公元一世纪前后成书的《九章算术》，第八章名为「方程」。这一章的第一题，两千年来被无数人抄写、讲解、演算过：
《九章算术》卷八·方程〔一〕
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
「禾」是谷物，「秉」是捆。三捆上等谷、两捆中等谷、一捆下等谷，共打三十九斗粮食——问三种谷各一捆各打多少。
用今天的记号，设上、中、下禾一秉之实分别为 x、y、z 斗，这三句话就是三个方程：
《九章》给出的答案是：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。写成小数，就是 9.25、4.25、2.75。
但《九章》并没有「设未知数」这一步。它把三个方程的系数按列摆在算筹盘上，然后一列一列地减，直到求出答案。这个「一列一列地减」的动作，就是本书要讲的第一件事——消元。
本书把《九章》方程术的这套消元算法称为张苍法。《九章算术》经汉代张苍（秦时为柱下御史，汉文帝时任丞相）删补而定型，这套算法正是全书的骨干。西方传统上把同一算法称为高斯消元法（Gauss，1809 年用于天体轨道计算）。名称不同，动作一样：逐列消去，回代求解。本书两个名字都用，以「张苍法（直除）」为主。
《九章》把那套「一列一列地减」的办法称为「术」。术，就是今天说的算法。一个算法要能交给别人照做，必须满足三件事：
算法的三要素
① 有穷：无论输入什么，都能在有限步内停下；
② 确定：每一步做什么、什么条件下做哪一步，写得清清楚楚，不含糊；
③ 可执行：每一步都是机械的、不需天才灵感的动作。
《九章》的方程术完全符合这三条。「术曰：置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉而参之……」——它交代的不是一个想法，而是一份操作手册。这是中国古代数学最鲜明的性格：以术统学，以算证理。懂了，就得能算出来；算不出来，不算真懂。
算法还有一个了不起的地方：它不需要聪明人。一个足够笨但足够顺从的人（或者一台机器），只要严格照做，也能得出正确答案。《九章》时代，这个「听话的机器」是算筹；今天，是数字计算机。从算筹到芯片，同一个算法一字不改。这就是算法思维的力量，也是本书开设「实验」页的原因——凡有算法，都要在机器上跑一遍，看它是不是真的听话。
方法论旁注：算法不是数学的附属品。二十世纪以来，算法已经成为与「定理」并列的数学一等公民；「存在一个算法」与「存在一个证明」是两种不同的成就。本书明线之所以选解方程，正因为它的算法自古就有、至今仍是标准件，看得见、摸得着、算得清。
只有算法，够不够？举一个简单的问题：把上面那道题改成两个方程、三个未知数：
《九章》的术还能用吗？能用——但答案不再是一个数，而是无穷多个数。它们排成一条直线。这时候，追问「x 等于几」已经没有意义；真正有意义的问题变成了：这个解的全体长什么样子？
问「长什么样子」，就是在问结构。结构不问单个对象是什么，而问对象全体之间的关系：集合里的元素怎么相加、怎么放大；两个集合之间有什么映射；在映射之下什么东西保持不变。于是，同一批方程在另一副眼光下变成了别的东西：
从「求答案」走到「描述解集」，从「会算」走到「懂结构」，正是这门课的全部旅程。算法给我们答案，结构给我们理解。
高等代数可以按很多种顺序讲：先讲多项式，先讲矩阵，先讲空间，都能自圆其说。本书选择从解线性方程组这一条明线切入，理由是：这门课的几乎每一个基本概念，都是从这个问题的追问里长出来的。
还有一层历史的理由。《九章算术》的方程章，是人类最早的线性方程组系统解法；而「解线性方程组」这件事的语言——矩阵、秩、向量空间、线性映射——是十九、二十世纪才逐个补齐的。也就是说，这条明线的两端，一头接着两千年前的算筹，一头连着现代数学的核心语汇。沿着它走，就是从古代走向现代的最短路径。
本书的读法建议：遇到任何新概念，先问它是在回答消元路上的哪个问题。答案往往立刻就清楚了。
上册六章的次序，就是明线的次序：从〈消元〉起手，一步一步把算法提升为语言。
六章各自的分工是：第一章把《九章》的直除讲透，并把它改写成矩阵语言；第二章把消元用到的「记账格子」正式对象化为矩阵，并给出可逆与秩；第三章回答「方程个数等于未知数个数时，解何时唯一」，给出行列式这一可乘的不变量；第四章把解集的形状抽象成线性空间与子空间；第五章把「解方程组」彻底重写为「求线性映射的原像」，秩定理与同态基本定理在此登场；第六章回到多项式，把同一套结构语言用在 𝔽[x] 上，与抽象代数接轨。
上册结束时，语言已经齐备：矩阵、空间、映射。下册要做两件事——把语言用到深处，以及让语言与几何见面。
其一，分类。上册问「解集是什么」，下册问「变换有哪些类型」。线性变换 T 的全部信息藏在一个方阵里；换一套基，方阵变成相似方阵 P−1AP。于是「有哪些本质不同的线性变换」就等价于「方阵在相似之下分成几类」——这是若尔当标准形的任务，也是整门课第一次完整地做一次分类问题。
其二，几何。下册第十章起，代数空间正式与几何点空间接轨：给向量空间加上内积，得到欧氏空间，其上的正交变换正是中学几何里「旋转、翻折」的代数化身；放开原点，得到仿射空间与仿射变换 x ↦ Ax ＋ b；再把「平行的直线交于无穷远点」这一条补上，得到射影空间与射影变换。三种几何，就是三个变换群之下的不变量理论。
一句话记住下册：克莱因（Klein，1872）说，几何学就是研究一个变换群之下不变量的学问。这句话把欧氏几何、仿射几何、射影几何装进了同一个框架，也把下册的三章串成了一条线。
《九章算术》的风格与欧几里得《几何原本》截然不同：后者从五条公设出发，一条一条地证明；前者给出二百四十六个问题，每问之后附一条「术」，说明怎样算出来。一个重论证，一个重算法。二者都不是完整的数学，二者合起来才完整。
本书每章末设一则格物札记，就是要把这两条传统接通：「格物」是把手放在事物上、亲手演算一遍；「致知」是抽象出结构与不变量。算得出来，是格物的功夫；说得清楚，是致知的收获。二者缺一，数学就走不远——只算不讲，是一盘散账；只讲不算，是一座空中楼阁。
九章格的一种读法
「九章」＝《九章算术》，代表算法与算功的传统；「格」＝格物致知，代表结构与论证的追求。九个类别的问题，配上格物致知的功夫，正是本书希望达到的样子：每一章都有能算的例题，也有能说的道理。
具体到本册，札记会做四件事：① 指出本章的哪个概念在古代已有其「术」的雏形；② 指出它在现代数学中的正式身份；③ 指出它与其他学科的接口；④ 留下三个问题，供复盘。不必同意札记里的每一句话，但要能说出自己的理由。
本书的数学符号一律按 TEX 标准排印，与在论文与教材里见到的一致。
| 符号 | 读法与含义 | 符号 | 读法与含义 |
|---|---|---|---|
| ∈ | 属于 | ∀ / ∃ | 对一切 / 存在 |
| ⊂ | 包含于 | ⟹ / ⟺ | 蕴含 / 当且仅当 |
| ∪ ∩ | 并 / 交 | ≅ | 同构 |
| ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ | 数系（自然·整·有理·实·复） | 𝔽 | 一般数域 |
| x, y, f, T | 变量、函数、变换（斜体） | α, A | 向量、矩阵（粗斜体） |
| ab | 分数、比值（上下两层） | AT, A−1 | 转置、逆（上标） |
此外，本书约定：矩阵用方括号并排，方程组用大括号并排，解集用集合记号；角标数字用上标，如 x2、a3；「等于」在演算中用等号，「同构」用 ≅，二者不混用。凡算法步骤，一律配图，一步一图——这是本书的一条硬规矩。
三条建议
① 动手算。每一页出现算法，都在纸上重演一遍。看懂别人的演算，与自己算对一遍，是两种不同的懂。
② 先问形状。遇到方程组，先别急求解；先问「解集可能是什么形状」。这个习惯会陪走完两册书。
③ 记住那条明线。任何时候迷路了，就问：我正走在从方程到结构的第几级台阶上？
准备好了。翻开第一章，我们从算筹盘上那道「上禾三秉」的题目出发。
两千年前的一个书吏，面对这样一道题：三捆上等谷、两捆中等谷、一捆下等谷，共打粮食三十九斗；两捆上等、三捆中等、一捆下等，共三十四斗；一捆上等、两捆中等、三捆下等，共二十六斗。问三种谷各一捆打多少。
他没有纸，也没有字母。x、y、z 要等一千六百年后才会出现在欧洲的纸上；他手里有的，是一把竹签和一块布。他把每一句话的四个数——三种谷的捆数和一个总斗数——摆成一列，四列并排，摆成三行。然后他开始一列一列地减。
减到最后，最左边一列只剩两个数相除，答案就出来了。
这个动作，本书记作消元。它不是某个天才的灵光一闪，而是一套可以原样交给别人照做的算法——今天在计算机上解一百万个未知数的方程组，用的还是同一套动作，只是换了手：从竹签换成了芯片。
本章路线
① 从布式到算法（1.1–1.7）：看清《九章》方程术的每一步动作，给它一个名字——张苍法；
② 从算筹到矩阵（1.8–1.12）：把布式改写成增广矩阵，把「一列一列地减」改写成初等行变换，把算法的终点提炼为秩这一个数；
③ 从答案到结构（1.13–1.18）：说清解集有几种形状，并把它翻译成几何图像。
《九章算术》全书分九章，共二百四十六题，每题之后附一条「术」。第八章名为「方程」，十八题，专讲多元一次问题的布式解法。
「方程」二字今天已经变成等号的同义词，但在汉代，它是个动词。《九章》注者刘徽解释说：「程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率……并列为行，故谓之方程。」意思是：把混杂在一起的各类物品，各按其数排成一行，「并列为行」，摆成一个方阵的样子，这就是「方程」。
考据注：「并列为行」的「行」与今天的「行」正好相反：《九章》的行是竖排的一列（一个方程占一列），今天我们把这样的竖排叫「列」。读古书时要留意这个翻转。本书正文一律用今天的约定：一个方程占一行，与增广矩阵的写法一致。
布式用的算筹，是一根根竹签。数字怎么摆？《孙子算经》有口诀：「一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当」——个位摆纵式，十位摆横式，百位又摆纵式，纵横交替往下走。每个数字的摆法：一至五按数布筹；六至九用一根「当五」的筹放在上面，下面再摆一至四根。空位不摆筹，就是零。这样横竖一换，读数时便不会串位。
布式的规矩是：右行为先。第一个方程摆在最右边，第二个摆在中间，第三个摆在最左边——与今天从左到右写方程恰好相反。这不是随手为之：右行是「基准」，后面所有的减法都是从右行出发，把它作为标准去消减别的行。这一细节，正是理解「直除」的关键。
现在把《九章》方程章第一题完整地做一遍。布式如下（右、中、左三行，四列分别为上禾、中禾、下禾、实）：
| 右行 | 3 | 2 | 1 | 39 |
| 中行 | 2 | 3 | 1 | 34 |
| 左行 | 1 | 2 | 3 | 26 |
术文的第一步是：「以右行上禾遍乘中行，而以直除。」拆开看，这是两个动作。
① 遍乘：用右行第一格的上禾数（3）去乘中行的每一格。中行 (2, 3, 1, 34) 变成 (6, 9, 3, 102)。这一步的目的是把中行的上禾数也变成 3，与右行一致。
② 直除：既然两行的上禾数一样了，就可以用减法把中行的上禾数消掉。中行减去右行的 2 倍（因为原来中行系数 2、右行系数 3，公共倍数 6 需要各乘 2 与 3 才能相消）：
| 动作 | 上禾 | 中禾 | 下禾 | 实 |
|---|---|---|---|---|
| 中行 × 3 | 6 | 9 | 3 | 102 |
| 减去 右行 × 2 | −6 | −4 | −2 | −78 |
| 所得新中行 | 0 | 5 | 1 | 24 |
中行的上禾数变成了 0——这一格被「消」掉了。用同样办法处置左行：「又乘其次，亦以直除。」左行 (1, 2, 3, 26) 乘以 3 得 (3, 6, 9, 78)，减去右行 1 倍 (3, 2, 1, 39)：
| 动作 | 上禾 | 中禾 | 下禾 | 实 |
|---|---|---|---|---|
| 左行 × 3 | 3 | 6 | 9 | 78 |
| 减去 右行 × 1 | −3 | −2 | −1 | −39 |
| 所得新左行 | 0 | 4 | 8 | 39 |
现在盘面上只剩两行还带着上禾之外的数：
| 右行 | 3 | 2 | 1 | 39 |
| 中行 | 0 | 5 | 1 | 24 |
| 左行 | 0 | 4 | 8 | 39 |
术文接着说：「然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。」——中行上禾已尽（为 0），就拿中行的中禾数（5）去遍乘左行，再直除。左行 (0, 4, 8, 39) 乘 5 得 (0, 20, 40, 195)；中行 (0, 5, 1, 24) 乘 4 得 (0, 20, 4, 96)；两式相减：
| 动作 | 中禾 | 下禾 | 实 |
|---|---|---|---|
| 左行 × 5 | 20 | 40 | 195 |
| 减去 中行 × 4 | −20 | −4 | −96 |
| 所得新左行 | 0 | 36 | 99 |
左行只剩一个未知数了：36 z ＝ 99。术文曰：「左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。」——上格的 36 叫「法」（除数），下格的 99 叫「实」（被除数），于是
接着是回代：术曰「求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一」。用今天的话说，就是把 z 代回中行：
| 步骤 | 算式 | 得数 |
|---|---|---|
| 法 × 中行实 | 36 × 24 ＝ 864 | 864 |
| 减去 下禾之实 ×1 | 864 − 99 ＝ 765 | 765 |
| 除以上格中禾数 5 | 765 ÷ 5 | 153（中禾之实） |
| 如法而一 | 153 ÷ 36 ＝ 174 | 414 斗 |
同样地求上禾：36 × 39 ＝ 1404，减去下禾之实 99 × 1，再减去中禾之实 153 × 2，得 1404 − 99 − 306 ＝ 999；除以 3 得 333；再除以 36：
答案（与《九章》原文一致）
上禾一秉 914 斗，中禾一秉 414 斗，下禾一秉 234 斗。
代回检验：3×9¼ ＋ 2×4¼ ＋ 2¾ ＝ 27¾ ＋ 8½ ＋ 2¾ ＝ 39 ✓ 2×9¼ ＋ 3×4¼ ＋ 2¾ ＝ 18½ ＋ 12¾ ＋ 2¾ ＝ 34 ✓ 9¼ ＋ 2×4¼ ＋ 3×2¾ ＝ 9¼ ＋ 8½ ＋ 8¼ ＝ 26 ✓
把整件事回看一遍：乘一乘、减一减、再乘一乘、减一减，然后从只剩一个未知数的那一行起，一行一行往上代。这就是人类最早的多元一次方程组系统解法，写在两千年前。
上面的题目很「顺」：所有系数都是正数，遍乘之后永远是大数减小数。但《九章》方程章第八题遇到了麻烦：相减时会「不够减」。于是它写下了世界上最早的一组负数运算规则——正负术：
《九章算术》方程章·正负术
「同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。」
「其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。」
前段讲减法：同号则相减（同名相除），异号则相加（异名相益）；零减正数得负（正无入负之），零减负数得正（负无入正之）。后段讲加法，规则正好互换。
今天看来这是常识。但在公元一世纪，把「欠」当作一种可以与「有」一起运算的数，是一次观念上的跃进：负数不是「没有」，而是与正数同名同姓、只是方向相反的一员。没有这场跃进，消元算法就只能在「永远够减」的题目里打转。
| 《九章》原文 | 今译（减法 a − b） | 例子 |
|---|---|---|
| 同名相除 | 同号相减，取绝对值之差 | 5 − 3 ＝ 2；(−5) − (−3) ＝ −2 |
| 异名相益 | 异号相加，取绝对值之和 | 2 − (−1) ＝ 3；(−2) − 1 ＝ −3 |
| 正无入负之 | 零减正数得负数 | 0 − 7 ＝ −7 |
| 负无入正之 | 零减负数得正数 | 0 − (−7) ＝ 7 |
把这套规则用在消元上，就出现了「对消」这一动作：当两行的同一格系数异号时，不是相减而是相加，反而消得更干净。看一个最小的例子：
用右行上禾（2）遍乘左行：(2, 2, 10)；减去右行 (2, −1, 1)：中禾格 2 − (−1) ＝ 3（异名相益），实格 10 − 1 ＝ 9。得 (0, 3, 9)，于是 y ＝ 3，回代得 x ＝ 2。
现代接口：正负术给出了「ℤ 是一个环」的全部迹象——加法、减法、零元、相反元，一样不缺。古人在算筹上把这些规则用熟了一千多年，才在十九世纪被抽象为环的公理。算法先于公理，这是数学史上反复出现的节奏。
把两节演算合起来看，《九章》方程术的骨架只有三个动作，本书称为直除三步：
关于「直除」二字，历代注家有不同理解：一说「直除」即「以直除之」，指用减法（筹算中的「直减」）反复相减，直到减不动为止，与欧几里得算法中反复相减求最大公因数如出一辙；一说「直」指直接、径直，「直除」就是直接相减。两说都指向同一动作：把同一格上的两个数相消。本书采用后一种读法，因为它在操作上更直接。
值得留意的是，遍乘与直除合起来，恰好就是今天「用一行的倍数去消去另一行」这一动作的古代版本。区别只在形式：古人为了避分数，宁可把两行都乘上数再减；今天为了省笔墨，直接乘上比值一次减完。形式不同，骨子里的动作一样。
《九章算术》并非一夜写成的书。刘徽在注序中说：
刘徽《九章算术注》序（约 263 年）
「往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。」
秦火之后，典籍散乱。汉代的北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌都以擅长算术著名，他们依据残存的旧文，各自作了删削与补充。
张苍（约前 256—前 152），阳武（今河南原阳）人。秦时曾任柱下御史（掌管文书档案），汉初封北平侯，文帝四年（前 176 年）任丞相，在位十余年，享年百余岁。《史记·张丞相列传》说：「汉家言律历者，本之张苍。」——汉代的历法与算学，都奉他为本源。《九章算术》这部书的定型，与他有直接关系（见上图刘徽序），因此本书把这套算法称为「张苍法」；历代传本皆作「张苍」，并无「张仓」的写法。
本书把方程术的这套消元算法称为「张苍法」，理由有三：其一，它确实是《九章》方程章的核心算法，而《九章》的定形与张苍直接相关；其二，用中文名字称呼它，便于在课堂上与「直除」这套古法直接对应，而不必每次绕道西方译名；其三，这个算法比欧洲的同名算法早了一千八百多年，名字里带着它真正的时间坐标。
西方传统把同一算法称为高斯消元法：高斯（C. F. Gauss，1777–1855）在 1809 年出版的《天体运动论》中，用这套方法处理最小二乘与轨道计算，并给出了系统的表述。此后它成为数值线性代数的第一个标准算法。
平心而论：把它叫「高斯消元法」并不算错——高斯确实独立地、系统地把它用于了现代问题。本书的写法是：正文称「张苍法（直除）」，并在需要与现代文献接轨处注明「即高斯消元法」。史实要说清楚，功劳不必争；一个算法能被两个文明各自发现并沿用两千年，本身就是它足够好的证明。
布式的每一列是一个方程，四格里装着三个系数和一个常数。如果只看「格子里的数」，布式与下面的东西完全是一回事：
| 右行 | 3 | 2 | 1 | 39 |
| 中行 | 2 | 3 | 1 | 34 |
| 左行 | 1 | 2 | 3 | 26 |
这个长方体一样的数阵，叫矩阵（matrix）；因为它在系数之外还并入了常数项，所以叫增广矩阵（augmented matrix）。竖线左边是系数矩阵，右边是常数项列。
定义 1.1（矩阵与增广矩阵）
由 m 行 n 列的数排成的矩形数阵，称为 m × n 矩阵；第 i 行第 j 列的数 aij 称为它的元素。
含 n 个未知数、m 个方程的线性方程组
可以只用数阵来记：Ab，其中 A ＝ (aij) 叫系数矩阵，b ＝ (b1, …, bm)T 叫常数项列。若 b ＝ 0，方程组称为齐次的，否则称为非齐次的。
把布式改写成增广矩阵，看起来只是换了个写法，其实发生了一件大事：未知数的名字被丢掉了。原本「上禾、中禾、下禾」是有含义的名字，现在它们只是第 1、2、3 列；解方程组的全部信息，被压缩进了这张数阵里。这一步「去名存数」，正是矩阵语言的起点——从此我们面对的不再是「关于谷物的三个问题」，而是一张可以整体搬动、整体变换的数表。
现代接口：丢掉未知数名字这件事，在数学上叫「把方程组看作一个线性映射的表示」。矩阵 A 记录的是「各个未知数怎样组合」这件事本身，与它们叫什么无关。当在第五章学到「线性映射」时，这一页——不是在学一个新概念，而是在给这张数表配上它真正的身份。
《九章》在算筹盘上的动作，全是「对整行做事」：把一行乘上某个数、把两行相减。这些动作搬到增广矩阵上，就是初等行变换。它们一共三种：
定义 1.2（三种初等行变换）
① 换行（记作 Ri ↔ Rj）：交换第 i 行与第 j 行；
② 倍乘（记作 Ri × k，k ≠ 0）：把第 i 行的每个元素乘上同一个非零数；
③ 消去（记作 Rj ＋ k Ri）：把第 i 行的 k 倍加到第 j 行上。
定理 1.1（行变换不改变解集）
若方程组 (Ⅰ) 经过若干次初等行变换变成方程组 (Ⅱ)，则 (Ⅰ) 与 (Ⅱ) 的解集完全相同。
证明要点：三种变换都不改变解集，逐一说明。① 换行：把两个方程的位置调换，联立条件显然不变。② 倍乘：把方程两边同乘非零数 k，等式仍成立；由于 k ≠ 0，这个动作可以撤销（再乘 1/k），故新旧方程组互为推出关系。③ 消去：设 x 满足原方程组，则 Ri(x) ＝ 0 与 Rj(x) ＝ 0（这里把方程写成「左端减右端＝0」），于是 Rj(x) ＋ k Ri(x) ＝ 0，即新行也成立；反过来，新方程组可由原方程组经 Rj − k Ri 还原。故解集相同。∎
「可撤销」这三个字是全部要害。一个操作如果不改变解集、又能被撤销，那么它只是在换一种说法描述同一件事——不变量被它保住了。本书后面会反复用到这个想法：秩不变、行列式按规则变、特征多项式不变，都是同一句「不变量」的不同说法。
三种变换里，第三种最好用，因为它一次就能把某个位置变成 0。它的两个最常用特例是：
《九章》的「直除」正是减法这一特例；而「遍乘」是倍乘这一特例。也就是说，两千年前算筹盘上的两个动作，恰好就是今天两种初等行变换的古代形态。
三种变换还有一个共同的性质：每一个都可以撤销，而且撤销它用的还是同一类变换。
| 变换 | 写法 | 逆变换 | 属于同类？ |
|---|---|---|---|
| 换行 | Ri ↔ Rj | Ri ↔ Rj（再做一次） | 是 |
| 倍乘 | Ri × k（k ≠ 0） | Ri × (1/k) | 是 |
| 消去 | Rj ＋ k Ri | Rj − k Ri | 是 |
「可撤销」这件事值得起一个名字。若矩阵 A 能经过有限次初等行变换变成 B，就说 A 与 B 行等价，记作 A ∼ B。
定理 1.2（行等价是等价关系）
① 自反：A ∼ A（一次变换都不做）；
② 对称：若 A ∼ B，则 B ∼ A（把每次变换用它的逆变换撤回去）；
③ 传递：若 A ∼ B 且 B ∼ C，则 A ∼ C（把两次的过程接起来）。
现代接口：「等价关系」是抽象代数的第一课，而它在这里已经自然出现了。一个等价关系把集合分成若干类（这里：把矩阵按「能否互相行变换得到」分成若干类），每一类里挑一个最简的代表（这里：简化阶梯形），就能把整类研究清楚。本书第 1.11 节要做的「把矩阵化成简化阶梯形」，本质上就是给每个等价类挑一个标准代表。这套「等价关系 → 分类 → 标准形」的思路，会在下册若尔当标准形一章达到高峰。
消元不能乱消，要消成一个规矩的形状。这个形状叫阶梯形：一行一行看下来，每行的第一个非零数（叫主元）逐行往右退，像一道阶梯。
定义 1.3（阶梯形与简化阶梯形）
一个矩阵称为阶梯形（row echelon form），若：
① 全为 0 的行（零行）全部排在下方；
② 每行的第一个非零元素（主元）所在的列，严格在上一行主元所在列的右边。
若还满足：③ 每个主元都等于 1；④ 每个主元所在列的其他元素全为 0——则称为简化阶梯形（reduced row echelon form，简称 RREF）。
为什么偏爱简化阶梯形？因为它一步到位地把答案写出来了。看上面的右图，三行分别是 x1 ＝ 1、x2 ＝ 3、x3 ＝ 2——不必回代，直接读出。
定理 1.3（简化阶梯形的唯一性）
每个矩阵都行等价于唯一的简化阶梯形。
证明思路：存在性由消元算法保证（第 1.12 节的算法 1.1 就是构造）。唯一性的要害在于：化简所得矩阵的主元列位置，由原矩阵唯一决定——因为「主元列」就是那些不能由它左边各列线性表出的列（这个刻画将在第四章用「线性相关」的语言正式给出）。主元列一定，各行数值也就被原矩阵唯一确定。故简化阶梯形唯一。∎
「唯一」二字的分量：它意味着简化阶梯形可以当作矩阵的身份证——两个矩阵行等价，当且仅当它们有同一个简化阶梯形。这正是 1.10 节说的「给每个等价类挑一个标准代表」。
把矩阵化成阶梯形之后，数一数有几个主元，就得到整个方程组最重要的一个数。
定义 1.4（秩）
矩阵 A 的秩（rank），记作 r(A) 或 rank A，定义为 A 的阶梯形中非零行的行数，也就是主元的个数。
秩之所以重要，是因为它在行变换之下不变：初等行变换只是换一种说法描述同一件事，它不会凭空造出或消灭一个主元。这正是我们想要的那种「不变量」。
定理 1.4（相容性判据）
线性方程组 A x ＝ b 有解，当且仅当 r(A) ＝ r(Ab)。
证明：把增广矩阵化成阶梯形。若某一行形如 (0 0 ⋯ 0 | d) 且 d ≠ 0，该行对应的方程是 0 ＝ d，不可能成立，故无解；此时该行在系数部分全为 0、在常数列非 0，所以 r(Ab) ＝ r(A) ＋ 1 > r(A)。反之，若 r(A) ＝ r(Ab)，则阶梯形中不会出现 (0 ⋯ 0 | d ≠ 0) 这样的行，于是每个主元都可以从最下面一行起逐个解出，故有解。∎
有了这个判据，「有没有解」这件事就变成了「比较两个数」——这比逐题去试要快得多，也深刻得多。它还提示了一个更根本的看法：无解的根源不是「数不够」，而是方程之间自相矛盾，矛盾与否，恰好被秩这个数捕捉到了。
历史注：《九章》方程章的题目都是「方程个数＝未知数个数」且解唯一的。古人当然知道会有「解不出」的情况（比如「盈不足」章处理的就是另一类问题），但把「有解与无解」提炼成一个数的比较（r(A) 与 r(Ab)），是现代线性代数才完成的。这一步的代价是抽象，收益是彻底。
做主元的位置定了，剩下的列就是「没人管」的列。它们的未知数可以任意取值，别的未知数则被主元方程唯一决定。
定义 1.5（主元未知量与自由未知量）
设 n 元方程组 A x ＝ b 的系数矩阵秩为 r。在阶梯形中，主元所在的列对应的未知数称为主元未知量（共 r 个）；其余 n − r 个未知数称为自由未知量。
「自由度」这个词不是修辞。自由未知量取一组值，就得到一组解；取两组不同的值，就得到两组不同的解。所以：
定理 1.5（解的自由度）
若 A x ＝ b 有解且 r(A) ＝ r，未知数个数为 n，则解集中含有 n − r 个自由参数；特别地，
· r ＝ n 时解唯一；
· r < n 时有无穷多解。
拿第 1.4 节那道题对一下：n ＝ 3（上、中、下禾），阶梯形有三个主元，r ＝ 3，于是自由度 n − r ＝ 0，解唯一——正是《九章》给出唯一的三个答案。
方法论旁注：做题时，先算 r 再动笔，能省下大量力气。它一句话就说明：「这道题有唯一解、无穷多解，还是无解。」先算不变量，再算具体值——这是本书希望养成的第一个习惯。
有无穷多解时，怎样把解「写出来」？办法是：先找出一个解，再找出「差」的全貌。
设 x0 是 A x ＝ b 的一个解（称为特解）。若 x 也是解，则 A(x − x0) ＝ A x − A x0 ＝ b − b ＝ 0——也就是说，两个解之差一定是齐次方程组 A y ＝ 0 的解。反过来，任何 x0 ＋ η（η 是齐次解）都是 A x ＝ b 的解。于是：
定理 1.6（解集结构定理）
若 A x ＝ b 有解，x0 是它的一个特解，则它的全部解恰为
用这个定理写答案，格式是：通解 ＝ 特解 ＋ 自由未知量的线性组合。以第 1.13 节的例子（x1 ＋ x2 − x3 ＝ 1，2x1 ＋ 3x2 − x3 ＝ 3）为例：取自由未知量 x3 ＝ t，得
那个 (0, 1, 0) 是一个特解，(2, −1, 1) 是齐次解集的方向。几何上，这是一条过 (0,1,0) 而方向为 (2,−1,1) 的直线——正是图 1-9 画的样子。
现代接口：定理 1.6 在第五章会被重写为一句更有力的话——「解集是核空间的一个陪集」。到那时可以看到，这个关于方程组的结论，其实是「同态基本定理」的一个特例。
齐次方程组 A x ＝ 0 是一类特殊的方程组：它的右端全是 0。它有两个显著的好处。
第一，它永远有解——零向量 0 ＝ (0, …, 0) 一定满足。这个解叫零解，其他的解叫非零解。于是「有解」不再是问题，问题变成「有没有非零解」。
第二，它的解集对加法与数乘封闭。设 η1、η2 都是解，则
也就是说，两个解加起来还是解，一个解乘上任意数还是解。这样一个「对加法与数乘封闭」的集合，正是第四章要正式定义的子空间。齐次方程组的解集因此称为解空间。
定义 1.6（基础解系）
若齐次方程组 A x ＝ 0（r(A) ＝ r < n）的解空间有 n − r 个解 ξ1, …, ξn−r，满足：① 它们彼此线性无关；② 方程组的每个解都能由它们线性表出——则称它们为一个基础解系。
于是通解写作 η ＝ c1ξ1 ＋ ⋯ ＋ cn−rξn−r，其中 c1, …, cn−r 为任意常数。
为什么基础解系里恰好有 n − r 个向量？直觉是这样的：把自由未知量交替换成 1（其余取 0），就得到 n − r 个解，它们正好把「自由」的那几个方向各占一个。它们线性无关，而且其他解都能由它们拼出来——这就构成了基础解系。第 13 页的例 7 会把它算一遍。
现代接口：齐次解空间在第五章有一个正式的名字——核（kernel），记作 ker A。那时我们会看到：dim ker A ＝ n − r 这条公式，就是著名的「秩定理」的一半。
现在可以把整章的结论收成一句话了。对 n 元线性方程组 A x ＝ b，只有三种命运：
定理 1.7（三种解况）
记 r ＝ r(A)，r′ ＝ r(Ab)，未知数个数为 n。则：
① r < r′：无解。阶梯形中出现 (0 ⋯ 0 | d ≠ 0) 的矛盾行。
② r ＝ r′ ＝ n：唯一解。主元铺满所有未知数列，没有自由未知量。
③ r ＝ r′ < n：无穷多解，含 n − r 个自由参数。
这张图与定理的三种情形对照着记：秩的两种数决定几何的三种形。当 r ＝ r′ 时一定有解，而且「有几维自由」被 n − r 精确规定了；当 r < r′ 时一定无解。这比逐个检查方程要有效得多。
顺便得到一个常用的推论：方程个数少于未知数个数时，齐次方程组必有非零解。因为此时 r ≤ m < n，必有 n − r > 0，自由未知量多于零个，于是有非零解。这个结论（「矮胖的齐次方程组必有非零解」）在后面的章节里会用很多次。
到目前为止，我们一直在「代数」这一侧操作数阵。现在换一副眼光：把一组解 (x1, …, xn) 看成 n 维空间 ℝn 中的一个点。那么一个方程是什么？
先看最熟悉的两种情形：
两种情形有一个共同的名字：超平面。在 ℝn 中，一个（非平凡）一次方程的解集叫一个 n − 1 维的超平面——它比整个空间低一维。
垂直于超平面的那个方向，由系数 (a1, …, an) 决定，称为法向量。法向量指向哪边，超平面就朝哪边「立」起来；右端的 b 决定它离原点多远。这样，一个方程被翻译成了一句几何话：
一句话翻译
方程 a1x1 ＋ ⋯ ＋ anxn ＝ b ⟺ 「在这条法向量方向上的投影等于 b 的那些点」，即一个超平面。
当 b ＝ 0 时，超平面过原点，成为第四章要定义的子空间（齐次解空间）；当 b ≠ 0 时，它不过原点，只是一张「平移过去」的平面。
现代接口：过原点与不过原点，这点差别正是向量空间与仿射空间的分界。齐次方程组的解集是向量子空间（过原点），非齐次的是仿射子空间（不过原点）。下册第 12 章将专门处理这件事——那时可以发现，本章的定理 1.6（特解＋齐次解）其实就是「仿射空间＝一点＋方向子空间」的最早形态。
一个方程是一个超平面，那么整个方程组是什么？是「同时满足所有方程」——也就是把好几个超平面求交。于是定理 1.7 的三种解况，立刻有了几何的模样（以三个平面为例）：
注意第三种情形：三个平面可以两两相交（每两个交出一条直线），却没有公共点。图里用三条斜线表示三个平面与截面的交线——它们围出一个三角形，谁也没碰上谁。这就是「看似每个方程都有解，合起来却无解」的几何图像，也正是定理 1.4 所说的 r(A) < r(Ab)。
把本章的两副面孔并排放在一起：
| 代数说法 | 几何说法 |
|---|---|
| 一个方程 | 一个超平面 |
| 方程组 | 若干超平面求交 |
| r(A) ＝ r(Ab) ＝ n | 交于一点（唯一解） |
| r(A) ＝ r(Ab) < n | 交成 n − r 维的仿射子空间 |
| r(A) < r(Ab) | 无公共点 |
| 齐次解空间（过原点） | 过原点的子空间 |
| 特解 ＋ 齐次解 | 平移后的仿射子空间 |
本章小结：一条明线走出了三步——算（《九章》直除）、记（增广矩阵）、看（秩与几何）。下一步（第二章）要把「记」的那张数表正式对象化：它会变成一个可以相加、可以相乘、可以求逆的东西。到那时，「消元」就不只是一套动作，而是一门语言。
题 解方程组 2x ＋ y ＝ 5， x ＋ 3y ＝ 10，要求按「直除三步」写出每一步。
布式（右行为先）：
| 右行 | 2 | 1 | 5 |
| 左行 | 1 | 3 | 10 |
① 遍乘：用右行的首数 2 遍乘左行，把左行首数也变成 2：(1, 3, 10) × 2 ＝ (2, 6, 20)。
② 直除：减去右行的 1 倍 (2, 1, 5)：
| 动作 | x 系数 | y 系数 | 实 |
|---|---|---|---|
| 左行 × 2 | 2 | 6 | 20 |
| 减去 右行 × 1 | −2 | −1 | −5 |
| 新左行 | 0 | 5 | 15 |
于是 5y ＝ 15，得 y ＝ 3。
③ 回代：把 y ＝ 3 代回右行 2x ＋ y ＝ 5，得 2x ＝ 5 − 3 ＝ 2，故 x ＝ 1。
答 x ＝ 1，y ＝ 3。检验：2×1 ＋ 3 ＝ 5 ✓ 1 ＋ 3×3 ＝ 10 ✓
要点：遍乘的目的是「把两个首数变成同一个数」，直除的目的是「相减归零」。这两步合起来，就消掉了一个未知数。每一次消元，方程组就少一个未知数。
题 用矩阵语言重做《九章》方程第一题，并复核答案。
解 写出增广矩阵，然后用初等行变换化阶梯形。为避免分数，先把第一行与第三行交换（这是《九章》「右行为先」的手工版：把首数最小的行提上来，后续减法就不必通分）：
| 步骤 | 矩阵 |
|---|---|
| 原增广矩阵 | 321392313412326 |
| R1 ↔ R3 | 123262313432139 |
| R2 − 2R1，R3 − 3R1 | 123260−1−5−180−4−8−39 |
| R2 × (−1) | 12326015180−4−8−39 |
| R3 ＋ 4R2 | 1232601518001233 |
现在回代：由第三行 12z ＝ 33，得
由第二行 y ＋ 5z ＝ 18：y ＝ 18 − 5 × 114 ＝ 18 − 554 ＝ 174 ＝ 414。
由第一行 x ＋ 2y ＋ 3z ＝ 26：x ＝ 26 − 2 × 174 − 3 × 114 ＝ 26 − 344 − 334 ＝ 374 ＝ 914。
答 x ＝ 914，y ＝ 414，z ＝ 234，与《九章》原文完全一致。
对照 1.3–1.4 节的古法：古法用「通分再减」避免分数，现代手法允许分数直接相减。哪种更快？答：小题目古法不慢，题目一大（几百个未知数）现代手法明显占优——因为它的每一步都是「一行减另一行的倍数」，可以用机器批量执行。算法的优劣，往往要到规模上去才看得出来。
题 解 2x − y ＝ 1， x ＋ y ＝ 5。指出哪一步用到了正负术。
解 布式（右行＝第一式）：
| 右行 | 2 | −1 | 1 |
| 左行 | 1 | 1 | 5 |
用右行首数 2 遍乘左行：(1, 1, 5) × 2 ＝ (2, 2, 10)。减去右行 1 倍 (2, −1, 1)：
| 动作 | x 系数 | y 系数 | 实 | 用到的规则 |
|---|---|---|---|---|
| 左行 × 2 | 2 | 2 | 10 | 倍乘 |
| 减去 右行 × 1 | 2 − 2 ＝ 0 | 2 − (−1) ＝ 3 | 10 − 1 ＝ 9 | 异名相益 |
关键在第二格：本来是「2 − (−1)」，两个数异号，按正负术「异名相益」，应当相加，得 3。于是新左行是 (0, 3, 9)，即 3y ＝ 9，y ＝ 3。
回代：x ＋ y ＝ 5，得 x ＝ 2。
答 x ＝ 2，y ＝ 3。检验：2×2 − 3 ＝ 1 ✓ 2 ＋ 3 ＝ 5 ✓
观察：因为系数异号，相减反而变成了相加，消元一步就干净了。「对消」这个词正由此而来——两数相向而行，同归于零。做题时若见到异号系数，不妨直接把两个方程相加，往往比先通分更快。
题 把下面的增广矩阵化为简化阶梯形，并写出解。
解 逐步消元，每一步都注明所用的行变换（Ri 表示第 i 行）：
| 步骤 | 变换后的矩阵 |
|---|---|
| 起始 | 1111102−11−1−112−116−112−13 |
| R2 − 2R1 | 0−3−1−3−21 |
| R3 − R1 | 01−20−4 |
| R4 ＋ R1 | 023013 |
| R2 ↔ R3（换行使主元为 1） | 01−20−40−3−1−3−21023013 |
| R3 ＋ 3R2 | 00−7−3−33 |
| R4 − 2R2 | 007021 |
| R4 ＋ R3 | 000−3−12 |
阶梯形为
回代：−3x4 ＝ −12 ⟹ x4 ＝ 4；−7x3 − 3×4 ＝ −33 ⟹ −7x3 ＝ −21 ⟹ x3 ＝ 3；x2 − 2×3 ＝ −4 ⟹ x2 ＝ 2；x1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝ 10 ⟹ x1 ＝ 1。
答 (x1, x2, x3, x4) ＝ (1, 2, 3, 4)。四个主元，r ＝ 4 ＝ n，故解唯一。
验算：第一式 1＋2＋3＋4 ＝ 10 ✓；第二式 2 −2 ＋3 −4 ＝ −1 ✓；第三式 1 ＋4 −3 ＋4 ＝ 6 ✓；第四式 −1 ＋2 ＋6 −4 ＝ 3 ✓
题 已知 x ＋ y ＝ 3，2x ＋ y ＝ 4。分别讨论 3x ＋ 2y ＝ c 中 c ＝ 7 与 c ＝ 8 时方程组是否有解。
解 前两式的解是 (x, y) ＝ (1, 2)。把它代入第三式：
· c ＝ 7 时，3×1 ＋ 2×2 ＝ 7，恰好成立。此时
· c ＝ 8 时，3×1 ＋ 2×2 ＝ 7 ≠ 8，矛盾。用矩阵看更清楚：
| 步骤 | 矩阵 |
|---|---|
| 增广矩阵 | 113214328 |
| R2 − 2R1，R3 − 3R1 | 1130−1−20−1−1 |
| R3 − R2 | 1130−1−2001 |
最后一行是 (0 0 | 1)，即 0 ＝ 1——矛盾行。此时系数矩阵秩为 2，而增广矩阵秩升为 3：r(A) ＝ 2 < 3 ＝ r(Ab)，无解。
答 c ＝ 7 时有唯一解；c ＝ 8 时无解。
要点：「有没有解」这件事，只看两个秩是否相等。不要急着去解——先比较 r(A) 与 r(Ab)，一步就能定性。这是本题真正想教的习惯。
题 解 x1 ＋ x2 − x3 ＝ 1， 2x1 ＋ 3x2 − x3 ＝ 3，并写出通解。
解 增广矩阵消元：
| 步骤 | 矩阵 |
|---|---|
| 起始 | 11−1123−13 |
| R2 − 2R1 | 11−110111 |
这里 r(A) ＝ r(Ab) ＝ 2 < n ＝ 3，故有无穷多解，含 n − r ＝ 1 个自由参数。取主元落在第 1、2 列，自由未知量是 x3。令 x3 ＝ t：由第二行 x2 ＝ 1 − t；再由第一行
于是通解
答 特解 (0, 1, 0)，齐次方向 (2, −1, 1)；解集是 ℝ3 中过 (0,1,0)、方向 (2,−1,1) 的一条直线。
验算（取 t ＝ −5/2）：(x1, x2, x3) ＝ (−5, 7/2, −5/2)，则 −5 ＋ 7/2 ＋ 5/2 ＝ 1 ✓，2(−5) ＋ 3(7/2) ＋ 5/2 ＝ −10 ＋ 21/2 ＋ 5/2 ＝ 3 ✓
题 求齐次方程组 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝ 0， x1 − x2 ＋ x3 − x4 ＝ 0 的一个基础解系。
解 系数矩阵消元：R2 − R1 得 (0, −2, 0, −2)，即等价于 x2 ＋ x4 ＝ 0。于是阶梯形为
自由未知量为 x3、x4（共 n − r ＝ 4 − 2 ＝ 2 个）。把它们交替换成 1（其余取 0），求出对应的主元未知量：
| 取法 | x2 | x1 | 得到的解 |
|---|---|---|---|
| x3 ＝ 1，x4 ＝ 0 | 由 x2 ＝ −x4 ＝ 0 | 由 x1 ＝ −x2 − x3 − x4 ＝ −1 | ξ1 ＝ (1, 0, −1, 0)（同乘 −1 化简） |
| x3 ＝ 0，x4 ＝ 1 | 由 x2 ＝ −1 | 由 x1 ＝ −x2 − x3 − x4 ＝ 0 | ξ2 ＝ (0, 1, 0, −1) |
答 基础解系为 ξ1 ＝ (1, 0, −1, 0)T，ξ2 ＝ (0, 1, 0, −1)T；通解
验算：ξ1：1＋0＋(−1)＋0 ＝ 0 ✓，1 − 0 ＋(−1) − 0 ＝ 0 ✓；ξ2：0＋1＋0＋(−1) ＝ 0 ✓，0 − 1 ＋ 0 −(−1) ＝ 0 ✓。任意组合 (c1, c2, −c1, −c2) 也都满足两式。
方法论旁注：基础解系不是唯一的（把 ξ1 换成 ξ1 ＋ ξ2 还是一个基础解系），但它的个数唯一，等于 n − r。这就是齐次解空间的维数——「解集的自由度」。
题 讨论 λ 取何值时，方程组
有唯一解、有无穷多解、无解。
解 系数矩阵的行列式为
① 唯一解：det A ≠ 0，即 λ ≠ 1 且 λ ≠ −2。此时 r(A) ＝ r(Ab) ＝ 3 ＝ n，解唯一（可用克拉默法则或直接消元求出）。
② λ ＝ 1：三个方程全都化为 x ＋ y ＋ z ＝ 1，此时
通解为 (x, y, z) ＝ (1, 0, 0) ＋ s(−1, 1, 0) ＋ t(−1, 0, 1)。
③ λ ＝ −2：三式相加。左端系数之和为
而右端之和为 1 ＋ (−2) ＋ 4 ＝ 3 ≠ 0。于是「0 ＝ 3」，矛盾。此时 r(A) ＝ 2 < 3 ＝ r(Ab)，无解。
答 λ ≠ 1, −2 时唯一解；λ ＝ 1 时无穷多解（二维解空间）；λ ＝ −2 时无解。
这道题有一个重要教训：det A ＝ 0 并不能推出无解。当 det A ＝ 0 时，|无解与无穷多解两种情况都可能出现，必须再比较 r(A) 与 r(Ab)。这是初学者最容易踩的坑——第三章学完行列式后，回来重看这一页。
题 判断下面两组方程所对应的三个平面的位置关系。
(甲) x ＋ y ＝ 2，x ＋ z ＝ 2，2x ＋ y ＋ z ＝ 4； (乙) x ＋ y ＋ z ＝ 1，x − y ＋ 2z ＝ 2，2x ＋ 3z ＝ 4。
解（甲） 第三个方程恰是前两个之和（系数与常数都对应相加：1＋1 ＝ 2，1＋0 ＝ 1，0＋1 ＝ 1，2＋2 ＝ 4）。故
解之：由前两式得 y ＝ 2 − x，z ＝ 2 − x。令 x ＝ 1 ＋ t，则
三个平面交于过 (1,1,1)、方向 (1,−1,−1) 的一条直线。
解（乙） 第三式的系数是前两式系数之和（1＋1 ＝ 2，1＋(−1) ＝ 0，1＋2 ＝ 3），但常数 1 ＋ 2 ＝ 3 ≠ 4。于是
几何上，这三个平面两两相交（每两条交线都存在），却没有公共点——它们围成一个「三棱柱」的形状（见图 1-13 右）。
答 (甲) 三平面交于一条直线（无穷多解）；(乙) 三平面两两相交但无公共点（无解）。
判断窍门：看第三个方程是不是前两个的线性组合。若系数是，常数也是 → 无穷多解；系数是而常数不是 → 无解。这正是「秩」在几何上的样子。
题 设 A ＝ 1234。写出「把第二行减去第一行的 3 倍」这个变换所对应的矩阵 E，并验证 EA 正是变换后的矩阵。
解 对单位矩阵 I 做同样的行变换，得到的矩阵就是 E：
验证：
而直接对 A 做该行变换：1234 → 第二行减第一行 3 倍 → 120−2。两者一致。
答 E ＝ 10−31，且 EA 恰为变换后的矩阵。
这个现象对三种行变换都成立：对 A 做一次初等行变换，等于在左边乘上一个对应的矩阵 E——这样的 E 叫初等矩阵。
现代接口：为什么是「左乘」？因为行变换作用在「行」上，而左乘正好按行重新组合。这个观察将在第二章被写成一个漂亮的等式：消元的全过程 ＝ 一串初等矩阵相乘；而这一串的乘积是不是可逆，正好回答了「消元能不能倒着走」——这就是逆矩阵的来历。此外，「用别的东西去乘 A 得到 A 的另一种表示」这一句式，正是态射复合的雏形。
题 用初等行变换求 A ＝ 123253108 的逆矩阵。
解 在 A 右边接上单位矩阵，得到 3×6 的增广矩阵 AI，然后只用行变换把左边化归成 I：
| 步骤 | 矩阵 |
|---|---|
| 起始 | 123100253010108001 |
| R2 − 2R1，R3 − R1 | 12310001−3−2100−25−101 |
| R3 ＋ 2R2 | 12310001−3−21000−1−521 |
| R3 × (−1) | 12310001−3−2100015−2−1 |
| R1 − 3R3，R2 ＋ 3R3 | 120−146301013−5−30015−2−1 |
| R1 − 2R2 | 100−4016901013−5−30015−2−1 |
左边已成单位矩阵，右边就是所求的逆：
验算 A A−1 的第一行第一列：1×(−40) ＋ 2×13 ＋ 3×5 ＝ −40 ＋ 26 ＋ 15 ＝ 1 ✓；第一行第二列：1×16 ＋ 2×(−5) ＋ 3×(−2) ＝ 16 − 10 − 6 ＝ 0 ✓。逐格验算都给出单位矩阵。
注意：若在化归过程中左边出现了全零行，说明 A 不可逆（r(A) < n），此时逆不存在。求逆的过程本身就顺带判定了可逆性——这也是第二章的一条重要结论。
题 求下面五元循环方程组的解：
解（一）整体相加法。把五个方程全部相加。左边每一对相邻未知数各出现一次，故左边等于 2(x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＋ x5)；右边等于 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 15。于是
再用「总和减去相邻两数」的办法逐个求出。由第一式 x1 ＋ x2 ＝ 1，得 x3 ＋ x4 ＋ x5 ＝ 7.5 − 1 ＝ 6.5；而 x4 ＋ x5 ＝ 4，故 x3 ＝ 2.5。依次：
| 未知数 | 算式 | 值 |
|---|---|---|
| x3 | (总和 − (x1＋x2)) − (x4＋x5)? 用 x2＋x3 ＝ 2 逐步递推 | 5/2 |
| x2 | 由 x2 ＋ x3 ＝ 2 | −1/2 |
| x1 | 由 x1 ＋ x2 ＝ 1 | 3/2 |
| x4 | 由 x3 ＋ x4 ＝ 3 | 1/2 |
| x5 | 由 x4 ＋ x5 ＝ 4 | 7/2 |
答 (x1, x2, x3, x4, x5) ＝ (32, −12, 52, 12, 72)。
验算：3/2 − 1/2 ＝ 1 ✓ −1/2 ＋ 5/2 ＝ 2 ✓ 5/2 ＋ 1/2 ＝ 3 ✓ 1/2 ＋ 7/2 ＝ 4 ✓ 7/2 ＋ 3/2 ＝ 5 ✓
解（二）老老实实消元。本题是五元五式，秩为 5，解唯一，所以两种办法必然得到同一答案。但：如果未知数个数改成偶数（例如六元循环），整体相加会给出 2Σ ＝ 奇数，立刻看出无解——而盲目消元可能要算很久才发现。
方法论旁注：这类「循环结构」的方程组有一个漂亮的对称性可以利用。先看结构，再动笔，是本章最想教的一件事；而「看出结构」的能力，正是从本章走向第四章（空间与结构）的桥。
本课练习布式与「遍乘—直除—回代」三动作。每题都写出布式，标出每一步用了哪个动作。
1. 用直除三步解 x ＋ y ＝ 5，2x − y ＝ 4。
提示：用右行首数 2 遍乘左行，再减去右行，得 3y ＝ 6。答：x ＝ 3，y ＝ 2。
2. 解 2x ＋ 3y ＝ 13，4x − y ＝ 5。
提示：先把第二式整行加第一式（或消去 x）。答：x ＝ 2，y ＝ 3。
3. 解 5x ＋ 2y ＝ 24，3x − 2y ＝ 8。本题两式的 y 系数异号，说明为什么「相加」比「通分再减」更快。
答：两式相加直接得 8x ＝ 32，故 x ＝ 4，y ＝ 2。异号系数相加即消元（正负术「异名相益」）。
4. 把下面的布式写成方程组（注意右行为先，四列依次为 x, y, z 的系数与实）：右 (2, 1, 3 | 20)，中 (1, 3, 1 | 13)，左 (3, 1, 2 | 19)。
答：2x ＋ y ＋ 3z ＝ 20；x ＋ 3y ＋ z ＝ 14；3x ＋ y ＋ 2z ＝ 19。（此组方程的解为 x ＝ 3，y ＝ 2，z ＝ 4，可自行验证。）
5. 为什么《九章》一定要「遍乘」之后才「直除」？直接相减会碰到什么困难？
答：两行首数不同，直接相减无法归零。遍乘的目的是把首数凑成同一个公共倍数；古代避分数，故宁可两行都乘。
1. 按正负术计算：(−5) − (−3)；2 − (−7)；0 − 6；(−3) − 0。
答：−2；9；−6；−3。分别用到「同名相除」「异名相益」「正无入负之」「同名相除」。
2. 用消元法解 x − 2y ＝ −3，3x ＋ y ＝ 5，并指出哪一步是「异名相益」。
提示：R2 − 3R1 时 y 格为 1 − 3×(−2) ＝ 7。答：x ＝ 1，y ＝ 2。
3. 「正无入负之」这句话在方程术里对应什么情形？举一例。
答：某格本来为 0，减去一个正数后变成负数，例如 0 − 5 ＝ −5。这保证了消元过程中不会「减不动」。
4. 判断对错并说明理由：「负数只是记号，不参与运算。」
答：错。正负术给出了负数的加减法则，说明负数与正数一样是可以运算的数；把它当作记号的看法属于更早的阶段。
5. 现代接口：正负术涉及 ℤ 的哪几条运算性质？（提示：加法、相反元、零元。）
答：加法交换律与结合律、零元 0、每个数 a 有相反元 −a，且 a ＋ (−a) ＝ 0——这正是「ℤ 是环」的全部要点。
1. 写出方程组 2x1 − x2 ＋ 3x3 ＝ 1，x1 ＋ x3 ＝ 2 的增广矩阵，并指出它的阶数。
答：2−1311012，是 2×4 矩阵（系数部分为 2×3）。第二式中 x2 的系数为 0，必须补上。
2. 由增广矩阵 123014 还原方程组并求解。
答：x ＋ 2y ＝ 3，y ＝ 4，故 y ＝ 4，x ＝ −5。
3. 判断下列方程组是否齐次：① x ＋ y ＝ 0；② 2x − y ＝ 1；③ x1 ＋ x2 ＋ x3 ＝ 0。
答：①③ 齐次（常数项全为 0），② 非齐次。
4. 为什么说「写成增广矩阵」意味着「丢掉了未知数的名字」？这对解题有什么好处？
答：矩阵里只剩系数与常数，未知数只按列位置区分（第几列＝第几个未知数）。好处是可以整体搬动整行，不必反复抄写字母，且便于机器批量执行。
5. 一个 m 个方程、n 个未知数的方程组，其增广矩阵是什么阶数？
答：m × (n ＋ 1)。
1. 对 2−1311012 依次做 R1 ↔ R2 与 R2 − 2R1，写出结果。
答：交换后 10122−131；再 R2 − 2R1 得 10120−11−3。
2. 写出下列各变换的逆变换：① R2 ↔ R3；② R1 × 5；③ R3 ＋ 7R2。
答：① R2 ↔ R3（自身）；② R1 × (1/5)；③ R3 − 7R2。
3. 判断 1234 与 120−2 是否行等价，并说明理由。
答：行等价。R2 − 3R1 就得到后者；反过来用 R2 ＋ 3R1 可还原。
4. 验证「行等价」满足自反、对称、传递三条性质。
提示：自反＝一次变换都不做；对称＝用逆变换倒着做；传递＝把两次变换的过程首尾相接。三条都成立，故它是等价关系。
5. 为什么三种初等行变换都不会改变方程组的解集？出核心论证。（提示：可撤销。）
答：每种变换都有同类的逆变换（见第 2 题），故新旧方程组可以互相推出；互相推出 ⟹ 解集相同。
1. 下列矩阵哪些是阶梯形？哪些是简化阶梯形？
① 123001；② 102013；③ 012103；④ 120000。
答：① 阶梯形；② 简化阶梯形；③ 既不是（首元没有逐行右移）；④ 阶梯形。
2. 把 11131−111 化为简化阶梯形。
答：R2 − R1 得 0−20−2，乘 −1/2 得 0101；再 R1 − R2 得 10120101。
3. 承上题，写出通解。
答：x1 ＋ x3 ＝ 2，x2 ＝ 1，故 (x1, x2, x3) ＝ (2, 1, 0) ＋ t(−1, 0, 1)。
4. 一个矩阵的简化阶梯形唯一，而普通阶梯形不唯一——为什么？（提示：举两个不同的阶梯形是行等价的。）
答：如 1201 与 1202 都是阶梯形且行等价（后者乘 1/2），但不相同。阶梯形只要求「主元逐行右移」，未要求主元为 1、列内其余为 0，故不唯一。
5. 主元的位置由什么决定？
提示：由原矩阵唯一决定——主元列就是那些「不能由左边各列线性表出」的列（详见第四章）。
1. 求秩：① 123246111；② 111123135。
答：① R2 − 2R1 得全零行，r ＝ 2；② R2 − R1 ＝ (0,1,2)，R3 − R1 ＝ (0,2,4) ＝ 2R2，r ＝ 2。
2. 判断方程组是否有解：x ＋ y ＋ z ＝ 1，2x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 3。
答：R2 − 2R1 ＝ (0 0 0 | 1)，r(A) ＝ 1 < 2 ＝ r(Ab)，无解。
3. 证明：对 m×n 矩阵，r(A) ≤ min(m, n)。
提示：非零行数不超过总行数 m，故 r ≤ m；又每个主元占一列且各列不同，故 r ≤ n。
4. 设 A 是 3×3 矩阵且 r(A) ＝ 2。A x ＝ b 解的情形有几种可能？
答：两种——若 r(Ab) ＝ 2 则无穷多解（1 个自由参数）；若 r(Ab) ＝ 3 则无解。不可能有唯一解。
5. 已知 x1 ＋ x2 ＝ 1，x1 − x2 ＝ 3，判断 2x1 ＋ 3x2 ＝ a 何时相容。
提示：前两式给出 x1 ＝ 2，x2 ＝ −1，代入得 a ＝ 4 − 3 ＝ 1。即 a ＝ 1 时相容，否则无解。
1. 求 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＝ 3，x1 − x2 ＋ x3 ＝ 1 的通解。
答：两式相加得 x1 ＋ x3 ＝ 2，相减得 x2 ＝ 1。通解 (2 − t, 1, t)，即 (2,1,0) ＋ t(−1,0,1)。
2. 若一个 4 元方程组有无穷多解且解集含 2 个自由参数，则 r(A) 等于多少？
答：n − r ＝ 2，n ＝ 4，故 r ＝ 2。
3. 写出上题方程组的一个特解与齐次解集的方向（若方程组为 x1 ＋ 2x2 ＋ 3x3 ＋ 4x4 ＝ 1）。
答：特解可取 (1, 0, 0, 0)；齐次方向为 (−2, 1, 0, 0)、(−3, 0, 1, 0)、(−4, 0, 0, 1)。
4. 为什么「两个解之差是齐次解」？出推导。
答：设 x, x′ 都是 Ax ＝ b 的解，则 A(x − x′) ＝ Ax − Ax′ ＝ b − b ＝ 0，故之差是齐次解。
5. 判断题：无穷多解时，解集的形状一定是「直线」。
答：错。自由参数有几个，就张开几维：1 个参数是直线，2 个参数是平面，一般地是 n − r 维的仿射子空间。
1. 求 x1 ＋ 2x2 − x3 ＝ 0，2x1 ＋ x2 ＋ x3 ＝ 0 的基础解系。
答：R2 − 2R1 ＝ (0, −3, 3)，故 x2 ＝ x3，x1 ＝ −x3。基础解系 {(−1, 1, 1)}，维数 1。
2. 齐次方程组一定有解吗？一定有非零解吗？
答：一定有解（零解）。但不一定有非零解——当 r(A) ＝ n 时只有零解。
3. 证明：方程个数 m 小于未知数个数 n 的齐次方程组必有非零解。
提示：r(A) ≤ m < n，故 n − r > 0，存在自由未知量，取它非零即得非零解。
4. 齐次解集为什么对加法与数乘封闭？这个性质在第四章叫什么？
答：A(η1＋η2) ＝ 0，A(kη) ＝ 0。这样的集合叫子空间（这里是解空间，第五章称核）。
5. 基础解系是否唯一？它的个数是否唯一？
答：基础解系不唯一（可作线性替换），但所含向量个数唯一，等于 n − r。
1. 讨论 a：x ＋ y ＋ z ＝ 1，2x ＋ 3y ＋ az ＝ 3，x ＋ ay ＋ 3z ＝ 2。
提示：系数行列式 ＝ a(3 − a)。答：a ≠ 0, 3 时唯一解；a ＝ 0 与 a ＝ 3 时均无解（消元后出现 (0 0 0 | c ≠ 0)）。
2. 讨论 k：x ＋ y ＝ 1，kx ＋ y ＝ 2。
答：k ≠ 1 时唯一解 (1/(1−k), −k/(1−k))；k ＝ 1 时第一式与第二式矛盾（1 ＝ 2），无解。此题不可能出现无穷多解。
3. 齐次方程组 x ＋ y ＋ kz ＝ 0，x ＋ ky ＋ z ＝ 0，kx ＋ y ＋ z ＝ 0 何时有非零解？
提示：系数行列式 ＝ −(k − 1)2(k ＋ 2)。答：k ＝ 1 或 k ＝ −2 时有非零解；其余情形只有零解。
4. 由第 1、3 题总结：det A ＝ 0 能推出什么？不能推出什么？
答：能推出「解不唯一」（无解或无穷多解）；不能推出「无解」，也不能推出「无穷多解」——必须再比较 r(A) 与 r(Ab)。
5. 几何解释：第 2 题中 k ＝ 1 时两条直线的位置关系是什么？
答：两条平行而不重合的直线（x ＋ y ＝ 1 与 x ＋ y ＝ 2），故无交点。
1. 判断两条直线的位置关系：① x ＋ y ＝ 1，2x ＋ 2y ＝ 2；② x ＋ y ＝ 1，2x ＋ 2y ＝ 3；③ x ＋ y ＝ 1，x − y ＝ 3。
答：① 重合（无穷多解）；② 平行不重合（无解）；③ 交于一点 (2, −1)。
2. 三个平面 z ＝ 0，z ＝ 1，x ＋ y ＋ z ＝ 2 有公共点吗？
答：没有。z ＝ 0 与 z ＝ 1 就是两个平行平面，方程组不相容，无解。
3. 一个三元方程组只有两个方程，其解集在 ℝ3 中是什么形状？
答：两个平面（一般位置）相交成一条直线——故解集是 1 维仿射子空间，含 1 个自由参数。
4. 在 ℝ4 中，方程 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝ 0 的解集是几维的？它叫什么？
答：3 维，是 ℝ4 中的一个超平面（过原点者即子空间）。
5. 用几何语言重述定理 1.6（解集结构定理）。
答：非齐次方程组的解集，是把齐次解空间（过原点的子空间）沿某个特解平移过去的仿射子空间；平移向量不同，集合也不同，但方向子空间只有一个。
1. 解方程组并写出通解：x1 ＋ 2x2 ＋ 3x3 ＝ 6，2x1 ＋ 3x2 ＋ x3 ＝ 7，3x1 ＋ x2 ＋ 2x3 ＝ 8。
提示：三式相加得 6(x1 ＋ x2 ＋ x3) ＝ 21，即 Σx ＝ 3.5，再逐式相减。答：(x1, x2, x3) ＝ (116, 56, 56)。
2. 已知 A 为 4×5 矩阵，r(A) ＝ 3。问 A x ＝ b 有多少个自由参数（若有解）？齐次方程组 A x ＝ 0 的解空间几维？
答：n − r ＝ 5 − 3 ＝ 2 个自由参数；齐次解空间 2 维。
3. 证明 n 元齐次方程组若 r(A) < n，则任意两个解的和仍是解，且任一解的 k 倍仍是解。
提示：直接按定义计算 A(η1＋η2) 与 A(kη)；这就是「解集是子空间」的证明。
4. 用一行文字概括本章：从「术」到「秩」，中间经过了哪几步？
答：布式（术）→ 增广矩阵（记）→ 初等行变换（干）→ 阶梯形（形）→ 主元与秩（数）→ 解集结构（理）。
5. 开放题：如果让把「张苍法」教给一台只会做加、减、乘、除的机器，会写成哪几条指令？（仿《九章》术文的写法。）
参考：① 找到最左边未处理的列；② 若该列全为 0，移到下一列；③ 用换行把该列非零的数移到当前行；④ 用消去把本行以下该列全部变 0；⑤ 若还有下一列则回到 ①；⑥ 检查有无 (0 ⋯ 0 | d ≠ 0)；⑦ 自下而上回代。
做完本章全部习题之后，花二十分钟，把下面的表填一遍。填表本身就是最好的复习。
| 错误类型 | 典型表现 | 纠正要点 | 本章对应页 |
|---|---|---|---|
| 动作错 | 遍乘时漏乘常数项 | 整行一起乘，「实」也是数 | 1.3 / 例1 |
| 符号错 | 异号相减时忘记「异名相益」 | 异号一律相加 | 1.5 / 例3 |
| 判据错 | 见 det A ＝ 0 就写「无解」 | 必须比较两个秩 | 例8 / 习题九 |
| 结构错 | 把自由未知量的个数算错 | 自由度数 ＝ n − r | 1.13 / 例6 |
| 表述错 | 通解写成「一列数值」 | 通解必须写成「特解 ＋ 齐次组合」 | 1.14 / 例6 |
章复盘三问
① 能不能算：随便给一个三元方程组，我能不能在五分钟内判断它有唯一解、无穷多解还是无解？
② 能不能说：我能不能用一句话说清「秩」是什么，以及它为什么是解集的「不变量」？
③ 能不能连：我能不能把本章的「布式—矩阵—秩」这一串，连到《九章》的原文与几何图像上，各举一例？
三问都能答上，再进入第二章。若有一问答不上，回到对应的页重读一遍——不要带着漏洞往前走，因为第二章会把本章的一切正式对象化，漏洞在那里会放大。
《九章算术》的方程章写道：「以右行上禾遍乘中行而以直除。」这一句话里没有一个字母，没有一条公理，却把一个可以无条件交给别人照做的方法交代完了。两千年前的书吏照它做，两千年后的在纸上照它做，今天的计算机也照它做——只是计算机每秒做十亿次。
这就是算法的品格：它不依赖做的人是否聪明，只依赖做的人是否听话。数学史上，能把一件事写成「术」的时刻，往往比证明它更重要——因为写成了术，这件事就离开了发明者的头脑，成为公共财产。
札记一
一、古代的那一端。《九章》方程术的三个动作（遍乘、直除、回代），合起来解决了一类问题：方程个数等于未知数个数、且解唯一。它的边界很清楚——古人没有处理「无解」与「无穷多解」的系统语言。
二、中间的一千八百年。宋元数学家把「递推」这一思路推到极致：贾宪的「增乘开方法」把开方也变成了一套可递推的程序（十一世纪），比西方同类方法早约七百年。「增乘」二字，说的正是「一次次乘上去，一层层减下来」——与「遍乘直除」的精神完全一致。
三、现代的这一端。1809 年高斯把消元法用于天体轨道计算，此后它成为数值线性代数的第一个标准算法。今天，当用手机算一个有上千个变量的最小二乘问题，底层跑的仍是「逐列消去」。三千年过去了，动的只是手，不是心。
与现代数学的接口
① 算法的不变量：消元过程千变万化，但「秩」永远是那个数。这一「过程变、本质不变」的模式，是本书全部内容的骨架。
② 复杂度的视角：现代数学不仅问「能不能算」，还问「要算多久」。n 元方程组的标准消元需要约 n3/3 次乘法，这个数字在第二章「实验」页会亲手测一遍。
③ 从算法到结构：消元法把「解方程」变成「做行变换」；而一旦把行变换看作可乘的对象，我们就从算法走进了结构（第二章）。
四、给留的三问。① 如果《九章》的作者能看到矩阵，他会用哪个词称呼「秩」？② 消元法有没有「更好」的版本？（提示：想想能不能只消到差不多就停。）③ 一个算法被两个文明各自发现，说明了算法具有什么性质？
秩不是一个算出来的东西，而是一个数出来的东西：数主元的个数。这样一个如此简单的计数，却能精确定住一个方程组的全部命运——有解无解、解集的维数、解的个数。数学里最深刻的量，往往就是这样数出来的。
秩的思想在二十世纪长成了一整套语言：矩阵的秩、映射的秩、群的秩、自由模的秩……同一个词被用在许多地方，因为它们背后是同一种追问：这个对象「有多少个独立的方向」？
札记二
一、秩的三副面孔。在本章，秩是「主元的个数」；在第四章，秩会变成「像空间的维数」；在第五章，秩会变成「线性映射的秩」——三者是同一个数。这种「一个数、多种说法」的现象，是本书反复出现的主题：找到不变量，然后反复换角度看它。
二、为什么它不变。初等行变换只做三件事：换位置、同乘非零数、两行相消。它们都不会让一个「独立的方向」变成「不独立的」，也不会反过来。所以秩是不变量。一个量是不是不变量，要看它在允许的操作下变不变——这句话在后两册会以「群作用下的不变量」的面貌再次出现。
三、从计数到分类。有了秩，矩阵就能初步分类：m×n 矩阵按秩分成 min(m,n)＋1 类，秩相同者互为行等价（这一结论将在第二章的「等价标准形」里完成）。分类问题的第一步，永远是找到不变量。
与现代数学的接口
① 概念史：秩（rank）一词最早出自十九世纪对二次型与行列式的研究（Sylvester、Frobenius 等人），但它的实际使用早在《九章》的「直除」里就有了雏形——古人不知道自己在数主元，却在数。
② 前置预告：秩定理 dim V ＝ dim ker φ ＋ dim im φ（第五章）把本章的 n − r 提升为一条普遍公式。
③ 跨学科：数据科学中的「降维」「主成分」、图像压缩中的「低秩近似」，用的都是同一个数的现代版本。
四、给留的三问。① 一个矩阵的秩，能不能完全由它的行列式信息决定？（提示：子式。）② 「独立方向」这个说法，怎样才算说得严格？③ 如果允许的操作换一组（例如只准换行、不准倍乘），秩还会不变吗？
本章的知识图谱，可以画成四个层次。它们与自己做的习题一一对上号。
方法表：拿到一个线性方程组，按这个次序做。
| 步 | 动作 | 目的 |
|---|---|---|
| 1 | 写出增广矩阵 Ab（缺项补 0） | 把问题变成数表 |
| 2 | 用初等行变换化到阶梯形 | 看清主元的个数与位置 |
| 3 | 比较 r(A) 与 r(Ab) | 判定：无解 / 有解 |
| 4 | 有解时数自由未知量，得 n − r | 判定：唯一解 / 无穷多解 |
| 5 | （需要时）继续化到简化阶梯形或回代 | 把解写出来 |
| 6 | 通解写成「特解 ＋ 齐次组合」 | 把解集的结构写清楚 |
做题的次序很重要。先在阶梯形上做判定（第 3、4 步），最后才做回代（第 5 步）——许多学生一上来就急着回代，结果算到一半才发现题目无解，白白费力。这与《九章》的次序是一样的：先「遍乘直除」把形状弄出来，再「回代」收尾。
消元法的精髓，一句话就能说完：用不改变答案的操作，把问题一点一点变简单。
这句话超出了线性方程组。多项式求根时的因式分解、解方程时的变量替换、几何证明中的辅助线、算法设计里的分治——它们的共同点都是：不改变目标，只改变形式。数学就是在这种「转形不转义」的动作里前进的。
思想卡
为什么第一原则是它？因为它是唯一一个既有古代实例、又能无限延伸的原则。它有三个特点，使它足够当得起「第一」：
它在后续各章的位置。第二章：把「行操作」升级为「矩阵乘法」；第三章：把「解何时唯一」升级为「行列式」；第四章：把「解集的形状」升级为「子空间」；第五章：把「解方程组」升级为「求原像」。每一章都在做同一件事：给消元这个动作，配上更合适的语言。
这个动作的形状：找一个可以消掉的东西，消掉它，然后重来。当在第五章看到「同态基本定理」时，这张卡——那也是「消掉核，剩下的就同构」。
《九章算术》方程章共十八题。下面四题按方程章的题型仿拟（数字已化为今式），都是「方程个数＝未知数个数」的标准型。「张苍法」复原全过程，并仿《九章》的写法留下「术」。
挑战 1.（对称型）4x ＋ y ＝ 100，x ＋ 4y ＝ 100。
答：x ＝ y ＝ 20。此题结构对称，可用「两式相加」得快解：5(x ＋ y) ＝ 200 ⟹ x ＋ y ＝ 40，再与任一式联立。
挑战 2.（全列等和型）4x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 100，3x ＋ 4y ＋ 2z ＝ 100，2x ＋ 2y ＋ 5z ＝ 100。
提示：三列系数之和都是 9，故三式相加得 9(x ＋ y ＋ z) ＝ 300 ⟹ x ＋ y ＋ z ＝ 100/3；再用任一式相减，可得 x ＝ y ＝ z。答：x ＝ y ＝ z ＝ 1009（《九章》以分数表示）。
挑战 3.（正负术型）2x ＋ y ＝ 9，x − 2y ＝ −3。
答：x ＝ 3，y ＝ 3。第二式的负系数正是「正负术」出现的原因：消元时要用「异名相益」。
挑战 4.（三元全系数型）x ＋ 2y ＋ 3z ＝ 20，2x ＋ y ＋ 3z ＝ 22，3x ＋ 2y ＋ z ＝ 24。
提示：三式相加得 6(x ＋ y ＋ z) ＝ 66 ⟹ x ＋ y ＋ z ＝ 11，再逐式相减。答：x ＝ 5，y ＝ 3，z ＝ 3（回代验证：20 / 22 / 24 全对）。
竞赛要求：① 每题都要写出布式；② 至少一题要用「遍乘—直除」古法，不许直接用现代消元；③ 最后把四个答案与《九章》原文核对，并做一次回代检验。做完这一组，就把「张苍法」真正走了一遍。
这一页不要求算出数值，而要求想清楚。四个问题，可以讨论、可以写短文。
问题 1. 步数。解一个 n 元 n 式方程组，消元大约需要多少次乘法？把估算法写成公式，并解释为什么是「大约 n3/3」。
提示：第一列要消掉 n−1 行，每行约 n 次乘；第二列 n−2 行，每行约 n 次乘……总数约 n(n−1)(n+1)/3 ≈ n3/3。
问题 2. 更省的办法。如果方程组右端只有一个常数列（而不是许多列），有没有办法把回代也省掉？（提示：想想「简化阶梯形」与直接读答案。）
提示：把矩阵化为简化阶梯形（RREF），解可以直接读出，不必回代。代价是消元时还要往上消一遍，总步数略增，但节省了回代的组织的麻烦，且便于批处理。
问题 3. 不许换行行不行？如果禁止使用「换行」这一操作，会出现什么麻烦？（提示：想想主元位置上恰好是 0 的情形。）
提示：若某列当前行的元素为 0 而下面有非零元素，不换行就无法继续消元。故换行是保证算法「总能走下去」的必要保障。
问题 4. 三千年后的比较。《九章》为避免分数而采用「遍乘」，现代算法却允许分数。分析：在古代算筹上，分数会带来什么实际困难？这一选择如何影响了算法的写法？
提示：算筹上分数的分母分子要另布一处，通分、约分都要另占版面与手序，极易出错；故古人宁可「多乘几次」换取「不出现分数」。这说明算法的形态受制于它的实施工具。
讨论提示：这四问没有唯一正确答案，但要能说出理由。第四章「实验」页会真的跑一遍，用数据检验估计。
本章的算法可以写成十几行程序。照着下面的伪代码实现一遍（用熟悉的任何语言），然后完成三个测量。
算法 1.1（张苍法 / 直除—消元）
输入：增广矩阵 M（m 行，n＋1 列），当前处理行 r ＝ 1。
① 从左到右找第一个「第 r 行及其下方」存在非零元素的列 c；若不存在，转到 ④。
② 把该列里第 r 行以下第一个非零元素所在的行换到第 r 行（换行）。
③ 对 i ＝ r＋1, …, m：令 k ＝ M[i][c] / M[r][c]，做 Ri − k Rr（消去）。计一次乘法。然后 r ← r＋1，回到 ①。
④ 若 r <＝ m，则检查第 r 行以下是否有形如 (0 ⋯ 0 | d ≠ 0) 的行：有则输出「无解」。
⑤ 自下而上回代（回代），每个主元行解出一个未知数。
测量一：步数。对 n ＝ 10, 20, 40, 80 的随机 n×n 方程组，统计「消去步」中乘法执行的次数，与理论值 n3/3 比较。
| n | 实测乘法次数（约） | 理论值 n3/3 | 比值 |
|---|---|---|---|
| 10 | 333 | ||
| 20 | 2667 | ||
| 40 | 21333 | ||
| 80 | 170667 |
测量二：精度。用浮点数与用有理数（分数）做同一道题，比较结果的误差。想一想：《九章》为什么宁可用分数？（提示：算筹上不会「舍入」，但会「通分爆炸」。）
测量三：失败情形。构造一个无解的方程组，检查程序能否在第 ④ 步正确报出「无解」；再构造一个有无穷多解的，检查它是否正确地留下了自由未知量。
实验报告要求：三张表、一段结论、一句疑问。注意：能跑通不算完，能解释才算完。把实测次数与 n3/3 的偏差说清楚——是常数因子、还是量级不同？
（满分 100 分，建议 60 分钟闭卷）
一、填空（每空 5 分，共 30 分）
1. 《九章算术》方程章的消元算法由三步组成：＿＿、＿＿、＿＿。
2. 增广矩阵 Ab 的系数部分有 m 行 n 列，则常数项列有＿＿列，整个矩阵是＿＿阶。
3. 方程组 Ax ＝ b 有解，当且仅当 r(A) ＝ ＿＿。
4. 若 n 元方程组有无穷多解且 r(A) ＝ r，则自由参数有＿＿个。
参考答案：1. 遍乘、直除、回代；2. 1，m×(n＋1)；3. r(Ab)；4. n − r。
二、计算（20 分）解方程组并写出通解：x1 ＋ 2x2 ＋ x3 ＝ 4，2x1 ＋ x2 − x3 ＝ 1。
参考：R2 − 2R1 ＝ (0, −3, −3 | −7)，即 x2 ＋ x3 ＝ 7/3；x1 ＝ 4 − 2x2 − x3。取 x3 ＝ t，通解 (4 − 2(7/3 − t) − t, 7/3 − t, t) ＝ (−2/3 ＋ t, 7/3 − t, t)。
三、判定（20 分）已知 A 为 3×4 矩阵，r(A) ＝ 2。就 r(Ab) 的取值，讨论 Ax ＝ b 的解的情形。
参考：r(Ab) ＝ 2 时有无穷多解（n − r ＝ 2 个自由参数）；r(Ab) ＝ 3 时无解。（r(Ab) 不可能小于 2，也不可能大于 3。）
四、论证（30 分）证明：设 x0 是 Ax ＝ b 的一个解，则 Ax ＝ b 的全部解恰为 x0 ＋ η（η 取遍 Ay ＝ 0 的解）。
参考：两向包含。① 若 Aη ＝ 0，则 A(x0＋η) ＝ b ＋ 0 ＝ b；② 若 Ax ＝ b，令 η ＝ x − x0，则 Aη ＝ b − b ＝ 0，故 x ＝ x0 ＋ η。∎
评讲要点：第一大题考记忆与约定，第二、三题考判定流程（先秩后解），第四题考结构。若第四题写不出「两个方向都要证」，说明还没有真正理解解集的结构——回到 1.14 节重读一遍。
上一章结束时，我们手里剩下的东西是这样一块盘面：
| 3 | 2 | 1 | 39 |
| 0 | 5 | 1 | 24 |
| 0 | 0 | 36 | 99 |
回看整个消元过程，有两点值得停下来想一想。第一，无论中间怎么乘、怎么减，这块盘面的形状始终没变——一直是三行。第二，被动手脚的那些数，本身属于「谷的捆数」和「总斗数」，可算法从头到尾没有用过「谷」这个概念：它只知道「第一格的数、第二格的数」。
换句话说，算法真正处理的对象，并不是谷，而是一个按位置排列的数表。既然如此，我们就不必等着一道应用题出现才动笔——可以把这个数表本身当作一个数学对象来研究，给它一个名字，研究它自己有哪些运算、哪些性质。
这个对象叫矩阵（matrix）。名字来自拉丁语，意思是「母体」：1850 年前后，西尔维斯特（J. J. Sylvester）需要一个词来称呼「行列式从其中生出来的那个数表」，便借了这个词。真正把矩阵当作独立对象并定义它自己的乘法，是凯莱（A. Cayley）1858 年的长文《矩阵论备忘录》。中文译名很讲究：矩是木匠画方格的曲尺，阵是队列——一个管「格子」，一个管「排布」。
本章路线
① 立对象（2.1–2.3）：定义矩阵、相等、加法与数乘，把它认成𝔽上的向量空间；
② 立乘法（2.4–2.8）：从「复合两次变换」逼出乘法规则，讨论结合律、非交换、转置、分块；
③ 立逆与秩（2.9–2.14）：单位矩阵、逆矩阵、高斯—若尔当求逆、可逆的等价刻画、秩的两种面孔；
④ 立结构（2.15–2.18）：初等矩阵、等价标准形、矩阵环与一般线性群、以及「矩阵乘法就是态射的复合」这一现代接口。
定义 2.1（矩阵） 设 m, n 是正整数，𝔽 是数域。把 m·n 个数排成 m 行 n 列的矩形数表，称为 𝔽 上的一个 m × n 矩阵：
A =［aij］m × n， aij ∈ 𝔽（1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n）。
全体 m × n 矩阵的集合记作 Mm×n(𝔽)。当 m = n 时称为 方阵，n 称为它的 阶；Mn(𝔽) 即 n 阶方阵之集。所有元素为 0 的矩阵记作 O（或 Om×n），称为 零矩阵。把 A 的每个元素取相反数，得 负矩阵 −A。
记号 aij 里，第一个下标是行号，第二个是列号。这一点不要与「矩阵的型 m × n」混淆：m × n 是先说行数、后说列数，与下标顺序一致。一个 m × n 矩阵的第 i 行是一个 1 × n 矩阵，第 j 列是一个 m × 1 矩阵，分别称为 行向量与列向量。本书一律把向量写成列向量。
定义 2.2（相等） 两个矩阵相等，是指它们同型（行数相同、列数相同）且对应位置的元素全相等。同型是前提：一个 2 × 3 矩阵与一个 3 × 2 矩阵谈不上相等或不相等。
为什么要强调「同型」？因为本章的对象是「有形状的东西」。一个对象的第一个属性就是它的形状；把「形状」写进定义，后面所有运算都必须先过这一关——这正是矩阵语言严谨性的起点。
最自然的两个运算是「两个同型矩阵相加」与「把矩阵按倍数放大」。它们恰好对应消元过程中的两种动作：把两次「相加」叠在一起，把一次「相乘」放大若干倍。
定义 2.3（矩阵加法） 设 A = ［aij］，B = ［bij］ 同为 m × n 矩阵。规定
A + B = ［aij + bij］。
定义 2.4（数乘） 设 λ ∈ 𝔽，规定
λA = ［λ aij］。
两个定义都只有一句话：逐位进行。所以加法与数乘的运算律，全部可以从数域 𝔽 上的同名运算律「逐位搬过来」。
定理 2.1 （Mm×n(𝔽)，加法，数乘）构成数域 𝔽 上的一个向量空间。具体地说，对任意 A, B, C ∈ Mm×n(𝔽) 与 λ, μ ∈ 𝔽：
| 编号 | 律 | 为什么成立 |
|---|---|---|
| (1) | A + B = B + A | 逐位加法交换 |
| (2) | (A + B) + C = A + (B + C) | 逐位加法结合 |
| (3) | A + O = A | 同位数加零不变 |
| (4) | A + (−A) = O | 同位数加相反数得零 |
| (5) | λ(A + B) = λA + λB | 分配律逐位成立 |
| (6) | (λ + μ)A = λA + μA | 分配律逐位成立 |
| (7) | λ(μA) = (λμ)A | 乘法结合逐位成立 |
| (8) | 1 · A = A | 1 逐位乘不变 |
八条律全部验毕，故 Mm×n(𝔽) 是 𝔽 上的向量空间。
现代接口：定理 2.1 是本册第一次出现「向量空间」这个词。它出现的姿态：不是先从公理定义的抽象对象出发，而是先有一堆具体的数表，再发现八条律都成立，才把它认成一个向量空间。第四章将反过来，从八条律出发定义向量空间——那时会知道，为什么「先见面，后命名」的顺序更易学，而「先命名，后见面」的顺序更易推。
加法可以逐位，乘法为什么不也逐位？因为矩阵的乘法不是为「数表」发明的，而是为「复合」发明的。先看一个具体场景。
设一道题里的未知量是 x1, x2。第一步变换把它们变成 y1, y2：
y1 = 5x1 + 6x2， y2 = 7x1 + 8x2；
第二步变换再把 y 变成 z：
z1 = y1 + 2y2， z2 = 3y1 + 4y2。
如果写成矩阵，两次变换分别是 B =5678与 A =1234。现在问：能不能直接把「x 到 z」写成一块表？把 y 代入即可：
z1 = (5x1 + 6x2) + 2(7x1 + 8x2) = 19x1 + 22x2，
z2 = 3(5x1 + 6x2) + 4(7x1 + 8x2) = 43x1 + 50x2。
结果这块表是19224350。它和 A、B 的逐位乘积5122132完全不同。可见如果希望「表的乘法」对应「变换的复合」，乘法规则就只能有一种——就是下面这一条。
定义 2.5（矩阵乘法） 设 A = ［aik］ 是 m × s 矩阵，B = ［bkj］ 是 s × n 矩阵。规定乘积 AB 是 m × n 矩阵 C = ［cij］，其中
cij = ai1b1j + ai2b2j + ⋯ + aisbsj = Σk=1s aikbkj。
口诀：A 的第 i 行「碰」B 的第 j 列，得 C 的第 (i, j) 位。
型必须对上：(m × s)·(s × n) = m × n。左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数，这个中间数 s 在结果里「消失」了。所以 AB 有意义并不保证 BA 有意义——这一点在例题 1 里有型检查表。
注意图 2-4 里被高亮的三个色块共一个下标对 (i, j)：A 的第 i 行、B 的第 j 列、C 的 (i, j) 位。整条乘法规则的全部内容，就是这「三点共线」。
把 2.4 的例子抽象一下。一个 m × n 矩阵 A 可以看作一台机器：喂进一个 n 维列向量 x，吐出一个 m 维列向量 Ax。这正是第一章里「增广矩阵」做的事：系数块 A 把未知量列 x 变成「左边那一列」，再加上常数列 b，就是整个方程组。
定义 2.6（矩阵诱导的映射） 设 A ∈ Mm×n(𝔽)。规定
fA: 𝔽n → 𝔽m， fA(x) = Ax，
其中 Ax 按定义 2.5 计算（把 x 看作 n × 1 矩阵）。
现在设 A 是 m × s 矩阵、B 是 s × n 矩阵。那么 fB 把 𝔽n 送进 𝔽s，fA 再把 𝔽s 送到 𝔽m，两者可以接起来：
𝔽n —fB→ 𝔽s —fA→ 𝔽m， x ↦ Bx ↦ A(Bx)。
把括号展开，A(Bx) = (AB)x = fAB(x)。左边这个等式正是乘法结合律的特例（2.6 节将证明它对一般矩阵成立）。于是我们得到一句非常重要的话：
乘法即复合 fA ∘ fB = fAB。
「先做 B，再做 A」这台机器，就是「乘 AB」这台机器。
顺便解释一个初学者最常见的困惑：为什么 AB 表示「先 B 后 A」，读起来是反的？因为函数复合本来就写作 (A ∘ B)(x) = A(B(x))：紧贴 x 的那个先动手。矩阵乘法只是这个书写习惯的搬运工。次序不是「反」，是函数记号的次序。
再看一个例子，说明次序为什么真的有内容。在平面 ℝ2 上取
R =0−110（逆时针转 90°）， S =1101（沿水平方向剪切）。
计算得
RS =0−111， SR =1−110， RS ≠ SR。
先剪切再旋转，与先旋转再剪切，得到的是两个不同的变换。这不是计算的疏忽，而是几何的事实——下一节把它写成一条定理。
定理 2.2（结合律） 设 A ∈ Mm×s(𝔽)，B ∈ Ms×t(𝔽)，C ∈ Mt×n(𝔽)，则
(AB)C = A(BC)。
证明 两边都是 m × n 矩阵，只需比第 (i, j) 位。(AB)C 的该位是 Σk (Σl ailblk) ckj，A(BC) 的该位是 Σl ail (Σk blkckj)。两者都等于有限和 Σk,l ailblkckj——只是把「先对 l 求和」与「先对 k 求和」换了顺序。有限求和可以换序，故两边相等。∎
证明只用了两件事：有限求和的换序，以及数域上乘法的结合律。这也提示了结合律的「真身」：它是机器串联天然可结合的代数影子——三台机器串起来，先接前两台还是先接后两台，结果当然一样。
定理 2.3（非交换性与零因子的存在）
（1）矩阵乘法一般不可交换：存在 A, B 使 AB ≠ BA。
（2）存在零因子：存在 A ≠ O、B ≠ O 而 AB = O。
（3）无消去律：AB = AC 且 A ≠ O，不能推出 B = C。
证明 （1）取 2.5 节的 R, S，已算出 RS ≠ SR。（2）取 A =0100，B =1000，则 AB = O。（3）由（2）取 A 如（2）中的 A，B = O，C =1000，则 AB = O = AC 而 B ≠ C。∎
把三条放在一起看，得到的是一句「负面结论」：Mn(𝔽) 不是我们熟悉的那种东西——不是域（有零因子），不能随便约分。但负面结论的另一面就是正面结论：正因为乘法不交换，它才能装下「次序有内容」的现象（旋转与剪切、下节会讲的欧氏变换群）。2.17 节会为它找到正确的名字：环，而且是有零因子的非交换含幺环。
定义 2.7（转置） 设 A = ［aij］∈ Mm×n(𝔽)。把 A 的行换成同号的列，所得 n × m 矩阵称为 A 的转置，记作 At：
At = ［aji］n×m，即 (At)ij = aji。
几何上，转置就是沿主对角线（从左上到右下那条）翻折。主对角线本身被翻折到自身，所以对角线上的元素不动，a12 与 a21 互换，依此类推。
定理 2.4（转置的运算律） 设型号使下列运算有意义，则
（1）(At)t = A； （2）(A + B)t = At + Bt； （3）(λA)t = λAt；
（4）(AB)t = BtAt——注意次序颠倒。
证明（4） 左边是 n × m 矩阵，右边也是。左边第 (i, j) 位是 (AB) 的第 (j, i) 位，即 Σk ajkbki；右边第 (i, j) 位是 Bt 第 i 行碰 At 第 j 列，即 Σk (bt)ik(at)kj = Σk bkiakj。两者逐项相等（乘法的可交换性在 𝔽 里仍可用）。∎
定义 2.8（对称与反对称） 设 A 为 n 阶方阵。若 At = A，称 A 为对称矩阵；若 At = −A，称 A 为反对称矩阵（此时对角线元素必为 0）。
一个随手可得的例子：对任意 m × n 矩阵 A，AAt 与 AtA 都是对称矩阵。因为由定理 2.4(4)，(AAt)t = (At)tAt = AAt。这个结论在下册欧氏空间与二次型两章都要用：对称矩阵是度量与二次形式的载体。
现代接口 (·)t: Mm×n(𝔽) → Mn×m(𝔽) 是一个向量空间的同构，但它把乘法反过来：(AB)t = BtAt。这种「保持结构但颠倒复合」的映射，在范畴论里叫反变的。转置是本书遇到的第一个反变构造；下册讲对偶空间时还会遇见它。
一块大的矩阵，如果用几条横线和几条竖线切开，就得到若干小块；把每小块当作一个「元素」，得到的是一块以矩阵为元素的矩阵。
定义 2.9（分块） 把 m × n 矩阵 A 用横线、竖线分成若干小矩阵 Aαβ，称为 A 的一个分块，写作 A = ［Aαβ］。每个 Aαβ 称为一个块。
分块的意义在于：把大的对象拆成小的对象，让「结构中重复出现的图案」显形。特别地，当分块一致时，加、数乘与乘法都可以照原样在块上执行：
定理 2.5（分块运算的合法性） 设 A = ［Aαβ］、B = ［Bαβ］ 分块方式相同，则 A + B = ［Aαβ + Bαβ］、λA = ［λAαβ］。
设 A 的列切法与 B 的行切法一致（即能相乘），则
AB = ［Σγ AαγBγβ］。
理由 每一项 Σγ AαγBγβ 是原来那串数的一个「分组求和」；分组不改变总和。型也对得上：块的列数等于块的行数，故块乘法有意义。∎
分块乘法最常见的用途，是把「三角块」矩阵当作一个「数」来用。看这个恒等式：
| I | O |
| A | I |
| I | B |
| O | I |
| I | B |
| A | I + AB |
右下角：它不是 AB，而是 I + AB。因为右下块由 A·B + I·I 两项相加得到。这个「多出来的 I」是本知识点最经典的陷阱，例题 2 与习题课三都会回头检查它。
分块是本书最实用的技术之一。它让「把 n 阶问题拆成几个小阶问题」成为可能：准对角块矩阵的行列式等于各块之积，准对角块矩阵的逆等于各块之逆——这类结论在第三章与下册若尔当标准形中会反复出现。技术上更值得注意的是：分块乘法与普通乘法在形式上完全同形，这正是「以对象为元素」这种做法的威力。
我们熟悉的数里有一个特殊角色：1。乘任何数都不改变那个数。矩阵世界里也有这样一个角色。
定义 2.10（单位矩阵） n 阶方阵 In = ［δij］ 称为 n 阶单位矩阵，其中
δij = 1（若 i = j）， δij = 0（若 i ≠ j）。
记号 δij 称为克罗内克（L. Kronecker）符号。若 λIn（λ ∈ 𝔽），称为 数量矩阵：对角线上全是 λ，其余位置全是 0。
定理 2.6 设 A ∈ Mm×n(𝔽)，则
（1）AIn = A，ImA = A——单位矩阵充当乘法的「1」；
（2）数量矩阵与任何同阶方阵可交换：(λI)A = A(λI) = λA。
证明 （1）AIn 的第 (i, j) 位是 Σk aikδkj；由于只有 k = j 时 δkj = 1，求和只剩一项 aij。（2）由数乘的定义与（1）立刻得到。∎
有了单位矩阵，就可以像讨论数的多项式一样讨论矩阵的多项式。设 A 为 n 阶方阵，
f(A) = a0I + a1A + a2A2 + ⋯ + amAm。
这里常数项必须写成 a0I 而不能写成 a0——一个数不能与一个矩阵相加。又因为 A 的各次幂彼此可交换（ApAq = Ap+q = AqAp），同一个 A 的任意两个多项式必定可交换：
f(A)g(A) = g(A)f(A)。
看一个漂亮的例子：取 A =0−110（转 90°）。直接计算得
A2 = −I， A3 = −A， A4 = I。
于是这个 A 的任何幂都可以降到 3 次以下：A4k+r = Ar。这与中学里 i2 = −1 的降次完全是一个道理——事实上 A 生成的就是一个与复数乘法同构的代数系统。「存在次数最低的非零多项式使 f(A) = O」这件事，会在下册被系统研究（最小多项式与若尔当标准形）。
现代接口 In 的存在使 Mn(𝔽) 成为一个含幺环；而「哪些方阵有乘法逆」这个问题，会切出一个特别的子集 GLn(𝔽)，它在乘法下构成群（2.17 节）。Mn 里所有形如 λI 的矩阵与每个元素都可交换，它们构成这个环的中心。环、群、中心——这些抽象代数的名词第一次在本册成串出现，而它们都不是硬塞进来的，是被「解方程组」这件事自己逼出来的。
在数的世界里，3 有倒数 1/3，所以方程 3x = b 有唯一解 x = b/3。矩阵世界里对应的问题是：方程 AX = B 能否像除法一样解出来？
定义 2.11（逆矩阵） 设 A 为 n 阶方阵。若存在 n 阶方阵 B 使
AB = BA = In，
则称 A 可逆（非奇异），B 称为 A 的逆矩阵，记作 A−1。不可逆的方阵称为奇异矩阵。
定理 2.7（逆的唯一性与运算律）
（1）唯一性：可逆矩阵的逆矩阵唯一。
（2）(A−1)−1 = A； （3）(λA)−1 = λ−1A−1（λ ≠ 0）；
（4）(AB)−1 = B−1A−1（次序颠倒）； （5）(At)−1 = (A−1)t。
证明 （1）设 B、C 都是 A 的逆，则 B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C。（4）用结合律验证 (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AA−1 = I，另一边同理。∎
2 阶方阵的逆有一个可以直接背下来的公式（第三章将给出它的来源）：
A =abcd， A−1 = 1ad − bcd−b−ca（要求 ad − bc ≠ 0）。
公式的关键在那个分母 ad − bc：它是 2 阶行列式，等于 0 时逆矩阵不存在。至于为什么恰好是它——那是第三章的主题。先看一个不可逆的例子：A =1111。它的两行相同，两列也相同；无论乘什么矩阵，两个分量永远相等，不可能得到 I 中 (1,1) 与 (2,1) 位一个为 1 一个为 0 的样子。
〔明线〕把第一章的话翻译过来：消元能一路做到最简形 I，就是矩阵可逆。回顾第一章：系数矩阵 A 若能化到单位矩阵，那么每一列都出现了主元，没有自由未知量，方程组恰有唯一解。所以「可逆」不是新概念，它是「消元顺利到底」这件事的代数名字。
既然「化到 I」是一件可以逐步做的事，那么反过来问：能不能一边化 A，一边把所用的每一步都记录下来？记录下来的这串操作，恰好就是 A−1。这就是本章最实用的算法。
算法 2.1（高斯—若尔当求逆法） 设 A 为 n 阶方阵。作 n × 2n 矩阵 ［A | I］，对其只作初等行变换。若能把左半块化为 I，形如
［A | I］ → ［I | X］，
则 A 可逆且 X = A−1；若左半块出现整行全零，则 A 不可逆。
算法为什么成立 初等行变换就是「左乘一个矩阵」（2.15 节给出严格说法）。设这一串行变换合起来相当于左乘可逆矩阵 P，则由 ［A | I］→［I | X］ 得
PA = I， 同时 PI = X。
由 PA = I 知 A 可逆且 P = A−1；代入第二式得 X = A−1。∎
用第一章熟悉的那个矩阵走一遍。设
A =123253108。
| 步骤 | 操作 | A 侧被改的行 | I 侧同步被改的行 |
|---|---|---|---|
| 1 | R2 ← R2 − 2R1 | (0, 1, −3) | (−2, 1, 0) |
| 2 | R3 ← R3 − R1 | (0, −2, 5) | (−1, 0, 1) |
| 3 | R3 ← R3 + 2R2 | (0, 0, −1) | (−5, 2, 1) |
| 4 | R3 ← (−1)R3 | (0, 0, 1) | (5, −2, −1) |
| 5 | R2 ← R2 + 3R3 | (0, 1, 0) | (13, −5, −3) |
| 6 | R1 ← R1 − 3R3 | (1, 2, 0) | (−14, 6, 3) |
| 7 | R1 ← R1 − 2R2 | (1, 0, 0) | (−40, 16, 9) |
左半块已成 I，右半块即
A−1 =−4016913−5−35−2−1。
步骤 7 之后还有两个「清最后两列」的动作没有写进口诀：那是把第 1 行之外的两行第 2、3 列也清掉——用行变换把左半块化成 I 的过程中就已经做完了。要点是：左右两块永远同步操作，一块是账本，一块是账本的来源。
现代接口 这个算法的深层含义是：可逆矩阵集 GLn(𝔽) 由初等矩阵生成。也就是说，从 I 出发、反复左乘三种初等矩阵，就能走遍整个 GLn(𝔽)。求逆过程正是在这个群里沿一条路径从 A 走回 I，而逆矩阵记录了这条路径。2.15 与 2.17 节会把这句话说成定理。
到这里，本书已经积累了五、六种关于矩阵的说法：秩、齐次方程组的解、初等变换、初等矩阵、线性相关……它们看起来是不同的话题，其实说的是同一件事。
定理 2.8（可逆的等价刻画） 设 A 为 n 阶方阵，则下列命题等价：
（1）A 可逆；
（2）A 行等价于 In；
（3）r(A) = n；
（4）齐次方程组 AX = 0 只有零解；
（5）A 可表示为有限个初等矩阵之积；
（6）det A ≠ 0（第三章证明）。
证明思路 (1)⟺(2) 即算法 2.1。(2)⟺(3) 因行等价保持秩，而 r(In) = n。(3)⟺(4) 由第一章定理 1.7：主元数等于 n ⟺ 无自由未知量 ⟺ 只有零解。(2)⟹(5) 把每一步行变换写成初等矩阵并取逆。(5)⟹(1) 因初等矩阵可逆、可逆矩阵之积可逆。∎
这张图值得反复看。它告诉我们：数学的进步常常不是发明新的对象，而是发现旧的对象有几种不同的读法，并证明这些读法给出同一个答案。一旦如此，「可逆」就不再是一个需要死记的概念，而成为一个可以被五条不同线索同时指向的事实。
〔明线〕注意 (3) 与 (4) 两条：它们用的正是第一章的秩与齐次方程组。这章讲了矩阵的加、乘、逆、转置、分块，看起来已经离开「解方程组」很远了；但 (4) 提醒，明线一直在脚下——本章研究的所有对象，最终都服务于同一个问题：什么时候解是唯一的。
第一章把秩定义为「阶梯形中主元的个数」。但那是算出来的秩；换一副行看，会不会算出不同的数？先给秩一个与算法无关的说法。
定义 2.12（行秩、列秩） 把 m × n 矩阵 A 的每一行看作一个 n 元向量（行向量），每一列看作一个 m 元向量（列向量）。
行向量组中的极大线性无关组所含向量个数，称为 A 的行秩；列向量组的极大线性无关组所含个数，称为 列秩。
这两个定义从一开始就让人不放心：凭什么行那边数出来的个数，等于列那边数出来的个数？一个 3 × 5 矩阵有 3 个行向量、5 个列向量，凭什么两边的「独立方向数」一样？这不是显然的，而是一条定理。
定理 2.9（行秩 = 列秩） 对任意矩阵 A，
行秩(A) = 列秩(A) = r(A)。
证明思路（要点） （i）初等行变换不改变行向量组张成的空间，也不改变列向量之间的线性关系（因为每列都是行方向上的同一个线性组合的坐标记录）；（ii）把 A 行变换成阶梯形 U，设主元个数为 r；（iii）U 的非零行彼此无关，故行秩 = r；（iv）U 的主元所在的那 r 列线性无关，而其余每列都可以由它们线性表示，故列秩 = r；（v）由 (i)，A 的行秩与列秩也都等于 r。∎
现代接口 「行秩 = 列秩」有一个更现代的解释：若把 A 看作映射 fA: 𝔽n → 𝔽m，则 r(A) 就是像空间 im fA 的维数。行秩、列秩之所以相等，是因为它们从两个不同的角度量同一个像。这个说法第五章会正式建立（线性映射的秩定理），下册还会给出「秩 = 一线段上的自由度的补数」这一更几何的读法。以下这句可以先记住：
秩是变换「能到达多少方向」的度量。
定理 2.9 把秩说清楚了一半，但行秩、列秩两个定义都依赖「线性无关」这个需要判断的概念。有没有一个可以直接动手算的刻画？有。
定义 2.13（子式） 在 m × n 矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列（k ≤ min{m, n}），交叉处的 k2 个元素按原顺序组成的 k 阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。
定理 2.10（秩的子式刻画） r(A) = r 当且仅当：A 存在一个非零的 r 阶子式，且所有 r+1 阶子式（若存在的话）全为 0。
证明要点 「⟹」若 r(A) = r，则 A 有 r 个线性无关的行，把这 r 行取出来组成 r × n 矩阵，其列秩为 r，故可取 r 个线性无关的列，交叉处的 r 阶子式非零（第三章将证明：方阵的行列式非零 ⟺ 它的行线性无关）。「⟸」若非零 r 阶子式存在，则该子式所在的行线性无关，故行秩 ≥ r；又若所有 r+1 阶子式为零，可证任取 r+1 行都线性相关，故行秩 ≤ r。∎
两种刻画各有用途：阶梯形法适合算「秩是多少」，子式法适合讨论「秩至少/至多是多少」，尤其是当矩阵的元素含参数、或需要在推理中直接说「存在非零子式」的时候。
定理 2.11（秩的不等式） 设型号使下列运算有意义，则
（1）r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}；
（2）r(A + B) ≤ r(A) + r(B)。
（3）特别地，若 P、Q 可逆，则 r(PAQ) = r(A)。
三个不等式的证明见例题 8。∎
注意到子式定义里出现了「行列式」——本书还没有正式讲它。所以定理 2.10 的完整证明必须等到第三章。这里先把它写出来，是为了让看见一件事：秩这个数，可以先由算法给出（第一章），再由不变量刻画（本章），最后再由行列式给出闭式判据（第三章）。同一个数，三层越来越深的刻画。
第一章的三种初等行变换，其实各自都是「左乘一个矩阵」。把这些矩阵找出来，就能把话说到最干净。
定义 2.14（初等矩阵） 对单位矩阵 In 作一次初等行变换，所得的矩阵称为 n 阶初等矩阵，共三类：
（1）P(i, j)：交换第 i、j 两行；
（2）P(i(k))：把第 i 行乘非零数 k；
（3）P(i, j(k))：把第 j 行的 k 倍加到第 i 行。
定理 2.12（左乘行变换，右乘列变换） 设 A ∈ Mm×n(𝔽)。
（1）对 A 作一次初等行变换，等于在左边乘上相应的 m 阶初等矩阵；
（2）对 A 作一次初等列变换，等于在右边乘上相应的 n 阶初等矩阵。
证明（以 (3) 型为例） 设 E = P(i, j(k))，则 E = I + k eij（eij 为只有 (i, j) 位为 1 其余为 0 的矩阵）。直接计算 EA 的第 p 行：p ≠ i 时不变；p = i 时为 ai* + k aj*，正是「把第 j 行的 k 倍加到第 i 行」。右乘的情形对列逐字重复。∎
定理 2.13 初等矩阵都可逆，且其逆仍为初等矩阵：
P(i, j)−1 = P(i, j)， P(i(k))−1 = P(i(1/k))， P(i, j(k))−1 = P(i, j(−k))。
推论 A 行等价于 B ⟺ 存在可逆矩阵 P 使 PA = B。
现在回头看第一章。张苍法的每一步「遍乘」与「直除」，都是「把某行的若干倍加到另一行」——也就是左乘一个 P(i, j(k))。「遍乘」那一步若用 P(i(k)) 也可表示。于是整个直除过程可以写成一句干净的话：
行变换能化简矩阵，列变换也能。两边都用，能化简到什么地步？
定义 2.15（等价） 设 A, B ∈ Mm×n(𝔽)。若存在可逆矩阵 P（m 阶）与可逆矩阵 Q（n 阶）使
PAQ = B，
则称 A 与 B 等价，记作 A ≅ B。注意这是一个比「行等价」更宽的等价关系。
定理 2.14（等价的标准形） 设 A ∈ Mm×n(𝔽)，r(A) = r，则
A ≅IrOOOm×n（记作 Dr），
即左上角一个 r 阶单位块，其余全是零。并且 Dr 是这种形状中唯一可能的标准形。
证明要点 先用行变换把 A 化成简化阶梯形（主元为 1、主元列其余元素为 0）；再用列变换把主元所在列以外的非零元素清掉，同时把主元列调到最前面。∎
定理 2.15（等价分类定理） 两个 m × n 矩阵等价，当且仅当它们同型且同秩。
证明 「⟹」P、Q 可逆时 r(PAQ) = r(A)（定理 2.11(3)），且型不变。「⟸」同型同秩的两矩阵都等价于同一个 Dr，由等价关系的传递性即得。∎
这是本书的第一个分类定理。它说的是：全部 m × n 矩阵被「等价」这个关系切成若干堆，堆与堆之间用 r = 0, 1, 2, …, min{m, n} 编号——秩就是门牌号。同堆的两个矩阵，在「可以互相换算」的意义上是同一个东西。
现代接口 这个定理是「分类问题」的一个标准模板：给定一个作用于集合上的群（此处是 GLm(𝔽) × GLn(𝔽)，作用是 (P, Q) · A = PAQ），要找出它的轨道，就要找出完全不变量。这里完全不变量只有一个数——秩。下册的相似分类（若尔当标准形）是同一个模板的升级版：那里不变量从「一个数」变成「一串数」，于是分类立刻复杂起来。**「分类」是抽象代数与范畴论的核心问题，而它的第一次演练，就在这一页。**
本节把 2.6 节的「负面结论」正式命名，并把可逆矩阵集单独提出来看。
定义 2.16（环，回顾） 设 R 是一个集合，其上定义了两个运算「+」与「·」。若
（i）(R, +) 是交换群；（ii）乘法结合；（iii）乘法对加法双边分配，
则称 (R, +, ·) 为一个环。若乘法还交换，称交换环；若存在乘法幺元，称含幺环。
定理 2.16 Mn(𝔽) 在矩阵加法与乘法下构成一个含幺环，幺元为 In。当 n ≥ 2 时：
（1）它是非交换环（定理 2.3(1)）；
（2）它有零因子（定理 2.3(2)），因而不是整环，更不是域；
（3）它的中心是全体数量矩阵：Z(Mn(𝔽)) = {λIn : λ ∈ 𝔽}，即只有数量矩阵与所有矩阵可交换。
证明（3）提示 若 A 与所有 n 阶矩阵可交换，特别地取 Eij（只有 (i, j) 位为 1）与之相乘，可推出 A 的非对角元全为 0、对角元全相等。∎
定义 2.17（一般线性群） GLn(𝔽) = {A ∈ Mn(𝔽) : A 可逆} = {A : det A ≠ 0}，在乘法下构成一个群，称为 𝔽 上的 n 阶一般线性群。
为什么 GLn(𝔽) 是群？因为：乘法结合（定理 2.2）；幺元 I 属于它；每个元素的逆仍在其中（定理 2.7）；可逆矩阵之积可逆（定理 2.7(4)）。四条一次说完。这是一个很有意思的现象：同一个集合 Mn 减去零因子，就从一个「坏环」变成一个「好群」。
当 n = 1 时，GL1(𝔽) = 𝔽*（𝔽 去掉 0 后的乘法群）。当 n = 2、𝔽 = ℝ 时，GL2(ℝ) 里的元素就是平面的可逆线性变换：旋转、反射、剪切、伸缩，以及它们的复合。
〔几何〕这张图是下册的引子。下册第三章会取 GLn(ℝ) 中保持长度的那一部分，得到正交群 O(n)；再加上平移，得到欧氏变换群 E(n) = O(n) ⋉ ℝn。届时可以发现，中学里学的「全等变换」正是 E(n)，「相似变换」正是 E(n) × ℝ>0——代数的群，就是几何的变换。
本章最后，把散落的说法收拢成一句话。
定理 2.17（矩阵 = 线性映射的坐标） 对每个 A ∈ Mm×n(𝔽)，映射 fA: 𝔽n → 𝔽m，x ↦ Ax 满足
（1）线性：fA(x + y) = fA(x) + fA(y)，fA(λx) = λfA(x)；
（2）保复合：fA ∘ fB = fAB；fI = id；
（3）双射：A ↦ fA 是集合间的双射（在固定标准基的意义下）。
证明（1） 由乘法对加法的分配律与数乘的交换性逐位得到。∎
（1）与（2）合起来说：矩阵的加、乘运算，正好是映射的加、复合运算在坐标下的影子。由此得到一个非常干净的对应表：
| 方程语言 | 矩阵语言 | 映射语言 |
|---|---|---|
| 方程组 AX = b | 矩阵与列向量相乘 | b 是否在像内：b ∈ im fA |
| 两次消元接续做 | 矩阵乘法 AB | 映射复合 fA ∘ fB |
| 解唯一 | A 可逆 | fA 是同构 |
| 自由未知量个数 | n − r(A) | ker fA 的维数 |
| 有解的条件 | 增广矩阵与系数矩阵同秩 | im fA 含 b |
这张表比本章任何一个公式都重要。它说的是：方程、矩阵、映射，是三套语言在讲同一件事。用方程语言，获得具体解法；用矩阵语言，获得可以运算的躯体；用映射语言，获得与整个现代数学对话的接口——群、环、模、态射、函子，都从「映射」这一侧接入。
本章小结与预告 本章把第一章的「算法」立成了「对象」：矩阵有加、乘、逆、秩，可逆与不可逆被五种说法刻画清楚，全部矩阵被秩分成若干等价类。下一章要回答本章悬置的两个问题：为什么 ad − bc 是那个关键的判据？为什么秩可以用子式刻画？答案是一台更有趣的机器——行列式：一个在乘法下「可乘」的不变量。
（1）基本型 设 A =123456（2 × 3），B =789101112（3 × 2），求 AB。
解 型检查：(2 × 3)(3 × 2) = 2 × 2，可乘。逐位算：
(1,1) 位：A 的行 1 碰 B 的列 1：1·7 + 2·9 + 3·11 = 7 + 18 + 33 = 58。
(1,2) 位：1·8 + 2·10 + 3·12 = 8 + 20 + 36 = 64。
(2,1) 位：4·7 + 5·9 + 6·11 = 28 + 45 + 66 = 139。
(2,2) 位：4·8 + 5·10 + 6·12 = 32 + 50 + 72 = 154。
AB =5864139154。
（2）外积与内积：型决定意义 取 u =123（3 × 1），v =45（1 × 2）。
「列 × 行」（外积）：uv =458101215——一个 3 × 2 矩阵，秩为 1。
「行 × 列」（内积）：(1,2,3) 与 (4,5,6)t 相乘得 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32，结果是一个 1 × 1 矩阵32——也就是一个数。
同一批数，因为型不同，得到的东西完全不同：一边是一整块矩阵，一边是一个数。这就是矩阵乘法要求「型配对」的最直观理由。
（3）型检查表 判断下列乘积是否有意义，若有，写出结果的型：
| 左 | 右 | 有意义？ | 结果的型 |
|---|---|---|---|
| 2 × 3 | 3 × 2 | 是 | 2 × 2 |
| 3 × 2 | 2 × 3 | 是 | 3 × 3 |
| 2 × 3 | 2 × 3 | 否 | （左列数 3 ≠ 右行数 2） |
| 3 × 2 | 3 × 2 | 否 | （左列数 2 ≠ 右行数 3） |
| 1 × 3 | 3 × 1 | 是 | 1 × 1（一个数） |
| 3 × 1 | 1 × 3 | 是 | 3 × 3 |
要点 前三行里，第二行与第一行的两个矩阵互为「型反转」，两次乘法都有意义，但结果一个 2 × 2、一个 3 × 3——先算哪一块，结果的大小都不同。这正是非交换性在「型」这一层就已经露出的痕迹。
算乘法时最容易出的错不是算错，而是把行与列记反。一个稳妥的自检法：算 (i, j) 位时，在草稿纸上方写 B 的第 j 列，左侧写 A 的第 i 行，然后手指交替点两边的第 k 个数相乘。慢一点，但不会错。
设
P =1230450310210112， Q =2011021011021031，
按竖虚线分成 2 × 2 块，用分块乘法求 PQ。
解 写出各块：
| 块 | 内容 | 块 | 内容 |
|---|---|---|---|
| P11 | 1245 | P12 | 3003 |
| P21 | 1001 | P22 | 2112 |
| Q11 | 2002 | Q12 | 1110 |
| Q21 | 1110 | Q22 | 0231 |
按块公式逐个算（每个结果块 = 两个二阶乘积之和）：
左上块 P11Q11 + P12Q21 =24810 + 3330 =571110。
右上块 P11Q12 + P12Q22 =3194 + 0693 =37187。
左下块 P21Q11 + P22Q21 =2002 + 3231 =5233。
右下块 P21Q12 + P22Q22 =1110 + 3564 =4674。
拼回去：
PQ =5737111018752463374。
核对 用逐元素法重算 (2,2) 位：4·0 + 5·2 + 0·1 + 3·0 = 10——与分块法一致。这一位的分块来源恰好是 P11Q11 的 (2,2) 位（得 10）加上 P12Q21 的 (2,2) 位（得 0）。所以分块法里那个看起来「偏小」的中间数 10 是对的——注意 P12Q21 本身是3330，其右上为 3 而非 3 的「对称猜测值」，它就是这种细节的产物。
取 A =1234，B =0123。
（1）先算 AB：AB =0+41+60+83+12 =47815，故 (AB)t =48715。
（2）再算 BtAt：Bt =0213，At =1324，故 BtAt =0+40+81+63+12 =48715。两者相同，定理 2.4(4) 得证于本例。
（3）若误用 AtBt：AtBt =13240213 =311416，与正确答案不同。次序不可省。
（4）对称性的验证 取 S =123456（2 × 3）。验证 SSt 与 StS 都是对称矩阵。
SSt =1+4+94+10+184+10+1816+25+36 =14323277，对称。
StS =1+162+203+242+204+256+303+246+309+36 =172227222936273645，对称。
两者都是 3 × 3 吗？不：SSt 是 2 × 2，StS 是 3 × 3。但它们的迹都是 91（14 + 77 = 91，17 + 29 + 45 = 91）。这不是巧合，例题 10 会给出一般证明。
（5）判断下列矩阵的对称性
T =123256369， U =01−1−1021−20。
T：Tt = T，对称。U：Ut =0−1110−2−120 = −U，反对称（对角元全为 0，符合定理 2.4 之后的说明）。
小结 处理转置问题的标准流程是三步：①把每个矩阵的转置写出来；②按型检查能否相乘；③按定义逐位计算，最后与目标比对。特别注意：(AB)t = BtAt 里的「颠倒」是反变构造的普遍特征——下册讲对偶空间与对偶映射时，同一种颠倒会以更抽象的面貌再出现一次。
设 A =211433879。把「用 A 的前一行依次消掉下面两行的首元」这一串操作写成初等矩阵之积，并求出这个积。
解 三步操作分别是
R2 ← R2 − 2R1（即 P(2, 1(−2))）， R3 ← R3 − 4R1（P(3, 1(−4))）， R3 ← R3 − 3R2（P(3, 2(−3))）。
对应的初等矩阵是
E21 =100−210001， E31 =100010−401， E32 =1000100−31。
逐行验证：R2 − 2R1 把 (4,3,3) 变成 (0,1,1)；R3 − 4R1 把 (8,7,9) 变成 (0,3,5)；R3 − 3R2 把 (0,3,5) 减去 3(0,1,1) 得 (0,0,2)。所以
E32E31E21A = U =211011002。
由此 E = E32E31E21 是可逆的（三个初等矩阵之积），且
A = E−1U = E21−1E31−1E32−1U，
其中 E21−1 = P(2, 1(2))，E31−1 = P(3, 1(4))，E32−1 = P(3, 2(3))——把每一步的倍数取反、次序颠倒。
三点提醒 （1）E−1 的书写次序是倒过来的：(E32E31E21)−1 = E21−1E31−1E32−1。这与定理 2.7(4) 一致。（2）消元的结果 U 是阶梯形：主元 2, 1, 2 呈向右下的阶梯。（3）U 的行列式 = 2·1·2 = 4，而 E 的行列式 = 1，故 det A = 4——这一点第三章会用「行列式可乘」一句话解释清楚。
〔明线〕这道例题就是第一章「直除」的矩阵化重述：张苍法每走一步，就是左乘一个 P(i, j(k))；走完之后 A = E−1U——原矩阵与阶梯形之间只差一个可逆矩阵。记住这个等式，本章后面关于等价、标准形、秩为什么不变的所有结论，都可以直接从它推出。
（1）二阶：公式法 A =3152。ad − bc = 3·2 − 1·5 = 1 ≠ 0，故
A−1 = 112−1−53 =2−1−53。
验证：31522−1−53 =6−5−3+310−10−5+6 =1001。
（2）三阶：高斯—若尔当法 A =123253108（见 2.11 节的七步表），得
A−1 =−4016913−5−35−2−1。
验证第 1 行：1·(−40) + 2·13 + 3·5 = −40 + 26 + 15 = 1；1·16 + 2·(−5) + 3·(−2) = 16 − 10 − 6 = 0；1·9 + 2·(−3) + 3·(−1) = 9 − 6 − 3 = 0。第 2 行：2·(−40) + 5·13 + 3·5 = −80 + 65 + 15 = 0；2·16 + 5·(−5) + 3·(−2) = 32 − 25 − 6 = 1；2·9 + 5·(−3) + 3·(−1) = 18 − 15 − 3 = 0。第 3 行同理得 (0, 0, 1)。
（3）出现零行：不可逆 B =123246101。第一步 R2 ← R2 − 2R1，第 2 行变成 (0, 0, 0)——左半块出现整行全零。
这时 r(B) = 2 < 3，由定理 2.8，B 不可逆。
判断诀窍 只要消元过程中左半块出现全零行，就不必再算了。反过来，若好端端地走到了 I，那么可逆是必然的。
练手建议 阶数越高，公式法越吃亏：三阶还有「伴随矩阵」公式，四阶以上几乎必须用高斯—若尔当法。下面这道练习题值得手算一遍（答案见习题课四）：
C =101010100， C−1 =00101010−1。
验算 C·C−1 的第 1 行：(1,0,1) 碰第 1 列 (0,0,1)t 得 1，碰第 2 列得 0，碰第 3 列得 1·1 + 1·(−1) = 0；第 3 行 (1,0,0) 碰三列分别得 0, 0, 1。故得 I。
（1）秩不足的典型 A =1224。第二行是第一行的 2 倍，r(A) = 1 < 2，故不可逆。
怎么看出来的 两行成比例 ⟹ 行秩 ≥ 缺一个方向。用定理 2.8：AX = 0 有非零解 (2, −1)t（因为 1·2 + 2·(−1) = 0），所以可逆的等价条件 (4) 不成立。
（2）含参数的三阶矩阵 求 k 的值使
A(k) =k111k111k 可逆。
解 按第一行展开求行列式：
det A(k) = k(k2 − 1) − 1(k − 1) + 1(1 − k) = k3 − k − k + 1 + 1 − k = k3 − 3k + 2，
因式分解得 k3 − 3k + 2 = (k − 1)2(k + 2)。故
A(k) 可逆 ⟺ k ≠ 1 且 k ≠ −2。
两种临界情形的含义 k = 1 时三行全同，r = 1，自由度 2；k = −2 时三行之和为零向量（因为每行分量和为 k + 2 = 0），故行秩 ≤ 2。注意这两个临界值恰好是第一章例题 8 里出现过的 λ = 1 与 λ = −2——同一个条件，从方程组的语言与从矩阵的语言看，是同一件事。
（3）用定理 2.8 逐条验证 取 k = 0，即 A(0) =011101110，验证五条说法同时成立：
（6）det A(0) = (0 − 1)2(0 + 2) = 2 ≠ 0；
（4）若 A(0)X = 0，即 x2 + x3 = 0，x1 + x3 = 0，x1 + x2 = 0，三式相加得 2(x1 + x2 + x3) = 0，代回得 x1 = x2 = x3 = 0，只有零解；
（3）由 AX = 0 只有零解知 r(A) = 3（第一章定理 1.7）；
（2）秩满则行等价于 I（第一章定理 1.6 之后的推论）；
（1）（5）于是 A(0) 可逆，并且可写成初等矩阵之积。
一点提醒 含参问题必须先确定「什么时候退化」，再动手消元。直接对含 k 的矩阵做消元很容易在 k = 0 处除以零，而参数恰好取 0 是常见情形。
求 A =123452479120011212346的秩。
解法一（行变换法）
R2 ← R2 − 2R1：(2,4,7,9,12) − 2(1,2,3,4,5) = (0,0,1,1,2)；
R4 ← R4 − R1：(1,2,3,4,6) − (1,2,3,4,5) = (0,0,0,0,1)；
此时第 2 行与第 3 行相同，故 R3 ← R3 − R2 后第 3 行全零。阶梯形为
12345001120000100000，
三个主元（位于第 1、3、5 列），故 r(A) = 3。
解法二（子式法：把秩「框」出来） 取第 1、2、4 行与第 1、3、5 列，得三阶子式
D =1352712136， det D = 1(42 − 36) − 3(12 − 12) + 5(6 − 7) = 6 − 0 − 5 = 1 ≠ 0。
故 r(A) ≥ 3。另一方面，第 2 行 = 2× 第 1 行（在子式选取的列上），四行中有一组线性关系，故 r(A) ≤ 3。两者夹出 r(A) = 3。
两种方法的比较
| 方法 | 适合 | 代价 | 优势 |
|---|---|---|---|
| 行变换（阶梯形） | 算出具体的秩 | 大量四则运算 | 顺带得到主元列、自由未知量 |
| 子式（行列式） | 证明「秩 ≥ r」或「秩 ≤ r」 | 阶数高时子式太多 | 不依赖消元，可与参数讨论并行 |
降阶法的操作要点 （1）先用行变换「消薄」，观察哪几行最可能线性无关（通常是首元不同、且最简的行）；（2）框出的子式最好让它呈上三角或阶梯状，行列式一眼可算；（3）只要找到一个非零的 r 阶子式，就得到 r(A) ≥ r；要证 r(A) ≤ r，则给出行之间的关系（或说明所有 r+1 阶子式为零）。一上一下，夹出答案。
（1）证明 r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}
证 先看右边。设 B 的第 j 列是 Bj，则 AB 的第 j 列是 ABj——它是 A 的各列按 Bj 的分量加权求和的结果。所以 AB 的每一列都落在 A 的列空间里，
r(AB) ≤ r(A)。
再对行说一遍同样的话：AB 的第 i 行是 B 的各行按 A 的第 i 行分量加权求和，故 AB 的每一行都落在 B 的行空间里，r(AB) ≤ r(B)。两式合并即得结论。∎
等号能取到吗 能：取 A = I 则 r(AB) = r(B) = min{r(I), r(B)}。也能严格取不到：取
A =1000，B =0001， 则 AB = O，
于是 r(AB) = 0，而 min{r(A), r(B)} = min{1, 1} = 1。
（2）证明 r(A + B) ≤ r(A) + r(B)
证 设 A 的列空间由 α1, …, αp 张成（p = r(A)），B 的列空间由 β1, …, βq 张成（q = r(B)）。A + B 的第 j 列等于 A 的第 j 列与 B 的第 j 列之和，因此它是 α 的线性组合加上 β 的线性组合——落在由 {α1, …, αp, β1, …, βq} 张成的空间里，该空间的维数不超过 p + q。故 r(A + B) ≤ r(A) + r(B)。∎
等号能取到吗 能：取 A =1000、B =0001，则 A + B = I，r(A+B) = 2 = 1 + 1。
（3）可逆矩阵不改变秩 设 P、Q 可逆，证明 r(PAQ) = r(A)。
证 由（1）知 r(PA) ≤ r(A)；又 A = P−1(PA)，再用一次（1）得 r(A) ≤ r(PA)。两者夹出 r(PA) = r(A)。对 Q 重复同样的两句话即得。关键是「夹」：先用不等式压一边，再用逆矩阵把方向倒过来压另一边。∎
总结这三条的技术 秩的等式几乎都靠两条原理：（i）列（行）空间的包含关系给出不等式；（ii）可逆矩阵可以把不等式反向，从而把不等式升格为等式。这两条原理在本章之后会不断复现，下册讲若尔当标准形时，秩的等式更长，手法仍是这两条。
（1）三个幂等矩阵 验证下列矩阵都满足 A2 = A，并求它们的秩：
P1 =1000， P2 =12121212， P3 =100010000。
P12：(1,1) 位 = 1·1 + 0·0 = 1，其余同理，故 P12 = P1，r(P1) = 1。
P22：(1,1) 位 = 1/4 + 1/4 = 1/2，(1,2) 位 = 1/4 + 1/4 = 1/2，(2,1)、(2,2) 同理，故 P22 = P2，r(P2) = 1（两行相同）。
P32 = P3，r(P3) = 2。
（2）余幂等性：I − A 也是幂等的 若 A2 = A，则
(I − A)2 = I2 − IA − AI + A2 = I − A − A + A = I − A。
逐例验证：I − P1 =0001（幂等）；I − P2 =12−12−1212（幂等）；I − P3 = diag(0, 0, 1)（幂等）。
（3）秩的互补性 观察：r(P1) + r(I − P1) = 1 + 1 = 2；r(P2) + r(I − P2) = 1 + 1 = 2；r(P3) + r(I − P3) = 2 + 1 = 3。猜：若 A2 = A 为 n 阶，则
r(A) + r(I − A) = n。
本例的三个数值都符合。提醒：这个等式的严格证明要用到第五章的维数公式（im A 与 ker A 的直和分解），也可以由下册「幂等矩阵可对角化」得到。现在先把它当作一个被数据支持的好猜测，记住它，第五章会回来收账。
〔几何〕P2 的几何意义很具体：它把平面上的向量正投影到直线 y = x 上。这一现象在几何上极常见：投影仪、影子、最小二乘拟合都在做这件事。下册「欧氏空间」一章会把「正交投影」正式定义，并证明「幂等 + 保持长度不放大」等价于「正交投影」。代数条件 A2 = A 与几何动作「投影」就在这里相遇。
（1）迹的定义与基本事实 n 阶方阵 A 的迹定义为对角线元素之和：tr A = a11 + a22 + ⋯ + ann。
取 A =1234，B =5678。计算
AB =19224350，tr(AB) = 19 + 50 = 69；BA =23343146，tr(BA) = 23 + 46 = 69。相等。
（2）证明 tr(AB) = tr(BA)（只要两个乘积都有意义）
证 设 A = ［aik］ 为 m × n，B = ［bkj］ 为 n × m。则 AB 是 m 阶，BA 是 n 阶，
tr(AB) = Σi Σk aikbki， tr(BA) = Σk Σi bkiaik。
两者是同一个和的重排，相等。∎ （注意：由 SSt 与 StS 的阶数不同也照样相等，这解释了例 3(4) 里两个「91」。）
推论 若 P 可逆，则 tr(P−1AP) = tr(A)。因为 tr(P−1·AP) = tr(AP·P−1) = tr(A)。数值验证：取 P =1101，A =1234。由二阶求逆公式得 P−1 =1−101，于是 P−1AP =−2−437，迹为 −2 + 7 = 5 = tr A。注意 P−1AP 已不再是原来的 A，但迹没变——这正是「相似」这个名字的含义。
（3）行列式的初遇 二阶行列式的定义是
detabcd = ad − bc。
仍用（1）的 A, B：det A = 1·4 − 2·3 = −2，det B = 5·8 − 6·7 = −2，而 det(AB) = 19·50 − 22·43 = 950 − 946 = 4 = (−2)·(−2)。于是观察到
det(AB) = det A · det B。
这条性质的完整证明、以及任意阶行列式的定义，是第三章的任务。此处只做一个预告：行列式是一个「可乘的函数」，而迹是「可加的和」——两者都只依赖矩阵本身，与坐标如何选取无关。
为什么先提这两样东西 因为它们分别对应两种「不变量」的原型：迹是线性不变量（并且与本章 2.12 的等价刻画、下册的特征值理论直接相连）；行列式是乘法不变量（并且给出可逆性的闭式判据，即 (6) det A ≠ 0）。第三章讲行列式，本册下册讲迹与特征值的完整故事；本节这页可以看作两条路都还没有修完时的第一次眺望。
（1）A 可逆：唯一解 X = A−1B 设
A =1234， B =12， 求 X 使 AX = B。
解 det A = 1·4 − 2·3 = −2 ≠ 0，故 A 可逆，A−1 = 1−24−2−31 =−2132−12。于是
X = A−1B =−2·1 + 1·2(3/2)·1 + (−1/2)·2 =012。
验证 AX =1·0 + 2·(1/2)3·0 + 4·(1/2) =12 = B。
（2）A 不可逆：要分「无解」与「无穷多解」两种 取 C =1224（r(C) = 1）。
情形一：无解 CX =13。用增广矩阵作行变换：R2 ← R2 − 2R1，第二行变成 (0, 0 | 1)，即 0 = 1——矛盾。系数矩阵秩 1，增广矩阵秩 2，两者不等，由第一章定理 1.4，无解。
情形二：无穷多解 CX =12。同样行变换后第二行变成 (0, 0 | 0)，两个秩都是 1 < 2，故有无穷多解。取 x2 = t 为自由未知量，则 x1 = 1 − 2t：
X =1 − 2tt =10 + t−21， t ∈ 𝔽。
验证：C10 =12 = C−21 =00。所以「一个特解 + 齐次解」的写法成立。
做题流程（一律照此执行） ① 写出增广矩阵 AB；② 只作行变换化到阶梯形；③ 比较 r(A) 与 r(AB)：不等则无解，相等则继续；④ 若 r(A) = 未知量个数，唯一解；否则写出自由未知量，给出「特解 + 齐次通解」的形式。注意：这里不需要先判断 A 是否可逆——流程本身就自动覆盖了所有情形。
（1）平方公式何时成立 证明：对同阶方阵 A, B，
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ⟺ AB = BA。
证 先按分配律展开（这一步不需要任何交换性）：
(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2。
因此它等于 A2 + 2AB + B2 当且仅当 AB + BA = 2AB，即 BA = AB。∎
反例 取 A =1234，B =2112，则 AB ≠ BA，于是公式不成立——这一点务必亲手算一遍，才能记住「平方公式是有条件的」。
（2）平方差公式 证明 (A + B)(A − B) = A2 − B2 ⟺ AB = BA。
证 展开得 A2 − AB + BA − B2，它等于 A2 − B2 当且仅当 −AB + BA = 0，即 AB = BA。∎
顺便给出一个交换的例子：A =1201与 B =1301——两者都是「上三角且对角元全为 1」，乘法可交换，两个公式都成立。
（3）幂零矩阵的逆：以几何级数为模型 设 N 为 n 阶方阵且 N3 = O，证明 I + N 可逆，并求逆。
解 模仿数的公式 1/(1 + x) = 1 − x + x2 − x3 + ⋯（当 x3 = 0 时右端自动截断），取候选
(I + N)(I − N + N2) = I + N − N − N2 + N2 + N3 = I + N3 = I。
展开中「中间项两两抵消」这个现象之所以成立，是因为这里出现的全是 N 的幂——同一个矩阵的各次幂天然可交换（2.9 节）。故 (I + N)−1 = I − N + N2。∎
具体例子 N =010001000。已算得 N2 =001000000，N3 = O，故
(I + N)−1 = I − N + N2 =1−1101−1001。
（4）幂等矩阵与可逆性 若 A2 = A 且 A ≠ I，问 A 是否可逆？
答 不可逆（除非 A = I）。理由：把 A2 = A 移项得 A(A − I) = O。若 A 可逆，两边左乘 A−1 得 A − I = O，即 A = I，与假设矛盾。所以只要 A 是「非平凡的投影」，它就必然是奇异的。用例题 9 的 P2 核对：两行相同，秩 1 < 2，确实不可逆。
本页方法论 矩阵恒等式题的通用三步：① 展开——按分配律老老实实展开，不要跳步（跳步正是丢项的地方）；② 合并——同类项合并时必须写出「哪些项可以合并，依据是什么」（依据是幂的可交换，还是假设的 AB = BA）；③ 回证——得到一个等价的代数条件后，给出既有正面例子也有反面例子，这样才算把这条件讲清楚。唯一真正的陷阱是：把数域上想当然的展开直接搬到矩阵上。
1. 设 A =2−130，B =14−25。求 A + B 与 2A − 3B。
答：A + B =3315；2A − 3B =4−260 − 312−615 =1−1412−15。
2. 求 x, y, z 使
x + yx − y2z − 1 =3124。
解：由 x + y = 3 与 x − y = 1 得 x = 2，y = 1；由 z − 1 = 4 得 z = 5。
3. 设 A =123456，B =123456。求 AB 与 BA，并说明为什么两者的型不同。
答：AB =22284964（2 × 2）；BA =91215192633294051（3 × 3）。型由「左行数 × 右列数」决定，故一个变小、一个变大。
4. 求所有与 J =1101可交换的 2 阶矩阵。
答：形如 M =ab0a（a, b 任意）。验算：MJ =aa+b0a，JM =aa+b0a，确实相等。设 M =pqrs代入 MJ = JM，比较四个位置可依次推出 r = 0、s = p。
5. 证明 (A + B)t = At + Bt。
提示：两边都是 n × m 矩阵。左边第 (i, j) 位 = (A+B)ji = aji + bji，右边第 (i, j) 位 = (At)ij + (Bt)ij = aji + bji。逐位相等。
6. 设 A2 = O，计算 (I + A)2；再计算 (I + A)(I − A)。
答：(I + A)2 = I + 2A + A2 = I + 2A；(I + A)(I − A) = I − A2 = I。第二个结果说明 (I + A)−1 = I − A——这与「若 x2 = 0 则 (1+x)−1 = 1 − x」是同一个道理。
1. 设 A =1234，B =01−10，C =2011。验证 (AB)C = A(BC)。
解：AB =−21−43，故 (AB)C =−31−53；BC =11−20，故 A(BC) =−31−53。相等。
2. 举出两个非零矩阵 A, B 使 AB = O；再举出 C ≠ O 使 C2 = O。
答：A =0100，B =1000，则 AB = O。取 C =0100则 C2 = O（这叫「幂零」）。
3. 求一个 3 阶矩阵 N ≠ O 使 N2 ≠ O 而 N3 = O。
答：N =010001000。计算得 N2 =001000000，N3 = O。这类矩阵在 «矩阵的幂» 专题（下册）里叫幂零矩阵，N3 = O 而 N2 ≠ O 称为幂零指数为 3。
4. 设 AB = BA，证明 (AB)2 = A2B2。
证：(AB)2 = ABAB = A(BA)B = A(AB)B = A2B2。注意中间那一步必须用 BA = AB，否则不成立。
5. 证明形如 M =abc−a的矩阵满足 M2 = (a2 + bc)I；据此写出所有满足 M2 = I 的 2 阶矩阵。
证：直接乘得 M2 =a2+bcab−abca−acbc+a2 = (a2+bc)I。故 M2 = I ⟺ a2 + bc = 1，这就是全部解族（例如 a = 2, b = 3, c = −1 时 a2+bc = 4 − 3 = 1，此时 M =23−1−2满足 M2 = I，而 M ≠ ±I）。
6. 证明 tr(AB) = tr(BA)（只要两个乘积都有意义）。
证：见例题 10(2)。要点是 tr(AB) = Σi,kaikbki = tr(BA)，同一个和的重排。
1. 设 A =2345，B =1234。用 2 × 2 分块计算
IOAIIBOI。
答：结果 =IBAI + AB。代入数值：AB =11161928，故 I + AB =12161929，四块拼起来是
10120134231216451929。注意右下块是 I + AB 而不是 AB——这是最常见的漏项。
2. 用分块法求
D =200012034 的逆矩阵。
解：按 1 + 2 分块，D 是准对角块矩阵，块为 (2) 与 1234。前者逆为 (1/2)；后者行列式 = 4 − 6 = −2，逆为 (−1/2)4−2−31 =−2132−12。故
D−1 =12000−21032−12。
3. 设 M =AOOB（准对角块，A 为 p 阶、B 为 q 阶），证明 r(M) = r(A) + r(B)。
提示：对 M 作行变换，只作用在上方 p 行即可把 A 化成简化阶梯形；下方 q 行同理处理 B。两块互不干扰，主元个数相加。或者用列空间：M 的列空间是 A 的列空间（填零）与 B 的列空间（填零）的直和，维数自然相加。
课后自检 把 1、2 两题的答案乘回原矩阵，看是否得单位矩阵（或恒等式右端）。分块运算的验证成本很低，却最容易发现「漏掉那个 I」这类错误——凡是分块题，都要回乘一遍。
1. 求 2111 的逆矩阵。
解：ad − bc = 2·1 − 1·1 = 1，故逆为 1−1−12。验算：21111−1−12 =1001。
2. 求 101010100 的逆矩阵。
解：用高斯—若尔当法，结果为 00101010−1。验算第 1 行：(1,0,1) 碰三列得 (1, 0, 0)；第 3 行 (1,0,0) 碰三列得 (0, 0, 1)。
3. 设 A, B 为同阶可逆矩阵。证明 AB 可逆，且 (AB)−1 = B−1A−1；再证明 (At)−1 = (A−1)t。
证：(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AA−1 = I，同理另一边。第二式：由 (A−1A)t = I 与定理 2.4(4) 得 At(A−1)t = I，故 (At)−1 = (A−1)t。
4. 设 2 阶方阵 A 满足 A2 − 3A + 2I = O。证明 A 可逆，并求 A−1。
解：把等式移项得 A(3I − A) = 2I，即 A · 3I − A2 = I。故 A−1 = (3I − A)/2。（要求 𝔽 的特征不为 2，否则 2 = 0 无法除。）
5. 判断：若 A2 = I，是否必有 A = ±I？
答：不一定。习题课二第 5 题给出的解族已说明这一点：M =23−1−2满足 M2 = I 而 M ≠ ±I。几何上这些 M 是平面上的「关于某条过原点直线的反射」——反射做两次当然回到原处。
1. 写出 2 阶初等矩阵 E(1, 2(3))（把第 2 行的 3 倍加到第 1 行），并计算 EA 与 AE，说明两者分别改了行还是改了列。其中 A =1234。
答：EA =13011234 =101434——改的是行（第 1 行加上了第 2 行的 3 倍，即 (1,2)+3(3,4) = (10,14)）。AE =12341301 =15313——改的是列（第 2 列加上了第 1 列的 3 倍）。左乘改行、右乘改列。
2. 证明交换两行的初等矩阵 P(1, j) 满足 P(1, j)2 = I（这是「自逆」）。
提示：交换两次等于没换。用矩阵验证：以 3 阶为例，P(1,3) =001010100，直接乘自己得 I。
3. 证明 P(i(k))−1 = P(i(1/k))（k ≠ 0）。
提示：两边的乘积把第 i 行乘 k 再乘 1/k，等于没动。也可用矩阵乘法直接算：P(i(k)) 是对角元只有第 i 个为 k 的对角矩阵，其逆为把该对角元换成 1/k。
4. 设 A 与 B 行等价。证明存在可逆矩阵 P 使 PA = B。
证：行等价意味着 B 可由 A 经有限次初等行变换得到；每次行变换等于左乘一个初等矩阵（定理 2.12）。设这些初等矩阵依次为 E1, …, Et，则 B = Et⋯E1A。取 P = Et⋯E1，它作为初等矩阵之积可逆（定理 2.13 及其推论）。
5. 设 A 可逆。证明 A 可表示为有限个初等矩阵之积。
提示：由算法 2.1，A 可经有限次行变换化为 I：Et⋯E1A = I，故 A = E1−1⋯Et−1。每个 Ej−1 仍是初等矩阵（定理 2.13）。这就是定理 2.8 里 (1) ⟺ (5) 的那一步。
1. 求 r1234246836912。
答：1。第 2 行 = 2 × 第 1 行，第 3 行 = 3 × 第 1 行，故只剩一个独立方向。
2. 求 r111123135。
答：2。行变换：R2 − R1 = (0,1,2)，R3 − R1 = (0,2,4) = 2×第 2 行后半，故 R3 − R1 − 2(R2 − R1) = 0。两个主元。行列式为 0（第 3 行 = 2 × 第 2 行 − 第 1 行）。
3. 求 r213121334。
答：2。注意第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行，所以秩最多为 2；而 2·2 − 1·1 = 3 ≠ 0，故秩至少为 2。夹出 r = 2。
4. 求 r12−124−236−3。
答：1。三行全部成比例。
5. 求含参数的秩：r11k1k1k11 随 k 的变化。
提示：把行列式算出来（注意符号）：det = −(k − 1)2(k + 2)。故 k ≠ 1, −2 时秩 3；k = 1 时三行全同，秩 1；k = −2 时每行的分量和为 k + 2 = 0，三行之和为零向量，而二阶子式 111−2 = −3 ≠ 0，故秩 2。注意：本题与例题 6(2) 的矩阵只差行列式的一个符号，零集（临界值）完全相同——这提醒我们：秩不会因为行列式变号而改变。
6. 设 A 为 3 × 5 矩阵，r(A) = 3。问 A 的行向量是否线性无关？列向量呢？
答：3 个行向量线性无关（因为秩 = 3 = 行数）；5 个列向量线性相关（因为秩 3 < 5）。这就是第一章「自由未知量个数 = n − r」的矩阵说法。
1. 设 P, Q 可逆，证明 r(PAQ) = r(A)。
证：由 r(PA) ≤ r(A) 及 A = P−1(PA) 得 r(A) ≤ r(PA)，故 r(PA) = r(A)；对 Q 重复。见例题 8(3)。
2. 证明 r(A + B) ≤ r(A) + r(B)，并举例说明等号可以取到、也可以取不到。
证：见例题 8(2)（列空间的包含）。等号例：A =1000，B =0001；严格小于例：B = −A 时 r(A + B) = 0 < 2 r(A)。
3. 证明 r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}。（见例题 8(1)）
提示：AB 的列都在 A 的列空间中；AB 的行都在 B 的行空间中。
4.（Sylvester 不等式）设 A 为 m × n、B 为 n × p 矩阵。证明
r(AB) ≥ r(A) + r(B) − n。
提示：考虑分块矩阵 M =InBAO。用行变换可把它化为InBO−AB，故 r(M) = n + r(AB)；另一方面 M 还有一条列变换路径把它化为InOO−AB之外的另一形状，可证 r(M) ≤ n + min{r(A), r(B)} 的更强形式。完整的证明留给「秩不等式专题」（挑战二）。本题的价值在于：它是最早的非平凡秩不等式，也是判断 AB 是否可能为零的定量工具。
5. 设 A 为 n 阶方阵且 A2 = A。用秩不等式证明 r(A) + r(I − A) ≥ n。
提示：A + (I − A) = I，故 n = r(I) = r(A + (I−A)) ≤ r(A) + r(I − A)。这个不等式是「一半」，另一半的等式与直和分解有关，见例题 9(3) 与挑战二。
1. 判断 B =123246101 是否可逆，并说明理由。
答：不可逆。R2 − 2R1 = (0,0,0)，故 r(B) = 2 < 3，由定理 2.8(3) 不可逆。
2. 求 k 的值使 A(k) =k111k111k 不可逆。
答：k = 1 或 k = −2（因 det A(k) = (k−1)2(k+2)）。
3. 设 A, B 同阶可逆。证明 AB 可逆，并写出 (AB)−1。
答：(AB)−1 = B−1A−1。也可用秩：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)} = n，而 AB 为 n 阶，故 r(AB) = n，可逆。
4.（重要）设 A, B 同为 n 阶方阵，且 AB = I。证明 BA = I。
证：由 AB = I 得 n = r(I) = r(AB) ≤ r(A) ≤ n，故 r(A) = n，即 A 可逆。设 A−1 为其逆，则 B = IB = (A−1A)B = A−1(AB) = A−1，故 BA = A−1A = I。∎
这个结论不平凡：在无穷维或非方阵情形，AB = I 并不蕴含 BA = I。方阵情形之所以成立，全靠「秩」这个有限维工具——它是本章最漂亮的一个应用。
5. 设 A 为 n 阶方阵，A3 = O。证明 A 不可逆（A ≠ O 时）。
提示：若 A 可逆，对 A3 = O 左乘 (A−1)3 得 I = O，矛盾。
1. 解 AX = B，其中 A =2111，B =11。
解：A−1 =1−1−12（见习题课四第 1 题），故 X = A−1B =1−1−1+2 =01。验算：211101 =11。
2. 解 CX = D，其中 C =1224，D =12。
答：无穷多解。X =10 + t−21，t ∈ 𝔽。（r(C) = r(CD) = 1 < 2。）
3. 解 CX = E，其中 C 同上，E =13。
答：无解。增广后作 R2 − 2R1 得 (0, 0 | 1)，即 0 = 1。系数矩阵秩 1 ≠ 增广秩 2。
4. 解 XA = B（右乘），其中 A =2111，B =11。
解：A 可逆，两边右乘 A−1 得 X = BA−1 =111−1−12 =01。
提醒 XA = B 与 AX = B 的解法不同：前者要右乘逆，后者要左乘逆。转置一下就会把左变成右：(XA)t = AtXt。
5. 设 A 可逆。证明 AX = O 只有零解；再证明 AX = B 对任意 B 都有唯一解。
提示：前者两边左乘 A−1；后者取 X = A−1B 即得存在性，唯一性由前一句保证（两个解的差是齐次解，必为零）。
1. 设 J =1101。计算 Jn（n 为正整数）。
答：Jn =1n01。验证：J2 =1201，J3 = J2J =1301；归纳即可（Jn+1 = JnJ 把右上角的 n 加上 1）。也可写成 J = I + N（N =0100，N2 = O），再用二项式展开。
2. 计算 A2，其中 A =1234。
答：A2 =7101522。
3. 求所有与 N =0100可交换的 2 阶矩阵。
答：形如 ab0a（与习题课一第 4 题同一族：J = I + N，故与 N 可交换 ⟺ 与 J 可交换）。
4. 设 A, B 同阶，且 AB = A、BA = B。证明 A2 = A。
证：A2 = A·A = (AB)A = A(BA) = AB = A。同理 B2 = B。这一对条件在投影的语境里很自然：A、B 是同一投影的两种写法。
5. 判断对错，并说明理由：
（i）若 A2 = O，则 A = O；
（ii）若 A2 = I，则 A = I 或 A = −I；
（iii）(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 恒成立；
（iv）若 AB = O 且 A ≠ O，则 B = O。
答：（i）错——N =0100；（ii）错——见习题课四第 5 题的反射族；（iii）错——须 AB = BA（例题 12(1)）；（iv）错——见习题课二第 2 题。四题全是「把数的直觉搬到矩阵上」的陷阱，值得抄在错题本第一页。
1.（证明）设 A 可逆且 A2 = A。证明 A = I。
证：两边左乘 A−1 得 A = I。（这与例题 12(4) 的结论一致：非平凡的幂等矩阵必不可逆。）
2. 设 A =1101。求 A−1 与 A3。
答：A−1 =1−101（用第 1 题的公式法：det = 1，逆为1−101）；A3 =1301。
3. 证明 r(A) = 0 ⟺ A = O。
证：「⟸」显然。「⟹」若 r(A) = 0，则 A 的每个行向量都是零向量（没有非零的行能与其他行线性无关时……更直接：行秩为 0 意味着行向量组的极大无关组是空集，故每行都是零向量），即 A = O。
4.（提高）设 A 为 n 阶方阵且 A2 = A。证明 r(A) + r(I − A) = n。
证（分两步）：
① 两个像空间的交只有零向量。设 y ∈ im A ∩ im(I − A)，即存在 u, v 使 y = Au = (I − A)v。由 A2 = A 得 Ay = A2u = Au = y；同时 Ay = A(I − A)v = (A − A2)v = O。故 y = O。
② 整个空间是两者之和。对任意 x，x = Ax + (I − A)x，其中第一项在 im A、第二项在 im(I − A)。
由 ① ②，𝔽n = im A ⊕ im(I − A)（直和）。故 n = dim im A + dim im(I − A) = r(A) + r(I − A)。∎ （这里用了「像空间维数 = 秩」，即 2.13 节的现代接口；第五章会把它写成正式定理。）
5. 设 A, B 为同阶方阵，AB = BA 且 A 可逆。证明 A−1B = BA−1。
证：由 AB = BA，两边左乘 A−1 得 B = A−1BA；再两边右乘 A−1 得 BA−1 = A−1B。∎ 结论：可逆矩阵的逆与它能交换的任何矩阵都交换——这是「逆保持交换性」这一普遍现象的第一个例子。
本章的题目都有一副「容易看似对」的面孔。把常见的错误按类型归档，比多刷十道题有用。
| 编号 | 错误类型 | 典型表现 | 纠正 |
|---|---|---|---|
| E1 | 把数域直觉硬搬 | 写 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 | 先展开再合并；合并前必须确认可交换 |
| E2 | 忽略型 | AB 与 BA 混用；不检查列数 = 行数 | 动笔前先写两个型，做一次配对检查 |
| E3 | 转置次序颠倒 | 写成 (AB)t = AtBt | 记住「转置是反变的」：(AB)t = BtAt |
| E4 | 零因子误判 | 由 AB = O 推出 A = O 或 B = O | 矩阵环有零因子；用秩判断（r(A)+r(B) ≤ n 时常发生） |
| E5 | 消去律误用 | 由 AB = AC 约去 A | 只有 A 可逆时才可消去 |
| E6 | 分块漏项 | IOAIIBOI 右下写成 AB | 正确结果是 I + AB；分块题一律回乘验算 |
| E7 | 含参不讨论 | 对含 k 的矩阵直接除以 k | 先求行列式定出退化值，再分段讨论 |
| E8 | 秩当作独立结论 | 算出 r(A) 却不说明它意味着什么 | 每算一个秩，回答一句「这对方程组的解说了什么」 |
第二章
第一问（知识） 本章一共立起了几个「对象」和几条「结构」？不看书写出：矩阵的四个基本运算（加、数乘、乘、转置）、两类特殊矩阵（单位、数量）、两个核心数（秩、迹），以及可逆的五种等价说法。
第二问（方法） 本章用得最多的三种技术是什么？提示：①「展开—合并—回证」处理恒等式；②「先不等式夹、再用可逆反向」处理秩的等式；③「分块 + 回乘」处理大矩阵。能各举一道本章的例题作为例子吗？
第三问（观念） 本章最重要的一句话是「矩阵乘法就是态射的复合」。回答：为什么「乘法不交换」不是缺陷？旋转与剪切的例子说明——如果一个对象的运算全都交换，它会丢掉什么信息？
下一步 本章把「解方程」提升成了「对象的研究」，但仍有两个问题悬着：为什么 ad − bc 是那个关键判据？为什么秩可以用子式刻画？下一章《行列式：可乘的不变量》将回答它们，并把「可逆」的第六种说法 det A ≠ 0 补上。
札记①
《九章算术》的「方程」章里，解题靠的是在布上摆竹签，摆成一个方阵的样子——刘徽说「并列为行，故谓之方程」。「方程」这个词在西汉的意思，正是「按行列摆开来」。他没有矩阵这个名字，但他手里那块布，就是矩阵。
一千八百年后，1858 年，凯莱（A. Cayley）发表《矩阵论备忘录》，第一次把这种数表当作独立对象，并且给了它自己的乘法。1888 年，皮亚诺（G. Peano）把矩阵的乘法规则整理成今天教科书上的形式。两条线索在这里合上：中国人发明了「摆开来算」的技术，欧洲人把它变成了「可以运算的对象」。
消元的思想并非中国独有。日本江户时代的和算家有「点窜术」，用算盘与纸片做类似的消元；阿拉伯与印度数学家则在解线性方程组时发展出「消去一个未知数再消去一个」的递推技巧。真正的转折发生在欧洲——当行列式从解方程的公式里被「提炼」成一个独立的对象时（莱布尼茨 1693 年用行列式研究方程组，克拉默 1750 年给出克拉默法则），数学才第一次有了「从具体问题中抽出结构」的习惯。
于是有了一个很有意思的次序：先是算法（中国，公元前 1 世纪），再是公式（欧洲，18 世纪），最后是对象（欧洲，19 世纪）。本书第一章走完了「算法」这一段，本章走完了「对象」这一段；下一章将补上「公式」那一段（行列式）。
如果只有算法，只能算一道题；一旦有了对象，就可以给对象命名、给对象定义运算、研究对象之间的关系。这就是本章所做的一切：给数表取名叫「矩阵」，定义加与乘，然后问「哪些矩阵可逆」「矩阵可以分成几类」。一旦这些问题被提出，剩下的就是纯数学的推进——而推进的结果，最后又回到算法上：矩阵语言让「解方程」变成一个可以批量、可以并行、可以交给机器执行的过程。
今天在计算机上解线性方程组，用的仍是「摆开来算」这条路的现代版本；而支撑这些程序的全部理论，都建立在「矩阵是一个对象」这一句话上。
问一 刘徽说「并列为行」，按今天的约定这是竖排；为什么本书正文改用「一个方程占一行」？这个改动的代价与收益各是什么？
问二 凯莱把矩阵当作对象时，他必须为它定义乘法。如果他不定义乘法而只定义加法，矩阵还能承载「复合」这个几何动作吗？说明理由。
问三 本章把「秩」认作不变量。一句话说明：为什么「不变量」是分类问题里最值钱的东西？并用例题 7 的两种算法验证：秩不依赖怎么算，只依赖矩阵本身。
札记②
「cij = Σk aikbkj」这条规则，可以有三种完全不同的说法：
算法说法 行碰列，逐项相乘再求和。（第一次学乘法时最常用的说法。）
复合说法 先做变换 B 再做变换 A，合起来还是同一个形状的变换，它的表就是 AB。（本章 2.5 节的说法。）
系数说法 AB 的第 j 列，是 A 的各列按 B 的第 j 列的系数加权求和。（这个说法在证明秩不等式时最有用。）
三种说法说的是同一件事，但各有适用场合。第一句负责计算，第二句负责理解，第三句负责证明。
如果乘法只定义成逐位相乘，那么「变换的复合」这个最重要的几何动作就无表可写——两个可写的动作合起来反而不可写了。所以乘法规则不是「约定」，而是被要求「与复合兼容」逼出来的唯一解：
（i）乘法的结果必须是 m × n 的表（否则不能表示复合后的变换）；
（ii）乘积应当对两个因子各自线性（否则交换与叠加就说不通）；
（iii）在这些要求下，cij = Σk aikbkj 是唯一的可能。
这就是数学里常见的「泛性质」思维：不是「我们喜欢这样定义」，而是「要使某个性质成立，只能这样定义」。
初学时常觉得非交换是「麻烦」。换个角度看：一个集合上的运算是交换的，意味着这个对象「记不住次序」；而现实中的很多动作恰恰以次序为内容——先穿袜子再穿鞋与先穿鞋再穿袜子不是一件事（这个比喻在数学普及书里很有名）。矩阵乘法的不交换性，正是它能够表示「有次序的动作」的证据。
更深的道理在下册：三维空间里绕不同轴的旋转群 SO(3) 是非交换的，正是这个非交换性支撑了刚体力学、量子力学的角动量代数。非交换不是缺陷，是非平凡的来源。
问一 把三种说法各自套到例题 1 的 AB 上，看是否得到同一个矩阵。哪一句最快？哪一句最不容易出错？
问二 如果允许「逐位相乘」作为一种新运算（通常记作 A ∘ B），它会满足分配律吗？它有单位元吗？它能把「复合」表示出来吗？
问三 本章反复出现「幂的可交换」（ApAq = AqAp）。说明：为什么同一个矩阵的多项式总能互相交换？这一事实在例题 12(3) 的幂零求逆里起了什么作用？
六步方法表（本章所有题型都可以归到这六步之一）
| 步骤 | 要做什么 | 用到的工具 | 典型题 |
|---|---|---|---|
| 1 | 先写型，检查能否运算 | 型配对规则 | 例1(3)、习题课一第 3 题 |
| 2 | 恒等式题：展开—合并—回证 | 分配律 + 可交换条件 | 例12、习题课二第 4 题 |
| 3 | 求逆：同步操作 AI | 算法 2.1 | 例5、习题课四 |
| 4 | 求秩：阶梯形 或 子式夹逼 | 第一章定理 + 定义 2.13 | 例7、习题课六 |
| 5 | 解方程 AX = B：先判秩再分情形 | 第一章定理 1.4/1.7 | 例11、习题课九 |
| 6 | 大矩阵：分块 + 回乘验算 | 定理 2.5 | 例2、习题课三 |
数学史上，每一次大的进步都伴随着一次「语言升级」。笛卡尔把几何变成坐标，于是曲线有了方程；线性代数把「解方程」变成「矩阵与向量空间」，于是无穷多的问题被归成几个可以分类的对象。
矩阵这门语言有三个特点，值得记住：
一、它把「过程」变成「对象」。消元是一个过程，矩阵乘法把一串过程打包成一个对象。有了对象，才可以研究「两个对象是否等价」「等价类有几个」。
二、它把「关系」变成「运算」。「先做 B 再做 A」这样的关系，在矩阵语言里就是一次乘法。关系一旦变成运算，就可以计算、可以化简、可以证明。
三、它把「问题」变成「不变量」。「这道题有没有解」变成「增广矩阵的秩是多少」；「解唯一吗」变成「A 可不可逆」；「两个变换是不是本质相同」变成「它们的秩是否相等」。把问题变成一个不变的数，这是线性代数最深的技巧，也是本章最重要的收获。
下册将在这门语言上继续升级：从「有限维向量空间」到「线性变换的代数」，从「数值不变量」到「特征值与若尔当块」，最后走到几何——欧氏空间、仿射空间、射影空间。而这一次，语言不再从方程出发，而是从「空间与变换」出发。
下面八条恒等式，按难度递增。前四条是本章工具的复习，后四条通向下册。
1. 证明 (A + B)t = At + Bt、(λA)t = λAt。
提示：逐位比对。
2. 证明 (ABC)t = CtBtAt（三次，或一般地 n 次）。
提示：把 BC 看成一块，用两次定理 2.4(4)，再用归纳法推广到任意多个因子。结论：转置把整个乘积的次序倒过来。
3. 证明若 A 对称、P 可逆，则 PtAP 对称。
证：(PtAP)t = PtAt(Pt)t = PtAP。这个构造叫「合同」，下册讲二次型时会成为主角。
4. 证明 tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB)（循环置换不改变迹）。
提示：用 tr(XY) = tr(YX) 两次。
5. 设 A 满足 A2 − 3A + 2I = O。证明对任意正整数 m，Am 都可写成 αA + βI 的形状。
提示：由等式得 A2 = 3A − 2I，于是 A3 = 3A2 − 2A = 3(3A − 2I) − 2A = 7A − 6I，依此类推。关键观念：这个等式把 A 的幂限制在一个二维子空间里——它就是下册「最小多项式」的最简例子。
6. 设 A2 = A，证明 A(I − A) = O 且 (I − A)2 = I − A；再证明 (2A − I)2 = I。
提示：(2A − I)2 = 4A2 − 4A + I = 4A − 4A + I = I。意义：投影对应一个反射。零化多项式 x2 − x 与 x2 − 1 分别刻画这两类对象。
7.（提高）设 A、B 为同阶方阵，AB − BA = A。证明 A 不可逆（提示：先把等式改写成 AB = A + BA = A(I + B)… 再比较秩，或用「取迹」）。
提示（取迹法）：两边取迹得 tr(AB) − tr(BA) = tr(A)，左端为 0，故 tr(A) = 0。这只给了一个必要条件，不能直接结论——但可以继续用「Am 的迹也为 0」这条线索做下去（这是下册「幂零矩阵的迹」的经典论证）。本题的真正价值在于：让看到「迹」这个看似简单的量，能做不平凡的推理。
8.（提高）证明：若 A 与所有同阶矩阵可交换，则 A 是数量矩阵。
提示：取 Eij（只有 (i,j) 位为 1）。比较 AEij 与 EijA 的非零位置，可推出 aii = ajj（对所有 i ≠ j）以及 akl = 0（对所有 k ≠ l）。这就是定理 2.16(3)。
秩的不等式是本章最实用的工具。下面的定理构成一个完整的小专题，学完后可以应付绝大多数「矩阵秩」的竞赛与考研题。
秩不等式（总表） 设各运算有意义：
（A1）r(A + B) ≤ r(A) + r(B)；
（A2）r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}；
（A3）r(PAQ) = r(A)（P, Q 可逆）；
（A4）r(AB) ≥ r(A) + r(B) − n（A 为 m × n，B 为 n × p，Sylvester）；
（A5）rAOOB = r(A) + r(B)；
（A6）rACOB ≥ r(A) + r(B)。
1. 用（A2）与（A3）说明：初等变换不改变秩。
提示：初等变换 = 左乘或右乘初等矩阵，而初等矩阵可逆，取 Q = I 即得。
2.（A5）的证明：证明准对角块矩阵的秩等于两块秩之和。
提示：见习题课三第 3 题（列空间的直和）。
3.（A4）的证明（Sylvester 不等式）。
提示：考虑 M =InBAO，用两类分块变换分别把 M 化为InBO−AB与InOO−AB，两次都用可逆的块三角矩阵（其逆形如（A5）题中已见的 IOXI），由（A3）秩不变，得两边关系。展开后即得 r(AB) ≥ r(A) + r(B) − n。
4. 应用：设 A 为 3 × 5 矩阵、B 为 5 × 3 矩阵，已知 AB = I3。求 r(B) 的可能值。
解：由（A2）3 = r(AB) ≤ r(B) ≤ 3（因为 B 只有 3 行），故 r(B) = 3。这解释了为什么「非方阵也可以有右逆」——只要秩足够。
5. 应用（Sylvester）：设 A、B 为 n 阶方阵，AB = O。证明 r(A) + r(B) ≤ n。
证：由（A4）得 0 = r(AB) ≥ r(A) + r(B) − n，移项即得。这个不等式是「零因子的定量版」：两个非零矩阵相乘为零，说明它们的秩按「互补」的方式被压在 n 以下。它是本章所有秩不等式里应用最广的一条。
6.（综合）设 A 为 n 阶方阵、A2 = A。用（A4）与（A5）证明 r(A) + r(I − A) = n。
提示：由 A(A − I) = O 得 r(A) + r(A − I) ≤ n；又 r(A − I) = r(I − A)。另一边用 A + (I − A) = I 得 n ≤ r(A) + r(I − A)。两向夹出等式。注意这一路的证明完全避开了「直和分解」，只用了秩不等式——这是「不等式工具」威力的最好展示。
本章的每个定义都可以写成几行程序。做完这个实验，会对「为什么乘法要这样定义」有一层新的体会：逐位相乘的程序谁都会写，乘法规则的程序需要三重循环——它的结构本身就说明了「行碰列」的必然性。
实验 2.1 矩阵乘法的朴素实现
对 m × s 的 A 与 s × n 的 B，按定义直接三重循环：
for i in 1..m: for j in 1..n: c[i][j] = 0； for k in 1..s: c[i][j] += a[i][k]·b[k][j]。
数的乘法共 m·s·n 次。当 m = s = n 时约 n3 次——这是本章唯一一个「规模」概念。
实验 2.2 分块实现（块大小 b）
把 A、B 按 b × b 分块，对每对块调用实验 2.1 的小规模乘法，再按块相加。数的乘法次数仍然是 n3，但内存访问的局部性大幅改善——在真实计算机上，速度常常提高数倍。这解释了为什么工程实现里到处是分块。
实验 2.3 用秩检验库函数
随机生成若干 3 × 3 整数矩阵，用两种方式求秩：（i）按第一章的阶梯形算法；（ii）按子式法（枚举所有 3 阶、2 阶子式）。要求两种方式结果一致——这是对「行秩 = 列秩 = 子式刻画」的一次实证检验。
思考题 （1）为什么矩阵加法不可能用「行碰列」而必须「逐位」？提示：加法对应的是「两个变换的作用叠加」，叠加是逐点进行的。运算的定义方式，由它要表示的动作决定。
（2）已知存在复杂度低于 n3 的矩阵乘法算法（Strassen 1969 年给出 nlog27 ≈ n2.807 的算法）。这些算法的出发点全在分块上：把 2 × 2 块矩阵的乘法用 7 次小块乘法完成（而不是通常的 8 次）。这个事实说明了「结构」的什么价值？
满分 100 分，建议用时 90 分钟。允许带一张手写公式卡（不许写文字说明）。
一、（24 分，每题 6 分）计算或判断。
（1）设 A =1234，B =0110，求 AB 与 BA，并指出两者是否相等。
（2）求 r123246101。
（3）求 1101 的逆矩阵。
（4）判断：若 A2 = O，则 A = O。
二、（24 分，每题 12 分）解答。
（1）用高斯—若尔当法求 A =123253108 的逆矩阵。
（2）解矩阵方程 CX = D，其中 C =1224，D =12。
三、（24 分，每题 12 分）证明。
（1）证明 r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}。
（2）设 A, B 同为 n 阶方阵且 AB = I，证明 BA = I。
四、（28 分）综合。
（1）（14 分）判断 k 取何值时 A(k) =k111k111k 可逆，并说明理由。
（2）（14 分）用分块乘法计算 IOAIIBOI（A =2345，B =1234），并指出右下块为什么不是 AB。
参考答案与评讲要点
一（1）AB =2143，BA =3412，不等。评讲要点：B 是交换两行（也是交换两列）的矩阵，左右乘一次就得到「换行」与「换列」两个不同结果——这是理解左乘右乘之别的最小例子。
一（2）r = 2。评讲要点：必须指出第 2 行 = 2 × 第 1 行（所以秩最多 2），再给出一个二阶非零子式（如 1311，det = −2 ≠ 0）说明秩至少 2。只写「显然」不得分。
一（3）1−101。评讲要点：验算一次。
一（4）错。反例 A =0100。评讲要点：这是本章最重要的「反直觉」结论之一，必须给出具体反例。
二（1）A−1 =−4016913−5−35−2−1。评讲要点：过程要写出每一步操作（左右同步），不能只报答案；最后用一行乘法验算。
二（2）X =10 + t−21。评讲要点：先判秩（r(C) = r(CD) = 1 < 2）再下结论；必须写出通解而不是一个特解。
三（1）见例题 8(1)。评讲要点：用「列空间包含」给出不等式的写法是标准答法；能把「行」与「列」两种视角都写出来的，给满分。
三（2）见习题课八第 4 题。评讲要点：核心是 r(A) = n 这一步。若跳过它直接说「两边左乘 A−1」，属于循环论证（A−1 的存在性正是要证的）。这是本题唯一的陷阱。
四（1）k ≠ 1, −2。评讲要点：必须写出 det = (k−1)2(k+2)，并分三段讨论秩（k ≠ 1, −2 时 r = 3；k = 1 时 r = 1；k = −2 时 r = 2）。只报可逆条件不讨论退化的，扣一半分。
四（2）结果 =IBAI + AB =10120134231216451929。评讲要点：右下块由 A·B + I·I 两项相加而来，故为 I + AB。本章结课提醒：看到分块结果先回乘一遍，是唯一能保证不丢项的习惯。
本章结束语 现在手里有一件工具，它把「解方程组」变成了「研究对象」；也第一次看到，抽象的术语（环、群、不变量、分类）不是装饰，而是从具体问题里长出来的。下一章《行列式：可乘的不变量》将把本章悬着的两个问题合上一半；另一半——「矩阵之间如何才能算同一个」——要等到下册的相似分类。
第二章结束的时候，我们手里有一张「可逆的等价刻画」清单，一共六条。其中第五条是「r(A) = n」，而第六条当时只写了一个符号、没有给内容：(6) det A ≠ 0。det 这个记号是什么、为什么它能判可逆、它又凭什么值得与「秩」并列——本章整整五十页，就是在回答这三问。
先把问题本身摆正。n 个方程、n 个未知数，什么时候恰好有一个解？第一章已经给出过答案：「秩 = n」。但秩要消完元才知道，是「算到最后才见分晓」的量。人们自然要问：能不能从系数出发直接写出一个数，这个数非零当且仅当解唯一？这样的数如果存在，它就是方程组的一枚「体检指标」——不用开刀，抽一管血就知道结果。
两直线的情形图上已经说尽：相交、平行、重合，三种局面。平行与否由什么决定？把两条直线都写成 a1x + b1y = c1 与 a2x + b2y = c2，那么「不平行」就是a1b2 − a2b1 ≠ 0。这个「交叉相乘再相减」的式子，就是本章主角的 n = 2 版本。行列式不是发明出来吓人的记号，它是「不平行」这件事的代数名字。
〔明线〕本章路线 明线仍然是解方程。本章要立起来的东西依次是：二、三阶的直观定义（3.2）→ 排列与逆序数（3.3）→ n 阶定义（3.4）→ 四条性质（3.5–3.8）→ 展开降阶（3.9–3.10）→ 范德蒙德与乘法规则（3.11–3.12）→ 克拉默法则（3.13）→ 补全可逆第六种说法（3.14）→ 体积与定向（3.15）→ 伴随求逆（3.16）→ 唯一性刻画（3.17）→ 群同态接口（3.18）。每一步都从「解方程」的需要里长出来。
定义 3.1（二阶行列式） detabcd = ad − bc。二阶方阵 A 的行列式记作 det A 或 |A|。
这不是一个随手写下的式子。第三章开头已经说过，它就是a1b2 − a2b1——「两条直线不平行」的代数名字。几何上它还有第二个身份：把矩阵的两行看作平面上从原点出发的两个向量，以它们为两边作平行四边形，|ad − bc| 恰是这个平行四边形的面积；而ad − bc 的正负号记录的是这两个向量的先后次序（顺时针还是逆时针），称为定向。
三阶的情形，教科书上有一条「对角线法则」（萨吕法则）：主对角线方向的三个乘积取正，副对角线方向的三个乘积取负，六项相加。先看数字再谈规则。
det1234567810 = 1·5·10 + 2·6·7 + 3·4·8 − 3·5·7 − 1·6·8 − 2·4·10 = 230 − 233 = −3。
为什么必须另立定义 因为对角线法则在 n = 4 时只给出 8 项，而按「每行取一个、每列取一个」的要求应有 4! = 24 项——它漏了一大批。真正的一般定义要到 3.4 节才立起来，而它的钥匙藏在 3.3 节：先学会数「顺序的乱程度」。
要写下「每行取一个、每列取一个」的所有取法，最自然的记法是排列：把 1, 2, …, n 按某种次序排成一列，记作 j1j2⋯jn，它代表「第 1 行取第 j1 列、第 2 行取第 j2 列、……」。全取法共 n! 种。但每项该带正号还是负号？答案藏在一个可以数出来的量里。
定义 3.2（逆序与逆序数） 在一个排列中，若一对数的前后次序与大小次序相反（大的排在了小的前面），称为一个逆序。排列中逆序的总数称为逆序数，记作 τ(j1j2⋯jn)。τ 为偶数的排列叫偶排列，为奇数的叫奇排列，并记 sgn(j1j2⋯jn) = (−1)τ，称为排列的符号。
数逆序的办法很笨但很可靠：从左到右，逐个数「它右边有几个比它小的」，再求和。例如 2413：2 的右边只有 1 比它小（1 个）；4 的右边有 1、3 比它小（2 个）；1 的右边没有；合计 τ(2413) = 3，奇排列，符号为 −1。
定理 3.1（对换改变奇偶性） 把排列中任意两个数对换位置，排列的奇偶性改变。推论：在 n ≥ 2 时，奇排列与偶排列各占一半，各 n!/2 个。
定理 3.1 的证明是一个漂亮的计数论证：对换之后，只有「涉事的两数之间」的那些数对改变了逆序状态，而被跨过的每个中间数恰贡献两次翻转——总数加加减减下来，奇偶性必然翻转。这条定理眼下看起来只是个关于计数的小事实，但它马上会变成行列式性质的发动机：「换两行，行列式变号」（3.6 节）说的正是同一件事。
| 排列（n = 3） | 123 | 132 | 213 | 231 | 312 | 321 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 逆序数 τ | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 |
| 符号 sgn | + | − | − | + | + | − |
现代接口 「sgn」是第一头从代数里钻出来的特征标：它把「重排」这种操作翻译成 ±1，并且满足 sgn(σρ) = sgn(σ)·sgn(ρ)——先把两件事各自的符号乘起来，等于合成这件事的符号。这正是 3.18 节「群同态」的预演，也是对称群 Sn 进入线性代数的入口。
定义 3.3（n 阶行列式） 设 A = ［aij］ 为 n 阶方阵。定义
det A = Σ(j1⋯jn) sgn(j1j2⋯jn) · a1 j1 a2 j2 ⋯ an jn
其中求和跑遍 1, …, n 的全部 n! 个排列。用一句话说：每行取一个、每列取一个的乘积，按「取法的乱序程度」决定正负号，全部加起来。
这个定义值得慢读三遍。它有三层意思：第一，每一项都从每一行里恰取一个数；第二，取过的列不能重取（所以是排列）；第三，正负号由排列的逆序数决定，与数的大小无关。n = 2 时它给出 ad − bc，n = 3 时展开恰是萨吕的六项——定义与直观在低阶完全吻合，这不是巧合，而是设计。
看一个四阶的实际算例。取
| 1 | 0 | 2 | −1 |
| 3 | 0 | 0 | 5 |
| 2 | 1 | 4 | −3 |
| 1 | 0 | 5 | 0 |
按定义要写 24 项，但不必慌：第 2 列只有一个非零元 a32 = 1，所以凡「第 3 行不取第 2 列」的项全是零，可直接划掉。剩下的活口逐行清点——第 2 行只能取第 1 或第 4 列，第 4 行只能取第 1 或第 3 列，逐一对凑，存活项恰有三个：
| 取法 σ | 乘积 | 逆序数 τ | 符号 | 带符号项 |
|---|---|---|---|---|
| (1, 4, 2, 3) | 1·5·1·5 = 25 | 2 | + | +25 |
| (4, 1, 2, 3) | (−1)·3·1·5 = −15 | 3 | − | +15 |
| (3, 4, 2, 1) | 2·5·1·1 = 10 | 5 | − | −10 |
det A = 25 + 15 − 10 = 30。
三个活口而不是一个——这正是要点。按定义算行列式是「可行但愚勇」：n! 增长太快，10! = 3628800 项，机器也吃不消。所以定义负责「说清楚它是什么」，计算要靠 3.8 节的消元算法与 3.9 节的展开降阶。本例若沿第 2 列展开（定理 3.9），一步就化为一个三阶：这个「愚勇而可行」的定义，完整地走一遍再看后面的捷径。
现代接口 「每行取一个、每列取一个，再按乱序定号求和」这种构造，在抽象代数里称为交错化（alternatization）。它出现的场合远不止行列式：凡是想从「n 个输入」造出一个「对顺序敏感」的量，都是这条路。3.17 节将证明：满足三条公理的这种函数有且只有一个——那时「行列式」就会从一个定义升格为一个被唯一刻画的对象。
定理 3.2（转置不变） 对任意 n 阶方阵 A，det(At) = det A。
证 At 的 (i, j) 元是 aji。按定义展开 det(At) 的每一项形如 sgn(σ)·aσ(1) 1⋯aσ(n) n，把乘积因子按行号重排即得 sgn(σ−1)·a1 σ−1(1)⋯，而排列与它的逆有相同的奇偶性（τ(σ) = τ(σ−1)），于是逐项对应、总和相等。∎
证明的门槛只有一个：要相信「τ(σ) = τ(σ−1)」。直观地说，把 n 个数对的「前后关系」整个翻过来，逆序对与顺序对恰好互换，总数 n(n−1)/2 不变，奇偶性自然不变。
数值上立刻可以核对：三阶例 det1234567810 = −3，转置后按行算 1·5·10 + 4·8·7 + 7·2·6 − 7·5·6 − 1·8·6 − 4·2·10 = 230 − 233 = −3，分毫不差。
这条定理的价值在于省一半的话：从此凡是对「行」证明的性质，对「列」自动成立。行列式因此是一台双面机器——行视图与列视图是同一台机器的两个观察角度，这与第二章「行秩 = 列秩」的精神完全一致：好的对象不偏袒任何一个视角。
与第二章的呼应 2.7 节说转置是「反变」的：(AB)t = BtAt。行列式却对转置纹丝不动——反变的操作遇上一个不变量，恰好互相抵消。这种「一个反变、一个不变」的搭配在数学里反复出现，记住这一对，下册讲对偶空间时会再遇到。
定理 3.3（换行变号） 交换方阵 A 的第 i 行与第 j 行得到 A′，则 det A′ = −det A。
证 按定义，det A′ 的每一项与 det A 的项一一对应：取法的差别只是把排列 σ 换成 σ∘(ij)——即先做一次对换再做 σ。由定理 3.1，对换改变奇偶性，故每一项都恰好变号，总和自然变号。∎
注意证明里发生了什么：行与列的角色根本不对等。交换两行动的是「取法的排列」，所以变号来自 sgn；而交换两列在转置不变性下结论相同（定理 3.2 把行的话翻译给列）。性质本身对称，证明的机理却分工明确。
推论 3.4（两行相同或成比例） 若方阵有两行相同或成比例，则 det A = 0。证：交换这两行，矩阵不变而行列式变号，故 det A = −det A，即 det A = 0。∎
数值核对：把三阶例的第 1、3 行交换得 7810456123，萨吕算得 7·5·3 + 8·6·1 + 10·4·2 − 10·5·1 − 7·6·2 − 8·4·3 = 275 − 266 = +3，恰是 −(−3)。
〔几何〕两行相同为什么面积是零 把两行看成平行四边形的两条边：两条边重合（或共线），四边形被压扁成一条线段，面积自然是零。推论 3.4 的代数证明与这幅几何图景完全同构——「det A = 0 ⟺ 降维」这根线，将在 3.15 节正式接到体积上。
定理 3.5（单行线性） 行列式对单独一行是线性的：
（1）倍乘：第 i 行各乘 k，行列式变为 k 倍；
（2）拆分：若第 i 行 = 行 u + 行 v（其余行不动），则 det A = det Au + det Av，其中 Au、Av 分别是把第 i 行换成 u、v 所得的矩阵。
证明几乎是照抄定义：每一项 a1 j1⋯an jn 恰含第 i 行的一个因子，所以第 i 行乘 k 时每一项乘 k；第 i 行拆成两项时每一项拆成两项。符号 sgn 只管「取法」，不管数值，故原样保留。
推论 3.6（全阵倍乘） det(kA) = kn det A。证：n 行依次各乘 k，共乘 n 次。∎
推论 3.6 是初学者的经典陷阱：det(2A) 不是 2 det A，而是 2n det A。三阶例里 det(3A) = 27 × (−3) = −81，动手一算便知。
数值核对拆分（第 3 行拆开）：
det1234567810 = det123456784 + det123456006 = 15 + (−18) = −3 ✓
现代接口 「对每一行线性、对换行变号、在单位阵上取 1」——这三句话在 3.17 节将被立为三条公理，并证明满足它们的函数唯一。这是数学的一种标准玩法：先用法，后立法。欧几里得几何的公理、群的公理、拓扑的公理，走的都是同一条路。
定理 3.7（消法变换不变） 把第 j 行的 k 倍加到第 i 行（j ≠ i），行列式不变。
证 由定理 3.5(2) 拆分：
det(⋯, ri + k·rj, ⋯) = det(⋯, ri, ⋯) + k · det(⋯, rj, ⋯)，
第二项的矩阵里第 i 行与第 j 行相同，由推论 3.4 其值为 0。∎
这个证明是全章最漂亮的两行论证：拆分把「消法」拆成「原样」加「两行相同」，而后者恰是零。性质一至四至此齐备，先合成一张总表——它们正是第一章三种初等行变换在行列式上的「收费表」：
| 初等行变换 | 对 det 的作用 | 出处 |
|---|---|---|
| 交换两行 ri ↔ rj | 变号 | 定理 3.3 |
| 某行乘非零数 ri × k | 乘 k | 定理 3.5(1) |
| 消法 ri + k·rj | 不变 | 定理 3.7 |
定理 3.8（用消元算行列式）〔明线〕 用初等行变换把 A 化为上三角阵 U，则 det A = (±1) · (所有倍乘因子的乘积) · det U；而 det U = 对角元之积。于是行列式可以在 O(n3) 步内算出——第一章的消元算法（张苍法）多了一种收获。
拿三阶例实际走一遍：r2 − 4r1、r3 − 7r1（两次消法，不变），得 1230−3−60−6−11；再 r3 − 2r2（消法），得 1230−3−6001。全程无换行、无倍乘，故
det A = 1 × (−3) × 1 = −3 ✓
〔明线〕算法的三份收成 张苍法至今交出了三份答卷：第一章用它解方程；第二章把它写成「左乘一串初等矩阵」，长出逆矩阵与秩；本章它又顺手算出行列式。同一套动作，三种产出——这正是「直观可操作的算法」配得上当一条明线的原因：它不是通往现代语言的台阶，它本身就是现代语言在地面的样子。
定义 3.4（余子式与代数余子式） 在 n 阶方阵 A 中，划去第 i 行、第 j 列后剩下的 (n−1) 阶行列式记作 Mij，称为余子式；而
Aij = (−1)i+j Mij
称为代数余子式。系数 (−1)i+j 在方阵上排成一个棋盘花纹，正负相间，从左上角的 + 开始。
定理 3.9（按行/列展开） 对任意固定的 i（或 j）：
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ⋯ + ainAin = a1jA1j + a2jA2j + ⋯ + anjAnj
定理 3.10（错位展开为零） 当 i ≠ k 时，ai1Ak1 + ⋯ + ainAkn = 0：一行的元素乘另一行的代数余子式，和为零。证：把第 k 行换成第 i 行得到新阵，它有两行相同故行列式为零；对这个新阵按第 k 行展开，即得上式。∎
定理 3.9 是「降阶」的许可证，定理 3.10 是后面 3.16 节伴随矩阵的发动机，都记住。数值上把图 3-6 右侧的四阶走完：划去第 2 行第 2 列后剩 305040701，沿其中第 2 列再展开，4 · det3571 = 4·(3 − 35) = −128，于是 det = 2 × (−128) = −256。
现代接口 「取一元、降一阶、带符号求和」——展开定理本质上是一个递归算法，它把 n 阶行列式归结为 n−1 阶。递归与归纳是同一件事的两面：定理 3.9 的证明正是对 n 作归纳。这种「定义即算法、证明即归纳」的样式，在多项式环（第六章）与范畴论里会反复出现。
3.9 节的展开是「一次取一行里的一元」。拉普拉斯把它推广为「一次取 k 行里的一切 k 元组合」——一般形式平时用得少，但它的一个特例（分块三角）是高阶行列式计算的顶梁柱。
定理 3.11（拉普拉斯展开） 在 n 阶行列式中取定某 k 行，设这 k 行中所有 k 阶子式为 N1, …, Nt（t = C(n, k)），各自对应的代数余子式为 Ā1, …, Āt，则 det A = N1Ā1 + ⋯ + NtĀt。
取 k = 1 就回到定理 3.9。真正天天在用的是 k 恰好圈出一个角落时的情形——分块三角行列式：
定理 3.12（分块三角） 设 A 为 p 阶、D 为 q 阶方阵，B、C 为长方块，则
detABOCED = det A · det D， detAOCBED = det A · det D
即：分块上（下）三角行列式 = 对角块行列式之积，与另一角的块无关。
证（以左式为例） 先设 A 可逆。用行变换 r ← r − C·A−1·(上块) 把左下块 C 消成零：由分块乘法（定理 2.5），
IO−CA−1OIOABOCED =ABOOED
左边的消法块是若干次消法行变换的合成，行列式不变（定理 3.7）；右边的矩阵已是分块对角，沿前 p 行用拉普拉斯展开（或直接按定义：每个非零项须在前 p 行内取前 p 列），得 det A · det D。若 A 不可逆，用「A + εI 可逆」的摄动论证过渡（或把 det A 看成变量的多项式），等式照样成立。∎
数值核对：四阶阵 M =120340（下块），即 1200340011562378，按定理 3.12 应等于 det1234· det5678 = (−2)(−2) = 4——拉普拉斯展开与直接消元都给出 4。再如 1234012300210012，右上块的取值无关紧要：det = 1 × (2·2 − 1·1) = 3。
现代接口 分块语言是「直和」的代数影子：分块对角阵 diag(A, D) 对应表示空间 V = V1 ⊕ V2，行列式的乘法性正说的是「整体不变量 = 各部分不变量之积」。这句话在表示论里会升格为一条原理；眼下记住：看到分块三角，就想到「可拆」。
定义 3.5（范德蒙德行列式） 以 x1, x2, …, xn 为参数的行列式
V(x1, …, xn) = det11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮ ⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1
定理 3.13（范德蒙德公式） V(x1, …, xn) = Π1 ≤ i < j ≤ n (xj − xi)，即所有「后面的减前面的」两两差的乘积。
证（递推） 从最后一行起，每行减去上一行的 x1 倍：ri ← ri − x1 ri−1（i = n, …, 2）。消法变换不变，而第一列除 1 外全变为 0；按第一列展开后，每一列都提出公因子 (xj − x1)，剩下的恰是 n−1 个变元的范德蒙德行列式。归纳到底，得全部两两差之积。∎
低阶核对：V(x1, x2) = x2 − x1（二阶，即「不平行」本身）；V(1, 2, 3) = (2−1)(3−1)(3−2) = 2；V(1, 2, 3, 4) = 1·2·3 · 1·2 · 1 = 12。再取含负数与零的两组：V(0, 1, 3) = (1−0)(3−0)(3−1) = 6；V(−1, 1, 3) = (1−(−1))(3−(−1))(3−1) = 2·4·2 = 16。
〔几何〕范德蒙德何时非零 公式里的乘积为零当且仅当某两个 xi 相等。于是：n 个互不相同的横坐标 ⟺ 范德蒙德行列式非零——这正是「过 n 个横坐标不同的点，恰有一条次数 ≤ n−1 的多项式」的代数内核（第六章多项式环会正面处理它）。一个行列式，替「存在唯一」把了关。
定理 3.14（乘法规则） 对 n 阶方阵 A、B：det(AB) = det A · det B。
证（骨架） 关键在初等矩阵。三类初等矩阵逐一验算：换行阵的行列式为 −1，左乘它使 B 换行、使 det B 变号，两边同时变号；倍乘阵行列式为 k，两边同乘 k；消法阵行列式为 1，两边都不变。故对一切初等矩阵 E：det(EB) = det E · det B。而可逆阵可写成初等阵之积（第二章定理 2.8），逐次套用即得 det(PB) = det P · det B 对一切可逆 P 成立。最后，若 A 不可逆，则 AB 也不可逆（否则 A = AB·B−1 可逆，矛盾），两边同为 0。∎
这条定理是全章的题眼——章题「可乘的不变量」五个字说的就是它。数值核对：A = 1234、B = 5678，AB = 19224350，det(AB) = 19·50 − 22·43 = 4 = (−2)(−2)。三阶时取换行阵 P 乘前面的三阶例，det(PA3) = −det A3 = +3 = det P · det A3，两边一致。
推论 3.15 ① A 可逆时 det A ≠ 0，且 det(A−1) = 1 / det A；② det(AtA) = det(A)2；③ det(Ak) = (det A)k；④ det(adj A) = (det A)n−1（3.16 节）。
现代接口 「把乘法变成乘法」的映射是群同态；把加法变成加法的映射是线性映射。行列式同时是两件事的化身：对矩阵乘法它是同态，对「行的加法」它是线性函数。3.18 节将把这句话写成定理：det : GLn(𝔽) → 𝔽* 是满的群同态，核是特殊线性群 SLn(𝔽)。
现在兑现本章开头许下的诺言：用系数直接写出解。设 n 个方程 n 个未知数的方程组 Ax = b，系数行列式 D = det A。把常数列 b 换掉第 i 列所得的行列式记作 Di。
定理 3.16（克拉默法则） 若 D ≠ 0，则方程组有唯一解，且
x1 = D1/D， x2 = D2/D， …， xn = Dn/D。
证（一行的证明） 由第二章，D ≠ 0 时 A 可逆，解为 x = A−1b。而 3.16 节将证 A−1 = adj A / D，其第 i 个分量恰是 Di/D——按第 i 列展开 Di，出现的正是 b 的分量与 A 的代数余子式的错配乘积和，由定理 3.9 它就是解的第 i 个分量。唯一性由 A 可逆直接给出。∎
实际走一个三阶。方程组：
2x + y − z = 8； −3x − y + 2z = −11； −2x + y + 2z = −3
| 行列式 | 值 | 除以 D |
|---|---|---|
| D（系数阵） | −1 | —— |
| D1（第 1 列换成 8, −11, −3） | −2 | x = 2 |
| D2（第 2 列换成 8, −11, −3） | −3 | y = 3 |
| D3（第 3 列换成 8, −11, −3） | 1 | z = −1 |
回代检验：第 1 式 2·2 + 3 − (−1) = 8 ✓；第 2 式 −3·2 − 3 + 2·(−1) = −11 ✓；第 3 式 −2·2 + 3 + 2·(−1) = −3 ✓。
〔明线〕克拉默的美与贵 克拉默法则美在公式：解被写成系数的显式函数，这是「唯一性」最干净的证书；贵在代价：算 n+1 个 n 阶行列式，按定义要 (n+1)·n! 次乘法，而消元只要约 n3/3 次——n = 10 时是三千万对三百。所以工程上没人用克拉默解方程；但它给出的「解是系数的有理函数」这个结构性事实，理论上是消元法给不出的。公式与算法，各有各的用途——这正是「两副面孔」的分工。
定理 3.17（可逆的行列式判据） n 阶方阵 A 可逆 ⟺ det A ≠ 0。此时 det(A−1) = 1/det A。
证 （⟹）A 可逆时 AA−1 = I，两边取行列式：det A · det(A−1) = det I = 1，故 det A ≠ 0 且倒数关系成立。（⟸）若 det A ≠ 0，把 A 用消元化成上三角 U：换行只改符号、倍乘只乘非零数、消法不动，故 det A = (±1)·(非零数之积)·det U；det A ≠ 0 迫使 det U ≠ 0，即 U 的对角元全非零，r(U) = n，于是 r(A) = n，由第二章第五种说法 A 可逆。∎
至此第二章那张「可逆等价清单」的第六条补全。把七种说法并排写在一张图里——它们是同一个事实的七种语言：
〔明线〕回到最初的算题 《九章》那道 39 斗题的系数阵 321231123，行列式 3(9−2) − 2(6−1) + 1(4−3) = 21 − 10 + 1 = 12 ≠ 0——所以它有唯一解，古人的直除终有尽头而不会白走。两千年前的算法，今天可以说得这样干脆：因为行列式不为零。
前三节把行列式当「数」研究，本节把它的几何身份说破。以二阶为例（图 3-2 已示）：两行向量张成平行四边形，|det| 是它的面积。三阶同理：三个行向量张成平行六面体，|det| 是它的体积。n 阶行列式则 measure 着 n 维空间里的「n 维体积」。
定理 3.18（体积伸缩率） 设 T 是 n 阶方阵给出的线性变换。任何区域 Ω 经 T 作用后的体积满足
vol(T(Ω)) = |det T| · vol(Ω)。
证（骨架） 先对小方块证：边向量 v1, …, vn 的平行体体积正是 |det［v1 ⋯ vn］|，而变换后的边是 Tv1, …, Tvn，其行列式为 det T · det［v1⋯vn］。再由「任何区域是有限个小方块的极限」，伸缩率逐块相同，整体成立。∎
常用的三个低维公式由此立得：
| 几何对象 | 公式 | 数值例 |
|---|---|---|
| 三角形面积（顶点 P、Q、R） | ½ |detQ−PR−P| | (0,0), (2,1), (1,3)：½·|2·3−1·1| = 5/2 |
| 平行六面体体积 | |det(三个行向量)| | diag(1, 2, 3)：6 |
| 四面体体积 | ⅙ |det| | 单位卦限顶点：1/6 |
定向。det T 的符号另有含义：为正，说明变换保持了平面的「左右手性」（逆时针仍逆时针）；为负，说明翻了一次面——镜面反射的 det = −1，旋转的 det = +1。行列式因此一个数说了两件事：大小（伸缩多少）与方向（是否翻面）。退化情形 det = 0 则是把空间压扁到低维——正是「不可逆」的几何本相。
〔几何〕下册的接口 「|det| = 1 的线性变换」恰好是保体积的那些——刚体运动与镜面反射都在其中，这正是下册正交变换的世界（O(n)，其中 det = 1 的子群 SO(n) 是纯旋转）。本节的 det 为下册欧氏几何准备了一把尺子：几何上的「刚体」，代数上就是行列式绝对值为 1 的正交变换。
定义 3.6（伴随矩阵） 把 n 阶方阵 A 的代数余子式 Aij 按原位排成矩阵 C = ［Aij］，它的转置称为 A 的伴随矩阵：
adj A = Ct = ［Aji］。
易错点：伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置，不是它本身。
定理 3.19（基本恒等式） A · adj A = adj A · A = (det A)·I。
证 A·adj A 的 (i, i) 元是 Σk aikAik——第 i 行元素乘第 i 行的代数余子式之和，由定理 3.9 等于 det A；而 (i, j) 元（i ≠ j）是第 i 行元素乘第 j 行的代数余子式之和，由定理 3.10（错位为零）等于 0。故乘积是 (det A)·I。∎
定理 3.20（求逆公式） 当 det A ≠ 0 时，A−1 = adj A / det A。
数值实例。取 A = 123014560：先算 det A = 1·(0−24) − 2·(0−20) + 3·(0−5) = −24 + 40 − 15 = 1。九个代数余子式逐一算出后排阵、转置，得
adj A =−2418520−15−4−541， A−1 = adj A / 1 = adj A
验算 A · A−1：第 1 行乘第 1 列 1·(−24) + 2·20 + 3·(−5) = −24 + 40 − 15 = 1 ✓；第 1 行乘第 2 列 1·18 + 2·(−15) + 3·4 = 18 − 30 + 12 = 0 ✓。其余同样为零，恰得 I。
二阶情形值得一记，它就是第二章用过的求逆公式：伴随矩阵把 a11, a22 对调、a12, a21 变号，于是
abcd−1 = 1/(ad − bc) · d−b−ca。
〔明线〕两个求逆法的分工 第二章的高斯—若尔当法是算法（O(n3)，工程标准）；本章的伴随公式是闭式（显式解，理论标准，也解释了克拉默法则）。同一件事的两副面孔再次出现——记住分工，不要用错场合：手算四阶以上，用消元。
本章至今把行列式「按定义」展开、按性质使用。现在反过来问：如果把性质当公理，行列式被唯一确定吗？把用过的性质收拢成三条：
定义 3.7（行列式型函数） 设 D 把每个 n 阶方阵对应到一个数，且满足：
（1）多重线性：对每一行（单独地）线性；
（2）交错性：两行相同则 D = 0；
（3）规范化：D(I) = 1。
这样的 D 称为行列式型函数。
定理 3.21（唯一性） 行列式型函数存在且唯一：D = det。
证（骨架） 存在性即本章的定义。唯一性：任取满足三条公理的 D，把 A 用消元化成上三角 U。每一步消法变换 D 不动（公理 1+2 合起来给出定理 3.7 的推理链），换行变号、倍乘乘数，与 det 的行为逐字相同，故 D(A) = (±1)(倍乘积)·D(U)。而 U 的 D 值由多重线性逐列展开，恰是对角元之积——与 det U 相同。于是 D(A) = det A 对一切 A 成立。∎
把证明的骨架画成一张图：三条公理像三条管道，把任何 D 的值一路「逼」到 det 的值上。
现代接口 这种「公理候选 + 唯一性证明」的组合，是现代数学立对象的标准姿势：行列式不是「一个定义式」，而是「满足这三条的唯一函数」——至于用萨吕公式还是用 Leibniz 和式算出它，无关紧要。这为下册一个更深的对象预留了位置：把「交错性」做到极致的多线性代数，长出的是外代数（外积 ∧），体积与定向在那里得到终极形式；而「规范化的多线性交错函数」将成为楔积的定义。
本章的最后一页，把全部收获拧成一个代数事实。回忆第二章：可逆方阵在乘法下构成群 GLn(𝔽)；非零数在乘法下也构成群 𝔽* = 𝔽 ∖ {0}。定理 3.14 恰好说：det 把一边的乘法送到另一边的乘法。
定理 3.22（行列式是群同态） det : GLn(𝔽) → 𝔽* 是满的群同态：对可逆阵 A, B，
det(AB) = det A · det B，且任取 k ∈ 𝔽*，det(diag(k, 1, …, 1)) = k。
它的核（映到 1 的全部元素）是 SLn(𝔽) = {A : det A = 1}，称为特殊线性群。
核有一个好性质：SLn(𝔽) 是 GLn(𝔽) 的正规子群（同态的核皆正规），并且商群恰好把 det 的值「除」回来：
GLn(𝔽) / SLn(𝔽) ≅ 𝔽*。
几何读法。SLn(ℝ) 是「体积不变」的线性变换全体——剪变、纯旋转都在其中；det > 0 的变换不翻面，det < 0 的翻一次面。把 3.15 节的话再拧一圈：
| 矩阵群 | 行列式约束 | 几何身份 |
|---|---|---|
| GLn(ℝ) | det ≠ 0 | 一切可逆线性变换（保住维数） |
| SLn(ℝ) | det = 1 | 保体积的线性变换（剪切、旋转） |
| O(n) | |det| = 1 | 正交变换：旋转与反射（下册主角） |
| SO(n) = O(n) ∩ SLn | det = 1 | 纯旋转（保定向） |
〔几何〕通往下册的门 下册讲欧氏空间的刚性几何：欧氏变换 = 正交变换 + 平移，记作 E(n) = O(n) ⋉ ℝn。那时本章的 det 会替几何把「定向」分好类：SO(n) 里的运动是纯旋转，O(n) ∖ SO(n) 里的一次反射加旋转。现在只需记住这张表——每一个几何名字，背后都是一个行列式条件。
题 求下列排列的逆序数与符号：(1) 2413；(2) 1324；(3) 4123；(4) 写出四阶行列式中项 a14a21a33a42 的符号。
（1）数逆序的标准流程 从左往右，每个数只看「右边有几个比它小的」：
| 数 | 2 | 4 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 右边比它小的 | 1（即 1） | 2（即 1、3） | 0 | 0 |
合计 τ(2413) = 3，奇排列，sgn = (−1)3 = −1。
（2） 1324：只有 3 与 2 构成逆序，τ = 1，sgn = −1。
（3） 4123：4 与后面三个都成逆序，其余无，τ = 3，sgn = −1。
（4）从乘积反推排列 项 a14a21a33a42 表示：第 1 行取第 4 列、第 2 行取第 1 列、第 3 行取第 3 列、第 4 行取第 2 列，即列标排列 (4, 1, 3, 2)。数逆序：4 与 1、3、2 各一个（3 个），3 与 2 一个（1 个），τ = 4，sgn = (−1)4 = +1。
要点 三件事最容易错：①漏数「跨位逆序」（大数与隔了两位的小数也算）；②把「列标排列」误当「行标排列」——项的符号只看列标；③以为符号是随机的——它由逆序数完全决定，而逆序数可以老老实实数出来。
检验法 对 n = 4 的任一排列，全排列共 24 个，偶奇各 12 个。做完一组练习后数一数自己得到的正负号个数：不是各半就一定错了。
题 计算 (1) det2−1304152−2；(2) det2111131111411115。
（1）萨吕六项 主对角方向：2·4·(−2) + (−1)·1·5 + 3·0·2 = −16 − 5 + 0 = −21；副对角方向：3·4·5 + 2·1·2 + (−1)·0·(−2) = 60 + 4 + 0 = 64。相减：
det = −21 − 64 = −85。
（2）四阶用消元 四阶硬写 24 项太笨，改走消元（定理 3.8）。r1 ↔ r2（记一个负号），随后 r2 − 2r1、r3 − r1、r4 − r1（消法不变）：
(−1)·det2111131111411115 = det13110−5−1−10−2300−204
右下三角块继续消：r3 − 25r2、r4 − 25r2，再 r4 − 217r3，得上三角
13110−5−1−10017/52/500074/17，对角积 = 1·(−5)·(17/5)·(74/17) = −74
于是 (−1)·D = −74，即 D = 74。要点：消元每一步都要记账——换行记号、倍乘记数、消法白做，一步不漏才能走到 −74 再翻回 74。
要点 (1) 展示了萨吕的标准用法（只限三阶）；(2) 展示了消元法的记账流程：换行记号、倍乘记数、消法白做。数值上四阶答案为 74，本章实验页将给出一个程序，把这两种算法都交给机器复核。对称的矩阵要用对称的办法，零多的行列要抢先展开，这是本章计算的两条第一直觉。
为什么强调记账？因为消元算行列式时最容易在两处翻车：换行忘变号、倍乘忘还原。四阶六步之内尚可查账，阶数一高就必须靠流程纪律——这也是为什么工程程序里行列式总是「随消元顺手产出」。
题 计算 D = det3111131111311113。
解 每行之和都是 6，这是「对称阵」的信号。第一步：全行相加。把第 2、3、4 行都加到第 1 行（三次消法，不变号），第 1 行变成 (6, 6, 6, 6)：
D = det6666131111311113
第二步：提公因子。第 1 行提出 6（倍乘的逆用，行列式除以 6）：
D = 6 · det1111131111311113
第三步：消成三角。ri − r1（i = 2, 3, 4，消法不变）：
D = 6 · det1111020000200002 = 6 × (1·2·2·2) = 48
要点 三步各用了一条性质：消法不变（定理 3.7）、倍乘记账（定理 3.5）、三角取对角积（定理 3.8 的特例）。这个「行和相等 → 相加提因子」的套路是行列式计算中出现频率最高的一个技巧，见到对角占优、其余全同的阵就先想它。
验算的另一条路 本题的矩阵是 2I4 + J4（J 是全 1 阵）。把 J4 看成「秩 1 的摄动」，用 3.12 的思想可以口算：det = 24·(1 + 4/2) = 48，与消元一致。下册讲特征值后，这一类阵将一步看穿。
题 用展开定理计算 3.4 节的四阶行列式 det A，其中 A = 102−13005214−31050。
解 第 2 列只有一个非零元 a32 = 1，沿第 2 列展开一步到位：
det A = a32 · A32 = 1 · (−1)3+2 · M32 = −det12−1305150
这个三阶没有整列零元，但第 2 行是 (3, 0, 5)，含一个零，沿第 2 行展开：
det = 3 · (−1)2+1 · det2−150 + 0 + 5 · (−1)2+3 · det1215 = 3·(−1)·(0+5) + 5·(−1)·(5−2) = −15 − 15 = −30
代回：det A = −(−30) = 30。与 3.4 节逐项硬算的 30 一致 ✓。
要点 展开的选行列原则：挑非零元最少的。本题第 2 列三个零，等于白送一步降阶。若矩阵没有零元，先用消法造零再展开——「先造零、后展开」是四阶以上的标准起手。
展开与消元的取舍：阶数低（≤3）直接算；有整行整列零元先展开；否则先消元造零。三种手法不是三选一，而是一条流水线。
题 (1) 计算 V(2, 3, 5) 并用直接展开核对；(2) 问 t 为何值时 V(1, 2, t) = 0？(3) 用范德蒙德说明：横坐标互不相同的三个点 (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) 不能都落在同一条次数 ≤ 1 的直线上（除非本来共线）。
（1）公式与硬算对账 公式：V(2, 3, 5) = (3−2)(5−2)(5−3) = 1·3·2 = 6。硬算：
det1112354925 = 1(3·25 − 5·9) − 1(2·25 − 5·4) + 1(2·9 − 3·4) = 30 − 30 + 6 = 6 ✓
（2）反用公式 V(1, 2, t) = (2−1)(t−1)(t−2) = (t−1)(t−2)，故 t = 1 或 t = 2。几何读法：t 与已有的横坐标重合时，行列式为零——「点重合了」。
（3）共线的代数判据 三点共线等价于「每点都满足同一条一次式」，把三个条件并排写成方程组：未知数是直线的两个系数与常数。若横坐标两两不同而三点又共线，则方程组有非零的「齐次解」，迫使系数行列式——恰是一个范德蒙德行列式——为零；但 x1, x2, x3 互不相同使它非零，矛盾。故不共线。∎
要点 范德蒙德行列式的价值在于把「互不相同」翻译成「非零」：凡是题目里出现「n 个互不相同的数」，就应当条件反射地想到它。第 (3) 问是这句话的第一次实战。
往前看一步 三个点确定唯一一条二次曲线（插值多项式），靠的也是同一个范德蒙德：系数矩阵非零 ⟹ 解唯一。第六章多项式环将把「存在唯一」的证明补完整；那时可以发现，本例其实已经把最难的部分做完了。
题 计算 D = det1+x1111+y1111+z。
解（升阶） 字母阵不便硬乘，反向操作：升一阶，造出第一列只有一个非零元的四阶——这叫加边法。取
D = det111101+x11011+y10111+z
按第 1 列展开即回原式（第 1 列只有 1，代数余子式恰是 D 的 3 阶版）。下一步：消去第 1 行。ri − r1（i = 2,3,4，不变号）：
D = det1111−1x00−10y0−100z
现在每一行至多两个非零元，按第 4 列展开（只有一个 z），再按最后一行展开，最终整理成箭形结构的标准结果：
D = xyz + xy + yz + zx。
数值核对 取 x = 1, y = 2, z = 3：公式给 6 + 2 + 6 + 3 = 17；直接对 211131114 消元：2·11 − 1·3 + 1·(−2) = 22 − 3 − 2 = 17 ✓。
要点 加边法的适用信号：对角线上带字母、非对角全相同（本题非对角全为 1）。思路是把「无处下手的字母阵」升阶成「一列干净的箭形」，再用消法把箭杆削干净。升阶不改变行列式的前提只有一个：加出来的行、列必须互相配合，使按新列展开恰好还原。
方法论 「以退为进」在数学里远不止这一处：积分里的换元、递归里的还原、范畴论里的泛性质（先放进更大的对象再刻画）。加边法是它最便宜的一次演出。
题 设 Dn 是 n 阶三对角行列式（对角线全 2，上下次对角线全 −1）：D1 = 2，D2 = det2−1−12 = 3。求 Dn 的通项。
解 按第一行展开：
Dn = 2·Dn−1 − (−1)·(−1)·Dn−2 = 2Dn−1 − Dn−2
（第二项：第 1 行第 2 列的 −1 乘它的代数余子式，余子式里又带出左下角的 −1。）初始值 D1 = 2、D2 = 3，逐项推算：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Dn | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
规律唿之欲出：Dn = n + 1。用归纳法收尾：设 Dk = k+1 对 k < n 成立，则 Dn = 2n − (n−1) = n+1 ✓。验算：直接消元算 n = 4 的四阶，得 1·1·1·5 = 5（对角化后），与公式一致。
要点 递推三步：按行展开建递推式 → 算初始值 → 归纳证明。别省第三步——规律是猜出来的，证明才把它变成定理。本题的递推式 Dn − 2Dn−1 + Dn−2 = 0 是二阶常系数线性递推，特征根 1, 1（二重），通解 Dn = α + βn，代初始值即得 n+1——这套解法与第六章特征多项式的语言完全同构。
现代接口 三对角阵 T 满足 T·(D2, D3, …)t = (…) 型的位移结构，它的特征多项式正是 Dn(λ)。本例是「特征值理论」的影子——下册讲完相似对角化后回头看，这个 n+1 会自己走出来。
题 计算四阶行列式 D = det1201341010210113，即 D = detABCD，其中 A = 1234，B = 0110，C = I2，D = 2113。
解（舒尔补） 注意 ABOD 型才能直接拆乘，本例 C ≠ O，先用块消法把 C 消掉：左乘 IO−CA−1I（消法块的块版，行列式为 1）：
ABCD → ABOD − CA−1B
由 A−1 = −213/2−1/2，A−1B = 1−2−1/23/2，故舒尔补
D − CA−1B = 2113 − 1−2−1/23/2 = 133/23/2，det = 3/2 − 9/2 = −3
于是 D = det A · det(D − CA−1B) = (−2)·(−3) = 6。换一个方向验算（D 也可逆）：A − BD−1C = 6/58/512/521/5，det = (126−96)/25 = 6/5，D = det D · det(A − BD−1C) = 5 · 6/5 = 6 ✓。两个方向一致，且直接按四阶消元算同样得 6。
要点 ①分块三角才能「拆乘」，一般分块不行——先消法再拆；②舒尔补公式 detABCD = det A · det(D − CA−1B)（A 可逆时）与 = det D · det(A − BD−1C)（D 可逆时）互为验算；③块消法的「块初等矩阵」行列式为 1，这点与数值消法完全平行。
现代接口 舒尔补是块消元的「余项」，它在线性代数里无处不在：条件数、递归最小二乘、高斯消元的块算法都以它为基本动作。对它最深的看法是范畴论的：「拿 A 做商之后剩下什么」——这是商对象思想的又一次现身。
题 用克拉默法则解 2x + y − z = 8；−3x − y + 2z = −11；−2x + y + 2z = −3，并用消元法核对。
解 系数行列式 D = det21−1−3−12−212。按第 1 行展开：
D = 2(−1·2 − 2·1) − 1(−3·2 − 2·2) + (−1)(−3·1 − (−1)(−2)) = 2(−4) − 1(−10) − (−5) = −8 + 10 + 5 = −1
三个替换行列式（常数列依次换入第 1、2、3 列）：
| 行列式 | 展开计算 | 值 | 解 | |
|---|---|---|---|---|
| D1 | 81−1−11−12−312 | 8(−4) − 1(−16) + (−1)(−14) | −32+16+14 = −2 | x = D1/D = 2 |
| D2 | 28−1−3−112−2−32 | 2(−16) − 8(−2) + (−1)(−13) | −32+16+13 = −3 | y = 3 |
| D3 | 218−3−1−11−21−3 | 2(14) − 1(−13) + 8(−5) | 28+13−40 = 1 | z = D3/D = −1 |
消元核对：消元得阶梯形后回代，同样解得 (2, 3, −1)；代回三条原式逐条成立 ✓。
要点 克拉默的流程是「四个行列式、一串除法」，机械但量多；消元是「一条流水线」，快但要小心符号。两法互为验算是本章例题的固定动作。
与 3.13 节的呼应 二维时这是真正的面积比（分母即系数行列式）；三维以上换成体积比。克拉默法则不是「另一个公式」，而是同一条几何事实在 n 维的写法。
题 (1) 求顶点 (0,0), (2,1), (1,3) 的三角形面积；(2) 判断 (0,0), (2,4), (3,6) 是否共线；(3) 求 T = 2113 作用在单位正方形上所得平行四边形的面积与定向；(4) 求以 (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3) 为顶点的四面体体积。
（1） S = ½|det2113| = ½·|6 − 1| = 5/2。
（2） det2436 = 12 − 12 = 0：面积零，共线 ✓（几何上是 2 倍关系 (2,4) = 2(1,2)、(3,6) = 3(1,2)，两向量成比例即推论 3.4 的几何版）。
（3） det T = 2·3 − 1·1 = 5 > 0：面积 1 × 5 = 5，且定向保持（逆时针仍逆时针）。
（4） 四面体是平行六面体的六分之一：V = ⅙ |det diag(1, 2, 3)| = 6/6 = 1。
要点 四个小题是一张速查表：面积 = ½|det|、共线 = det = 0、伸缩 = |det|、翻面 = det < 0、四面体 = ⅙|det|。行列式把「长度×角度」的几何量全部收编成「取两行一减」——这就是坐标化几何的效率。
〔几何〕通往仿射与射影的一瞥 「det ≠ 0 ⟹ 不共线、不共面」在射影几何里叫「点的独立性」；「|det| 伸缩面积」在仿射几何里就是「仿射变换按固定比率改面积」。下册讲这两个几何时，本章的行列式是现成的工具箱。
题 对 A = 123014560：(1) 求 adj A 与 A−1；(2) 验证 det(adj A) = (det A)2；(3) 用伴随公式解 Ax = b，b = (1, 1, 1)t。
（1） 先算 det A = 1·(0−24) − 2·(0−20) + 3·(0−5) = 1。九个代数余子式：删第 1 行第 1 列得 M11 = 1·0 − 4·6 = −24，同法 M12 = 0·0 − 4·5 = −20、M13 = 0·6 − 1·5 = −5、M21 = 2·0 − 3·6 = −18、M22 = 1·0 − 3·5 = −15、M23 = 1·6 − 2·5 = −4、M31 = 2·4 − 3·1 = 5、M32 = 1·4 − 3·0 = 4、M33 = 1·1 − 2·0 = 1。按位放好、乘棋盘符号、转置：
adj A =−2418520−15−4−541， A−1 = adj A / det A = adj A
验算 A·A−1 第 1 行：(−24+40−15, 18−30+12, 5−8+3) = (1, 0, 0) ✓。
（2） det(adj A) 按公式应为 12 = 1；直接消元算三阶可得 1 ✓（推论 3.15④）。
（3） x = A−1b = adj A · b：第 1 分量 −24 + 18 + 5 = −1，第 2 分量 20 − 15 − 4 = 1，第 3 分量 −5 + 4 + 1 = 0。故 x = (−1, 1, 0)t。代回：第 1 式 −1 + 2 + 0 = 1 ✓，第 2 式 0 + 1 + 0 = 1 ✓，第 3 式 −5 + 6 + 0 = 1 ✓。
要点 伴随公式的三个易错点：①忘了转置（伴随是余子式矩阵的转置）；②棋盘符号乘错位（左上角是正）；③ det 算错就全错——所以先算 det 并顺手验一次（本题 det = 1，巧的是伴随即逆，省了除法）。
〔明线〕两条求逆路的会师 第二章的高斯—若尔当给出同一个 A−1（可回看第一章例 11、第二章例 5——它们用的是同一个矩阵）。算法与公式殊途同归，这正是「逆矩阵唯一」的体感。
题 (1) 证明：奇数阶反对称矩阵（At = −A）的行列式为零；(2) 对实方阵证明 det(AtA) = det(A)2 ≥ 0；(3) 数值核验 (1) 的三阶情形。
（1）证 两边取行列式：左边 det(At) = det A（定理 3.2）；右边 det(−A) = (−1)n det A（推论 3.6）。故 det A = (−1)n det A。n 为奇数时 (−1)n = −1，得 det A = −det A，即 det A = 0。∎
（2）证 由乘法规则（定理 3.14）与转置不变（定理 3.2）：
det(AtA) = det(At)·det(A) = det A · det A = (det A)2 ≥ 0。∎
顺带一个读法：AtA 的行列式永远非负——「自乘不翻面」，因为 AtA 描述的变换先翻再翻（或根本不翻），定向必然复原。
（3）数值核验 取 A = 025−203−5−30（确实 At = −A）：
det A = 0·(0+9) − 2·(−0+15) + 5·(6−0) = 0 − 30 + 30 = 0 ✓
再取偶阶对照：01−10 的 det = 1，不为零——结论只说奇阶，没说偶阶，两边都验过了。
要点 (1) 是「取行列式」这种操作的教科书式应用：对一个矩阵等式两边取 det，等式立刻变成数的等式。(2) 则示范两条性质接力。证明题的功夫在「挑哪条性质」，而挑法来自对性质清单的熟悉——这正是 3.5–3.8 节存在的意义。
现代接口 反对称阵组成的空间记作 𝔰𝔬(n)，它是 SO(n) 的「切空间」——力学里的角速度、物理里的自旋都住在那里。本章最后一个例题恰好停在通往李群论的大门口：下册 O(n)、SO(n) 登场时，今天的 det 条件就是通行证。
1. 求逆序数并写出符号：(1) 3124；(2) 4321；(3) 2143。
答：(1) τ = 2（3 压 1、2），+；(2) τ = 6（每对都逆序，C(4,2)），+；(3) τ = 2（2>1 与 4>3），+。
2. 用定义直接计算 det0110 与 det010100001。
答：都是 −1。两个阵都是换行阵：二阶是 r1↔r2，三阶是 r1↔r2，各变一次号。几何读法：把平面（空间）翻了一次面。
3. 写出三阶行列式按定义的全部 6 项，并标出每项的符号。
答：+a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a13a22a31 −a11a23a32 −a12a21a33。排列 123、231、312 为偶，321、132、213 为奇。与萨吕六项一一对应。
4. 判断四阶行列式中项 a13a22a31a44 与 a14a23a32a41 的符号。
答：前者列标 (3,2,1,4)，τ = 3，取 −；后者列标 (4,3,2,1)，τ = 6，取 +。
5. 若 det A = 2，求 (1) det(A2)；(2) det(2A)（A 为 3 阶）；(3) det(At)；(4) det(A−1)。
答：(1) 4；(2) 23·2 = 16；(3) 2；(4) 1/2。四条分别是定理 3.14、推论 3.6、定理 3.2、推论 3.15①。
1. 用消元法计算 det211432654。
答：r2−2r1、r3−3r1 后得 211010021，再 r3−2r2 得对角 2·1·1 = 2。无换行、无倍乘，det = 2。
2. 计算 det123246101。
答：0。第 1、2 行成比例（推论 3.4），一步看穿，不必动笔。
3. 计算 det2111131111411115（例 2(2) 的完整复盘）。
答：74。流程：r1↔r2 记号 → 三次消法 → 两次消法 → 一次消法，上三角对角积 1·(−5)·(17/5)·(74/17) = −74，翻回 +74。全程只动消法与一次换行，倍乘因子为空集。
4. 计算 det1111123413610141020。
答：1。ri − ri−1（从下往上）逐次相减，得帕斯卡三角的差分结构，最后化为 1111012300130001 型上三角，对角积 1。
5.（方法对比）用三种方法算同一个三阶 det1234567810：萨吕、消元、按第 1 列展开。三种答案都应为 −3；每条中间结果。
答：萨吕 230 − 233；消元 1·(−3)·1；展开 1(5·10−6·8) − 4(2·10−3·8) + 7(2·6−3·5) = 2 + 4 − 9。三路互证是本章推荐的收尾动作。
1. 计算 det3005020000407001。
答：−256。沿第 2 列展开：2·(+1)·det305040701，内层再沿第 2 列得 4·(3−35) = −128。
2. 用代数余子式表示 det A（按第 3 行展开），A = 210132014，并算出值。
答：det A = 0·A31 + 1·A32 + 4·A33 = 1·(+1)·det2012 + 4·(+1)·det2113 = 4 + 4·5 = 24。直接展开核：24 ✓。
3. 已知 det A = −2（A 为 3 阶），求 a11A11 + a12A12 + a13A13 与 a21A11 + a22A12 + a23A13。
答：前者是「同行配同组」，等于 det A = −2；后者是「异行配同组」，等于 0（定理 3.10）。这一对是伴随矩阵的全部基础。
4. 三阶 A 的第 1 行是 (1, 2, 3)，A11 = 4, A12 = −2, A13 = 1。求 det A；再把第 1 行换成 (2, 4, 6)，新行列式是多少？
答：4 − 4 + 3 = 3；换行后 2·4 + 4·(−2) + 6·1 = 6——恰是原来的 2 倍，因为行列式对第 1 行线性（定理 3.5），与余子式无关。
5.（先造零再展开）计算 det1111231210213113。
答：0。r4 − r1·? ——注意第 1 行与第 4 行不成比例，需先消：r2 − 2r1、r3 − r1、r4 − 3r1 后，第 1 列只剩 1，展开得三阶 det1−10−110−2−20——第 3 列全零，行列式为 0。
1. 计算 V(1, 3, 4) 与 V(0, 1, 3)。
答：V(1,3,4) = (3−1)(4−1)(4−3) = 6；V(0,1,3) = (1−0)(3−0)(3−1) = 6。两个 6，来源不同——公式只认差值。
2. 用范德蒙德公式判断：V(x1, x2, x3, x4) = 0 的充要条件是什么？
答：xi = xj 对某一对 i < j 成立。乘积六项，任一为零即整体为零，反之皆非零。
3. 计算「对角占优 + 全 1」型：det311131113（三阶版例 3）。
答：全行相加（每行和为 5）→ 提 5 → 消三角：5·(1·2·2) = 20。或用 2I3 + J3 的秩 1 观点：23(1 + 3/2) = 20 ✓。
4. 计算箭形行列式 det1111120010301004。
答：−2。按第 4 行展开（只有两个非零元）：1·(−1)4+1·det111200030 + 4·(+1)·det111120103 = −1·6 + 4·1 = −2。箭形阵的标准削法是消第 1 列，展开法在此更快——选法本身是考点。
5.（上下三角）证明：上三角阵的行列式 = 对角元之积，并说明它与定理 3.8 的关系。
证：按第 1 列逐次展开，或用定义——n! 项中只有 σ = 恒等 一项可能非零。它是定理 3.8「化三角再取对角积」的特例，也是消元法算行列式的终点形态。
1. 用克拉默法则解 x + 2y = 5；3x + 4y = 6。
答：D = 4 − 6 = −2，D1 = 20 − 12 = 8，D2 = 6 − 15 = −9，故 x = −4, y = 9/2。代回两条原式核验 ✓。
2. 例 9 的方程组若把右端换成 (0, 0, 0)，克拉默法则给出什么？这与第一章的秩判据一致吗？
答：D = −1 ≠ 0，三个 Di 全为 0（含零列），唯一解 x = y = z = 0——与「秩 = n ⟹ 齐次只有零解」一致。克拉默是秩判据的显式版。
3. 含参方程组 kx + y = 1；x + ky = 1 何时有唯一解？何时无穷多解？
答：D = k2 − 1 = (k−1)(k+1)。k ≠ ±1 时唯一解 x = y = 1/(k+1)；k = 1 时两式相同，无穷多解；k = −1 时两式矛盾（−x + y = 1 与 x − y = 1），无解。
4.（计算量对比）估计 n = 10 时：按定义算一个 10 阶行列式约多少次乘法？消元法呢？克拉默法解 10 元方程组呢？
答：定义 10! ≈ 3.6×106 项、每项 9 次乘法，约三千万；消元约 n3/3 ≈ 333；克拉默要算 11 个行列式，是消元的三千多万倍。公式给的是结构与唯一性，不是工效。
5.（克拉默的几何读法）二维时 x = [b, a2]/[a1, a2]。解释为什么分母为零时「面积比」失效，并对应到代数结论。
答：分母 [a1, a2] = det A 为零，即两列共线，平行四边形被压扁，无法用面积比定位——代数上正是 A 不可逆、解不唯一（或不存在）。
1. 求 f(k) = detk11k，并解 f(k) = 0。
答：f(k) = k2 − 1，零点 k = ±1。几何读法：k = ±1 时两行共线（k=1 同向、k=−1 反向），面积归零。
2. 求 g(k) = detk111k111k，并解 g(k) = 0。
答：全行相加（行和 k+2）提因子、再消三角，得 g(k) = (k+2)(k−1)2。核对 k = 0：2 ✓；k = 2：4 ✓。零点 k = 1（二重）与 k = −2。注意 k = 1 是二重零点——行列式作为 k 的多项式，重根里有信息（下册特征值理论将回收它）。
3. 与第一章例 8 对照：同一方程组的秩判据与行列式判据何时给出同样的结论？何时行列式「多说了话」？
答：方阵情形两者等价（定理 3.17）。但行列式只对方阵有定义——长方阵的方程组只能靠秩。行列式「多说的」是 det 的具体数值（如重根结构），秩不携带这层信息。
4. 证明：若 A 是 n 阶可逆阵，则 det(adj A) = (det A)n−1。
证：A·adj A = det A·I 两边取行列式：det A · det(adj A) = (det A)n，除以 det A ≠ 0 即得。∎
5. 设 A、B 为同阶方阵，det A = 3, det B = 2。求 det(AB)、det(BA)、det(A2B−1)、det(3A)（设 n = 3）。
答：6；6；9/2；27·3 = 81。每一步都在用定理 3.14 与它的推论——乘法规则是「算账的复利公式」。
1. 计算 det120340（下块 5678）。
答：(−2)(−2) = 4。分块上三角直接拆乘（定理 3.12）。
2. 计算 det1234012300210012。
答：3。前两行/列为一块 det = 1，后两块 det2112 = 3；右上块不影响。
3. 用舒尔补计算例 8 的四阶 detABCD，并把两个方向（用 A 与用 D）的中间矩阵都写出来。
答：D − CA−1B = 133/23/2，det = −3，D = (−2)(−3) = 6；另一方向 A − BD−1C = 6/58/512/521/5，det = 6/5，D = 5·6/5 = 6。两路一致。
4. 证明：detOABO = (−1)mn det A · det B（A 为 m 阶、B 为 n 阶）。
证：把上面的块逐行搬到下面，需 mn 次相邻换行（每行跨过 n 行、共 m 行），每次变号，共 (−1)mn；搬完即成分块对角。∎
5.（拉普拉斯特例）沿前两行用拉普拉斯展开计算 det1200340011562378，并与分块法对照。
答：前两行里非零的二阶子式只有一个：N = det1234 = −2，其代数余子式为 (+1)·det5678 = −2，故 det = 4。拉普拉斯在此退化成分块公式——两者是同一件事的两种说法。
1. 求 adj(diag(2, 3)) 并验证 A·adj A = det A·I。
答：adj = diag(3, 2)；乘积 diag(6, 6) = 6I = det A·I ✓。对角阵的伴随是对角元互换——二阶公式 d−b−ca 的对角特例。
2. 用二阶公式求 2113−1。
答：det = 5，逆 = 1/5·3−1−12。验乘：2113·3−1−12 = 5005 ✓。
3. 用伴随公式重解例 11 的 Ax = b（b = (1,1,1)t），并说明这一步与克拉默的 Di 有何关系。
答：x = (−1, 1, 0)t。xi = Di/D 的分子恰是「b 与第 i 列代数余子式的错位内积」——克拉默与伴随是同一张表的两个读法。
4. 若 A 可逆且 det A = 2（3 阶），求 det(adj A) 与 det(2 adj A)。
答：(det A)2 = 4；23·4 = 32（推论 3.6：全阵倍乘按 n 次方）。
5.（易错诊断）某学生把 A = 1234 的伴随写成 4−3−21。错在哪？正确的伴随是什么？
答：他忘了转置。C = 4−3−21 恰是代数余子式矩阵，而 adj A = Ct = 4−2−31。验证：A·adj A = −200−2 = det A·I ✓（用错版本会得到非对角阵，一乘便知）。
1. 求顶点 (0,0), (4,1), (1,3) 的三角形面积。
答：½|det4113| = ½·11 = 11/2。
2. 判断 (0,0), (2,4), (3,6) 与 (0,0), (2,4), (4,9) 哪组共线。
答：det2436 = 0 共线；det2449 = 2 ≠ 0 不共线。
3. 求 T = 2113 把单位圆盘映成的椭圆的面积。
答：|det T|·π = 5π。不需要求椭圆形状——伸缩率对所有区域一视同仁（定理 3.18）。
4. 判断下列变换是否翻面（det < 0）：(1) 0110；(2) 3/5−4/54/53/5；(3) 200−1。
答：(1) det = −1，翻面（关于直线 y = x 的反射）；(2) det = 9/25 + 16/25 = 1，旋转，不翻面；(3) det = −2，翻面且面积放大 2 倍。
5.（体积）以 (0,0,0)、(2,0,0)、(0,1,1)、(1,0,3) 为顶点的平行六面体体积是多少？
答：|det200011103| = |2·(3−0)| = 6（按第 1 行展开，第 1 行只有 2 非零）。
1. 证明：奇数阶反对称矩阵（At = −A）的行列式为零（例 12(1) 的重述）。
证：det A = det(At) = det(−A) = (−1)n det A = −det A，故 det A = 0。∎ 数值例：025−203−5−30 的 det = 0。
2. 证明：det(AtA) = det(A)2，并由此说明 AtA 不可逆当且仅当 A 不可逆。
证：乘法规则 + 转置不变。可逆性：det(AtA) = (det A)2 = 0 ⟺ det A = 0。∎
3. 设三对角阵 Tn 对角为 2、次对角为 −1（例 7）。证明 det Tn = n + 1，并写出 n = 5 的数值。
答：递推 Dn = 2Dn−1 − Dn−2，D1 = 2, D2 = 3，归纳得 n+1；D5 = 6。
4. 设 A 满足 A2 = A（幂等）。证明 det A 只能是 0 或 1。
证：det(A2) = det A，而 det(A2) = (det A)2，故 x2 = x，x ∈ {0, 1}。∎ 幂等阵的几何身份是「投影」，投影要么保住一块体积（det = 1）要么压扁（det = 0）——与第二章例 9 的图一致。
5. 设 A 为 3 阶且 det A = −2。求 det(−A)、det(A2)、det(adj A)、det(At·A·A−1)。
答：(−1)3(−2) = 2；4；(−2)2 = 4；det A = −2（乘完转一圈回到 At 的行列式）。最后一问是检验「取 det 后矩阵等式变数等式」的熟练度。
1. 计算「循环阵」C = 1234234134124123 的行列式。
答：160。全程只用消法：r2−2r1、r3−3r1、r4−4r1 后右下三阶为 −1−2−7−2−8−10−7−10−13；再 r3−2r2、r4−7r2 化出 00−4400436；最后 r4+r3 得上三角，对角积 1·(−1)·(−4)·40 = 160。无换行、无倍乘，一步账都不用记。循环阵与第六章多项式环的单位根有深层联系。
2. 计算 det1111123413610141020（帕斯卡型，习题课二第 4 题的复核）。
答：1。逐行差分（ri − ri−1，自下而上）后化上三角。
3.（一般加边）证明：det1+x1111+y1111+z = xyz + xy + yz + zx，并用 x=y=z=1 核对。
证：加边升阶（例 6 的流程），削成箭形后按对角展开。核对：x=y=z=1 时公式给 4，直接算 211121112 得 4 ✓（即习题课六第 2 题 k = 2）。
4. 设 A、B、C 为 n 阶方阵。判断并证明：(1) det(AB) = det(BA)；(2) det(A + B) = det A + det B 是否成立。
答：(1) 成立，都等于 det A·det B；(2) 不成立——行列式对整阵不是线性的（只对单独一行线性）。反例：A = B = I2，det(A+B) = det(2I) = 4 ≠ 1 + 1。「对行线性」不等于「对矩阵线性」，这是多重线性最要紧的分寸。
5.（挑战预告）设 A 为 n 阶实方阵且 AtA = I。证明 |det A| = 1，并指出 det A = 1 与 det A = −1 的几何差别。
证：两边取行列式得 (det A)2 = 1。det = 1：纯旋转（保定向）；det = −1：含一次反射（翻定向）。这正是下册正交群 O(n) 与 SO(n) 的分野。
本章的错题有明显的「聚类」结构——错的人错得几乎一样。把八类高频错误归档如下，建议对照自己的作业逐条打钩。
| 编号 | 错误类型 | 典型表现 | 纠正动作 |
|---|---|---|---|
| E1 | 萨吕越权 | 四阶还用对角线法则 | 记住：只对 n ≤ 3 成立 |
| E2 | 换行忘变号 | 消元中换行后对角积没翻号 | 换行必记一笔「−1」账 |
| E3 | 倍乘忘还原 | 某行乘 3 后忘记除回 | 倍乘记系数，最后连乘 |
| E4 | 伴随忘了转置 | 把代数余子式矩阵当伴随 | 口诀：代余、转置、除以 det |
| E5 | 棋盘符号错位 | Aij 的正负取反 | 画符号棋盘再动笔 |
| E6 | det(kA) 漏次方 | 写成 k·det A | 牢记 kn，n 是阶数 |
| E7 | 整阵「线性」幻觉 | 以为 det(A+B) = det A + det B | 线性只在单独一行上 |
| E8 | 分块乱拆乘 | 对 ABCD 直接写 det A·det D | 先块消法化三角再拆 |
三道自测题（覆盖 E2/E4/E6，各 3 分钟）：
自测1. 消元时交换了两行，最后对角积为 −5，原行列式是多少？（E2）
答：+5（一次换行翻回符号）。
自测2. A = 1234，写出 adj A。（E4）
答：4−2−31——代数余子式矩阵 4−3−21 的转置。
自测3. 4 阶 det(2A) = ?，若 det A = 3。（E6）
答：24·3 = 48。
问一 本章四条性质（转置不变、换行变号、多重线性、消法不变）里，哪一条是「其他三条的推论」？提示：消法不变可由多重线性 + 推论 3.4 导出，这一条链在定理 3.7 的证明里走了一遍。
问二 「用消元算行列式」与「用行列式判可逆」是一对互逆的操作。一句话说明：消元把矩阵变成上三角，行列式把「可逆性」变成「一个数」——这两件事为什么恰好是同一枚硬币的两面？
问三 如果让只保留本章一页带进下一章（线性空间），会保留哪一页？为什么？（本书的建议：3.8 节——消法的那个两行证明，是全章最便宜也最锋利的武器。）
札记①
1683 年，日本江户的和算家关孝和写成《解伏题之法》，书中处理多元方程组时，写下了与今天三阶、四阶行列式完全一致的展开规则——比欧洲的同类成果早了约十年。1693 年，莱布尼茨在给洛必达的信中写下了含三个未知数、三个方程的系数交叉乘积，也 independently 触及行列式。两人在互不知情的情形下，摸到了同一块石头。
更有趣的是两人动机的差别：关孝和的目的极其「工具性」——他要解「伏题」（消去中间未知数后的方程组问题），行列式是他的消元技术的副产品；莱布尼茨则把它当作一种「组合的代数」，关心的是记号本身能表达什么。工具性与记号性，正是行列式后来两条生命的种子。
行列式真正成为数学的主角，走了一条漫长的路：麦克劳林 1748 年明确给出克拉默法则的表述，克拉默 1750 年发表它；拉普拉斯 1772 年给出一般展开（本章 3.10 节以他命名）；柯西 1812 年系统整理并用「determinant」一词给它命名；雅可比 1841 年的论文《论行列式的结构与性质》把它立成独立的研究对象；直到凯莱 1858 年提出矩阵，「行列式是数表的属性」这一层关系才被理顺——先有行列式，后有矩阵，次序与直觉恰好相反。本章的讲法（先矩阵后行列式）是现代教科书的回溯式重排，而历史上它是「儿子先于父亲出生」。
中文「行列式」一名取的是横行竖列的直观；日文沿用汉字「行列式」也是对关孝和传统的致意。一个术语里，藏着两个文明各自的算学底色。
细心的可以发现：本章的历史札记里没有出现《九章算术》。这不是疏漏——方程章的算筹解法走的是纯粹的消元算法路线，始终没有把「系数交叉相乘」当成一个独立的量来关心。张苍们距离行列式，只差「把这个数单独拿出来看一眼」这半步，但半步也是一步。
然而《九章》并未缺席：本章每一次「用消元算行列式」（3.8 节），都是方程章直除术的现代回声。算法是中国的遗产，不变量是欧洲的提炼，两条线索在本章的每一道例题里并行不悖。这正是本书反复说的「两副面孔」：面孔不同，题目还是那道 39 斗题。
问一 关孝和与莱布尼茨各自出于什么动机触及行列式？「工具的副产品」与「记号的自觉」这两种起源，各自更接近本章的哪一节？
问二 「先有行列式，后有矩阵」这一历史次序，与本书「先矩阵后行列式」的教学次序冲突。两种次序各牺牲了什么、成全了什么？
问三 如果《九章》的算师看到了萨吕法则，他最可能提出的问题是什么？试着替他问出一个「直除视角」的问题。
札记②
本章讲完，行列式在我们手里已经有了三重身份：数（Leibniz 和式，3.4）、判据（det ≠ 0 ⟺ 可逆，3.14）、体积（有向体积伸缩率，3.15）。三重身份不是三种巧合，而是一件事的三个投影：行列式是「n 个向量围出的有向体积」这个几何量的代数名字。体积会算账，所以行列式可乘（先缩 A 倍再缩 B 倍）；体积有方向，所以换行变号；体积容不得重合，所以两行相同为零。四条性质没有一条是凭空约定的，全是体积的天性。
「有向」二字值得单独驻足。两块面积都是 5 的平行四边形，可以一个逆时针、一个顺时针——大小相同，手性相反。行列式的正负号携带的正是这个「手性」：物理学家用它区分左手系与右手系，化学家用它区分旋光异构体，几何学家用它区分旋转与反射。3.18 节的 SO(n)（保定向的正交变换）之所以能从 O(n) 中干净地切出来，靠的完全是这个符号。
下册讲欧氏运动时会给这句话一个响亮的版本：刚体运动分两类，一类转过去（det = 1），一类翻过去（det = −1），没有第三类。而这句话的代数内核，就是本章的 sgn(det)。
第二章末尾说过：分类问题里最值钱的是不变量。本章把这句话做实了——「等价 ⟺ 同型同秩」的矩阵分类里，秩是不变量；而在线性映射更深一层的分类（下册的相似分类）里，det 及其推广（特征多项式）将接棒成为新的不变量。每次分类的升级，都伴随不变量的升级：
| 分类对象 | 不变量 | 在哪里 |
|---|---|---|
| 矩阵在初等变换下 | 秩 | 第二章 2.16 |
| 矩阵在相似变换下 | 特征多项式（含 det） | 下册 |
| 线性变换的定向行为 | sgn(det) | 本章 3.15、3.18 |
| 可逆性本身 | det ≠ 0 | 本章 3.14 |
看这张表应当生出一种预感：特征值理论就是「秩的故事」的续集，而续集的第一句话，已经写在 det 里面了。
问一 用「体积的天性」复述四条行列式性质，并指出其中哪一条无法用体积直观解释、只能靠代数（提示：没有——转置不变其实说的是「体积不偏袒行与列」；这就是答案）。
问二 为什么「有向体积」比「体积」信息量更大？举一个生活中区分左右手性的例子。
问三 不变量的升级（秩 → det → 特征多项式）是「越换越细」还是「越换越抽象」？用「能把哪些矩阵分开」来回答。
六步方法表（本章所有题型都可以归到这六步之一）
| 步骤 | 要做什么 | 用到的工具 | 典型题 |
|---|---|---|---|
| 1 | 低阶（≤3）直接算 | 萨吕 / 二阶公式 | 例2(1)、习题课一 |
| 2 | 高阶先消元造零 | 消法不变 + 换行/倍乘记账 | 例2(2)、习题课二 |
| 3 | 有零行零列先展开 | 定理 3.9 + 符号棋盘 | 例4、习题课三 |
| 4 | 认出特殊结构 | 范德蒙德 / 加边 / 递推 / 分块 | 例5–8、习题课四、七 |
| 5 | 解方程与求逆 | 克拉默 / 伴随 / det ≠ 0 | 例9、例11、习题课五、八 |
| 6 | 证明题：取 det 化数 | 四性质 + 乘法规则 | 例12、习题课十、十一 |
要「分类」，先要有一双不随操作改变的眼睛——数学里叫不变量。本章的全部工作，可以概括成一句话：给可逆性找到了一只又算得快、又看得深的眼睛。
「算得快」是消元赋予的：换行记号、倍乘记账、消法白做，三步之后对角积就是答案——这是张苍法的第三次收成。「看得深」是几何赋予的：这一个数同时说出了压扁与否（可逆性）、放大多少（体积）、翻没翻面（定向）。一个数，三重信息，这就是好不变量的标准。
下一章开始，矩阵们将不再被当作数表，而被当作空间来研究；不变量的接力棒会从 det 传给特征多项式。但接力不是替换——特征多项式的常数项永远是 (−1)n det，本章的眼睛会一直睁在后面几章的每一页上。
与第二章思想卡的对接 第二章说「矩阵是线性世界的语言」，本章说「行列式是语言里的关键字」——一句话里真正不可替换的词。学会在一串矩阵操作里一眼盯住 det，就学会了在读数学时「抓重点」。
以下八条恒等式覆盖本章全部工具。每条都给出证明思路提示；先自己写完再看提示。
C1. det(At) = det A（重证一遍，要求写出 τ(σ) = τ(σ−1) 的理由）。
思路：逆序对与顺序对互换，总数 n(n−1)/2 不变。
C2. det(A−1) = 1/det A；进而证明 det(Ak) = (det A)k（k 为负整数也成立，只要 A 可逆）。
思路：AA−1 = I 两边取 det；负指数用 A−k = (A−1)k。
C3. det(adj A) = (det A)n−1（习题课六第 4 题的完整证明）。
思路：A·adj A = (det A)I 取 det。
C4. detABOC 型与舒尔补：A 可逆时证明 detABCD = det A·det(D − CA−1B)（例 8 的一般化）。
思路：块消法矩阵行列式为 1；化成分块上三角后用定理 3.12。
C5. 奇阶反对称阵 det = 0（例 12(1)）；并证明偶阶时不一定为零，举出 det ≠ 0 的二阶、四阶例子各一。
思路：取 det 化数。例子：01−10 det = 1；四阶取两个这样的块拼对角。
C6. 证明 det(A + B) 的展开式：对二阶写出 det(A+B) 按列拆分的四项，指出哪两项等于 det A + det B，另外两项是什么。
思路：第 1 列拆分、第 2 列再拆分，共四项；中间两项是「混合行列式」——它们正是 det(A+B) ≠ det A + det B 的原因。
C7. 证明：若 A 各行元素之和都等于 s，则 det A 有因子 s。
思路：全行相加（消法不变）得某行全为 s，提出公因子。
C8.（综合）设 A 为 n 阶实方阵且 A2 = −I。证明：(1) n 为偶数；(2) |det A| = 1。
思路：取 det 得 (det A)2 = (−1)n，左边非负迫使 (−1)n ≥ 0，故 n 偶且 (det A)2 = 1。（事实上 det A = 1 而非 −1——实阵的 ±i 特征值必成对共轭出现，这要用下册特征多项式的语言；第二章 2.9 节 A = 0−110 的 A2 = −I、det = 1 正是最低维实例。）
赛1（计算） 求 D = det1111123413610141020，并用「差分阵」解释结果为什么这么小。
解 自下而上逐行相减：r4 − r3 = (0,1,4,10)、r3 − r2 = (0,1,3,6)、r2 − r1 = (0,1,2,3)；再对新第 2、3 行内的差分重复，最终化为
det1111012300130001 = 1。
解释：原阵是帕斯卡三角的左上角，差分一次列出差 1、差 2、差 3 的斜列；二重差分后只剩单位上三角。「差分把组合数阵打回原形」——矩阵 1101 的幂恰好生成帕斯卡阵。
赛2（证明） 设 A、B 为 n 阶方阵，AB = A + B。证明 det(AB) = det A·det B 且 (I − A) 与 (I − B) 同为可逆或同为不可逆。
解 第一句即定理 3.14，无条件成立。第二句：由 AB − A − B = O，加 I 凑因式分解：
(I − A)(I − B) = I − A − B + AB = I
故 I − A 与 I − B 互为逆阵，同时可逆。∎（取 det 还可附加 det(I−A)·det(I−B) = 1。）本题是「凑因式」与「取行列式」的合演：矩阵等式负责结构，行列式负责数值。
赛3（含参） 求 k，使方程组 kx + y + z = 0；x + ky + z = 0；x + y + kz = 0 有非零解，并求出此时的解空间维数。
解 齐次有非零解 ⟺ 系数行列式为零（定理 3.17 + 第一章）。由习题课六第 2 题，det = (k+2)(k−1)2，故 k = −2 或 k = 1。秩核对：k = 1 时系数阵为全 1 阵，秩 1，解空间维数 2；k = −2 时矩阵为 −3I + J，秩 2，解空间维数 1（解为 (1,1,1)t 的倍数）。行列式找临界点，秩数说清维数——两件工具接力。
赛4（几何） 平面上三点 (1,2)、(3,8)、(t, t2+1) 共线，求 t。
解 共线 ⟺ 面积行列式为零：det26t−1,t2−1 = 2(t2−1) − 6(t−1) = 2(t−1)(t+1) − 6(t−1) = 2(t−1)(t−2)，故 t = 1 或 t = 2。几何验收：t = 1 时第三点 (1,2) 与第一点重合（退化共线）；t = 2 时第三点 (2,5)，代入过 (1,2)、(3,8) 的直线 y = 3x − 1 得 y = 5 ✓。行列式给零点，几何负责验收——两步都不要省。
理论之外，本章的算法值得亲手跑一遍。三个实验，一个比一个出乎意料。
实验 1：n! 的暴政 按定义展开（Leibniz 求和）与消元法各写一个程序，计时对比：
| n | n!（定义法项数） | 消元法约 n3/3 次乘法 | 定义法耗时（示意） |
|---|---|---|---|
| 8 | 40320 | 171 | 秒级 |
| 10 | 3628800 | 333 | 分钟级 |
| 14 | 约 8.7×1010 | 915 | 天级 |
| 20 | 约 2.4×1018 | 2667 | 宇宙年龄级 |
结论：定义法只配写在纸上，消元法才配写进机器。「定义负责讲清楚，算法负责算出来」的分工，在此有了量化的证据。
实验 2：Hilbert 阵的塌缩 取 Hilbert 阵 Hij = 1/(i+j−1)，用精确分数算行列式：
det H2 = 1/12， det H3 = 1/2160， det H4 = 1/6048000
再用双精度浮点算同样的矩阵：当 n 增到 10 上下，浮点结果会与真值相差到「有效数字只剩两三位」的程度。矩阵没变，算法没变，只是把分数换成小数，答案就塌了——这就是数值分析里的「病态矩阵」：行列式极小、逆矩阵极大，任何微小的舍入都被放大。Hilbert 阵是这一现象的标准标本。
实验 3：主元的力量 对同一个 20 阶随机矩阵，分别用「按顺序消元」与「选最大主元消元」（部分主元法）计算行列式，与精确值对比。可观察：顺序法在小主元处放大舍入误差，主元法稳定得多。这就是工程程序里行列式总与行交换（每交换一次记一个负号）绑在一起的原因——理论上的「消法不变」在实际机器上必须用「换行」来保护。
方法论 三个实验合起来是一句话：数学正确 ≠ 数值可靠。本章的定理在 ℝ 上精确成立，而机器用有限位小数近似 ℝ；从「正确」到「可靠」之间隔着一门完整的学问（数值线性代数），它的第一块砖就是本章的消元法。
（满分 100 分，建议 90 分钟）
一（20 分） (1) 求 τ(4213) 与项 a13a24a32a41 的符号；(2) 设 A 为 3 阶且 det A = −2，求 det(2A)、det(At)、det(A−1)、det(adj A)。
评讲：(1) τ(4213) = 4（4 压三个、2 压 1），符号 +；项的列标 (3,4,2,1)，τ = 5，符号 −。(2) −16；−2；−1/2；4。每小题考查一条性质——错哪条，回哪节。
二（25 分） 计算：(1) det3111131111311113；(2) V(1, 2, 5)；(3) det2005020000407001。
评讲：(1) 48（全行相加提 6，消三角，6·8 = 48）；(2) (2−1)(5−1)(5−2) = 12；(3) 沿第 2、3 列展开：2·4·det3571 = 8·(−32) = −256。
三（25 分） 用克拉默法则解 2x + y − z = 8；−3x − y + 2z = −11；−2x + y + 2z = −3，并回答：若右端换为 (0,0,0)，解集是什么？此时克拉默与秩判据各说什么？
评讲：D = −1，(x, y, z) = (2, 3, −1)。齐次时 D ≠ 0 ⟹ 只有零解；秩判据同结论，克拉默进一步给出「解的显式公式」——两工具的关系是「判据 vs 公式」。
四（30 分） 证明题：(1) 设 A 满足 A2 = A（幂等），证明 det A ∈ {0, 1}；(2) 设 A 为实反对称阵且可逆，证明 n 必为偶数；(3) 用舒尔补证明：若 A、D 可逆，则 detABCD = det A·det(D − CA−1B)。
评讲：(1) det A = (det A)2；(2) det A = det(−A) = (−1)n det A，det A ≠ 0 迫使 (−1)n = 1；(3) 块消法矩阵行列式为 1，化三角后用定理 3.12。三题分别示范「取 det 化数」「符号分析」「块消法」三种证明姿势。
赛 4 的复核（见挑战二） 独立重做挑战二赛 4：t2−1 的展开中 t+1 与常数 3 的合并最容易错，正确零点是 t = 1, 2，而 t = 2 的点 (2,5) 恰在直线 y = 3x − 1 上。排错的过程本身就是考点：行列式给零点，几何负责验收。
行列式是方阵才有的奢侈品——长方形的系数阵没有 det。第四章《线性空间与子空间》将把「数组的加法与数乘」本身立成对象，让秩、解集、子空间在同一个语言里重新聚齐：那时可以发现，本章的消元法一直在做的事，是找一张「子空间的坐标表」。
第三章末尾我们留了一句话：消元法一直在做的事，是找一张「子空间的坐标表」。现在兑现它。回到最初的画面——《九章》的方程术解到今天，我们把方程组写成了 Ax = b。算法早已熟练，但有一个更基本的问题一直被跳过：解集长什么样？
把三个具体的方程组画在同一张图上看看：
| 方程组 | 解集 | 形状 |
|---|---|---|
| x + y + z = 1（一个方程） | 过点 (1, 0, 0) 的一整片 | 平面 |
| x + y + z = 0；y = z（两个方程） | 方向 (−2, 1, 1) 的直线 | 直线 |
| x = ½；y = 2（钉死两个变量） | 一点 | 点 |
再补一刀：齐次方程组 Ax = 0 的解集有两条明显的规律——两个解相加还是解；一个解乘个数还是解。也就是说，解集自己内部就能做加法和数乘，俨然一个小世界。「自己内部能做加法与数乘的集合」——这句话就是本章的主角：子空间。
① 形状：解集凭什么是一条直线、一个平面？——子空间语言来命名；
② 大小：直线是一维、平面是二维，那解集的「维数」是多少？——n − r（自由未知量个数）将升格为定理；
③ 坐标：选定一族「基本解」，任何解都能用它们拼出来吗？——基与坐标，结构登场的加冕礼。
〔明线〕张苍法的第三份收成 第一份收成是解（第一章）；第二份是秩与逆（第二章）；本章收第三份——解集的形状。同一个消元算法，把「怎么解」炼成了「解集是什么」。这也是全书的转折点：从这一章起，我们的注意力从求解转向结构，为第五章「解方程组 = 求线性映射的原像」铺路。
到目前为止我们只跟「数构成的数组」打交道。但数学里一大堆对象天然支持「相加」与「数乘」：多项式可以相加、可以乘常数；矩阵可以；函数也可以。它们的加法规则各不相同，但加法与数乘满足的运算法则却惊人地一致。把这些公共法则抽出来立成公理——这就是本章最重要的观念升级。
定义 4.1（线性空间） 设 𝔽 是一个数域（如 ℚ、ℝ、ℂ），V 是一个非空集合，其上定义了两种运算：
· 加法：V × V → V，(α, β) ↦ α + β；
· 数乘：𝔽 × V → V，(k, α) ↦ kα。
若它们满足以下八条公理（对任意 α, β, γ ∈ V、k, l ∈ 𝔽）：
（1）α + β = β + α（交换律）；（2）(α + β) + γ = α + (β + γ)（结合律）；
（3）存在零元 0 ∈ V：α + 0 = α；（4）每个 α 有负元 −α：α + (−α) = 0；
（5）k(α + β) = kα + kβ；（6）(k + l)α = kα + lα；
（7）(kl)α = k(lα)；（8）1·α = α。
就称 V 是数域 𝔽 上的一个线性空间（也叫向量空间），其元素称为向量。
现代接口 这正是第三章用过的「公理候选 + 唯一性」套路的又一次上演——上次立的是「行列式」，这次立的是「线性空间」。公理化的要义：定理只为公理负责，不为具体对象负责。于是关于 ℝn 证得的一切，自动适用于多项式、矩阵、函数——一次证明，处处生效。
定义立好了，先看谁在殿堂里、谁在门外。门内的家族成员出奇地多：
门外站着三位常客——它们各破一条要害，判例值得逐个过目：
反例 1 非负象限 W = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}。加法封闭，但数乘失守：(1, 1) ∈ W 而 −1·(1, 1) = (−1, −1) ∉ W。破在数乘。
反例 2 坐标轴并集 W = {(x, y) : xy = 0}。(1, 0)、(0, 1) 都在 W 里，但它们的和 (1, 1) 不在（1·1 = 1 ≠ 0）。破在加法。
反例 3 仿射平面 W = {(x, y, z) : x + y + z = 1}。它自己很平、很规矩，却不含零向量——而零向量必须满足 x + y + z = 0。连门牌都挂错：线性空间必有零元，一切子空间必含 0。
〔几何〕反例 3 那张「不过原点的平面」将在下册修成正果：把线性空间的平移与并置纳入语言后，它叫仿射子空间——仿射几何的第一块砖。眼下先记住：齐次（右端为 0）的方程，解集才过原点。
定义 4.2（子空间） 设 V 是线性空间，W ⊆ V 非空。若 W 对 V 的加法与数乘封闭（且这两种运算限制在 W 上满足八条公理），则称 W 是 V 的子空间。
要逐条验八条公理未免笨重。好消息是：封闭性自动捎带上大部分公理——因为 W 里的元素本来就在 V 里，公理在 V 里已经成立。真正需要单独看管的，只有「运算出不去」和「零元在不在」：
定理 4.1（两步判定法） W ⊆ V 非空是子空间 ⟺
（1）加法封闭：α, β ∈ W ⟹ α + β ∈ W；
（2）数乘封闭：α ∈ W, k ∈ 𝔽 ⟹ kα ∈ W。
证 （⟹）显然。（⟸）数乘封闭取 k = 0 得 0 = 0·α ∈ W，取 k = −1 得负元在 W；其余公理在 V 中成立，限制到 W 依然成立。∎
两个平凡的子空间先登记在册：{0} 本身（零空间）与 V 本身。其余子空间都叫真子空间。走两个判例：
判例 1 W = {(a, b, c) : b = a + c} ⊂ ℝ3。任取 α = (1, 2, 1)（验证 2 = 1 + 1 ✓）、β = (2, 3, 1)（3 = 2 + 1 ✓），和为 (3, 5, 2)，检验 5 = 3 + 2 ✓。一般地两个满足条件的向量相加，条件式两边照抄相加即可——线性条件天然封闭。子空间 ✓。
判例 2 W = {(x, y, z) : x + y + z = 1}。零向量 (0, 0, 0) 的坐标和为 0 ≠ 1，不在 W 里——两步判定还没走到就被拦下。而且可以具体看它怎么破：(2, −1, 0) 与 (−1, 1, 1) 各自满足条件（和为 1），但其和 (1, 0, 1) 的坐标和是 2 ≠ 1。不是子空间。
现代接口 子空间是「空间里的空间」。本章后半将证明：每个子空间自己就是一个线性空间（公理自动满足）——于是「基、维数、坐标」这一整套装备对子空间照样适用。结构的定义是递归友好的：大空间的子结构还是同一类结构。这在抽象代数里是普遍现象（子群、子环、子模……），子空间是遇到的第一个。
子空间判定法回答了「给定的集合是不是子空间」。反过来更要紧：怎样制造子空间？取几个向量，把它们的全部线性组合装进一个集合——
定义 4.3（生成子空间） α1, …, αs ∈ V，记
span(α1, …, αs) = {k1α1 + k2α2 + ⋯ + ksαs : ki ∈ 𝔽}，
称为由这组向量生成（张成）的子空间。
定理 4.2（span 是最小子空间） span(α1, …, αs) 是子空间，且是包含 α1, …, αs 的最小子空间：任何包含这组向量的子空间都包含整个 span。
证（骨架） 封闭性直接验：两个组合相加还是组合（系数对应相加），数乘同理，零向量取系数全 0。「最小性」：子空间对加法与数乘封闭，就必须装下每一个线性组合——一个都跑不掉。∎
几何直观最要紧：一个向量张成一条过原点的直线；两个不共线的向量张成一张过原点的平面；三个向量能张满整个 ℝ3（若它们不共面）。张成，就是把有限个向量「织」成一片无限的空间。
〔明线〕解空间的张成语言 第一章的「基础解系」其实就是解空间的生成组：自由未知量取单位值得到的那几个解，张成了整个解集。当时只能说「取遍所有组合」，现在有了名字：解集 = span（基础解系）。本章末将把「基础解系恰是解空间的基」写成定理。
线性组合就是形如 k1α1 + ⋯ + ksαs 的向量；若 β 能写成这样的组合，称 β 可被这组向量线性表示。表示问题本质上是解方程组问题——设 β = Σkiαi，按分量展开就是关于 k1, …, ks 的线性方程组：「能否表示」⟺「方程组有无解」，「表示是否唯一」⟺「方程组是否唯一解」。张苍法又一次接到活儿。
而且表示可以不唯一。看一个最小例子：在 ℝ2 中问 (3, 5) 能否由 (1, 0)、(0, 1)、(1, 1) 表示？设 (3, 5) = a(1, 0) + b(0, 1) + c(1, 1)，按分量：
a + c = 3， b + c = 5
两个方程、三个未知数——取 c 为自由变量，得无穷多组表示 (a, b, c) = (3−c, 5−c, c)：c = 0 时 (3, 5, 0)；c = 1 时 (2, 4, 1)；c = 2 时 (1, 3, 2)……逐组代回都对：2(1,0) + 4(0,1) + 1(1,1) = (3, 5) ✓。冗余的向量给了同一目标多条路线。
例 β = (4, 9, 7) 能否由 α1 = (1, 2, 1)、α2 = (1, 1, 2) 表示？解 a + b = 4；2a + b = 9；a + 2b = 7。由前两式 a = 5, b = −1，代入第三式 5 − 2 = 3 ≠ 7，矛盾——三个条件只被满足两个，不能表示。用矩阵语言：r(α1, α2) = 2 ≠ r(α1, α2, β) = 3，增广比系数「胖」了一阶，方程无解。
把判据写成一条定理（第二章秩的语言在这里第一次「用了就离不开」）：
定理 4.3（表示判据） β 可由 α1, …, αs 线性表示 ⟺ r(α1, …, αs) = r(α1, …, αs, β)（即以 αi 为列、β 为增广列的方程组相容）。
〔明线〕这条定理是「把几何问题翻译成方程问题」的第一座桥：表示 ⟺ 相容 ⟺ 消元后增广列不产生新主元。下一节的「相关性」与 4.8 的「基」，全部走的是同一座桥——一切线性代数的判定问题，最终都是一次消元。
上一节看到：向量组里若有「冗余」，表示就不唯一。现在给「冗余」一个精确名字。
定义 4.4（线性相关与无关） 向量组 α1, …, αs（s ≥ 1）称为
· 线性相关：存在不全为零的系数使 k1α1 + ⋯ + ksαs = 0；
· 线性无关：上式只有系数全为零一种取法。
几何读法一针见血：相关 = 有一个向量是「多余的」——它被其余向量表示（设某 ki ≠ 0，移项即 αi 是其余的组合）。两个向量相关 ⟺ 共线；三个向量相关 ⟺ 共面。四个向量在 ℝ3 里必然相关：三张平面的世界装不下第四个独立方向。
判定手段有三件兵器，按场合选用：
| 方法 | 操作 | 适用 |
|---|---|---|
| 定义法 | 设 Σkiαi = 0，解齐次方程组 | 低阶、系数简单的手算题 |
| 行列式法 | s = n 个 n 维向量排成方阵：相关 ⟺ det = 0 | 向量个数 = 维数时最快 |
| 秩方法 | 相关 ⟺ r(α1,…,αs) < s | 一般场合的万能判定 |
行列式法迅速验两个例子（第三章的收获立刻回本）：(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2)——第三个恰是前两个之和，排阵取行列式得 1(2−1) − 0 + 1(0−1) = 0，相关 ✓；而 (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) 的行列式为 1(1−0) − 1(0−1) + 0 = 2 ≠ 0，无关 ✓。
现代接口 「无关」还是 3.3 节那个预埋伏笔的答案：sgn 之所以能当群同态，靠的是「任一排列可由对换拼出，且拼法奇偶性唯一」——那正是「对换是排列群的一组无关生成元」的影子。无关性思想在群、环、模里都会重逢；在线性代数里它连着维数，在抽象代数里它连着自由对象。
现在把「表示的存在性」（span 保证）与「表示的唯一性」（无关保证）合体：
定义 4.5（基与维数） 设 V 是线性空间。若 α1, …, αn 满足：
（1）线性无关；（2）张成 V（即 V 中每个向量都可由它们线性表示），
则称它是 V 的一个基；基中向量个数 n 称为 V 的维数，记 dim V = n。维数为 n 的空间称 n 维空间；只含零向量的空间维数规定为 0。
为什么表示会唯一？若 β = Σaiαi = Σbiαi，相减得 Σ(ai−bi)αi = 0，无关性迫使每个 ai = bi。基 = 不多不少的坐标系：多了必相关（表示不唯一），少了张不满（有的向量够不着）。基的存在性对有限维空间不平凡，需要一条替换定理（习题课四演练其特例，完整证明见高等代数教材标准章节）；但「不同基的向量个数相同」这一维数良定性，是本章的支柱定理：
定理 4.4（维数良定性） 若 V 既有 n 个无关向量，又由 m 个向量张成，则 n ≤ m。推论：V 的任何两组基所含向量个数相同，dim V 的定义无歧义。
最熟悉的基：ℝn 的标准基 e1, …, en；𝔽[x]≤n 的 1, x, x2, …, xn（维数 n+1）；𝔽m×n 的 mn 个「单位矩阵」（维数 mn）。再练一个非标准的：ℝ3 中取 (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)——由 4.7 节行列式 = 2 ≠ 0 知无关；又 e1 = (α1 + α3 − α2)/2、e2 = (α1 + α2 − α3)/2、e3 = (α2 + α3 − α1)/2（逐个展开验算即得），标准基可被表示 ⟹ 这组向量张满 ℝ3：是基。
〔明线〕解空间的基登场 拿张苍法解一个四元齐次方程组 x1+x2+x3+x4 = 0, x1−x2+x3−x4 = 0：两式相减得 x2 = −x4，相加得 x1 = −x3，r = 2，自由未知量是 x3, x4，基础解系 (−1, 0, 1, 0) 与 (0, −1, 0, 1)（逐个代回验算均为解 ✓）。今天的话说：解空间是二维的，这两向量是它的一组基。于是 解集 = 基的一切线性组合——「通解 = 基础解系 × 任意常数」这句老话，从此有了结构学的身份。
基选定后，每个向量获得一组唯一地址——坐标。这件事值得一个正式定义：
定义 4.6（坐标） α1, …, αn 是 V 的基，β ∈ V 且 β = x1α1 + ⋯ + xnαn，则列向量 (x1, …, xn)t 称为 β 在基 α1, …, αn 下的坐标。
算一个上三角的漂亮例子。取基 α1 = (1, 0, 0), α2 = (1, 1, 0), α3 = (1, 1, 1)，求 β = (5, 3, 2) 的坐标。设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3，从最后一个分量看起：x3 = 2；中分量 x2 + x3 = 3 ⟹ x2 = 1；首分量 x1 + x2 + x3 = 5 ⟹ x1 = 2。坐标 (2, 1, 2)——回代只需三步，因为基矩阵是上三角的。把基按列排成矩阵：
T =111011001， T−1 =1−1001−1001， T−1(5, 3, 2)t = (2, 1, 2)t
一切坐标问题 = 一次线性方程组求解 = 一次矩阵乘向量。于是换基这件事也有了矩阵语言：
定义 4.7（过渡矩阵） 设 A = (α1, …, αn) 与 B = (β1, …, βn) 是 V 的两组基。把每个 βj 在基 A 下的坐标排成第 j 列，所得矩阵 P 称为由基 A 到基 B 的过渡矩阵，满足 B = AP。
过渡矩阵必可逆（两组基互相表示，P 的逆就是 B 到 A 的过渡矩阵），其行列式永不为零——这个行列式在第三章还是「体积伸缩率」，在这里升格为「换基的合法性证书」。
〔几何〕歪坐标系的合法证书 在天文学与工程里，人们总是在斜着的坐标系里工作（地平坐标、轨道坐标……）。4.13 节将把「换基」写成完整的坐标变换公式；下册则会证明：保持图形形状不变的换基，恰恰是正交变换——那里，欧氏几何将接管今天的一切。
两个子空间 U、W 拼在一起（U+W，见 4.12 节的正式定义），会得到多大的子空间？天真的答案「维数相加」往往偏大——因为 U 与 W 之间的公共部分被数了两遍。
定理 4.5（维数公式） 设 U、W 是 V 的有限维子空间，则
dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W)。
证（骨架） 取 U∩W 的基 γ1,…,γr，扩充成 U 的基 γ1,…,γr, α1,…,αs 与 W 的基 γ1,…,γr, β1,…,βt。断言：γ1,…,γr,α1,…,αs,β1,…,βt 是 U+W 的基——它显然张成；无关性用定义法证：设组合为零，代入拆出 U 侧与 W 侧，两侧相等说明那个向量落在 U∩W 里，只能由 γ 们表示，比较系数迫使一切系数为零。于是 dim(U+W) = r+s+t = (r+s) + (r+t) − r，正是公式。∎
走一个实算的四维例子。取
U = span(α1, α2) = span((1,2,1,0), (−1,1,1,1))， W = span(β1, β2) = span((2,−1,0,1), (1,−1,1,3))
两组各自无关，dim U = dim W = 2。求交：设 aα1 + bα2 = cβ1 + dβ2，按分量立齐次方程组，精确消元后恰有一维解空间，取 a = −1, b = 3 得交向量
−α1 + 3α2 = (−4, 1, 2, 3) = −3β1 + 2β2，
两个表示在两边各验一次：左边 (−1−3, −2+3, −1+3, 0+3) = (−4, 1, 2, 3) ✓；右边 (−6+2, 3−2, 0+2, −3+6) = (−4, 1, 2, 3) ✓。于是 dim(U∩W) = 1，四个向量的并组秩为 3，公式对账：2 + 2 − 1 = 3 ✓。
推论一枚 dim(U+W) ≤ dim U + dim W，且 dim(U∩W) ≥ dim U + dim W − dim V。于是三维空间里的两张过原点平面必交于一条直线（2 + 2 − 3 = 1，交不可能为 0 维）——线性代数用一行不等式，说出了立体几何要画图才敢说的话。
维数公式里最好的情形，是交只剩下 {0}——两个子空间「不共享任何方向」。
定义 4.8（直和） 若 U ∩ W = {0}，则称 U + W 为直和，记作 U ⊕ W。若 V = U ⊕ W，称 U、W 互为补子空间。
定理 4.6（直和的等价刻画） 下列说法等价：
（1）V = U ⊕ W； （2）V = U + W 且 dim V = dim U + dim W；
（3）V 中每个向量分解成 v = u + w（u ∈ U, w ∈ W）的方式唯一。
（3）是直和的灵魂。若分解不唯一，u + w = u′ + w′ 移项得 u − u′ = w′ − w，这个向量既属 U 又属 W，是公共方向——交非零；反之亦然。唯一分解 = 没有公共方向，一体两面。
实算一个 ℝ3 的分解。U = span(e1, e2)（水平面），W = span(1, 1, 1)（斜线）。交显然为 {0}（斜线上除零外没有水平向量），且维数和 2 + 1 = 3 = dim ℝ3，故 ℝ3 = U ⊕ W。于是任一向量有唯一分解，例如
v = (4, 7, 9) = (−5, −2, 0) + 9·(1, 1, 1)，
其中 (−5, −2, 0) ∈ U（末位为 0 ✓）、9(1,1,1) ∈ W。分解的求法就是把 v − t(1,1,1) 压进 U：末位 9 − t = 0 给出唯一的 t = 9。验算 (−5+9, −2+9, 0+9) = (4, 7, 9) ✓。
多项式空间里有一组天然的直和：偶函数部分 ⊕ 奇函数部分。p(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = (1 + 3x2) + (2x + 4x3)，系数逐项对账 (1, 0, 3, 0) + (0, 2, 0, 4) = (1, 2, 3, 4) ✓——任何多项式的偶部与奇部由系数直接读出，分解唯一。
现代接口 「整体 = 各部分 ⊕ 各部分，且不带重叠」是抽象代数的通用句式。第三章的分块对角阵 diag(A, D) 正是 V = V1 ⊕ V2 的矩阵化身；第五章会看到，矩阵能对角化的条件就是「特征子空间拼成直和」。直和是把复杂结构拆成简单零件的合法证书。
4.10–4.11 用到的 U∩W 与 U+W，正式立个户口：
定义 4.9（交与和） U∩W = {v : v ∈ U 且 v ∈ W}；U+W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W}。两者都是子空间（封闭性逐条验即可），且是同时包含于 U, W 的最大子空间与同时包含 U, W 的最小子空间。
和与「并」不同：并集 U∪W 一般不是子空间（两个方向的向量一相加就跑出并集），和恰是并集的「子空间闭包」——把所有组合都收进来。两个过原点的不同直线，并起来是两条线（不是子空间），和起来是一张平面（子空间）。
交的算法——这是本节的技术核心，把「求交」化成「解齐次方程组」：设 U = span(α1,…,αs)，W = span(β1,…,βt)。交里的向量等于「用 α 表示，也用 β 表示」，于是
x1α1 + ⋯ + xsαs − y1β1 − ⋯ − ytβt = 0
的解 (x, y) 中，x 部分给出的组合恰跑遍 U∩W。又是一次消元——张苍法的第四份收成悄然到账。
实算一个四维例。U = span((1,1,0,0), (0,0,1,1))，W = span((1,0,1,0), (0,1,0,1))。立方程 a(1,1,0,0) + b(0,0,1,1) = c(1,0,1,0) + d(0,1,0,1)，按分量：a = c；a = d；b = c；b = d——四个数被迫全部相等！取 a = b = c = d = 1 得交向量 (1, 1, 1, 1)，它在两边都能拼出：(1,1,0,0)+(0,0,1,1) ✓，(1,0,1,0)+(0,1,0,1) ✓。于是 U∩W = span((1,1,1,1))，一维；dim(U+W) = 2 + 2 − 1 = 3（四个张成向量秩为 3）。两张「平面」在四维空间里交出一条对角线。
〔明线〕注意本节的模式：几何对象（交、和）→ 线性方程组 → 消元 → 读出维数与基。结构问题被逐个翻译回张苍法，这正是全册的明线设计：算法不因观念升级而退役，反而升级为一切判定的发动机。
4.9 节埋下的三角关系，现在写成完整公式。设基 A = (α1,…,αn) 到基 B = (β1,…,βn) 的过渡矩阵为 P（即 B = AP），向量 v 在两基下的坐标分别为 [x] 与 [y]：
定理 4.7（坐标变换公式） A[x] = B[y] = AP[y]，而 A 可逆，两边消去 A：
[y] = P−1[x]， [x] = P[y]。
完整实算。取新基 β1 = (1, 1, 0), β2 = (0, 1, 1), β3 = (1, 0, 1)（标准基 A = (e1, e2, e3)）。过渡矩阵按列排：
P =101110011， det P = 2 ≠ 0， P−1 =1/21/2−1/2−1/21/21/21/2−1/21/2
求 v = (2, 1, 3) 在新基下的坐标：
[y] = P−1(2, 1, 3)t = (0, 1, 2)t，
即 v = 0·β1 + 1·β2 + 2·β3 = (0,1,1) + 2(1,0,1) = (2, 1, 3) ✓。再来一组练手：v = (3, 2, 1) 得坐标 (2, 0, 1)，验算 2β1 + 0β2 + 1β3 = (2,2,0) + (1,0,1) = (3, 2, 1) ✓；v = (1, 2, 3) 得坐标 (0, 2, 1)，验算 2(0,1,1) + (1,0,1) = (1, 2, 3) ✓。注意坐标可以出现 0 甚至负数——地址不忌讳任何数，只要唯一。
两个易错点提前钉住：① 方向别反——新基坐标 = P−1 乘旧坐标（「新用逆」）；② P 的列是新基在旧基下的坐标，不是别的。
现代接口 同一个向量在不同基下坐标不同——那么「矩阵」究竟是谁的性质？第五章将给出答案：同一个线性映射在不同基下的矩阵相差一个 P−1AP 型的相似变换（第二章例 10 已埋伏笔），相似不变量（迹、行列式、特征多项式）之所以「不变」，正因为它们不依赖坐标系统。今天学的换基公式，是全部相似理论的语法。
先看三对貌似无关的对象：ℝ2 与「次数 ≤ 1 的多项式」；ℝ3 与 M2×1 矩阵；ℝ4 与 2×2 矩阵。它们元素长得完全不同，但有一件事完全一样：加法表与数乘表逐条相同。把这种「结构完全相同」立成定义：
定义 4.10（线性映射与同构） f : V → W 称为线性映射，若对一切 u, v ∈ V、k ∈ 𝔽：
f(u + v) = f(u) + f(v)， f(kv) = k·f(v)（合起来即 f(au + bv) = a·f(u) + b·f(v)）。
若 f 还是双射，则称 f 为同构映射，此时称 V 与 W 同构，记 V ≅ W。
显式搭一座桥：ℝ3 与 𝔽[x]≤2 之间，令
f(a, b, c) = a + b x + c x2，
它是线性的：两个三元组相加，像恰好相加（(1, 2, −1) 映到 1 + 2x − x2，(0, 1, 3) 映到 x + 3x2，和 (1, 3, 2) 映到 1 + 3x + 2x2，恰等于前两个像之和 ✓）；数乘同理；逐位对应保证双射。反方向同样顺畅：p(x) = a + bx + cx2 ↦ 系数组 (a, b, c)。两座桥互逆，同构。
定理 4.8（同构判据） 有限维线性空间 V ≅ W ⟺ dim V = dim W。
证（骨架） （⟹）同构把基映成基：无关性在双射线性映射下保持，像组张成 W。（⟸）维数相等时，取两边各一组基，按「第 i 个基向量 ↦ 第 i 个基向量」逐位搭桥，线性扩展即得同构。∎
〔明线〕「维数相同 ⟺ 同构」解释了一件从前只能默认的事：为什么解方程组时我们敢把解写成 k1ξ1 + k2ξ2 的坐标形式？因为解空间与 𝔽n 的某个子空间同构，基础解系就是那张「结构说明书」。同构是隐形的翻译官，从第一章起一直在场，今天才自我介绍。
定理 4.8 值得单独一页，因为它宣告了一件事：在「同构意义下」，有限维线性空间被维数一维定乾坤——任何 n 维空间都同构于 𝔽n。维数，是线性空间类别的完全不变量：它不多不少地分类了所有有限维空间。
于是同一维数的世界可以随意换装，每件衣裳都是同一个结构：
| 维数 | 四件衣裳（互相同构） | 桥 |
|---|---|---|
| 4 | ℝ4 ≅ M2(𝔽)（2×2 矩阵）≅ 𝔽[x]≤3（次数 ≤3 多项式）≅ ℝ2×ℝ2 | 按位读系数 |
| 3 | ℝ3 ≅ 𝔽[x]≤2 ≅ 空间几何中的「点空间」 | 按位读系数 |
| 2 | ℝ2 ≅ 次数 ≤1 多项式 ≅ 复数 ℂ（作为实空间） | (a, b) ↦ a + bi |
最后一行值得驻足：复数集 ℂ 在实数域上就是二维线性空间，基 {1, i}——「虚数轴」不是比喻，是维数定理的直接推论。四元数（札记①的主角）则是四维的延续。
维数不变量的第一个战果，是给「秩—零化度」预留席位。设 A 是 m×n 矩阵，齐次方程组 Ax = 0 的解空间（今后称零空间 N(A)）的维数 = 自由未知量个数 = n − r(A)。用今天的语言重说第一章的事实：
定理 4.9（零空间的维数） A 为 m×n 矩阵时，dim N(A) = n − r(A)。第五章将以「秩—零化度定理」的正式身份回归。
回到明线：消元把方程组化成阶梯形时，主元个数 r 与自由变量个数 n − r 此消彼长，总和恒为 n。消元不是在制造信息，而是在把 n 维「预算」在主元与自由元之间分配——今天我们知道，分配的结果就是解空间的维数。
现代接口 「完全不变量」是分类数学的圣杯：找到一个量，它相同 ⟺ 结构相同。线性空间的分类已经被 dim 一劳永逸地解决——这是本科数学里罕见的「分类完成」时刻。第六章将遇到不完全的反例：多项式环的理想分类远比维数复杂，那里正是抽象代数的起点。在分类完成与分类艰难之间，数学的全部风景铺展开来。
还有一种造新空间的办法，思路奇特而威力巨大：把子空间「压成零」。设 W 是 V 的子空间，规定向量 v, v′ 等价，只要 v − v′ ∈ W——也就是它们相差一个 W 里的向量。每个等价类
v̄ = v + W = {v + w : w ∈ W}
称为一个陪集，全体陪集构成商空间 V/W，加法与数乘按代表元定义（这个定义是适定的：换代表元结果不变，正因 W 封闭）。
几何一图胜千言。取 V = ℝ2，W = span((1, 0))（横轴）。陪集 (a, b) + W 是过点 (a, b) 的整条水平线；两个点同属一个陪集 ⟺ 纵坐标相同。于是商空间 ℝ2/W 的「点」就是水平线，「一个点 = 一条线」——商运算把二维压成一维，把点压成线：
dim(V/W) = dim V − dim W。
数值小例：ℝ3 对直线 W = span((1, 1, 1)) 取商，维数 3 − 1 = 2：商空间的「点」是所有与 (1,1,1) 平行的直线——空间被 «压扁» 成一张「直线为点」的平面。更实用的取法是对平面取商：ℝ3 对 W = {x+y+z = 0} 的商是 1 维的，任何向量的「身份」只由 x+y+z 的值决定——商空间把三维信息浓缩成一个数。
现代接口 第三章的商群 GLn/SLn ≅ 𝔽* 与今天的商空间是同一个思想的两处落笔：把「不关心的差异」正式宣布为相等。第五章的解集合一一 Ax = b 的任意一个特解 + 零空间的全部——用商的语言说就是：解集是 b 所在的陪集。「通解 = 特解 + 通零解」这句口诀，正是陪集分解 v̄ = v + W 的日常读音。
本章把「数组、矩阵、多项式、函数」统一成了线性空间。但抽象代数还有更高一层的屋顶——模：把「数域 𝔽 乘向量」放宽为「环 R 乘向量」，其余公理原封不动。线性空间就是数域这个特殊环上的模：
| 概念 | 线性空间（本章） | 环上的模（抽象代数） | 变化 |
|---|---|---|---|
| 数量来源 | 数域 𝔽（可做除法） | 任意环 R（如 ℤ、𝔽[x]） | 除法不再保证 |
| 基与维数 | 总有基，维数良定 | 可能有基（自由模）也可能没有 | 维数论可能失效 |
| 典型对象 | 𝔽n | ℤn、𝔽[x] 自身、𝔽[x]-模 | 新世界的大门 |
「丢掉除法」看似损失，实为解放。一个漂亮的例子：给了线性算子 T : V → V，V 立刻升级为 𝔽[x] 上的模——让多项式这样作用在向量上：
p(x)·v := p(T)(v)（如 (x2 + 1)·v = T2v + v），
验算：多项式的加法对应算子的加法，乘法对应复合（第二章「矩阵乘法 = 复合」的回声）。在这个模里，「多项式 p(x)T 零化 v」恰是「p 是 v 的零化多项式」。第六章主角 𝔽[x] 在这里提前客串。
现代接口 本章全部概念在模的世界里都有对应物：子空间 → 子模，交与和 → 模的交与和，直和 → 模直和，商空间 → 商模。但注意：模的维数定理可能整体失效——环 ℤ 的模（交换群）里，⟨1/2⟩ 不是整数组合能到达的地方；「基」可能不存在或不唯一。线性代数是模论的「幸运特例」，看清幸运从何而来（域可除），就看清了抽象代数为何要另起炉灶。
本章最后一个视角最抽象也最「省心」：范畴论。一个范畴由两类东西组成——对象与态射（对象之间的箭头），且箭头可以复合、复合满足结合律、每个对象有恒等态射。三个早已认识的例子：
| 范畴 | 对象 | 态射 | 同构 = ？ |
|---|---|---|---|
| Vect𝔽 | 𝔽 上线性空间 | 线性映射 | 可逆线性映射（4.14 节） |
| Group | 群 | 群同态 | 双射同态（第三章 GL 与 𝔽* 的语言） |
| Ring | 环 | 环同态 | 双射同态（第六章登场） |
范畴论对「同构」的统一裁决：同构 = 存在逆态射的态射（f∘g = id 且 g∘f = id）。三个世界的定义在这个裁决下归一。更进一步，范畴论有一条指导性偏好：凡命题尽量用「同构」而不是「相等」陈述。本章已经受惠于此：4.15 节的分类定理严格的读法是「n 维线性空间同构于 𝔽n」而非「就是 𝔽n」——同构断了「唯一性」的念想，却给了「翻译 freely」的自由。
本章收束 从解集的形状（4.1）出发，经公理化（4.2）、子空间（4.4）、基与维数（4.8）、维数公式与直和（4.10–4.11）、同构（4.14）、商空间（4.16），最后升到模与范畴（4.17–4.18）。结构正式登场，登场的方式是：所有判定问题都回到一次消元，而所有概念都获得了一次命名。下一章，箭头（线性映射）接过主角之位——方程组 Ax = b 将被重写为「求 f(x) = b 的原像」，明线将在那里完成收束。
例 1 判断下列 ℝ3 的子集是否为子空间，并说明理由：
（1）W1 = {(a, b, c) : b = a + c}； （2）W2 = {(a, b, c) : a + b + c = 1}；
（3）W3 = {(a, b, c) : a2 = b2}； （4）W4 = {(a, b, 0) : a, b ∈ ℝ}。
解 全部走定理 4.1 的两步判定。
（1）任取两个满足条件的向量，条件式照抄相加仍成立：设 b1 = a1 + c1, b2 = a2 + c2，则和向量的中间分量 b1 + b2 = (a1 + a2) + (c1 + c2) ✓；数乘 kb1 = k a1 + k c1 ✓。两步全部通过——W1 是子空间。它的形状：条件是齐次线性方程，解集是过原点的平面 x − y + z = 0（例 11 将反过来看这类问题）。
（2）零向量 (0, 0, 0) 的坐标和为 0 ≠ 1，不在 W2 里——不是子空间。补一刀看它怎么破：取 (2, −1, 0) 与 (−1, 1, 1)（各自的和都是 1），相加得 (1, 0, 1)，坐标和为 2 ≠ 1，加法封闭失效。几何上这是那张「不过原点的平面」。
（3）a2 = b2 等价于 a = b 或 a = −b，即两张平面的并集。取 (1, 1, 0)（a = b 支）与 (1, −1, 0)（a = −b 支），两者都在 W3，但和 (2, 0, 0) 使 a2 = 4 ≠ 0 = b2，不在 W3——加法封闭破——不是子空间。两个子空间的并一般不是子空间，这是一枚常考的反例。
（4）条件「第三坐标为 0」是齐次线性条件：两个第三坐标为 0 的向量相加、乘数后仍为 0，两步全部通过——W4 是子空间，即水平坐标面，它也正是 4.4 节判例的孪生兄弟。
方法论 判定顺序有讲究：先看零向量在不在（一步否决，零成本），再做两步封闭性检验。线性条件（齐次线性方程组给出的）天然过；带常数项、带平方、带并集的条件，通常一击即破。找反例时优先试「分属两支的向量相加」。
例 2 求 W = span((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0), (2,2,1)) ⊂ ℝ3 的维数与一组基。
解 生成组的维数 = 生成组的秩（无关向量的极大个数）。把四个向量按行排阵消元：
111110100221 →（r2−r1, r3−r1, r4−2r1） 11100−10−1−100−1
第 4 行与第 2 行相同（r4 = r4 + r2 后化为零行，或直接看出 (2,2,1) = (1,1,1) + (1,1,0) ✓），三行阶梯形，r = 3。故 dim W = 3，而 W ⊆ ℝ3 且维数已达 3，W = ℝ3。基取前三个向量 (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)。
核对第四个向量确实多余：(1,1,1) + (1,1,0) = (2, 2, 1) ✓——第四个向量是前两个之和，自然不添新方向。
方法论 「生成组求维数」的标准动作：排阵 → 消元 → 数阶梯。留下的非零行对应的原向量就是一组基（消元是行变换，不改变行向量之间的线性关系结构）。顺带记住一条捷径：ℝ3 里若某生成组能表示出 e1, e2, e3，立即得 W = ℝ3——本例中 e3 = (1,1,1)−(1,1,0)，e2 = (1,1,0)−(1,0,0)，e1 = (1,0,0)，标准基全员可达。
例 3 判断下列向量组的线性相关性：
（1）α1 = (1,1,0), α2 = (0,1,1), α3 = (1,0,1)；
（2）α1 = (1,1,1), α2 = (1,2,t), α3 = (1,3,5)（t 为参数）。
解（1）三个向量、维数也是 3，用行列式法最快：
det(α1, α2, α3 按行排列) = 1(1−0) − 1(0−1) + 0 = 1 + 1 = 2 ≠ 0，
线性无关。（顺带：这三个向量因此构成 ℝ3 的一组基，det = 2 还是它们张成的平行六面体体积。）
解（2）含参数时行列式照样管用，按第一列展开：
D = det11112t135 = 1(10 − 3t) − 1(5 − t) + 1(3 − 2) = 6 − 2t
消元核验：第 2、3 行各减第 1 行得 (0, 1, t−1) 与 (0, 2, 4)，第 3 行减第 2 行的 2 倍得 (0, 0, 6−2t)——对角线 1·1·(6−2t)，与展开一致 ✓。于是：
· t = 3 时 D = 0，相关（此时第 2 行 (1,2,3) 恰在 (1,1,1) 与 (1,3,5) 张成的平面里）；
· t ≠ 3（如 t = 2，D = 2）时无关。
定义法复核（1）：设 k1α1 + k2α2 + k3α3 = 0，按分量 k1 + k3 = 0；k1 + k2 = 0；k2 + k3 = 0。三式相加得 2(k1+k2+k3) = 0；消元解出 k1 = k2 = k3 = 0 唯一——无关 ✓。
方法论 含参相关性问题的通式：相关性 ⟺ 行列式（或秩条件）对参数的方程有解。几何读法：t 变动时，第二个向量在一张固定的平面里滑动，t = 3 那一刻它落进前两个向量张成的平面——行列式为 0 的瞬间，就是方向「破产」的瞬间。
例 4 求齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4 = 0；x1−x2+x3−x4 = 0 的解空间的维数与一组基。
解 消元：第 2 行减第 1 行得 (0, −2, 0, −2)，化简为 (0, 1, 0, 1)。阶梯形为
x1 + x2 + x3 + x4 = 0； x2 + x4 = 0，秩 r = 2，n = 4。
主元变量是 x1, x2，自由未知量取 x3, x4（n − r = 4 − 2 = 2 个）。回代：x2 = −x4；x1 = −x2 − x3 − x4 = x4 − x3 − x4 = −x3。通解
(x1, x2, x3, x4) = (−x3, −x4, x3, x4) = x3(−1, 0, 1, 0) + x4(0, −1, 0, 1)
基础解系两个向量逐式验算：(−1, 0, 1, 0) 代入第 1 式 −1 + 0 + 1 + 0 = 0 ✓，第 2 式 −1 − 0 + 1 − 0 = 0 ✓；(0, −1, 0, 1) 代入第 1 式 0 − 1 + 0 + 1 = 0 ✓，第 2 式 0 + 1 + 0 − 1 = 0 ✓。两向量无关（对应坐标不成比例），解空间维数 = 2，基 {(−1, 0, 1, 0), (0, −1, 0, 1)}。若换取 x3, x4 以外的自由元组合或做行倍乘整理，会得到另一组基——基不唯一，维数唯一（定理 4.4），这正是「基础解系」一词用「系」而不用「第」的深意。
方法论 求基础解系的纪律三则：①先认准主元变量（消元后各阶主元所在的列），其余即自由元；②回代一步一式，符号最容易在此处丢失；③每个基础解系向量必须逐式代回验算，一步不省。张苍法的纪律在结构时代一条不废：算完必验。
例 5 设 β1 = (1, 0, 1), β2 = (0, 1, 1), β3 = (1, 1, 0)，求 v = (1, 2, 3) 在基 β1, β2, β3 下的坐标，并写出标准基到该基的过渡矩阵及其行列式。
解 设 v = c1β1 + c2β2 + c3β3，按分量：
c1 + c3 = 1； c2 + c3 = 2； c1 + c2 = 3
三式相加：2(c1 + c2 + c3) = 6，故 c1 + c2 + c3 = 3。逐个减：c1 = 3 − 2 = 1；c2 = 3 − 1 = 2；c3 = 3 − 3 = 0。坐标为 (1, 2, 0)。验算：1·(1,0,1) + 2·(0,1,1) + 0·(1,1,0) = (1, 2, 3) ✓。这个「总和一半」的技巧只在三式两两共享未知数时好使，通用的办法仍是消元或矩阵求逆。
过渡矩阵按列排基：
P =101011110， det P = 1(0−1) − 0 + 1(0−1) = −2 ≠ 0
公式复验（定理 4.7）：[v]β = P−1(1, 2, 3)t = (1, 2, 0)t，与解方程结果一致 ✓。注意 det P = −2：绝对值 2 是这组新基张成的平行六面体体积（第三章的旧识在此再就业），符号为负说明这组基把定向翻了一次面。
〔几何〕过渡矩阵的行列式 = 新基张成的平行六面体有向体积。它永远不会是零（基必须无关）——「体积非零」就是「能当坐标系」的几何资格证。
例 6 设 U = {(x, y, z) : x + y + z = 0} 与 W = {(x, y, z) : x + 2y + 3z = 0} 是 ℝ3 的两张过原点平面，求 U∩W，并用维数公式对账。
解 两平面都过原点，都是 2 维子空间（各由两个无关向量张成，如 U = span((1,−1,0), (1,0,−1))）。交里的向量要同时满足两个方程，解联立齐次方程组；几何上，两张过原点的不同平面的交是一条过原点直线，方向即两法向量的叉积：
n1 × n2 = (1,1,1) × (1,2,3) = (1·3 − 1·2, 1·1 − 1·3, 1·2 − 1·1) = (1, −2, 1)
验算方向向量同时在两平面里：1 − 2 + 1 = 0 ✓；1 − 4 + 3 = 0 ✓。所以 U∩W = span((1, −2, 1))，一条过原点的直线。
维数公式对账：dim U + dim W − dim(U∩W) = 2 + 2 − 1 = 3 = dim(U+W)。而 U+W ⊆ ℝ3，维数已达 3，故 U+W = ℝ3——两张平面合起来恰好铺满整个空间，不重不漏。
〔几何〕「两张平面必交于线」在 4.10 节由不等式给出（dim(U∩W) ≥ 1）；本例把交算了出来。定性与定量，是维数公式的两副面孔。
例 7 设 ℝ3 = U ⊕ W，其中 U = span(e1, e2)（水平面），W = span((1, 1, 1))（斜线）。把 v = (4, 7, 9) 分解为 u + w（u ∈ U, w ∈ W），并证明分解唯一。
解 设 w = t(1, 1, 1)，则 u = v − t(1,1,1) = (4−t, 7−t, 9−t)。要求 u ∈ U 即第三坐标为零：9 − t = 0，得唯一的 t = 9。于是
w = 9(1, 1, 1) = (9, 9, 9)， u = (4−9, 7−9, 0) = (−5, −2, 0)，
验算 u + w = (−5+9, −2+9, 0+9) = (4, 7, 9) = v ✓，且 u 的第三坐标为 0（∈ U ✓）、w 是斜线的倍数（∈ W ✓）。
唯一性（一般论证）：若 v = u + w = u′ + w′，则 u − u′ = w′ − w，左端属 U、右端属 W，故该向量 ∈ U∩W = {0}，即 u = u′, w = w′。∎
再做一个多项式空间的同类分解：𝔽[x]≤3 = V偶 ⊕ V奇（偶多项式 ⊕ 奇多项式，交为 {0}，维数 2 + 2 = 4）。把 p(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 分解：偶部取偶次项 1 + 3x2，奇部取奇次项 2x + 4x3，系数逐项对账 (1,0,3,0) + (0,2,0,4) = (1,2,3,4) ✓。奇偶分解是「投影分解」的最古老模型。
〔明线〕例 4 的解空间语言再看一眼：解空间 = 基础解系张成的子空间，而任何「通解」总可写成「一个特解 + 零空间中的向量」——那正是 ℝn = 特解方向 ⊕ N(A) 式分解的影子（第五章将把它写成陪集等式 x̄ = x0 + N(A)）。直和不是装饰，是解方程组的结构原型。
例 8 设 U = span(α1, α2) = span((1,2,1,0), (−1,1,1,1))，W = span(β1, β2) = span((2,−1,0,1), (1,−1,1,3))。求 U∩W 的基、维数及 dim(U+W)。
解 按 4.12 节算法：设 aα1 + bα2 = cβ1 + dβ2，移项立齐次方程组（四个分量四个方程）：
a − b − 2c − d = 0； 2a + b + c + d = 0； a + b − d = 0； b − c − 3d = 0
精确消元后解空间一维，取 (a, b, c, d) = (−1, 3, −3, 2)（代入四式逐一核对：−1−3+6−2 = 0 ✓；−2+3−3+2 = 0 ✓；−1+3−2 = 0 ✓；3+3−6 = 0 ✓）。交向量用 U 侧表示：
−α1 + 3α2 = (−1−3, −2+3, −1+3, 0+3) = (−4, 1, 2, 3)，
用 W 侧表示核对：−3β1 + 2β2 = (−6+2, 3−2, 0+2, −3+6) = (−4, 1, 2, 3) ✓，两个表示严格相等。U∩W = span((−4, 1, 2, 3))，维数 1。
再算和的维数：四个张成向量的并组秩为 3（比如消元后得三个非零行），故 dim(U+W) = 3。维数公式对账：2 + 2 − 1 = 3 ✓。四维空间里，两张「二维子空间」交出一条线、和出一张三维的超平面——比 ℝ3 里的平面故事更立体。
方法论 交的算法三步：①立方程 Σxα − Σyβ = 0；②解齐次方程组（消元）；③解向量的 α 部分（或 β 部分，任取一侧）给交向量的表示。两侧各表示一遍再对账是防错的关键动作——本例两侧同为 (−4, 1, 2, 3)，证书齐全。
例 9 （1）在函数空间中判断 1, cos2x, cos 2x 的线性相关性；（2）证明 𝔽[x]≤n 的维数是 n+1。
解（1）凭恒等式一眼看穿：cos 2x = 2cos2x − 1，即 (−1)·1 + 2·cos2x + (−1)·cos 2x = 0——一组不全为零的系数（−1, 2, −1），故线性相关。三个函数在函数空间里「共面」，其中一个是其余两个的组合。任取两个自变量值核对恒等式：x = 0 时 cos 0 = 1, 2cos20 − 1 = 2−1 = 1 ✓；x = π/3 时 cos 2π/3 = −1/2，而 2·(1/4) − 1 = −1/2 ✓。
解（2）取 1, x, x2, …, xn。无关性：若 a0 + a1x + ⋯ + anxn 是零函数，则它在任何点取值为 0；取 n+1 个互不相同的点逐个代入，得系数全为零（这一步也即范德蒙德行列式非零的应用，定理 3.13）。张成：定义即次数 ≤ n 的全体。故它是基，维数 = n + 1。∎
维数立刻给出一些「存在唯一」式的事实：过 n+1 个横坐标互不相同的点，次数 ≤ n 的插值多项式至多一条（待定系数法给出 n+1 个未知数 n+1 个方程，系数矩阵是范德蒙德阵，det ≠ 0 ⟹ 唯一解）。函数空间里的「维数计数」，就是插值唯一性的代数内核。
〔几何〕「相关 ⟺ cos2x 可被另两个表示」与「三向量共面」是同一句话在两个空间的读音。函数空间虽无限维（全体函数），但我们要的子空间（次数 ≤ n 多项式、三角多项式等）常常有限维——在无限维世界里圈出有限维的自留地，是调和分析、有限元等领域的日常操作。
例 10 构造 ℝ3 与 𝔽[x]≤2 之间的同构映射，并验证它保持加法；再问：M2(𝔽)（2×2 矩阵空间）与哪个「貌异神同」的空间同构？
解 定义 f : ℝ3 → 𝔽[x]≤2，f(a, b, c) = a + bx + cx2。
线性：f((a,b,c) + (a′,b′,c′)) = (a+a′) + (b+b′)x + (c+c′)x2 = f(a,b,c) + f(a′,b′,c′)；数乘同理（多项式合并同类项就是按位相加）。数值验一对：f(1, 2, −1) = 1 + 2x − x2，f(0, 1, 3) = x + 3x2，两者之和 1 + 3x + 2x2 恰是 f(1, 3, 2) ✓。
双射：反方向 g(a + bx + cx2) = (a, b, c) 逐位读系数，g∘f = id、f∘g = id。故 f 是同构， ℝ3 ≅ 𝔽[x]≤2（与定理 4.8 的维数判据 3 = 3 一致）。
同理 M2(𝔽)：维数 2×2 = 4，与 ℝ4 同构——桥可以搭成 (a, b, c, d) ↦ abcd（行拼接）。矩体的「形状」各不相同，维数相同则结构无别。四维衣橱里的四件衣裳：ℝ4、M2、𝔽[x]≤3、ℝ2×ℝ2，同构把它们缝成一件。
现代接口 搭桥的原则叫「基映基」：把定义域的一组基逐个送到值域基的对应位置，再线性扩展——这个映射自动线性，且维数相同时自动双射。同构不是找出来的，是按基「订做」的。第五章的线性映射矩阵表示，正是把这套「订做」流程反过来用：用基的像来记录映射。
例 11 设 W = span((1, 0, −1), (2, 1, 0)) ⊂ ℝ3。求一个行向量 n，使 W = {(v) : n·v = 0}（即把张成式描述翻译成方程式描述），并求 dim W。
解 思路反向而行：平时消元是从方程找解；现在从解找方程。n = (a, b, c) 须同时正交于两个生成向量：
n·(1, 0, −1) = a − c = 0； n·(2, 1, 0) = 2a + b = 0
解得 c = a, b = −2a，一维解空间，取 a = 1：n = (1, −2, 1)。验算：与 (1, 0, −1) 点积 1 − 0 − 1 = 0 ✓；与 (2, 1, 0) 点积 2 − 2 + 0 = 0 ✓。于是
W = {(x, y, z) : x − 2y + z = 0}，
一张过原点的平面，dim W = 2（张成组两向量无关，秩 2）。
这道小题是一次完整的「语言对译」：张成语言（生成组）⟷ 方程语言（约束组），中间的翻译官叫「正交」（下册欧氏空间将正式定义内积；眼下点积只是直觉向导）。张成描述擅长「构造」，方程描述擅长「判定」——例 1 的判定题若先把集合翻成方程语言，往往一眼定性。
〔明线〕每个子空间都有两副面孔：一组「生成元」（它由谁张成）与一组「方程」（它满足什么约束）。第五章将证明两副面孔的维数永远互补（r + (n − r) = n）。今天这道题，是那次对账的预告片。
例 12 证明：（1）若 dim U + dim W > dim V，则 U∩W ≠ {0}；（2）n+1 个 n 维向量必线性相关。
证（1）由维数公式与 U+W ⊆ V：
dim(U∩W) = dim U + dim W − dim(U+W) ≥ dim U + dim W − dim V > 0，
故 U∩W 至少含一个非零向量，不为 {0}。∎
数值体感：ℝ3 里两张二维平面，2 + 2 = 4 > 3，交必非零（例 6 的直线）；ℝ4 里两张二维平面，2 + 2 = 4 不大于 4，交可以是零——例如 span((1,0,0,0), (0,1,0,0)) 与 span((0,0,1,0), (0,0,0,1)) 交于 {0}。不等式严格与否，命运分岔。
证（2）设 α1, …, αn+1 ∈ 𝔽n，记 W = span(α1, …, αn+1) ⊆ 𝔽n，则 dim W ≤ dim 𝔽n = n。若这组向量无关，则它是 W 的 n+1 个无关向量，与 dim W ≤ n 矛盾（无关向量个数不超过维数）。故必相关。∎
「四向量在 ℝ3 里必相关」的图示版：
〔明线〕把（2）用回方程组：m < n 个方程的齐次方程组（系数阵 m×n），列向量 n 个而每列 m 维——列向量组 n > m 必相关，故 Ax = 0 有非零解，「方程少未知数多必有自由解」从此是定理而不是经验。几何预算论，替张苍法说出了它一直默认的事。
1. 判断：ℝ2 的子集 W = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}（非负象限）是不是子空间？
答：不是。数乘破：(1, 1) ∈ W 而 −1·(1, 1) = (−1, −1) ∉ W（负方向一票否决）。
2. 证明：对任意实数 k，W = {(x, y) : y = kx} 是 ℝ2 的子空间；k 不同，直线不同——过原点的每条直线都是一个一维子空间。
答：两步判定全部通过（线性条件的齐次性）；k 是斜率，这条直线由向量 (1, k) 张成。
3. 判断：W = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}（单位圆盘）是不是子空间？
答：不是。两步皆破：加法 (1,0)+(0,1) 长度 √2 > 1 跑出圆盘；数乘 2(1,0) 亦然。「有界」与「子空间」天然互斥——子空间对一切数乘封闭，一放大就无限。
4. 证明：W = {A ∈ M2(𝔽) : tr A = 0}（迹为零的 2×2 矩阵全体）是 M2(𝔽) 的子空间，并求其维数。
答：迹对加法与数乘都线性（tr(A+B) = tr A + tr B, tr(kA) = k·tr A），封闭成立；形如 abc−a 的矩阵由 3 个自由参数 a, b, c 决定，维数 3。一般规律：迹零空间维数 = n2 − 1（一个独立线性条件砍掉一维）。
5. 证明：两个子空间的交还是子空间；并举反例说明并不是。
答：交的封闭性逐条继承；并的反例即 4.4 节判例的「x = y 支与 x = −y 支」：(1,1,0) 与 (1,−1,0) 分属两支，和 (2,0,0) 不属任何一支。
1. 求 span((1, 0), (0, 1), (1, 1)) ⊂ ℝ2 的维数。
答：(1,1) = (1,0) + (0,1)，第三个是前两个之和，rank = 2，维数 2，即整个 ℝ2。
2. 求 span((1, 2, 3), (2, 4, 6)) 的维数。
答：第二个是第一个的 2 倍，rank = 1，一条过原点的直线。
3. 判断 span((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, −1)) 的维数。
答：第三个向量恰为 (1,1,0) − (0,1,1) = (1, 0, −1)，相关，rank = 2，维数 2——一张平面（不是 ℝ3）。
4. span((2, 1), (3, 2)) ⊂ ℝ2 等于什么？
答：det 2132 = 4 − 3 = 1 ≠ 0，两向量无关，张满 ℝ2。顺带：det = 1 说明这组基「体积」恰为一个单位——面积守恒的基。
5. 设 U = span((1, 1), (1, −1))。问 (3, 5) 可否由这两个向量表示？写出表示。
答：可（det = −2 ≠ 0 ⟹ 张满 ℝ2）：解 a + b = 3, a − b = 5 得 a = 4, b = −1，即 (3, 5) = 4(1,1) − (1,−1)。验算 (4−1, 4+1) = (3, 5) ✓。
1. 判断 (1, 1), (2, 2) 的相关性，并写出相关系数。
答：2(1,1) − 1(2,2) = 0，系数 (2, −1) 不全为零，相关（共线）。
2. 用行列式法判断 (1, 2), (3, 4)。
答：det = 4 − 6 = −2 ≠ 0，无关。
3. 为什么 ℝ2 中任意三个向量必相关？用两种语言回答。
答：维数语言——无关向量个数 ≤ dim = 2（例 12）；几何语言——三个向量若前两个不共线则张满平面，第三个必落在其中。消元语言——2×3 阵秩 ≤ 2 < 3。
4. 判断 (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9) 的相关性。
答：这是范德蒙德阵（第三章定理 3.13），det = (2−1)(3−1)(3−2) = 2 ≠ 0，无关。点值视角：它们是三个函数 1、x、x2 在 x = 1, 2, 3 处的取值——「取值向量无关 ⟺ 函数无关」的特例。
5. 若 α1, α2, α3 无关，证明 α1, α1+α2, α1+α2+α3 也无关。
答：设 k1α1 + k2(α1+α2) + k3(α1+α2+α3) = 0，按 α 整理：(k1+k2+k3)α1 + (k2+k3)α2 + k3α3 = 0，由原组无关得 k3 = 0, k2 = 0, k1 = 0（三角回代）。「上三角化」的系数矩阵行列式 = 1 ≠ 0——无关性在可逆的「换组」下保持，这是 4.13 换基思想的预演。
1. 验证 (1, 1), (1, −1) 是 ℝ2 的一组基。
答：无关（det = −2 ≠ 0）+ 个数已达维数 2 ⟹ 自动张成。「n 维空间里 n 个无关向量就是基」——张成性免费。
2. 求子空间 W = {(a, b, c, d) : a = b} ⊂ ℝ4 的维数与一组基。
答：一个独立线性条件，维数 4 − 1 = 3；基 (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)。
3. 求齐次方程 x1 + x2 = 0（ℝ3 中）解空间的基与维数。
答：秩 1、自由元 x2, x3，基 (−1, 1, 0), (0, 0, 1)，维数 2。几何：一张过原点、含 z 轴的平面。
4. 求 𝔽[x]≤3 的维数，并判断 1, x, x2 − x, x3 + x 是不是基。
答：维数 4。设 a·1 + b·x + c(x2−x) + d(x3+x) = 0，按幂整理：常数 a；x 项 b − c + d；x2 项 c；x3 项 d。得 d = 0, c = 0, b = 0, a = 0，无关，是基。系数矩阵是三角阵，行列式 1。
5. （替换入门）把 (1, 1, 0) 扩充成 ℝ3 的一组基。
答：任取两个与它拼成无关组的向量，如 (0, 1, 0), (0, 0, 1)：det 110010001 的转置行列式 = 1 ≠ 0 ✓。更省事的核对：三向量排阵消元三阶满秩即成。
1. 求 (3, 4) 在基 (1, 1), (1, −1) 下的坐标。
答：解 a + b = 3, a − b = 4：a = 7/2, b = −1/2。验算：首坐标 a + b = 7/2 − 1/2 = 3 ✓，次坐标 a − b = 7/2 + 1/2 = 4 ✓。坐标出现分数很正常。
2. 写标准基到 (1, 1), (1, −1) 的过渡矩阵并求逆。
答：P = 111−1，P−1 = ½111−1（二阶伴随公式，第三章定理 3.20 的直用）。
3. 求 (5, 3, 2) 在基 (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) 下的坐标。
答：设 c1 + c3 = 5；c1 + c2 = 3；c2 + c3 = 2。总和一半：c1 + c2 + c3 = 5，于是 c1 = 3, c2 = 0, c3 = 2。验算 3(1,1,0) + 0 + 2(1,0,1) = (5, 3, 2) ✓。
4. 同一向量的坐标为什么要随基变化？「变与不变」各指什么？
答：变的是坐标（地址随街道改名而改写），不变的是向量（地点本身）。定理 4.7 的 [y] = P−1[x] 是两套地址的官方换算表。
5. 过渡矩阵 P 的行列式有何几何含义？它可能为零吗？
答：新基张成的平行六面体有向体积；永不为零（基无关）——为零即「体积塌缩」，那组「基」其实张不满空间，没资格当坐标系。
1. 用维数公式解释：ℝ3 中任意两张过原点的不同平面必交于一条直线。
答：dim(U∩W) = 2 + 2 − dim(U+W) ≥ 2 + 2 − 3 = 1；交至少一维，至多…两张不同平面交不成二维（否则相同），恰 1 维。
2. 设 U = span((1, 0, 1), (0, 1, 1))（平面），W = span((1, 1, 0))（直线）。求 U∩W 与 dim(U+W)。
答：设 a(1,0,1) + b(0,1,1) = c(1,1,0)：a = c；b = c；a + b = 0 ⟹ c = 0，交为 {0}；dim(U+W) = 2 + 1 − 0 = 3，即 U+W = ℝ3——直线不在平面里时，平面加直线铺满空间。
3. 设 U = span((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1))，W = span((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1))。求 U∩W 与 dim(U+W)。
答：立方程 a(1,1,0,0) + b(0,0,1,1) = c(1,0,1,0) + d(0,1,0,1)，分量对账迫使 a = b = c = d，交 = span((1, 1, 1, 1))（两边各验：(1,1,0,0)+(0,0,1,1) ✓、(1,0,1,0)+(0,1,0,1) ✓），dim(U+W) = 2 + 2 − 1 = 3。
4. U = W 时维数公式给出什么？这提醒我们使用公式时注意什么？
答：dim(U+W) = dim U，公式自洽。提醒：公式对任意两个子空间成立，重叠越多、交越大、和越小——「和的维数」不是简单相加，交是扣款项。
5. 证明：dim U + dim W > n（n = dim V）时 V ≠ U ⊕ W。
答：直和要求交为零，但此时 dim(U∩W) ≥ dim U + dim W − n > 0，交非零，矛盾。「两个大子空间必然打架」。
1. 求 L1 = span((1, 0, 0)) 与 L2 = span((0, 1, 0)) 的交与和。
答：交 {0}（两条不同的坐标轴只共享原点）；和 = span((1,0,0), (0,1,0))，水平坐标面。两条直线之和 = 一张平面。
2. 求 U = span((1, 2, 1, 0), (−1, 1, 1, 1)) 与 W = span((2, −1, 0, 1), (1, −1, 1, 3)) 的交（例 8 的完整流程复习）。
答：立 aα1 + bα2 − cβ1 − dβ2 = 0，消元解出一维解空间，取 (a,b,c,d) = (−1, 3, −3, 2)，交向量 (−4, 1, 2, 3)，两侧表示对账：−α1 + 3α2 = −3β1 + 2β2 = (−4, 1, 2, 3) ✓。dim 交 = 1，dim 和 = 3。
3. 求 U = span((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)) 与 W = span((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)) 之交的两侧表示。
答：(1, 1, 1, 1) = (1,1,0,0) + (0,0,1,1) = (1,0,1,0) + (0,1,0,1)，两侧各验无误。这张「双面收据」就是交向量身份的铁证。
4. 举一例说明 U∪W 不是子空间，并求包含 U∪W 的最小子空间。
答：习一第 5 题的两支平面；最小包住者即 U+W（和 = 并的「子空间闭包」）。
5. 三个子空间的「和」U+V+W 怎么定义？它满足结合律吗？
答：{u+v+w}，全部三段组合；结合律成立（组合的搭配方式不改变可达集合），所以记号不加括号。
1. 验证 ℝ2 = span((1, 0)) ⊕ span((0, 1))，也 = span((1, 1)) ⊕ span((1, −1))。
答：两组各自交零、维数和 2。补子空间不唯一：同一间房可以有许多种「十字分割」，斜着切也一样合法。
2. U = span((1, 0, 0), (0, 1, 0))，W = span((1, 1, 0))。ℝ3 = U + W 吗？是直和吗？
答：和 = span((1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)) 秩为 2，只到水平面，U+W ≠ ℝ3；且 U∩W = span((1,1,0)) ≠ {0}（(1,1,0) = (1,0,0)+(0,1,0)），双料不合格。交非零 ⟹ 分解必不唯一。
3. 把 A = 1234 分解为对称矩阵与反对称矩阵之和，并说明为何唯一。
答：对称部 15/25/24（对角照抄、非对角取平均），反对称部 0−1/21/20；两者相加还原 ✓。唯一性来自 M2 = Sym ⊕ Skew（维数 3 + 1 = 4，交零：既对称又反对称者必为零阵）。
4. 设 ℝ3 = U ⊕ W，U = span(e1, e2)，W = span((1, 1, 1))。把 (4, 7, 9) 分解（例 7 的复述训练）。
答：(−5, −2, 0) + 9(1, 1, 1)；第三坐标归 W，前两坐标扫给 U，一步定位。
5. 证明：若 V = U ⊕ W，则 dim V = dim U + dim W；反之不真时举一例。
答：正向即维数公式（交零）。反例：习 2 的 U、W 维数和 3 = dim ℝ3 但交非零——「维数对上账」不等于「结构真直和」，账面与结构要分开核。
1. 写出 ℝ4 → M2(𝔽) 的一个显式同构，并验证它把 (1, 2, 3, 4) 送到哪里。
答：(a, b, c, d) ↦ abcd；(1,2,3,4) ↦ 1234。线性（按位）与双射（按位回读）都显然。
2. 证明：全体 2×2 实对称矩阵构成的空间与 ℝ3 同构。
答：对称阵 abbc 由 (a, b, c) 唯一决定，映射双射线性，维数 3 = 3。
3. 「ℝ2 ≅ ℂ（作为实线性空间）」——写出同构并指出乘法为什么不在线性结构的职责范围内。
答：(a, b) ↦ a + bi，基 {1, i}。线性结构只管加法与数乘；复数的乘法是额外的「代」（它使 ℂ 成为比线性空间更贵的结构——一个域）。同构只对账被点名的运算。
4. 全体实函数构成的空间是有限维的吗？它与 ℝn 可能同构吗？
答：无限维（对每个 n，1, x, …, xn 都无关，无关组长度无上界）；不同构于任何 ℝn——维数不等，定理 4.8 拦住。
5. 设 f : V → W 是线性映射。证明：f 把无关组送到无关组 ⟺ f 是单射。
答：（⟸）无关性证明搬过桥时，零系数条件由单射转译。（⟹）取单元素的逆例：若 f(v) = 0, v ≠ 0，则单点组 {v} 无关而像组 {0} 相关。单射 = 不压缩任何方向，第五章将把它精确化为「核为零」。
1. 求方程组 x1 + x2 + x3 = 0；x1 − x2 = 0 的解空间，并用本章语言完整描述它。
答：由第二式 x1 = x2，代入第一式 2x2 + x3 = 0，解空间 = span((1, 1, −2))（验算 1 + 1 − 2 = 0 ✓，1 − 1 = 0 ✓）：一条过原点的直线，一维子空间，基即那一个向量。「方程组—秩—自由元—基—维数—几何形状」六个词一口气读完，就是本章的完整语法。
2. 设 A 为 m×n 矩阵且 r(A) = n。问 Ax = 0 的解空间是什么？给出定理依据。
答：dim N(A) = n − n = 0，解空间 = {0}，只有零解。列满秩 ⟹ 齐次唯一零解——第一章的观察升格为维数定理的推论。
3. 求矩阵 121242111 的行秩，并写出行空间的维数。
答：r2 = 2r1 相关；r1 与 r3 无关（不成比例），秩 2。行空间是 ℝ3 里的一张平面，维数 2。行秩 = 列秩 = r(A)，第二章的定理在这里就是「同一子空间的两种记法」。
4. 证明：子空间的非空子集 S 满足 span(S) = W ⟺ S 张成 W 且 S ⊆ W。这句话是不是同义反复？
答：不是——它说的是 span 的最小性（定理 4.2）：W 若是子空间且装下 S，就必须装下一切组合，于是 span(S) ⊆ W；反向由张成定义。最小性正是「span 是最经济的造法」的精确表达。
5. 设 dim U = 3, dim W = 4，均为 ℝ6 的子空间。问 dim(U∩W) 至少是多少？
答：≥ 3 + 4 − 6 = 1。六维空间装不下两个这么大的子空间「擦肩而过」——它们必须共享至少一个方向。
1. 求 v = (1, 2, 3) 在基 (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) 下的坐标（用过渡矩阵）。
答：P−1 = ½11−1−1111−11，[v] = P−1(1,2,3)t = (0, 2, 1)t。验算 0·(1,1,0) + 2(0,1,1) + (1,0,1) = (1, 2, 3) ✓。
2. 证明：线性映射保持零向量（f(0) = 0），因此子空间的像张成的空间仍是「好」的集合。
答：f(0) = f(0·v) = 0·f(v) = 0。零向量是结构的锚，线性映射不许挪锚。
3. 把无关组 (1, 0, 0) 用 (1, 1, 1) 扩充成 ℝ3 的基，并验证。
答：取 (1, 0, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 0)：det 100111010 = −1 ≠ 0 ✓，是基。
4. 设 V 是 n 维空间，U 是 k 维子空间。证明 U 有补子空间 W（V = U ⊕ W）。
答：骨架：取 U 的基 α1,…,αk，逐步添入 V 中与已有组保持无关的向量，直到凑满 n 个（添的过程必可完成，否则张不满 V）；添进来的 n − k 个向量张成的 W 与 U 交零、维数和 n。补子空间的存在靠「扩基」——这枚存在性定理是直和理论的发动机。
5. （回望明线）用一句话概括：本章为「解方程组」贡献了什么新语言？
答：把「解集」升格为「子空间」：齐次解集有基有维数（n − r），非齐次解集是它的一个平移（第五章的陪集）。张苍法解出数，结构论命名形。
把本章最容易踩的八类错误归档在案（编号接续前三章的 E 系）。每一条都来自真实的解题现场，对号入座自查：
| 编号 | 错误类型 | 典型症状 | 纠偏动作 |
|---|---|---|---|
| E1 | 忘验零向量 | 对 x+y+z=1 这类集合直接验封闭，绕过了「零不在场」的一票否决 | 判定第一步永远是零向量 |
| E2 | 并当作和 | 宣称 U∪W 是子空间 | 记牢：并一般破，和才是闭包 |
| E3 | 方向搞反 | 坐标变换写成 [y] = P[x]（新基坐标错乘 P） | 口诀「新用逆」：[y] = P−1[x] |
| E4 | 维数公式漏减交 | dim(U+W) 直接相加得 4 > 3 还写进答案 | 先问交几维，再对账 ≤ dim V |
| E5 | 基础解系不验算 | 回代丢符号，把 (−1,0,1,0) 写成 (1,0,1,0) | 每个基向量逐式代回 |
| E6 | 交的表示只查一侧 | 交向量用 U 表示后不再用 W 验 | 两侧各表示一遍对账（例 8 铁律） |
| E7 | 「n 个无关即基」越界使用 | 在子空间里拿 n 个无关向量当全空间基 | 先问「在哪个空间里数到 n」 |
| E8 | 同构只看维数不看域 | 宣称 ℂ（作为复空间，1 维）≅ ℝ2（实空间，2 维） | 同构先对齐数域 𝔽 |
三道自测（建议合卷完成，答案全在本章例题与习题课中）：
① W = {(a, b, c) : a + 2b = 3c} 是不是 ℝ3 的子空间？维数几何？（提示：齐次线性条件。）
② 求 span((1, 2, 1), (2, 1, 3), (1, 1, 2), (0, 1, 1)) 的维数与一组基。（提示：排阵消元。）
③ P 为标准基到某新基的过渡矩阵，det P = 2。新基坐标为 (1, 1, 1) 的向量，在标准基下坐标是多少？（提示：x = P·y。）
章复盘三问：① 我能用两步判定法在三十秒内「毙掉」一个假子空间吗？② 我能不看书写出坐标变换公式并说明方向吗？③ 我能向别人解释「为什么维数公式长成那个样子」（容斥直观）吗？三问全部通过，方可翻页。
线性空间是数学史上第一个被公理化定义的「空间」——比拓扑空间早、比测度空间早。它的诞生有三块里程碑。
第一块是 1844 年：格拉斯曼（Hermann Grassmann）出版《扩张论》（Ausdehnungslehre），研究「n 维延量的分析」——今天的张成、无关、基、维数，在这本书里已具雏形。可惜写作过于抽象超前，同时代几乎无人读懂；格拉斯曼在数学界终生郁郁，倒是语言学界记住了他的梵语贡献。数学史屡屡如此：超前的结构感，要等几十年才等到。
第二块是 1888 年：皮亚诺（Giuseppe Peano）在《几何演算》中第一次写下线性空间的公理——与本章定义 4.1 骨架几乎相同（含公理 8 那条 1·α = α）。他甚至举出了今天的「反例判别法」：循环论证与平凡解。但皮亚诺本人更关心逻辑基础，公理化在他手里是工具而非纲领。
第三块是 20 世纪初：希尔伯特与里斯把「无限维」逼上前台（积分方程的解空间没有有限基），巴拿赫（Stefan Banach）等人在 1920–1932 年间把线性空间配上范数，建立泛函分析——公理化从此从「整理旧知」变成「开疆拓土」：先立公理，再证明定理，最后才问「世界上有哪些实例」。次序的倒转，是现代数学最深的自信。
「我们不再问数是什么，我们只问数怎么运算。」——这句话的线性代数版，就是本章：不再问向量是什么（数组？矩阵？多项式？函数？），只问加法与数乘是否守约。定义 4.1 的八条公理，是「从方程到结构」这场大迁徙的第一座界碑。而它在中国思想里的远亲，是《大学》的「格物」：物之「理」不在物的质料，而在物与物相接的条理——线性空间捕捉的恰是「相加与数乘」这一种条理。
本章有一个定理看似平凡、实则惊人：不同基所含向量个数相同（定理 4.4）。「基」的定义千姿百态——ℝ2 可以取横竖两轴，也可以取任意两条不共线向量——但个数纹丝不动。这个「个数」值得起一个专名：维数。名字配得上不变量的资格，全靠定理 4.4 撑腰。
支撑定理 4.4 的技术核心是施泰尼茨交换引理（Steinitz exchange lemma，1913 年正式定型）：若 β 可由 α1,…,αn 表示且 β ≠ 0 相关地「掺入」，则可以把某个 αi 换成 β 而不破坏张成。交换引理像一台精密的天平：每掺入一个新向量，旧组至少「让位」一个——无关组的个数由此被死死卡在张成组的个数之下。今天教材里「维数良定」的证明骨架，就是这台天平。
更深的震撼来自拓扑学：1911 年布劳威尔（L. E. J. Brouwer）证明了拓扑维数的不变性——ℝm 与 ℝn 在 m ≠ n 时连「同胚」都不可能。代数里维数不变是轻易的（线性结构太强），拓扑里是艰难的（结构太弱）——同一个问题在不同结构强度下的难度落差，本身就是数学结构的「价格表」。
维数还是「分类完成」的范例：定理 4.8 宣告 n 维线性空间的同构类恰与 n 一一对应——一张表格收编全部有限维线性空间。这样干净的分类在数学里屈指可数；第六章将看到多项式环的理想分类远远没有这般整齐，那里才是抽象代数的深水区。
把维数放回明线收束：消元法数出「主元 r 个、自由 n − r 个」，两者此消彼长、总和恒定——维数就是张苍法账本上那笔恒定的总账。两千年前算筹上的「实皆如积」，今天读作：维数不变量在约束与自由之间的分配。
八格知识图谱（从左到右：对象 → 结构 → 工具 → 现代接口）：
六步方法表（解「结构型」问题的标准动作）：
| 步骤 | 动作 | 落在哪 |
|---|---|---|
| 1 | 认空间与数域：向量是什么、𝔽 是谁 | 4.2–4.3 |
| 2 | 验子空间：零向量 → 两步封闭 | 4.4 |
| 3 | 求基与维数：排阵消元数阶梯 | 4.7–4.8 |
| 4 | 交与和：立齐次方程解交，组合造和 | 4.10–4.12 |
| 5 | 换基与坐标：P 的列 = 新基旧坐标；[y] = P−1[x] | 4.9–4.13 |
| 6 | 升维解读：同构分类、直和拆解、商空间压扁 | 4.14–4.18 |
五指并拢一句话：本章把「解方程组」的产物（解集、秩、自由元）全部翻译成空间的语言（子空间、秩、维数），而每一次翻译的引擎仍是同一次消元。
恩格斯在《反杜林论》里给纯数学下过一句经典界说：「纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。」「数量关系」四字里，正孕育着「结构」思想的萌芽——关系先于关系者。本章就是这一思想的教科书现场。
回看本章做过的三次「同一性判决」：ℝ3 与多项式空间，元素毫不相似，但同构（例 10）；两条直线与一个二元组，成员毫不相似，但同为二维子空间的基（习题课四）；两个补子空间，方向毫不相似，但与 U 都拼成直和（习题课八）。判决的依据从来不是「元素长什么样」，而是关系网长什么样——加法怎么连、数乘怎么缩、谁是谁的组合。
这就是「结构」的严格含义：对象退居背景，关系走到台前。亚里士多德说「整体大于部分之和」；结构主义数学补一句：整体是什么，取决于部分之间如何相加。线性空间是人类给这个观念立的第一座界碑——八条公理，条条都是「关系条款」，无一涉及元素的本性。
下一章思想的伏笔也在这里：线性映射之所以重要，正因为它只携带结构、不携带元素——它是两个关系网之间的「关系保真翻译」。学完第五章会承认：研究映射，就是研究关系的关系。
C1. 列举 ℝ2 的全部子空间，并画出「子空间格」包含图。
答：{0}、全部过原点直线（每条直线由斜率 k ∈ ℝ ∪ {∞} 标定，共无穷多条）、ℝ2 本身——三层。{0} 在底，ℝ2 在顶，无穷多 1 维居中，包含关系自下而上。
C2. ℝ3 的子空间分几类？每一类的「代表」与维数？
答：四层：{0}（0 维）、过原点直线（1 维）、过原点平面（2 维）、ℝ3（3 维）。直线的方向与平面的法向可以互相翻译（例 11 的对偶预演）。
C3. 证明：ℝ3 中不存在两张过原点的不同平面交于 {0}。
答：dim(U∩W) ≥ 2 + 2 − 3 = 1。两平面若交为 {0}，维数公式迫使 dim(U+W) = 4 > 3，越界。
C4. 设 W1 = {p ∈ 𝔽[x]≤n : p(1) = 0}，W2 = {p : p(2) = 0}。求 dim(W1∩W2) 与 W1∩W2 的一组基（n = 2 时）。
答：W1∩W2 = {p : p(1) = p(2) = 0}，两个独立条件 ⟹ 维数 (n+1) − 2。n = 2 时维数 1，基 (x−1)(x−2) = x2 − 3x + 2（验：p(1) = p(2) = 0 ✓）。根的存在 ⟹ 因式分解，第六章的多项式理论将接手。
C5. 设 U = span((1, 1, 0), (0, 0, 1))，W = span((1, −1, 0), (0, 1, 1))。问 ℝ3 = U ⊕ W 成立吗？
答：不成立，尽管 dim(U+W) = 2 + 2 − 1 = 3（和铺满 ℝ3）。交非零：(1, 1, 2) = (1,1,0) + 2(0,0,1) = (1,−1,0) + 2(0,1,1)，两侧表示对账 ✓。「维数对上账」与「结构是直和」是两道独立的关——这是 E4/E7 型错误的综合疫苗。
C6. 把无关组 (1, 0, 0) 用给定向量池 {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 扩充成 ℝ3 的基。
答：试 (1,0,0), (1,1,1), (0,1,0)：det 100111010 = −1 ≠ 0 ✓。（0,0,1) 也行：det 100111001 = 1 ≠ 0。扩充方案不唯一，验行列式是唯一仲裁。
C7. 证明 M3(𝔽) = Sym3 ⊕ Skew3，并求两个子空间的维数。
答：分解 A = (A + At)/2 + (A − At)/2；对称元 6 个自由位（对角 3 + 上三角 3），反对称元 3 个；6 + 3 = 9 = 32 对账，交零（既对称又反对称 ⟹ 零）。对称/反对称分解对一切 n 都成立，维数 n(n+1)/2 + n(n−1)/2 = n2。
C8. 设 U ⊂ ℝ5，dim U = 3。求 dim(ℝ5/U)，并描述商空间中的「点」。
答：维数 5 − 3 = 2。商空间的点是「与 U 平行的三维切片」（陪集）：两个向量同一片 ⟺ 差落在 U 里。三维的 U 被「捏成零」，五维世界塌成二维——4.16 节横线模型的五维版。
赛 1. （插值 + 坐标）在基 1, x, x2 与点值向量视角下：已知二次多项式 p 满足 p(1) = 0, p(2) = 1, p(3) = 0，求 p(x) 及其坐标。
答：拉格朗日快速通道：p(x) = −(x−1)(x−3) = −x2 + 4x − 3（首项系数 = p(2)/[(2−1)(2−3)] = −1）。坐标 (−3, 4, −1)。范德蒙德核对：V(1, 2, 3) = (2−1)(3−1)(3−2) = 2 ≠ 0，三条件独立可解——插值唯一性的维数证书（例 9）。
赛 2. （三维容斥）ℝ3 中取三个坐标平面 U、V、W。求 dim(U+V+W)、两两交的维数、三者之交的维数，并验证不等式 dim(U+V+W) ≤ dim U + dim V + dim W − (两两交维数之和) + 三交维数。
答：和 = ℝ3（维数 3）；两两交均为一条坐标轴（维数 1，共 3 条）；三交 = {0}。右边 = 6 − 3 + 0 = 3 = 左边，等号成立（这组子空间「恰好相容」）。容斥原理在维数上的推广，等号何时成立本身就是好问题。
赛 3. （交换子空间）求与对角阵 D = diag(1, 2, 3) 交换的所有 3×3 矩阵构成的子空间的维数，并说明其结构。
答：设 A = (aij)，AD = DA 按分量比较：aij·(djj − dii) = 0。对角元 dii 两两不同 ⟹ i ≠ j 处 aij = 0，A 必为对角阵；反之对角阵必交换。子空间 = 全体对角阵，维数 3。特征值两两不同 ⟹ 交换空间退化到「最小」——这句话是第五章特征值理论的地基（对角化的可解性判据）。
赛 4. （秩不等式的锐性）举例说明 rank(A + B) ≤ rank A + rank B 可以取等号，而 rank(AB) ≤ min(rank A, rank B) 可以取严格小于号。
答：取 A = 1000，B = 0001：rank(A+B) = rank I = 2 = 1 + 1，等号。同两矩阵下 AB = O，rank = 0 < min(1, 1) = 1，严格。乘法可以彻底销毁秩，加法最多把秩加起来——两个不等式的「脾气」不同，第五章解理论将各用其长。
交与和的手算流程（4.12 节）天然可程序化。用 Fraction 精确有理数实现（杜绝浮点误差），核心只有三段：
核心代码骨架（Python，Fraction 版）：
from fractions import Fraction as F
def rref(A): … # 精确高斯消元（主元取 Fraction 除法）
def rank(S): return len(rref(S)[1]) # 阶梯行数
def intersect(U, W): # 交：解 α−β·(x,y)t = 0
ns = nullspace([[*u, *(-w)] for …]) # 拼接系数阵
return [Σ xi·U[i] for 一组解 x] # x 部分的组合
def dimsum(U, W): return rank(list(U) + list(W))
实验一：例 8 的子空间。输入 U = {(1,2,1,0), (−1,1,1,1)}，W = {(2,−1,0,1), (1,−1,1,3)}，程序输出：交维数 1、交向量（约化）(−4, 1, 2, 3)、和维数 3——与手算逐位一致；两侧表示 (−1, 3) 与 (−3, 2) 亦被程序复验。
实验二：维数预算的统计实证。随机生成一千对子空间（ℝ6 里各随机取向量张成）：取维数 2 与 3（维数和 5 ≤ 6）时，程序统计「交为 {0}」的频率接近 100%——维数和不超过全空间维数，随机子空间几乎必然擦肩而过；改取维数 3 与 4（和 7 > 6）时，频率翻转：几乎每次交都非零、且交维数恰为 1（维数公式的下界被随机取等）。「大子空间想不相遇都难」的边界，恰好画在维数和 = n 处——维数公式的预测被千次实验钉死。
实验三：直和判定器。对任意输入的 U、W 程序自动报三行：dim(U+W)、dim(U∩W)、是否直和。用它逐题复查习题课六~八的全部答案，全部成立。
章测试（满分 100，建议 90 分钟，合卷作答后自评）
题 1（概念，20 分） 判断并说明理由：① ℝ3 的子集 {(x, y, z) : x + 2y = 3z} 是否为子空间？② 两个子空间的并何时是子空间？
题 2（计算，25 分） 求齐次方程组 x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0；2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 0 的解空间的维数与一组基。
题 3（计算，25 分） 设基 B = (β1, β2, β3) = ((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1))。求标准基到 B 的过渡矩阵 P、其行列式，以及 v = (3, 2, 1) 在 B 下的坐标。
题 4（证明，30 分） 设 U, W 是有限维空间 V 的子空间。证明 dim(U∩W) ≥ dim U + dim W − dim V，并用它说明 ℝ4 中两张 3 维超平面的交至少 2 维。
评讲要点
题 1 ①是——齐次线性条件，两步判定全部通过（几何：过原点平面）；②当且仅当 U ⊆ W 或 W ⊆ U（否则取两支各一向量求和即破，E2 型）。
题 2 消元：r2 − 2r1 得 (0, 0, 3, −3)，即 x3 = x4；回代 x1 = −2x2 + x3 − x4 = −2x2。通解 x2(−2, 1, 0, 0) + x4(0, 0, 1, 1)：维数 2，基 {(−2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}。验算：基 1 代入 −2 + 2 + 0 + 0 = 0 ✓、−4 + 4 + 0 − 0 = 0 ✓；基 2 代入 0 + 0 − 1 + 1 = 0 ✓、0 + 0 + 1 − 1 = 0 ✓（E5 铁律：不验算不给分）。
题 3 P 按列排基 = 101110011，det P = 2（体积证书，永不为零——若算出 0，必是排列方向搞错）。坐标：[v] = P−1(3,2,1)t = (2, 0, 1)t。验算 2(1,1,0) + 0(0,1,1) + (1,0,1) = (3, 2, 1) ✓（E3 铁律：新用逆）。
题 4 由 U + W ⊆ V：dim(U+W) ≤ dim V；代入维数公式 dim(U∩W) = dim U + dim W − dim(U+W) ≥ dim U + dim W − dim V。ℝ4 中两张 3 维超平面：3 + 3 − 4 = 2，交至少 2 维——两张「大体量」子空间必然深度重叠（习六第 5 题的推广）。∎
下一章预告 第五章《线性映射与方程组解集的结构》将把本章的两个主角合体：给空间装上箭头（线性映射），让矩阵从「数表」升格为「映射的坐标像」，把 Ax = b 读成「求 f(x) = b 的原像」——秩零化度定理、像与核、解集 = 特解 + 核的陪集，明线将在那里完成最后的收束。本章的消元法一直在做的事，是找一张子空间的坐标表；下一章将看清，那张表真正记录的，是一支箭头的方向。
第四章末尾，子空间已经就位：解集不再是一堆数，而是（或近乎是）一个空间。但还有一件东西没有登上台面——方程组 Ax = b 里那个真正的动作。矩阵 A 乘在向量 x 上，把 x 送到 b：A 不是一张数表，它是一台机器，吃进一个向量，吐出一个向量。解方程组，就是问：哪些 x 会被这台机器送到 b？
这一步换视角不是文字游戏。在「数表」视角下，第二章的全部算法（消元、求逆、求秩）是对数组的操作；在「机器」视角下，同样的算法变成对变换的操作，而问题也从「求出一个解」升级为「描述全部解的形状」。图 5-1 把两种问法并排放着：
〔明线〕张苍法的第五份收成 前三章里，消元法已交出三份收成：解方程（第一章）、判可逆与求逆（第二章）、算行列式（第三章）、看清解集是子空间（第四章）。本章是第五份，也是最像「成品」的一份：把全部解作为一个完整的对象交出来——它的形状（陪集）、它的维数（秩定理）、它与解空间的相对位置（同态定理）。算法不变，眼界全变。
先立规矩。本章主角叫线性映射，记作 φ: V → W；第四章的子空间 V ⊆ ℝn、W ⊆ ℝm 将充当它的出发地与目的地。机器好不好用，全看它守不守下面这条纪律。
定义 5.1（线性映射） 设 V, W 是数域 𝔽 上的线性空间。映射 φ: V → W 称为线性映射，若它保持两种基本运算：
① 加法：φ(u + v) = φ(u) + φ(v)（先加再送 = 先送再加）；
② 数乘：φ(k·v) = k·φ(v)（先倍再送 = 先送再倍）。
两条合起来等价于一句：φ(k1u + k2v) = k1φ(u) + k2φ(v)——「任意线性组合的像 = 像的线性组合」。这条性质看似温和，威力极大：只要知道 φ 在一组基上的取值，φ 在整个空间上的取值就全定了（每个向量都是基的线性组合）。线性映射是「吝啬而守信」的机器：信息只需存一角，行为却处处可期。
两条纪律也自带一条否决权：令 k = 0 得 φ(0) = 0。线性映射必把零向量送到零向量——这是判「非线性」最快的一刀。
先看一批正例与反例：
| 映射 | 判定 | 理由 |
|---|---|---|
| T(x, y) = (x + y, x − y) | 线性 ✓ | 逐项验证：T((1,2)+(3,4)) = T(4,6) = (10,−2) = T(1,2) + T(3,4) = (3,−1) + (7,−1) |
| T(x, y) = (x + 1, y) | 非线性 ✗ | T(0, 0) = (1, 0) ≠ (0, 0)——零向量这一关就过不去（平移不是线性映射） |
| T(x, y) = (x2, y) | 非线性 ✗ | T(1,0) + T(2,0) = (1,0) + (4,0) = (5,0)，而 T(3,0) = (9,0)；5 ≠ 9，加法被破坏 |
| T(x, y) = (2x + y, 0) | 线性 ✓ | 两个分量都是 x, y 的一次齐次式，如 T(1,2) = (4,0) |
| D: 多项式 ↦ 其导数 | 线性 ✓ | (p + q)′ = p′ + q′，(k·p)′ = k·p′——求导是线性运算，微积分与代数在此握手 |
| 平面绕原点旋转 90° | 线性 ✓ | (1,0) ↦ (0,1)，(0,1) ↦ (−1,0)，(3,1) ↦ (−1,3)；旋转保持平行四边形，故保持线性组合 |
注意「平移 T(x, y) = (x + 1, y)」被开除出线性籍这件事——它太几何、太自然了，凭什么不行？凭 φ(0) = 0。这不是缺陷，而是伏笔：平移与线性映射的组合将构成「仿射映射」，那是下册仿射几何的入口（见 5.16）。
机器再抽象，也得有说明书。线性映射如何被记录？关键在 5.2 末尾那句话：知道了基上的取值，就知道了全部。设 φ: ℝn → ℝm（标准基下），把 φ 作用在 n 个基向量 e1, …, en 上：
φ(e1) = 第 1 列， φ(e2) = 第 2 列， … φ(en) = 第 n 列
把这 n 个像竖着排成一张 m × n 数表，就得到 φ 的矩阵表示。为什么合法？任意 x = (x1, …, xn) 可写成 x1e1 + ⋯ + xnen，于是
φ(x) = φ(x1e1 + ⋯ + xnen) = x1φ(e1) + ⋯ + xnφ(en) = Ax
矩阵乘向量的规则，就是「按组合系数调配各列」的规则。矩阵与线性映射，从此是同一枚硬币的两面。
例 设 φ: ℝ3 → ℝ2，φ(x, y, z) = (x + 2y, y − z)。逐个算基向量的像：
φ(1,0,0) = (1,0)， φ(0,1,0) = (2,1)， φ(0,0,1) = (0,−1)
竖着排好：
A =
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 1 | −1 |
φ(1, 2, 3) = (1 + 4, 2 − 3) = (5, −1) = A(1, 2, 3) ✓
〔现代性〕同一对象的三种语言 「机器 φ」「数表 A」「m 行方程组 Ax = b」是同一件事的三种说法。范畴论会把这种「对象不同、实质相同」的对应称为同构的范畴等价（见 5.18 预告）；眼下只需记住：换语言不是换内容，而是换出「哪一种计算最顺手」。
拿到一台机器，最要紧的两个问题是：它压扁了什么？它够得着什么？这两个问题的答案各有一个空间——齐次方程组的解空间（第四章）在这里正式改名为「核」。
定义 5.2（核与像） 设 φ: V → W 线性。
① 核：ker φ = {v ∈ V : φ(v) = 0}——被送到零向量的全体（「压扁名单」）；
② 像：im φ = {φ(v) : v ∈ V}——所有落点的全体（「可达范围」）。
定理 5.1 ker φ 是 V 的子空间，im φ 是 W 的子空间。
证 两条都要「封闭性 + 零元 + 逆元」，以核为例：若 φ(u) = φ(v) = 0，则 φ(u + v) = 0 + 0 = 0，φ(ku) = k·0 = 0——加法、数乘都不逃出核。像这边：若 w1 = φ(u), w2 = φ(v)，则 w1 + w2 = φ(u + v) 仍是像，k·w1 = φ(ku) 亦是。∎
例（本章主例 A） 取 φ: ℝ3 → ℝ3 为 φ(x) = Ax，其中
| 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 1 |
先看列的关系：第 3 列 (0,1,1) 恰为第 2 列减第 1 列 (1,1,2) − (1,0,1)，故列秩为 2，im φ = span{(1,0,1), (1,1,2)} 是过原点的一张平面——机器的可达范围只有一张面，ℝ3 里的第三维它够不着。再看核：解 Ax = 0，消元（张苍法照旧）得 x1 = −x3, x2 = x3，即
ker φ = span{(1, −1, 1)}：代入验证 (1) + (−1) + 0 = 0 ✓，0 + (−1) + 1 = 0 ✓，1 + (−2) + 1 = 0 ✓
核是一条过原点的直线——机器沿着这条直线整体压扁成零。
〔明线〕齐次解空间改名换姓 第四章说「Ax = 0 的解集是子空间」，本章补上它的身份：核。名字变了，算法没变——求核照旧用张苍法消元。变的是眼光：解集不是运算的副产品，而是机器本身的档案——核越大，机器压得越狠。
有了核与像，一般映射论里的三个词在线性世界里全部获得代数判据：
| 概念 | 一般定义 | 线性代数判据 |
|---|---|---|
| 单射（不撞车） | u ≠ v ⟹ φ(u) ≠ φ(v) | ker φ = {0} |
| 满射（够得着全部） | im φ = W | im φ = W（像铺满目的地） |
| 同构（一一对应且保运算） | 存在逆映射 φ−1 | 单射 + 满射（且 φ−1 自动线性） |
单射的判据最值得咀嚼：「两个人被送到同一点」意味着 φ(u − v) = 0，即 u − v ∈ ker φ。所以不撞车 ⟺ 核里只有零向量：机器没有压扁任何方向。这把 5.4 的「档案」变成了判据——查单射不必逐对比较，只需求一次核。
定理 5.2（同构的维数判据） 若 φ: V → W 是线性空间之间的同构，则 dim V = dim W。反之，有限维线性空间同构当且仅当维数相等。
正向显然（5.6 的秩定理将给出账本）；反向是惊人的：维数是有限维线性空间的完全不变量——凡 ℝ2 皆彼此同构，凡 n 维空间都是 𝔽n 的「化装舞会」。但这绝不意味着研究只有一个 𝔽n 就够：不同空间里的基与坐标携带不同的几何与计算便利，这正是下一章线性映射与矩阵继续深入的动机。
「多项式空间 P2（次数 ≤ 2）与 ℝ3 同构，因为维数都是 3」——这句话的分量在例 5 里兑现：p ↦ (p(−1), p(0), p(1)) 就是一座具体的桥，且桥是可逆的。维数相等保证桥存在；造桥的图纸则各有各的巧。
定理 5.3（秩-零化度定理） 设 φ: V → W 线性，V 有限维，则
dim V = dim ker φ + dim im φ（零化度 nullity ＋ 秩 rank ＝ 出发维数）
证（骨架） 取 ker φ 的一组基 u1, …, uk（k 个），扩充成 V 的基 u1, …, uk, v1, …, vr。断言：φ(v1), …, φ(vr) 恰是 im φ 的基。生成：任意 φ(x) 中 x 的核分量被送成零，剩下 v 分量的组合；无关：若 Σcjφ(vj) = 0，则 Σcjvj ∈ ker φ，而它在核基上展开只能全零。于是 dim V = k + r = dim ker + dim im。∎
这是一条账本恒等式：出发维数只有一份，或花在压扁上（核），或花在送达上（像），不多不少。压得越狠，够得着的范围越小——但「账目守恒」本身不偏不倚。
例 5.4 主例 A：dim ker = 1（直线），dim im = 2（平面），账本 1 + 2 = 3 = dim ℝ3 ✓。
例（3 × 5 矩阵） 取
| 1 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 1 | 3 |
| 1 | 2 | 0 | 1 | 2 |
消元知 r(A) = 2（第 2 行减 2 倍第 1 行、第 3 行减第 1 行后只剩两个非零行）。账本：5 = 2 + 3——五个未知数，两个被主元钉住，三个自由。基础解系（自由元逐一代 1）：
(−2, 1, 0, 0, 0)， (−1, 0, 1, 1, 0)， (−2, 0, 1, 0, 1)（逐个代回 Ax = 0 ✓）
〔明线〕秩定理就是「自由未知量计数」的成年礼 第一章我们数过 n − r 个自由未知量；第四章说那是解空间维数；今天账本终于合龙：dim ker = n − r，而 r = dim im。消元法数的从来就是这本账。
第四章学过商空间 V/U（把子空间 U 里的差别视为「相同」）。现在让机器 φ 与它对账：ker φ 里的两个向量被送成同一点（都是零），更一般地 u − v ∈ ker φ 时 φ(u) = φ(v)——核正是「被机器视为相同」的全部差别。于是猜想自然浮现：把核的差别商掉，剩下的应与像一一对应。
定理 5.4（线性代数的同态基本定理） 设 φ: V → W 线性，则
V / ker φ ≅ im φ， 映射为 v + ker φ ↦ φ(v)
证（骨架） 良定：若 u − v ∈ ker φ 则 φ(u) = φ(v)，落点与代表元选取无关。线性：继承自 φ。单射：φ(v) = 0 ⟺ v ∈ ker φ，核里全体代表同一零陪集。满射：像中每点当然有人送。∎
例 取 φ: ℝ3 → ℝ2，φ(x, y, z) = (x + y, x + z)。核：x + y = 0, x + z = 0，即 span{(−1, 1, 1)}，一维；像：秩 2（前两个分量足以定出全部落点），二维。同态定理说 ℝ3 / span{(−1,1,1)} ≅ ℝ2：三维空间里压掉一条直线的差别，剩下的恰是一张平面的事。
〔明线〕同态定理怎么解方程 「求 φ(x) = b 的全部解」＝「求 b 的全部原像」。同态定理说：原像们彼此只差核里的一个向量——这正是 5.8 要正式立起来的「解集 = 特解 + 核」。定理不算数，它说明答案之间的相对位置。
万事俱备。现在把非齐次方程组 Ax = b 的全部解，用结构语言一次说清。设 x0 是某一个解（特解），x 是任一解，两式相减：
A(x − x0) = Ax − Ax0 = b − b = 0
即 x − x0 ∈ ker φ（φ(x) = Ax）。反过来核里任何向量加到 x0 上仍是解。全部解 = 特解 + 核的全体：
定理 5.5（解集的陪集结构） 若 Ax = b 相容，则其解集为
{x0 + v : v ∈ ker φ} = x0 + ker φ（一个陪集：与解空间平行的一「片」）
第四章的「通解 = 特解 + 齐次通解」在结构语言里是：解集是解空间的一个平移拷贝——它不再是子空间（除非 b = 0，拷贝恰好盖回原点），而是与子空间平行的等维子集。
例（本章主例 B） 解 Ax = b，其中
A =
| 1 | 1 | −1 | 2 |
| 2 | 2 | −1 | 3 |
b = (1, 4)
消元（第 2 行减 2 倍第 1 行）得 x3 − x4 = 2 与 x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1。取 x2 = x4 = 0 得特解 x0 = (3, 0, 2, 0)（代回 ✓：3 + 0 − 2 + 0 = 1，6 + 0 − 2 + 0 = 4）。核由两个方向张成：
ker φ = span{(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 1)}（逐个代回 Ax = 0 ✓）
于是全部解为 (3, 0, 2, 0) + s(−1, 1, 0, 0) + t(−1, 0, 1, 1)。任取 s = 5, t = −3：得 (5, 5, −1, −3)，代回 Ax 得 (1, 4) ✓——随便挑，都在解集里；核外的不在。
〔明线〕张苍法的最终产品 回望全程：第一章消元求「一个」解；第二章求逆；第四章看穿齐次解集是子空间；今天交付最终产品——全部解的完整描述：一个代表 + 一张平移说明书（核）。消元法从头到尾只做一件事：把这本说明书从方程组里读出来。
解方程组前先问一句：有没有解？结构语言一句话：Ax = b 有解 ⟺ b ∈ im φ——b 在机器的可达范围内。怎么不真正求解就查验？增广矩阵登场。
定理 5.6（存在性判据） Ax = b 有解 ⟺ r(A) = r(A | b)（添加右端不升秩）。
理由：r(A | b) = r(A) 说明 b 可由 A 的列线性表出，即 b 是各列的组合——恰是 b ∈ im φ 的定义。消元后出现 0 = 非零 的矛盾行，正是「b 在可达范围之外」的现场证据。
例 取两行成比例的矩阵
A =
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
r(A) = 1，像是一条直线 span{(1, 2)}。
① b = (3, 6) = 3(1, 2)：在直线上 ✓，r(A|b) = 1 = r(A)，有解（且有无穷多：解集是一条与核平行的直线）。② b = (3, 5)：3 ≠ (5/2)·2，在直线外，r(A|b) = 2 > 1，无解。
〔现代性〕判据的两种写法 「r(A) = r(A|b)」是算法家的写法（消元可查）；「b ∈ im φ」是结构学家的写法（一句成员资格）。两者等价，但后者才能推广：抽象空间上没有「矩阵增广」可写，成员资格的说法照用不误。术语向结构靠拢，是为了把同一条定理带去更多地方——这正是本章反复出现的主题。
存在性问「落点资格」，唯一性问「撞不撞车」。若 x1, x2 都是 Ax = b 的解，相减得 A(x1 − x2) = 0——两解之差必在核里。反过来核里任何向量都能把一个解搬运成另一个解（加到解上仍是解）。于是：
定理 5.7（唯一性判据） 下列三条等价：① Ax = b 只要有解就唯一；② ker φ = {0}；③ φ 是单射。
例 取
A =
| 1 | 1 |
| 1 | 2 |
| 1 | 3 |
三行两列，消元后秩为 2（三个方程中只有两个独立），核为 {0}：机器把 ℝ2 钉死在 ℝ3 的一条直线上，不压扁任何方向。解 Ax = (1, 2, 3)：由前两个方程 x + y = 1, x + 2y = 2 得 (x, y) = (0, 1)；第三个方程自动满足（0 + 3 = 3 ✓）。解存在且只有这一个。
〔明线〕存在与唯一，一句合璧 张苍法消元时看的两件事在这里获得统一解释：相容 ⟺ b ∈ im φ（5.9），唯一 ⟺ ker φ = {0}（本节）。当年盯着阶梯形判断「有没有矛盾行、有没有自由元」，如今知道数的是像的成员资格与核的大小。算法未动，语义登基。
机器也可以做算术。同型映射之间有逐点运算：(φ + ψ)(v) = φ(v) + ψ(v)，(kφ)(v) = k·φ(v)（各自仍线性，5.12 将收编它们成一个新的线性空间）。更重要的是复合——把两台机器串成流水线：
(ψ ∘ φ)(v) = ψ(φ(v)) （先过 φ，再过 ψ）
定理 5.8 线性映射的复合仍是线性映射；取标准基下的矩阵，则
矩阵(ψ ∘ φ) = 矩阵(ψ) · 矩阵(φ)
矩阵乘法为什么是「行乘列」？因为复合要求它必须是。矩阵乘法的规则不是谁发明的巧合，而是「流水线」这件事在数表世界里的唯一写法——这是第二章埋下的问题（「乘法规则凭什么长这样」）的正解。
例 平面上的旋转 90° 与关于 x 轴的反射：
R =
| 0 | −1 |
| 1 | 0 |
| 1 | 0 |
| 0 | −1 |
两条流水线：S·R =（先转后翻）
| 0 | −1 |
| −1 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
复合还带来一条关于「账本」的预警：im(ψ∘φ) ⊆ im ψ（产出不会超过最后一道工序的天花板），ker(ψ∘φ) ⊇ ker φ（第一道就压扁的，整条流水线都白送）。这两条包含关系是挑战一里秩不等式的种子。
5.11 的逐点加法与数乘值得郑重宣布：全体线性映射 φ: V → W 自己凑成一个集合
L(V, W) = {φ : V → W | φ 线性}
它对加法封闭（两个线性映射的和仍线性：逐点分配即可验证）、对数乘封闭、有零映射、有负映射——公理化八条（定义 4.1）逐条过关。曾经站在台上表演的「映射」，如今坐进了观众席，成为新的线性空间的向量。结构无限递归：空间中的点可以自己又是映射。
定理 5.9 若 dim V = m, dim W = n，则 dim L(V, W) = mn。
理由：矩阵表示是一一对应（5.3），L(V, W) ≅ Mn×m(𝔽)，而 n × m 个数表的维数自然是 n × m（每格一个自由参数）。
例 dim L(ℝ2, ℝ3) = 2 × 3 = 6；dim L(ℝ3, ℝ3) = 9。特别地 L(V, V)（自映射全体）是 n2 维——它对复合封闭、有单位元（恒等映射）、可逆元成群（GL(V)，第三章 GLn 的抽象版）。一个集合同时是线性空间和群——这身「两栖」装备，下册将称它为（结合）代数。
〔现代性〕同一套公理，第三批公民 第一公民：数组（ℝn）。第二公民：多项式、矩阵（第四章）。第三公民：线性映射（本节）。公理化方法的红利在于定理写一遍，三个世界同时受益——第四章的基与维数理论没说「只许向量用」。
还有一批特殊的映射值得单独认识：L(V, 𝔽)——把向量送成一个数的线性映射，称为线性函数（或线性泛函）。它们的全体记作 V*，称为 V 的对偶空间。
线性函数是「测量仪器」：喂给它一个向量，它报一个数。最朴素的仪器是坐标读数：ε1(x, y) = x，ε2(x, y) = y——「读第一坐标」「读第二坐标」。这两个仪器本身就是线性的，且恰构成标准基 e1, e2 的「影子」：ε1(e1) = 1, ε1(e2) = 0，ε2(e1) = 0, ε2(e2) = 1。
定义 5.3（对偶基） 设 f1, …, fn 是 V 的基。若线性函数 f1, …, fn ∈ V* 满足 fi(fj) = δij（测自己的基向量报 1，测别家报 0），则称 f1, …, fn 为 f1, …, fn 的对偶基。
例 取 f1 = (1, 1)，f2 = (1, −1)。解对偶基：设 f1(x, y) = ax + by，要求 f1(f1) = a + b = 1 且 f1(f2) = a − b = 0，解得 a = b = 1/2，即
f1(x, y) = (x + y)/2， f2(x, y) = (x − y)/2
验证：f1(f1) = (1+1)/2 = 1 ✓，f1(f2) = (1−1)/2 = 0 ✓，f2(f1) = 0 ✓，f2(f2) = 1 ✓。向量 v = (3, 1) 的两台仪器读数 f1(v) = 2, f2(v) = 1，复原 2f1 + f2 = (3, 1) ✓——读数即坐标。
〔明线〕行向量终于有了户口 第一章里 1×n 的行向量乘列向量得一个数——那正是线性函数的最简形态（f(x) = a·x）。消元法对行做的每一步初等变换，都是在对偶空间里换仪器。对偶不是新东西，是老朋友的正式身份。
一个疑问：秩是矩阵的属性（第二章），又是映射的属性（dim im φ，本章）。换一组基，矩阵变了，秩变不变？
设基变换矩阵为 P（可逆），新坐标下的矩阵是 P−1AP（第三章已有的相似式）。取 5.4 主例 A 与
P =
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
程序精确算得
P−1AP =
| 2 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 |
数表面目全非，但：r(P−1AP) = 2 = r(A)（秩不变 ✓），tr P−1AP = 2+1+0 = 3 = tr A（迹不变 ✓）。
定理 5.10（秩的一致性） dim im φ 与所选基无关，且等于其任何矩阵表示的秩：rank P−1AP = rank A。
理由（骨架）：矩阵的列空间经可逆变换只是「换参数」，列向量组的极大无关组不会增减——精确地说，r(P−1AP) = r(AP)（右乘可逆阵不改变列秩）= r(A)（左乘可逆阵不改变行秩，而行秩 = 列秩）。∎
〔现代性〕「不变量」名单加长 第三章找到了乘法不变量 det；本章又添两个相似不变量：秩与迹。不变量名单越长，我们隔着「坐标外衣」认出同一台机器的本事越大。下一章的特征值将给这份名单加入最锋利的成员。
把本章的几件家当排成一列，会看到一条漂亮的链：
0 → ker φ → V → im φ → 0
三个箭头依次是：包含（核塞进 V）、原映射 φ（送到像）、以及「映射到零」。说这条链正合（exact），是指每个箭头的像恰等于下一个箭头的核：核进 V 的像就是 ker φ 本身；φ 的核正是上一站送来的那批向量；φ 的像恰是「映到零」这一步的核。链上每一环严丝合缝，不多送一个、不少送一个。
定理 5.11（正合列的维数账） 对短正合列 0 → U → V → W → 0（U ↪ V 单、V → W 满且像 = 中间映射的核），有 dim V = dim U + dim W。
这正是秩定理 5.3 的无字版本：dim V = dim ker φ + dim im φ。正合列的价值在于把维数账写成结构——不提矩阵、不提消元，任何满足正合性的场合（群、环、模、拓扑空间）都自动继承这条加法。这是同态定理之后，结构语言的第二次「一劳永逸」。
「0 → … → 0」首尾的两个零不是装饰：起点 0 → ker φ 要求包含映射单（从零出发没有余地为非单），im φ → 0 要求 φ 满（送到零前不留残余）。正合列自己会「声明」自己的单满性——这种自我陈述的能力，正是范畴论喜欢它的原因。
5.8 说解集是「子空间的平移拷贝」。这种对象在几何里早有大名——现在正式授予：
定义 5.4（仿射子空间） V 的子集 A 称为仿射子空间，若存在 p0 ∈ V 与子空间 U ⊆ V 使 A = p0 + U = {p0 + u : u ∈ U}。U 称为 A 的方向子空间，dim U 称为 A 的维数。一维仿射子空间是直线，二维是平面（不必过原点）。
例 解集 x + y + z = 1：特解 p0 = (1, 0, 0)，方向子空间是齐次方程 x + y + z = 0 的解空间 U = span{(1, −1, 0), (1, 0, −1)}。验证一般点：(1+s+t) + (−s) + (−t) = 1 ✓。整个解集是过 (1,0,0)、与方向 U 平行的一张平面。右端换成 5：x + y + z = 5 的解集方向不变、特解改 (5, 0, 0)——同一方向、平移不同的平行平面族。
〔几何〕通往仿射几何的桥 下册将给出仿射几何的现代定义：只保平行、不保原点的几何——它的「点集」正是全体仿射子空间，它的变换群是「线性映射 + 平移」的合成（仿射映射）。本章预先看清了最基本的事实：每个非齐次方程组的解集，都是仿射几何里的一个合法居民。消元法求特解与核，就是在给这个居民登记「位置 + 姿态」。
为什么 b = 0 的解集是「真」子空间而 b ≠ 0 的不是？因为平移把原点搬走了，而子空间的定义要求收留零向量。零向量的特殊地位（线性结构的「锚」）在这里第一次显出几何代价——也正是「线性」与「仿射」的分界线。
本章在群论门口说了好几次「那里也有同样的定理」。现在把话说全。同态基本定理不是线性代数的特产，而是整座结构数学大厦的标准图纸——凡有「保运算的映射」（同态）的地方，它都成立：
| 结构 | 同态 | 核 | 定理的形状 |
|---|---|---|---|
| 群（下册） | 群同态 φ: G → H | ker φ = {g : φ(g) = e}（正规子群） | G / ker φ ≅ im φ |
| 线性空间（本章） | 线性映射 φ: V → W | ker φ（子空间） | V / ker φ ≅ im φ |
| 环（下册 𝔽[x]） | 环同态（如「代 x = a 求值」） | 使求值为零的多项式全体（理想） | 商环 ≅ 像（余数定理的雏形） |
| 拓扑空间（远眺） | 连续映射 | 「被压成一点」的差别 | 商空间 ≅ 像 |
四行是同一个定理的四件衣服。共同的句式是：「把核里的差别商掉，得到的一定与像同构。」这句话在数学里随处可见，以至于有人戏称它是数学的「守恒定律」：信息不会凭空消失——被压扁的部分（核）如实记账，被送达的部分（像）如实兑现，两清。
〔现代性〕模板的来历 把这条定理从群论提炼成「通用句式」的功臣是 20 世纪 20 年代前后的 Emmy Noether——她强调同态的核与像应当作为结构对象本身来研究，而不只是计算的副产品。第四章的公理化与本章的同态定理，背后是同一场思想运动：结构优先。
最后开一扇远眺的窗。本章反复出现的句式可以再升一级：
① V ↦ dim V：给每个空间派一个数；② φ ↦ rank φ：给每个映射派一个数；
③ V ↦ V*：给每个空间派一个对偶空间；④ 复合 ψ∘φ ↦ 秩满足 rank(ψφ) ≤ min(rank ψ, rank φ)。
这种「给对象派对象、给映射派映射、且保持复合」的配备，范畴论称为函子（functor）。眼下不必背定义，只需体会它管住什么：一旦某个量被证明是函子式的（保持结构与复合），它在换基、换实现下自动不变。秩是最简单的例子：矩阵随基千变万化，秩岿然不动，因为它是映射的属性而非数表的属性（5.14）。
例（不变量的清单） 本章收进清单的有：维数（同构不变）、秩（相似不变）、迹（相似不变）、ker φ 与 im φ 的同构类（同态定理）。下一章的主角——特征多项式——将把「迹」与「行列式」收编为同一件东西的两个读数。
〔现代性〕从方程到结构，路标立完 第一章问「解是什么数」；第五章答「解是什么形状、什么空间、什么陪集」。张苍法的第五份收成至此交割完毕：方程组研究的终点，是映射与空间的常态研究。但结构的故事还差最后一块拼图——数本身的世界（数域）与多项式的世界还没正式建档。第六章《多项式环 𝔽[x] 与数域》去补这一块，然后下册：欧氏空间、正交变换、仿射与射影几何，几何的大幕拉开。
例 1 判断下列映射是否线性，并说明理由：
① T(x, y) = (x + y, x − y)；② T(x, y) = (x + 1, y)；③ T(x, y) = (x2, y)；④ T(x, y) = (2x + y, 0)。
解 ① 两条纪律都守：取 u = (1, 2), v = (3, 4)，则 T(u + v) = T(4, 6) = (10, −2)，而 T(u) + T(v) = (3, −1) + (7, −1) = (10, −2) ✓；数乘逐项一次齐次显然。线性。
② T(0, 0) = (1, 0) ≠ (0, 0)——线性映射必送零到零（取 k = 0 即得），非线性。它是「平移」：整体挪动一格，原点不保。
③ 取 u = (1, 0), v = (2, 0)：T(u) + T(v) = (1, 0) + (4, 0) = (5, 0)，而 T(u + v) = T(3, 0) = (9, 0)。5 ≠ 9，加法被平方破坏——非线性。直观：x ↦ x2 把等距的点挤向一边，网格皱了。
④ 两个分量都是 x, y 的一次齐次式，逐项验证通过（如 T(1, 2) = (4, 0)）。线性——虽然第二分量恒为零，它把整个平面压到 x 轴上，压扁得毫不客气，但「压得狠」不妨碍「线性」。
方法论 判定顺序：先查 T(0) = 0（一票否决），再抽查加法（找具体反例或证明），最后必要时查数乘。反例要给具体的 u, v——「不显然线性」不是证明。
例 2 设 D: P3 → P3（次数 ≤ 3 的多项式空间，维数 4）为求导映射 D(p) = p′。求 ker D 与 im D，并核对秩定理。
解 核：p′ = 0 当且仅当 p 是常数，故 ker D = span{1}，一维——导数机器把「常数方向」整体压扁。像：任何 a + bx + cx2 + dx3 的导数是 b + 2cx + 3dx2，恰跑遍 P2（次数 ≤ 2），故 im D = span{1, x, x2}，三维。
账本：4 = 1 + 3——dim P3 = dim ker D + dim im D ✓。基上的取样： D(1) = 0，D(x) = 1，D(x2) = 2x，D(x3) = 3x2——基向量的像竖排即表示矩阵（对 {1, x, x2, x3} 基）：
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
方法论 抽象空间上求核与像的两板斧：①从定义直接刻画（「谁求导为零」比解方程组更快）；②取基取样（把像用基像表出，秩一目了然）。矩阵是可选工具，不是必需品——这正是结构语言带来的自由。
例 3 设 A 是 5.6 节的 3 × 5 矩阵（r(A) = 2）。不解方程，说出 Ax = 0 与 Ax = b（相容时）解集的维数，并求基础解系。
解 账本（定理 5.3）：5 = 2 + 3。Ax = 0 的解空间是 ker φ，维数 5 − 2 = 3；Ax = b 相容时解集是陪集 x0 + ker φ，与核同维——3 维（一个特解加三个自由方向）。
基础解系：消元后自由元为 x2, x4, x5，逐一代 1：
(−2, 1, 0, 0, 0)， (−1, 0, 1, 1, 0)， (−2, 0, 1, 0, 1)
三个都代回 Ax = 0 验算 ✓（第一行：−2+2+0+0+0 = 0；−1+0+1+0+0 = 0；−2+0+1+0+1 = 0；余行同理）。五维空间里的一张三维「切片」，在 Ax = b 时平移到不过原点的位置。
〔明线〕秩定理先算后解 秩定理的价值次序：先用维数定形状，再动手求代表。知道是 3 维，求出来的三个无关解才有资格叫「基础解系」；不知道维数，求多少个都心里没底。
例 4 找一个非零线性映射 φ: ℝ3 → ℝ，使 ker φ = span{(1, 1, 0), (0, 0, 1)}。这样的映射唯一吗？
解 φ(x) = a·x（行向量形式，5.13），核为 a 的正交补。要 (1, 1, 0) 与 (0, 0, 1) 都在核里：a1 + a2 = 0 且 a3 = 0。取 a = (1, −1, 0)，即
φ(x, y, z) = x − y
验证：φ(1, 1, 0) = 0 ✓，φ(0, 0, 1) = 0 ✓。维数核对：正交补维数 3 − 2 = 1，非零解只有 (1, −1, 0) 的倍数——映射不唯一，但彼此只差一个倍数（核相同 ⟺ 行向量成比例）。这解释了第一章的旧事：同一个解集对应的方程可以差一个非零倍数，「最简方程」从来只差比例。
反问题的一般套路：核定像——核是 k 维，像的维数就被钉死为 n − k；核给定后，映射在「相差可逆因子」的意义下被锁死。维数账本（秩定理）连反问题都管。
例 5 证明 Φ: P2 → ℝ3，Φ(p) = (p(−1), p(0), p(1)) 是同构，并求逆映射。
解 线性：求值是线性运算（(p+q)(a) = p(a) + q(a)），三个分量各自线性。单射：若三点值全零，二次多项式有三根，只能恒为零，ker Φ = {0}。维数两边都是 3，单射即同构（定理 5.2）。
表示矩阵：对基 {1, x, x2} 逐个求值，竖排得
| 1 | −1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
行列式按第 2 行展开：−1·[(−1)·1 − 1·1] + 0 + 0 = −(−2) = 2 ≠ 0——数值上确认可逆（这枚行列式正是范德蒙德行列式 3.11 节的 n = 3 特例：节点 −1, 0, 1 两两不等 ⟹ 非零）。
求逆：给 (a, b, c)，用待定系数 p(x) = α + βx + γx2。三点条件解出
p(x) = b + (c − a)/2 · x + (a − 2b + c)/2 · x2
验算：(1, 0, 1) ↦ x2（中项系数 (1−1)/2 = 0，二次 (1+1)/2 = 1 ✓）；(−1, 0, 1) ↦ x ✓；(1, 1, 1) ↦ 1 ✓。再试 p = x2 + x：三点值 (0, 0, 2)，逆公式还给 p(x) = 0 + (2−0)/2 x + (0+0+2)/2 x2 = x + x2 ✓。
例 6 解 Ax = b，其中
A =
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 3 | 1 |
| 3 | 5 | 2 |
解 先看结构：第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行（1+2=3, 2+3=5, 1+1=2），故 r(A) = 2，账本 3 = 2 + 1——核是一维。求核：由前两行 x1 + 2x2 + x3 = 0, 2x1 + 3x2 + x3 = 0，相减得 x1 + x2 = 0，代回得 x3 = x2，核 = span{(1, −1, 1)}（代回验：第 1 行 1−2+1 = 0 ✓，第 2 行 2−3+1 = 0 ✓，第 3 行 3−5+2 = 0 ✓）。
特解：取 x = (0, 0, 1)，代回 Ax = (1, 1, 2) = b ✓。全部解：
x = (0, 0, 1) + t(1, −1, 1)， t ∈ 𝔽
（任取 t = 7 验算：(7, −7, 8) 代回得 (1, 1, 2) ✓。）解集是 ℝ3 中过 (0, 0, 1)、方向 (1, −1, 1) 的一条直线——仿射直线（5.16），它平移 −(0,0,1) 后才是真子空间。
方法论 解非齐次方程组的标准流程已完全结构化：①秩定账（自由元个数）→ ②求核（齐次）→ ③凑特解（非齐次）→ ④合账 x0 + ker。四步各有验算点，缺一不可。
例 7 设 L: ℝ2 → ℝ，L(x, y) = x − 2y。描述 L−1(3)（即 x − 2y = 3 的解集）作为陪集的结构，并判断 (5, 1)、(3, 1)、(1, 0) 各与哪个点同陪集。
解 核：L(x, y) = 0 ⟺ (x, y) ∥ (2, 1)，ker L = span{(2, 1)}。特解 p0 = (3, 0)（3 − 0 = 3 ✓）。于是
L−1(3) = (3, 0) + span{(2, 1)}：过 (3, 0)、方向 (2, 1) 的直线
逐点判：① L(5, 1) = 5 − 2 = 3 ✓ 在线上——(5, 1) = (3, 0) + 1·(2, 1)，与 (3, 0) 同陪集；② L(3, 1) = 1 ≠ 3，它在线外；③ L(1, 0) = 1，与 (3, 1) 同值——同陪集：(3, 1) − (1, 0) = (2, 1) ∈ ker ✓。陪集语言读出来的事实：沿核方向走，永远走不出陪集；跨出核方向，立刻进入另一片。全部陪集 L−1(c)（c ∈ ℝ）是 ℝ2 的一族平行直线，铺满全平面且互不相交。
例 8 设 U = span{(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)} ⊆ ℝ4。求 dim(ℝ4/U)，找一组陪集代表，并说明 e3 + U 与 e1 + U 的关系。
解 U 的两个生成元无关（零分量格局不同），dim U = 2。商空间维数直接做减法：dim(ℝ4/U) = 4 − 2 = 2。
陪集代表：试 e1 + U, e2 + U。它们不在 U 中（设 a(1,0,1,0) + b(0,1,0,1) = (a, b, a, b)，第三、四分量与第一、二绑定，(1, 0, 0, 0) 无解）✓；且它们线性无关（若 αe1 + βe2 ∈ U，仍由 (a,b,a,b) 格局知 α = β = 0）✓。两个无关陪集张满 2 维商空间——{e1 + U, e2 + U} 是 ℝ4/U 的基。
e3 的身份：e3 + e1 = (1, 0, 1, 0) ∈ U，故 e3 + U = −(e1 + U) = −e1 + U——e3 的陪集恰是 e1 陪集的负！同理 e4 + U = −e2 + U。商空间虽是「压扁的世界」，四条坐标轴在里面只留下两条独立的影子，且影子带符号对账（+e1 与 −e1 同影）。
〔现代性〕商空间的算法侧影 「求商空间」落地成算法就是「求 U 的基 + 在基下做坐标 + 划去 U 占据的坐标」——全是张苍法的老动作。抽象结构不新造算法，只重新解释算法的产品。
例 9 设 f1 = (1, 1), f2 = (1, −1) 是 ℝ2 的基。求对偶基 f1, f2，并计算向量 v = (3, 1) 在基 {f1, f2} 下的坐标。
解 设 f1(x, y) = ax + by。对偶条件 f1(f1) = 1, f1(f2) = 0：
a + b = 1； a − b = 0 ⟹ a = b = 1/2
同理 f2(x, y) = (x − y)/2。四项验证：f1(f1) = 1 ✓，f1(f2) = 0 ✓，f2(f1) = 0 ✓，f2(f2) = 1 ✓。
坐标 = 仪器读数：f1(v) = (3+1)/2 = 2，f2(v) = (3−1)/2 = 1。复原：2f1 + 1·f2 = (3, 1) ✓。对偶基一次读数，坐标直接到手——不必解方程组，因为方程组已经在对偶基的构造里解完了。
对比两条求坐标的路：旧路（第一章）拿 v = af1 + bf2 解二元一次方程组；新路先造两台仪器（解一次同样的方程组），之后每个向量都只读两次数。向量多了，仪器的投资就赚回来了——这正是「先造工具再批量生产」的数学版，也是对偶空间存在的工程理由。
例 10 设 T: ℝ2 → ℝ2 为沿直线 y = x 的反射，T(x, y) = (y, x)。求 T 在基 f1 = (1, 1), f2 = (1, −1) 下的矩阵。
解 标准矩阵 A =
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
B =
| 1 | 0 |
| 0 | −1 |
用公式核对：P =
| 1 | 1 |
| 1 | −1 |
| 1/2 | 1/2 |
| 1/2 | −1/2 |
| 1 | −1 |
| 1 | 1 |
〔现代性〕相似变换的实际身份 B = P−1AP 里的 P 不是代数游戏，它就是「翻译词典」：把机器 T 的动作从标准语言译成 {f1, f2} 语言。相似矩阵 = 同一台机器的不同语言说明书——第三章留下的这句话，至此完全落地。
例 11 设 P 为沿方向 (1, −1) 到直线 span{(1, 1)} 的投影。验证 P2 = P，找出 im P 与 ker P，并把 v = (3, 5) 分解。
解 P(2, 0) = (1, 1)（把它拉到镜线上）、P(1, −1) = (0, 0)（沿方向压扁），故表示矩阵为
P =
| 1/2 | 1/2 |
| 1/2 | 1/2 |
幂等：P2 = P（逐格算：1/4 + 1/4 = 1/2 ✓）——投影两次与投影一次相同，拖到一半的影子不会再拖长。几何上显然，代数上是「幂等」的定义。像与核：im P = span{(1, 1)}（维 1），ker P = span{(1, −1)}（维 1），账本 2 = 1 + 1 ✓，且 tr P = 1/2 + 1/2 = 1 = dim im P——投影的迹等于像维数，一件好用的小事。
分解 v = (3, 5)：P(v) = (4, 4)，v − P(v) = (−1, 1)。于是
(3, 5) = (4, 4) + (−1, 1)：像的部分 + 核的部分
核部分代回 P(−1, 1) = (0, 0) ✓。任何向量 = 投影里的 + 被压掉的，且分解唯一（像 ∩ 核 = {0}）。这是「直和分解」（4.12）第一次由一台具体机器制造出来。
〔现代性〕幂等映射 = 分解机器 凡 P2 = P，必得 V = im P ⊕ ker P（挑战二 C2）。投影是把空间「拆成两截」的标准夹具；下册正交投影（最小二乘的几何）只是把这里的斜投影换成垂直投影。
例 12 证明：对 n 阶方阵 A, B，有 rank(AB) ≤ min(rank A, rank B)，且 rank(AB) ≥ rank A + rank B − n（Sylvester 不等式）。用 n = 3 的例子检验两端。
解 上界：im(AB) = {A(Bx)} 是先经 B 再经 A 的落点，故 im(AB) ⊆ im A，得 rank(AB) ≤ rank A；转置并用 rank BtAt ≤ rank Bt = rank B，得 rank(AB) ≤ rank B（5.11 的包含关系正是为此准备）。
下界：A 在 im B（维 rank B）上压掉至多 n − rank A 维（核至多 n − rank A 维，因为 ker A ∩ im B 是 ker A 的子空间），故
rank(AB) = dim im B − dim(ker A ∩ im B) ≥ rank B − (n − rank A) = rank A + rank B − n ∎
数值检验 取 A =
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
〔明线〕不等式里的消元影子 Sylvester 下界说的是：两道消元工序串联，自由度损失有保底。当年高斯消元一笔一笔划去未知数，今天我们把「划掉多少」写成了不等式——算法的经验，升级为结构的定理。
1. 判断 T(x, y) = (x + y, x − y) 是否线性；若是，写出标准基下的矩阵。
答：线性（两条纪律逐项验证，例 1 ①）。矩阵第 j 列 = T(ej)：T(1,0) = (1,1)，T(0,1) = (1,−1)，故 A =
| 1 | 1 |
| 1 | −1 |
2. 判断 T(x, y) = (x + 1, y) 与 T(x, y, z) = (x, y, 0) 是否线性。
答：前者非线性（T(0) = (1, 0) ≠ 0，一票否决）；后者线性——第三分量恒零是「压扁」不是「违规」，其核 = span{(0, 0, 1)}。
3. 证明：若 φ 线性，则 φ(−v) = −φ(v)，且 φ(u − v) = φ(u) − φ(v)。
答：φ(−v) = φ((−1)·v) = (−1)φ(v)（数乘纪律，k = −1）；减法 = 加负号，两条规则连用即得。∎
4. 求导映射 D 在 P3 的基 {1, x, x2, x3} 下的矩阵（例 2 已算），并读出 D(x2 + 3x3)。
答：矩阵见例 2（上三角，对角 0,0,2,3 的错位形）。D(x2 + 3x3) = 2·(x 位置的 1) + 3·(3x2) 组合：2x + 9x2。直接求导核验：(x2 + 3x3)′ = 2x + 9x2 ✓。
1. 求 φ(x, y, z) = (x + y + z, x + y + z) 的核与像。
答：两分量恒同，秩 1，像 = span{(1, 1)}；核是 x + y + z = 0：span{(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}。账本 3 = 2 + 1 ✓。机器把整个 ℝ3 压到一条对角线上。
2. 5.4 主例 A（三阶表）：证明 im φ 恰是平面 x − y + z = 0。
答：像由 (1,0,1)、(1,1,2) 张成，两者都满足 x − y + z = 0（1−0+1=2？——逐个核：(1,0,1)：1−0+1 = 2 ≠ 0！说明平面方程抄错了；改由像的生成元求法向量：(1,0,1)×(1,1,2) = (0·2−1·1, 1·1−1·2, 1·1−0·1) = (−1, −1, 1)，即像在平面 x + y − z = 0 上。验证 (1,1,2)：1+1−2 = 0 ✓，(1,0,1)：1+0−1 = 0 ✓。像 = 平面 x + y − z = 0，维 2 与秩 2 一致 ✓。
3. 设 φ2 = 0（平方为零的映射）。证明 im φ ⊆ ker φ。
答：任取 φ(v) ∈ im φ，则 φ(φ(v)) = φ2(v) = 0，故 φ(v) ∈ ker φ。∎（习题课九的幂零例是它的具体版。）
4. 举例说明「核为零但不满射」与「满射但核非零」都存在。
答：5.10 的三行两列表（钉进直线）：核零但不满；习题课二第 1 题的压扁机：满（像 = ℝ 整条对角线铺到 (1,1) 方向）但核二维。两边都要 dim V ≠ dim W——维数相等是「单且满」的门票。
1. 4 × 4 矩阵 A =（行 (1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (1,1,1,3)），求秩并核对账本。
答：A 的行满足第 4 行 = 前 3 行之和（每行都是 (1,1,1,1) 型？——实际矩阵为行 (1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (1,1,1,3)，末行 = 前三行之和），r = 3，账本 4 = 3 + 1；核由 (−1, −1, −1, 1) 张成（代回：每行 −1−1−1+1 = 0 ✓）。
2. 已知 φ: ℝ7 → ℝ5 线性且 rank φ = 4。dim ker φ = ?
答：7 = 4 + 3，核三维。注意秩最多 5（目标维数）但实际 4——账本只管出发维数的分配。
3. 证明：若 φ: V → W 满足 dim ker φ = dim V，则 φ = 0。
答：dim im φ = dim V − dim ker φ = 0，零维子空间只有 {0}，像为零即零映射。∎
4. 求导映射 D: P4 → P4（次数 ≤ 4，维 5）的秩与零化度。
答：ker D = 常数（维 1），im D = P3（维 4），账本 5 = 1 + 4 ✓。反复求导：D5 = 0 而 D4 ≠ 0——求导是「温柔压扁」的样板。
1. T(x, y) = (2x − y, x) 是同构吗？
答：矩阵 det = 2·0 − (−1)·1 = 1 ≠ 0，可逆 ⟹ 同构（第二章第六说法与第五章判据合流）。
2. P2 与 ℝ2 之间可能存在同构吗？
答：不可能——维数 3 ≠ 2（定理 5.2 是双向的：维数不等必不同构）。但 P2 ≅ ℝ3（例 5）。
3. 构造 M2(𝔽)（二阶表全体，维 4）到 ℝ4 的一个具体同构。
答：最平的桥：把四格按固定次序拉直 abcd ↦ (a, b, c, d)。线性、可逆一目了然。更几何的桥：拆成对称 + 反对称两截——下册正交对角化的预演。
4. 证明：同构的逆映射自动线性。
答：设 φ−1(u) = x, φ−1(v) = y，即 u = φ(x), v = φ(y)。则 φ(x + y) = u + v ⟹ φ−1(u + v) = x + y = φ−1(u) + φ−1(v)；数乘同理。∎（「保结构的双射，其逆也保结构」——范畴论里同构的定义味道。）
1. 解 Ax = b：A =
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
答：第二行是第一行的 2 倍，r = 1，独立方程 x + y = 1。特解 (1, 0)，核 span{(−1, 1)}，解集 (1, 0) + t(−1, 1)：一条仿射直线（5.16）。
2. 例 6 的方程组若把 b 换成 (1, 1, 3)，还有解吗？
答：b 的第三分量必须 = 前两个之和（行 3 = 行 1 + 行 2 ⟹ 像里每个 b 也守此约），而 1 + 1 = 2 ≠ 3——不在像内，无解。增广矩阵消元将出现矛盾行 0 = 1，两种语言同一结论。
3. 齐次方程组 Ax = 0 与非齐次 Ax = b 的解集，维数关系如何？
答：同维（都是 n − r 维：子空间与它的平移拷贝等维），但前者过原点、后者一般不过——「同姿态，不同位置」。
4. 把「解方程 x + y = 3」的解集用仿射子空间语言登记造册（位置 + 姿态）。
答：位置：特解 (3, 0)；姿态：方向子空间 span{(1, −1)}（齐次方程 x + y = 0 的解集）。登记完毕：一维仿射子空间，即一条直线。
1. 例 7 中 (3, 1) 与 (1, 0) 同陪集，验证它们的差在核里。
答：(3, 1) − (1, 0) = (2, 1) = ker 的生成元本身 ✓。判据回顾：同陪集 ⟺ 差 ∈ 核。
2. 求 dim(ℝ3 / U)，U = span{(1, 1, 1)}，并给一组陪集代表。
答：3 − 1 = 2 维；代表可取 e1 + U, e2 + U（验证无关：若 a e1 + b e2 ∈ U 即 (a, b, a+b) 型与 (t, t, t) 型相等，则 a = b = t 且 a = t, b = t, a + b = t ⟹ 2t = t ⟹ t = 0）。∎
3. 例 8 里 e3 + U = −(e1 + U)。解释为什么「负」陪集不奇怪。
答：商空间自己是线性空间（零元是 U 自身），负元天然存在；e3 在商空间里的影子恰好与 e1 的影子反向——四根轴压成两根，有重影也有反影。
4. 证明：陪集族 {x + U : x ∈ V} 两两不交或重合，并铺满 V。
答：若 (x + U) ∩ (y + U) ≠ ∅，则 x − y ∈ U，两陪集相同；每个 v 属于 v + U。∎（这就是「商 = 分割」：把空间切成等大小的平行瓦片。）
1. 求 dim L(ℝ3, ℝ2) 与 dim L(ℝ3, ℝ3)。
答：3 × 2 = 6 与 3 × 3 = 9（定理 5.9：维数是格数）。
2. 求基 f1 = (1, 2), f2 = (3, 4) 的对偶基 f1, f2（给出行向量形式）。
答：行列式 1·4 − 2·3 = −2。对偶行向量是 P−1 的行（P 以 f1, f2 为列）：P−1 =（1/−2）·4−2−31，故 f1 = (−2, 1)，f2 = (3/2, −1/2)。验证：f1(f1) = −2 + 2 = 1 ✓，f1(f2) = −6 + 4 = −2？——重验：f1 应对 f2 读零。f1(f2) = (−2)·3 + 1·4 = −2 ≠ 0，上面的 P−1 拼装错了：正确地，P =1324，P−1 =（1/−2）·4−3−21 = −23/21−1/2。对偶基 = P−1 的两行：f1 = (−2, 3/2)，f2 = (1, −1/2)。验证 f1(f1) = −2 + 3 = 1 ✓，f1(f2) = −6 + 6 = 0 ✓，f2(f1) = 1 − 1 = 0 ✓，f2(f2) = 3 − 2 = 1 ✓。
3. 证明：线性函数的和与数倍仍是线性函数（V* 封闭）。
答：逐点验证两条纪律，与 5.12 的 L(V,W) 论证逐字相同（取 W = 𝔽 特例）。∎
4. 用对偶基读数法求 v = (5, 7) 在基 {(1,1), (1,−1)} 下的坐标。
答：读数即坐标：f1(v) = (5+7)/2 = 6，f2(v) = (5−7)/2 = −1，故 v = 6f1 − f2。验算 6(1,1) − (1,−1) = (5, 7) ✓。
1. A =
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
答：det = −2 ≠ 0，核为零 ⟹ 解唯一（若存在）。解 x + 2y = 1, 3x + 4y = 1：三倍首式相减得 −2y = −2，y = 1, x = −1。验算 (−1, 1)：−1 + 2 = 1 ✓，−3 + 4 = 1 ✓。
2. Ax = b 有唯一解的充要条件是什么？无穷多解呢？
答：唯一 ⟺ 相容且 ker = {0}（r(A) = n 且 b ∈ im）；无穷多 ⟺ 相容且核非零（自由元 ≥ 1）。无解 = b 在像外。三种情形合起来恰是增广矩阵阶梯形的「无矛盾行 / 满秩 / 有自由元」三分支——两个世界完全对账。
3. 已知 φ: ℝ4 → ℝ4 满足 rank φ = 2。对每个 b ∈ im φ，解集是什么形状？
答：相容（在像内），解集 = 特解 + ker，而 dim ker = 4 − 2 = 2：过特解的一张二维仿射平面。像内每个点头顶都悬着一张 2 维的「原像平面」。
4. 构造一个相容但解集为一条直线的 3 元方程组。
答：随便取核为一条直线的机器 + 像内的 b。如 A = 习题课二第 1 题的表，b = (2, 2)：特解 (2/3, 0, 0) 型（取 (0, 0, 2) 亦可：0+0+2 = 2 ✓），核二维？——核对：那台机器核是二维，解集是平面不是直线。要直线解集需核一维：取 A =（两行独立的 2 × 3 表，如例 6 的前三行删一行），如 x + 2y + z = 1, 2x + 3y + z = 1：秩 2，核一维，解集一条仿射直线 ✓。
1. 设 T(x, y, z) = (0, x, y)。求 T2, T3 的表达式，并指出 T 的秩。
答：T2(x, y, z) = T(0, x, y) = (0, 0, x)；T3(x, y, z) = T(0, 0, x) = (0, 0, 0)。三连压扁，第三下归零（幂零指数 3）。T 的像 = span{(0,1,0), (0,0,1)}，秩 2，账本 3 = 1 + 2（核 = span{(0,0,1)}）。
2. 上题的 T 满足 im T ⊋ ker T。这说明 5.15 的正合列在这里「不短」吗？
答：正合列 0 → ker T → ℝ3 → im T → 0 依旧正合（账本 1 + 2 = 3 不变）；im ⊆ ker 的条件是 T2 = 0 的性质（习题课二第 3 题），而这里 T2 ≠ 0，故 im 不必缩进核里。两种陈述互不干扰。
3. 投影 P(x, y, z) = (x, y, 0)：求 im, ker 并验证 ℝ3 = im P ⊕ ker P。
答：im = xy 平面（维 2），ker = z 轴（维 1），交为零，和为全空间（(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z)）✓。tr P = 2 = dim im（例 11 的小事在此复核）。
4. 若 φ: V → W 与 ψ: W → U 都满射，证明 ψ∘φ 满射。
答：任取 u ∈ U，ψ 满给出 w ∈ W，φ 满给出 v ∈ V，则 ψ(φ(v)) = u。∎（满射沿流水线传递；单射沿逆方向传递——想想为什么。）
1. 证明：若 φ 单射且 ψ∘φ 有定义，则 ker(ψ∘φ) = ker φ。
答：⊇ 显然（5.11 的包含）。反向：若 ψ(φ(v)) = 0 = ψ(0)，ψ 单给 φ(v) = 0，即 v ∈ ker φ。——注意用到的是 ψ 单射，不是 φ！单射在流水线的后端起作用。∎
2. 秩 1 矩阵必形如 u·wt（一列乘一行）吗？以 u = (1, 2, 1), w = (1, 1, 2) 验证秩与迹。
答：秩 1 ⟺ 像一维 ⟺ 每列都是像基向量的倍数 ⟺ A = u wt ✓。数值：u wt 的迹 = u1w1 + u2w2 + u3w3 = 1 + 2 + 2 = 5 = w·u——秩 1 映射的迹 = 「前进方向 × 落点方向」的内积。
3. 两个秩 1 映射的复合秩最多几？
答：1（rank(AB) ≤ min = 1）。流水线的产出超不过任何一道工序的天花板——Sylvester 上界的极简版。
4. 设 dim V = dim W = n 且 φ 单射。证明 φ 同构。
答：账本：dim im = n − 0 = n = dim W，子空间维数等于全空间维数则重合，im = W 满。单 + 满 = 同构。∎（有限维的福利；无限维里单而不满的映射比比皆是——平移 n ↦ n+1 在无穷数列空间里就是。有限维是娇贵的花园。）
1. 设 A 为 3 × 3，r(A) = 2。证明存在 b 使 Ax = b 无解，也存在 b 使之有无穷多解。
答：im φ 是二维平面 ≠ ℝ3，平面外任取 b1 无解 ✓；平面内任取 b2，解集 = 特解 + 核（核一维）无穷多 ✓。秩 2 的机器：注定一半求失败、一半求雪崩——这是「欠秩」的宿命。
2. 设 φ2 = φ（幂等）。证明 im φ ∩ ker φ = {0}。
答：v ∈ 交 ⟹ v = φ(v) = φ2(v) = φ(v∈ker 时的值) = 0。精确写：v ∈ ker φ 给 φ(v) = 0；v ∈ im φ 给 v = φ(u)，于是 v = φ(φ(u)) = φ(v) = 0。∎（与例 11、挑战二 C2 呼应。）
3. 证明：rank(A + B) ≤ rank A + rank B。
答：im(A+B) ⊆ im A + im B（每个 Ax + Bx 是两个像的和），维数用 4.10 的和公式：≤ rank A + rank B。∎（秩的「三角不等式」。）
4. A, B 为 3 阶，r(A) = 2, r(B) = 3。r(AB) 的可能值？
答：B 满秩（可逆），r(AB) = r(A) = 2（可逆因子不改秩——左乘右乘皆然，5.14 的引理）。只有两个都欠秩，Sylvester 的「浮动区间」才真正浮动。
本章错误有稳定的出没规律，归档八类。自己的错题对号入座，写出「错在哪一步、正确动作是什么」。
| 编号 | 错误类型 | 典型现场 | 纠正动作 |
|---|---|---|---|
| E1 | 忘验 T(0) = 0 | 把平移、仿射映射当线性处理 | 判定第一刀永远砍向零向量 |
| E2 | 核写成单点 | 把 ker φ 写成「x = 0」而漏掉整条压扁方向 | 核是子空间，先问维数再问基 |
| E3 | 秩定理记反 | 把 dim ker 当成 dim im | 账本口诀「出发 = 压扁 + 送达」 |
| E4 | 陪集方向装错 | 把特解装进方向、把核向量当代表 | 「位置 + 姿态」分工：特解定位置，核定姿态 |
| E5 | 对偶基验算偷懒 | 习题课七第 2 题型：P−1 行列拼错，四项验证发现 | 对偶基必做四项验证 fi(fj) = δij |
| E6 | 复合顺序颠倒 | 把 ψ∘φ 的矩阵算成 AB 反序 | 流水线口诀「先 φ 后 ψ，矩阵 B 在前」 |
| E7 | 换基忘了逆 | 把 P−1AP 写成 PAP−1 | 词典方向想清楚：新坐标要过 P−1 才回旧世界 |
| E8 | 解集说成子空间 | 非齐次解集被写成「是一张过原点的平面」 | 先问 b 是否为零；非零 ⟹ 仿射（不过原点） |
三自测（遮住答案默写）：① 秩定理原文；② 同态基本定理原文；③ 解集陪集结构定理原文。
① dim V = dim ker φ + dim im φ；② V/ker φ ≅ im φ；③ 相容时解集 = x0 + ker φ。三句都是「一句话定理」——本章最值钱的三句话。
章复盘三问：① 本章把第二章的哪个对象升了级？升成了什么？② 消元法在核、像、陪集三处分别扮演什么角色？③ 「先问结构，再求解」在本章哪个例子里体现得最彻底？
① 矩阵 → 线性映射（数表 → 机器）；② 求核 = 消元解齐次、像 = 列空间读秩、陪集 = 特解加核（消元全程代工）；③ 例 3（先定形状再求代表）或例 6（四步流程）。
古巴比伦的书记员在泥板上写下 2 与 30；中国《九章》的方程术用算筹布出「上下禾实」的答数；中世纪阿拉伯的代数学家念叨着「还原与对消」——三千年的解方程史，目标都定格在把答案一个一个抠出来。答案是一个数、一组数，解完即走。
转折发生在 17 世纪。笛卡尔把方程与曲线划上等号：一个方程的解不再是一个点，而是一条曲线；两个联立方程的解，是曲线的交点。解集第一次以「几何形状」的身份登台——虽然当时没人用这个词。19 世纪，格拉斯曼（1844，《扩张论》）把「维数」「生成」立为正式概念，解集的形状开始有代数语法；到 20 世纪，公理化运动（第四章札记的续篇）终于把「解集是什么形状」变成与「解等于几」平起平坐的问题。
本章站在这条线索的末端，把三千年历史翻译成三句话：解是一个数（第一章），解集是一个空间（第四章），解集的结构是「位置 + 姿态」（第五章：特解 + 核）。每句话都不推翻前一句，而是给前一句更大的坐标系。
| 时代 | 问法 | 解的身份 |
|---|---|---|
| 巴比伦—《九章》 | 答数几何？ | 一个个具体的数 |
| 笛卡尔 1637 | 方程画成什么曲线？ | 几何图形（点集） |
| 格拉斯曼 1844 | 解集有几维、由什么生成？ | 带维数的结构 |
| 公理化运动以后 | 解集与解空间的关系？ | 陪集：位置 + 姿态 |
从「答案」到「结构」不是忘本——算出具体的解依然是日常。变化的是：结构说清了所有答案之间的关系（相差核内向量），使得任何一个具体解都能被即时定位、即时检验、即时搬运。结构是答案的社会学。
本章的定理 5.4（V/ker φ ≅ im φ）有一个庞大家族。最古老的面孔在算术里：ℤ → ℤ/12ℤ（时钟世界），把 26 送到 2（26 mod 12 = 2）；它的核是 12 的倍数。群论版本由诺特（Emmy Noether，1920 年代论文）定型；线性代数版本即本章；环的版本管着「除以多项式取余」（第六章主角 𝔽[x] 的分工表）；拓扑的版本管着「把边界粘起来」（环面 = 正方形对边相粘，正是商空间）。
为什么一条定理能穿这么多衣服？因为在公理化的视野里，「核、像、商」三者不是三个定义，而是同一关系的三个侧面：映射压扁了什么（核）、送达了什么（像）、把什么视为相同（商）。压扁、送达、视为相同——只要有「保结构的映射」，这三个词就自动在场，定理就自动成立。
诺特的深层贡献在于视角的翻转：在她之前，人们把同态的核当作「不重要的坏点」绕开；她指出核本身就是最有信息量的部分——想知道两个结构差多少，看核；想造新结构，造商。今天教科书里「第一同构定理」的通名，就是为了纪念这场「把核扶正」的运动。
〔远眺〕定理的三副面孔在本册出现两次：第三章的 det: GLn → 𝔽*（核是 SLn，陪集语言读出行列式值）与本章的线性映射版本。下册将看到第三副（正交群与定向）——同一条定理将在几何里最后一次收账。
本章知识图谱（八格）：从「机器」出发，向左看它压扁了什么（核）、向右看它够得着什么（像），账本（秩定理）居中坐镇；账本右侧分出两支——解的存在性（b ∈ im）与唯一性（ker = 0）；左侧分出两支——陪集结构（解集形状）与商空间（同态定理）；最外侧是两个远眺接口——对偶空间与函子。
| 六步方法 | 动作 | 依据 |
|---|---|---|
| ① 认机器 | 确认线性（T(0) = 0 + 两条纪律） | 定义 5.1 |
| ② 定账本 | 求秩、算 dim ker = n − r | 秩定理 5.3 |
| ③ 找核 | 消元解齐次，得基础解系 | 张苍法 + 定义 5.2 |
| ④ 找特解 | 自由元归零回代 | 定理 5.5 |
| ⑤ 合账 | 解集 = x0 + ker φ，验算 | 定理 5.5 + 5.6 |
| ⑥ 升维复盘 | 商空间、对偶、不变量各说一遍 | 定理 5.4 + 5.9–5.10 |
与前三章的接口：第一章的消元＝③④的引擎；第二章的秩＝②的读数；第三章的 det＝可逆判定（同构判据）的后备；第四章的子空间＝核与像的原料。张苍法五份收成至此全部交割。
〔下章预告〕第六章《多项式环 𝔽[x] 与数域》暂时离开方程组，去办两件建档大事：数从哪里来（数域）与多项式如何构成一个可以「除法带余数」的世界（环）。它是通往抽象代数的正式接口，也是下册特征值理论（特征多项式！）的军火库。第五章的「同态基本定理」将在那里第三次现身——这次以「求值同态」与「余数定理」的面孔。
「先问结构，再求解。」
面对 Ax = b，新手立刻动笔消元；成熟的做法是先问三个结构问题：机器把什么压扁了（核）？b 在不在可达范围里（像）？答案彼此相差多少（陪集）？三问答完，解只是把已经看清的形状抄写成坐标。
这句话的普适版在数学各处回响：数论里「先看模什么余，再求原解」；几何里「先看不变量，再认图形」；物理里「先找守恒量，再解运动」。结构优先，不是懒于计算，而是让每一次计算都花在看清的地方。
C1（Sylvester 数值版） 取例 12 的 A（秩 2）与循环移位 B（秩 2），n = 3。验证 rank(AB) = 2 落在区间 [2+2−3, min(2,2)] = [1, 2] 内；再取只留右上角的秩 1 表 B′，验证 rank(AB′) = 1 与下界 2 + 1 − 3 = 0。
C2（维数公式） 证明 dim im(φψ) = dim im ψ − dim(im ψ ∩ ker φ)，并以 ψ(a, b) = (a, a, b)、φ(x, y, z) = (x, y) 验证：像交核恰是 span{(0, 0, 1)}（ψ(0,1) = (0,0,1) 在像内且在核内），维数 2 − 1 = 1 = rank(φψ) ✓。
C3（行等价保零空间） 证明行等价的矩阵有相同的零空间，并验证 A =1224与 rref(A) =1200的零空间同为 span{(−2, 1)}。
C4（幂等分解） 证明：P2 = P 时 V = im P ⊕ ker P，且 ker P = im(I − P)。用例 11 的表验证：(I − P)(3, 5) = (−1, 1) 恰落在核里。
C5（复合的账本） 设 φ: V → W, ψ: W → U 皆线性。证明 rank(ψφ) ≥ rank ψ + rank φ − dim W（Sylvester 一般版），并说明它如何把「n 阶方阵」版（例 12）作为特例吞下。
C6（满射分解） 证明：秩为 r 的映射可以写成「满射 + 单射」的复合。提示：先商掉核（满），再同构（单）——同态定理的分解读法。
C7（对偶与秩） 证明 rank A = rank At 可以从「行秩 = 列秩」与对偶视角各讲一遍：行向量在对偶空间里张成的维数，与列向量张成的维数，为何必然相等？
C8（四分账） 设 φ: V → V（V 有限维）。证明 dim ker φ = dim ker φ2 当且仅当 ker φ = ker φ2，并构造一个两者不等的例子（提示：习题课九的幂零 T：核从 1 维涨到 2 维）。
赛 1（陪集算术） 在 ℝ4/U（U = span{(1,0,1,0), (0,1,0,1)}，例 8）中计算：(e1 + U) + (e3 + U) = ? 答：e1 + e3 + U = U（零陪集！因为 e1 + e3 ∈ U）——商空间里 «1 + 1 = 0» 式的对账并不神秘，只是「差在核里」。
赛 2（商的同构） 证明 ℝ4/U ≅ ℝ2（例 8 的 U），并给出一个具体同构（提示：把前两个坐标读出来：(x, y, z, w) + U ↦ (x, y)；良定性正来自 U 的前两坐标为零）。
赛 3（商空间的商） 设 U ⊆ W ⊆ V。证明 (V/U)/(W/U) ≅ V/W（第三同构定理的线性版），并用维数验证一遍。
赛 4（直和的商） 若 V = U ⊕ W，证明 V/U ≅ W，且映射 w ↦ w + U 是具体的同构。（例 11 的投影恰好就是这条同构的「逆过程的见证者」：像部分住在 W 里。）
赛 5（对偶的商） 证明 (V/U)* ≅ {f ∈ V* : f|U = 0}（商的对偶 = 在 U 上消声的函数全体）。提示：U 里的差别必须读出零，才能在商里良定。
赛 6（计数） 𝔽 = 𝔽2（只有 0 与 1 的域，下册正式介绍）时，ℝ4/U（例 8 的 U）有几个元素？ 答：22 = 4 个（维 2 的 𝔽2 空间）——商空间的元素个数 = |V|/|U|，账本连「数数」都管。
解集的维数不是抽象的数字，是肉眼可见的形状。下图把 ℝ3 中非齐次方程组解集的四种典型命运画在同一画面：一个点（满秩钉死）、一条直线（两道约束）、一张平面（一道约束）、全空间（零约束）。
实验任务（纸上可做）：① 对例 6 的方程组分别删去第三个方程、删去两个方程，画出解集形状的变化（直线 → 平面 → 全空间？——注意删方程后 b 的约束也要跟着核对相容性）；② 对 5.8 主例（4 元 2 独立方程）数出自由度并与图对号；③ 用 4.14 节的程序框架把 ker φ 的基画成箭头，验证「陪集 = 沿箭头滑动的整片」。
〔实验的教益〕消元每划掉一个主元，解集就多长出一个方向。秩不是算出来的分数，是形状的维数——这句话在屏幕上看过一次，就再也不会记错账本的方向。
1.（20 分）设 A =
| 1 | 2 | 0 |
| 1 | −1 | 3 |
| 2 | 1 | 3 |
评讲：第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行，r = 2，账本 3 = 2 + 1；核 = span{(−2, 1, 1)}（代回：−2 + 2 + 0 = 0 ✓；−2 − 1 + 3 = 0 ✓；−4 + 1 + 3 = 0 ✓）。像二维。
2.（30 分）解 Ax = b：A =
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | −1 | 2 |
评讲：消元（第 2 行减第 1 行）得 −2y + z = −2；取 z = 0 得特解 (2, 1, 0)（代回 2+1+0 = 3 ✓；2−1+0 = 1 ✓）；核 = span{(−3, 1, 2)}（×2 归一自 (−3/2, 1/2, 1)）。解集 = ℝ3 中一条仿射直线，方向 (−3, 1, 2)，不过原点。
3.（25 分）设 A =
| 1 | 2 |
| 2 | 1 |
| 3 | 3 |
评讲：行 3 = 行 1 + 行 2，r = 2，像 = 平面 {(a, b, a+b)}。(3, 3, 6) 守约（3+3=6）⟹ 有解且唯一（核为零：三行两列秩 2 = 未知数个数）；(3, 3, 5) 破约 ⟹ 无解。用结构一句话判定，这正是本章的功夫所在。
4.（25 分）证明：若 P2 = P 且 P ≠ I，则 P 不可逆。
评讲：反设 P 可逆，则 P2 = P 两边左乘 P−1 得 P = I，矛盾。故不可逆 ⟹ 核非零 ⟹ P 压扁某个方向（例 11 的 (1, −1) 就是被压扁的方向）。∎ 另证：幂等且可逆 ⟹ 迹与维数账冲突（tr P = dim im P < dim V）。
〔结业赠言〕满卷的消元在这一章收成了完整的世界图景：核、像、陪集、商空间——四个名字，一套张苍法。第六章我们去多项式与数域的世界办理入境手续；下册，几何的大幕拉开时，可以发现本章的每一个概念都将在旋转、反射与投影里重新照面。
前五章沿着「解方程组」这条明线，走到了线性映射。本章暂时放下方程组，去做两件建档大事：数从哪里来（数域），多项式如何构成一个可以「带余除法」的世界（环）。起点仍是《九章》：少广章的开方术，给出了求 x2 = N 之根的完整程序。
例（开方术） 开方 55 225。《九章》的程序是分层试商：
① 估百位：2 × 2 × 10 000 = 40 000 ≤ 55 225，余 15 225；
② 估十位：(2 × 200 + 30) × 30 = 12 900 ≤ 15 225，余 2 325；
③ 估个位：(2 × 230 + 5) × 5 = 2 325，余 0——方根恰为 235。
这个程序在几何上就是把正方形一层层「割补」出来：先铺一个边长 200 的大方块，再在两条边上补宽 30 的磬折形，最后补角。每一步的算法骨架——先估一层，乘开验证，扣掉余量，再进下一层——与第一章的消元法同出一源：都是「把大问题一层层消小」。
〔明线〕第六份收成 开方术要问的是「x2 − 55 225 = 0 的根」。一旦这样改写，主角就从一个数变成了一个表达式：x2 − 55 225。本章的任务，是给这类表达式建一座代数建筑——加、减、乘、除（带余数）样样可行，整除、分解、求根各有定理。张苍法消的是方程的元，本章消的是多项式的次——「带余除法」就是降次的消元。
开方术对不尽之数（如 √2）的处理是「面」：保留开不尽的层，不再强行化整。刘徽注「凡开积为方……意其此之谓也」已经默认了新数的存在。给新数一个合法的家，就是 6.2 的数域。
多项式的系数取自哪里？根到哪儿去找？这需要一个「四则运算通行无阻」的舞台。
定义 6.1（数域） 复数集的一个子集 𝔽 称为数域，若：
① 0, 1 ∈ 𝔽；② 𝔽 对加、减、乘封闭；③ 任何 a ∈ 𝔽（a ≠ 0）的倒数 1/a ∈ 𝔽。
条件③是门槛：除法必须通行。据此盘点：
| 数集 | 加 | 减 | 乘 | 除（非零） | 是否数域 |
|---|---|---|---|---|---|
| ℕ（自然数） | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | 否（1 − 2 出局） |
| ℤ（整数） | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ | 否（1 ÷ 2 出局） |
| ℚ（有理数） | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | 是（最小的数域） |
| ℝ（实数） | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | 是 |
| ℂ（复数） | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | 是（最大的数域） |
定理 6.1（最小数域） 任何数域都包含 ℚ。
证 数域含 0, 1；由加减封闭得全部整数，由除法封闭得全部分数——ℚ 的每个成员都被迫入场。∎
数域不止三个：把 ℚ 添上一个 √2，令 ℚ(√2) = {a + b√2 : a, b ∈ ℚ}，可以验证它对四则封闭（例 1 现场操作）——这是一个介于 ℚ 与 ℝ 之间的新舞台。数域是一个可以不断「添砖」的世界，这条线索将在 6.18 结出正果。
为什么非是「域」不可？多项式求根要用系数除系数（消元、求逆都要除）。舞台一旦缺除法（如 ℤ），算法就会半途搁浅——这不是苛求，而是被第一章的算法倒逼出来的条件。
定义 6.2（一元多项式） 数域 𝔽 上的一元多项式是形式表达式
f(x) = anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a1x + a0， ai ∈ 𝔽
其中 an ≠ 0 时称 n 为次数，记 deg f = n；an 称首项系数。零多项式（全零）不谈次数；首项系数为 1 的多项式称首一多项式。全体记作 𝔽[x]。
三个字要较真：「形式」。多项式不是函数，x 不代值——(x2 − 1) 与 (x − 1)(x + 1) 作为函数处处相等，但我们认定它们是同一个多项式，依据是展开后系数逐项相同。代数把表达式本身当对象，这正是「结构」的开端。运算按系数进行：
加法：同次对齐逐项相加； 乘法：全配对交叉相乘再合并同类项。
定理 6.2（次数加法） f, g ≠ 0 时，deg(fg) = deg f + deg g。
证 乘积的最高次项只能来自 (anxn)(bmxm) = anbmxn+m，而 𝔽 是域、无零因子，anbm ≠ 0。∎
这条定理的言外之意：𝔽[x] 中两个非零多项式相乘永不为零（没有零因子），于是「次数」这个尺子永远好用——它是 6.4 带余除法成立的地基。反观系数取自 ℤ/6（模 6 剩余类）时，2 · 3 = 0，零因子出没，次数公式失灵——舞台的品质决定建筑的高度。
〔现代性〕𝔽[x] 是一座环 「加、减、乘封闭 + 结合、交换、分配律成立」——𝔽[x] 与整数 ℤ 满足同一张法律清单。凡持此清单的代数系统称为环。ℤ 与 𝔽[x] 将在本章并肩而行：辗转相除、算术基本定理、唯一分解，逐条平移。6.17 给这段平行关系一个统一的名字。
定义 6.3（整除） f, g ∈ 𝔽[x]，g ≠ 0。若存在 h 使 f = gh，称 g 整除 f，记 g | f。
定理 6.3（带余除法） 对任意 f, g ∈ 𝔽[x]（g ≠ 0），存在唯一的 q, r 使
f = qg + r， 其中 r = 0 或 deg r < deg g
（q 称商，r 称余式。）
唯一性是灵魂：假如有两套 q, r，相减得 (q1 − q2)g = r2 − r1；右边若非零则次数低于 deg g，左边若非零则次数不低于 deg g——两头夹死，只能全零。∎
算法就是逐次消最高次项：用首项配对消去 f 的首项，次数立刻下降；重复到次数低于 g 为止。这与第一章的消元一模一样——消元消「元」，这里消「次」。
验算 (x − 1)(x2 + x) + (−2x + 1) = (x3 + x2) − (x2 + x) − 2x + 1 = x3 − 3x + 1 ✓（逐项核对无误）。
〔明线〕余式定理的伏笔 取 g = x − a 这个一次特例：除式只有一次，余式 r 只能是常数；代 x = a 进 f = q(x − a) + r，得 r = f(a)。余式 = 在 a 处的取值——这条一眼看穿的等式（6.9 的余式定理）是「求根」与「因式分解」之间的一座桥。
定义 6.4（公因式与最大公因式） d | f 且 d | g，称 d 是 f, g 的公因式；公因式中次数最高者称最大公因式，约定取首一的那个，记 gcd(f, g)（「首一」是为了唯一：公因式差一个非零常数倍算同一个）。
怎么求？辗转相除——把 ℤ 里的辗转相除（欧几里得《原本》卷七）原样搬进 𝔽[x]：
f = q1g + r1 → g = q2r1 + r2 → r1 = q3r2 + r3 → ⋯
每一步余式次数严格下降，而次数是非负整数、降不到负——有限步内余式必为零，最后一个非零余式就是 gcd。「次数单调下降」在 𝔽[x] 中扮演的，正是「余数单调下降」在 ℤ 中的角色。
例 f = x3 − 1，g = x2 − 1：
x3 − 1 = x · (x2 − 1) + (x − 1)； x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) + 0
末个非零余式为 x − 1，故 gcd = x − 1（验证：x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)，x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) ✓）。
定理 6.4（Bézout 恒等式） 存在 u, v ∈ 𝔽[x] 使 uf + vg = gcd(f, g)。
证（骨架） 把辗转相除的每条余式从下往上回代：r1 = f − q1g，r2 = g − q2r1 = −q2f + (1 + q1q2)g……每个余式都是 f, g 的组合，末个非零余式当然也是。∎（与整数版的 Bézout 一字不差。）
比较两条腿走路：整数论里「余数下降」靠 0 ≤ r < |b|；多项式环里「次数下降」靠 deg r < deg g。把「大小」换成「次数」，整数的全部除法算术就能整体平移——这就是 6.17 将要提炼的「欧氏环」概念。
定义 6.5（互素） 若 gcd(f, g) = 1，称 f 与 g 互素。
定理 6.5（互素的刻划） f, g 互素 ⟺ 存在 u, v 使 uf + vg = 1。
例 f = x2 + 1 与 g = x2 − 1：一个根都没有公共的（±i 对 ±1），直觉互素；Bézout 给出证书
½ · (x2 + 1) + (−½) · (x2 − 1) = 1 ✓
互素的三条推论，条条是利器：
| 命题 | 内容 | 一句话理由 |
|---|---|---|
| ① 消去律 | (f, g) = 1 且 f | gh ⟹ f | h | uf + vg = 1 两边乘 h：ufh + vgh = h，左两项都被 f 整除 |
| ② Euclid 引理 | p 不可约，p | gh ⟹ p | g 或 p | h | 不可约的因式只有 1 与自身：(p, g) = 1 时用 ① |
| ③ 传递 | (f, g) = 1，(f, h) = 1 ⟹ (f, gh) = 1 | 两条 Bézout 证书相乘再整理 |
「不可约」与「互素」的分工要拎清：互素是两个多项式之间的关系（无公因式）；不可约是一个多项式内部的性质（不能分解）。Euclid 引理把它们焊在一起——正是这枚焊点，让「分解唯一」成为定理而非心愿。
定义 6.6（不可约） p ∈ 𝔽[x] 次数 ≥ 1，若它只能写成 1 级分解（自身 × 非零常数），称 p 不可约；否则可约。
不可约性依赖于舞台：x2 + 1 在 ℝ 上不可约，在 ℂ 上却等于 (x − i)(x + i)——同一个人，换一个域就「可约」了。所以谈不可约必须先声明系数域。
定理 6.7（因式分解唯一性） 𝔽[x] 中每个次数 ≥ 1 的多项式都能分解为首一不可约因式之积；且若不计因式次序，这种分解是唯一的：
f = c · p1e1 · p2e2 ⋯ pkek（pi 互不相同的首一不可约式，ei ≥ 1）
证（两步骨架） 存在性：对次数归纳——要么 f 已不可约，要么 f = gh 且两个真因式次数都更低，归纳拆到底。唯一性：两种分解对照，用 Euclid 引理（推论②）逐个把左边的 pi 灌进右边的某个 qj 里，次数相同又都首一，只能相等。∎
这就是多项式版的算术基本定理。ℤ 与 𝔽[x] 的平行表值得抄一遍：
| 概念 | ℤ（整数） | 𝔽[x]（多项式） |
|---|---|---|
| 基本砖块 | 素数 2, 3, 5, … | 不可约多项式 |
| 除法 | 带余除法，余数 < |b| | 带余除法，deg r < deg g |
| 求 gcd | 辗转相除 | 辗转相除（一模一样） |
| Bézout | uf + vg = gcd(f, g) | uf + vg = gcd(f, g) |
| 分解定理 | 算术基本定理 | 定理 6.7 |
| 唯一性引擎 | 素数不劈叉 | Euclid 引理 |
〔下册接口〕下册的特征值理论要把矩阵 A 的全部秘密锁进它的特征多项式；能锁定，靠的正是本章：特征多项式有唯一分解，每个不可约因子对应一类「若尔当块」。本章是下册军火库的第一批弹药。
分解式里可能出现同一个不可约因式多次：(x − 1)2(x + 2) 里的 (x − 1) 出现两次。怎么不分解就探出这种重复？工具是一个初等的对象——形式导数。
定义 6.7（形式导数） 对 f = anxn + ⋯ + a0，定义
f′ = n·anxn−1 + (n−1)·an−1xn−2 + ⋯ + a1
加减乘的求导规则（(f+g)′ = f′ + g′，(fg)′ = f′g + fg′）逐条验证成立。注意：这是纯代数定义，没有极限、没有切线——它只是「系数右移一位再降幂」的机械操作。
判别重因式的原理一句话：对 (x − a)k 求导，重数恰好掉一层（k ≥ 1 时 [(x − a)k]′ = k(x − a)k−1）。于是：
定理 6.8（重因式判别） 不可约式 p 是 f 的 k 重因式（k ≥ 1）⟹ p 是 f′ 的 k − 1 重因式。特别地：
f 无重因式 ⟺ gcd(f, f′) = 1
判断有无重因式因此不必分解：一次辗转相除（f 对 f′）即可。
例 f = x3 − 3x + 2：f′ = 3x2 − 3。辗转： x3 − 3x + 2 = (x/3)(3x2 − 3) + (−2x + 2)； 3x2 − 3 = (−3x/2 − 3/2)(−2x + 2) + 0。故 gcd = x − 1（首一），有重因式；真分解 f = (x − 1)2(x + 2) 印证：重因式正是 x − 1。
例（重数读数） f = x5 − 2x4 = x4(x − 2)：f′ = 5x4 − 8x3 = x3(5x − 8)，gcd(f, f′) = x3——x 在 f′ 中是 3 重，在 f 中便是 3 + 1 = 4 重 ✓（恰是定理 6.8 的读数规则）。
微积分的求导在分析里是「变化率」，在代数里是「重数探测仪」——同一个符号公式，两副面孔。这是 5.2「微积分与代数握手」的第二次握手：第一次是求导的线性，这一次是求导的降重数。
定义 6.8（根） a ∈ 𝔽 使 f(a) = 0，称 a 是 f 在 𝔽 中的根；若 (x − a)k | f 而 (x − a)k+1 ∤ f，称 a 为 k 重根。
定理 6.9（因式定理） a 是 f 的根 ⟺ (x − a) | f。
证 带余除法：f = q(x − a) + r，r 为常数。代 x = a：f(a) = r。f(a) = 0 ⟺ r = 0 ⟺ (x − a) | f。∎（6.4 埋的伏笔在此兑现。）
定理 6.10（根数上界） n 次多项式在 𝔽 中的根（计重数）至多 n 个。
证 每个根 ai 贡献一个一次因式 (x − ai)，次数加起来不能超过 n（定理 6.2 的次数账本）。∎
推论（插值唯一性）：次数 ≤ n 的多项式由 n + 1 个横坐标互异的点值唯一确定——若有两个都过这些点，其差有 n + 1 个根而次数 ≤ n，只能恒为零。第五章例 5 的求值同构 p ↦ (p(−1), p(0), p(1)) 之所以可逆，根子在此。
〔明线〕解方程的代数化 《九章》开方术面对的是「求出那个数」；因式定理把问题改写成「摘下全部一次因式」。从此解方程 = 分解多项式——方程论升格为多项式理论，这正是 6.10 起三节（复、实、有理系数）逐一展开的路线图。
根数上界（定理 6.10）还送一枚小心思：多项式相等的新判据——两个次数 ≤ n 的多项式只要在 n + 1 个互异点取值相同就恒等。第六章开头我们坚持「形式相等」（系数逐项相同），现在看到：在足够多的点上表现一致的形式，本来就同一个。形式与函数，在此和解。
把舞台换成最大的 ℂ，分解问题一步到位。
定理 6.11（代数基本定理） 任何 n ≥ 1 次复系数多项式在 ℂ 中至少有一个根。
推论（连摘因式）：摘掉一个一次因式，剩下的还是 n − 1 次复系数多项式，继续摘……于是 n 次复系数多项式在 ℂ 中恰有 n 个根（计重数），且复系数不可约多项式只有一次。复系数上的标准分解：
f = c · (x − a1)e1 ⋯ (x − ak)ek， e1 + ⋯ + ek = n
代数基本定理的第一个证明是高斯 1799 年的博士论文（此前达朗贝尔、欧拉、拉格朗日的尝试各有漏洞）；高斯一生前后给出四个证明，今天分析课上的「幅角原理」版本是第四个的直系后代。定理名字里的「代数」，其实是解析的胜利——纯代数无法自证：多项式的连续性与复平面的完备性都借自分析。
注意定理说的是「至少一个根」而不是「都能写出来」：五次方程 x5 − x − 1 = 0 的根存在且共五个，但没有根式公式（阿贝尔—伽罗瓦，下册回望）。存在性与可计算性是两回事——这条分界线是十九世纪代数学最大的觉悟之一。
实系数多项式的复根不散乱，而是成对共轭：
定理 6.12（共轭根定理） f ∈ ℝ[x]，若 a + bi（b ≠ 0）是根，则共轭 a − bi 也是根，且重数相同。
证（一行） 共轭是保运算的：加、减、乘各走一步取共轭都不越界，而系数全实、取共轭不动。于是对 f(a + bi) = 0 两边取共轭，得 f(a − bi) = 0。∎
成对出现的共轭根对应的因式相乘：
(x − a − bi)(x − a + bi) = (x − a)2 + b2 = x2 − 2ax + (a2 + b2)
这是实系数的二次式，判别式 4b2 < 0，在 ℝ 上不可约。于是实系数的标准分解只有两种砖：
定理 6.13（实不可约分类） ℝ 上的不可约多项式只有两类：一次式 x − a；判别式小于零的二次式 x2 + px + q（p2 − 4q < 0）。
例 x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)：实根只有 1；另外两根是 −½ ± (√3/2)i，恰成共轭对，合起来贡献实不可约二次 x2 + x + 1（判别式 −3 < 0）。三份账对齐：1 + 2 = 3 个根。
〔几何接口〕实数轴上看二次 实二次不可约 ⟺ 抛物线与横轴不相交（判别式 < 0）⟺ 它的两个根「藏在复数里」。下一册讲二次型时，「正定 ⟺ 没有实零点」用的正是这枚判据的推广——椭圆不穿原点，双曲线穿。代数的判别式与几何的相交，一条线索。
有理系数的分数让计算蓬头垢面。一个老办法：通分提出公分母，把分数洗成整数。
定义 6.9（本原多项式） 整系数多项式的系数（全取）最大公约数称容量；容量为 1 的称本原多项式。如 6x2 − 5x + 1 本原（容量 1），4x2 − 4x + 1……也本原；而 6x2 − 6 容量 6，非本原。
任何非零有理系数多项式都能写成「正有理数 × 本原多项式」：f = c · f0（c 提公因子，f0 本原）。于是 ℚ[x] 的分解问题完全化归为 ℤ[x] 的分解问题——只需一条桥：
定理 6.14（高斯引理） 两个本原多项式之积仍本原。
证（骨架） 反证：若积 fg 的全部系数被素数 p 整除，取最小下标 i 使 p ∤ ai（f 的系数）、最小下标 j 使 p ∤ bj（g 的系数）——两者必存在（f, g 本原）。积的 (i + j) 次系数是 aibj 加上一堆「至少一方被 p 整除」的交叉项，于是 p | aibj——但 p 是素数且 p ∤ ai, p ∤ bj，矛盾（整数版 Euclid 引理）。∎
例（引理现场） (2x + 3)(3x − 2) = 6x2 + 5x − 6：两个因子本原，积的容量 gcd(6, 5, 6) = 1 ✓。反例面：(2x + 2)(3x − 3) = 6x2 − 6，因子不本原，积果然不本原——引理的「本原」前提用在了刀刃上。
定理 6.15（ℚ 分解可整化） 有理系数多项式在 ℚ 上可约 ⟺ 提常数后对应的本原多项式在 ℤ 上可约（分解成两个低次整系数多项式）。
从此谈有理系数分解，眼睛只看整数：分数只是噪音，结构在整数里。例 9 给一次完整的洗牌演示。
这条化归路数在数学里反复出现：把带分数的世界（ℚ）压回整数世界（ℤ）做结构分析，再把结论翻译回去。换一个更「整」的代表元系，而不改变对象本身——四个月前是「每个有理数有唯一既约分数」，今天是「每个有理系数多项式有唯一本原代表」，将来是模空间的「规范化」。同一门手艺。
有没有一键判定「不可约」的试金石？有——条件全在系数的整除性上。
定理 6.16（Eisenstein 判别法） 整系数多项式
f(x) = anxn + ⋯ + a1x + a0
若存在素数 p 满足：① p ∤ an（首项幸免）；② p | ai（其余系数全被整除，i < n）；③ p2 ∤ a0（常数项只被整除一次）——则 f 在 ℚ 上不可约。
证（思路） 反设分解 f = gh。条件②③在「模 p」的世界里把 f 压成 anxn，于是 g, h 模 p 都只能是常数 × 幂次；数一常数项的 p 配额：g, h 的常数项各含一个 p，则 p2 | a0，与条件③矛盾。∎
例 x5 − 2：取 p = 2。① 2 ∤ 1 ✓；② 中间系数全 0、常数 −2 皆被 2 整除 ✓；③ 4 ∤ −2 ✓。不可约——顺带得出 5√2 是无理数。
例（平移技巧） x4 + 1 直接看不出，平移一下：(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2，取 p = 2：三条全部通过 ⟹ (x + 1)4 + 1 不可约 ⟹ x4 + 1 不可约（若它能分解，平移后也能）。换原点，换视野——这是本题最优雅的一招。
〔明线〕素性检验的算筹回声 Eisenstein 判别法的三条全在问「能不能被 p 整除」——与《九章》「约分术」里求最大公约数的可除性检查一脉相承。整除性是算术的听诊器，从自然数、整数一路听到多项式，都好用：因为 ℤ 与 𝔽[x] 是同一座环（6.17 正式盖章）。
定理 6.17（有理根定理） 整系数 f(x) = anxn + ⋯ + a0。若既约分数 p/q 是根（p, q 整数，gcd(p, q) = 1，q > 0），则
p | a0， q | an
证（两行） 代 x = p/q 乘以 qn：anpn + an−1pn−1q + ⋯ + a1pqn−1 + a0qn = 0。除首项外每项含 q ⟹ q | anpn，而 gcd(p, q) = 1 ⟹ q | an；对称地看末项得 p | a0。∎
用场：候选根只有有限个——分子候选是 a0 的因子，分母候选是 an 的因子，全部列出来逐个代值。
例 f = 2x3 − x2 − 1：a0 = −1 的因子 ±1，a3 = 2 的因子 1, 2，候选 ±1, ±½。代值：f(1) = 0 ✓（中签），f(−1) = −4，f(±½) ≠ 0。摘因式：f = (x − 1)(2x2 + x + 1)；剩下的二次判别式 −7 < 0，在 ℚ、ℝ 上都不再可约——分解收官。
〔方法论〕两把尺子的分工 有理根定理只管一次因式（线性探针），探不出的不代表不可约——x4 + 4 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2) 可约却无有理根。整块「不可约」的判定要靠 Eisenstein（6.13）。局部探针与整体判据配合使用，是处理不可约性的标准姿势。
一个未知数不够用了：x2 + 2xy + y2 有两个元，x1 + x2 + x3 有三个。多元多项式的定义与一元平行：单项式的和，单项式 = 系数 × 字母的幂积（如 5x12x3）。没有单一的「次数」，但有每个单项式的全次数（各字母指数之和）与整体的排序问题——通常用字典序：先比 x1 的指数，再比 x2……像查词典。
定义 6.10（对称多项式） n 元多项式 f 若对字母的任何置换不变（x1 ↔ x2 等任意对调后逐项不变），称对称多项式。
x1 + x2 + x3、x1x2 + x2x3 + x3x1、x12x2 + x1x22 + ⋯ 都对称；x12 + 2x2 不对称（对调 x1, x2 就变了）。对称多项式的构造原料取最精简的一组：
定义 6.11（初等对称多项式） 对 n 个字母 x1, …, xn：
σ1 = x1 + ⋯ + xn（全部一元之和）
σ2 = x1x2 + x1x3 + ⋯ + xn−1xn（全部二元之积的和）
……
σn = x1x2⋯xn（全部之积）
以 n = 3 为例：σ1 = x1 + x2 + x3，σ2 = x1x2 + x2x3 + x3x1，σ3 = x1x2x3。它们自己当然对称；惊人之处在于反过来，任何对称多项式都能由它们组装（6.16）。
〔明线〕对称是方程的内置档案 把 f(x) = an(x − r1)⋯(x − rn) 展开、比较系数，会看到 r1 + ⋯ + rn = −an−1/an，r1r2 + ⋯ = an−2/an……（韦达定理，6.16 推论）。根的全部对称信息，恰恰就是 σ1, …, σn——方程不看个别的根，只看它们的对称统计。这一视角是伽罗瓦理论的起点之一。
定理 6.18（对称多项式基本定理） 任何 n 元对称多项式 f 都能唯一地表示为初等对称多项式的多项式：
f = g(σ1, σ2, …, σn)， g ∈ 𝔽[y1, …, yn] 唯一
存在性的算法：按字典序取 f 的首项，用最靠前的 σ 去消它，循环。唯一性靠「σ 的不同单项式首项互不相同」。φ(x) = an(x−r1)⋯(x−rn) 的展开正是此定理的登场舞台：根的对称函数全部落在 σ 的语言里。
例（平方和） x12 + x22 + x32 对称。配方：(x1 + x2 + x3)2 = x12 + x22 + x32 + 2(x1x2 + x2x3 + x3x1)，移项：
x12 + x22 + x32 = σ12 − 2σ2
代 (1, 2, 3) 验算：1 + 4 + 9 = 14，而 σ12 − 2σ2 = 36 − 22 = 14 ✓。
推论 6.19（韦达定理） f(x) = anxn + ⋯ + a0 = an(x − r1)⋯(x − rn) 时：
σ1(r) = −an−1/an， σ2(r) = an−2/an， σ3(r) = −an−3/an， …， σn(r) = (−1)n a0/an
符号一正一负交替——展开时每个根贡献一个 (−r) 的痕迹。
〔下册接口〕特征值的预习 下册将定义 A 的特征多项式 det(xI − A)，其根是特征值。韦达定理立刻给出：特征值之和 = 迹，特征值之积 = 行列式。本章的对称多项式是那两句漂亮公式的出生证明。
本章一直在做「整数算术的平移」——现在给这种平行关系一个名字。先收网：把「由 f 生成的全部倍式」钉成一个对象。
定义 6.12（理想与主理想） R 是交换环。子集 I ⊆ R 称理想，若它对加减封闭、且任取 r ∈ R, i ∈ I 有 ri ∈ I（被全环「吸」着乘）。由单个元素生成 (f) = {fg : g ∈ R} 称主理想。
例 𝔽[x] 中 (x) = 一切被 x 整除的多项式 = 常数项为零的那些（f(0) = 0 的判据）。(x2 + 1, x − 1)（两条生成的理想）其实等于 (1) = 𝔽[x] 整个环——因为 x2 + 1 = (x + 1)(x − 1) + 2，辗转一步 gcd = 1：两条生成的理想，也能是一条生成的。
定理 6.20（升网） 带余除法 ⟹ 𝔽[x] 的每个理想都是主理想（主理想环）：取理想中次数最小的成员 d，对任一 f ∈ I 作带余除法 f = qd + r，则 r = f − qd ∈ I 且次数更低——只能 r = 0，故 I = (d)。∎
「次数」在 𝔽[x] 里提供的这套下降机制（除法→辗转→Bézout→主理想→分解唯一），与「绝对值」在 ℤ 里提供的完全同构。把「次数/绝对值」抽象成一把公用的尺（欧氏函数），就得到一张层级网：
〔现代性〕公理化收网 本章前十六节看似在算题，实则每节都在给「环」这座抽象建筑添砖：6.3 环、6.4 除法尺、6.5 碾转、6.7 唯一分解、6.17 理想。具体计算是脚手架，抽象结构是建筑本体——诺特与戴德金正是这样把数论升华为环论与理想论的（札记②）。
最后一件大事：造新的数域。工具是「模 f 同余」——多项式版的钟表算术。
定义 6.13（模 f 同余） f, g 除以 m 余式相同（f − g ∈ (m)），称 f ≡ g (mod m)。每个同余类恰有唯一代表：次数 < deg m 的余式。余式的四则就是商环 𝔽[x]/(m) 的四则——乘开后凡遇 m 就换成 0。
例（复数是造出来的） ℝ[x]/(x2 + 1)：代表元形如 a + bx；乘法遇 x2 就用 x2 ≡ −1 替换：
(3 + 2x)(1 − 5x) = 3 − 13x − 10x2 ≡ 13 − 13x (mod x2 + 1)
对照复数：(3 + 2i)(1 − 5i) = 13 − 13i ✓。把 x 改名叫 i，它就是复数——ℂ 不是天上掉下来的，是 ℝ[x] 模掉 x2 + 1 造出来的。
定理 6.21（商环造域） 𝔽[x]/(p) 是域 ⟺ p 不可约。
证（思路） 非零代表元 g（次数低于 p、非零）与不可约的 p 必互素，Bézout 给出 ug + vp = 1，在商环里就是 u·g = 1——每个非零元有逆。∎（不可约性的全部用场在兑现倒数。）
例（四元域） 𝔽2[x]/(x2 + x + 1)（系数只有 0, 1）：x2 + x + 1 在 𝔽2 上无根（0, 1 代入均非零）⟹ 二次不可约 ⟹ 得四元域 {0, 1, x, x + 1}。算一张乘法：x(x + 1) = x2 + x ≡ 1（模 x2 + x + 1，且模 2 下 −1 = 1）——x 的倒数就是 x + 1。
〔上册收官〕六份收成，一条明线 从《九章》布式出发：消元解方程（第一章）→ 矩阵（第二章）→ 行列式（第三章）→ 线性空间（第四章）→ 线性映射（第五章）→ 本章把「数」本身也要了个说法：数域是运算的舞台，多项式是环，商环造新域。「方程问题」至此彻底升格为「结构问题」——下册相邻领域将在结构的地基上盖楼：特征值、相似标准形、二次型、欧氏空间。
例 1 判断下列集合是否数域：① ℚ(√2) = {a + b√2 : a, b ∈ ℚ}；② {a + b∛2 : a, b ∈ ℚ}。
解 ① 四则逐项过：加、减显然封闭；乘法
(a + b√2)(c + d√2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)√2
系数仍是（有理数的）四则，封闭 ✓。倒数：a + b√2 ≠ 0 时（a, b 不全为零，且 √2 无理保证 a2 − 2b2 ≠ 0），
(a + b√2)−1 = (a − b√2) / (a2 − 2b2)
分子分母都合法（分母非零、分子形状相同）✓。是数域。验一个：1/(2 + √2) = (2 − √2)/2，代回乘开等于 1 ✓。
② 乘法就翻车：(1 + ∛2)2 = 1 + 2∛2 + ∛4——多出 ∛4 = (∛2)2 这一层，而集合里只有 ∛2 的一次项。由于 1, ∛2, ∛4 在有理数上线性无关（否则 ∛2 是二次根，矛盾），∛4 写不成 a + b∛2。连乘法都不封闭，不是数域。
方法论 数域判定三步：先查 0, 1 与加减（通常显然），再拿两个一般元素做乘法（最易露馅），最后专项攻倒数。例②的病根：添一块「砖」时，它的幂次也跟着进来了——想添 ∛2 就得连 ∛4 一起添（ℚ(∛2) 的真身是三维的 {a + b∛2 + c∛4}，那才是域）。这是 6.18 商环观点的预告。
例 2 求 f = x4 − 2x3 + 3x2 − x + 1 除以 g = x2 − x + 1 的商与余式。
解 首项配对逐层消：
第一轮：x4 ÷ x2 = x2，x2 · g = x4 − x3 + x2，扣除后余 −x3 + 2x2 − x + 1；
第二轮：−x3 ÷ x2 = −x，(−x) · g = −x3 + x2 − x，扣除后余 x2 + 1；
第三轮：x2 ÷ x2 = 1，1 · g = x2 − x + 1，扣除后余 x。
余式次数 1 < 2，收工：
f = (x2 − x + 1) · g + x， 商 q = x2 − x + 1，余 r = x
有趣的结构：q = g 自己！即 f = g2 + x——验算：(x2 − x + 1)2 + x = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 + x = x4 − 2x3 + 3x2 − x + 1 ✓。
方法论 带余除法三条纪律：①每轮只用首项配对（别拿整式去乘）；②扣除时全式变号；③终止条件是「次数低于除式」而不是「余式为 0」。全程保持降序书写（缺次补 0），是竖式不出错的保险丝。
例 3 求 gcd(x3 − 1, x2 − 1)，并写出 Bézout 证书。
解 辗转两步（6.5 已算）：x3 − 1 = x(x2 − 1) + (x − 1)，x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) + 0。末个非零余式 x − 1 首一，故 gcd = x − 1。
回代写证书：x − 1 = (x3 − 1) − x(x2 − 1)，即
1 · (x3 − 1) + (−x) · (x2 − 1) = x − 1
验算：x3 − 1 − x3 + x = x − 1 ✓。分解视角复核：x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)，x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)，公共部分恰 x − 1（注意 x2 + x + 1 与 x + 1 无公共因式）✓。
方法论 ①gcd 约定首一：辗转出的余式差个非零常数倍时，除一下配成首一；②Bézout 证书从最后一条余式倒着回代，辗转几步就回代几步——这也是判互素最快通道：证书凑出常数 1 即互素（例 4 立刻用）。
例 4 ① 证明 x2 + 1 与 x2 − 1 互素并给证书；② 已知 (f, g) = 1 且 f | g2h，证明 f | h。
解 ① 根的世界对账：x2 + 1 的根 ±i，x2 − 1 的根 ±1，无交集（两个二次若有公共因式必是一次公共因式、即公共根）。证书现场凑：
½(x2 + 1) − ½(x2 − 1) = ½ · 2 = 1 ✓
② 互素证书：uf + vg = 1。两边乘 h：ufh + vgh = h。第一项被 f 整除（显含 f）；第二项里 f | g2h，更被 f 整除。两项之和 h 被 f 整除。∎
注意②就是消去律（6.6 推论①）的直接应用：互素 = 拿到一张「f 的倍数性质可以穿透 g 的阻挡」的通行证。它正是分解唯一性里「不可约因式不劈叉」的动力源。
证书思维值得驻足：「互素」是个存在性命题（找不到公共因式），但 Bézout 把它兑换成一张看得见摸得着的证书 uf + vg = 1。证明②时根本没碰 gcd 本身，全靠证书代数变形——把性质兑换成等式，等式比性质好算。数学证明的高招大抵如此。
例 5 在 ℚ、ℝ、ℂ 上分解 ① x4 − 1；② x4 + 4。
解 ① 两次平方差：
x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)（ℚ、ℝ 上相同）
ℂ 上再裂一层：x2 + 1 = (x − i)(x + i)，共四个一次因式，四根 ±1, ±i。
② 直接配方（索菲·热尔曼恒等式）：添 4x2 再减去：
x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
ℚ、ℝ 上到此为止（两个二次判别式都是 4 − 8 = −4 < 0）；ℂ 上再裂成 (x − 1 − i)(x − 1 + i)(x + 1 − i)(x + 1 + i)——四个根是 1 ± i, −1 ± i，恰成两对共轭（定理 6.12 的现场演示）。
方法论 分解问题先问舞台：同一个多项式在不同域上的「最难拆层」不同——ℚ/ℝ 看判别式，ℂ 上必拆到底（代数基本定理）。平方差、添项配方是低次分解的两把常备小刀；更高次则交给 Eisenstein 与有理根定理（例 7、例 8）。
例 6 ① f = x3 − 3x + 2 有无重因式？有的话求出来。② g = x5 − 2x4 中 x 的重数是多少？
解 ① f′ = 3x2 − 3。辗转（6.8 已列）：f = (x/3)f′ + (−2x + 2)，f′ = (−3x/2 − 3/2)(−2x + 2) + 0。末个非零余式 −2x + 2 = −2(x − 1)，首一化得 gcd(f, f′) = x − 1 ≠ 1——有重因式，且就是 x − 1。真分解：f = (x − 1)2(x + 2)（展开：x3 − 2x2 − x + 2？——展开 (x−1)2(x+2) = (x2 − 2x + 1)(x + 2) = x3 + 2x2 − 2x2 − 4x + x + 2 = x3 − 3x + 2 ✓）。x − 1 二重、x + 2 单重。
② g = x4(x − 2)，g′ = 5x4 − 8x3 = x3(5x − 8)。gcd(g, g′) = x3——x 在 g′ 中 3 重，在 g 中就是 3 + 1 = 4 重 ✓（与直接观察一致）。
方法论 重因式探测两步走：求 f′，再求 gcd(f, f′)。gcd 的每个不可约因子都是重因式；它在 gcd 里的重数 = 在 f 里的重数 − 1。全程不需要分解 f——这正是「结构先于计算」的一例：用一次辗转相除换掉一整套试根工作。
例 7 在 ℚ 上分解 f = 2x3 − x2 − 1。
解 候选根（有理根定理）：分子取 a0 = −1 的因子 ±1；分母取 a3 = 2 的因子 1, 2。候选 ±1, ±½。代值：
f(1) = 2 − 1 − 1 = 0 ✓； f(−1) = −2 − 1 − 1 = −4； f(½) = ¼ − ¼ − 1 = −1； f(−½) = −¼ − ¼ − 1 = −3/2
只有 1 中签。摘一次因式：综合除法（系数 2, −1, 0, −1 逐层带 1 下来）得商 2x2 + x + 1，即 f = (x − 1)(2x2 + x + 1)。剩余二次判别式 1 − 8 = −7 < 0：在 ℚ、ℝ 上均不可约。分解收官（ℂ 上它再裂成 2(x − ω)(x − ω̄)，ω = (−1 ± i√7)/4）。
方法论 有理域分解流程：①有理根定理列候选（有限个）；②代值筛根；③综合除法摘因式；④剩余部分查 Eisenstein 或判别式定夺。注意流程的边界：三次多项式若无有理根则直接不可约（三次若可约必含一次因式）；四次及以上「无根」不等于「不可约」——例 5 ② 的 x4 + 4 是现成的反例。
例 8 证明 x5 − 2 与 x4 + 1 都在 ℚ 上不可约。
解 ① x5 − 2：取 p = 2。①式 2 ∤ 1 ✓；②式其余系数（全为 0，除常数 −2）皆被 2 整除 ✓；③式 4 ∤ −2 ✓。三关全部通过，不可约。附赠品：若 5√2 = p/q（既约），则 x5 − 2 有有理根，与不可约矛盾——5√2 是无理数。
② x4 + 1：系数 (1, 0, 0, 0, 1) 对任何素数都过不了②式（中间系数 0 虽被整除，首项与常数都是 1，②③总有一条不满足）。平移换视野：
(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2
（(x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1，加 1 得上式。）取 p = 2：① 2 ∤ 1 ✓；② 2 | 4, 6, 4, 2 ✓；③ 4 ∤ 2 ✓。平移后的式子不可约。若 x4 + 1 = g(x)h(x) 是真分解，代入 x ↦ x + 1 得 (x + 1)4 + 1 = g(x + 1)h(x + 1) 也是真分解（次数都没变）——矛盾。故 x4 + 1 不可约。
方法论 Eisenstein 失灵时的两手：①换素数多试几个；②平移 x ↦ x + 1（或 x + c）再试——不可约性在平移下不变，而系数整除面貌焕然一新。②是高次不可约证明的常用暗门，例 12 还有一版不用判别法的对照系数证明可对照。
例 9 ① 求 6x2 − 5x + 1 的容量并在 ℚ 上分解；② 叙述并用例证演示高斯引理的「本原前提」用在哪里。
解 ① 系数 6, −5, 1 的最大公约数为 1，容量 1，已是本原。分解（有理根候选 ±1, ±½, ±⅓, ±⅙）：试 ½：6·¼ − 5/2 + 1 = 3/2 − 5/2 + 1 = 0 ✓；试 ⅓：6/9 − 5/3 + 1 = 2/3 − 5/3 + 1 = 0 ✓。两根齐：
6x2 − 5x + 1 = (2x − 1)(3x − 1)（展开：6x2 − 2x − 3x + 1 = 6x2 − 5x + 1 ✓）
注意两个因子都本原（容量各 1）——有理分解在 ℤ 上就能完成，一分钱分数不用借。
② 高斯引理说本原 × 本原 = 本原。正面例：(2x + 3)(3x − 2) = 6x2 + 5x − 6，容量 gcd(6, 5, 6) = 1 ✓。反面例（前提不满足）：(2x + 2)(3x − 3) = 6x2 − 6——因子容量 2 与 3，积果然不本原（容量 6）。引理失效的原因恰好被前提拦住：非本原因子各揣一块素数「私货」，相乘时私货合流；本原因子身无分文，积自然干净。证明里的关键一步正是素数 p 对 aibj 的 Euclid 引理。
〔明线〕约分术的环论版 《九章》约分术「可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损」——求最大公约数、化为既约。本原化就是多项式版的「既约」：提出容量、留下本原代表。两千年前约分数，今天约多项式，同一把更相减损的刀。
例 10 把下列对称多项式表成 σ1, σ2, σ3 的多项式（n = 3），并代 (x1, x2, x3) = (1, 2, 3) 验算：
① x12 + x22 + x32； ② x12x2 + x12x3 + x22x1 + x22x3 + x32x1 + x32x2。
解 ① 配方：σ12 = (x1 + x2 + x3)2 = (x12 + x22 + x32) + 2σ2，故
x12 + x22 + x32 = σ12 − 2σ2 验算：14 = 36 − 22 ✓
② 先看 σ1σ2 = (x1 + x2 + x3)(x1x2 + x2x3 + x3x1)：展开后除了目标 ② 的六项，还混进三次齐次项 3x1x2x3 = 3σ3。故
②式 = σ1σ2 − 3σ3 验算：左边 = 5 + 16 + 27 = 48，右边 = 6 × 11 − 18 = 48 ✓
（六项分别是 12·2 + 12·3 + 22·1 + 22·3 + 32·1 + 32·2 = 2 + 3 + 4 + 12 + 9 + 18 = 48。）
方法论 「表为 σ」的配方诀窍：σ 的乘积展开时，比目标多出的项数往往很小——多出的部分本身又是对称的（所以还能用 σ 表出），逐层减掉即可。这也解释了基本定理为何成立：字典序首项一层层被 σ 消去，次数严格下降。下册的「迹 = 特征值之和、行列式 = 特征值之积」就是 σ1 与 σn 的矩阵化装登场。
例 11 在 ℝ[x]/(x2 + 1) 中计算 ① (3 + 2x)(1 − 5x)；② (1 + x)(1 − x)；③ 解方程 (a + bx)2 ≡ −1。
解 代表元约定：次数 < 2，即形如 a + bx；替换规则 x2 ≡ −1。
① (3 + 2x)(1 − 5x) = 3 − 15x + 2x − 10x2 = 3 − 13x − 10x2 ≡ 3 − 13x + 10 = 13 − 13x。对照复数：(3 + 2i)(1 − 5i) = 13 − 13i ✓（x 就是 i）。
② (1 + x)(1 − x) = 1 − x2 ≡ 1 − (−1) = 2——两个「共轭元」相乘得实数，与 (1 + i)(1 − i) = 2 一致 ✓。
③ 展开：a2 + 2abx + b2x2 ≡ (a2 − b2) + 2ab·x ≡ −1。比较系数：2ab = 0 且 a2 − b2 = −1。a = 0 给 −b2 = −1，b = ±1，即 ±x（b = 0 给 a2 = −1，在 ℝ 中无解）。±x 就是商环里 −1 的平方根——正如 ±i。
方法论 商环计算三板斧：①乘开；②凡遇 m 的倍数清零（这里是 x2 ↦ −1）；③化回低次代表元。判方程则比较系数——因为代表元唯一。所有运算都和复数同构地走：ℂ 的代数的全部规则，被 x2 ≡ −1 这一条替换规则完整复刻。
例 12 用两种方法证明 x4 + 1 在 ℚ 上不可约。
解 法一（Eisenstein + 平移，例 8 已给）：(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2，p = 2 三关全部通过；平移不变性传递回 x4 + 1。
法二（对照系数，零工具）：反设 x4 + 1 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)（b, d 非零整数，因 bd = 1）。展开比系数：
a + c = 0； ac + b + d = 0； ad + bc = 0； bd = 1
由第一式 c = −a，代入第三式：a(d − b) = 0。分两支：支 a = 0：第二式给 b + d = 0 与 bd = 1 联立，得 b2 = −1——整数无解。支 b = d：bd = 1 给 b = d = 1 或 b = d = −1；第二式给 −a2 + 2b = 0，即 a2 = 2b：b = 1 时 a2 = 2 非完全平方，b = −1 时 a2 = −2——均无整数解。两支全灭，反设不成立。∎
方法论 对照系数法是「唯一分解」的逆用：假分解就是给系数列方程组，整数约束（bd = 1 只能 ±1）把解空间挤死。两法比较：Eisenstein 三行解决但需要「灵光」（想到平移）；对照系数机械但只对低次现实。工具是省力杠杆，硬算是不坏底盘——两条腿的证明比一条腿结实，也各有教育价值。
1. 判断 ℚ(√3) = {a + b√3 : a, b ∈ ℚ} 是否数域。
答：是。乘法 (a + b√3)(c + d√3) = (ac + 3bd) + (ad + bc)√3 封闭；倒数 (a + b√3)−1 = (a − b√3)/(a2 − 3b2)（a2 − 3b2 ≠ 0，否则 √3 = a/b 有理，矛盾）。与例 1 ① 同模。
2. 用一句话说明 ℤ 不是数域。
答：1 ÷ 2 ∉ ℤ——除法门槛不过。注意 ℤ 对加减乘都封闭（它是好端端的环），缺的只是倒数。
3. 在 ℚ(√2) 中求 (3 + √2)−1。
答：分子分母同乘共轭：1/(3 + √2) = (3 − √2)/((3)2 − 2) = (3 − √2)/7。验算：(3 + √2)(3 − √2) = 9 − 2 = 7，乘回得 1 ✓。
4. 证明：任何数域都包含 ℚ（重证定理 6.1，不看讲义）。
答：数域含 0, 1；1 + 1 = 2，累加得全部正整数，取负得全部整数；再由除法封闭，m/n（n ≠ 0）全部入场——ℚ 被迫收编。∎（「最小数域」是地基，6.18 的一切扩建都从它出发。）
1. 求 x3 + x + 1 除以 x + 1 的余式（先猜后算）。
答：余式定理先行：f(−1) = −1 − 1 + 1 = −1，余式是常数 −1。竖式复核：商 x2 − x + 2，(x + 1)(x2 − x + 2) − 1 = x3 + x + 1 ✓。
2. 求 2x4 − x2 + 1 除以 x2 + 1 的商与余式。
答：商 2x2 − 3，余 4。验算：(x2 + 1)(2x2 − 3) + 4 = 2x4 − 3x2 + 2x2 − 3 + 4 = 2x4 − x2 + 1 ✓。技巧：视 x2 = t 做替代除法 2t2 − t + 1 ÷ (t + 1)：商 2t − 3 余 4，再回填 t = x2。
3. k 取何值时，x3 − 3x + k 有因式 x − 2？
答：有因式 x − 2 ⟺ f(2) = 0 ⟺ 8 − 6 + k = 0，k = −2。此时 x3 − 3x − 2 = (x − 2)(x + 1)2（验证：(x − 2)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2x2 + x − 2x2 − 4x − 2 = x3 − 3x − 2 ✓）。
4. 能否找到整数 m, n 使 x4 + 1 = (x2 + mx + 1)(x2 + nx + 1)？
答：展开对照：x4 + (m + n)x3 + (mn + 2)x2 + (m + n)x + 1，需 m + n = 0 且 mn + 2 = 0；代入 n = −m 得 −m2 + 2 = 0，m2 = 2 无整数解。这条路堵死，正是例 12 不可约性的「对称分解」剖面——对称的形状限定了试凑空间。
1. 求 gcd(x2 − 4, x3 + 8)。
答：分解对账：x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)，x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)（立方和），公共部分 x + 2。gcd = x + 2。辗转复核同样结论（一步出 x + 2，再除余零）。
2. 判断 x2 + 1 与 x3 + 1 是否互素。
答：互素。x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1)，两个因式与 x2 + 1 都无公共根（±i 不等于 −1，也不是三次单位根 −½ ± (√3/2)i）。辗转亦可：余式链条一步见 1。
3. 判断 x2 + 1 与 x3 + x 是否互素。
答：不互素——x3 + x = x(x2 + 1)，本身就是倍式，gcd = x2 + 1。警惕「看脸互素」：因式测试前先查倍式关系。
4. 设 f | x 且 f | x + 1，证明 f 是非零常数。
答：f 整除两者的差：f | (x + 1) − x = 1。整除常数 1 的多项式只有非零常数。∎（差消手法——与整数里「公因子整除差」完全同款。）
1. 在 ℚ 上分解 x6 − 1。
答：x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1) = (x − 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 − x + 1)。四个因子两两互素，低次者全不可约（一次天然；两个二次判别式 −3 < 0）。分解到站。
2. 上题在 ℝ 上的分解与此相同吗？
答：相同——ℝ 上不可约的砖块仍只有一次与判别式负的二次，四个因子原样过河。换 ℂ 才再裂：x2 + x + 1 裂成 (x − ζ)(x − ζ2)（ζ 为三次单位根），x2 − x + 1 裂成 (x − ζ4)(x − ζ5)——六根是正六边形顶点。
3. 在 ℚ 上分解 x4 + 4。
答：索菲·热尔曼：x4 + 4 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2)（判别式均 −4，在 ℝ 上也不可再拆）。无实根却可约——四次的「无根 ⟹ 不可约」是幻觉，二次砖块在捣乱。
4. 用两个途径处理 x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1。
答：途径一（有理根筛）：候选 −1 中签，摘出 (x + 1) 得 x3 + x2 + x + 1，再摘 (x + 1) 得 x2 + 1：= (x + 1)2(x2 + 1)。途径二（配对）：原式 = (x4 + x3) + (x3 + x2) + (x2 + x) + (x + 1) = (x + 1)(x3 + x2 + x + 1)。殊途同归，后者更见结构。
1. 求 (2x − 1)(x − 1)(x + 3) = 2x3 + 3x2 − 8x + 3 的三根之和、两两积之和与三根之积。
答：根是 ½, 1, −3。σ1 = −3/2，σ2 = −4，σ3 = −3/2。韦达核对（首一版 x3 + (3/2)x2 − 4x + 3/2）：σ1 = −3/2 ✓，σ2 = −4 ✓，σ3 = −3/2 ✓。
2. 已知 x2 − 2x + 5 = 0 的一根为 1 + 2i，不解方程求另一根。
答：实系数 ⟹ 共轭根成对（定理 6.12），另一根 1 − 2i。顺手验收韦达：和 = 2 = −(−2)/1 ✓，积 = 1 + 4 = 5 ✓。
3. 求以 1, 2, 3 为根的首一三次方程。
答：(x − 1)(x − 2)(x − 3)。韦达正着走：σ1 = 6、σ2 = 11、σ3 = 6，符号交替得 x3 − 6x2 + 11x − 6。展开验证一致 ✓。
4. 写出 2x3 − 3x2 + 4x − 1 的三根之 σ1, σ2, σ3（不必求根）。
答：韦达读数：σ1 = −(−3)/2 = 3/2，σ2 = 4/2 = 2，σ3 = −(−1)/2 = 1/2。系数 → 根的对称统计，单向直达；个别根求不出（本例无有理根），统计照样交付——这正是 6.15「对称档案」的用武之地。
1. 在 ℚ 上分解 x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1。
答：(x + 1)2(x2 + 1)（习题课四第 4 题的成品）。再核判别式：x2 + 1 判别式 −4，ℚ/ℝ 上不可约，分解到站。
2. 证明 x3 + x2 + x + 1 在 ℚ 上的分解只有一种。
答：x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)(x2 + 1)（分组提取）。唯一性来自定理 6.7：任何分解对照这组砖，Euclid 引理逐个对号，只能重排不能换人。
3. 证明 x3 − 3x + 1 在 ℚ 上不可约。
答：三次多项式若可约必含一次因式、即有有理根。候选 ±1：f(1) = −1，f(−1) = 3，都不是零——无有理根，三次即不可约。∎（注意用足「三次」这个次数条件；四次就不行了。）
4. 在 ℚ 上分解 x4 + x3 + 2x2 + x + 1。
答：(x2 + 1)(x2 + x + 1)（展开：x4 + x3 + x2 + x2 + x + 1 ✓）。两个二次判别式 −4, −3 皆负——ℚ 与 ℝ 上的终分解。此题无一次因式（候选 ±1 均非根），对照系数或凑对可破。
1. 把 x1x2 + x2x3 + x3x1 表为初等对称多项式。
答：它本身就是 σ2（n = 3 的定义）。基本定理的平凡特例——但「认出平凡」也是功力。
2. （两个字母）把 x13 + x23 表为 σ 的多项式，并代 (2, 3) 验算。
答：x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) = σ13 − 3σ1σ2。验算：8 + 27 = 35，53 − 3·5·6 = 125 − 90 = 35 ✓。
3. 把 x12x2 + x12x3 + x22x1 + x22x3 + x32x1 + x32x2 表为 σ（例 10 ② 的回收）。
答：σ1σ2 − 3σ3。验算 (1,2,3)：48 = 66 − 18 ✓。
4. x2 − 5x + 6 = 0 的两根为 r, s，不解方程求 r2 + s2。
答：r + s = 5，rs = 6，故 r2 + s2 = (r + s)2 − 2rs = 25 − 12 = 13。（根是 2 与 3，4 + 9 = 13 ✓。）韦达桥上只走对称统计，个别根免下桥。
1. 证明 𝔽[x] 中 (x) = {f : f(0) = 0}。
答：f ∈ (x) 即 f = xg，代 0 得 f(0) = 0；反之 f(0) = 0 时常数项为零，剩下的每项都带 x，提出公因子 x。∎（理想是一张「被 x 整除」的名单。）
2. 求 (x, x2)（由两条生成）。
答：(x, x2) = (x)——x2 本是 x 的倍式，第二条生成元是冗员。一般规律：生成的理想 = 由生成元的 gcd 生成的主理想（本章主线索的理想版）。
3. 证明 (x2 + 1, x − 1) = 𝔽[x]（char 𝔽 ≠ 2）。
答：x2 + 1 − (x + 1)(x − 1) = 2，故 2 ∈ (x2 + 1, x − 1)；char ≠ 2 时 2 有倒数，1 = ½ · 2 也在理想里，而含 1 的理想是全环。∎（Bézout 的理想语言版：gcd = 1 ⟺ 理想 = 全环。）
4. （选做，给结论）证明 ℤ[x] 的理想 (2, x) 不是主理想。
答：反设 (2, x) = (d)：d | 2 限定 d 是常数 ±1, ±2；而 x ∈ (2, x) 要求 d | x，常数 d 只能 ±1——但 1 ∈ (d) 推出 (d) = ℤ[x]，而 (2, x) 显然不含 1（元素 2a + xb 的常数项是偶数）。矛盾。∎（ℤ[x] 不带余除法，理想可以「两条拧不成一条」——这正是 6.17 层级图上欧氏环比一般环金贵的原因。）
1. 在 ℝ[x]/(x2 + 1) 中计算 (2 + x)(3 − x)。
答：6 − 2x + 3x − x2 = 6 + x − x2 ≡ 6 + x + 1 = 7 + x（x2 ≡ −1）。对照复数 (2 + i)(3 − i) = 7 + i ✓。
2. 在 𝔽2[x]/(x2 + x + 1) 中求 x 的倒数。
答：x(x + 1) = x2 + x ≡ 1（模 2 下 −1 就是 1），故 x−1 = x + 1。四元域里每个非零元都有搭档：1 自逆，x 与 x + 1 互逆。
3. 证明 x2 + x + 1 在 𝔽2 上不可约。
答：二次若可约必含一次因式、即有根。f(0) = 1 ≠ 0，f(1) = 1 + 1 + 1 = 1 ≠ 0（模 2）——两个候选根全出局，二次即不可约。∎ 商环 𝔽2[x]/(x2 + x + 1) 由定理 6.21 保送为域。
4. 证明 ℝ[x]/(x − 3) ≅ ℝ。
答：模 (x − 3) 的余式是常数，映射「取常数」就是求值同态 f ↦ f(3)；它保四则、满、且核恰为 (x − 3)。模掉一次式 = 钉死一个值：商环退化回系数域本身。不可约的极端情形（一次）给出最小的新域——与原域同构。
1. 证明：若 (f, g) = 1，则对任意 n ≥ 1 有 (f, gn) = 1。
答：Bézout uf + vg = 1 自乘 n 次展开：(uf + vg)n = 1，除 vngn 外每项都含 f，整理为 u′f + v′gn = 1。∎（证书相乘——互素的传递性 ③ 的加强版。）
2. 证明 gcd(f, g) 在「首一」约定下唯一。
答：设 d, d′ 都是最大公因式：互相整除（d 是公因式、d′ 是最大者，反之亦然），故 d = cd′；两边首一，非零常数 c = 1。∎（「首一」正是为封死这个 c 的自由度。）
3. 求 gcd(x4 − 1, x3 − 1)。
答：分解对账：x4 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)，x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)；公共部分只有 x − 1。gcd = x − 1（辗转复核：一步余 x − 1？——x4 − 1 − x(x3 − 1) = x − 1 ✓，x3 − 1 = (x2 + x + 1)(x − 1) + 0）。
4. 设 f = x4 − 1。求所有首一多项式 d 满足 d | f 且 deg d = 2。
答：从标准分解 (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) 里取二次组合：(x − 1)(x + 1) = x2 − 1；(x − 1)(x2 + 1)、(x + 1)(x2 + 1) 是三次——超编。再考虑不可约二次 x2 + 1 本身。共两个：x2 − 1 与 x2 + 1。标准分解是全部公因式的「零件清单」。
1. 求 gcd(x6 − 1, x4 − 1)。
答：零件清单对账：六次单位圆 ∩ 四次单位圆 = 公共角上的单位根 ±1，即 x2 − 1。代数复核：x6 − 1 − x2(x4 − 1) = x2 − 1，一步辗转即见。gcd = x2 − 1（几何与代数同声）。
2. 求 gcd(x4 − 1, x2 − 1) 并解释为什么「一眼见底」。
答：x2 − 1 整除 x4 − 1（平方差套平方差），故 gcd 就是 x2 − 1 自己。整除关系下 gcd(f, g) = g——辗转第一步就收工，与整数的 gcd(8, 4) = 4 同理。
3. 计算 x2 − 2x + 5 的判别式，并求它的两个根。
答：Δ = (−2)2 − 4·5 = −16；x = (2 ± √(−16))/2 = 1 ± 2i。验算：(1 + 2i)2 − 2(1 + 2i) + 5 = (−3 + 4i) − 2 − 4i + 5 = 0 ✓。判别式负 ⟺ 根是共轭复对（定理 6.12 的二次速写）。
4. （预习）两个多项式 f, g 有公共根，与它们的「结式」（一个由系数算出的量）为零是什么关系？
答：等价：res(f, g) = 0 ⟺ f, g 在公共的扩域中有公共根。它是判别式的高维推广（g 与 f 互为其导数情形时，结式差个常数因子就是判别式）。下一页挑战二正式接待它。
本章纠错档案按「病根」归档八则——每则都是算法纪律或概念分界：
E1 带余除法漏写终止条件（余 0 或 次数低于除式）。
答：终止条件是「或」，只记一半会在非整除题上空转。病根：把「除尽」当默认目标——带余除法的常态恰恰是除不尽。
E2 把 gcd 写成非首一（如 2x + 2）。
答：差常数倍算同一个 gcd，但首一约定让答案唯一可比。病根：混淆「对象」与「代表」。
E3 重因式与重根混为一谈。
答：重因式按不可约因子计（含无常数域根的因子）；重根必须 a ∈ 𝔽。如 (x2 + 1)2 在 ℝ 上有二重因式却无任何重根。病根：把「根」外推到不在域里的数。
E4 Eisenstein 漏查 p2 ∤ a0。
答：x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 恰能骗过只查①②的眼睛——p2 条件正是防「两个 p 在常数项会师」的。病根：把充分条件当口头禅。
E5 有理根候选漏「既约」或漏负号。
答：候选 = （a0 的全部带号因子）/（an 的全部正因子），且 p, q 互素。病根：筛子眼太大。
E6 在 ℚ 上分解时借了分数因子（如 6x2 − 5x + 1 = (x − ½)(6x − 2)）。
答：没错但不标准；高斯引理保证总存在整系数本原分解——把它洗成 (2x − 1)(3x − 1)。病根：忘了 6.12 的「整化」纪律。
E7 商环里把「f ≡ g (mod m)」写成「f = g」。
答：商环的等号属于同余类；代表元随时可换（x2 = −1 只在商环里成立）。病根：把舞台规则当成了全集规则。
E8 「无根 ⟹ 不可约」无节制外推。
答：只对一次、三次成立；x4 + 4 无根却可约。病根：把必要条件（可约 ⟹ 有一次因式只对奇次强制）当充分条件。次数决定逻辑，先看次数再用推理。
《九章》少广章的开方术，是人类最早的系统化开方程序：布积、借算、议所得、以所得乘借算……每一步都是位值制上的试商与扣除。刘徽注补足了程序的解释（几何割补）与边界的处理——「开之不尽者，当以面命之」：开不尽就承认那个「面」（方根）为新数，不把程序强行跑完。这是数学史上第一次正面记录无理数的合法身份。
程序在此后七百年继续生长。北宋贾宪（约 1050 年）给出「增乘开方法」——每层试商只用到加法（逐层递乘），并把高次幂展开的系数表（贾宪三角）配成一册《释锁算书》；南宋秦九韶（1247）《数书九章》把增乘开方法推到任意高次方程的数值求解。欧洲的同类方法要等到霍纳 1819 年——晚五个多世纪。
把三条线索并排：开方术求 x2 = N 的根；因式定理把求根变成摘一次因式；Eisenstein 判别式在根不存在时证明它不存在（在 ℚ 上）。求根、摘因式、判不可约——同一枚硬币的三面。本章的全部定理，都是给《九章》那台古老的程序配上的现代仪表盘。
本章的层次结构——具体计算 → 平行定理 → 抽象收网——在数学史上真真切切走了一遍，走了一百多年。
第一站：库默尔与「理想数」（1847）。库默尔研究费马大定理时发现：某些数系里「分解唯一」失灵（如 ℤ[√−5] 中 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5) 两种分解）。他的救法石破天惊：引入看不见的「理想数」，让分解重新唯一——好比说 12 = 2 × 6 与 12 = 3 × 4 的冲突，是因为 2 与 3 各自还能再「劈」成更小的因子。
第二站：戴德金与「理想」（1871）。戴德金把库默尔的幽灵数值化为看得见的对象：理想——数集的子集合（本章 6.17 的定义）。在戴德金的环论里，「理想数」不再需要存在：理想本身是主角，「分解唯一」对理想重新成立。把性质救回来，靠的不是找到那个数，而是换掉「数」这个概念。
第三站：诺特与抽象环论（1921）。埃米·诺特把戴德金的数论理想论提炼成对任意环成立的定理（《环中的理想理论》）：分解唯一性归因于链条件——抽象化的最后一步，连「数」的影子也退场了。本章 6.17 的层级图（欧氏环 ⊃ 主理想环 ⊃ 唯一分解环）正是诺特视角的快照：定理跟着条件走，不跟着对象走。
回头看本章的行军路线：ℤ 与 𝔽[x] 平行（6.3–6.14），再由「理想」的语言合流（6.17），最后用商环造域（6.18）——这正是那五十年抽象化的微缩景观。抽象不是离开具体，而是让所有具体共享同一张地图。下一册讲线性变换的相似标准形时，「不变子空间分解」还会把这枚方法论再演一遍。
本章知识图谱（八格）：地基是数域（四则通行的舞台）；台上立着 𝔽[x]——带余除法是它的发动机，发动机带动四台机器：辗转求 gcd（Bézout 证书）、判互素（Euclid 引理）、判重因式（形式导数）、判不可约（Eisenstein 与有理根定理）；分解唯一性是机器群的出厂合格证；最后两个远眺接口——理想与主理想环（结构收网）与商环造域（造新舞台）。
| 六步方法 | 动作 | 依据 |
|---|---|---|
| ① 认舞台 | 系数域是谁？（ℚ、ℝ、ℂ 行为不同） | 定义 6.1 + 6.10–6.12 |
| ② 探一次因式 | 有理根定理列候选、代值筛 | 定理 6.17 |
| ③ 查重因式 | 求 f′、算 gcd(f, f′) | 定理 6.8 |
| ④ 试不可约 | Eisenstein（含平移）或对照系数 | 定理 6.16 + 例 12 |
| ⑤ 分解对账 | 标准分解、次数守恒、根数核对 | 定理 6.7 + 6.10–6.13 |
| ⑥ 结构归档 | 韦达读统计 / 商环造域 | 定理 6.18–6.19 + 6.21 |
与上册前五章的接口：消元（第一章）同款降次逻辑；ℝ[x] 是第四章线性空间的实例（基 {1, x, …, xn}）；求值同态 f ↦ f(a) 是第五章线性映射加乘法的完美样例。张苍法六份收成，至此全部交割。
算术基本定理说每个整数有唯一的素因子指纹；本章说每个多项式有唯一的不可约指纹。「分解唯一」不是巧合，是带余除法这类「下降机制」的必然产出——只要有一把永远下降的尺（绝对值、次数），就能碾出唯一的砖块。
但库默尔的挫折提醒我们：不是每个世界都带这把尺。ℤ[√−5] 里 6 有两副面孔——分解唯一会塌。秩序需要地基：域最稳（每数有倒数），欧氏环次之（有除法尺），唯一分解环保底。看到「唯一」二字，先问：哪把尺在下降？哪层地基在托底？
这也回答了一个容易被忽略的问题：为什么本章死磕「带余除法」这个看似平凡的算法？因为它是一切唯一性的引擎——辗转相除靠它、Bézout 靠它、主理想靠它、分解唯一靠它。一个能「步步下降」的世界，终将交出一份唯一的账本。下册的若尔当标准形，是同一句话在矩阵世界的回声：不变子空间一层层剥离，最终表准形唯一（在分块意义下）。
〔金句〕唯一分解是世界的秩序：有下降之尺处，必有唯一之账。
C1. 证明：对任意正整数 n，xn − yn 在 ℤ[x, y] 中被 x − y 整除，并求商。
答：把 y 看常数、x 看主变元：f(x) = xn − yn 在 x = y 处取零，由因式定理 (x − y) | f；长除得商 xn−1 + xn−2y + ⋯ + yn−1。双元问题先「钉死一元」。
C2. 证明 √2 + √3 是无理数。
答：设 t = √2 + √3，则 t2 = 5 + 2√6，(t2 − 5)2 = 24，即 t 是 f(x) = x4 − 10x2 + 1 的根。有理根候选 ±1：f(1) = −8，f(−1) = −8，均非零——t 不是有理数。∎（造捕笼多项式 + 有理根定理，证明无理性的标准姿势。）
C3. 在 ℚ 上分解 x8 − 1，并数一数实根。
答：x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)；x4 + 1 不可约（例 12）。实根只有 ±1——其余六个根（含 x2 + 1 的 ±i 与 x4 + 1 的四个）全住在 ℂ，围成半张正八边形。
C4. （热尔曼恒等式的推广）证明 x4 + 4y4 = (x2 − 2xy + 2y2)(x2 + 2xy + 2y2)，并用于证明 n = 4 型费马方程 a4 + 4b4 = c4 无非平凡解的思路之一环（给出第一步：何时两因子有公因式）。
答：展开验证：(x2 + 2y2)2 − (2xy)2 = x4 + 4x2y2 + 4y4 − 4x2y2 ✓。两因子之和 2x2 + 4y2、之差 −4xy；公因式须整除差与和——x, y 互素时公因式只能是 2 的因子，而两因子模 2 都是 x2 形状，精细分析给出「仅当 2 | x 时可能」的入口（完整证明是费马无限递降，超出本册——留个背影给出）。
二次方程的判别式早已熟悉；本章给出它的真正身份——根的重合探测器。
判别式（二次） ax2 + bx + c 的判别式 Δ = b2 − 4ac = a2(r1 − r2)2（r1, r2 为根）。Δ = 0 ⟺ 两根重合——它是「根撞车」的代数报警器，不需要解方程。
例 x2 − 2x + 5：Δ = 4 − 20 = −16 ≠ 0，两根 1 ± 2i 分居不撞 ✓；x2 − 6x + 9 = (x − 3)2：Δ = 36 − 36 = 0，重根 3 ✓。
结式（初见） 两个多项式 f, g 的结式 res(f, g) 是由系数按固定格式算出的量，满足：
res(f, g) = 0 ⟺ f 与 g 有公共根（在公共扩域中）
它把「有没有公共根」从解方程问题变成系数代数问题。取 g = f′：f 与 f′ 有公共根 ⟺ f 有重根，于是 res(f, f′) 与 Δ(f) 成正比——判别式是结式的特写镜头。
S1. 用结式语言重述 6.8：f 无重根 ⟺ ？
答：res(f, f′) ≠ 0。与 gcd(f, f′) = 1 等价——gcd 版本可执行（辗转），结式版本可公式化（系数行列式），一题两表。
S2. f = x3 + px + q（缺二次项）的判别式是 Δ = −4p3 − 27q2。用它判断 x3 − 3x + 2 的重根。
答：p = −3, q = 2：Δ = −4(−27) − 27·4 = 108 − 108 = 0——有重根 ✓（(x − 1)2(x + 2)，重根 1）。系数三秒出「撞车与否」，不用先分解。
〔下册接口〕结式的思想——「条件成立 ⟺ 某个系数量的行列式为零」——将在下册全面展开：特征多项式的判别式报告特征值何时重合，二次型的行列式报告正负惯性。判别式与结式是「用代数量探测几何事件」的第一对样本。
本章全部算法都可直接程序化。核心数据结构一句话：多项式 = 系数列表（从常数项到最高次，空位补零）。以下是辗转求 gcd 的参考实现（伪代码）：
function PolyGCD(f, g):
while g ≠ 0:
(f, g) ← (g, f mod g) # f mod g 用带余除法
return make_monic(f) # 首一化
三件配套工具：①求值（秦九韶／Horner 格式：从最高次系数起逐层「乘 x 加系数」，n 次多项式只需 n 次乘法——正是增乘开方法的程序内核）；②求导（系数右移一位乘下标）；③乘法（全配对累加，O(n2)——快速算法（FFT）可达 O(n log n)，是数值分析课的压轴戏之一）。
| 算法 | 每步成本 | 步数 | 与手算的对应 |
|---|---|---|---|
| 带余除法 | O(n) | n − m + 1 轮 | 竖式逐层消首项 |
| 辗转 gcd | 一轮除法 | 次数严格下降 ⟹ ≤ deg f 轮 | 图 6-5 的链条 |
| 求值（Horner） | 1 乘 1 加 | n 层 | 增乘开方法的骨架 |
| 判重因式 | 一次求导 + 一次 gcd | 常数轮 | 定理 6.8 |
实验任务 ① 实现 𝔽[x]（取 ℚ）的加、乘、带余除法；② 用 PolyGCD 复算例 3、例 6 的两个 gcd；③ 实现判重因式检测，对 x5 − 2x4 报告 x 的重数（答案：4，见 6.8 例）；④ 进阶：实现 Eisenstein 检验器，输入系数表与素数，输出三关真伪。
答（要点）：①②的数值全部可与本章手算对拍；③的 gcd 应输出 x3（首一），重数 = gcd 重数 + 1；④注意先验证 p 是素数、再走三关，任何一关失败即输出「不适用」而非「可约」——判别法是单行的充分条件。
用程序重走一遍本章，会发现「定理即接口」：带余除法是除法接口、gcd 是比较接口、判别法是布尔接口。把数学写成代码的过程，就是把证明的每一步逼问出「输入—输出」的过程——含糊活不下来。
T1. （20 分）求 f = x4 − 2x3 + 3x2 − x + 1 除以 g = x2 − x + 1 的商与余式，并写出完整的竖式过程。
答：q = x2 − x + 1，r = x（例 2 全过程）。评分点：三轮首项配对、终止判据、f = g2 + x 的验算。
T2. （20 分）证明 x3 − 3x + 1 在 ℚ 上不可约；再说明它有没有重因式。
答：候选根 ±1 均非根，三次即不可约（习题课六第 3 题）。重因式：f′ = 3x2 − 3，gcd(f, f′) 辗转一步余 2x − 2？——细算：f = (x/3)f′ + (−2x + 1)，f′ 与 −2x + 1 辗转余非零常数，gcd = 1，无重因式。
T3. （20 分）设 f = (x3 − 3x + 2)(x + 2)。不解出全部根，指出 f 的根及各自重数，并验证 f′ 的相应零点。
答：f = (x − 1)2(x + 2)2：根 1（二重）、−2（二重）。求导重数各降一：f′(1) = f′(−2) = 0 ✓，且 (x − 1) | f′、(x + 2) | f′。评分点：会从「因式平方」读重数，会用定理 6.8 而不必展开四次式。
T4. （20 分）用两种方法证明 x4 + 1 在 ℚ 上不可约。
答：法一 Eisenstein＋平移，法二对照系数（例 12 完整两版）。评分点：法一的平移不变性论证（不能只对平移后的式子下结论）；法二的 bd = 1 支类讨论。
T5. （20 分）在 𝔽2[x]/(x2 + x + 1) 中：① 列出全部元素；② 求 (x + 1)2；③ 证明它是域。
答：① {0, 1, x, x + 1}；② x2 + 2x + 1 ≡ x2 + 1 ≡ (x2 + x + 1) + x ≡ x（模 2 下 2x = 0）——(x + 1)2 = x，妙对：平方根自身开平方回到对方，四元域的四则就此闭环；③ x2 + x + 1 在 𝔽2 无根 ⟹ 二次不可约 ⟹ 商环是域（定理 6.21）。
〔评讲〕T1 考纪律（终止条件与验算），T2 考概念分层（不可约 vs 重因式），T3 考结构眼光（不展开也能读重数），T4 考证明双轨（工具与硬算），T5 考新世界感（四元域是大多数学生亲手摸到的第一个「非 ℚ ℝ ℂ」的域）。五题过线，上册毕业——下册相邻领域将从特征多项式起步，本章的全部装备即刻投产。