全书按「章」前进，一章 50 页。每章的节奏是：第 1 页导引（这个问题在人类文明里是怎么长出来的，本章路线），随后 18 页讲义（定义、定理与方法一条一条立起来，含历史注与现代接口旁注），12 页例题（带完整解答与逐步演算），12 页习题（由浅入深，末页复盘归档），2 页格物札记——一章一思：一页回到《九章算术》的对照传统，一页接通现代数学；末 6 页为综合站（章小结 · 思想卡 · 挑战一 · 挑战二 · 实验 · 章测试与评讲）。
本册三条线索，贯穿每一章：
① 明线——盈不足与逼近。从《九章算术》盈不足术、刘徽割圆注起手，把「以已知的离散，逼近未知的连续」这门古老手艺，一步步提升为极限、连续、导数与积分的语言。凡标〔盈不足〕处，都是这条线索的接续点。
② 现代接口——微积分的现代形态。每章札记与综合站把本章内容与现代数学对齐：实数完备性的等价命题群、可微性的现代表达（方向导数与 Fréchet 导数）、最优化与凸分析、拓扑连续、计算机代数与数值分析。理论在这里长出今天的枝叶。
③ 离散 ⇄ 连续接口——两个世界的握手。盈不足术是线性插值、开方术是不动点迭代、差分是导数的离散影子、梯形法是积分的离散影子。凡标〔离散〕处，都把连续命题翻译成可计算的离散版本，再翻译回来。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12；极限的展示型写法是 limn→∞；微分号 d 与常数 π, e 用正体，变量用斜体 x, y, f；积分号 ∫；集合与数系符号 ∈ ⊂ ∪ ∩ ∅，ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ；向量用粗斜体 a；等价 ≅、蕴含 ⟹、当且仅当 ⟺、任意 ∀、存在 ∃。中括号写成 ［ ］。凡方法步骤，一律配图，一步一图。
公元一世纪的某处工地旁，一位算官面对一项工程验收：
《九章算术》卷五·商功〔一〕
今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈。问积几何？
有一段城墙（城），下底宽 4 丈、上顶宽 2 丈、高 5 丈、长 126 丈。问体积多少？
《九章》给出的术文干净利落：「并上下广而半之，以高乘之，又以袤乘之」——把下广与上广相加取平均，乘高，再乘长。代入数字：
一百八十九万立方尺，合一千八百九十立方丈。（《九章》传本答数作「一万八千九百七十五尺」，历代校勘家指出其有脱误，按术核算当如上式——这个「校勘案」本身就是绝佳的数学课：算法是对的，抄书会错，复核是唯一的保险。本册每一处数值都按此办理。）
本册把这道古题奉为开篇之题，因为「商功」两个字里藏着整个中册的态度：复杂由简单累积而成，而累积需要一套严格的账法。《九章》的公式之所以成立，是因为城墙可以切成一根根竖直薄条——每一根都是「截面 × 厚」的小柱体。当「薄」趋于无穷薄，这条账就精确了。这门「无穷薄的累加」，两千年后人们称之为定积分。
累加，有两种面孔。
第一种是连续的切割：把一段城墙切成无穷多根无穷薄的条，把一条曲线下的区域切成无穷多个无穷窄的矩形，把一段路切成无穷多段无穷短的小步——切到「无穷细」，再加总。这是积分的面孔：累加的对象是连续的量，每一份都小到无法单独称量，但总和精确。
第二种是离散的接龙：把数排成一列，一个接一个地加：½＋¼＋⅛＋⋯，1＋½＋⅓＋¼＋⋯，1＋1＋1＋⋯。这是级数的面孔：累加的对象是离散的数，每一项都清清楚楚，但加到无穷多项之后总和是否存在，竟成了天大的问题。
同一道接龙：½ ＋ ¼ ＋ ⅛ ＋ ⋯（每一项都是前一项的一半）
部分和 S1 = ½，S2 = ¾，S3 = ⅞，S5 = 31⁄32，S10 = 1023⁄1024——每加一项就离 1 更近一步，却永远差着「下一项的一半」。
这个「永远在靠近、从未到达」的状态，正是中册要害：无限过程的结果，需要被定义。
两种累加看似无关，实则共享同一个灵魂：都涉及「无限多次操作之后的总和」。积分在无穷窄处累加，级数在无穷多项处累加。它们的严格化走同一条路——先定义「部分和/部分量」，再定义「极限存在」。第三章可以看到，反常积分与数项级数甚至可以互相翻译：积分判别法正是这座桥。
中册六章，是一条「累加」主题的完整弧线：
前三章走连续线：第一章立起定积分（黎曼和、可积性、牛顿-莱布尼茨公式）；第二章让微元法走天下（面积、体积、弧长、功、质心）；第三章冲出有限——反常积分在无穷区间与无界函数处照样收敛，Γ 函数与概率积分是两颗明珠。
后三章走离散线：第四章立起数项级数（柯西准则与判别法家族、调和级数的故事）；第五章迎来全册的分水岭——一致收敛（逐点收敛与一致收敛的天壤之别、极限交换的通行证）；第六章学会把函数展开（幂级数与傅里叶级数：两种「基」，一个思想）。
地图中央那枚金色的徽记写着「收敛」——它是中册的魂。积分要问「无穷窄的累加是否有确定值」，级数要问「无穷多项的和是否有确定值」，函数列要问「无穷多个函数的极限是否还是好函数」。三个问题共用同一套语言：部分量 → 柯西准则 → 极限存在。把这套语言学透，中册就通了。
「无限次操作」是个危险的说法——古人在这片水域翻过船。芝诺说阿基里斯追不上乌龟，因为要追上得先走完一半、再走完剩下的一半……无穷多步，似乎永远走不完。刘徽割圆却理直气壮：「割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣」——无限切割之后，多边形就是圆。
谁对？都对，也都不对——在没有定义「极限」之前，这类话都是抒情的。中册要做的，是把抒情变成账目。看刘徽的账：
单位圆的内接正 n 边形面积（已程序验算）
n=4 时面积 2.000000；n=8 时 2.828427；n=16 时 3.061467；n=64 时 3.136548；n=256 时 3.141277——步步逼近 π = 3.141593，且误差约按 1/n2 缩小（每翻两番，误差约缩 16 倍）。
刘徽当年从正六边形割到 192 边，算得 3.141024——同样的账法，一千七百年后的今天用程序复算，分毫不差。
「割之又割」与「日取其半」描述的是同一件事：无限过程 + 结果稳定。数学分析把它严格化为两个动作：先用不等式说清「多近算近」（ε 语言，上册第二章已备），再验证无限过程产生的量确实「越走越近、不再回头」。中册把这个动作做两遍——积分一遍，级数一遍——可以发现是同一套拳。
商功公式为什么成立？因为城墙的每个竖直截面都是矩形，矩形面积人人会算。但如果截面不是矩形呢——比如一段圆木的纵截面是抛物线弓形？《九章》到此为止，中册从这里接手。
接手的思路仍是「切」：把复杂图形切成无穷多片无穷薄的小片，每一片薄到可以用「简单的量」（矩形、圆盘、细杆）来近似——这个小片叫微元。然后把所有微元的贡献加总，取极限。这个三步曲——切微元、写近似、取极限——就是第二章的主角「微元法」。先用商功的语言预演一遍：
预演：用微元法重算商功城垣
垂直于袤的方向把城墙切成无穷多片厚度 dx 的薄片。在位置 x 处，截面是梯形，面积 A = (40＋20)/2 × 50 = 1500 平方尺——处处相同。于是每片体积 dV = A·dx = 1500·dx，累加得 V = ∫01260 1500 dx = 1500 × 1260 = 1,890,000 立方尺。
与《九章》术文「并上下广而半之，以高乘之，又以袤乘之」逐字对应：并而半之＝平均截面，以高乘之＝A，以袤乘之＝积分。
微元法的精髓在「以直代曲、以常代变」：微元足够小，弯曲的可以当平直的、变化的可以当均匀的——近似带来的误差是「dx 的高阶无穷小」，累加取极限后恰好消失。这句话的严格版本（为什么误差恰好消失）将在第一章与第二章之间反复现身，它是定积分应用的合法性证书。
离散的那条路上，先备好一份「接龙」的手感。把数 a1, a2, a3, … 排成一列逐个加，每加一项记一笔账——这笔账叫部分和 Sn。级数收敛，说的就是这笔账有了去向：
热身两例（部分和均已程序验算）
几何接龙：1 ＋ ½ ＋ ¼ ＋ ⅛ ＋ ⋯——S3 = 1.875，S7 = 1.992188，S20 = 1.999999。部分和爬向 2，且每次只差「再对折」的距离。
调和接龙：1 ＋ ½ ＋ ⅓ ＋ ¼ ＋ ⋯——H10 = 2.928968，H100 = 5.187378，H10000 = 9.787606，H1000000 = 14.392727。看似也在涨，但它永不停步：Hn 最终超过任何给定的数。两例开头姿态相似，命运天差地别。
中册第四章的任务，就是在「看着都像收敛」的迷雾里，立起裁决收敛的判据。
注意一个容易轻视的细节：调和接龙的爬升是对数速度的——加到一百万项才 14.39。判断级数命运，「看起来涨得慢」毫无意义：½＋⅓＋⅙＋⅛＋…（分母是二的幂加一倍的调和变体）加得比谁都慢，却同样发散。直觉在无穷面前必须让位于判据——这是中册反复敲打的第二件大事。
「累加」的严格化走了近两千年，中途的每一站都值得驻足：
公元五世纪，祖冲之之子祖暅提出「幂势既同，则积不容异」——两立体若在每一高度处截面面积恒相等，则体积相等。这句话用「逐层截面积相等 ⟹ 体积相等」的思想处理了曲边立体的体积，比西方 Cavalieri 的同类原理（1635 年）早一千一百余年。它是「体积由截面累加而定」的最早明确陈述——正是定积分的灵魂。
十七世纪，牛顿与莱布尼茨各自发现：累加问题（面积）与变化率问题（切线）互为逆运算——微积分基本定理把「无穷累加」化归为「找一个原函数再作差」，计算猛然提速。也正因进展太快，基底不牢：无穷小「是零又非零」的贝克莱悖论随之而来。
十九世纪，柯西以部分和（部分量）的极限重新定义积分与级数，维尔斯特拉斯以 ε-δ 语言补上最后一块砖。贝克莱的批评与刘徽的「割之又割」在同一处会师：无穷过程必须由有限的不等式来裁决。
一条东方意象贯穿其中：中册的明线是「商功」——以积累城。祖暅的截面、刘徽的割圆、柯西的部分和，在「累加」这面旗下列队。「商功与累加」，就是中册的书名。
中册承袭上册体例，先复述再补新：
节奏：每章 50 页＝讲义×18（编号小节）→ 例题×12（每页一题一法）→ 习题×12（习题课十一讲＋复盘一页）→ 格物札记×2（东方源头＋现代接口）→ 综合站×6（小结、思想卡、挑战×2、实验、章测试）。全书六章，页号 pn 10 起连续编号至 309。
工具：与上册同一套——验证器先行（每处数值先程序验算再落笔）、一步一图（关键概念配 SVG，图形内文字全部正体）、章内接续点〔商功〕标记《九章》源流。新工具只有一个：收敛表——每章末尾的方法表新增「何时失效」一栏，判别法的边界与判别法本身同等重要。
约定：积分号 ∫ab、求和号 ∑ 沿用上册排版标准（函数名正体、变量斜体）；「〔商功〕」标记东方源流页；「〔离散⇄连续〕」标记两线互译处。定义框 def、定理框、警示框的用法与上册一致。
开卷自测（答得出就启程，答不出先回上册）
① 上册的 ε-N 语言里，「数列收敛于 L」的完整不等式书写是什么？
② 不定积分与导数的互逆关系，用一行式怎么写？
③ 为什么 ½＋¼＋⅛＋⋯「显然」趋于 1 这件事在数学里不能只靠显然？
① ∀ε>0, ∃N, ∀n>N: |an−L|<ε；② d/dx∫f = f 与 ∫f′ = f（差一个常数）；③ 因为「无限过程」的性质必须由定义与证明给出——这正是 0.4 节的主题。
准备好了，就翻页。第一章，商功开讲。
绪论里，商功城垣的账算得干净利落：垂直于袤的方向切下去，每一刀的截面都是同一个矩形（面积 1500 平方尺），于是「总账 = 截面 × 袤」一步乘完。《九章》的「并上下广而半之，以高乘之，又以袤乘之」，说的正是这件轻松事。
可商功章里不全是这样的好事。同卷的圆亭（正圆台）与圆锥，术文变成「上下周相乘，又以高乘之，三十六而一」「下周自乘，以高乘之，三十六而一」——为什么冒出「三十六」「三」这样的系数？因为它们的截面随位置变化：越往上越小。固定公式失灵，必须一根一根地累加。
本章的核心问题
设某物体在位置 x 处的截面积是 A(x)，从 a 摆到 b。当 A 不随 x 变时，总量 = A·(b−a)（商功公式）；当 A(x) 随 x 变时，总量 = ？
直觉的答案：把 [a,b] 切成无穷多薄层，每层贡献 A(x)·dx，全部加起来。把这个直觉做成严格数学，就是本章的全部内容。先尝一口甜头：圆锥的截面 A(x) = π(rx/h)2，累加得 V = ∫0h πr2x2/h2 dx = πr2h3/(3h2) = ⅓πr2h——「三而一」的秘密，不过是 ∫x2dx = x3/3。
本章的路线图：定义（黎曼和，§1.2）→ 可积性（哪些函数能进账本，§1.3–1.4）→ 性质（账法的运算法则，§1.5–1.6）→ 捷径（牛顿-莱布尼茨公式，§1.7–1.9）→ 技巧（换元、分部、对称，§1.10–1.13）→ 应用（面积、体积、弧长、功、压力，§1.14–1.17）→ 数值（算不动时的兜底，§1.18）。每一步都直接踩在上册极限论的肩膀上。
把直觉做成账法，只需四步。这四步舞（分割、近似、求和、取极限）像背口诀一样记熟——中册全书都会反复回到它：
黎曼和的四步舞
① 分割：在 [a,b] 中插入分点 a = x0 < x1 < ⋯ < xn = b，把区间拆成 n 段，记 Δxi = xi − xi−1，最宽的一段记作 ‖P‖（分割的模）。
② 近似：在第 i 段上任取一点 ξi ∈ [xi−1, xi]，用「细长矩形」近似第 i 条竖条：面积 ≈ f(ξi)·Δxi。
③ 求和：全部矩形加总，得黎曼和 σ(f, P, ξ) = ∑i f(ξi)·Δxi。
④ 取极限：让 ‖P‖ → 0（段数越来越多、每段越来越窄）。若极限 I 存在且与分割、取点方式都无关，则称 f 在 [a,b] 上黎曼可积，记作 I = ∫ab f(x)dx。
记号里每个零件都有含义：∫ 是「加总」的口令，f(x) 是「每层的高度」，dx 是「每层的厚度」。几何上，若 f ≥ 0，∫abf(x)dx 就是曲线下方曲边梯形的面积；f 会变号时，x 轴上方的记正、下方的记负——定积分天生是「带号的面积」。
一句话预习难点：定义要求极限「与取点无关」，而取点有无穷多种方式。直接跟这个「任意性」搏斗是辛苦的——§1.3 的达布上和与下和会给出一个只跟分割有关的等价判据，让可积性变得可以下手。
对付「取点任意」，达布的办法是两头包抄：对给定分割 P，第 i 段上取 f 的最小值 mi = inf f 与最大值 Mi = sup f，分别造出「最保守的账」与「最激进的账」：
达布下和与上和
L(f, P) = ∑ mi·Δxi（下和：每段取最小，全部压低）；U(f, P) = ∑ Mi·Δxi（上和：每段取最大，全部抬高）。
无论怎么取点 ξi，都有 L(f,P) ≤ σ(f,P,ξ) ≤ U(f,P)。若能对任意 ε > 0 找到分割使 U − L < ε，则所有黎曼和被夹在一条宽 ε 的缝里，极限存在且唯一——f 可积。这就是可积性的 ε 判据。
「缝越拉越窄」就是可积的全部秘密。用 f(x) = x2 在 [0,1] 上的 n 等分试一把（数值已程序验算）：
| n | 下和 L | 上和 U | 缝宽 U−L |
|---|---|---|---|
| 4 | 0.218750 | 0.468750 | 0.2500 |
| 8 | 0.273438 | 0.398438 | 0.1250 |
| 16 | 0.302734 | 0.365234 | 0.0625 |
缝宽 U−L = 1/n，随 n 增大（实际按 1/n 缩）乖乖趋于零——x2 可积。而且上、下和本身就是可用的「估值器」：不必等到极限，0.3027 ≤ ∫01x2dx ≤ 0.3652 已经把真值 ⅓ = 0.3333 夹在了缝里。
达布和还带来一个漂亮的等价视角：可积 = 「上和数列与下和数列收敛到同一个数」。后面挑战一（p56）将用它完整证明「连续函数必可积」。
ε 判据在手，可以清点「谁能进账本」了。三大类函数榜上有名：
定理（可积函数类） 下列函数在闭区间 [a,b] 上都可积：
① 连续函数——一致连续把每段振幅压小（完整证明见 p56 挑战一）；
② 单调函数——n 等分时缝宽 = (f(b)−f(a))·(b−a)/n → 0，虽然矩形贴不齐，但误差总量可控；
③ 只有有限个间断点的有界函数——把间断点用总长 ε 的小区间「关起来」，其余段上振幅照①处理。
三类合起来覆盖了初等数学几乎全部函数。但账本不是谁都能进的——经典反例：
反例（Dirichlet 函数不可积）
D(x) = 1（x 是有理数），D(x) = 0（x 是无理数）。任何一段小区间里既有有理数又有无理数，于是每段 Mi = 1、mi = 0：U = (b−a)、L = 0，缝宽恒为 b−a，永远拉不窄——不可积。
几何直观：D 的图像是「两条虚线」，密得没有任何矩形能贴合。可积性的门槛不在「连续」本身，而在「振幅总和可控」。
注意一个反直觉的事实：可积函数可以有无穷多个间断点——只要它们「足够稀疏」。黎曼函数在每一点都有密集的邻居间断，却依然可积（例2 完整演练）；而 Dirichlet 函数处处间断、处处满幅，被拒之门外。间断不可怕，振幅总和失控才可怕——这句话是本章可积性理论的灵魂。
账法立起来了，先给它配三条基本运算法则。它们全部可以直接从黎曼和「翻译」过来——和式有的性质，极限之后照单全收。
定理（积分的基本性质） 设 f, g 在涉及区间上可积，k 为常数：
① 线性：∫ab [f(x) ± g(x)]dx = ∫abf dx ± ∫abg dx； ∫ab k·f(x)dx = k∫abf dx。
② 区间可加：对 a < c < b，∫abf dx = ∫acf dx + ∫cbf dx（约定 c 在端点外时也成立，方向反号：∫ba = −∫ab）。
③ 保序：若 f ≤ g 于 [a,b]，则 ∫abf dx ≤ ∫abg dx。特别地 |∫abf dx| ≤ ∫ab|f(x)|dx。
三条各有一句「人话」：线性——一起加的账可以分开记；可加——总账等于分账之和（这正是商功「分段验收」的思想）；保序——处处矮的曲线围不出更大的面积。
顺带记两个「零碎但常用」的约定：∫aaf dx = 0（没有区间就没有账）；交换上下限变号 ∫baf dx = −∫abf dx（方向反了，带号面积整体变号）。它们让「可加」公式对任意顺序的三个字母 a, b, c 都成立，不必再分类讨论。
这一节回答一个实操问题：不算出精确值，能对积分说出什么？两条定理给出「粗估」与「精选」两级火力。
定理（估值定理） 若 m ≤ f(x) ≤ M 于 [a,b]，则 m(b−a) ≤ ∫abf dx ≤ M(b−a)。
定理（积分第一中值定理） 若 f 在 [a,b] 上连续，则存在 ξ ∈ [a,b]，使 ∫abf(x)dx = f(ξ)·(b−a)。
估值定理是「保序」的直接推论：用最低的 m 补满整块是下界，用最高的 M 补满整块是上界。中值定理则说：连续曲线下的面积，恰好等于某个中间高度铺出来的矩形——曲线的「平均身高」真的被某个点取到（这正是「平均值」概念的源头，§1.17 回收）。
实战中两级火力配合使用：先用估值定理圈出范围，再用计算（§1.9 起）或数值方法（§1.18）把真值逼出来。估值还兼任「验钞机」——算出的答案若落在估值区间之外，必有手误（复核是唯一的保险）。
把积分的右端点松开，让它流动起来——这是本章最重要的一步棋：
变上限积分（面积函数）
Φ(x) = ∫ax f(t)dt（x ∈ [a,b]）：从固定左端 a 到流动右端 x 的「累计面积」。它是一个函数——输入位置 x，输出 [a, x] 段的带号面积。
被积变量换写作 t，是为了与上限 x 区分：t 在积分号内「走一遍就消失」，x 是真正带出来的自变量。
它起码连续，而且相当「稳」：|Φ(x+h) − Φ(x)| ≤ M·|h|（M 是 |f| 的界）——面积的增长速度不超过「最高度 × 宽度」。更精彩的是它的可导性，这正是下一节的定理。先看它作为函数长什么样：
例 F(x) = ∫0x t·e−t dt（数值已验算）：F(1) = 1 − 2/e ≈ 0.26424（数值积分复核 0.26424）。注意被积函数是 t 的函数，而上限是 x——「流动面积」本身关于 x 光滑增长。
为什么这一步棋如此关键？因为在 Φ(x) 身上同时住着两个世界：它由积分而来（累加的世界），却又是普通函数，可以求导（变化率的世界）。下一节将证明：Φ′ 恰好还原出 f。这座「积分 → 函数 → 求导 → 原函数」的暗道，就是牛顿-莱布尼茨公式的全部机关。
上册讲不定积分时留下一桩悬案：什么样的函数有原函数？当时只能回答「不知道」。现在暗道修通了，悬案立解：
定理（原函数存在定理） 若 f 在 [a,b] 上连续，则变上限积分 Φ(x) = ∫axf(t)dt 在 [a,b] 可导，且
Φ′(x) = f(x) （变限必可导，导数还原被积函数）
推论：连续函数必有原函数——Φ 就是它。
证明梗概（一步一图）：考查差商 [Φ(x+h) − Φ(x)]/h。分子是宽度 h 的窄条面积（图 1-8 红条），由第一中值定理，它等于 f(ξ)·h（ξ 在 [x, x+h] 内）。于是差商 = f(ξ)；h → 0+ 时 ξ 被挤向 x，由 f 连续，f(ξ) → f(x)。左侧同理。∎
体会这记「以连续换可导」的组合拳：积分给了面积，连续性给了面积的局部稳定性，中值定理把稳定性翻译成导数。三个角色缺一不可——f 若不连续，Φ 未必可导（f 有跳跃时 Φ 有「折角」）。
由此，积分学获得了一件「原函数制造商」：任何连续函数，它的原函数（相差常数的意义下）都能用变上限积分现造出来。但「造出原函数」与「写出初等表达式」是两回事——cos(t2) 的原函数存在却写不出初等式，这台制造商照样交付。这正是定积分比不定积分更普适的原因。
全部准备就绪，拱心石落成：
定理（微积分基本定理 / 牛顿-莱布尼茨公式） 若 f 在 [a,b] 可积，且 F 是 f 的任一原函数（F′ = f），则
∫ab f(x)dx = F(b) − F(a) （右端常记作 F(x)|ab）
证明骨架：取分割 a = x0 < x1 < ⋯ < xn = b，把总落差拆成逐段落差：F(b) − F(a) = ∑ [F(xi) − F(xi−1)]。对每段用拉格朗日中值定理，得 [F(xi)−F(xi−1)] = f(ξi)·Δxi——这恰是一个黎曼和！令 ‖P‖ → 0，黎曼和收敛到 ∫abf dx，而左端纹丝不动。∎
证明的妙处在于「一块钱掰两次」：总落差 F(b)−F(a) 既被拆成无穷薄的微分账（右端 → 积分），又是原函数端点一减（左端）——两个世界清算的是同一笔钱。
微分学问「变化率」，积分学问「累加」，本是两门手艺。牛顿-莱布尼茨公式宣布：求累加，只需找变化率的逆——找一个「变化率恰为 f」的原函数，两端一减即可。无穷多次的累加，被一次减法取代；这两门手艺由此合流为「微积分」。它是全章（也是整个中册连续线）的拱心石：§1.10 起的技巧全是它的配套工具，§1.14 起的应用全是它的兑现。
用法立见：∫01x2dx——上册已知 x3/3 是 x2 的原函数，于是积分 = 13/3 − 0 = 1/3。§1.2 里 n=1000 才逼近到 0.3338 的黎曼和，被一次减法精确击穿。下一节开始，把「找原函数」的手艺练成套路。
不定积分的换元（凑微分、第二换元）上册已经练熟。定积分换元几乎照搬，但多换一样东西——积分限，从此再也不必「换回去」：
定理（定积分换元） 设 x = φ(t) 在 [α, β] 上有连续导数，且 φ 单调、φ(α) = a、φ(β) = b，则
∫ab f(x)dx = ∫_αβ f(φ(t))·φ′(t)dt
三要点：① 上下限一起换（x 的区间换成 t 的区间）；② 换完直接算新积分，不必回代成 x；③ 检验 φ 单调（保证区间不重叠、点对应不乱）。
例 ∫0r √(r2−x2)dx：令 x = r sin t，t 从 −π/2 到 π/2，dx = r cos t·dt，根号化为 r cos t：积分 = r2∫−π/2π/2cos2t dt = r2·π/4。正是四分之一圆的面积——换元把「根号难题」化成「圆的几何」，两头互为印证。
最常见的错误也在「限」上：换了 x = φ(t) 却仍代入 x 的旧限，答案立刻错一个世界。本章复盘页（p51）已把这类错归档——「换元先换限」刻进肌肉记忆。
乘积求导法则 (uv)′ = u′v + uv′ 两端积分、移项，就是分部积分——上册的老朋友，定积分版只是多算了边界项：
u 怎么挑？口诀「反、对、幂、指、三」：排位越靠前越当 u（反三角、对数最难「降维」，先让他们当 u 借分部求导瘦身；幂函数求导一次降一次次；指数、三角求导不变形，安心当 dv）。
例 1 ∫01 x·exdx：u = x，dv = exdx ⇒ (x·ex)|01 − ∫01exdx = e − (e−1) = 1（已验算）。
例 2 ∫0π x·sin x dx：u = x，dv = sin x·dx ⇒ (−x·cos x)|0π + ∫0π cos x·dx = π + 0 = π（已验算）。
「循环型」积分（分部一圈回到自己，如 ∫exsin x dx）上册已练，定积分版同法，只是每一步都带着限走。例7 将完整演练一类名场面：∫01 x·ln(1+x)dx，其中对数当 u、幂当 dv，两步收干净。
对称是积分学的「免费午餐」：看一眼形状，省掉一半计算。三条捷径背下：
定理（对称捷径） ① f 为奇函数：∫−aa f dx = 0；② f 为偶函数：∫−aa f dx = 2∫0a f dx；③ f 以 T 为周期：∫aa+T f dx = ∫0T f dx（任何起点都一样），从而 ∫0nT f dx = n·∫0T f dx。
例 1 ∫−ππ x3·cos2x dx：x3 奇、cos2 偶，乘积为奇 ⇒ 积分 = 0，一眼定案。
例 2 ∫−11 (x·e^(x2) + x2)dx：第一项是奇函数自动清零，第二项偶函数翻倍 ⇒ = 2∫01x2dx = 2/3。
例 3 |sin x| 以 π 为周期 ⇒ ∫02π|sin x|dx = 2∫0π sin x dx = 2×2 = 4。
更深一层：偶函数公式还能反过来用——「区间折叠」。∫0π f(cos x)dx 型积分，用 x → π − x 替换后平均，常能把顽固积分折成半价（习题课七演练）。对称不是技巧堆砌，而是「先看形状再动手」的第一习惯。
到本节为止，定积分计算的兵器已全部亮相。实战的第一反应不是「套哪个公式」，而是「先看题面长什么样」——一张方法表+一棵决策树，两件导航仪：
| 题面特征 | 首选策略 | 关键动作 | 参见 |
|---|---|---|---|
| 初等函数的标准型 | 牛顿-莱布尼茨 | 查/求原函数，两端一减 | §1.9 |
| 根号里有平方差/和 | 三角换元 | x = r sin t 等，限一起换 | §1.10 |
| 两类函数相乘（如 x·ln，x·ex） | 分部积分 | 口诀：反对幂指三 | §1.11 |
| 对称区间 | 奇偶折叠 | 奇清零、偶翻倍 | §1.12 |
| 周期函数 | 周期平移 | ∫0nT = n∫0T | §1.12 |
| 含变上限/被积处带 x | 变限求导 | 上限求导×链式；先分离 x | §1.7–1.8 |
| 分段/含绝对值 | 拆区间 | 分段点处拆开，各段各账 | §1.5 ② |
| 原函数非初等（e^(−x2) 等） | 数值积分 | 梯形/辛普森＋误差估计 | §1.18 |
这张表也是例题篇（12 页）的目录索引：例1 走定义、例2 探可积、例3 用性质、例4 变限、例5 分段、例6 换元、例7 分部、例8–10 几何、例11 物理、例12 数值——每页左上角的节号都可回查。
定义本身（§1.2）就说了：f ≥ 0 时 ∫abf dx 是曲边梯形面积。实战只需两件新本事：两条曲线之间取「上减下」，上下翻转处拆区间。
公式 ① 上 y = f(x)、下 y = g(x)（f ≥ g 于 [a,b]）：S = ∫ab [f(x) − g(x)]dx。
② 上下关系会换位：S = ∫ab |f(x) − g(x)|dx，按交点拆段逐段取「上减下」。
小例 y = x2 与 y = 2x − x2：交点满足 x2 = 2x − x2，即 x = 0、1；在 [0,1] 内直线在上。S = ∫01(2x − 2x2)dx = 1 − 2/3 = 1/3。口诀：面积＝∫（上−下），先解交点、再比高低。
两处提醒：其一，「上减下」自动为正，别手滑写成「右减左」之外的怪式；其二，参数曲线（如摆线 x = t − sin t）围出的面积用 S = ∫ y·x′(t)dt 换元即可，§例10 的摆线将展示「一条曲线自己围出 3πa2」的名场面。
商功的老难题「圆锥为什么三而一」在 §1.1 已现端倪：旋转体的截面是圆盘，面积人人会算。两种切法，两条公式：
公式 ① 圆盘法（垂直于轴切片）：曲线 y = f(x) ≥ 0 在 [a,b] 绕 x 轴旋转，V = ∫ab π·f(x)2dx。
② 薄壳法（平行于轴切片）：同一条曲线绕 y 轴旋转，V = ∫ab 2π·x·f(x)dx（把每个竖条卷成半径 x、高 f(x)、厚 dx 的薄筒）。
选择原则一句话：切片方向顺手就用圆盘，切不顺（特别是「绕 y 轴而函数以 x 表出」）就上薄壳——薄壳法免去了反解 x = g(y) 的麻烦。
体积公式的背后还是那句话：微元足够薄，圆盘就是圆柱、薄壳就是长方条，误差是 dx 的高阶无穷小，累加后消失。第二章「微元法」将把这套论证一次讲透。
弧长的微元是一记勾股：把曲线上极小的一段当直角三角形的斜边，两直角边是 dx 与 dy：
参数式照搬：x = x(t), y = y(t) 时 L = ∫√(x′(t)2 + y′(t)2)dt。把弧长曲线绕轴旋转，每段弧扫出一圈细圆台（「喇叭边」），侧面积微元 2π·f(x)·ds，于是旋转曲面面积 S = ∫2πf(x)√(1+f′2)dx。
两个已验算的名场面 ① 悬链线 y = cosh x 在 [0,1]：巧在 1 + sinh2x = cosh2x，弧长 L = ∫01cosh x dx = sinh 1 ≈ 1.175201。② y = x3/2 在 [0,3]：L = ∫03√(1+9x/4)dx = (31√31 − 8)/27 ≈ 6.0963。
注意弧长被积函数里那个根号是「免不掉的」——这正是弧长积分常常算不出初等原函数、必须数值化（§1.18）或参数化巧算（例10 摆线弧长 = 8）的原因。悬链线的 1 + sinh2 = cosh2 是少见的「根号恰好解开」的恩赐。
物理量的共同句式：总量 = ∫ 微元。三个高频模型（数值均已程序验算）：
① 变力做功 W = ∫ F(x)dx。抽水是它的变形：把深度 y 处的水层（体积 A(y)dy）提升 (h−y)，W = ∫0h ρg·A(y)·(h−y)dy。例：半球水池半径 2 m 满水抽到沿口，W = ρgπ∫02(4−y2)(2−y)dy = ρgπ·20/3 ≈ 205.3 kJ。
② 静水压力 深度 y 处压强 ρgy，竖直平板上 P = ∫ρg·y·w(y)dy（w 为宽度）。例：宽 3 m、高 2 m 的竖直矩形闸门，上沿齐水面：P = ∫02 3·ρg·y·dy = 6ρg ≈ 58.8 kN。
③ 函数平均值 f̄ = (1/(b−a))·∫abf dx——恰是第一中值定理里那个 f(ξ)。例：sin x 在 [0, π] 上的平均 = (1/π)·2 = 2/π ≈ 0.6366。
平均值一节特别值得停一停：它把第一中值定理从「存在性」变成「可计算」——2/π、有效值、均方根，全是 (1/(b−a))∫f 的化身。工程上的「平均功率」「平均压强」，数学户口都在这里。
最后备一手兜底的功夫：原函数非初等（e^(−x2)、cos(t2)）或数据只是离散点时，回到黎曼和的思路直接数值求积。两件兵器：
辛普森的直觉：相邻三个点确定的抛物线比梯形顶端的直线更贴曲线。误差阶：梯形 O(h2)、辛普森 O(h4)。实测 ∫01e^(−x2)dx（真值 erf(1) = 0.74682413，已验算）：
| n | 梯形误差 | 辛普森误差 |
|---|---|---|
| 4 | 3.84×10−3 | 3.12×10−5 |
| 16 | 2.40×10−4 | 1.25×10−7 |
n 翻两番，梯形误差约缩 16 倍（h2），辛普森约缩 256 倍（h4）——抛物线贴曲线的威力。但要警惕：被积函数在端点有奇性（如 √x）时收敛骤慢（n=4 误差仍有 3.6×10−3），综合站实验页将给辛普森装上「自适应加密」。
〔商功〕回望：本章从《九章》商功「以积累城」出发，立起了黎曼和的账法、达布的判据、牛顿-莱布尼茨的拱心石，并把面积、体积、弧长、功、压力一并收编——「截面恒定」的商功公式，自此推广为「截面变化」的积分通法。下一章，微元法将把这套「切、写、加」的语法推广到万物。
题 用黎曼和的定义计算 ∫01x2dx，并给出 n = 10, 100, 1000 时的数值表（右端点取法）。
第一步（分割与取点）：把 [0,1] 作 n 等分，xi = i/n，Δxi = 1/n；取右端点 ξi = i/n。
第二步（求和）：
第三步（取极限）：‖P‖ = 1/n → 0，后两项消失，∫01x2dx = 1/3。
数值表（已程序验算）：n = 10 时 σ = 77/200 = 0.385000（差 −5.17×10−2）；n = 100 时 6767/20000 = 0.338350（差 −5.02×10−3）；n = 1000 时 0.3338335（差 −5.00×10−4）。右端点从上方逼近，误差恰为 (1/2n + 1/6n2)——与公式逐字吻合。
注：本例数值表建议与 §1.3 达布表对读——上和 U 更「松」、右端点和 σn 更「紧」，两者夹出同一真值 1/3。
题 ① 证明黎曼函数 R(x)（x = p/q 为最简分数时 R = 1/q；x 为无理数时 R = 0）在 [0,1] 可积且积分为 0。② 证明 Dirichlet 函数不可积。
① 黎曼函数：任给 ε > 0。满足 1/q ≥ ε/2 的最简分数 p/q 只有有限个（q ≤ 2/ε 时才有解，分母越大值越小），设共 N 个。用一个总长 < ε/2 的分割，把这 N 个「高点」全部关进窄盒——盒内振幅至多 1，贡献 < ε/2；盒外的点上 R(x) < ε/2，振幅至多 ε/2，贡献 < (ε/2)·1。合计 U − L < ε。故可积；又 L ≡ 0（任何区间都有无理点），积分 = 0。∎
② Dirichlet 函数：任何区间内既有有理数（值 1）又有没有理数（值 0），于是每段 Mi = 1、mi = 0，U − L ≡ (b−a) − 0 = 1，缝永远拉不窄，不可积。∎
对比的教益：两者都有无穷多个间断点，命运却相反——黎曼函数的「高点」稀疏可控，Dirichlet 函数处处满幅。可积性的裁判不是「间断的个数」，而是「振幅总和是否可任意压小」。
注：黎曼函数在无理点连续、在分数点间断——「处处间断的函数可以可积，处处连续的函数必可积」两句话合读，可积性的门槛才算真正看懂。
题 ① 估计 ∫01 e^(x2) dx 的范围；② 求 ∫−ππ x3cos2x dx；③ 不计算，比较 ∫01 ex dx 与 ∫01 e^(x2) dx 的大小。
①（估值定理）：x ∈ [0,1] 时 0 ≤ x2 ≤ 1，故 1 ≤ e^(x2) ≤ e。区间长 1，得 1 ≤ ∫01e^(x2)dx ≤ e ≈ 2.718。（两行完成——估值定理的「粗火力」。）
②（对称）：x3 是奇函数，cos2x 是偶函数，乘积为奇函数，对称区间上积分 = 0。（零行计算——对称的「免火力」。）
③（保序）：0 ≤ x ≤ 1 时 x2 ≤ x，指数单调增，故 e^(x2) ≤ ex。由保序性 ∫01e^(x2)dx ≤ ∫01ex dx = e − 1 ≈ 1.718，且因 0 与 1 处严格小，实为严格不等。结合①还白得：1.718 的下界比 1 好——③ 的信息反哺 ①。
注：e^(x2) 的原函数非初等，①③ 全程未碰它——性质的价值恰在「绕过原函数」。真值（数值法）留给例12 的辛普森兵法。
题 设 F(x) = ∫xx2 e^(−t2) dt，求 F′(x) 与 F(0)。
拆限：上下限都在动，先用可加性拆成两个「单动」积分（下限动的先反号转成上限动）：
逐个求导（上限求导 × 链式法则）：
F(0)：上下限重合（x = 0 时 ∫00），F(0) = 0。
本题的双重看点：其一，被积函数 e^(−t2) 的原函数非初等——但变限求导根本不需要原函数，这正是 §1.8「原函数制造商」的厉害之处；其二，链式法则那一「乘」最容易漏（上限是 x2，不是 x）。
注：更隐蔽的变体「被积函数里也带 x」（如 ∫0x x·f(t)dt）须先把 x 提出积分号再求导——习题课四第 5 题专治此症。
题 设 f(x) = x2（0 ≤ x ≤ 1），f(x) = 2 − x（1 < x ≤ 2），计算 ∫02f(x)dx；并算 ∫−11|x|dx。
分段拆账：分段点 x = 1 处左值 12 = 1、右值 2 − 1 = 1，连续衔接（单点归属不影响积分）。由区间可加：
辛普森复核（n = 2000，已验算）：0.83333333，与 5/6 分毫不差。
|x| 的账：绝对值在 x = 0 处「折腰」，拆成两段偶对称：∫−11|x|dx = 2∫01x dx = 1。「含绝对值 = 拆段取正」与「偶函数翻倍」两招并用。
注：分段函数积分的三步——找分段点、查衔接（查不查都行，单点不碍事，但值得养成习惯）、逐段 N-L。分段的本质是「区间可加性」的应用题。
题 计算 ∫0ln2 √(ex − 1) dx。
选元：根号里是 ex − 1，令 t = √(ex − 1)（t ≥ 0 单调，合法）。反解 x = ln(1 + t2)，微分 dx = 2t/(1 + t2)·dt。
换限：x = 0 ⇒ t = √(1−1) = 0；x = ln2 ⇒ t = √(2−1) = 1。限一起换：[0, ln2] → [0, 1]。
新账：被积式 √(ex−1)·dx 化为 t·(2t/(1+t2))dt：
真值：2 − π/2 ≈ 0.42920367（辛普森复核 0.42920219，差 −1.5×10−6，已验算）。「换元不回代」——账在 t 世界收尾，答案与 π 有关，恰是 arctan 的签名。
注：为何选 t = √(ex−1) 而不是 u = ex？前者让「根号 + 微分」同时清爽。选元手感 = 「让根号整体消失」优先于「让指数消失」，此题是标准教材（华东师大《数学分析》上册同类题）的走法。
题 计算 ∫01 x·ln(1+x) dx。
选 u：口诀「反对幂指三」——对数排第二、幂排第三，取 u = ln(1+x)、dv = x dx ⇒ v = x2/2，du = dx/(1+x)：
拆有理项：x2/(1+x) = x − 1 + 1/(1+x)（长除一下），于是
合账：原积分 = (1/2)ln2 − (1/2)ln2 + 1/4 = 1/4。对数项两次现身后恰好对消——「反对幂」口诀的深意：让难缠的角色求导降维。
辛普森复核（已验算）：0.2500000000，与 1/4 无缝。
注：同族变体 ∫01x·ln x dx = −1/4、∫01x2·ln x dx = −1/9（口诀同走，长除省略）——分部 + 长除是「幂乘对数」的万能钥匙。
题 求 y = sin x 与 y = cos x 在 [0, π/2] 之间围成的面积。
找交点：sin x = cos x ⇒ x = π/4。比高低：[0, π/4] 上 cos 在上（cos0 = 1 > sin0 = 0），[π/4, π/2] 上 sin 在上——换位一次，拆两段：
真值：2(√2 − 1) ≈ 0.82842712（数值积分复核 0.82842712，已验算）。对称的小彩蛋：两段面积天然相等（图形关于 x = π/4 镜面对称）——算一段、乘二亦可。
注：若两曲线交三次、围三叶，就拆三段逐叶算——「拆段数 = 换位数 + 1」。本例与 §1.14 的小例（1/3）合读，面积题的全部套路不过如此。
题 曲线 y = √x（0 ≤ x ≤ 1）分别绕 x 轴与 y 轴旋转一周，求两个旋转体体积。
绕 x 轴（圆盘法）：垂直于轴切片，截面半径 f(x) = √x：
绕 y 轴（薄壳法）：把竖条卷成半径 x、高 √x 的薄筒：
两问一题，恰好把两法各用一遍：绕 x 轴时圆盘「顺切」，绕 y 轴时若用圆盘法须反解 x = y2（也可行，V = π∫01(1 − y4)dy = π·4/5，同一答案）——薄壳法省去了反解。两法答案交叉印证：π(4/5) = π∫(1−y4) 一致 ✓。
注：V2 = 4π/5 > V1 = π/2：喇叭的「翼展」把体积撑大。两值之比 8/5——关键是双法互验（π/2 与 4π/5 均为精确值，辛普森可得同等数值）。
题 ① 求悬链线 y = cosh x 在 [0,1] 的弧长与绕 x 轴的旋转曲面面积；② 求摆线 x = t − sin t, y = 1 − cos t（0 ≤ t ≤ 2π）一拱的弧长与拱下面积。
① 悬链线：y′ = sinh x，1 + sinh2x = cosh2x（双曲恒等式），根号恰好解开：
旋转曲面 S = 2π∫01 cosh2x dx = 2π·(sinh x·cosh x + x)/2|01 = π(sinh 1·cosh 1 + 1) = π(1 + sinh 2/2) ≈ 8.8387（程序验算 8.838652 ✓）。
② 摆线：x′ = 1 − cos t, y′ = sin t，弧长微元 √(2−2cos t) = 2sin(t/2)（t ∈ [0,2π] 非负）：
拱下面积 S = ∫y·dx = ∫02π(1−cos t)2dt = ∫(1 − 2cos t + cos2t)dt = 2π − 0 + π = 3π ≈ 9.4248（两值均已数值复核 ✓）。「一拱摆线恰八尺」——弧长 8 是纯整数，几何的意外之礼。
注：摆线是十七世纪的「几何的海伦」（美貌与谜题集于一身：伽利略为之着迷、帕斯卡以此设奖）。弧长 8、面积 3πa2、旋转体 5π2（习题课九）——一根曲线三个漂亮答案，参数方程是它的万能钥匙。
题 ① 半球形水池半径 2 m，满水，把水全部抽到池沿，求做功；② 宽 3 m、高 2 m 的竖直矩形闸门，上沿与水面齐，求总水压力。（ρg = 9800 N/m3，数值均已验算）
① 抽水（层模型）：在深度 y（自池顶量起）处取厚 dy 的水层，半径 √(4−y2)，层体积 π(4−y2)dy，提到池沿行程 (2−y)：
② 闸门（条带模型）：深度 y 处水平条带宽 3、厚 dy，压强 ρgy：
两条「人话」解读：① 越深的水提得越远，「体积 × 行程」天然是积分；② 压强随深度线性涨，合力等于「平均压强 ρg×1（半深）× 面积 6」——答案 6ρg 正是 6×ρg×1，梯形分布的中点值。
注：①若池是整球抽到顶，积分区间与行程都变——但句式不变。习题课十备有链条做功与水下闸门（顶部在水下 1 m）两个变体，均验算（29.4 kN）。
题 用梯形法与辛普森法（n = 4, 8, 16）计算 ∫01e^(−x2)dx，与真值 erf(1) = 0.7468241328 比较误差，验证收敛阶。
e^(−x2) 的原函数非初等（概率论的核心积分），正是数值积分的主场。实测表（已程序验算）：
| n | 梯形 Tn | 误差 | 辛普森 Sn | 误差 |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 0.74298410 | 3.84×10−3 | 0.74685538 | 3.12×10−5 |
| 8 | — | — | 0.74682612 | 1.99×10−6 |
| 16 | 0.74658460 | 2.40×10−4 | 0.74682426 | 1.25×10−7 |
收敛阶验收：n 从 4 到 16（h 缩 4 倍），梯形误差缩 16 倍（3.84e−3 → 2.40e−4）⇒ O(h2) ✓；辛普森误差缩 250 倍（3.12e−5 → 1.25e−7）⇒ O(h4) ✓。n = 16 的辛普森已把真值咬到小数点后第六位——抛物线贴曲线，一步抵四步。
注：奇性警示——被积函数若在端点有奇性（√x 型），辛普森优势骤减（n=4 误差仍有 3.6×10−3，见补充验算）。综合站实验页将给辛普森装上自适应加密，专治这种「边角硬骨头」。
本课练「回到定义」的手感——所有技巧失灵时，定义是最后的退路，也是概念的试金石。
练 1.1 从定义证明 ∫ab c dx = c(b−a)（任意常数的积分）。
答：任何分割下每项都是 c·Δxi，和恒为 c(b−a)，极限自然如此——「零工作量的积分」。
练 1.2 用右端点黎曼和（n 等分）证明 ∫0b x dx = b2/2。
答：σn = ∑(i/n)·b·(b/n) = b2·n(n+1)/(2n2) → b2/2。三角形面积公式被定义精确复现。
练 1.3 中点和表演：∫01x2dx 取中点 ξi = (i−½)/n 时，σn = 1/3 − 1/(12n2)（已验算：n=10 得 0.332500，分数 133/400）。说明中点和从下方逼近且误差为 O(1/n2)——比右端点的 O(1/n) 快一个量级。
答：误差 = 1/(12n2)：n=10 时 0.000833，n=100 时 0.0000083。「取点取在段中央」是免费的加速器。
练 1.4 判断并说理：「黎曼和的极限若存在，则它依赖分割方式与取点方式。」
答：错——定义要求极限与两者都无关（无关才有资格叫「那个」积分）。可积性理论（§1.3–1.4）的全部工作就是驯服这个任意性。
练 1.5 用带号面积的语言解释 ∫01(−1)dx = −1 与 ∫01|x−½|dx 的几何意义。
答：前者是 x 轴下方单位矩形（带号 −1）；后者是两个底 ½ 高 ½ 的三角形拼成的「V 谷」，面积 ¼（拆段可算）。
小结：定义题的三板斧——选分割（常取等分）、算和式（等幂和公式）、取极限。练 1.3 的中点和公式 1/3 − 1/(12n2) 顺手记住，它还会在数值积分（§1.18）里再立一功。
练 2.1 证明：单调函数在 [a,b] 上可积。
答（思路）：n 等分时第 i 段振幅 ≤ |f(xi)−f(xi−1)|，缝宽 U−L ≤ (b−a)·|f(b)−f(a)|/n → 0。矩形虽贴不齐，误差总量仍被 n 驯服。
练 2.2 f 在 [0,1] 上除 x = 1/2 外恒为 0，f(1/2) = 5。问可积性与积分值。
答：可积且积分为 0——把 x=1/2 关进总长 ε/10 的小盒，盒内振幅至多 5、贡献至多 ε/2；盒外处处零。单点的「尖刺」伤不了积分。
练 2.3 Dirichlet 函数在 [0,1] 上的达布上和与下和各是多少？
答：U ≡ 1、L ≡ 0（每段都同时含两类数）——缝宽恒为 1，任何分割都救不了，不可积。
练 2.4 思考题：黎曼函数 R 在 x = 0 处连续吗？
答：连续。0 附近的分数 p/q 要 R(p/q) = 1/q ≥ ε，q 只能 ≤ 1/ε——有限个低分母分数可以躲开，故 R(x) → 0 = R(0)。对照：在每个分数点处不连续（邻居的 R 值压不下去）。
练 2.5 变体：g(p/q) = 1/q2（最简分数），g(无理) = 0。判定可积性与积分值。
答：与例2 同法可积、积分为 0——高点压得更低（1/q2），窄盒论证更轻松。「黎曼函数家族」全员可积。
小结：本课五题全围绕一句话——「振幅总和可控」。练 2.2 与练 2.5 的「窄盒论证」是可积性证明的标准兵器，它的五步节奏（给定 ε → 找坏点 → 关盒 → 盒外压振幅 → 合计 < ε）练成条件反射。
练 3.1 估计 ∫0π/2(1 + sin x)dx 的范围，并求真值核对。
答：被积函数 ∈ [1, 2]，区间长 π/2 ⇒ π/2 ≤ 积分 ≤ π；真值 = π/2 + 1 ≈ 2.5708，落带内 ✓。
练 3.2 不计算比较 ∫01x2dx 与 ∫01x dx。
答：x2 ≤ x（0≤x≤1）⇒ 保序给 1/3 < 1/2——「矮的围不出大的」。
练 3.3 证明：f 在 [0,1] 连续且 0 ≤ f ≤ 1，则 ∫01f dx ≤ ∫01√f dx。
答：0 ≤ f ≤ 1 时 f2 ≤ f，开方得 f ≤ √f，保序即得。（积分比大小，常常只是逐点比大小。）
练 3.4 f(x) = x2 在 [0,3]：用中值定理求出所有满足 ∫ = f(ξ)·3 的 ξ。
答：∫03x2dx = 9 ⇒ f(ξ) = 3 ⇒ ξ = √3 ≈ 1.732（在区间内，唯一）。「平均高度 3」被 x = √3 精确取到。
练 3.5 计算 ∫02π|sin x|dx（先估后算）。
答：|sin x| 以 π 为周期 ⇒ = 2∫0π sin x dx = 4。（§1.12 周期公式的首战。）
练 3.6 f(x) = x 在 [−1,1]：中值定理的 ξ 是谁？为何它必存在？
答：∫ = 0，f(ξ)·2 = 0 ⇒ ξ = 0——正负面积正好对消的中点。连续性保证「平均高度」被取到。
小结：性质题贵在「先性质后计算」。练 3.3 的 f ≤ √f、练 3.5 的周期化简，都是不碰原函数的「白得」。
练 4.1 F(x) = ∫0x cos(t2)dt，求 F′(x)。
答：F′ = cos(x2)——直接还原。cos(t2) 原函数非初等，但求导不问出身。
练 4.2 F(x) = ∫xx3 dt/(1+t4)，求 F′(x)。
答：拆限 + 链式：F′ = 3x2/(1+x12) − 1/(1+x4)。上限 x3 求导出 3x2，别漏。
练 4.3 求极限 limx→0 (1/x3)·∫0x sin(t2)dt。
答：洛必达 + 变限求导：分子导 sin(x2) ~ x2，分母导 3x2，极限 = 1/3。（变限积分是「未定式」的常客。）
练 4.4 F(x) = ∫0x2 e−tdt，求 F′(x) 与 F(1)。
答：F′ = 2x·e^(−x2)；F(1) = ∫01e−tdt = 1 − 1/e ≈ 0.6321。
练 4.5 陷阱题：G(x) = ∫0x x·f(t)dt（被积式里也有 x！），求 G′(x)。
答：先把 x 提出：G = x·∫0xf(t)dt，再乘积求导：G′ = ∫0xf(t)dt + x·f(x)。两处都得导——只对上限导是本题埋的雷。
练 4.6 证明：f > 0 连续时 F(x) = ∫axf(t)dt 严格递增，并给几何解释。
答：F′ = f > 0。几何：流动面积的「增速」就是曲线高度——高度恒正，面积必然越积越多。
小结：变限积分是「积分造函数」的第一现场，也是后续微分方程（下册）的通用语言。练 4.3 的极限套路（洛必达 + 变限导）收录为常备手筋。
练 5.1 计算 ∫02|1 − x|dx。
答：拆点 x=1：∫01(1−x)dx + ∫12(x−1)dx = ½ + ½ = 1。绝对值 = 折点拆段。
练 5.2 计算 ∫0π √(1 − cos2x) dx。
答：√(1−cos2) = |sin x| = sin x（[0,π] 上非负）⇒ 积分 = 2。根号出来先接绝对值，再判符号。
练 5.3 计算 ∫−11(1 + x2)dx。
答：偶函数翻倍：2∫01(1+x2)dx = 2(1 + 1/3) = 8/3。
练 5.4 计算 ∫02 max{x, x2} dx（已验算 17/6 ≈ 2.8333）。
答：max 在 [0,1] 取 x（x ≥ x2）、[1,2] 取 x2：∫01x + ∫12x2 = ½ + 7/3 = 17/6。「max/min = 分段」。
练 5.5 已知 ∫01f(x)dx = 3，求 ∫01(f(x) + f(1−x))dx。
答：换元 u = 1−x 得 ∫01f(1−x)dx = 3，合计 6。「镜像积分与原积分同值」。
练 5.6 验证：对 f(x) = x2、F(x) = x3/3，N-L 给出 ∫02f dx = 8/3；再用 §1.3 的估值带核对（n=4 达布：0.218750/0.468750 是 [0,1] 值，自行换算 [0,2] 倍数）。
答：[0,2] 上 x2 缩放 8 倍 ⇒ 达布估值带 ×8 与 8/3 相容 ✓。
小结：本课六题零「高难」，全在基本功：拆段（5.1/5.4）、保号（5.2）、对称（5.3/5.5）。N-L 是快，不是省检查。
练 6.1 计算 ∫01 x·exdx 与 ∫0π/2 x·cos x dx。
答：分部二连：前者 = [xex − ex]01 = 1；后者 = [x sin x + cos x]0π/2 = π/2 − 1（均已验算）。「幂 × 指数/三角」标准分部。
练 6.2 计算 ∫0π x·sin x dx。
答：= [−x cos x]0π + ∫0π cos x dx = π + 0 = π（已验算）。
练 6.3 计算 ∫01 √(1−x2) dx。
答：x = sin t（t: 0→π/2）：∫cos2t dt = π/4——恰为单位圆面积的四分之一，几何与代数互证。
练 6.4 计算 ∫04 dx/(1+√x)。
答：t = √x（x = t2，dx = 2t dt，限 0→2）：2∫02 t/(1+t)dt = 2[t − ln(1+t)]02 = 4 − 2ln3 ≈ 1.8028（已验算）。
练 6.5 找错：有人对 ∫−11 (1/t2)? 用换元 t = 1/x？不——有人对 ∫−11 dx/(1+x2) 作换元 x = 1/t，说「新限还是 −1 到 1」，结果得负值。错在哪？
答：x = 1/t 在 t = 0 处断裂、在 [−1,1] 上不连续更不单调——换元三条件（连续可导、单调、端点对应）全违反。换元的合法域是硬约束。
练 6.6 循环分部：∫01 ex·sin x dx（提示：分部两次回到自身）。
答：设 I = 原积分，两次分部后 I = e·sin1 − e·cos1 + 1 − I? 解出 I = [e(sin1−cos1)+1]/2 ≈ 0.9093。（循环分部 = 「自己解自己」的方程。）
小结：换元管「结构难看」（根号、复合），分部管「两类相乘」——本课前四题是两种手艺的标准模型，6.5 是安全须知，6.6 是进阶连招。
练 7.1 计算 ∫−22 (x3 + |x|) dx。
答：x3 奇（清零）+ |x| 偶（翻倍）= 2∫02x dx = 4。一零一倍，两步收工。
练 7.2 计算 ∫−ππ sin3x dx。
答：sin3 是奇函数 ⇒ 0。判奇偶比降幂快得多。
练 7.3 计算 ∫04π|sin x|dx。
答：周期 π，4 个整周期 × ∫0π sin = 2 ⇒ = 4×2 = 8。
练 7.4 计算 ∫−11 (x·e^(x2) + x2) dx。
答：第一项奇清零，第二项偶翻倍 = 2/3（已验算）。合成函数逐项判，别整体硬算。
练 7.5 折叠定理：证明 ∫0π x·f(sin x)dx = (π/2)·∫0π f(sin x)dx，并用它算 ∫0π x·sin2x dx。
答：令 u = π − x，两式相加：左边 = ∫0π (x + π − x)f(sin x)dx? ——即 π∫f，除二得 (π/2)∫f。应用：x·sin2x 对 π/2 对称，∫ = (π/2)∫0π sin2x dx = (π/2)·(π/2) = π2/4 ≈ 2.4674（已验算）。「x 配 sin 的对称拆」。
练 7.6 思考：为什么偶函数公式只说 2∫0a，而周期公式敢说「任何起点都一样」？给几何解释。
答：偶函数靠「镜像两叶等面积」，必须以对称轴为界；周期函数靠「传送带平移不变」，起点平移不改变一段周期内的总量。
小结：对称题的顺序感——先判奇偶（零成本）、再查周期（平移成本）、最后才动硬算。练 7.5 的折叠公式是 π 相关积分的高频钥匙。
练 8.1 求 y = x2 与 y = 2x − x2 围成的面积。
答：交点 0、1；[0,1] 上直线在上：∫01(2x − 2x2)dx = 1 − 2/3 = 1/3。
练 8.2 求 y = x3 与 y = x 在 [−1,1] 之间围成的总面积。
答：交点 −1,0,1，两叶对称：2∫01(x − x3)dx = 2(½ − ¼) = 1/2。奇函数围域常成对出现。
练 8.3 求 y = √x 与 y = x2 围成的面积。
答：互为反函数，交于 (0,0)、(1,1)：∫01(√x − x2)dx = 2/3 − 1/3 = 1/3。
练 8.4 求 y = sin x 与 x 轴在 [0, 2π] 之间的总面积。
答：两叶等面积（各 ∫0π sin = 2）：共 4。「面积取 |·|，别把负叶丢了」。
练 8.5 y = x2（0 ≤ x ≤ 1）绕 x 轴与绕 y 轴旋转，分别求体积。
答：绕 x 轴（圆盘）π∫01x4dx = π/5；绕 y 轴（薄壳）2π∫01x·x2dx = π/2。一弧两旋两答案（与例9 同款双法）。
练 8.6 思考：例9 中 y = √x 绕 y 轴若用圆盘法（反解 x = y2），体积为何是 π∫01(1 − y4)dy？「1」从哪来？
答：横切时外半径恒为 1（旋转体右边界 x = 1），内半径 y2——圆环体积 π(外2−内2)dy。「环 = 外盘 − 内盘」。
小结：面积看「上下」，体积看「内外/盘壳」——所有公式都长着「∫（截面量）·dx」一张脸。练 8.6 与例9 对照精读：双法同账是自检利器。
练 9.1 求 y = x3/2 在 [0,3] 的弧长（已验算）。
答：L = ∫03√(1 + 9x/4)dx = (8/27)(1 + 9x/4)3/2|03 = (31√31 − 8)/27 ≈ 6.0963。凑微分 ∫√(1+kx)dx 是弧长的常见收尾。
练 9.2 证明 y = cosh x 在 [0,a] 的弧长 = sinh a，并解释「弧长恰为垂度函数」的巧合。
答：1 + sinh2 = cosh2 ⇒ L = ∫0acosh x dx = sinh a。悬链线的「自解根号」源自双曲恒等式——它是少数弧长积分完全初等的非多项式函数。
练 9.3 求 y = √x 绕 x 轴旋转（[0,1]）的曲面面积（已验算）。
答：S = 2π∫√x·√(1 + 1/(4x))dx = 2π∫01√(x + ¼)dx = (π/6)(5√5 − 1) ≈ 5.3304。技巧：√x·√(1+1/(4x)) = √(x+¼)（乘积开根合并）。
练 9.4 求摆线一拱绕 x 轴旋转的体积（已验算 5π2 ≈ 49.348）。
答：V = π∫y2dx = π∫02π(1−cos t)3dt = π(2π + 3π) = 5π2（∫cos2 = π，奇次项清零）。
练 9.5 思考：弧长公式的根号为何「免不掉」？举一个被积函数说明弧长积分常非初等。
答：ds 是斜弦（勾股），√(1+f′2) 是斜率的几何必然——不似面积可直取 f。例：y = ex 弧长 ∫√(1+e2x)dx 就要用换元硬啃或数值化。
小结：弧长题先看「根号可否解开」（9.2 恩赐型），再试「参数化能否消根」（9.4 摆线型），否则数值化（§1.18）。旋转曲面公式 = 弧长微元 × 2πf，圆台侧面积的微元版。
练 10.1 劲度系数 k 的弹簧拉长 x，求克服弹力做的功。
答：W = ∫0x k·t dt = kx2/2。变力做功的「微元账」：每小段按当时弹力计费。
练 10.2 链条 5 m 重 30 N（线密度 6 N/m），从桌面竖直拉起 3 m，求做功。
答：拉到只剩 x 米在桌下时需提力 6x? ——按「每米提升 1 m」计：W = ∫03 6x dx = 27 J。位移越长的链段越「贵」。
练 10.3 半球形水池半径 1 m，满水抽到沿口，求做功（已验算）。
答：W = ρgπ∫01(1−y2)(1−y)dy = ρgπ·5/12 ≈ 12.83 kJ。例11 的缩小版，句式不变。
练 10.4 宽 2 m、高 1 m 的竖直矩形闸门，上沿在水面下 1 m 处，求总压力（已验算）。
答：P = 2ρg∫12y dy = 2ρg·(3/2) = 3ρg = 29.4 kN。「顶部在水下」只是把积分区间从 [0,h] 挪到 [1,2]。
练 10.5 求 √x 在 [0,4] 上的平均值。
答：f̄ = (1/4)∫04√x dx = (1/4)(16/3) = 4/3。（∫04√x = (2/3)·43/2 = 16/3。）
小结：物理题翻译三步——画剖面、取微元、写强度。练 10.2 与 10.3 的区别（拉链段 vs 抽水层）在于「谁在移动」：链段整体上移、水层各自到沿。
练 11.1 计算 ∫01 x√(1−x) dx（已验算）。
答：u = 1−x：∫01(1−u)√u du = 2/3 − 2/5 = 4/15 ≈ 0.2667。换元 + 幂函数积分的干净组合。
练 11.2 计算 ∫0π sin3x dx。
答：偶对称折半再降幂：2∫0π/2sin3x dx = 2·(2/3) = 4/3。（∫0π/2sin3 = 2/3，Wallis 公式的首秀，第六章重逢。）
练 11.3 计算 ∫0π x·sin2x dx（已验算）。
答：折叠（练 7.5）：= (π/2)∫0πsin2x dx = (π/2)(π/2) = π2/4 ≈ 2.4674。别傻算 2x2 降幂。
练 11.4 计算 ∫02 (2x+3)√(x2+3x) dx（已验算）。
答：凑微分 d(x2+3x) = (2x+3)dx：= (2/3)(x2+3x)3/2|02 = (2/3)·103/2 = 20√10/3 ≈ 21.0819。「导数正好在场」的完美凑微分。
练 11.5 证明：f 在 [a,b] 连续、f ≥ 0 且不恒为零，则 ∫abf dx > 0。
答：取 f(x0) = c > 0 的点，由连续性存在长 δ 的邻域使 f > c/2 ⇒ 积分 ≥ (c/2)δ > 0。「连续 + 局部正 ⇒ 整体正」。
小结：本章 60 余题至此收官。把 p22 的方法表与本题谱对照自评：每个「题面特征」都能在 10 秒内报出「首选策略」者，第一章通关。
复盘不是重做，是给错误建档。本章最常出事的三处，全部建档如下：
| 高频错误 | 典型症状 | 解药 |
|---|---|---|
| 换元忘换限 | ∫01 换元后仍写 0→1，数值错位 | 「换元先换限」写在工作首行 |
| 变限求导漏链式 | ∫0x2f(t)dt 求导写成 f(x2) | 「上限函数 × 上限导」口诀 |
| 弧长/开根丢项 | √(1−cos2x) 直接写 sin x；弧长漏 √(1+f′2) 的「1」 | 根号出来先接 |·|；ds = 勾股弦 |
三问自测（合上书回答）：
问一 黎曼和四步舞的完整口诀是什么？极限为什么必须「与分割、取点无关」？
参考：分割、近似、求和、取极限；无关才保证「这个积分」是唯一确定的量。
问二 牛顿-莱布尼茨公式的两个前提分别是什么？若 f 连续，两者如何自动满足？
参考：f 可积（连续⇒可积，§1.4）+ 存在原函数 F（连续⇒变限积分即原函数，§1.8）。
问三 梯形与辛普森的误差阶各是多少？√x 型奇性为何让辛普森失色？
参考：O(h2) 与 O(h4)；辛普森的抛物线在端点斜率无穷处贴不上，收敛骤慢（n=4 误差 3.6×10−3）。
收束：第一章从「商功」出发抵达「拱心石」，习题从定义走到综合。下一章不再立新概念，而是把 N-L 与微元法放出去「打工」——面积、体积、弧长、功、质心，一路清算。
《九章算术》卷五以「商功」为名，专管工程土方：筑城、挖壕、修堤、开渠，都要先算体积、再按「功」（一人一日的工作量）分派人工。「商」者，估量也——商功即「工程的体积预算」。全章 28 题列队：城、垣、堤、沟、堑、渠六种穿地体打头，方堢壔（正四棱柱）、圆堢壔（圆柱）、方亭（四棱台）、圆亭（圆台）、方锥、圆锥随后，羡除、刍甍、刍童等拟柱体压阵——一座完整的「立体几何工地」。
本章开篇的城垣公式「并上下广而半之，以高乘之，又以袤乘之」是等截面体的通法；而圆锥术「下周自乘，以高乘之，三十六而一」则是变截面体的账：(2πr)2·h ÷ 36 = 4π2r2h/36，取 π ≈ 3，恰得 r2h = ⅓πr2h·(3/π)|π=3——「三而一」的现代真身正是 ∫0hπ(rx/h)2dx = ⅓πr2h。《九章》只给了账目，本章的黎曼和给出了账目为何成立。
| 《九章》商功 | 本章定积分 |
|---|---|
| 「以积求功，以功求积」（体积↔工作量） | 积分值 ↔ 累加总量 |
| 「并上下广而半之，以高乘之」（等截面） | ∫ab A dx = A(b−a)（A 恒定） |
| 圆锥「三而一」（变截面） | ∫0h πr2x2/h2 dx = ⅓πr2h |
| 分段验收、汇总土方 | 区间可加性（§1.5） |
刘徽为商功章作注时反复使用「推割补」与「截面」的观念（为锥体「以某截面度之」），可惜未及像祖暅那样凝成一般原理（札记②接棒）。今天回望，商功章是一部「积分应用前史」：它确立了「体积 = 截面 × 累积」的世界观，缺的只是「无穷细分」的最后一步——这一步，黎曼和替它迈了。
公元五世纪末，祖冲之之子祖暅留下一句十六字的原理（原载《缀术》，今存于《九章》李淳风注）：「夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异」——幂是截面积，势是高度：两层几何体若在每一高度处截面积都相等，则总体积必相等。等高切片、逐层对账，这正是「体积 = ∫截面」的最古朴写法（挑战二将用它完整推出球体积公式）。
原理最壮丽的战场是球体积。刘徽已算出「球与牟合方盖（两枚正交圆柱的公共部分）体积之比为 π : 4」，却没能算出方盖本身，叹曰「敢不阙疑，以俟能言者」。祖暅接棒：方盖的八分之一与内切球八分之一比较，方盖「缺口」（方盖差）在高度 z 处的截面恰是 z2——与一个倒立的方锥幂势既同！方锥体积 r3/3 人人会算，于是方盖体积水落石出，球体积随之 V = (π/4)·(16r3/3) = 4πr3/3。
时间对照
祖暅（约 5 世纪末）「幂势既同，则积不容异」→ Cavalieri（1635）《连续不可分量几何学》发表同一原理——晚了约 1100 年。今日教材称 Cavalieri 原理处，皆可补一行小注：东方的名字叫祖暅。
现代视角下，祖暅原理是「体积由截面累积」的直接推论（两体积的截面函数相同 ⇒ 积分相同），也是第五章积分换序（Fubini 型论证）的先声。一段几何直觉，等了一千年才等到它的积分语言——但直觉一旦等到语言，立刻成为定理。
第一章的骨架可以画成一条「从账本到拱心石」的主干道，旁开一条数值支路：
方法表回顾（p22 全表收束为五行）：初等型查原函数两端一减；根号型三角换元；两类乘积分部（反对幂指三）；对称区间先折叠；非初等交给辛普森。概念表回顾：可积 ⟺ 达布缝可任意窄；变上限积分 Φ′ = f；N-L = 两世界的同一笔账。
三个「留白待续」：√x 的自适应求积（本章实验，p58）；sin3 的 Wallis 公式（第六章幂级数重逢）；e^(−x2) 的 Γ 函数身世（第三章揭底）。第一章立起了账法，这三张欠条，中册后文一一兑付。
一句话：定积分是「无穷多份无穷小贡献的总和」——四步舞（分割、近似、求和、取极限）把这句抒情翻译成可验算的账目；N-L 公式再把账目压缩成一次减法。
它解决了什么：商功只会算「截面恒定」的体积；黎曼和让「截面变化」也进账本，圆锥「三而一」、半球水池、悬链线弧长从此一体清算。可积性理论（达布缝）则回答「什么才有资格进账本」——振幅总和可控，而非处处连续。
它留给中册什么：第三章的反常积分把「区间无穷长」也拉进账本；第四章起级数把「离散累加」做成平行宇宙——积分判别法将证明两个宇宙互为译文。本书一切收敛之问，都是本章那句「缝能否拉窄」的变奏。
一句提醒：N-L 之所以可靠，是因为「连续必可积、变限必可导」两块基石——用它之前先看地基（练 5 的检查清单），这是分析学对「勇气」的收费标准。
挑战题 证明：闭区间 [a,b] 上的连续函数黎曼可积（§1.4 定理①的完整版）。
第 0 步（翻译目标）：用 ε 判据，即对任意 ε > 0，构造分割 P 使 U(f,P) − L(f,P) < ε。
第 1 步（引入振幅）：记 ωi = Mi − mi（第 i 段上 sup 与 inf 之差，即「振幅」），则 U − L = ∑ωiΔxi。目标改为：让振幅的加权总和小于 ε。
第 2 步（一致连续登场）：f 在闭区间 [a,b] 上连续 ⇒ 一致连续（Cantor 定理，上册第三章）：对任意 η > 0，存在 δ > 0，使 |x − x′| < δ 时 |f(x) − f(x′)| < η。关键在于 δ 对全区间一视同仁——这正是「闭」字收的税。
第 3 步（构造分割）：取 η = ε/(b−a)，按 δ 作 n 等分使每段长 Δx < δ。则每段振幅 ωi ≤ η。
第 4 步（收网）：U − L = ∑ωiΔxi ≤ η·∑Δxi = η(b−a) = ε。∎
复盘两问：① 为什么必须「一致」连续？——逐点连续只保证「每点附近有各自的 δ」，拼不成全区间统一 δ，第 3 步的统一分割就无从谈起（Dirichlet 型反例正是利用这种不统一）。② 证明里哪里用了「有界」？——连续于闭区间必有界（最值定理），Mi、mi 才是实数，达布和才有定义。
注：单调函数版（练 2.1）与有限间断点版（§1.4 定理③）同法可证——三大可积定理共用一套「振幅预算」的会计语言。
挑战题 ① 把祖暅原理写成积分语言并加以说明；② 用它完整推导球体积公式 V = 4πr3/3。
① 积分语言：设两立体 A、B 摆在同一 x 轴上，对每个高度 x，二者截面面积相等 A(x) = B(x)，则 V = ∫A(x)dx = ∫B(x)dx——「幂势既同，则积不容异」。它不是新公理，而是「体积 = 截面积分」定义的直接推论：同一被积函数，积分当然相同。
② 球体积四步（取八分之一球，半径 r，置于墙角）：
步骤 1：高度 z 处，八分之一球的截面是圆，半径 √(r2 − z2)，面积 π(r2 − z2)。
步骤 2：考虑「方盖差」= 外切方块 − 牟合方盖八分之一：其截面 = r2 − (r2 − z2) = z2（刘徽已证方盖截面 r2 − z2，此处相减）。
步骤 3：倒立的四棱锥（底 r2、高 r）在高度 z 处截面 = (z)2（相似比 z/r 的平方，即 r2·(z/r)2）。与方盖差幂势既同 ⇒ 方盖差体积 = 方锥体积 = r3/3。
步骤 4：牟合方盖八分之一 = 方块 r3 − r3/3 = 2r3/3 ⇒ 全牟合方盖 = 16r3/3；由刘徽比 V球 : V方盖 = π : 4，得 V球 = (π/4)·16r3/3 = 4πr3/3。∎
注：牟合方盖 = 两枚正交圆柱公共部分，刘徽发现它是球体积的「中转站」：V球/V方盖 = π/4。挑战二即札记②的完整版——把「幂势既同」从口号变成四步证明。
全局辛普森在 √x（端点导数无穷）上收敛骤慢（n = 4 时误差 3.6×10−3，n = 32 仍有 1.6×10−4，已验算）——均匀加密太浪费：左端难啃处与右端平坦处吃一样的预算。药方：自适应步长——难处加密、平处放行。
核心机制：两次估算互为验钞机
对 [a,b]：先算一次粗账 S(a,b)（单块辛普森）；再对折算细账 S2 = S(a,c) + S(c,b)（c 为中点）。两者之差 |S2 − S1| 就是本段误差的「活体估计」，且满足 |真值 − S2| ≈ |S2 − S1|/15（辛普森误差阶的推论）。于是判据：|S2 − S1|/15 < tol 则采纳 S2；否则对 [a,c]、[c,b] 递归加密。
伪代码（递归版）：
AS(a, b, tol):
c = (a+b)/2；S1 = S(a,b)；S2 = S(a,c) + S(c,b)
若 |S2 − S1|/15 < tol：返回 S2 ＋ (S2 − S1)/15 （顺手做误差补偿）
否则：返回 AS(a,c,tol/2) ＋ AS(c,b,tol/2)
对 √x 于 [0,1] 的预期战果：左半 [0, 0.25] 会被递归切开五六层，右半 [0.5, 1] 一两层放行——总采样点数比全局 n=32 少一个量级，而误差持平或更优。这正是「预算花在刀刃上」：误差在哪儿大，网格就在哪儿密。
注：工程实现还须加两道保险——递归深度上限（防奇异点无限细分）与最小段宽（防浮点抖动）。数值软件库（如 QUADPACK）的自适应辛普森/高斯算法，骨架与本页伪代码同源。
合卷限时 40 分钟；评讲要点在页末，先自测再翻。
T1（填空） ∫−11 (x3 + 2x2)dx = ______。
T2（填空） 辛普森公式的截断误差阶为 O(____)；全局辛普森对 √x 在 [0,1] 收敛变慢的原因是______。
T3（计算） ∫0π/2 x·sin x dx。
T4（计算） F(x) = ∫0x2 cos(√t) dt，求 F′(x)。
T5（证明） f 在 [a,b] 连续，证明 ∫ab f(x)dx = ∫ab f(a+b−x)dx，并据此说明「[a,b] 上连续函数的平均值在区间中点处被取得」是否成立。
参考答案与评讲
T1：奇项清零、偶项翻倍 = 2∫012x2dx = 4/3。评讲：对称区间第一反应是判奇偶（p46 练 7.4 同款）。
T2：O(h4)；端点导数无穷（奇性）令抛物线贴不上。评讲：收敛阶是「平均战力」，奇性是局部天灾——自适应求积（p58）正是对症药。
T3：分部：(−x·cos x + sin x)|0π/2 = 0 + 1 = 1。评讲：边界项在 cos(π/2) = 0 处归零，只剩 sin(π/2) = 1——边界项永远亲手代值验收。
T4：F′ = cos(√(x2))·2x = 2x·cos(x)（x ≥ 0 时 √(x2) = x）。评讲：链式 + 根号化简双关卡；x < 0 时须写 |x|——细节即严谨。
T5：换元 u = a+b−x（du = −dx，限互换）即得恒等式。几何：积分不受「镜像翻转」影响；但「平均值在中点取得」并不总成立——中值定理只保证 ξ 存在于 [a,b]，未必恰是中点（除非 f 对称）。评讲：把「存在 ξ」与「ξ 在某处」分开，是中值定理最常见的误读。
收官一句：第一章「商功」立账，第二章「微元」闯天下。带上这套账法，我们去把《九章》商功章没算完的体积，一个一个算完。
第一章练熟了累加的功夫：黎曼和给定义、牛顿-莱布尼茨给捷径。但那只算过几样「标准件」——曲边梯形的面积、几件旋转体。本章把这套功夫推向一切：面积、体积、弧长、曲面、功、压力、引力、质心、惯量，乃至概率——全部装进同一台机器。
机器的名字叫微元法。它的精神，商功章的老工匠早就在用：城垣的土方，「并上下广而半之，以高乘之，又以袤乘之」——把变截面的堤坝当成一摞薄条来记账。区别只在于：老工匠的薄条是等厚的土方，我们的微元可以薄到 dx，而且不管算的是土方、水量、功还是引力，语法完全相同。
本章地图
§2.2 微元法的三步语法 → §2.3–2.4 几何应用（面积）→ §2.5–2.6 几何应用（体积）→ §2.7–2.8 几何应用（弧长与曲面）→ §2.9–2.14 物理应用（功、压力、引力、质心、惯量）→ §2.15–2.16 概率与平均值 → §2.17 走向数值模拟〔离散⇄连续〕→ §2.18 建模案例。
先立一条本章的规矩：每个公式都从微元长出来，不背结论、只记切法。公式会忘，切法不会。
微元法三步，像黎曼和的四步舞一样背熟：
微元法三步
① 选微元：在自变量的代表性位置 x 处，「薄薄地切一刀」，切出宽 dx 的一片。选哪里切、按什么方向切，是建模的第一决断。
② 写微分：把这一小片上「以常代变、以直代曲」，写出局部量 dQ ≈ Q(x)dx——要求 dx→0 时误差是 o(dx)（比 dx 更高阶的小量），这样求和取极限后误差才消失。
③ 定限求和：确定 x 的活动范围 [a,b]，把全部微元加起来：Q = ∫ab dQ。收账。
为什么合法？黎曼和保证了：只要每片的主部是 Q′(x)dx、误差是 o(dx)，n 片的误差总和 n·o(dx) 在 ‖P‖→0 时归于零。所以微元法不是新数学，是黎曼和的速记——但这个速记快得多：第一章圆锥体积要老老实实写和式，如今一行 dV = πr2x2/h2 dx 直接到位。
最朴素的打开方式：两条曲线 f(x) 与 g(x) 在 [a,b] 上f ≥ g，竖着切一刀，微元是高 f(x)−g(x)、宽 dx 的细矩形：
两个细节决定成败。其一，交点定限：区间端点常由 f = g 解出，不能想当然。其二，换位拆段：若两曲线在中途交换上下，必须按交点拆段、每段内保持「上减下」。
尝鲜一：y = x2 与 y = √x 之间（交于 x = 0, 1）。在 (0,1) 内 √x 在上，A = ∫01(√x − x2)dx = ⅔ − ⅓ = 1/6。切法不同、答案相同——上册习题里横着切也算过它。
尝鲜二：sin x 与 cos x 在 [0, π/4] 之间，cos 在上：A = ∫0π/4(cos x − sin x)dx = [sin x + cos x]0π/4 = √2 − 1 ≈ 0.4142。两条曲线间距从 1 收窄到 0，积分把这段「渐行渐近」精确记账。
参数曲线 x = x(t)、y = y(t)（t 从 α 到 β，且曲线不自我交叠、x(t) 不变号时）：面积微元还是「高 × 底」，只是底换成 x′(t)dt：
椭圆一笔算清：A = ∫02π b sin t·(a sin t)dt 的绝对值 = ab·π = πab——课本名表的参数推法，比∫√好走得多。
极坐标另起一行：曲线 r = r(θ)，在角 θ 处切一个张角 dθ 的小扇形，微元近似为圆扇形：
明星选手心脏线 r = a(1 + cos θ)（θ 从 0 到 2π）：A = ½a2∫02π(1+cos θ)2dθ = ½a2·(2π + π) = 3πa2/2——外圈半径 2a、内圈半径 0 的曲线，面积正好是 1.5 个半径 a 的圆。
第一章的祖暅原理已经把剧本写好：只要每个位置的截面面积 A(x) 会算，体积就是一行累加：
两件战利品。圆柱楔（劈锥）：半径 a 的圆柱被过直径、倾角 α 的平面斜着切开，截下的楔形在 x 处的截面是三角形——底 2√(a2−x2)、高 x·tan α，于是 dV = 2√(a2−x2)·x tan α dx，积分得 V = 2a3tanα/3（α = 45°、a = 1 时恰 2/3，程序验算一致）。椭球：半轴 a、b、c 的椭球，在高度 z 处截面是相似椭圆，A(z) = πab(1−z2/c2)，积分得 V = 4πabc/3——正是球体积 4πR3/3 的推广，祖暅「幂势既同」的现代版。
旋转体有两套切法，招式不同、答案必同——互查是它们的日常。盘式（垂直于轴切）：y = f(x) 绕 x 轴，微元是薄圆盘 dV = πf(x)2dx。壳式（平行于轴切）：竖条转一圈扫出薄壁圆筒，底面周长 2πx、高 f(x)、厚 dx：
互查实验：y = sin x 在 [0, π] 绕 x 轴。盘式：V = π∫0π sin2x dx = π·(π/2) = π2/2。绕 y 轴改用壳式：V = 2π∫0π x sin x dx = 2π·π = 2π2。再看碗 y = x2（0 ≤ x ≤ 1）：绕 x 轴 π/5，绕 y 轴 π/2——两套切法各得其所，谁也不欠谁。
组合体：旋转不只属于函数图像。圆环体（torus，半径 r 的圆绕距心 R > r 的轴旋转一周）体积 V = 2π2Rr2。它有一漂亮的算法——帕普斯定理：平面图形绕不与之相交的轴旋转，V = 2πd·A（d 是形心到轴的距离，A 是面积）。环体即 V = 2πR·πr2 = 2π2Rr2；第 2.10 节学会算形心后，这条定理就彻底落入口袋。
曲线「拉直了量」。在曲线上取一小段，它的微分三角形给出万能钥匙：
三种坐标各念各的经：直角 y = y(x)：ds = √(1 + y′2)dx；参数：ds = √(x′2 + y′2)dt；极坐标：ds = √(r2 + r′2)dθ。全部从同一个微分三角形变形而来，不必死记。
尝鲜：y = x3/2 在 [0,1]：弧长 = ∫01√(1 + 9x/4)dx = (8/27)(13/4)3/2·…直接给结果：(13√13 − 8)/27 ≈ 1.4397（程序验算一致）。星形线 x = cos3t、y = sin3t：ds = 3 sin t·cos t dt，全长 4×(3/2)·…，结果 = 6a（a = 1 时恰 6）——尖点曲线的弧长竟是个整数；它的面积 3πa2/8 也一并收进习题课。心脏线 r = a(1+cos θ)：ds = a√(2+2cos θ)dθ，全长 8a。摆线一拱 8a（第一章例10 已验），此处只欠东风。
曲线绕轴旋转，扫出一张曲面（水桶的侧壁、灯罩、反射镜面）。切一段弧微元 ds，它转一圈扫出的窄带近似为「斜圆台侧」，其主部是：
为什么不是 2πr·dx？因为带面是斜的——必须用弧长 ds 而非投影 dx，斜率的信息藏在 √(1+y′2) 里。漏掉它是最高频的错误。
球面用它一击即中：半径 R 的上半圆 x = R cos t、y = R sin t（0 ≤ t ≤ π），ds = R dt，S = 2π∫0π R sin t·R dt = 2πR2·[−cos t]0π = 4πR2——阿基米德刻在墓碑上的数，如今三行收账。圆锥侧面：母线段 r = x、y = hx/R 绕 x 轴，ds = √(1+h2/R2)dx = (l/R)dx，得 S = 2π∫0R x·(l/R)dx = πRl，与初等几何公式严丝合缝。
从这里开始，曲线换成大坝、水池、钢杆与概率云——但语法一字不改：切微元、写微分、定限求和。先立一张总表，本章 §2.10–2.14 逐格兑现：
| 物理量 | 微元写法 | 一句话模型 |
|---|---|---|
| 变力做功 W | dW = F(s)·ds | 位移上每一步的力 × 步长 |
| 静水压力 F | dF = ρg·h(y)·w(y)dy | 深度 h 处压强 × 该深度处的受压宽度 |
| 引力分量 F | dF = G·m·λ dx/(a+x)2 | 万有引力定律作用于每一小段杆 |
| 质心 x̄ | x̄ = ∫x·dm / M | 一阶矩平衡：支点两侧「重量×力臂」相抵 |
| 转动惯量 I | dI = r2·dm | 二阶矩：离轴越远，「懒」得越厉害 |
| 期望 E[X] | E = ∫x·f(x)dx | 密度加权的平均值（§2.15） |
一根不均匀的秤杆，支在哪里才能平衡？答案是质心：把杆切成小段，每段质量 dm 对支点产生「力矩」x·dm，平衡要求正负力矩相抵，即
质量均匀时密度约掉，质心只由形状决定，改称形心。半圆盘（半径 R，平边朝下）：横切一条，dA = 2√(R2−y2)dy，ȳ = ∫y·dA / A = (2R3/3)/(πR2/2) = 4R/3π ≈ 0.424R——比直觉的 R/2 低，因为圆盘「下宽上窄」。半圆弧（均匀细丝）：ds = R dθ，ȳ = R∫sinθ dθ / (πR/2)·R = 2R/π ≈ 0.637R——弧比盘高，因为它没有「盘」的下半部分拖累。两个数，一个低于 R/2、一个高于 R/2，对照着记。
让轮子转起来，费不费劲不只看质量，更看质量离轴多远。度量的尺子是转动惯量：
细棒（长 L，线密度 λ）：绕中心，I = ∫−L/2L/2 λx2dx = mL2/12；绕端点，I = ∫0L λx2dx = mL2/3——同一根棒，换个轴「懒」四倍（验算：λ=1、L=2 时得 2/3 与 8/3，比值恰 4）。圆盘（半径 R）：环带 dI = r2·σ·2πr dr，I = 2πσ∫0R r3dr = ½mR2。
顺手指一条捷径——平行轴定理：I = I_c + m·d2（对任意轴的惯量 = 对过质心平行轴的惯量 + m·d2）。棒的两答案立即互查：mL2/12 + m(L/2)2 = mL2/3 ✓。质量越外移、惯量越大，这正是花样滑冰收臂加速的数学。
力随位置变化时，功只能一刀一刀记：dW = F(s)·ds，W = ∫F(s)ds。弹簧是标准示范：胡克定律 F = kx，拉长 x 需 W = ∫0x ks ds = ½kx2——力线性变，功按平方长。
抽水问题是功的应用王者：水在不同深度「抬升的距离」不同，必须分层记账——在深度 z 处切一片体积 dV，抬起高度 (H−z)，dW = ρg·dV·(H−z)。
长方水池（底面 2×3、深 4，从池口抽空）：dW = ρg·6·(4−z)dz，W = 6ρg·8 = 48ρg ≈ 4.7×105 J（ρg = 9800，精确 470400 J）。圆锥形水池（顶半径 2、深 3，尖朝下）：半径随深度变，r(z) = 2z/3，W = ρgπ∫03(2z/3)2(3−z)dz = 3πρg ≈ 9.2×104 J。同是抽空，圆锥池因为「下面的水少」，功只有长方池的五分之一。
压强只看深度：p = ρgh。但竖直闸门上「深度处处不同」，总压力必须分层：在深度 y 处切高度 dy 的横条，条长 w(y)，微元 dF = ρg·y·w(y)dy。
半圆闸门（半径 R，直径贴水面）：w(y) = 2√(R2−y2)，F = ρg∫0R y·2√(R2−y2)dy = 2ρgR3/3（R = 1 米时 ≈ 6533 N，验算一致）。妙处：∫y√(R2−y2)dy 正是半圆盘形心那笔账的翻版——F = ρg·A·ȳ（面积 × 形心深度），压心恰在形心处。三角形闸门（顶边贴水面、底宽 3 米、高 2 米）：w(y) = 3(1−y/2)，F = ρg∫02 3y(1−y/2)dy = 2ρg ≈ 19600 N。
万有引力公式 F = Gm1m2/r2 只对「质点」生效。杆不是质点——切！均匀杆（长 L，线密度 λ）外有一质点 m，距杆一端 a：
两步检验。极限检验：a ≫ L 时分母 a(a+L) ≈ a2，F ≈ GMLm/a2 = GMm/a2——远处的杆退化成质点，正是该有的样子。数值检验：取 G=1、λ=2、L=2、m=3、a=1，得 F = 12/3 = 4（程序数值积分一致）。
连续型随机变量用密度函数 f(x) 描述：P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x)dx，且总概率 ∫f = 1。「概率是面积」——积分学的第四张面孔（前三张：面积、体积、功）。
均匀分布 U(2,5)：f = 1/3，期望 E = ∫25 x/3 dx = 3.5（区间中点，理所当然）。指数分布（λ=2）：f = 2e−2x，E = ∫x·2e−2xdx = 1/λ = 0.5（分部积分一笔清）。正态分布：密度 e−x2/2/√(2π) 的原函数不是初等函数——但数值积分照收：P(|X| < 1) ≈ 68.3%，P(|X| < 2) ≈ 95.4%——质量控制里「±3σ」口号的数学地基（3σ ≈ 99.7%）。
函数在 [a,b] 的平均值就是积分除以区间长：f̄ = (1/(b−a))∫ab f(x)dx——黎曼和的天然读数（中值定理里「摸得着的 ξ」正是它）。
交流电时代给它添了两个修正。整流平均：正弦取绝对值后的平均，⟨|sin|⟩ = (1/2π)∫02π|sin t|dt = 2/π ≈ 0.637。有效值（RMS）：先平方、再平均、后开方——√( (1/2π)∫sin2 ) = 1/√2 ≈ 0.707。为什么工程认 RMS 不认平均？因为发热功率按 I2R 走，平方平均才是「等效发热」的直流电流——市电「220 V」指的正是有效值，其峰值高达 220√2 ≈ 311 V。
微元法把连续世界账目理清，可真实工程的截面面积、密度分布常是一堆测量数据，没有公式——这时「离散 ⇄ 连续」的桥就通了车：
从数据到积分：离散点上的积分用复合梯形、辛普森公式（第一章 §1.18 已操练）——把「微元」从「无限薄」退回「有限宽」，精度损失换来可算性。蒙特卡洛：反向走桥——用随机离散逼近连续。求 ∫ab f dx，等价于求 f 的平均值 × 区间长；平均值用随机采样估计。最俏皮的演示是投点估 π：向单位正方形撒 N 个随机点，数落在四分之一圆内的比例 p，则 π ≈ 4p。撒 10 万点（固定种子）得 3.1373——误差 0.14%，且这误差按 O(1/√N) 收缩：想多一位十进制，点数要翻百倍。慢，但不怕维数：高维积分里它常是唯一活路。
案例：水库库容估算。测绘队报来一组等高线数据：高程每升 2 米，水面面积依次为 0、120、200、260、180、90、0（万米2）。库容 = ∫A(z)dz，数据没有公式——数值积分登场。辛普森：V ≈ (2/3)·[0+0+4(120+260+90)+2(200+180)] = 1760 万米3；梯形法只有 1700 万——曲边数据下，辛普森稳定更近真值（第一章 §1.18 的误差表在此兑现）。
| 问题 | 微元 | 结果 / 公式 |
|---|---|---|
| 面积（直角） | [f−g]dx | 交点定限、换位拆段 |
| 面积（极坐标） | ½r2dθ | 心脏线 3πa2/2 |
| 体积（截面） | A(x)dx | 椭球 4πabc/3；楔 2a3tanα/3 |
| 体积（旋转） | πf2dx / 2πxf dx | sin 绕 x π2/2、绕 y 2π2 |
| 弧长 | √(dx2+dy2) | 星形线 6a、心脏线 8a |
| 旋转曲面 | 2πr·ds | 球面 4πR2、锥侧 πRl |
| 功 / 抽水 | F ds / ρg(H−z)dV | 弹簧 ½kx2；圆锥池 3πρg |
| 压力 / 引力 | ρg y w dy / Gλm dx/(a+x)2 | 半圆闸 2ρgR3/3；杆 GMLm/(a(a+L)) |
| 质心 / 惯量 | x dm / r2 dm | 半圆盘 4R/3π；棒 mL2/12（端 mL2/3） |
| 期望 / 有效值 | x f dx / √(∫f2) | 指数 1/λ；RMS 1/√2 |
题 用微元法把最老的账重算一遍：半径 R 的圆，面积 πR2。要求切两遍——按角切、按弦切。
切法一（按角切，扇形微元）：极坐标 r = R，张角 dθ 的微扇形 dA = ½R2dθ，A = ½R2·2π = πR2。切出来全是等腰扇形，误差在 dθ 高阶，干净。
切法二（按弦切，竖条微元）：取上半圆 y = √(R2−x2)，竖条 dA = 2√(R2−x2)dx，A = 2∫−RR√(R2−x2)dx = 2·(πR2/2) = πR2。竖条的长度随位置变——这笔账其实动用了「∫√(R2−x2) = πR2/2」（三角换元的战果，第一章例8）。
收账：两种切法同一答案——这不是巧合，是「同一区域面积唯一」的必然。微元法的纪律恰恰在此：切法可以任意，答案必须唯一；两法互查从此成为本章例题的标配。
题 求心脏线 r = a(1 + cos θ) 围成的面积（a > 0）。
微元：dA = ½r2dθ = ½a2(1+cos θ)2dθ，θ 从 0 扫到 2π 一整圈。
积分：∫02π(1 + 2cos θ + cos2θ)dθ = 2π + 0 + π = 3π（∫cos2 = π 是第一章的现成结论），于是
收账与检验：心脏线最远到 2a、最近缩到原点，面积 1.5 个 πa2——介于半径 a 圆（πa2）与半径 2a 圆（4πa2）之间偏下，合理。另可用对称性复核：曲线关于极轴对称，A = 2×½∫0π r2dθ，同样的 3πa2/2。心脏线的弧长 8a 留给习题课（微元换成 √(r2+r′2)dθ）。
题 求摆线一拱 x = a(t − sin t)、y = a(1 − cos t)（0 ≤ t ≤ 2π）与 x 轴围成的面积。
微元：A = ∫y dx，而 dx = a(1 − cos t)dt，故
（a = 1 时程序数值积分 9.424778 = 3π，吻合。）
收账与回味：3πa2——恰好是心脏线面积的两倍，也是滚圆面积（πa2）的三倍。伽利略当年对这块面积着迷，猜它「接近但不到三个圆」；积分时代一锤定音：正好三个。定向教训：本题 t 从 0 到 2π 时 x 单调增（dx ≥ 0），式子天然带正号；若参数反向走，积分得负——面积取绝对值。参数法不挑函数图像，只认「沿曲线走」。
题 （一）半径 a 的圆柱被过直径、倾角 α 的平面切出楔形，求体积。（二）求半轴 a、b、c 的椭球体积。
（一）垂直于直径方向在 x 处切：截面为三角形，底 2√(a2−x2)、高 x·tan α，dV = 2x·tan α·√(a2−x2)dx，
（二）在高度 z 处切：截面是相似椭圆，两半轴按 (1−z2/c2) 缩放，A(z) = πab(1−z2/c2)，
收账：两题的截面一个是三角形、一个是椭圆——只要 A(x) 写得出，体积一律一行。阿基米德已用「薄片法」算出椭球（他的《方法》手稿），积分时代只需三行。
题 （一）y = √x（0 ≤ x ≤ 1）绕 x 轴——「喇叭口」。（二）y = x2（0 ≤ x ≤ 1）绕 y 轴——「碗」。（三）y = x 与 y = x2 之间绕 x 轴——「垫圈」。
（一）盘式：V = π∫01 x dx = π/2。
（二）壳式（绕 y 轴）：V = 2π∫01 x·x2 dx = 2π·¼ = π/2。喇叭与碗——两条互为反函数的曲线，绕不同的轴，体积居然同为 π/2。（碗改用盘式验算：V = π∫01 y dy = π/2 ✓）
（三）垫圈法（外半径 x、内半径 x2）：V = π∫01(x2 − x4)dx = π(1/3 − 1/5) = 2π/15——「大旋转体减去挖掉的小旋转体」，线性差出新体积。
收账：盘式、壳式、垫圈三招齐活。回忆第一章 sin x 绕 x 轴 π2/2、绕 y 轴 2π2——本章再添 π/2、π/2、2π/15 三笔，旋转体账本渐丰。
题 （一）半径 R 的均匀半圆盘（平边在 x 轴上），求形心。（二）半径 R 的均匀半圆弧，求形心。
（一）由对称 x̄ = 0。在高度 y 切横条：dA = 2√(R2−y2)dy，
（分子那笔 ∫y√(R2−y2)dy = 2R3/3 会在例9 闸门题原样复用——记住它。）
（二）参数 x = R cos t、y = R sin t（0 ≤ t ≤ π），ds = R dt，ȳ = ∫y ds / ∫ds = R2∫0π sin t dt / (πR) = R2·2/(πR) = 2R/π ≈ 0.637R。
收账：0.424R 与 0.637R 一低一高，都是「形心跑出半径中点」的名片。副产品：把半圆盘绕平边旋转一周，帕普斯定理给 V = 2π·d·A = 2π·(4R/3π)·(πR2/2) = 4πR3/3 ✓——球体积从形心里长出来，形心的又一场还债演出。
题 （一）长 L、线密度 λ 的均匀细棒，分别求绕过中心与过端点垂直轴的转动惯量。（二）半径 R、面密度 σ 的均匀圆盘，求绕中心轴的转动惯量。
（一）质元 dm = λ dx 在 x 处，r = x。绕中心（x 从 −L/2 到 L/2）：I = λ∫−L/2L/2x2dx = λL3/12 = mL2/12；绕端点：I = λ∫0L x2dx = mL2/3。数值对拍（λ=1、L=2）：2/3 与 8/3，比值恰 4——平行轴定理 mL2/12 + m(L/2)2 = mL2/3 现场兑现。
（二）环带微元：半径 r、宽 dr 的圆环带质量 dm = σ·2πr dr，dI = r2dm，
收账：棒端点 mL2/3、圆盘 ½mR2——「大部分质量离轴远」的立体，惯量系数就大。滑冰收臂 = 主动减小 r2 的加权，角速度立涨。
题 （一）长方水池底面 2×3 米、深 4 米，满池水抽到池口。（二）圆锥形水池顶半径 2 米、深 3 米、尖朝下，满池水抽到池口。（ρg = 9800 N/m3）
（一）深度 z 处切一层：dV = 6dz，抬升 4−z，W = 6ρg∫04(4−z)dz = 6ρg·8 = 48ρg = 470400 J。（等价于把全部 24 吨水抬平均高度 2 米。）
（二）深度 z 处水面半径 r(z) = 2z/3（相似三角形），dV = π(2z/3)2dz，抬升 3−z：
收账：圆锥池水量是长方池的四分之一不到，做功只有其约 1/5——水沉在尖底、抬升距离短，「功」比「体积」更惜低处。检验：两笔数值积分均与解析式一致（程序复核 470400 与 92362.8）。
题 （一）半径 R 的半圆闸门，直径贴水面，求总压力。（二）顶边贴水面、底宽 3 米、高 2 米的三角形闸门。（ρg = 9800 N/m3）
（一）深度 y 处横条：dF = ρg·y·2√(R2−y2)dy，F = 2ρg∫0R y√(R2−y2)dy = 2ρg·R3/3 = 2ρgR3/3。R = 1 时 F ≈ 6533 N（程序 6533.33 吻合）。且 ∫y·w dy = A·ȳ（面积 × 形心深度，例6 的 2R3/3 正是这笔账）——压心落在形心深度 4R/3π 处。
（二）深度 y 处条宽 w(y) = 3(1−y/2)，F = 3ρg∫02 y(1−y/2)dy = 3ρg·(2/3) = 2ρg = 19600 N（程序一致）。
收账：总压力 = 形心深度处的压强 × 总面积——均匀重力场里的一般定理，本节两例只是它的两次亮相。大坝越深越厚、形心越低，压力越猛——设计者真正在跟 ∫y·w dy 打交道。
题 长 L、线密度 λ 的均匀杆，延长线上距近端 a 处有一质量 m 的质点，求引力。
微元：距质点 a+x 处切长 dx 的一小段，dF = G·m·λ dx/(a+x)2，
两道检验：①数值（G=1、λ=2、L=2、m=3、a=1）：解析 12/3 = 4，程序积分 4.000000 ✓。②极限 a ≫ L：a(a+L) ≈ a2，F → GMm/a2——远看杆就是质点，引力公式无缝衔接。
回味：中段那步「∫dx/(a+x)2 收成一个分式差」是引力题的常见手筋——先积出 1/r 的落差，再让 L→0 或 a→∞ 做极限体检。近处的杆比质点强多少？a = L/2 时 F = GMLm/(a(a+L)) = 4GMLm/(3L2)，比「把杆缩成中点质点」的点模型 GMLm/L2 恰好大 1/3——「分布」在近场不是细节，是实打实的修正。
题 X ~ N(0,1)（标准正态），密度 f(x) = e−x2/2/√(2π)。求 P(|X| < 1) 与 P(|X| < 2)。
困境：e−x2 没有初等原函数（第一章 §1.18 已领教）——牛顿-莱布尼茨这条高速路不通，只能走数值桥。
数值收账：辛普森公式直接上（或查误差函数表 Φ(a) = ½(1+erf(a/√2))）：
回味：「概率 = 密度下面积」让积分成了统计学的母语。68–95–99.7 这组口诀，每一次报数背后都是一次数值积分。它与例12 一样提示：应用题的终点未必是漂亮公式，「算得出、算得准」同样是圆满。
题 某水库等高线数据：高程每升 2 米，水面面积依次为 0、120、200、260、180、90、0（万米2）。估算总库容。
建模：库容 V = ∫A(z)dz——标准的截面法（§2.5），只是 A(z) 以离散数据出场。7 个数据点、6 个子区间，辛普森公式恰好整用：
对照与误差意识：梯形法给 1700 万米3——差 60 万。地形是「上尖下肥」的曲边数据，梯形的直边假设系统性吃亏，辛普森的抛物线假设更贴。两法差值本身即粗略的误差哨兵：差值不大，说明 1760 这个数可信到两位有效数字以上。
收账：这道题走完了应用题的完整闭环：物理量 → 截面微元 → 离散数据 → 数值积分 → 误差意识。第二章的方法表（§2.18）全部在场——它是本章的毕业照。
本课练「建模的第一决断」——选对微元，题就解了一半。
练 2.1 判断并改错：「求曲线 y = f(x)（f ≥ 0）绕 x 轴的旋转体体积时，把竖条微元写成 dV = 2πx·f(x)dx。」
答：错。竖条（宽 dx）绕 x 轴扫出的是薄圆盘，dV = πf2dx；2πx·f dx 是绕 y 轴的壳式微元——轴别认错了。
练 2.2 同一平面区域绕不同轴旋转，体积一样吗？以 y = √x（0 ≤ x ≤ 1）绕 x 轴（π/2）与绕 y 轴（用壳式 2π∫x·√x dx = 4π/5）为例说明。
答：不一样——微元到轴的距离不同，扫出的立体毫无关系。例5 的「喇叭 π/2 与碗 π/2 同值」是精心挑选的巧合，不是通例。
练 2.3 微元 dQ 的「合法性」要求误差是 o(dx)。举一个反例：某一步近似误差是 O(dx)（同阶不消失），说明加总后会发生什么。
答：n 片的误差合计 n·O(dx) ~ 常数·(b−a)——极限里残留一个「系统偏差」，答案整体错位。这就是为什么「以常代变」必须换到「一阶主部」为止。
练 2.4 把「切一杯水」拆成微元法三步：杯是底半径 r、高 H 的圆柱，水从满杯喝到底，求重力做的功（以 ρg、r、H 表出）。
答：在深度 z 切片，dW = ρg·πr2·z·dz（抬升即下降 z），W = πr2ρg·H2/2——全部水等效坠落到半杯深处。圆柱对称，比圆锥池（例8）干净得多。
小结：微元法三步里最值钱的是第①步。练 2.1–2.4 各错在「轴」「区域」「误差」「方向」——四类高频事故，先在脑内排演一遍。
本课练「交点定限、上减下、换位拆段」三板斧。
练 2.5 求 y = ex、y = e−x 与 x = 1 围成的面积（x ≥ 0 一侧）。
答：交点在 x = 0，A = ∫01(ex − e−x)dx = e + 1/e − 2 ≈ 1.0862（验算 1.086161）。两条指数线张开的「喇叭口」，用 x = 1 关门。
练 2.6 求抛物线 y2 = x 与 y = x2 围成的「抛物线叶」面积。
答：交于 (0,0)、(1,1)，在 (0,1) 内 √x 在上，A = ∫01(√x − x2)dx = ⅔ − ⅓ = 1/3（验算一致）。这条「小绿叶」是阿基米德抛物线弓形的亲戚——他把 1/3 这类数用穷竭法磨了出来。
练 2.7 sin x 与 cos x 在 [0, 2π] 之间夹的总面积。
答：换位四次（π/4、5π/4 等交点），每段是 √2−1 的倍数；由对称性总面积 = 4√2 ≈ 5.657。绝对值公式不许偷懒——「带号面积」会正负抵消成 0。
练 2.8 横着切重算练 2.6（对 y 积分），验证同得 1/3。
答：A = ∫01(y4 − y2)?——注意右边界是 y2、左边界是 y2 = x 即 x = y2 与 x = y2…细写：x 从 y2 到 √y，A = ∫01(√y − y2)dy = 1/3。切法换轴，答案唯一——微元法的「双向可查」。
小结：直角坐标面积的全部难点在「定限」与「拆段」——先画图、再解交点、后动笔。
本课练「换坐标系不换脑子」。
练 2.9 用极坐标微元验证：圆 r = 2a cos θ 的面积是 πa2。
答：A = ½∫−π/2π/2(2a cos θ)2dθ = 2a2·(π/2) = πa2（验算一致）——「过极点的圆」用极坐标一步收账，直角坐标反而绕。
练 2.10 求双纽线 r2 = a2 cos 2θ 围成的总面积。
答：θ 限在 |θ| ≤ π/4 与对称的另一叶，A = 2·½∫−π/4π/4a2cos 2θ dθ = a2·[sin 2θ/2]·2·½…直接给结果 a2（验算 1.000000）。伯努利的「丝带结」面积恰是 a2——定义式里的 a2 直接透传成面积。
练 2.11 求摆线一拱的弧长（x = a(t−sin t)、y = a(1−cos t)）。
答：ds = a√(2−2cos t)dt = 2a|sin(t/2)|dt，L = ∫02π2a sin(t/2)dt = 8a——第一章例10 的数值，参数法两行收账。
练 2.12 判断并改错：「心脏线的面积用 A = ½∫r dθ 计算。」
答：错，微元是 ½r2dθ（扇形），不是 ½r dθ（那是弧长的亲戚）。极坐标公式张冠李戴是本课最高频事故。
小结：参数与极坐标各有一张「微元表」——y·x′dt、½r2dθ、√(x′2+y′2)dt、√(r2+r′2)dθ。背表不如记推导：全部来自「高×底」与勾股。
本课练「立体感」——切在哪里、截面是什么。
练 2.13 底半径 R、高 H 的圆锥（尖朝上），用截面法求体积。
答：在高度 z 切水平面，截面半径 (H−z)R/H，V = π(R/H)2∫0H(H−z)2dz = πR2H/3——《九章》「下周自乘，以高乘之，三十六而一」的积分证明（×π 后恰三分之一）。
练 2.14 星形线 x = a cos3t、y = a sin3t 绕 x 轴旋转一周，求体积。
答：V = 2π∫0a y2dx = 6πa3∫0π/2sin7t cos2t dt = 32πa3/105（验算 0.957438 = 32π/105）——尖点曲线的旋转体，系数 105 出场。
练 2.15 两个半径同为 R 的圆柱面正交（牟合方盖），用截面法求其体积。
答：高度 z 处截面是边长 2√(R2−z2) 的正方形（第一章札记②的成品），V = ∫4(R2−z2)dz = 16R3/3——球体积 4πR3/3 的搭档，「π : 4」当场验明。
练 2.16 判断并改错：「y = f(x) ≥ 0 绕 y 轴，用盘式 V = π∫f2dx。」
答：错，绕 y 轴盘式对 x 积分没有「盘」，应改壳式 2π∫x·f dx 或把曲线反解成 x = g(y) 后用 π∫g2dy——「轴定切法」。
小结：截面法的万能钥匙是「画出某一刀」——圆锥切出圆、方盖切出方、楔切出三角。切之前先问：这一刀下去，截面形状我说得清吗？
本课练「一阶矩的切法」。
练 2.17 求抛物线 y = x2（0 ≤ x ≤ 1）与 x 轴围成弓形的形心。
答：x̄ = ∫x·y dx / ∫y dx = (1/4)/(1/3) = 3/4；ȳ = ∫y2/2 dx / ∫y dx = (1/10)/(1/3) = 3/10（验算一致）。「头重脚轻」的弓形，形心偏向底边。
练 2.18 用帕普斯定理反推：把半圆盘（形心 4R/3π）绕直径旋转，得球体积 4πR3/3——验算之。
答：V = 2π·d·A = 2π·(4R/3π)·(πR2/2) = 4πR3/3 ✓。形心与体积互为审计：一边算错，另一边立刻露馅。
练 2.19 均匀 L 形板由三格 1×1 正方形拼成：底条 [0,2]×[0,1] 两格＋左上格 [0,1]×[1,2]。求形心。
答：分块加权：底条（质量 2）形心 (1, ½)，左上格（质量 1）形心 (½, 1½)。x̄ = (2·1 + 1·½)/3 = 5/6，ȳ = (2·½ + 1·1½)/3 = 5/6——对称的答案。离散分块加权是连续 ∫x dm 的预演。
练 2.20 判断并改错：「半圆弧的形心与半圆盘的形心都在 4R/3π 处。」
答：错。弧 2R/π ≈ 0.637R、盘 4R/3π ≈ 0.424R——「盘」多出下半部分拖累，弧没有。记图像：弧高盘低。
小结：形心题三板斧——对称性先砍掉一半未知量；微元选「自身形心已知」的条；帕普斯当审计。
本课练「二阶矩」的幂次感觉。
练 2.21 同一根均匀细棒，绕过中心轴 mL2/12、绕过端点轴 mL2/3。用平行轴定理互查，并解释「为什么恰好差 mL2/4」。
答：I_end = I_mid + m·(L/2)2 = mL2/12 + mL2/4 = mL2/3 ✓——轴平移 d 的代价是 m·d2，与棒的粗细分布无关（定理只认质心）。
练 2.22 半径 R、质量 m 的均匀圆环绕中心轴的惯量是多少？与圆盘 ½mR2 对比说明了什么？
答：mR2——环的全部质量都在最远处 r = R。同质量的环是盘的 2 倍「懒」：质量越靠外、二阶矩越重，飞轮故意做成「边缘厚」。
练 2.23 均匀球壳（半径 R、质量 m）绕直径的惯量是 ⅔mR2，均匀实心球是 ⅖mR2。用「惯量的 Nested 直觉」解释为什么球更小。
答：实心球的内部质量离轴近，r2 加权轻；球壳全押在 r = R。层层嵌套的平均 = ⅖——「从壳到球」正是对 r2 加权做了一次平均。
练 2.24 判断并改错：「转动惯量只与总质量有关。」
答：错，它与质量的分布有关——dm 前面坐着 r2。同质量下环 : 盘 : 球 = 1 : ½ : ⅖，分布越外扩越「懒」。
小结：一阶矩管平衡（质心），二阶矩管转动（惯量）——幂次差一，性格全变。下一课把微元法投向功与压力。
本课练「物理定律落在 dx 上」。
练 2.25 劲度系数 k = 200 N/m 的弹簧，拉长 0.1 m 需做功多少？再拉 0.1 m（从 0.1 到 0.2）呢？
答：第一段 W = ½kx2 = ½·200·0.01 = 1 J；第二段 = ½k(0.22−0.12) = 3 J——同样的 10 厘米，功翻三倍：弹簧越拉越「犟」，功按平方长。
练 2.26 矩形闸门宽 1 m、竖放，顶在水深 1 m 处、底在水深 3 m 处，求单侧总压力。
答：dF = ρg·y·1·dy，F = ρg∫13y dy = 4ρg = 39200 N（验算一致）。等价写法：形心深度 2 m × 面积 2 m2 × ρg = 4ρg——形心定理双保险。
练 2.27 把例8 的圆锥池改问：抽到「只剩半深」要做多少功？（顶半径 2、深 3）
答：只抽上半段（z 从 1.5 到 3），W = ρgπ∫1.53(2z/3)2(3−z)dz = (33/16)πρg ≈ 63499 J，占全程 92363 J 的 11/16 = 68.75%——上半段的水抬得高，功占大头。
练 2.28 判断并改错：「水深 h 处的压强是 ρgh，所以闸门总压力 = ρg·(闸门最低点深度)·面积。」
答：错，最深处的压强只代表「底部一条线」；总压力 = ρg·形心深度·面积（§2.13 定理）。以最深压强一刀切会系统性高估。
小结：功与压力的微元都带一个「随位置变化的物理因子」（力或压强）——把它写成位置的函数，积分就只剩算术。
本课练「矢量分量的取舍」与「概率即面积」。
练 2.29 质点放在均匀杆的中垂线上（距杆 a）。为什么引力只有垂直分量？写出它的大小（不必积分）。
答：对称性——杆上关于中点对称的两段，沿杆分量互相抵消，只剩垂直分量 dF_⊥ = Gmλdx/(a2+x2)·a/√(a2+x2)。对称先杀一半变量，是引力的标准起手。
练 2.30 用例10 的公式 GMLm/(a(a+L)) 检查：a → 0（质点贴在杆端）时 F 发散。物理上该如何理解？
答：a→0 时最近的质量元距离趋零，1/r2 发散——理想线模型的必然结果。真实杆有粗细，近场被「抹平」，发散是模型边界的信号而非世界末日。
练 2.31 X ~ U(0,6)（均匀），求 P(2 < X < 4) 与 E[X]。
答：P = ∫24(1/6)dx = 1/3（验算一致）；E = 中点 3。均匀分布的全部账都是「长 × 宽」。
练 2.32 密度 f(x) = 2x（0 ≤ x ≤ 1）的分布，验证归一化并求 E[X]。
答：∫012x dx = 1 ✓；E = ∫012x2dx = 2/3——密度向右偏，期望越过中点。「密度像质量分布，期望就是形心」在此可用自查。
小结：引力题先问对称性、再切微元；概率题先验归一化、后算矩——两族题共用同一套积分语法。
本课练「两种平均」的分野。
练 2.33 求 f(x) = x2 在 [0,3] 的平均值与有效值（RMS）。
答：平均 = (1/3)∫03x2dx = 3；RMS = √((1/3)∫03x4dx) = √16.2 ≈ 4.0249（验算一致）——RMS ≥ 平均恒成立（方差非负），且弯曲越厉害差得越远。
练 2.34 半波整流（只保留正半周）的平均值是多少？与全波整流 2/π 对照。
答：(1/2π)∫0π sin t dt = 1/π ≈ 0.3166（验算 0.31831 = 1/π）——恰是全波 2/π 的一半：负半周白扔了。
练 2.35 市电标「220 V」，写出峰值，并解释为什么保险丝看 RMS、万用表交流挡也按 RMS 刻度。
答：峰值 220√2 ≈ 311 V。发热 ∝ I2R 只认平方平均；仪表若想「读数 = 等效直流」，必须按 RMS 刻度——平均值表在正弦下会错 11%。
练 2.36 判断并改错：「sin x 在 [0,2π] 的平均值是 2/π。」
答：错，sin 的（带号）平均值是 0；2/π 是 |sin| 的平均（整流平均）。三种读数——带号 0、整流 2/π、有效 1/√2——各答各的问题。
小结：「平均」不加点定义就是歧义。工程语言里：说平均先问「带不带号、平不平方」。
本课从「中文描述」直接造积分——没有公式提示，建模即答案。
练 2.37 「烟囱呈圆台形，上下底半径 r、R，高 H。」用截面法写出体积积分并求值。
答：高度 z 处半径 r + (R−r)z/H，V = π∫0H[r+(R−r)z/H]2dz = πH(r2 + rR + R2)/3——《九章》圆亭「上下周相乘…三十六而一」的积分翻版（×π 换算后恰同）。
练 2.38 「一根链条长 L、线密度 λ，桌上留 L/4 垂下，其余平摊桌沿。求把链条全部拉上桌的最小功（摩擦不计）。」
答：只有垂下段在「做功行程」：垂下段长 y 时提 dy 段上升 y，W = λg∫0L/4 y dy = λgL2/32。平摊段只滑不做功——「谁在动、动多远」定微元。
练 2.39 「水库三角形泄洪槽，水深 y 处宽 3−y（0 ≤ y ≤ 3）。」写出流量加权前的压力，并说明它与例9(二) 的异同。
答：F = ρg∫03 y(3−y)dy = 9ρg ≈ 88200 N。同（微元 dF = ρg y w dy）、异（这里的三角倒置：宽边在水面）——同一个公式吃两种几何。
练 2.40 「把地球半径 R 处的逃逸速度写成积分。」（单位质量，引力 G M/r2）
答：动能定理 ½v2 = GM∫_R∞ dr/r2 = GM/R，v = √(2GM/R)——反常积分留到第三章正式开课，此处先闻其声。
小结：工作坊四题全是「一句话 + 一个积分」。建模能力的分水岭：能不能把中文的「每一点」「每一层」翻译成 dQ。
本课混合出题，训练「选题型、选公式、选切法」的综合决断。
练 2.41 （面积族）心脏线 r = a(1+cos θ) 的面积 3πa2/2 与摆线一拱下的面积 3πa2——两曲线都与「转圆」有关，倍数关系 2 从何而来？
答：摆线一拱下面积 3πa2 = 母圆面积的 3 倍（滚转积分 ∫(1−cos t)2 = 3π 的产物）；心脏线 3πa2/2 = ½∫(1+cos θ)2dθ。倍数 2 的来源：两者微元表不同（y·x′dt 对 ½r2dθ），「3」都在、「π」都在，因子差在 (1−cos t)2 与 ½(1+cos θ)2 的平均高度——承认不同坐标系各有其美，不必强求统一。
练 2.42 （体积族）把练 2.14 的星形线改绕 y 轴，体积是多少？（提示：壳式 + 对称）
答：壳式 V = 2π∫0a x·(2y)dx，参数代入 x = a cos3t、y = a sin3t：V = 12πa3∫0π/2sin4t cos5t dt = 32πa3/105（验算 0.957438，与绕 x 轴同值）——星形线 x ↔ y 对称，两轴旋转体本是同一件。
练 2.43 （物理族）半径 R 的半球形水池抽空，用本章语法重证 W = 5πρgR4/12，并核 R = 2 时恰是第一章例8 的 20πρg/3。
答：深度 z 处水层 dV = π(R2−z2)dz、抬升 R−z，W = ρgπ∫0R(R2−z2)(R−z)dz = ρgπ·(5/12)R4 ✓（∫ 展开四项：1 − ½ − ⅓ + ¼ = 5/12）。R = 2：5πρg·16/12 = 20πρg/3 ✓——第一章的账与第二章的语法对上了。
练 2.44 （判断族）下列四句各错在哪？①极坐标面积微元 ½r dθ；②绕 y 轴用盘式 π∫f2dx；③半圆弧形心 4R/3π；④平均温度 = RMS 温度。
答：①½r2dθ；②盘式属 x 轴或反解后 π∫g2dy；③那是半圆盘，弧是 2R/π；④平均 ≠ RMS（练 2.33）——四句覆盖本卷四大高频事故。
小结：综合训练考的不是新知识，是「题型识别 → 微元表检索 → 事故黑名单排查」的流水线反应。
错题归档（本章 44 练中的高频事故，按「病因」归档）：
| 病因 | 事故样本 | 疫苗 |
|---|---|---|
| 轴认错 | 练 2.1、2.16 | 「轴定切法」：先说绕谁，再选盘/壳 |
| 微元张冠李戴 | 练 2.12、2.44① | 极坐标面积 ½r2dθ（扇形），不是 ½r dθ |
| 漏斜率 / 漏 ds | §2.8 提示 | 旋转曲面用 2πr·ds，不用 2πr·dx |
| 形心张冠李戴 | 练 2.20、2.44③ | 弧 2R/π 高、盘 4R/3π 低，图像记牢 |
| 平均含糊 | 练 2.36、2.44④ | 带号平均 / 整流平均 / RMS 三分天下 |
| 抬升方向错 | §2.12 提示 | 深度 z 的水抬升 H−z（离池口距离） |
三问自测（合上书回答，答不上回对应节）：
问一 微元法的合法性依据是什么？误差 O(dx) 为什么不行？
答：黎曼和 + 高阶误差 o(dx)（练 2.3）；同阶误差加总不消失。
问二 盘式、壳式、垫圈各自长什么样？各写一行微元。
答：πf2dx（绕轴垂直切）、2πx·f dx（绕轴平行切）、π(R2−r2)dx（两曲线夹域绕轴）。
问三 一阶矩与二阶矩各管什么？各举一个公式。
答：一阶矩管平衡（x̄ = ∫x dm/M，质心）；二阶矩管转动（I = ∫r2 dm，惯量）。
复盘合格线：44 练中错误 ≤ 6、三问全对。达标者随下一章出发——反常积分将把积分的边界推到无穷。
把一杯水一口口喝完，每一口都「差不多是平面的」；把一垛土一层层夯实，每一层都「差不多是均匀的」。微元法的全部智慧，浓缩在两个「差不多」里——它们与第一章商功城垣的「直除之」一脉相承：城垣截面恒定，一层层叠；圆锥截面渐缩，一层层算。差别只在「差不多」三字做到了多细。
《九章》商功章的城垣、圆亭、圆锥三术，其实是同一本账的三种精度：城垣截面不变，直除（一步乘法）；圆亭、圆锥截面渐变，刘徽注里已经按「每层再细切」的思想推系数——「三十六而一」里藏着的 ⅓，正是 ∫x2dx = ⅓x3 的九九表。祖暅更进一层：截面形状可以不同，只要「幂势既同」，账就能并——截面法的思想纲领在五世纪已经写就。
现代工程力学把这套「切法」焊死成了教科书语法：取隔离体（切）→ 写平衡方程（写）→ 积分或解方程（加）。材料力学里梁的弯矩方程、流体力学里的压力体、热学里的傅里叶导热——全是「切一刀、写一笔、加一遍」。微元法不是数学家的癖好，是工程师的母语。
公元前三世纪，叙拉古的阿基米德把「切」这门手艺推到了积分诞生前两千年的人间巅峰。他的兵器库里躺着三件本章的「史前版本」：
杠杆（一阶矩）：「支点两侧，重 × 力臂相抵」——这正是 §2.10 质心公式的离散原型。他用杠杆原理称出了球体积：把球切片挂上杠杆，与等重的圆锥、圆柱配平，《方法》手稿里的这一手，就是「用矩算积」的积分学。
浮力（平衡的积分）：浮力 = 排开液体的重量——每个深度层贡献 ρg·h·dA 的力，加总即阿基米德原理。用本章语言：浮力是「压力体」的积分，吃水线的每一步都是 dF = ρg·y·w(y)dy。
穷竭法（极限的雏形）：抛物线弓形面积 = ⅔×外接三角形（他证得），圆周率夹在 3 10/71 与 3 1/7 之间（他算的）——「倍增再倍增、误差缩下去」的套路，与黎曼和的 ‖P‖→0 只隔一层窗户纸：他没捅破「无穷」，但把「有限步逼近 + 误差夹逼」做到了极限时代的门口。
第二章的全部内容收进一张图：微元法是树根，三个世界是树枝。
方法表（速查）：面积 [f−g]dx / ½r2dθ；体积 A(x)dx / πf2dx / 2πxf dx / π(R2−r2)dx；弧长 √(dx2+dy2)；曲面 2πr·ds；功 ∫F ds；压力 ρg·A·ȳ；引力 GMLm/(a(a+L))；质心 ∫x dm/M；惯量 ∫r2dm；期望 ∫x f dx；RMS √(∫f2/(b−a))。
荀子》有言：「不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。」——这句出自《劝学》的话，是微元法最贴切的哲学注脚：跬步与江海之间，隔着一场「积分」。
微元法的哲学有三层。其一，化整为零：整体的困难在「处处不同」，切开之后每一片都「局部均匀」——复杂性的解药是尺度。其二，以直代曲：无穷小尺度上，曲线是直线、变速是匀速、变力是恒力——微积分给了「近似」一个精确的身份（误差 o(dx)）。其三，聚零为整：积分不是「加法」的简单回归，而是带着极限的加法——它把无穷多片「差不多」粘成一片「精确」。
这套哲学的东方版本更早：《庄子》「至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一」已经在替 dx 说话；刘徽的「割之弥细，所失弥少」是 o(dx) 的文言版。微元法把它们连成一条可操作的流水线——哲学给出胆量，数学给出保证。
把这张卡片贴在脑门上：遇到「算不出的总量」，先问三句——切什么？每片多少？加到哪？九成的应用题，在这三问里已经解完。
把「旋转体 + 形心 + 帕普斯」拧成一根挑战绳。已知均匀半球盘（半径 R 的半圆盘）形心距平边 d = 4R/3π。
挑 2.1 用帕普斯定理求：半圆盘绕其对称轴所在平面内、距平边 R 的平行轴旋转一周所得立体的体积。
提示：立体是「半圆盘形心沿半径外 4R/3π 处的圆周平移」扫出的环体。帕普斯：形心走圆周 2π·(R + 4R/3π)，面积 πR2/2，V = 2π·(R + 4R/3π)·(πR2/2) = π2R3 + 2πR3/3（轴不穿过图形，定理适用）。
挑 2.2 均匀圆盘挖去一个半径 R/2、与边缘内切的圆孔，求剩余部分的形心位置。
提示：负质量法——大圆盘质量 πR2σ，挖去小圆质量 πR2σ/4，小盘形心在 (R/2, 0)。x̄ = [πR2σ·0 − (πR2σ/4)·(R/2)] / (3πR2σ/4) = −R/6——形心向「完好」一侧偏移 R/6。
挑 2.3 把挑 2.2 的带孔圆盘绕自己的形心轴旋转，用平行轴定理 + 帕普斯双法互查体积。
提示：I_孔 = ½(m/4)(R/2)2 + (m/4)(R/2)2 = 3mR2/32（平行轴）；I_剩 = mR2/2 − 3mR2/32 = 13mR2/32。体积侧：帕普斯 V = 2πd·A 对两块分别算再相减——两法答案必须一致，不一致就回去找 dm。
挑战站规矩：三题允许画图、允许程序数值复核（用蒙特卡洛撒点求形心也是合法验算——§2.17 的技能）。全对者，质心族谱毕业。
一座竖直梯形水坝面：水面处宽 40 m，底（深 30 m）处宽 60 m，线性过渡。要求总压力、压力中心深度，并讨论「为什么坝要上窄下宽」。
挑 2.4 求坝面总水压力。
提示：w(y) = 40 + 20y/30 = 40 + 2y/3。F = ρg∫030 y(40 + 2y/3)dy = ρg(40·450 + (2/3)·9000) = ρg·24000 ≈ 2.35×108 N——一堵 30 米水墙，两万四千吨的推力。
挑 2.5 求压力中心（合力的作用深度）。
提示：压心 = ∫y·dF / F = ρg∫y2w(y)dy / F。分子 = ρg(40·9000 + (2/3)·202500) = 495000ρg（∫y2dy = 9000、∫y3dy = 202500）。压心 = 495000/24000 = 20.625 m——比形心深度 16 m 深：压力「偏向下层」，坝底必须扛得住。
挑 2.6 用本章语言写一段 100 字以内的「坝为什么上窄下宽」论证。
要点：压强 ∝ 深度（ρgh）→ 压力矩沿深度平方累积（∫y2w dy）→ 底部既要承力又要抗倾覆 → 材料与土方成本按「等强度」配置，截面随深度加厚——微元法给出了「哪里该厚」的定量答案。
工程彩蛋：挑 2.5 的压心公式 ∫y2w dy / ∫y w dy 正是「以 w 为权的一阶矩之矩」——质心思想的直系后代。
器材：一把 30 cm 直尺（或均匀木条）、一支铅笔、若干同款硬币。目标：亲手「测出」形心公式，并验证帕普斯定理的力学版。
实 2.1 均匀直尺的支点在哪里？把尺平放在铅笔尖上微调至平衡，记录位置。理论上应在哪里？
答：15 cm 刻度处——均匀尺的形心在中点。若尺有轻微不均匀（印刷、缺口），平衡点会偏移：现实在教「均匀假设的误差」。
实 2.2 在尺的 5 cm 处叠一枚硬币（质量 m0，尺质量 M）。新平衡点在哪？用一阶矩公式预测并实测。
答：支点满足 M(x̄_尺 − s) = m0(s − 5)，解 s = (15M + 5m0)/(M + m0)。若 m0 = M/10：s = (150 + 5)/11·… = 155/11 ≈ 14.09 cm——硬币把支点往回拽了约 9 毫米。一阶矩公式（§2.10）当场兑现。
实 2.3 两枚硬币分别放 5 cm 与 25 cm（对称），支点回到哪？再加一枚到 25 cm 呢？
答：对称双币支点回 15 cm（两侧力矩恰好抵消）；在 25 cm 处再加一枚（共三枚：5、25、25）后 s = (15M + 55m0)/(M + 3m0)，m0 = M/10 时 = 205/13 ≈ 15.77 cm——支点向重侧移动 7.7 毫米，「质心向重侧走」的定量版本。
实 2.4 把「尺 + 币」换成「半圆纸盘」：剪一张半径 10 cm 的半圆纸，用「悬挂法」（两个悬点作铅垂线）找形心，量它与直边的距离，对照 4R/3π ≈ 4.24 cm。
答：悬挂法两次铅垂线交点即形心；实测应在 4.2 cm 上下（误差来自剪裁）。这张纸就是 §2.10 例6 的实体版——「公式长在纸上」。
实验安全与诚实条款：记录原始读数，不许「凑答案」；偏差超过 5% 时先查铅笔尖是否打滑——仪器诚实，公式才诚实。
A 卷（基础，30 分钟）
A1 求 y = x2 与 y = 2x 围成的面积。（答：交于 x=0,2；∫02(2x−x2)dx = 4 − 8/3 = 4/3）
A2 y = sin x（0 ≤ x ≤ π）绕 x 轴的旋转体体积。（答：π∫sin2 = π2/2）
A3 求 y = x2 在 [0,1] 段的弧长数值。（答：∫01√(1+4x2)dx = ½[√5 + ½ln(2+√5)] ≈ 1.4789）
A4 弹簧 k = 100 N/m，从拉伸 0.2 m 到 0.4 m 做功多少？（答：½k(0.16−0.04) = 6 J）
A5 均匀半圆弧的形心距圆心多远？（答：2R/π）
B 卷（进阶，45 分钟）
B1 心脏线 r = a(1+cos θ) 绕极轴旋转一周，求旋转体体积。（提示：帕普斯——心脏线对极轴的形心距 d = 5a/6（经典结果），A = 3πa2/2，故 V = 2π·(5a/6)·(3πa2/2) = 5π2a3/2；与同半径球 4πa3/3 对照，验证心脏线的「胖」。）
B2 抛物线 y = x2（0 ≤ x ≤ h）绕 y 轴旋转，用壳式求体积，并说明它与「外接圆柱挖去碗」的拼法一致。（答：V = 2π∫0h x·x2 dx = πh4/2；外接圆柱 πh4 减去绕 y 轴的碗 πh4/2（即例5 碗的倍增）恰剩 πh4/2——两法互证。）
B3 密度 f(x) = 3x2（0 ≤ x ≤ 1），求 E[X] 与 P(X > 1/2)。（答：E = ∫3x3 = 3/4；P = 1 − (1/2)3 = 7/8）
评讲要点：A1 查「上减下」方向感；A2 查盘式；A3 查弧长微元（√(1+4x2) 是高频失分点——漏了平方）；A4 查「区间做功」与「累计做功」之别；B1 查帕普斯的使用边界（轴不得穿过图形）；B3 查「密度即权」。每错一处，回对应节重切一刀——错题是最好的微元。
上册的定积分只管「有限区间上的有限函数」。但很多要紧的账本天生越界：把一根带电导线的电场积到无穷远，把一条概率密度积到全数轴，把「永远做功」积到时间尽头——区间没有尽头，积分还有意义吗？
直觉说「无穷长的东西总和该是无穷」，但直觉这次错了。曲线 y = 1/x2 从 1 延伸到无穷远，底边无限长，可它下方围出的面积是有限的 1；而它的邻居 y = 1/x 看起来几乎一样（都从 1 出发、都滑向 0），面积却无限。一对孪生曲线，一种命运的分岔。
本章的野心不止于「算出几个无穷积分」，而在于建立一套判别收敛的完整语法：比较判别法、柯西判别法、Dirichlet 与 Abel 判别法，最后收束为一张 p-判别的标准尺。这套语法是下一章级数的预演——积分与级数，本就是同一件事的两种读法。
定义走的是上册的老路：先有限，再取极限。设 f 在 [a, ∞) 上有定义，且在每个有限区间 [a, A] 上可积。若极限
存在且有限，则称反常积分收敛，极限值就是它的「面积」；否则称发散。发散的积分没有值，只有命运。
例：∫1∞ dx/x2 = limA→∞ [−1/x]1A = lim (1 − 1/A) = 1。极限过程看得清清楚楚：1/A 滑向 0，「够不着的部分」贡献趋于零。
一张表定乾坤。对 p 取不同值直接算：
| p | ∫1A x−p dx | 当 A→∞ | 判决 |
|---|---|---|---|
| p > 1 | (1 − A1−p)/(p−1) | → 1/(p−1) | 收敛 |
| p = 1 | ln A | → +∞ | 发散 |
| p < 1 | (A1−p − 1)/(1−p) | → +∞ | 发散 |
p = 1 是分水岭：调和积分 ln A 无声无息地爬向无穷——爬得极慢（A 翻十亿倍才爬 21），但从不回头。p 刚超过 1 一点点，积分立刻收敛，只是值很大（p = 1.01 时值 100）。收敛与否不问「多快」，只问「快过 1/x 没有」。
直接算极限常常算不动（原函数未必是初等函数）。第一件判别兵器是比较判别法，专管非负函数：若 0 ≤ f(x) ≤ g(x)（x 充分大），则
逻辑一句话：小的都被管住了，大的更管不住；大的都收住了，小的自然收住。注意方向——「大收 ⇒ 小收」与「小散 ⇒ 大散」是同一条链的正反两面，别把方向用反。
例：∫1∞ dx/(x2+x3+1) 收敛——被积函数 ≤ 1/x2，而标准尺 1/x2 收敛（p = 2 > 1）。∫2∞ dx/ln x 发散——x ≥ 2 时 ln x ≤ x，故 1/ln x ≥ 1/x，而 1/x 发散。
比较判别法要「猜对尺子」。柯西判别法把它自动化：设 f(x) ≥ 0，若 limx→∞ xp·f(x) = c，则
用法是量阶侦查：看 f 在无穷远处与 1/xp 同阶。例如 f = (x + ln x)/(x3 + 1)：分子分母各取最高阶，x·f → 0、x2·f → 1，与 1/x2 同阶——p = 2 > 1，收敛。侦查口诀：多项式比值看次数，剩下的事交给 p。
精细版（对数因子）：若 lim x·(ln x)p·f(x) = c，则 p > 1 收敛、p ≤ 1 发散。对数挡不住发散：∫2∞ dx/(x·ln x) 发散（令 u = ln x，∫du/u），而 ∫2∞ dx/(x·(ln x)2) = 1/ln 2 收敛——对数世界里 1/(x·ln x) 扮演着 1/x 的角色，1/x 又扮演着发散的底色。
同一个坐标轴上画 x1.5·f 的图：函数值趋于常数 c = 0.8，横轴之上、p = 1.5 > 1——判决收敛。这就是柯西判别法的「读图版」：
f 变号了怎么办？先审 |f|：若 ∫a∞ |f| 收敛，称 ∫f 绝对收敛——此时 ∫f 必收敛（夹逼：0 ≤ |∫f| ≤ ∫|f|，正部负部都有限）。若 ∫f 收敛而 ∫|f| 发散，称条件收敛——收敛靠正负相抵，「细账很乱，总账勉强平」。
招牌例子：∫1∞ (sin x)/x dx 条件收敛。收敛靠 Dirichlet 判别法（§3.10）；而 |sin x|/x ≥ sin2x/x = (1 − cos 2x)/(2x)，其中 ∫dx/(2x) 发散、∫cos 2x/(2x) 收敛——|f| 的积分发散。总账平了，细账永远乱。
关系链：绝对收敛 ⇒ 收敛 ⇒ （或者）条件收敛；反向皆不成立。这个三层结构在下一章级数里原样重现——交错级数、绝对收敛级数、Riemann 重排定理，全是本章的镜像。
无穷远是一种「病」，无界是另一种：函数在区间内部某点（瑕点）附近爆炸。设 f 在 (a, b] 上有定义、在 a 附近无界，但在任意 [a+ε, b] 上可积。定义
极限存在则称收敛（瑕积分收敛），否则发散。经典对照：∫01 dx/√x = lim [2√x]_ε1 = 2 收敛——1/√x 爆炸得「温和」，面积仍是有限的 2；∫01 dx/x2 发散——爆炸得太凶。
与 §3.4–3.5 平行成套：瑕点 a 处若 0 ≤ f(x) ≤ g(x)（a 附近），则 g 收 ⇒ f 收、f 散 ⇒ g 散。柯西版：若 limx→a+ (x−a)p·f(x) = c，则 p < 1 且 c 有限 ⇒ 收敛；p ≥ 1 且 c > 0 ⇒ 发散。
例：∫01 dx/√(x(1−x))——两个瑕点（0 与 1）！x→0 时与 1/√x 同阶（p = ½ < 1 ✓），x→1 时与 1/√(1−x) 同阶 ✓，两端都温和——收敛（值恰为 π，见 §3.12 Β 函数）。∫01 dx/x1.2：p = 1.2 ≥ 1，发散。
对数精细版（瑕点）：lim (x−a)·|ln(x−a)|p·f(x) = c 时，p < 1 收、p ≥ 1 散。例：∫01 dx/(x·|ln x|2) 收敛吗？令 u = −ln x：dx/x = −du，∫0∞ du/u2 = 1 收敛——对数再把尺度压深一层。
| 病点 | 标准尺 | 收敛条件 | 发散条件 |
|---|---|---|---|
| x → +∞ | 1/xp | p > 1（c 有限） | p ≤ 1（c > 0） |
| x → a+（瑕） | 1/(x−a)p | p < 1（c 有限） | p ≥ 1（c > 0） |
| ∞ ＋ 对数 | 1/(x·(ln x)p) | p > 1 | p ≤ 1 |
| 瑕 ＋ 对数 | 1/((x−a)·|ln(x−a)|p) | p < 1 | p ≥ 1 |
四个格子的对照表值得抄在扉页上——全章判别题的「查表器」。
真实的积分常是混合病例：区间内既有瑕点又通向无穷。处方永远是「拆到每段只含一种病，分别判决，全收敛才收敛」——有一段发散，全盘发散（因为各段都是非负或取绝对值后非负）。
例：∫0∞ dx/xp（0 与 ∞ 双病）。拆成 ∫01 ＋ ∫1∞：瑕端要求 p < 1，无穷端要求 p > 1——无解！任何 p 都救不了。这道题是「双病不可能」的纪念碑。
例：∫0∞ dx/(1+x2) = [arctan x]0∞ = π/2——虽通无穷但曲线掉得快（p = 2 阶），单病且温和，收敛。
拆解还有一层用处：收敛性反挑拆分点。∫0∞ f 拆在 1 还是 2，不影响判决（有限段的积分是普通定积分），所以可以挑最顺手的位置——比如挑在标准尺最干净的地方。
条件收敛的正负相抵，需要专门的判别器。两条判别法都基于第二中值定理（上册 §5 的遗产）：
应用双例：∫1∞ (sin x)/x 取 f = sin x（原函数 −cos x 有界）、g = 1/x（单调 → 0）——Dirichlet 给收敛。∫1∞ (sin x)/xp 对 0 < p < 2 收敛（Dirichlet：1/xp 单调 → 0；p > 1 时还绝对收敛）。Abel 例：∫1∞ (sin x)·arctan x /xp 在 1 ≤ p < 2 收敛——arctan x 单调有界。
阶乘只对正整数有定义。欧拉 1729 年问：能不能把「n!」补成一条连续曲线？他的答案是一个反常积分：
收敛性自查：x→0+ 处被积函数 ~ xs−1（p = s < 1 放行 ✓）；x→∞ 处 e−x 压倒一切（指数衰减完胜任何幂 ✓）。两端都温和——Γ 在 (0, ∞) 上处处收敛。
基本性质（分部积分立得）：Γ(s+1) = s·Γ(s)；Γ(1) = 1 ⇒ 对正整数 n：Γ(n+1) = n!——阶乘的连续延拓达成。Γ(½) = √π（§3.13 概率积分的赠礼）。
Γ 的「双变量兄弟」：Β 函数（Beta）
两端都是瑕点：x→0+ 处 ~ xa−1（要求 a > 0 ✓），x→1− 处 ~ (1−x)b−1（要求 b > 0 ✓）。欧拉发现的惊人关系：
一个 [0,1] 上的积分被两个 [0,∞) 上的积分「瓜分」。对照验证：Β(½, ½) = Γ(½)2/Γ(1) = π——而直接算 Β(½,½) = ∫01 dx/√(x(1−x))（§3.8 的双瑕点例子），换元 x = sin2θ 立得 π。两路答案咬合，Γ(½) = √π 由此再获一证。
全书出场率最高的反常积分：∫0∞ e^(−x2)dx = √π/2（概率论的正态分布、统计学的误差函数都挂在它身上）。e^(−x2) 没有初等原函数，硬算无门——两种巧法：
算法一（平方化直角坐标）：设 I = ∫0∞ e^(−x2)dx，则 I2 = ∫0∞∫0∞ e^(−(x2+y2))dxdy（累次积分）。换极坐标 r、θ：被积函数变 e^(−r2)、面积元 rdrdθ，I2 = ∫0π/2dθ ∫0∞ e^(−r2)·r dr = (π/2)·(1/2) = π/4 ⇒ I = √π/2。一维积不出，二维换坐标秒杀——这是「升维降维」的教科书战例。
算法二（Feynman 技巧，例8 详展）：引进参数 a，对参数求导换积分次序。
∫−∞∞ 1/x dx 有多病：∞ 端与瑕点 0 各一头。分开审：∫−∞0 与 ∫0∞ 都发散（各得 −∞ 与 +∞）。按 §3.9 的规矩——发散，结案。
但物理学家不答应：1/x 是奇函数，正负半轴的面积天然对称，凭什么不合起来抵消？柯西给出折中方案——柯西主值（Principal Value）：
对 1/x：PV = lim [ln|A| − ln|A|] = 0。注意这不是收敛——收敛要求正负两侧独立地趋限，主值要求同步对称地趋限。「同步」是一种人为安排：把 ±A 绑在一起走。例9 将正式裁决这对概念的关系。
又一类漂亮反常积分：Frullani 公式——若 f 单调趋于 0 且 f′ 连续，则
取 f = e−x：∫0∞ (e−ax − e−bx)/x dx = ln(b/a)。被积函数在 x→0+ 处趋于 (b−a)（有限，无瑕点之忧），∞ 处指数衰减——收敛干净利落，值却是对数：无穷的计算压出一个 ln。
这类「含参数积分」I(a) 打开了一扇新门：把 a 当变量，对它求导（积分号下求导，Feynman 技巧的心法，下一节与例8 正式操练）。dI/da 常常比 I 本身好算得多——先算导数再积分回去，一进一出，难题瓦解。
合法性说明：积分号下求导不是想当然的「交换次序」，需要一致收敛护航——这正是下一章（第五章函数项级数）的核心戏码。本章先在「能手算验证的场合」使用，第六章后的严格性由一致收敛理论补齐。预演：I(a) = ∫0∞ e−ax·(sin x)/x dx，I′(a) = −∫0∞ e−ax·sin x dx = −1/(1+a2) ⇒ I(a) = C − arctan a；由 a→∞ 时 I→0 定 C = π/2，得 I(1) = π/4——与数值积分 0.785398 严丝合缝。
Frullani 的数值体检（程序预演算）：a = 1, b = 2 时数值积分 = 0.6931471796，ln 2 = 0.6931471806——小数点后第 9 位咬合；a = 1, b = 3 时 = 1.0986122867 vs ln 3 = 1.0986122887，同样咬合。
本章与下一章的握手处。积分判别法（上册预告过，现在给出严格版本）：设 f 在 [1, ∞) 上非负、单调递减，则
理由是夹逼：f(n+1) ≤ ∫_nn+1 f(x)dx ≤ f(n)，把部分和与部分面积互相夹死。应用双例：∑1/n2 与 ∫1∞ dx/x2 同命运（收敛，和 = π2/6）；∑1/√n 与 ∫dx/√x 同命运（发散）——级数的命运由「对应曲线下的面积」裁决。
对偶还有逆向：级数收敛性的结论反过来照亮积分——例11 将演示「∑1/(n·ln n) 发散 ⇒ ∫2∞ dx/(x·ln x) 发散」的逆用。
反常积分的数值化有个先天障碍：算不完的区间。策略是「截断＋控尾」：取有限截断 T，估计尾巴 |∫_T∞ f| 并令它小于目标精度。对单调正函数尾巴可用比较（换元 u 后放大），对振荡函数可用 Dirichlet 尾界 |∫_T∞ f·g| ≤ C·g(T)——振荡截断的精髓是挑 cos 相位归零的点下刀：∫1∞ (sin x)/x 在 T = 40.5π 处截断（cos T = 0），尾差骤降到 6×10−5（程序实测），比在 40π 处截断小 130 倍。
截断与外推实演（E1(1) = ∫1∞ e−x/x dx，真值 0.2193839）：截断 T = 5 得 0.21824（残差 1.2×10−3）；T = 10 得 0.219380（残差 4.2×10−6）；T = 20 已咬合 9 位。残差随 T 呈指数消亡（~e−T/T）——单调衰减型积分的尾巴是「乖尾巴」。Richardson 外推把 T = 20 与 T = 40 两截断值线性组合，残差再降一个量级。
历史一瞥：1670 年代，莱布尼茨与伯努利兄弟在通信中已经毫无顾忌地「积到无穷」；欧拉 1729 年的 Γ 函数信件把「无穷的过程」写成一个确定的数；19 世纪柯西在《分析教程》(1821) 里第一次给反常积分下了严格定义——「先有限截断，再取极限」，正是 §3.2 那一行。阿贝尔 1826 年研究了 ∫(sin x)/xp，Dirichlet 1837 年在研究热传导时建立了判别法。本章的每一件兵器都刻着人名。
| 工具 | 适用场合 | 口诀 |
|---|---|---|
| 定义（截断取极限） | 能求出原函数的简单积分 | 先有限、再极限 |
| 比较判别法 | 非负函数、能找到对照 | 大收小收，小散大散 |
| 柯西判别（p-尺） | 能量阶（与 1/xp 比阶） | ∞ 处 p>1，瑕处 p<1 |
| 对数精细版 | 幂尺失效（恰好 1/x 型） | 对数里再排一次 p |
| Dirichlet / Abel | 变号振荡型 | 有界振荡 × 递减权重 |
| Γ·Β 关系 | 含幂与指数/端点瑕的积分 | 双变量找 Β，单变量找 Γ |
| 柯西主值 | 对称奇性（物理场合） | 同步对称走，账面对冲 |
通往下一章：p-分水岭将在级数里重演（∑1/np 的 p = 1 悬崖）；Dirichlet 判别法将原样移植为级数判别法；Γ·Β 的「延拓」精神将升级为幂级数的解析延拓。积分与级数，一首两读——下一章翻开第二读。
题：对任意实数 p，讨论 ∫1∞ dx/xp 与 ∫01 dx/xp 的敛散并求值。
解（∞ 端）：p ≠ 1 时 ∫1A x−pdx = (A1−p−1)/(1−p)。A→∞：p > 1 时 A1−p → 0，积分 = 1/(p−1)；p < 1 时 A1−p → ∞，发散；p = 1 时 ln A → ∞，发散。解（瑕端）：∫_ε1 x−pdx = (1 − ε1−p)/(1−p)。ε→0+：p < 1 时 ε1−p → 0，积分 = 1/(1−p)；p ≥ 1 发散。
| p 的范围 | ∫1∞（∞ 端） | ∫01（瑕端） | ||
|---|---|---|---|---|
| 判决 | 值 | 判决 | 值 | |
| p > 1 | 收敛 | 1/(p−1) | 发散 | — |
| p = 1 | 发散 | — | 发散 | — |
| p < 1 | 发散 | — | 收敛 | 1/(1−p) |
回味：两个「收敛域」永不相交（p > 1 对 ∞ 端、p < 1 对瑕端）——同一条曲线 y = 1/xp，在无穷远和原点附近的表现恰好互补。p = 2 时「∞ 端收、瑕端散」，p = ½ 时正好反过来——对照表是全章判别题的「九九表」。
题：判断 ∫2∞ dx/(x·√(ln x)) 与 ∫2∞ dx/(x·(ln x)2) 的敛散。
解：幂尺先探——被积函数与 1/x 同阶（x·f → 1/x·x/√(ln x) → 0？不，x·f = 1/√(ln x) → 0 但过程太慢），幂尺读不出关键。换对数尺：令 u = ln x，du = dx/x。第一个积分变 ∫ln2∞ du/√u——瑕端 p = ½ < 1，发散！第二个变 ∫du/u2——p = 2 > 1，收敛（值 1/ln 2）。
替代路线（比较）：x·(ln x)1/2·f = 1 → 对数精细版 p = ½ ≤ 1 发散；x·(ln x)2·f = 1 → p = 2 > 1 收敛。换元与精细版殊途同归。
题：计算 ∫01 ln x dx。
解：ln x 在 x→0+ 处 → −∞（瑕点）。原函数 x·ln x − x 是初等的，直接走定义：
关键一步：ε·ln ε → 0（0·(−∞) 型未定式，洛必达或上册极限结论）——瑕点处的无穷被 ε 缩得太快，「无穷 × 无穷小」归零。答案 −1：曲线在 x 轴下方、面积 1。
题：证明 ∫1∞ (sin x)/x dx 收敛但非绝对收敛，并给出数值。
收敛（Dirichlet）：f = sin x 的原函数 −cos x 有界；g = 1/x 单调趋于 0——Dirichlet 判别法直接放行。
非绝对：|sin x| ≥ sin2x = (1 − cos 2x)/2，故 ∫1A |sin x|/x dx ≥ ½∫1A dx/x − ½∫1A (cos 2x)/x dx。前者 = ½ln A → ∞；后者由 Dirichlet 收敛（有界）——右端 → ∞，故 |f| 的积分发散。结论：条件收敛，数值（程序预演算，40.5π 截断）＝ 0.6247132564；加上 ∫01 部分 Si(1) = 0.9460830704，全数轴 ∫0∞ (sin x)/x = π/2。
题：对哪些 p，∫0∞ (sin x)/xp dx 收敛？（约定 0 处按瑕点理解）
解（分两段审）：
① ∞ 端（拆在 1）：x ≥ 1 时 |sin x/xp| ≤ 1/xp。p > 1 绝对收敛；0 < p ≤ 1 时用 Dirichlet（1/xp 单调 → 0）——收敛（p ≤ 1 非绝对，同例4 论证）。
② 瑕端 x→0+：sin x/xp ~ x/xp = x1−p——瑕端尺 p′ = p−1，收敛要求 p′ > −1 即 p < 2（此时积分有限）。
合并：两段都要收敛 ⇒ 收敛带 = 0 < p < 2。其中 0 < p ≤ 1 条件收敛、1 < p < 2 绝对收敛；p ≤ 0 时 ∞ 端振不振荡都发散，p ≥ 2 时瑕端发散。
题：证明 Γ(½) = √π。
算法一（Β 桥）：Γ(½)Γ(½) = Β(½,½)·Γ(1) = ∫01 dx/√(x(1−x))。换元 x = sin2θ：dx = 2 sin θ cos θ dθ、√(x(1−x)) = sin θ cos θ，积分 = ∫0π/2 2dθ = π。故 Γ(½)2 = π，Γ(½) > 0 ⇒ Γ(½) = √π。
算法二（概率积分直取）：Γ(½) = ∫0∞ x−½e−xdx，换元 x = t2：dx = 2t dt、x−½ = 1/t，积分 = ∫0∞ 2e^(−t2)dt = 2·(√π/2) = √π（§3.13 概率积分）。
题：计算 ∫01 √(x(1−x)) dx 与 ∫01 x4(1−x)3 dx。
解一：√(x(1−x)) = x1/2(1−x)1/2，故积分 = Β(3/2, 3/2) = Γ(3/2)2/Γ(3) = (√π/2)2/2 = (π/4)/2 = π/8。几何验算：y = √(x(1−x)) 是以 (½, ½) 为心、半径 ½ 的上半圆，面积 = π·(½)2/2 = π/8 ✓——Β 函数悄悄算了一个圆面积。
解二：∫01 x4(1−x)3dx = Β(5, 4) = Γ(5)Γ(4)/Γ(9) = 4!·3!/8! = 24·6/40320 = 1/280。若用二项式展开硬算要展开 7 项——Β 关系式一步收工。
题：用「积分号下求导」重算 I(a) = ∫0∞ e^(−a x2)dx（a > 0），并推出概率积分。
解：I(a) 满足标度律 I(a) = I(1)/√a（换元 x = t/√a）。另一种路：算 I′(a) = −∫0∞ x2e^(−ax2)dx（先承认可换序，§3.15）。由分部：∫0∞ x2e^(−ax2)dx = ½∫0∞ e^(−ax2)dx = I(a)/2（对 u = x、dv = x e^(−ax2)dx 分部）。故 I′(a) = −I(a)/(2a)——解微分方程 dI/I = −da/(2a)，得 I(a) = C/√a。令 a → 0+ 处校准？不可（发散）；改用 a = 1 数值 I(1) = 0.8862269255 ≈ √π/2（§3.13 已算）⇒ C = √π，I(a) = √(π/a)——标度律的独立再证，两路互验。
题：讨论 ∫−∞∞ dx/x 的收敛性与柯西主值，并给裁决。
审理：按定义拆两段（§3.9）：∫−∞0 dx/x = limA→∞(ln A − ln|c|)……具体地，∫−∞−c = −∞、∫_c∞ = +∞（c > 0 任取）——两侧都发散，积分发散，此为终审判决。
主值：PV = limA→∞[ln A − ln A] = 0。对称截断下奇函数完美对冲。
进一步：即使限制「瑕点两侧同步」：∫−c−ε + ∫_εc... = 0 对一切 ε 成立——瑕点主值也是 0。但若两侧不同步（ε1 ≠ ε2），和 = ln(ε1/ε2) 可为任何实数——「值」完全取决于截断方式，没有客观性。
题：证明 ∫0∞ (e−ax − e−bx)/x dx = ln(b/a)（a, b > 0），并数值体检。
证（Feynman 技巧版）：固定 b，对 a 求导：∂/∂a 积分号下 = ∫0∞ −x·e−ax/x dx = −∫0∞ e−axdx = −1/a。故 F(a) = −ln a + C；a = b 时 F(b) = 0 ⇒ C = ln b。F(a) = ln(b/a)。
证（经典版）：写成 ∫0∞ ∫_ab e−txdt dx/x，交换积分序 = ∫_ab [∫0∞ e−txdx] dt/x 去掉外层 x……规范写法：∫0∞ (e−ax − e−bx)/x dx = ∫_ab dt ∫0∞ e−txdx = ∫_ab dt/t = ln(b/a)。
数值体检（预演算）：a=1, b=2：积分 = 0.6931471796 vs ln 2 = 0.6931471806；a=1, b=3：1.0986122867 vs ln 3 = 1.0986122887——9 位咬合。
题：判断 ∑n=2∞ 1/(n·ln n) 与 ∫2∞ dx/(x·ln x) 的敛散，并说明互相转化的用法。
解：∫2A dx/(x·ln x) = ln ln A − ln ln 2 → ∞，发散；由积分判别法（f 单调递减非负）⇒ 级数也发散。对照：∑ 1/(n·(ln n)2) 与 ∫dx/(x(ln x)2) 都收敛（值 1/ln 2）。
对偶用法双向通行：① 级数难判时化积分（如上）；② 积分难判时化级数——例：∫2∞ dx/(x·ln x) 的发散也可由级数 ∑1/(n·ln n) 的 Cauchy 凝聚判别法先证，再搬回积分。下一章将把凝聚判别法正式收纳。
| 对象 | ∑1/np | ∑1/(n·(ln n)p) | ∫1∞ dx/xp | ∫2∞ dx/(x·(ln x)p) |
|---|---|---|---|---|
| 收敛条件 | p > 1 | p > 1 | p > 1 | p > 1 |
| 发散场合 | p ≤ 1 | p ≤ 1 | p ≤ 1 | p ≤ 1 |
回味：四个格子的判据完全一致（p = 1 悬崖）——单调衰减的世界里，「离散求和」与「连续积分」共用同一把 p-尺。这正是积分判别法对偶性的力量：判别语法只需学一遍，两种读法通用。
题：对 a ≥ 0 分析 I(a) = ∫0∞ e−ax·(sin x)/x dx 的收敛性，并求 I(a) 的表达式。
收敛分析：瑕端 x→0+：sin x/x → 1（有限）——无病。∞ 端：a > 0 时 e−ax 指数衰减压倒振荡，绝对收敛；a = 0 时退化为 ∫0∞ (sin x)/x dx——Dirichlet 条件收敛（例4）。全 a ≥ 0 收敛，a = 0 是「绝对 ⇒ 条件」的分界点。
求值（Feynman）：a > 0 时 I′(a) = −∫0∞ e−ax·sin x dx = −1/(1+a2)（两次分部，第一章例9 的老朋友）。故 I(a) = C − arctan a；a → +∞ 时 I(a) → 0（被 e−ax 压灭）⇒ C = π/2，I(a) = π/2 − arctan a = arctan(1/a)。
数值互验（预演算）：I(1) = 0.7853981634 vs π/4 = 0.7853981634；I(2) = 0.4636476090 vs arctan ½ = 0.4636476090——全位咬合。附带彩蛋：令 a → 0+：I(0) = π/2 ——重新得到 ∫0∞ (sin x)/x = π/2！Dirichlet 积分的值由「含参数的邻居」递过来的。
先用定义走几遍完整流程：截断 → 求原函数 → 取极限。定义流是判别法失灵时唯一可靠的退路。
练 3.1 计算 ∫0∞ e−2xdx 与 ∫_e∞ dx/(x·(ln x)2)。
答：前者 = ½（lim e−2A → 0）；后者 = [−1/ln x]_e∞ = 0 − (−1) = 1。第二个是「对数尺收敛」的标准款。
练 3.2 计算 ∫0∞ x·e^(−x2)dx（Rayleigh 分布的均值原型）。
答：u = x2 换元 ⇒ ½∫0∞ e−udu = ½。若换成 e^(−x2)（无 x 因子）就得走概率积分——「有没有那一个 x」决定难易两个世界。
练 3.3 ∫0∞ dx/(x2 + 2x + 5) 收敛吗？求值。
答：配方 (x+1)2 + 4，被积函数 ~ 1/x2（p = 2 > 1 收敛）。值 = (1/2)[arctan((x+1)/2)]0∞ = (1/2)(π/2 − arctan ½) ≈ 0.5536（程序复核 0.553574）。
练 3.4 ∫−11 dx/x2 按定义怎么判？「算出」−2 的人错在哪？
答：瑕点 x = 0 在区间内部，须拆 ∫−10 + ∫01，两侧都发散（瑕端 p = 2 ≥ 1）⇒ 发散。直接套牛顿-莱布尼茨得 −2 是非法操作：N-L 公式的适用前提是区间上可积。这是本章第一号经典错题。
练 3.5 计算 ∫01 x·ln x dx。
答：分部得 −¼（x2ln x 项在 0 处因 x2 压制而消失）。对照练 3.2 一族：xk·ln x 在瑕端的账全被幂「驯服」——幂因子比对数强势。
练 3.6 判断敛散：∫1∞ dx/(x + ex)、∫1∞ dx/(x + 1)、∫1∞ dx/(x2·√(x+1))。
答：第一个收敛（≤ e−x，指数尺完胜）；第二个发散（≥ 1/(2x)，p = 1 尺发散）；第三个收敛（≤ x−5/2，p = 5/2 > 1）。三题口诀：先找「最像的尺」，再定方向。
练 3.7 ∫2∞ dx/(ln x)k（k 为正整数）敛散如何？
答：发散。(ln x)k 增长远慢于 xε，故 1/(ln x)k ≥ 1/x1−δ 对任意 δ > 0（充分远处），幂尺 p = 1 − δ < 1 发散——对数再多层也压不住 x。
练 3.8 设 f ≥ 0 且 ∫1∞ f 收敛，问 ∫1∞ f·sin2x 一定收敛吗？∫1∞ f/(1+f) 呢？
答：前者收敛（f·sin2x ≤ f ✓）；后者也收敛——分两种情形：f ≤ 1 段 f/(1+f) ≤ f；f > 1 段 f/(1+f) ≤ 1，但 ≤1 的段若整段发散会拖垮（∫1∞ min(f,1) ≤ ∫f 收敛……严格说 min(f,1) ≤ f ✓ 收敛）⇒ 收敛。「截断技巧」：有界化后再比较。
练 3.9 比较判别法方向错用会怎样？举一个反例。
答：把「大收 ⇒ 小收」错用成「小收 ⇒ 大收」：取小函数 e−x（收敛）、大函数 1/x（发散）——小收大不收。方向是单向阀。
练 3.10 判断：∫01 dx/x1/3、∫01 dx/x4/3、∫01 ln x/√x dx。
答：第一个收敛（值 3/2）；第二个发散（p = 4/3 ≥ 1）；第三个收敛——ln x/√x ~ 弱于 x−1/2+ε（因 ln x 可被 x−ε 压住），瑕尺 p = ½ − ε < 1 ✓；直接算：分部后 x1/2ln x → 0，值 = −4。
练 3.11 ∫−11 dx/√(1−x2) = ？（瑕点两个）
答：π。两侧各是 arcsin 的端点差（π/2 每侧）；或整体换元 x = sin θ。双瑕点要拆两段各审——本题两端 p = ½ 都温和，全收敛。
练 3.12 ∫01 dx/(√x·(1+x2)) 收敛吗？求值提示？
答：瑕端 p = ½ < 1 ✓ 收敛。求值不必硬来：x = t2 换元后 = 2∫01 dt/(1+t4)——后者是经典有理积分（值含 √2 与 π，第四章例题再收）；本题只判敛即可，别恋战。
练 3.13 ∫0π/2 dx/√(sin x) 与 ∫0π/2 dx/(sin x)3/2。
答：瑕点 x = 0（后者还多一个？不——sin x 在 π/2 处 = 1，无瑕）。前者 sin x ~ x，被积函数 ~ x−1/2，p = ½ < 1 收敛；后者 ~ x−3/2，p = 3/2 ≥ 1 发散。口诀：把三角函数在瑕点泰勒展开看首项阶。
练 3.14 ∫1∞ (cos x)/xp 对哪些 p 绝对收敛、哪些条件收敛？
答：与 sin x/xp 平行（例5）：0 < p ≤ 1 条件收敛、1 < p 绝对收敛、p ≤ 0 发散。cos x 的原函数 sin x 同样有界——Dirichlet 不挑 sin 与 cos。
练 3.15 ∫1∞ (sin x)/x·(1/√x) dx = ∫1∞ sin x/x3/2 是绝对收敛吗？
答：是。|sin x|/x3/2 ≤ x−3/2，p = 3/2 > 1 ✓。条件收敛只发生在 0 < p ≤ 1 的地带——「绝对地带」与「条件地带」以 p = 1 为界。
练 3.16 证明：∫1∞ f(x)·sin x dx 当 f 单调趋于 0 时必收敛（复述 Dirichlet 的验证流程）。
答：第二中值定理：∫_AB f·sin x dx = f(A)∫_Aξ sin x dx + f(B)∫_ξB sin x dx（A ≤ ξ ≤ B）。∫_Aξ sin = cos A − cos ξ，|·| ≤ 2——两段都被 |f(A)| + |f(B)| 压住，A、B 充分大时一致小 ⇒ Cauchy 准则满足。这就是「有界振荡 × 递减权重」的严格机制。
练 3.17 举一个「∫f 收敛但 ∫|f| 发散」的连续函数之外的反例思路？若要求 f 连续可构造吗？
答：sin x/x 本身连续——条件收敛不需要病态函数。「细账乱、总账平」在光滑世界里照样发生。
练 3.18 ∫1∞ sin x·ln x/x dx 收敛吗？
答：收敛（Abel：∫1∞ sin x/x 收敛 ＋ ln x/x？不对——拆系数：被积函数 = sin x·(ln x/x)。g = ln x/x 在 x ≥ e 后单调递减趋于 0，f = sin x 有界 ⇒ Dirichlet 直接给收敛 ✓）。
练 3.19 ∫1∞ sin2x/x dx 敛散？
答：发散！sin2x = (1 − cos 2x)/2：发散项 ½∫dx/x ＋ 收敛项 ∫cos2x/(2x)（Dirichlet）⇒ 发散。「平方毁掉相消」——|sin x|/x 发散的同款机理。
练 3.20 ∫1∞ sin(x2)dx 收敛吗？（Fresnel 积分的尾巴）
答：收敛。换元 u = x2：dx = du/(2√u)，积分 = ½∫1∞ sin u/√u du——p = ½ 落在条件收敛带（例5）✓。振荡频率递增的积分「自己治自己的振荡」。
练 3.21 Abel 判别法的用武之地：∫1∞ (sin x)/x·arctan x dx。
答：arctan x 单调有界（趋于 π/2）且 ∫sin x/x 收敛 ⇒ Abel 放行收敛。与练 3.18 对比：g 的两种归宿（趋于 0 / 有界）分别对应 Dirichlet 与 Abel——「衰减交给 Dirichlet，有界交给 Abel」。
练 3.22 计算 Γ(7/2) 与 Γ(−½)（递推往负半轴延伸）。
答：Γ(7/2) = (5/2)·(3/2)·(1/2)·Γ(½) = 15√π/8；Γ(−½) 由递推 Γ(s+1) = s·Γ(s) 反用：Γ(½) = (−½)·Γ(−½)，故 Γ(−½) = −2√π。Γ 在负半轴分段变号、处处有定义（非正整点）。
练 3.23 ∫0∞ x4e−2xdx = ？
答：换元 t = 2x：= (1/25)∫0∞ t4e−tdt = 4!/25 = 3/4。「幂 × 指数」积分一律转 Γ：Γ(5)/25。
练 3.24 ∫01 x2√(1−x2)dx = ？
答：换元 x = sin θ：dx = cos θ dθ，被积函数变 sin2θ·cos2θ，积分 = ∫0π/2 sin2θ·cos2θ dθ = ¼∫0π/2 sin22θ dθ = ¼·(π/4) = π/16。Β 函数路：u = x2 ⇒ ½Β(3/2, 3/2) = ½·(π/8) = π/16 ✓（程序复核 0.196350 = π/16）。
练 3.25 Γ(s) 在 s → 0+ 与 s → ∞ 的行为各如何？
答：s → 0+：Γ(s) ~ 1/s → +∞（被 xs−1 瑕端撑爆）；s → ∞：Γ(s) 超指数增长（Stirling：~√(2π)ss−½e−s，札记② 详述）。Γ 的两端一爆一涨，中间在 s ≈ 1.46 处取最小值 ≈ 0.8856——一条「两端翘起的微笑曲线」。
练 3.26 用极坐标法计算 ∫0∞ e^(−x2)dx 的完整细节（不许跳步）。
答：I2 = ∫0∞∫0∞ e^(−(x2+y2))dxdy；极坐标 x = r cos θ, y = r sin θ，面积元 r dr dθ，第一象限 θ ∈ [0, π/2]、r ∈ [0, ∞)：I2 = (π/2)·[−e^(−r2)/2]0∞ = π/4 ⇒ I = √π/2。累次积分换极坐标的合法性由非负性保证（Tonelli 型论证，第五章 Fubini 定理预告）。
练 3.27 ∫−∞∞ dx/(x2 − 2x + 5) 的主值与真值各是什么？
答：配方 (x−1)2 + 4——无瑕点（分母恒正），积分真收敛：= (1/2)[arctan((x−1)/2)]−∞∞ = (1/2)(π/2 −(−π/2)) = π/2。主值也是 π/2——真收敛时主值=真值。对照例9：1/x 的发散让主值「空转」；本题分母不触零，主值自动老实。
练 3.28 ∫0∞ e^(−x2)·cos x dx 有初等值吗？（提示：I(a) = ∫0∞ e^(−a x2)cos(bx)dx 对 b 求导）
答：I′(b) = −∫0∞ x e^(−a x2)sin(bx)dx，分部（u = sin(bx)）＝ −(b/(2a))·I(b)——解出 I(b) = I(0)·e^(−b2/(4a)) = (√π/(2√a))e^(−b2/(4a))。a=1, b=1：值 = (√π/2)e−1/4 ≈ 0.690194（程序复核 0.690194 ✓）。Feynman 技巧的又一战果。
练 3.29 为什么 PV ∫−∞∞ dx/x2 = +∞ 而不是 0？主值的对称抵消不是万能的吗？
答：1/x2 恒正，两侧同为 +∞，对称只会「正正相加」。主值能救的只有变号的对称奇性（奇函数型）——恒正的发散无药可救。主值的适用范围：奇性两侧反号、幅值对称。
练 3.30 用积分判别法判断 ∑n=2∞ 1/(n·ln n·ln ln n) 的敛散。
答：对应积分 ∫2∞ dx/(x·ln x·ln ln x)，令 u = ln x：∫ln2∞ du/(u·ln u)，再令 v = ln u：∫ dv/v → 发散。级数也发散——「对数塔」每加一层，p-悬崖位置不变：仍是「p > 1 收、p ≤ 1 散」的复制粘贴。
练 3.31 ∑1/n2 收敛的和是 π2/6（Euler）。用 ∑ 与 ∫ 的夹逼估计 S = ∑n=N+1∞ 1/n2 的误差。
答：单调递减时 ∫N+1∞ dx/x2 ≤ ∑n=N+1∞ 1/n2 ≤ ∫_N∞ dx/x2，即 1/(N+1) ≤ 余和 ≤ 1/N。取 N = 100：误差夹在 [0.0099, 0.01]——级数收敛慢，但误差可控；欧拉变换与外推（第四章）能大幅加速。
练 3.32 从 ∫1∞ dx/x 发散出发，给出 ∑1/n 发散的第二种证明（与上册部分和不等式对照）。
答：单调递减非负时 ∑n=2N 1/n ≤ ∫1N dx/x = ln N——若级数收敛则部分和有界，与 ln N → ∞ 矛盾。积分为级数「垫底」：∫ ≥ 级数（右移半格的矩形下面积），积分发散 ⇒ 级数发散。
练 3.33 反方向转化：由 ∑(−1)n/n = ln 2（上册交错级数）猜 ∫01 dx/(1+x) 的值，并验证。
答：∫01 dx/(1+x) = ln 2 ✓。级数正是 ∫01 的黎曼和（划分 x = n/N）：1/(1+k/N)·(1/N) → ln 2。「交错级数的和 = 一块简单面积」——离散与连续在 ln 2 会师。
练 3.34 F(a) = ∫0∞ e−ax/x dx（a > 0）收敛吗？F′ 存在吗？
答：瑕端 x→0+：e−ax/x ~ 1/x，p = 1 发散——F(a) 处处发散（∞ 端倒是收敛）。所以 F′ 无从谈起。含参积分先审敛、再谈导数——顺序不能乱。
练 3.35 G(b) = ∫0∞ e−x·sin(bx)/x dx，求 G′(b) 与 G(b)。
答：G′(b) = ∫0∞ e−xcos(bx)dx = 1/(1+b2)（两次分部，标准积分）。G(0) = 0 ⇒ G(b) = arctan b。b = 1 时 G = π/4——与例12 不同的路，同一个 π/4（那里 I(a) = arctan(1/a)，本质同一族）。
练 3.36 H(c) = ∫0∞ e^(−cx2)dx 的标度律与微分方程两种求法各写一遍（§3.13 与例8 复述）。
答：标度律：换元 t = √c·x ⇒ H(c) = H(1)/√c；微分方程：H′(c) = −H/(2c) ⇒ H = C·c−1/2。两路互验 H(1) = √π/2（极坐标法）⇒ H(c) = √(π/c)。「一个常数用三件兵器夹出来」。
练 3.37 K(a) = ∫0∞ e−ax·x3 dx（a > 0）＝ ？并给 K(1)。
答：Γ(4)/a4 = 6/a4；K(1) = 6。或连用三次 Feynman：∂3/∂a3 ∫e−axdx = 6/a4。「参数求导 = 免费的分部积分机」。
练 3.38 判断 ∫0∞ dx/(xp(1+x)) 各 p 的敛散（0 与 ∞ 双病）。
答：瑕端 x→0+：~ x−p，收敛要求 p < 1；∞ 端：~ x−p−1，收敛要求 p + 1 > 1 即 p > 0。收敛带 0 < p < 1——双病同时缓解的窗口存在（对照 §3.9 的 ∫dx/xp 无救）。其实此积分恒等式：∫0∞ xp−1/(1+x)dx = π/sin πp（0 < p < 1，反射公式的积分形态，挑战题级）。
练 3.39 ∫0∞ ln x/(1+x2) dx 收敛吗？提示对称性。
答：收敛。瑕端：ln x ~ 弱奇性（x−ε 可压），p = 0 + ε < 1 ✓；∞ 端：ln x/x2 ✓。漂亮求值：换元 x → 1/x 显示 ∫01 段 = −∫1∞ 段，主值式总和 = 0（实际按拆段收敛，两段面积相等反号，和为 0——这次对称抵消是真收敛下的巧合）。
练 3.40 ∫0∞ sin x/(x·√(1+x2))？
答：收敛。∞ 端：|·| ≤ 1/x3/2 绝对收敛 ✓（√(1+x2) ≥ x）。瑕端：sin x/x → 1、1/√(1+x2) → 1，无病。绝对收敛一锤定音。
练 3.41 设 f 在 [1,∞) 非负单调递减。证明：∫f 收敛 ⇒ n·f(n) → 0。
答：n·f(n) ≤ ∫n/2n f(x)dx·2（f 递减 ⇒ n·f(n) ≤ 2∫n/2n f）。收敛 ⇒ 尾巴积分任意小 ⇒ n·f(n) → 0。这是级数版本的「项趋于零」加强版：不仅 f(n) → 0，还要 n·f(n) → 0（对单调正项）。
练 3.42 ∫0∞ dx/(1+xp)（p > 0）对哪些 p 收敛？值能求吗？
答：∞ 端 ~ x−p：p > 1 收敛（p ≤ 1 发散）。值：p = 2 时 π/2；一般 p 的值 = (π/p)/sin(π/p)（预演算复核：p=3 时 (π/3)/sin(π/3) = (π/3)/(√3/2) = 2π/(3√3) ≈ 1.2092，程序 1.2092 ✓）——又见反射公式的积分形态。
练 3.43 ∫0∞ (arctan x)/x2 dx = ？
答：先体检——瑕端 x→0+：arctan x/x2 ~ x/x2 = 1/x，p = 1 恰在悬崖上 ⇒ 发散（∫_εc arctan x/x2 dx ~ −ln ε → ∞）。若跳过体检直接分部（u = arctan x, dv = dx/x2），会算出一个「有限值」——分部产生的 ∫0∞ dx/(x(1+x2)) 同样发散，两处发散互相抵消是假象。教训：分部前的瑕端体检优先于一切。
练 3.44 ∫0∞ x·e−x·sin x dx = ？
答：拉普拉斯积分 ∫0∞ e−axsin x dx = 1/(1+a2)（两次分部），对 a 求导反号：∫x e−axsin x dx = 2a/(1+a2)2。a=1：1/2（程序复核 0.5000 ✓）。
练 3.45 f 连续且 limx→∞ f(x) = L。证明 limA→∞ (1/A)∫0A f = L（Cesàro 均值，微元法视角）。
答：(1/A)∫0A f = (1/A)∫0M f + (1/A)∫_MA f：第一项被 1/A 压灭；第二项 |·−L| ≤ (1−M/A)ε ≤ ε（|f−L| ≤ ε 于 [M,∞)）。任给 ε 取 M——「连续平均 = 采样平均」的积分版，信号处理里的时间平均定理。
错题归档（本章高频翻车点）：
① 方向错：∞ 处与瑕处的 p-判据方向相反（∞ 处 p>1、瑕处 p<1）——练 3.10、3.13、3.43 连环设卡；
② 未审先算：练 3.4 的「−2」与练 3.43 的「分部陷阱」——N-L 与分部积分的适用前提是收敛，先体检后动刀；
③ 主值当真值：例9 的 0 与练 3.27 的 π/2——主值必须带 PV 记号声明，且真收敛时才与真值重合；
④ 平方毁相消：练 3.19——sin2x/x 发散而 sin x/x 收敛，绝对值一步之差两个世界；
⑤ 对数尺失灵：练 3.7、例2——1/x 与 1/(x·ln x) 之间隔着幂尺的分辨率极限，升级对数尺。
三问自测（合上书回答）：
① 为什么 ∫0∞ dx/xp 对任何 p 都发散，而 ∫0∞ dx/(xp(1+x)) 在 0 < p < 1 收敛？（一次「+1」的手术如何拯救双病）
② Dirichlet 判别法的两个组件（有界振荡、单调趋零）各堵住哪种发散路径？用第二中值定理写出关键不等式。
③ Γ 与 Β 的关系式 Β = Γ·Γ/Γ 意味着「有限区间的积分由无穷区间的积分表达」——用 Β(½,½) = π 复述 Γ(½) = √π 的证明链。
若三问皆答得顺畅，本章语法已入账本——下一章把「离散求和」推到无穷多项，看同一套语法如何在新舞台重演。
公元前五世纪，埃利亚的芝诺提出四个悖论，其中「阿基里斯追龟」最令人不安：追赶者先要到乌龟的出发点，此时龟又爬了一段；再到那里，龟又前进……无穷多个「任务」摆在面前，怎么走得完？直觉的推理是：无穷多个正量相加必为无穷大——所以永远追不上。可阿基里斯明明两步就超了乌龟。
芝诺的错误不在观察，而在「无穷相加必无穷」这条潜规则。中册的前三章正是这条规则的详细勘误：几何接龙 ½ + ¼ + ⅛ + ⋯ = 1（绪论）；∫1∞ dx/x2 = 1（§3.2）；∫0∞ e^(−x2)dx = √π/2（§3.13）。无穷多个正量，只要「足够快地变小」，总和就可以有限——阿基里斯的第 n 段路程按公比 1/10 递减（芝诺的十步设定），总和恰好等于起跑距离。
分析的裁决：芝诺的真正遗产是逼出了「极限」概念——两千四百年后，柯西的定义（先有限截断、再取极限）给了悖论一个精确的死因：「无穷多步」的过程没有总和当且仅当部分和序列不收敛；收敛与否是可判定的数学问题，不是哲学咒语。本章的 p-分水岭是这场裁决的判例法：递减快过 1/x2（或 1/x·ln2x 等）者生，慢者亡。
Γ 函数是「无穷积分」最伟大的战利品。1729 年，20 岁的欧拉在给哥德巴赫的信中解决了「n! 的插值」问题；两百年后，Γ 已渗透进概率论（正态、Poisson、χ2 分布全靠它）、物理学（β 衰变统计、量子场论的圈图积分）、数论（Riemann ζ 函数的函数方程）——一个反常积分养活了大半个现代数学。
Γ 的两张面孔：积分面孔 Γ(s) = ∫0∞ xs−1e−xdx（本章）与极限面孔（Euler 最初给的）Γ(s) = limn→∞ n!/((n)(n+1)⋯(n+s−1))——前者是连续的账，后者是离散的账，两面孔相等是「积分判别法对偶」的深度版本。
Stirling 公式预告：n! ≈ √(2πn)·(n/e)n——用 n、e、π 三个常数近似阶乘。程序实测（预演算）：n = 5 相对误差 1.65%、n = 10 误差 0.83%、n = 20 误差 0.42%——n 翻倍误差减半（精度按 1/n 改善）。它是 Γ(s) 的渐近展开（s → ∞）的整数点版本，严格证明要等第六章的幂级数与Watson 引理的初等版。届时我们将看到：误差的「下一项」是 O(1/(12n))——渐近级数的每一项都能写下来。
| 积分 | 值 | 出处 | 积分 | 值 | 出处 |
|---|---|---|---|---|---|
| ∫1∞ dx/x2 | 1 | §3.2 | Γ(½) | √π | 例6 |
| ∫01 ln x dx | −1 | 例3 | Β(½,½) | π | §3.12 |
| ∫0∞ e^(−x2)dx | √π/2 | §3.13 | ∫0∞ sinx/x | π/2 | 例4/12 |
| PV∫−∞∞ dx/x | 0（主值） | 例9 | ∫0∞ (e−ax−e−bx)/x | ln(b/a) | 例10 |
核心命题：「无穷」不是一种量，而是一种过程。问「无穷和是多少」就是问「部分量的序列有没有归宿」。收敛性把无穷过程分成两类：有归宿的（可以谈论「总和」）与无归宿的（只能谈论「发散」）——从芝诺到柯西，人类花了两千三百年才把这句话说清楚。
一句心得：判别收敛的艺术，本质是找到正确的对照物——p-尺、对数尺、标准震荡器。数学的进步常常不是「算得更狠」，而是「比得更巧」。
证明一（Β 桥，例6）：Γ(½)2 = Β(½,½)Γ(1) = ∫01 dx/√(x(1−x))；换元 x = sin2θ 得 π——Β 关系式把双瑕点积分变成 Γ 的自乘。
证明二（平方化重积分，§3.13 路线）：Γ(½) = 2∫0∞ e^(−t2)dt（t2 换元）。设 I = ∫0∞ e^(−t2)dt，I2 = ∫∫e^(−(x2+y2)) 化极坐标 = π/4 ⇒ I = √π/2 ⇒ Γ(½) = √π。
证明三（Wallice 积分极限版）：W_n = ∫0π/2 sinnx dx 满足递推 W2n = (2n−1)/(2n)·(π/2)、W2n+1 = (2n)/(2n+1)·W2n−1。由 sinn 在 [0,π/2] 的单调性：(2n−1)/(2n)·π/2·…夹逼关系 W2n+1 ≤ W2n ≤ W2n−1 两端同除 W2n+1，得 (2n)/(2n+1) ≤ W2n/W2n+1 ≤ 1 ⇒ W2n/W2n+1 → 1 ⇒ π/2 = lim W2n2/W2n+12 = lim [(2n)!!/(2n−1)!!]2/(2n+1)。而这正是 Wallis 乘积 π/2 = (2·2·4·4⋯)/(1·3·3·5⋯)。再用 Γ 函数改写双阶乘：[(2n)!!]2/(2n+1) = 22n(n!)2·2·…经 Γ(½) 关系验证 π/2 = Γ(½)2/2·2 —— Wallis 乘积等价于 Γ(½)2 = π。
评点：证明一是「关系式代数」（最快）；证明二是「升维几何」（最优雅，Riemann 最爱）；证明三最曲折，却顺路摘下 Wallis 乘积（1655）——历史上它先于 Γ 函数一百年出现，是「√π 属于半整数阶乘」的史前形态。三条路在 √π 会师：一个常数、三种世界观。
任务：证明 γ = lim(H_n − ln n) 存在，并用积分夹逼估计其值。
证明（单调有界）：令 a_n = H_n − ln n。an+1 − a_n = 1/(n+1) − ln(1 + 1/n) < 0（因 ln(1+x) > x − x2/2 ＞ 1/(n+1) 当……用 ln(1+t) ≥ t/(1+t)：ln(1+1/n) ≥ 1/(n+1)）⇒ 递减。又 a_n ≥ ∫1n+1 dx/x − ln n = ln(n+1) − ln n = ln(1+1/n) > 0 ⇒ 有下界。单调递减有下界 ⇒ 收敛，极限即 γ。
数值夹逼（预演算）：n = 106 时 a_n = 0.57721616；精确值 γ = 0.5772156649——百万项只咬合 5 位小数（误差 ~ 1/(2n)）：调和级数向 γ 的收敛慢到令人发指。改进：a_n − γ ~ 1/(2n)，欧拉变换后可 10 项咬合 10 位（第四章 Euler-Maclaurin 预告）。
| n | H_n | ln n | H_n − ln n |
|---|---|---|---|
| 10 | 2.928968 | 2.302585 | 0.626383 |
| 100 | 5.187378 | 4.605170 | 0.582207 |
| 104 | 9.787606 | 9.210340 | 0.577266 |
| 106 | 14.392727 | 13.815511 | 0.577216 |
| ∞ | — | — | γ = 0.5772156649… |
实验目标：亲手观察「截断值 → 真值」的逼近过程，比较单调型与振荡型的尾巴性格。全部数值由预演算脚本定案。
实验 A（单调型）：E1(1) = ∫1∞ e−x/x dx，真值 0.2193839。截断 T = 5、10、20、40 的截断值依次 0.2182356、0.2193798、0.2193839、0.2193839——残差 1.15×10−3 → 4.16×10−6 → 1.03×10−10 → 4.01×10−12：每 +5 个 T，残差除以约 e5 ≈ 148（指数消亡）。Richardson 外推（T=20 与 40 线性组合）把残差再压一个量级。
实验 B（振荡型）：∫1∞ (sin x)/x dx，真值 0.6247133。截断 T = 40π 得 0.6323299（残差 7.96×10−3）；挪到 T = 40.5π 得 0.6246515（残差 6.2×10−5）——截断点挪动半个周期，精度提升 128 倍。原理：尾首项 ~ cos T/T，挑 cos T = 0 处下刀。
| 积分 | 类型 | T 截断 | 截断值 | 残差 | 性格 |
|---|---|---|---|---|---|
| ∫1∞ e−x/x | 单调 | 20 | 0.21938393 | 1.0e−10 | 乖尾巴（指数亡） |
| ∫1∞ sinx/x | 振荡 | 40π | 0.63232990 | 8.0e−3 | 淘尾巴（1/T 慢亡） |
| ∫1∞ sinx/x | 振荡 | 40.5π | 0.62465151 | 6.2e−5 | 相位选点 ×130 |
A 卷（基础，25 分钟）
A1 判断敛散并求值（能求则求）：∫0∞ e−3xdx；∫01 dx/x0.9；∫2∞ dx/(x ln x)。
答：⅓；10/9（p = 0.9 < 1 瑕端收敛）；发散（对数尺 p = 1）。
A2 ∫1∞ (x + sin x)/(x3 − x + 2) dx 收敛吗？写出判别链。
答：绝对收敛。∞ 端 |被积函数| ~ 1/x2（分子取主部 x、分母取 x3），p = 2 > 1 ✓。sin x 的变号被绝对值吸收。
A3 计算 ∫0∞ x2e−x/2dx。
答：用公式 ∫0∞ xne−x/adx = an+1·n!（换元 t = x/a 即 Γ(n+1)）：a = 2、n = 2 ⇒ 23·2! = 16（程序复核 16.000000 ✓）。
B 卷（进阶，35 分钟）
B1 证明：∫0∞ (sin x)/x·(1 − e−x) dx 收敛，且为绝对收敛。
答：拆成 ∫0∞ sinx/x − ∫0∞ sinx·e−x/x dx。第一项 = π/2（例4）；第二项是例12 的 I(1) = arctan 1 = π/4。故原积分 = π/2 − π/4 = π/4。绝对收敛体检：∞ 端 |·| ≤ e−x/x（指数尺）✓；瑕端 (1 − e−x)/x → 1、sin x/x → 1，乘积有界无瑕 ✓。程序积分 0.785398 ✓。
B2 设 p > 0，讨论 ∫0∞ dx/(xp(1+x2)) 的收敛带。
答：瑕端 ~ x−p：p < 1；∞ 端 ~ x−p−2：p + 2 > 1 恒真 ⇒ 收敛带 0 < p < 1。对照练 3.38（1+x 版本同为 0<p<1）——分母换成 1+x2 后 ∞ 端更温和，收敛带由瑕端单方面决定。
评讲要点：A1 考「两病分治」；A2 考量阶侦查的主部提取；A3 考 Γ 的换元套路；B1 考双端体检＋指数尺；B2 考收敛带的端点诊断。凡错在「方向」（∞ 与瑕端的 p 反向）或「未审先算」（B 卷各题），回练 3.10–3.13、3.43。第三章完——下一章，同样的悬崖换到离散舞台：数项级数登场。
《庄子·天下》记载了名家的一段话：「一尺之棰，日取其半，万世不竭。」一根一尺长的木棰，每天取走一半，一万年也取不完。这话常被当作「无限不可分」的东方智慧，但从数学看，它其实偷偷同意了一件大事：每天取走的量 ½、¼、⅛、… 排成一个确定的队列，而且「取走的总量」在逐日逼近一个确定的数——1 尺。把「每天取走的量」加起来，这正是本章的主角：无穷级数。
注意庄子的表述与芝诺的差别：芝诺的「追不上」让希腊人焦虑了两千年，庄子的「不竭」却从容得多——但在数学面前两者是同一个问题：无穷多项相加，有没有资格谈「总和」？本章的回答分三步：先给「部分和」记账（§4.2），再立收敛的法庭（§4.3–4.4），然后配备一整套判别法家族（§4.5–4.12）。判别法之外还有两枚炸弹级定理——柯西乘积与黎曼重排（§4.13–4.14），后者将说明：把 1−1/2+1/3−⋯ 重新洗牌，可以让它收敛到要的任何数。
给定数列 a1, a2, a3, …，把它们依次用加号连起来的式子 ∑n=1∞ an 叫做（数项）级数。关键的一步是：级数不是一个算式，而是一个序列的极限。定义它的部分和序列
若部分和序列 {Sn} 收敛于 S，则称级数收敛，S 是它的和；否则称发散。写 ∑an = S 的确切含义是 lim Sn = S——「加完无穷多项」这个动作从未真正完成，完成的只是极限。
例（几何级数）：∑rn−1 = 1 + r + r2 + ⋯。当 0 < r < 1 时 Sn = (1 − rn)/(1 − r) → 1/(1 − r)。收敛 ⇔ |r| < 1：r = 0.9 时和为 10，r = 0.99 时和为 100；r = 1 时 Sn = n 无界，r = −1 时部分和 1, 0, 1, 0, … 振荡不决。几何级数是全章的「标准参照物」，它的每一句话都要背下来。
数列的柯西准则翻译到级数：∑an 收敛 ⇔ 对任意 ε > 0，存在 N，使 m > n > N 时
换句话说：从某处往后，任意一段「尾巴片段」的总量都可以小于 ε。柯西准则的妙处在于不必知道和是多少——只看部分和之间的距离，就能裁决收敛。这是「存在性先于可计算性」的典范：许多级数（如 ∑1/n2）在收敛性被判明之后很久，其和 π2/6 才被找到。
反着用更好用：要证发散，只需对某个固定的 ε0（常取 ½），无论 N 多大都能找到一段总量 ≥ ε0 的尾巴。调和级数的柯西证明正中此招：取片段 1/(n+1) + ⋯ + 1/(2n) ≥ n·(1/2n) = ½——每段长 n 的「半段尾巴」都至少装着 ½，柯西条件破产，发散定案。
若 ∑an 收敛于 S，则 an = Sn − Sn−1 是两个都趋于 S 的量之差，故 an → 0。这就是收敛的必要条件：通项不趋零，立刻发散。它是第一道筛子——筛不过直接出局，连判别法都不必。例如 ∑n/(n+1)（通项 → 1）、∑(−1)n（通项不趋零）、∑cos(nπ/2)（通项 0, −1, 0, 1 振荡）全数出局。
本章第一号经典错题：「an → 0，所以 ∑an 收敛。」错！必要条件与充分条件方向相反：收敛 ⇒ 趋零，但趋零 ⇏ 收敛。1/n 趋零而 ∑1/n 发散；1/√n 趋零而 ∑1/√n 发散；1/(n·ln n) 趋零而对应级数照样发散。趋零只说明「每项都小」，不说明「小得够快」——够不够快，交给判别法家族裁决。
先攻最规矩的一类：正项级数（an ≥ 0）。此时部分和 Sn 单调不减，于是上册的「单调有界必收敛」直接接管：正项级数收敛 ⇔ 部分和有界。发散的正项级数没有悬念地冲向 +∞——它不会振荡，只会「贪多」。
由此得到第一件判别兵器——比较判别法：若 0 ≤ an ≤ bn（充分大后），则
例：∑1/(n2+n) 收敛——1/(n2+n) < 1/n2，而 ∑1/n2 收敛；其实它还能精确求和：裂项 1/(n2+n) = 1/n − 1/(n+1)，叠缩后 Sn = 1 − 1/(n+1) → 1。反方向的例子：∑1/√n 发散——1/√n ≥ 1/n，而 ∑1/n 发散。方向是单向阀：大收才推小收，小散才推大散。
比较判别法要「现找尺子」，达朗贝尔把它自动化。对正项级数算相邻项之比的后极限：
ρ < 1 ⇒ 收敛；ρ > 1 ⇒ 发散；ρ = 1 ⇒ 判别失效（三种可能都有：∑1/n2 收、∑1/n 散、∑1/np 视 p 而定）。原理：ρ < 1 时从某处起 an+1 ≤ q·an（q = (1+ρ)/2 < 1），级数被一条公比 q 的几何级数从上方压住——判别法的灵魂仍是「与几何级数比」。
例：∑n!/nn 的比值 = (n/(n+1))n → 1/e < 1，收敛；∑nn/n! 的比值 = (1+1/n)n → e > 1，发散。口诀：通项里有 n! 或 nn（指数式增长或衰减），比值判别法首当其冲——因为相邻项一除，阶乘与幂往往恰好咬合消去。
第二件自动化兵器取 n 次根：ρ = lim (an)1/n。ρ < 1 收敛、ρ > 1 发散、ρ = 1 失效——判决规则与比值判别法一模一样，但适用范围更广：可以证明凡比值极限存在者根值极限必存在且相等；反之不然。原因是取 n 次根把「指数的振荡波动」抹平了。
例（比值哑火、根值定案）：an = 2^(−n+(−1)n)。相邻比 an+1/an 在 2 与 ⅛ 之间来回横跳，极限不存在——比值判别法失明。但 (an)1/n = 2^(−1+(−1)n/n) → ½ < 1，收敛。
例：∑(1+1/n)^(−n2)——根值 = (1+1/n)−n → 1/e < 1，收敛（预演算：部分和 0.817419…，通项 ≈ √e·e−n 指数消亡）。这一族是「根值的招牌菜」：通项是 n 的幂上再摞幂，开 n 次根立刻减一层。
设 f(x) 在 [1, ∞) 上非负、连续、单调递减。把台阶（∑f(n)）铺在曲线（∫f）旁边，图上一眼可见互相夹住：
于是反常积分 ∫1∞ f(x)dx 与级数 ∑f(n) 同收敛共发散——第三章的 p-积分账本原封不动搬进级数世界：∑1/np 与 ∫1∞ x−pdx 同命运，故 p > 1 收敛、p ≤ 1 发散。第三章 §3.16 的「对偶」在这里正式兑现。
例：∑1/(n·ln n)（n ≥ 2）与 ∫2∞ dx/(x·ln x) 同命运，后者 = ln ln x |2∞ = ∞，发散；∑1/(n·ln2n) 与 ∫2∞ dx/(x·ln2x) = 1/ln 2 同命运，收敛。台阶图也解释了误差：∑1n 1/k2 与 ∫1n dx/x2 相差不超过 1——调和级数「Hn ≈ ln n + γ」的影子（§4.15）正是这道夹逼的积分余项。
把判别法家族的战果汇总成一张「分水岭全家福」。第一道分水岭：p = 1（∑1/np）；第二道更细的分水岭藏在 p = 1 内部：给 1/n 加对数因子后，∑1/(n·lnpn) 在 p > 1 时收敛、p ≤ 1 时发散——对数世界里有自己的 p-判别法，而 1/(n·ln n) 在对数世界里扮演 1/n 的角色（发散底色）。
变号级数里最温和的是交错级数：正负号一正一负排队。莱布尼茨判别法：若 bn 单调递减且趋于零，则 ∑(−1)n−1bn 收敛。机理：S2k 与 S2k+1 两串部分和，一串递增、一串递减，互相夹逼——相邻部分和之差就是 bn+1 → 0，两串必然靠拢。
招牌例：ln 2 = 1 − ½ + ⅓ − ¼ + ⋯（由 ln(1+x) = x − x2/2 + ⋯ 在 x = 1 处展开；严格推导见第五章）。bn = 1/n 单调递减趋零，莱布尼茨放行。更重要的是它的误差控制：|S − Sn| ≤ 首个被舍弃的项 1/(n+1)——交错级数的误差天然自带「首付上限」，这是数值求和里最人性化的定理。
| N | 部分和 Sn | 距 ln 2 | 首舍项 1/(N+1) |
|---|---|---|---|
| 10 | 0.64563492 | 4.75×10−2 | 9.09×10−2 |
| 100 | 0.68817218 | 4.98×10−3 | 9.90×10−3 |
| 1000 | 0.69264743 | 5.00×10−4 | 9.99×10−4 |
给变号级数做「体检」：把各项取绝对值后 ∑|an| 若收敛，称原级数绝对收敛；若 ∑an 收敛而 ∑|an| 发散，称条件收敛。绝对收敛 ⇒ 收敛（正项级数的判别法全都借给 |an| 用），反之不然。
招牌对：∑(−1)n−1/n 收敛于 ln 2，但绝对账本 ∑1/n 发散——条件收敛。∑(−1)n−1/n2 收敛于 π2/12，且 ∑1/n2 收敛——绝对收敛。条件收敛地带恰好是「变号功劳」地带：符号相消救了发散的绝对账本。
条件收敛有多「脆」？∑(−1)n−1/n 收敛靠的是正项 ∑1/(2k−1) 与负项 ∑1/(2k) 各自发散、速率相当，两股洪流对冲出一条细流。一旦重排洗牌，对冲次序改变，和就变——黎曼重排定理（§4.14）将把这种脆弱性推到极致：条件收敛级数可以重排出任意指定的和。绝对收敛级数则完全免疫：重排不动分毫。
一般变号级数 ∑anbn（一个「振幅」乘一个「权重」）有两件重型兵器。Dirichlet 判别法：∑an 的部分和有界，bn 单调趋于零 ⇒ ∑anbn 收敛。Abel 判别法：∑an 收敛，bn 单调有界 ⇒ ∑anbn 收敛。两者都源自恒等式（分部求和 / Abel 变换）：
分工口诀：「衰减交给 Dirichlet，有界交给 Abel」——权重若趋于零走 Dirichlet，若安顿于非零值走 Abel。
例（Dirichlet）：∑sin(nx)/n 对 x ∉ 2πℤ 收敛——|∑k≤n sin(kx)| ≤ 1/|sin(x/2)| 有界，1/n 单调趋零。例（Abel）：∑(−1)n−1/n·(1+1/n) 收敛——∑(−1)n−1/n 已收敛，(1+1/n) 单调有界（→1）。
条件收敛的又一招牌：∑(−1)n/n1+1/n。绝对账本：n−1−1/n ≥ 1/n，故 ∑n−1−1/n 发散。原始账本：bn = n−1/n 单调、bn·n = n·n−1−1/n → 0（Dirichlet 配合 an = (−1)n、权重 1/n）⇒ 收敛。指数上那 1/n 是「差一点点」的典型：幂尺 p = 1 + 1/n 恒大于 1 却趋于 1，恰卡在幂尺分辨率之下——收敛与发散的边缘地带。
两个收敛级数能像多项式那样「乘开再合并同类项」吗？柯西乘积按对角线组织：(∑am)(∑bn) 的第 n 个系数是 cn = a0bn + a1bn−1 + ⋯ + anb0。规则保证：若两级数都绝对收敛，则柯西乘积收敛于两级数之和的乘积。
例一：几何级数自乘：1/(1−x)·1/(1−x) = (∑xn)2 = ∑(n+1)xn——cn = n+1 恰是对角线格数。x = ½ 时和 = 4（预演算：∑(n+1)/2n = 4.000000 ✓）。例二：e 的级数自乘：∑1/m!·∑1/k! = ∑2n/n!（因为 ∑1/(k!(n−k)!) = 2n/n!）⇒ e2 = ∑2n/n!（预演算 7.3890560989 ✓）——两个无理数的乘法被级数接生。
没有绝对收敛会怎样？柯西 1821 年的招牌反例：(∑(−1)n/√n)2 自乘。对角线上 cn = (−1)n·(1+1+⋯+1)/√(n·n)·系数 → (−1)n·(n+1)/n → 不趋零——乘积的通项都不趋零，乘积必发散！条件收敛级数连乘法都不配拥有——又一次见证条件收敛的脆弱。
把级数的项换个次序相加，和会变吗？绝对收敛：不变（可以在正项上花得更猛、负项上收得更紧的预算里证明任意重排后仍收敛于原和）。条件收敛：天翻地覆。黎曼定理（1852，他在答 Dirichlet 信中给出）：
黎曼重排定理：设 ∑an 条件收敛，则对任意给定的实数 S（以及 ±∞），都存在项的重排，使重排后的级数收敛于 S。
原理拆开看毫不神秘：条件收敛必是「正项子级数与负项子级数都发散」（否则绝对账本收敛）。两座各自喷涌的金山银海，想要多少就舀多少：不够 S 就舀金、超了 S 就舀银，往复震荡，振幅随项变小而衰减——精确锁定 S。
| 目标 S | 正项数 | 负项数 | 锁定精度 | 备注 |
|---|---|---|---|---|
| 1.5 | 78 | 15 | < 10−3 | 锯齿前 12 步见图 4-13 |
| 2.0 | 48 | 3 | < 10−3 | 目标越高，负项越省 |
| 3.0 | 154 | 1 | < 10−3 | 只用 1 个负项 |
| 10 | 首次摸顶需约 6.8×107 个正项 | 项数按 e2S 指数增长 | ||
调和级数 ∑1/n 是级数世界的「第一悬案」：通项 1/n 乖顺趋零，总和却无界。1350 年前后，巴黎的 Nicole Oresme 给出流传至今的分组证明：
每两个、每四个、每八个一组，每组的和都 ≥ ½——组数无穷，总量无界。从 1 加到只需 64 项（k = 6），H64 就越过 4.5；H(220) = 14.44（预演算）——想加到 100？大约需要 e100−γ ≈ 1043 项，宇宙的原子都不够用。
故事的后半段同样精彩：Hn 无界，却爬得极有规律——Hn ≈ ln n + γ（γ ≈ 0.5772 即欧拉常数，1734 年欧拉给出；札记② 为它立传）。Oresme 的分组法还培养了一整个「分组估计」流派：Cauchy 凝聚判别法（§3.16 积分判别法的离散孪生）正是它的严格化。
收敛与收敛大不相同：几何级数 30 项到机器精度，交错调和 30 项误差还有 0.016。收敛速度是级数的「性格」，而加速求和是驯服慢级数的手艺。三种从易到难的加速法（对拍数据见综合站实验页）：
一、平均法：S̃n = (Sn + Sn+1)/2。对交错级数把 1/N 阶误差压成 1/(4N2)——50 项就能进 10−4（预演算：误差 9.61×10−5 vs 直接法 9.90×10−3，提速百倍），一行代码的免费午餐。
二、欧拉变换：交错级数 ∑(−1)nan 改写为
差分把「缓变」变「速降」：对交错调和（an = 1/(n+1)），欧拉变换 10 项误差 8.2×10−5，20 项 4.4×10−8，30 项 2.9×10−11（预演算）——而直接部分和要 5×108 项才有这精度，提速上亿倍。
三、利用已知和：把慢级数拆成「快级数 + 余项」，如 ∑1/n2 = π2/6 由傅里叶级数或 Euler 乘积公式给出后，残差级数收敛飞快（第六章兑现）。
古希腊（前 5 世纪）：芝诺悖论把「无穷相加」逼上舞台，但希腊数学以穷竭法回避无穷和本身——亚里士多德只承认「潜无限」（过程可以无限继续），拒绝「实无限」（无穷作为一个完成的整体）。中世纪：Oresme（约 1350）算出调和级数发散，是中世纪少见的硬数学。
17–18 世纪：微积分草莽时代，级数是「无穷多项式」，用起来生龙活虎却根基松软。1668 年 Mercator 与牛顿把 ln 2 展成交错调和；1713 年泰勒级数问世；1703 年 Grandi 抛出 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ = ½（用几何级数形式化）引发百年争论——欧拉一边给出 ζ(2) = π2/6 的辉煌（1734），一边把发散级数也大胆当数使。19 世纪：高斯、波尔查诺、柯西掀起严格化风暴——1821 年柯西《分析教程》用部分和极限定义级数和，发散级数被逐出分析（阿贝尔怒斥发散级数是「魔鬼的发明」）；但故事没完：19 世纪末 Cesàro 求和、20 世纪 Borel 求和为发散级数「依法平反」——1 − 1 + 1 − ⋯ 的 Cesàro 和恰好是 ½，Grandi 的直觉在更宽的规则下复活。
本章建立了一套完整的「收敛裁决系统」。先过必要条件筛（通项趋零？），正项级数走比较 → 比值/根值 → 积分判别 → p-尺/对数尺的接力，变号级数走莱布尼茨 → 绝对/条件体检 → Abel/Dirichlet的流程，最后是结构定理（柯西乘积、黎曼重排）与数值手艺（加速求和）。
| 级数 | 判决 | 兵器 | 级数 | 判决 | 兵器 |
|---|---|---|---|---|---|
| ∑1/n2 | 收 π2/6 | p-尺 | ∑1/n | 散 | Oresme/积分 |
| ∑1/n! | 收 e | 比值 | ∑1/(n ln n) | 散 | 积分/对数尺 |
| ∑(1+1/n)^(−n2) | 收 0.8174 | 根值 | ∑(−1)n/√n | 条件 | 莱布尼茨 |
| ∑(−1)n−1/n | 收 ln 2 | 莱布尼茨 | ∑(−1)n/n1+1/n | 条件 | Dirichlet |
题：求和：∑1/(n(n+1))、∑1/((2n−1)(2n+1))、∑1/(n(n+2))。
解：三个都是裂项的棋子。① 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)，叠缩 Sn = 1 − 1/(n+1) → 1。② 1/((2n−1)(2n+1)) = ½(1/(2n−1) − 1/(2n+1))，叠缩 Sn = ½(1 − 1/(2n+1)) → ½。③ 1/(n(n+2)) = ½(1/n − 1/(n+2))，隔项叠缩 Sn = ½(1 + ½ − 1/(n+1) − 1/(n+2)) → ¾。叠缩的本质：部分和序列变成「首尾差」——中间的项全部前后抵消，只剩两端对账。
题：判断 ∑1/(n2+1)、∑(n+1)/(n3+2)、∑1/(√n+n) 的敛散。
解（量阶侦查三连）：① 1/(n2+1) ≤ 1/n2，p = 2 > 1 ⇒ 收敛（升级极限版：n2/(n2+1) → 1，与 1/n2 同阶）。② (n+1)/(n3+2) 与 n/n3 = 1/n2 同阶：n2·(n+1)/(n3+2) → 1 ⇒ 收敛。③ 1/(√n+n) 的分母主部是 n，它比 1/n 还小——发散尺压不出下界结论，须反手找下界：n ≥ 1 时 √n ≤ n，故 √n + n ≤ 2n，于是 1/(√n+n) ≥ 1/(2n)——骑到发散尺 1/n 之上 ⇒ 发散。
| 级数 | 主部（量阶） | 对照尺 | 判决 |
|---|---|---|---|
| ∑1/(n2+1) | ~ 1/n2 | p = 2 收敛 | 收敛 |
| ∑(n+1)/(n3+2) | ~ 1/n2 | p = 2 收敛 | 收敛 |
| ∑1/(√n+n) | 介于 1/n 与 1/√n 之间 | ≥ 1/(2n) 发散 | 发散 |
第三题的教训：1/(√n+n) 的分母主部是 n，若草率宣布「~1/n，发散」虽然结论对，理由其实更微妙——它小于 1/n（发散尺在上，压不出结论），必须反过来找下界 1/(2n)。判发散要「骑到发散尺之上」，判收敛要「钻到收敛尺之下」——方向错正比结论对错更要紧。极限形式（同阶判别）则免去方向烦恼：n·(1/(√n+n)) → 1 > 0 且 p = 1 ⇒ 发散，一条路走到底。
题：判断 ∑1/n!、∑n!/nn、∑nn/n! 的敛散。
解：① ∑1/n!：比值 = 1/(n+1) → 0 < 1 ⇒ 收敛，且和就是 e（S20 与 e 之差 4×10−16，机器精度）。② ∑n!/nn：比值 = nn/(n+1)n = (n/(n+1))n → 1/e ≈ 0.368 < 1 ⇒ 收敛（预演算：n = 1000 时实测比值 0.368063）。③ ∑nn/n!：比值 = (1+1/n)n → e > 1 ⇒ 发散（其实通项 nn/n! = en ln n − ln n! ≈ en−½ln(2πn) → ∞，必要条件即出局）。
| 级数 | 相邻比 | 极限 ρ | 判决 |
|---|---|---|---|
| ∑1/n! | 1/(n+1) | 0 | 收敛（和 = e） |
| ∑n!/nn | (n/(n+1))n | 1/e ≈ 0.368 | 收敛 |
| ∑nn/n! | (1+1/n)n | e ≈ 2.718 | 发散（通项爆炸） |
∑1/n! 的收敛速度表（预演算）：
| 加到 n = | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| 距 e | 1.62×10−3 | 2.73×10−8 | 5.02×10−14 | < 10−15 |
回味：比值判别法量出的是「指数消亡率」——ρ = 1/e 意味着每加一项误差约乘 1/e。阶乘的分母是级数世界里最快的衰减之一（与 n−n 同级），难怪 e 的级数 15 项就到机器精度。ρ 恰好压在 1 上的（如 ∑1/np），比值法一律哑火——那是 p-尺的地盘。
题：判断 ∑1/(n·ln n)（n ≥ 2）与 ∑1/(n·ln2n) 的敛散。
解：f(x) = 1/(x·ln x) 在 [2, ∞) 非负连续递减。∫2A dx/(x ln x) = ln ln A − ln ln 2 → ∞ ⇒ 发散。而 g(x) = 1/(x·ln2x) 的积分 ∫2∞ dx/(x ln2x) = 1/ln 2 ≈ 1.4427 有限 ⇒ 收敛（预演算：级数和 ≈ 2.1097，N = 2×106 与 8×106 两个尺度加尾后咬合到 10−9）。
| N | ∑2N 1/(n ln n) | ln ln N | 差（→常数） |
|---|---|---|---|
| 103 | 2.7274 | 1.9326 | 0.7948 |
| 105 | 3.2381 | 2.4435 | 0.7946 |
| 106 | 3.4205 | 2.6258 | 0.7947 |
题：用交错调和级数求 ln 2，问要几位小数需要多少项？误差如何保证？
解：莱布尼茨判别法给出免费误差券：|ln 2 − Sn| ≤ 1/(n+1)。要 1 位小数（误差 < 0.05）：加 20 项就够；要 2 位（< 0.005）：约 200 项；要 3 位（< 0.0005）：约 2000 项。每多一位小数，付出十倍的项数——线性收敛的代价。预演算实录：N = 1000 时 Sn = 0.69264743，误差 5.00×10−4，恰为首舍项 9.99×10−4 的一半。
题：判断 ∑(−1)n−1/√n 的敛散类型，并求其和的数值。
解：① 原始账本：bn = 1/√n 单调递减趋零，莱布尼茨 ⇒ 收敛。② 绝对账本：∑1/√n 是 p = ½ 的 p-级数，发散 ⇒ 条件收敛。③ 数值：部分和收敛极慢——N = 2×105 时 S = 0.603781，距真值 0.604899 还有 1.1×10−3（误差 ~ 1/(2√N)，要 4 位小数得加 108 项！）。
| 级数 | 原始账本 | 绝对账本 | 类型 | 和 |
|---|---|---|---|---|
| ∑(−1)n−1/n | 收敛 | 发散 | 条件收敛 | ln 2 ≈ 0.6931 |
| ∑(−1)n−1/√n | 收敛 | 发散 | 条件收敛 | ≈ 0.604899 |
| ∑(−1)n−1/n2 | 收敛 | 收敛 | 绝对收敛 | π2/12 ≈ 0.8225 |
两笔账的深刻读法：绝对收敛级数的和「不怕洗牌」（重排不变），条件收敛级数的和「全靠排队」（重排即变，§4.14）。0.604899 这个数还有个彩蛋：它等于 (1−√2)·ζ(½)，而 ζ(½) ≈ −1.46035 是负数——正负交错把一个负常数翻成了正和。ζ 函数将在第六章傅里叶级数里正式登场。
回味：条件收敛地带的「收敛」是符号对冲的窄平衡。p 从 2 降到 1 再降到 ½：绝对账本从盈到亏，原始账本靠对冲勉强持平——对冲的压力随 p 减小而增大（1/√n 的正项洪流比 1/n 猛得多），收敛速度也从线性劣化到 N−½。例11 的加速法将替我们「还债」。
题：判断 ∑(−1)n−1/n1+1/n 的敛散类型。
解（三步体检）：① 绝对账本：n−1−1/n ≥ 1/n（指数 1 + 1/n 恒大于 1），故 ∑n−1−1/n 发散——不是绝对收敛。② 原始账本：写成 ∑(−1)n−1·(1/n)·n−1/n。取 an = (−1)n−1/n（部分和有界：0 与 1 之间）、权重组合 cn = n−1/n·1。更直接地用 Dirichlet：通项 = (−1)n−1·bn，bn = n−1−1/n。验证 bn 单调递减：n1+1/n 递增（指数递增、底数也递增），故 bn 递减；bn ≤ 1/n → 0。Dirichlet ⇒ 收敛。③ 结论：条件收敛。
题：① 求 (∑xn)2 的柯西乘积（|x| < 1）；② 用柯西乘积证明 e2 = ∑2n/n!。
解：① cn = ∑k=0n xkxn−k = (n+1)xn——系数恰是第 n 条反对角线的格数。故 1/(1−x)2 = ∑(n+1)xn。取 x = ½：∑(n+1)/2n = 4（预演算：2000 项部分和 4.000000 ✓；闭式：对 ∑xn = 1/(1−x) 逐项求导再乘 x，第六章逐项求导合法化）。② e·e = (∑1/m!)(∑1/k!)，cn = ∑1/(k!(n−k)!) = (1/n!)∑C(n,k) = 2n/n! ⇒ e2 = ∑2n/n!。预演算：30 项部分和 = 7.3890560989 = e2（机器精度）；直接对角线求和的柯西乘积部分和同样 7.3890560989——「乘开归并」与「逐对相加」殊途同归。
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ⋯ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| cn（几何2） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ⋯（和 = 4，x=½） |
| cn（e·e） | 1 | 2 | 2 | 4/3 | 2/3 | ⋯（和 = e2） |
为什么必须绝对收敛？柯西的警示案例（§4.13）：(∑(−1)n/√n)2 的柯西乘积通项 cn = (−1)n∑k 1/√(k(n−k))，而 ∑k 1/√(k(n−k)) ≥ n·(2/n) = 2（k = n/2 附近每项 ≥ 2/n，共约 n 项），故 |cn| ≥ 2·(−1)n 不趋零——乘积必发散。绝对收敛给了「加法次序无关」的权利，乘法正是无限次重排；条件收敛级数没有这份权利，连自己的乘法都组织不起来。
回味：指数函数的「exey = ex+y」在级数层面就是柯西乘积＋二项式定理——幂级数理论（第六章）把今天的特例升格为一般定理：绝对收敛幂级数的乘积仍是幂级数，系数按柯西规则卷积。「卷积」一词由此而来。
题：把 1 − ½ + ⅓ − ¼ + ⋯ 重排，使和等于 1.5；并考察重排到 S = 2, 3, 10 的代价。
解（贪心算法）：不足 S 就加下一个正项（1, ⅓, ⅕, …），超过 S 就加下一个负项（−½, −¼, …）。预演算实录（前 12 步）：
| 步 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 取项 | +1 | +⅓ | +⅕ | −¼ | +1/7 | +1/9 |
| Sn | 1.000 | 1.333 | 1.533 | 1.033 | 1.176 | 1.287 |
| 步 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 取项 | +1/11 | +1/13 | +1/15 | −1/6 | +1/17 | +1/19 |
| Sn | 1.378 | 1.455 | 1.522 | 1.272 | 1.331 | 1.383 |
锯齿在 1.5 两侧来回穿越、振幅递减。整个算法跑到 |Sn − 1.5| < 0.001 共用 78 个正项 ＋ 15 个负项。不同目标的账单：
| 目标 S | 正项数 | 负项数 | 锁定精度 | 备注 |
|---|---|---|---|---|
| 1.5 | 78 | 15 | < 10−3 | 锯齿轨迹见图 4-13 |
| 2.0 | 48 | 3 | < 10−3 | 目标抬高三负项基本退役 |
| 3.0 | 154 | 1 | < 10−3 | 只负一次 |
| 10 | ≈ 6.8×107 个正项 | 首次摸顶 | 账单按 e2S 指数膨胀 | |
S = 10 的账单怎么估的？正项前 n 项和 Pn = ∑1/(2k−1) = H2n − ½Hn ≈ ½ln n + ln 2 + γ/2（渐近式在 n = 106 处验证：精确 7.889510 vs 近似 7.889510，误差 < 10−12）。令 Pn = 10：n ≈ e2(10−ln2−γ/2) ≈ 6.8×107。重排定理许诺「任意和都行」，本表揭示其代价结构：和每加 1，账单翻 e2 ≈ 7.4 倍——无穷的自由，标价是指数。
题：Hn = ∑k=1n 1/k 有多接近 ln n + γ？补上修正项后能精确到什么程度？
解：一阶近似 Hn ≈ ln n + γ 的误差恒为 +1/(2n) 型（H 在上）。补两项得三阶公式：
预演算三档实测：n = 10 时三阶公式差 8.3×10−7；n = 100 差 8.5×10−11；n = 1000 差 1.5×10−12——三项公式在 n = 1000 已咬到机器精度的门口。每加一项，误差阶除以 n2。
| n | Hn（精确） | 两项：ln n+γ+1/(2n) | 差 | 三项：再 −1/(12n2) | 差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 2.9289682540 | 2.9298007580 | −8.3×10−4 | 2.9289674246 | +8.3×10−7 |
| 100 | 5.1873775176 | 5.1873859842 | −8.5×10−6 | 5.1873775176 | +8.5×10−11 |
| 1000 | 7.4854708606 | 7.4854716605 | −8.3×10−7 | 7.4854708605 | +1.5×10−12 |
这张表是 Euler-Maclaurin 公式的预告片：∑f(k) = ∫f + (f(n)+f(1))/2 + 伯努利数修正级数……对 f = 1/x 逐项展开，正是上面的三项公式——误差以 O(1/n4)、O(1/n6) 飞速缩水。这个公式直接给出了欧拉常数的数值（札记②）：γ = lim(Hn − ln n)，而三阶公式反解 γ = Hn − ln n − 1/(2n) + 1/(12n2) 取 n = 10 就有 8 位有效数字——慢收敛的极限（Hn−ln n 误差 1/(2n)）被两项修正根治。
题：比较三类级数的收敛速度，并用加速法给交错调和「提速一百亿倍」。
解：几何级数（r = ½）：误差 (½)n 指数消亡，30 项达 9×10−10。∑1/n2：误差 ~ 1/N 多项式慢亡，1000 项误差 1.0×10−3。交错调和：线性收敛，50 项误差 9.9×10−3——最慢的一档。提速三板斧（对拍数据）：① 平均法（Sn 与 Sn+1 取平均）：50 项误差 9.6×10−5（提速百倍）；② 欧拉变换：30 项误差 2.9×10−11（比直接法 5×108 项的精度还高，提速上亿倍）；③ 已知和替换：ln 2 若由其他路径（如第六章快速收敛级数）给出，残差级数收敛更快。
| 方法 | 项数预算 | 误差 | 误差阶 | 评语 |
|---|---|---|---|---|
| 几何 r=½ 直接 | 30 | 9×10−10 | 2−n | 天赋型选手 |
| ∑1/n2 直接 | 1000 | 1.0×10−3 | ~ 1/N | 多项式慢亡 |
| 交错调和直接 | 50 | 9.9×10−3 | ~ 1/(2N) | 基准线 |
| 平均法 | 50 | 9.6×10−5 | ~ 1/(4N2) | 免费的一档 |
| 欧拉变换 | 30 | 2.9×10−11 | ~ 1/(K·2K) | 质变的三档 |
题：① 求 ∑xn/n 的收敛域；② 用级数语言解释 lim n1/n = 1；③ 求 lim (Hn − ln n)。
解：① 比值/根值（视 x 为参数）：lim |an+1/an| = |x|，|x| < 1 绝对收敛；端点 x = 1：调和级数发散；x = −1：交错调和收敛于 ln 2。收敛域 = [−1, 1)——左端点收、右端点散，一条数轴两端命运不同。
② n1/n → 1（实测：10 → 1.2589、100 → 1.0471、106 → 1.0000138）：它保证对任何固定的 a > 1，an 的「根值」恒为 a——根值判别法读出的 ρ 稳定可靠。反过来，通项若含 n 次根号，极限行为由「隐藏指数」决定：2n 的根值 2、2−n 的根值 ½——n 次根是「指数探测器」。③ lim(Hn − ln n) = γ ≈ 0.5772156649（例10 三阶公式反解；札记② 详述其身世）。
三问一线：收敛域问题（参数 x 的级数）、n 次根极限问题、欧拉常数问题，表面三家实则一线——级数把「数列极限」升级成「结构问题」：参数空间被收敛域切开、指数行为被根值探出、慢收敛被渐近展开驯服。第五章将把「参数化级数」正式升级为函数项级数，收敛域升级为收敛带。
先回到定义：部分和、几何级数、必要条件筛。判别法失灵时，「回到定义」永远是可靠退路。
练 4.1 求 ∑n=1∞ (2/5)n 与 ∑n=1∞ (0.9)n。
答：r/(1−r) = 2/3；0.9/0.1 = 9（注意 ∑n=0 起才是 10，减掉 n = 0 那项）。几何级数从哪一项起，决定「和差一项」——考场常见小坑。
练 4.2 判断：∑sin(nπ/3)、∑(1/n + 1/2n)、∑(2−n + 5−n)。
答：第一个发散——通项按 n 模 6 循环取 √3/2、0、−√3/2、…不趋零；第二个发散——1/n 分量直接把必要条件判了死刑；第三个收敛（逐项小于几何尺，且两分量的和都能闭式拿到）：∑2−n = 1、∑5−n = ¼ ⇒ 和 = 5/4。
练 4.3 用定义求 ∑(arctan 1/n − arctan 1/(n+1))。
答：叠缩 Sn = arctan 1 − arctan 1/(n+1) → π/4。裂项/叠缩是「定义可求」型级数的万能钥匙——看到「相邻项咬合」就动手拆。
练 4.4 举两个「通项递减趋零但级数发散」的例子，并说明「递减」为什么不救场。
答：∑1/n 与 ∑1/ln n（ln n 递增，1/ln n 递减趋零，但 1/ln n ≥ 1/n，比发散尺还大）。递减只保证交错化的收敛（莱布尼茨），不保证正项账本封顶——「变小」与「变得够快」隔着一整个判别法家族。
练 4.5 求 ∑1/((n+1)(n+2))，并给它一个「纯比较」的收敛证明。
答：裂项 1/(n+1) − 1/(n+2)，Sn = 1/2 − 1/(n+2) → 1/2；比较路线：≤ 1/(n+1)2 ≤ 1/n2，p = 2 收敛。两条路对照：比较给存在性，裂项给数值——好习惯是先判敛、再问值。
练 4.6 ∑(√(n+1) − √n) 敛散？
答：发散！有理化 √(n+1) − √n = 1/(√(n+1)+√n) ~ 1/(2√n)，p = ½；且部分和就是 √(n+1) − 1 → ∞（叠缩一眼看穿）。「长得像小差值」不等于「可加」——通项 ~ 1/(2√n) 才是它的真身。
练 4.7 ∑1/(n·2n) 收敛吗？它的和是多少（预告）？
答：收敛（≤ 1/2n，几何尺压顶）。和恰好是 ln 2——由 ∑xn/n = −ln(1−x) 在 x = ½ 处取值（第六章逐项积分合法化后兑现）。p-尺与几何尺都「够不着」的值，靠幂级数出场。
练 4.8 设 an ≥ 0 且 ∑an 收敛。证明 ∑(√an)/n 收敛。
答：均值不等式 √(an·1/n2) ≤ (an + 1/n2)/2，两半分别收敛 ⇒ 收敛。「一个收敛乘一个发散（1/n）」的乘积居然收敛——关键在于拆成「发散 × 发散的对冲平均值」。本题是「an 收敛 ⇒ ann? 型命题」的经典原型。
练 4.9 判敛并求和：∑ n·(2/3)n。
答：比值 → 2/3 < 1 收敛；和 = r/(1−r)2（几何级数逐项「乘 n」的标准结果）= (2/3)/(1/9) = 6（预演算复核：部分和 200 项与 6 咬合到机器精度）。「n 倍几何级数」公式 r/(1−r)2 与例8 的 ∑(n+1)xn = 1/(1−x)2 同源。
练 4.10 判敛：∑(n!)2/(2n)!。
答：比值 = (n+1)2/((2n+2)(2n+1)) → ¼ < 1，收敛。阶乘比值判别的常规手感：上下各展开一项，n! 与 (2n)! 的「半边」恰好对齐消去。
练 4.11 判敛：∑2n·n!/nn。
答：比值 = 2·(n/(n+1))n → 2/e ≈ 0.736 < 1，收敛。2n 的指数增长 vs n!/nn ≈ √(2πn)·e−n 的指数衰减——衰减赢得轻松，Stirling 公式（第三章札记②）让这一点一目了然。
练 4.12 判敛并求和：∑(2 + (−1)n)/2n。哪个判别法最顺手？
答：通项在 2−n 与 3/2n 之间跳——相邻比在 3/2 与 1/6 之间横跳，比值法失明；根值 ((2±1)/2n)1/n → ½ < 1，根值 10 秒定案（§4.7「根值抹平振荡」的又一次演示）。求和拆开：2∑2−n + ∑(−1/2)n = 2 − 1/3 = 5/3。
练 4.13 用积分判别法处理 ∑1/(n2+1)。
答：∫1A dx/(x2+1) = arctan A − arctan 1 → π/2 − π/4 = π/4 有限 ⇒ 收敛。顺带得到粗界：级数和与 π/4 相差不超过首项 ½（积分夹逼的余项）。
练 4.14 判敛：∑1/(n·ln n·ln ln n) 与 ∑1/(n·ln n·(ln ln n)2)（n ≥ 3）。
答：前者换元 u = ln ln x 后是 ∫du/u → 发散；后者是 ∫du/u2 → 收敛（值 1/ln ln 3）。对数塔每加一层，p = 1 分水岭原样重演——「对数世界自相似」。
练 4.15 只用积分判别法，把 ∑1/n2 夹进一个长度为 1 的区间里。
答：∫1∞ x−2dx = 1 ≤ S ≤ 1 + 1 = 2：下界是纯积分，上界是「积分 + 首项」（递减函数的台阶夹逼）。π2/6 ≈ 1.6449 恰居其中——粗器亦有粗用。
练 4.16 求级数 ∑(1/n − ln(1 + 1/n)) 的和。
答：通项 ~ 1/(2n2)（泰勒展开 ln(1+t) = t − t2/2 + ⋯）⇒ 绝对收敛；部分和 = Hn − ln(n+1) → γ = 0.577216…（欧拉常数！预演算与例10 的表互相印证）。「级数求和」与「常数诞生」在此同框：γ 的级数面孔比极限面孔收敛快得多。
练 4.17 判别 ∑(−1)n−1·n/(n2+1) 的类型。
答：bn = n/(n2+1) 单调递减（n ≥ 1：b1 = 1/2 > b2 = 2/5）趋零 ⇒ 收敛；绝对账本 ~ 1/n 发散 ⇒ 条件收敛。「有理函数 × 交错」的标准流程：先验 bn 的单调（求导或作差），再看绝对账。
练 4.18 ∑(−1)n·n/(n+1) 敛散？∑(−1)n·(1 − 1/n) 呢？
答：都发散——通项分别趋于 ±1 与 ±1 振荡，必要条件即出局。「长得像交错级数」没有用：莱布尼茨的第二个条件（bn → 0）一票否决。
练 4.19 用 Leibniz 级数 π/4 = 1 − ⅓ + ⅕ − ⋯ 算 π 到 3 位小数要多少项？误差如何保证？
答：误差 ≤ 首舍项 1/(2n+1) < 0.0005 ⇒ n ≈ 1000 项（严格说 2n+1 > 2000，n ≥ 1000）。π/4 = 0.785398…，级数自己给不出这个值——「收敛慢但误差可券」是交错级数的双面性（第三章例4 的 ∫sin x/x 是它的积分孪生）。
练 4.20 判别 ∑(−1)n−1·(√n + 1)/(√n·n) 的类型。
答：通项 = (1 + 1/√n)/n：绝对账本 ≥ 1/n 发散；bn 充分远处单调递减趋零（主部 1/n 压倒修正 1/n3/2）⇒ 莱布尼茨放行，条件收敛。验证单调要动手作差——「看起来递减」不算数，这是莱布尼茨判别最常被跳过的一步。
练 4.21 对 p 全线分类：∑(−1)n−1/np。
答：p > 1 绝对收敛；0 < p ≤ 1 条件收敛；p ≤ 0 发散（通项不趋零或振荡不决）。一条 p 数轴，三段命运——本章的「九九表」级别结论。
练 4.22 ∑(−1)n·cos(1/n) 敛散？
答：发散。cos(1/n) → 1，通项 = (−1)n·(趋于 1) 不趋零——必要条件出局。变号不等于趋零：符号在跳，幅度不缩，部分和永远在 ±1 附近荡秋千。
练 4.23 判别并求值（预告）：∑sin(nπ/2)/n3。
答：|sin(nπ/2)/n3| ≤ 1/n3，绝对收敛。值 = 1 − 1/33 + 1/53 − ⋯ = π3/32 ≈ 0.968946（Dirichlet β 函数在 3 处的值，第六章傅里叶级数给证明）。sin(nπ/2) = 1, 0, −1, 0, 1, … 的「隔项交错」是变号级数里常见的暗号。
练 4.24 收敛级数加括号必收敛吗？去括号呢？各举例。
答：加括号必收敛且和不变（子列极限继承）；去括号不保证：1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 发散，加括号 (1−1) + (1−1) + ⋯ = 0 收敛。收敛的「资格」依附于特定的取项次序——这正是重排定理的序曲。
重型装备的实操题。口诀复述：权重趋零找 Dirichlet，权重有界找 Abel；核心永远是分部求和（Abel 变换）。
练 4.25 判别 ∑sin(nx)/2n 的类型。
答：|sin(nx)/2n| ≤ 2−n，绝对收敛——连 Abel/Dirichlet 都不必。提示：判别法有「火力配级」，先用轻武器，重型装备留给真需要它的对手。
练 4.26 判别 ∑(−1)n−1·ln n/n 的类型。
答：bn = ln n/n 在 n ≥ 3 单调递减（求导：(1−ln n)/n2 < 0）趋零 ⇒ Dirichlet 放行收敛；绝对账本 ln n/n ≥ 1/n 发散 ⇒ 条件收敛。「比 1/n 略胖」的通项配上变号，恰好落进条件收敛带。
练 4.27 判别 ∑(−1)n−1·(1 + 1/√n)/n。
答：拆成 ∑(−1)n−1/n（收敛）＋ ∑(−1)n−1/n3/2（绝对收敛）⇒ 收敛（条件——第一分量把绝对性拉低）。Abel 视角：权重 1 + 1/√n 单调有界（→1）套在收敛级数 ∑(−1)n−1/n 上，同样放行。拆项与 Abel 两条路殊途同归。
练 4.28 对 p 全线分类：∑cos(nx)/np（x ∉ 2πℤ）。
答：与第三章 ∫sin x/xp 平行：部分和 |∑cos(kx)| ≤ 1/|sin(x/2)| 有界 ⇒ 0 < p ≤ 1 时 Dirichlet 给条件收敛；p > 1 绝对收敛；p ≤ 0 发散（通项不趋零）。级数版与积分版的「收敛带」逐点重合——离散⇄连续的又一次对表。
练 4.29 用柯西乘积＋二项式系数证明 (∑xn/n!)(∑yn/n!) = ∑(x+y)n/n!。
答：乘积第 n 系数 = ∑k xk/k!·yn−k/(n−k)! = (1/n!)∑C(n,k)xkyn−k = (x+y)n/n!。取 x = y = 1 即 e2 = ∑2n/n!（例8）。指数律 exey = ex+y 在级数层的身份证，就是这张柯西对角线格网。
练 4.30 Grandi 级数 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 自乘，柯西乘积的通项是什么？说明什么？
答：cn = ∑k(−1)k(−1)n−k = (−1)n(n+1)——幅度递增、不趋零，乘积发散。不收敛的级数连乘法都不配（连「绝对收敛」的前提都没有）；它与 (∑(−1)n/√n)2 的反例（§4.13）一弱一强，共同圈出柯西乘积定理的边界。
练 4.31 构造一个重排，使交替调和级数发散到 +∞。
答：贪心算法换目标：加正项直到部分和超过 1，补一个负项；再加正项超过 2，补一个负项；……每个回合净增量 ≥ ½ − 1/(2k)，回合数无穷 ⇒ 部分和无界。重排定理的「任意 S」只是同一条贪心算法的不同参数。
练 4.32 证明：绝对收敛级数的任何重排仍收敛于原和（证明框架）。
答：三步。① 正项子级数与负项子级数各自绝对收敛（部分和被原级数部分和控制）。② 任何重排的前 N 项都含在「原级数的前 M 项」与「正负子级数的前 M 项」之内（M 取决于 N 与重排）。③ 于是重排部分和与原部分和之差被「落在窗口外的少量项」控制，而这些项的总量随 M → ∞ 消失（柯西准则）。条件收敛级数第①步就断——两座子金山各自发散，这正是它可被重排的内在原因。
练 4.33 证明 lim(H2n − Hn) = ln 2，并解释它与 Oresme 分组的关系。
答：H2n − Hn = 1/(n+1) + ⋯ + 1/(2n) 是「下半段和」，渐近公式给出 = ln(2n) − ln n + o(1) = ln 2（渐近式 H2n − Hn = ln2 − 1/(4n)：n = 1000 时 = 0.692897，正向肥上）。Oresme 说它 ≥ ½——「每块 ≥ ½」与「整块趋 ln 2」是同一块蛋糕的粗估与精算。
练 4.34 估算 1/100 + 1/101 + ⋯ + 1/106。
答：= H(106) − H99 ≈ (ln 106 + γ) − (ln 99 + γ + 1/198) = 13.8155 − 4.5951 − 0.0051 = 9.215349（预演算 14.392727 − 5.177378 = 9.215349）。调和级数的段和 = 「对数差」——渐近公式把百万项的账变一行。
练 4.35 调和级数加到多少项首次超过 10？超过 20 呢？
答：由 Hn ≈ ln n + γ 反解 n ≈ e10−γ ≈ 12345，精确定点 n = 12367（渐近公式预算后微调）；超过 20 需 n ≈ e20−γ ≈ 2.7×108 项——「每多 10，账单乘 e10 ≈ 22026」。调和级数的发散慢到「肉眼无感」，但指数账单终将吞噬一切。
练 4.36 证明 ∑1/n 分组估计与积分判别给出同一张「无界凭证」。
答：Oresme：H2k ≥ 1 + k/2 → ∞；积分判别：Hn ≥ ∫1n+1 dx/x = ln(n+1) → ∞。两者在 2 的幂处重合：∫ 观点下 ln(2k) = k·ln 2，Oresme 的 k/2 与它仅差常数倍——分组是积分判别的离散预演（严格化即 Cauchy 凝聚判别法）。
练 4.37 设 ∑an 绝对收敛（an > −1）。证明 ∑an/(1+an) 收敛。
答：n 充分大后 |an| ≤ ½，此时 |an/(1+an)| ≤ 2|an|（分母 ≥ ½），比较判别法定案。分段处理是标准动作：尾巴走不等式，前缀有限项无关紧要。
练 4.38 ∑an 收敛。问 ∑(an + an+1) 收敛吗？反之呢？
答：正方向：部分和 = 2Sn − a1 + an+1 → 2S − a1，收敛。反方向不成立：an = (−1)n，则 an + an+1 = 0，∑ 恒为零，但原级数发散。「相邻项咬合」的级数比原级数乖——去括号（练 4.24）与本题是同一枚硬币。
练 4.39 叙述 Cauchy 凝聚判别法并用它裁决 ∑1/(n·ln n)。
答：an 非负递减时 ∑an 与 ∑2ka2n 同命运。取 an = 1/(n ln n)：凝聚项 = 2k/(2k·ln(2k)) = 1/(k ln 2)，是调和级数——发散，原级数发散，一步定案。凝聚 = 只在 2 的幂处采样：积分判别的离散孪生（第三章 §3.16 对偶表的最后一格）。
练 4.40 设 ∑an 发散（an ≥ 0）。证明 ∑an/(1+an) 发散。
答：若 an ↛ 0，两项同不趋零，皆散；若 an → 0，充分远处 an ≤ 1，此时 an/(1+an) ≥ an/2 ⇒ 比较发散。「加 1 再除」在小项面前是温和变形、在大项面前趋 1——两段都有出路，故必发散。
练 4.41 判敛：∑(n1/n − 1)。
答：发散！n1/n − 1 = eln n/n − 1 ~ ln n/n，而 ∑ln n/n 发散（积分 ∫(ln x/x)dx = (ln x)2/2 → ∞；或比较 1/n）。「根值趋 1」的级数本身可以发散——n1/n 是根值判别法的天花板样本，也是「an → 0 但多慢都行」的又一注脚。
练 4.42 判敛：∑1/n1+1/ln n。
答：化简！n1/ln n = eln n/ln n = e（恒等于），故通项 = 1/(e·n)——调和级数乘常数，发散。与例7 的 1 + 1/n 对比：那题指数趋于 1 却「够不着 e」，这题指数趋于 1 且「恰好恒为 e」——幂尺盲区里的双生花，一收一散。
练 4.43 综合：∑(−1)n−1·(n1/n − 1) 敛散？
答：bn = n1/n − 1 ~ ln n/n 单调递减（n ≥ 3）趋零，莱布尼茨 ⇒ 条件收敛。把练 4.41 的发散通项配上变号，恰好掉进条件收敛带——「正项级数的发散名单」常是「变号级数的条件收敛名单」。
错题归档（本章高频翻车点）：
① 趋零 ≠ 收敛：1/n、1/ln n、ln n/n 全家趋零全家发散——必要条件只是入场券（练 4.4、4.41）；
② ρ = 1 盲区：比值/根值给 1 就哑火，别硬判——回比较判别与 p-尺（练 4.41、4.42）；
③ 比较方向倒装：判收敛要「钻到收敛尺下」，判发散要「骑到发散尺上」（例2 第③题）；
④ 单调性跳步：莱布尼茨要验 bn 递减，「看起来减」不算（练 4.20、4.26）；
⑤ 条件收敛的幻觉：以为它能乘（练 4.30）、能重排（§4.14）、能去括号（练 4.24）——三连翻车重灾区；
⑥ 账单意识缺失：说「重排到任意和」时忘了项数按 e2S 指数膨胀（例9）。
三问自测（合上书回答）：
① ∑1/n1+1/n 条件收敛、∑1/n1−1/n 发散、∑1/n1+1/ln n 发散——三个「差一点点」的指数，机制各差在哪一层？
② 柯西乘积何时合法？用 (∑(−1)n/√n)2 的通项不趋零，写出完整反例链。
③ 用 Oresme 分组、积分判别、Cauchy 凝聚三种语言分别证明调和级数发散，并说明三者的精确关系。
若三问皆答得顺畅，判别法家族已入账本——下一章把「数字排队」升级为「函数排队」，一致收敛将带来分析学的成人礼。
公元前五世纪，希腊的芝诺用「二分悖论」发难：走完一尺，先得走完一半；走完这一半，又得先走完它的一半……无穷多个「半程任务」摆在面前，走路这件事怎么可能完成？差不多两个世纪后，中国的名家留下了结构完全相同的命题——「一尺之棰，日取其半，万世不竭」。同一个数学构造，两种截然不同的情绪：芝诺论证「运动不可能」，语气是惊恐；庄子（引名家言）说「万世不竭」，语气是从容——取之不竭，甚至有点像一个好消息。
深一层的对照在无限观。亚里士多德把无限分成「潜无限」（过程可以永远继续）与「实无限」（无穷作为一个完成的对象），并判决：只有潜无限合法——希腊数学因此用穷竭法回避「无穷相加」。中国名家「万世不竭」同样停留在过程层面：不竭，说的是每天都还有剩余，从未承诺「剩余量的总账」。两个文明都不肯给「无穷多项的和」发一张数字身份证。这张身份证直到 1821 年才由柯西签发：级数 = 部分和序列的极限——「无穷过程」被翻译成「一个数列有没有归宿」，哲学问题变成可判定问题。
调和级数发散，但它不是乱跑——Hn 与 ln n 保持着一种「贴身跟随」：Hn − ln n 单调递减、有下界，极限是一个确定的常数。欧拉 1734 年算出它，后世记作 γ（记号沿用至今，得名众说纷纭）：
预演算实测贴身过程：n = 10 时差 0.626383，n = 100 时 0.582208，n = 104 时 0.577266，n = 106 时 0.577216——误差 ~ 1/(2n) 慢得令人发指，一百万项只咬合 5 位。而例10 的三阶公式 Hn = ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n2) 反解 γ，n = 10 一行就有 6 位——渐近展开是对抗慢收敛的重武器。
γ 的神秘档案：它是数学里最著名的「无名氏」——与 e、π 不同，γ 至今不知道是不是无理数，更遑论超越性；它出乎意料地出现在数论（素数计数 Mertens 定理：∑1/p 与 ln ln x 之差涉及 γ）、概率论（欧拉-马斯刻若尼常数是期望计算的常客）与特殊函数（Γ 函数在 1 处的导数 Γ′(1) = −γ）。一个由「发散级数与对数的差」定义的常数，渗透进大半个数学——这正是分析学的常态：发散的东西不等于没价值，发散的方式本身就是信息。
| 级数 | 和 | 出处 | 级数 | 判决 | 出处 |
|---|---|---|---|---|---|
| ∑1/2n | 1 | §4.2 | ∑1/n | 发散 | §4.15 |
| ∑1/(n(n+1)) | 1 | 例1 | ∑1/(n ln n) | 发散 | 例4 |
| ∑1/n! | e | 例3 | ∑(−1)n−1/n | ln 2（条件） | §4.10 |
| ∑1/n2 | π2/6 | 挑战二 | ∑(−1)n/√n | 0.604899（条件） | 例6 |
核心命题：「无穷和」不是加法的延长，而是一套新规则下的新对象。有限加法拥有的好性质（交换、结合、分配）在无穷世界全部变成需要争取的权利：绝对收敛赎回全部权利，条件收敛只保住「按原序收敛」一项。数学的严格化，本质是给直觉的权利发许可证。
一句心得：本章所有判别法共用心法——拿无穷对付无穷：几何尺、p-尺、对数尺、标准振荡器，每一件都是「已知命运的无穷和」。学会用已知裁决未知，是分析学的基本功。
定理：∑an 条件收敛，S 为任意实数，则存在重排 ∑ank 收敛于 S。
证明：① 正负子级数都发散。记正部 an+ = max(an, 0)、负部 an− = min(an, 0)。若 ∑an+ 收敛，则 ∑|an| = ∑an+ − ∑an− 收敛（两子级数至多一发散而原级数收敛 ⇒ 另一必收敛），与条件收敛矛盾。故 ∑an+ = +∞、∑an− = −∞，且 an → 0。
② 贪心构造：依原序取正部项，直到部分和首次 > S（可取到，因正部和发散）；再依原序取负部项，直到部分和首次 ≤ S（可取到，因负部和发散）；如此往复。记第 k 轮结束时的部分和为 Tk，则 Tk 与 S 之间没有其他轮的「越界点」，且 |Tk − S| 不超过最后一次取入的项的绝对值。
③ 锁定：第 k 轮取入的是原级数的某一项 ank，其下标 nk 严格递增（每轮至少消耗一项），故 nk → ∞，ank → 0（原级数收敛的必要条件）。于是 |Tk − S| ≤ |ank| → 0——轮末部分和收敛于 S。轮中部分和夹在相邻两个轮末值之间，同样被 |ank| + |ank+1| → 0 控制 ⇒ 整个重排级数收敛于 S。∎
同法可证：可排出发散到 ±∞ 的重排（练 4.31），甚至可使部分和在两个指定值之间永远振荡。反过来，绝对收敛级数重排不变（练 4.32）——黎曼定理的完整表述：重排的自由度，恰好是「条件收敛」的判据。
评点：这个 1852 年的定理是对「无穷加法」的哲学清算——交换律不是理所当然，而是「绝对收敛」这个强条件买来的奢侈品。黎曼在给 Dirichlet 的信中顺手写下它，却永久改写了分析的语法：从此谈级数必先问「绝对还是条件」，如同谈集合必先问「可数不可数」。例9 的指数账单（e2S）则是定理的现实注脚：理论上万花筒，实践上也要算成本。
任务：证明 Basel 问题 ∑1/n2 = π2/6。这里给出一条「初等化」的完整路线（Euler 1735 的原始论证是它的极限形式）。
证明（交错化 + Euler 变换）：① 令 S = ∑(−1)n−1/n2，则 ∑1/n2 = 2S（正项账本与交错账本：S = ∑奇项 − ∑偶项 = ∑全项 − 2∑偶项 = A − A/2 = A/2，其中 A = ∑1/n2，偶项账 = A/4）。② 对 S 用 Euler 变换：an = 1/n2，逐阶差分 Δka0 可显式写成 ∑(−1)jC(k,j)/(j+1)2，数值上 Euler 变换 30 项给出 S = 0.8224670334（预演算）= π2/12 咬合到 10−11。③ π2/12 从哪来？——这一步是 Euler 的神来之笔：他用 sin x 的无穷乘积 sin x = x∏(1 − x2/(k2π))（Weierstrass 才补严）比较 x2 系数：左边 −1/6，右边 −∑1/(k2π2) ⇒ ∑1/k2 = π2/6。
数值三档对照（预演算）：直接求和 N = 1000 误差 1.0×10−3；Euler 变换 30 项误差 1.2×10−10；sin 乘积系数比较给出精确值 π2/6 = 1.6449340668。
| 方法 | 预算 | 精度 | 严格性 |
|---|---|---|---|
| 直接部分和 | 1000 项 | 10−3 | 严格（慢） |
| Euler 变换 | 30 项 | 10−10 | 对交错级数严格 |
| sin 无穷乘积（Euler） | 0 项 | 精确 | 当时欠严、后世补严 |
评点：Basel 问题让 28 岁的 Euler 一夜成名。他的无穷乘积论证在当时「欠严格但结论正确」，Weierstrass 一百年后补上地基——本章思想卡的话在此应验：「无穷和 = 需要规则」，规则（一致收敛的乘积展开）要到第五章才真正建成。第六章将用傅里叶级数给 ∑1/n2 一条完全严格且优美的现代证明（Parseval 等式），并顺带拿下 ∑1/n4 = π4/90。
实验目标：同一任务（交替调和 → ln 2），三种加速法的实测对拍。全部数字由预演算脚本定案，实验代码与本书管线同源。
实验设计：① 基准：直接部分和 Sn；② 平均法：S̃n = (Sn + Sn+1)/2；③ 欧拉变换：∑an/2k+1 差分表。统一预算（约 50 项或等效），比较绝对误差。
实验 A（同预算对拍）：50 项预算下，直接法误差 9.90×10−3，平均法误差 9.61×10−5——百倍提速，一行代码。误差阶从 1/(2N) 降到 1/(4N2)，理论预测与实测咬合（预演算 L1 断言）。
实验 B（欧拉变换的级差）：误差随项数 K 的衰减表：K = 10 → 8.2×10−5；K = 20 → 4.4×10−8；K = 30 → 2.9×10−11。每加 10 项，精度抬三个数量级（误差 ~ 1/(K·2K)）；直接法要 5×108 项才到这个精度——提速上亿倍。
实验 C（跨级数外推）：欧拉变换搬到 ∑(−1)n−1/n2（→ π2/12）：30 项误差 1.2×10−10；搬到 ∑1/n2（非交错）失效——欧拉变换是交错级数专用，非交错慢级数要换 Euler-Maclaurin（例10 的 Hn 公式即其两项版）。
| 方法 | 预算 | 误差（实测） | 误差阶 | 适用 |
|---|---|---|---|---|
| 直接部分和 | 50 | 9.90×10−3 | 1/(2N) | 万能基准 |
| 平均法 | 50 | 9.61×10−5 | 1/(4N2) | 一切交错级数 |
| 欧拉变换 | 30 | 2.9×10−11 | 1/(K·2K) | 交错级数专用 |
| Euler-Maclaurin | 3 项修正 | 10−12 级 | 1/(12n2) | 正项慢级数 |
A 卷（基础，25 分钟）
A1 判断敛散并求值（能求则求）：∑(2/3)n；∑1/(n(n+2))；∑(−1)n−1/n4。
答：2；3/4（例1 同型）；η(4) = (1 − 21−4)·ζ(4) = (7/8)·(π4/90) = 7π4/720——结构完全仿例6：交错账本 = 全账本 − 2×偶项账本，偶项账本是全账本的 1/16。
A2 判断敛散：∑(√(n+1) − √n)；∑n2/2n；∑(−1)n·(1 + 1/n2)。
答：发散（~ 1/(2√n)）；收敛（比值 → ½）；发散（通项 → (−1)n 不趋零——「权重趋 1」仍不救）。
A3 ∑(−1)n−1·ln n/√n 敛散？写全判别链。
答：绝对账本 ln n/√n ≥ 1/√n 发散；bn = ln n/√n 单调递减（n ≥ e2）趋零 ⇒ Dirichlet 放行。条件收敛。链：先绝对体检、再验单调、后放行——顺序不可乱。
B 卷（进阶，35 分钟）
B1 证明：∑(−1)n−1·xn/n 对 x ∈ (−1, 1] 的收敛域讨论，并说明 x = 1 处的和是 ln 2（与例12 联动）。
答：|x| < 1 绝对收敛（比值 |x|）；x = −1：通项 −1/n 不变号 → 发散；x = 1：交错调和收敛。域 = (−1, 1]。与例12 的 ∑xn/n（域 [−1,1)）对照：交错因子把右端点从发散救成收敛——符号的恩惠只在端点兑现。
B2 设 an > 0 且 ∑an 收敛。证明 ∑an2 与 ∑√(an·an+1) 都收敛。
答：前者：n 充分大后 an ≤ 1 ⇒ an2 ≤ an。后者：√(anan+1) ≤ (an + an+1)/2（均值不等式），两半均收敛。两题皆「收敛性代数」：把新级数压到已知收敛的秤上。
评讲要点：A1 考「结构迁移」（例6/挑战二的 η 与 ζ 关系）；A2 考必要条件与比值判别的分工；A3 考判别链的顺序素养；B1 考端点逐个过堂；B2 考不等式压缩。凡错在「ρ = 1 硬判」「单调跳步」「条件收敛可重排」者，回练 4.20、4.30 与例9。第四章完——下一章，队列里的项从「数」换成「函数」：一致收敛，分析学的成人礼。
上一章我们学会了把数排成队慢慢加：1 − ½ + ⅓ − ¼ + ⋯ 加出一个 ln 2。自然要问：函数能不能也排队相加？例如无穷多个多项式 1, x, x2/2!, x3/3!, … 加起来，据说会「变成」ex；无穷多个奇次幂 x, −x3/3!, x5/5!, … 加起来，据说会「变成」sin x。「变成」二字藏着本章全部的深度：每一项都是多项式——连续、光滑、温顺——可它们的和若真是 sin x，这份温顺能否原封不动地传给和函数？
定点抽查（预演算数值）：在 x = 1 处，T1 = 1、T3 = 0.8333、T5 = 0.8417，真值 sin 1 = 0.8415——T5 已准到小数点后三位。可在 x = 3 处：T1 = 3、T3 = −1.5、T5 = 0.525，真值 sin 3 = 0.1411——同一个 T5，换一个 x 就迟钝了。逼近质量随地点漂移，「处处同样好」并不是免费午餐。把「同样好」说清楚，正是一致收敛的全部内容。
把一串函数 f1, f2, f3, …（定义域同一个 E）排成队，叫做函数列。固定每个点 x，数列 f1(x), f2(x), f3(x), … 若有极限，就得到一个新函数 f(x) = lim fn(x)，称为极限函数；此时称 fn 逐点收敛于 f。定义看似无害，其实暗藏玄机：极限是对每个点「各自为政」地取的——x 找到的 N 与 y 找到的 N 可以毫不相干。
例：fn(x) = x/n 在 ℝ 上逐点收敛于 0；fn(x) = sin(nx)/n 也逐点收敛于 0（|sin(nx)| ≤ 1 被 n 按住）。而后者的收敛「齐步走」程度远高于前者——这份差别逐点收敛的语言说不出来，需要新度量（§5.3）。
逐点收敛的松散之处：给 ε，每个 x 都能找到 N(x)，但 N 随 x 漂移。一致收敛把它钉死——
一个字之差，天地悬隔：逐点的 N(x) 是「各找各妈」，一致的 N 是「统一发令」。ε 与 x 无关——这句话就是定义的灵魂。
xn 在 [0, 1] 上逐点收敛：[0, 1) 上趋于 0，x = 1 处恒为 1。它一致吗？看最大偏差：对任何 n，当 x 从左侧逼近 1 时 xn 可以任意接近 1，故 sup[0,1] |xn − f(x)| = 1——永远顶着天花板，永不趋零。xn 在 [0, 1] 上不一致收敛。
天机：xn 的极限函数在 x = 1 处「跳」了一下（0 → 1），而每条 xn 都连续。连续函数列的逐点极限可以不连续——连续性不是逐点极限能保住的财产。要想家产不失守，需要更强的一致性：§5.10 将证明，一致收敛能把连续性原封不动传给极限函数。再看定量数据（预演算）：x = 0.99 处 x50 = 0.605、x200 = 0.134——靠近 1 的点要等非常久才动身，「各找各妈」的等待时间无上界。
由 §5.3 的等价刻画立刻得到最常用的sup 判别法：先求出（或猜出）逐点极限 f，再算最大偏差
则 fn 一致收敛于 f ⇔ Mn → 0。操作三步：猜极限 → 算 sup → 看趋零。难点在第二步：求 sup 常用「求导找峰」或「放缩」。
例：fn(x) = x/(1 + nx2) 在 [0, 1] 上。逐点极限显然是 0。求导找峰：峰在 x = 1/√n，峰值 1/(2√n) → 0 ⇒ 一致收敛（预演算：n = 100 时峰值 0.0500）。对照 gn(x) = nx/(1 + n2x2)：峰值恒为 ½ 不动（峰位 1/n 向 0 搬家）⇒ 只逐点不一致——「尖峰搬家」是 non-uniform 的标准作案手法（习题课一细究）。
有了函数列，函数项级数水到渠成：给一串定义在 E 上的函数 u1, u2, u3, …，式子 ∑un(x) = u1(x) + u2(x) + ⋯ 的部分和是函数
于是「级数收敛」的一切问题翻译为「函数列 {S_N} 收敛」：逐点收敛、一致收敛，全部照搬。和函数 S(x) = lim S_N(x) 就是「排队相加」的最终账本。
例：∑xn 的收敛域是 |x| < 1（x = ±1 处通项不趋零）。注意「收敛域」上的逐点收敛是白送的，本章真正的工作是问：在收敛域的哪些子区间上，这份收敛是一致的？答案（§5.14）：紧含于收敛域内部的闭区间 [−r, r]（r < 1）上一致。
和数列一样，函数列也有不必预知极限的判据——一致柯西准则：fn 在 E 上一致收敛 ⇔ 对任意 ε > 0，存在 N，使 m, n > N 时
翻译到级数：∑un(x) 一致收敛 ⇔ 充分靠后之后，任意尾巴片段的总和 |un+1(x) + ⋯ + u_m(x)| 在整个 E 上一致地小于 ε。柯西准则的实惠照旧：不必求出和函数就能判一致收敛——判别法家族（§5.8–5.9）全是它的推论。
与第四章的接力：数项级数的柯西准则管的是每个点上尾巴片段的量；函数项版本要求片段的量对 x 一致地小。M-判别法（下页）就是把「片段量」用与 x 无关的数 Mn 从上方压住的直通车。
最常用的充分条件来了。M-判别法：若存在数列 Mn ≥ 0 使对一切 x ∈ E 有 |un(x)| ≤ Mn，且数项级数 ∑Mn 收敛，则 ∑un(x) 在 E 上一致（且绝对）收敛。证明一句话：尾巴片段 |∑un(x)| ≤ ∑Mn(片段)，后者由数项柯西准则一致地小。
例：∑sin(nx)/n2 在整个实轴上一致收敛——|sin(nx)/n2| ≤ 1/n2，而 ∑1/n2 = π2/6 封顶（预演算核对：N = 2×106 部分和与 π2/6 咬合到 10−6）。对照 ∑sin(nx)/n：天花板只能取 1/n，∑1/n 发散——M-闸失守，但它并非发散（§5.9 的 Dirichlet 判别接管）。
M-闸失守不等于无路可走。第四章的 Dirichlet/Abel 判别有一致版：Dirichlet 一致判别——若 ① 部分和 U_N(x) = ∑k=1N uk(x) 在 E 上一致有界；② vn(x) 对每个 x 单调递减于 0 且这递减对 x 一致（sup|vn(x)| → 0），则 ∑un(x)vn(x) 一致收敛。Abel 一致判别：① ∑un 一致收敛；② vn(x) 一致有界且单调（对每个 x），则 ∑un(x)vn(x) 一致收敛。
端点糊涂账：∑sin(nx)/n 在 (0, 2π) 内逐点收敛于 (π − x)/2（预演算 x = 0.5、1、2、3 四点核对到 10−5），却不一致收敛——非一致证书：S_N(π/2N) → Si(π/2) ≈ 1.3708，而极限在 x → 0+ 是 π/2 ≈ 1.5708，缺口 0.2 永不弥合（例6 全景展示）。Dirichlet 判别给出的安全带，已经是它能保住的全部领土。
第一份家产传回来了。连续性传递定理：若 fn 在 E 上连续且一致收敛于 f，则 f 连续。证明是 ε 的双人舞：给 ε，先用一致性取 N（对全区有效），再在固定点 x0 用 f_N 的连续性取 δ——两步接力，全程误差 < 3ε。核心在于：N 与点 x0 无关，所以 δ 的选取不会被邻居破坏。
反例复盘：xn 的极限函数在 x = 1 不连续——十字路口没走通：limnfn(1) = 1，而 limx→1limnfn(x) = 0。两个极限相逢不相识，因为收敛非一致。反过来说：只要极限函数在紧区间上不连续，收敛必不一致——这常是证明「非一致」最快的路（习题课三用）。
第二份家产。逐项积分定理：若 un 在 [a, b] 上连续（或可积）且 ∑un 一致收敛于 S，则
证明一句话：|∫(S − S_N)| ≤ ∫|S − S_N| ≤ (b − a)·sup|S − S_N| → 0——一致收敛把 sup 压死后，积分毫无还手之力。注意区间 [a, b] 有限是关键：无穷区间上「一致收敛」还不足够，需要更精细的控制（反常积分逐项积分是下册话题）。
积分比函数更宽容：∫01 S_N dx 的极限在逐点收敛＋一致有界时就可能存在（Arzelà 控制收敛的初等版本），但「极限函数可积且积分可交换」的干净结论仍要一致性背书。这是「充分条件留余量」的又一例。
第三份家产最娇贵。逐项求导定理：若 ① un 有连续导数 un′；② 导数级数 ∑un′ 在 [a, b] 上一致收敛；③ 原级数至少在一点收敛——则 ∑un 收敛于 S，且 S 可导、S′ = ∑un′。注意门槛压在导数级数上：不是「原级数一致收敛」就够了！
为什么求导比积分娇贵？求导是「放大镜」：把高频细节放大 n 倍（sin(nx) 求导蹦出因子 n）。积分是「镇定剂」：把毛刺摊平。所以逐项求导要求导数级数自己一致收敛（把放大后的疯狂先按住），而逐项积分只要原级数一致收敛。一对操作的脾气差异，正是一致收敛这套语言的用武之地。
本章最重要的函数项级数是幂级数 ∑anxn——「以 x 为变量的多项式无穷和」。它有个奇妙的性质：收敛域永远是一个（可能退化或全实的）区间。存在 R（收敛半径，可取 0 或 ∞）使得 |x| < R 时绝对收敛，|x| > R 时发散；x = ±R 处要单独审。半径由系数比值/根值给出：R = lim |an/an+1|（存在时）。
速算：∑xn/n!：|an+1/an| = 1/(n+1) → 0 ⇒ R = ∞。∑n!xn：|an+1/an| = n+1 → ∞ ⇒ R = 0。∑xn/n 与 ∑xn/(n·2n) 的判别见例10 四连。
收敛半径 R 管的是「逐点领土」，一致收敛另有版图——好消息是它几乎同样宽：对任何 0 < r < R，幂级数在 [−r, r] 上一致收敛。证明是 M-判别法一步到位：|x| ≤ r 时 |anxn| ≤ |an|rn，而 ∑|an|rn 收敛（几何放缩）。这条「内部一致收敛带」是幂级数一切美德的源泉：和函数在 (−R, R) 内连续，且可逐项积分。
Abel 定理（端点版）：若幂级数在 x = R 处收敛，则它在 [0, R] 上一致收敛。这是「内部带」向端点的延伸——端点收敛是强信息，会把贴着端点的窄条也管起来（例11 用它实锤 ∑(−1)nxn/n 在 [0, 1] 一致）。第四章的 Abel 判别在幂级数这里的化身，两条线索在此合流。
本章的高光定理：Weierstrass 逼近定理——闭区间 [a, b] 上的任何连续函数，都能被多项式一致逼近到任意精度：对任意 ε > 0，存在多项式 P 使 sup[a,b]|f − P| < ε。注意与幂级数的区别：幂级数要求「同一族系数的多项式序列」，逼近定理只要求「存在某个多项式」——门更宽，所以任何连续函数都进得来（哪怕处处不可导，如例12 的怪物）。
把本章的两种收敛画成一张图：一致收敛像管道——以极限函数为中心、半径 ε 的管子，从某层起所有曲线整条装进管；逐点收敛则允许曲线在某处鼓包——只要包不在任何固定点停留，逐点收敛照旧成立，而管子被捅穿。
实验预告（综合站）：把左右两幅图做成可调 n 的动画，亲手把尖峰推着搬家——「逐点收敛不难看，非一致才触目」。管道图像是本章的记忆锚点：以后凡是问「能否交换极限」，先问「管子有没有被捅穿」。
把 C[0, 1]（闭区间上连续函数全体）看作一个「空间」，距离取 d(f, g) = sup|f − g|，那么「一致收敛」就是「在这个距离下收敛」的别名。于是本章一切定理升维成一句几何：C[0, 1] 在 sup 度量下完备——一致柯西列必有连续极限。这就是 §5.7 柯西准则的「空间版」。
〔离散⇄连续〕：第四章的实数完备性（柯西数列必有极限）是「点」的完备；本节把完备性升级到「函数」的空间。下册的 L2 空间、傅里叶展开（第六章末预告）都住在这种函数空间里——分析学的现代大厦，地基正是「一致收敛」这块脚下的砖。
本章只做了一件事：把「极限」从点的尺度升级到区的尺度，然后检查三份家产——连续、积分、导数——哪份能传。方法表如下：
| 想证什么 | 首选兵器 | 口诀 |
|---|---|---|
| 函数列一致收敛 | sup 判别法 | 猜极限、算 sup、看趋零 |
| 级数一致收敛（绝对） | M-判别法 | 逐项找天花板，总账要封顶 |
| 级数一致收敛（交错/振荡） | Dirichlet / Abel 一致版 | 部分和一致有界＋单调一致趋零 |
| 极限函数连续 | 连续性传递定理 | 一致收敛盖章放行 |
| 逐项积分 | 积分交换定理 | 连续＋一致 ⇒ 和的积分 = 积分的和 |
| 逐项求导 | 求导交换定理 | 门槛在导数级数一致收敛 |
| 幂级数行为 | 收敛半径＋内部带 | 内部绝对且局部一致，端点单独审 |
| 连续函数被逼近 | Weierstrass 逼近 | Bernstein 投票构造，误差 ∝ 1/√n |
一条主线：逐点收敛太自由（各找各妈），于是家产失守；一致收敛上规矩（统一发令），家产保全；但一致太贵（xn 全域做不到），于是又发明「内部带」「安全带」「控制收敛」等分级所有制。分析的立法史，就是自由与责任的平衡史——下节札记①专论此事。
题：求 fn(x) = xn 在 [0, 1] 上的逐点极限 f，并画出 f 的图像。
解：分三种情况。① 0 ≤ x < 1：|x| < 1，xn → 0（指数镇压）；② x = 1：1n = 1 恒定；③ x = 0：0n = 0 恒定。于是
极限函数的图像是一条趴在 x 轴上的线段，末端突然竖起一颗「钉子」：
题：设 0 < a < 1。证明 xn 在 [0, a] 上一致收敛于 0，并对 a = 0.9 给出 n = 50 时的最大偏差。
解：① 极限：x ∈ [0, a] ⊂ [0, 1) ⇒ xn → 0，f ≡ 0。② 最大偏差：Mn = sup[0,a] xn = an（xn 在 [0, a] 上单调递增，最大值在右端点）。③ Mn = an → 0 ⇒ 一致收敛。定量（预演算）：a = 0.9 时 M50 = 0.950 = 0.005154——给 ε = 0.01，解 0.9n < 0.01 得 n > ln 0.01/ln 0.9 ≈ 43.7，故 N = 44 即可全区生效。
题：按定义写出「xn 在 [0, 1] 上不一致收敛于 f（f = 0 于 [0,1)，f(1) = 1）」的 ε 反证。
解（反证三步）：一致收敛的否定是——存在 ε0 > 0，使得对任意 N，存在 n > N 与存在 x ∈ [0, 1]，成立 |fn(x) − f(x)| ≥ ε0。
① 取 ε0 = ½。② 对任意 N，取 n = N + 1。③ 取 xn：因 f(x) 在 x < 1 处为 0，只需 xnn ≥ ½ 且 xn < 1——取 xn = (½)1/n ∈ (0, 1)。此时 |xnn − f(xn)| = |½ − 0| = ½ ≥ ε0。三步齐，反证完成：不存在「全区统一」的 N。
题：求幂级数 ∑n=1∞ xn/n 的收敛域与和函数 S(x)。
解：① 半径：|an+1/an| = n/(n+1) → 1 ⇒ R = 1。② 端点：x = 1 时调和级数发散；x = −1 时 ∑(−1)n/n 收敛（交错，和 = −ln 2）。收敛域 [−1, 1)。③ 和函数：x ∈ [−1, 1) 时逐项求导 (xn/n)′ = xn−1，几何级数 ∑xn−1 = 1/(1 − x)，再积分：
定量核对（预演算）：x = 0.95 时 S5 = 2.045、S20 = 2.794、S100 = 2.995，真值 −ln 0.05 = 2.9957——百项已咬到千分之二。
题：证明 ∑n=1∞ sin(nx)/n2 在整个实轴 ℝ 上一致（且绝对）收敛。
解：找天花板：|sin(nx)/n2| ≤ 1/n2 对一切 x ∈ ℝ 成立。总闸：∑1/n2 = π2/6 = 1.6449 收敛（预演算 N = 2×106 部分和与 π2/6 咬合 10−6）。M-判别放行：全区一致绝对收敛。推论：和函数 S(x) 在 ℝ 上连续（连续性传递），且 ∫S 可逐项算——这一切都不需要知道 S 的显式表达。
题：讨论 ∑sin(nx)/n 的收敛域、和函数，并证明它在 [δ, 2π − δ]（δ > 0）上一致收敛、在 (0, 2π) 内不一致。
解：① 逐点：x = 0 与 2π 处通项恒 0；x ∈ (0, 2π) 内由（数值版）Dirichlet 判别收敛，且和函数 S(x) = (π − x)/2（预演算 x = 0.5、1、2、3 四点核对到 10−5）。② 一致带：|∑k=1N sin(kx)| ≤ 1/|sin(x/2)| ≤ 1/sin(δ/2) 在 [δ, 2π − δ] 上一致有界（δ = 0.5 时界 4.042，实测部分和最大 3.83）；1/n 单调趋零与 x 无关——Dirichlet 一致判别放行。③ 非一致证书：取 x_N = π/(2N)，则
缺口 Si(π/2) − π/2 ≈ 0.2000 永不弥合 ⇒ 非一致实锤。
题：把 1/(1 + x) = 1 − x + x2 − ⋯（|x| < 1）在 [0, x] 上逐项积分得 ln(1+x) = x − x2/2 + x3/3 − ⋯，并说明 x = 1 端点的合法性。
解：① 内部：|x| < 1 时几何级数在 [0, x] 上一致收敛（M-判别：|tn| ≤ |x|n，∑|x|n 收敛），逐项积分合法，得 ln(1+x) 的展开。② 端点 x = 1：右边变成交错级数 1 − ½ + ⅓ − ¼ + ⋯（收敛于 ln 2），左边 ln(1+x) 在 [0, 1] 连续。Abel 定理（§5.14 端点版）放行：级数在 x = 1 收敛 ⇒ 在 [0, 1] 上一致收敛 ⇒ 令 x → 1− 可以穿越端点，ln 2 = ∑(−1)n−1/n 定案（预演算 2×105 项核对 10−5）。③ x = −1 端点：级数 = −∑1/n 发散，展开失效——ln 0 = −∞ 的呼应。
题：① 由 1/(1 − x) = ∑xn 逐项求导得 ∑nxn−1 = 1/(1 − x)2；② 说明 e^(−x2)（钟形曲线的主体）可全程逐项求导。
解：① 对任意 r < 1，∑xn 在 [−r, r] 上收敛，导数级数 ∑nxn−1 也在 [−r, r] 上一致收敛（|nxn−1| ≤ nrn−1，∑nrn−1 = 1/(1−r)2 收敛）——求导门槛齐备，得 ∑nxn = x/(1−x)2（练 4.x 的「n 倍几何」公式正式持证上岗）。② e^(−x2) = ∑(−1)nx2n/n!：R = ∞，导数级数 ∑(−1)n·2nx2n−1/n! 同样 R = ∞——全域逐项求导合法，微分方程 y′ = −2x·y 的解就此获得幂级数工具。预演算实测：x = 1 处部分和 1, 0, 0.5, 0.333, 0.375, 0.3667, 0.3681, 0.3679 → e−1 = 0.36788，8 项即咬合；x = 2 处部分和 1, −3, 5, −5.67, 5.0, −3.53, 2.16, −1.10, 0.53, −0.19, 0.10, −0.01 → e−4 = 0.0183——大 x 处先疯狂后收敛（n! 终究镇压 4n）。
题：证明 fn(x) = x/(1 + nx2) 在 [0, 1] 上一致收敛于 0，并给出极限函数连续；再指出 gn(x) = nx/(1 + n2x2) 为何不享受同等待遇。
解：① 逐点极限：x = 0 时 fn = 0；x > 0 时分母 ∼ nx2 → ∞，fn → 0。故 f ≡ 0。② sup 判别：fn′ = (1 − nx2)/(1 + nx2)2，峰在 x = 1/√n，峰值 = 1/(2√n)（预演算：n = 10/100/1000 时 0.158/0.050/0.0158）→ 0 ⇒ 一致收敛。③ f ≡ 0 连续——连续性传递定理兑现。④ gn：峰位 1/n 向 0 搬家而峰值恒 ½（预演算三点均 0.5000），sup 不趋零 ⇒ 非一致；虽然逐点极限同样是 0（处处连续），但这里是我们手工验证的，传递定理帮不上忙。
题：求下列幂级数的收敛半径与收敛域：① ∑xn/n!；② ∑n!xn；③ ∑xn/n；④ ∑xn/(n·2n)。
解：① |an+1/an| = 1/(n+1) → 0 ⇒ R = ∞，收敛域 ℝ。② |an+1/an| = n+1 → ∞ ⇒ R = 0，只在 x = 0「收敛」（级数值 0）。③ R = 1；x = 1：∑1/n 调和发散；x = −1：∑(−1)n/n 收敛（= −ln 2）。域 [−1, 1)。④ R = 2；x = 2：∑1/n 发散；x = −2：∑(−1)n/n 收敛。域 [−2, 2)。数值核对（预演算）：④ 在 x = 1.9 时部分和（5000 项）= 2.995732，与 −ln(1 − 0.95) 精确咬合到 10−15；x = 2.1 时 200 项部分和已冲到 1973——半径两侧一收一爆，判若云泥。
题：证明 ∑(−1)nxn/n 在 [0, 1] 上一致收敛，并给出 sup 偏差的定量账。
解：① 半径 R = 1，且 x = 1 处 ∑(−1)n/n 收敛（交错）。② Abel 定理（端点版）：端点收敛 ⇒ 在 [0, 1] 上一致收敛。③ 定量（预演算）：sup[0,1] |R_N(x)| 在 N = 20 时实测 0.025941（上界 1/(N+1) = 0.047619），N = 100 时实测 0.006227（上界 0.009901）——实测比交错上界还小一截（x < 1 时衰减更快），但「1/(N+1) 型统一上界」正是 Abel 定理的兑现形式。推论：和函数 −ln(1+x) 在 [0, 1] 上连续且可逐项积分穿越端点（例7 的后台机关）。
题：设 W(x) = ∑n=0∞ (½)n cos(3nπx)。证明 W 在 ℝ 上处处连续、处处不可导。
解：① 连续：|(½)ncos(3nπx)| ≤ (½)n，∑(½)n = 2 收敛——M-判别给全区一致收敛；每项 cos 连续 ⇒ W 连续。② 不可导（Weierstrass 的尺度论证思路）：第 n 项的「波长」∼3−n、振幅 (½)n；取 h ∼ 3−N 看差商，前 N 项贡献有限，而第 N 项的差商 ∼ (½)N·3N = (3/2)N → ∞——差商随尺度翻番不落户。预演算实拍（中心差商）：x = 0.1 处 h = 10−3 得 −44.7、h = 10−4 得 −94.9；x = 0.37 处 +29.2 → +105.4；x = 0.8 处 −11.8 → +22.2——每次缩十倍，读数翻倍以上，永不收敛。③ 结论：W 处处连续（①）而处处不可导（②）——「连续」与「可导」在十九世纪被一刀剪断。
先练「三元组」意识：函数族、定义域、收敛类型，三者缺一不可。
练 5.1 求 fn(x) = x/n 与 gn(x) = sin(nx)/n 在 ℝ 上的逐点极限，并判断哪个一致收敛。
答：都逐点 → 0。gn 一致：sup|gn| = 1/n → 0；fn 不一致：x = n 处 fn(n) = 1 永不缩（虽然这个点在跑）。「有界振幅＋n 压制」与「振幅自涨」是分水岭。
练 5.2 fn(x) = nx/(1 + n2x2) 在 [0, 1] 上逐点极限是谁？一致吗？
答：逐点 → 0（x = 0 恒 0，x > 0 分母 ∼ n2x2）；不一致——峰位 1/n 搬家、峰高恒 ½（预演算 n = 10/100/1000 均 0.5000）。「尖峰搬家」标准款。
练 5.3 fn(x) = xn(1 − x) 在 [0, 1] 上一致收敛吗？
答：一致。极限 f ≡ 0；求峰：fn′ = xn−1(n − (n+1)x) ⇒ 峰位 x = n/(n+1)，峰值 = (n/(n+1))n·1/(n+1) ~ e−1/(n+1) → 0。因子 (1 − x) 把 x = 1 处的「钉子」拔了——乘一个小因子救全场。
练 5.4 举一个「逐点收敛但不连续的极限函数」例子，并指出间断点出在哪。
答：xn 在 [0, 1]（例1）；或 fn(x) = 1/(1 + xn)：x ∈ [0, 1) 时 → 1，x = 1 时 → ½——极限在 x = 1 处从 1 跳到 ½。不连续是「非一致」的旁证（紧区间上）。答题中文「间断点」。
sup 判别法三步拳：猜极限、算 sup（求峰/放缩）、看趋零。
练 5.5 用 sup 判别法证明 fn(x) = x/(1 + nx2) 在 [0, 1] 上一致收敛（例9 的完整版）。
答：f ≡ 0；fn′ = (1 − nx2)/(1 + nx2)2 ⇒ 峰 x = 1/√n，峰值 1/(2√n) → 0。定量：n = 100 时 sup = 0.0500（预演算）。
练 5.6 fn(x) = xn 在 [0, a]（a < 1）一致收敛，给出使 sup < 10−4 的最小 N（a = 0.9）。
答：0.9N < 10−4 ⇒ N > 4/0.04576 ≈ 87.4 ⇒ N = 88（M87 = 1.06×10−4，M88 = 9.5×10−5）。对数级从容。
练 5.7 fn(x) = sin2(nx)/(n + 1) 在 ℝ 上一致收敛吗？
答：一致。0 ≤ fn ≤ 1/(n+1)（与 x 无关），sup = 1/(n+1) → 0。不用求峰——「天花板现成」时直接放缩最快。
练 5.8 证明 fn(x) = (x + n)2/(n2(x2 + 1)) 在 [0, 1] 上不一致收敛于 1/x2？先求逐点极限再说。
答：展开 fn = (x2 + 2nx + n2)/(n2(x2+1))；x > 0 时 → 1/x2，x = 0 时 fn = 1 → 1。极限在 x = 0 处 1/x2 爆炸、在 0 处取 1——极限本身在 [0,1] 不「连续有界」，而 fn 在 x = 0 处偏差 |1 − 1| = 0、在 x → 0+ 处 sup 1/x2 无界 ⇒ 不一致（sup 偏差 = ∞）。「极限先坏，sup 必坏」。
柯西准则的妙用：不猜极限、直接验「尾巴互贴」。
练 5.9 用柯西准则直接证明 fn(x) = sin(x/n) 在 ℝ 上一致收敛。
答：|fn − f_m| = |sin(x/n) − sin(x/m)| ≤ |x/n − x/m|；x 无界放缩失败！改用 |sin u − sin v| ≤ 2 也不行——其实 sup_ℝ|sin(x/n) − sin(x/m)| = 2（x 取大值）⇒ 不一致柯西。反直觉：fn 逐点 → 0，但不一致（n = 106 时在 x = πn/2 处 fn = 1）。教训：ℝ 上「x 无界」是 sup 判别杀手。
练 5.10 把练 5.9 的定义域换成 [−1, 1]，重判。
答：一致收敛。|fn − f_m| ≤ |x|·|1/n − 1/m| ≤ |1/n − 1/m| → 0 与 x 无关——柯西成立。同一家族，区间一缩，判决反转。
练 5.11 证明：若 fn 在紧区间 I 上连续且逐点收敛于不连续的 f，则收敛必不一致。
答：反证：若一致，由连续性传递 f 连续——矛盾。这是「用结论反判类型」的万能反证模板（例1 的定理版）。
练 5.12 fn(x) = 1/(1 + xn) 在 [0, ∞) 上逐点极限是谁？一致吗？
答：f = 1 于 [0, 1)、½ 于 x = 1、0 于 (1, ∞)——分段跳跃两处，极限间断 ⇒ 紧子区间上必非一致；在 [0, ∞) 全域当然更不一致。但注意 [0, a]（a < 1）上 sup = an/(1+an) → 0 一致、[b, ∞)（b > 1）上 sup ≤ 1/bn → 0 也一致——「分段各自安好，合体就不行」。
M-判别法 = 找天花板 + 总账封顶。练「找 Mn」的手艺。
练 5.13 证明 ∑cos(nx)/n3 在 ℝ 上一致收敛，并估计其和函数的连续性。
答：Mn = 1/n3，∑1/n3 收敛（p = 3）。M-闸放行 ⇒ 一致绝对收敛 ⇒ 和函数连续（连续性传递）。「三角消一道，幂留 p = 3」。
练 5.14 ∑xn/(n2·3n) 在哪些区间一致收敛？全域吗？
答：|x| ≤ R（任何有限 R）上 |x|n/(n23n) ≤ (R/3)n/n2——只要 R < 3 几何封顶；R = 3 时退化为 ∑1/n2 仍收。事实上 |x| > 3 时通项不趋零发散，故在每个有界区间上一致收敛；全域（ℝ）不一致（x = 3.1 已发散）。
练 5.15 ∑(−1)n/(n + x2) 在 ℝ 上一致收敛吗？M-判别管用吗？
答：Mn = 1/n 总闸发散，M-闸失守；但由交错＋单调一致递减（对每个 x）+ |余项| ≤ 1/(N+1) 与 x 无关，一致收敛成立——用「交错一致版 Dirichlet/Abel」而非 M。M 失守 ≠ 不一致。
练 5.16 举一个 ∑un(x) 处处收敛、∑|un(x)| 也处处收敛、但不一致收敛的例子。
答：un(x) = x2/((1 + x2)n·n)？简版：un(x) = x/(n(n+1)x2 + 1)？更干净的标准款——un(x) = (−1)n x2/(n(1+x2)n)？推荐答案：∑(−1)nx2/(n(1 + x2)n)：|un| ≤ 1/n2? 不对。用经典 un(x) = (−1)n/(n + x)：绝对值级数 ∑1/(n+x) 发散于每点——不合题。合格款：un(x) = x2e−nx：∑|un| = x2/(ex − 1)（几何闭式）每点有限且当 x → 0+ 时部分和尾 ~ x → 0，但 sup_ℝ 尾巴在 x → 0+ 处不趋零？留作动手：证明其一致收敛于 [δ, ∞) 而非 ℝ。本题练「绝对收敛 ≠ 一致」的三层分辨。
振荡型级数的两把一致的尺。
练 5.17 证明 ∑sin(nx)/n 在 [0.1, 2π − 0.1] 上一致收敛，并给出部分和一致界的数值。
答：部分和 |∑sin(kx)| ≤ 1/sin(δ/2)，δ = 0.1 时界 ≈ 20.008；1/n 单调趋零与 x 无关 ⇒ Dirichlet 一致版放行。（预演算 δ = 0.5 时实测 max 3.83 < 4.042。）
练 5.18 ∑cos(nx)/n 在 (0, 2π) 内逐点收敛于 −ln(2 sin(x/2))，问在 [δ, 2π − δ] 上一致吗？x → 0+ 时和函数行为如何？
答：一致（同练 5.17）。和函数在 x → 0+ 对数式爬天（−ln x → ∞）——「逐点收敛的区域内，和函数可以无界」，一致收敛带把它圈住也救不了端点。
练 5.19 用 Abel 一致判别证明 ∑(−1)n arctan(nx)/n 在 ℝ 上一致收敛。
答：∑(−1)n/n 收敛（数项）；vn(x) = arctan(nx)/? 拆法：取 un = (−1)n/n（与 x 无关，一致收敛）、vn(x) = arctan(nx)——一致有界（≤ π/2）但需单调（对每个 x 单调于 n？arctan(nx) 关于 n 递增——Abel 允许单调有界即可）⇒ 一致收敛。「数项级数 × 一致有界单调因子」的标配。
练 5.20 判断：∑sin(nx)/√n 在 [δ, 2π − δ] 上收敛类型？
答：部分和一致有界（同前）＋ 1/√n 单调趋零 ⇒ 一致收敛（Dirichlet 只要求 vn → 0 一致，速率不限）。但在全 (0, 2π) 仍非一致；且绝对值级数 ∑|sin(nx)|/√n 处处发散（|sin| 平均 2/π，∑1/√n 发散）——条件一致收敛的标本。
「积分温和」专场：交换 ∫ 与 ∑ 的合法性操作。
练 5.21 把 1/(1 − x2) = ∑x2n 逐项积分，求 arctanh(x) = ½ln((1+x)/(1−x)) 的级数及其收敛域。
答：∫0x t2ndt = x2n+1/(2n+1)，得 x + x3/3 + x5/5 + ⋯，域 [−1, 1)（x = 1 端调和发散）。与 ln(1+x) 的奇次幂对照记。
练 5.22 证明 arctan x = x − x3/3 + x5/5 − ⋯ 在 x = 1 处成立（Leibniz 公式 π/4 的合法化）。
答：1/(1 + t2) = ∑(−1)nt2n 在 [0, r] 一致；逐项积分得内部公式；x = 1 处交错级数收敛 ⇒ Abel 定理穿越端点：π/4 = 1 − ⅓ + ⅕ − ⋯。与例7 同一条合法化流水线。
练 5.23 ∫01 ln(1+x)/x dx = ∑(−1)n−1/n2，求其值（两位小数）并说明交换合法性。
答：逐项 ∫01 xn−1/n dx = 1/n2，得 ∑(−1)n−1/n2 = π2/12 ≈ 0.82（预演算 η(2) = (1 − 2−1)ζ(2) = π2/12 = 0.8225，第四章 χ2 素材回归）。合法性：级数在 [0,1] 一致收敛（Abel）＋逐项可积。
练 5.24 判断并说理：若 ∑un(x) 在 [a, b] 上逐点收敛于连续 S，能否断言 ∫ab S = lim ∫ab Sn？
答：不能。反例：尖峰族 fn = n·x·(1−x2)n 逐点 → 0，但 ∫01 fn dx = n·(1/2)·B? 实算：∫01 nx(1−x2)ndx = n/(2(n+1)) → ½ ≠ 0 = ∫极限——「积分偷走了半个单位的面积」。一致收敛（或一致有界+逐点）才能拦住。
求导门槛专场：查「导数级数一致收敛」这道闸。
练 5.25 由 arctan x 的级数逐项求导，验证得 1/(1 + x2)，并说明合法域。
答：导数级数 ∑(−1)nx2n（几何，|x| < 1 内一致收敛于 1/(1+x2)）。合法域 |x| < 1；x = ±1 处导数级数通项不趋零——门槛恰在端点失守。
练 5.26 ∑sin(nx)/n3 在 ℝ 上可以逐项求导两次吗？
答：一次：导数级数 ∑cos(nx)/n2 一致收敛（M-闸）⇒ 合法。两次：再导出 −∑sin(nx)/n，仅逐点收敛、非一致 ⇒ 第二次求导不合法（虽然碰巧其和 = (π−x)/2 型）。门槛逐次查，不可想当然。
练 5.27 fn(x) = (sin nx)/n 在 ℝ 上一致 → 0，但 fn′(x) = cos(nx) 不收敛于 0——这违反逐项求导定理吗？
答：不违反。定理要求导数级数一致收敛，此处「级数」只有一项，导数列 cos(nx) 不收敛，条件不满足——定理不适用，故无矛盾。「一致收敛的函数列，导数可以完全失控」的标本。
练 5.28 证明 ∑xn/(n·2n) 的和函数在 (−2, 2) 内可导，并求 S′(1)。
答：导数级数 ∑xn−1/2n 在 |x| ≤ r < 2 一致收敛 ⇒ 内部可导；S′(x) = ∑xn−1/2n = 1/(2 − x)（几何，首项 ½）。S′(1) = 1。S(1) = ∑1/(n·2n) = ln 2（−ln(1−½)）顺带入账。
练 5.29 求 ∑n2xn 与 ∑xn/(n·4n) 的半径与收敛域。
答：① R = 1，x = ±1 均发散（n2 不救通项趋零? 通项 n2 发散侧不趋零；x = −1 时交错 ∑(−1)nn2 通项不趋零）域 (−1, 1)。② R = 4，x = 4：调和发散；x = −4：交错收敛。域 [−4, 4)。
练 5.30 ∑(2n + 3n)xn 的半径是多少？用「大者通吃」解释。
答：R = 1/3。系数 (2n+3n)1/n → 3（大者通吃）⇒ R = 1/3。多项式系数取根值时最大基赢家定半径。
练 5.31 ∑nkxn（k 为固定正整数）的半径与端点态度。
答：R = 1（nk 多项式级）。x = 1：∑nk 发散；x = −1：通项不趋零发散。域 (−1, 1)——k 无论多大只改「贴数轴的速度」不改领土。
练 5.32 求 ∑((3 + (−1)n)n)xn 的收敛半径（系数带奇偶摆动）。
答：an = 4n（n 偶）、2n（n 奇）。奇偶子列根值 4 与 2 ⇒ 上极限 4 ⇒ R = 1/4。比值法「极限不存在」时用上极限版（柯西–Hadamard）：R = 1/(limsup |an|1/n)。
练 5.33 ∑xn/n2 在 [−1, 1] 上一致收敛吗？在 (−1, 1) 的全域意思上一致吗？
答：[−1, 1] 上一致（Mn = 1/n2，含两端点！n2 是绝对收敛的两端皆收型）。全域 (−1, 1)：一致——sup 偏差受 ∑n>N 1/n2 控制与 x 无关。n2 幂足够强，端点全收，全域一致——「稀有标本」。
练 5.34 ∑xn/n 在 (−1, 0] 上一致收敛吗？在 [−1, 0] 呢？
答：[−1, 0] 上一致（Abel：x = −1 端收敛 ⇒ 左半闭区间一致；(−1, 0] 内部带同理）。开区间 (−1, 0] 因含 −1 端也一致。但 (−1, 1) 全域不一致（右端近 1 处拖尾巴）。Abel 给的是「收敛端那一侧的闭边」。
练 5.35 求 ∑nxn 的和函数，并问 S 在 (−1, 1) 内连续吗？逐项积分求 ∑n/2n。
答：S(x) = x/(1−x)2（练 5.28 的 n 倍几何，S′ 法或直接）。内部带 [−r, r] 上一致 ⇒ S 在 (−1,1) 连续（且逐点 S 在 x=1 爆）。逐项积分 ∫01/2 = ∑n/2n = 2。直接用公式 ∑nxn = x/(1−x)2 于 x = ½ 定案（预演算对照：∑n2/2n = 6 的 200 项部分和 5.999998 咬合；注意口径：∑n=1 n/2n = 2）。
练 5.36 证明：幂级数在收敛区间内部定义的和函数不能在内部某点「爆发到无穷」。
答：内部点 x0 落在某个 [−r, r] 内，级数在其上一致收敛于连续函数 ⇒ S(x0) 有限。爆点只可能在端点（−ln(1−x) 于 1、1/(1−x) 于 1）。「奇点只在门口，不在屋里」——幂级数的美德清单第一条。
练 5.37 用 Bernstein 公式验证 Bn(x2) = x2 + x(1 − x)/n。
答：二项分布 E[(k/n)2] = Var + mean2 = x(1−x)/n + x2（k ~ B(n, x)）。预演算 n = 10、30、100 时 x = 0.37 处 0.16021/0.14467/0.139231 与闭式咬合 10−15。概率语言一击即中。
练 5.38 用 Bernstein 逼近 f = |x − ½| 于 n = 10, 30, 100 的最大偏差各是多少？衰减速率符合什么律？
答：0.123047、0.072232、0.039795（预演算网格 401 点）。比值 0.123/0.0722 ≈ 1.70 ≈ √3，0.0722/0.0398 ≈ 1.82 ≈ √(30/10)? √3 ≈ 1.73、√(100/30) ≈ 1.83——衰减 ∝ 1/√n 实锤。Bernstein 温柔而迟缓。
练 5.39 Weierstrass 逼近定理能保证「幂级数表示」吗？
答：不能。逼近只承诺「存在某个多项式 P（系数随意）」；幂级数要「固定系数族的前 N 项截断」。f = |x − ½| 在 [−1, 1] 上连幂级数都没有（x = 0 处不可导，而幂级数和函数在内部无穷光滑）。逼近定理宽门 vs 幂级数严门。
练 5.40 举例说明：连续函数列一致收敛的极限可以不可导。
答：Bernstein 多项式 Bn(|x − ½|) 全是多项式（光滑），一致收敛于 |x − ½|（x = ½ 处尖角）。光滑列一致极限只保连续，不保导数——导数是比连续娇贵得多的家产（§5.12 的回声）。
综合五题：一条龙走完「判类型 → 查交换 → 定行为」。
练 5.41 对 ∑(−1)nxn/n2：求收敛域；证明全域一致收敛；判断能否逐项求导。
答：域 [−1, 1]（两端交错收敛）；一致（Mn = 1/n2 全域封顶，含端点）；逐项求导：导数级数 ∑(−1)nxn−1/n 在 [−1, 1] 一致收敛（Abel 端点 + M 内部）⇒ 合法，S′ = ∑(−1)nxn−1/n 在端点也成立。
练 5.42 判断 ∑xn/(1 − xn)（兰伯特级数示意）在 [0, 0.9] 与 [0, 1) 上的收敛类型。
答：[0, 0.9]：un ≤ (0.9)n/(1 − 0.9n) ≤ C·(0.9)n 几何封顶 ⇒ 绝对一致。[0, 1)：x → 1− 时需要任意多项才压住——逐点收敛（几何和换序）但非一致。又一次「紧闭区间救一切，半开区间出事故」。
练 5.43 设 fn 连续且 ∑fn 在 [a, b] 一致收敛。证明 S 的图像可被「部分和的多项式近似」一致逼近（串联两章）。
答：三步接力：部分和 S_N 一致逼近 S（一致收敛定义）→ 每个 S_N 是连续函数 → Weierstrass 逼近给多项式 P_N 一致逼近 S_N → 三角不等式合成。§5.15 与本章主线的握手。
练 5.44 判断正误并说理：「fn → f 逐点，f 连续，则 fn 在充分大的 n 后一致连续于 f 的邻域。」
答：误。xn 于 [0,1)：f ≡ 0 连续，但对任何 N，n > N 的 xn 在近 1 处仍冲出任意 ε 管——「极限温柔 ≠ 队伍整齐」。非一致的顽固性：病不随 n 治愈，只随域收缩。
高频错题归档：①「逐点收敛 ⇒ 一致收敛」（xn 反例侍候）；②「M-判别失败 ⇒ 不一致」（练 5.15 的交错级数反例）；③「原级数一致收敛 ⇒ 可逐项求导」（练 5.27 的 sin(nx)/n）；④「绝对收敛 ⇒ 一致收敛」（练 5.16 的三层分辨）；⑤「一致收敛区间随便取」（端点必须逐案审理）。每条都是概念分界线上的事故多发段。
三问自测：
一问：给 ε， N 是「全区的」还是「各点的」？——凡说不清 N 与 x 的关系，就没分清逐点与一致。
二问：要交换的是 ∫ 还是 d/dx？——积分只要原级数一致，求导要导数级数一致，门槛差一层。
三问：定义域是紧的吗？端点审了吗？——紧区间上定理最肥美；端点交给 Abel 与数项级数。
十九世纪初的分析学像个自由散漫的少年：函数项级数处处按「有限和」的规矩办事——连续项之和自然连续、逐项积分天经地义、逐项求导理所当然。Cauchy 1821 年在《分析教程》里第一次把「一致收敛」从背景里拎出来点名（他的表述还带着瑕疵，被 Abel 1826 年一封信戳破：幂级数二项式展开在端点区域的滥用），Weierstrass 随后用 ε 语言把它锻成铁律。分析学由此成年：从「每点各自都好」的自由，走向「全区同样好」的责任。
为什么这件事值得纪念？因为「一致」是人类第一次为一个量词顺序立法：∀x∃N 与 ∃N∀x，字面只换了个位置，命运的差别却有如天壤。逻辑学家后来把这类现象形式化（量词交换的威力与代价），分析学家则在 ε 管道里日日与它打交道。第五章所学的不是一个定理，而是一种阅读量词的视力——这副视力将伴随穿过测度论、泛函与下册的每一页。
1898 年，物理学家 Michelson（迈克耳孙，测光速的那位）给 Gibbs 写信抱怨：他的谐波分析仪对方波做傅里叶合成时，在跳变点附近总冒出一个固执的过冲，加多少谐波都压不掉。Gibbs 1899 年回信点破：这不是机器的毛病，而是数学的脾气——部分和在每个间断点附近都固执地冲高约 8.95%，然后才俯身回落。这一过冲后来被称为 Gibbs 现象。
与例6 的暗线合流：例6 的非一致证书（S_N(π/2N) 卡在 Si(π/2) ≈ 1.37）与 Gibbs 过冲（首峰冲到 Si(π) ≈ 1.85）是同一个数学的两副面孔——取样点跟着 N 跑，极限就追不上。Gibbs 过冲的定量：跳跃量为 π 时，过冲 = (Si(π) − π/2)/π ≈ 8.949%·跳跃。这个百分比是普适常数：任何有界变差函数的傅里叶部分和都逃不掉。
工程回声：图像压缩（JPEG 的振铃伪影）、音频处理、医学成像（MRI 的吉布斯伪影）里它天天露面。收敛的固执，是间断点写给有限带宽世界的永恒抗议。
| 判断任务 | 快查口诀 | 主页面 |
|---|---|---|
| 一致收敛与否 | sup 判别三步拳；峰搬家则非一致 | §5.5、图 5-16 |
| 级数一致收敛 | M-闸找天花板；振荡找 Dirichlet/Abel | §5.8–5.9 |
| 交换极限 | 连续看传递、积分看原级数、求导看导数级数 | §5.10–5.12 |
| 幂级数领土 | 比值法定 R，端点交数项级数，内部带自动一致 | §5.13–5.14 |
| 逼近与病态 | Bernstein 温柔逼近；Weierstrass 怪兽锯齿 | §5.15、例12 |
带走的三件行李：① sup 判别三步拳（猜极限、算 sup、看趋零）；② M-闸＋Dirichlet/Abel 的判定全家桶；③ 「交换先查量词」的反射弧。行李越轻，走得越远——第六章的 Taylor 与傅里叶，全是这批行李的 unpacking（开箱）。
挑战题：设 fn 在 ℝ 上连续且逐点收敛于 f。f 的连续点有多少？答案是十九世纪末分析学最惊人的发现之一：f 的连续点集必是一个稠密的 Gδ 集（Baire 纲定理第一纲/第二纲语言的推论，1899 年 Baire 博士论文）。换句话说：连续函数列的逐点极限不能「处处坏」——xn 的钉子只有一颗，间断永远稀少。
挑战题：完整证明 Bernstein 定理——f ∈ C[0, 1]，Bn(f)(x) = ∑C(n,k)xk(1−x)n−1f(k/n)，则 Bn(f) 一致收敛于 f。
证明骨架（四步）：
① 概率换装：设随机变量 K ~ B(n, x)，则 Bn(f)(x) = E[f(K/n)]，而 f(x) = E[f(x)]（常数），于是偏差 = |E[f(K/n) − f(x)]|。
② 一致连续拆分：f 在 [0,1] 一致连续，给定 ε 取 δ 使 |u − x| < δ 时 |f(u) − f(x)| < ε/2；令 M = 2 sup|f|。
③ 大数定律剪尾巴：|K/n − x| ≥ δ 的概率由 Chebyshev 控制：P ≤ Var(K/n)/δ2 = x(1−x)/(nδ2) ≤ 1/(4nδ2)。
④ 合成：|Bn(f)(x) − f(x)| ≤ ε/2·P(|K/n − x| < δ) + M·P(|K/n − x| ≥ δ) ≤ ε/2 + M/(4nδ2)，n > M/(2εδ2) 时全区 < ε。∎
本实验用两块可调面板把 §5.16 的管道图像做成可操作的：左板 xn（一致侧），右板尖峰族 nx(1−x2)n（非一致侧）。拖动 n，亲眼看管子如何被驯服或被捅穿。
左板（xn 在 [0, 0.9]）：n 越大，曲线整体贴向 x 轴，管壁 0.9n：0.590（n=5）→ 0.349（n=10）→ 0.122（n=20）→ 0.0148（n=40）。
右板（尖峰族）：峰值 √(n/2)·e−½：1.34（n=10）→ 4.28（n=100）→ 13.56（n=1000）——管永远被捅穿。
A1 （概念）写出「fn 在 E 上一致收敛于 f」的定义，并写出它的否定形式（量词逐个翻面）。
评讲：∀ε∃N∀x versus 存在 ε0 对任意 N 有某 n、某 x 逃逸——例3 的模板，量词四个一个不能少。
A2 判断并证明：fn(x) = xn(1−x) 与 gn(x) = xn(1−xn) 在 [0,1] 上哪些一致收敛？
评讲：fn 一致（练 5.3，峰值 ~ e−1/(n+1)）；gn 不一致（令 t = xn，g = t − t2 的峰在 t = ½ ⇒ 峰位 x = (½)1/n → 1，峰值 ¼ 恒定——「1 − xn 消不掉内层 t 的自由度」，非一致。两题对照是本章最精巧的一组孪生反例。）
A3 （计算）求 ∑n=1∞ n·xn−1 的和函数与收敛域，并求 ∑n/3n。
评讲：∑nxn−1 = 1/(1−x)2（|x| < 1，逐项求导合法域）；∑n/3n = (1/3)/(1−1/3)2 = 3/4（x = 1/3 代入）。n 倍几何的两副面孔要分清：∑nxn = x/(1−x)2、∑nxn−1 = 1/(1−x)2。
A4 （证明）设 ∑un(x) 在 [a,b] 上一致收敛于 S，且每个 un 连续。证明 S 连续，并给出「若把『一致』去掉结论必然如何」的一个具体反例。
评讲：连续性传递标准证明（§5.10）；反例取 xn——极限在 x = 1 间断（例1）。评分点：ε 三段接力中「N 与 x0 无关」必须点明。
A5 （挑战）证明：∑sin(nx)/n2 的和函数 S 在 ℝ 上连续，但 S 的导数在 (0, 2π) 内等于 ∑cos(nx)/n 的和函数 —— 并解释「S′ 处处存在吗」为何需要小心。
评讲：连续由 M-闸；一次逐项求导合法（导数级数 ∑cos(nx)/n2 一致收敛）。小心之处：S′ = ∑cos(nx)/n 只在 (0, 2π) 内逐点成立，x = 0 处导数级数 ∑cos(nx)/n 发散——S′(0) 由对称性仍存在（S 为偶型），但逐项公式不覆盖该点——逐项求导定理只担保「导数级数一致收敛处」，端点永远是法外之地。第六章傅里叶级数将给出 S 的显式身世。
评讲总纲：本章考试的三条命脉——量词书写（A1/A4）、端点审理（A3/A5）、反例构造（A2）。第五章没有计算狂潮，全章的分数都藏在「说清楚 N 与 x 的关系」这一件事上。
前两章我们把数排成队慢慢加，加出了 π、ln 2、e。本章把这套手艺升格：函数本身能不能展开成「简单零件的无穷和」？两条路线并行——用幂函数 xn 当零件，得到幂级数（Taylor 级数是其皇后）；用正弦波 sin nx、cos nx 当零件，得到傅里叶级数。前者擅长在一点附近把函数「放大细看」，后者擅长把函数「整个听一遍」——一个像显微镜，一个像耳朵。
两条路线的分工：幂级数把函数翻译成「多项式语」——系数 f(n)(0)/n! 逐阶记录函数在一点的全部弯曲信息；傅里叶级数把函数翻译成「正弦波语」——系数按频率记账，记录函数的「音色」。一个回答「这点附近长什么样」，一个回答「整体由哪些频率织成」。本章先走幂级数（§6.2–6.7），再走傅里叶（§6.8–6.16），最后在 FFT（§6.17）会师。
形如 ∑anxn = a0 + a1x + a2x2 + ⋯ 的级数称为幂级数。它有个极好的性质：收敛域永远是一个以 0 为心的对称区间（可能退化成一点，也可能扩到整个 ℝ）。具体地，存在「收敛半径」R ≥ 0，使 |x| < R 时绝对收敛、|x| > R 时发散——幂级数在圆盘（区间）内百依百顺，一出境就翻脸。
半径可以任何值：∑xn/n! 的 an = 1/n! 比值 → 0，R = ∞（全境通行）；∑n!xn 的比值 → ∞，R = 0（只在原点活命）；∑nnxn/n! 的比值 → e，R = 1/e ≈ 0.367879（例1 细算）。半径是级数「先天体格」的体检报告。
若 f 在 0 的邻域内各阶导数俱全，称级数 ∑ f(n)(0)·xn/n! 为 f 的 Taylor 级数（在 x0 处展开则为 ∑f(n)(x0)(x−x0)n/n!）。系数公式是「逐阶拷问」：一阶导问斜率，二阶导问弯曲，n 阶导问更细的纹理。理想情况下——
例：sin x 的系数列 (0, 1, 0, −1/3!, 0, 1/5!, …) 只在奇数位上有字——奇函数的身份证天生「偶数行空白」。cos x 相反。这套指纹的唯一性（§6.5 幂级数展开唯一性定理）保证了：不管用什么歪门邪道得到一个幂级数，只要它收敛到 f，它就是 Taylor 级数本人。
五个「基础零件」务必随身携带——后续一切展开都由它们变形而来。
| 函数 | 展开式 | 收敛域 |
|---|---|---|
| ex | 1 + x + x2/2! + x3/3! + ⋯ = ∑xn/n! | (−∞, +∞) |
| sin x | x − x3/3! + x5/5! − ⋯ | (−∞, +∞) |
| cos x | 1 − x2/2! + x4/4! − ⋯ | (−∞, +∞) |
| ln(1+x) | x − x2/2 + x3/3 − ⋯ = ∑(−1)n−1xn/n | (−1, 1]，端点审判：−1 拒收、+1 放行 |
| arctan x | x − x3/3 + x5/5 − ⋯ | [−1, 1]，两端皆放行（交错收敛） |
库存质检（预演算）：ex 在 x = 2 处取 30 项，与真值 7.38905609893065 咬合到 10−12；sin x 取到 x5 项在 x = 1 处给 0.841468 vs sin 1 = 0.841471；ln(1+x) 在 x = 0.5 处取 30 项得 0.405465108 与 ln(3/2) 咬合到 10−10。全级数精度随项数指数级改善——因为 n! 在分母上飞速膨胀（30! ≈ 2.65×1032）。
直接算 n 阶导数来写 Taylor 系数，对稍复杂的函数就会力不从心。高手都用间接法：从库存出发，用「求导、积分、代入、四则」四门手艺变形到目标。依据是幂级数的优良性质——收敛域内可逐项求导、逐项积分（半径不变，端点单独复审）。
例（积分顺手收账）：ln(1+x)/x = ∑(−1)n−1xn−1/n 逐项积分得 ∫0t ln(1+x)/x dx = ∑(−1)n−1tn/n2。预演算双验证：取 t = 1/2，数项级数 ∑(−1)n−1/(n2·2n) = 0.448414207；直接数值积分 ∫00.5ln(1+x)/x dx = 0.448414207——两条路精确到 10−9 咬合。又：ln(1+x) 中取 x = 1/2 直接给 ∑(−1)n−1/(n·2n) = ln(3/2) = 0.405465109。
「有各阶导数」不等于「等于自己的 Taylor 级数」。反例主角：
它在 0 处的各阶导数全部为零（x → 0 时 e^(−1/x2) 把任何多项式 xm 压成 0），于是 Taylor 级数是 0 + 0x + 0x2 + ⋯ ≡ 0——而 f 本人在每个 x ≠ 0 处都活得好好的。函数不为零，身份证却全零：Taylor 级数收敛了（收敛到零函数），但收敛到的不是 f。
这道沟叫「解析性」：f 等于自己的 Taylor 级数（在邻域内）⟺ f 解析。ex、sin、cos、多项式都解析；e^(−1/x2) 光滑而不解析。解析函数由一点的局部信息（各阶导数）决定全局——像 DNA；非解析的光滑函数没有这种「全息性」。复变函数论将证明：复解析比实解析严格得多，而这份严格正是幂级数威力的来源（§6.7）。
把幂级数的 x 换成复数 z = iθ，库存立刻打通任督二脉：
理由朴素至极：把实部与虚部分开排队，偶次项落进 cos、奇次项落进 sin——sin、cos 的 Taylor 展开自动复活。由此 sin x = (eix − e−ix)/2i，两个指数函数顶替了全部三角函数。更妙的是复合：e(1+i)x = ex(cos x + i sin x)，一个复指数同时管住两条实函数。
为什么复数反而更简单：实数世界里 sin、cos、ex 是三个「家族」；复数世界里它们是同一个 ez 的三个侧面。幂级数是这场统一的功臣——正因为 ez 的幂级数在全域收敛，代换 z = iθ 才合法。泰勒公式给了我们「越界书写」的许可证。
换一条路线：不再用多项式当零件，改用正弦波家族——1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …。它们都是周期 2π 的振动，频率逐级翻倍，像乐器里的基音与泛音。形如 a0/2 + ∑(ancos nx + bnsin nx) 的级数称三角级数。
幂级数 vs 三角级数：多项式零件擅长「局部仿形」，但天生不周期；正弦零件天生周期，擅长「整体音色」。两个体系各自有一套「系数如何确定」的理论——幂级数靠导数拷问（§6.3），三角级数靠正交性投影（下一节）。数学史上，Taylor 展开早于傅里叶展开七十年，但后者的思想更贴近现代物理（量子力学的基底展开、信号处理的频谱）。
三角函数家族有一张王牌：正交性。在 [−π, π] 上，不同频率的乘积积分为零——
正交 = 「内积为零」= 彼此垂直。有了垂直的坐标系，求系数就变成投影：想知道 f 含多少 sin nx，两边同乘 sin nx 再积分，其余项全灭——
例（f = x 的系数）：x 是奇函数 ⇒ 一切 an = 0；bn = (1/π)∫−ππ x sin(nx)dx = 2(−1)n+1/n。分部积分一行搞定：∫x sin(nx)dx = −x cos(nx)/n + sin(nx)/n2，代入上下限后 sin(nπ) 全灭、±π 处 cos(nπ) = (−1)n。于是 b1 = 2、b2 = −1、b3 = 2/3——系数按 1/n 衰减，符号交替。
系数有了（投影），和函数在哪？答案比幂级数宽容得多：Dirichlet 收敛定理——若 f 在 [−π, π] 上分段光滑（有限个跳跃间断点，其余处连续可微），则傅里叶级数在每一点 x 收敛到
与幂级数收敛域对照：幂级数的收敛域是开区间（端点危险），傅里叶级数却是全轴收敛（周期延拓后处处有落点）。代价是系数只按代数速度衰减（不解析）；回报是能表示有跳变的函数——幂级数永远做不到这一点。
实际课题常常只在 (0, π) 上给函数（半根弦的振动、半个周期的信号），却想用纯 sin 或纯 cos 展开。诀窍是延拓——先把函数「补」成整个 [−π, π] 上的奇函数或偶函数：
怎么选？看边界条件：弦的两端固定（端点值为 0）→ 选奇延拓（sin 在 0、π 处天然为零）；端点自由（导数为零）→ 选偶延拓（cos 的导数在端点天然为零）。物理边界决定数学基的选取——热传导例11 会把这层关系用活。
[−π, π] 上的函数展开后，级数是周期 2π 的——它眼中看到的其实是 f 的周期延拓：把 f 像铺瓷砖一样复制到全轴。延拓可能在 ±π 处制造新的跳变（若 f(−π) ≠ f(π)），Dirichlet 定理照章办事：新跳变处收敛到左右平均。
例（f = x 的端点命运）：f = x 在 [−π, π) 端点处 f(π−) = π、f(−π+) = −π，周期延拓在 ±π 处撕出高度 2π 的跳变。级数 2∑(−1)n+1sin(nx)/n 在 x = π 处每一项都是 0，故收敛到 0 = (π + (−π))/2——预演算验证：x → π− 时级数值 → 3.0777 → 0（正弦项逐渐熄火）。f 在端点的原值 π 从未被级数理睬：个别点的取值不影响积分系数，也改变不了收敛落点。
「改一点不改变任何系数」：傅里叶系数是积分，单点改动被积分为零吞噬；于是级数在间断点的落点也纹丝不动。这不是缺陷而是深刻的健康信号——傅里叶级数度量的是函数的「整体形状」，不是逐点字典。与幂级数（逐点敏感、由局部导数决定一切）恰成两极。
正交坐标系里有一条毕达哥拉斯式的恒等式：向量的长度平方 = 各分量平方之和。傅里叶版本叫 Parseval 等式——
左边是信号的总能量，右边是各频率分量的能量账本：总能量 = 各谐波能量之和，分文不差。任何一条 sin 波都带不走、也凭空变不出能量。
例（f = x 的能量账）：(1/π)∫−ππ x2dx = 2π2/3；bn = 2(−1)n+1/n ⇒ 能量账右端 = ∑4/n2。两账相抵得 ∑1/n2 = π2/6——Basel 问题的又一证明（巴塞尔问题在例9 用 x2 再演一遍，顺手把 ∑1/n4 也收了）。预演算复核：50 万项部分和 1.644932 vs π2/6 = 1.644934。
Parseval 的两用：正向用——知道系数算能量（工程：信号功率谱）；反向用——知道能量算系数和（数学：从 f = x 的能量账反解出 ∑1/n2 = π2/6，从 f = x2 反解出 ∑1/n4 = π4/90 = 1.082323，预演算 10 万项咬合到 10−5）。「数项级数求和」从此有了机器化产线（例9、例12、§6.16）。
部分和的能量随项数趋于总能量（Parseval 保证「按能量收敛」），但逐点图像上有个顽固的瑕疵：在跳变点附近，部分和总是冒出一个不肯消退的过冲——项数再多，它只是变窄，高度纹丝不动。这就是 Gibbs 现象（第五章札记②的正式登场）。
解析账：Si(π) = ∫0π sin t/t dt = 1.851937（预演算级数 15 项）。部分和首峰的极限 = (2/π)Si(π) = 1.178980 = 1 + 2 × 0.08949。这个 8.949% 是普适常数：任何跳变高度、任何分段光滑函数，过冲一律是跳变的 8.949%。工程回声：JPEG 压缩的振铃、MRI 图像的伪影、音频编码的预回声，全是 Gibbs 的现代分身。
傅里叶发明这套级数不是为了好听，是为了算热。细杆上的温度 u(x, t) 服从热传导方程 u_t = κu_xx；用分离变量法 + 两端固定的边界条件，解自动展开成正弦级数：
每个空间形状 sin(nx) 独立演化，温度因子 e^(−n2κt) 按频率平方指数冷却：高频「抖动」先死，低频「大形」后凉。
物理 ↔ 数学对照表：正弦基 ↔ 两端固定的边界条件；e^(−n2κt) ↔ 热扩散的时间箭头；高频先衰 ↔ 细节先被抹平（热传导的「健忘」）。同样的结构换个因子就管波动方程（sin(nat) 振荡不衰）、拉普拉斯方程（调和展开）——分离变量 + 级数是数学物理的万能钥匙，下册数学物理方法将正式开锁。
把本章两条线索拧在一起：找一个展开已知的 f，在特殊点代入，数项级数的和便自动掉出来。这是「用函数求和」的完整方法论。
配方一（f = x2 的余弦展开）：x2 偶延拓，a0/2 = π2/3，an = 4(−1)n/n2，于是
代入 x = 0：∑(−1)n+1/n2 = π2/12 = 0.822467（预演算 20 万项咬合）；代入 x = π：4∑1/n2 = 2π2/3，即 Basel 的 π2/6 再收一次账。
配方二（f = x 的正弦展开）：x = 2∑(−1)n+1sin(nx)/n。Parseval 一步到位：∑1/n2 = π2/6（§6.13 例）。把 f 换成 ln(2cos(x/2)) 之类的「手工函数」，还能收 ∑(−1)n+1/n3 之类的账——傅里叶是台级数求和机。
与幂级数求和术对照：第四章用幂级数在特殊点求和（arctan 1 = π/4）；本章用傅里叶在特殊点求和。两者的分工：幂级数求的往往是「展开系数的和」（和函数值），傅里叶求的是「系数自己的和」（Parseval 侧账）。殊途同归之处：都要找一个「恰当的函数」当债权人。
傅里叶级数是连续世界的语言；数字时代信号是离散采样，对应工具是 DFT（离散傅里叶变换）：N 个样本 → N 个频率分量，公式 F_k = ∑f_j·e−2πijk/N——本质是「正交性投影」的离散版。直接算是 N2 次乘法；1965 年 Cooley–Tukey 的 FFT 算法利用奇偶分组递归，降到 N log N——N = 106 时从万亿次降到两千万次，快五万倍，被誉为 20 世纪最重要的算法。
FFT 快在哪：把 N 点 DFT 按奇偶下标拆成两个 N/2 点 DFT，递归下去——乘法次数 T(N) = 2T(N/2) + N ⇒ N log N。思想的祖师是高斯（1805 年算小行星轨道的手稿里已有雏形），Cooley–Tukey 让它在计算机时代复活。今天没有 FFT，就没有 JPEG、MP3、5G、Wi-Fi——傅里叶的正交思想是整个数字文明的承重墙。
本章把「展开」这门手艺磨到了尽头：幂级数用导数拷问拿系数，在收敛半径内把函数翻译成多项式语（解析函数 = 有全息身份证的函数）；傅里叶级数用正交投影拿系数，把周期函数翻译成正弦波语（跳变函数也能表示，间断点取左右平均）。两套语言的共同哲学：用简单的基表达复杂——复杂不是敌人，没有合适的基才是。
| 维度 | 幂级数（Taylor） | 傅里叶级数 |
|---|---|---|
| 零件 | xn（多项式） | sin nx, cos nx（谐波） |
| 系数来源 | 逐阶求导 f(n)(0)/n! | 正交投影（乘基积分） |
| 收敛域 | 对称区间 |x| < R，端点危险 | 全轴收敛（周期延拓） |
| 能表示谁 | 解析函数（光滑且「全息」） | 分段光滑即可（容许跳变） |
| 间断点 | 绝无可能 | 落点 = 左右平均 |
| 王牌恒等式 | 唯一性定理 | Parseval 能量守恒 |
通往下册的桥：本章一切都在「一条数轴」上展开。下册《多元微积分》〔方田卷〕把偏导、梯度、重积分请上台面——多元函数的 Taylor 展开、正交基换成球面调和、热传导推广到高维热流。一元世界教会我们的「先找基、再投影、后守恒」三步曲，在多元世界原样重演，只是基更丰富、几何更立体。九章格的方田卷，从这里起笔。
题：求下列幂级数的收敛半径与收敛域：① ∑xn/n!；② ∑n!xn；③ ∑nnxn/n!。
解：三连问是一张「体格谱系表」。① 比值法：|an/an+1| = (n+1)!/n! = n+1 → ∞ ⇒ R = ∞，收敛域 (−∞, ∞)——ex 级数全域通行（30 项算 e2 咬合到 10−12）。② |an/an+1| = 1/(n+1) → 0 ⇒ R = 0，只在 x = 0 处「收敛」到 0——级数的先天死胎。③ an = nn/n!，比值 |an/an+1| = nn(n+1)!/((n+1)n+1n!) = (n+1)·nn/(n+1)n+1 = (1+1/n)−n → 1/e。故 R = 1/e ≈ 0.367879。
边界过堂（x = ±1/e）：通项 = nn·e−n/n!。Stirling 公式 n! ≈ √(2πn)(n/e)n 给通项 ≈ 1/√(2πn)——预演算实测：n = 100 时通项 0.039861 vs 渐近值 0.039894，咬合漂亮。通项如 1/√(2πn) 衰减太慢、不趋于 0？趋 0 但级数发散（p-尺：1/√n 发散）⇒ 两端点都发散，收敛域 (−1/e, 1/e)。
题：求幂级数 ∑n=1∞ nxn−1 的和函数，并计算 ∑n/2n。
解：几何级数 ∑xn = 1/(1−x)（|x| < 1）在收敛域内逐项求导：∑nxn−1 = 1/(1−x)2。半径照旧 R = 1（求导不改变半径），端点 x = ±1 通项 = ±n 不趋零，发散——收敛域 (−1, 1)。
收账：∑n/2n = (1/2)·∑n(1/2)n−1 = (1/2)·1/(1−1/2)2 = 2。预演算 2 万项部分和 = 2.000000（x = 0.3 处也验证：2.040816 = 1/0.49）。这条「n 倍几何级数」是一号常用账本，再求导一次得 ∑n2xn = x(1+x)/(1−x)3（预演算：x = 0.5 时 = 6 整）。
题：把 f(x) = 1/(1+x)2 展开成 x 的幂级数。
解（间接法）：库存 1/(1+x) = ∑(−1)nxn（|x| < 1）。两边逐项求导：−1/(1+x)2 = ∑(−1)nnxn−1，整理得
1/(1+x)2 = ∑(−1)n−1n·xn−1 = 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + ⋯，|x| < 1。
验算（预演算）：x = 0.4 处级数和 0.510204 vs 1/1.96 = 0.510204；x = −0.4 处 2.777778 vs 1/0.36 = 2.777778——正负两点全咬合。注意系数是 n 而非 n+1 的位置：直接展开 f(n)(0) = (−1)n(n+1)! 也能得到，但多算五步——间接法完胜。
题：展开 arctan x，推出莱布尼茨级数 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯，并讨论它的实用价值。
解：1/(1+x2) = ∑(−1)nx2n（|x| < 1）逐项积分（∫0t）得 arctan t = ∑(−1)nt2n+1/(2n+1)。端点审判：t = 1 时右边是交错级数 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯ 收敛，Abel 型论证保证等式在 t = 1 仍成立（综合站挑战一的正主）：
π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ⋯
实用价值审计（预演算）：莱布尼茨级数 200 万项只把 π 算准到小数点后 6 位（误差 5.0×10−7，按 1/N 龟速衰减）——美而不快。提速方案：Machin 公式 π/4 = 4arctan(1/5) − arctan(1/239)，两项各取 12 项、5 项即得 π = 3.14159265359（误差 10−10）——同一笔账，换文件路径缩 20 万倍工作量。级数求和的艺术一半在「选对级数」。
题：把 f(x) = ex·sin x 展开成幂级数（至 x5）。
解（复数捷径）：exsin x = Im(e(1+i)x)，而 (1+i)n = 2n/2(cos nπ/4 + i sin nπ/4)，故
exsin x = ∑ 2n/2sin(nπ/4)·xn/n!。系数表（预演算）：c0 = 0, c1 = 1, c2 = 1, c3 = 1/3, c4 = 0, c5 = −1/30。
即 exsin x = x + x2 + x3/3 − x5/30 + ⋯。验算：x = 0.6 处级数（25 项）= 1.028845666 与 e0.6·sin 0.6 精确咬合（10−12）。实部同样白拿：excos x = ∑2n/2cos(nπ/4)xn/n!，x = 1 处 30 项 = 1.468694 = e·cos 1。
题：把 f(x) = x 在 (−π, π) 展开成傅里叶级数。
解：x 是奇函数 ⇒ an = 0（积分被奇偶性秒杀）。bn = (1/π)∫−ππ x sin(nx)dx，分部积分：∫x sin(nx)dx = −x cos(nx)/n + sin(nx)/n2，代入下限后 sin 项全灭，合并得 ∫−ππ x sin(nx)dx = 2π(−1)n+1/n，故 bn = 2(−1)n+1/n：
x = 2(sin x − sin 2x/2 + sin 3x/3 − ⋯)，x ∈ (−π, π)。
定点收账：x = 1.2 处 20 万项 = 1.199994；x = π 处恒 0。顺手收一条 Basel 账：Parseval（下页例9 用 x2 再演）给出 ∑1/n2 = π2/6。
题：设 f(x) = −1（−π < x < 0），f(x) = 1（0 ≤ x < π），周期延拓。写出傅里叶级数并讨论各点收敛值。
解：f 是奇函数 ⇒ 纯正弦级数。bn = (2/π)∫0π sin(nx)dx = (2/π)·[1 − cos(nπ)]/n——偶次 n 全灭（cos nπ = 1），奇次 n 给 4/(nπ)。故
f(x) ∼ (4/π)[sin x + sin 3x/3 + sin 5x/5 + ⋯]。
逐点判决（Dirichlet 定理）：连续点（x ≠ 0, ±π）收敛到 f 本身——预演算 x = 0.7 处 10 万项 = 1.000002；间断点 x = 0：每项 sin 0 = 0，级数恒 0 = (−1+1)/2；端点 x = ±π：sin(nπ) = 0，级数恒 0 = (1 + (−1))/2（周期延拓在端点的跳变两侧极限为 1 与 −1）。三个特殊点全部落在「左右平均」上——定理的预测精确兑现。
题：把 f(x) = x2（0 < x < π）展开成正弦级数。
解：奇延拓后 bn = (2/π)∫0π x2 sin(nx)dx，分部积分两次：∫x2 sin(nx)dx = −x2cos(nx)/n + (2/n)∫x cos(nx)dx，而 ∫0π x cos(nx)dx = ((−1)n − 1)/n2，合并得 ∫0π x2 sin(nx)dx = (−1)n+1π2/n + 2((−1)n − 1)/n3，故
bn = (2/π)[(−1)n+1π2/n + 2((−1)n−1)/n3]——奇次项 bn = 2(π2/n − 4/n3)/π，偶次项 bn = −2π/n。
预演算实测：b1 = 3.736706、b2 = −π = −3.141593、b3 = 2.000081（数值积分与解析公式 10−6 咬合）。级数在 x = 1 处（S9 9 项）= 0.959906 → 1（20 万项 = 0.999993）。
题：用 f(x) = x 与 f(x) = x2 的 Parseval 等式求 ∑1/n2 与 ∑1/n4。
解一（f = x）：(1/π)∫−ππ x2dx = 2π2/3；bn2 = 4/n2。Parseval：2π2/3 = ∑4/n2 ⇒ ∑1/n2 = π2/6。
解二（f = x2）：(1/π)∫−ππ x4dx = 2π4/5；a0/2 = π2/3 ⇒ a0 = 2π2/3，a02/2 = 2π4/9；an = 4(−1)n/n2 ⇒ an2 = 16/n4。Parseval：2π4/5 = 2π4/9 + 16∑1/n4 ⇒ ∑1/n4 = (2π4/5 − 2π4/9)/16 = π4/90 = 1.082323（预演算 10 万项 = 1.082323233711 咬合到 10−13）。
两账并读：∑1/n2 = π2/6 与 ∑1/n4 = π4/90 相除还能得欧拉乘积式 ζ(2)2 vs ζ(4) 的交叉验证（1.6449342 ≈ 2.7058，π4/36 = 2.7058 ✓）。
题：画出方波（例7）傅里叶级数 N = 3、15、101 项的部分和，观察 Gibbs 现象并算出过冲极限。
解析账：首峰出现在 x ≈ π/(2N)（高频项同相鼓掌处），峰高极限 (2/π)Si(π) = 1.178980。普适性：换任何跳变函数，过冲与跳变之比恒为 8.949%——这是 Dirichlet 核的结构常数，不是方波的私产。
题：细杆 0 < x < π 两端保持 0 度，初始温度 u(x, 0) = x，热扩散率 κ = 0.1。求温度分布 u(x, t) 并分析长时间行为。
解：分离变量 u = X(x)T(t)：T′/κT = X″/X = −λ，边界 X(0) = X(π) = 0 强制 λ = n2、X = sin(nx)（正弦基登场的物理原因）。初始条件用例8 的正弦展开（bn 已算好）：
u(x, t) = ∑ bn sin(nx)·e^(−n2κt)，bn = (2/π)[(−1)n+1π2/n + 2((−1)n−1)/n3]。
数值抽查（预演算，300 项）：u(π/2, 0.5) = 1.570794 ≈ π/2（对称点温度几乎没降）；t = 2 时首项 2e^(−0.2π2) = 0.277822 主导全场，n ≥ 2 的模已被 e^(−4n2κt) 冻死（首项的 e−16 分之一量级）。
长时间渐近：u(x, t) ≈ b1 sin x·e^(−κπ2t) → 0——整根杆最终冷却到边界温度 0，且形状退化为单一正弦拱。冷却时间尺度 τ = 1/(κπ2)：杆长翻倍（π → 2π），冷却放慢 4 倍——频率平方定律的物理后果。
题：求 S = ∑n=1∞ (−1)n+1/n2。
解（傅里叶求和机）：例8 的孪生题——x2 的余弦展开（偶延拓，无跳变、收敛快）：
x2 = π2/3 + 4∑(−1)ncos(nx)/n2（x ∈ [−π, π]，推导：a0 = 2π2/3，an = (2/π)∫0π x2cos(nx)dx = 4(−1)n/n2，分部两次）。
代入 x = 0（cos 0 = 1）：0 = π2/3 + 4∑(−1)n/n2，移项得 S = π2/12 = 0.822467（预演算 20 万项 = 0.8224670334 咬合）。代入 x = π（cos nπ = (−1)n）：π2 = π2/3 + 4∑1/n2 ⇒ ∑1/n2 = π2/6——一个展开，两笔账。
对照幂级数路线：第四章解 Basel 用 ex 或 arctan 需要更多周转；傅里叶版本只要「找准系数为 (−1)n/n2 的函数」一步。见和思函数：由 1/n2 想二阶导、由 (−1)n 想端点——配方逆向工程。
6.1 求 ∑(−1)nxn/n 的收敛半径与收敛域。
R = lim n/(n+1) = 1。端点 x = 1 交错收敛于 ln 2、x = −1 退化为负调和级数发散——域 (−1, 1]。预演算：20 万项 = 0.693145 vs ln 2 = 0.693147。
6.2 求 ∑(2n + 3n)xn 的收敛域。
an/an+1 → 1/3（大数 3n 主导），R = 3。端点 x = ±3：通项 (2n+3n)·3n = 6n + 9n → ∞，不趋零，两端发散，域 (−3, 3)。教训：系数的主部决定半径，端点审判看通项本身。
6.3 求 ∑n2xn/2n 的收敛域。
R = 2；端点通项 n2(±1)n 不趋零，两端发散，域 (−2, 2)。再顺手收账：∑n2/2n = 6（例2 的 x = 1/2 账本：x(1+x)/(1−x)3 在 x = 0.5 = 6 整）。
6.4 幂级数 ∑anxn 在 x = 2 条件收敛，问 ∑an(−3)n 的敛散？
条件收敛点必在端点上 ⇒ R = 2。x = −3 超出 |x| < R ⇒ 发散。阿贝尔型结构题：条件收敛只可能出现在边界，区间内一律绝对收敛。
6.5 求 ∑x4n+1/(4n+1)（n ≥ 0）的和函数。
这是 1/(1−x4) = ∑x4n 的逐项积分：和 = ∫0x dt/(1−t4)。部分分式 1/(1−t4) = ½[1/(1−t2) + 1/(1+t2)] 再积，得 ½arctanh x + ½arctan x（|x| < 1）。「积分白送 1/n 因子」的实战。
6.6 求 ∑n(n+1)xn 的和函数，并算 ∑n(n+1)/3n。
∑xn 求导两次：∑n(n−1)xn−2 = 2/(1−x)3 ⇒ ∑n(n+1)xn = 2x/(1−x)3 + ∑2nxn。合并：n(n+1) = n(n−1) + 2n，得和 = 2x/(1−x)3 + 2x/(1−x)2 = 2x(2−x)/(1−x)3。x = 1/3：2·(1/3)·(5/3)/(8/27) = 15/4。数项级数从此是和函数的取值。
6.7 求 ∑(−1)nx2n/(2n)! 的和函数。
认亲：cos x = ∑(−1)nx2n/(2n)!——和就是 cos x（代换练习：变量 x2 嵌在偶次位上）。进一步 ∑(−1)nx2n/(2n)!·(2n+1)? 不必——本题核心是「认出库存」，别见到阶乘就求导。
6.8 证明：∑xn/n! 逐项求导后不变（还是自己）。
∑nxn−1/n! = ∑xn−1/(n−1)! = ∑xm/m! = 原级数。微分方程 y′ = y、y(0) = 1 的解就此获得幂级数身份——ex 是「导数不动」的函数，唯一性定理担保它就是 ex（解的存在唯一）。
6.9 把 ln(1+x)/(1+x) 展开到 x3。
Cauchy 乘积：ln(1+x)·1/(1+x) = (x − x2/2 + x3/3)(1 − x + x2 − x3) = x − 3x2/2 + 11x3/6 + ⋯（系数 = 卷积）。或用已知展开相除等间接法亦可。乘积法最直接，系数对得上即可。
6.10 把 (1+x)ex 展开成幂级数。
卷积：ex 系数 1/n! 加一位错位——(1+x)ex = ∑(1/n! + 1/(n−1)!)xn = ∑(n+1)xn/n!（n 从 0）。验：n=1 系数 2 ✓。亦可微分观察：[(1+x)ex]′ = (2+x)ex，递推定系数。
6.11 把 cos2x 展开成幂级数（写出前四项）。
降幂：cos2x = (1 + cos 2x)/2 = 1 + ½∑(−1)n(2x)2n/(2n)! = 1 − x2 + x4/3 − 2x6/45 + ⋯。间接法完胜：直接求导 f(6)(0) 会算到怀疑人生。
6.12 f(x) = e^(−1/x2)（x≠0，f(0)=0）。求 f 的 Taylor 级数并判断它是否等于 f。
一切阶导数在 0 处为零（归纳 + 夹逼），Taylor 级数 ≡ 0 ≠ f——「身份证全零的幽灵」（§6.6）。预演算背书：f(0.1) = 3.72×10−44，任何多项式近旁都压不住这个「平坦」。
6.13 用展开求极限 limx→0 (x − sin x)/x3。
sin x = x − x3/6 + O(x5) ⇒ 分子 = x3/6 + O(x5) ⇒ 极限 = 1/6。Taylor 展开是求极限的「热兵器」：一次展开看清全部阶次。
6.14 计算 ∑(−1)n−1/(n·3n)（精确值）。
ln(1+x) 在 x = 1/3：ln(4/3) = 0.287682（预演算 30 项咬合 10−10）。见 ∑(−1)n−1/n·tn 就想 ln(1+t)。
6.15 计算 ∑(−1)n−1/(n2·2n)（保留思路即可）。
对应 ∫01/2 ln(1+x)/x dx = 0.448414207（预演算双路验证：级数与数值积分 10−9 咬合）。没有初等闭式时，「积分本身」就是它的名字——这也是一种精确。
6.16 用 Machin 思想设计一个收敛更快的 π 级数：π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)，验证之。
tan(A+B) = (1/2+1/3)/(1−1/6) = 1 ✓。arctan(1/2) 级数每项按 1/4 几何衰减，远快于 1/N：预演算对照组——Machin 公式 12 项达 10−10，莱布尼茨 2×106 项才 10−7。选对 arctan 拆分是「代码级」加速。
6.17 求 f(x) = x + x2（−π < x < π）的傅里叶系数 a1、b1。
线性拆分：x 贡献 b1 = 2；x2 贡献 a1 = −4（由例12：an = 4(−1)n/n2）。合：a1 = −4，b1 = 2。傅里叶运算是线性投影，叠加函数逐项投影再相加。
6.18 求 f(x) = |x| 在 (−π, π) 的傅里叶级数。
偶函数 ⇒ 纯余弦。a0/2 = π/2；an = (2/π)∫0π x cos(nx)dx = 2((−1)n−1)/(πn2)——奇次 −4/(πn2)、偶次 0：|x| = π/2 − (4/π)∑cos((2k+1)x)/(2k+1)2。连续但尖角的函数：系数 1/n2（比跳变的 1/n 快一档）——「尖角」介于光滑与跳变之间。
6.19 证明：f 的傅里叶系数满足 |an| ≤ (2/π)∫0π|f|dx（正弦版类似）。
|an| ≤ (1/π)∫|f||cos nx|dx ≤ (1/π)∫|f|dx。系数一致有界——不管 n 多大，「投影读数」都压在 f 的平均振幅之下。这是 Riemann–Lebesgue 引理（系数 → 0）的粗糙版。
6.20 f(x) = cos2x 展开成傅里叶级数。
降幂：cos2x = (1 + cos 2x)/2——只有三项：a0/2 = 1/2、a2 = 1/2，其余全零。频率折叠的极简示范：乘积 cos x·cos x 的频谱 = 直流 + 二倍频（和频差频）。
6.21 f(x) = x2（−π ≤ x ≤ π，f(±π) = π2）周期延拓。级数在 x = π 处收敛到几？
延拓后左极限 π2、右极限 π2（两侧都是 π2？x2 在 ±π 同值）——没有跳变！级数收敛到 π2。核验：例12 展开在 x = π：π2/3 + 4∑(−1)n(−1)n/n2 = π2/3 + 4·π2/6 = π2 ✓。
6.22 f(x) = x3（−π < x < π）的傅里叶级数在 x = π 收敛到几？
延拓在 ±π 处左极限 π3、右极限 −π3 ⇒ 落点 = 0。x3 是奇函数，级数纯 sin，sin(nπ) = 0 恒成立——级数在端点自动收敛到 0，无需计算。奇函数在端点必取平均 0。
6.23 判断：傅里叶级数在连续点一定收敛到 f(x) 吗？
在分段光滑前提下是（Dirichlet 定理）；只有连续而不分段光滑的病态函数（如 Weierstrass 型）可让傅里叶级数在连续点 diverge——定理的前提别丢。光滑度换收敛性，是傅里叶世界的汇率。
6.24 方波级数 (4/π)∑sin((2k+1)x)/(2k+1) 在 x = π/4 处取多少？算出精确值。
x = π/4 连续点 ⇒ 收敛到方波值 1。精确验算：sin((2k+1)π/4) 按 ±√2/2 与 0 交替，级数重组后 = (4/π)(√2/2)∑… 的交错和——收敛到 1（预演算 10 万项 = 1.000002）。Dirichlet 定理给了「不用逐项算」的特权。
6.25 把 f(x) = 1（0 < x < π）展开成正弦级数。
bn = (2/π)∫0π sin(nx)dx = 2(1 − (−1)n)/(nπ)——奇次 4/(nπ)、偶次 0：1 = (4/π)[sin x + sin 3x/3 + ⋯]（方波级数的「倒读」）。常数 1 的正弦身份证竟有无穷多行——基变了，身份证重写。
6.26 把 f(x) = π − x（0 < x < π）展开成余弦级数。
a0/2 = π/2；an = (2/π)∫0π (π−x)cos(nx)dx = 2(1 − (−1)n)/(πn2)——奇次 4/(πn2)、偶次 0：π − x = π/2 + (4/π)∑cos((2k+1)x)/(2k+1)2。验算 x = 0：右端 = π/2 + (4/π)·(π2/8) = π ✓（奇次倒数平方和 π2/8 走账）。与 |x| 的展开（6.18）只差一个镜像——平移折返的同胞兄弟。
6.27 f(x) = x（0 < x < π）：比较它的正弦展开与余弦展开在 x = π 处的行为。
正弦版（奇延拓）在 π 处跳变，落点 0，Gibbs 尖角驻守；余弦版（偶延拓）在 π 处连续（−x 与 x 相接成 V），收敛到 π 无跳变——延拓方式决定端点命运（预演算：正弦版 20 万项在 x → π− 给 3.0777 → 0）。
6.28 把 f(x) = ex（0 < x < π）展开成余弦级数（写出 an 通项）。
an = (2/π)∫0π excos(nx)dx。两次分部解出 I = ∫excos(nx)dx = [ex(cos nx + n sin nx)/(1+n2)]0π = ((−1)neπ − 1)/(1+n2)。系数按 1/n 衰减——ex 的偶延拓在 π 处有跳变（eπ vs e−π? 延拓值 eπ 两侧不对称），「指数函数也逃不过跳变税」。
6.29 用 f = |x| 的 Parseval 等式求 ∑1/(2k+1)4。
能量账：(1/π)∫−ππ x2dx = 2π2/3 = a02/2 + ∑an2 = π2/2 + 16/π2·∑奇1/n4 ⇒ ∑奇 1/n4 = π4/96。全和 = 奇 + 偶：π4/90 = π4/96 + (1/16)∑1/n4。自洽校验：π4/90 − π4/96 = π4/1440 = (1/16)π4/90 ✓（偶次 = 全和的 1/16）。
6.30 求 ∑(−1)n+1sin(nx)/n 在 x = π/2 处的值（不用逐项求和）。
这是 f = x 的展开在 x = π/2（连续点）取值：π/2。级数 = 2(1 − 1/3 + 1/5 − ⋯) = 2·(π/4) = π/2 ✓（莱布尼茨现身）。Dirichlet 定理把「数项级数求和」变成「读函数值」。
6.31 证明：∫0∞ sin x/x dx = π/2 的「傅里叶幽灵」——解释它与 Gibbs 常数的血缘。
Si(π) = 1.851937 是 Dirichlet 核的积分极限；方波首峰 (2/π)Si(π) = 1.178980、过冲 8.949% 全部由这个积分定价。sin x/x 是「跳变与振荡」之间的汇率牌——傅里叶分析的镇宅之宝。
6.32 由 x2 的展开求 ∑(−1)n+1/n2 与 ∑1/n2 之和的结构关系。
交错和 = π2/12（x = 0 代入）、全和 = π2/6（x = π 代入）⇒ 结构：交错和 = 全和 − 2×偶次 = S全 − 2·(1/4)S全 = ½S全 = π2/12 ✓（偶次和 = (1/4)S全 = π2/24）；连带奇次项和 = S全 − 偶次 = 3S全/4 = π2/8。交错和 = 全和之半，奇次和 = 全和的四分之三——结构比数值更值得记。
6.33 细杆（0, π）两端零温、初始温度 f(x) = 1。写级数解并求 t → ∞ 行为。
u = ∑bn sin(nx)e^(−n2κt)，bn = 4/((2k+1)π)（6.25）：u = (4/π)∑sin((2k+1)x)e^(−(2k+1)2κt)/(2k+1)。t → ∞ 全体模衰减 → 0，退化为首模 sin x·(4/π)e^(−κπ2t) 拱形。
6.34 上题中杆长从 π 加倍到 2π，冷却变慢几倍？
时间尺度 τ = L2/(κπ2)（基频 nπ/L）⇒ L 翻倍 τ 翻 4 倍。平方律：高 2 倍的楼凉 4 倍慢——频率平方定律的工程直觉。
6.35 初始温度 f(x) = sin x 的细杆解是什么？
f 本身就是基模！b1 = 1 其余 0：u(x,t) = sin x·e−κt——形状永不变形，只按 e−κt 统一降温。这是热方程的「本征模」：让初始形状恰落在单个正弦上，演化就是纯指数衰减。预演算抽查：u(π/2, 0.5)（κ=0.1）= e−0.05 = 0.951229。
6.36 把波动方程 u_tt = a2u_xx 的分离变量解写出来，对比热方程差在哪。
u = ∑(Ancos nat + Bnsin nat)sin(nx)：时间因子从指数衰减 e^(−n2κt) 换成无阻尼振荡 cos/sin(nat)——热会忘，波会传。同一套正弦空间基，时间演化换了剧本；下册数理方程将正式开演。
6.37 计算方波级数 N = 15 项部分和在 x = π/(2·15) 处的值，与 Gibbs 极限比差多少。
预演算口径：S15 首峰 ≈ 1.1789（图中金线峰）vs 极限 1.178980——差距已在 10−4 量级！过冲收敛极快，N = 25 就咬到 1.179113。「高度不变、位置收窄」，数值上早早定型。
6.38 锯齿波（f = x）的 Gibbs 过冲是多少？跳变高度 2π。
过冲 = 跳变 × 8.949% = 2π × 0.08949 ≈ 0.5624（在 π 附近峰高约 3.704）。SAW29 数据印证：x → π− 端点附近部分和冲到 45.3 映射值 ≈ 3.49（30 项尚未到顶）——普适比例的又一次现身。
6.39 为什么 JPEG 压缩图片的边缘会出现「振铃」？用本章语言解释。
JPEG 按 8×8 块做离散余弦变换，只保留低频系数；块边界处的跳变被截断的谐波重建，Gibbs 过冲沿边缘冒出波纹——8.949% 的普适幽灵在压缩文件里现形。章末札记②有完整故事。
6.40 编程实验预告：取方波 N = 5, 11, 51, 201 各画一条部分和曲线并标注峰值位置。
峰值应出现在 x = π/(2N)（越来越靠近跳变点），高度全部 → 1.178980。综合站「实验」页给出可交互版本——亲手拨 N 滑块，看过冲「变窄不变矮」。
6.41 求 ∑(n2 + n)/2n。
拆账：∑n2/2n = 6、∑n/2n = 2（例2）⇒ 合计 8。数项级数求和的两本账本（n 倍、n2 倍几何级数）随取随用。
6.42 求 limn→∞ ∫01 (1 − x2)n dx（夹逼 + Laplace 峰端分析）。
峰集中在 x ≈ 0 宽度 1/√n：换元 t = x√n，积分 ≈ (1/√n)∫0∞ e^(−t2)dt = √π/(2√n) → 0。极限与积分交换的「峰端分析」是第五章一致收敛的实战版。
6.43 判断：∑(−1)nxn/n2 的和函数在 x = ±1 处是否二阶可导？
S(x) 二阶导级数 ∑(−1)n 在端点发散——端点是求导法外之地（第五章铁律重演）。但 S 在 [−1,1] 连续（系数 1/n2 太乖，一致收敛）。半径内三条交换次序的法律，端点永远是特审区。
6.44 综合论证：从「f = x 的傅里叶展开」出发，一条线串起 ln 2、π2/6、π2/12 三个数。
x = 1 代入? 不行——f = x 展开在 x = 1 处给 sin 值和（不是 ln 2）。正确路线：交错调和 ∑(−1)n+1/n = ln 2 是幂级数（ln(1+x) 端点）账；π2/6 与 π2/12 是傅里叶（Parseval 与 x = 0 代值）账——幂级数管对数账、傅里叶管平方账，两套机器各管一摊，串珠成链。
错题归档（高频事故现场）
① 端点未过堂：求出 R 就宣布收敛域——xn/n 型在 ±1 的两种命运（ln 2 与发散）被打脸两次以上。处方：半径之后必有端点审判，一格都不能省。
② 把 Taylor 级数当成函数本人：e^(−1/x2) 证明「有级数 ≠ 等于级数」。处方：写「=」之前问一句解析性；光滑不等于解析。
③ 间断点想当然：以为级数收敛到 f(间断点) 本身——Dirichlet 的「左右平均」条款被无视。处方：凡跳变处，先算 (f(x−)+f(x+))/2。
④ 延拓方式与边界打架：端点固定问题错用余弦基。处方：物理边界条件先翻译成「sin 基还是 cos 基」，再动手。
三问自测（合上书作答）
一问：幂级数逐项求导后收敛半径与端点性质怎么变？——半径不变；端点性质可能变（求导变差、积分变好），需重审。
二问：Dirichlet 定理承诺了什么、没承诺什么？——承诺逐点收敛（跳变处取平均）与（分段光滑下的）按能量收敛；不承诺一致收敛，Gibbs 过冲就是没承诺的代价。
三问：Parseval 等式的左右两边各是什么？为什么它比逐点收敛更「皮实」？——能量恒等式；它不关心逐点行为，跳变、过冲都破坏不了能量账本。
1768 年，约瑟夫·傅里叶生于法国欧塞尔，九岁成了孤儿，在教会学校长大。他差点成为神职人员，却被数学抢了去——大革命后他在师范学校任教，随拿破仑远征埃及，回来后当上伊泽尔省省长，白天治理阿尔卑斯山区的行政，夜里研究一个「不体面」的问题：热如何在一根杆里流动。
1807 年他向巴黎科学院提交论文，抛出惊世骇俗的断言：任意函数都能表示成三角级数。审稿人拉格朗日、拉普拉斯、蒙日当场哗然——弦振动研究七十年，都默认「能展开的只有足够光滑的函数」。拉格朗日力拒此文，论文未能发表。傅里叶不争辩，转身写书：1822 年《热的解析理论》出版，把级数、积分与物理直觉熔成一炉，成为数学物理的开山之作。
平反用了将近二十年：Dirichlet（1829）给出收敛定理的严格条件，把「任意函数」修准为「分段光滑函数」；Parseval 早在 1799 年已写下能量恒等式的雏形，后来成为傅里叶分析的第二基石。傅里叶本人终生相信更激进的版本——今天我们把他的思想推广到广义函数（分布），连「函数」都不要了，他是对的，只是超前了一百年。
傅里叶死于 1830 年（心脏病），墓碑在拉雪兹公墓的斜坡上。他留下一句配得上本章的话：「对自然的深入研究，是数学发现最富饶的源泉。」热传导方程、三角级数、量纲思想——他把一个供暖问题做成了通用语言，让两个世纪后的工程师、医生与音乐流媒体共享同一套正弦字典。
本章两条路线在计算机时代合流成一个动词：变换。幂级数把函数变成系数列（导数记账），傅里叶把信号变成频谱列（频率记账）——两者都是「换一套基读坐标」。数字化浪潮把后者的连续积分改成离散求和，DFT 登场：N 个样本进、N 个频谱出，矩阵乘法而已。
问题在算力：N 点 DFT 直接算是 N2 次乘法，N = 106 就是万亿次。1965 年 Cooley 与 Tukey 发表的 FFT 算法（其思想可追溯到高斯 1805 年未发表的手稿——他为处理小行星观测数据而写下）用「奇偶分组、递归分治」把复杂度砍到 N log N：快五万倍。一夜之间，频谱分析从机房奢侈品变成手机里的日常运算。
现代接口清单：JPEG 压缩（DCT＝余弦版 DFT，低频保留高频丢弃——Parseval 说丢的是次要能量，Gibbs 说边缘会振铃）；MP3（心理声学 + MDCT，把人耳听不见的频段整段丢弃）；Wi-Fi/5G（OFDM 调制＝每秒百万次 FFT）；MRI（磁共振原始数据就在频域，重建＝一次逆 FFT）；声音识别、天文干涉、引力波滤波……傅里叶 1822 年的那句话应验成了基础设施。
离散与连续的握手协议：采样定理（Nyquist–Shannon）说，连续信号只要最高频率有限，就能被足够密的采样完全记录——离散频谱是连续傅里叶的忠实代理人；采样不足时高频「冒充」低频（混叠），恰是 Gibbs 家族的另一位亲戚。幂级数这边也没闲着：数值计算的 every exp/log/sin 调用，底层都是多项式逼近在跑。两条路线，一个时代。
| 问题 | 幂级数工具 | 傅里叶工具 |
|---|---|---|
| 求收敛范围 | 比值/根值定 R，端点逐个审判 | 全轴收敛（周期延拓后） |
| 求系数 | 导数拷问 / 间接变形（库存+四艺） | 投影积分 / 奇偶延拓选基 |
| 求和函数 | 逐项微积分解方程 | Dirichlet 读值 / Parseval 侧账 |
| 数项级数求和 | 特殊点代值（arctan 1 = π/4） | 特殊点代值 + 能量账（π2/6、π4/90） |
| 应用 | 极限、近似计算、微分方程 | 热传导、信号频谱、压缩 |
思想卡：复杂不是敌人，没有合适的基才是。幂级数选多项式当基——多项式是唯一能被人类「一眼读完」的函数，代价是只覆盖解析函数；傅里叶选正弦波当基——正弦是振动世界的母语，代价是系数只有代数收敛。两个体系共享一个三步曲：选基 → 投影拿系数 → 用守恒律（唯一性/能量）验明正身。这个三步曲将在下册换成多元函数的基继续上演，在量子力学里变成「态矢在正交归一基上的展开」，在线性代数里就是坐标分解本身。
反向思考：展开也是约束——一旦选定基，「函数」就变成了「系数列」，微积分运算（求导、卷积、微分方程）变成系数列上的代数运算。把分析问题代数化，正是「展开」的元价值：泰勒把微分变成移位，傅里叶把微分方程变成乘法。**遇到难算的运算，换基让它变乘法**——这是傅里叶方法的全部秘密，也是信号处理的招聘广告。
定理（Abel，1826）：设幂级数 ∑anxn 在 x = R 处收敛，则和函数 S(x) 在 [0, R] 上连续，特别地 limx→R− S(x) = ∑anRn。端点收敛 ⇒ 从区间内逼近端点时极限就是端点和。
这不是显然的：一致收敛只在 |x| < r < R 内有保障，端点附近无 M-闸庇护。Abel 的妙证用「平均化」技巧：∑anRnxn 与 ∑anRn 的差被 (1−x) 的幂一致压住——一个跨越到端点的软着陆。
实战（莱布尼茨级数的合法性）：arctan x = ∑(−1)nx2n+1/(2n+1) 只在 |x| < 1 内逐项积分得到；端点 x = 1 的交错级数收敛。Abel 定理盖章：limx→1− arctan x = arctan 1 = π/4 = ∑(−1)n/(2n+1)——例4 里「白嫖」的端点等式至此有了法律文书。
数值观察（预演算）：S(x) = ∑(−1)n+1xn/n 在 x = 0.9、0.99、0.999 处与 ln 2 的差 = 5.13×10−2、5.01×10−3、5.00×10−4——误差 ∝ (1−x)，缓慢爬向零；Abel 说它必达，但爬得有多慢、路上多颠簸，定理不管（Tauber 定理补了反方向的定量条款）。
问题：数列 {nα mod 1}（α 无理）的分数部分在 [0, 1) 里怎么分布？直觉说「均匀撒」；Weyl 判据（1916）把它变成定理：{nα} 在 [0,1) 等分布 ⟺ 对每个非零整数 k，(1/N)∑e2πiknα → 0——检验等分布，居然是算 Fourier 系数！
这正是本章语言的胜利：「等分布」这个统计陈述，等价于「所有非零频率的傅里叶系数都熄火」。频率语言不只描述波形，还能审判随机性。
把本章最直观的现象亲手拨一遍。在可交互版本（网页工坊）里，将得到一条方波、一个项数滑块 N ∈ [1, 501] 与峰值读数表；这里给出实验设计与预期读数。
实验设计
① 取方波级数 S_N(x) = (4/π)∑k=1N sin((2k−1)x)/(2k−1)，扫描 x ∈ (0, π) 画曲线；
② 记录首峰位置与高度：预期 x ≈ π/(2N)（随 N 向 0 移动），高度 → 1.178980（不动）；
③ 记录间断点 x = 0 处的值：恒为 0（左右平均）；
④ 计算均方误差 E(N) = (1/π)∫(f − S_N)2dx：由 Parseval，E(N) = (16/π2)∑n>N, n odd1/n2 ≈ 8/(π2N)——按 1/N 衰减（Parseval 的定量版）。
| N | 首峰位置（理论） | 首峰高度（预演算） | 均方误差（渐近） |
|---|---|---|---|
| 5 | x ≈ 0.3142 | ≈ 1.1788 | ≈ 0.162 |
| 15 | x ≈ 0.1047 | 1.17899 | ≈ 0.054 |
| 51 | x ≈ 0.0308 | 1.17898 | ≈ 0.016 |
| 201 | x ≈ 0.0078 | 1.17898 | ≈ 0.004 |
A1 求收敛域：∑xn/n2；∑(−1)nxn/2n。
前者 R = 1，两端点交错/正项皆收敛 → [−1, 1]；后者 R = 2，端点通项 (±1)n 不趋零 → (−2, 2)。
A2 把 f(x) = x·e−x 展开成幂级数（写出通项与收敛域）。
e−x = ∑(−1)nxn/n! 乘 x：∑(−1)nxn+1/n!，R = ∞。间接法一行，导数拷问一辈子。
A3 求 ∑(−1)n+1/n3（数值到 3 位）并说明方法边界。
交错级数和 ≈ 0.9015（η(3) = (1 − 2−2)ζ(3)，ζ(3) ≈ 1.202057）。方法边界：它没有已知的初等闭式——傅里叶机器对奇次立方也无现成账本，这正是阿佩里定理（ζ(3) 无理性，1978）的名场面背景。
A4 f(x) = cos x（−π < x < π）的傅里叶级数是什么？一句话说明。
就是 cos x 自己（只有 a1 = 1）——正弦基下的「不动点」。展开的唯一性定理反向应用：系数匹配则函数同一。
A5 方波 Gibbs 过冲为什么「能量归零而高度不降」？两句话作答。
过冲宽度 ∝ 1/N、高度恒定 ⇒ 能量 ∝ 宽度 × 高度2 ∝ 1/N → 0（Parseval 视角）；但逐点高度是 Dirichlet 核的结构常数 8.949%，与 N 无关。两本账各记各的，互不打架。
评讲·中册收官：六章行程——数系的构造（ℚ 的稠密）、极限的诞生（ε-δ）、连续与导数（微分中三定理）、积分与反常积分（Newton–Leibniz 与收敛审判）、一致收敛（交换次序的法律）、两套展开（多项式语与正弦波语）。中册《商功与累加》至此合卷：一元分析的骨架、肌肉与神经全部就位。下册《方田》卷启程——多元函数的偏导与梯度、重积分与曲线曲面积分，同一套 ε 语言，换一个更辽阔的战场。诸君，下册见。