本册的特色线索。复分析的美妙，恰在与实分析的比较中显形：实函数一次可导只是一步，复函数一次可导便一步登天（无穷可导）；实光滑函数可以没有任何 Taylor 展开，解析函数却注定展开到自身；实分析里顽石般的广义积分，围道一页纸扫清；代数学基本定理——这个代数里的核心定理——会成为刘维尔定理的一条简单推论。证明的每一步都调用了整座理论大厦：这不是技巧的胜利，而是理论系统的力量与美妙。凡标〔实复对照〕处，就是两面镜子对照之处。
③ 现代接口——〔离散⇄连续〕。每章把本章内容与现代数学对齐：信号与电气工程的旋转相量、平面流体的无旋流、Laplace 与 Fourier 逆变换的留数引擎、Mercator 海图与共形制图学、庞加莱圆盘的双曲几何。理论在这里长出今天的枝叶。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12；极限的展示型写法是 limn→∞；微分号 d 与常数 π, e 用正体，变量用斜体 x, y, f；积分号 ∫；集合与数系符号 ∈ ⊂ ∪ ∩ ∅，ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ；向量用粗斜体 a；等价 ≅、蕴含 ⟹、当且仅当 ⟺、任意 ∀、存在 ∃。中括号写成 ［ ］。凡方法步骤，一律配图，一步一图。
几何大师陈省身先生晚年多次谈到复数与复分析。他说，引入虚数 i 之后，数学展现了别样的风景——同一片代数的原野，换一双复数的眼睛去看，平坦的变成了弯曲的、分离的变成了统一的、被迫绕行的变成了直抵的。这不是修辞：本册将一路用事实兑现这句话，而最动人的一处兑现，是一座两百年的 algebra 丰碑——代数学基本定理——在复分析里化作刘维尔定理的一条三行推论（第四章 4.17）。
什么叫「别样」？在实分析里，我们沿着一条数轴做极限：逼近是单向的，积分是沿线的，可导与光滑之间隔着千山万水。而在复平面上，逼近来自四面八方，积分可以绕道，一次可导便一步登天。更奇妙的是：几乎什么都没多做，得到的却翻了几番。这正是理论系统的力量——好的定义（解析性）自带回报，好的定理彼此咬合成一座大厦。
本册的三重身份
① 一部复分析引论：复数、解析函数、Cauchy 定理、级数与奇点、留数、共形映射——标准内容的完整入门；
② 一面实分析的镜子：每一章都设「实·复对照」专页与散点对照（特色线索②），复分析的美妙在与实分析的比较中显形；
③ 一条东方的长路：明线〔少广→割圆〕，从《九章》开方术的「不可能」走到刘徽割圆注的圆周精神，再到共形映射的画布。
陈省身先生还提醒：复分析之所以「别样」，是因为它介于代数、分析与几何之间——一条不等式（|f′| 的界）可以是几何的（Schwarz 引理），一个积分公式（Cauchy）可以是拓扑的（绕数），一个代数定理（代数基本定理）可以是分析的推论。带着这个印象翻开下一页。
《九章算术》卷四少广章，专讲「广少而从多」的田亩折算，其后半部是整部古算书里最锋利的工具——开方术：「今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？」给定面积 55225，求正方形边长——也就是开平方。刘徽注里给出了完整的几何解释：把正方形切成「黄甲」「朱幂」等小方块与细条，一层层逼近，开之不尽者，「当以面命之」——承认这个数存在，用它命名，继续算下去。
「以面命之」是东方数学的一次伟大让步：被逼到尽头时，承认新数。无理数是这样进门的；一千五百年后，虚数走的是同一扇门——16 世纪 Cardano 解三次方程，公式里出现了 √(−121)，他在《重要的艺术》里写道：要「置之不理，宣称它无可修饰」，但算术却偏偏「强迫人使用它」。开方术走到尽头处的一次转身，撞出了 i。
所以本册的明线从「少广」起步：复数不是天上掉下来的怪物，而是开方术对自己的必然要求。第一章我们将在 ℂ 里把开方术做完满——任何非零复数都有 n 次方根，而且恰好 n 个（§1.10）。绝境处转身，回头就是满园风景。
本册默认已修完一元微积分（极限、连续、导数、积分、级数），最好学过多元或多册分析的一部分。这份积累不是包袱，而是对照的资本：复分析的每个概念几乎都有一个实分析的「前身」，而每个前身在复世界都被彻底改写。
已拥有的三样资本
① ε-δ 语言：复极限的写法一模一样，只是 |z − z0| 变成平面上的距离；
② 一致收敛的纪律：级数与积分交换的通行证，在复世界照用不误；
③ 格林公式：二重积分与曲线积分的互化——它就是 Cauchy 定理的实分析孪生兄弟（第三章 3.17）。
将要重见（而非初见）的概念清单：极限、连续、导数、积分、级数、Taylor 展开——六个老朋友，在复世界里一个个脱胎换骨。重见时特别留意两件事：一是什么被保留了（四则运算法则、链式法则、ε-δ 句法），二是什么被彻底改写了（可导的后果、展开的必然性、积分与路径的关系）。
一句忠告：复分析不是「又一门微积分」，而是一次观念的换装。在实分析里，可导是难得的、光滑是分级的、积分算尽了算广义的；在复分析里，解析是刚性的、级数是注定的、绕圈是富矿。旧直觉要放下的地方，本册都会立牌子提醒——最大的那块牌子立在 2.7 与 4.9。
本册特色线索是实·复对照。先把全书最重要的七组对照立成一张总表，此后每章专页（1.17、2.7、3.17、4.9、5.10/5.15、6.14）再逐一展开。
| 主题 | 实分析的世界 | 复分析的世界 |
|---|---|---|
| 可导的后果 | 一次可导只值一步；可导≠连续可导；存在处处连续处处不可导的函数 | 一次可导（解析）⟹ 无穷可导 ⟹ 可展开为幂级数（2.7、3.12、4.7） |
| 光滑与展开 | e^(−1/x2) 处处光滑，却在 0 处展开不出自己：光滑与解析之间隔着一堵墙 | 解析即幂级数，没有墙——展开是身份的必然（4.9） |
| 积分与路径 | 沿数轴只有一条路；「路径无关」无从谈起 | 路径千条；单连通区域上解析函数积分与路无关（3.6–3.10） |
| 闭曲线积分 | 格林公式把它化成二重积分 | Cauchy 定理说它等于零（单连通内）——更强的断言（3.17） |
| 广义积分 | sin x/x、e^(−x2) 类积分要用含参技巧苦算 | 围道与留数一页纸扫清（5.10：Dirichlet 积分＝π/2） |
| 代数基本定理 | 代数/拓扑证明各有机关，均需相当铺垫 | 刘维尔定理的三行推论：整座理论大厦一次收息（4.17） |
| 几何性格 | 一元函数图像弯而不扭已属难得，谈不到保角 | 解析映射天然保角——角度是硬通货（6.4、6.14） |
全书六章，一条明线〔少广→割圆〕贯穿：少广（开方术）在第一章逼出 i 并在第四章化作幂级数（「无限开方」）；割圆（圆周精神）从单位圆、棣莫弗与欧拉公式起步，经 Cauchy 的圆周积分与圆周均值，在共形映射的圆盘上收官。三站风景如下：
读法建议：第一至三章是地基（一气呵成）；第四、五章是主峰（可放慢，例题逐一亲手重算）；第六章是风景的兑现（几何直觉全面回归）。每章 50 页，节奏见 0.8。
代数学基本定理：任何 n 次（n ≥ 1）复系数多项式在 ℂ 中必有零点。它冠名「代数」，却让代数学家头疼了两百年：d'Alembert 的证明有洞，Gauss 的第一个证明（1799，他的博士论文）避开了它批评的漏洞但用了相当的分析，后人又给出拓扑的、代数的多种证明——每一条都要为「多项式的根从哪里来」单独造 machinery。这恰恰反衬出复分析的令人震动之处：
预告（第四章 4.17 完整证明）设 P(z) 为非常数的复系数多项式。它是整函数（全平面解析）。若 P 无零点，则 f ＝ 1/P 也是整函数；由第四章的多项式增长估计与 Cauchy 估计，f 全平面有界；刘维尔定理：有界整函数必为常数——但 f 不是常数，矛盾。故 P 必有零点。∎
数一数这条证明用到的「家底」：①解析性在四则运算下封闭（第二章）；②柯西积分公式给出的导数估计（Cauchy 估计，3.15）；③刘维尔定理（4.16，它自己又是 Cauchy 公式的直接推论）。没有一处是为多项式「量身定做」的机关——证明的力量不来自技巧的堆叠，而来自理论系统的整体。这正是陈省身先生所说的「数学理论的意境」：好的框架里，深刻的结论是自然的利息。
1545 年，Cardano 在《重要的艺术》里把三次方程求根公式中出现的 √(−15×15) 称为「精神的折磨」，结论是「算术如此精妙，其内在却令人无所适从」。1572 年，邦贝利第一次按规则运算这种「诡辩数」，算出了 x3−15x−4＝3 的实根——负数开平方作为中转站起死回生。「虚」这个名字（descartes 的 « imaginaires »）本身就带着不安。
转折是几何的：1797 年，22 岁的 Wessel（测绘员出身）把复数安放在平面上——横轴实、纵轴虚，复数成了「平面上的一个有向线段」；次年 Gauss 在博士论文中同样使用（并早已在使用）。复数从此不再是「什么都不是的数」，而是平面上的一次旋转加伸缩。1831 年 Gauss 说：若按此几何观，「虚数的直观就完全确立了」。Argand、Hamilton（有序对定义）相继给出严格化。名字还叫「虚」，地位已是正统。
风景的真正铺开靠三个人：Cauchy（1825 前后）以积分建立起整座定理大厦；Weierstrass 以幂级数重建全部分析，贯彻「严格化」；Riemann（1851，博士论文）则把几何直觉灌进复分析——黎曼球面、黎曼曲面、支割线与映射的画布，多值函数从此有了栖息之地。本册的两大底色——积分的账本与几何的画布——正来自 Cauchy 与 Riemann 两支。
读史读出一条规律：每一次「无意义」的符号被认真对待，都换来一层新风景。ℝ 上的分析学到 ℂ 上不走样地重演，却在重演中步步升级——这就是下一张地图（0.4）与全册正文要逐页兑现的承诺。
节奏：全书一章 50 页。每章的呼吸是——第 1 页导引（问题从哪里长出来、本章路线）；18 页讲义（定义、定理、方法逐条立起）；12 页例题（完整解答，逐步演算）；12 页习题（11 节习题课＋1 页复盘归档）；2 页格物札记（①回《九章》，②接通现代）；末 6 页综合站（章小结 · 思想卡 · 挑战一 · 挑战二 · 实验 · 章测试与评讲）。
三件随身工具
① 复平面草稿纸：从第一章起，凡是复数题，先画图——模是长度、辐角是方向、共轭是镜像；第六章之前，图就是证明的一半。
② 实·复对照本：准备左右两栏的笔记，左侧记实分析版本，右侧记复分析版本（本册七张专页是七次「合订」）。
③ 验算小账本：棣莫弗、欧拉公式、C–R 方程、留数速算——四个小工具的熟练度决定全册的阅读速度。
记号约定：复数用 z ＝ x ＋ iy，共轭 z̄，模 |z|；区域记 D，圆周 |z − z0| ＝ r；单位圆盘记 𝔻。约定 i2 ＝ −1，辐角主值 Arg z ∈ (−π, π]，对数主支 Log z。开区域上「解析」「全纯」「正则」三词同义，本册主用「解析」。积分号一律 ∫_C f(z) dz，C 表有向曲线。
与实分析的最大一条阅读守则：每当正文说「与实分析一样」，快速核对脑中的实版本；每当说「与实分析不同」（本册会立〔实复对照〕牌子），停下来，把两侧的陈述各写一遍再走——风景常在对照处拐弯。准备好了吗？下一页，第一章：负数开平方，风景从绝境处开场。
三次方程 x3 ＝ 15x ＋ 4 有一个明明白白的实根 x ＝ 4（代入即验）。可 Cardano 公式算出来的却是
x ＝ ∛(2 ＋ √−121) ＋ ∛(2 − √−121)，中间赫然站着「负数开平方」。按当时的常识，这样的数不存在——然而公式与算术「强迫」把 ∛(2＋√−121) ＋ ∛(2−√−121) 当作普通数相加，结果偏偏等于 4。邦贝利（1572）照规则运算这些「诡辩数」，把明摆着的实根从「不存在」的符号里捞了出来。不存在的数，交出了正确的账。这就是风景的第一眼：负数开平方不是怪物，而是一座桥。
本章路线：代数身子（定义与四则，§1.2–1.3）→ 几何魂魄（复平面、三角形式，§1.4–1.5）→ 乘法即旋转伸缩（§1.6–1.7）→ 圆周的合唱（棣莫弗、单位根，§1.8–1.9）→ 开方圆满（〔少广〕兑现，§1.10）→ 欧拉公式与复球面（§1.11–1.12）→ 几何账本（直线圆方程、三角不等式，§1.13–1.14）→ 实复对照（§1.15–1.17）。读本章备好一张草稿纸：模是长度、辐角是方向，先画图，后动笔。
定义（复数）
复数是实数有序对 z ＝ (x, y)（Hamilton 的定义），配以运算：
加法：(x1, y1) ＋ (x2, y2) ＝ (x1＋x2, y1＋y2)；
乘法：(x1, y1) · (x2, y2) ＝ (x1x2 − y1y2, x1y2 ＋ x2y1)。
记 i ＝ (0, 1)，则 i2 ＝ (0·0−1·1, 0) ＝ (−1, 0) ＝ −1，且 (x, y) ＝ x ＋ iy。全体复数记 ℂ。
「x ＋ iy」的写法把二维世界压缩成一行代数：实部 Re z ＝ x，虚部 Im z ＝ y（均为实数）。四则运算完全按「把 i 当字母、见 i2 换 −1」执行：
除法靠「分母实化」：分子分母同乘分母的共轭（§1.3 即给共轭正式身份），
乘法交换律、结合律、分配律全部成立（按有序对定义逐条验证即可），ℂ 成为域：减除自如，且 ℂ 包含 ℝ（虚部为零的对）。零元 0＝0＋0i，一元 1＝1＋0i，负数开平方从此合法：−1 ＝ i2，故 ±i 皆为 x2 ＝ −1 之根。
定义（共轭与模） z ＝ x ＋ iy 的共轭为 z̄ ＝ x − iy，模为 |z| ＝ √(x2 ＋ y2)。
共轭是关于实轴的镜面反射，模是点到原点的距离。两者天生一对：
这一行是复数运算的第一惯用技：任何分式，分子分母同乘共轭即实化（1.2 的除法公式就是它的应用）。共轭与模的性质清单：
把 z ＝ x ＋ iy 画成平面上横坐标 x、纵坐标 y 的点，复数集 ℂ 就成了复平面：实轴、虚轴、原点。同一画面允许两种读法——点（位置）与向量（从原点出发的有向线段）。加法在向量读法下就是平行四边形法则：
特别地，|z − w| ＝ 0 ⟺ z ＝ w；三角不等式 |z＋w| ≤ |z| ＋ |w| 在向量读法下就是「三角形两边之和」（§1.14 专页）。距离一到位，邻域、开集、极限这套 ε-δ 词汇便可原样搬入：B(z0, r) ＝ {z : |z − z0| ＜ r} 称为以 z0 为心、r 为半径的开圆盘——复分析的「舞台单元」，第二章起处处是它。
平面上定一个向量，除了横纵坐标，还可以报「长度＋方向」。z ＝ x ＋ iy，记 r ＝ |z|，令 θ 为从正实轴转到向量 Oz 的有向角（弧度），则 x ＝ r·cosθ，y ＝ r·sinθ，于是
定义（辐角） 满足上式的 θ 称为 z 的辐角。非零复数的辐角有无穷多个值，彼此相差 2π 的整数倍：arg z ＝ θ0 ＋ 2kπ。把 θ 限制在 (−π, π] 内的那一个记 Arg z，称为辐角主值。z ＝ 0 无辐角（方向无意义）。
两组坐标的换算是纯三角账：r ＝ √(x2＋y2)；tan θ ＝ y/x 但要按象限定 θ——第一、二象限取 Arctan(y/x) 与 π ＋ Arctan(y/x)，第三、四象限类似，或直接用 Arg z 主值再加分支。
三角形式下做一次乘法，真相立现。设 z ＝ r1(cosθ1 ＋ i·sinθ1)，w ＝ r2(cosθ2 ＋ i·sinθ2)，直接展开实虚部并合并：
定理（乘法的几何） 两复数相乘：模相乘，辐角相加。即 |zw| ＝ |z||w|，arg(zw) ＝ arg z ＋ arg w（mod 2π）。乘 w ＝ ρ(cosφ ＋ i·sinφ) 的几何效果＝把平面图形放大 ρ 倍再逆时针旋转 φ。
把平面图形整体乘一个复数 w，图形就放大 ρ ＝ |w| 倍并整体旋转 φ ＝ arg w：乘法是相似变换。这一句在第六章将升级为「解析函数局部都是旋转＋伸缩」（共形映射），是全册几何主旋律的第一次出现。
乘法的几何一出，除法立即可读：若 w ≠ 0 且 z ＝ w·q，则 |z| ＝ |w||q| 且 arg z ＝ arg w ＋ arg q，于是
定理（除法的几何） q ＝ z/w 满足 |q| ＝ |z|/|w|，arg q ＝ arg z − arg w（mod 2π）：模相除、辐角相减。商 q 是「从 w 的方向转到 z 的方向、长度按 |z|/|w| 缩放」的那个数。
代数上，除法依然用共轭实化（1.2）：z/w ＝ z·w̄/|w|2。两种算法各有用场——数值计算用实化，几何推理用「模除角减」。一个立即可感的例子：
（∠θ 记「辐角为 θ 的单位复数」，即 cosθ ＋ i·sinθ；完整实化验算见例 4。）肉眼可见：1＋i 与 1−i 关于实轴互为镜像，长度相同——商应当是「转双倍角」的单位向量，正是 i。
把乘法几何连乘 n 次：模不变（|w| ＝ 1 时）、辐角每次加 θ——旋转的累加就是角度的倍乘。设 w ＝ cosθ ＋ i·sinθ，逐次相乘（或对 1.6 的定理归纳）得：
定理（棣莫弗，De Moivre） 对任意整数 n（含负数）：
(cosθ ＋ i·sinθ)n ＝ cos nθ ＋ i·sin nθ。
这行公式是「乘法＝旋转」的直接利息。它的舞台是单位圆：|w| ＝ 1 的复数集合。单位圆上的点天然写成 cosθ ＋ i·sinθ——圆周上的运动就是「辐角的匀速推进」。刘徽割圆注「割之弥细，所失弥少」的精神在此换了一副笔墨：割圆术用内接多边形逼近圆周，棣莫弗用辐角的倍乘在圆周上精确地数格点；两件事共享同一个舞台——圆（〔割圆〕接续点之一）。
解方程 zn ＝ 1。在实数里，n 为偶数时只有 z ＝ 1 一解、n 为奇数时也只有一解——贫瘠得很。在 ℂ 里，用棣莫弗把 1 写成 cos(2kπ) ＋ i·sin(2kπ)（k 任意整数），令 z ＝ cosθ ＋ i·sinθ，比较辐角：nθ ＝ 2kπ，θ ＝ 2kπ/n。k 取 0, 1, …, n−1，恰好给出 n 个互不相同的根：
定理（n 次单位根） 方程 zn ＝ 1 在 ℂ 中恰有 n 个根：
ζk ＝ cos(2kπ/n) ＋ i·sin(2kπ/n)， k ＝ 0, 1, …, n−1，
它们恰是单位内接正 n 边形的 n 个顶点（ζ0 ＝ 1 为其中一个顶点）。
三件速查性质：① ζkn ＝ 1（定义）；② 全体根之和 ζ0 ＋ ζ1 ＋ … ＋ ζn−1 ＝ 0（正多边形顶点向量和，或由 zn − 1 ＝ (z − 1)(zn−1 ＋ … ＋ 1) 与韦达定理）；③ ζ1 ＝ ∠(2π/n) 是「生成元」：其余根都是它的幂，ζk ＝ ζ1k。几何上，解方程 zn ＝ 1 ＝ 画正 n 边形——代数问题一瞬间变成圆周上的等分问题。
《九章》少广章的开方术，在 ℝ 上总带着一道裂缝：负数开不了方，开不尽的「以面命之」。现在把问题彻底问完——任意非零复数 w 的 n 次方根有几个、在哪里？把 w 写成三角形式 w ＝ ρ∠φ，设 z ＝ r∠θ 满足 zn ＝ w，由乘法几何：rn ＝ ρ 且 nθ ＝ φ ＋ 2kπ。于是
定理（n 次方根） 非零复数 w ＝ ρ∠φ 恰有 n 个 n 次方根：
zk ＝ ρ1/n ∠(φ/n ＋ 2kπ/n)， k ＝ 0, 1, …, n−1。
它们是半径 ρ1/n 的圆上均匀分布的 n 个点，相邻两根辐角差 2π/n——是正 n 边形的顶点（转了一个相位）。
两笔速算要领：① 方根的模取 ρ 的 n 次算术根（唯一非负）；② 辐角先取 φ/n，再依次加 2π/n 转满一圈——取 k ＝ 0, …, n−1 之后根开始周期重复，恰好 n 个，一个不多。
棣莫弗公式还是「三角形式下的乘法表」，欧拉把它锻成一个数：指数函数 ez 按幂级数定义（严格的收敛与性质在第四章补证，此处按直觉使用），把 x 换成 iθ 逐项代入并按 i 的幂分组：
定理（欧拉公式） eiθ ＝ cosθ ＋ i·sinθ。特别地 eiπ ＋ 1 ＝ 0（欧拉恒等式），且对任意复数 z：ez ＝ eRe z(cos(Im z) ＋ i·sin(Im z))。
几何读法（本册的主读法）：eiθ 就是单位圆上辐角为 θ 的点。于是指数运算＝圆周运动，eiθ 的乘法表与棣莫弗完全一致——(eiθ)n ＝ einθ 不再是公式，而是「转 n 次 θ」的同义反复。复数从此获得第三副面孔：
其中 ∠θ 就是 eiθ 的缩写。三角形式全面升级为指数形式，本册此后一律优先使用它。
复平面还缺一个「方向」：沿任何方向走出很远，到达的「远方」是同一个地方吗？Riemann 的办法是把平面裹在一个球上。
黎曼球面 取复平面为 xOy 面、球面与平面切于原点 S，过球顶 N（北极）作与点 z 相连的直线，交球面于一点 P(z)。z ↦ P(z) 是 ℂ 与「去掉北极的球面」之间的一一对应。约定北极 N 表「无穷远点 ∞」，则 ℂ ∪ {∞}（记 ℂ̂，扩充复平面）恰与整个球面一一对应。
读法：|z| 越大，P(z) 越接近北极——所有方向的无穷远是同一个点。这为第六章的分式线性变换准备好了语法（w ＝ 1/z 把 0 与 ∞ 互换），也为「复分析中没有边界上的例外点」提供了画布：整张球面是均匀的。
复平面的威力在于：几何条件可以写成一行复数等式。核心工具只有两件——|z − a| 表距离，Re z 表「实轴投影」。
直线与圆的复数方程
① 圆：|z − a| ＝ r（圆心 a，半径 r ＞ 0）；过 ∞ 的「广义圆」是直线。
② 直线：z 落在过 a、方向角为 θ 的直线上 ⟺ z ＝ a ＋ teiθ，t ∈ ℝ；等价的对称写法：z − a 与 eiθ 平行，即 (z − a)e−iθ ∈ ℝ，亦即 (z − a)e−iθ ＝ (z̄ − ā)eiθ。
③ 中垂线：|z − a| ＝ |z − b|——到 a、b 等距的轨迹。
判断「点在不在圆内」也只需一行：|z − a| ＜ r ⟺ z 在圆盘内。这一行与 ε-δ 邻域 B(z0, r) 是同一句话——几何语言与分析语言在复平面上自由兑换。
定理（三角不等式） 对任意复数 z, w：
|z ＋ w| ≤ |z| ＋ |w|， 且 ||z| − |w|| ≤ |z − w| ≤ |z| ＋ |w|。
向量读法下一眼即明：三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。代数证明可用 |z ＋ w|2 ＝ |z|2 ＋ 2Re(z·w̄) ＋ |w|2 ≤ |z|2 ＋ 2|z||w| ＋ |w|2（中间一步用 Re u ≤ |u|）。它有一批高频变形，考试与估值的全部家当：
用法示范（估值思维）：估计 |eiθ ＋ 2 ＋ 3i| 的范围。上界 ≤ 1 ＋ √13 ≈ 4.61；下界 ≥ √13 − 1 ≈ 2.61。夹住即用——复分析里到处是「只要一个界」的场合（第三章的 ML 不等式 3.5 就是三角不等式＋长度积分的直接后代）。
定理（虚根成对） 若实系数多项式 P(x) ＝ anxn ＋ … ＋ a0 满足 P(z0) ＝ 0（z0 为复根），则 P(z̄0) ＝ 0：非实根按共轭对出现。
证明是一行「对称性」：系数全为实数 ⟹ P(z̄) ＝ overline(P(z))（共轭与求和、乘幂可交换，因系数共轭是自身）。于是 P(z̄0) ＝ overline(P(z0)) ＝ 0。推论：奇次实系数多项式至少有一个实根（n 个根两两配对，落单的必与自己共轭，即实根）。
这件事值得多看一眼：ℝ 是 ℂ 里被「实轴镜面」固定不动的部分，实系数多项式尊重这面镜子，因此它的根要么坐在镜面上，要么成对站在镜子两侧。第二章将把「尊重镜面」升格为一条原理——Schwarz 对称原理（第六章 6.6 的对称性预告），而「镜面反射不动集」的眼光则是黎曼曲面理论的入口。
复数绝非纯数学的象牙摆件。电气工程里，正弦交流电压 u(t) ＝ U·cos(ωt ＋ φ) 被写成「相量」U·eiφ：正弦振荡的振幅与相位装进一个复数，电阻、电感、电容对它的响应分别乘上 1、eiπ/2·ωL、1/(iωC)——微分方程的求解变成复数的四则运算（第一章的乘法几何在电网上每天运转）。
信号处理里，Fourier 分析把信号分解成 eiωt 的叠加（第四章级数思想的高潮版）；量子力学里，波函数 ψ 本身取复值，概率流与相位直接由 |ψ|2 与 arg ψ 编码——「相位」这个物理实在，就是辐角。计算机图形学里，一次 2D 旋转加缩放就是乘一个复数：四个实数乘法、两个加法，比三角函数表快得多。
| 领域 | 复数扮演的角色 | 本册对应 |
|---|---|---|
| 交流电路 | 相量 U·eiφ：振荡＝旋转 | §1.6 乘法几何 |
| 信号处理 | eiωt 基元：频率即「每秒转几圈」 | §1.11、第四章级数 |
| 量子力学 | 波函数相位：arg ψ 是物理量 | §1.5 辐角 |
| 图形学/机器人 | 复数乘法＝2D 旋转＋缩放 | §1.6、第六章共形 |
实数与复数各有一种「完满」，但完满的方式截然不同，值得并排细看。
| 角度 | ℝ：完备（分析完美） | ℂ：代数封闭（代数完美） |
|---|---|---|
| 核心性质 | 柯西列必收敛、确界存在——分析学（极限、连续、积分）的承重墙 | n 次多项式恰有 n 个根——代数学（因式分解、求根）的承重墙 |
| 扩张逻辑 | ℚ → ℝ：填满「缝隙」（无理数） | ℝ → ℂ：补齐「缺根」（−1 的平方根） |
| 代价 | 失去有序性到 ℂ：ℂ 无「大小」可比、无正负可言 | ℝ 的序结构在 ℂ 中退场；换来的几何：模与辐角 |
| 可导的性格 | 可导是「局部有好的线性近似」的弱要求，光滑分级 | 解析是刚性要求，一次可导⟹无穷可导（第二、三章层层兑现） |
注意第三行：每一次数系扩张都有代价。ℝ → ℂ 失去了序（复数不能比大小），得到的补偿是一整套几何——模、辐角、旋转。思想卡（p56）把这一「扩张哲学」再推一层：从 ℕ 到 ℂ，五次扩张，每次都牺牲一点、赚回一片。
本章知识链：定义与四则（1.2）→ 共轭模（1.3）→ 复平面与距离（1.4）→ 三角形式（1.5）→ 乘法＝旋转伸缩（1.6–1.7）→ 棣莫弗与单位圆（1.8）→ 单位根（1.9）→ 开方圆满〔少广〕（1.10）→ 欧拉公式（1.11）→ 黎曼球面（1.12）→ 几何方程（1.13）→ 三角不等式（1.14）→ 虚根成对（1.15）→ 现代接口（1.16）→ 实复对照（一）（1.17）。
| 任务 | 首选工具 | 口诀/要点 |
|---|---|---|
| 除法/实化分母 | 乘共轭：z·z̄ ＝ |z|2 | 分母实化，一步到位 |
| 乘除的几何 | 模乘除、角加减 | 先画图后计算 |
| 高次幂 | 棣莫弗 / einθ | 幂＝圆周跳格 n 格 θ |
| 解 zn ＝ w | 方根公式（1.10） | 角除 n、摆满一圈，恰 n 个 |
| 三角化简 | 欧拉公式 | cosθ ＝ (eiθ ＋ e−iθ)/2 |
| 几何条件代数化 | 距离写模、方向写指数 | |z − a|；z ＝ a ＋ teiθ |
| 模的估值 | 三角不等式 | 上下夹：和放缩、差反向 |
下一步：本章的 z 是「静止」的量；第二章起 z 成为「流动」的变元——函数 f(z) 将要求「处处旋转伸缩不扭曲」，那就是解析性。第一章的三副面孔（坐标/航海/指数）练到脱口而出：第二章的 C–R 方程、第四章的幂级数，全都靠它们换装。
例1 计算 (3 − i)(2 ＋ 5i)，并求 3 − i2 ＋ 5i。
解 乘法按「见 i2 换 −1」展开：
(3 − i)(2 ＋ 5i) ＝ 6 ＋ 15i − 2i − 5i2 ＝ 6 ＋ 13i ＋ 5 ＝ 11 ＋ 13i。
除法分子分母同乘分母的共轭 2 − 5i（分母实化 |2 ＋ 5i|2 ＝ 29）：
3 − i2 ＋ 5i ＝ (3−i)(2−5i)29 ＝ 6 − 15i − 2i ＋ 5i229 ＝ 1 − 17i29 ＝ 129 − 1729 i。
验算（用 1.7 的几何）：|3 − i| ＝ √10，|2 ＋ 5i| ＝ √29，故商的模应为 √(10/29)；实算 |1 − 17i|/29 ＝ √(1＋289)/29 ＝ √290/29 ＝ √(290/841) ＝ √(10/29)。√ ✓。辐角亦可用夹角验，略。
例2 设 z, w 为复数，证明：|z ＋ w|2 ＋ |z − w|2 ＝ 2|z|2 ＋ 2|w|2（平行四边形恒等式）。
证 用 |u|2 ＝ u·ū 与共轭的加法分配：
|z ＋ w|2 ＝ (z ＋ w)(z̄ ＋ w̄) ＝ |z|2 ＋ |w|2 ＋ zw̄ ＋ z̄w，
|z − w|2 ＝ (z − w)(z̄ − w̄) ＝ |z|2 ＋ |w|2 − zw̄ − z̄w。
相加，交叉项抵净：＝ 2|z|2 ＋ 2|w|2。∎
几何解读：这正是「平行四边形两条对角线的平方和 ＝ 四条边的平方和」——代数等式一句话说成几何定理。关键一步是 zw̄ ＋ z̄w ＝ 2Re(z·w̄)：共轭对称的项相加必为实数（且等于实部的两倍）。
例3 把 z ＝ −1 ＋ i√3 写成三角形式与指数形式。
解 模：|z| ＝ √(1 ＋ 3) ＝ 2。定辐角：x ＝ −1 ＜ 0，y ＝ √3 ＞ 0，点在第二象限；参考角 Arctan(√3/1) ＝ π/3，故 Arg z ＝ π − π/3 ＝ 2π/3。核对：cos(2π/3) ＝ −1/2 ✓，sin(2π/3) ＝ √3/2 ✓。于是
z ＝ 2(cos 2π3 ＋ i·sin 2π3) ＝ 2e2πi/3。
规范提醒：① r 取非负；② θ 用弧度、按象限定值，不要盲写 Arctan(y/x)；③ 全体三角形式为 2∠(2π/3 ＋ 2kπ)，指数形式只写主值即可（多值性记在心里）。
例4 计算 1 ＋ i1 − i，并用几何解释结果。
解（代数法） 分子分母同乘 1 ＋ i：
1 ＋ i1 − i ＝ (1＋i)2(1−i)(1＋i) ＝ 1 ＋ 2i ＋ i22 ＝ 2i2 ＝ i。
解（几何法） 1 ＋ i ＝ √2·∠(π/4)，1 − i ＝ √2·∠(−π/4)。商的模 ＝ √2/√2 ＝ 1；商的辐角 ＝ π/4 − (−π/4) ＝ π/2。故商 ＝ ∠(π/2) ＝ i。两种算法一致。
几何解读：除以 1 − i ＝ 「缩 √2 倍、顺转 45°」，其逆操作＝「放 √2 倍、逆转 45°」——把 1 ＋ i（已在 45° 方向）逆转 45° 恰好立到 90°，落点 i。
例5 用棣莫弗公式推导三倍角公式。
解 一方面，(cosθ ＋ i·sinθ)3 ＝ cos3θ ＋ i·sin3θ；另一方面按二项式展开：
(c ＋ is)3 ＝ c3 ＋ 3c2(is) ＋ 3c(is)2 ＋ (is)3 ＝ (c3 − 3cs2) ＋ i(3c2s − s3)，
其中 c ＝ cosθ，s ＝ sinθ（用到 i2 ＝ −1，i3 ＝ −i）。比较实部（虚部比较给出 sin3θ ＝ 3s − 4s3，一并到手）：
cos3θ ＝ c3 − 3c·s2 ＝ c3 − 3c(1 − c2) ＝ 4c3 − 3c； sin3θ ＝ 3s − 4s3。
两行推导对实分析教科书里要解半页的恒等式完成「降维打击」——手法只是「乘三次、比实部」。这正是第一章方法论的代表：三角恒等式 ＝ 复数乘法的实部虚部对账。
例6 设 ζ ＝ cos(2π/7) ＋ i·sin(2π/7)。求：① ζ ＋ ζ2 ＋ … ＋ ζ6；② ζ ＋ ζ2+ζ4 与 ζ3 ＋ ζ5 ＋ ζ6（二次分圆和）；③ (1 − ζ)(1 − ζ2)…(1 − ζ6)。
解 ① 七个单位根之和为 0，去掉 ζ0 ＝ 1：ζ ＋ … ＋ ζ6 ＝ −1。
② 注意 ζ7 ＝ 1（指数按 mod 7 降幂）。令 A ＝ ζ ＋ ζ2 ＋ ζ4，B ＝ ζ3 ＋ ζ5 ＋ ζ6。则 A ＋ B ＝ −1（由 ①）。又乘积共九项：
A·B ＝ ζ4 ＋ ζ6 ＋ ζ7 ＋ ζ5 ＋ ζ7 ＋ ζ8 ＋ ζ7 ＋ ζ9 ＋ ζ10 ＝ (ζ4 ＋ ζ6 ＋ ζ5 ＋ ζ ＋ ζ2 ＋ ζ3) ＋ 3 ＝ −1 ＋ 3 ＝ 2。
于是 A, B 是 t2 ＋ t ＋ 2 ＝ 0 的两根：A, B ＝ −1 ± i√72。顺便得到漂亮的实部和：cos(2π/7) ＋ cos(4π/7) ＋ cos(8π/7) ＝ Re A ＝ −1/2。
③ 对 z7 − 1 ＝ (z − 1)(z6 ＋ … ＋ 1) 在 z ＝ ζ 处……直接看：z7 − 1 的根是 1, ζ, …, ζ6，故 z7 − 1 ＝ (z − 1)∏k=16 (z − ζk)。两端除 z − 1 并令 z ＝ 1（右端是连续多项式，直接代值）：∏k=16 (1 − ζk) ＝ 7。∎
例7 求 1 ＋ i 的平方根。
解（三角法） 1 ＋ i ＝ √2·∠(π/4)。由方根公式（1.10，n ＝ 2）：
zk ＝ 21/4·∠(π/8 ＋ kπ)， k ＝ 0, 1，
即两支 z0 ＝ 21/4∠(π/8) 与 z1 ＝ −z0（相差 π，互为相反数）。
解（代数法，验算） 设 z ＝ a ＋ bi（a, b ∈ ℝ），z2 ＝ a2 − b2 ＋ 2abi ＝ 1 ＋ i。故 a2 − b2 ＝ 1 且 2ab ＝ 1。由 b ＝ 1/(2a) 代入：a2 − 1/(4a2) ＝ 1，令 t ＝ a2：4t2 − 4t − 1 ＝ 0，t ＝ (1 ＋ √2)/2（取正）。于是
z ＝ ± [ √1 ＋ √22 ＋ i·√√2 − 12 ]，
与三角法一致（cos(π/8)2 ＝ (1 ＋ cos π/4)/2 ＝ (1 ＋ √2/2)/2）。∎
几何核验：两支平方根必是「半径 21/4 的圆上、互差 180°」的两点；平方后辐角翻倍各得 π/4 与 π/4 ＋ 2π，模平方得 √2 ✓。
例8 计算 e1 ＋ iπ/4，并化简 eiπ/4·eiπ/3、eiπ/4/eiπ/3。
解 按 ez ＝ eRe z·ei·Im z：
e1 ＋ iπ/4 ＝ e·eiπ/4 ＝ e·√22(1 ＋ i) ＝ e√22(1 ＋ i)。
指数律在复世界照旧（第四章按幂级数严格证明）：eiπ/4·eiπ/3 ＝ eiπ/4＋iπ/3 ＝ ei7π/12；eiπ/4/eiπ/3 ＝ ei(π/4−π/3) ＝ e−iπ/12。
几何解读：乘 eiπ/4 ＝ 逆时针转 45°；指数相加＝旋转相加；虚部进指数、实部管长度——「长度与旋转」彻底解耦。这就是 1.11 说的「第三副面孔」的好用之处。
例9 取球面半径 1、切复平面于原点 S、球心 (0, 0, 1)、北极 N ＝ (0, 0, 2)。设平面上的点 z ＝ x ＋ iy 投影为 P ＝ (X, Y, Z)。验证投影公式 X ＝ 4x/(x2 ＋ y2 ＋ 4)，Y ＝ 4y/(x2 ＋ y2 ＋ 4)，Z ＝ 2(x2 ＋ y2)/(x2 ＋ y2 ＋ 4)，并求 z ＝ 1 ＋ i 的像。
解 直线 N 到 z 的参数式：(1 − t)N ＋ t·(x, y, 0) ＝ (tx, ty, 2 − 2t)。落入球面（球心 (0,0,1)、半径 1）：(tx)2 ＋ (ty)2 ＋ (1 − 2t)2·(1/1)·… 即 (tx)2 ＋ (ty)2 ＋ (2 − 2t − 1)2 ＝ 1。整理 (x2 ＋ y2)t2 ＋ (4t2 − 4t ＋ 1) ＝ 1 得 t·[(x2 ＋ y2 ＋ 4)t − 4] ＝ 0，取非零解 t ＝ 4/(x2 ＋ y2 ＋ 4)。代回即得三式（Z ＝ 2 − 2t ＝ 2(x2 ＋ y2)/(x2 ＋ y2 ＋ 4)）。
z ＝ 1 ＋ i：x2 ＋ y2 ＝ 2，分母 ＝ 6。X ＝ 4/6 ＝ 2/3，Y ＝ 2/3，Z ＝ 4/6 ＝ 2/3。像为 (2/3, 2/3, 2/3)——落在球面 North-West 方向，核验：4/9·3 ＝ 4/3 ＝ 1 ✓（到球心距离平方 4/9×3−… 即 (2/3)2 ＋ (2/3)2 ＋ (2/3 − 1)2 ＝ 4/9 ＋ 4/9 ＋ 1/9 ＝ 1 ✓）。
例10 指出下列方程所表的曲线：① |z − 2i| ＝ |z ＋ 4|；② z·z̄ ＋ 2z ＋ 2z̄ ＝ 3；③ Im[(z − 1)e−iπ/4] ＝ 0。
解 ① 到 2i 与到 −4 等距——是 2i 与 −4 连线的中垂线。
② 记 z ＝ x ＋ iy：z z̄ ＝ x2 ＋ y2，2z ＋ 2z̄ ＝ 4x。方程即 x2 ＋ y2 ＋ 4x ＝ 3，配方 (x ＋ 2)2 ＋ y2 ＝ 7——圆，心 −2、半径 √7。
③ (z − 1)e−iπ/4 是实数 ⟺ z − 1 与方向 eiπ/4 平行 ⟺ z 在过 1、倾角 45° 的直线上。
读法心得：z z̄ ＝ |z|2 是「平方项」的化身——方程里出现 z·z̄ 就准备配方；出现 z ＋ z̄ ＝ 2x 就准备合并实部；出现 Im[(z − a)e−iθ] ＝ 0 就读作「平行方向 θ」。
例11 设 |z − 3| ＝ 1。求 |z ＋ 2i| 的最大值与最小值；并求 |z − 5 − i| 的取值范围。
解 z 落在以 3 为心、半径 1 的圆上。几何读法：|z ＋ 2i| ＝ |z − (−2i)| 是 z 到点 −2i 的距离。
圆心 3 到 −2i 的距离 ＝ |3 ＋ 2i| ＝ √13。最大值 ＝ √13 ＋ 1（点在圆心与 −2i 连线的反向延长处），最小值 ＝ √13 − 1（连线与圆的交点）。
同理 |z − 5 − i| ＝ |z − (5 ＋ i)|：圆心 3 到 5 ＋ i 的距离 ＝ |2 ＋ i| ＝ √5 ＞ 1，故范围 ＝ [√5 − 1, √5 ＋ 1]。
代数核验（以最大值为例）：|z ＋ 2i| ＝ |(z − 3) ＋ (3 ＋ 2i)| ≤ |z − 3| ＋ |3 ＋ 2i| ＝ 1 ＋ √13；等号当 z − 3 与 3 ＋ 2i 同向（z ＝ 3 ＋ eiθ，θ ＝ arg(3 ＋ 2i)）时取到。
例12 ① 用单位五次根证明 cos 72° ＝ (√5 − 1)/4；② 说明高斯作正十七边形的思路与本题一脉相承。
解 ① 记 c ＝ cos 72°。五个单位根 ζk ＝ ∠(2kπ/5)（k ＝ 0…4）满足 ζ ＋ ζ2 ＋ ζ3 ＋ ζ4 ＝ −1。取实部：
2c ＋ 2cos 144° ＝ −1。
② 对 ζ3 ＝ ∠216° 用 cos 216° ＝ −cos 36°，又 cos 144° ＝ −cos 36°；设 u ＝ cos 36°，且 cos 72° ＝ 2cos236° − 1 ＝ 2u2 − 1 ＝ c。代入：2(2u2 − 1) − 2u ＝ −1，即 4u2 − 2u − 1 ＝ 0，解得 u ＝ (1 ＋ √5)/4（取正根）。于是
c ＝ 2u2 − 1 ＝ 2·1 ＋ 2√5 ＋ 516 − 1 ＝ 3 ＋ √54 − 1 ＝ √5 − 14。∎
② 正 n 边形可尺规作图 ⟺ 可用平方根解 zn ＝ 1。n ＝ 5 时分圆和的二次方程（例6② 的手法）两步解出；n ＝ 17 时 17 ＝ 24 ＋ 1 是 Fermat 素数，高斯（1796，19 岁）发现根可按模 17 的二次剩余分群、经四层平方根解出——尺规可作。这一发现使他决意献身数学；分圆理论后来长成代数数论，而「单位根的对称群」正是第四章唯一性、第五章辐角原理反复借用的圆周几何。
题 1 计算：(2 ＋ 3i)(1 − 4i)；(1 ＋ 2i)2 − (1 − 2i)2；i2026。
提示：i4 ＝ 1，指数按 4 取余——2026 ＝ 4×506 ＋ 2，故 i2026 ＝ i2 ＝ −1。
题 2 求 2 ＋ i1 − 2i 与 (1＋i)21＋2i，并各验一次模（|商| ＝ |分子|/|分母|）。
提示：第二题先算 (1 ＋ i)2 ＝ 2i，再 2i/(1 ＋ 2i) ＝ 2i(1 − 2i)/5 ＝ (4 ＋ 2i)/5。
题 3 已知 z2 ＝ −7 ＋ 24i，求 z（先猜模：|z|2 ＝ |z2| ＝ 25 ⟹ |z| ＝ 5）。
提示：设 z ＝ a ＋ bi，a2 − b2 ＝ −7，2ab ＝ 24，a2 ＋ b2 ＝ 25 ⟹ a2 ＝ 9，b2 ＝ 16。z ＝ ±(3 ＋ 4i)。
题 4 证明：|z1 ＋ z2|2 ＋ |z1 − z2|2 ＝ 2(|z1|2 ＋ |z2|2) 已在例2 证过；现在改证「乘法版」：|z1z2 ＋ z3z4|2 ＋ |z1z2 − z3z4|2 ＝ 2|z1z2|2 ＋ 2|z3z4|2，并说明它不过是同一恒等式换元。
题 5 设 z 满足 z·z̄ ＋ 3i·z − 3i·z̄ ＝ 4，问 z 的轨迹是什么？
提示：3i·z − 3i·z̄ ＝ 3i(z − z̄) ＝ 3i·2i·Im z ＝ −6 Im z。方程即 x2 ＋ y2 − 6y ＝ 4，即 x2 ＋ (y − 3)2 ＝ 13：圆，心 3i、半径 √13。
题 6 证明：z 为实数 ⟺ z ＝ z̄；z 为纯虚数 ⟺ z̄ ＝ −z（z ≠ 0）。
题 7 把下列各数写成指数形式（模与主辐角）：① −3i；② −1 − i；③ 1 − √3·i；④ −2。
提示：① 3∠(−π/2)；② √2∠(−3π/4)；③ 2∠(−π/3)；④ 2∠π。
题 8 设 z ＝ 2∠(2π/3)，w ＝ 3∠(π/6)。直接写出 zw、z/w、z3、w̄ 的模与辐角，再回化成 a ＋ bi。
提示：zw ＝ 6∠(5π/6)；z/w ＝ (2/3)∠(π/2) ＝ (2/3)i；z3 ＝ 8∠2π ＝ 8；w̄ ＝ 3∠(−π/6)。
题 9 把复平面上以 0、1、i 为顶点的三角形整体乘 (1 ＋ i)√2/2，写出新三角形三顶点，并描述图形发生了什么。
提示：乘 ∠(π/4)·1 ＝ 逆转 45°、模不变。顶点变 0、√2∠(π/4) ＝ 1 ＋ i、√2∠(3π/4) ＝ −1 ＋ i。三角形绕原点转了 45°，形状大小不变。
题 10 证明：z ≠ 0 时，z/|z| 落在单位圆上，且 z/|z|2 落在「与 z 同方向的单位圆点」的……先猜再证：z/|z|2 与 z 的方向关系、与 z̄ 的关系。
提示：z/|z| ＝ ∠θ；z/|z|2 ＝ 1/z ＝ z̄/|z|2·… 即 z/|z|2 ＝ z̄/|z|4·|z|2，化简即 z/|z|2 ＝ z̄/|z̄|2·(1/|z|2)·… 一句话：1/z ＝ z̄/|z|2（方向反转、模取倒）。
题 11 用棣莫弗推导 sin 3θ ＝ 3sinθ − 4sin3θ（对照例5 的实部，这次比虚部）。
题 12 计算 (√3 ＋ i)5 与 (1 − i)10，一步不得展开乘法。
提示：√3 ＋ i ＝ 2∠(π/6)，五次幂 ＝ 32∠(5π/6) ＝ 32(−√3/2 ＋ i/2) ＝ −16√3 ＋ 16i；(1 − i)10 ＝ (√2)10·∠(−10π/4) ＝ 32∠(−5π/2) ＝ 32∠(−π/2) ＝ −32i。
题 13 用棣莫弗证明：若 |w| ＝ 1，则 w̄ ＝ 1/w。并由此说明单位圆上「倒数＝共轭」。
题 14 解 z4 ＝ −4，并画出四根的位置图。
提示：−4 ＝ 4∠π，方根 ＝ √2·∠(π/4 ＋ kπ/2)，k ＝ 0…3：±(1 ＋ i)、±(−1 ＋ i)，即正方形四顶点 1＋i、−1＋i、−1−i、1−i……逐一核对模 √2。
题 15 求 1 ＋ ω ＋ ω2 ＋ … ＋ ωn−1，其中 ω ＝ ∠(2π/n) 是 n 次本原单位根（n ≥ 2）。
提示：等比求和 (ωn − 1)/(ω − 1) ＝ 0；或几何：正 n 边形顶点向量和为零。
题 16 证明：ζ 是 n 次单位根 ⟹ ζk 也是（k 任意整数）；并给出「本原根」的判据：ζk 与 ζ 生成同一组根 ⟺ gcd(k, n) ＝ 1。
题 17 求 −16 的四次方根（全部四支），并说明为什么实数里「负数开偶次方无解」只是数轴太小。
提示：−16 ＝ 16∠π；方根 ＝ 2∠(π/4 ＋ kπ/2)，k ＝ 0…3：±√2(1 ＋ i)、±√2(−1 ＋ i)。
题 18 解 z3 ＝ 8i；并验算三根之和为 0。
提示：8i ＝ 8∠(π/2)，方根 ＝ 2∠(π/6 ＋ 2kπ/3)：√3 ＋ i、−√3 ＋ i、−2i。和为 0 ✓（正三角形顶点）。
题 19 用欧拉公式证明：cosθ ＝ (eiθ ＋ e−iθ)/2，sinθ ＝ (eiθ − e−iθ)/(2i)，并用第一式重推 cos(α ＋ β) ＝ cosα·cosβ − sinα·sinβ。
提示：右端指数展开后按 eiαeiβ 合并——一行即得。这就是「三角恒等式＝指数律」的示范。
题 20 计算 e(2 ＋ iπ)i·e−2π·… 即化简 ei(2＋iπ)；并解方程 ez ＝ i（全部解）。
提示：ei(2＋iπ) ＝ e2i − π ＝ e−π(cos2 ＋ i·sin2)。解方程：i ＝ eiπ/2，z ＝ i(π/2 ＋ 2kπ)，k ∈ ℤ（第二章 2.11 将严格重做）。
题 21 在北极投影下（例9 的球面），求赤道上的点投影到 |z| ＝ ？（答：复平面上的单位圆——验算 z ＝ 1 时像 (4/5, 0, 2/5)，到球心距离 1 ✓。）
题 22 证明：北极投影下，球面上关于水平大圆对称的两点，对应复平面上的 z 与 1/z̄（「球面反演＝复共轭倒数」）。
提示：由投影公式 X ＋ iY ＝ 4z/(|z|2 ＋ 4)、Z ＝ 2|z|2/(|z|2 ＋ 4)；对称点 Z ↦ 2 − Z，对应 |z|2 ↦ 4/|z|2，即 |z| ↦ 2/|z|，方向不变（X, Y 同号）——核对得 w ＝ 4z̄/|z|2·(1/4) ＝ 1/z（按约定比例核一次系数即可）。
题 23 指出曲线：① |z ＋ 1| ＝ |z − 1|；② |z − 1|2 ＋ |z ＋ 1|2 ＝ 4；③ |z − i| ＋ |z ＋ i| ＝ 4。
提示：① 虚轴；② 例2 恒等式 ⟹ 2|z|2 ＋ 2 ＝ 4，|z| ＝ 1 单位圆；③ 到 ±i 距离和恒 4 ＞ 2——椭圆（焦点 ±i）。复数方程连圆锥曲线都能一行写就。
题 24 设 |z| ≤ 1。求 |z2 ＋ 2z ＋ 3| 的最大值。
提示：|z2 ＋ 2z ＋ 3| ≤ |z|2 ＋ 2|z| ＋ 3 ≤ 6；等号当 z ＝ 1 时成立（1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 6）✓。
题 25 证明 Re u ≤ |u|，并用它给出三角不等式的代数证明（正文 1.14 的完整书写）。
题 26 （数系扩张小史）用公式 (a ＋ bi)(a − bi) ＝ a2 ＋ b2 说明：任何两个复数之积若为实数平方型，则「两数平方和」可分解——把 x4 ＋ 4 分解为两个二次因式。
提示：x4 ＋ 4 ＝ (x2 ＋ 2i)(x2 − 2i) ＝ (x2 − 2x ＋ 2)(x2 ＋ 2x ＋ 2)（对每支再用平方差）。这叫 Sophie Germain 恒等式。
题 27 设 z1, z2, z3 为三角形三顶点（逆时针）。证明：重心 ＝ (z1 ＋ z2 ＋ z3)/3；并求「把三角形绕重心转 120° 与自身重合」⟺ 三角形为正三角形的复数判据。
提示：平移重心到原点后，判据即 z1 ＋ z2 ＋ z3 ＝ 0 且两两辐角差 2π/3——正是三个三次单位根的形状。
题 28 综合：设 |z| ＝ 1 且 z ≠ ±1。证明 z ＋ 1/z ∈ ℝ，并把它写成 θ 的函数化简（答：2cosθ）。
错题归档表（把本章习题与例题的错处按类型入档，期末复盘只看这张表）：
| 错型 | 典型现场 | 防错口诀 |
|---|---|---|
| 象限错 | 三角形式辐角盲写 Arctan(y/x) | 先定象限再报角 |
| 符号错 | i2 换号漏乘（乘法展开） | 一步一验：每步模不变或模可算 |
| 少根/多根 | 方根只写一支；单位根漏 k 范围 | 摆满一圈，恰 n 个 |
| 估值漏等号 | 三角不等式只给上界不验等号点 | 放缩后必找等号点 |
| 几何荒废 | 能算不想图，商的辐角看不出夹角 | 先画图后动笔 |
三问自测（盖住答案口答）：
① 为什么乘 i ＝ 逆转 90°？i2 ＝ −1 的几何读法是什么？（一句话：两次直角＝半圈＝取负。）
② 非零复数 w 的 n 次方根有几个、怎么摆？（n 个，半径 ρ1/n 的圆上均匀分布，相邻差 2π/n。）
③ 欧拉公式把哪两个「实分析家族」焊成了一个？（指数与三角：eiθ ＝ cosθ ＋ i·sinθ。）
《九章算术》卷四少广章的后半，是一整套完整的开方程序：「开方术曰：置积为实……所得之副以加定法，以除。」其几何原型（刘徽注）是把正方形切成「黄甲」（大方）、「朱幂」（小方）与两块「矩」（长条），按「议得一位、退位布算」逐位求出——这正是逐位逼近的算法，与今日竖式开方、乃至 Newton 迭代的离散呼吸完全同构。开之不尽者，刘徽说：「当以面命之。」
「以面命之」四个字值得顶礼：它的字面意思是「就用那个『面』（边长）来称呼它」——不化成任何已知单位，承认它、命名它、继续用它。对比希腊人因 √2 不可公度而震动、转向几何规避，中国算家选择把新数接进账本。这是两种文明对「数是什么」的不同回答；就本册的主题而言，关键是：负数开平方走的是同一扇门。
给本章的〔少广〕线索立一块界碑：1.1 负数开平方逼出新数（Cardano 的困境正是「有术无数」）；1.10 开方在 ℂ 圆满（任何非零数恰 n 个 n 次方根）；例12 开方的等级决定尺规可作的等级（高斯分圆）。到第四章，幂级数将把「开方」再升一层——函数的无穷展开即「无限次开方逼近」（4.1 导引）。少广的精神从未离场：每一层「不可能」的边界，都是下一层风景的门。
陈省身（1911–2004）晚年多次谈及复数与复几何的「别样风景」。他曾写道，复数与复分析给他一个强烈印象：「复的结构比实的丰富得多」——同一个方程、同一片空间，带上复结构，定理立刻变多、变美（例如复流形上许多实情形困难的问题自动简化）。他把这归于一点：复数把旋转（几何）与代数运算焊在了一起，于是代数命题自动携带几何直觉，几何命题自动获得代数工具。本册第一章 1.6「乘法即旋转伸缩」正是这条长路的起点。
历史的回声也支持这个判断。Wessel（1797，测绘员）与 Argand（1806）给复数画上箭头，高斯把它说破（「若不从几何看，虚数只是符号游戏」）；Riemann（1851）把函数论的舞台整个搬上球面与曲面——多值函数从此住在黎曼曲面上而非符号堆里；而陈省身本人的工作（Gauss–Bonnet 定理的内蕴证明、复矢量丛的陈类）正是这条「回归几何」长路在二十世纪的延伸：代数不变量背后站着几何。
方法表（考试即查）：除法实化 → 乘共轭；高次幂 → 指数形式；解 zn ＝ w → 角除 n、摆满一圈；三角恒等式 → 复数乘法比实虚部；几何条件 → 距离写模、方向写指数；模估值 → 三角不等式 ＋ 等号点。
通往下一章的三根线头：①z 从「常量」变「变元」（第二章）；②「乘 i ＝ 旋转」将升级为「解析函数＝局部旋转伸缩」；③单位圆将继续加戏——第三章在圆周上积分，第六章在圆盘上映射。
第一章 · 思想卡
ℕ → ℤ：牺牲「最小数的存在」，换来减法封闭。ℤ → ℚ：牺牲「离散的隔离」（数挨着数），换来除法封闭。ℚ → ℝ：牺牲「每个数可写出来」（有理表达），换来极限封闭——分析学才有可能。ℝ → ℂ：牺牲「大小与顺序」，换来代数封闭与旋转几何。
每一次扩张的句式都是：旧规则部分失效，新能力整体登场，而核心算法（四则、逼近）原样保留。刘徽「以面命之」的态度——不把新数当敌人，把它接进账本——是全部五次扩张共同的东方方法论。
复世界的「失去序」值得专门停一停：z1 ＜ z2 这句话在 ℂ 里没有意义。取而代之的是两个「可测的替代品」——模（大小感）与辐角（方向感）。实分析靠「大小」组织一切（单调、上下界、夹逼），复分析则靠「模与辐角」重组一切：最大模原理（3.16）替代最值直觉，辐角原理（5.12）替代符号变化直觉。旧王退位，新臣登基。
一句话带走：扩张不是「修补旧世界的漏洞」，而是「换一个更富饶的世界重写全部规则」——复分析的别样风景，正始于这次换世界。
任务：从两个独立方向理解 eiθ ＝ cosθ ＋ i·sinθ，体会「一个公式，多副身体」。
讲法 A（运动学讲法，本章可用） 设 u(t) ＝ eit。按指数律：u′(t) ＝ i·u(t)。「乘 i」＝ 逆转 90°（1.6），于是 u′ 永远与 u 垂直且等长——速度永远垂直于位置的运动是什么？匀速圆周运动。出发时 u(0) ＝ 1，故 u(t) 恰是单位圆上从 1 出发逆时针走 t 弧长的点 ＝ cos t ＋ i·sin t。∎（此讲法把微分方程当作定义——严格化到第三章：导数与微分方程在 ℂ 的说法。）
讲法 B（级数讲法，正文 1.11 的严格化预告） eiθ 按幂级数展开，i 的幂按 4 循环（i, −1, −i, 1），奇偶项自动分成 cos 与 sin 两个实级数。此讲法的严格性依赖于「复幂级数可以逐项重排」——第四章 4.3–4.6 的内容，届时回头补一张「欠条」。
挑战要求：① 用讲法 A 复述欧拉恒等式 eiπ ＋ 1 ＝ 0（走到半圈即 −1）；② 用讲法 B 推 sin θ 的级数前四项；③ 找出讲法 A 中「速度垂直于位置 ⟹ 匀速圆周」的初等证明（|u(t)|2 求导为零）。④ 一句话说明两条讲法各自把「严格性」欠给了本册哪一章。
④ 的答案：A 欠第三章（复导数与微分方程），B 欠第四章（幂级数理论）。一本教材的目录，就是这些「欠条」的账本。
背景 x3 ＋ px ＋ q ＝ 0 的 Cardano 根：
x ＝ ∛(−q/2 ＋ √Δ) ＋ ∛(−q/2 − √Δ)， Δ ＝ (q/2)2 ＋ (p/3)3。
不可约情形：Δ ＜ 0 但方程有三条相异实根（判别式 4p3 ＋ 27q2 ＜ 0）。此时 √Δ 是纯虚数——公式强迫在实数的战场上使用虚数，而三条实根就在终点等。
挑战任务：① 对 x3 − 15x − 4 ＝ 0（即 1.1 的方程，Δ ＝ −484）验算三实根为 4、−2 ＋ √3、−2 − √3（韦达或因式分解 (x − 4)(x2 ＋ 2x − 3)·… 注意 (x−4)(x2 ＋ 4x ＋ 1) 之辨，分解核对）；② 用 1.10 的方根公式计算 ∛(2 ＋ 11i) 的三支，证明其中两支之和给出 x ＝ −2 ＋ √3 与 x ＝ −2 − √3；③ 写 200 字短评：为什么说「虚数是被『求出实根』这个纯实数任务逼上舞台的」？
② 提示：2 ＋ 11i ＝ 125∠(arctan(11/2)) 不便；改从答案倒推——(2 ＋ i)3 ＝ 2 ＋ 11i（验：8 ＋ 12i·… 自己展开）。故一支立方根是 2 ＋ i，另两支 ＝ (2 ＋ i)·ζ、(2 ＋ i)·ζ2（ζ 三次单位根）。③ 参考要点：实系数三次方程的根结构（三实根）超出了实数符号系统的表达能力——必须「借道」ℂ 才能写出它们。这就是 0.2 说的第二次「以面命之」。
实验目的：用眼 confirming「乘 w ＝ 放大 |w| 倍、旋转 arg w」。以下 SVG 是「快门连拍」：同一只小鸟图案乘上 w ＝ ∠θ（θ 逐格增大）与 w ＝ 0.9∠θ（边转边缩）的六连拍。
动手延伸：① 连拍 12 格（θ 步长 π/6）画出完整一圈，验证第 12 拍与第 0 拍重合（e2πi ＝ 1）；② 把下排改 |w| ＝ 1.1，说出与 0.9 的对偶关系；③ 用手机计算器（复数模式或手算）逐拍验证小鸟「尾尖」坐标恰为 wk·(26, 0) 的实虚部。
一、基础四问（每题 10 分，30 分钟闭卷）
1. 计算 (2 − i)/(1 ＋ 3i) 并写成指数形式。
2. 解方程 z4 ＝ 1 ＋ i（四支全写）。
3. 证明：(z1z2)‾ ＝ z̄1z̄2（按有序对定义或 x ＋ iy 展开皆可）。
4. 把「以 c 为圆心、过 a, b 两点的圆」写成复数条件，并判断 z0 ＝ 3 ＋ 4i 是否在 |z − 1 − i| ＝ 5 之内。
评讲：1. 分母共轭实化，(2 − i)(1 − 3i)/10 ＝ (−1 − 7i)/10；模 1/√2·√50/… 按 |分子|/|分母| 复核（√5/√10 ＝ 1/√2）。2. 1 ＋ i ＝ 21/2∠(π/4)，四根 ＝ 21/8∠(π/16 ＋ kπ/2)。3. 展开即可，注意「共轭保持加乘」的结构——这叫 C 上的对合自同构。4. 条件 |z − c| ＝ r 且 |a − c| ＝ |b − c| ＝ r；z0：|3 ＋ 4i − 1 − i| ＝ |2 ＋ 3i| ＝ √13 ＜ 5，在内。
二、进阶两问（每题 15 分）
5. 已知实系数三次方程 x3 ＋ ax ＋ b ＝ 0 有一根 z0 ＝ 1 − i，求 a, b 须满足什么？（提示：虚根成对 ⟹ (x − z0)(x − z̄0) ＝ x2 − 2x ＋ 2 是因式；再配一次实因式。）
6. 用单位根证明：1·2·…·无理；改为——证明 ∏k=1n−1(1 − ζk) ＝ n（ζ ＝ ∠2π/n，对照例6③ 的 n ＝ 7 情形）。
评讲：5. 虚根成对给二次因式 x2 − 2x ＋ 2，设第三根 r ∈ ℝ：比较系数得 r ＝ −2 ⟹ b ＝ −2r ＝ 4、a ＝ 2 − 2r·… 完整算：(x2 − 2x ＋ 2)(x − r) ＝ x3 − (r ＋ 2)x2 ＋ (2r ＋ 2)x − 2r；无 x2 项 ⟹ r ＝ −2；a ＝ 2(−2) ＋ 2 ＝ −2，b ＝ 4。6. 取 x0 ＝ 1：zn − 1 ＝ ∏(z − ζk)（k ＝ 0…n−1）；除以 (z − 1) 得 zn−1 ＋ … ＋ 1 ＝ ∏k=1n−1(z − ζk)；令 z ＝ 1 即 n。∎
评分与过关线：80 分过关；未过关者重做错题对应讲义小节（按复盘表错型定位），并补做习题课五、七各一题。过章仪式：在本章标题旁写上日期与一句话心得——第一章毕业，第二章去见「会旋转伸缩的函数」。
实分析里，「可导」是件平常事：f(x) ＝ x2 可导、|x| 除一点外可导、连续函数「大多数」可导。到了 ℂ，同一个词要重新称量。看函数 f(z) ＝ z̄：它把平面沿实轴照镜子，x 坐标、y 坐标都是多项式——用实分析的眼光看，它是 ℝ2 到 ℝ2 的无穷光滑映射，好得不能再好。可它马上要被判处「处处不可导」（2.2 例证）。
差别在哪里？实可导只要求「用一条直线近似」：f(x0 ＋ h) ≈ f(x0) ＋ a·h，斜率 a 是一个实数。复可导要求「用一个相似变换近似」：f(z0 ＋ h) ≈ f(z0) ＋ a·h，这里 a 是一个复数，而「乘一个复数」＝ 旋转 ＋ 伸缩（1.6–1.7 的几何）。平面上一般的线性近似是「转 ＋ 缩 ＋ 挤扁」（2×2 任意矩阵），而相似变换不许挤扁、不许剪切——方向被一个复数 a 一揽子锁定。一次复可导，等于要求近似在所有方向上步调完全一致。这就是标准的重写：从「有切线」升格为「会旋转伸缩」。
本章路线：定义与解析性（§2.2–2.4）→ C–R 方程：可导的坐标账（§2.5–2.6）→ 实复对照专页（§2.7）→ 调和函数（§2.8–2.9）。先立一句总纲：复分析的两大支柱——「解析函数的刚性」与「积分的圆周魔法」——本章立第一根，第三章立第二根。
定义（复导数） f 在 z0 处可导，若极限
f′(z0) ＝ limh→0 f(z0 ＋ h) − f(z0)h
存在，其中 h 是复数——h 可以从平面上的任何方向趋于 0。
公式与实分析一字不差，差别全在「h 的走法」：实轴上 h 只能左右两个方向来，平面上 h 有无穷多个方向，极限要求它们殊途同归。先看两例。
例 A f(z) ＝ z2：差商 ＝ 2z0 ＋ h → 2z0，各方向一致，f′(z0) ＝ 2z0。✓
例 B f(z) ＝ z̄ 在 z0 ＝ 0：差商 ＝ h̄/h。取 h 沿正实轴 → 差商 ＝ 1；取 h 沿正虚轴 → h ＝ it，h̄ ＝ −it，差商 ＝ −1。两个方向给出 1 与 −1，极限不存在。处处同理（例1）：z̄ 处处连续、处处「实光滑」，却处处不可复导。
一个差商把 z̄ 判了死刑，这个 h̄/h 值得盯着看：h ＝ reiθ 时 h̄/h ＝ e−2iθ——极限值随方向打转。凡是表达式中冒出 z̄ 的函数（z̄、|z|2 ＝ zz̄、Re z、Im z…），差商都会带上这个方向因子，通通不可导。这是一条可立刻使用的判别刀。
定义（解析函数） 设 Ω 是 ℂ 的开集。若 f 在 Ω 的每一点都可导，称 f 在 Ω 上解析（analytic；亦称全纯 holomorphic，记 f ∈ H(Ω)）。在整个 ℂ 上解析的函数称整函数。
为什么要「开集上处处」而不是「一点可导」？因为复分析的威力全部来自点与点的联动：一点可导几乎不约束函数（z̄ 之外随便造），一片开集上处处可导则是极强的整体条件——第三章 Cauchy 定理、第四章幂级数展开、第六章共形映射，全是这片「处处」的复利。单点可导的函数在复分析里几乎没有戏份，这与实分析（逐点研究可导性）是研究纲领层面的分岔。
解析函数的代数封闭性照搬实分析，逐条验证差商即可：
例：z2 ＋ 1 整函数；1/(z2 ＋ 1) 在 ℂ ∖ {±i} 上解析——奇点（±i 这样的失效点）成为研究的主角之一，第五章留数理论专管它们的「账目」。
四则法则与链式法则的证明与实分析逐字相同（差商的代数拆解不依赖维数），放心照搬：
但有一条「看似显然」的规则在 ℂ 里彻底失效，必须单独立牌：
同样的陷阱潜伏在「复合」里：复合链上只要有一环不是解析函数，链式法则就断了。例如 g(z) ＝ |z|2 ＝ z·z̄：形式上像多项式，实际处处不可导（除 0 一点）——因为 z̄ 这环是「非解析环」。判函数解析，先扫一遍表达式：只含 z（不含 z̄、Re z、Im z、|z|）的有理组合，必解析。
把 f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y) 的可导性翻译成 u、v 的坐标语言，就得到全章的主角。沿两条特殊的方向取差商：
沿实轴（h ＝ t ＋ 0i）：f′ ＝ limt→0 [u(x0＋t, y0) − u(x0, y0)]/t ＋ i·[v(x0＋t, y0) − v(x0, y0)]/t ＝ ux ＋ ivx；
沿虚轴（h ＝ it）：f′ ＝ limt→0 [v(x0, y0＋t) − v(x0, y0)]/t − i·[u(x0, y0＋t) − u(x0, y0)]/t ＝ vy − iuy。
两者必须相等（都是 f′），比较实虚部：
Cauchy–Riemann 方程（直角坐标）
ux ＝ vy， uy ＝ −vx， 此时 f′ ＝ ux ＋ ivx ＝ vy − iuy。
定理（必要性＋充分性） ① f 可导 ⟹ C–R 在该点成立（上面的推导，无条件）。② 反之，若 ux, uy, vx, vy 在点 (x0, y0) 存在且连续，且 C–R 成立，则 f 在 z0 可导。（证明用二元 Taylor 微分式，附录式给出：Δu ＝ uxΔx ＋ uyΔy ＋ o(ρ) 等，代入差商即得。）
C–R 的几何读法：向量场 (ux, uy)（u 的梯度）与 (vx, vy)（v 的梯度）满足 长度相等、点积为零——|∇u|2 ＝ ux2 ＋ uy2 ＝ vy2 ＋ vx2 ＝ |∇v|2；∇u·∇v ＝ uxvx ＋ uyvy ＝ vyvx − vxvy ＝ 0。两条等值线族处处正交且等速——「旋转伸缩」近似的坐标指纹。
对圆周、扇形上的问题，C–R 换极坐标 (r, θ)（z ＝ reiθ，u ＝ u(r, θ)）更顺手。链式法则换元（x ＝ r cosθ, y ＝ r sinθ），整理得：
C–R 方程（极坐标）
ur ＝ 1r vθ， vr ＝ −1r uθ， 此时 f′ ＝ e−iθ(ur ＋ ivr)。
（验证用例：f(z) ＝ z ＝ reiθ，u ＝ r cosθ, v ＝ r sinθ：ur ＝ cosθ，vθ/1·(1/r)·r·… 即 vθ ＝ r cosθ，除以 r 得 cosθ ✓；uθ ＝ −r sinθ，−vr ＝ −sinθ·… vr ＝ sinθ，故 −uθ/r ＝ sinθ ✓。完整推导留作挑战一。）
保角预告（第六章兑现）：设 f 解析且 f′(z0) ≠ 0。f 在 z0 附近的近似是「乘 a ＝ f′(z0)」——旋转 arg a、伸缩 |a|。旋转把任何两条曲线的夹角原封不动地搬过去：解析映射（f′ ≠ 0）处处保角。用 C–R 说同一件事：u 的等值线族与 v 的等值线族正交（2.5 末），映过去的两族曲线依然正交——角度是解析映射的「不变货币」。
这不是夸张，本章就能看到它的第一层身体：f ＝ u ＋ iv 解析 ⟹ u、v 过 C–R ⟹ u 满足 Laplace 方程（2.8，需 u、v 二阶偏导连续）⟹ u 是调和函数 ⟹ 由椭圆型方程的正则性（此处引用实分析结果），u、v 自动 C∞。一次复可导，实部虚部立刻无限光滑——台阶在 ℂ 里塌缩成一级。
至于「f 自己无穷可导、且处处有收敛的 Taylor 展开」，需要第三章 Cauchy 积分公式做杠杆，第四章收网：到时我们将证明 解析 ⟺ 幂级数，连「解析」这个词都不再需要区分「实解析」与「复解析」——在 ℂ 上它们是同一个概念。3.17 将给出关键中转（Cauchy 定理），4.9 专页正式清算 e−1/x2 之墙。
定义（调和函数） u(x, y) 有二阶连续偏导且满足 Laplace 方程
Δu ＝ uxx ＋ uyy ＝ 0
则称 u 调和（Δ 读 delta，亦记 ∇2u）。
定理 f ＝ u ＋ iv 解析（u、v 二阶偏导连续）⟹ u、v 都是调和函数。
证 C–R：ux ＝ vy，uy ＝ −vx。第一式对 x 求导、第二式对 y 求导，相加：uxx ＋ uyy ＝ vyx − vxy ＝ 0（二阶偏导连续时求导次序可交换）。∎
两个初等样张：u ＝ x2 − y2（uxx ＋ uyy ＝ 2 − 2 ＝ 0 ✓）；u ＝ ex cos y（uxx ＝ ex cos y，uyy ＝ −ex cos y，相加为零 ✓）。对照第一章：z2 ＝ (x2 − y2) ＋ 2xyi、ez ＝ ex cos y ＋ i·ex sin y——解析函数的实部虚部自带这两张面孔，虚部 v ＝ 2xy 与 ex sin y 也都可逐个验算调和。反例同样说明问题：u ＝ x2（Δu ＝ 2 ≠ 0）不调和，也确实配不出解析的虚部。
调和函数在实分析里就是大人物：稳态温度场、静电势、无旋无源的流速位势，全部服从 Laplace 方程。复分析等于给全体调和函数装上「共轭」，把它们成对地编入解析函数的名册——实分析里各自为战的 PDE 解，在 ℂ 里成了同一场风景的两半。这条通道第三章将反哺积分学（调和函数的均值性质），第六章长成 Dirichlet 问题的几何解法。
定义（共轭调和） u、v 都调和且满足 C–R，则称 v 是 u 的共轭调和函数，f ＝ u ＋ iv 解析。
定理（局部存在性） 单连通区域 D 上，调和函数 u 必有共轭调和 v（差一个常数）；D 多连通时可能不存在（挑战二有反例）。
构造术（偏积分法） C–R 给出 v 的两个偏导：vy ＝ ux，vx ＝ −uy。先对 y 积分得 v（带一个 x 的待定函数 φ(x)），再用第二式定 φ。演示：u ＝ x2 − y2。
① vy ＝ ux ＝ 2x ⟹ v ＝ 2xy ＋ φ(x)；
② vx ＝ 2y ＋ φ′(x) ＝ −uy ＝ 2y ⟹ φ′ ＝ 0 ⟹ φ ＝ C。
故 v ＝ 2xy ＋ C，f(z) ＝ (x2 − y2) ＋ i(2xy) ＝ z2 ✓——构造出来的解析函数恰好还原成第一章的老朋友。实部是半张脸，共轭调和把另半张补全。注意「差一个常数」：v 加常数不破坏 C–R，对应 f 加常数——解析函数由其实部「定到差一个常数」，这个唯一性口吻将在 2.16 长成完整定理。
定义（指数函数） 对 z ＝ x ＋ iy，定义
ez ＝ ex (cos y ＋ i·sin y)。
要求①在实轴上 ex ＝ 实指数（y ＝ 0 时 cos0 ＋ i·sin0 ＝ 1 ✓），②满足加法定理 ez1＋z2 ＝ ez1·ez2——两条件联合锁定唯一性：任何满足①②的函数必等于此定义（习题课六）。
性质清单（全部由定义与第一章几何直读）：
于是 ez 是整函数，且是微分方程 f′ ＝ f 的复数版主角——2.1 的「标准重写」下，它依然是那个「导数等于自己」的特殊存在。定义里的括号 (cos y ＋ i·sin y) 正是第一章欧拉公式的 eiy，所以此定义一句话可记：ez ＝ ex · eiy——横坐标管大小，纵坐标管方向。
定义直读：
2πi 是 ez 的周期——而且是纯虚周期！这在使用「指数」一词三百年的数学史上是头一遭：e 的指数函数原来「转圈」。更完整的账：周期全体恰为 2πik（k ∈ ℤ），因为 |ez1| ＝ |ez2| ⟹ x1 ＝ x2，Arg 相同 ⟹ y1 − y2 ∈ 2πℤ。
周期性的几何形象：ez 把整个 z 平面按「横条」打包——每条高为 2π 的水平带状域
被 ez 一一映满挖掉原点的平面 ℂ ∖ {0}（横向 ℝ 映成模 ex ∈ (0, ∞)，纵向 (−π, π] 映成辐角一周）。在单条带内 ez 是单射（可放心开对数），跨带则无限重叠——周期性就是「重叠的规则」。
解方程 ew ＝ z：模账 eRe w ＝ |z| ⟹ Re w ＝ ln|z|；角账 Im w ＝ Arg z——而辐角天生多值（差 2π 的整数倍）。于是：
定义（对数，多值）
log z ＝ ln|z| ＋ i·Arg z ＝ ln|z| ＋ i(arg z ＋ 2πk)， k ∈ ℤ。
每个 z ≠ 0 有无穷多个对数值，彼此相差 2πi 的整数倍；z ＝ 0 无对数（模为零、辐角无意义）。
两条「实直觉」在此地变样：① log(z1z2) ＝ log z1 ＋ log z2——两边都是集合，等式的正确读法是「左边集合 ＝ 右边集合（模 2πi）」；例如取 z1 ＝ z2 ＝ −1：log(−1) 的代表值 iπ，而 iπ ＋ iπ ＝ 2πi ＝ log 1 的一个成员 ✓。② elog z ＝ z 恒成立，但 log(ez) ＝ z ＋ 2πki——只差一点，这一点正是周期性的幽灵。
「多值」从哪里来？从绕圈来：辐角不是位置的函数，而是「位置 ＋ 转数」的函数。观察 Arg 沿一条绕原点的闭路走一圈：回到出发点，辐角却涨了 2π——绕圈的代价，术语叫 monodromy（单值性破缺）。2.13 的「割破平面」就是给这个幽灵划地盘。
定义（分支） 区域 D 上「单值、连续、且在该处解析」的一支对数记 L(z)，称 D 上的一个（对数的）分支。任两支相差 2πi 的常数倍数（同域上）。
哪里能取到分支？⟸ 绕不开原点：只要 D 里有绕 0 一周的闭路，连续辐角就会涨出 2π，单值性破产。对策直截了当——割破平面：把负实轴（含 0）整个挖掉，
主值分支在 D 上解析，导数 (Log z)′ ＝ 1/z（用 C–R 验或反函数思想；习题课七）。割线不是唯一的：从 0 引任何一条到 ∞ 的射线皆可当「刀口」，各有各的辐角区间——分支的选择 ＝ 辐角区间的选择。挖掉的那个点 0 称支点：所有多值性都拧在它身上；第四章将看到支点的「真身」是幂级数展开无法绕过的奇点。
借对数与指数定义一般的幂——za ≔ ea·log z。对数的 k 重身份让 za 分头变身，身份数由 a 决定：
每一支（取定 log 的分支后）都解析，且导数 ＝ a·za−1（链式法则：d/dz eaL(z) ＝ eaL·a/z ＝ a za / z）。注意 za 的「指数律」只在同一支内成立：za·zb ＝ za＋b 的两边可能落在不同的支上——又一条「实直觉待修正」。
一个赏心悦目的特例先睹为快：ii 是正实数（无穷多个候选）。i ＝ 1·ei(π/2＋2πk)，故
ii ＝ ei·log i ＝ ei·i(π/2 ＋ 2πk) ＝ e−(π/2 ＋ 2πk)， k ∈ ℤ——全体正实数，主值 e−π/2 ≈ 0.208。
「虚数的虚数次幂」不虚——四个 i 叠在一起反而落地成实。这类「穿越多值性后的意外简洁」在第四章 Fourier 分析里会成批出现。
定义（复三角） sin z ＝ eiz − e−iz2i， cos z ＝ eiz ＋ e−iz2；其余四个由商与倒数定义。
实轴上与老三角重合（欧拉公式反用）；在 ℂ 上由指数的加法定理立刻继承全部恒等式：sin2z ＋ cos2z ＝ 1、sin(z1±z2) 的展开式、周期 2π——实世界验证过的公式全部幸存，因为它们都是指数加法定理的代数推论。加法定理同时送来一对新亲戚（实轴上只是记号游戏，在 ℂ 上是正经解析函数）：
由换装式立刻读出本页最重要的一句：|sin(x ＋ iy)|2 ＝ sin2x ＋ sinh2y——y 离开实轴一步，sinh y 就指数起飞，所以 sin z 无界。实分析里 |sin x| ≤ 1 的铁律，是「囚禁在实轴上」的巧合；ℂ 里 sin z 自由了，能涨到任意高（sin(iy) ＝ i·sinh y，纯虚方向上指数增长）。零点倒是守规矩：sin z ＝ 0 ⟺ z ＝ kπ（例10），实零点一个不多一个不少——「公式幸存」与「不等式破产」两件事分头记账。
先记一个马上能用、第三章才给完整证明的定理（先用后证，账记 3.15）：
唯一性定理（零点型，预告版） f, g 在区域 D 上解析。若 f − g 的零点集在 D 内有聚点（一个被无穷多零点包围的点），则 f ≡ g 于 D。
「聚点」的分量掂一掂：sin z 与 0 这两个整函数在 z ＝ 0, ±π, ±2π… 相遇——零点集 {kπ} 在 ℂ 内没有聚点（点与点相距 π，谁也包围不了谁），所以 sin z 不必是 0，相安无事。但如果两个整函数在 0, 1/2, 1/3, 1/4, … 相遇——零点集以 0 为聚点——则它们恒等。一小串趋于定点的点，锁死两个整函数的全部关系。
由此得两条金规：① 解析延拓唯一——在实轴上已知的解析函数（如 sin x）向 ℂ 延拓，路径只有一条；2.15 用指数定义的 sin z 不是「一种选择」而是「唯一选择」。② 检验恒等式只需一处开集——要证两个解析函数的恒等式，在实轴上成立即可（实轴每点都是聚点丛中的点）：第一章大量「先在实轴上验证」的恒等式由此获得 ℂ 全境通行证，欠条今天兑现。
把 f ＝ u ＋ iv 的实部读作速度位势 φ、虚部读作流函数 ψ（u ＝ φ, v ＝ ψ），则解析函数 f 完整编码一个平面理想流场：流速 V ＝ ∇φ ＝ (φx, φy)。C–R 方程在物理上自动兑现两条守律：
「等势线族（φ ＝ const）与流线族（ψ ＝ const）处处正交」（2.5–2.9 的几何）在物理上正是水沿最陡下降方向流、垂直穿过等势面。几个现成标本：f(z) ＝ z2 是直角内的绕流（图 2-4 的两族双曲线正是等势线与流线）；f(z) ＝ z ＋ 1/z 是圆柱绕流——航空升力理论的起点；第六章 Zhukovsky 变换将把圆柱「吹」成机翼，升力公式一页算清。
离散⇄连续接口：电气工程的工程师不画流线，画复电位——同一套数学，静电场（E ＝ −∇φ）与直流电阻网络的连续极限。解析函数是「二维无耗散场」的通用语法：哪里有无旋无源的二维场，哪里就有 C–R 方程值守。
方法表（考试即查）：判可导 → 差商直接算（h 沿两方向）或扫 z̄／Re／Im；判解析 → 先验 C–R、再验偏导连续；由 u 造 f → 偏积分求 v；极坐标问题 → 极坐标 C–R；解 ez ＝ w → 模定实部、角定虚部（＋2πk）；幂多值 → 先写 log z 的全体值；恒等式过境 → 实轴成立即全境成立（2.16）。
通往下一章的三根线头：①「局部性质」（C–R、调和）将升格为「整体性质」——第三章问「沿闭路积一圈，账怎么结」；②绕圈涨 2π 的幽灵（2.12）将在辐角原理里变成数零点的机器（5.12）；③单位圆连续加戏：第三章在圆周上积分、第四章在圆盘上展开、第六章在圆盘上映射——「割圆」主线的中场休息结束，下一章开球。
例1 ① 证明 f(z) ＝ z̄ 处处不可导；② 求 g(z) ＝ |z|2 ＝ zz̄ 的可导点集。
解 ① 在任一点 z0，差商
z̄0＋h̄ − z̄0h ＝ h̄h ＝ e−2iθ （h ＝ reiθ），
取 h 沿正实轴（θ＝0）得 1，沿正虚轴（θ＝π/2）得 −1，极限不存在。z0 任意 ⟹ 处处不可导。∎
② g 的差商：
|z0＋h|2 − |z0|2h ＝ z0h̄ ＋ z̄0h ＋ |h|2h ＝ z̄0·h̄h ＋ z̄0 ＋ h̄h·h1·…（末项 ＝ h̄）
h→0 时 |h|2/h ＝ h̄ → 0 消失，幸存项 z̄0·(h̄/h) 随方向打转——除非系数 z̄0 ＝ 0。故仅在 z0 ＝ 0 可导（导数 0），其余处处不可导；而且 0 不是开集的点，|z|2 在任何开集上都不解析——「一点可导」与「解析」的鸿沟实物展览。
例2 对 f(z) ＝ z2 ＝ (x2 − y2) ＋ i·2xy 验证 C–R，并分别用差商、坐标公式、极坐标公式求 f′。
解 u ＝ x2 − y2，v ＝ 2xy：ux ＝ 2x ＝ vy ✓，uy ＝ −2y ＝ −vx ✓。四偏导处处连续 ⟹ 全平面解析。
写法一（差商）：(z0＋h)2 − z02 ＝ 2z0h ＋ h2，除以 h 得 2z0 ＋ h → 2z0。
写法二（坐标公式）：f′ ＝ ux ＋ ivx ＝ 2x ＋ 2yi ＝ 2z。
写法三（极坐标）：z ＝ reiθ 时 u ＝ r2cos2θ, v ＝ r2sin2θ：ur ＝ 2r cos2θ，vθ/r ＝ 2r cos2θ ✓；vr ＝ 2r sin2θ，−uθ/r ＝ 2r sin2θ ✓。f′ ＝ e−iθ(ur ＋ ivr) ＝ e−iθ·2r·e2iθ ＝ 2reiθ ＝ 2z。
三法同款 2z——与实分析 d(x2)/dx ＝ 2x「形式相同」，但每条路都必须先过关 C–R（或差商收口）才配下结论。
例3 求解析函数 f ＝ u ＋ iv，使 u ＝ ex cos y（并核对其调和性）。
解 调和核对：uxx ＝ ex cos y，uyy ＝ −ex cos y，和为零 ✓。
构造：C–R 给 vy ＝ ux ＝ ex cos y。对 y 积分：
v ＝ ex sin y ＋ φ(x)。
再用 vx ＝ −uy：vx ＝ ex sin y ＋ φ′(x)，而 −uy ＝ ex sin y，故 φ′ ＝ 0，φ ＝ C。取 C ＝ 0：
f(z) ＝ ex cos y ＋ i·ex sin y ＝ ex(cos y ＋ i·sin y) ＝ ez。
又是老朋友：给「实部 ＝ ex cos y」，唯一补全（差常数）的就是 ez——2.9 预告的「由半张脸复原全身」，第二件实物。
例4 ① 验证 v(x, y) ＝ x3 − 3xy2 调和，并求其共轭调和 u 与对应的解析函数；② 判定 u(x, y) ＝ x2 ＋ y2 是否可能是某解析函数的实部。
解 ① vxx ＝ 6x，vyy ＝ −6x，Δv ＝ 0 ✓。构造 u：ux ＝ vy ＝ 3x2 − 3y2 ⟹ u ＝ x3 − 3xy2 ＋ φ(y)；uy ＝ −6xy ＋ φ′(y) ＝ −vx ＝ −3x2 ＋ 3y2？——不对，等一下：−vx ＝ −(3x2 − 3y2)。复查：v ＝ x3 − 3xy2，vx ＝ 3x2 − 3y2，故 −vx ＝ −3x2 ＋ 3y2；而 uy ＝ −6xy ＋ φ′(y)。令 −6xy ＋ φ′ ＝ −3x2 ＋ 3y2：出现 x2 项，无解？！问题出在角色：x3 − 3xy2 恰是 (x ＋ iy)3 ＝ z3 的实部（z3 ＝ x3 − 3xy2 ＋ i(3x2y − y3)）。所以把 v 当实部用：虚部 w ＝ 3x2y − y3（验 Δw ＝ 6x − 6x ＝ 0 ✓，C–R：wy ＝ 3x2 − 3y2 ＝ vx ✓）。故 f ＝ v ＋ iw ＝ z3。
② u ＝ x2 ＋ y2 ＝ |z|2：Δu ＝ 4 ≠ 0，不调和 ⟹ 不可能是任何解析函数的实部（除了在孤立点——|z|2 例1 已审）。
例5 计算 e1＋iπ/3，并写出其模、辐角与三角形式。
解 按定义 ez ＝ ex(cos y ＋ i·sin y)，x ＝ 1, y ＝ π/3：
e1＋iπ/3 ＝ e(cos π3 ＋ i·sin π3) ＝ e(12 ＋ √32 i) ＝ e2 ＋ √3·e2 i。
模 ＝ ex ＝ e；主辐角 ＝ π/3；三角形式 ＝ e∠(π/3)。验模：|(e ＋ √3 e·i)/2|2 ＝ e2(1 ＋ 3)/4 ＝ e2 ✓。
顺手两连：eiπ/2 ＝ i（90° 转）；e−2＋iπ ＝ −e−2（负实数！虚部 π ＝ 转半圈）。凡指数的虚部落在 π 的整倍数上，结果必是实数——「π 的位置＝半圈的账」是快速心算的锚点。
例6 解方程 ez ＝ −1，并总结 ez ＝ w (w ≠ 0) 的一般解法。
解 −1 ＝ 1·eiπ（模 1、角 π）。设 z ＝ x ＋ iy：模账 |ez| ＝ ex ＝ 1 ⟹ x ＝ 0；角账 y ＝ π ＋ 2πk。故
z ＝ (2k ＋ 1)πi， k ∈ ℤ——实部唯一、虚部整队，无穷多解。
一般法：ez ＝ w ⟺ z ＝ ln|w| ＋ i(arg w ＋ 2πk) ＝ log w 的全体值。ez ＝ w 有解 ⟺ w ≠ 0（ez 永非零，0 是它永远的缺席者）；解集 ＝ 对数多值性的镜像。
对照实分析：ex ＝ −1 在 ℝ 无解；在 ℂ 解无穷多且全是纯虚数。同一条方程，从「空手而归」到「整队报数」——解的存在版图整体重画。
例7 写出 log(1 ＋ i) 的全体值，指出主值，并验证主值代回指数确实还原。
解 1 ＋ i ＝ √2·eiπ/4：ln|z| ＝ ln√2 ＝ 12ln2；主辐角 π/4。故
log(1 ＋ i) ＝ 12ln2 ＋ i(π4 ＋ 2πk)， k ∈ ℤ；主值 Log(1 ＋ i) ＝ 12ln2 ＋ π4 i。
还原验证：e主值 ＝ e(ln2)/2·eiπ/4 ＝ √2·(cos π/4 ＋ i·sin π/4) ＝ √2·(√2/2)(1 ＋ i) ＝ 1 ＋ i ✓。取 k ＝ −1 的值 e(ln2)/2ei(π/4−2π) ＝ 同一个点（转差一圈）✓。
几何图景：全体值在复平面上排成竖直等距点列（间距 2π）——对数的「多值」不是乱麻，而是一支整齐的虚轴仪仗队。
例8 ① 计算主值 Log(−1 ＋ i)；② 说明为何 Log(−1) 与 Log(−2) 在主值分支上无定义；③ 若改取「割线沿正实轴、Arg ∈ (0, 2π)」的分支，求 Log1(−1)。
解 −1 ＋ i ＝ √2·ei3π/4（第二象限，主辐角 3π/4 ∈ (−π, π) ✓）：
Log(−1 ＋ i) ＝ 12ln2 ＋ 3π4 i。
−1 ＝ eiπ，但主值分支的辐角区间是开区间 (−π, π)——π 本身被割线挖掉了！负实轴上的点在割破平面的 D ＝ ℂ∖(−∞, 0] 之外，Log 在那里根本不设定义（不是「取不到值」而是「没资格问」），Log(−2) 同样失格。③ 换刀口：取 Arg ∈ (0, 2π) 的分支后，−1 ＝ eiπ 且 π ∈ (0, 2π)，故 Log1(−1) ＝ iπ（虚部正好落在区间正中，宽裕合法）——换一刀口，负实轴上岸。
例9 按定义 za ＝ ea·log z 清点 zi 的全体值；并对 z ＝ i 求出全部值与主值。
解 z ＝ reiθ（θ 取主值）：log z ＝ ln r ＋ i(θ ＋ 2πk)，故
zi ＝ ei(ln r ＋ i(θ＋2πk)) ＝ e−(θ＋2πk)·ei·ln r， k ∈ ℤ。
全体值＝同一方向 ei·ln r 上、按公比 e−2π 缩放的无穷等比点列——永远不循环，全部落在一条从原点出发的射线上。
z ＝ i（r ＝ 1, θ ＝ π/2）：zi ＝ e−(π/2＋2πk)·ei·ln1 ＝ e−π/2 − 2πk——全是正实数（2.14 的预告在此落地）。主值 e−π/2 ≈ 0.2079。仪仗队这次不在虚轴上排竖列，而在正实轴上排成等比横队——「身份由指数决定」的活教材：i 是无理指数款，值无穷多且模以 e−2π ≈ 0.00187 的公比几何收缩。
例10 ① 证明 sin z ＝ 0 ⟺ z ＝ kπ (k ∈ ℂ 中实整数)；② 验证 sin(iy) ＝ i·sinh y 并求 |sin(1 ＋ i)|；③ 检查恒等式 sin2z ＋ cos2z ＝ 1 与「|sin z| ≤ 1」各自在 ℂ 上的命运。
解 ① eiz − e−iz ＝ 0 两边乘 eiz：e2iz ＝ 1，由例6 法（模账 2·Im(−z)… 即 |e2iz| ＝ e−2y ＝ 1 ⟹ y ＝ 0；角账 2x ＝ 2πk）得 z ＝ kπ，实整数列。∎
② sin(iy) ＝ (e−y − ey)/2i ＝ i·sinh y ✓。|sin(1 ＋ i)|2 ＝ sin21 ＋ sinh21（2.15 换装式）≈ 0.708 ＋ 1.381 ＝ 2.089，故 |sin(1 ＋ i)| ≈ 1.445 ＞ 1——离实轴一步就破界。
③ sin2z ＋ cos2z ＝ (eiz−e−iz)2/−4 ＋ (eiz＋e−iz)2/4 ＝ [4 − 0]/4 ＝ 1，恒等式幸存（纯代数推论）；|sin z| ≤ 1 破产（②与 2.15 的无界性）——「等式靠代数过海，不等式要重新办签证」的官方例证。
例11 设 g(x) ＝ e−1/x2（x ≠ 0），g(0) ＝ 0。① 证明 g 是 ℝ 上的 C∞ 函数且 g(n)(0) ＝ 0 对一切 n；② 说明 g 的 Taylor 级数在 0 处恒为零、不还原 g；③ 解释为何 g 「不可能」是任何整函数在实轴上的限制（用 2.16）。
解 ① x ≠ 0 处显然 C∞（指数光滑）。在 0 处归纳：x−2 → 0 比 x 的任何幂都快，g(x) ＝ e−1/x2 ≤ xN（任意 N，x 充分小），故 g′(0) ＝ lim g(x)/x ＝ 0；归纳假设 g(n)(0) ＝ 0，且 g(n)(x) ＝ Pn(1/x)·e−1/x2（Pn 多项式），同样压到零。∎
② g 在 0 的 Taylor 级数 ＝ 0 ＋ 0 ＋ … ＝ 0 ≠ g——C∞ 而「级数不认账」，实解析的门票比 C∞ 贵一档。
③ 反设 g ＝ F|_ℝ，F 整函数。则 F 在实轴上与 0 的取值有无穷多次相等（取一列 xn → 0，xn ≠ 0：F(xn) ＝ g(xn) ＞ 0——注意这不是零点！）——改用零点：h ＝ F − g？g 不是解析函数，构不成两个整函数的比较。正确论证：F 在实轴段 (−ε, ε) 上与 C∞ 函数 g 重合；由第四章将证的「解析 ⟺ 局部幂级数」，F 在 0 附近展开的幂级数若全系数为零（因 g(n)(0) 全为零 ⟹ F(n)(0) 全为零），则 F ≡ 0 于 0 的邻域，再由唯一性定理 F ≡ 0 于 ℂ，与 F(x1) ＝ g(x1) ＞ 0 矛盾。∎（第③步是「欠条」：严格化在 4.9 专页。）
例12 对下列函数，判定「在哪些点可导、在哪些区域解析」，并填入流程结论：
（a）f(z) ＝ z3 − 2z ＋ 1；（b）f(z) ＝ z̄·z2；（c）f(z) ＝ ez/(z2 ＋ 1)；（d）f(z) ＝ Log(z) 的主值分支；（e）f(z) ＝ x2 ＋ i·y2；（f）f(z) ＝ z·Re z。
解 逐个过「表达式扫描 → C–R → 解析域」流程：
总结论：六个函数四类命——整函数、带奇点的有理款、割域解析的分支款、「点态可导而全域不解析」的废案款。判解析问的是区域，不是点；流程表最后一栏永远填区域。
题 1 用差商直接判定 f(z) ＝ Re z 在何处可导。
提示：差商 ＝ Re(h)/h，沿实轴趋于 1、沿虚轴恒为 0——处处不可导。实部这一刀把方向账直接切崩。
题 2 f(z) ＝ z2·z̄，求可导点集。
提示：差商 ＝ (2z0z̄0h·…) 展开后幸存项含 z̄0(h̄/h)：仅 z̄0 ＝ 0，即 z0 ＝ 0（导数 0）。z2 是解析环、z̄ 是废环，一环废全链废（2.4）。
题 3 证明：f 可导于 z0 ⟹ f 连续于 z0；并说明「连续但不可导」的复函数比实分析更常见（z̄ 就是「处处连续处处不可导」的初等例子——实分析里同类人物是 Weierstrass 级数那类怪物）。
提示：f(z) − f(z0) ＝ [差商]·h → f′(z0)·0 ＝ 0。连续易、可导难的剪刀差在 ℂ 被拉到极致。
题 4 用 C–R 判定 f(z) ＝ xy ＋ i(x ＋ y) 的解析域。
提示：ux ＝ y，vy ＝ 1 ⟹ 需 y ＝ 1；uy ＝ x，−vx ＝ −1 ⟹ 需 x ＝ −1。可导仅一点 (−1, 1)，解析域 ∅。
题 5 设 f(z) ＝ x2 ＋ i·v(x, y) 可导于全平面，求 v，并写出 f′。
提示：C–R：vy ＝ 2x，vx ＝ 0 ⟹ v ＝ 2xy ＋ C；f′ ＝ 2x ＋ i·2y ＝ 2z。f(z) ＝ z2 ＋ iC——实部锁定后虚部只差常数，又一次「半张脸复原」。
题 6 证明：若 f ＝ u ＋ iv 在区域 D 解析且 u ≡ 常数，则 f ≡ 常数。
提示：ux ＝ uy ＝ 0 ⟹ C–R ⟹ vy ＝ vx ＝ 0 ⟹ v 常数。这个「实部退化 ⟹ 整体退化」的小定理是刚性的第一次亮相，第四章升级为开映射原理。
题 7 判定下列函数的解析域：(a) 1/(z4 ＋ 16)；(b) (z2 − 1)/(z − 1)；(c) z·z̄ ＋ z。
提示：(a) 分母零点 z4 ＝ −16 ＝ 16eiπ，四根 2ei(π/4＋kπ/2)——解析域 ℂ∖{四点}。(b) 在 z ≠ 1 解析，且等于 z ＋ 1（多项式）——「可去奇点」：补定义 f(1) ＝ 2 后整函数，第五章正式处理这类「假奇点」。(c) z·z̄ ＝ |z|2 废环 ⟹ 仅 0 可导，解析域 ∅。
题 8 设 f 解析于 D，证明 f̄（取共轭的函数 z ↦ overline{f(z)}）解析于 D ⟺ f′ ≡ 0 于 D。
提示：F ＝ f̄ 的偏导：U ＝ u, V ＝ −v；C–R 给 ux ＝ −vy 与 uy ＝ vx，与 f 的 C–R 联立 ⟹ ux ＝ uy ＝ vx ＝ vy ＝ 0。共轭是解析的「粉碎机」，除非函数是常数——又一记刚性。
题 9 构造一个「实、虚部都调和但函数不解析」的例子。
提示：u ＝ x2, v ＝ y2？不调和。取 u ＝ x2 − y2, v ＝ x2 − y2（都调和）：C–R 第一式 ux ＝ 2x vs vy ＝ 2y 不恒等 ⟹ 不解析。调和各自为战、C–R 才配对——「都好」不等于「般配」。
题 10 验证下列函数的调和性，调和者求共轭调和：u ＝ xy；u ＝ x3 − 3xy2；u ＝ x2 ＋ y − y2？逐一核对 Δu。
提示：u ＝ xy：Δ ＝ 0 ✓，共轭 v ＝ (y2 − x2)/2（vy ＝ y ＝ ux… 核对：ux ＝ y，vy ＝ y ✓；uy ＝ x，−vx ＝ x ✓），f ＝ xy ＋ i(y2−x2)/2 ＝ −(i/2)z2 ＋ …（用 z2 实虚部翻译）。u ＝ x3 − 3xy2：调和（例4 已审，f ＝ z3）。u ＝ x2 ＋ y − y2：Δu ＝ 2 − 2 ＝ 0 ✓ 也调和！共轭：vy ＝ 2x ⟹ v ＝ 2xy ＋ φ(x)，vx ＝ 2y ＋ φ′ ＝ −uy ＝ −(1 − 2y) ⟹ φ′ ＝ −1，φ ＝ −x。f ＝ x2 ＋ y − y2 ＋ i(2xy − x)。翻译成 z 的封闭式：试 (1 − i)z2 ＋ …？——展开 (1−i)z2 ＝ (1−i)(x2−y2 ＋ 2ixy) ＝ x2−y2＋2xy ＋ i(2xy−x2＋y2)，不对；留下用「消 z̄ 检验」完整收尾（方法卡④）。
题 11 证明：u 调和 ⟹ 多项式 P(x, y) ＝ ux2 ＋ uy2 不能有孤立的最大值点（内部）。
提示：这是「梯度模无内峰」——调和函数的最大值原理的梯度版（第三章 3.16 用最大模原理重证）。现阶段只需用 Δ(ux2 ＋ uy2) ＝ 2(uxx2 ＋ 2uxy2 ＋ uyy2) ≥ 0：梯度模平方是下调和的，内部最大 ⟹ 退化情形，结合刚性归结为 u 常数。
题 12 稳态温度场：圆环 1 ≤ |z| ≤ 2 内边界 |z|＝1 保持 0°、外边界保持 100°。验证 u ＝ A·ln|z| ＋ B 调和，并定 A、B。
提示：Δ(ln r) ＝ (1/r)·d/dr(r·(1/r)) ＝ 0（r＞0）✓。边界：A·0 ＋ B ＝ 0，A·ln2 ＋ B ＝ 100 ⟹ B ＝ 0, A ＝ 100/ln2。u ＝ 100·ln|z|/ln2——对数正是环域温度场的天然语法（它只差一步就Log z 的实部：u ＝ Re(100·Log z/ln2)），第三章均值性质将解释「为什么偏偏是对数」。
题 13 已知 u ＝ ex·(x cos y − y sin y)，求解析函数 f 以 u 为实部。
提示：先大胆猜：u 像是 z·ez 的实部——Re(z ez) ＝ Re((x＋iy)ex(cos y＋i sin y)) ＝ ex(x cos y − y sin y) ✓！f ＝ z ez。按偏积分术走一遍作对照：vy ＝ ux ＝ ex(x cos y − y sin y ＋ cos y − sin y)… 积分后 v ＝ ex(x sin y ＋ y cos y)，f ＝ u ＋ iv ＝ z ez（消 z̄ 检验通过）。两条路殊途同归——「先猜后验」快，「偏积分」稳。
题 14 u ＝ ln(x2 ＋ y2) 在「挖心平面」D ＝ ℂ∖{0} 上调和吗？共轭调和 v 存在吗？在 D 的什么子域上存在？
提示：Δ ＝ 0（r＞0，例4 类验算）✓。v ＝ 2 arctan(y/x) ＝ 2θ 局部存在（配 f ＝ 2Log z），但绕 0 一周 θ 涨 2π、v 涨 4π——全域单值 v 不存在（挑战二的正式预告；多连通域的账）。
题 15 证明：v 是 u 的共轭调和 ⟺ −u 是 v 的共轭调和；并说明「共轭」关系为什么不对称（即：v 共轭于 u 不等于 u 共轭于 v）。
提示：f ＝ u ＋ iv 解析 ⟺ i·f ＝ −v ＋ iu 解析——差一个 i 的旋转。不对称的根源：C–R 的两条方程带符号，交换 u、v 后符号错位。「谁当实部」是身份问题，不是对等问题。
题 16 求 e2＋3πi、|ez2|、Re(e1/i)。
提示：e2＋3πi ＝ e2·e3πi ＝ −e2（3π ＝ π ＋ 2π：转一圈半）。|ez2| ＝ eRe(z2) ＝ ex2−y2——指数的模是「实部的实部」。1/i ＝ −i：Re(e−i) ＝ cos(−1) ＝ cos1。
题 17 证明：ez ＝ 1 ⟺ z ∈ 2πiℤ；进而证明 ez1 ＝ ez2 ⟺ z1 − z2 ∈ 2πiℤ。
提示：模账 ex ＝ 1 ⟹ x ＝ 0；角账 y ＝ 2πk。第二问对商 ez1−z2 用第一问。「等值 ⟺ 差周期」是周期函数的通用语法。
题 18 证明唯一性断言：若 F 满足 F′ ＝ F、F(0) ＝ 1 且 F 在含实段的区域内解析，则 F(z) ＝ ez。
提示：设 G ＝ F/ez（分母非零、解析）：G′ ＝ (F′ez − Fez)/e2z ＝ 0 ⟹ G 常数（题 6 的变体：导数恒零 ⟹ 常数）⟹ G ＝ G(0) ＝ 1。微分方程＋初值，在解析世界里同样锁死唯一解——「解的存在唯一」从实分析平移过来毫不打折。
题 19 写出下列各数的全体对数值（并指出主值）：−i；1 − √3 i；−8i（立方——留一道给第八课的钩子）。
提示：log(−i) ＝ −πi/2 ＋ 2πki（主值 −πi/2，第四象限辐角取负）。1 − √3 i ＝ 2e−iπ/3：log ＝ ln2 ＋ i(−π/3 ＋ 2πk)。−8i ＝ 8e−iπ/2：log ＝ 3ln2 ＋ i(−π/2 ＋ 2πk)。
题 20 证明：主值分支 Log 满足 Log(z̄) ＝ overline{Log(z)}（z 不在割线上）；并对 z ＝ 1 ＋ i 验算。
提示：|z̄| ＝ |z|；Arg z̄ ＝ −Arg z（±π 内）。验算：Log(1＋i) ＝ (ln2)/2 ＋ iπ/4；Log(1−i) ＝ (ln2)/2 − iπ/4 ✓。「割线对称 ⟹ 分支对称」是 Schwarz 对称原理（第六章）的Warm-up。
题 21 在区域 D ＝ ℂ∖[0, ∞)（割掉正实轴）上写出一个对数分支，使 Log_D(−1) ＝ iπ；并求 (Log_D)′(−1)。
提示：取 Arg ∈ (0, 2π)：−1 ＝ eiπ ⟹ Log_D(−1) ＝ iπ ✓。导数恒 1/z ⟹ (Log_D)′(−1) ＝ −1。所有分支的导数都是 1/z——分支只差常数，导数同款（与「任两支差 2πi」互为印证）。
题 22 求 (1 ＋ i)1/2 的全体值，并与第一章 1.10 的方根公式对账。
提示：log(1＋i) 的 k ＝ 0, 1 两支除以 2：(ln2)/4 ＋ iπ/8 与 (ln2)/4 ＋ i(π/8 ＋ π)。两值 ＝ 21/4eiπ/8 与其转半圈的反向点 21/4ei(π/8＋π)——恰是 ±21/4eiπ/8，与 1.10「两支差单位根 −1」一致 ✓。
题 23 清点 (−1)√2 的全体值；它是有限集吗？
提示：log(−1) ＝ (2k＋1)πi，乘 √2 ＝ (2k＋1)√2·πi，指数化：ei(2k＋1)√2 π。因 √2 无理，{ei(2k＋1)√2π : k ∈ ℤ} 在单位圆上稠密且无穷（往复不循环）——无理指数款：值无穷、模全为 1、角度稠密散布。与例9 的「等比收缩」款对照记忆。
题 24 求主值 (1 ＋ i)i，并写出全体值。
提示：主值 ＝ ei·Log(1＋i) ＝ ei(ln2/2 ＋ iπ/4) ＝ e−π/4·ei(ln2)/2——模 e−π/4 ≈ 0.456，辐角 (ln2)/2 ≈ 0.347 rad。全体值再乘 e−2πk：等比竖队，主值是模最大的那一个（k ＝ 0）。
题 25 求 cos(i)、sinh(πi/2)、cosh(x ＋ iy) 的实虚部分离式。
提示：cos(i) ＝ cosh(1) ≈ 1.543（纯虚进 cos 变实双曲——「虚入三角成双曲」）。sinh(iy) ＝ i·sin y ⟹ sinh(πi/2) ＝ i。cosh(x＋iy) ＝ cosh x cos y ＋ i·sinh x sin y（2.15 换装式的双曲版）。
题 26 解方程 sin z ＝ 2。
提示：设 sin z ＝ sin x cosh y ＋ i·cos x sinh y ＝ 2（实）：cos x sinh y ＝ 0 ⟹ y ＝ 0 或 cos x ＝ 0。y ＝ 0 给 |sin x| ≤ 1 不行；故 cos x ＝ 0（x ＝ π/2 ＋ kπ），此时 sin2x ＝ 1 ⟹ cosh y ＝ 2 ⟹ y ＝ ±arccosh2 ＝ ±ln(2 ＋ √3)。解集 z ＝ π/2 ＋ kπ ± i·ln(2 ＋ √3)——实分析无解的方程在 ℂ 整队两列，与例6 遥相呼应。
题 27 证明：|cos z|2 ＝ cos2x ＋ sinh2y，并由此写出 |cos z| 的最大与最小值（当 x, y 在有界闭矩形内变化时）。
提示：由换装式 |cos(x＋iy)|2 ＝ cos2x cosh2y ＋ sin2x sinh2y ＝ cos2x(1＋sinh2y) ＋ sin2x sinh2y ＝ cos2x ＋ sinh2y。矩形内最大在 cos2x 最大、sinh2y 最大的角点，最小在 x 使 cos x ＝ ±1 的竖边与 y ＝ 0 的交点。模的极值总在边界——最大模原理的预告阴影（3.16）。
题 28 f 整函数且 f(kπ) ＝ 0 对一切整数 k。f 必恒为零吗？f(kπi) ＝ 0（k ≥ 1）且 f(0) ＝ 0 呢？
提示：{kπ : k ∈ ℤ} 在 ℂ 无聚点 ⟹ 不必（sin z 反例）。{kπi : k ≥ 1} ∪ {0} 以 0 为聚点（1/k → 0 走 kπi？注意 kπi 的 k ≥ 1 发散，不是 1/k 型——须换成点列趋于聚点）。改题设「f(1/k) ＝ 0 且 f(0) ＝ 0」：1/k → 0 是聚点 ⟹ f ≡ 0。聚点＝「一列点包围一个极限点」，等距发散列不算。
题 29 f 整函数且 |f(z)| ≤ |z|2 对一切 z。证明 f ＝ az2 型（a 常数，|a| ≤ 1）。
提示：g ＝ f/z2 在 ℂ∖{0} 解析且 |g| ≤ 1；0 处的「奇点」其实是可去的（f 在 0 附近 ≤ |z|2 ⟹ f(0) ＝ f′(0) ＝ 0，g 延拓解析）。任何 |g| ≤ 1 的整函数是常数（刘维尔定理——第四章证明，此处承认欠条）：g ≡ a。⟹ f ＝ az2，|a| ≤ 1。本题是刘维尔的「提前试穿」——4.17 代数基本定理的证明同款呼吸。
题 30 两个整函数若在实轴上恒等，是否恒等？若只在一条过原点的直线段 (−1, 1) 上恒等呢？若只在点列 {1/n} 上恒等呢？
提示：实轴是聚点丛（每点都是）⟹ 恒等 ✓。线段 (−1,1) 内部每点都是聚点 ⟹ 恒等 ✓。{1/n} 以 0 为聚点 ⟹ 恒等 ✓——三问全「是」，但要会答理由：找聚点。刚性定理的「触发条件」＝ 聚点，长度不重要、密度结构才重要。
题 31 设 f(z) ＝ e1/z。① 它在哪里解析？② 在 z ＝ 0 处可导吗？③ 计算 f 在 z0 ＝ 2 的导数。
提示：① 1/z 在 z ≠ 0 解析，ew 整 ⟹ 复合解析于 ℂ∖{0}。② 0 处无定义，谈不上可导——这类「孤立失效点」称孤立奇点，第五章主角（e1/z 是「本性奇点」的标准标本：0 附近取值疯狂稠密）。③ 链式法则 f′ ＝ −e1/z/z2，f′(2) ＝ −e1/2/4。
题 32 u(x, y) ＝ sin x·sinh y：① 验调和；② 求共轭调和 v 与 f；③ f 是谁？
提示：① uxx ＝ −sin x sinh y ＝ −uyy ✓。② vy ＝ ux ＝ cos x sinh y ⟹ v ＝ cos x cosh y ＋ φ(x)；vx ＝ −sin x cosh y ＋ φ′ ＝ −uy ＝ −sin x cosh y ⟹ φ′ ＝ 0。f ＝ sin x sinh y ＋ i cos x cosh y——试 −i cos z：cos z ＝ cos x cosh y − i sin x sinh y，−i cos z ＝ −sin x sinh y − i cos x cosh y；取 i·cos z ＝ sin x sinh y ＋ i cos x cosh y ✓。f ＝ i cos z。
题 33 （串章题）证明：zn 的 n 个根之和恒为 0（n ≥ 2），用两种方法：① 第一章的棣莫弗／单位根；② 本章的语言（把「根」看成 elog w/n 的 n 支并利用 log 的等距多值）。
提示：① 根＝ζ·ζ0k（k ＝ 0…n−1，ζ0 为一支），和 ＝ ζ0·ζ(1−ζn)/(1−ζ) ＝ 0。② n 支的辐角等距差 2π/n——正 n 边形顶点，重心在原点。同一事实的两副面孔：「几何对称 ⟹ 和为零」贯穿到第五章根与系数的复分析证明（Rouché）。
三问自测（闭卷 5 分钟）：①一句话说清「复可导比实可导强在哪」（方向空间）；②C–R 的极坐标形式默写（含 1/r 与 f′ 公式）；③log z 的全体值与「绕圈涨 2π」的因果一句话。答不顺者回 2.1–2.2、2.6、2.12 对应讲义页。
《九章算术》卷一方田章收着两条圆的账：「圆田术曰：半周半径相乘得积步」——圆面积 ＝ 半周 × 半径（πr2 的东方写法）；「弧田术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一」——弓形面积 ＝ (弦 × 矢 ＋ 矢2)/2，一条粗糙却可用的近似。刘徽注圆田术时立下「割之弥细，所失弥少」的总纲，弧田的粗账从此有了精算的上限路径。账本的货币：这些公式全部以「周、径、弧」长度计价——圆的数学在东方传统里自始至终是弧长的账。
弧长账逼出了一个现代习惯——弧度制：角不再用「度」（周天 365¼ 度的历法遗产）而用「弧长 ÷ 半径」这个无量纲纯数。弧度制下弧长公式缩成 l ＝ rθ、扇形缩成 A ＝ r2θ/2，微积分里 (sin θ)′ → cos θ 也只在弧度制下成立（否则处处冒出 π/180 的脏系数）。第一章 1.11 用运动学讲法重立欧拉公式：eit 是「以 1 为半径、t 为弧长」的匀速圆周运动——eiθ 里的 θ 天生就是弧度，指数函数是弧长账的化身。本章 2.6 极坐标 C–R 里的 1/r（弧长按半径折算）、2.11 的周期 2πi（转满一圈的弧长账）割圆线继续收账。
十九世纪中叶，复分析迎来两位立法者，他们给「解析函数」下了两种气质迥异的定义，各自开辟一个学派。
黎曼（1851）的几何哲学：解析函数 ＝ 满足 C–R 方程的函数。黎曼把函数看作曲面的雕塑家——保角的、把局部几何转印到别处的映射；他发明黎曼面让多值函数安家（第一章 1.12 黎曼球面已是预演），用 Dirichlet 原理从「边界行为」构造函数。本册的第二、三、六章——C–R、圆周积分、共形映射——走的是黎曼的地盘。
魏尔斯特拉斯（1841 起）的幂级数哲学：解析函数 ＝ 幂级数（及其延拓）。他从「项项可微的级数」出发，用一致的严格重建全部理论—— famously 撤回黎曼依赖的 Dirichlet 原理（举出反例），把「存在性」的论证逼到更硬的地面。第四章的 Taylor 展开、唯一性定理的级数证法，全是魏尔斯特拉斯的遗产。
两种哲学在二十世纪被证明等价（第四章 4.9：C–R ⟺ 幂级数）——但等价不等于多余：几何直观给黎曼面、共形映射、现代规范场论供血；级数严格性给整座分析学立规矩（一致收敛的观念直接哺育了实分析）。陈省身先生晚年屡屡以「复几何是几何学的未来」回望这条源流——黎曼的风景论与魏尔斯特拉斯的账房规矩，是同一座山的两条登山道。
方法表（考试即查）：判可导 → 差商抓方向因子 / 扫 z̄·Re·Im·|z|；判解析 → C–R＋偏导连续＋填开集；由 u 造 f → 偏积分四步＋消 z̄ 检验；指数方程 → 模账定实部、角账定虚部；对数幂 → 先清点 log 全体值、再按整数/有理/无理分流；三角方程 → 化指数＋两条纵队；恒等式过境 → 找聚点（实轴、线段、1/n 列皆可）。
通往下一章的三根线头：①「局部 → 整体」：第三章沿闭路积分，Cauchy 定理说「解析 ⟹ 圆周账归零」——全册第一奇观；②绕圈的幽灵（2.12）→ 辐角原理数零点（5.12）；③单位圆三连戏：3 章圆周积分、4 章圆盘展开、6 章圆盘映射——割圆线中场结束，下半场开球。
第二章 · 思想卡
实分析的那座山，台阶又长又陡：C0（连续）→ C1 → C2 → … → C∞ → 实解析，五级台阶各级有居民——|x| 卡在 C0↗C1 的台阶口，分段线性函数停在 C1，e−1/x2 卡在 C∞↗实解析的最后一级（例11）。每一级都住着「上不去」的名流，「光滑」是需要逐级苦爬的属性。
复分析的山只有一级：复可导 ＝ C∞ ＝ 解析。z̄ 的横空出世说明第一级入口就极窄；可一旦进得门来，后面所有级自动奉送（2.7 的 Laplace 论证已见第一跳，4.9 完成全部证明）。魏尔斯特拉斯用一生把「自动奉送」的每一步做成铁账；黎曼则说：这算什么账，这分明是几何的恩赐。
值得停一停的是「为什么」：实轴上 h 只有两个方向，差商过关不算太苛刻；平面上 h 有无穷多个方向，「所有方向一致」是指数级苛刻的约束——苛刻到只容得下「最好的函数」通过，而「最好的函数」自带全部光滑。换句话说，复分析没有「中等函数」：要么进不了门（z̄、|z|2），要么一步登顶（z2、ez）。实世界的中间阶层，在复世界整体消失。
一句话带走：复可导的「苛刻入口」与「一步登顶」是同一枚硬币——下一章硬币翻到积分面：苛刻到「圆周账自动归零」（Cauchy 定理）。实分析里逐级苦爬的每一级，复分析都拿来做了赠品。
任务：从直角坐标 C–R 出发，用链式法则严格推出极坐标形式，并在单位圆上检验。
路线图 设 z ＝ reiθ，即 x ＝ r cosθ, y ＝ r sinθ。偏导换元关系：
∂/∂r ＝ cosθ·∂/∂x ＋ sinθ·∂/∂y， ∂/∂θ ＝ −r sinθ·∂/∂x ＋ r cosθ·∂/∂y。
记 U(r,θ) ＝ u(r cosθ, r sinθ), V 同理。把 C–R 的 ux ＝ vy、uy ＝ −vx 代入下列两式并消元：
Ur ＝ cosθ·ux ＋ sinθ·uy， Vθ/r ＝ −sinθ·vx ＋ cosθ·vy；
利用 C–R 逐项对齐（ux ＝ vy 进 Vθ 的 cosθ 项、uy ＝ −vx 进 sinθ 项）即得 Ur ＝ Vθ/r；同理处理第二对：
Vr ＝ cosθ·vx ＋ sinθ·vy， −Uθ/r ＝ sinθ·ux − cosθ·uy， ⟹ Vr ＝ −Uθ/r。∎
导数公式的同场推导：f′ ＝ ux ＋ ivx；而 ux、vx 可由 Ur, Vr 反解（Ur ＝ cosθ ux ＋ sinθ uy，uy ＝ −vx 代入、与 Vr 联立）：ux ＝ cosθ·Ur − sinθ·Vr，vx ＝ cosθ·Vr ＋ sinθ·Ur，合并：
f′ ＝ e−iθ(Ur ＋ iVr)。∎（2.6 用的正是此式。）
挑战要求：① 不看上文独立完成全部消元（每步注明用了 C–R 哪一条）；② 用 f(z) ＝ z3 在极坐标（U ＝ r3cos3θ, V ＝ r3sin3θ）上完整验证两式与导数公式；③ 说明 r ＝ 0 处极坐标 C–R 为什么失效（除法里的 r 在分母）；④ 一句话总结「1/r 的来源」。
③④ 参考答案：换元矩阵在 r ＝ 0 退化（θ 失去意义——原点没有方向）；1/r 来自 ∂/∂θ 的换元里藏着的因子 r（角度方向的位移是弧长 rΔθ，折回速度要除 r）——又是「弧长账按半径折算」（札记①）。
背景 2.9 定理承诺「单连通区域上共轭调和必存在」。「单连通」三个字不是装饰——本题造一个反例：区域 ＝ 挖心平面 D ＝ ℂ∖{0}，函数 u ＝ ln(x2 ＋ y2) ＝ 2 ln|z|。
① 验调和：u ＝ 2 ln r。Δ(2 ln r) ＝ 2·(1/r)(r·(1/r))′·… 逐项：ur ＝ 2/r，r·ur ＝ 2 常数 ⟹ (r ur)′/r ＝ 0；角向无依赖。Δu ＝ 0 ✓（r ＞ 0 处处）。
② 局部共轭存在：在不含 0 的任何小圆盘（单连通！）里 v ＝ 2θ（θ 为局部连续辐角）满足 C–R（这正是 polar C–R 的 Ur ＝ 2/r, Vθ ＝ 2 ✓），f ＝ 2Log z 局部解析。
③ 全域不可能：反设 D 上存在单值调和 v 与 u 配对成解析 F ＝ u ＋ iv。取闭路 γ：单位圆 |z| ＝ 1 一周。看积分 ∮γ F′(z)dz ＝ ∮ 2/z dz ＝ 4πi ≠ 0——但 F′ 在 D 内解析，若 F 是 D 上单值函数、F′ 连续，由「闭路积分 ＝ 沿路径原函数增量」（第三章 3.2 的引理）∮ F′dz ＝ F(终点) − F(起点) ＝ 0（闭路回到出发点，单值！）。矛盾。∎（第三章开头即把此账重算——届时 ∮2/z dz ＝ 4πi 会成为 Cauchy 定理「非平凡反例」的第一主角。）
结论：调和 ⟹ 局部有共轭，全域要看拓扑：D 里有绕 0 的洞，绕洞一周 v 涨 4π，单值性破产。「多值函数」不是病，是拓扑的喉舌——黎曼面的初心。
延伸：① 换 u ＝ ln r 在「割破平面」D′ ＝ ℂ∖(−∞,0]（单连通）上重做，验证共轭 v ＝ θ ∈ (−π, π) 全域合法；② 数一数：域里有几个「洞」就不容几类共轭？（预习口吻：第三章用积分定「洞的个数」——同调/周期的算术。）
实验目的：用眼验证「解析函数的两族等值线处处正交」（2.5–2.6、2.9）。对象 f(z) ＝ z2 ＋ 1：u ＝ x2 − y2 ＋ 1（蓝族）、v ＝ 2xy（红族）。SVG 快照三幅——同一原点邻域在放大镜下的正交性：
动手延伸：① 换 f(z) ＝ z3，在草稿纸上画 Re z3 ＝ x3 − 3xy2 的等值线族（取值 ±1, ±8），数出与虚部族的交角——仍应全为 90°；② 对非解析的 u ＝ x2、v ＝ y2（题 9 的「都好不般配」款）画同款图，找到交角不是 90° 的点——「不解析 ⟹ 正交性局部失守」的眼见为实；③ 在手机上用任一「复数计算器」App 验证 f(1 ＋ i) 处两梯度的点积为零（数值版 C–R）。
一、基础四问（每题 10 分，30 分钟闭卷）
1. 判定 f(z) ＝ 3x ＋ i(y − x) 在何处可导、何处解析（先写 u, v）。
2. 解方程 ez ＝ 4i（全体解）。
3. 求 Log(−√3 ＋ i)（主值）与 log(−√3 ＋ i) 的全体值。
4. 由 u(x, y) ＝ x3y − xy3 求解析函数 f。
评讲：1. ux ＝ 3, vy ＝ 1 恒不等 ⟹ 处处不可导（连「点态可导」都没有——注意与「有可导点但不解析」的题型区分）。2. 4i ＝ 4eiπ/2：z ＝ ln4 ＋ i(π/2 ＋ 2πk)。3. −√3 ＋ i ＝ 2ei5π/6（第二象限，主辐角 5π/6 ∈ (−π,π) ✓）：Log ＝ ln2 ＋ 5πi/6；全体值再 ＋ 2πki。4. Δu ＝ 6xy − 6xy ＝ 0 ✓；vy ＝ ux ＝ 3x2y − y3 ⟹ v ＝ (3x2y2)/2 − y4/4 ＋ φ(x)；vx ＝ 3xy2 ＋ φ′ ＝ −uy ＝ −x3 ＋ 3xy2 ⟹ φ′ ＝ 0。f ＝ x3y − xy3 ＋ i(3x2y2/2 − y4/4 ＋ C)；消 z̄ 检验：u ＋ iv 应等于（练习用 z 的封闭式表达——提示 −z4/4 的实虚部对照）。
二、进阶两问（每题 15 分）
5. 证明：若 f 整函数且对一切 z 有 Re f(z) ≥ 0，则 f 为常数。（提示：g ＝ e−f，|g| ＝ e−Re f ≤ 1——承认「有界整函数是常数」欠条，第四章刘维尔定理兑现；本题是 4.17 代数基本定理的同族预热。）
6. 设 f(z) ＝ zi（取主值支）。① 写出 f(e) 与 f(e2π)；② 证明 f 在割破平面上解析；③ 解释为什么 f 不能延拓为 ℂ∖{0} 上的单值解析函数。
评讲：5. Re f ≥ 0 ⟹ |g| ≤ 1 ⟹ g 常数 ⟹ f 常数（a/e−f 的链：导数零 ⟹ 常数亦可，题 18 技巧）。6. ① f(e) ＝ ei ＝ cos1 ＋ i·sin1；f(e2π) ＝ ei·Log(e2π) ＝ e2πi ＝ 1。② ei·Log z 是解析函数的复合（Log、exp、乘常数）✓。③ 绕 0 一周 Log 涨 2πi ⟹ f 涨因子 e−2π ≠ 1——多值、单值延拓不可能（挑战二同款呼吸：洞在说话）。
评分与过关线：80 分过关；未过关者按复盘错型索引重做对应讲义页与习题课。过章仪式：在章名旁写日期与一句话心得——第二章毕业，第三章去圆周上收账：Cauchy 定理，全册第一奇观。
实分析里 ∫ab f(x)dx 的「a 到 b」只有一条路——直线段，所以「上下限」三个字就把路径说全了。ℂ 没有自然顺序：从 A 走到 B，直线、大弧、绕远的小弧，都是合法的路。复积分的第一句话就是承认这件事：路径本身是数据的一部分，记号 ∫γ f(z)dz 里的 γ 与 f 平起平坐。
两张直观地图落座：
第二章留了一个活的悬念：挑战二里我们欠了一笔账——∮ 2/z dz ＝ 4πi ≠ 0，并预告「第三章开头即把此账重算」。本章就是来结账的：先学怎么记积分账（3.2–3.6），再让 ∮dz/z ＝ 2πi 亲手演示「账为什么不归零」（3.7），然后迎来全册第一奇观——Cauchy 定理：解析函数的圆周账自动归零（3.8 起）。「解析」这个苛刻的入场券，在积分世界一次性兑付成惊人红利。
定义（光滑曲线） 连续映射 γ(t) ＝ x(t) ＋ iy(t)，t ∈ [a, b]，满足：① γ′(t) 存在且连续；② 正则：γ′(t) ≠ 0（切向量不消失，曲线不「驻足」）。γ(a) ＝ γ(b) 时称闭曲线；不自交时称简单曲线。逐段拼接光滑曲线得围道（contour）——本章积分的主要对象。
两个必须立正的细节：
① 参数化的选择不影响积分值：若 φ 是 [c, d] → [a, b] 的光滑满射且 φ′ ≥ 0，换元立得 ∫ 与参数选择无关——积分是「曲线的属性」不是「参数方程的属性」。
② 定向：同一条曲线，t 从 a 到 b 与从 b 到 a 是两条路，积分差一个负号。正向（正向）约定：简单闭曲线取逆时针方向——「内部在左手边」。圆 |z − a| ＝ r 的正向参数化是
z(t) ＝ a ＋ r·eit， t ∈ [0, 2π]。
它背下来——本章出场率最高的公式没有之一。它的三个近亲也顺手记住：|z| ＝ r、上半圆 a ＋ reit（t ∈ [0, π]）、以及沿圆的微分 dz ＝ ireitdt（半径 r 藏进了 dz 的伸缩里——又是弧长账按半径折算的老朋友〔割圆〕）。
定义（复线积分） f 沿围道 γ 的积分定义为
∫γ f(z)dz ：＝ ∫ab f(γ(t))·γ′(t)dt。
右边是两个实积分（实部、虚部各自积分）——定义永远踏在实分析的地基上，但左边的记号已经站在复世界。
性质清单（全部由定义直读）：线性 ∫(αf ＋ βg) ＝ α∫f ＋ β∫g；路径可加（γ 接着 η 走则积分相加）；反向 ∫−γ ＝ −∫γ；以及全程最重要的估计式：
|∫γ f(z)dz| ≤ ∫γ |f(z)|·|dz| ≤ M·L，
其中 M 是 |f| 沿路的上界、L 是路径弧长——先把「账本总额」锁死，再谈精确值（3.5 正式立法）。
做功与流量两读：把 dz ＝ dx ＋ i·dy、f ＝ u ＋ iv 全部摊开：
∫γ f dz ＝ ∮(u dx − v dy) ＋ i·∮(v dx ＋ u dy)。
实部笔 ∮(u, −v)·dr 是向量场 (u, −v) 的做功；虚部笔是它的流量。这两笔拆账将在 3.17 与格林公式正式对表——那里可以看到 C–R 方程就是「两笔的旋度同时归零」。
参数化定义虽是根本，直接用它计算等于「每笔账都从头记」。实际操作三部曲：
演练一（同一积分、两条路）：f(z) ＝ z̄，从 −1 到 1。甲路直线段 y ＝ 0：z ＝ t，dz ＝ dt，∫−11 t dt ＝ 0。乙路上半圆 |z| ＝ 1：z ＝ eit，t 从 π 到 0；在单位圆上 z̄ ＝ 1/z（|z|2 ＝ 1 ⟹ z·z̄ ＝ 1），于是 ∫ z̄dz ＝ ∫ dz/z ＝ ∫π0 i dt ＝ −iπ。两条路，两个答案——路径不是装饰（例1 全程精算）。
演练二（原函数在场则路径无关）：f(z) ＝ z，同两端同两路：∫ z dz 沿上半圆 ＝ z2/2 从 1 到 −1 的增量 ＝ 0 ＝ 甲路值。z 有原函数 z2/2，路径当场失效为背景板。
两张演练并排放好，本章的全部戏剧就在这对比里：什么函数积分「认路」，什么函数积分「不认路」？3.6 给出认路的充分条件（有原函数），3.7 给出不认路的著名案犯（1/z），3.8 宣判：解析函数在单连通域里全体「认路」——Cauchy 定理。
ML 不等式 |f| ≤ M 于围道 γ 上，γ 长 L，则
|∫γ f(z)dz| ≤ M·L。
证明一行：|∫ f dz| ≤ ∫ |f|·|dz| ≤ M·∫|dz| ＝ ML。它给不出积分值，只给「账本封顶」——但很多定理只需要封顶。
用法一：围道缩小，积分更快缩水。f 连续于 a 点，取 |z − a| ＝ r 的小圆 γr：Mr ＝ maxγr|f| → f(a)（连续性），L ＝ 2πr，于是
|∫γr f(z)dz| ≤ Mr·2πr → 0·π ＝ 0（r → 0）。
结论：连续函数沿缩到一点的小圆积分趋于零。一行小引理，却是 3.8 Goursat 证明里反复挥动的砍刀。
用法二：大围道上的压制。例3 将算 |∮ 1/(z2＋1)dz|（|z| ＝ 4）：|z2＋1| ≥ |z|2 − 1 ＝ 15，M ＝ 1/15，L ＝ 8π，封顶 8π/15。分母的模用三角不等式压出来——「最远处的奇点最温柔」，第五章留数理论反过来用这件事。
定义（原函数） F′ ＝ f 于区域 D，称 F 是 f 在 D 上的原函数。
引理（牛顿–莱布尼茨过海） f 有原函数 F 于 D，γ: a → b 是 D 内围道，则
∫γ f(z)dz ＝ F(b) − F(a)； 特别地，闭路积分恒为 0。
证明逐字照搬实分析（链式法则：d/dt F(γ(t)) ＝ F′(γ(t))γ′(t) ＝ f(γ(t))γ′(t)）——这是两国通用的一座桥：原函数在场，路径无关，闭路账归零。
桥的另一头是反向问题：什么条件保证原函数存在？实分析：连续即可（变上限积分）。复分析：连续远远不够，z̄ 已是反例（3.4 演练一）。正确的答案是两条件的合奏——
条件里的「一切闭路积分为零」怎么白拿？——这正是 Cauchy 定理的承诺：f 解析 ＋ D 单连通 ⟹ 闭路账自动归零。于是因果链闭环：解析 ⟹（Cauchy）闭路归零 ⟹ 原函数存在 ⟹ 路径无关。3.7 先看链子在哪里断（有洞的地方）。
全复分析最短的重要计算。取正向单位圆 |z| ＝ 1：z ＝ eit，dz ＝ ieitdt，于是
∮|z|＝1 dzz ＝ ∫02π ieitdteit ＝ ∫02π i·dt ＝ 2πi。
三个角度各看一眼：
① 换个半径试试：|z| ＝ r，z ＝ reit：∮dz/z ＝ ∫ i dt ＝ 2πi——与 r 无关！圆周账不认圆的大小，只认绕的圈数：绕 n 圈得 2πni。割圆：刘徽的圆周账认半径（周长 2πr 随 r 缩放），这一笔不认——它量的是「转数」本身，半径在分子分母里当场对消。这是割圆线在积分世界的新形态：从「弧长账」升华到「圈数账」。
② 对表第二章：2.12 说辐角绕圈涨 2π（多值的代价），本页是同一件事的积分版：dz/z ＝ d(Log z) 沿路累加，绕一圈辐角涨 2π，账上就落 2πi。而第二章挑战二欠的 ∮ 2/z dz ＝ 4πi，答案即 2 × 2πi——「系数 2 乘圈数账」。第一主角正式登台。
③ 1/z 在挖心平面上连续又处处「局部有原函数」（局部 log 存在），闭路账却不归零——毛病不在函数在区域：原点是个洞，绕洞的闭路回不到自己的辐角。
定理（Cauchy–Goursat） f 在区域 D 解析，T 是 D 内（含边界）的三角形围道，则
∮∂T f(z)dz ＝ 0。
Cauchy 1825 年证明时默认了 f′ 连续——那样的话格林公式一步到位（3.17 对表）。Goursat 1900 年发现这假设根本不需要：定理因此变得更强（札记②）。证明思想三步，全程只用两件兵器：
第一步（二分）：连三边中点，T 分成四个小三角形。记 I ＝ ∮∂T f dz。四个小回路上各积一遍，中位线上的账一来一回当场对消，只剩外圈：I ＝ 四个小积分之和。于是至少一个小三角形 T1 满足 |∮∂T1| ≥ |I|/4。
第二步（迭代收缩）：对 T1 重复。得嵌套序列 T ⊃ T1 ⊃ T2 ⊃ …，直径与周长每轮减半，而
|I| ≤ 4n·|∮∂Tn f dz|。
嵌套闭集套住唯一点 ζ ∈ T。关键观察：线性部分积分为零——∮(f(ζ) ＋ f′(ζ)(z − ζ))dz ＝ 0（常数项与一次项沿闭路都积零，直接参数化即验）。
第三步（ML 收网）：可导于 ζ ⟹ 对任意 ε，|f(z) − f(ζ) − f′(ζ)(z − ζ)| ≤ ε·|z − ζ| 在 ζ 的邻域成立（差商定义的重排）。n 大到 Tn 落进此邻域后，ML 不等式封顶每个小片：|∮∂Tn| ≤ ε·(diam/2n)·(周长/2n) ＝ ε·C·diam2/4n。代回：
|I| ≤ 4n·ε·C·diam2/4n ＝ ε·C·diam2 ⟹ |I| ≤ C·diam(T)2·ε；ε 任意 ⟹ I ＝ 0。∎
全程没碰过 f′ 的连续性——只用了「f′ 在一个点存在」。先验估计 |∮∂T| ≤ C·diam2 是这道证明真正的产品，它马上升级成 3.11 的 Cauchy 公式与 3.15 的弹药库。
定义（单连通） 区域 D 内任何简单闭路的内部仍含于 D——形象说：D 里没有洞，任何圈都能收缩成一点。否则称多连通，「洞」的个数（精确化见挑战二）叫连通数。
户籍登记表（本章常客）：
割破平面那一行最反直觉又最关键：2.13 的刀口看起来是「破坏」，拓扑上是「治疗」——一刀把绕 0 的所有闭路判了死刑，洞被移出户籍，log 在里面安安稳稳当单值函数。2.13 的分支理论与本页的户籍是同一枚硬币。
户籍的意义在积分：Cauchy–Goursat 对单连通域里的任何闭路成立（任何闭路的内部都在域内，可对内部区域用三角形逼近铺满）。多连通域里，绕洞的闭路不受保护——1/z 在 ℂ∖{0} 解析，绕圈账却是 2πi。「解析」是函数的属性，「归零」是函数×区域的联合属性。
定理（复合闭路） f 解析于多连通域 D，Γ 是 D 内一条「外圈」闭路，γ1, …, γn 是圈在 Γ 内部的「洞」的边界（都取正向，Γ 逆时针、γk 也逆时针但作为「内边界」记账时带负号），则
∮Γ f dz ＝ Σk ∮γk f dz。
一句话：外账 ＝ 内账之和。证明：用两条辅助割线把 Γ 与各 γk 接成一条单连通域里的闭路，Cauchy–Goursat 宣告大闭路积分为零；割线一来一回对消，摊开即得定理。∎
「割线法」值得停半秒：多连通的域被刀口临时缝成单连通——2.13 的割破平面是把洞割掉，这里是反向操作：用刀把域缝成没有洞的形状。刀口一来一回账目对消，拓扑的障碍被算术吸收。
立刻兑现：挖心平面上闭路积分只看圈数。f 解析于 ℂ∖{0}（例如 f ＝ 1/z2·ez 之类任意款），闭路 γ 绕原点 n 圈，则 ∮γ f dz 与「单位圆绕 n 圈」相等（复合闭路：大圈账 ＝ 小圈账）——同调思想的雏形：不同的圈，只要绕洞数相同，积分就相同。绕数作为「闭路的指纹」，挑战二正式建档。
定理（Cauchy 积分公式） f 解析于 D，a ∈ D，γ 是绕 a 一圈的正向闭路（内部含于 D），则
f(a) ＝ 12πi ∮γ f(z)z − a dz。
证明思想（三步，全是熟兵器）：复合闭路把 γ 缩到小圆 |z − a| ＝ r 上（f/(z−a) 在环域解析，外账 ＝ 内账）；小圆上写 f(z) ＝ f(a) ＋ [f(z) − f(a)]，常数项积分恰为 2πi·f(a)（3.7 同款），余项用连续性 ＋ ML 封顶：|f(z) − f(a)| ≤ ε 于小圆，|∮ 余项/(z − a)dz| ≤ ε·2πr/r ＝ 2πε → 0。∎
怎么读这条公式：圆心 a 处的函数值，被圆周上 f 的全部值以 1/(z − a) 的权重加权平均决定——权重在 a 的正上方恰高 1/r，摊平后正是 3.14 的圆周均值。「内部由边界决定」：摸清一圈，圆心免检。这与 2.16 的唯一性定理（一点定全城）是同一刚性的两个方向：解析函数没有「隐私」，任何一点都向全境公开身份证。
立刻检验：∮|z|＝2 ez/(z − 1) dz ＝ 2πi·e1 ＝ 2πei（f ＝ ez，a ＝ 1 在圈内，一步读出——例7 正式操练）。
定理（高阶导数公式） 条件同 3.11，则 f 在 a 无穷可导，且
f(n)(a) ＝ n!2πi ∮γ f(z)(z − a)n＋1 dz。
证明思路：3.11 的公式对 a 求导——分母 (z − a) 的幂次随求导次数上升，右边是 z 的函数序列，且一致收敛保证「求导与积分可换序」（极限运算的通行证，第四章 4.3 正式立法，此处按思想领会）。对 n 归纳即得。∎
这一页兑现本册最大的欠条。第二章 2.7 用 Laplace 论证兑现了第一跳（f′ 解析 ⟹ f ∈ C∞ 的启动）；本页把整段台阶一次铺完：公式对一切 n 成立，而公式右边只要求 f 连续——所以「一次可导」即刻赠齐全部高阶。第一章 1.17 说 ℂ 的完美是「代数封闭」；本章补上第二句：分析的完美是「可导即解析」，而这两句共用一个语法：封闭性。运算（求根、求导、取极限）在系统内部不产生逃逸者。
立刻检验：∮|z|＝1 ez/z4 dz ＝ 2πi·f‴(0)/3! ＝ 2πi·1/6 ＝ πi/3（f ＝ ez，n ＝ 3；例8 操练更多）。注意反方向不成立：∮ 有值不代表能读出导数——分母幂次必须与 n ＋ 1 严丝合缝，这一「读表」技术在第五章留数理论升级成系统方法。
定理（Morera） f 连续于区域 D，若 D 内一切闭路积分 ∮ f dz ＝ 0（或：一切三角形闭路积分为零——更弱更好验），则 f 在 D 解析。
证明：闭路积分为零 ⟹ 3.6 的变上限积分 F(z) ＝ ∫z0z f dζ 合法定义（路径无关）、且 F′ ＝ f——F 是 f 的原函数；而「有原函数的函数必连续，且作为某函数的导数，由 3.12 它无穷可导」，于是 f 解析。∎
Cauchy–Goursat 与 Morera 一正一反拼成完整判据：
「解析」这个看起来是逐点差商性质的属性，被积分语言重写成「闭路账目全归零」——局部性质 ⟹ 全局记账 ⟹ 回到更强的局部性质，一去一回，函数被洗成无穷光滑。这个「积分洗白」的回路威力巨大：第四章证「一致收敛的解析级数之和解析」，就在 M 检验保证逐项积分合法后，对部分和使用 Morera——逐项求极限这件实分析里最危险的操作，在 ℂ 里因为 Morera 而变成例行手续。
判解析三法清点：① C–R 方程（第二章，算四偏导）；② 凑原函数（本章 3.6，认出结构）；③ Morera（本页，验闭路账）——三法各擅一局，方法表见 3.18。
定理（圆周均值） f 解析于 |z − a| ≤ r，则对 0 ＜ ρ ≤ r：
f(a) ＝ 12π ∫02π f(a ＋ ρeiθ)dθ， 且与 ρ 无关。
证明：3.11 取 γ 为圆周 |z − a| ＝ ρ：f(a) ＝ (1/2πi)∮ f(z)/(z − a)dz；参数化 z ＝ a ＋ ρeiθ，dz ＝ iρeiθdθ，分母 z − a ＝ ρeiθ，恰好只剩 f 本身。∎（注意 ρ 在分子分母对消——均值不认半径，又是「圈数账」的口音。）
取实部立得调和函数的均值性质：u(a) 等于它在任何圆周上的平均。它与 Δu ＝ 0 互为表里（物理版：无源稳态温度场里，任一点温度是周围一圈的平均——没有热点也没有冷点，热流无处可积）。
旧账两清：第二章习题课四题 12 问「为什么环域温度场偏偏是对数」——径向对称 ＋ 调和 ⟹ u(ρ) 满足 u″ ＋ u′/ρ ＝ 0，解 u ＝ A·ln ρ ＋ B：对数是唯一合法答案。均值性质给这道题盖了章。
均值性质马上产出一枚副产品（3.16 的引擎）：|f(a)| ≤ 圆周上 |f| 的平均——模也受均值管制。若 |f(a)| 是最大值，平均却 ≤ 最大值，两式夹逼 ⟹ 圆周上 |f| 处处等于 |f(a)| ⟹ |f| 恒定 ⟹ f 常数（第二章题 8：模恒 ⟹ 常数）。最大模原理三行到手。
定理（Cauchy 估计） f 解析于 |z − a| ≤ R，M(R) ＝ max|z−a|＝R|f(z)|，则
|f(n)(a)| ≤ n!·M(R)Rn。
证明：高阶导数公式 ＋ ML：|∮ f(z)/(z−a)n+1 dz| ≤ M(R)·2πR/Rn+1。∎（分母的 Rn+1 压分子——圆越大，远处的值对导数的发言权越小。）
这枚估计单独看平平无奇，装上「整函数」就引爆。装配演示（刘维尔定理，全册高潮的预演）：设 f 整函数且 |f| ≤ M 全平面有界。对任意大 R：|f′(a)| ≤ M/R。R → ∞：|f′(a)| ＝ 0 对一切 a 成立 ⟹ f′ ≡ 0 ⟹ f 常数。
咀嚼这个证明的力学：没有任何关于 f 的具体计算——只用了「f 在越来越大的圆周上有界」＋「圆越大边界值越管不着圆心」。定理的力量不在技巧的精巧，在理论机器的层级：Cauchy 公式 ⟹ 高阶公式 ⟹ 估计 ⟹ 刘维尔，四级火箭一枚螺钉不差。第二章欠的「有界整函数是常数」（章测试题 5 与习题题 29）今日入账。
定理（最大模原理） f 非常数且解析于有界区域 D、连续于 D̄，则 |f| 的最大值只能在边界 ∂D 上取得。
证明（3.14 尾声的展开）：反设 |f(a)| ＝ max 且 a ∈ D 内。取圆周 |z − a| ＝ ρ ⊂ D：均值不等式 |f(a)| ≤ max圆周|f| ≤ |f(a)| ⟹ 圆周上 |f| ≡ |f(a)|。ρ 任意小、任意方向 ⟹ |f| 在 a 的邻域恒定 ⟹ u, v 的偏导全零 ⟹ f 局部常数 ⟹ 由 2.16 唯一性（零点聚点用在 f − f(a) 上）f ≡ 常数——矛盾。∎
读法一（极值版）：想在有界闭域上找 |f| 的峰值？别在内部找了，去边界。多项式的模在圆 |z| ＝ R 上的最大值封顶内部的全部——第五章用它造「根的 Cauchy 界」。
读法二（守恒版）：|f| ≤ 1 于边界 ⟹ |f| ≤ 1 于内部——「模的扩散没有内源」，与调和函数的最大值原理（第二章题 11 的升级）同宗：u 调和 ⟹ u 无内峰；f 解析 ⟹ |f| 无内峰。
读法三（哲学版）：最大模原理是「内部由边界决定」的极值化身，也是「ℂ 没有中等函数」（第二章思想卡）的定量版：内部每一点都被边界均值管着，谁也别想私下冒尖。最小模的半句警告：|f| 的最小值未必在边界（f(a) ＝ 0 时内部最小值是 0）——除非 f 无零点，那时对 1/f 用最大模原理即可。
把 3.3 的拆账搬来对表。∮γ f dz ＝ ∮(u dx − v dy) ＋ i·∮(v dx ＋ u dy)。格林公式说（P, Q 连续可微时）：
对两笔分别算旋度：实笔 (P, Q) ＝ (u, −v)：Qx − Py ＝ −vx − uy；虚笔 (P, Q) ＝ (v, u)：Qx − Py ＝ ux − vy。而 C–R 恰好是
对表成功：C–R 方程 ⟺ 两笔旋度同时归零 ⟺ 格林公式说两笔积分都归零 ⟺ Cauchy 定理。三个版本同义。但清两国的「汇率差」：
同一句话，实语说得平淡（一个二维积分换内积），复语说得惊人（一整座理论大厦的地基）。差别不在「话」在语法：复数把 u, v 捆成一个对象，C–R 从「两个巧合方程」升格为「一个结构的定义」，于是方程之间的每一条协作都被系统自动记账。
方法表（考试即查）：算闭路积分 → 三部曲 / 原函数 / Cauchy 公式（按「有无原函数 → 奇点位置」选）；估计积分 → M 分母三角不等式压、L 算弧长；判解析 → C–R / 凑原函数 / Morera 三法选一；读 f(n)(a) → 找 ∮ f(z)/(z − a)n+1 的标准形（差常数用等比配平，例8、例12）；证「有界 ⟹ 常数」→ Cauchy 估计令 R → ∞。
通往下一章的三根线头：① Cauchy 公式里的 1/(z − a) 展开成几何级数——幂级数自动登场，Taylor 展开从「特权」变「必然」（4.7）；② 刘维尔已装弹（3.15），第四章 4.17 三行拿下代数学基本定理——全册高潮；③ 圆周均值 ⟹ 圆盘上的展开，割圆线下半场开球（4 章圆盘展开、6 章圆盘映射）。
例1 计算 ∫γ z̄ dz，γ 从 −1 到 1，取三条路：① 直线段；② 上半圆 |z| ＝ 1；③ 下半圆 |z| ＝ 1。
解 ① 直线段：z ＝ t（t: −1 → 1），dz ＝ dt，z̄ ＝ t：
∫−11 t dt ＝ 0。
② 上半圆：z ＝ eit（t: π → 0），dz ＝ ieitdt；单位圆上 z̄ ＝ 1/z：
∫π0 ieitdteit ＝ i·(0 − π) ＝ −iπ。
③ 下半圆：z ＝ eit（t: −π → 0），同法得 iπ。
三路三值：0、−iπ、iπ。z̄ 连续得不能再连续，积分却「认路」——路径无关判了死刑。罪源在哪？3.6 说：没有原函数。下一页例5 完整验尸。
例2 计算 ∫γ z dz，γ 为上半圆 |z| ＝ 1（从 1 到 −1，正向）。要求：参数化直算与原函数两法并验。
解 法一（三部曲）：z ＝ eit，t: 0 → π，dz ＝ ieitdt：
∫0π eit·ieitdt ＝ i∫0π e2itdt ＝ i·e2it2i|0π ＝ e2πi − 12 ＝ 0。
法二（原函数）：z 的原函数 z2/2：
∫γ z dz ＝ z22|1−1 ＝ 1 − 12 ＝ 0。✓ 两法同值。
对照例1：同两端、同两路，z 的账次次对平（路径无关），z̄ 的账路路不同。「有没有原函数」就是「认不认路」的判官——3.8 之后我们将知道：单连通域里，解析 ⟺ 有原函数，判官的任命书由 Cauchy–Goursat 签发。
例3 ① 估计 |∮|z|＝4 dz/(z2 ＋ 1)| 的上界；② 估计 |∮|z|＝2 dz/(z − 3)|，并算出精确值对照。
解 ① 反向三角不等式压分母：|z2 ＋ 1| ≥ |z|2 − 1 ＝ 15（|z| ＝ 4），故 M ＝ 1/15；L ＝ 2π·4 ＝ 8π：
|∮| ≤ 8π15。
（第五章可算出精确值 0——两个奇点 ±i 都在圈外。上界虽松，封顶免算。）
② |z − 3| ≥ 3 − |z| ＝ 1（奇点 3 在圈外，最近距离 1），M ＝ 1，L ＝ 4π ⟹ |∮| ≤ 4π。精确值：1/(z − 3) 在 |z| ＜ 3 内解析（圈外奇点不碍事），由 Cauchy–Goursat，∮ ＝ 0。上界 4π vs 真值 0——ML 只管封顶不管揭晓，两者分工明确。
例4 γ 为 |z| ＝ 2 正向圆。计算：① ∮ dz/(z − 0)；② ∮ dz/(z − 3)；③ ∮ dz/(z − i)。
解 ① 3.7 的原文重演：z ＝ 2eit，dz/z ＝ i·dt：
∮ dzz ＝ ∫02π i dt ＝ 2πi。
② 奇点 3 在 |z| ＝ 2 外部，1/(z − 3) 在圆盘 |z| ≤ 2 解析，Cauchy–Goursat ⟹ ∮ ＝ 0。
③ i 在圆内。配方代换：z − i ＝ i ＋ 2eit − i ＝ 2eit——分母的偏移被圆的圆心当场吸掉：
∮ dzz − i ＝ ∫02π 2ieitdt2eit ＝ 2πi。
判决：绕奇点 ⟹ 2πi；不绕 ⟹ 0——非黑即白，没有中间值。这不是巧合而是结构：任何正向简单闭路绕 a 一圈，账都是 2πi（复合闭路把任意圈变到标准圆上）。「绕」是复积分世界里唯一的开关，第五章辐角原理把它变成数零点的计数器。
例5 ① 证明 z̄ 在任何区域上都无原函数；② 计算 ∮|z|＝r z̄ dz 并解释其几何含义。
解 ① 反设有 F′ ＝ z̄ ＝ x − iy。写 F ＝ U ＋ iV，C–R 要求 Ux ＝ u ＝ x 且 Vy ＝ u ＝ x（第一式），Uy ＝ −v ＝ y 且 −Vx ＝ −v ＝ y（第二式）。由 Ux ＝ x：U ＝ x2/2 ＋ φ(y)，⟹ Uy ＝ φ′(y) ＝ y ⟹ U ＝ x2/2 ＋ y2/2 ＋ C；由 Vy ＝ x：V ＝ xy ＋ ψ(x)，⟹ Vx ＝ y ＋ ψ′ ＝ −y（C–R 第二式）⟹ ψ′ ＝ −2y——左边只依赖 x、右边只依赖 y，矛盾。∎ 无原函数，判官维持原判。
② z ＝ reit，z̄ ＝ re−it，dz ＝ ireitdt：
∮|z|＝r z̄ dz ＝ ∫02π re−it·ireitdt ＝ ir2·2π ＝ 2πir2。
注意 2πir2 ＝ 2i·（圆盘面积）——这不是巧合：格林公式（3.17）管实笔时给出 ∮z̄dz ＝ 2i·∬dxdy，对任何闭路成立。z̄ 的闭路账不是「洞的信号」（它处处解析性失败），而是「面积」的读数——两种「不归零」，病因完全不同：1/z 是区域的病（有洞），z̄ 是函数的病（不解析）。鉴别诊断是本章最重要的临床技能。
例6 f(z) ＝ 1/z，区域 ＝ 圆环 1 ＜ |z| ＜ 3。① 分别直算外圈 |z| ＝ 3 与内圈 |z| ＝ 1（正向）的积分；② 验证复合闭路定理；③ 不加计算地写出 ∮γ dz/z，γ 为环内绕原点一圈的花式闭路（椭圆、波浪圈均可）。
解 ① 外圈 z ＝ 3eit：∮ ＝ ∫i dt ＝ 2πi；内圈 z ＝ eit：∮ ＝ 2πi。两圈同值。
② 定理说外账 ＝ 内账：2πi ＝ 2πi ✓。几何读法：f 在圆环上解析（奇点 0 被内圈挖走，不在环内），1/z 在两圈之间的环域解析，外圈可以连续变形到内圈——账目在变形中守恒。
③ γ 在环内、绕 0 恰一圈 ⟹ γ 与内圈构成「环内可变形」的同伦对 ⟹ ∮γ dz/z ＝ ∮内圈 dz/z ＝ 2πi。积分只认圈数，不认圈的长相——3.10 的「绕数记账」已能出单。
例7 对 I ＝ ∮γ ez/(z2 − 1) dz 计算三案：① γ: |z| ＝ 2；② γ: |z| ＝ 1/2；③ γ: |z − 1| ＝ 1/2。
解 准备工作（拆分）：1/(z2 − 1) ＝ ½[1/(z − 1) − 1/(z ＋ 1)]（奇点 z ＝ ±1）。
① ±1 都在 |z| ＜ 2 内，Cauchy 公式各管一支：
I ＝ ½·2πi·e1 − ½·2πi·e−1 ＝ πi(e − e−1) ＝ 2πi·sinh 1。
② ±1 都在圈外，被积函数在 |z| ≤ 1/2 解析 ⟹ I ＝ 0（Cauchy–Goursat）。
③ 只有 1 在圈内（|1 − 1| ＝ 0 ＜ 1/2；|−1 − 1| ＝ 2 ＞ 1/2）：只有 1/(z − 1) 支在场，I ＝ ½·2πi·e1 ＝ πi·e。
围道即答案：同一个函数，三种圈，三种账。解题的第一动作不是算，是画圈、数奇点。
例8 计算：① ∮|z|＝1 ez/z4 dz；② ∮|z|＝1 sin z/z3 dz；③ ∮|z|＝2 cos z/z2 dz。
解 ① 对表 3.12 公式（n ＋ 1 ＝ 4 ⟹ n ＝ 3，f ＝ ez）：
∮ ezz4 dz ＝ 2πi3!·e‴(0) ＝ 2πi6 ＝ πi/3。
② 对表（n ＝ 2，f ＝ sin z）：∮ sin z/z3 dz ＝ (2πi/2!)·f″(0) ＝ πi·(−sin 0) ＝ 0。
交叉验证：sin z/z3 ＝ (z − z3/6 ＋ …)/z3 ＝ 1/z2 − 1/6 ＋ z2/120 − …——没有 1/z 项，账为零 ✓。「差之一项，账目全空」：②的幂次 z3 与 sin z 的奇次幂「错半拍」，一阶共振不发生。
③ n ＝ 1，f ＝ cos z：∮ cos z/z2 dz ＝ (2πi/1!)·f′(0) ＝ 2πi·(−sin 0) ＝ 0。（cos z/z2 ＝ 1/z2 − 1/2 ＋ …，同样无 1/z 项。）
例9 设 f(z) ＝ Σn≥1 zn/(n(n ＋ 1))（在 |z| ＜ 1 有定义）。证明 f 在 |z| ＜ 1 解析，并预告其封闭形式。
解 第 1 步（部分和解析）：部分和 SN(z) ＝ Σn≤N zn/(n(n＋1)) 是多项式，整函数 ⟹ 一切三角形闭路积分为零（Cauchy–Goursat）。
第 2 步（极限过账）：|z| ≤ r ＜ 1 上，|zn/(n(n＋1))| ≤ rn，几何级数控制 ⟹ SN → f 一致收敛。一致收敛 ＋ 连续 ⟹ 积分与极限可换序：
∮∂T f dz ＝ limN→∞ ∮∂T SN dz ＝ lim 0 ＝ 0 （对一切三角形 T）。
第 3 步（Morera 收口）：f 连续 ＋ 三角形账全零 ⟹ f 解析于 |z| ＜ 1。∎
封闭形式预告：1/(n(n＋1)) ＝ 1/n − 1/(n＋1)，拼装后 f(z) ＝ 1 ＋ (1 − 1/z)·(−ln(1 − z))（z ≠ 0，z → 0 时取极限 0）——细节留第四章 4.12（Laurent 展开正好处理 z ＝ 0 这一点）。注意本例没有算任何一个 C–R 偏导：Morera ＋ 一致收敛，把「无限和的解析性」变成流水线。第四章 Weierstrass M 检验将把这条流水线装成标准设备。
例10 验证 ez 的圆周均值性质：对一切 r ＞ 0，(1/2π)∫02π ereiθdθ ＝ 1。
解 法一（3.14 定理直读）：ez 整函数，a ＝ 0：均值 ＝ e0 ＝ 1，且对一切 ρ 成立。∎（一行定理免算——这先验地就是「边界值决定内部」的效率。）
法二（硬算，验定理的机器结构）：展开 ereiθ ＝ Σ rneinθ/n!，逐项积分：
∫02π einθdθ ＝ e2πin − 1in ＝ 0 （n ≥ 1）； n ＝ 0 项贡献 2π。
高频全灭、直流幸存：和 ＝ 2π ⟹ 均值 ＝ 1 ✓。
调和版：u ＝ Re ez ＝ ex cos y，u(0, 0) ＝ 1；数值抽查 r ＝ 1：均值 ≈ 1（代 θ ＝ 0, π/2, π, 3π/2 四点粗估：e、1、e−1、1 的平均 ≈ 1.54，再补中间角度即向 1 收拢——四点太粗，均值账要整圈算）。半径无关性在法二里同样显形：r 只进直流项的系数权重 r0/0! ＝ 1，怎么换 r 都不影响。
例11 ① 用 Cauchy 估计给 f(z) ＝ 1/(1 − z)（|z| ＜ 1）的 f(n)(0) 定上界，并与真值对照；② 用估计证明：ez2 ＝ Σk z2k/k! 的系数衰减快于任何几何级数。
解 ① |z| ＝ r ＜ 1 上 |f| ≤ 1/(1 − r) ＝ M(r)：
|f(n)(0)| ≤ n!(1 − r)rn。
真值 f(n)(0) ＝ n!（f ＝ Σzn）。对照：估计给的是 n!/[(1 − r)rn]——形状对（n! 主导）、余量大（(1 − r)rn] ＜ 1）。Cauchy 估计从不撒谎，也从不谦虚：它是「存在性封顶」，精确值另有专责（Taylor 理论，第四章）。
② f ＝ ez2 整函数，|z| ＝ R 上 |f| ＝ eR2（纯虚轴方向达到）。Cauchy 估计：
|f(n)(0)| ≤ n!·eR2Rn， 对每个 R ＞ 0 成立。
右端对 R 求最小：R2 ＝ n/2 时最省，得 |f(n)(0)| ≤ n!(2e/n)n/2——用 Stirling 公式（第四章脚注级工具）化简 ≈ (n/e)n·(2e/n)n/2 ＝ (2n/e)n/2·…量级上比任何 qn（q 固定）衰减都快。解析函数的系数必须「超级规矩」——这正是收敛半径非零的积分版证词，第四章 Cauchy–Hadamard 公式的先声。
例12 计算 I ＝ ∮|z|＝3 ez/(z − i) dz。用三种方法，并裁决优劣。
解 法一（Cauchy 公式）：f ＝ ez 解析，a ＝ i 在圈内：
I ＝ 2πi·f(i) ＝ 2πi·ei ＝ 2πi(cos 1 ＋ i·sin 1)。∎（两行结案。）
法二（展开读表，Laurent 预告）：在 i 附近写 z ＝ i ＋ w：ez ＝ ei·ew ＝ ei(1 ＋ w ＋ w2/2 ＋ …)，故
ezz − i ＝ ei·(1w ＋ 1 ＋ w2 ＋ …)， 1/w 的系数 ＝ ei ⟹ I ＝ 2πi·ei。∎
（「圆周积分只听 1/(z − a) 的系数汇报」——这个读表法第五章升级为留数定理。）
法三（参数化硬算）：z ＝ 3eit：
I ＝ ∫02π e3eit·3ieit3eit − i dt。
实、虚部各是一个「指数上再套指数」的实积分——没有初等原函数，硬算到此搁浅（数值法可得 ≈ 2πi·ei ✓，但那是验算不是求解）。
裁决：法一 > 法二 > 法三。法三暴露的本质：实参数化的世界里这积分不可积，复定理的世界里它两行结案——「可积性」不是函数的属性，是语言的属性。全册的主旋律（理论系统的力量）在此预演：4.17 的三行证明将再次裁决。
题 1 用定义计算 ∫γ Re z dz，γ 为从 0 到 1 ＋ i 的直线段。
提示：γ(t) ＝ t ＋ it（t: 0→1），dz ＝ (1 ＋ i)dt，Re z ＝ t：∫01 t(1 ＋ i)dt ＝ (1 ＋ i)/2。注意 Re z 不是解析函数（第二章开篇第一个反例），积分老老实实按定义走。
题 2 ∫γ z̄ dz，γ 为圆 |z| ＝ 1 上从 1 逆时针到 i 的四分之一弧。
提示：单位圆代换 z̄ ＝ 1/z：∫ e−it·ieitdt ＝ i∫0π/2dt ＝ iπ/2。与例1 的 −iπ 对照：起终点不同、方向不同，账各自独立——线积分没有「端点补偿」这回事（原函数不在场）。
题 3 证明：对任意围道 γ，∫γ dz ＝ γ(终点) − γ(起点)；∫γ z dz ＝ (终点2 − 起点2)/2。这两个「免费公式」的适用条件是什么？
提示：1 与 z 的原函数分别是 z 与 z2/2，牛顿–莱布尼茨（3.6 引理）直接给出。条件只有一个：被积函数的原函数存在——与 γ 长什么样完全无关。这题是「路径无关」的最小示例：解析函数的基本盘。
题 4 计算 ∮|z|＝2 z̄2 dz（正向）。
提示：z ＝ 2eit，z̄2 ＝ 4e−2it，dz ＝ 2ieitdt ⟹ 被积 8ie−it：∫02π8ie−itdt ＝ 8i·[e−it/(−i)]02π ＝ 0（高频滤掉）。注意 z̄2 无原函数、账却为零——「账零」不等于「有原函数」：因果只有 Cauchy 方向（解析 ⟹ 账零），反方向是 Morera 的管辖（还要求连续＋单连通＋全部闭路）。
题 5 计算 ∫γ z·ez dz，γ 为从 0 到 i 的直线段。再用分部积分核验。
提示：原函数 (z − 1)ez（对 z 归纳或猜后验）：值 ＝ (i − 1)ei − (−1) ＝ (i − 1)ei ＋ 1。核验：分部 ∫z·ezdz ＝ [z·ez] − ∫ezdz ＝ z·ez − ez 同款 ✓。分部积分在 ℂ 照样合法——它是「乘积求导」的移项，与路径无关，只要求两端点。
题 6 γ 为椭圆 x2/4 ＋ y2 ＝ 1 正向。不参数化，写出 ∮γ dz/(z − 1/2) 并证明答案。
提示：1/2 在椭圆内。γ 可在「挖掉 1/2 的椭圆内部＋椭圆外圈补丁」里连续变形到 |z − 1/2| ＝ 1/4（变形全程不碰奇点）——复合闭路思想（3.10）保证账相等：∮ ＝ 2πi。「圈可变形、账守恒」是复积分最省力的杠杆——椭圆长什么样根本不用知道。
题 7 估计 |∮|z|＝3 dz/(z2 ＋ 4)|。
提示：奇点 ±2i 都在圈内，但 ML 不管这些：|z2 ＋ 4| ≥ |z|2 − 4 ＝ 5，M ＝ 1/5，L ＝ 6π ⟹ ≤ 6π/5。（真值第五章算：π·sinh 2·…——本页只练封顶。）
题 8 证明：∮|z|＝R dz/(z2 ＋ 1) → 0（R → ∞）。这是第五章约当引理的最小版本。
提示：|z2 ＋ 1| ≥ R2 − 1，|∮| ≤ 2πR/(R2 − 1) → 0。分母的次数比分子高两次 ⟹ 大圆账必然缩水——「半平面上的反常积分」全靠这一行，5.10 见。
题 9 f 连续于 |z − a| ≤ r，M(r) ＝ max|z−a|＝r|f|。证明 |f(a)| ≤ M(r)，并指出这不等式叫什么名字（它与 3.14 的关系）。
提示：这是 3.14 尾声的均值不等式：f(a) 是圆周平均 ⟹ ≤ 圆周最大。注意：只要求 f 连续时不成立（均值性来自解析），所以题目必须先给「f 解析」（或直接引用圆周均值定理）。x(t) ＝ sin t 那样的连续函数内部峰值随便长——均值是解析的特权。
题 10 判断下列函数在指定区域上是否有原函数：(a) z2 于 ℂ；(b) 1/z 于割破平面 ℂ∖(−∞, 0]；(c) 1/z 于 ℂ∖{0}。
提示：(a) z3/3 ✓。(b) Log z 的导数恰是 1/z ✓ 有！(c) 无——绕圈账 2πi ≠ 0 判死。对照 (b)(c)：同一个函数，割一刀就有原函数——刀口砍断的是「绕圈的资格」，原函数的存在性是函数×区域的联合判决。
题 11 f(z) ＝ 1/z2 于 ℂ∖{0}。求它的原函数，并解释：为什么 1/z2 没有洞的问题，1/z 却有？
提示：原函数 −1/z ✓（求导即验；−1/z 在 ℂ∖{0} 单值解析）。本质：绕一圈，1/z 的「账本」涨 2πi（辐角项），1/z2 的账本涨 0——因为它的原函数不需要辐角。一般地 1/zn（n ≥ 2）的原函数 −1/((n−1)zn−1) 全都安分，唯独 n ＝ 1 的原函数是 ln|z| ＋ iθ，θ 单不了值。「一阶极点才有账」再次现身（例4、例8 三度出场了）。
题 12 设 f 解析于单连通域 D 且 f′ ≠ 0 恒成立。证明 g ＝ 1/f′ 与 h ＝ 1/f（f 无零点时）各自的原函数存在问题吗？逐个回答。
提示：g ＝ 1/f′：分子分母都解析 ⟹ g 解析于 D，D 单连通 ⟹ Cauchy–Goursat 账零 ⟹ 原函数存在 ✓。h 同理但需 f ≠ 0（否则 1/f 不解析）。注意「解析 ⟹ 有原函数」这步在单连通域是 Cauchy 定理的直接红利——3.6 的闭环今天全线通车。
题 13 计算 ∮|z|＝2 (3z ＋ 1)/(z(z − 1)) dz（正向）。
提示：拆部分分式 (3z ＋ 1)/(z(z − 1)) ＝ −1/z ＋ 4/(z − 1)（通分验：−(z−1) ＋ 4z ＝ 3z ＋ 1 ✓）。两奇点 0、1 都在 |z| ＜ 2 内：∮ ＝ −2πi ＋ 4·2πi ＝ 6πi。每个一阶奇点各交一次 2πi 的「税」，系数是分子在奇点的值——第五章留数定理的口语版。
题 14 γ 为 |z| ＝ 1 正向。计算 ∮γ dz/(2z ＋ 3i) 与 ∮γ dz/(z2 ＋ 4)。
提示：第一支奇点 −3i/2 在圈外 ⟹ 0。第二支奇点 ±2i 都在圈外 ⟹ 0。两支全零——别见分母就条件反射 2πi，先查户籍（奇点在不在圈内）。
题 15 γ 绕原点逆时针 n 圈（n 圈闭路，见挑战二的绕数）。计算 ∮γ ez/z dz，并写出 n 圈的一般公式。
提示：复合闭路：γ 账 ＝ n × 单圈账 ＝ n × 2πi·e0 ＝ 2nπi。一般公式：∮γ f(z)/(z − a)dz ＝ 2πi·n(γ, a)·f(a)，n(γ, a) ＝ 绕数——第五章辐角原理的种子已埋下。圈数是可以被积分数出来的：反过来，知道账就能反推圈数。
题 16 对 f(z) ＝ z̄·z2 复述 3.8 证明的哪一步会失效？（本题训练「证明里每个条件在哪一步领工资」的意识。）
提示：失效在第三步「线性部分积零」——z̄·z2 在一点 ζ 处根本不可导（z̄ 因子），差商不收敛于任何 f′(ζ)，写不出 |f(z) − f(ζ) − f′(ζ)(z − ζ)| ≤ ε|z − ζ|。事实上它的三角形账确实不零（含 z̄ 成分的账 ＝ 面积账，例5）。「f′ 在一点存在」是 Goursat 机器唯一的燃料口。
题 17 用 3.8 的先验估计 |∮∂T f| ≤ C·diam(T)2 证明：f 解析于 D，则对 D 内任一可缩闭路 γ，∮γ f dz ＝ 0。
提示：可缩 ⟹ γ 的内部含于 D ⟹ 内部可剖分成足够细的三角形网格（单连通性领工资处）：γ 的账 ＝ 网格全部内边界的账之和（内部公共边一来一回对消）；每片 ≤ C·diam2，N 片合计 ≤ N·C·diam2 → 0（细分时 diam2 缩得比 N 涨得快——面积守恒是关键：Σ diam2 ≤ C′·面积）。∎
题 18 Goursat 证明为何强调「三角形」而不直接对「圆」或「方」？
提示：三角形是「可与自身相似地四等分（二分）」的最简多边形：二分后中位线账对消干净、直径与周长同缩一半、嵌套闭集套住一点。方/圆也能做但账面繁琐；关键是「自相似剖分 ＋ 嵌套套点 ＋ ML」三板斧——这套刀法第六章 Schwarz 引理、第五章保域性还会回来。
题 19 判断下列区域的连通数：ℂ∖{0, 1, 2}；带形 0 ＜ Im z ＜ 2π；去掉正实轴的 ℂ∖[0, ∞)；圆环 {1 ＜ |z| ＜ 2} 再去掉实线段 [1, 2]。
提示：三连通（三个洞）；单连通（带子没有洞——任何圈都能在带内收缩）；单连通（刀口又治洞：绕 0 的圈全被切断）；单连通！——线段把圆环的内外边界接通，绕洞的路全断。「挖掉一条伸到边界的缝不增加洞，反而消灭洞」——2.13 分支理论的地形学原理。
题 20 f 解析于圆环 1 ＜ |z| ＜ 4。已知 ∮|z|＝3 f dz ＝ 6πi，求 ∮|z|＝2 f dz。
提示：两圈同在环内、绕同样的洞一圈，复合闭路 ⟹ 相等：6πi。信息从一个圈瞬间传到另一个圈——这就是「圆圈本位币」（3.10）：环域上闭路积分只有「绕数」这一个自由度。
题 21 Γ 为 |z| ＝ 3 正向，γ 为 |z| ＝ 1 逆向（顺时针）。f 解析于 |z| ＜ 4。计算 ∮Γ f dz ＋ ∮γ f dz，并说明这是哪条定理的「合账」形式。
提示：Γ 账 ＝ 2πi·F（F 是某量），γ 账 ＝ −2πi·F，和 ＝ 0。合账形式即复合闭路定理的「正向大圈 ＋ 逆向小圈 ＝ 一条缝过的闭路」——缝上两条径向线，账目抵消。定理的记账符号学：内边界永远取「域在左手边」的定向，即与外圈相反。
题 22 计算 ∮|z|＝π sin zz − π/2 dz。
提示：a ＝ π/2 ≈ 1.57 ＜ π 在圈内，f ＝ sin z：∮ ＝ 2πi·sin(π/2) ＝ 2πi。 （题目故意先摆一堆吓人的数——Cauchy 公式的日常就是「吓人的分母、平凡的答案」。）
题 23 计算 ∮|z|＝2 ezz2 ＋ 2z dz。
提示：分母 z(z ＋ 2)，奇点 0 与 −2：0 在 |z| ＜ 2 内、−2 在圆周上！奇点压线，公式失效（Cauchy 公式要求 a 严格在圈内、f 在圈上解析）。处置：改用 |z| ＝ 3（两点全进圈，例7 法）：拆 1/(z(z ＋ 2)) ＝ ½(1/z − 1/(z ＋ 2))，值 ＝ ½·2πi(1 − e−2) ＝ πi(1 − e−2)。教训：动笔前先把奇点与圆周的相对位置核清——「压线」不是细节是事故。
题 24 f 解析于 |z| ＜ 5，已知 ∮|z|＝3 f(z)/(z − 1)2 dz ＝ 8πi。求 f′(1)。
提示：这是高阶公式（n ＝ 1）：∮ ＝ (2πi/1!)·f′(1) ⟹ f′(1) ＝ 4。反读公式：积分值是导数探针——围道积分可以当「望远镜」用，从边界读出内部任意阶导数。第四章的 Cauchy 不等式（系数估计）正是把这台望远镜定量化。
题 25 计算 ∮|z|＝1 cos zz5 dz。
提示：n ＋ 1 ＝ 5 ⟹ n ＝ 4，f ＝ cos z：∮ ＝ (2πi/4!)·cos⁗(0) ＝ (2πi/24)·cos 0 ＝ πi/12。
题 26 计算 ∮|z|＝2 ez(z − 1)2(z ＋ 1) dz。
提示：双奇点：1（二阶）与 −1（一阶），都在圈内。拆部分分式（待定系数）：1/[(z − 1)2(z ＋ 1)] ＝ A/(z − 1) ＋ B/(z − 1)2 ＋ C/(z ＋ 1)，解得 A ＝ −1/4, B ＝ 1/2, C ＝ 1/4。账 ＝ 2πi[−¼·e ＋ ½·e] ＋ 2πi·¼·e−1 ＝ 2πi(e/4 ＋ e−1/4) ＝ (πi/2)(e ＋ e−1) ＝ πi·cosh 1。（也可以只拆出需要的一两支——圈外支不交税。）
题 27 证明：若 f 整函数且 |f(z)| ≤ A ＋ B|z|k（A, B, k 固定），则 f 是次数 ≤ k 的多项式。
提示：Cauchy 估计：|f(n)(0)| ≤ n!(A ＋ BRk)/Rn，R → ∞：n ＞ k 时右端 → 0 ⟹ f(n) ≡ 0（n ＞ k）⟹ Taylor 展开（第四章）在 k 阶截断 ⟹ 多项式。这是「刘维尔定理的定量版」——第四章 4.17 的标准配套件，本页先装好。
题 28 f 解析于 |z| ≤ 1。已知 |f(z)| ≤ 2 于 |z| ＝ 1，问 |f(1/2)| 最大可能多少？若还知道 f(z) ＝ z2 ＋ c 型呢？
提示：一般情形：|f(1/2)| ≤ 2（最大模原理：内部被边界封顶；具体峰值还能更小，但 2 是万无一失的上界）。z2 ＋ c 型：|f(1/2)| ＝ |1/4 ＋ c| ≤ 1 ＋ |c|，约束 |c ＋ eiθ| ≤ 2 对一切 θ ⟹ |c| ≤ 1 ⟹ |f(1/2)| ≤ 5/4。「边界封顶」是普适保险，「具体函数具体算」才有紧界——两层信息别混。
题 29 f 非常数、解析于有界区域 D、连续于 D̄，且 |f| 在边界上恒 ＝ 1。证明 f 无零点，且 |f| ≡ 1 于 D̄？——先判断，再证明或举反例。
提示：判断：前半对，后半错。反例 f(z) ＝ z 于单位圆盘：边界 |z| ＝ 1 恒 1，内部 |z| 任意小。修正：|f| 无内峰（最大模），但可以有内谷（零点）；若 f 无零点，则 1/f 解析 ⟹ 1/|f| 无内峰 ⟹ |f| 无内谷 ⟹ |f| ≡ 1 ⟹ f 常数。「最小值要另收费」是最大模原理最常见的考点陷阱。
题 30 用最大模原理证明：非多项式整函数（超越整函数）不可能满足 |f(z)| ≤ C|z|n 对大 |z| 成立。——它与题 27 分工何在？
提示：题 27 的结论已说：这类增长封顶 ⟹ 多项式。本页的读法：超越整函数必须「在无穷远处超多项式地疯长」——ez、sin z 的无界性不是缺陷是义务。分工：题 27 用 Cauchy 估计（定量），本页用最大模原理（定性）——同一刚性事实的两面。第五章 Picard 定理将把「疯长」加码到「几乎处处取遍所有值」。
题 31 计算 ∮|z|＝3 sin zz2(z − 2) dz。
提示：奇点 0（二阶）与 2（一阶）都在圈内。先拆部分分式：1/[z2(z − 2)] ＝ A/z ＋ B/z2 ＋ C/(z − 2)。定系数：在 z ＝ 2 处 C ＝ [1/z2]|z＝2 ＝ 1/4；展开 1/(z − 2) ＝ −½·1/(1 − z/2) ＝ −½ − z/4 − z2/8 − … ⟹ B ＝ −½, A ＝ −¼。逐支结账：A 支（一阶）＝ 2πi·(−¼)·sin 0 ＝ 0；B 支（二阶，走 n ＝ 1 高阶公式）＝ (−½)·2πi·[d/dz (sin z)]|z＝0 ＝ −½·2πi·1 ＝ −πi；C 支（一阶）＝ 2πi·¼·sin 2 ＝ (πi/2)·sin 2。总计 (πi/2)(sin 2 − 2)。∎（拆分后逐支写标准形、逐支套公式——不要合并心算。）
题 32 f 解析于 |z| ＜ R，|f(z)| ≤ M，证明 |f′(z)| ≤ M·R/(R2 − |z|·R)·… 完整叙述：对 |z| ＜ R 给出 |f′(z)| 的 Cauchy 估计（柯西不等式的点态版）。
提示：取圆 |z − ζ| ＝ r ⊂ D（ζ 固定，r ＝ R − |ζ|）套 Cauchy 估计：|f′(ζ)| ≤ M(r)/r，M(r) ≤ M。得 |f′(ζ)| ≤ M/(R − |ζ|)。越靠近边界界越松——「边界外的世界我们不知道」，这是 Schwarz 引理（第六章）的出发点：在单位圆上把 M ＝ 1、ζ ＝ 0 的情形磨成等式级精密。
题 33 把第二章挑战二的全部通过程复述一遍，这次用本章语言：∮2/z dz ＝ 4πi 的「4」从哪来、「πi」从哪来；并指出该题哪一步用到了本章的哪条定理。
提示：「4」＝ 分子系数 2 × 圈数 1（部分分式语：2·[1/z 的税 2πi] ＝ 4πi）；「πi」＝ 单位圆的圈数账 2πi 的一半份额（系数 2 折进）。用到的定理：②步「局部共轭存在」＝ 3.6 局部原函数（单连通小圆盘）；③步反证用的「闭路账零 ⟹ 单值原函数」＝ 3.6 引理；而 ∮2/z dz ＝ 4πi 本身 ＝ 3.7 的 2πi 乘 2。当时欠的账，如今每一步都有了户名——这就是「理论系统」的含义。
三问自测（闭卷 5 分钟）：①∮dz/z ＝ 2πi 为什么与半径无关？一句话（圈数账，半径对消）；②Cauchy–Goursat 证明的三板斧默写（二分、嵌套套点、ML 收网）；③「一次可导 ⟹ 无穷可导」的证明用了哪条公式、换序的通行证是什么（高阶公式；一致收敛——第四章正式立法）。答不顺者回 3.7、3.8、3.12。
《九章算术》方田章还记着一种田：环田——圆环形的地。「环田术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步」：面积 ＝（外周 ＋ 内周）÷ 2 ×（径）。用现代话说：A ＝ ½(C外 ＋ C内)·(R − r)——两条圆周的平均，乘以圈宽。刘徽注里补了「密率」的修正，但账本的货币没变：环田的账，沿圆周计价。
现在把这页古账与 Cauchy 积分公式并排放，会看到惊人的同构。Cauchy 公式说
f(a) ＝ 12πi ∮|z−a|＝r f(z)z − a dz——圆心之值 ＝ 圆周之值的平均（权重 1/(z − a) 参数化后摊平成均匀平均）。
环田术：环之面积 ＝ 两圈之周的平均 × 宽。Cauchy：心之函数值 ＝ 一圈之值的平均。「沿圆取样、加权平均、决定整体」——同一套算法，一个管面积、一个管函数值。刘徽的割圆注（割之弥细，所失弥少）给环田粗账装上极限引擎；Goursat 的二分术给 Cauchy 公式装上先验估计——两条传统各自把自己的「沿圆算账」磨成了精确数学。
1825 年，三十来岁的柯西在《论定积分》 mémoire 里写下以他命名的定理，但要有一个前提：f′ 连续。在他的时代这几乎不被视为假设——十九世纪早期的分析里，「可导」与「可导且导数连续」的边界还糊成一片；连续性假设下，格林公式（当时刚成形）一步给出定理，账面干净漂亮。
七十五年后，1900 年，古萨（Édouard Goursat）在法国数学会通报上发了三页短文，指出一件细思极恐的事：那个前提根本不需要。3.8 的二分术就是他的刀法——全程只碰「f′ 在一个点存在」这张最小牌。定理不但活着，还变强了：适用面从「导数连续的解析函数」扩到「解析函数」全体。1904 年普林斯顿的 Hedrick 把它译介进美国教材，「Cauchy–Goursat 定理」的连名从此写进教科书。
这次淬炼留下了三件遗产：
顺带正名：定理常被叫「Cauchy 积分定理」，但积分公式（3.11）与积分定理（3.8）在 Cauchy 手里是同一场战役的两份战报——1825 与 1831 两轮。而「解析 ⟹ 无穷可导」这个惊人的推论，当时的人都当作显然的赠品没当回事，直到 Weierstrass 学派追问「赠品从哪来」才看清它值一座城（2.7 思想卡的台阶图）。定理的价值常常要等下一个问题出现才显形。
方法表（考试即查）：算围道积分 → 查奇点（解分母＝0、标图、比半径）→ 在圈内？逐点配 Cauchy/高阶公式（先拆部分分式）；全在圈外 → 直接零。估计 → ML（分母三角不等式、对 R 求最优）。判解析 → C–R／原函数／Morera 三法。读 f(n)(a) → 凑 ∮f/(z − a)n＋1 标准形。证「界 ⟹ 常数/多项式」→ Cauchy 估计令 R → ∞。
通往下一章的三根线头：① Cauchy 公式 ⇄ 几何级数：把 1/(z − a) 展开，f 的 Taylor 级数自动到手——「展开是必然不是特权」（4.7）；② 刘维尔已装弹（3.15），4.17 三行拿下代数学基本定理——全册高潮、本册书名的兑现处；③ 圆周均值 ⟹ 圆盘展开 ⟹ 圆盘映射（第六章 Schwarz 引理），割圆线下半场。
第三章 · 思想卡
本章所有大定理是同一条原理的十种拼写：Cauchy–Goursat（解析 ⟹ 闭路账零——路径数据全灭）、复合闭路（账只认绕数——数据压缩到圈数）、Cauchy 公式（圆心被圆周决定——边界普查内部）、高阶公式（导数也是圆周账——各阶全被边界管着）、圆周均值（平均定圆心，半径随便换）、Cauchy 估计（边界封顶 ⟹ 导数封顶）、最大模原理（峰值逐出内部）、刘维尔（全平面都是边界 ⟹ 有界即常数）、Morera（账零 ⟹ 解析——原理反着念也通）、Green 对表（实语里同一句话只算一笔账）。
把十种拼写压成一句话：解析函数没有内部自由。每一点的值、每一阶的导数、模的一切峰谷，全部被边界数据锁定。实分析里这是天方夜谭——光滑函数两端为零，中间可以竖起任意高的塔；ℂ 上一圈取样就锁死全城。第二章思想卡说「复分析没有中等函数」；本章补全：「复分析没有内部隐私」。
值得想一层的是因果的方向：不是「函数品德好所以守规矩」，而是「入场券（复可导）苛刻到只容一种结构，而这种结构天然全局绑定」。苛刻与绑定是同一枚硬币——第二章的入口、本章的出口、第四章的高潮，翻来覆去都是这枚硬币。
一句话带走：内部由边界决定——第四章它变成「展开是必然」（圆盘边界定 Taylor 全体系数），第五章变成「留数定理」（边界账一次清点），第六章变成「Schwarz 引理」（边界约束打磨成等式）。全册剩余三章，都是这条原理的续写。
任务：不看 3.8，独立复现 Goursat 证明全程，并在数值实例上跑一遍先验估计。
路线图 目标：f 解析于三角形 T（含内部），证 |∮∂T f dz| ≤ K·diam(T)2，从而 diam 任意时积分为零。
① 二分与幸存者：连三边中点得四个小三角形 T(1)…T(4)。证明 |∮∂T| ≤ Σ|∮∂T(k)|（中位线两向账对消），故存在 k 使 |∮∂T(k)| ≥ ¼|∮∂T|。
② 嵌套与套点：迭代得 T ⊃ T1 ⊃ T2 ⊃ …，diam(Tn) ＝ diam(T)/2n；嵌套闭集（Cantor 交集定理——它对平面上「直径 → 0 的闭集套」成立）给出唯一点 ζ。归纳：|∮∂T| ≤ 4n|∮∂Tn|。
③ 局部线性：f′(ζ) 存在 ⟹ 对 ε ＞ 0，n 足够大时 |f(z) − f(ζ) − f′(ζ)(z − ζ)| ≤ ε|z − ζ| 于 Tn。先证辅助账：∮∂Tn (f(ζ) ＋ f′(ζ)(z − ζ))dz ＝ 0（常数与一次项沿闭路积零——直接参数化）。
④ ML 收网：|∮∂Tn f dz| ＝ |∮∂Tn [f − 线性部分]dz| ≤ ε·max|z − ζ|·L(Tn) ≤ ε·diam(Tn)·L(Tn) ＝ ε·diam(T)2/4n（L 与 diam 同步减半）。代回②：
|∮∂T| ≤ 4n·ε·diam(T)2/4n ＝ ε·diam(T)2 ⟹ |∮∂T| ≤ K·diam(T)2，K ＝ ε（实为任意小）⟹ 积分 ＝ 0。∎
挑战要求：① 每步注明「用了哪个条件」（只用：f′ 于一点存在、ε 定义、几何收缩）；② 数值演示：f(z) ＝ |z|2 的 z̄ 型账 ∮∂T z̄dz，对 T 取等腰直角三角形（顶点 0, 1, i），直算 ＝ 2i·面积 ＝ i（例5 的面积公式）；再按「若 Goursat 适用会得 0」对照——失效点定位于③（f′ 不存在，z̄ 无处可导）；③ 用 ②回答：为什么「连续性假设的退场」必须以「差商定义的重排」为代价（ε 那一步是全部连续性的替身）。
参考：②的直算：∂T ＝ 0→1→i→0 三段，z̄dz 各段：底边 ∫xdx ＝ ½；竖边 z ＝ it，z̄ ＝ −it，dz ＝ idt：∫(−it)(i)dt ＝ ∫t dt ＝ ½；斜边 z ＝ (1 − t) ＋ it，z̄ ＝ (1 − t) − it，dz ＝ (−1 ＋ i)dt：∫[(1 − t) − it](−1 ＋ i)dt 算得 −1 ＋ i…合并 ＝ i ✓（＝ 2i × ½ 面积）。
背景 3.7 说 ∮dz/z 只认圈数；3.10 说闭路积分是「圈数的函数」。本题把「圈数」造成一个可计算的量，并初见「基本群」的门牌。
① 绕数的积分定义：a 不在闭路 γ 上，定义
n(γ, a) ＝ 12πi ∮γ dzz − a。
先证 n(γ, a) 是整数：设 g(t) ＝ ∫aγ(t) dζ/(ζ − a)（沿 γ 从起点累计），则 g′(t) ＝ γ′(t)/(γ(t) − a)，于是 (γ(t) − a)e−g(t) 的导数为零 ⟹ γ(t) − a ＝ (γ(a) − a)eg(t)；t 取到终点（闭路回到 γ(a)）时 |eg| ＝ 1 ⟹ g ＝ 2πi·n，n ∈ ℤ。∎（这个 elegant 证明把「辐角涨了多少」变成「指数函数的周期数了几下」——2.11 周期性的直接应用。）
② 性质清点：n(γ, a) 在「a 沿不碰 γ 的路移动」时不变（被积函数对 a 解析，账不认 a 的连续挪动）；γ 连续变形（不碰 a）时不变——同伦不变性。绕数是闭路的「拓扑指纹」：变形不改指纹。
③ 基本群初瞥：挖心平面 ℂ∖{0} 里，闭路按绕数分类：绕 n 圈的归第 n 类（含方向）。这些类可以做「加法」（先走 γ 再走 η，绕数相加）——全体整数 ℤ 的结构！这个 ℤ 就是 π1(ℂ∖{0})——基本群的第一个样本：「洞」的算术身份证。ℂ 单连通 ⟹ π1 ＝ 0（只有平凡圈）；r 个洞 ⟹ π1 ＝ ℤr。∮dz/z ＝ 2πi 是 π1 ≠ 0 的积分显影。
延伸：① 证明 n(γ, a) 对 γ 之外的 a 是 a 的连续（甚至解析）函数——又一条「整数只能在边界跳变」的刚性案例；② 用绕数改写复合闭路定理：∮Γ f dz ＝ Σk n(Γ, 洞k)·∮标准圈k f dz——账目全化成「圈数 × 本位币」；③ 预告（第五章）：f 的奇点处 n(γ, a) 与「零点极点之差」挂钩——辐角原理：∫f′/f dz ＝ 2πi·N − P。积分变成计数器，本页已交出原型。
实验目的：用眼睛分清两种「不归零」。把 f ＝ u ＋ iv 的场记为 F ＝ (u, −v)（例5 的拆账），则 Re ∫f dz ＝ 做功、Im ∫f dz ＝ 流量。两案对照：案 A f(z) ＝ z̄（函数的病）；案 B f(z) ＝ 1/z（区域的病）。SVG 快照与数值档案：
动手延伸：① 数值验证：对案 B 取 |z| ＝ 1, 2, 5 三种圆各离散成 720 段求和，观察账恒 ≈ 6.283i（半径无关）；对案 A 同样三圈，账 ≈ 2iπr2·…随 r2 涨——两族曲线一张图，病因自明；② 画 f(z) ＝ 1/z2 的场并绕圈求和：账 ＝ 0——「一阶极点才有账」（本章四度出场，第五章定名「留数」）；③ 在纸上画一条「花式闭路」，用绕数直觉预言 ∮dz/z 的值，再用离散求和验证——「先数圈、再算税」的实操。
一、基础四问（每题 10 分，30 分钟闭卷）
1. 计算 ∮|z|＝2 (2z ＋ 3)/(z(z − 1)) dz（正向）。
2. 估计 |∮|z|＝5 dz/(z3 ＋ 8)| 的上界。
3. 求 f(z) ＝ z·ez 的原函数，并计算 ∫γ f dz，γ 为从 0 到 1 ＋ i 的任意围道。
4. 证明：f 解析于 |z| ＜ R，则 |f′(0)| ≤ M(R)/R，M(R) ＝ max|z|＝R|f|。
评讲：1. 拆 (2z ＋ 3)/(z(z − 1)) ＝ −3/z ＋ 5/(z − 1)（验：−3(z − 1) ＋ 5z ＝ 2z ＋ 3 ✓），两奇点在圈内：−3·2πi ＋ 5·2πi ＝ 4πi。2. |z3 ＋ 8| ≥ 125 − 8 ＝ 117：≤ 10π/117。3. 原函数 (z − 1)ez：值 ＝ (i)ei − (−1)·e0 ＝ iei ＋ 1——注意「任意围道」合法只因原函数在场。4. 高阶公式（n ＝ 1）＋ ML：|f′(0)| ≤ M(R)·2πR/(2πR2)·…即 ≤ M(R)/R——这正是 3.15 刘维尔装配的第一节火箭，默写全程。
二、进阶两问（每题 15 分）
5. 设 f 整函数且 |f(z)| ≤ 1 ＋ |z|3/2 对一切 z。证明 f 是次数 ≤ 1 的多项式，并进一步证明 f 是常数 ＋ 线性且斜率模 ≤ 0？——先审查命题，能证多少证多少，指出命题中「≤ 0」一处的问题并修正。
6. 用三种方法计算 ∮|z|＝2 ez(z − i)2 dz，并说明每种方法各「看见」了定理链条的哪一环。
评讲：5. Cauchy 估计（题 27 同款）：n ≥ 2 时 |f(n)(0)| ≤ n!(1 ＋ R3/2)/Rn → 0 ⟹ f(z) ＝ a ＋ bz。但 |b| ≤ ？——估计给 |b| ≤ (1 ＋ R3/2)/R → 0（R → ∞）⟹ b ＝ 0，f 常数！命题的「斜率 ≤ 0」是笔误陷阱：正确结论比命题更强——3/2 次增长仍被刘维尔级武器碾平（题 27 的 k 必须整数才留线性项；3/2 次的夹在中间，反而全灭）。6. 法一 Cauchy 高阶公式（n ＝ 2）：(2πi/1!)·[d/dz ez]|z＝i ＝ 2πi·ei·…注意 n ＋ 1 ＝ 2 ⟹ n ＝ 1：∮ ＝ (2πi/1!)·(ez)′|z＝i ＝ 2πi·ei；法二 展开读表（ei + w/w2 的 1/w 系数）；法三 参数化（搁浅但可数值验证）。三法分别对应「高阶公式／Laurent 预告／定义的忠实」。
评分与过关线：80 分过关；未过关者按复盘错型索引回补对应讲义页与习题课。过章仪式：在章名旁写日期与一句话心得——第三章毕业，第四章去圆盘上展开：Taylor 级数与刘维尔定理，全册高潮、代数基本定理的三行证明在 4.17 等。
前三章我们一直在「解剖」解析函数：看它的导数（第二章）、看它的积分（第三章）。本章换一件武器——把它展开。多项式是人类最熟悉的函数：加、乘、求值、求导，样样是小学算术。幂级数就是把无穷多个多项式叠成一个阶梯，让任意解析函数站上去——从此研究函数 ＝ 读它的系数。
这不是新发明，而是老朋友的重逢：《九章》少广章的开方术，本质就是「用多项式逼近 √a」——每多除一位，多项式就升一阶。本章第一条明线断言：幂级数 ＝ 开方术的无尽版，札记① 将把这条线一路拉回汉代。
本章的戏剧结构是一台双幕剧：上半场（4.2–4.9）证明「展开是必然」，把 Taylor 公式从实分析的「高配」贬为复分析的「标配」；下半场（4.10–4.17）用展开读出奇点的分类学，最后在 4.17 引爆全册高潮——刘维尔定理三行拿下代数学基本定理。绪论 0.6 预告的「三层家底链」在此合龙：Cauchy 公式（三章）＋ Cauchy 估计（三章）＋ 展开理论（本章）＝ 三行证明。
复数列 zn → z 的定义与实数一字不差：∀ε＞0，∃N，n＞N ⟹ |zn − z| ＜ ε。妙处在判定：复收敛 ＝ 实虚部分别收敛。zn ＝ xn ＋ iyn 收敛 ⟺ {xn}、{yn} 都收敛——实二维的收敛理论整套白拿。
级数 Σzn 定义为部分和数列的极限。三个常用判别法原样过河：
「绝对收敛」在复级数里比实级数更值钱：Σ|zn| 收敛 ⟹ Σzn 收敛，且可任意重排——因为绝对收敛把级数钉死在「实正项级数」的保险柜里，Riemann 重排悖论（条件收敛级数可重排出任何数）在复级数里同样只威胁条件收敛者。
函数列 fn(z) → f(z) 有两种收敛：逐点（每个 z 各自收敛，速度可以千差万别）与一致（全区域共用一个 N：∀ε，∃N，n＞N ⟹ supD|fn − f| ＜ ε）。一致收敛是「交换运算」的通行证——它保证极限继承好性质：
复分析在这里领先一步：实分析里一致收敛不传递导数（fn 个个可导、一致收敛到 f，f 仍可能不可导——经典反例 fn(x) ＝ sin(nx)/n 一致收敛到 0，导数却发散）。复分析里 4.7 将证明：解析函数的一致极限必解析（Weierstrass 第一定理）。「好性质」在实世界要靠一致收敛小心翼翼供着，在复世界是免费的。
本页判别法是全章的润滑剂：4.6 逐项微积分、4.7 Taylor 定理、3.13 Morera 级数流水线，全都靠 M-判别发通行证。
幂级数有一个别的级数梦寐以求的结构定理——收敛域必是一个圆盘：
于是幂级数的收敛域只有三种形状：一点 {z0}、全平面 ℂ、或一个圆盘 |z − z0| ＜ R（边界上好坏参半，需逐点另判）。这个 R 就是下一页的主角——收敛半径。注意「圆盘」不是巧合而是必然：幂级数每项 an(z − z0)n 的「力度」只看离中心的距离，方向无关——圆对称刻在定义里，这正是复分析「圆本位」的第一个级数签名（割圆线 +1：连收敛域都是圆的）。
Abel 定理的证明顺便展示了幂级数的操作哲学：比较的对象不是「项」而是「比值的幂」qn——把几何级数当作一切收敛的地基。第一章 1.10 说几何级数是「无穷等分的账本」，本章它是万能钥匙。
两个速算特例更常用：比值法 R ＝ lim |an/an＋1|（极限存在时）；根值法 R ＝ 1/lim n√|an|。例2 各演一遍。三个速验例子先存档：Σzn 的 R ＝ 1；Σzn/n! 的 R ＝ ∞（n! 比任何指数胖）；Σn!zn 的 R ＝ 0（系数比任何指数胖）。
半径的几何意义（本页的正戏）：收敛半径不是系数的私有财产，而是函数的地理——
1/(1＋z2) 这个例子值得盯三秒。实分析里它是 C∞ 的乖乖函数，没人能解释为什么 Taylor 级数恰好在 ±1 截止；复分析里一眼看穿：±i 两个奇点站岗，半径寸步不让。实函数的许多「怪癖」，是复世界地理投在实轴上的影子——这是 4.9 之墙的前奏，也是本册「实复对照」线索最锋利的一刀。
幂级数在收敛圆盘上的收敛是「内闭一致」的：在任何稍小的闭圆盘 |z − z0| ≤ r ＜ R 上一致收敛。证一行：r 处绝对收敛 ⟹ Σ|an|rn ＝ M ＜ ∞，而 |an(z − z0)n| ≤ |an|rn 对盘内一切 z 成立——M-判别白送。「内闭」二字是通行证的发放范围：盘内每个紧集一张。
有了通行证，三件大事全部合法：
③ 是复分析对实分析的超车点：实幂级数逐项求导也要先验证「导数级数一致收敛」，麻烦且只到一级；复版里求导可无限重复——半径不变 ⟹ S 是 C∞，更妙的是往下看：
于是「解析函数」与「收敛幂级数」是同一类对象的两个名字——这道等式是下半场全部武器（Laurent 展开、奇点分类、留数）的生产线。
证明是三步借力（本章处处如此——每一步调用前面的整座大厦）：
盯着这个证明看十秒，会看见本册的主题在一个证明里全数登台：Cauchy 定理（三章）供出公式，几何级数（一章）供出展开核，一致收敛（本章 4.3）供出交换权，圆（割圆线）供出舞台。没有一行是「技巧」，每一行都是「制度」。
与实版 Taylor 公式的对照：实版要求 f 有 n 阶导数（还要余项估计才能逼近），展开是特权；复版只要「解析」一个词（而解析只需一阶导数！），展开是必然——甚至不需要「想要展开」这个念头。f(n)(z0)/n! 这些系数不是「算出来的」，是 Cauchy 公式「押出来的」。
五个「母展开」是全章的工具箱——一切展开技巧都是把它们平移、换元、四则：
①②③ 的 R ＝ ∞ 不必算：整函数没有奇点，半径无处可停（4.5 的地理判据反过来用）。⑤ 的 R ＝ 1 藏着一个惊喜：α 非整数时 (1＋z)α 在 z ＝ −1 有支点——最近「奇点」是支点，半径照样认账（多值函数的支点也站岗）。
实分析里这五个公式要逐一用「余项趋零」验证；复分析里它们的地位不同：ez 是定义的展开（第二章 2.10 就是按级数理解的指数），sin/cos 由 ez 线性组合瞬间获得，④ 是几何级数，⑤ 由主支解析＋系数锁定式（4.6）自动生成。展开库不是「背」来的，是「制度」生产的——这句判断在 4.17 会变成铁证。
常用派生（例题与习题课反复调用）：换元 e−z2、平移 ez 在 z0＝1（例4）、四则 1/(z2＋1) 拆分（例5）、积分 arctan z ＝ Σ(−1)nz2n＋1/(2n＋1)。
归纳看一眼：x ≠ 0 时 φ(n)(x) 是 e^(−1/x2) 乘一个 1/x 的幂的有理式，x → 0+ 时指数碾碎一切幂（第一册极限章的「指数 polys 碎多项式」定理）。于是 φ 的「Taylor 系数」全是零：Σ0·xn ＝ 0 ≢ φ——函数明明无限光滑，Taylor 级数却对它视而不见。实分析 C∞ 与解析之间隔着一堵墙，墙内住着无数这种「假光滑」函数；C∞ 是个松散的大世界（第一章思想卡「柔滑的等级」的反面教材在这里集齐）。
复世界的翻案：把 φ 延拓成 g(z) ＝ e^(−1/z2)（z ≠ 0），g(0) ＝ 0，问 g 在 0 解析吗？看 w ＝ 1/z2 沿虚轴走：z ＝ it ⟹ 1/z2 ＝ −1/t2 ⟹ g ＝ e1/t2 → ∞。|g| 在 0 的任何邻域内无界——连连续都不保，更谈不上解析。刚才还无限光滑的函数，一进复世界当场现形。
深层读法：解析函数的本质约束是「在二维邻域内受控」——C–R 方程把实虚两半锁死，导数不能只在实轴方向表现良好。实轴是复世界的一条线，「线上的乖」骗不过「面上的审」。复解析比 C∞ 强就强在：它审的是面，不是线。这也回头解释了 4.7：为什么复世界「展开是必然」——因为「解析」这个入场券本身就贵得惊人，贵到自动附赠一切。
零点孤立定理：f ≢ 0 解析于区域 D ⟹ f 的每个零点都孤立——存在小圆盘，盘内除圆心外无零点。证一行：f ＝ (z − z0)mg，g(z0) ≠ 0 ⟹ g 在 z0 连续且非零 ⟹ 小盘内 g ≠ 0。推论（聚点开关的正式版，2.16 升格）：零点集在 D 内无聚点，除非 f ≡ 0。
立刻得到全章最有力的武器——唯一性定理：
一个聚点定全城——这就是 2.16 预告的「聚点开关」，现在是定理。它的实用性惊人：实轴上任一区间成立恒等式，ℂ 全境自动成立（实轴的每点都是 ℂ 内的聚点）。第一章欠的账全部结清：ez ＝ cosh z ＋ sinh z、sin2z ＋ cos2z ＝ 1、加法定理——实轴验一次，复平面全通行（例12 专收这类结算）。
与实分析的对照锋利：实 C∞ 函数可以在一个区间外「随便乱来」（贴零函数：x ≤ 0 处全零、x ＞ 0 处 e^(−1/x2)，处处光滑却「一半是零一半不是」）。解析函数没这个自由——零点一旦在区域内堆积，就屠杀整个函数。刚性第三次显形（2.16、4.9、4.10：三次不同角度，同一个「玻璃」）。
唯一性定理的另一个面孔是延拓：解析函数像接力棒，知道一段就全体知道。两个标准场景：
经典一例：Γ(s) ＝ ∫0∞ e−tts−1dt 只在 Re s ＞ 0 活；分部积分出函数方程 Γ(s＋1) ＝ sΓ(s) 后，Γ(s) ＝ Γ(s＋n)/[s(s＋1)…(s＋n−1)] 把定义接力到 Re s ＞ −n 的条带——无限接力 ⟹ Γ 延拓到 ℂ∖{0, −1, −2, …}，且每个非正整数是一阶极点（留数 (−1)n/n!，第五章正好用上）。函数方程是接力棒，延拓是接力赛。
延拓也有边界：自然边界——单位圆周 |z| ＝ 1 是 Σz2n/2n 的收敛圆，圆周上被稠密的奇点钉死，级数延不出圆盘一步。延拓不是无所不能的魔法：函数的「地理」由它自己的奇点圈定。而 monodromy 现象（绕支点一圈函数值变样）预告了多值函数的黎曼曲面——6 章札记②黎曼画布的伏笔在此埋下。
Taylor 级数有一样东西装不下：奇点本身。f(z) ＝ e1/z 在 0 附近处处解析、唯独 0 坏——想研究它的「病」，需要能在「挖了洞的圆盘」上展开的工具：
证明骨架 = Taylor 定理的圆环版：把 1/(w − z) 按情况拆两个几何级数——|z − z0| ＜ |w − z0| 展开正幂（解析部），|z − z0| ＞ |w − z0| 反向展开负幂（主部），逐项积分收尾。三步依旧全靠旧大厦：几何级数 ＋ 一致收敛 ＋ Cauchy。
两条结构性推论立刻到手：① 系数唯一（取 ρ 积分即得），但同一函数在不同圆环上有不同 Laurent 展开——展开是「函数×圆环」的属性（例7 分带展开正戏）；② 圆环是「方田章的图形」（札记①呼应环田）——Taylor 的圆盘是「实心田」，Laurent 的圆环是「环田」，账本形状对上了《九章》的田亩分类。
求 Laurent 展开几乎从不直接算系数积分——展开库（4.8）＋代数操作是正道。三条工艺：
分带展开是本页灵魂：f(z) ＝ 1/[z(1 − z)] 以 0 为中心有三个圆环，三个展开三副面孔（例7 全算）：|z| ＜ 1：1/z ＋ Σzn（主部一项）；0 ＜ |z| ＜ 1 之外 1 ＜ |z|：1/z − Σz−n−1（主部无穷长）。「函数的 Laurent 展开」这句话不完整——必须问「在哪个圆环上」。这与 4.5 收敛半径的地理观一脉相承：展开是函数×区域的联合属性。
工程心法：展开前先画带——奇点 0 与 1 把平面切成三环，题目问哪环用哪向。例8、习题课八全套演练。负幂的个数马上要变成奇点的「病历」：无负幂（可去）、有限项（极点）、无穷项（本性）——4.14 的分类学就是数负幂。
可去奇点的判据是 Riemann 定理：f 有界于 punctured 盘 ⟹ 奇点可去（主部若有负幂，|f| 必爆炸；有界逼死负幂）。1/z2 在 0 是二阶极点；sin z/z 在 0 可去（补值 1 变成 sinc）；e1/z 在 0 是本性。
极点的语言马上变成算术：m 阶极点 ⟺ 1/f 有 m 阶零点 ⟺ f ＝ g/(z − z0)m。而「零点阶数 ↔ 极点阶数」的互倒账（例9）是第五章留数速算（5.3）的地基。另一个高频工具：三判据速查——算 lim f（存在有限：可去；∞：极点；不存在：本性），例8 四连判演练。
把极点想成「地形」：可去是平地填坑，极点是 m 阶悬崖（|f| 按距离的 −m 次幂爆炸），本性奇点是深渊——里面有下一页的无限风景。
e1/z 是标本：令 w ＝ 1/z，ew 取值 w0 ≠ 0 在 w 平面有解（对数），且解是 w0 ＋ 2kπi 的无穷队列——k → ∞ 时 z → 0。于是在 0 的任何针尖大的邻域里，e1/z 已经把 ℂ∖{0} 每个值取了无穷遍。Picard 大定理更进一步（只除一个例外值——ew 的例外恰是 0）。
最反直觉的样本是本章思想卡的主角：e−1/z2 在 0 的本性奇点——沿实轴它温驯地趋于 0（虚轴方向却爆炸，4.9 见过）。同一个点，一条线看是天堂，另一条线看是深渊。本性奇点的「疯狂」不是混乱，是「过度的秩序」：无限多的方向各自为政。
与极点的对照收束：极点是「有限的坏」（可以按阶计量、可速算、可兑换——第五章留数的主战场）；本性奇点是「无限的坏」（留数照算，但 Picard 的疯狂无法用有限数字概括）。第五章的「残类判别法」（5.4 的 R 检验）会把三分类变成一页纸的流水作业。
一行证明（Cauchy 估计的收割，3.15 已装配）：|f′(a)| ≤ M(R)/R，f 有界 ⟹ M(R) ≤ M 对一切 R；令 R → ∞ 得 |f′(a)| ＝ 0。a 任意 ⟹ f′ ≡ 0 ⟹ f 常数。∎
盯着这行证明——它就是本册书名的兑现预演。证明没有一处「构造」，全部是「调用」：Cauchy 估计来自高阶公式（三章 3.12），高阶公式来自 Cauchy 公式（3.11），Cauchy 公式来自 Cauchy–Goursat（3.8），而那条定理来自「解析 ＝ 复可导」这个定义的旋转不变性（2.2）。一个「有界」假设 + 一整座大厦 = 「常数」这个结论。技巧的堆叠做不到这件事——只有理论系统做得到。
定量升级（多项式版刘维尔）：|f(z)| ≤ C(1 ＋ |z|)m 对一切 z ⟹ f 是次数 ≤ m 的多项式（Cauchy 估计令 R → ∞，n ＞ m 的系数全部压死）。反过来多项式确实按 |z|deg 增长——整函数的增长速度就是它的「代数身份」。这个观点把「常数—多项式—超越整函数」排成一条增长阶梯，例10 与习题课十全程演练。
停三秒，向这三行致敬。代数学基本定理四百年悬案：d'Alembert（1746）、Gauss（1799，一生给过四个证明）都在「实」的地形上艰难跋涉，每个证明都要偷偷用一条实连续函数的介值/最值事实。刘维尔（1840s 传播的思路，基于 Cauchy 1825 年的积分理论）的证明一个不等式都不硬掰——所有估计早已在三座定理里算完：「1/p 是整函数」是解析代数，「多项式在 ∞ 爆炸」是初等估计，「有界整函数是常数」是三章蓄好的一发炮弹。
这正是本书点名的主题的终极形态：证明的美不在局部的机智，而在系统的纵深——每一行都踩在前一章的地基上，三行 = 三个章节的合力。实证明像手工匠（逐个构造、逐处估计），复证明像立法（先建系统，个案自动判决）。札记② 把 d'Alembert、Gauss 两次、代数拓扑版、刘维尔版四条谱系排开对照，「理论之力」与「技巧之力」的差异一目了然；挑战一亲手完整书写并与 Gauss 的证明逐段对照。
还想再看一次这种美？第五章 5.14 Rouché 定理给代数基本定理第四条路线——从「绕数的拓扑账」再赢一次。同一定理、两条复路线、殊途同归：理论的冗余正是理论健全的标志。
六件兵器（考试即查）：① 收敛半径——Cauchy–Hadamard / 比值 / 根值，几何读法「离最近奇点的距离」（含支点）；② 展开库——五母展开＋换元/平移/四则/逐项微积分；③ 唯一性——恒等式实轴验一次全境通行；零点聚点开关；④ Laurent——先画带再定向，分带展开；⑤ 奇点分类——数负幂（0/有限/无穷）或算 lim f；⑥ 刘维尔——有界 ⟹ 常数；增长 C(1＋|z|)m ⟹ 次数 ≤ m。
易错三坑：①「Taylor 级数在收敛圆边界外仍等于函数」——错，圆外身份要延拓接力（4.11），自然边界会拦截；②「极点的阶 ＝ 分母零点的阶」——必须先约分（sinc 类陷阱，例8③）；③「本性奇点只是不连续」——它是「取遍一切值无限次」的定向爆破（4.15）。
通向下一章的三根线头：① 主部系数 c−1 升级为留数——第五章把一切闭路积分变成「数残桩」的算术；② 奇点分类 × 闭路积分 ＝ 留数定理，三角积分、广义积分、辐角原理全在弹道上；③ 增长阶梯（刘维尔定量版）在 5.14 变成 Rouché 的「谁主导谁定根数」——代数基本定理第四条路线发车。
例1 讨论 Σ zn/n! 与 Σ zn/n2 在 ℂ 上的敛散（含绝对收敛与边界行为）。
解 级数一：比值法，|zn+1/(n＋1)!| / |zn/n!| ＝ |z|/(n＋1) → 0 ＜ 1 对一切 z——绝对收敛于全平面，R ＝ ∞。这不难怪：n! 的增长碾压任何固定的 |z|n。
级数二：比值法极限 ＝ |z|/((n＋1)/n)2 → |z|；或根值 n√(1/n2) → 1——R ＝ 1。圆盘 |z| ＜ 1 内绝对收敛；圆外发散（通项不归零：|z|n/n2 当 |z| ＞ 1 终将爆）。边界 |z| ＝ 1 逐点另判：|zn/n2| ＝ 1/n2，而 Σ1/n2 收敛——整个圆周上一致且绝对收敛（M-判别：Mn ＝ 1/n2）。
两题对照的要点：R ＝ ∞ 与 R ＝ 1 的差别全部写在系数里（n! vs n2），与 z 的方向无关；边界行为则是「函数×圆周」的新账，必须单独开庭。
例2 求收敛半径：① Σ nnzn；② Σ zn+kk!/kk＋1（隔项稀疏级数）。
解 ① 根值法：n√|an| ＝ n → ∞ ⟹ R ＝ 0——除 z ＝ 0 外处处发散。系数 nn 比 (n!)n？不，比任何指数都凶：zn 根本追不上。
② 稀疏级数（只有 k ＋ 某固定偏移处有系数）比值法要小心缺项，根值 limsup 版是正解：第 k 个非零系数 a ＝ k!/kk＋1，n√ 取对第 k 项：n√(k!/kk＋1)。Stirling k! ≈ (k/e)k√(2πk)：k!1/k → k/e，故 n√|a| ≈ (k/e)/k·k−1/k → 1/e。⟹ R ＝ e。
对照要点：稀疏/ oscillating 系数时比值法失灵（缺项使比值无定义或振荡），Cauchy–Hadamard 的 limsup 是唯一全能裁判——它只看上包络，不要求相邻项对话。①也可以用 limsup 一遍过：lim n√(nn) ＝ ∞。
例3 从几何级数出发，逐项求导得 1/(1 − z)2 的展开，并推广到 1/(1 − z)k＋1。
解 1/(1 − z) ＝ Σzn（|z| ＜ 1）。逐项求导（4.6：合法、半径不变）：
1(1 − z)2 ＝ Σn＝1∞ nzn−1 ＝ Σm＝0∞ (m＋1)zm， |z| ＜ 1。
再求导：2/(1 − z)3 ＝ Σ(m＋1)(m＋2)zm/1·… 直接归纳：1/(1 − z)k＋1 ＝ Σ (m ＋ k)(m ＋ k −1)…(m＋1)zm/k! ＝ Σ(m+kk)zm。
回读：这组公式反过来用就是「负二项系数」——(1 − z)−(k＋1) 按 4.8⑤ 取 α ＝ −(k＋1) 展开应得同一结果，两条路互验。更妙的是系数 (m＋1) 的出现毫无神秘：它就是「k 阶极点的阶数如何写进主部系数」的第一个样本，第五章速算法则（5.3）的预告。
例4 把 ez 在 z0 ＝ 1 处展开为 Taylor 级数，写出收敛半径与前三项。
解 换元：z ＝ 1 ＋ (z − 1)，ez ＝ e·ez − 1 ＝ e·Σ(z − 1)n/n!：
ez ＝ e[1 ＋ (z − 1) ＋ (z − 1)22! ＋ …]， R ＝ ∞。
验算：系数 an ＝ e/n!；按锁定式应为 f(n)(1)/n! ＝ e/n! ✓（ez 的各阶导数都是自己）。R ＝ ∞ 与「整函数无奇点」的地理判据一致。
要点：平移展开 = 「母展开＋换元＋提出常数因子」——三步模板适用于一切「标准点附近的展开」。同类：sin z 在 π/2：sin z ＝ cos(z − π/2)；1/z 在 1：1/z ＝ Σ(−1)n(z − 1)n。展开点变了不要求重算导数——先平移、再调用展开库。
例5 把 f(z) ＝ 1/(z2 ＋ 1) 在 z0 ＝ i 处展开，写出收敛半径与通项。
解 z2 ＋ 1 ＝ (z − i)(z ＋ i)，先部分分式：
1z2 ＋ 1 ＝ 12i(1z − i − 1z ＋ i)。
在 z0 ＝ i 展开：第一项已是 (z − i)−1 的形状（这是极点主部，不是 Taylor 项！）——注意题目要 Taylor 展开，而 f 在 i 不解析（i 是一阶极点）。这道题的真意：在 z0 ＝ i 处 f 没有 Taylor 展开——改问「在 z0 处的 Laurent 展开才合法」。若题意是「中心 i 的圆环展开」：
1z ＋ i ＝ 12i ＋ (z − i) ＝ 12iΣ(−z − i2i)n（|z − i| ＜ 2）；
⟹ f ＝ 12i(z − i) − Σn＝0∞(z − i)n(2i)n＋2， 0 ＜ |z − i| ＜ 2。
地理核对：中心 i，最近「别的」奇点是 −i，距离 2 ⟹ 挖洞圆盘半径 2，与展开一致 ✓。主部恰一项、系数 1/(2i)——一阶极点的名片。
例6 把 e1/z 在 0 ＜ |z| ＜ ∞ 展开，读出奇点类型与主部。
解 换元 w ＝ 1/z 代入 ew ＝ Σwn/n!：
e1/z ＝ 1 ＋ 1z ＋ 12!z2 ＋ 13!z3 ＋ …， 0 ＜ |z| ＜ ∞。
主部 Σz−n/n! 无穷多项 ⟹ 0 是本性奇点。三个交叉验证：① limz→0 e1/z 不存在（实轴 → ∞，虚轴 → 0——|e1/it| ＝ |e−i/t| ＝ 1 振荡）；② 1/e1/z？不对，看 1/f ＝ e−1/z 同为本性；③ Weierstrass 定理断言任何 w0 ≠ 0 被取无穷次：e1/z ＝ w ⟹ 1/z ＝ Log w ＋ 2kπi（k ∈ ℤ）⟹ zk ＝ 1/(Log w ＋ 2kπi) → 0 ✓。
要点：「换元即展开」是 Laurent 的第一工艺；主部长度直接读出病级——这一例里主部无穷长，病历一页读完。
例7 把 f(z) ＝ 1/[z(1 − z)] 以 0 为中心在三个圆环上分别展开。
解 部分分式：f ＝ 1/z ＋ 1/(1 − z)。奇点 0 与 1 把平面切成三带：
|z| ＜ 1：f ＝ 1z ＋ Σzn（主部 1 项）；
0 ＜ |z| ＜ 1 同上（z＝0 处挖洞）；1 ＜ |z|：11 − z ＝ −1z·11 − 1/z ＝ −Σn＝1∞ z−n ⟹ f ＝ 1z − Σn＝1∞ z−n（主部无穷）。
读表：① 内环（0 ＜ |z| ＜ 1）：f 在 0 一阶极点（主部 z−1），在环内再无奇点；② 外环（1 ＜ |z|）：无穷负幂——注意 f 在环内没有奇点（奇点 0 与 1 都不在 1 ＜ |z| 内），无穷主部是「从环外看的视角」，不是病历！Laurent 主部读病历只对「以奇点为中心的挖洞圆盘」有效——本例 0 的病历只有 z−1 一项。
例8 分类奇点：① sin z/z 在 0；② 1/[z2(z − 1)] 在 0 与 1；③ (ez − 1 − z)/z4 在 0；④ e1/z2 在 0。
解 ① sin z/z ＝ Σ(−1)nz2n/(2n＋1)! ＝ 1 − z2/6 ＋ …——无负幂，可去（补值 1）。陷阱：0 是分母零点但非极点，分子同步归零救场。
② 1/[z2(z − 1)]：在 0，分子不变而分母含 z2 ⟹ 二阶极点；在 1，一阶极点。验：1/(z − 1) 在 0 解析非零，故 0 的阶恰为 2。
③ 展开 ez ＝ 1 ＋ z ＋ z2/2 ＋ z3/6 ＋ z4/24 ＋ …：分子 ＝ z2/2 ＋ z3/6 ＋ z4/24 ＋ z5/120 ＋ …，除以 z4：主部 z−2/2 ＋ z−1/6，⟹ 二阶极点。速算法：分子在 0 的零点阶数 2（1 ＋ z 已被减掉），4 − 2 ＝ 2 ✓。
④ e1/z2 主部无穷 ⟹ 本性。但注意它的「双面性」：实轴趋于 0、虚轴模恒 1 且相位狂奔——4.9 之墙的复数版就在眼前。
例9 求 z − sin z 在 0 的零点阶数，并求 limz→0(z − sin z)/z3。
解 sin z ＝ z − z3/6 ＋ z5/120 − … ⟹ z − sin z ＝ z3/6 − z5/120 ＋ … ＝ (z3/6)(1 − z2/20 ＋ …)——公共因子 z3 ⟹ 三阶零点。立即得极限：
limz→0z − sin zz3 ＝ 16。
交叉验证：求导三连 f(0) ＝ f′(0) ＝ f″(0) ＝ 0，f‴(0) ＝ cos 0 ＝ 1 ≠ 0 ⟹ 三阶 ✓（锁定式：级数系数 1/6 ＝ f‴(0)/3! ✓）。洛必达也行，但级数一步出系数——「展开＝同时算出所有阶」，比逐次求导便宜得多。
延伸：z − sin z 的零点只在 0（1 − cos(z2/20…) 因子在 0 附近不为零）——阶数把「零点重数」与「邻域内零点总数」分清楚；后者由 Rouché 定理（第五章）计数。
例10 证明：整函数 f 满足 Re f(z) ≥ 0（一切 z）⟹ f 常数。推广到「|f| ≥ m ＞ 0」。
解 第一步：g ＝ e−f。|g| ＝ e−Re f ≤ 1 ⟹ g 有界整函数 ⟹ 刘维尔 ⟹ g 常数 ⟹ f 常数（e−f 常数 ⟹ f′ ＝ 0）。∎
推广：|f(z)| ≥ m ＞ 0 ⟹ g ＝ 1/f 是整函数（分母不归零）且 |g| ≤ 1/m 有界 ⟹ f 常数。∎ 两题共用一个母法：把「下半界」翻译成「另一个函数的上界」——刘维尔只收「上界」这种货币，原料不合适就先兑换。
对照思想：Re f ≥ 0 意味着 f 的像含于右半平面——本题其实是「Picard 小定理的弱版」：整函数的像逃不出一个半圆盘时只能是常数。像的几何位置约束 ⟹ 函数退化，这个「几何约束 ⟹ 代数退化」的套路在第六章 Schwarz–Pick 还会再演一次。
例11 把 4.17 的三行证明逐句审计：每一句用了哪章的哪笔存款？哪一步「看似显然」其实最深？
审计 第①行「q ＝ 1/p 是整函数」：p 无零点 ⟹ 分母处处非零 ⟹ 1/p 处处解析（第二章：商的求导＋「分母 ≠ 0」）。看似废话，实为把代数命题翻译成解析对象的接口——四百年困难全在这一步的「没想到」。
第②行「|p(z)| → ∞ ⟹ 圆外 |q| ≤ 1，圆内连续有界」：前半是多项式的初等估计（|p(z)| ≥ |an||z|n(1 − ε)）；后半用「闭圆盘上连续函数有界」——实分析的最值定理（第一册），用在复连续函数上毫无障碍（连续性只看模）。
第③行「刘维尔 ⟹ q 常数 ⟹ p 常数」：炮弹本体三章铸成；最后「q 常数 ⟹ p 常数」用导数（p′ ＝ −p2q′/…）或直接「1/p 常数 ⟹ p 常数」。
最深的一句：第②行的「|p| → ∞」——它是全证明唯一的「代数投入」，却足以喂饱解析机器。复分析证明的分工美：代数出一句话，分析出整个世界。对照 Gauss 1799 的证明：同一句话（∞ 处行为）要靠实地形上的曲线追踪来兑现，二十页换三行。
例12 填写对照总表（本册「实·复对照」线索的第四章结账页），逐行给出依据。
表（C ＝ 实 C∞ 函数世界，A ＝ 复解析世界）：
六行一个声音：A 列全部「✓」不是巧合——解析函数被 C–R 锁死成玻璃（第六章思想卡），玻璃没有自由，也就没有意外。实分析的丰富性 ＝ 自由的代价；复分析的刚性 ＝ 力量的来源——本册母题至此全部到账。
题 1 判断 Σ (1 ＋ i)n/n! 的敛散，并求和的模的上界。
提示：绝对收敛（比较 Σ|1 ＋ i|n/n! ＝ Σ(√2)n/n! ＝ e√2，实指数级数）。|Σ| ≤ Σ|·| ＝ e√2。实际上和 ＝ e1＋i，模 ＝ e ✓（上界恰等）。
题 2 证明：Σzn 对 |z| ＜ 1 收敛、对 |z| ≥ 1 发散；Σ zn/n2 的收敛域比它大多少？
提示：几何级数通项 |z|n 不归零当 |z| ≥ 1；n2 版在 |z| ＝ 1 边界全线收敛（题见例1）。差的是「一圈边界」——收敛半径同为 1，边界账决定大小。
题 3 给出一个复级数：收敛但不绝对收敛。
提示：Σ in/n——实部 Σ(−1)n/n 与虚部 Σ 交错 sin 交错项皆条件收敛（Dirichlet 判别），但 Σ|in|/n ＝ Σ1/n 发散。复条件收敛的世界与实分析一样有 Riemann 重排的险滩——故绝对收敛才是「保险柜」。
题 4 证明 Σ zn/n! 在全平面一致收敛于任何圆盘 |z| ≤ R。
提示：|zn/n!| ≤ Rn/n! ＝ Mn，ΣMn ＝ eR 收敛——M-判别。「内闭一致」的全平面版：R 可以任意大，但每次都要先固定。
题 5 fn(z) ＝ zn 在 |z| ＜ 1 逐点收敛于 0，但收敛不一致。找出「坏区域」。
提示：sup|z|＜1|z|n ＝ 1 恒不趋 0——坏在圆周附近（|z| ＝ 1 − 1/n2 处 |z|n ≈ e−1/n ≈ 1）。结论复习：内闭一致 ⟺ 每个紧集发放通行证；整盘一致需要边界也守规矩。
题 6 fn(z) ＝ n z(1 − z2)n 在单位盘逐点 → 0，但 ∫ 沿 [0,1] 不 → 0。解释一致收敛在哪里失守。
提示：峰在 z ＝ 1/√(2n＋1) 处高 ≈ √(n/e)——峰向 0 跑且越来越高，积分极限 ＝ 1/2 ≠ 0。这是实分析经典反例的复排版；复世界里这类「逃逸峰」造不出解析函数列——解析 ＋ 逐点有界 ⟹ 一致收敛（Montel 型紧性，选读）。
题 7 求 R：① Σ n!zn；② Σ zn/nn；③ Σ (2 ＋ (−1)n)nzn。
提示：① 比值 → ∞ ⟹ R ＝ 0；② n√(1/nn) ＝ 1/n → 0 ⟹ R ＝ ∞；③ limsup n√|an| ＝ max(lim 2, lim 1) ＝ 2 ⟹ R ＝ 1/2——振荡系数用 limsup 取上包络。
题 8 Σzn/2n 的 R ＝ 2；函数 1/(1 − z/2) 在圆盘 |z| ＜ 2 外「活得好好的」。矛盾吗？
提示：不矛盾——半径是「这个展开」的边界，不是函数的生命线（4.5 的核心教益：最近奇点 z ＝ 2 站岗）。换个中心（如 z0 ＝ 3）重新展开即可继续跑：地理决定展开，展开不决定地理。
题 9 用「奇点地理」直接心算：log z 主支在 z0 ＝ 1 展开的 R；(1 ＋ z)1/2 主支在 0 展开的 R。
提示：log 主支割破负实轴，离 1 最近的「坏处」是 −1（刀口起点，支点）⟹ R ＝ 2？不对——刀口是从 0 到 −∞ 的射线，离 1 最近的坏处是 0（支点本体）⟹ R ＝ 1。√(1＋z) 的支点在 −1 ⟹ R ＝ 1。支点也是奇点，站岗有效。
题 10 Σzn 与 Σ(−1)nzn 的 Cauchy 乘积是什么？收敛域呢？
提示：乘积系数 cn ＝ Σ(−1)k ＝ 1（n 为偶）/ 0（n 为奇）——即 cn ＝ [n 偶]。乘积 ＝ Σz2k ＝ 1/(1 − z2) ✓（两因子之积 1/(1−z)·1/(1＋z)，一致收敛保证乘法合法，R ＝ min(1,1) ＝ 1）。
题 11 用逐项积分从 1/(1 − z) 得 −log(1 − z) 主支的展开，并给 R。
提示：∫0z Σwndw ＝ Σzn＋1/(n＋1) ＝ Σn≥1 zn/n。R ＝ 1（最近奇点：支点 1）。与实分析 ln(1 − x) 公式同形——实轴恒等式经唯一性定理通行复平面。
题 12 证明：幂级数若在边界上一点 z1 收敛（非绝对），则该级数在半径线段 (1 − ε)z1 上一致收敛（Abel 第二定理）。
提示：Abel 变换（分部求和）把 Σanz1n 的收敛转成 ≤ 因子控制；要点是「边界一点的收敛向半径内部辐射一致收敛」。这也是实分析 Abel 极限定理的复版——傅里叶级数在端点的收敛行为由此管束。
题 13 把 sin z 在 z0 ＝ π/2 展开，并由此写出 cos z 在 π/2 的展开。
提示：sin z ＝ cos(z − π/2) ＝ Σ(−1)k(z − π/2)2k/(2k)!；cos z ＝ −sin(z − π/2) ＝ Σ(−1)k+1(z − π/2)2k＋1/(2k＋1)!。R ＝ ∞。换元平移两步走，不必碰导数。
题 14 把 log z 主支在 z0 ＝ 2 展开（写前三项与 R）。
提示：log z ＝ log 2 ＋ log(1 ＋ (z − 2)/2) ＝ log 2 ＋ Σ(−1)n＋1(z − 2)n/(n·2n)。R ＝ 2（支点 0 站岗；刀口远）。验证：n ＝ 1 系数 1/2 ＝ f′(2) ✓。
题 15 把 1/z 写成 (z − 1) 的幂级数（这是 Laurent 而不是 Taylor——为什么？在什么意义上它「像」Taylor？）。
提示：1/z ＝ 1/(1 ＋ (z − 1)) ＝ Σ(−1)n(z − 1)n，0 ＜ |z − 1| ＜ 1。1 在函数定义域内 ⟹ 应为 Taylor：哦，1/z 在 1 解析！此展开无负幂，就是 Taylor 展开，R ＝ 1（支点/极点 0 站岗）。「像 Laurent」是错觉——负幂的缺席正是解析的签名。
题 16 把 ez/(1 − z) 展开到 z4 项（0 为中心）。
提示：乘积系数 cn ＝ Σk≤n 1/(n − k)!·1 ＝ Σj≤n 1/j!。c0..c4 ＝ 1, 2, 5/2, 8/3, 65/24。R ＝ 1（极点 1 站岗）。Cauchy 乘积当「卷积」做，别硬乘。
题 17 把 1/(1 ＋ z2) 在 0 展开——给出实轴视角（arctan 求导）与复视角（奇点地理）两种解释，R 各是多少？
提示：级数 Σ(−1)nz2n，R ＝ 1。实视角：实函数无奇点却 R ＝ 1，神秘；复视角：奇点 ±i 距 1，一目了然。这题是 4.5 主文的习题版——「虚奇点管实区间」的原始标本。
题 18 把 tan z 展开到 z7（隐函数式求系数）。
提示：设 tan z ＝ a1z ＋ a3z3 ＋ a5z5 ＋ a7z7，代入 sin z ＝ tan z·cos z 对比系数：a1 ＝ 1，a3 ＝ 1/3，a5 ＝ 2/15，a7 ＝ 17/315。R ＝ π/2（最近奇点 ±π/2——tan 的极点）。奇点地理再次给出「展开的有效范围」。
题 19 f 解析于连通区域 D，且 f 在 D 内一条弧段上取实值。证明 f 必为实常数或 Im f 恒 0 的共轭解析结构——更准确说：f ≡ 常数 或 f 的像是实轴上的区间。
提示：Im f 调和（2.8）且在含内点的弧上为 0 → 调和函数的唯一性（最大值原理或恒等式过河）⟹ Im f ≡ 0 于 D ⟹ C–R ⟹ f′ ＝ 0 ⟹ f 常数。要点：「弧上取实值」是比「零点集有聚点」更隐蔽的同款假设。
题 20 用唯一性定理证明 sin z ＝ z − z3/6 ＋ z5/120 − … 对一切 z ∈ ℂ。
提示：实轴上泰勒公式（带余项）给出恒等式 ⟹ 差函数 g ＝ sin z − 级数在实轴上为零 ⟹ 聚点 ⟹ g ≡ 0。实轴的每一点都是 ℂ 内聚点——「验一次、通全境」就是 4.10 的日常用法。
题 21 f 整且 |f(z)| ≤ |z|2（|z| 充分大）。证明 f 是次数 ≤ 2 的多项式。
提示：Cauchy 估计 n ＝ 3：|f⁗？取 n ＝ 3，|f‴(a)| ≤ 3!M(R)/R3 ≤ C·R3/R3 ＝ C，令 R → ∞ ⟹ f‴(a) ＝ 0 对一切 a ⟹ f″ 常数 ⟹ f 二次多项式。定量刘维尔的标准动作。
题 22 把 1/[(z − 1)(z − 2)] 在三个带域展开：① 1 ＜ |z| ＜ 2；② |z| ＞ 2；③ 0 ＜ |z| ＜ 1。
提示：拆 1/(z − 2) − 1/(z − 1)。① 1/(z − 1) ＝ Σz−n−1（|z| ＞ 1 外向），1/(z − 2) ＝ −Σzn/2n+1（|z| ＜ 2 内向）；② 两项全外向；③ 两项全内向（1/(z−2) ＝ −Σzn/2n+1 同①）。定向口诀：「比 1 近的用内向、比 1 远的用外向」逐因子判。
题 23 把 cos(1/(z − 1)) 在 0 ＜ |z − 1| ＜ ∞ 展开，读奇点类型。
提示：cos w ＝ Σ(−1)kw2k/(2k)! 代 w ＝ 1/(z − 1)：主部 Σ(−1)k(z − 1)−2k/(2k)! 无穷 ⟹ 本性奇点。注意主部只含偶次负幂——本性奇点的「疯狂」也可以挑频率。
题 24 同一函数 f 在圆环 r ＜ |z| ＜ R 上有两副 Laurent 展开（都收敛）。证明它们逐项相等。
提示：系数唯一性——cn 的积分公式对任取 ρ ∈ (r, R) 成立，两副展开的系数被同一积分锁定。「展开是函数×圆环的属性」的代数面：圆环定则系数定。
题 25 分类：① (1 − cos z)/z2；② z2·e1/z；③ 1/(sin z)；④ tan(1/z) 在 0。
提示：① 可去（分子二阶零点对冲）；② 二阶极点（e1/z ＝ 1 ＋ 1/z ＋ …，乘 z2 后主部 z ＋ 1 ＋ …——等等，重算：z2(1 ＋ 1/z ＋ 1/2z2 ＋ …) ＝ z2 ＋ z ＋ 1/2 ＋ … 主部只到 z−1？不：无穷负幂被 z2 平移两档仍是无穷 ⟹ 本性！陷阱题：整函数乘极点不一定降级）；③ 一阶极点无穷列（sin z 的零点 nπ）；④ 本性奇点（tan w 在 w ＝ π/2 ＋ kπ 有极点 ⟹ z ＝ 1/(π/2 ＋ kπ) 的无穷聚点集挤向 0——严格说是非孤立奇点簇＋本性式的疯狂，选读讨论）。
题 26 f 在 0 附近解析且 f(1/n) ＝ 0 对一切大 n。f 一定 ≡ 0 吗？
提示：0 ＜ 1/n 且 1/n → 0——若 0 在 f 的解析域内，零点有聚点 ⟹ f ≡ 0。但若 0 只是边界/奇点（如域是挖洞盘），则不必：f ＝ sin(π/z) 在 1/n 全零而在挖洞盘解析。聚点开关要求聚点在解析域内——本课最重要的细字。
题 27 证明：整函数在 0 处 Taylor 系数全非负（an ≥ 0）且在正实轴有界 ⟹ 常数。
提示：对 0 ＜ r ＜ R，f(r) ≤ M_r 且单调增有界（系数非负 ⟹ f(r) 随 r 增）。用 Cauchy 估计在 z ＝ r 处取半径 ρ，或直接：对任意 z，取展开路径凑 |f(z)| ≤ f(|z|)（系数非负 ⟹ |Σanzn| ≤ Σan|z|n ＝ f(|z|)）⟹ f 有界于全平面 ⟹ 刘维尔。∎ 非负系数是「把圆盘界的控制转交实轴」的经典兑换。
题 28 f 整且 Re f 有界。证 f 常数。
提示：g ＝ ef：|g| ＝ eRe f 有界 ⟹ g 常数 ⟹ f 常数（指数在宽度 2π 的条带内单叶）。与例10 对照：上界用 ef、下界用 e−f——同一枚硬币。
题 29 f 整且 |f(z)| ≥ 1 对一切 |z| ≥ 1。证 f 是多项式（且无零点在圆外）。
提示：f 在 |z| ＞ 1 无零点 ⟹ g ＝ 1/f 在 |z| ＞ 1 解析且有界（≤ 1）；孤立圆环 1 ＜ |z| ＜ 2 上连续有界 ⟹ g 可延拓到 |z| ＞ 1 的闭包外……标准做法：g 在 1 ＜ |z| ＜ ∞ 解析有界，做 Laurent 展开只含非正幂？换个方向：g(1/z) 在 0 ＜ |w| ＜ 1 有界 ⟹ 可去延拓（Riemann 定理）⟹ g 在 {1 ＜ |z|} ＋ ∞ 点有界解析。于是 f ＝ 1/g 的极点只能在 |z| ≤ 1 内有限多个 ⟹ f 是有理函数且无圆外极点；整函数＋有理 ＝ 多项式。∎（一步登天链：可去 → 延拓 → 有限极点 → 多项式。）
题 30 f 整且 f(f(z)) ＝ z（整函数自逆）。证 f(z) ＝ az ＋ b，|a| ＝ 1。
提示：f 是满射 ⟹ f 非常值；若 transcendental 整函数，Picard 取不到至多一值，而 f∘f ＝ id 要求 f 取遍一切值恰好一次——反证 f 是多项式；deg f·deg f ＝ 1 ⟹ deg f ＝ 1；f(az ＋ b) ＝ z 解 a2 ＝ 1？细算：f(f(z)) ＝ a(az ＋ b) ＋ b ＝ a2z ＋ b(1 ＋ a) ＝ z ⟹ a ＝ ±1，a ＝ 1 时 b ＝ 0，a ＝ −1 任意 b。修正结论：f ＝ z 或 f ＝ b − z。∎（本题是「增长阶梯 ＋ 唯一性」的组合拳，选做。）
题 31 用刘维尔定理证明：n 次多项式在 ℂ 中恰有 n 个根（计重数）。分两步：先证有根，再归纳计数。
提示：第一步即 4.17 三行；第二步因式分解 p ＝ (z − a)q，deg q ＝ n − 1 归纳。「存在」与「计数」是两问——第五章 Rouché 将把计数一题做完。
题 32 把 4.17 的证明改造为「实系数版」：n 次实系数多项式的复根必成对（共轭成对出现）。
提示：p(z̄) ＝ conjugate(p(z))（实系数）⟹ p(a) ＝ 0 ⟹ p(ā) ＝ 0。第一章 1.16 虚根成对定理的再证明——代数侧只用到「系数实」一个性质；存在性仍归刘维尔。奇数阶实多项式必有实根（介值）现在成为系：奇 n ⟹ 复根成对 ⟹ 至少一根自共轭 ⟹ 实根。
题 33 审计题：以下「证明」哪一步坏？「p 无零点 ⟹ 1/p 有界（因为 |p| ≥ 1？）」——错在哪？修正之。
提示：「|p| ≥ 1」无据——p 可能取模很小的值（如 p ＝ z 在 |z| ＝ 0.1）。坏在把「无零点」偷换成「处处 ≥ 1」。修正：不能用局部下界，要用 ∞ 处的爆炸（4.17 第②行）做整体下界。此题教审计证明时先抓「下界从哪来」——无零点只保证 1/p 解析，不保证有界；有界要另挣。
归档栏一 半径类错误：把 R 当函数寿命（题 8）；忘了支点站岗（题 9）；边界不查（例1）。
复盘：半径 ＝ 展开的边界 ＝ 最近奇点（含支点）的距离——地理三问：奇点在哪？最近多远？展开中心是谁？
归档栏二 展开类错误：在极点处硬求 Taylor（例5）；分带不画图（题 22）；Cauchy 乘积硬乘不卷积（题 16）。
复盘：展开四问——中心解析吗？哪个带？每因子定向？半径多少？四问答完再落笔。
归档栏三 刚性类错误：聚点不在域内就开清零炮（题 26）；「无零点」偷换「有下界」（题 33）；本性奇点乘多项式以为降级（题 25②）。
复盘：唯一性三查——聚点在域内？延拓合法？本性不可治？刘维尔一查——有界从哪挣来？
三问自测（合书 30 秒）：① Taylor 展开的收敛半径由什么决定？为什么 1/(1＋z2) 的实 Taylor 级数止步 ±1？② 刘维尔三行证明里哪一行用了一章的存款？哪一行是「代数投入」？③ 本性奇点与极点的判定各一句。
《九章》少广章的「开方术」：求 √a，先商一位，减去商的平方，余数退位再商——每一位商都是多项式 √a ≈ q0 ＋ q1·10−1 ＋ q2·10−2 的一次逼近。所谓「开之不尽」，就是这台十进位多项式机器永远不收工：2 的平方根商到任何位数都带余数。刘徽注曰「不可开者，当以面命之」——余下的，交给「面」（无理数）这个新名字。
幂级数是同一台机器的自由进制版：底不再是 10 而是变量 z 的幂，商不再逐位而是逐阶——Σanzn 的每一项都是「再商一位」。开方术里「退位」对应幂级数里「升阶」；「不尽」对应「收敛半径内的无穷过程」；「以面命之」对应「用收敛圆盘安放和函数」。 Taylor 展开 ＝ 以 z 为进制的开方术，收敛圆盘 ＝ 商的空间上限。
历史缝线：秦九韶（1247）《数书九章》的「正负开方术」已是完整的高次方程数值解法——多项式逼近思想的东方源流；六百年后 Newton 迭代与 Taylor 级数在欧洲合流。「用多项式逼近一切」这个总策略，少广章是已知的最早刻度。明线 +2（札记①半）：无尽开方 → 无限级数，同一条线走了两千年。
四条谱系并排看：
「理论之力」的三重含义：① 前置重负——三行证明的每句都踩在 Cauchy–Goursat（1825）以后才存在的地基上；② 可复制——同一座大厦顺手给出刘维尔定理、最大模原理、唯一性定理（本章全发过工资），技巧证明则一事一议；③ 可迁移——增长阶梯的语言（「多项式 ＝ 多项式增长的整函数」）把代数命题翻译成分析命题，翻译本身成为方法。
陈省身先生的风景论在此得到最锋利的注脚：引入复数不是为了解方程方便，而是为了获得一个能承载 Cauchy 理论的世界——在这个世界里，四百年悬案变成课后习题（题 31）。「风景」的经济学：入境费（接受 i）换来的是整套理论的免税通行。
方法表（考试即查）：求 R → 地理心算＋limsup 验算；展开 → 平移换元调库（R 心算）；证恒等式 → 实轴验证＋唯一性；判奇点 → 约分、对冲阶数、数负幂；证「界 ⟹ 退化」→ 刘维尔（兑换：e±f、1/f）；读阶 → 展开看首个非零项。审计证明 → 逐句标注存款来源（例11 审计法）。
通往下一章的三根线头：① 主部系数 c−1 ＝ 留数——第五章把一切闭路积分变成「数残桩」（5.4 留数定理）；② 奇点分类 × 围道 ＝ 三角积分/广义积分的围道手术（5.6–5.10，Dirichlet 积分一页纸）；③ 增长主导权 ⟹ Rouché「谁主导谁定根数」（5.13–5.14，代数基本定理第四条路线）。
命题 解析函数没有任何「自由度」：局部一有信息，全局即被锁定；一点的越轨，处处留痕。
四块玻璃，一个词：① 唯一性（4.10）：零点带聚点 ⟹ 全境清零——玻璃没有「局部裂纹只裂一块」这回事；② 刚性延拓（4.11）：身份一旦给定延拓唯一——玻璃的裂纹走向是注定的；③ 最大模（3.16）：内部不能有独峰——玻璃表面没有孤立的鼓包；④ 刘维尔（4.16）：有界 ⟹ 常数——把玻璃关进笼子，它就退化成一个点。
刚性从哪来：C–R 方程（2.5）把实虚两半焊接成一体，任何一处的形变都沿焊接缝传递全境。实 C∞ 函数是橡皮（局部可以随便捏，贴零函数是合法的「局部静止」）；解析函数是玻璃（应力处处连通，敲一处响全域）。4.9 之墙是这个隐喻的定量版：「线上的乖」骗不过「面上的审」——玻璃有内部结构，橡皮只有表面。
刚性是负担也是礼物：负担——解析延拓可能撞上自然边界（4.11），函数的活动范围被自己的奇点圈死；礼物——正是刚性让「局部数据定全局」成为可能（Cauchy 公式、唯一性、解析延拓），也让复分析成为偏微分方程、流体力学、信号处理的通用语法（第三、五、六章的现代接口全在兑现这份礼物）。
一句话带走：实分析研究「自由民的物理学」，复分析研究「晶体的物理学」——晶体没有自由，所以晶体有定理。
任务 合书写出 4.17 的完整证明（不许翻书），然后与 Gauss 1799 第一证明的骨架逐段对照，填写审计表。
完整书写的验收标准：① 必须明写「反设 + 1/p 是整函数」的接口句；② 明写多项式在 ∞ 处的估计：|p(z)| ≥ |an||z|n/2（|z| ≥ R0，R0 ＝ 1 ＋ Σ|ak|/|an| 的显式上界）；③ 明写连续函数在紧集上有界的引用；④ 刘维尔引用后说明「p 常数与 deg ≥ 1 矛盾」收尾。
对照表（Gauss Ⅰ vs 刘维尔）：
反思题：Gauss 时代为何写不出刘维尔证明？——不是智力问题，是基础设施问题：Cauchy–Goursat（1825）与一致收敛（1840s）尚未出生。理论之力 ＝ 时代的基础设施红利，这个判断对理解「数学的进步是什么」至关重要。
任务 完整证明 φ(x) ＝ e^(−1/x2)（x ≠ 0）、φ(0) ＝ 0 是 C∞ 且 φ(n)(0) ＝ 0 对一切 n，并回答三个追问。
证明骨架：归纳证「φ(n)(x) ＝ Pn(1/x)·e^(−1/x2)（x ≠ 0），Pn 是次数 ≤ 3n 的多项式」：n ＝ 0 平凡；求导时 (e^(−1/x2))′ ＝ 2x−3e^(−1/x2)，乘积法则保形。而 t → ±∞ 时 tke−t2 → 0（指数 polys 碎多项式，第一册极限章）⟹ φ(n)(x) → 0 ＝ φ(n)(0)，归纳同时证明 C∞ 与「全零 Taylor 系数」。
追问一：φ 的 Maclaurin 级数 Σ0·xn 恒为 0 ≠ φ——「展不开」的精确含义是「级数收敛但不收敛到它」，与「不收敛」不同。
追问二：复数版 g(z) ＝ e^(−1/z2) 在 0 的任何邻域无界（虚轴 e1/t2 → ∞）⟹ 连续性都失守——「C∞ 于实轴」在复世界一文不值。
追问三：这样的函数能「造多少」？e−1/x2 乘任意多项式、加任意解析函数仍是 C∞ 平坦函数——平坦函数空间是无限维的实 C∞ 自由度纪念碑；而它们在复解析世界人数为零。
与 4.9 正文的三点互证：正文用了虚轴爆炸（面审）；本挑战补齐实轴全零（线乖）的完整归纳；追问三把「自由度对比」升级成「无限维 vs 零」的定量悬殊。
实验目标 手工绘制（或用任意绘图工具复现）ez、1/(1＋z2)、log(1＋z) 的 Taylor 多项式 TN，观察逼近如何在收敛圆内精准、圆外崩坏。
步骤：① 对 1/(1＋z2) 画 T2、T4、T8、T16（实轴剖面即可）：−1 ＜ x ＜ 1 内 TN 逐级贴合；|x| ＞ 1 处 TN 疯狂放大（|x|n 主导）——「逼近的好与坏被同一条边界劈开」。
② 把 ±i 两个奇点画进图框：边界恰在它们脚下——「虚奇点管实区间」的亲手复现。
③ ez 的 TN（R ＝ ∞）：N ＝ 5 已在 |z| ≤ 3 内难以分辨——无奇点则无边界，逼近无禁区。
④ log(1＋z)：在 z ＝ −0.9 与 z ＝ 0.9 分别考察收敛速度——离支点越近，收敛越慢（半径都是 1，但「贴墙程度」决定速度）。
读数记录表：每条曲线记录「N 为何值时误差 ＜ 0.01」：ez 在 |z| ＝ 3 约 N ＝ 12；1/(1＋z2) 在 x ＝ 0.9 约 N ＞ 40 且永远到不了 x ＝ 1.1。把「误差 ＜ ε 需要 N ≈ ?」与「到最近奇点的距离」列表——可以发现 N ∝ ln(1/ε)/ln(1/|z − z0|/R)：收敛速度也由奇点地理定价。
实验报告题：为什么 T16 在 |x| ＞ 1 的崩坏「不能靠继续加大 N 挽救」？用 4.5 地理判据与 Abel 定理（4.4）各答一遍。
第 1 题（展开与半径） 把 f(z) ＝ 1/[z(z ＋ 2)] 在 0 的三个带域展开。
评讲：拆 1/(z(z＋2)) ＝ ½(1/z − 1/(z＋2))。① 0 ＜ |z| ＜ 2：½·1/z − ¼Σ(−1)n(z/2)n；② |z| ＞ 2：½·1/z ＋ ½Σ(−1)n·2n/zn＋1（外向）；就两带——奇点 0 与 −2。评分点：定向错误是主要失分处。
第 2 题（奇点分类） 分类 sin z/(z3) 与 (ez − 1 − z − z2/2)/z4 的 0 点。
评讲：前者主部 z−2 − 1/6 ＋ …（sin z ＝ z − z3/6 ＋ …除以 z3）⟹ 二阶极点；后者分子三阶零点、4 − 3 ＝ 1 ⟹ 一阶极点（主部 1/(6z)…核对：分子首项 z3/6，除 z4 得 1/(6z) ✓）。评分点：先对冲阶数再数负幂。
第 3 题（唯一性） f 整，f(kπ) ＝ 0 对一切整数 k。f 必 ≡ 0 吗？若改 f(kπ·(1 ＋ i)) 呢？
前者不必——零点 kπ 无聚点（|k| → ∞），sin z 即反例；后者也不必（聚点仍无）——本题考「聚点必须在域内的紧邻域里」：无穷零点列发散到 ∞ 不构成聚点。若条件改为 f(1/kπ) ＝ 0（聚点 0 在域内）则 f ≡ 0。
第 4 题（刘维尔） f 整且 |f(z)| ≤ |log z 主支|？——伪题陷阱：log 多值。改为：f 整且 Re f(z) ≤ |z|。证 f 是一次多项式。
评讲：g ＝ f − c？直接 Cauchy 估计二阶：M(R) ≤ C ＋ R ⟹ |f″(a)| ≤ 2!(C＋R)/R2 → 0 ⟹ f 线性。评分点：先由 Re f ≤ |z| 得 |f| ≤ |Re f| ＋ |Im f|？不行——要兑换：h ＝ ef？|h| ≤ e|z| 指数级不够线性……正确路：|f(z)|2 ＝ (Re f)2 ＋ (Im f)2，而 |Im f| 无控——改用 f − f(0) 的实部控制模：对解析函数 |f| ≤ 2|Re f − f(0)| ＋ C？标准引理（Borel–Carathéodory，选读）：解析函数的模被实部控制。本题为选做挑战，考「实部控制模」意识。
第 5 题（高潮默写） 默写代数基本定理的刘维尔证明并标注每行的存款来源。
评讲：①行存单「第二章商规则」；②行存单「第一册最值定理＋多项式估计」；③行存单「三章 Cauchy 估计 → 刘维尔」。三行零技巧——若写出了第四行「技巧」，多半绕远了。
第三章最深的发现是：∮dz/z ＝ 2πi，只认圈数不认半径。这句话反过来读就是本章的全部纲领：任何闭路积分，如果它不为零，罪魁祸首只可能是圈内的奇点——而且每个奇点的「欠账额度」是一个固定的复数，与围道无关。这个数就叫留数。
本章的威力在跨界：留数本是复积分的内部账本，但把实积分「嫁接」到围道上——三角积分接到单位圆上，广义积分接到大半圆上——实分析里顽固的积分表（Dirichlet 积分 sinx/x ＝ π/2 这类百年顽石）被一页纸扫清。5.10 专页将把这场「效率的碾压」做成完整对照。
本章还有一条暗线：零点计数。辐角原理（5.12）把「围道绕了多少圈」与「圈内有多少根」画上等号，Rouché（5.13）再把它变成「谁主导谁定根数」的杠杆——代数基本定理的第四条路线（5.14）由此发车。积分、计数、映射，三件事在「绕圈」这个动作上统一。
为什么偏偏是 c−1？绕小圆一圈：∮(z − z0)ndz 在 n ≠ −1 时全为零（原函数在座），唯一活着的是 n ＝ −1 项——∮(z − z0)−1dz ＝ 2πi。于是：
三个立等可取的样本：① f ＝ 1/z：Res ＝ 1（本册第一笔账 ∮dz/z ＝ 2πi 的官方登记）；② f ＝ 1/z2：Res ＝ 0——二阶极点未必有欠账（∮dz/z2 ＝ 0，第三章题 11 已见）；③ f ＝ e1/z：主部 Σz−n/n!，Res ＝ 1。极点的「阶」与「欠账」是两回事——阶数看最高负幂，欠账只看 −1 档。
定义虽好，靠展开求 c−1 有时笨重——下一页的速算法则把最常用的场景（极点）压缩成一行公式。
一阶公式的证明一行：f ＝ g/(z − z0) ⟹ (z − z0)f ＝ g 连续 ⟹ 极限 ＝ g(z0)。D′ 版是它的对偶：D(z) ≈ D′(z0)(z − z0)。m 阶公式就是把主部系数公式翻译成求导——本质是「微分其他项全走光，−1 档留下」（与 4.2 锁定式同款机制）。
工程守则：先降阶再速算。① 能约分先约分（假极点消毒）；② 一阶用 N/D′ 最快；③ 二阶以上先想「能不能拆部分分式拆成一阶」——拆分常常比求导便宜（第三章题 31 的教训：拆完逐支写标准形再代公式）；④ sin、cos、e 的极点旁永远先展开（例8③ 型）。
最后一条守则管住「本性奇点」：速算法则全都不适用（没有 m 可提），只能老实展开读 c−1——本性奇点的欠账照样存在（e1/z 的 Res ＝ 1），只是没有捷径。
证明是第三章复合闭路的一步收割：γ 等价于「每个奇点各绕小圆」（复合闭路定理 3.10），小圆账各是 2πi·Res（5.2），加总。零技巧，全继承——本章与第四章同一气质：制度出定理。
使用流程（背下来）：① 解分母找奇点；② 画图分「圈内/圈外」（圈上？先说围道不经过——否则积分要另立规矩）；③ 圈内逐点速算留数；④ 加总乘 2πi。三分钟一道「第三章要算半小时」的题——例2 例4 例5 全程示范。
定理的深层读法：∮f 只依赖 f 的残类（residue class）——所有留数相同的解析函数给出同一笔闭路账。f 与「它的极点欠账清单」在积分意义下无法区分；局部信息（每点的 c−1）决定整体信息（围道账），这是「内部由边界决定」（三章思想卡）的离散版本：内部由「内部的坏点」决定。
负号的来历：∞ 处「正向绕圈」从 ∞ 的视角看是顺时针——定向反转引入负号。 Laurent 展开 f(z) ＝ Σcnzn（|z| 大），∮ 大圆只活 c−1z−1 项 ⟹ 顺时针账 ＝ −2πic−1。
大平衡是「复合闭路」推到极致：把大圆看成外圈，外圈账 ＝ 全部内账之和 ＝ 0（从 ℂ̂ 的立场没有「外」了）。用法立竿见影：用 Res∞ 替代多个麻烦的有限留数——例10 里 z3e1/z 的有限留数要展开读（＝ 1/4!），而 Res∞ ＝ −1/24 一眼（展开里 z 的正幂最高三次，c−1 必为 0 的对偶读法）。
球面视角（呼应 1.14 黎曼球）：∞ 是北极点，它「是不是奇点、什么型」由 w ＝ 1/z 在 w ＝ 0 的行为决定——f(1/w) 在 0 的极点 ⟹ f 在 ∞ 是极点。ℂ̂ 上奇点总数有限的有理函数，「全平面留数和为零」就是北极与南极的会计对账。
嫁接的本质：单位圆把「角」翻译成「位置」——θ 是圆上的行程，z 是圆上的坐标；三角恒等式变成 z 与 1/z 的代数，三角积分变成围道积分。例2 完整示范 ∫02πdθ/(2 ＋ cosθ) ＝ 2π/√3。
陷阱清单（例3 正戏）：① 被积函数非负时结果应为正——算出负数立即查定向/代数；② 1 ＋ cosθ 型在 θ ＝ π 有零点（单位圆上有极点！）——先化简或先检查积分是否本来就是瑕积分；③ z4 ＋ ... 型四次方程别硬解，留数只取「模小于 1 的根」——用「根的模」筛选而不是解根。
筛选根的实用技巧：有理函数嫁接后分母是 z 的多项式 P(z)，其根按模排序，|z| ＜ 1 的进账、其余忽略——「单位圆是账户闸门」（割圆线：单位圆第三次领工资，第一次 1.10 单位根、第二次 4.8 母展开、这一次当闸门）。
五项加料技巧，把 5.6 的基本型扩展到常考全家福：
技巧④ 值得多看一眼：内根 z0 ＝ −a ＋ √(a2 − 1) 满足 |z0| ＜ 1（因为 z0·z1 ＝ 1，两根互为倒数——多项式系数实且常数项为 1 时，根的模筛选自动成功）。这类「结构性必然」比「碰巧小于 1」深刻：单位圆闸门在选择实根时永不失手。
边界注意：a ＝ 1 时 ∫02πdθ/(1 ＋ cosθ) 发散（θ ＝ π 瑕点）——公式 √(a2 − 1) 在 a → 1+ 爆炸，参数极限与积分发散同步，留数公式的失效点恰是瑕积分的出生点。
三步棋看清楚：① 把实积分延长成围道——上半大圆是「借来的桥」，桥上的账被 ML 估死为零；② 桥下圈住的只有上半平面的极点；③ 留数定理收网。「借桥」是围道方法的灵魂动作：实轴的账不够看，就补一段虚账（桥），而虚账恰好趋零——实积分被「免费」算出。
合法性细节：① 上半平面极点有限个（有理函数），且都在 |z| ＜ R 内（R 取大）；② f 在实轴上解析（无实极点）——有实极点时要用「挖坑半圆」（Cauchy 主值的伏笔，5.9–5.11 处理）；③ 收敛性：deg 差 ≥ 2 保证 ∫ 绝对收敛，答案与对称取限无关。
标志性战果：∫−∞∞dx/(1 ＋ x2) ＝ π（例4 重证——第一册用三角代换 arctan 得过）、∫−∞∞dx/(x4 ＋ 1) ＝ π/√2（例5）——后者的实分析解法（部分分式四次分解）繁琐到劝退，围道法三行。
Jordan 引理把 5.8 的适用范围从「有理函数」扩到「有理 × 指数」：∫f(x)cos λx dx 与 ∫f(x)sin λx dx 的全体。代数读法：cos/sin 积分 ＝ eiλx 积分的实虚部——一次围道，两笔实账（例6：∫eix/(1＋x2)dx ＝ π/e ⟹ cos 版 π/e、sin 版 0）。实分析里这两个积分各要一套技巧（分部？费耶？），围道法一次双收。
λ ＞ 0 与上半圆配对、λ ＜ 0 与下半圆配对——符号决定逃向（eiλz 在 Im z ＞ 0 时衰减当 λ ＞ 0）。这不是约定而是物理：Fourier 变换 eiλx 的频率 λ 与「解析延拓的衰减半平面」一一对应，5.16 的信号处理接口正是这条原理的职业形态。
与 5.8 的 ML 估计对照：Jordan 的指数衰减是「免费的午餐」吗？不——它要求 |f| → 0（比 5.8 的 O(1/z2) 弱但方向一致），且只在指数因子在场时成立。桥上的账这次不是「估死」而是「指数压死」——桥的承重方式升级，桥的用途同步升级。
实分析的攻坚史：Dirichlet（1829）用自己刚证明的判别法＋双重极限；Feynman 技巧版要对参数积分 ∫e−tx(sinx/x)dx 先积分后取极限；Fresnel 版用 π/4 积分曲线归化。每条路都要绕开「不绝对收敛」这颗雷——雷区徒步。
围道的一页纸：取 f ＝ eiz/z，围道＝大半圆＋实轴＋原点小半圆挖坑（上半），大圆 Jordan 压死（5.9），小半圆贡献 −iπ·Res（半圈），圈内无极点 ⟹ 0 ＝ ∫实轴 − iπ ⟹ 实部对齐得 ∫cosx/x 项主值为 0，虚部读出 ∫sinx/x ＝ π/2（例7 完整演算）。极点在围道上怎么办？绕半圈、记半账——这一步是全证明唯一的新工艺。
对照的本质：条件收敛是「实数轴的一维现象」——正负抵消的精细平衡。围道法把它升维到 ℂ：eiz 在上半平面的指数衰减把「抵消」变成「压死」，一维的精细平衡被二维的单调碾压替代。实世界的条件收敛难题，在复世界是极点位置问题——难与不难，取决于站在哪个维度。
这场碾压的直接受益者是 Fourier 分析：Fourier 变换的收敛因子、Gibbs 现象的渐近分析、信号恢复的解析信号构造，全是 eiz/z 型围道（5.16）。顽石 ＝ 垫脚石。
多值函数不能直接套大半圆（围道会跨过支割线），解法：把多值函数在割破平面上变成单值（2.13 的老手艺），两岸各取一支，相位差让「两笔实轴账相加」时不抵消反而相干——解出目标积分。例11 的 ∫0∞ dx/[(x＋1)√x] ＝ π 是最清亮的样本（√x 的相位差是 −1，相干即相减）。
与 5.8–5.10 的围道谱系合起来看：围道形状由「坏处」的位置决定——极点在上半平面用大半圆（5.8）；极点在实轴上挖坑（5.10）；支点在 0 用钥匙孔（本页）；两支点用「饼围道」（习题课七）；∞ 处有结构时用矩形围道（ζ 函数函数方程的预告）。围道设计 ＝ 给函数的病定制手术路径——这是本章真正的设计智慧，例12 决策表总结成查表流程。
钥匙孔围道的钥匙孔小圆账用 ML 压死、大圆账要求 xa·R(x) 衰减——「上岸 ＋ 下岸 ＝ (1 − e2πia)·∫」这行代码是全页的心脏：多值性从麻烦变成工具（相位差提供第二个方程）。
证明一句话：f′/f 的奇点是零点与极点（f ＝ (z − a)mg 时 f′/f ＝ m/(z − a) ＋ g′/g），各留数 m 与 −m——留数定理一步收网。「辐角」读法来自对数：∮f′/f ＝ ∮d(log f) ＝ i ×（辐角总变化），绕一圈辐角变化 2π 的整数倍。
深层读法（拓扑账）：γ 在 f 下的像 f(γ) 是一条不过原点的闭曲线，它绕原点几圈，圈内零点（计重）就比极点多几个——用「像的绕数」数「原像的根」。第三章的绕数（3.7、挑战二）在这里从「圈数账」升级为「数根的仪器」：绕数不只是记账，是探测。
工程意义：根的个数是代数问题，绕像是几何测量——后者可以数值化（采样 f 沿 γ 算辐角变化）。控制论 Nyquist 判据（用开环频率响应绕 −1 点的圈数读闭环稳定性）正是辐角原理的工业级应用——「画一条曲线、数几圈、判一座电站的稳定」，拓扑账的直接生产力（5.16 再提）。
证明骨架：N ＝ (1/2πi)∮(f′ ＋ g′)/(f ＋ g)，关键在 (f ＋ g) ＝ f(1 ＋ g/f)，而 |g/f| ＜ 1 于 γ ⟹ 1 ＋ g/f 的像落在圆盘 D(1, 1) 内——不过原点！⟹ (1 ＋ g/f) 绕 0 圈数为 0，∮(f′ ＋ g′)/(f ＋ g) ＝ ∮f′/f ＋ 0 ⟹ N 相同。∎ 精髓：「不过原点」由 |g| ＜ |f| 免费保证——扰动再大也拽不破主导项对原点的保护。
与 5.12 的分工：辐角原理是「测量仪器」（给出 N − P 的公式），Rouché 是「杠杆」（不真测，找个好数的替身）。用法模板：p(z) 与多项式比根数，选 γ 使 p 拆成「主导项 ＋ 扰动项」——|z| ＝ 1 上 5z 主导（例8）、|z| ＝ 2 上 z3 主导（例9）。同一多项式在不同圆上主导项不同——Rouché 的艺术就是选圈。
迭代版（选读）：f(λ, z) 连续依赖 λ 时零点数不变（只要边界上不冒根）——「根的个数是拓扑量、根的位置是连续量」，同伦不变性思想的初等形式。
与刘维尔版（4.17）的对照是本页的灵魂：刘版是「整体性质」路线（1/p 全平面有界 ⟹ 常数）——宏观、一击致命；Rouché 版是「局部主导」路线（大圆上首项碾压）——逐圈清点、显式给出「根都在哪」（半径 R 内全部 n 个）。两条路线共享一个前提：∞ 处多项式按首项增长（4.17 第②行 ＝ 本页第②行的同一句话）。同一定理的不同证明共享基因——「理论系统」的另一层含义：结论的等价网络。
与拓扑版的关系：Rouché 的「主导项零点 ＝ 全体零点」正是 π1 版（同伦推移 zn → p 不过 0）的可计算包装——挑战二把 4.17（刘维尔）、5.14（Rouché）与「 fundamental group 版」三方对质，评析「理论之力」的三种面孔。
生产力的另一面：Rouché 不止证存在——它定位。例8（单位盘内 1 根）、例9（三根全实域定位）展示「选圈数根」的实操；习题课九训练到「圆环带内恰几根」（两个同心圆夹击）。这种「给出根的地理位置」的能力，数值求根（Newton 法的初始盘选取）直接受益。
碾压从哪来：三股力。① 维度——实积分是一维线上的账，围道借二维面「白拿」闭合条件；② 代数化——极点位置与留数把「收敛的精细分析」变成「解方程＋求导数」；③ 模板化——三类围道（大半圆/挖坑/钥匙孔）覆盖全部常规题型，题目之间的差异只剩「圈内留数清单」。
公允的边界：实方法并非全面落败——arctan、Feynman 技巧在「有初等原函数」时更快；Sturm 序列对实根的区间定位更强；实方法不需要「函数可延拓到 ℂ」这个前提（有些函数延不出去或有自然边界）。正确的结论不是「复法万能」，而是「多一个维度就多一整张工具桌」——5.16 的信号处理里，两个桌子的工具将合并使用。
一句话揭开「信号处理黑箱」：Laplace/Fourier 逆变换 ＝ 留数求和。F(s) ＝ 1/(s2 ＋ 1) 的逆变换是 sin t——因为极点 ±i 的留数给出 sin 的两个指数分量；系统的「极点」就是「固有振动模态」，「留数」就是「每个模态的振幅配额」。传递函数、滤波器设计、稳定性分析（极点全在左半平面 ⟹ 稳定——Routh–Hurwitz 判据的复分析原型），全部建立在「极点语言」上。
Nyquist 判据（控制论）：辐角原理＋开环频率响应曲线——「绕 −1 点几圈」判闭环稳定性（5.12 的工业化身）。Z 变换（离散信号）同理：单位圆替换虚轴，极点在圆内 ⟹ 稳定——离散与连续共用同一套留数语法，〔离散⇄连续〕线索的现金兑付。
更深一层：为什么「极点 ＝ 模态」？est 在极点 s0 处爆炸率由 Res 决定——留数定理把「分解成指数模态」这个物理直觉变成数学定理（部分分式 ＋ 围道闭合）。工程表格里的「拉氏变换对照表」，每一行都是一笔留数账。
留数不仅能算积分，还能拆函数。有理函数的部分分式是原型：
超越函数的版本叫 Mittag-Leffler 展开：把 csc πz、cot πz、π2/sin2πz 等按极点清单展开成「部分分式的无穷和」。明星样本：
证明的思想 = 留数定理应用于「大正方形围道」：∮πcotπz/(w − z) 型积分，大围道账 → 0（πcotπz 在远离实轴处 → ∓i），围内极点贡献读出展开式。「用围道证函数恒等式」——留数定理从算积分升级为造展开。三大产物：① sin πz 的无穷乘积（Euler：sinπz ＝ πz∏(1 − z2/n2)——对 cot 展开积分而得）；② Σ1/n2 ＝ π2/6（Basel 问题：cot 展开中 z → 0 比较系数——第一章第一章例12 与 1.15 的老朋友由复分析一页结案）；③ Weierstrass ℘ 函数（椭圆函数论的门厅）。
第四章唯一性定理在此暗中护法：极点清单＋主部确定的展开式若相等，恒等式全局成立——「展开」与「唯一性」两条线索在 Mittag-Leffler 会师。
五类兵器（考试即查）：① 留数速算——先约分；一阶 N/D′；高阶先拆分或求导公式；本性只能展开。② 三角积分——eiθ 嫁接＋模筛根＋负值报警器。③ 广义积分——大半圆（deg 差 ≥ 2）/Jordan（含 eiλx）/挖坑（实轴极点）/钥匙孔（分数幂）；桥账先估死再收网。④ 计数——辐角原理（测量）、Rouché（杠杆选圈）。⑤ 检验——量纲/正负/参数极限三道安检（例3 的陷阱、5.7 的 a → 1+ 爆炸）。
易错四坑：① 围道上有极点忘挖坑；② 上下岸相位差抄错（e2πia vs e−2πia）；③ 模筛根时把「圈外根」算进账；④ Rouché 不等式在边界上成立（不在内部——内部恰好允许违反）。
通向下一章的三根线头：① Cayley 变换（5.7③ 的 t 嫁接）正式成为分式线性变换的主角（6.5–6.8）；② 极点 ＝ 模态的「位置决定性质」思想，在共形映射里变成「区域形状决定映射库」（6.8–6.10）；③ Schwarz 引理（6.11）是刚性思想的终极形态——第四章「玻璃」隐喻的定理化。
例1 求留数：① f ＝ (z ＋ 1)/(z2 − 3z ＋ 2) 在两个极点；② f ＝ ez/z3 在 0。
解 ① z2 − 3z ＋ 2 ＝ (z − 1)(z − 2)，两个一阶极点。N/D′ 法：D′ ＝ 2z − 3。Res1 ＝ 2/(−1) ＝ −2；Res2 ＝ 3/1 ＝ 3。自检：分子次数低于分母、∞ 处 f ∼ 1/z ⟹ Res∞ ＝ 0？∞ 处 c−1：f ＝ (z ＋ 1)/(z2 − 3z ＋ 2)，大 z 展开 f ＝ 1/z·(1 ＋ 4/z ＋ …)，c−1 ＝ 1 ⟹ Res∞ ＝ −1。大平衡：−2 ＋ 3 − 1 ＝ 0 ✓——大平账每次都验，三十秒保一题。
② ez/z3 ＝ (1 ＋ z ＋ z2/2 ＋ z3/6 ＋ …)/z3，z−1 系数来自 z2/2 项：Res ＝ 1/2。或高阶公式（m ＝ 3）：(1/2!)lim(z3·ez/z3)″ ＝ (1/2)e0 ＝ 1/2 ✓——展开法明显更快。
例2 计算 ∫02π dθ2 ＋ cosθ。
解 嫁接：cosθ ＝ (z ＋ z−1)/2，dθ ＝ dz/(iz)：
∫ ＝ ∮|z|＝1dz/(iz)2 ＋ (z ＋ z−1)/2 ＝ ∮2dzi(z2 ＋ 4z ＋ 1)。
极点：z ＝ −2 ± √3。|−2 ＋ √3| ≈ 0.27 ＜ 1（圈内），|−2 − √3| ≈ 3.73（圈外）——模筛根自动完成。N/D′：Res ＝ 2/[i·(2z ＋ 4)]|z0 ＝ 2/(i·2√3) ＝ 1/(i√3)。⟹
∫ ＝ 2πi·1i√3 ＝ 2π√3。
三道安检：① 正值性——被积函数 ≥ 1/3 ⟹ 积分 ≥ 2π/3，而 2π/√3 ≈ 3.63 ✓（量级合理）；② 参数极限 a → ∞ 时 2π/√(a2 − 1) → 0 ✓（被积函数 → 0）；③ 闸门结构——两根互为倒数（z0z1 ＝ 1），恰一进账 ✓。
例3 计算 ∫02πsin2θ1 ＋ cosθdθ。先看看「直接嫁接」会出什么事。
陷阱：直接嫁接得分母含 (1 ＋ (z ＋ z−1)/2) ＝ (z ＋ 1)2/(2z)——分母有 z ＝ −1 的二阶零点，恰好落在单位圆上！留数定理根本不适用（围道过极点），硬算必错。报警器本来该响：1 ＋ cosθ 在 θ ＝ π 为零，被积函数分子 sin2π ＝ 0 也为零——这是 0/0 型，不是普通瑕点。
正解（先化简）：1 ＋ cosθ ＝ 2cos2(θ/2)，sin2θ ＝ 4sin2(θ/2)cos2(θ/2) ⟹ 被积函数 ＝ 2sin2(θ/2)（θ ≠ π 处；θ ＝ π 附近连续延拓）：
∫02π2sin2(θ/2)dθ ＝ ∫02π(1 − cosθ)dθ ＝ 2π。
教训：三角积分先做三角恒等化简、把 0/0 消干净，再谈围道——「化简优先」永远排在「嫁接」前面。围道是重型机械，别拿它拧螺丝。
例4 用留数定理重证 ∫−∞∞dx1 ＋ x2 ＝ π，完整写出合法性论证。
解 f ＝ 1/(1 ＋ z2)，唯一极点 z ＝ i（上半平面，一阶）。围道：实轴 [−R, R] ＋ 上半大圆 C_R，R ＞ 1。
∮ ＝ ∫−RR ＋ ∫C_R ＝ 2πi·Resz＝i ＝ 2πi·12i ＝ π。
桥账归零：C_R 上 |1 ＋ z2| ≥ |z|2 − 1 ＝ R2 − 1 ⟹ |∫C_R| ≤ πR/(R2 − 1) → 0。令 R → ∞：∫−∞∞ ＝ π。∎
合法性三点：① 收敛性——deg 差 ＝ 2 ⟹ 绝对收敛，取限方式无关；② 桥上无极点（极点 i 不在大圆上，R ＞ 1 已保证）；③ 对称性不需要——围道法自动处理非对称被积函数（试对比：∫x/(1＋x2) 乘奇函数版得 0，围道法里 i 点留数乘 2πi？——不，x/(1＋x2) 奇函数积分为 0 但它不绝对收敛（deg 差 ＝ 1），围道法同样要求 deg 差 ≥ 2，这里确实不适用——主值 ＝ iπ 是另一回事，习题课四辨析）。
例5 计算 ∫−∞∞dxx4 ＋ 1。
解 极点：x4 ＝ −1 的根 zk ＝ eiπ/4, e3iπ/4, e5iπ/4, e7iπ/4——单位圆上等距四点，上半平面两个：z1 ＝ eiπ/4, z2 ＝ e3iπ/4（模筛在根表上直接完成）。
一阶留数（D′ ＝ 4z3）：Resz_k ＝ 1/(4z_k3) ＝ z_k/(4z_k4) ＝ −z_k/4（z_k4 ＝ −1）。和：
−14(eiπ/4 ＋ e3iπ/4) ＝ −14(√22 ＋ i√22 − √22 ＋ i√22) ＝ −i√22。
∫ ＝ 2πi·(−i√22) ＝ π√2。
安检：正值性 π/√2 ≈ 2.22 ＞ 0 ✓；与 ∫dx/(1＋x2) ＝ π 对照（x4 ＋ 1 的分母更胖 ⟹ 积分应更小？2.22 ＜ π ✓——虽然分母在小 x 处更接近 1，量级推理要小心，这里恰好合理）。实方法对照：四次部分分式要解出两对共轭实二次因式（(x2 ＋ √2x ＋ 1)(x2 − √2x ＋ 1)）再各配 arctan——半页换三行，5.15 的第二行数据来源。
例6 计算 ∫−∞∞eix1 ＋ x2dx，并由此读出 ∫cosx/(1＋x2)dx 与 ∫sinx/(1＋x2)dx。
解 f ＝ eiz/(1 ＋ z2)，上半极点 z ＝ i：Res ＝ ei·i/(2i) ＝ e−1/(2i)。大半圆 ＋ Jordan 引理（|eiz| ＝ e−Im z ≤ 1 上半平面；且 1/(1＋z2) → 0）压桥：
∫−∞∞eix1 ＋ x2dx ＝ 2πi·e−12i ＝ πe。
虚实分解：eix ＝ cosx ＋ isinx ⟹ 实部 ∫cosx/(1＋x2)dx ＝ π/e，虚部 ∫sinx/(1＋x2)dx ＝ 0（奇函数，自动归零——围道法一次买一送一）。参数版：同样的围道给 ∫cosλx/(1＋x2)dx ＝ πe−λ/2（λ ＞ 0）——λ 越大衰减越快，频谱直观（低通滤波器的脉冲响应正是它！5.16 的伏笔）。
Jordan 的用武之地：这里 deg 差 ＝ 2，ML 其实也压得住（|eiz| ≤ 1）；Jordan 的不可替代性在 deg 差 ＝ 1 的场合（如 eix/(1 ＋ x)，主值处理）——习题课五专门补这课。
例7 证明 ∫0∞sin xxdx ＝ π2。
解 f ＝ eiz/z，围道＝大半圆 C_R ＋ [−R, −ε] ＋ 小上半圆 C_ε（绕原点）＋ [ε, R]（挖坑，5.10）。围内无极点 ⟹ 总账 0：
0 ＝ ∫εReixxdx ＋ ∫C_R ＋ ∫−R−εeixxdx ＋ ∫C_ε。
① C_R：Jordan 压死 → 0；② 第二个实积分换元 x ＝ −t（dx ＝ −dt；x: −R → −ε 对应 t: R → ε）：∫−R−εeix/x dx ＝ ∫εRe−it/t dt。两段实积分合并：
∫εReix − e−ixxdx ＝ 2i∫εRsin xxdx。
③ 小半圆：z ＝ εeiθ，θ: π → 0，eiz ≈ 1 ⟹ ∫C_ε ≈ ∫idθzz ＝ i∫_π0 dθ ＝ −iπ。总账：
2i∫εRsin xxdx − iπ → 0 ⟹ ∫0∞sin xxdx ＝ π2。∎
严谨补丁：sinx/x 不绝对收敛 ⟹ ∫−∞∞ 理解为对称主值——但 sinx/x 是偶函数，对称主值 ＝ 2∫0∞ ✓（Dirichlet 收敛性另行验证，Dirichlet 判别一行）。
例8 判定 p(z) ＝ z4 − 5z ＋ 2 在 |z| ＜ 1 内的零点个数。
解 选主导：|z| ＝ 1 上 |−5z| ＝ 5；|z4 ＋ 2| ≤ 1 ＋ 2 ＝ 3 ＜ 5。主导项 f ＝ −5z，扰动 g ＝ z4 ＋ 2，Rouché（5.13）：
p 与 −5z 在单位盘内零点数相同 ＝ 1（z ＝ 0，一阶）。
围道上无零点：|p| ≥ |−5z| − |z4 ＋ 2| ≥ 2 ＞ 0 ✓（Rouché 的前提齐了）。追问：另外三个根在哪？|z| ＝ 3 上 |z4| ＝ 81 ＞ |5z − 2| ≤ 17 ⟹ 全部 4 根在 |z| ＜ 3 内 ⟹ 圆环 1 ＜ |z| ＜ 3 内恰 3 根。再追问：有实根吗？p(0) ＝ 2 ＞ 0，p(1) ＝ −2 ＜ 0，p(2) ＝ 8 ＞ 0 ⟹ (0,1) 与 (1,2) 各一实根；第三个实根 p(−1) ＝ 6 ＞ 0、p(−2) ＝ 28 ＞ 0，但 p′ ＝ 4z3 − 5 单调区分析：负根 p(−1.2) ＝ 2.07 ＋ 6 − 2？细算 p(−1.5) ＝ 5.06 ＋ 7.5 ＋ 2 ＞ 0，p(−1) ＝ 6 ＞ 0——复根！两实两复（共轭对）。例9 演示三实根的反例。
例9 证明 p(z) ＝ z3 − 3z ＋ 1 的三个根都是实根，并定位到区间。
解 第一步（判别式）：Δ ＝ −4(−3)3 − 27(1)2 ＝ 108 − 27 ＝ 81 ＞ 0 ⟹ 三相异实根（三次判别式符号定理）。这是代数路线——再走 Rouché＋介值的组合路线练手：
第二步（实根定位）：p(−2) ＝ −1 ＜ 0，p(−1) ＝ 3 ＞ 0 ⟹ 根 ∈ (−2, −1)；p(0) ＝ 1 ＞ 0，p(1) ＝ −1 ＜ 0 ⟹ 根 ∈ (0, 1)；p(1) ＜ 0，p(2) ＝ 3 ＞ 0 ⟹ 根 ∈ (1, 2)。三个区间三根 ✓。
第三步（无复根——Rouché 收口）：三实根已在盘 |z| ＜ 2 内（三个区间都 ⊂ (−2, 2)），而 |z| ＝ 2 上 |z3| ＝ 8 ＞ |3z − 1| ≤ 7 ⟹ p 与 z3 同有 3 根在 |z| ＜ 2 ⟹ 根总数 ＝ 3。三实根 ＋ 总数 3 ⟹ 无复根。∎
方法论：介值定理「找到」实根（下界：至少 3 个），Rouché「封顶」（至多 3 个）——两头一夹，根的户口清点完毕。夹击术是数根问题的通用战术：找多少（实方法）＋ 封顶多少（复方法）。
例10 求 f ＝ z3e1/z 的全部留数（含 ∞），并算 ∮|z|＝2f dz。
解 唯一有限奇点 0（本性）：z3e1/z ＝ z3 ＋ z2 ＋ z ＋ 1 ＋ 12!z ＋ 13!z2 ＋ …，c−1 ＝ 1/2 ⟹ Res0 ＝ 1/2。
∞ 处：z3e1/z 在 ∞ 的展开（同一式子读作 z 的大值展开）含正幂最高 z3、且 c−1 ＝ 1/2——等等，∞ 的留数是 −c−1？细心：Res∞ ＝ −c−1 中 c−1 是同一展开里 z−1 的系数（Laurent 展开在 |z| 大处）——就是上面这个展开的 1/(2z) 项！⟹ Res∞ ＝ −1/2。大平账：1/2 − 1/2 ＝ 0 ✓（ℂ̂ 上只有两个奇点，它们必须互相平账）。
∮|z|＝2f dz ＝ 2πi·Res0 ＝ πi。
读法：0 的主部（无穷负幂）与 ∞ 的「多余正幂」z3 是同一枚硬币的两面——本性奇点在 ℂ̂ 的对侧留下镜像欠账。大平衡对有限多个奇点恒成立：任何一个「漏算的留数」都会在 ∞ 处露馅。
例11 计算 ∫0∞dx(x ＋ 1)√x（√x 取主支）。
解 g ＝ 1/[(z ＋ 1)√z]（主支：割负实轴，Arg ∈ (−π, π)）。钥匙孔围道沿正实轴割（本题主支在正实轴上两支差负号）——上案 z ＝ x：√z ＝ √x；下岸 z ＝ xe2πi：√z ＝ −√x（主支割负轴时正轴下岸其实是……）细心：主支割负实轴 ⟹ 钥匙孔应沿正实轴开，下岸多转一整圈：√(xe2πi) ＝ √x·eπi ＝ −√x ✓。极点 z ＝ −1 在割线上？−1 在负实轴上——恰好是刀口！换刀：改取支 Arg ∈ (0, 2π)（割正实轴），−1 ＝ eiπ 在域内、√(−1) ＝ eiπ/2 ＝ i。
两岸账：上岸 ∫√x·…/(x＋1)dx ＋ 下岸（√z ＝ −√x）⟹ 相减合并 ＝ 2∫0∞dx(x＋1)√x。大圆小圆压零，极点 −1 留数：Res ＝ 1/i ＝ −i ⟹ 2πi·(−i) ＝ 2π：
2·∫ ＝ 2π ⟹ ∫0∞dx(x ＋ 1)√x ＝ π。∎
验算：换元 x ＝ t2：∫2dt/(t2 ＋ 1) ＝ π ✓✓——围道法与初等换元互证，清亮收工。
例12 填写决策表并给每行一个「一眼识别」特征与一个代表例。
决策树：角区间？→ 嫁接。实直线？→ 极点位置（上半/实轴/支点）三分支。都不是？→ 可能是 Γ/ζ 型特殊积分（Mittag-Leffler 或函数方程路线，选读）。决策表背后是同一个哲学：坏处在哪（极点/支点/边界），手术路径就开到哪。
题 1 求 Resz＝0：① cos zz；② z2sin(1/z)；③ ez − 1z2。
提示：① 1（一阶极点，分子偶函数在 0 ＝ 1）；② 展开 sin(1/z) ＝ 1/z − 1/6z3 ＋ …，乘 z2 ⟹ z − 1/6z ＋ … ⟹ −1/6（可去极点的「残账」——0 只是可去奇点，但留数照样可以非零？细心：z2sin(1/z) 在 0 的主部有无穷负幂 ⟹ 0 是本性！极点阶数看主部长度，不要看乘了几个 z）；③ (z ＋ z2/2 ＋ … − 1)/z2 ＝ 1/z ＋ 1/2 ＋ … ⟹ 1。
题 2 f ＝ 1/(z3 − z)：求全部有限留数并用大平账验算。
提示：极点 −1, 0, 1 各一阶。N/D′（D′ ＝ 3z2 − 1）：Res(−1) ＝ 1/2，Res(0) ＝ −1，Res(1) ＝ 1/2。∞ 处 f ∼ 1/z3 ⟹ c−1 ＝ 0 ⟹ Res∞ ＝ 0。平账：1/2 − 1 ＋ 1/2 ＝ 0 ✓。
题 3 证明：可去奇点处留数可以为任意值（举一例留数 ≠ 0 的可去奇点），并说明「可去」与「无欠账」的区别。
提示：f ＝ 1/z 在 0 补值任意？不对——1/z 在 0 是极点。正确例子：zsin(1/z)？主部 1 − 1/6z2 ＋ … 无 z−1 ⟹ 留数 0。要留数非零的可去奇点：不存在！可去 ⟺ 无负幂 ⟺ c−1 ＝ 0。本题的真实答案：不可能——可去 ⟹ 留数 0，但极点的留数可以为 0（如 1/z2）。单行道关系：可去 ⟹ 零留数；零留数 ↛ 可去。
题 4 ∮|z|＝3 ezz(z − 2)dz。
提示：极点 0, 2 都在 |z| ＜ 3。部分分式 1/[z(z−2)] ＝ −1/(2z) ＋ 1/(2(z−2))：账 ＝ 2πi[−1/2·e0 ＋ 1/2·e2] ＝ πi(e2 − 1)。或逐点 Res：Res0 ＝ −1/2，Res2 ＝ e2/2。
题 5 ∮|z|＝1 dzz4 ＋ 4。
提示：极点 z_k ＝ √2·ei(π/4 ＋ kπ/2)——模全是 √2 ＞ 1，圈内无极点 ⟹ 积分 ＝ 0。勿见分母高次就算留数——先比模！
题 6 ∮|z|＝2 tan z dz。
提示：tan z ＝ sin z/cos z 的极点在 cos z ＝ 0：z ＝ π/2 ＋ kπ。圈内 |z| ＜ 2：±π/2（≈ ±1.57）。cos 在极点的导数 ∓sin ⟹ Res ＝ sin z0/(−sin z0) ＝ −1（各点）。账 ＝ 2πi(−2) ＝ −4πi。延展：∮ tan z dz 沿大圆 ＝ 2πi × 圈内极点数的负值——tan z 的「留数恒 −1」是 Mittag-Leffler（5.17）的第一样本。
题 7 ∫02π dθ5 ＋ 4cosθ。
提示：嫁接后 ∮ 2dz/[i(z2 ＋ 5z·？细心：5 ＋ 4·(z＋z−1)/2 ＝ 5 ＋ 2z ＋ 2z−1 ⟹ 乘 2z：4z2 ＋ 10z ＋ 4。内根 z0 ＝ (−10 ＋ √84)/8 ＝ (−5 ＋ √21)/4 ≈ −0.1047（|·| ＜ 1 ✓，两根互倒）。Res ＝ 2/[i·4(2z0 ＋ 5)]？统一写：∮ 2dz/(i(4z2 ＋ 10z ＋ 4))，Res ＝ 2/[i(8z0 ＋ 10)]。代 z0 ＝ −(√21 ＋ 5)/4·(−1)？直接用参数公式（5.7④）：∫ ＝ 2π/√(25 − 16) ＝ 2π/3。两法互验。
题 8 ∫02π sin2θ5 ＋ 4cosθ dθ。
提示：sin2θ ＝ (2 − z2 − z−2)/4，嫁接后 ∮ 负幂处理：乘 z2 化为三次多项式分母。内根两个（z0 及其伴生），留数两笔。结果 2π(5 − √24)/16·2？终值：＝ π6(5 − √21)？验量级：被积函数均值 ≈ (1/2)/(5) ＝ 0.1 ⟹ 积分 ≈ 0.63；(5 − √21)π/6 ≈ 1.48/6·π ≈ 0.776？粗算被积函数：cos ＝ 0 处 1/5，均值略低 ⟹ 0.6–0.8 合理 ✓（精确值由计算器复核（5 − √21）·2π/8·2/4…——本题练「三角幂的代数展开」，数值以课堂复核为准，方法分优先）。
题 9 ∫0π dθ2 ＋ cosθ（半区间）。
提示：被积函数关于 θ ↔ 2π − θ 对称 ⟹ ∫02π ＝ 2∫0π ⟹ 答案 ＝ π/√3。对称性折半是半区间三角积分的第一反应。
题 10 ∫−∞∞ dx(1 ＋ x2)2。
提示：极点 i 二阶。高阶公式 m ＝ 2：Res ＝ lim d/dz[(z − i)2f]，f ＝ 1/(z＋i)2(z−i)2，Res_i ＝ [d/dz (z − i)2f]i ＝ [d/dz 1/(z ＋ i)2]i ＝ −2/(z ＋ i)3|i ＝ −2/(2i)3 ＝ −2/(−8i) ＝ 1/(4i)。∫ ＝ 2πi·1/(4i) ＝ π/2。
题 11 ∫−∞∞ x2(x2 ＋ 1)(x2 ＋ 4) dx。
提示：极点 i, 2i。Res_i ＝ i2/[(2i)(i2 ＋ 4)] ＝ (−1)/[(2i)(3)] ＝ −1/(6i)；Res2i ＝ (2i)2/[(2i ＋ i)(2i·？＝ (−4)/[(3i)(4i)] ＝ (−4)/(−12) ＝ 1/3。和 ＝ 1/3 ＋ i/6。∫ ＝ 2πi(1/3 ＋ i/6) ＝ π/3·2i·？＝ 2πi/3 − π/3 ⟹ 实部 π/3？被积函数实正值 ⟹ 积分实 ⟹ 2πi·(i/6) ＝ −π/3？重算 Res_i：f 在 i：x2/[(x2＋4)(x＋i)(x−i)]，Res ＝ i2/[(i2＋4)(2i)] ＝ (−1)/[(3)(2i)] ＝ −1/(6i) ＝ i/6。Res2i ＝ (2i)2/[(（2i)2＋1)(4i)] ＝ (−4)/[(−3)(4i)] ＝ 1/(3i) ＝ −i/3。和 ＝ i/6 − i/3 ＝ −i/6 ⟹ ∫ ＝ 2πi·(−i/6) ＝ π/3 ✓ 实正值。教训：留数的代数要一步一验。
题 12 为什么 ∫−∞∞x/(1＋x2)dx 不能用大半圆法？它的对称主值是多少？
提示：deg 差 ＝ 1 ⟹ 大圆账 |∫| ≤ πR·(R/(R2)) ≈ π 不趋零——桥塌了。对称主值 ＝ 0（奇函数），但非对称取限（∫0R 减 ∫−R0）依赖取限方式 ⟹ 广义积分发散、主值 ＝ 0。deg 差 ≥ 2 不是技术洁癖，是「答案存在且唯一」的底线。
题 13 ∫−∞∞ xeixx2 ＋ 4 dx。
提示：极点 2i：Res ＝ 2i·ei·2i/(4i) ＝ e−2/2 ⟹ ∫ ＝ 2πi·e−2/2 ＝ πie−2 ⟹ 实部 ∫xcosx/(x2＋4) ＝ 0（奇函数 ✓），虚部 ∫xsinx/(x2＋4)dx ＝ πe−2。Jordan 压桥：|x/(x2＋4)| → 0 ✓。
题 14 ∫−∞∞ eixx ＋ i dx（deg 差 ＝ 1，用 Jordan）。
提示：极点？z ＝ −i 在下半平面——上半平面解析无极点！⟹ 闭合上半：∫ ＝ 0？核对衰减：1/(z ＋ i) → 0，Jordan 适用 ⟹ 积分 ＝ 0。深意：极点在下半 ⟹ 对 λ ＞ 0 的 Fourier 分量「看不见」——因果性（信号只对 t ＞ 0 响应）的频域表述，5.16 的物理注脚。
题 15 证明 Jordan 引理的关键估计：∫0π e−λR sinθR dθ ≤ π(1 − e−λR)/λ。
提示：sinθ ≥ 2θ/π 于 [0, π/2]，对称拆分：∫0π ＝ 2∫0π/2 ≤ 2∫0π/2e−2λRθ/πdθ ＝ 2·[π/(2λR)](1 − e−λR)·R ＝ π(1 − e−λR)/λ ✓。两端 θ ≈ 0, π 的「不衰减区」被线性下界兜住——这就是「R·弧长 × 峰值」估计的精细化。
题 16 沿例7 的围道计算 ∫0∞cos x − 1x2dx。
提示：f ＝ (eiz − 1)/z2，0 是几阶极点？分子 eiz − 1 ＝ iz − z2/2 − … ⟹ 一阶极点，Res ＝ i。小半圆从 z ＝ −ε（θ ＝ π）走到 ε（θ ＝ 0）：∫ ≈ ∫ Res/z·dz ＝ i·∫_π0 dθ ＝ −iπ ⟹ 小圆账 ＝ −iπ·Res ＝ −iπ·i ＝ π。总账 ＝ 0：实轴两段合并 (eix − e−ix − 0)/x2 ⟹ 实部读 cos：∫(cosx − 1)/x2·2 − π ＋ 桥 0 ＝ 0 ⟹ ∫0∞(cosx − 1)/x2dx ＝ −π/2（负值 ✓ 因被积函数 ≤ 0）。两处符号都要按方向严查。
题 17 证明 ∫0∞sin xxdx 收敛但不绝对收敛。
提示：Dirichlet 判别——sin x 的原函数有界（1 − cos x ∈ [0,2]）且 1/x 单调趋 0 ⟹ 收敛。绝对发散：|sinx| ≥ sin2x ＝ (1 − cos2x)/2 ⟹ ∫|sinx|/x ≥ ∫(1−cos2x)/(2x) 减有界项后含 ∫dx/2x 发散。条件收敛的全套体检。
题 18 用例7 的结果与换元求 ∫0∞sin2xx2dx。
提示：分部积分：u ＝ sin2x，dv ＝ dx/x2 ⟹ ＝ 2∫sin x cos x/x dx ＝ ∫0∞sin2x/x dx ＝（换元 t ＝ 2x）∫0∞sin t/t dt ＝ π/2。「Dirichlet ＋ 分部」生产一族积分—— π/2 是这一族的种子。
题 19 用钥匙孔围道证明 ∫0∞dx√x(1 ＋ x) ＝ π（复演例11，要求完整书写两岸相位账）。
提示：主支改取 Arg ∈ (0, 2π)（割正实轴）。上岸 √x ＝ √x，下岸 √(xe2πi) ＝ −√x ⟹ 两岸合并 ＝ 2∫。极点 −1 ＝ eiπ：√(−1) ＝ eiπ/2 ＝ i，Res ＝ 1/i ＝ −i，账 2πi(−i) ＝ 2π ⟹ ∫ ＝ π。书写要点：刀口位置、极点不在刀口、相位差符号三处各写一句话。
题 20 ∫0∞xa−11 ＋ xdx ＝ πsin πa（0 ＜ a ＜ 1）。证明之。
提示：f ＝ za−1/(1 ＋ z)，钥匙孔割正轴。两岸合并 (1 − e2πi(a−1))∫ ＝ (1 ＋ e2πia)∫。极点 −1 ＝ eiπ：za−1 ＝ eiπ(a−1)，Res ＝ eiπ(a−1)。账：2πi·eiπ(a−1) ⟹ ∫ ＝ πeiπ(a−1)/sin(πa)·？终算：∫ ＝ 2πi eiπ(a−1)/(1 − e2πi(a−1))，分子分母提 eiπa：＝ 2πi e−iπ/(e−iπa − eiπa) ＝ 2πi(−1)/(−2i sin πa) ＝ π/sin πa ✓。a ＝ 1/2 时退回题 19 ✓。
题 21 钥匙孔围道里「大圆与小圆的账归零」各需要什么衰减条件？
提示：大圆 |z| ＝ R：|za−1/(1＋z)| ≤ Ra−1/(R − 1)，乘弧长 2πR ⟹ 需 a ＜ 1；小圆 r：ra−1·2πr ⟹ 需 a ＞ 0。0 ＜ a ＜ 1 正是积分的收敛域——围道的合法性与积分的收敛性是同一句话。
题 22 用辐角原理数 z3 − z ＋ 4 在 |z| ＜ 2 内的根数（计重）。
提示：直接算像难；用 Rouché 更快：|z| ＝ 2 上 |z3| ＝ 8 ＞ |−z ＋ 4| ≤ 6？4 ＋ 2 ＝ 6 ＞ 8 不成立！换 f ＝ z3 − z（|f| ≥ |z|2·？|z3 − z| ＝ |z||z2 − 1| ≥ 2·3 ＝ 6，g ＝ 4：|g| ＝ 4 ＜ 6 ✓ ⟹ 与 z3 − z（根 0, ±1 共 3 个）同 ⟹ 3 根。若用辐角原理：参数化算 Δ arg 太苦——「辐角原理证存在、Rouché 做计算」的分工再演一遍。
题 23 f 解析，γ 内零点 a1,…,an（无极点）。证明：12πi∮γzf′(z)f(z)dz ＝ Σak（零点之和！）。
提示：f′/f ＝ Σ m_j/(z − a_j) ＋ g′/g，乘 z 后留数 m_j·a_j——辐角原理的加权版。推广：∮zk f′/f 给出零点的幂和——「用围道给根做人口普查」，牛顿恒等式的复分析入口。
题 24 Nyquist 思想题：开环传递函数 G(z) 无右半平面极点时，「G 沿大半圆的像绕 −1 的圈数 ＝ 闭环右半平面极点数」。用辐角原理一句话解释为什么 −1 是特殊点。
提示：闭环特征方程 1 ＋ G(z) ＝ 0 ⟹ 闭环极点 ＝ 1 ＋ G 的零点。辐角原理数 1 ＋ G 的零点 ＝ G 像绕 −1 的圈数（＋G 自身极点数的修正）。−1 特殊只因它是「1 ＋ G 的零点 ⟺ G ＝ −1」的翻译——控制工程师画图数圈，复分析给圈数发工资。
题 25 z5 ＋ 15z ＋ 1 在 |z| ＜ 1 与 1 ＜ |z| ＜ 2 内各几根？
提示：|z| ＝ 1：|15z| ＝ 15 ＞ |z5 ＋ 1| ≤ 2 ⟹ 1 根（同 15z）；|z| ＝ 2：|z5| ＝ 32 ＞ |15z ＋ 1| ≤ 31 ⟹ 5 根。⟹ 单位盘 1 根、环带 4 根。细问：单位盘内那根是实的吗？p(0) ＝ 1 ＞ 0，p(−0.1) ＝ −1.5 ＋ 1 ＋ 1 ＞ 0，p(−0.067)≈？p′ ＝ 5z4 ＋ 15 ＞ 0 全程单调递增 ⟹ 唯一实根 ≈ −0.067 在盘内 ✓。
题 26 证明：z4 ＋ 6z ＋ 3 恰有一个根满足 |z| ＜ 1/2？先猜再证。
提示：|z| ＝ 1/2 上 |6z| ＝ 3 ＞ |z4 ＋ 3| ≤ 1/16 ＋ 3 ＝ 3.06？不成立！主导失败。换 f ＝ 3：|f| ＝ 3 ＞ |z4 ＋ 6z| ≤ 3.06？也不成立。⟹ 结论可能是假：检查 p(0) ＝ 3 ＞ 0，p(−1/2) ＝ 1/16 − 3 ＋ 3 ＞ 0，实根在更远处；单位盘内呢？|z| ＝ 1 上 |6z| ＝ 6 ＞ |z4 ＋ 3| ≤ 4 ⟹ 1 根在单位盘，但 1/2 盘内 Rouché 拒答——本题教「Rouché 的沉默」：不等式不成立时定理不表态，别硬编结论。
题 27 （Hurwitz 定理）fn ⟹ f 在区域 D 内闭一致，fn 无零点，f ≢ 0 ⟹ f 无零点。证明之（ Hurwitz 1907）。
提示：反设 f(a) ＝ 0，圆 |z − a| ＝ r 上 f ≠ 0（零点孤立）且 min|f| ＝ m ＞ 0；一致收敛 ⟹ n 大时 |f_n − f| ＜ m 于圆上 ⟹ |f_n/f| ＜ 1 ⟹ Rouché：f_n 与 f 同零点数于盘内 ⟹ f_n 有零点，矛盾。∎ 这是「玻璃刚性」的极限版：零点不会凭空消失，只会被挤到边界——共形映射自同构的存在性（第六章）靠它垫底。
题 28 求 Res∞：① z2/(z − 1)；② ez ＋ 1/z；③ sin z。
提示：① 大 z 展开 z2/(z−1) ＝ z ＋ 1 ＋ 1/(z−1) ＝ z ＋ 1 ＋ 1/z ＋ … ⟹ c−1 ＝ 1 ⟹ Res∞ ＝ −1；② ez 在 ∞ 是本性，但 c−1 只看 z−1 项 ⟹ Res∞ ＝ −1；③ sin z ＝ z − z3/6 ＋ … 无 z−1 ⟹ Res∞ ＝ 0。本性奇点在 ∞ 也有确定的留数——留数是展开的一格，与奇点脾气无关。
题 29 ∮|z|＝3(z ＋ 1/z)2？改为 ∮|z|＝3(z2 ＋ 1)2z2dz。
提示：展开 (z2 ＋ 1)2/z2 ＝ z2 ＋ 2 ＋ z−2——无 z−1 项！⟹ 积分 ＝ 0。多项式导数类被积函数的经典零账：d/dz[(z2 ＋ 1)2/(−z)]·(−1)？不必——展开即见。
题 30 f 解析于 ℂ̂ 除 0 与 ∞。若 Res0f ＝ 3，求 Res∞f；再证这样的 f 必形如 −3/z ＋ 整函数部分？给出一个例子。
提示：大平账 ⟹ Res∞ ＝ −3。例子：f ＝ 3/z ＋ z（在 ∞ 一阶极点）✓。「全平面只两个奇点」的函数由大平衡强制约束——与题 1① 的 −2 ＋ 3 − 1 ＝ 0 是同一枚硬币：奇点越少，平账越硬。
题 31 ∫0∞ln x1 ＋ x2dx（提示：f ＝ (Log z)2/(1 ＋ z2) 的钥匙孔，读两岸差）。
提示：主支割正轴（Arg ∈ (0, 2π)）：上岸 Log ＝ lnx，下岸 Log ＝ lnx ＋ 2πi。两岸 (Log z)2 差 ＝ 4πi lnx − 4π2。极点 ±i 留数算总账，实部读 lnx 积分：∫0∞lnx/(1＋x2)dx ＝ 0（换元 x ↦ 1/x 一行验证 ✓——对称性提前知道答案，围道给严格证明）。
题 32 ∫0∞dx1 ＋ x3。
提示：x3 的根在实轴一侧不行——大半圆只收一个极点 eiπ/3：Res ＝ 1/(3e2iπ/3) ⟹ ∫ ＝ 2πi/(3e2iπ/3) ＝ 2π3√3。注意分母另两根 eiπ, e5iπ/3 一个在圈外下半——x3 偶数幂对称失效时大半圆仍可用（只需「上半平面极点清单」），但 ∫−∞∞ 版本就不行了（x3 分母有实根 −1）——「上下半平面的不对称」是幂次的指纹。
题 33 π·cot πz 的展开（5.17）中比较 z → 0 的系数，导出 Σ1/n2 ＝ π2/6。
提示：左边 πcotπz ＝ 1/z − π2z/3 − …；右边 1/z ＋ Σ2z/(z2 − n2) ＝ 1/z − 2zΣ1/n2 − …。比较 z 项：−π2/3 ＝ −2Σ1/n2 ⟹ Σ ＝ π2/6。∎ Basel 问题（第一章例12 的数值、2 章札记的老朋友）由 Mittag-Leffler 一步结案——第五章与第四章「展开」线索会师的见证题。
归档栏一 速算类：本性奇点硬套高阶公式（题 1②）；忘记先约分；三角函数极点旁不展开。
复盘：留数 = 展开的 −1 档。速算三问：奇点什么型？能约分/展开吗？高阶公式最后用。
归档栏二 围道类：桥账忘压（deg 差不足）；挖坑符号错（例7、题 16）；钥匙孔两岸相位差抄反（题 20）；围道上极点没发现（例3）。
复盘：动笔四查——极点全找？围道过谁？桥上衰减？两岸相位？四查齐了才展开计算。
归档栏三 计数类：Rouché 不等式只在内部查（必须边界！）；「沉默」当「否定」（题 26）；辐角原理忘计极点（N − P 的 P）。
复盘：Rouché 三查——圈选多大？主导够强？边界严格不等式成立？题 26 的教训：定理沉默时，换工具或改结论。
三问自测（合书 30 秒）：① 留数定理一句话 ＋ 大平衡一句话；② Dirichlet 积分的围道里，小半圆贡献是什么、符号怎么定？③ Rouché 定理选圈的三个动作？
《九章》方田章的「环田术」：环田（圆环）面积 ＝ 中周 × 径——「两圈平均 × 宽」。刘徽注补了密率算法，但结构始终一句话：环形的账，用内外两圈结。本章的环形区域（双连通域）全面回归：Laurent 展开长在圆环上（4.12）、复合闭路是「外圈账 ＝ 内圈账之和」（5.4）、钥匙孔围道是「带切口的环田」（5.11）——方田章的图形在复分析里不是隐喻，是工作现场。
最深的对应在「中周」：环田术取两圈的平均（中周）来代表整环；Cauchy 公式（3.11）取圆周的平均来决定圆心——「平均值代表整体」的直觉一脉相承。留数定理则是环田术的「欠账版」：外圈账减内圈账 ＝ 圈内欠账 × 2πi——两圈之差不再是几何宽度，而是拓扑的「洞里有几笔账」。
明线 +2（方田线开张）：环田→圆环域→钥匙孔，方田章从第五章起与少广、割圆并列为第三条明线。三线总记分牌：少广 7、割圆 11、方田 2——第六章圭表勾股再添一线。
留数定理（Cauchy 1825/1846）诞生于纯数学的殿堂，但它的大规模「应用化」竟始于工程侧：Heaviside（1890s）的运算微积分。他为解电路方程发明了「算子法」——把微分方程变代数、把「除以算子」当作合法操作——数学家们惊愕地发现他算的全对，却说不出为什么。Heaviside 傲然回应：「我不会因为消化过程没搞懂就拒绝吃饭。」
给这顿饭补上「消化说明」的，是 Jordan 与 Hermite 一代的严格化（1880s–1900s）：Laplace 变换的反演积分沿 Bromwich 围道（就是本册 5.16 的竖线）+ Jordan 引理压弧——工程师的表格逐行获得定理身份。1910s–1930s，复频率、极点—零点语言成熟，Bode 图与 Nyquist 判据（1932）把辐角原理焊进控制论——「画曲线、数圈数、判稳定」从此成为电站与飞机的日常。纯数学的理论红利兑付周期 ≈ 一个世纪，利率惊人。
本册的现代接口线索（〔离散⇄连续〕）至此三次兑付：Fourier（一册）、采样（三册）、极点模态（本页）。三次的共同结构：复分析的「多余维度」恰好是工程世界的「自由参数」——衰减半平面是时间箭头、单位圆是采样节奏、绕圈数是稳定性。数学不是「应用」于工程，是工程本来就长在复平面上，等数学来认领。
人物照：Jordan（1838–1922，测度论与群论双栖，Jordan 引理只是他的「副业小注」）；Hermite（1822–1901，e 的超越性与 Hermite 矩阵的持有者，Lindemann 证明 π 超越性用的正是他的机器）；Heaviside（1850–1925，自学成才、终身无学位、皇家学会会员——三个人的年龄差提醒我们：严格化与应用化是两代人的接力）。
方法表（考试即查）：闭路积分 → 奇点清单 → 比模 → 速算 → 加总 × 2πi → 大平账验。三角积分 → 嫁接 → 模筛。广义积分 → 按坏处选围道（例12 决策表）→ 压桥 → 收网。数根 → 辐角原理（原理）＋ Rouché（计算）＋介值（定位）三合一。检验 → 正负性 / 参数极限 / 量级三道安检。
通往下一章的三根线头：① 5.7③ 的 Cayley 嫁接升级为分式线性变换（6.5–6.7）——保圆与三点定像；② 「极点位置决定性质」变成「区域形状决定映射库」（6.8–6.10）；③ 刚性思想终极定理 Schwarz 引理（6.11）——第四章玻璃隐喻的定理加冕。
命题 本章所有成功的计算都做了同一件事：把一笔难算的账，按固定汇率换成一笔好算的账。留数就是汇率。
五次换账：① 围道积分 → 留数和（汇率 2πi）——沿路做功的难，换成解方程求 c−1 的易；② 三角积分 → 单位圆围道（汇率 z ＝ eiθ）——角上的难，换成代数的易；③ 实广义积分 → 围道积分（汇率：桥）——一维收敛分析的难，换成二维衰减估计的易；④ 数根 → 数绕圈（汇率：辐角原理）——解方程的难，换成画曲线的易；⑤ Laplace 逆变换 → 模态和（汇率：极点清单）——反演积分的难，换成查表的易。
换账的合法性来自定理，汇率的数值来自局部：留数只看奇点近旁的展开——全局的账由局部的一格决定。这是「内部由边界决定」的又一变形：不，这里更激进——内部由「内部的坏点」决定。好地方不产生账（Cauchy–Goursat），坏点才产生账；而且坏点的账是良定义、可速算、可平账的。复分析把「病理」变成了「会计」。
反直觉收束：实分析里「坏点」是要绕开的东西；复分析里坏点是资产——没有极点就没有留数，没有留数很多积分反而算不了（全解析 ⟹ 闭路全零，一无所获）。想算 ∫sinx/x？需要 eiz/z 的那个极点。难处即把手，深渊即矿藏。
一句话带走：复分析经济学第一条——奇点是市场，留数是汇率，围道是套利路线。
任务 合书证明：f 在上半平面除有限极点外解析、|f(z)| → 0（|z| → ∞ 一致），则 ∫C_Rf(z)eiλzdz → 0（λ ＞ 0，C_R 上半大圆）。并回答两个追问。
骨架验收：① |f(z)| ≤ ε_R 于 C_R（R 大时），ε_R → 0；② |eiλz| ＝ e−λR sinθ；③ I(R) ≤ ε_R·R∫0π e−λR sinθdθ ≤ ε_R·R·2∫0π/2e−2λRθ/πdθ ＝ ε_R·(π/λ)(1 − e−λR) ≤ πε_R/λ → 0。∎
追问一：估计里哪里用了「一致趋零」？——若 sup 逐 R 变化但 ε_R 不一致于 C_R（如靠近实轴两端衰减慢），θ ≈ 0, π 的不衰减区会被放大——「一致」二字保住两端。反例构造：f ＝ e−iz/(1 ＋ z)？它的 |f| ≤ 1/(R − 1) 一致趋零但 eiλz·e−iz ＝ ei(λ−1)z——λ ＝ 1 时无衰减，桥账不归零（这正是 eix/(1 ＋ x) 型必须小心下半圆的原因，主值技巧登场）。
追问二：Jordan 与 ML 的分界在哪里？——ML 只用「幅长 × 峰值」（保守但无条件），Jordan 用「指数定向衰减」（锐利但要 eiλz 在场）。经验法则：deg 差 ≥ 2 时 ML 够用；含 eiλx 且 deg 差 ≥ 1 时 Jordan 必备；degenerate 情形（如 1/(1＋x)）需要主值 ＋ 挖坑三件套。
加分项：把估计改进到 e−λR sinθ 的「精确积分」版本 ∫0π e−λR sinθdθ 的渐近（≈ √(2π/λR)·2），解释为什么实践中 Jordan 桥的收敛比估计快得多。
任务 用辐角原理写出代数基本定理的第五种证明，然后对四版（Gauss 实版、代数拓扑版、刘维尔版、Rouché 版、辐角原理版）做终审评析。
第五版骨架：p 整函数非多项式？不——直接走：取大圆 |z| ＝ R，p 沿圆无零点（R 大于所有根模上界——待证循环？破法：先由 5.14 Rouché 知 |z| ＜ R 内恰 n 根，则辐角原理给 Δarg ＝ 2πn——「像绕原点 n 圈」。反证无根则 Δarg ＝ 0，与像曲线 |p| ~ |an|Rn 的强制 n 圈矛盾。∎ 严格版需处理「无根时循环」：用 Rouché 版的估计直接锁定圈数——两版实为同一枚硬币（5.14 已指出），本挑战让亲手摸出两面。
终审评析表：
评析题（三句内）：① 哪几版共享「∞ 处首项主导」这个基因？② 「证明的多少」与「定理的深度」是否成比例——从五版齐观给出判断。③ 若只留一版进教材，留哪版？为什么？（无标准答案，言之成理即可。）
一句话本册立场：刘维尔版是「风景」的定妆照——它把「引入 i 的四百年理由」一次性结算；其余版本是不同登山道的风景——登顶的路径本身也是风景，这正是数学区别于工程的地方。
实验目标 对 ∫−∞∞dx/(1 ＋ x2) ＝ π，绘制围道与「账的迁移」：观察 R 增大时，实轴账如何被「吃进」围道、弧上账如何趋零。
步骤：① 画围道三件套（实轴段、大半圆、极点 i）在 R ＝ 1.5, 2, 3, 5 的四帧；② 每帧标注三笔账：实轴段 ∫−RR（逼近 π：≈ 2.657, 2.747, 2.830, 2.905）、大半圆 ∫C_R（≈ 0.484, 0.294, 0.171, 0.095）、留数包 2πi·Res ＝ π（恒定）；③ 验证恒等式「实 ＋ 弧 ＝ π」逐帧成立；④ 换被积函数 1/(1 ＋ x4) 重演（弧账衰减更快：O(R−3) vs O(R−1)）。
观察点：① 弧账趋零的速率由 deg 差定价——「桥的坡度」可视化；② 留数包是常数——「总账不变，账在实轴与桥之间搬运」；③ R → ∞ 的极限过程不是「围道消失」而是「桥账消失」——广义积分的值是搬运的终点而非起点的延伸。
拓展：把 Dirichlet 积分的挖坑围道也画四帧（ε ＝ 1, 0.5, 0.2, 0.1）——观察小半圆账恒为 −iπ、实轴账如何从两臂逼近 π/2。两个动画合起来的结论：围道法的本质是「造一笔恒定账，再让辅助账趋零」。
第 1 题（速算） 求 Resz＝0(zcos z − sin z)/z3。
评讲：zcosz − sinz ＝ z(1 − z2/2 ＋ z4/24 − …) − (z − z3/6 ＋ z5/120 − …) ＝ −z3/3 ＋ z5/30 − … ⟹ 除以 z3：−1/3 ＋ z2/30 − … ⟹ Res ＝ −1/3（且 0 是可去奇点——但注意本题留数非零？不：可去 ⟹ c−1 ＝ 0，而这里 −1/3 是常数项不是 c−1！被积函数在 0 解析、留数 0。本题考「可去 ⟹ 留数 0」的单行道——答 −1/3 的学生把常数项当留数了。）
第 2 题（三角积分） ∫02πdθ/(1 − 2cosθ)。
评讲：分母 1 − 2cosθ 在 θ ＝ π/3, 5π/3 归零——围道上极点，普通积分不存在（瑕点无界且不对称）。答案：发散；若问主值，需挖坑两处——本题考「先查分母零点」的习惯，直接嫁接硬算者重做例3。
第 3 题（广义积分） ∫−∞∞x3/(x4 ＋ 1)dx？与 ∫0∞x2/(x4 ＋ 1)dx？
评讲：前者奇函数但 deg 差 ＝ 1 发散（主值 0）；后者用 ∫−∞∞x2/(x4＋1) ＝ 2πi·Σ（上半两根 −z_k/4·z_k2）＝ π/√2 的对偶——细算：x2/(x4＋1) 在 eiπ/4, e3iπ/4 留数 z_k2/(4z_k3) ＝ 1/(4z_k)，和 ＝ (e−iπ/4 ＋ e−3iπ/4)/4 ＝ √2/(4)·(1 − i)·？＝ (1 − i)√2/4·2/…；终值 ∫0∞ ＝ π/(2√2)。评分点：两个积分的「发散 vs 收敛」判断先行。
第 4 题（Rouché） 证明 z4 ＋ 2z3 − 2z ＋ 10i 有且仅有一个根在第一象限？——先判断此题能否用 Rouché 直接做。
评讲：第一象限边界是「实轴段＋虚轴段＋大弧」的折线围道，Rouché 不等式要在整条边界成立——可做但繁琐（分别验证两段）；标准另法：象限计数用「实系数四元组的符号讨论」或共轭配对。本题考工具的适用边界：Rouché 天然擅长圆，非圆区域要付代数过路费。
第 5 题（默写） 完整书写 Dirichlet 积分的围道证明，并指出条件收敛性在哪一步被「用掉」。
评讲：四处得分点——围道四段、Jordan 压大圆、半圈账 −iπ·Res、两岸合并系数 2i；「用掉」处：对称主值合法性的论证（偶函数折半）正是条件收敛的「用掉」位置——绝对收敛时此步多余。全章收官：Dirichlet 一题见全部本章功夫。
前五章把解析函数当「数」与「账」研究；最后一章换一双眼睛——把它当地图。解析函数 w ＝ f(z) 把复平面（的一块区域）搬到另一处：点变点、线变线、区域变形。它是一台怎样的复印机？本章的答案一句话：无限放大看，它是相似变换——处处等比放大、整体旋转，唯独不剪切不扭曲。这样的映射叫共形映射（conformal，保形/保角）。
为什么值得最后一整章？三个理由：① 它是解析性的几何本体——C–R 方程（第二章的代数条件）在几何上恰是「旋转＋等比伸缩」，第六章把五章的代数分析还魂成几何图像；② 它是解题的搬运术——难解的区域问题（热传导、流体、电势）可以共形搬到圆盘上解完再搬回去（6.13）；③ 它通向现代数学两扇门——双曲几何（6.16）与黎曼曲面（札记②），陈省身先生「别样风景」的全景在最后两页展开。
「各方向相同」是全章的心脏。任取两个方向 h1, h2：像方向比 ＝ f′h1 : f′h2 ＝ h1 : h2——公共因子 f′(z0) 被约掉了。复数乘法是「旋转＋伸缩」的一体机（第一章 1.4），这个代数事实在导数的主部里直接兑现为几何：z0 附近的小图形被复印成相似图形（转了 arg f′、放了 |f′| 倍）。
对照实函数 f′(x)：一个数只管「伸缩」——一维没有「方向」可言，旋转无从谈起。复导数是二维的完整信息（伸缩＋旋转），实导数只有半份信息——第二章「一步登天」的几何根源：信息量大 ⟹ 约束强 ⟹ 刚性。f′(z0) ＝ 0 的点例外（线性主部消失）：z2 在 0 把角翻倍——临界点是共形性的唯一敌人。
伸缩率的经典算例：w ＝ z2 在 |z| ＝ 1 处 |f′| ＝ 2——单位圆附近一切小图形放大两倍；arg f′ ＝ 2 arg z——旋转角沿圆周转一圈变两圈（割圆线：辐角再次上岗）。地图学的类比：Mercator 投影在纬度 φ 处放大 sec φ——处处说明放大几倍、旋转几度，就是「好地图」的定义（6.15 正式制图）。
定义里「带朝向」三个字别删：f ＝ z̄ 保角数的绝对值（|夹角| 不变）却翻转朝向（逆时针映成顺时针）——它是反共形的标本，也是「解析 ⟹ 保角」必要的对照物：z̄ 的实虚 Jacobian 行列式为负，解析函数的 Jacobian ＝ |f′|2 ≥ 0。「保朝向」是解析身份的几何签名（第二章 2.17 流体的「无旋」同一个词）。
临界点小像馆：z2 在 0（角翻倍）、z3 在 0（角三倍）、ez 无临界点（处处共形，但 ez 不是单射——共形 ≠ 单叶，还得加「单叶」才是干净的地图）。术语表：单叶（单射）＋ 共形（保角）＝ 共形映射（区域到区域的字典）——6.8–6.10 的映射库全部是「单叶＋共形」双证上岗。
反向问题更有趣：什么函数全然不保角？实二维的光滑映射有两个自由分量 u(x,y), v(x,y)，共形只占一个二维子族（恰是解析函数族）——共形映射在所有光滑映射中是「千年一遇」的稀有物种，稀有正是它处处有用的原因（6.13–6.15）。
看清楚这张矩阵：它只有两个自由参数 (a, b)，而一般二维 Jacobian 有四个——C–R 恰好砍掉两个自由度，剩下的 (a, b) 恰好是复数 f′ ＝ a − bi 的实虚部。第二章的「一步登天」、第四章的「玻璃刚性」、本章的「保角」，是同一份自由度账本的三种读法：自由度少 ⟹ 约束多 ⟹ 定理强。
反过来也成立（反向定理，选读）：u, v 有连续偏导、Jacobian 保朝向且处处相似变换（等比伸缩）⟹ f 解析（除非 |f′| ≡ 0）。几何条件唯一地选中解析函数族——「解析」不是分析学的私产，是几何学的天然类。
本页是全册的「对账页」之一：第一章（i 的代数）→ 第二章（C–R 的分析）→ 第六章（保角的几何）——同一对象的三张面孔在 308 页处会师。一张面孔讲不清的东西，三张面孔合讲就全清楚了：这就是「理论系统」最后的注脚。
四步分解是「解剖标本」：平移与旋转伸缩的共形性显然（导数非零常数），一切焦点集中在倒数 w ＝ 1/z 上——它把「0 ↔ ∞」互换，是 ℂ̂（黎曼球）上的正经映射（1.14 的球面在这拿工资）。Möbius 变换的四个系数只三个自由度（整体缩放不改变映射）——「三点定像」（6.7）恰好吃满三个自由度，代数与几何严丝合缝。
群结构（选读）：Möbius 变换对复合封闭、有逆（仍是 Möbius）——PGL(2, ℂ)。它们的复合对应二阶矩阵的乘法——「用矩阵研究映射」的最早样本，6.12 自同构群的现代语言在此起步。
为什么值得专章待遇？它是唯一把「圆家族」整体搬走的非平凡变换（6.6 保圆性）——而圆是本册的母图形（单位根、收敛圆、围道、圆周均值）。最后一章让圆唱压轴戏，编排在第一章就写好了。
保圆性的几何心法：把直线当「过 ∞ 的圆」，圆家族 ＝ 「与某定向圆相交固定角度的曲线族」的特例——Möbius 变换甚至保交角（它共形）：正交圆映成正交圆。这条推论在 6.8 Cayley 变换（把上半平面的「水平线族＋半圆族」搬成圆盘的「同心圆＋射线」）里是主力机械。
对称原理：关于圆 C 对称的两点 z, z*（连过圆心的射线、半径积 ＝ R2：|z − a||z* − a| ＝ R2），其像关于像圆对称。一句记忆语：Möbius 搬走圆时，连「圆镜」一起搬走。用法立现：映射把实轴映成单位圆时，上半平面的点 z 与其「镜影」z̄ 分别映到圆内圆外对径关联的点——「对称点对」是构造映射的隐形脚手架（例5、例7 全用）。
四步分解 ＋ 保圆 ＋ 对称 ＝ 手工构造 Möbius 映射的全套工具。以下两页把它变成「三点定像」的流水线。
三点定像流水线：把 z1, z2, z3 送到 w1, w2, w3 的唯一 Möbius 变换，由交比方程一行解出：
唯一性由系数自由度（3）决定；存在性由流水线给出。「三点」不多不少的深层原因：Möbius 变换由三根「支柱」唯一决定，就像圆由三点唯一决定——圆家族与变换家族共享同一条「三点公理」，这不是巧合：变换把圆家族搬来搬去，家族的公理传染给变换群。
标准件速查：① (0, 1, ∞) → (0, 1, ∞)：恒等；② (−1, 1, ∞) → (0, 1, ∞)：Cayley 原型 (1 ＋ z)/(1 − z)；③ (0, ∞, 1) 类含 ∞ 时交比取极限（∞ 参与 = 消去对应因子）。6.8 的 Cayley 变换、6.12 的自同构群全部由流水线量产。
几何解读：上半平面的一切「水平线」映成圆盘的同心圆（对称原理：z 与 z̄ 关于实轴对称 ⟹ w 与 1/w̄ 关于单位圆对称），「垂直射线族」映成直径。整个上半平面的平行结构被卷成圆盘的同心结构——ez 卷带机（2.10）的 Möbius 版。
泛化（例7）：把 z0 送盘心的通式 w ＝ eiθ(z − z0)/(z − z̄0)——θ 选相位。这族映射就是 Aut(ℍ) → Aut(𝔻) 的共轭版：两个区域的自同构群同构（PSL(2, ℝ) ≅ 保圆盘群）——「上半平面与圆盘在共形意义下是同一个世界」。
用途立现：① 6.13 Dirichlet 问题的「地图术」（先搬到圆盘用 Poisson 公式）；② 6.16 庞加莱圆盘与上半平面双曲几何的两种模型互换；③ 5.7③ 的 tan 半角代换正是它的实分身。「带域、半平面、圆盘」三大标准舞池，本页拿下两个。
ez 的映射几何一目了然：实部管「模」（ex），虚部管「辐角」（y）——水平线 → 射线，竖直线 → 同心圆。2.10 的「卷带机」比喻（条带卷成挖心平面）在本章升级为精确的地图说明书：带宽 2π 恰好卷满一圈（辐角账 2π 的老朋友第六次出场）。
对数是它的逆地图：角域 → 水平带域。「把角展开成带」是处理扇形问题的万能第一步：扇形上的热传导、角域的 Dirichlet 问题，Log 一下全变矩形/带域问题（例8、例9、题组全演练）。指数与对数这一对，一个「卷」一个「摊」，共形工具箱的「卷尺」。
单叶的边界意识：ez 在带宽 ＞ 2π 时不再单叶（周期 2πi 找上门）；Log 在含 0 的域上无处安身（支点）——每个典范映射都有「安全工作区」，用错区域就是第二章多值性惨案的复演。映射库的使用纪律：先查「工作区」再用「工作台」。
zα 的导数 αzα−1 在角域内非零 ⟹ 共形 ✓；单叶当 αθ0 ≤ 2π。经典用法：① 直角扇形（θ0 ＝ π/2）掰直：α ＝ 2，z ↦ z2——「拐角」被抹平；② 尖楔 θ0 ＝ 2π/3：α ＝ 3/2；③ 全平面挖正实轴的「裂缝域」：α ＝ 2 把裂缝两岸合并（裂缝消失）——幂函数是「焊缝机」。
临界点纪律：zα 在 0 的导数归零（α ＞ 1）——0 是映射的「铰链」，共形性在此失效（角度乘 α）——但铰链恰在边界/顶点，域内依然安全。例9 的「扇形矫正」全流程演示。
三件套合璧：Möbius（圆家族搬运）＋ 指数对数（带↔角互换）＋ 幂（角度缩放）——组合拳可以拆解绝大多数「初等区域」的映射需求（习题课七、十一全演练）。更普遍的真理是黎曼映射定理（札记②）：任何单连通真区域都能共形搬到单位圆盘——三件套只是它的高频特例。
证明两步（三行级别）：① g ＝ f/z 在 0 可去（g(0) ＝ f′(0)）；② 最大模原理（3.16）作用于半径 r 的圆周：|g| ≤ max|z|＝r|f(z)|/r ≤ 1/r，令 r → 1 ⟹ |g| ≤ 1；等号 ⟹ g 常数模 1。∎ 最大模原理的二线收割——三章的弹药在全书最后一章仍有新目标。
读法一（几何）：圆盘到圆盘、盘心到盘心的解析映射，整体是「收缩」的：任何点的像离盘心不远于原位置。想伸张？除非是纯旋转。刚性思想的终极形态：第四章「玻璃」在圆盘上有了精确的度量刻画——玻璃不但不裂，还拒绝被拉伸。
读法二（双曲，6.16 预告）：不等式 |f(z)| ≤ |z| 在「双曲度量」（ds ＝ |dz|/(1 − |z|2)）下是说 f 不增加双曲距离——Schwarz 引理是「双曲几何的收缩定理」，等号情形 ＝ 双曲等距。挑战一把完整证明与等号情形收尾；6.12 与 6.16 把这个读法展开成一片新几何。
Schwarz–Pick 是 Schwarz 引理的「任意两点版」（证明：先用自同构把 z1 搬到 0，再套 Schwarz）：解析映射是伪双曲距离的压缩映射。三点推论一把抓：① 导数估计 |f′(z)| ≤ (1 − |f(z)|2)/(1 − |z|2)；② 自同构恰是「等距」（双向压缩 ⟹ 等距）；③ 单位圆盘的「解析世界观」：世界的对称群已知、距离已知、映射全为压缩——一个完备的几何宇宙。
ρ 不是欧氏距离，它的「双曲化」在 6.16 兑现：ds ＝ 2|dz|/(1 − |z|2) 是庞加莱圆盘的高斯曲率 −1 度量，ρ 是它的大距离的初等影子。Schwarz–Pick 现在可以说成：解析映射不增加双曲曲率空间的距离——Schwarz 引理的几何本质（Pick 1915 年的洞察，引理从此冠双名）。
群的观点收官：Aut(𝔻) 三自由度（a 两个＋θ 一个），传递作用于盘（任点可搬盘心）——「均匀而各向同性的世界」。Klein 的纲领（几何 ＝ 变换群）在圆盘上的最小完整样本——札记②的历史线在此收口。
调和性为什么共形不变？解析复合保调和（u∘f，f 解析 ⟹ Δ(u∘f) ＝ |f′|2Δu——C–R 的又一笔工资）。于是「哪个区域好解」成为方法论的核心：答案——单位圆盘（Poisson 积分公式 1835）：
标准工作流（例12 全程示范）：① Cayley 把上半平面搬成圆盘；② 圆盘内 Poisson 解出 U；③ 搬回 u ＝ U∘Cayley。边界值 0/1 阶跃的答案：u(z) ＝ (1/π)arg z——「角度的一半除以 π」，上部平面的等温线是一束过原点的射线：热流沿圆弧流动。实分析里这个阶跃边值要用积分方程硬啃；地图术三步、每步有定理担保。
更深的意义：Dirichlet 问题的存在性（Riemann 当年断言、Weierstrass 批评其证明、Hilbert 1904 用Dirichlet 原理 rehabilitate）是「共形映射存在性」的另一面——黎曼映射定理与 Dirichlet 问题的解，历史上互相拉扯着一同走向严格（札记②的故事线）。
对照表收尾七行，本行最狠：不是复分析「擅长」保角，而是保角这个几何概念在实世界里根本没有非平凡的一族。想要「弯而不扭」的变换？必须进入 ℂ——也就是说，解析函数不是「碰巧」保角的函数，而是「保角」这个几何愿望在数学中的实现。第四章说「刚性是力量之源」；本章说「刚性是几何之名」：想要角度就得接受刚性，两者是同一份契约。
三维的对照加深理解：ℝ3 的共形映射只有 Möbius 族（Liouville 定理 1850）——三维以上的共形性是「稀有金属」，二维的共形性是「整个解析函数宇宙」。维度红利的最深一笔：恰在二维，几何的愿望与分析的机器严丝合缝——陈省身先生「复数带来别样风景」的几何版证词。
地图学的现实注脚：地球表面（二维球面）的「保角地图」存在且丰富（Mercator、立体投影）——因为制图学本质上是二维复分析的分支（6.15）；而「保面积＋保角」不可兼得（高斯曲率账，一册曲率回响）——共形给得了形状给不了大小，格陵兰在 Mercator 图上的「巨大化」正是这笔账的著名收支。
Mercator 的伟大不在于公式（他没写出），而在于特性：保角 ⟹ 等角航线（恒向线）是直线——水手量一个角度、画一条直线、照着罗盘走到底。保角换来航行的可操作性，「罗盘 ＋ 直尺」航海时代的第一张科学地图。代价：纬度越高放大越狠（sec φ 爆炸）——格陵兰比非洲「大」十四倍的视觉谎言。保角与保面积不可兼得（6.14 末段），制图学的一切争论都在这笔账里。
现代同款：共形参数化（计算机图形学）。把三维曲面（人脸、地形）「摊平」成平面贴图，要求摊平时不扭曲纹理角度——数学上就是「曲面的共形映射」，离散版本（Tutte 1963 调和参数化、LSCM、共形等价类）是游戏与电影的贴图引擎。三角网格上的「离散 C–R 方程」（每个顶点的角度账平衡）是共形性的可计算形态——〔离散⇄连续〕线索的最后一站：连续的定理指导离散的算法，算法反过来验证定理。
再往前一步：曲面共形结构的模空间（Teichmüller 理论）是现代几何分析的主干道——陈省身先生晚年推动的复几何，正始于此处这颗种子：「角度是二维世界最耐用的货币」。
这个世界的「怪」与「真」：过一点对任一直线可作无数条平行线（过界圆内一点、与给定正交圆不相交的正交圆有无穷多）——欧氏第五公设在此不成立；三角形内角和 ＜ π，亏角 ∝ 面积（面积公式 K ＝ 2(π − Σ角)？精确式 π − Σ角，曲率 −1 时亏角即面积）；边界圆周是「无穷远」——走近它的步伐（欧氏尺度）越来越快，永远到不了（调和级数式的账）。
为什么说它是「复分析的赠礼」？因为这一切不是外来的公理游戏，而是从 Schwarz–Pick 里长出来的：伪双曲距离 ρ 的无穷小版就是 ds/2；Aut(𝔻) 保 ρ ⟹ 保 ds ⟹ 是双曲刚体运动；Schwarz 引理 ⟹ 解析映射都是双曲压缩。把第四章的玻璃、本章的保角、六页前的群，三样东西摆在一起，双曲几何自动显影——不是发明，是发现。挑战二带亲手在盘里画两条「直线」验证平行公设。
历史一瞬：平行公设之争两千年（Proclus → Saccheri → Lambert → Lobachevsky/Bolyai/Janós 1830s 非欧确立 → Beltrami 模型 1868 → Klein/Poincaré 圆盘 1880s）。复分析的入场券：庞加莱用解析函数（自同构群）为非欧几何造了最透明的模型——分析为几何付账，几何为分析立碑（Schwarz 引理冠名的另一半是 Pick 的双曲读法）。
合上书前，把 309 页的长卷在眼前重新展开一遍——六个站台，四条明线，一次高潮，两场专页马拉松：
本书点名的两个主题，此刻可以总账。其一，代数基本定理的五条证明路线（Gauss 实版、拓扑版、刘维尔版、Rouché 版、辐角版）在 4.17、5.14 与挑战二集齐——「这个证明与其它证明不同：它调用整个理论系统」的判断，五版对照是定量证据：技巧密度趋零、系统密度满格的那一版，恰是复分析的版本。其二，陈省身先生的风景论——「复数的引入带来数学别样的风景」——本册把它落实为七张「实·复对照」专页：一步登天、之墙、格林 vs Cauchy、效率碾压、弯而不扭……每张专页都是一处「站在 ℂ 看回 ℝ」的观景台。
风景的尽头是更远的路（写给继续前行的）：多值函数的正规语言是黎曼曲面（札记②的门槛）；Γ 函数与 ζ 函数等着留数大显身手（ζ 的函数方程、素数定理的围道）；椭圆函数、模形式、Teichmüller 空间在圆盘模型上排队；而这一切的第一站，都是刚走过的这六章。本册的最后一句话留给开场的那一问：复数是什么？——经过 309 页，答案已不是「a ＋ bi」，而是：复数是让这一切得以成立的那张车票。
五件兵器（考试即查）：① 判共形——解析＋f′ ≠ 0（临界点检查）；② Möbius——三点定像流水线（交比方程一行）；③ 映射库选型——圆家族找 Möbius、带↔角找 exp/log、掰角找幂；④ Schwarz–Pick——压缩估计＋等号 ⟹ 自同构；⑤ Dirichlet 地图术——Cayley 搬运 → Poisson 解 → 搬回。
易错四坑：① 共形与单叶混淆（ez 共形不单叶于宽带）；② 对称点对用成「反演点公式忘了圆心在实轴外的版本」；③ Schwarz 引理对 f(0) ≠ 0 直接乱套（先搬盘心！）；④ Poisson 核的 r2 方向写反（分母是距离平方）。
全书方法总表（六章各一句）：一册——把「不可能」开出来；二册——一阶导买断一切；三册——闭路清点内部；四册——展开即读心；五册——坏点是资产；六册——角度是硬通货。九条文脉（少广、割圆、方田、勾股、实复对照、现代接口、思想卡、记分牌、专页链）在 6.17 合账——本页之后，回到 6.17 的长卷，重走一遍。
例1 对 w ＝ z2：求 z0 ＝ 1 ＋ i 处的伸缩率与旋转角；从 z0 出发沿正实方向的小位移 h ＝ 0.1，像位移的精确端点与线性近似各是什么？
解 f′(z) ＝ 2z，f′(1 ＋ i) ＝ 2 ＋ 2i：伸缩率 ＝ |2 ＋ 2i| ＝ 2√2 ≈ 2.83；旋转角 ＝ arg(2 ＋ 2i) ＝ π/4。
w0 ＝ (1 ＋ i)2 ＝ 2i。像位移：精确 (z0 ＋ h)2 − z02 ＝ 2z0h ＋ h2 ＝ (2 ＋ 2i)(0.1) ＋ 0.01 ＝ 0.2 ＋ 0.21i；线性近似 0.2 ＋ 0.2i（差 h2 ＝ 0.01，二阶小量——「线性主部」的含金量一眼可见）。像位移的幅角 arctan(0.21/0.2) ≈ 46.4°——比 45° 的线性预测多 1.4°，正是 h2 项的搅动。
读法：z2 在 45° 方向的射线附近把图形放大 2√2 倍、转 45°——而 z2 在 0 处把 45° 角「捏成」90°（临界点）：同一个函数，离临界点越远越「温柔」。
例2 ez 处处共形（ez ≠ 0）。它在哪些区域单叶？给出最大单叶区域族。
解 ez1 ＝ ez2 ⟺ z1 − z2 ＝ 2kπi ⟹ 单叶 ⟺ 区域内任意两点虚部差 ＜ 2π。最大单叶区域：水平带域 a ＜ Im z ≤ a ＋ 2π（及各种「不跨 2π 账」的域，如一般凸域含于开带）。
映射的几何说明书：带域宽 2π ↦ 挖心平面（2.10 卷带机）；带内水平线 → 射线、竖直线 → 圆。共形但非单叶的代价演示：整平面上的 ez 保角却「重印」——地图叠了无穷层，导航失效。单叶是「地图可导航」的条件，共形只是「不扭曲」的条件——两者缺一不可。
边界意识：带域的上下边（两条水平线）映到同一射线（正负实方向的边界射线）——单叶域的边界可以「焊接」，焊接线就是多值性的刀口（Log 的支割线回声）。
例3 验证 w ＝ 1/z 把不过原点的直线映成过原点的圆；把过原点的直线映成过原点的直线。
解 直线 ax ＋ by ＋ c ＝ 0。代入 z ＝ 1/w（即 x ＋ iy ＝ 1/(u ＋ iv)）：乘开得
c(u2 ＋ v2) ＋ au − bv ＝ 0（按 w 分组核对：aRe(1/w) ＋ bIm(1/w) ＋ c ＝ 0 ⟹ a u/(u2＋v2) − b v/(u2＋v2) ＋ c ＝ 0）。
c ≠ 0（不过原点）：u2 ＋ v2 ＋ (a/c)u − (b/c)v ＝ 0——过原点的圆（圆心 (−a/2c, b/2c)、半径 √(a2 ＋ b2)/2|c|）；c ＝ 0（过原点）：au − bv ＝ 0——直线。∎
几何读法：「过 ∞ 的直线」与圆同族（6.6），1/z 只是把 ∞ 与 0 对调——族内成员互换席位。保圆性的代数验证三行完事，比几何论证（反演的切线性质）更快——「Möbius ＝ 代数上可验的几何」是它成为主力工具的原因。
例4 求把 z ＝ 1, i, −1 分别送到 w ＝ −1, 0, 1 的分式线性变换。
解 交比方程（6.7）：(w, −1; 0, 1) ＝ (z, 1; i, −1)。
左边 ＝ (w ＋ 1)(0 − 1)(w − 1)(0 ＋ 1) ＝ −(w ＋ 1)w − 1；
右边 ＝ (z − 1)(i ＋ 1)(z ＋ 1)(i − 1) ＝ (z − 1)(1 ＋ i)(z ＋ 1)(i − 1) ＝ −i·z − 1z ＋ 1·(1 ＋ i)22？直接化：(1＋i)/(i−1) ＝ −i ⟹ 右边 ＝ −i·(z−1)/(z＋1)。
⟹ w ＋ 1w − 1 ＝ i·z − 1z ＋ 1 ⟹ w·(1 − i(z−1)/(z＋1))… 解出：
w ＝ (1 ＋ i)z ＋ (1 − i)(1 ＋ i) − (1 − i)z？核对：z ＝ 1 ⟹ w ＝ (1＋i＋1−i)/((1＋i)−(1−i)) ＝ 2/2i ＝ −i ≠ −1。
重算收尾：由 (w＋1)/(w−1) ＝ i(z−1)/(z＋1)：w(1 − iα·？令 k ＝ i(z−1)/(z＋1)：w ＋ 1 ＝ k(w − 1) ⟹ w(1 − k) ＝ −(1 ＋ k) ⟹ w ＝ (1 ＋ k)/(k − 1)。代回化简：
w ＝ (z ＋ 1) ＋ i(z − 1)i(z − 1) − (z ＋ 1) ＝ (1 ＋ i)z ＋ (1 − i)(i − 1)z − (1 ＋ i)。
核对三点：z ＝ 1 ⟹ w ＝ (1＋i＋1−i)/((i−1)−(1＋i)) ＝ 2/(−2) ＝ −1 ✓；z ＝ i ⟹ w ＝ ((1＋i)i ＋ 1 − i)/((i−1)i − 1 − i) ＝ (i −1 ＋ 1 − i)/(−1 −i −1 −i) ＝ 0/(−2 −2i) ＝ 0 ✓；z ＝ −1 ⟹ w ＝ (−1−i＋1−i)/(1−i −1−i) ＝ −2i/(−2i) ＝ 1 ✓。三点全中——交比流水线 + 末尾三验，双保险。
例5 求「关于实轴对称的点对互为镜像」的所有圆与直线族——即：以上半平面为「自区」的圆族（在 Cayley 变换里的角色）。
解 「圆 C 关于实轴对称于自身」⟺ C 的像在共轭下不变。圆 |z − a| ＝ r（a ＝ a1 ＋ ia2）：共轭把圆心变 ā。C 不变 ⟺ 圆心实（a2 ＝ 0）。直线族：过实轴上两点的直线——即与实轴正交的直线（竖直线）或实轴本身。
⟹ 家族 ＝ 圆心在实轴上的圆 ∪ 与实轴正交的直线 ∪ 实轴。这族曲线的几何身份：与实轴正交的「广义圆」（圆心在实轴上的圆与实轴正交；竖直线与实轴正交）。
在 Cayley 变换里的角色（6.8 预演）：Cayley 把实轴映为单位圆 ⟹ 本族（与实轴正交的广义圆）映为与单位圆正交的广义圆——恰是庞加莱圆盘的「测地线族」（6.16）！本题是双曲几何的「直线先验调查」：过盘内一点与给定一条正交圆共正交圆者无穷多 ⟹ 平行公设在盘内不成立——挑战二的地基在此打好。
例6 用三点定像求「上半平面 → 单位圆盘」的映射，要求 −1, 0, 1 ↦ 1, i, −1，并把结果与标准 Cayley 变换对照。
解 交比方程：(w, 1; i, −1) ＝ (z, −1; 0, 1)。
左边 ＝ (w − 1)(i ＋ 1)(w ＋ 1)(i − 1) ＝ −i·w − 1w ＋ 1；右边 ＝ (z ＋ 1)(0 − 1)(z − 1)(0 ＋ 1) ＝ −(z ＋ 1)z − 1。
⟹ w − 1w ＋ 1 ＝ −i·z ＋ 1z − 1？核对 z ＝ 0 ⟹ 右 ＝ −i·(1)/(−1) ＝ i ⟹ (w−1)/(w＋1) ＝ i ⟹ w ＝ (1 ＋ i)/(1 − i) ＝ i ✓。解出：
w ＝ −i·z ＋ iz − i？核对：标准 Cayley w0 ＝ (z − i)/(z ＋ i) 把 −1, 0, 1 ↦ ?：z ＝ 0 ↦ −1，不符。本题解：w ＝ −i(z ＋ i)/(z − i)：z ＝ 0 ↦ −i·i/(−i) ＝ −1·？＝ −i·(i)/(−i) ＝ −i·(−1) ＝ i？细心：−i·(0＋i)/(0−i) ＝ −i·(i)/(−i) ＝ −i·(−1) ＝ i ✓；z ＝ 1：−i(1 ＋ i)/(1 − i) ＝ −i·i ＝ 1 ✓；z ＝ −1：−i(−1 ＋ i)/(−1 − i) ＝ −i·(i)·？(−1＋i)/(−1−i) ＝ (1−i)/(1＋i) ＝ −i ⟹ −i·(−i) ＝ −1 ✓。三点全中。
与标准版的关系：w ＝ −i(z ＋ i)/(z − i) ＝ −i·(z−(−i))/(z−i)——同一 Cayley 家族（转角 θ 不同的版本）：z0 送盘心的位置不同（本版把 0 送 i 不是盘心）。Cayley 家族 ＝ Aut(ℍ→𝔻) 三参数族：三点选法就是三个参数的花式指定。
例7 推导：把上半平面 ℍ 映到单位圆盘 𝔻 且 z0 ∈ ℍ ↦ 0 的全部分式线性变换为
w ＝ eiθz − z0z − z̄0（θ ∈ ℝ）。
解 ① 构造：z0 的「镜影」是 z̄0（关于实轴对称）。w(z0) ＝ 0 要求分子 z − z0；对称原理（6.6）：z0 与 z̄0 的像关于单位圆对称 ⟹ 0 的镜像是 ∞ ⟹ w(z̄0) ＝ ∞ ⟹ 分母 z − z̄0。骨架 w ＝ λ(z − z0)/(z − z̄0) 自动落成。
② 定 λ：实轴上的 z ↦ |z − z0| ＝ |z − z̄0|（到镜影等距）⟹ |w| ＝ |λ| ⟹ |λ| ＝ 1（实轴映圆周），λ ＝ eiθ。∎ θ 的几何：盘内的整体旋转自由度——三点定像的第三个点就花在这里。
两个速验：① z0 ＝ i、θ ＝ π/2：w ＝ i(z − i)/(z ＋ i)——例6 的家族；② z0 ＝ a ＋ bi：z0 越靠近实轴，|z − z0| 与 |z − z̄0| 在 z0 附近差距越小 ⟹ 盘内映射「越贴边」——双曲视角下 z̄0 是 z0 的「无穷远镜像」。
例8 求把带域 0 ＜ Im z ＜ π 共形映到上半平面的映射；再处理 0 ＜ Im z ＜ h（一般带宽）。
解 ① w ＝ ez：带域（宽 π）↦ 上半平面（0 ＜ arg w ＜ π ✓，ex ＞ 0 保正实半径）——带宽 π 恰好一步到位（π 是上半平面的「角宽」）。② 一般带宽 h：先仿射 w1 ＝ πz/h（带宽调成 π），再 ew1。或一步 w ＝ eπz/h。
边界账：下边（Im z ＝ 0）→ 正实轴；上边（Im z ＝ π）→ 负实轴；两个「无穷端」都跑到 ∞/0——带域的两个「开放端」被指数「卷」到 0 与 ∞ 两个尖点。「开放区域 → 有尖点区域」的边界焊接总在 0 与 ∞ 发生——这是指数映射的签名动作。
应用试刀：带域上的调和问题（如「上下边绝热、两端有电位差」）搬上半平面再搬圆盘——三段接力：仿射 → 指数 → Cayley。典范映射库的组合拳逻辑：把「形状不对」的区域逐站「矫正」成标准舞池。
例9 把角域 0 ＜ arg z ＜ π/4（15° 楔）共形映到上半平面；再把「全平面挖去正实轴」的裂缝域映到上半平面。
解 ① 楔角 θ0 ＝ π/4 ⟹ α ＝ π/θ0 ＝ 4：w ＝ z4 把楔角放大成 π（上半平面）✓（z4 在楔内单叶：4·(π/4) ＝ π ≤ 2π）。α 的选法唯一：把角「乘满」π。
② 裂缝域 ＝ 0 ＜ arg z ＜ 2π（沿正实轴割开的全平面，把两岸当边界）⟹ θ0 ＝ 2π ⟹ α ＝ 1/2：w ＝ √z 把裂缝域映成上半平面（角宽 2π × 1/2 ＝ π）✓——「焊缝机」的最简示范：平方根把裂缝两岸叠合消失。
临界点记账：两例的铰链都在 0（z4 的 0 是四重临界、√z 的 0 是支点）——都在域的边界/顶点上，域内共形安全。幂映射的使用纪律：让临界点住边界。
例10 ① f: 𝔻 → 𝔻 解析，f(0) ＝ 0，且 f(1/2) ＝ 1/2。求证 f(z) ＝ z。② 用引理验证 w ＝ eiθ(z − a)/(1 − āz) 是自同构。
解 ① Schwarz 引理：|f(1/2)| ≤ 1/2，而这里恰好取等 ⟹ 等号情形 ⟹ f(z) ＝ eiθz；代 f(1/2) ＝ 1/2 ⟹ eiθ ＝ 1 ⟹ f ＝ z。∎ 「一点取等，全局锁定」——引理等号情形的标准用法。
② 记 φ_a(z) ＝ (z − a)/(1 − āz)。先验证 φ_a: 𝔻 → 𝔻（不动点 a：|φ_a| ＝ 1 当 |z| ＝ 1：|z − a| ＝ |z|·|1 − āz|/|z|·？直接：|1 − āz| ＝ |z||z̄ − ā| ＝ |z − a| 当 |z| ＝ 1 ✓ ⟹ 边界映边界 ⟹ 内部映内部）；φ_a(0) ＝ −a、φ_a(a) ＝ 0、φ_a−1 ＝ φ−a（代数三行）。⟹ φ_a ＝ φeiθ∘旋转 双拼，都在「等号俱乐部」 ⟹ 自同构 ✓。
反向补刀（引理推自同构公式）：g 是自同构、g(a) ＝ 0 ⟹ h ＝ g∘φ_a−1 满足 h(0) ＝ 0 且是自同构 ⟹ Schwarz 等号 ⟹ h ＝ 旋转 ⟹ g ＝ 旋转∘φ_a——三参数公式从引理「长」出来（6.12 的预演）。
例11 f: 𝔻 → 𝔻 解析。① 证明 |f′(z)| ≤ (1 − |f(z)|2)/(1 − |z|2)；② 用它证明：f(z) ＝ z2（自盘到盘）满足该不等式（在一切 z）；③ 推论题：|f′(0)| ＞ 1 可能吗？
解 ① 搬运术：φf(z)∘f∘φ_z−1 把 0 送到 0、盘到盘 ⟹ Schwarz ⟹ |导数| ≤ 1；链式法则：φ_z−1 在 0 的导数 ＝ 1 − |z|2、φf(z) 在 f(z) 的导数 ＝ 1/(1 − |f(z)|2)——乘出即得。∎（「三点一导」全被自同构吸收，这是 Pick 的神来之笔。）
② 直接验：|f′(z)| ＝ 2|z|；右端 ＝ (1 − |z|4)/(1 − |z|2) ＝ 1 ＋ |z|2。要证 2r ≤ 1 ＋ r2 ⟺ 0 ≤ (1 − r)2 ✓ 处处成立，r ＝ 1 时取等（边界）——z2 是「压缩但不等距」的中庸样本。
③ 不可能：z ＝ 0 处不等式给 |f′(0)| ≤ 1 − |f(0)|2 ≤ 1——Schwarz–Pick 的盘心特例就是 Schwarz 引理本身（当然不可能）。层级感：Schwarz（盘心）⊂ Schwarz–Pick（任意两点）⊂ 双曲度量压缩（6.16 全局）——一条不等式的三级火箭。
例12 上半平面稳态热传导：边界 x 轴上 x ＜ 0 段温度 0、x ＞ 0 段温度 1，求温度分布 u(x, y)。
解 ① 猜答案的几何直觉：温度应只依赖辐角（边界条件沿辐角 0/π 分段）⟹ 试 u ＝ θ/π ＝ (1/π)arg z。验边界：θ ＝ 0（正轴）↦ 0 ✓；θ ＝ π（负轴）↦ 1 ✓；调和性：arg z ＝ Im Log z 调和（2.8 的共轭调和样本）✓。答案 u(z) ＝ (1/π)arg z，等温线是过原点的射线、热流沿以原点为心的圆弧。
② 地图术的正规流程（验证这个答案不是碰运气）：Cayley 把 ℍ 搬到 𝔻、原点映到盘心——实轴的两段边界（负/正）映为上半/下半半圆；盘内用 Poisson 公式（边界函数是半圆阶跃）：U ＝ (1/π)·（极角）——即 U(reiθ) ＝ θ/π ＋ 常数调整；搬回即 u ＝ (1/π)arg z。两法互证：几何直觉给出，Poisson 机器确认。
③ 物理读法：热流向量 ∝ −∇u 沿圆弧方向——「热从热边绕过尖点流向冷边」，尖点（原点）处等温线汇聚、梯度 ∝ 1/r 发散——边界尖点是热流的「风口」，这是共形映射暴露局部奇异性的经典现场。
题 1 w ＝ z3 在 z0 ＝ 1 处的伸缩率、旋转角各是多少？沿 30° 方向的小位移，像转向哪个方向？
提示：f′ ＝ 3z2，f′(1) ＝ 3：伸缩 3 倍、旋转 0°。30° 方向像仍 30°（乘正实数只伸缩）。
题 2 w ＝ ez 在直线 Re z ＝ 0 上各点的伸缩率？由此解释「单位圆附近的网格被放大 e0 ＝ 1 倍」。
提示：|ez| ＝ ex ＝ 1 于虚轴——伸缩率处处 1，只旋转 arg ez ＝ y：虚轴是 ez 的「等倍转台」。整条虚轴映单位圆，点 y 处的切向旋转角 ＝ y。
题 3 f′(z0) ＝ 0 但 f″(z0) ≠ 0：证明 f 在 z0 附近把角度翻倍（临界点的 2:1 局部映射）。
提示：f(z) − f(z0) ＝ (z − z0)2·g(z)，g(z0) ≠ 0 ⟹ 幅角差 2(arg h) ＋ 常数——z2 在 0 的翻倍是普遍结构。临界点 ＝ 「共形性的破洞」，m 重临界点角度乘 m。
题 4 判定共形性并找临界点：① z ＋ 1/z；② sin z；③ z·z̄。
提示：① f′ ＝ 1 − 1/z2 ⟹ 临界点 ±1（其余处处共形；单叶性另查）；② f′ ＝ cos z，临界点 π/2 ＋ kπ——sin z 在 ±π/2 处「压扁」角度；③ 不是解析函数（2 章第一反例）——它处处「反共形」（保角数、翻转朝向），全章的正门反例。
题 5 f 在区域 D 内解析且单叶（单射）。证明 f′ ≢ 0（单叶 ⟹ 无临界点）。
提示：反设 f′(z0) ＝ 0：f ＝ f(z0) ＋ (z − z0)mg，m ≥ 2 ⟹ f(z0) 附近每个值被取 m 次（局部幂映射）⟹ 违反单叶。⟹ 单叶解析 ⟹ 处处共形——映射库双证上岗的代数面。
题 6 f(z) ＝ z2 把上半平面映到哪？共形吗？单叶吗？
提示：arg ∈ (0, π) 乘 2 ⟹ arg ∈ (0, 2π)——挖心平面；域内 f′ ＝ 2z ≠ 0 共形 ✓；单叶 ✓（角度乘 2 后不重叠）。但像域「缺一条缝」——幂函数是「边界焊接机」（6.10 的裂缝域反向）。
题 7 w ＝ (2z ＋ 3)/(z ＋ 4) 把实轴映到哪？把 z ＝ −4 送到哪？
提示：实系数 ⟹ 实轴映实轴（各点值实）；−4 ↦ ∞（分母零点）。分式线性变换的「户籍登记」：极点送 ∞、∞ 送 a/c ＝ 2。
题 8 求把单位圆映成直线的分式线性变换（给一个即可），并说明「圆家族」如何在映射下分裂。
提示：w ＝ (z − 1)/(z ＋ 1)：过 −1 的圆（含把 −1 当边界点的）映直线（−1 ↦ ∞）；不过 −1 的圆映圆。「谁被送到 ∞，谁所在的圆就摊平成直线」——圆与直线的分裂由「∞ 的落点」决定。
题 9 证明：Möbius 变换把正交圆对映成正交圆对。
提示：共形 ⟹ 保交角；保圆 ⟹ 像仍是广义圆；⟹ 正交像正交。两步都是现成定理的接力——正交性（角度）是 Möbius 群的不变量，Cayley 卷轴（6.8）的几何合法性由此。
题 10 求把 0, 1, ∞ ↦ 0, 1, i 的分式线性变换。
提示：∞ 参与 ⟹ c ＝ 0（仿射型）w ＝ az ＋ b；0 ↦ 0 ⟹ b ＝ 0；1 ↦ 1 ⟹ a ＝ 1？但 ∞ ↦ i 要求 a·∞ ＝ i ⟹ 矛盾！重读题：∞ ↦ i ⟹ c ≠ 0 且 a/c ＝ i；0 ↦ 0 ⟹ b ＝ 0；1 ↦ 1 ⟹ (a)/(c ＋ d) ＝ 1 ⟹ d ＝ a − c ＝ ic − c ＝ c(i − 1)。取 c ＝ 1：w ＝ iz/[z ＋ (i − 1)]。回验三点 ✓（本题考「∞ 参与」的交比取极限处理）。
题 11 求把单位圆映到实轴、i ↦ ∞ 的通式。
提示：i ↦ ∞ ⟹ 分母 z − i；圆映实轴 ⟹ 再配对称：i 的镜像（对单位圆）是 ∞ ⟹ 分子零点任意 a（|a| ＜ 1）⟹ w ＝ λ(z − a)(?)/(z − i)……标准做法：先写 z − i 分母，再要求 |z| ＝ 1 ⟹ w 实 ⟹ w ＝ eiθ(z − a)/(z − i)？边界验证给出 λ 与 a 的关系——本题是「通用公式 z0 版」（例7）的圆→轴反向版，答案 w ＝ eiθ(z − a)(i − ā)/…课堂细推，方法分优先。
题 12 三点定像的唯一性证明（自由度论证）：为什么四点定像一般无解？
提示：Möbius 三自由度 ⟹ 第四点的像被前三点锁定 ⟹ 随便指定第四点通常冲突。「三点是天赋额度」——这也是「圆由三点定」的群论回声（6.7 末段）。
题 13 求 z ＝ 1 ＋ i 关于单位圆的对称点 z*。
提示：同射线上 |z||z*| ＝ 1 ⟹ z* ＝ z/|z|2 ＝ (1 ＋ i)/2。公式 z* ＝ z/|z|2 ＝ 1/z̄（单位圆情形）。
题 14 证明：圆心 a、半径 R 的圆，对称点公式 z* ＝ a ＋ R2/overline{(z − a)}。
提示：平移到 a、缩放 R、套单位圆版、搬回——三步仿射接力。「圆镜公式」是构造映射的隐形脚手架（例7 的 z̄0 就是 z0 关于实轴的镜影——直线是半径 ∞ 的圆镜）。
题 15 用对称原理快速判断：f(z) ＝ (z − i)/(z ＋ i) 把 2i 送到哪、把 (1/2)i 送到哪？两像点与单位圆什么关系？
提示：f(2i) ＝ (i)/(3i) ＝ 1/3（圆内）；f(i/2) ＝ (−i/2)/(3i/2) ＝ −1/3（圆内）——等等，2i 与 i/2 恰是关于…不对，关于实轴的镜影是 2i 与 −2i。本课纠错训练：i/2 的圆镜像（对单位圆）是 2i！f(i/2) ＝ (i/2 − i)/(i/2 ＋ i) ＝ (−1/2)/(3/2) ＝ −1/3；f(2i) ＝ 1/3——像点 −1/3 与 1/3 恰互为圆镜像（|w||w*| ＝ 1/9 ≠ 1？）——像域的镜应是 −1/3 与 3？f(2i) 应为 3？重算：f(2i) ＝ (2i − i)/(2i ＋ i) ＝ i/3i ＝ 1/3。两像 1/3 与 −1/3 关于原点对称而非圆镜——源点 2i 与 i/2 并非圆镜对（圆镜对是 i/2 与 2i？|i/2|·|2i| ＝ 1 ✓ 且同射线 ✓——是！）那 f 保对称吗？f 是 Möbius，圆镜搬圆镜：i/2 与 2i 关于单位圆对称 ⟹ f(i/2), f(2i) 关于 f(单位圆) 对称——但 f 把单位圆映到什么？f(i) ＝ 0、f(实轴) ↦ 单位圆——f 映的是实轴→圆，不是圆→圆！镜圆不同 ⟹ 像不对称正常。本题的真正教训：对称原理要先问「镜是谁」。
题 16 w ＝ (z − i)/(z ＋ i)：上半平面的水平线 Im z ＝ c 映到什么圆？c → ∞ 时圆趋于什么？
提示：水平线 ↦ |w ＋ ？|：|z − i|/|z ＋ i| ＝ 常数 k 的圆（Apollonius 圆，圆心在虚轴）；c → ∞ ⟹ k → 1 ⟹ 趋于单位圆本身。水平线族 ↦ 同心度不同的圆族，全部正交于像实轴（单位圆）——正交性由共形免费保修。
题 17 求上半平面 ↦ 单位圆盘、i ↦ 0、∞ ↦ 1 的映射。
提示：i ↦ 0 ⟹ 分子 z − i、分母 z ＋ i（镜影）；∞ ↦ a/c ＝ 1 ⟹ λ ＝ 1：w ＝ (z − i)/(z ＋ i)？验证实轴 ↦ 单位圆 ✓。三个条件恰好吃满三参数——通式（例7）的 θ 由「∞ ↦ 1」锁定为 θ ＝ 0 的转角版本。
题 18 用 Cayley 把「上半平面的第一象限部分」映到什么域？（域 ＝ x ＞ 0, y ＞ 0）
提示：w ＝ z2 先把象限掰成上半平面（6.10 焊正轴缝），再 Cayley 进盘；或直接 w2 一步？组合拳两段即可：z2 ↦ ℍ ↦ 𝔻。练习「多站接力、各站验边」的流程纪律。
题 19 把竖直带域 0 ＜ Re z ＜ 1 映到上半平面。
提示：旋转 −iw？先转 90°：w1 ＝ iz 把竖带变横带（Im w1 ＝ Re z ∈ (0,1)），再 w2 ＝ eπw1。两段接力：旋转 ⟹ 指数。「域的朝向不对先旋转」是仿射站的标准用法。
题 20 把角域 π/4 ＜ arg z ＜ 3π/4（90° 楔，中心在 45°）映到上半平面。
提示：w1 ＝ e−iπ/4z 转正（0 ～ π/2），再 w2 ＝ w12。两段：旋转 ＋ 幂。角域问题的标配：转正 → 乘满 π。
题 21 把「上半平面挖去单位上半圆 |z| ＜ 1, Im z ＞ 0」的域映到上半平面。
提示：经典链条——w1 ＝ z ＋ 1/z（Joukowski 预备）：上半圆的边界（实轴两段＋半圆）映到实轴（±2 之间的线段被半圆映成）⟹ 域映到「上半平面挖线段」；再 w2 ＝ √(w1 − 2)·√(w1 ＋ 2) 型或平方根组合把线段缝合成全上半平面（Joukowski 机翼域的经典处理，选读细节）。本题演示「组合拳可以很长」——六站接力的代表作，方法分重于答案。
题 22 f: 𝔻 → 𝔻 解析，f(0) ＝ 0，f′(0) ＝ 2/3。问 |f(0.5)| 最大可能多少？取到的函数是？
提示：Schwarz：|f(0.5)| ≤ 0.5，但更强的 |f′(0)| ≤ 1 给 2/3 ≤ 1 无额外信息——|f(0.5)| 上限 0.5，取到者 f ＝ eiθz 但 f′(0) ＝ eiθ 模 1 ≠ 2/3——矛盾 ⟹ 0.5 取不到！精确上界要 Schwarz–Pick 或「Schwarz 引理的导数版」：|f(z)| ≤ |z|·|f′(0)| 类估计（不等式 sharpening，选读）——本课教「引理的等号与导数条件互斥」的细读。
题 23 f: 𝔻 → 𝔻 解析，f(a) ＝ f(b) ＝ 0（a ≠ b）。证明 |f′(a)| ≤ (|a − b|2？)/(…)：先用 φ_a 搬 home，再两零点约束下证更强不等式（Schwarz 引理的双零点强化）。
提示：g ＝ φ_a∘f 把 a 送 0 且 g(b′) ＝ 0（b′ ＝ φ_a(b) ≠ 0）⟹ g ＝ b′-因子化 g ＝ z·h、h(b′) ＝ 0 ⟹ 再因子化 ⟹ |g(z)| ≤ |z|·|(z − b′)/(1 − b̄′z)|——双零点版 Schwarz。因子化 ＋ 重复引理是「更强不等式」的标准工艺（Blaschke 乘积的胚胎）。
题 24 f: 𝔻 → 𝔻 解析且 f(0) ＝ 0、f′(0) ＝ 1。证 f(z) ＝ z。
提示：Schwarz 等号（|f′(0)| ＝ 1）⟹ f ＝ eiθz，θ ＝ 0。∎ 「自映射且盘心不动、导数摸到上限 ⟹ 恒等」——刚性的最纯展示：整个函数被两个数（f(0), f′(0)）锁死。
题 25 求 Aut(𝔻) 中把 1/2 送到 0、0 送到 1/3 的元素。
提示：φ1/2（送 1/2 到 0）后 0 的像 ＝ φ1/2(0) ＝ −1/2；要求最终 0 ↦ 1/3 ⟹ 后接 φ−1/3−1 ＝ φ1/3：f ＝ φ1/3∘φ1/2？顺序细核：φ1/2 先把 1/2 ↦ 0、0 ↦ −1/2；再 φ1/3 把 −1/2 ↦ ? 需 1/3 ⟹ 验 φ1/3(−1/2) ＝ (−1/2 − 1/3)/(1 ＋ 1/6) ＝ (−5/6)/(7/6) ＝ −5/7 ≠ 1/3——调整：应后接把 −1/2 ↦ 1/3 的自同构 φ_a 型，解 a：φ_a(−1/2) ＝ 1/3 ⟹ 由 φ_a(w) ＝ (w − a)/(1 − āw)，代入解 a（一元方程，实数解存在？课堂细解——本题练「群内导航」）。
题 26 证明 Aut(ℍ)（上半平面的自同构）＝ 实系数 Möbius {w ＝ (az ＋ b)/(cz ＋ d) : a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc ＞ 0}。
提示：Cayley 共轭 Aut(𝔻) ↦ Aut(ℍ)，展开系数取实即可。ℍ 的群 ＝ PSL(2, ℝ)——与 𝔻 的群同构：两个世界的「物理学」相同（6.8 的宣言兑现）。
题 27 全平面 ℂ 的解析自同构是谁？ℂ̂ 的呢？（它们的「小」与圆盘对照。）
提示：ℂ：w ＝ az ＋ b（仿射族，两参数——刘维尔 ＋ 增长分析：自同构整函数 ⟹ 多项式 ⟹ 单叶 ⟹ 一次）；ℂ̂：Möbius 全体（三参数）。四大区域的群谱：ℂ̂（三参）＝ ℍ ＝ 𝔻（三参）＞ ℂ（两参）——「世界越大居民越少」的另一面账。
题 28 圆盘 |z| ＜ R 内稳态温度，边界温度 T0 ＋ T1cos θ。求内部温度分布。
提示：Poisson 公式对 cos θ 边值的响应：U ＝ T0 ＋ T1(r/R)cos θ（einθ 分量各乘 (r/R)|n|）——「频率衰减定律」：n 次谐波进 r 次方衰减。高阶边界振荡到不了中心。
题 29 上半平面边界温度：|x| ＜ 1 段为 1、其余为 0。用地图术求 u(i)（原点正上方）。
提示：搬圆盘（Cayley 把 i 送 0）：边界段 (−1, 1) 映为某段弧，其像对盘心的张角为 Δ；盘心温度 ＝ 边界值的平均 ＝ Δ/2π。实算：Cayley w ＝ (z − i)/(z ＋ i)：x ＝ ±1 ↦ w(±1) ＝ (±1 − i)/(±1 ＋ i)——w(1) ＝ (1 − i)/(1 ＋ i) ＝ −i；w(−1) ＝ (−1 − i)/(−1 ＋ i) ＝ i。像弧 ＝ 右半圆（从 i 到 −i 过 1），对 0 的张角 ＝ π ⟹ u(i) ＝ π/2π ＝ 1/2。（对称性直接可见 ✓。）
题 30 证明 Dirichlet 问题在圆盘内解的唯一性。
提示：两解之差调和、边界为零 ⟹ 最大模原理（调和版：3.14/3.16）⟹ |差| ≤ 0。∎ 唯一性 ＝ 调和函数的「边界决定内部」——三章思想卡在热传导的落地说法。
题 31 把「两个等圆的外部交集」（新月域 |z − 1| ＞ 1 且 |z ＋ 1| ＞ 1？改为两圆 |z ± 1| ＝ 1 之间的带状新月）映到带域。
提示：两圆的公共点 ±i 处圆正交？两圆 |z − 1| ＝ 1 与 |z ＋ 1| ＝ 1 交于 ±i 正交 ✓ ⟹ Möbius w ＝ (z − i)/(z ＋ i) 把两圆（都过 ±i）映成过原点的两条直线（夹角不变：正交）⟹ 新月域映到 90° 角域，再幂函数 z2 掰直（6.10）。「找公共交点、送一个到 ∞」是双圆域的第一反应。
题 32 证明：单叶解析 f 把凸区域映到凸区域，当且仅当 Re(zf″/f′)？——这是「凸映射」的著名判据（选读）；本题只要求：对 f ＝ z/(1 − z) 验证单位盘的像是否凸。
提示：f 的像 ＝ 半平面 Re w ＞ −1/2（直接解 w ＝ z/(1−z) ⟹ z ＝ w/(1＋w)，|z| ＜ 1 ⟺ Re w ＞ −1/2）——半平面凸 ✓。像的凸性由「区域账」一步读出，无需凸性判据——「先求像域，再谈形状」常是最短路。
题 33 综合大题：把域 D ＝ ℂ∖(−∞, 0]（主支割破平面）映到单位圆盘，写出映射链并逐步验边界。
提示：√z（主支）把割破平面映到右半平面（2.11 的老朋友：Arg 折半 ∈ (−π/2, π/2)）；再 w ＝ (√z − 1)/(√z ＋ 1)（右半平面 → 圆盘的 Cayley 横版）。边界账：割线上岸 √x ＞ 0 ↦ 单位圆上半弧？逐步验之（课堂验收）。本题是全书「域手术」的期末总演：支割线（2.13）＋ 方根（1.10/6.10）＋ Cayley（6.8）三线合流。
归档栏一 共形判定类：忘查临界点（f′ 零点）；共形与单叶混谈；对 z̄ 类反共形误用解析工具。
复盘：判定三查——解析？临界点清单在域外？需要单叶时另证。镜朝向问题先看 Jacobian 行列式符号。
归档栏二 映射构造类：三点定像不含 ∞ 时硬套仿射；对称原理不登记「镜是谁」；映射链不逐步验边界。
复盘：构造五步——画域、标边界、选链（Möbius/exp/log/幂）、逐站验边、三点回验。∞ 的去向、镜的身份、焊缝的位置，三处必登记。
归档栏三 刚性类：Schwarz 引理对 f(0) ≠ 0 直接乱套；等号情形忘「纯旋转」；Schwarz–Pick 的搬运方向搞反。
复盘：刚性三查——先搬盘心（φ_a 串联）、等号谁取的、链式法则的导数因子（1 − |z|2 在分母还是分子）。双曲距离压缩是终极格式。
三问自测（合书 30 秒）：① 为什么「解析 ⟹ 保角」一句话就能说清（用 f′ 的几何意义）？② Schwarz 引理的等号情形为什么是「一点取等 ⟹ 全局纯旋转」？③ Dirichlet 地图术的四步分别调用哪章的哪笔存款？
《周髀算经》的圭表：立表测影，以日影方向定南北、影长定节气——用一根杆子的影子画出不可抵达之物的地图。圭表的根本信念：影与天「保某种不变」——方向不失真，长度按比率。《九章》勾股章的「望测」术（表望、望邑）同理：以小测大、以近测远，比率不走样是全部测量术的命根。
这条「不失真」的执念一路走到制图学：裴秀（224–271）「制图六体」——分率（比例尺）、准望（方位）、道里（里程）、高下、方邪、迂直（三者的折算）——一份公元三世纪的「保角保向」技术规范；一千三百年后 Mercator 用 ln tan(π/4 ＋ φ/2) 把它写成复分析公式（6.15）。六体与共形的共同内核：「不失真」不是「不变形」，而是「变形的方式处处一致」——每点等比缩放、方向规则统一。这正是共形的定义。
勾股线与另三线的不同：少广、割圆、方田给复分析供「算法原料」（开方、圆周、环账），勾股供的是几何信念——「局部不变换，全局才可信」。共形映射把这信念写成定理；庞加莱圆盘再把它升格成一个宇宙（6.16）。测影的人不会想到：影子保真的尽头是一个平行公设不成立的世界。
黎曼（1826–1866）只活了 39 岁，留下 11 篇论文，却把复分析从「积分与级数的学科」改造成「几何与拓扑的学科」。三笔遗产，笔笔与本章相关：① 黎曼映射定理（1851 博士论文）：任何单连通真区域共形等价于单位圆盘——6.8–6.10 映射库只是它的明星特例；② 黎曼曲面：多值函数不必「割」，把定义域摊开成多层曲面（log 的螺旋面、√z 的双叶面）——多值性从 pathology 变成 geometry；③ 黎曼球与球面表示（1.14 已用）——∞ 被收编，ℂ̂ 完整。
黎曼的方法论让当时的柏林学派（Weierstrass 一系）侧目：他不构造、只断言——映射的存在性靠 Dirichlet 原理（能量泛函取最小），而 Weierstrass 恰好证明该原理的原始论证有漏洞（变分泛函未必取到最小）。四十年的悬案以 Hilbert（1904）重建 Dirichlet 原理告终——黎曼全对，但人类要六十年才追上他的直觉。这是「几何直觉 vs 算术严格」最著名的一次互相成全：Weierstrass 的严格化逼出了整函数与满函数理论（第四章 4.15 的深渊正是他的展品），黎曼的画布则催生了拓扑与流形——现代数学的两岸，各得一条河的原型。
性格的对照（本册的收束观察）：Cauchy 的复分析是积分的（三章），Weierstrass 的是级数的（四章），黎曼的是几何的（六、札记）——同一座大厦的三种入口。第六章走的是黎曼的门：保角即解析、映射即理解、区域即世界。「一门学科的性格，是它的创始者们性格的最大公约数」——复分析的性格：分析的精密、代数的简练、几何的想象力，三者一个都不能少。
方法表（考试即查）：判共形 → 解析＋临界点清单；构造映射 → 五步（画域、标边界、选链、验边、回验）；带角问题 → 旋转调宽 → exp/log/幂；盘内估计 → 搬盘心 → Schwarz–Pick；热传导 → Cayley → Poisson → 搬回。综合域 → 找交点送 ∞、找割缝送方根。
通往「下一册」的三根线头：① 黎曼曲面——多值函数的正规语言（札记②）；② ζ 函数与素数定理——留数与围道的下一座金山；③ 双曲几何与模形式——庞加莱圆盘的成年人版本。全书 309 页的三张「可复用心智」：刚性 ⟹ 定理、坏点 ⟹ 资产、角度 ⟹ 硬通货。
命题 在二维的解析世界里，角度是唯一稳定的价值尺度：长度可伸缩（|f′| 处处不同）、面积可膨胀（|f′|2）、直线会弯曲（保圆搬直）、距离会重排（Poisson 加权）——唯独「曲线之间的角度」分文不损。
四张面额：① 物理面额——Laplace 方程的解不认形状只认角度（调和共形不变，6.13），热流、静电、渗流在共形世界自由转存；② 测量面额——恒向线航行的本质是「保角地图上量角即可导航」（6.15），角度可携带、可兑现；③ 结构面额——Schwarz–Pick 说一切解析映射「保角度地收缩距离」，刚性定律以角度计价（6.11–6.12）；④ 宇宙面额——庞加莱圆盘的测地线由「与界正交」定义，双曲几何的公理以角度立法（6.16）。
为什么是角度而不是长度？长度的一维账在共形变换下无「守恒量」；但角度是「方向之间的关系」——共形性恰好把「点与点的距离」放开、把「方向与方向的差」锁死。复分析经济学第二条：共形变换法币贬值（长度），唯角度坚挺——这与第一章「模长伸缩、辐角保留」的复数乘法帐一字不差：f′ 的模给长度汇率、f′ 的辐角给旋转账，整章只是 1.4 页那个复数乘法几何的放大重演。
一句话带走：一册教「复数乘法是旋转伸缩」，六册教「解析函数是旋转伸缩的场」——复世界的一切经济学，锚定在角上。
任务 合书完整证明：① 主结论（收缩不等式两条）；② 等号情形（一点取等 ⟹ 纯旋转）；③ Schwarz–Pick（任意两点版），并回答两个追问。
主结论验收点：g ＝ f/z 的「可去奇点补值」（f(0) ＝ 0 保证）；最大模原理的「半径 r 内闭圈 + 令 r → 1」两段式（3.16 的标准动作）；|g| ≤ 1 的取等逻辑（等号 ⟹ g 常数 ⟹ f ＝ eiθz）。
追问一：为什么不能用「最大模原理直接作用于 f」？——f 在边界 |f| ≤ 1 只「内部不得超边界」但 f(0) 可为 0，结论只给 |f| ≤ 1（已知）；引理的全部力度来自「除以 z」——把「盘心不动」翻译成「g 在盘心有值可估」。除法因子的选取是本引理唯一（也是全部）的技巧。
追问二：把引理推广到 f(a) ＝ 0（任意 a）：|f(z)| ≤ |φ_a(z)| ＝ |(z − a)/(1 − āz)|，且 |f′(a)| ≤ 1 − |f(a)|2 ＝ 1。φ_a 是「a 处的单位标尺」——自同构群在此充当「搬盘心的翻译官」，Schwarz–Pick 的证明全靠它。
加分项：证明「f: 𝔻 → 𝔻 双叶单射（自同构）⟺ f 是等距（双曲）」；以及 Legendre 式的 reverse：等距 ⟹ 解析自同构 ⟹ 三参数公式——把 6.12 的圆走完。
任务 在庞加莱圆盘模型中：① 验证「与单位圆正交的圆弧」的弧长在度量 ds ＝ 2|dz|/(1 − |z|2) 下是两点间的最短路径（至少对一条特殊测地线做显式计算）；② 验证平行公设失败：过盘内一点、与一条给定测地线不相交的测地线有无穷多条。
① 的显式路线：取「直径」作为特殊测地线（最简单）：参数 z(t) ＝ t（实 t ∈ (−1, 1)），弧长 ∫2dt/(1 − t2) ＝ 2artanh(t)。验证：直径上两点间沿直径的长度 ＜ 沿任何弯道的长度——用「正交圆弧可被自同构 φ_a 搬成直径」（等距不改变长度账）⟹ 只需对直径证最短，而 Cauchy–Schwarz 不等式一行收工。「用群搬运把一般化归特殊」——第六章元动作的最后一演。
② 的作图：给测地线 γ（一条正交弧）与盘内点 P 不在 γ 上：过 P 的测地线 ＝ 过 P 且与单位圆正交的圆。与 γ 共交点于界圆的外点 Q 的正交圆族中，恰两条过 P（连 PQ 的圆）；其余与 γ 相离者无穷多（圆束扫描）——欧氏第五公设的「过直线外一点恰一条平行」在此作废。画完这张图，手里就有一个非欧宇宙。
反思题：三角形内角和 ＜ π 的亏角 ＝ 面积（Gauss–Bonnet 的盘上特例）：用「测地三角形逼近」的草图解释为什么亏角恰好是面积（不要求证明，要求画出「角亏随面积增大」的示意图并写三句）。
实验目标 对三张「名片映射」——w ＝ z2、w ＝ ez、w ＝ Cayley——手绘（或编程）极坐标/矩形网格的像，亲眼验证「正交网格映成正交网格」。
步骤：① w ＝ z2：域内极网格（同心圆 ＋ 射线）↦ 同心圆（半径平方）＋ 射线（辐角翻倍）——注意 0 处网格「翻倍挤压」：临界点可视化；② w ＝ ez：矩形网格（x ＝ 常数, y ＝ 常数）↦ 同心圆 ＋ 射线——带域卷成挖心平面，接缝在正实轴（多值刀口可视化）；③ Cayley w ＝ (z − i)/(z ＋ i)：上半平面水平/竖直线族 ↦ 相切于同一点的圆族（圆心虚轴上、过 w ＝ 1）——「平行线卷成共切圆束」。
观察点：① 每张图检查「交角 90° 保持」——共形性肉眼验收；② 网格密度变化 ＝ 伸缩率分布（|f′| 的等高线肉眼版）；③ 三个「特殊点」的放大镜：z2 的 0（挤压）、ez 的接缝、Cayley 的 z ＝ i（送到 0 的点）——每张名片都在这三点露出自己的性格。
实验报告题：① 用「网格密度」解释为什么 ez 把带域「均匀摊开」而 z2 在 0「挤成一团」；② Cayley 图里那族共切圆，切点都在 w ＝ 1——这与「实轴映单位圆、∞ ↦ 1」如何互相印证？③ 若把网格画在庞加莱圆盘上（双曲等距网格：同心圆按 artanh 间距），它映到上半平面后是什么网格？（答：水平等距线——双曲均匀性的一次预告。）
第 1 题（三点定像） 求把 0, ∞, i ↦ −1, 1, 0 的 Möbius 变换。
评讲：0 ↦ −1 ⟹ b/d ＝ −1；∞ ↦ 1 ⟹ a/c ＝ 1；i ↦ 0 ⟹ 分子 z − i 型 ⟹ w ＝ λ(z − i)/(c′z ＋ d′)…标准解 w ＝ (z − i)·λ/(z ＋ i·？)：由 a ＝ c 且 b ＝ −d：w ＝ c(z − i)/(z ＋ i)（取 d ＝ i·c·？核对 0 ↦ −i/d·λ…课堂细解；答案一族 λ ＝ c 的等价类：w ＝ (z − i)/(z ＋ i) 满足 0 ↦ −1？f(0) ＝ −i/i ＝ −1 ✓，∞ ↦ 1 ✓，i ↦ 0 ✓——恰是标准 Cayley。评分点：∞ 参与时先转仿射假设、末尾三点回验。
第 2 题（映射链） 把域「单位圆盘挖去圆心点 0」映到带域。
评讲：挖心盘 → 对数：w ＝ Log z 把它映成水平带 −∞ ＜ Re？——细心：挖心盘 0 ＜ |z| ＜ 1 的极角全幅 ⟹ Log 把它映成半带 Re w ＜ 0（左半带，全宽虚轴）：环域（双连通）映带域（单连通）？！——不可能！环域不与任何单连通域共形等价（洞是拓扑不变量）。本题的真正考点：识破伪题——「挖去圆心点」其实不是环域（一个点是零洞？）——挖去点的圆盘是单连通！Log 把它映成左半带 ✓（无矛盾：点的洞不是洞）。辨析：挖去「小圆盘」才是环域。识破者满分。
第 3 题（Schwarz–Pick） f: 𝔻 → 𝔻 解析，f(1/2) ＝ 1/3。求 |f′(1/2)| 的最佳上界。
评讲：搬盘心：g ＝ φ1/3∘f∘φ1/2−1 在 0 处导数 ≤ 1 ⟹ |f′(1/2)|·(1 − |f(1/2)|2)/…链式：|f′(1/2)| ≤ (1 − 1/9)/(1 − 1/4) ＝ (8/9)/(3/4) ＝ 32/27。评分点：搬运方向（谁送谁到 0）与链式因子两个倒数。
第 4 题（Dirichlet） 圆盘边界温度 cos2θ。求 u(0)。
评讲：cos2θ ＝ (1 ＋ cos2θ)/2 ⟹ 盘心 ＝ n ＝ 0 分量 ＝ 1/2（平均值性质——圆周均值的回归，3.14 与 6.13 会师）。评分点：先降幂再读零频。
第 5 题（全书总答） 用三句话向一位只学过实分析的朋友解释：为什么复分析「美」？
评讲（参考答案，无标准）：「因为它的假设最贵——一次复可导买断无穷可导、展开、刚性、保角（第二章）；因为它把最难算的账变成最简单的账——Dirichlet 积分一页纸、代数基本定理三行（第三、四、五章）；因为它最后送一个新宇宙——保角的世界里连平行公设都可以重新谈判（第六章）。」——若三句里至少有一句提到「理论系统」或「实复对照」，本册的目的就达成了。