数学分析（下）· 方田与盈不足

本书怎么读：一章一个节奏

全书按「章」前进，一章 50 页。每章的节奏是：第 1 页导引（这个问题在人类文明里是怎么长出来的，本章路线），随后 18 页讲义（定义、定理与方法一条一条立起来，含历史注与现代接口旁注），12 页例题（带完整解答与逐步演算），12 页习题（由浅入深，末页复盘归档），2 页格物札记——一章一思：一页回到《九章算术》的对照传统，一页接通现代数学；末 6 页为综合站（章小结 · 思想卡 · 挑战一 · 挑战二 · 实验 · 章测试与评讲）。

本册三条线索，贯穿每一章：

① 明线——盈不足与逼近。从《九章算术》盈不足术、刘徽割圆注起手，把「以已知的离散，逼近未知的连续」这门古老手艺，一步步提升为极限、连续、导数与积分的语言。凡标〔盈不足〕处，都是这条线索的接续点。

② 现代接口——微积分的现代形态。每章札记与综合站把本章内容与现代数学对齐：实数完备性的等价命题群、可微性的现代表达（方向导数与 Fréchet 导数）、最优化与凸分析、拓扑连续、计算机代数与数值分析。理论在这里长出今天的枝叶。

③ 离散 ⇄ 连续接口——两个世界的握手。盈不足术是线性插值、开方术是不动点迭代、差分是导数的离散影子、梯形法是积分的离散影子。凡标〔离散〕处，都把连续命题翻译成可计算的离散版本，再翻译回来。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12；极限的展示型写法是 limn→∞；微分号 d 与常数 π, e 用正体，变量用斜体 x, y, f；积分号 ∫；集合与数系符号 ∈ ⊂ ∪ ∩ ∅，ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ；向量用粗斜体 a；等价 ≅、蕴含 ⟹、当且仅当 ⟺、任意 ∀、存在 ∃。中括号写成 ［　］。凡方法步骤，一律配图，一步一图。

绪论 从一到多：升维的数学0.1 从《九章》方田说起：量地之术遇上多维世界〔方田〕

两千年前的一间田官署里，一位啬夫正在丈量一块圭形（三角形）田。《九章算术》卷一开篇便是一笔这样的账：

代入即得：面积 = ½ × 12 × 21 = 126 平方步。《九章》的方田之术看似平淡，却立下了一件了不起的事：把一块二维的田，折算成一个数。折算的法门是「切」——沿平行于底的方向把圭田切成无穷多根细条，每根细条近似一个矩形：宽是「半广随从」的伸缩，高是 dx。切得越细，账越准。

本册把这道古题奉为开篇之题，因为「方田」两个字里藏着整个下册的态度：高维世界的量，都可以切成小片、逐片称量、再加总。一元的积分沿一条线段累加，下册的累加将铺开成片（二重积分）、填满成体（三重积分），还要爬上弯曲的线与面（曲线、曲面积分）。而支撑这一切的，是升维后的微分学与一套「交换的合法化」——这正是本册要在六章里立起的大厦。〔方田〕将作为章内接续点，随重积分一章归队。

绪论 从一到多：升维的数学0.2 升维意味着什么：一个变元变成一片原野

上册的主角 y = f(x) 是一条曲线：一个输入，一条输出，图像画在纸上就是一条线。下册把输入从一个放开到两个：z = f(x, y)，一个点对 (x, y) 对应一个高度 z——图像不再是线，而是一片曲面。地图从「一条路」变成了「一片原野」。

变元多了，自由度便以乘方速度生长：直线上只有一个方向可走，平面上有无穷多个方向可走。上册「沿数轴左右趋近」就够了，下册却要面对从四面八方逼近同一个点——「极限存在」的代价陡然上涨，这是升维带来的第一件新事。

还有一个容易被低估的新现象：鞍点。f(x, y) = x² − y² 在原点沿 x 方向看是谷底、沿 y 方向看却是峰顶——一元函数里「导数为零即候选极值」的直觉，在高维必须重新审视。变化的语言要升维，极限与极值的裁判规则也要升维。

绪论 从一到多：升维的数学0.3 下册的地图：多元微分、重积分与它们的桥头堡

下册六章，是一条「升维」主题的完整弧线，分三段行军：

第一段立地形（第一章）：给高维世界立坐标与地形图——平面点集、开闭与紧性、全面极限与累次极限的分野、高维的连续性。上册的 ε-δ 在这里接受一次全面的扩建。

第二段造微分（第二、三章）：偏导数、全微分、链式法则、梯度与 Hessian——一元微分学的全套直觉升维重铸；第三章的隐函数定理是承重墙：方程 F(x, y, z) = 0 里藏着的函数何时存在、如何求导，Lagrange 乘数法是它最漂亮的应用。

第三段收积分（第四、五、六章）：第四章把方田之术推向高维——重积分（累次积分、极坐标与球坐标、质心与惯量）；第五章把「田」铺上弯曲的线与面——曲线与曲面积分，格林、高斯、斯托克斯三大公式合奏「边界＝内部」；第六章让积分里住进参数——含参量积分，Feynman 技巧与 Γ·Β 函数收官全书。

三段之间的两次换挡，各有一座桥头堡：Schwarz 定理（混合偏导与次序无关）撑起微分学的合法性，雅可比矩阵撑起换元与隐函数的账法，一致收敛在第六章再度出山，为「积分号下求导」放行。把这三座桥头堡守住，下册的路就平了。

绪论 从一到多：升维的数学0.4 高维的账法：偏导、累加与交换的合法化

升维不是简单的复制粘贴，账法要换新。下册的三本新账，先在此预演：

第一本：偏导与全微分。多元函数的变化率不再是一个数，而是一族数：固定 y 只动 x，得偏导 ∂f/∂x；固定 x 只动 y，得 ∂f/∂y。但「每个方向都有变化率」不等于「整体可近似」——可微性是一个独立的、更强的门槛，第二章将从反例讲起。

第二本：高维累加。中册在区间上累加，下册在平面区域与空间区域上累加。切割的方式从一种变成无穷多种，而好的累加必须与切法无关——这正是 Fubini 定理的许诺：矩形区域上连续函数的二重积分，先 x 后 y 与先 y 后 x 算出来相同。

第三本：交换的合法化。整个分析学反复出现同一个句式：「两个极限运算，能否交换次序？」累次极限对全面极限、积分对求导、级数求和对函数极限……每换一次都要验一次「合法证书」。下册的合法证书主要有两张：紧性＋连续（第一章）与一致收敛（第六章）。

三本账有一句共同的潜台词：高维世界的自由度暴涨，直觉的半衰期随之缩短。上册「画图看看就信了」的许多判断，在高维必须补足严格论证——这不是数学的挑剔，而是升维的学费。

绪论 从一到多：升维的数学0.5 重积分初谈：把方田切成方寸〔方田〕

第二章的微元法在曲线上切，第四章的微元法要在平面上切：把一块区域切成无穷多个无穷小的方格，每个方格上「高 × 底面积」近似一个小柱体，然后累加。用方田的语言预演一遍——给一块不规则田估产：

当然，真正的二重积分不会停留在「数格子」：累次积分把二重账拆成两次一元账，坐标变换（极坐标、球坐标）让圆域与球域说自己的母语，雅可比行列式负责记账时面积与体积的伸缩。这些工具都是第四章的主角，此处只求一个直觉：高维的累加，是方田之术的自然延伸，而非新发明。

绪论 从一到多：升维的数学0.6 在弯曲上做微积分：曲线与曲面预告

方田之术量的是平直的田。可世界不全是平的：绳子有质量却弯成曲线，风有流量却穿过曲面。第五章要把「田」的概念推广到弯曲的载体上：沿曲线称重（第一型曲线积分）、沿曲线做功（第二型曲线积分）、在曲面上称重（第一型曲面积分）、穿过曲面计流量（第二型曲面积分）。

载体一弯，微元就得跟着弯：曲线上的微元是「线密度 × 弧长 ds」，曲面上的微元是「面密度 × 面积微元 dS」。参数化是把弯的变成能算的桥梁——给曲线（曲面）装上坐标，微元就有了表达式。

把「边界＝内部」学透，第五章的三大公式就不再是三道需要背诵的咒语，而是同一思想的自然展开。这也是本册的态度：公式可以有多个，思想必须唯一。

绪论 从一到多：升维的数学0.7 历史一瞥：从方田到格林、高斯与斯托克斯

多元分析的大厦在十九世纪急速升起，但它的地基是东方的丈量术：

公元前一世纪，《九章》方田以「半广以乘正从」立起二维量地的范式，商功以「以积累城」立起三维量体的范式——切与累加的思想已然齐备。

十七世纪，牛顿与莱布尼茨的微积分把切线与面积接通，但只在一条数轴上。多变量的世界由 Euler 与 Clairaut 先行探路：偏导数在十八世纪三十年代已见于弦振动的研究。

十九世纪是大丰收：Green（1828）把闭曲线积分化为二重积分；Gauss 与 Ostrogradsky 给出三维的对应物；Stokes（1850）把它推广到空间曲面。Schwarz（1873）澄清混合偏导与次序无关的条件，Fubini（1907）为累次积分的交换颁发最终执照——交换的合法化大业至此功德圆满。

一条东方意象贯穿其中：下册的明线是「方田」——量地而及于量天；辅线是「盈不足」——假设、修正、收敛的迭代智慧（梯度下降、牛顿法、压缩映射都会请它出场）。「方田与盈不足」，就是下册的书名。

绪论 从一到多：升维的数学0.8 怎么读下册：节奏、工具与约定

下册承袭上、中两册体例，先复述再补新：

节奏：每章 50 页＝讲义×18（编号小节）→ 例题×12（每页一题一法）→ 习题×12（习题课十一讲＋复盘一页）→ 格物札记×2（东方源头＋现代接口）→ 综合站×6（小结、思想卡、挑战×2、实验、章测试）。全书六章，页号 pn 10 起连续编号至 309。

工具：与前两册同一套——验证器先行（每处数值先程序验算再落笔）、一步一图（关键概念配 SVG，图形内文字全部正体）、章内接续点〔方田〕〔盈不足〕标记《九章》源流。新工具两个：一是双视图——曲面配「立体图＋等值线俯视图」，二维账一图两读；二是雅可比记账法——凡坐标变换，先写雅可比行列式再动积分号，面积体积的伸缩从不悬空。

约定：偏导记号 ∂、二重积分号 ∬、三重积分号 ∭ 沿用全书排版标准（函数名正体、变量斜体）；「〔方田〕」标记面积-体积源流页，「〔盈不足〕」标记迭代-收敛页，「〔离散⇄连续〕」标记现代接口。定义框、定理框、警示框的用法与前两册一致。

准备好了，就翻页。第一章，升维启程。

第一章 多元函数的极限与连续1.1 导引：方田量地，今欲量天——从一元到多元〔方田〕

上册与中册的一切微积分，都发生在一条数轴上：函数 y = f(x) 的定义域是线段，极限是沿线的逼近，积分是沿线的累加。可《九章》方田章的啬夫早就知道：田是铺在平面上的——一块圭田的产量不只取决于「沿某个方向走了多远」，而取决于站在田里的哪个位置。位置 (x, y)，两个变元，这就是升维的起点。

本章路线图：点集地形（开、闭、区域，§1.2）→ 点列与聚点（§1.3–1.4）→ 紧性双璧（B–W 与 Heine–Borel，§1.5–1.6）→ 多元函数读图（§1.7）→ 全面极限与路径反证（§1.8–1.9）→ 累次极限与裁决表（§1.10–1.11）→ 连续性（§1.12–1.13）→ 闭区域上的大定理（§1.14–1.15）→ 向量值函数（§1.16）→ 现代接口（§1.17）。〔方田〕的账本，从此记在高维。

第一章 多元函数的极限与连续1.2 平面点集：邻域、开集、闭集与区域

高维的地形图，从「点的周围」画起。

三个速判例子：开圆盘 {x² + y² < 1} 是开区域（边界圆周不属于它）；闭圆盘 {x² + y² ≤ 1} 是闭区域；半开半闭的 {x² + y² < 1} ∪ {(1, 0)} 既非开亦非闭——那个孤立的点 (1, 0) 不是内点，而集的聚点 (1, 0)（圆周上其余点也都是聚点）未被收全。

为什么开篇先学点集？因为「极限」「连续」的 ε-δ 定义里，到处是邻域的身影；而「有界闭区域」（紧区域）更是 §1.14 三大定理的舞台——先认地形，再谈定理。

第一章 多元函数的极限与连续1.3 距离与点列收敛：R² 中的 ε-δ

上册的数列收敛说的是「|a_n − a| < ε」；把绝对值换成两点距离，定义原样升维：

这条小定理是高维世界的第一座桥：凡是点列的问题，都能拆成两条一元数列的问题。用它验一列：

（数值已程序验算。）两个坐标分别收敛于 1 与 0，距离收敛于 0——P_n → (1, 0)，与定理逐字相符。

注意距离的「方圆等价」：定义里用圆邻域，其实方邻域 max(|x_n−x₀|, |y_n−y₀|) < ε 给出同一个收敛概念——两种度量只差常数倍，ε-δ 的语言不在乎这笔汇率。这份宽容后面还会反复兑现。

第一章 多元函数的极限与连续1.4 聚点、内点与边界：一张地形的解剖图

内点与边界点（§1.2）描述「点与集的位置关系」；聚点则描述「集在点附近挤得有多密」——它是极限概念在集合层面的化身。

聚点与点列由 Bolzano–Weierstrass 定理（§1.5 主角）打通；这里先看它如何工作。集合 E = {(1/n, 1/n) : n ∈ ℕ⁺} ∪ {(0, 0)}：除原点外每个点都是孤点（附近只有它自己），唯一的聚点是 (0, 0)——虽然点列 (1/n, 1/n) 的每一项都不是原点，却义无反顾地奔向它。

还有一件高维的新鲜事值得点破：一元区间有「天然顺序」帮忙（单调有界必收敛）；R² 里没有顺序了，单调性兵器全部报废。高维的收敛证明必须另高明——请柬发给了下一节的网格抽屉。

第一章 多元函数的极限与连续1.5 紧性（一）：Bolzano–Weierstrass 定理

没有单调性，怎么从有界点列里捞出收敛子列？答案是抽屉原理的两轮连用。

证明的骨架值得裱起来挂墙上：高维的困难，逐坐标拆解后仍是上册的老兵器——抽屉原理在 x 方向用一次、y 方向再用一次，两轮之后高维屈服。几何图像：把有界区域切成四块，总有一块含无穷多个点；再切四块……每切一轮，「点群」被逼进一半边长的方格，方格套方格，套出一串同心的小方格，它们共同收缩到一个点——子列就收敛到那里。

立刻得到集合版：有界无穷点集必有聚点（在聚点附近取一列越靠越近的点，用点列版收网）。这条「拥挤必有归宿」的原理，是 §1.14 最值定理的全部燃料。

第一章 多元函数的极限与连续1.6 紧性（二）：Heine–Borel 定理与有界闭集

B–W 说「有界就能捞出收敛子列」，但它捞出的子列可能收敛到集外的点。把「有界」升级成「有界且闭」，漏洞就补上了：

「闭」补漏的威力，用反例看最清楚：开圆盘 E = {x² + y² < 1} 有界但不闭。点列 P_n = (1 − 1/n, 0) ∈ E，却收敛到 (1, 0) ∉ E——点列集体「出走」到边界，E 里连一个归宿都没有。紧性失效处，往往就是反例的产地：

「紧」=「有界＋闭」，这句口号与「连续＋紧 ⟹ 一致连续」（§1.15）、「连续＋紧 ⟹ 达到最值」（§1.14）捆在一起记——高维分析的三张王牌，全是这对组合打出的。

第一章 多元函数的极限与连续1.7 多元函数：定义域、等值线与曲面图像

地形认完，主角登场。

一元函数一张图（曲线）就够；二元函数要两张图对照读：① 立体曲面 z = f(x, y)——直观但难画准；② 等值线图——把曲面上高度为 c 的水平截线投影回 xy 平面，一族标着高度的「等高线」。地形图上读山，读的正是等值线：线密处坡陡，线疏处坡缓，闭圈处是峰或谷，自交处藏着鞍点。

读图两则速成：碗 z = x² + y² 沿任何方向离开原点都升高（原点是极小点）；马鞍 z = x² − y² 沿 x 轴方向爬升、沿 y 轴方向下坡（原点是鞍点：对每个方向各自看都像极值，合起来什么都不是）。鞍点是一元世界完全没有的物种，§2.16–2.17（多元极值）将给它正式立户。

第一章 多元函数的极限与连续1.8 二元函数的全面极限：ε-δ 的新难度

定义与一元几乎逐字相同，唯独「0 < |x − x₀| < δ」换成了「0 < |P − P₀| < δ」——去掉等号（不要求 P₀ 处的值）之外，要求对邻域内的一切点一视同仁。两个技术注释：

① 圆邻域可换方邻域：|x − x₀| < δ 且 |y − y₀| < δ（不必同时去掉等号细节）与圆版等价——又是「方圆汇率」；

② 「一切点」是要害：沿坐标轴、沿直线、沿曲线……每条路径都必须交出同一个 A。路径无穷多，验证穷不尽——所以「证明存在」靠夹逼与 ε-δ 直书，「证明不存在」反而有一件轻巧兵器：找两条答案不同的路径（§1.9）。

先立一个正面战例（下页继续反面的战场）：lim_{(x,y)→(0,0)} x²y/(x² + y²)。夹逼：|x²| ≤ x² + y² ⟹ |f| ≤ |y| → 0，全面极限为 0——δ 圆盘整块压扁，条条路径无一漏网。ε-δ 直书：任给 ε > 0，取 δ = ε；则 0 < |P| < δ 时 |y| ≤ |P| < ε，于是 |f| ≤ |y| < ε。毕。

第一章 多元函数的极限与连续1.9 路径法反证：沿不同路径极限不同

「不存在」的证明有一件专属兵器：路径法——找两条逼近路径，函数沿它们给出不同的极限值，则全面极限不存在。逻辑依据一句话：若全面极限存在，一切路径的极限都等于它（逆否命题即武器）。

经典战例一：f = xy/(x² + y²)。沿 y = kx：f = kx²/((1+k²)x²) = k/(1+k²)——答案含 k，不同直线给出不同值（k=1 得 ½，k=0 得 0），全面极限不存在。一条直线束就完成处决。

经典战例二（直线失效，抛物线补刀）：f = x²y/(x⁴ + y²)。沿 y = kx：f = kx³/(x⁴ + k²x²) = kx/(x² + k²) → 0——所有直线都答 0，看似太平。换 y = x²：f = x⁴/(x⁴ + x⁴) = ½ ≠ 0。处决成功。教训：路径检验是无底洞，验证过的路径再多也不构成「存在」的证明——这正是全面极限比一元难的本质。

路径法背后的深层原因：全面极限要求 δ 圆盘整块受控，而每条路径只是圆盘里的一根「细线」——细线再多是铺不满圆盘的。下一节把「细线」排成真正的网格，就得到累次极限：它是路径库里最整齐的两条，却依然不是全面极限。

第一章 多元函数的极限与连续1.10 累次极限：先 x 后 y 与先 y 后 x

全面极限要求「δ 圆盘整块受控」。工程上更常见的算法是排队处理：先把 y 按住不动，让 x → x₀，得到一个含 y 的中间量 φ(y)；再让 y → y₀。这叫累次极限：

用上页的 f = xy/(x² + y²) 在原点操练：固定 y ≠ 0，先对 x：lim_x→0 xy/(x²+y²) = 0（分子线性、分母二次），得 φ(y) = 0；再对 y：极限 0。对调次序同样得 0。两个累次极限都存在且相等——但上一章已用直线束证明它的全面极限不存在！

这一页与上一页合起来已经剧透了本章最微妙的事实：累次极限与全面极限互不蕴含。它们之间的精确关系、以及四种情形的完整反例库，就在下页的「裁决表」里。

第一章 多元函数的极限与连续1.11 全面极限与累次极限：定理与反例库

正面定理只有一个，且条件苛刻：

条件①②缺一不可；缺了，就是下面这张著名的四象限反例库——四个例子各占一种逻辑可能：

这张表的分析学教训：在多元世界，「交换两个极限运算」永远是定理、永不是本能。本章的表格裁决 §1.11 的极限；第四章的 Fubini 裁决积分次序；第六章的一致收敛裁决积分与求导——同一出戏，换三次剧场。

第一章 多元函数的极限与连续1.12 多元函数的连续性：定义与运算法则

「一条路径对」救不了连续性，f = xy/(x² + y²) 补定义 f(0,0) = 0 后仍不连续（全面极限不存在）；而 g = x²y/(x² + y²) 补 g(0,0) = 0 就连续（§1.8 已证极限为 0）。分段函数的连续性，靠的从来是极限计算而非良好愿望。

这条封闭性立刻兑付一大笔红利：f(x, y) = x² + 3xy − 2y⁵ 处处连续，因为它是连续原料（x、y、常数）的有限次四则组合。逐点验证是穷尽的苦役，封闭性是一劳永逸的执照——这正是「运算律」在分析学里的价值。

第一章 多元函数的极限与连续1.13 多元初等函数与复合连续性

「初等函数」的家族谱系也要升维重造：

注意「内点」二字的分量：ln(x² + y²) 在定义域 {（x,y) ≠ (0,0)} 的每一点连续，但原点是边界点，函数压根没在那里开门营业；√(1 − x² − y²) 在闭圆盘上连续，但在边界圆周上（定义域边界）谈不上「内点处的连续」——讨论连续性先看营业范围。

复合连续性的应用极其低调却无处不在：第五章把曲线 r(t) 代进场 f(x, y, z) 得 f(r(t))——一个一元连续函数；第四章换元后的被积函数连续性也靠它签发。链条一扣扣签执照，是分析学的日常行政。

第一章 多元函数的极限与连续1.14 有界闭区域上的连续函数：最值与介值

上册闭区间上连续函数的三大定理（有界性、最值、介值），在高维全部活着——而且证明的引擎只有一个：紧性。

反例双联画帮着记条件的必要性：f = xy 在全平面连续却无最值（无界）；f = x² + y² 在开圆盘 x² + y² < 1 连续有界却达不到 sup = 1（不闭，sup 逃到圆周上）。有界、闭、连续，三个条件三个坑，缺一即塌。

第一章 多元函数的极限与连续1.15 一致连续：Cantor 定理的多元版

连续是「逐点签发的执照」：每个 P₀ 有自己的 δ(P₀)。若一张执照能全区域通用——δ 只跟 ε 走、不跟点走——就升级为一致连续：

反例看「不紧」的代价：f = 1/(1 − x² − y²) 在开圆盘 x² + y² < 1 上连续，但靠近圆周时曲线陡升，ε = 1 找不到全区通用的 δ——离边界 0.999 处与 0.9999 处所需的 δ 天差地别。一致连续性的失守，总发生在「点列出走得通」的边界——又是紧性那笔账。

第一章 多元函数的极限与连续1.16 向量值函数：曲线的参数化描述

到此为止输出都是数。把输出也换成向量，就得到本书后半场的另一主角：

分量式定理照抄 §1.3 的桥：向量值问题拆成分量的一元问题，上册兵器全部通用。经典例子是螺旋线：

参数化是「给曲线装坐标」：同一条曲线可以有多种装法（圆可用 (cos t, sin t)，也可用 (cos 2t, sin 2t)——跑步速度快一倍）。第五章的曲线积分将严格区分「曲线的几何」与「参数化的速度」，此处先备好词汇：r′(t)（切向量）的登场在第二章。

向量值函数的真正价值在打包：牛顿法解方程组、曲线积分的路径、第五章的场论，都把「一组数量等式」打包成一个向量等式书写。词汇先立，章法后授。

第一章 多元函数的极限与连续1.17 现代接口：多元函数与数据空间——等值线到梯度下降的舞台〔离散⇄连续〕

把本章的词汇翻译成现代应用的语言，几乎是逐词对译：

数据点 = 高维向量。一张 28×28 像素的图片是 784 维空间里的一个点；「距离」就是本章的欧氏距离（或它的变体）。机器学习的全部语言——样本空间、邻域、聚类——都是 §1.2–1.3 词汇在高维的直译。

损失函数 = 多元函数。模型参数 (θ₁, …, θ_n) 是自变量，预测误差 f(θ) 是「地形高度」；训练模型 = 在 n 维地形上找谷底。本章的等值线图正是工程师桌上的「损失地形图」：闭圈是盆地，自交是鞍点，线密是陡坡。

收敛 = §1.8 的 ε-δ。梯度下降生成参数点列 θ₀, θ₁, θ₂, …（迭代公式第二章揭晓），「算法收敛」说的正是 §1.3 的点列收敛——有界的点列靠 B–W 捞子列，靠 σ-极限作归宿，全部本章装备。

〔离散⇄连续〕的合流点在此提前亮相：迭代（离散点列）在地形（连续函数）上行走，「走得到谷底吗」的裁决，用的是本章的点列收敛与紧性——离散的步伐、连续的裁决，这正是本书一贯的双语精神。

第一章 多元函数的极限与连续1.18 本章总结与方法表

本章的方法可以压缩成一张裁决表与一句主台词。

主台词只有一句：高维的问题，凡能拆成坐标的先拆坐标（点列、向量值），拆不动的用紧性包抄（最值、一致连续），被「路径太多」卡住的老实交 ε-δ。三角兵器——坐标分离、紧性、路径法——按此优先级取用。

行囊已满：下一章带着「全面极限＋紧性」两件行李上楼，去见多元微分学——那里有一个比「偏导存在」强得多的新门槛（可微性）等着验收。

第一章 多元函数的极限与连续例1 点集辨认：开、闭、有界、区域四连判

解：逐项过堂。有界：E ⊂ 闭圆盘 x² + y² ≤ 4，有界 ✓。开：内圆周 x² + y² = 1 上的点属于 E，但它任何邻域都伸进空洞 x² + y² < 1——不是内点，故非开集 ✗。闭：外圆周 x² + y² = 4 上的点全是 E 的聚点（环内的点可以任意靠近它）却不属于 E，聚点未收全，故非闭集 ✗。区域：E 连通（环上任何两点可沿环内折线相连），但 E 不是开集，故 E 是「连通集」而非开区域；补上外边界后 E ∪ {x²+y² = 4} 是闭区域。

边界：∂E = {x² + y² = 1} ∪ {x² + y² = 4}——「谁沾边谁上榜」，与是否属于 E 无关。聚点集：E′ = {1 ≤ x² + y² ≤ 4}（两条边界圆周都挤满了 E 的点，全是聚点）。注意 E′ ⊄ E（外圆周漏了），这正是「不闭」的账目细节。

要点：开/闭的判定永远落回定义——「每点有内点邻域」「聚点全收」。凭「看起来像环」的直觉判定，正是高维直觉半衰期的又一例证。

第一章 多元函数的极限与连续例2 点列极限：分母含 xy 的点列

解：用坐标分离定理，把两个坐标当两条一元数列分别处理。

x_n = (2n² + n)/(n² + 1)：分子分母同除 n²，x_n = (2 + 1/n)/(1 + 1/n²) → 2。

y_n = (−1)ⁿ·n/(n+1)：因子 n/(n+1) → 1，但 (−1)ⁿ 振荡——奇子列 → −1、偶子列 → +1。y_n 不收敛（上册判据：收敛数列的任何子列同极限，此处两子列极限不同）。

坐标之一不收敛 ⟹ P_n 不收敛。补充观察：y_n 有界，故 {P_n} 是有界点列——由 B–W，它必有收敛子列（如取偶数项，收敛于 (2, 1)）。「有界而不收敛」正是 B–W 定理设计来处理的标准局面：子列有归宿，全列没有。

要点：高维点列题的第一动作永远是「拆坐标」；第二动作是检查有界性——不收敛时，B–W 保证子列的归宿，这是下一章压缩映射迭代分析的地基。

第一章 多元函数的极限与连续例3 全面极限存在：夹逼与 ε-δ 直书

解（夹逼）：核心放缩 |x³ + y³| ≤ |x|³ + |y|³ ≤ (|x| + |y|)(x² + y²)（因 |x|³ = |x|·x² ≤ (|x|+|y|)x²，对 y 同理）。于是

令 P → 0，右端 → 0，夹逼得极限为 0。∎

解（ε-δ 直书）：任给 ε > 0，取 δ = ε/2。则 0 < |P| < δ 时 |f| ≤ 2|P| < 2δ = ε。∎——注意 δ 的取得全靠夹逼阶段量好了「|f| ≤ 2|P|」这个常数倍关系。

夹逼与直书是同一证明的两次排版：夹逼找数（≤ 2|P|），直书宣判（δ = ε/2）。先夹逼后直书，是「证存在」的标准流水线。

要点：凡是「分母是 |P| 的幂、分子次数更高」的有理函数，三板斧几乎必灵——例 7 的连续性补定义将再次使用这条流水线。

第一章 多元函数的极限与连续例4 路径反证：y=kx 与 y=x² 的双重检验

解（先直线审判）：沿 y = kx，f = x²·kx/(x⁴ + k²x²) = kx/(x² + k²)（x ≠ 0 时约去 x²）→ 0（k = 0 时 f 恒为 0，也交 0）。全体直线路径的极限都是 0——直线审判无罪释放，但诉讼不能结案。

再抛物线补刀：沿 y = x²，f = x²·x²/(x⁴ + x⁴) = ½。沿 y = −x² 同样得 −½（其实 f 沿 y = x² 与 y = −x² 异号）。两条路径答案不同（0 与 ½），全面极限不存在。∎

这个函数号称「路径法的试金石」：它专门惩罚「只查直线就下结论」的习惯——分子分母的次数差在直线路径上被约分掩盖，只有弯得合适的路径（y 与 x² 同阶）才能暴露真相。选路径的原则：让分子分母同阶。本例分母 x⁴ + y² 的「平衡次数」是 4（x⁴）与 4（取 y = x² 时 y² = x⁴），抛物线恰好把 y 抬到 x² 的量级。

要点：路径法判决书只需两条路径；但「审过无恙」永远不是无罪证明。直线全对 + 抛物线毙命的组合拳，本章习题课四还要反复演练。

第一章 多元函数的极限与连续例5 累次存在而全面不存在：xy/(x²+y²)

解（累次）：先 x 后 y：固定 y ≠ 0，lim_x→0 xy/(x²+y²) = 0/y² = 0，故 φ(y) = 0，外层 lim_y→0 0 = 0。同理先 y 后 x 也是 0。两个累次极限都存在且相等（= 0）。

解（全面不存在）：沿 y = kx（x ≠ 0），f = kx²/((1 + k²)x²) = k/(1 + k²)。k = 1 得 ½，k = 0 得 0——不同直线不同值，全面极限不存在。∎

合起来即四象限表的第 Ⅲ 格：累次全在且相等，全面不存在。「两条次序都对」救不了全面——因为累次只走过两条网格线，而全面要求整块圆盘。f 在原点无论补什么值都不连续（极限不存在），但它在其他一切点连续（初等函数内点免检）——「几乎处处连续、单点失守」的典型标本。

要点：本例与例 3 的函数（x²y/(x²+y²)）只差分子一个因子，命运却天壤之别——次数差一次，全面极限从「存在」翻车为「不存在」。高维有理函数对次数极其敏感，放缩前先点清次数账。

第一章 多元函数的极限与连续例6 全面存在而累次不存在：x·sin(1/y)+y·sin(1/x)

解（全面存在）：|f| ≤ |x|·|sin(1/y)| + |y|·|sin(1/x)| ≤ |x| + |y| ≤ 2√(x² + y²)。任给 ε > 0 取 δ = ε/2，则 |P| < δ 时 |f| < ε。全面极限为 0。∎（正弦被绝对值一把按住——「有界 × 趋零 = 趋零」的高维直译。）

解（累次不存在）：先 y 后 x：内层 lim_y→0 f(x, y)，固定 x ≠ 0：x·sin(1/y) 项随 1/y 振荡于 ±|x| 之间，而 y·sin(1/x) → 0——内层极限 = 振荡项的极限，不存在（取 y_n = 1/(2nπ + π/2) 与 y′_n = 1/(2nπ)，两列给出不同的内层极限 x 与 −x）。同理先 x 后 y 也不存在。∎

这是四象限表的第 Ⅱ 格：全面在，累次亡——「整块受控」的函数照样可以沿每根网格线振荡得没完没了。Ⅱ 与 Ⅲ（上页）合璧，两个方向的不蕴含全部就位。

要点：「有界 × 趋零」的放缩（|sin| ≤ 1）是处理振荡的万能扳手，但只对「整块」有效——内层极限逐点盯着细节看，扳手就够不着了。四象限表四格至此全部建档（Ⅰ 见 p20 表，Ⅱ 本页，Ⅲ 上页，Ⅳ p57 挑战二）。

第一章 多元函数的极限与连续例7 连续性验证：分段定义的二元函数

解：连续的先决条件是极限存在且唯一。沿 y = kx：f = (1 + a·k·…)/… 精确算：f = (x² + y² + a·xy)/(x² + y²)。沿 y = kx，f = (1 + k² + a·k)/(1 + k²)——含 k（只要 a ≠ 0）。故 a ≠ 0 时不同直线给出不同值，极限不存在，补任何 b 都无济于事。

a = 0 时 f = 1（恒值！），lim = 1 = f(0,0) 任取 b = 1，处处连续。∎

变式再练一次（这正是 §1.8 的函数）：g = (x² + y² − xy·0)/… 即 g = x²y/(x²+y²)：|g| ≤ |y|/2·(2x²/(x²+y²)) ≤ |y| → 0，取 b = 0 即连续。连续性分段题的完整流程：先判极限存在（放缩或路径毙），存在则令 b = 极限值，不存在则报告「无解」。

要点：本例的隐藏彩蛋是「恒值化」——a = 0 时 f = 1，这是路径检验的极端情形：所有路径同值。顺带复习：xy/(x²+y²) 型「三次项 vs 二次分母」的分水岭，在习题课六还将按次数系统盘点。

第一章 多元函数的极限与连续例8 复合连续：链式代入的合法性

解：拆链条。内层 u = xy 与 v = x + y 都是二元多项式——处处连续（§1.12 运算法则）；外层 e^u 与 sin v 是一元初等函数——在各自定义域（全轴）连续。复合与乘法保连续，故 f 处处连续。∎

极限：连续 ⟹ 极限 = 代入：f(0, 0) = e⁰·sin 0 = 0。连续性是把「极限计算」降格为「代入运算」的通行证——只要连续性证书在手，本章前六例的苦战原本都可以免了。

证书从何而来？逐级签发：x 与 y 连续（原料）→ 四则得多项式（运算执照）→ 复合一元初等（复合执照）→ 乘积合成 f（总执照）。例 3 苦算 ε-δ 的对象若套在初等函数的壳里，本页两行就办完——先查壳，再动算，是处理极限的检查顺序。

要点：本页把 §1.12–1.13 的两条定理合成了「免战牌」用法。下一章的偏导数计算同样先领这张牌：初等函数在定义域内点处不仅连续，还可任意次求偏导。

第一章 多元函数的极限与连续例9 最值定理应用：有界闭区域上的连续函数

解：最值定理保证最值存在；它们只可能出现在两类地点——内部驻点与边界（本章先按几何直觉办事，驻点的系统算法在 §2.16–2.17）。

内部：f = (x − ½)² + y² − ¼，配方直接读出：最小在 (½, 0)，f = −¼；配方同时说明这是全局形态的「碗心」（在更大范围也成立）。

边界：x² + y² = 1 上，f = 1 − x。x ∈ [−1, 1]，故最大在 x = −1（点 (−1, 0)），f = 2；最小在 x = 1，f = 0。

合账：候选值 {−¼, 0, 2} ⟹ 最小值 −¼（内点 (½, 0)），最大值 2（边界点 (−1, 0)）。验算：f(½,0) = ¼ − ½ = −¼ ✓；f(−1,0) = 1 + 1 = 2 ✓。

要点：本章只负责「最值存在 + 候选清单方法论」；内部驻点的系统解法（∂f/∂x = ∂f/∂y = 0）与边界约束的系统解法（Lagrange 乘数法）分别在 §2.16 与第三章授勋。本例是它们的预告片。

第一章 多元函数的极限与连续例10 等值线作图：f(x,y)=x²−y² 的马鞍面阅读

解：等值线 x² − y² = c。c > 0：x² − y² = c 即双曲线，开口沿 x 轴（顶点 ±√c）；c < 0：y² − x² = −c，开口沿 y 轴；c = 0：(x+y)(x−y) = 0，退化为一对对角直线 y = ±x——「两族双曲线的公共渐近线」。

读图：沿 x 轴（y = 0）f = x² 上升，沿 y 轴 f = −y² 下降——原点是鞍点：从 x 方向看是谷、从 y 方向看是峰。等值线的「交叉直线」正是鞍点的指纹（§1.7 预告的签字画押在此兑现）。

要点：等值线图是二元函数的「指纹库」——同心圆=极值，交叉线=鞍点，平行线=斜坡。f = x² − y² 在 §2.16 还将作为「偏导全零却非极值」的头号教材出场，把指纹记住。

第一章 多元函数的极限与连续例11 向量值函数：螺旋线的极限与连续

解：连续 ⟺ 分量逐个连续（坐标分离），即 r₀ = 三分量在 t → 0 的极限。三条都是上册重要极限的家务事：

① sin t/t → 1；② (1 − cos t)/t² → ½（等价无穷小 1 − cos t ~ t²/2，或洛必达）；③ (e^t − 1)/t → 1。

故 r₀ = (1, ½, 1)。验算：t = 0.01 时三分量为 0.999983、0.499992、1.005017 ✓。

与一元的差别不在技术、在打包：一元要解三个极限题，向量值只解一道「打包题」——分量分离定理把它拆回三道一元题。升维的账常这么算：打包是书写，拆包是计算。

要点：r(t) 的三个分量都是「0/0 型」，靠的全是上册库存；若某个分量振荡无极限，则整个向量值极限报废——串联电路法则（例 2）再次生效。

第一章 多元函数的极限与连续例12 综合：一张「极限存在性裁决表」的完整填写

解：逐个过堂，合成总表（过程各归各页）：

⑤ 补笔：沿 y = x，f = 2x²/2x = x → 0；沿 y = x + x²：分子 = x² + (x+x²)² = 2x² + 2x³ + x⁴，分母 = 2x + x²，f ≈ x → 0——直线与第一条抛物线都交 0。再换 y = −x + x²：分子 = x² + (−x+x²)² = 2x² − 2x³ + x⁴，分母 = x + (−x + x²) = x²，f = 2 − 2x + x² → 2 ≠ 0。不存在（分母在斜线 y = −x 附近被「配平」成二阶，又一次只能靠贴着斜线弯的路径击破）。

要点：⑤ 的教训最贵——「直线全 0」连续骗过两关，直到 y = −x + x² 才翻案。「分母在哪些路径上降阶」列入检查清单：x + y 型分母偏爱斜线，必须用「贴着斜线弯」的路径审问。

第一章 多元函数的极限与连续习题课一 点集与区域

本课练「地形认读」——定义落纸面的第一关。先查身份（内点/边界点/聚点），再发证书（开/闭/区域）。

小结：点集题五步走——找边界、数聚点、验内点、判连通、发证书。练 1.3 的「连续函数原像保开闭」是高级武器，第二册还会以「连续性保持结构」的身份重逢。

第一章 多元函数的极限与连续习题课二 点列收敛

小结：点列题三板斧——拆坐标、查有界、认柯西。练 2.4 的递推预告第三章重头戏；练 2.5 的「R² 完备」是压缩映射的空间执照，两处伏笔同出一门。

第一章 多元函数的极限与连续习题课三 全面极限 ε-δ

小结：ε-δ 题的配方——放缩出 |f − A| ≤ C·g(|P|)（g 是已知趋零量），再令 δ 反解。练 3.4 提醒：定义域可以是「缺角的」，极限只问聚点附近的「补角地带」。

第一章 多元函数的极限与连续习题课四 路径反证法

小结：路径法五连练覆盖「两轴、直线束、配平曲线、无界爆表、全面振荡」五种判决书。出刀前先读分母的阶——这是本课最值钱的一行。

第一章 多元函数的极限与连续习题课五 累次极限

小结：累次题的流程是「先分诊、后全面」，两序不等是「不存在」的免检通道；两序相等则回锅全面极限——练习的重心在分寸感，不在计算量。

第一章 多元函数的极限与连续习题课六 极限关系裁决表

小结：本课是 §1.8–1.11 的总装车间。带走一句话：全在 ⟹ 累次等（要内层在）；累次等 ⇏ 全在；全在 ⇏ 累次在——三条箭头，两张准考证明（§1.11 定理条件、连续性邻域版）。

第一章 多元函数的极限与连续习题课七 连续性与运算

小结：本课五题全是「运算法则」的正规军打法：免检（7.1）、换元降维（7.2）、代数拼装（7.3）、保号（7.4）、链条行政（7.5）。连续性的高级用法从来不是「验证」，而是「调用」。

第一章 多元函数的极限与连续习题课八 复合与初等函数

小结：本课把「复合连续」用出了行政效率（8.1、8.3、8.5）与侦查嗅觉（8.2 的对数侦查、8.4 的分瓣跳变）。初等函数不是免战牌的全部——「边界」与「断域」是它仅有的两个软肋。

第一章 多元函数的极限与连续习题课九 最值与介值定理

小结：五题一条主线——紧性供存在，连通供介值，配方与对称供计算。练 9.3、9.5 是「标准垫脚石」，证明骨架背下来：它们在积分学与条件极值两章返场。

第一章 多元函数的极限与连续习题课十 一致连续

小结：一致连续的三种判位法——斜率有界（10.1、10.3）、离边安全距离（10.3）、紧集免检（Cantor）；一种失守法——点列可出走（10.2）。十、九两课的「垫脚石」将在第四章积分理论里合流。

第一章 多元函数的极限与连续习题课十一 向量值函数与综合

小结：十一课收官三件套——向量值拆分量（11.1–11.3）、x+y 分母配弯路（11.4）、coercive 圈羊取最小（11.5）。本章到此全部工具入库，复盘见下页。

第一章 多元函数的极限与连续复盘：错题归档与三问自测

归档建议：把本章错题按「四象限表落格」归档——每道极限题必属四格之一，格号即病历号。常见病与处方对照：

三问自测（能脱口而出才算过关）：

复盘完毕。错题本按格归档后，本章方法表（p27）把「路径法五连练」重抽两题限时完成——第一章的肌肉记忆，是第二章偏导数与可微性讨论的全部本钱。

第一章 多元函数的极限与连续格物札记① 《九章》方田：圭田、邪田与三角形公式——多元面积观的东方源头〔方田〕

《九章》卷一「方田」以 38 道题立起面积账本，前几术全在平面上做文章：方田（矩形）「广从步数相乘」；圭田（三角形）「半广以乘正从」；邪田（直角梯形）「两邪相半以乘正从」；箕田（等腰梯形）「并踵舌而半之，以乘正从」。四句术文一副句式：平均宽 × 高——与上册引的商功「并上下广而半之」是同一家法。

这套「平均宽」的账法，正是积分学的东方胚胎：把田切成平行于底的细条，每条面积 = 宽 × dx，而宽沿高度线性变化——线性量的平均恰是两端平均，于是「半广乘正从」一步精确。方田四术全是「截面线性」的特例；《九章》用一句「半之」把极限过程藏进了算术。

本章的二元函数 z = f(x, y)，若把 f 读作「田在 (x, y) 处的亩产」，那么第五章之前的一切铺垫——点集是田界、连续是亩产不断、紧性是田有尽头——都可以在方田的语境里落地。分析学的词汇，田官署两千年前已备好半套。

第一章 多元函数的极限与连续格物札记② 从平面点集到度量空间：拓扑语言的诞生

本章的词汇表——邻域、开集、闭集、聚点、紧性——并非生来如此。它们是 19 世纪末至 20 世纪初的一场「词汇大迁移」的产物：把几何直觉里的「远近」「内外」提炼成公理，好让分析学在更抽象的地界上照常营业。

1872 年，Cantor 在研究三角级数唯一性时被迫研究「点集的导集」（聚点集），集合论由此诞生——「聚点」最初是分析学的内部工具，后来反客为主成了数学的地基。1906 年，Fréchet 提出「度量空间」：只要距离函数满足三条公理（非负对称、三角不等式、零距即同点），极限与连续的全部理论照搬——本章的 ε-δ 定义逐字适用。紧性也在同一时期被提炼：Heine–Borel 的「有限覆盖」版本（1895 年 Borel 提出区间版）最终胜出，因为它在无度量的空间里也能说事。

为什么这门「词汇学」值得专开一页札记？因为现代数学——泛函分析、偏微分方程、机器学习的优化几何——全在无穷维空间营业，而那里没有画册、没有图形、只有词汇。本章在 R² 里反复操练的「开闭紧」，正是未来在无穷维生存的母语。词汇先行，定理后至——数学史上这条补给线，从未失约。

第一章 多元函数的极限与连续章小结：知识图谱与方法表

第一章的骨架是一条「先立地形、再立极限、后收定理」的主干道，旁开一条向量值支路：

方法表回顾（p27 收束为三行）：证存在用「放缩出 |f| ≤ C·|P| 再 δ = ε/C」；判不存在用「路径法，分母齐阶直线束、混阶配平曲线」；闭区域性质一律「紧性 + 连续」合股签发。概念表回顾：聚点 = 被无穷邻居围拢的点；紧 ⟺ 有界闭（R²）；一致连续 = 一张 δ 走遍全区。

三个「留白待续」：压缩映射原理（习题课二练 2.4 预告，§3.15 正式授勋）；等值线的鞍点指纹（例 10 画押，§2.17 Hessian 代数确认）；coercive 函数的圈羊取最小（练 11.5，第三章 Lagrange 乘数法的存在性前奏）。第一章立好地形，三张欠条后续各章兑付。

第一章 多元函数的极限与连续思想卡：升维——从一个变元到一片原野

第一章 多元函数的极限与连续挑战一 Heine–Borel 定理的完整证明

第 0 步（翻译目标）：⟸：由「有界 + 闭」推列紧（§1.6 已给骨架，此处补足细节）；⟹：由列紧推「有界」与「闭」。

第 1 步（⟸：有界 + 闭 ⟹ 列紧）：设 {P_n} ⊆ E 有界。坐标分离 + 上册 B–W：{x_n} 有收敛子列 x_ni → x₀；对应 {y_ni} 再取收敛子列 y_nij → y₀。于是 P_nij → (x₀, y₀) = P₀。因 E 闭，聚点 P₀ ∈ E。∎（列紧得证）

第 2 步（⟹ 之「有界」）：反设 E 无界，则 ∀n ∃P_n ∈ E：|P_n| > n。任何子列都无界，故无收敛子列——与列紧矛盾。∎

第 3 步（⟹ 之「闭」）：设 P₀ 是 E 的聚点。取 P_n ∈ E 使 |P_n − P₀| < 1/n（聚点定义允许逐次选点）。{P_n} 有收敛子列 P_ni → Q；但 P_ni → P₀ 显然（被 1/n 压住），极限唯一 ⟹ Q = P₀。列紧 ⟹ Q ∈ E ⟹ P₀ ∈ E。故 E 含全部聚点，闭。∎

复盘两问：① 第 3 步为什么可以「逐次选点」？——聚点保证每个去心邻域非空，选择是逐次的有限操作，无需选择公理。② 列紧在无穷维还等于「有界闭」吗？——不等于！无穷维空间里「有界闭不列紧」的反例俯拾皆是（单位球面），这正是泛函分析另立「紧算子」概念的缝隙——词汇的边界，就在这里开始。

第一章 多元函数的极限与连续挑战二 两个累次极限都存在却不相等的例子构造

第 1 步（先 x 后 y）：固定 y ≠ 0：lim_x→0 (x − y)/(x + y) = (−y)/y = −1（与 y 无关！）。外层：lim_y→0(−1) = −1。

第 2 步（先 y 后 x）：固定 x ≠ 0：lim_y→0 (x − y)/(x + y) = x/x = +1。外层：+1。

第 3 步（判决）：两累次极限 −1 ≠ +1 ⟹（§1.11 定理逆否）全面极限不存在——其实连直线束都懒得：沿 y = kx（k ≠ −1），f = (1−k)x/((1+k)x) = (1−k)/(1+k) 含 k，k = 0 交 1、k = 2 交 −⅓，当场毙。∎

第 4 步（补值问题）：不能。全面极限不存在 ⟹ 任何补值都无法让 f 在原点连续（连续要求极限存在且等于补值）。注意与 xy/(x²+y²)（第 Ⅲ 格）的差别：那里至少「极限不存在但两累次握手言和」，这里连累次都当场分裂——第 Ⅳ 格是四格里「病得最重」的。

延伸一问：为什么恰好差 2？因为 f 沿 y = kx 交 (1−k)/(1+k)，k 从 0 摆到 ∞ 时答案从 1 连续滑向 −1——禁区斜线是「答案的搅拌棒」。挑战完成，四象限表四格全员到齐。

第一章 多元函数的极限与连续实验：等值线绘图器——给二元函数「画等高线」

实验设计：在 [−2, 2]² 布 9×9 网格，格点 (x_i, y_j) 上算 f 值，按四舍五入记录。以 f(x, y) = x² − y² 为例（程序输出，保留两位小数）：

读表：① 0.00 恰好出现在对角线位置（|x| = |y|）——c = 0 等值线是 y = ±x 两条对角直线，例 10 的「交叉指纹」在数字表里现身；② 表关于中心对称（f 是偶函数的偶函数），马鞍的对称性一目了然；③ 同一行（固定 y）数值先降后升、同列亦然——原点沿行是谷、沿列是峰：鞍点在数字上的样子。

实验小结：9×9 的粗糙网格已足够辨认「交叉直线 = 鞍点」——指纹比轮廓更早现形。第三章的牛顿迭代实验将复用本页的网格采样器：一次投入，两次回收。

第一章 多元函数的极限与连续章测试与评讲

A 卷（基础，30 分钟）

B 卷（进阶，40 分钟）

评讲总纲：A 卷查「定义肌肉」（聚点、换元合法性、路径反证各一题）；B 卷查「定理调用」（Ⅱ 格识别、双定理合股、次数账 + 构造）。全对者直接预习第二章开篇的切平面；A3 或 B1 失分者，回习题课四、五各重做两题——第一章的地基工程，验收标准是「条件反射」，不是「想得起来」。

第二章 多元微分学2.1 导引：切线在曲面上的模样——从割线到切平面

上册给曲线配切线，用的是一招「割线极限」：让第二点滑向定点，割线的极限位置就是切线。现在脚下换成了曲面 z = f(x, y)——站在《九章》方田量出的这块斜坡上，问一句：「脚下这块地，朝哪个方向上坡最陡？」这一问，问出了整章。

曲面比曲线滑头：过曲面上一点 P₀，割线有无数条——可以朝东滑、朝北滑、朝东北滑。让它们各自取极限，得到无数条切线；妙的是，这些切线全都躺在同一张平面上——切平面。切平面是曲面在该点的最佳「平地替身」，替得有多好、什么时候替不了，正是「可微性」要回答的问题（§2.6–2.8）。

本章路线图：偏导（固定其余、只动一个，§2.2–2.3）→ 混合偏导与 Schwarz 定理（求导次序之争，§2.4–2.5）→ 全微分与可微性（局部平地的严格账，§2.6–2.8）→ 链式法则与形式不变性（复合的多元版，§2.9–2.10）→ 方向导数与梯度（最陡的方向，§2.11–2.13）→ 切平面（§2.14）→ Taylor 与极值（§2.15–2.17）→ 现代接口：梯度下降（§2.18）。一句话总纲：偏导管一条线，全微分管一片地，梯度管最陡的那个方向。

第二章 多元微分学2.2 偏导数：固定其余，只动一个

高维世界里求导的第一步棋很「保守」：把其余变元全部冻住，只放一个变元出来动。田里的亩产随南北、东西都在变，那就先只问东西向：站在原地不动南北，沿东西走一小步，亩产变化多少？

几何读法：f_x(x₀, y₀) 是曲面与平面 y = y₀ 的交线（一条真正的平面曲线）在该点的切线斜率；f_y 同理换平面 x = x₀。所以偏导数一点新东西也没有——它就是一元导数，只不过站在两条特殊的截面曲线上。

第二章 多元微分学2.3 偏导数的计算：一元技术的全面移植

求 f_x 时把 y 当常数——求导法则表、复合求导、隐函数求导（第三章）全部照搬，一元技术零折损移植。两句口诀：「冻谁谁当常数」；分段点、冻不住的地方，回定义。

要点：偏导计算的失误几乎全出在「忘了冻谁」——对 x 求导时偷偷把 y 的函数也求了。检查法：算完 f_x，把 y 换成具体数字 3 代进去，应当与「把 y=3 的那条一元曲线」直接求导一致。

第二章 多元微分学2.4 高阶偏导数与混合偏导：求导次序之争

偏导还是 (x, y) 的函数，可以再求偏导。二阶一共四种：f_xx、f_xy、f_yx、f_yy，其中 f_xy = ∂/∂y(f_x)——记号读法「先 x 后 y」，脚标从左往右就是求导次序（个别教材约定相反，读书时先查约定）。

次序之争的账本：先横后竖，还是先竖后横？走棋盘的 L 形，两条路都从 (x, y) 走到 (x+h, y+k)，但先动哪个坐标不同。用二阶差分记账：

第二章 多元微分学2.5 Schwarz 定理：两个二阶混合偏导相等的条件

证明的主武器恰是图 2-3 的那笔 L 形账，配两次一元中值定理：

三个必须说清的细节：① 两次中值定理的中点 θ₁、θ₂ 是不同的数，不必求出；② 令 h→0 与 k→0 时中点跟着滑向 P₀，连续性在此接住极限——连续是桥；③ 条件可以减弱（如只设 f_xy 存在且连续），但不能全部去掉：Peano 造过 f_xy(0,0) ≠ f_yx(0,0) 的反例，历史公案见格物札记②（p103），例 2（p79）给出可算的实物。

第二章 多元微分学2.6 全微分：线性化的化身

一元的微分 dy = f′(x₀)dx 说的是一句线性化的话：增量 Δy 由「导数 × 自变量增量」当主力，剩下的误差比 Δx 更小阶。二元照抄总账：

第二章 多元微分学2.7 可微性：比偏导存在更强（反例先行）

概念的关系表上，三条路里只有最后一条是真的。先把最经典的反例押上法庭：

有趣的是这个 f 并非「病入膏肓」：它沿每一个方向的单侧方向导数都存在（= cosθ·sinθ，p70 算一遍）——所以可微性比「所有方向导数存在」还要强。高维世界里，「处处有斜率」与「贴得平」之间隔着一整片原野。

第二章 多元微分学2.8 可微的充分条件与必要条件

又是「冻结变量 → 一元中值 → 解冻」的三步舞（图 2-4 预告过）——与 Schwarz 定理同源：连续是高维世界里一切交换与逼近的通行证。

要点：这张「关系裁决表」是本章的第二张核心表（第一张在例 12 再升级）。记忆口诀：「连续偏导全都有，方才可微；可微一出，全线贯通。」

第二章 多元微分学2.9 复合求导：链式法则的多元版

一元链式法则「由外向内、逐层求导相乘」升维成一张树形图：从因变量 z 出发，经中间变量 u、v，抵达自变量 x、y。同支相乘，分岔相加——八字的口诀，管全部情形。

第二章 多元微分学2.10 一阶全微分形式不变性

链式法则树形图（图 2-7）枝繁叶茂，中间变量一多，乘加容易写乱。全微分给了我们一条捷径——而且是一张「一劳永逸」的许可证：

若是自变量，这就是全微分的定义（§2.6）；若是中间变量 u = u(x, y)、v = v(x, y)，则 du = u_xdx + u_ydy，dv = v_xdx + v_ydy，代入展开：

dz = f_u(u_xdx + u_ydy) + f_v(v_xdx + v_ydy) = (f_uu_x + f_vv_x)dx + (f_uu_y + f_vv_y)dy

dx 与 dy 的系数恰是链式法则给出的 ∂z/∂x 与 ∂z/∂y ✓——形式不变性不是巧合，它说：微分自动打包了全部链式法则。多层复合时逐层写微分、最后归拢，乘加结构一步到位，这是 Leibniz 记号的又一次胜利。

第二章 多元微分学2.11 方向导数：沿任意方向的变化率

偏导只看两条坐标轴，可山地里的人朝任意方向走。给方向 l 配一个单位向量 e = (cosθ, sinθ)，定义「沿 l 的变化率」：

第二章 多元微分学2.12 梯度：最陡上升的方向

把 f_x、f_y 排成一个向量，就得到本章的主角：

山地读法：站在山坡上，∇f 就是脚下的「最陡上坡指针」，|∇f| 是指针的劲道——劲道越大，坡越陡。这个向量由 f 完全决定，不依赖选的方向；方向导数则是「指针在所选方向上的投影」。投影自然是「顺着指针最大、逆着最小、垂直为零」。

第二章 多元微分学2.13 梯度与等值线：正交的几何

图 2-10 预告「垂直于 ∇f 的方向变化率为零」，而变化率为零正是等值线的性格——把它们拼成定理：

第二章 多元微分学2.14 曲面的切平面与法线

§2.1 答应过的切平面，现在可以正式签发了。设 z = f(x, y) 在 P₀ = (x₀, y₀) 可微，z₀ = f(x₀, y₀)：

隐式曲面的预告：若曲面由 F(x, y, z) = 0 给出（如椭球面），把 z 看成隐函数，第三章将证明法向量 n = ∇F = (F_x, F_y, F_z)——梯度思想从平面推广到空间，一以贯之。例 9 提前用一次。

第二章 多元微分学2.15 Taylor 公式（多元版）：局部多项式逼近

读法：一次项（h·f_x + k·f_y）是切平面（一阶逼近）；二次项是「曲面翘曲度」的修正——它是一个二次型，其系数表恰是 Hessian 矩阵 H = [[f_xx, f_xy], [f_yx, f_yy]]（Schwarz 定理保证了对称）。二次型的正负定性质，将直接决定极值的判别（§2.17）。

第二章 多元微分学2.16 多元极值（一）：必要条件与驻点

但驻点只是「嫌疑人」不是「罪犯」：z = x²+y² 的原点是极小 ✓；z = −x²−y² 的原点是极大 ✓；而 z = xy 的原点是驻点却不是极值——马鞍面在原点沿 x 轴下坡、沿对角线上坡，每个邻域内都有比 0 大和比 0 小的点。这种「四面拉扯」的驻点叫鞍点，是多元世界的新物种（一元里对应的是 f′ = 0 却不增不减的拐点型驻点，如 x³ 的原点）。

要点：必要条件只负责「海选」，从驻点里挑极值要靠二阶信息——Hessian 判别法（§2.17）登场前，先记住：驻点三分天下——极小、极大、鞍点，还可能有判别法失效的第四类（§2.17 末尾）。

第二章 多元微分学2.17 多元极值（二）：Hessian 判别法

在驻点 P₀ 处，Taylor 公式（§2.15）的一次项消失，主导增量的是二次型：Δf = ½·[h k]·H·[h k]^T + o(ρ²)，H = [[A, B], [B, C]]（A = f_xx，B = f_xy，C = f_yy）。二次型的符号由两个「指纹数」决定：

第二章 多元微分学2.18 现代接口：梯度下降——机器学习的第一引擎〔离散⇄连续〕

§2.12 说：最陡下降方向是 −∇f。那就沿它走一步，落地再测方向，再走一步——

步长不是越大越好。对最诚实的碗 f = x² + 4y²（从任意点出发，∇f = (2x, 8y)）：每步 x 方向乘 (1 − 2η)，y 方向乘 (1 − 8η)。η ≥ 1/4 时 y 方向的乘数 ≤ −1——来回过冲、原地打摆甚至发散；η 小则走得稳但慢。「欲速则不达」在这里有精确的不等式：凸二次碗上收敛的充要条件是 0 < η < 2/λ，λ 是 Hessian 的最大特征值（本例 λ = 8，故 η < 1/4）。数值实验在综合站（p108）亲手做。

要点：本章全部兵器在 §2.18 合流——偏导拼出梯度（§2.12），梯度给最陡方向（方向导数投影），Hessian（§2.17）决定碗的形状与步长上限。训练一个 AI 模型，第一步课就是本章。

第二章 多元微分学例1 偏导计算：z=x²y+sin(xy) 的一二阶全套

解：一阶（冻谁谁当常数）：z_x = 2xy + y·cos(xy)，z_y = x² + x·cos(xy)。

二阶四件套：z_xx = 2y − y²·sin(xy)；z_xy = 2x + cos(xy) − xy·sin(xy)；z_yx = 2x + cos(xy) − xy·sin(xy)；z_yy = −x²·sin(xy)。

验算 z_xy：对 z_x 冻 x 求 y——2xy 对 y 得 2x；y·cos(xy) 对 y 得 cos(xy) + y·(−sin(xy))·x = cos(xy) − xy·sin(xy) ✓。z_yx：对 z_y 冻 y 求 x——x² 对 x 得 2x；x·cos(xy) 对 x 得 cos(xy) + x·(−sin(xy))·y ✓。两者逐项相等——本函数处处 C^∞，Schwarz 定理早有预告。

要点：多元偏导计算的「防错三查」——查冻没冻对、查幂次、查 sin/cos 切换。全套二阶共 4 项，Schwarz 让白赚一次「只算一遍」。

第二章 多元微分学例2 混合偏导不相等的反例：xy(x²−y²)/(x²+y²)

解：先看沿轴：f(h, 0) = 0，f(0, k) = 0，故 f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0。

关键一步：算 f_x(0, k)（k ≠ 0，按定义）：f_x(0, k) = lim_h→0 [f(h, k) − f(0, k)]/h = lim [h·k(h²−k²)/(h²+k²)]/h = lim k(h²−k²)/(h²+k²) = k(−k²)/(k²) = −k。

于是 f_xy(0,0) = lim_k→0 [f_x(0,k) − f_x(0,0)]/k = lim (−k − 0)/k = −1。

由对称性（f 关于交换 x↔y 反号：f(y,x) = −f(x,y)），f_y(h, 0) = h，故 f_yx(0,0) = lim [f_y(h,0) − 0]/h = 1。

判决：f_xy(0,0) = −1 ≠ 1 = f_yx(0,0)。检查条件：f_xy、f_yx 在原点都不连续（f_x(0,k) = −k 连续地趋 0，但偏导函数在原点附近剧烈摆动），Schwarz 的连续性前提失效——定理不适用，两个值各说各话。∎

要点：反例的价值不在「猎奇」，在「划界」——它精确指出 Schwarz 定理的每一条假设都不可白给。考场上若要证 f_xy = f_yx，先验 C² 再动手。

第二章 多元微分学例3 可微性判定：f=√(x²+y²) 在原点

解：① 连续：|f| = ρ → 0 ✓。② 偏导不存在：f_x(0,0) = lim_h→0 (|h| − 0)/h——右极限 1、左极限 −1，极限不存在 ✗。③ 偏导都没有，谈不上可微 ✗（若可微则必偏导存在，矛盾）。④ 方向导数（单侧，t→0⁺）：f(t·e) = √(t²/2 + t²/2) = |t| = t，故 D_lf(0,0) = 1，存在！

结论连排：连续 ✓　偏导 ✗　可微 ✗　斜向方向导数 ✓——四项裁决没有任何两项冲突：偏导是「两轴上的行情」，单侧方向导数是「单向射线上的行情」，两者谁也不包含谁；可微才是全能冠军（§2.8 裁决表）。

要点：f = √(x²+y²) 是「连续不可导」的一元 |x| 的二元近亲，但要害升了级：一元只缺一个点的一阶导；二元锥尖连「局部平地」都无处安放——这正是第三章把「法向量」从切平面搬到更一般曲面的动机之一。

第二章 多元微分学例4 偏导存在但不可微：反例的完整书写

解：① 连续：|xy| ≤ (x²+y²)/2 ⟹ |f| ≤ ρ/2 → 0 ✓。② 偏导：f(h, 0) = 0 ⟹ f_x(0,0) = 0；同理 f_y(0,0) = 0 ✓。③ 方向导数：沿 e = (cosθ, sinθ)，f(t·e) = t²cosθsinθ/(|t|) = |t|cosθsinθ，除以 t（t→0⁺）得 cosθ·sinθ——存在，且随 θ 连续转动 ✓。④ 不可微：反证。若可微，由②其微分必为 dz = 0·dx + 0·dy = 0，须 f(Δx, Δy) = o(ρ)。取 Δx = Δy = t：f = t²/(√2·|t|) = |t|/√2，ρ = √2|t|，f/ρ = 1/2 不趋于 0，矛盾 ✗。∎

再审 ③④ 的张力：④ 等价于说「沿方向 e 的增量/ρ 不趋于 0」，而③ 说每个方向的增量/t 有极限。两者不矛盾：④ 要求的是 f 本身（增量）在一切方向一致地被线性主部接管，③ 只是「每条射线各报各的斜率」。报得出斜率 ≠ 斜率们服从统一的线性规律。

要点：书写可微性反例的标准三段论——算连续、算偏导、找一条「坏路径」证 f − (f_xΔx + f_yΔy) 不是 o(ρ)。坏路径优先扫对角线与抛物线（第一章路径法的多元续篇）。

第二章 多元微分学例5 链式法则：树形图与全导数

解：树形图：z → (u, v) → (x, y)。同支相乘，分岔相加：

z_x = (2u·ln v)·∂u/∂x + (u²/v)·∂v/∂x = 2u·ln v·1 + (u²/v)·e^y

z_y = (2u·ln v)·2y + (u²/v)·x·e^y

代回 u = x+y²，v = x·e^y 即可（保留 u、v 记号反而清爽——「中间变量不解封」是复合函数书写的良好习惯）。

全导数：u = t，v = √t：dz/dt = (2u·ln v)·u′(t) + (u²/v)·v′(t) = 2t·ln√t + (t²/√t)·(1/(2√t)) = 2t·(½ln t) + t/2 = t·ln t + t/2。

验算（一条龙代入）：z = t²·ln√t = (t²/2)·ln t，直接求导：dz/dt = t·ln t + (t²/2)·(1/t) = t·ln t + t/2 ✓——两条路殊途同归。

要点：链式法则的书写心法——先画树、再动笔；中间变量保留到最后一步再代入。例 6 与 p107 的最小二乘，都是「树 + 偏导」这套工序的后续工程。

第二章 多元微分学例6 全微分应用：近似计算与误差估计

解：① 选 f(x, y) = x^y，工作点 (x₀, y₀) = (1, 2)，Δx = 0.04，Δy = −0.02。全微分：dz = y·x^y−1dx + x^y·ln x·dy。在 (1,2)：dz = 2·1·0.04 + 1·0·(−0.02) = 0.08。故 (1.04)^1.98 ≈ f(1,2) + dz = 1 + 0.08 = 1.08。（真值 1.0808——程序验算，误差 0.0008，来自二阶项。）

② 误差即「最坏方向的 Δz」：|Δf| ≈ |f_x·Δx + f_y·Δy| ≤ |f_x|·|Δx| + |f_y|·|Δy|。f_x = y·x^y−1 = 12（在 (2,3)），f_y = x^yln x = 8·ln 2 ≈ 5.545。代入：|Δf| ≤ 12×0.01 + 5.545×0.02 ≈ 0.12 + 0.111 = 0.231。量级提醒：误差预算与 |f_x|、|f_y|（敏感度）成正比——先看偏导再谈精度。

要点：近似计算四步选点法——选工作点（好算）、算偏导（在工作点）、代入 dz、报答案。② 的 |f_x|·|Δx| + |f_y|·|Δy| 是「最坏叠加」，实际误差通常更小（各误差未必同号）。

第二章 多元微分学例7 方向导数：沿 (1,1) 方向的爬升率

解：第一步规范化：方向单位向量 e = (1, 1)/√2 = (1/√2, 1/√2)。第二步梯度：∇f = (2x + y, x + 2y)，在 (1,1)：∇f = (3, 3)。第三步投影：

D_lf(1,1) = ∇f·e = 3·(1/√2) + 3·(1/√2) = 6/√2 = 3√2 ≈ 4.243。

最陡上升方向：e* = ∇f/|∇f| = (1, 1)/√2——恰好就是 l 本身（本题没白选方向）；最大爬升率 |∇f| = 3√2。沿 −e 最陡下降，率 −3√2；沿 (1, −1)/√2（⊥∇f）变化率 0——那正是等值线方向。

几何小结：f 的等值线是椭圆族（配方可写成 (3/2)(x+y)²/2 + (x−y)²/2 的一半，长轴沿 (1,−1)）；在 (1,1) 处椭圆的法向恰沿 (1,1)——与 §2.13 正交定理互证。

要点：方向导数三步流水线——单位化方向、算梯度、做投影。漏掉单位化是头号失分点：方向 (1,1) 不除 √2，投影会虚胖成 6。

第二章 多元微分学例8 梯度与最陡：等值线上的正交验证

解：∇f = (2x, 2y)，在 (3,4)：∇f = (6, 8)。等值线 x²+y² = 25 在 (3,4) 的切线：3x + 4y = 25（对圆方程在点 (3,4) 隐函数求导，或直接用圆的切线公式），斜率 −3/4。梯度斜率 8/6 = 4/3。(−3/4) × (4/3) = −1 ✓ 垂直坐实——梯度 (6,8) 与半径 (3,4) 平行（同向），半径本来就垂直于圆周，几何与代数各验一遍。

最陡上升：e* = (3, 4)/5（单位化 |∇f| = 10），上坡率 |∇f| = 10。顺嘴一记：在 (3,4) 沿圆周走（切向），f 的瞬时变化率 = ∇f·(−4,3)/5 = (−24 + 24)/5 = 0——「沿等值线，值不变」的微分版。

要点：正交验证的标准动作——算梯度、写切线、乘斜率验 −1。配合例 7 的投影公式，方向导数问题的两大题型（求率、验垂直）齐活。

第二章 多元微分学例9 切平面：椭球面上一点的切平面方程

解：验点：2/4 + (9/4)/9 + 1/4 = 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1 ✓。

隐式的力量：把椭球面写作 F(x, y, z) = x²/4 + y²/9 + z² − 1 = 0。曲面是「函数 F 的等值面」，§2.13 的正交定理在三维照样成立：法向量 = ∇F。梯度：∇F = (x/2, 2y/9, 2z)，在 P₀：∇F = (√2/2, 1/3, 1)。

切平面（法向量 · (P − P₀) = 0）：(√2/2)(x − √2) + (1/3)(y − 3/2) + (z − 1/2) = 0，展开化简：

(√2/2)·x + (1/3)·y + z = 2

验点：代入 P₀：(√2/2)·√2 + (1/3)(3/2) + 1/2 = 1 + 1/2 + 1/2 = 2 ✓。截距式一眼读形状：x 截距 2√2 > 2（顶点 2 处切平面平行的佐证）、y 截距 6、z 截距 2——切平面斜切椭球，三个截距都不小于对应半轴长，正是「切平面不穿过凸面」的算术影子。

要点：隐式曲面三步——设 F、算 ∇F、写点法式。不必先解出 z = z(x, y)（本例要开根号，麻烦）——「不解方程、直取法向」是隐函数观点的第一分红。

第二章 多元微分学例10 多元 Taylor：e^x+y 在原点的展开

解：逐阶求偏导：f 的任何阶偏导都是 e^x+y，在原点全为 1。二阶展开（h = x, k = y）：

f ≈ 1 + (x + y) + ½( x² + 2xy + y² ) = 1 + (x+y) + (x+y)²/2。

一般阶：f(x, y) = Σ_n≥0 (x+y)ⁿ/n!——注意每一阶都是 (x+y) 的幂：e^x+y = e^x·e^y，单独看是两个一元指数的乘积，合起来只依赖和 s = x + y。这个「降到一元」的观察让展开不写自明。

数值检验（程序验算）：在 (0.2, 0.1)，s = 0.3。部分和：1 → 1.3 → 1.345 → 1.3495 → 1.3498375 → 1.3498577…；真值 e^0.3 = 1.3498588。二阶截断给 1.345，误差 0.0049 ≈ 0.3³/6（恰是三阶首项）——余项的「首项可见性」与上册 Taylor 的经验完全一致。

要点：多元 Taylor 先找结构再展开——若 f 只依赖某个组合（如 x+y、xy、x²+y²），先降元再展开能省一半力气。结构不存在时，才逐项硬算 f_x、f_y、f_xx…（例 11 的 Hessian 路线）。

第二章 多元微分学例11 无条件极值：f=x³−y³+3x²+3y²−9x

解：第一步：驻点海选。f_x = 3x² + 6x − 9 = 3(x + 3)(x − 1)，f_y = −3y² + 6y = −3y(y − 2)。令二者为零：x ∈ {1, −3}，y ∈ {0, 2}——四个驻点 (1,0)、(1,2)、(−3,0)、(−3,2)。

第二步：Hessian 过堂。A = f_xx = 6x + 6，B = f_xy = 0，C = f_yy = −6y + 6，Δ = AC − B² = (6x+6)(6−6y)：

第三步：报账。极小值 f(1,0) = −5，极大值 f(−3,2) = 31；两个鞍点 (1,2)、(−3,0) 淘汰。无约束的极值不等于「全局最值」（定义域全平面无界，需 coercive 性质才能谈最值——第一章练 11.5 的伏笔第三章兑现）。

要点：极值三步流水线——解 f_x = f_y = 0 海选、算 Δ = AC − B² 判决、报值并注明鞍点。B 恰为零时 Δ = AC 特别好算，但别养成依赖：一般题目 B ≠ 0（见习题课十）。

第二章 多元微分学例12 综合：偏导、可微、连续的逻辑裁决表

解：四位证人——① f₁ = x²y/(x⁴+y²)；② f₂ = √(x²+y²)；③ f₃ = xy/√(x²+y²)；④ f₄ = xy(x²−y²)/(x²+y²)。

逐格依据：① 沿 y = x² 得 ½、沿轴得 0，不连续（第一章例 12 出庭记录）；偏导存在因 f(h,0) = f(0,h) = 0。② 例 3 全套判决。③ 例 4 全套判决；f₃ 的一阶偏导在原点附近：f_x = y³/(x²+y²)^3/2，沿 y 轴取 ±1 极限摆动，在原点不连续。④ 本行最微妙：f₄ 处处 C¹（|f_x| ≤ 4|y| → 0，一阶偏导连续），故可微；但 f_xy(0,0) ≠ f_yx(0,0)（例 2）——可微甚至 C¹ 不保证二阶混合偏导相等，Schwarz 的连续性条件是二阶层面的新门槛。

「偏导连续」的位置：它是整条逻辑链的收费闸门——设下它，偏导存在 ⟹ 可微 ⟹ 连续全线贯通（§2.8 充分条件），二阶混合偏导相等（Schwarz）；撤掉它，链上每一环都可能各奔东西，表中 ①②③④ 就是四张「撤卡后各环断裂」的照片。∎

要点：裁决表题是考研与期末的高频压轴——背表不如背证人：①「沿 y=x² 交 ½」②「±1 打架」③「对角线 f/ρ = ½」④「−1 ≠ 1」，四句口诀对应四份判决书。

第二章 多元微分学习题课一 偏导数

本课练「冻结 — 求导 — 解冻」的肌肉记忆：定义题（分段点）与公式题（整块区域）分轨处理。

第二章 多元微分学习题课二 高阶与混合偏导

二阶四件套的计算纪律：混合偏导算一次（Schwarz 保票）、书写顺序统一（先 x 后 y）。

第二章 多元微分学习题课三 全微分

全微分的三个用途：算增量主部、做近似、判可微。本课前两个；第三个在习题课四。

第二章 多元微分学习题课四 可微性判定

判定流水线：连续 → 偏导 → 坏路径找茬。本课练完整书写，判可微的证明骨架在此一次配齐。

第二章 多元微分学习题课五 链式法则

树形图技术的强化训练：从两层树到三层树，再到「全导数 + 偏导混合」的复合题型。

第二章 多元微分学习题课六 方向导数与梯度

三步流水线（单位化 → 梯度 → 投影）的批量操练，附两道「方向导数不友好」的辨析题。

第二章 多元微分学习题课七 切平面与法线

显式曲面（z = f(x, y)）用 n = (f_x, f_y, −1)；隐式曲面（F = 0）用 n = ∇F。两条路都要走熟。

第二章 多元微分学习题课八 多元 Taylor

二阶 Taylor 的书写模板 + 截断误差的「首项可见性」训练。

第二章 多元微分学习题课九 极值必要条件

驻点海选的方程组功夫 + 「驻点非极值」的辨析。

第二章 多元微分学习题课十 Hessian 判别法

Δ = AC − B² 的手感训练：B ≠ 0 的计算纪律与失效案例的应对。

第二章 多元微分学习题课十一 综合训练

章末大练兵：五道综合题横跨全章，按「判定 → 计算 → 几何 → 应用」四象限配齐。

第二章 多元微分学复盘：错题归档与三问自测

十一课练罢，把错题按「病灶」归档——第二章的错法比第一章集中，四大病灶各领一栏：

第二章 多元微分学格物札记① 盈不足术与迭代：从「假令」到梯度下降的试探-修正〔盈不足〕

《九章》卷七「盈不足」是一册「试探-修正」的操作手册：为解应用题，先假令（猜一个答案），按题意验算得「盈」或「不足」（猜过头还是差着）；再猜第二次，又得一个盈亏；于是用两次试探的读数插值外推，一步逼近真解。术文曰：「置所出率，盈、不足各居其下……副并列而求之」——用现代话说：两次猜测 (x₁, y₁)、(x₂, y₂) 连线，与零轴的交点就是答案 x* = (x₁y₂ − x₂y₁)/(y₂ − y₁)。

这套算法的隐含假设是：验算函数近似线性。题目真线性时一步命中（盈不足术对线性问题精确）；题目弯曲时，多次重复「假令—验算—插值」照样收敛——这正是数值分析里割线法（secant method）的东方前身，比欧洲早了约一千七百年。

再看穿一层：盈不足术把「解题」化成「函数读数 + 插值」，梯度下降把「求最小」化成「梯度读数 + 小步走」——都把困难的问题改写成可重复的简单动作。多元微分学提供的正是「读数仪器」：偏导、梯度、Hessian，各是一档放大倍率。仪器的谱系有多长，试探-修正这门手艺就能走多远——到反向传播，到今天的每一次模型训练。

第二章 多元微分学格物札记② Schwarz 与青年高斯：混合偏导定理的来龙去脉

「f_xy = f_yx」这条今天写进教科书的等式，走过了一段一百四十年的漫长公证：

1734 年，欧拉在给克莱罗的信里第一次注意到混合偏导似乎与次序无关，并在随后计算中大胆使用；克莱罗回信附上自己的验算——两位通信人都是「用了再说」。1744 年欧拉在帆船力学著作中明确写出等式，但给出的论证只对特例有效。拉格朗日（18 世纪末）在分析力学中把等式当公理用；安培（1806）给出第一个像样的证明，但漏掉了关键的连续性条件——证明里藏着「极限可交换」的白条。

高斯时代的态度值得单说一笔：青年高斯 1799 年的博士论文刚为「代数基本定理」补上严格性革命的第一枪，他对「白条论证」的态度是敬而远之；而在位势理论的计算（1839–40）中，高斯默认 ∂²V/∂x∂y = ∂²V/∂y∂x——大师的直觉常对，直觉不是证明。把「直觉常对」与「证明未给」分开记账，正是 19 世纪分析严格化运动的核心品格。

1873 年，施瓦兹（H. A. Schwarz，时年 30 岁，魏尔斯特拉斯学派的干将）给出了带连续性条件的完整证明（本章 §2.5 与挑战一重演的正是它）；紧接着 Peano（1890 年代）造出混合偏导存在却不相等的反例（例 2 的远亲，原版更刁钻），把「连续性条件不可去」钉成了铁案。一个等式，半个世纪公证期：直觉（欧拉）→ 白条（安培）→ 直觉默认（高斯）→ 定理（施瓦兹）→ 反例封界（Peano）——分析学严格化的标准五幕剧。

要点：读定理时问一句「这个条件是谁的历史欠账？」——Schwarz 的连续性条件对应安培的白条，Peano 的反例是催债函。数学史的深处，每一行「设 f ∈ C²」都是一张还清的欠条。

第二章 多元微分学章小结：知识图谱与方法表

第二章的骨架是一条「一阶 → 二阶 → 判别 → 迭代」的主干道：

方法表回顾（口诀四句）：求偏导「冻谁谁常数」；判可微「找坏路径，f/ρ 归零」；求方向导数「单位化→梯度→投影」三步流水；判极值「海选驻点、Δ = AC−B² 过堂、失效回定义」。概念表回顾：全微分 = 线性主部 + o(ρ)；梯度 = 最陡上升方向、模长 = 最大爬升率；Hessian = 二次型的系数表 = 碗的形状说明书。

三个「留白待续」：① 链式法则的树形图（图 2-7）将在第三章长成「雅可比矩阵」；② 切平面的法向量 n = (f_x, f_y, −1) 将统一成 ∇F（第三章隐函数）；③ 梯度下降的收敛纪律（η < 2/λ_max）将在第六章以「迭代映射的压缩性」正式讲透——第二章立好微分的地基，三张欠条后续各章兑付。

第二章 多元微分学思想卡：线性化——曲面上的一片平地

第二章 多元微分学挑战一 Schwarz 定理的完整证明

证明：取 |h|、|k| 足够小使涉及的点都在邻域内。核心主角是二阶差分

□(h, k) = f(x₀+h, y₀+k) − f(x₀+h, y₀) − f(x₀, y₀+k) + f(x₀, y₀)。

第一步（x 向两连中值）：固定 k，令 φ(t) = f(x₀+t, y₀+k) − f(x₀+t, y₀)（t ∈ [0, h]，设 h > 0；h < 0 同理）。则 φ 可导（因 f_x 存在）且 □ = φ(h) − φ(0)。由一元中值定理：□ = h·φ′(θ₁h) = h·[f_x(x₀+θ₁h, y₀+k) − f_x(x₀+θ₁h, y₀)]，θ₁ ∈ (0, 1)。

第二步（对 f_x 用 y 向中值）：把上式方括号看成一元函数 g(s) = f_x(x₀+θ₁h, y₀+s) 在 [0, k] 的增量。g 在 s 处的导数恰是 f_xy(x₀+θ₁h, y₀+s)（存在），由中值定理：□ = h·k·f_xy(x₀+θ₁h, y₀+θ₂k)，θ₂ ∈ (0, 1)。

第三步（换次序重算）：先冻 x₀+h 对 y 用两次中值（ψ(s) = f(x₀+h, y₀+s) − f(x₀, y₀+s)），完全平行地得 □ = h·k·f_yx(x₀+θ₃h, y₀+θ₄k)，θ₃、θ₄ ∈ (0, 1)。

第四步（连续性收网）：两式相除（hk ≠ 0）：f_yx(x₀+θ₃h, y₀+θ₄k) = f_xy(x₀+θ₁h, y₀+θ₂k)。令 (h, k)→(0, 0)：中点全部滑向 P₀，右端由 f_xy 在 P₀ 连续而趋于 f_xy(P₀)。故左端极限存在且等于同一值——这正是「f_yx(P₀) 存在且等于 f_xy(P₀)」的定义式陈述。∎

复盘三问：① θ 们为什么不必求出？——只要它们被夹在 (0,1) 内，就能保证中点随 (h,k)→0 而滑向 P₀。② 哪一步用了「f_xy 在 P₀ 连续」？——仅第四步收网；前三步只需存在性。③ 证明对 h < 0 或 k < 0 如何自处？——中值定理对任意区间方向有效，取 |h|、|k| 足够小统一处理。

第二章 多元微分学挑战二 最小二乘的正规方程：用多元极值推导

解：S 是 (a, b) 的二元函数。求偏导：

∂S/∂a = −2Σ(y_i − a − bx_i) = 0 ⟹ n·a + (Σx_i)·b = Σy_i；

∂S/∂b = −2Σx_i(y_i − a − bx_i) = 0 ⟹ (Σx_i)·a + (Σx_i²)·b = Σx_iy_i。

两条正规方程。Hessian 检验：S_aa = 2n，S_ab = 2Σx_i，S_bb = 2Σx_i²，Δ = 4(nΣx_i² − (Σx_i)²) = 4n²·(x 的方差)·(n−1)/n? 直接看：nΣx_i² − (Σx_i)² ≥ 0（Cauchy 不等式），且 x_i 不全相等时严格 > 0，S_aa > 0——Hessian 正定（练 11.5 的判据），驻点即全局最小，且唯一。

代入数据：n = 3，Σx = 6，Σy = 6，Σx² = 14，Σxy = 1 + 4.2 + 8.7 = 13.9。正规方程：3a + 6b = 6；6a + 14b = 13.9。由第一式 a = 2 − 2b，代入：12 − 12b + 14b = 13.9 ⟹ b = 0.95，a = 0.1。拟合直线 y = 0.1 + 0.95x。残差：−0.05、+0.10、−0.05，S_min = 0.0025 + 0.01 + 0.0025 = 0.015。

要点：这是本章「无约束极值理论」最著名的应用——高斯（1809 年与 Legendre 争夺优先权的）最小二乘法，用 21 世纪的话说就是「线性回归的损失函数求梯度置零」。梯度为 0 处停留，Hessian 正定处安心——两百年前的天文轨道计算，与今天的机器学习，用的是同一页讲义。

第二章 多元微分学实验：梯度下降可视化——给碗底滚球

实验对象：扁碗 f = x² + 4y²（Hessian = diag(2, 8)，λ_max = 8，步长上限 2/8 = 0.25）。起点 (3.5, 1.5)，迭代 x_n+1 = x_n − η∇f（∇f = (2x, 8y)）。三种学习率，各跑五步（数值程序验算）：