G-集与 Sylow 定理

数学小主题读本 · 其十　｜　从群作用到阶数的算术——轨道、计数、同余与三条 Sylow 定理　｜　九章格数学 PhiloMath
本册定位。群论里有一条几乎不讲道理的捷径：只要知道群的阶，就能对它的子群结构说三道四。阶是 15 的群必是循环群；阶是 30 的群必有正规的 5 阶或 3 阶子群；阶是 60 的非阿贝尔单群只有一家。这条捷径的全部引擎，是群在集合上的作用——把抽象的乘法搬到具体的点集上，用数点的方式逼出结构。本册把这条链条一节一节焊死：§1 立起 G-集的定义与三种等价语言；§2 给出轨道—稳定化子定理与 G-集的同态基本定理，得到「每个 G-集都是一堆陪集空间的并」这条结构定理；§3 用一次双计数拿下 Burnside 计数定理，并用项链、立方体染色、共轭类三个方向检验它；§4 把等式降级为同余，得到 p-群作用的「模 p 计数」与 Cauchy 引理；§5 用它一口气证完 Sylow 三定理（存在、共轭、计数），并交代三条定理彼此如何依赖；§6 回到阶数，把 Sylow 当作一台结构判定机使用，最后用它重证 A5 的单性。全册每一条定理都给完整证明，包括两处常被跳过的细节：Wielandt 计数证明中「左乘自由」的关键一步，以及 Sylow 第三定理不动点唯一性的论证。前置只有群、子群、陪集、Lagrange 定理与同态基本定理这一层内容，读《抽象代数》上卷前四章即可。暗线：数点即结构。

§1群在集合上的作用：定义与词典

群是「对称」的代数封装。一个群 G 本身只有一张乘法表，看不到它在干什么；一旦让它去搬动某个集合的元素，乘法表就变成了一幅可以看的图。作用（action）就是这件把抽象乘法翻译成具体搬运的工具。

1.1　定义与第一批例子

定义 1.1（左作用）　设 G 是群，X 是非空集合。G 在 X 上的一个左作用是一个映射
G × X → X，　(g, x) ↦ g·x，
满足两条公理：
(A1)　e·x = x；　　(A2)　(gh)·x = g·(h·x)
对一切 g, h ∈ G 与 x ∈ X 成立。此时称 X 为一个左 G-集。以下省去圆点，写作 gx。

两条公理合起来说的是「G 的乘法与 X 的搬运相容」。注意 (A2) 的次序：先做 h 再做 g，等于做 gh——这正是「左作用」的意思。若把 (A2) 改成 x·(gh) = (x·g)·h，得到的是右作用。两种约定只差一个 g ↦ g−1，本册一律用左作用，遇到文献里的右作用自行换算。

例 1.2（八个基本标本）

(a) 平凡作用。X 任意，gx = x。每个 g 都搬不动任何点。

(b) 正则作用。X = G，g·x = gx（左乘）。这是群搬自己的最基本方式。

(c) 共轭作用。X = G，g·x = gxg−1。它的轨道是共轭类，是 §2 与 §3 的常客。

(d) 陪集作用。H ≤ G，X = G/H，g·(xH) = gxH。这个作用把「子群」变成「集合」，是 Sylow 第二定理的舞台。

(e) 置换表示。G ≤ Sn，X = {1, …, n}，σ·i = σ(i)。置换群就是「生来就在作用」的群。

(f) 几何对称。D4（正方形的对称群，8 个元素）作用于 4 个顶点、4 条边、2 条对角线、1 个面；正十二面体的旋转群（60 个元素）作用于 20 个顶点、30 条棱、12 个面。

(g) 线性作用。GLn(F) 作用于 Fn 的向量；O(n) 作用于 ℝn，轨道是以原点为中心的球面。

(h) 数论作用。模 n 的单位群 (ℤ/n)× 作用于 ℤ/n 由乘法；Sn 作用于 n 元多项式环，把变量重排——对称多项式就是这条作用的不动点。

八个标本里，(b)(c)(d) 三个是「群搬自己或搬自己的陪集」，构成了本册的主干；(f)(g) 提供了想象的落脚点；(h) 说明作用不止于几何。接下来把定义变成可以计算的东西。

1.2　三种语言：作用、同态、置换表示

同一个作用有三种说法，熟练的人在三者之间自由切换。第一种就是定义 1.1；第二种把每个 g 看成一个搬动 X 的双射；第三种把整个群看成一个置换群。

命题 1.3（作用 ↔ 同态）　设 G 在 X 上有左作用。对每个 g ∈ G 定义
σg：X → X，　x ↦ gx。
则　(i) 每个 σg 是双射，且 σg−1 = σg−1；　(ii) 映射 ρ：G → Sym(X)，g ↦ σg 是群同态。反之，若给定同态 ρ：G → Sym(X)，令 g·x = ρ(g)(x)，则得到 G 在 X 上的左作用。两个构造互逆。
证明　(i) 对任意 x ∈ X，
σgσg−1(x) = g(g−1x) = (gg−1)x = ex = x，
中间一步用了 (A2)，最后一步用了 (A1)。同理 σg−1σg = id。故 σg 可逆，逆为 σg−1，是双射。 (ii) 对每个 x，
ρ(gh)(x) = (gh)x = g(hx) = ρ(g)(ρ(h)(x)) = (ρ(g) ∘ ρ(h))(x)，
故 ρ(gh) = ρ(g) ∘ ρ(h)。又 ρ(e)(x) = ex = x，故 ρ(e) = id。所以 ρ 是同态。 反向：给定同态 ρ，令 g·x = ρ(g)(x)。(A1) 因 ρ(e) = id；(A2) 因 ρ(gh) = ρ(g)ρ(h)。两个构造显然互逆。∎
① 外部乘法 (g, x) → g·x (A1) e·x = x (A2) (gh)·x = g·(h·x) ② 群同态 ρ : G → Sym(X) ρ(gh) = ρ(g)∘ρ(h) ρ(e) = id ③ 置换群 G ≅ im ρ ≤ Sym(X) 每个 g 是一个 搬动 X 的双射 三者互相可逆：给出其一，另两个由命题 1.3 立刻得到 本册的全部论证都落在「③ 数点」这一端
图 1-1　作用的三种语言：乘法表（左）、同态（中）、置换表示（右）。三条通道互相可逆，本册在三者之间来回换轨。

这张词典解释了为什么「作用」值得单独立一节：它把群论问题翻译成置换群问题，又把置换群问题翻译成数点问题。Sylow 定理的全部证明都在「数点」这一端完成。

词典还有第三个出口：范畴。把群 G 看成一个只有一个对象的范畴（态射是群元素，复合是乘法，全部可逆），那么左 G-集正好是函子 G → Set，G-等变映射正好是函子之间的自然变换。这个说法现在用不上，但它是 §2 结构定理的现代包装，值得先记下。

1.3　核、忠实性与三个推论

定义 1.4（核与忠实）　作用 ρ：G → Sym(X) 的核是
ker ρ = {g ∈ G ： gx = x 对一切 x ∈ X}。
若 ker ρ = {e}，称该作用是忠实的（faithful），即 G 真的「坐进了」X 的对称群。
命题 1.5（核的三件事）　设 G 作用于 X，x0 ∈ X。

(i) ker ρ ◁ G，且 ker ρ = ⋂x∈X Gx，其中 Gx = {g ： gx = x} 是 x 的稳定化子。

(ii) G/ker ρ 忠实作用于 X。

(iii) 若作用传递（即 X 只有一个轨道，见 §2），则

ker ρ = ⋂g∈G gGx0g−1 =: coreG(Gx0)，

即 Gx0 在 G 中的核，它是含于 Gx0 的最大正规子群。

证明　(i) 核是同态的核，必为正规子群。g ∈ ker ρ 等价于 g 固定每一个 x，即 g 属于每个 Gx。 (ii) 由群的第一同构定理，ρ 诱导单同态 G/ker ρ ↪ Sym(X)，单同态即忠实。 (iii) 先算共轭稳定化子。对任意 g ∈ G 与 h ∈ Ggx0：
h(gx0) = gx0 ⟺ g−1hg ∈ Gx0 ⟺ h ∈ gGx0g−1，
故 Ggx0 = gGx0g−1。传递性使 {gx0} = X，代入 (i) 即得第一个等式。core 当然正规（共轭之交），且含于 Gx0（取 g = e 一项）；若有 N ◁ G，N ≤ Gx0，则 N = gNg−1 ≤ gGx0g−1 对一切 g，故 N ≤ core。∎
推论 1.6（Cayley 定理）　每个群 G 都同构于 Sym(G) ≅ S|G| 的一个子群。特别地，有限群都是置换群。
证明　取正则作用（例 1.2(b)）。若 gx = x 对一切 x ∈ G，取 x = e 得 g = e，故作用忠实，由命题 1.3 得单同态 G ↪ Sym(G)。∎

Cayley 定理人人会背，但它真正有意思的地方在量化：把正则作用换成陪集作用，就能得到远比 |G|! 小的忠实置换表示。

推论 1.7（陪集表示）　设 H ≤ G 指数为 n，则 G/coreG(H) 嵌入 Sn。特别地 |G| 整除 |coreG(H)| · n!。
证明　取陪集作用（例 1.2(d)）。|G/H| = n，故 Sym(G/H) ≅ Sn。作用传递，由命题 1.5(iii) 核为 coreG(H)，再由 1.5(ii) 得单同态。∎

由此立刻得到一条常用判据：若 H 不含 G 的非平凡正规子群（即 core = 1），则 G 嵌入 Sn，从而 |G| | n!。例如 |G| = 36 而 G 有指数 4 的子群、core = 1，则 |G| | 24，矛盾——这类「阶数算术」正是 §5、§6 的风格，只不过那里的锤子换成了 Sylow。

1.4　限制、拉回与不变子集

作用可以沿子群与同态「传递」，这套操作让 G-集成为一个真正的范畴。

命题 1.8（三种传递）　设 X 是 G-集。

(i) 若 H ≤ G，则 X 自动是 H-集（限制，记 X|H）。

(ii) 若 φ：K → G 是同态，则 X 是 K-集，作用为 k·x = φ(k)x（拉回）。

(iii) 若 N ◁ G 且 N ≤ ker ρ，则 X 是 G/N-集，作用为 (gN)·x = gx。

(iv) X 的 G-不变子集（满足 gY ⊆ Y 对一切 g 的子集 Y）族对交、并、补封闭，构成一个 Boolean 代数。

证明　(i)(ii) 公理逐条验证即可；(iii) 需验与代表元无关：若 gN = g′N，则 g′ = gn，n ∈ N ≤ ker，故 g′x = g(nx) = gx；(iv) 若 Y 不变，则 gY ⊆ Y 对 g 与 g−1 同时成立，故 gY = Y，于是补集也不变；交并显然。∎

(iv) 里那句「gY ⊆ Y 蕴含 gY = Y」值得单独记住：在一个作用里，没有「只进不出」的箱子。这条小事实在 §2 会升级为「不变子集必是若干轨道之并」，也是「G-集的子结构不做除法、只做筛选」的根源。

1.5　把几何例子算成数

作用的好坏，取决于能不能把「G 有多大」与「X 有多大」对上账。下表的每一行都是一次对账，用的是 §2 才证的轨道—稳定化子定理；现在先当预告看，读完 §2 回头验。

群 G集合 X|G||X|稳定化子阶账目
D4正方形的顶点8428 = 4 × 2
D4正方形的边8428 = 4 × 2
D4正方形的对角线8248 = 2 × 4
R（立方体旋转）六个面246424 = 6 × 4
R（立方体旋转）八个顶点248324 = 8 × 3
R（立方体旋转）十二条棱2412224 = 12 × 2
O(n)单位球面 Sn−1∞∞O(n−1)Sn−1 ≅ O(n)/O(n−1)
GL2(F2) ≅ S3射影直线 P1(F2)6326 = 3 × 2

这张表最后一行值得多看一眼：GL2(F2) 有 6 个元素，射影直线上有 3 个点，稳定化子 2 个元素——于是 S3 出现在射影几何里，不是巧合，而是「6 = 3 × 2」这条账的另一面。

§2轨道、稳定化子与同态基本定理

§1 给了定义，但没给任何「能算的东西」。本节做三件事：把 X 切成最小的不变块（轨道）；量出每块与群的大小之比（轨道—稳定化子定理）；把 G-集之间的映射整理成一套同态理论（同态基本定理与结构定理）。做完之后，每个 G-集都被写成若干陪集空间的并——这句话是本册后半部的全部地基。

2.1　轨道与稳定化子

定义 2.1（轨道、稳定化子）　设 X 是 G-集，x ∈ X。
Gx := {gx ： g ∈ G}　（x 的轨道），　　Gx := {g ∈ G ： gx = x}　（x 的稳定化子）。
若 Gx = X，称作用传递（transitive）；若 Gx = {e} 对一切 x，称作用自由（free）。
命题 2.2（轨道划分 X）　设 X 是 G-集。

(i) 对每个 x，Gx ≤ G。

(ii) 关系 x ~ y ⟺ 存在 g ∈ G 使 y = gx 是 X 上的等价关系，其等价类恰为轨道。

(iii) X 是各轨道的不交并：X = ⨆O ∈ X/G O。

证明　(i) e ∈ Gx；若 g, h ∈ Gx，则 (gh)x = g(hx) = gx = x，故 gh ∈ Gx；若 g ∈ Gx，则 g−1x = g−1(gx) = x，故 g−1 ∈ Gx。三条齐备。 (ii) 自反：x = ex。对称：若 y = gx，则 x = g−1y。传递：若 y = gx 且 z = hy，则 z = (hg)x。x 的等价类正是 {gx} = Gx。 (iii) 等价关系把集合切成不交的类。∎
轨道 O1　|O1| = 5 O2　|O2| = 3 O3　|O3| = 4 X 被切成互不相通的轨道：圈内处处可达，圈间永不相通 X = O1 ⨆ O2 ⨆ O3　　|X| = 5 + 3 + 4 = 12
图 2-1　一个 G-集的轨道分解：同一圆圈内的点属于同一轨道，圈内互相可达，圈间永不相通。作用就是「在圈内搬家」。

轨道分解把作用问题拆成两半：轨道之间的组合结构（哪些块、各几个）与单条轨道上的几何。后者被下一条定理彻底解决。

2.2　轨道—稳定化子定理

定理 2.3（轨道—稳定化子）　设 G 作用于 X，x ∈ X。则存在双射
φx：G/Gx → Gx，　gGx ↦ gx。
特别地 |Gx| = [G : Gx]。当 G 有限时 |G| = |Gx| · |Gx|，故轨道长度整除 |G|。
证明　分四步。

良定义。若 gGx = hGx，则 h−1g ∈ Gx，记 h−1g = k，则 kx = x，于是

gx = h(h−1g)x = h(kx) = hx。

故 φx 的取值只依赖陪集。

满射。Gx 的元素形如 gx = φx(gGx)。

单射。若 φx(gGx) = φx(hGx)，即 gx = hx，两边左乘 h−1 得 h−1gx = x，故 h−1g ∈ Gx，即 gGx = hGx。

计数。双射给出 |Gx| = |G/Gx| = [G : Gx]（Lagrange）。有限时 [G : Gx] = |G|/|Gx|。∎

注 2.4（这条定理为什么重要）　定理 2.3 是全册使用频率最高的一句。它把「轨道有多大」这件几何的事，翻译成「稳定化子有多小」这件代数的事。反过来用更常见：想知道某个稳定化子的大小，就去数轨道的点数。Sylow 第二、第三定理的证明全都在做这个换算。
例 2.5（四次对账）

(a) 立方体。旋转群 R 有 24 个元素。它作用于 6 个面且传递，故稳定化子 24/6 = 4——正是绕该面中心轴转 0°、90°、180°、270° 这四个。它作用于 8 个顶点，稳定化子 24/8 = 3——绕该顶点的体对角线转 ±120° 与恒等。作用于 12 条棱，稳定化子 2——恒等与绕该棱中点 180° 翻转。三个数 4、3、2 与「绕面、绕顶点、绕棱」三种旋转一一对上，这是定理 2.3 最直观的一次验证。

(b) 球面。O(n) 传递地作用于单位球面 Sn−1，e1 的稳定化子是保持 e1 的正交变换，即 O(n−1)。于是 Sn−1 ≅ O(n)/O(n−1)。维数对账：(n−1) = n(n−1)/2 − (n−1)(n−2)/2，两边相等。

(c) 射影直线。G = GL2(Fp) 作用于 P1(Fp)（一维子空间之集），传递。P1 有 p+1 个点，|G| = (p2−1)(p2−p)，故稳定化子阶为

(p2−1)(p2−p)/(p+1) = (p−1)p(p−1) = p(p−1)2，

即上三角可逆矩阵的全体 {(a b0 d) ： a, d ≠ 0}，数目 p(p−1)2，对上了。

(d) 共轭类。G 共轭作用于自身，轨道是共轭类，x 的稳定化子是中心化子 CG(x)。于是

|xG| = [G : CG(x)]。

这就是「共轭类大小 = 中心化子指数」这条公式。在 S5 里取 x = (12)(34)：CS5(x) 含 e, (12), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1324), (1423) 共 8 个，故类大小 120/8 = 15，正是双换位总数 C(5,2)C(3,2)/2 = 15。

推论 2.6（类方程）　设 G 有限，g1, …, gr 取遍所有非中心共轭类的代表元。则
|G| = |Z(G)| + Σi=1r [G : CG(gi)]。
证明　共轭作用把 G 分成共轭类。轨道是单点 ⟺ 对一切 g，gxg−1 = x ⟺ x ∈ Z(G)。其余类的长度由 2.5(d) 给出。∎

类方程在 §4 会被用两次，一次证「p-群中心非平凡」，一次在 Cauchy 引理的归纳证明里做枢纽。它之所以有力，是因为右边的每一项要么被 p 整除、要么暴露了中心的信息。

2.3　G-集同态与同态基本定理

有了对象，自然要问「对象之间有哪些映射」。群同态要求保住乘法；G-集之间的映射则要求保住作用。

定义 2.7（G-同态）　设 X, Y 都是 G-集。映射 f：X → Y 称为 G-等变（或 G-同态、G-映射），若
f(gx) = g·f(x)　对一切 g ∈ G，x ∈ X。
等变双射称为 G-同构，记 X ≅G Y。所有 G-集与 G-同态构成范畴 G-Set。

三句话看懂等变性：先搬再看，等于先看再搬；或用交换图表说，f 与每个 σg 都交换。立刻得到两个例子与一个反例。

例 2.8

(a) 对任意 G-集 X，到单点集 Y = {∗} 的常值映射是 G-同态（单点集只有平凡作用，等变性无内容）。所以单点集是 G-Set 的终对象。

(b) 若 H ≤ K ≤ G，则自然投影 π：G/H → G/K，gH ↦ gK，是 G-同态。良定义正需要 H ≤ K：若 gH = g′H，则 g′ = gh（h ∈ H ≤ K），故 g′K = gK。

(c) 反例：取 G = S3，X = {1, 2, 3} 带自然作用，Y = {1, 2, 3} 带平凡作用。恒等映射 id：X → Y 不是 G-同态：取 σ = (12)，则 id(σ·1) = id(2) = 2，而 σ·id(1) = σ·1 = 1（在 Y 中一切被固定），两者不等。可见同一个三点集，换一种作用就成了不同的 G-集。

群同态的核是子群；G-同态的「核」却不是子集，而是一对等价关系。这是 G-Set 与 Grp 最本质的差别，值得专门说明。

定理 2.9（G-集同态基本定理）　设 f：X → Y 是 G-同态，在 X 上定义
x ~ x′ ⟺ f(x) = f(x′)。
则　(i) ~ 是 G-不变的等价关系（即 x ~ x′ ⟹ gx ~ gx′）；　(ii) 商集 X/~ 带作用 g·[x] := [gx] 是良定义的 G-集；　(iii) f 诱导 G-同构
X/~ ≅G im f，　[x] ↦ f(x)。
证明　(i) 等价关系三条显然。不变性：由等变性
f(gx) = g·f(x) = g·f(x′) = f(gx′)，
故 x ~ x′ ⟹ gx ~ gx′。 (ii) 良定义即 (i)：若 [x] = [x′]，则 [gx] = [gx′]。公理 (A1)(A2) 从 X 继承。 (iii) 定义 F([x]) = f(x)。良定义由 ~ 的定义；取值落在 im f；满射显然；单射：F([x]) = F([x′]) 即 f(x) = f(x′)，即 x ~ x′，即 [x] = [x′]。等变性：F(g·[x]) = F([gx]) = f(gx) = g·f(x) = g·F([x])。∎
注 2.10（为什么核不是子集）　在 Grp 中，同态的核 ker f = f−1(e) 是子群，因为它总能「对准一个零元」。G-Set 没有零对象（初始对象是空集，终对象是单点集，两者不同），所以「对准哪个点」没有意义；核只能是「哪些点被判为相等」，也就是 X × X 上的一个等价关系（范畴语言里叫 核对，kernel pair）。定理 2.9 就是「余等化子」版本的群第一同构定理。理解了这一点，就不会再去找「G-同态的核是哪个子群」。
推论 2.11（单性的判据）　G-同态 f 是单射 ⟺ 每个纤维 f−1(y) 是单点 ⟺ 关系 ~ 是相等关系。
证明　三者都是「f(x) = f(x′) ⟹ x = x′」的改写。∎

2.4　齐性 G-集：全是陪集空间

现在把「传递」这个条件加上，结构立刻完全透明：传递 G-集就是陪集空间，一个不多，一个不少。

定理 2.12（齐性 G-集的分类）　设 X 传递，x ∈ X。则定理 2.3 的双射
φx：G/Gx → X，　gGx ↦ gx
是 G-同构（左边取陪集作用）。
证明　2.3 已证双射（传递性保证满射到整个 X）。等变性：对 h ∈ G，
φx(h·(gGx)) = φx(hgGx) = hgx = h·φx(gGx)。∎

那么「两个陪集空间何时同构」？初学者的第一反应是「H = K」，这是错的：答案要弱到「共轭」。要证这件事，需要先知道 G/H 到 G/K 的同态长什么样。

定理 2.13（同态分类）　设 H, K ≤ G。则
HomG(G/H, G/K) ≅ {aK ： a ∈ G，a−1Ha ≤ K}，
双射为 f ↦ f(H)。（右边是 G/K 的一个子集，故两边同为集合、可比基数。）
证明　记 H 对应的陪集为 H ∈ G/H，即 eH。

第一步：f 由 f(H) 唯一决定。任取 gH ∈ G/H，则 gH = g·H，由等变性

f(gH) = g·f(H)。

第二步：f(H) 必须是形如 aK 的陪集。因为 f(H) ∈ G/K，写 f(H) = aK。于是 f(gH) = gaK。

第三步：等变性的充要条件。对 h ∈ H，hH = H，故必须有 f(hH) = f(H)，即 haK = aK，即 a−1ha ∈ K。这一步是 必要的。反过来，若 a−1Ha ≤ K，定义 f(gH) = gaK：良定义因若 g′ = gh，则 g′aK = ga(a−1ha)K = gaK；等变性因 f(t·gH) = tgaK = t·f(gH)。

第四步：两个构造互逆。由 aK（满足 a−1Ha ≤ K）造出 f，再取 f(H) = aK，回到原处；反向由第一步。∎

推论 2.14（同构与自同态）　设 H, K ≤ G。

(i) G/H ≅G G/K ⟺ 存在 a ∈ G 使 a−1Ha = K，即 H 与 K 共轭。

(ii) EndG(G/H) = AutG(G/H) ≅ NG(H)/H，其中 NG(H) 是正规化子。

(iii) HomG(G/H, G/K) ≠ ∅ ⟺ H 含于 K 的某个共轭之中。

证明　(i) 同构必是双射同态，故取定理 2.13 中的 aK，条件是 a−1Ha ≤ K；由定理 2.13 反向（把 f−1 写成同态 G/K → G/H）得 K 含于 H 的某共轭，故 a−1Ha = K。反之若 a−1Ha = K，定理 2.13 给出双向同态，且两者互逆（因为决定映射的陪集互为逆）。

(ii) 自同态对应集合 S = {aK ： a−1Ha ≤ H}（此处 K = H）。条件 a−1Ha ≤ H 与 |a−1Ha| = |H| 合起来给出等号，故 a ∈ NG(H)，于是 S = {aH ： a ∈ NG(H)} = NG(H)/H。这些自同态都双射（逆由 a−1H 给出），故 End = Aut；复合对应陪集相乘，是群同构。

(iii) 直接读定理 2.13 的条件 a−1Ha ≤ K，即 H ≤ aKa−1。∎

推论 2.14 值得停下来体会。它说 传递 G-集的「线性代数」完全由子群的共轭几何决定：对象是子群的共轭类，态射是共轭包含关系，自同态群是正规化子商。§5 里 Sylow 定理的第三条 np = [G : NG(P)] 正是 2.14(i) 的一次应用——Sylp(G) 是 G/NG(P) 的一个化身。

定理 2.15（G-集结构定理）　设 G 有限，X 是有限 G-集，轨道为 O1, …, Or，取 xi ∈ Oi。则
X ≅G ⨆i=1r G/Gxi，　且　|X| = Σi [G : Gxi]。
两个有限 G-集同构 ⟺ 对每个子群的共轭类 C，以 C 中成员为稳定化子的轨道个数相同。
证明　命题 2.2(iii) 给出不交并分解；每个 Oi 在 G 下传递，由定理 2.12 同构于 G/Gxi；不交并上的作用逐块进行，故同构可逐块拼。最后一句由 2.14(i)：同一共轭类内可选任意代表元；不同共轭类之间由 2.14(i) 不同构。∎
X Y X / ker f im f f　（G-同态） 商映射 ≅　（G-同构，定理 2.9） 包含 先商掉「被判为相等」的关系，再同构进像
图 2-2　同态基本定理的交换图：f 先经商映射、再过同构落入像。G-集的「核」是左边的等价关系，不是子集。

2.5　陪集作用的三个红利

把 §1 的推论 1.7 与 §2 的结构定理合起来，能立刻兑出三笔现金。它们经常在「|G| 与 n! 打架」的论证里出现。

命题 2.16　设 H ≤ G，[G : H] = n。

(i) 若 n = 2，则 H ◁ G。

(ii) 若 coreG(H) = 1，则 G 嵌入 Sn，从而 |G| | n!。

(iii) 若 |G| = n! 且 coreG(H) = 1，则 G ≅ Sn 且 H ≅ Sn−1。

证明　(i) 指数 2 的子群只有两个左陪集 H 与 G∖H，任取 g ∉ H 则 gH = G∖H = Hg，共轭稳定，故正规。 (ii) 推论 1.7。 (iii) 由 (ii) 得单射 G ↪ Sn，两边阶相等，故为同构；此时 H 对应 Sn 中稳定一个点的子群，阶为 (n−1)!。∎

命题 2.16(iii) 常被用作识别定理：一个 n! 阶的群，只要找到一个指数 n 且 core 平凡的子群，就自动是 Sn。§6 证 S5 的自同构群时会再遇到同一手法。

思想卡 1（轨道是「看得见的不变量」）　给一个 G-集，能一眼看出的东西是轨道分解；看不见但决定全局的东西是稳定化子的共轭类。定理 2.15 说这两组数据完全等价。于是「研究作用」就等于「研究子群的共轭几何」——这正是 Sylow 理论的入口：Sylow 定理说的就是「p-子群的共轭几何有多硬」。硬到什么程度？硬到只剩下一个数 np，而这个数被两条约束（整除 m、同余 1 mod p）夹得几乎没有余地。

§3Burnside 计数定理

群作用的第一个大用途是数数。许多「本质不同」的计数问题——不同项链、不同骰子、不同棋局、不同化学分子——都可以读成「某个有限群作用在某个有限集上，问轨道有多少条」。轨道数一般不等于 |X|/|G|，因为不同点的稳定化子大小不同。Burnside 定理给出了正确的平均公式，而它的证明只需一次双计数。

3.1　问题的形状

设 G 有限，作用于有限集 X。要数的是轨道条数 |X/G|。为了让公式说得清，先把「不动点」单独取名。

定义 3.1（不动点集）　对 g ∈ G，记
Fix(g) := {x ∈ X ： gx = x}，　　XG := ⋂g∈G Fix(g)。
XG 是整体不动点之集。若 G = ⟨S⟩ 由 S 生成，则 XG = ⋂s∈S Fix(s)。
证明（最后一句）　「⊆」显然。「⊇」：若 x 被每个 s ∈ S 固定，则 x 被 S 中元素的一切乘积固定（对长度归纳：若 sx = x、gx = x，则 (sg)x = s(gx) = sx = x；逆元同理），故被 ⟨S⟩ 固定。∎

这条小引理在实算中极省事：不必检查整个群，只查一组生成元。立方体旋转群由「绕面心转 90°」与「绕顶点转 120°」两个元素生成，但要算整个 Fix 表时仍需逐个枚举 24 个元素——下面 3.4 的表格就是这么来的。

3.2　双计数与 Burnside 定理

引理 3.2（双计数）　设 G 有限，作用于有限集 X。则
Σg∈G |Fix(g)| = |G| · |X/G|。
证明　考虑「不动事件」的集合
S = {(g, x) ∈ G × X ： gx = x}，
用两种方式数 |S|。

按 g 数。固定 g，满足 gx = x 的 x 恰有 |Fix(g)| 个，故

|S| = Σg∈G |Fix(g)|。

按 x 数。固定 x，满足 gx = x 的 g 恰为稳定化子 Gx，故

|S| = Σx∈X |Gx|。

按轨道汇总。把第二个和按轨道分组。若 O 是一条轨道，则对每个 x ∈ O，由轨道—稳定化子定理 |Gx| = |G|/|O|，于是

Σx∈O |Gx| = |O| · |G|/|O| = |G|。
每条轨道贡献恰好 |G|，共 |X/G| 条，故 Σx|Gx| = |G|·|X/G|。两个结果相等。∎
定理 3.3（Burnside 计数定理）　设 G 有限，作用于有限集 X。则
|X/G| = 1|G| Σg∈G |Fix(g)|。
证明　引理 3.2 两边同除 |G|（|G| ≥ 1）。∎

一句话：轨道数等于平均不动点数。「平均」是对群元素平均，不是对集合元素平均——这是全部误用的来源，§3.7 会专门批。

注 3.4（名字）　这条定理常被叫作 Cauchy–Frobenius 引理。Cauchy 1845 年在一篇关于「不同排列的个数」的论文里用过它，Frobenius 1887 年把它系统化，Burnside 1897 年的《有限群论》把它写进教科书并注明出处。因为教科书的影响太大，英语世界习惯叫它 Burnside 引理，而 Burnside 本人称之为「Frobenius 的定理」。本册按主流叫法，但记住真正的作者更公平。
命题 3.5（同一枚硬币的另一面）　设 G 有限，作用于有限集 X。则
|X/G| = Σx∈X 1|Gx| = 1|G| Σx∈X |Gx|。
证明　在轨道 O 内每个 x 都有 |Gx| = |O|，故 Σx∈O 1/|Gx| = |O|/|O| = 1。对轨道求和得右边。第二个等号用 |Gx| = |G|/|Gx|。∎

命题 3.5 的第一种写法有个漂亮的概率解释：若从 X 中均匀随机取一点，则它所处的轨道长度的倒数的期望，恰等于轨道条数除以 |X|。第二种写法就是引理 3.2 的等价形式。换句话说，定理 3.3 与命题 3.5 是同一次双计数的两张面孔，一张按 g 看、一张按 x 看。

x1 x2 x3 x4 x5 e g g2 行和 5 2 2 列和 1 1 1 3 3 实心格＝gx = x　｜　按行数得 Σ|Fix(g)|，按列数得 Σ|Gx| 两数和同为 9；每条轨道贡献 |G| = 3，故轨道数 = 9 / 3 = 3
图 3-1　双计数的棋盘：行是群元素 g，列是点 x，实心格表示 gx = x。按行数得 Σ|Fix(g)|，按列数得 Σ|Gx|，两数相等；再按轨道汇总，每条轨道恰好贡献 |G|。

3.3　例：项链与手镯

约定。取 n 颗珠子排成一圈，每颗从 k 种颜色中选一种。若只允许整圈旋转（不许翻面），得到的是项链（necklace），计数群是循环群 Cn；若还允许翻面，得到的是手镯（bracelet），计数群是二面体群 Dn（|Dn| = 2n，n ≥ 3）。

0 1 2 3 4 5 旋转 j 格 整体旋转 转 90°（j = 2） 0→2→4→0　1→3→5→1 2 个 3-循环，c = 2 固定染色数 = k2 反射（过 0 与 3 的轴） 1↔5　2↔4　0 与 3 不动 2 个不动点 + 2 个二循环，c = 4 固定染色数 = k4 循环个数 c 决定一切：被固定的染色数 = kc
图 3-2　n = 6 的珠子圈：旋转 j 格把位置 i 送到 i + j；反射把圈翻过来。珠子的循环结构决定了一条染色被固定需要多「整齐」。

要套用定理 3.3，只需算出每个 g 的不动染色数。而一条染色被置换 g 固定，当且仅当它在 g 的每个循环上取同一颜色，故

|Fix(g)| = kc(g)，　c(g) := g 的循环个数。(3.1)

于是全部工作归结为算循环个数。

例 3.6（项链：循环群 Cn）

旋转 j 格（j = 0, 1, …, n−1）把 i 送到 i+j（模 n）。轨道长度是 n/gcd(j, n)，故循环个数

c(j) = gcd(j, n)。

由定理 3.3，

项链数 N(n, k) = 1n Σj=0n−1 kgcd(j,n)。(3.2)

按 d = gcd(j, n) 归并，可写成更常用的形状：

N(n, k) = 1n Σd|n φ(n/d) kd，(3.3)

其中 φ 是 Euler 函数：满足 gcd(j, n) = d 的 j ∈ {0, …, n−1} 有 φ(n/d) 个。

算 n = 6、k = 3。gcd(j, 6) 对 j = 0, 1, 2, 3, 4, 5 依次为 6, 1, 2, 3, 2, 1，故

Σ = 36 + 31 + 32 + 33 + 32 + 31 = 729 + 3 + 9 + 27 + 9 + 3 = 780，

项链数 = 780/6 = 130。

例 3.7（手镯：二面体群 Dn）

除 n 个旋转外，还有 n 个反射，分两种情形。

n 为奇数。每条反射轴都过一个顶点与对边中点，该反射的循环结构是「1 个不动点 + (n−1)/2 个二元循环」，故 c = (n+1)/2，共 n 条轴：

反射贡献 = n · k(n+1)/2。

n 为偶数。n/2 条轴过一对相对顶点，循环结构「2 个不动点 + (n−2)/2 个二元循环」，c = n/2 + 1；另 n/2 条轴过一对对边中点，循环结构「n/2 个二元循环」，c = n/2：

反射贡献 = (n/2)(kn/2+1 + kn/2)。

于是手镯数

B(n,k) = 12n [ Σj kgcd(j,n) + (反射贡献) ]。(3.4)

算 n = 6、k = 3。旋转部分 780（例 3.6）；反射：3 条过顶点轴，每条 c = 4，贡献 3·34 = 243；3 条过边轴，每条 c = 3，贡献 3·33 = 81。合计 780 + 243 + 81 = 1104，除以 12 得 92。

换成 k = 2 复核：旋转 64+2+4+8+4+2 = 84；反射 3·24 + 3·23 = 48 + 24 = 72；84+72 = 156，156/12 = 13。13 是经典的「六珠二色手镯」答案。

把小 n 的结果列成表，可以直接和文献里的序列对照（A000031 项链、A000029 手镯）。

n345678
项链 Cn（可旋转）468142036
手镯 Dn（可翻面）468131830
两者之比11114/1310/96/5

表 3-1　二色珠子 n = 3 … 8 的项链数与手镯数（k = 2）。n = 3, 4, 5 时二者完全重合，n 增大后差距按 1/|Dn| 的量级缓慢张开。

3.4　例：立方体的六面染色

把立方体的六个面各染一色，问本质不同的染色有多少种——这是 Burnside 定理最著名的一次亮相。关键在于把「本质不同」讲清楚：两个染色本质相同，当且仅当存在立方体的一个旋转把一个变成另一个。注意不能算镜像反射，因为实物立方体翻不过来。

恒等 1 个　c = 6 绕面心 90° 6 个　c = 3 绕面心 180° 3 个　c = 4 绕体对角线 120° 8 个　c = 2 绕棱中点 180° 6 个　c = 3 立方体旋转群的五类（1 + 6 + 3 + 8 + 6 = 24），红箭头表示旋转轴 c 为六个面在该旋转下的循环个数；不动染色数 = kc
图 3-3　立方体旋转群的五类元素（共 24 个）：恒等 1 个、绕面心 90°/270° 共 6 个、绕面心 180° 共 3 个、绕体对角线 120°/240° 共 8 个、绕棱中点 180° 共 6 个。1+6+3+8+6 = 24。

旋转群同构于 S4（作用在 4 条体对角线上），阶 24。按上图的五类逐一算「六个面的置换的循环结构」，再由 (3.1) 得不动染色数：

类型个数面的循环结构c(g)|Fix(g)|合计
恒等1166k6k6
绕面心 90°/270°61241（上下两面不动，四周循环）3k36k3
绕面心 180°31222（上下不动，四周成两对）4k43k4
绕体对角线 120°/240°832（两个顶点各邻三个面，各自循环）2k28k2
绕棱中点 180°623（三对相对的面互换）3k36k3
合计24———k6+3k4+12k3+8k2

表 3-2　立方体旋转群的不动点表。k3 一栏的两项（6 与 6）合并为 12k3。

由定理 3.3，

N(k) = k6 + 3k4 + 12k3 + 8k224。(3.5)

代入三个数验证：

10 这个数可以不用 Burnside 硬数出来：按红面数 0…6 分七档，再看每档的对称型（两红分「相对/相邻」，三红分「聚角/成带」），得 1+1+2+2+1+1+1 = 10。两边吻合，说明公式没算错。三色的 57 就无法硬数了——这正是 Burnside 定理的价值：把「穷举加去重」换成「逐元素算不动点数」，后者永远只有 |G| 项，而前者随颜色数指数爆炸。

3.5　例：共轭类数目

Burnside 定理还能回答一个纯群论的问题：一个群有多少个共轭类？取 G 共轭作用于自身，轨道就是共轭类，不动点 Fix(g) 就是中心化子 CG(g)，于是

共轭类数 = 1|G| Σg∈G |CG(g)|。(3.6)

对 S5 逐类核算。共轭类由循环型决定，中心化子的阶有闭式：若循环型是「i 个 i-循环」拼成（i = 1, …, 5），则

|C(σ)| = ∏i imi · mi!，　mi = 型中 i-循环的个数。
循环型代表元类大小中心化子阶类大小 × 中心化子阶
15恒等1120120
2·13(12)1012120
22·1(12)(34)158120
3·12(123)206120
3·2(123)(45)206120
4·1(1234)304120
5(12345)245120
合计—120—840

表 3-3　S5 的七个共轭类。最后一列恒为 120，这是轨道—稳定化子定理的直接体现；总数 840 = 120 × 7。

于是 840/120 = 7 个共轭类。这个数还有另一种算法：S5 的共轭类与 5 的整数分拆一一对应，而 5 的分拆恰有 7 个（5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1）。两条路给出同一个 7，彼此印证。

注 3.8（一个小奇迹）　公式 (3.6) 说明：Σg|CG(g)| 恒等于 |G| ×（共轭类数）。表面看它依赖 G 的具体结构，其实只依赖「类的个数」。这也是 Burnside 定理最抽象的一次应用：它把「数轨道」这件事与「数类」这件事变成同一件事。§5 之后会知道，共轭类数还与不可约表示个数相等——这条等式就是群表示论的起点。

3.6　例：方格与更小的账

再算一个能一眼画完的例子，用来做公式的「防错校核」。取 2 × 2 的四个格子，每格黑或白，允许旋转与翻面（即整个 D4，8 个元素）。

元素恒等转 90°转 180°转 270°竖轴翻横轴翻主对角翻副对角翻
格子循环结构1442242222122122
|Fix|162424488

合计 16 + 2 + 4 + 2 + 4 + 4 + 8 + 8 = 48，48/8 = 6。把 6 个画出来：全白、全黑、一黑（四种位置等价，1 类）、三黑（1 类）、两黑相邻（1 类）、两黑对角（1 类）。1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6，一一对上。能画出来的例子一定要画——这是检验 Burnside 公式最可靠的手段。

3.7　三个警示

警示 3.9（除以 |G| 是错的）　初学者常写「轨道数 = |X|/|G|」。用上例检验：|X|/|G| = 16/8 = 2，正确答案是 6，差了 3 倍。原因：轨道长度并不相等，短轨道会把平均值拉偏，而 |X|/|G| 只有在作用自由（所有稳定化子平凡）时才等于轨道数。一般的关系是
|X|/|G| = ΣO 1/|Gx|（x ∈ O 任取），
它把「轨道数」加权成「稳定化子倒数之和」，只有稳定化子全为 1 时才退化成轨道数。
警示 3.10（作用不忠实怎么办）　若作用不忠实，G 中某些元素固定了一切点。此时 Burnside 定理照样成立，因为证明只用了群作用公理和轨道—稳定化子定理，没要求忠实。也可以改用 G/ker ρ 来算，结果一致：若 K = ker ρ，则 Fix(k) = X 对 k ∈ K，且 K ◁ G，于是
1|G| Σg∈G |Fix(g)| = 1|G/K| Σḡ∈G/K |Fix(ḡ)|，
两边只在核的多余因子 |K| 上不同，可以约掉。所以「用 G 还是用 G/ker」不影响结果；唯一不能做的是用错作用。
警示 3.11（作用群要挑对）　同一个实物，允许的对称操作不同，答案就不同：六珠二色，只许旋转得 14，允许翻面得 13；立方体六面二色，旋转群（24 元）得 10，把镜像反射也算进去（全对称群 48 元）仍得 10——镜像这次没有把任何两类合并。但换成三色就不同了：旋转群得 57，全对称群得 56，多出来的那一次合并藏在「互为镜像的一对三色染色」里，只有 48 元群才看得见。先确定物理上哪些操作真的等价，再套公式——这一步错了，公式再准也无用。上列 10 与 57 已在 §3.4 用循环型表算出；48 元群的 10 与 56 可用同一张表补上 24 个非旋转元素后核对（附录 B 给全表）。

§4Cauchy 引理与 p-群

§3 的公式是等式：轨道数等于平均不动点数。本节把它降级成同余：若作用的群是 p-群，则不动点个数与总点数模 p 同余。降级看似损失信息，实际是把等式变成了一件判据工具——只要总点数不被 p 整除，就保证有不动点。Sylow 三定理的全部证明都建立在这条判据上。作为第一个果实，先拿下 Cauchy 引理。

4.1　Cauchy 引理

定理 4.1（Cauchy 引理，1845）　设 G 是有限群，p 是素数。若 p | |G|，则 G 含有一个 p 阶元素。

这是 Lagrange 定理的第一个逆命题式的结果：Lagrange 说子群的阶整除群阶，Cauchy 说至少对素数因子，整除性可以「倒过来」得到一个子群（⟨g⟩）。它的证明有很多条，下面给两条完整的：McKay 1975 年的循环置换证明（短、纯组合、无需归纳），与对阶数的归纳证明（用类方程，暴露中心的作用）。

4.2　McKay 的证明

x1 x2 x3 x4 x5 ℤ/p 转一格 p = 5 x1x2⋯xp = e 的元组，被循环移位搬动 轨道长 1 或 p　｜　不动 ⇔ 全等且 xp = e　｜　|X| ≡ |Fix| (mod p)
图 4-1　McKay 证明的舞台：p 个盒子围成一圈，盒中放群元素，要求乘积为 e。循环转动这圈是一个 ℤ/p-作用；轨道长只能是 1 或 p。
证明（McKay）　

第一步：造集合。令

X = {(x1, …, xp) ∈ Gp ： x1x2⋯xp = e}。
前 p−1 个坐标可以任意选取，最后一个由 xp = (x1⋯xp−1)−1 唯一确定，故
|X| = |G|p−1。

第二步：让 ℤ/p 转圈。对 k ∈ ℤ/p，令

k·(x1, …, xp) = (x1+k, x2+k, …, xp+k)，　下标模 p。
先要确认结果仍在 X 中，即循环重排后乘积仍为 e。把原元组切成两段 u = x1⋯xk，v = xk+1⋯xp，原条件是 uv = e。两边左乘 u−1 得 v = u−1，于是
vu = u−1u = e。
而 vu 正是重排后的乘积。对 k 归纳即得任意循环移位都保持条件。作用公理显然（转 k 再转 l 等于转 k+l）。

第三步：轨道长只能是 1 或 p。轨道长整除 |ℤ/p| = p（定理 2.3），故只能是 1 或 p。

第四步：认出不动点。轨道长为 1 ⟺ 元组被转一格不动 ⟺ x1 = x2 = ⋯ = xp =: x。代入条件得 xp = e。所以

Fix = {(x, x, …, x) ： xp = e}。

第五步：模 p 计数。X 被分成不动点（大小 1）与非平凡轨道（大小 p），故

|X| ≡ |Fix|　(mod p)。

左边 |X| = |G|p−1，因 p | |G| 且 p−1 ≥ 1，它被 p 整除，故 |Fix| ≡ 0 (mod p)。

第六步：挤出一个 p 阶元。(e, …, e) ∈ Fix，所以 |Fix| ≥ 1；又 p | |Fix|，所以 |Fix| ≥ p。于是存在 x ≠ e 使 xp = e。此时 x 的阶整除 p 且大于 1，故 ord(x) = p。∎

注 4.2（这条证明妙在哪）　整条证明只用了一次群公理（uv = e ⟹ vu = e）、一次 Lagrange（轨道长整除群阶）、一次素数（p 的因子只有 1 与 p），没有归纳、没有交换性假设、没有构造性搜索。它把「找到元素的阶」换成了「数 ℤ/p 转圈时有多少元组转不动」——这正是本册的主旋律：把结构问题变成计数问题。

4.3　第二条路：类方程与归纳

归纳法要先解决阿贝尔群这个特殊情形。

引理 4.3（阿贝尔群中的 Cauchy）　设 A 是有限阿贝尔群，p | |A|。则 A 有 p 阶元素。
证明（对 |A| 归纳）　|A| = 1 时无 p 可分，无内容。设 |A| > 1，取 a ≠ e。

情形一：p | ord(a)。令 d = ord(a)，取 g = ad/p，则 gp = ad = e 且 g ≠ e（否则 d | d/p），故 ord(g) = p。

情形二：p ∤ ord(a)。令 B = ⟨a⟩。因 A 阿贝尔，B ◁ A，且

|A| = |B| · |A/B|。
p | |A| 而 p ∤ |B|，故 p | |A/B|；又 |A/B| < |A|，由归纳，A/B 有 p 阶元 x̄。令 C = ⟨x⟩，则 π(C) = ⟨x̄⟩ 阶为 p，其中 π：A → A/B 是商映射。由第二同构定理
C/(C ∩ B) ≅ π(C)，

故 [C : C ∩ B] = p。而 C ∩ B ≤ B，其阶整除 |B|，与 p 互素。于是 |C| = p · |C ∩ B| 被 p 整除，即 ord(x) 被 p 整除，回到情形一。∎

定理 4.4（Cauchy，归纳证明）　设 p | |G|，则 G 有 p 阶元素。
证明（对 |G| 归纳）　|G| = p 时取任意非幺元。设 |G| > p 且命题对所有更小的阶成立。

情形一：存在真子群 H < G 使 p | |H|。由归纳，H 有 p 阶元，也是 G 的。

情形二：一切真子群的阶都不被 p 整除。取 x ∉ Z(G)，则 CG(x) 是使 x 与 x 交换的元素之集。它含 Z(G) 与 x，但 x ∉ Z(G) 说明它不是整个 G，故为真子群，于是 p ∤ |CG(x)|。由

|G| = |CG(x)| · [G : CG(x)],　p | |G|，
得 p | [G : CG(x)]，即右边每一项（对应非中心共轭类）都被 p 整除。由类方程（推论 2.6）
|G| = |Z(G)| + Σ [G : CG(xi)]
得 p | |Z(G)|。若 G 阿贝尔则 Z(G) = G，此结论同样成立（无需类方程）。由引理 4.3，阿贝尔群 Z(G) 有 p 阶元，它就是 G 的。∎

两条证明的味道完全不同。McKay 用「转圈」，只看 p 这个数；归纳法用「中心」，暴露了 p-群的结构。后者虽然长，但顺手给出了下面这批结论——它们是 §5、§6 反复要用的工具。

4.4　p-群的三条基本事实

命题 4.5（p-群中心非平凡）　设 G ≠ {e} 是 p-群（|G| = pn，n ≥ 1）。则 Z(G) ≠ {e}，且 p | |Z(G)|。
证明　类方程给 |G| = |Z(G)| + Σi [G : CG(xi)]。对非中心元 xi，CG(xi) 是真子群，其阶是 p 的幂（Lagrange），故指数 [G : CG(xi)] 也是 p 的幂且大于 1——特别地被 p 整除。左边 p | |G|，各项被 p 整除，故 p | |Z(G)|。|Z(G)| ≥ 1 且被 p 整除，故 ≥ p。∎
引理 4.6（商循环则交换）　若 G/Z(G) 是循环群，则 G 是阿贝尔群。
证明　设 G/Z(G) = ⟨aZ(G)⟩。任取 g, h ∈ G，存在整数 i, j 与 z, w ∈ Z(G) 使 g = aiz，h = ajw。则
gh = aizajw = ai+jzw = ajwaiz = hg，
其中第二个等号用 z 与 aj 交换，第三个用 z, w 与 ai 交换。故 G 阿贝尔。∎
推论 4.7（p² 阶群必交换）　设 |G| = p2。则 G ≅ Cp2 或 G ≅ Cp × Cp。
证明　由 4.5，|Z(G)| ∈ {p, p2}。若 = p2 则 G 阿贝尔；若 = p，则 |G/Z(G)| = p，循环，由 4.6 得 G 阿贝尔，矛盾（阿贝尔群的中心是自己）。故 G 阿贝尔。 Abel 群若有元素阶 p2，则 ≅ Cp2；否则所有非幺元阶为 p，任取两个独立元素 a, b（b ∉ ⟨a⟩），则 ⟨a⟩ × ⟨b⟩ → G，(ai, bj) ↦ aibj 是同构（阶相等且单射）。∎
命题 4.8（p-群的正规子群链）　设 |G| = pn。则存在子群链
{e} = G0 ◁ G1 ◁ ⋯ ◁ Gn = G，　|Gi| = pi，
且每步 Gi/Gi−1 ≅ Cp。
证明（对 n 归纳）　n = 0 平凡。设 n ≥ 1。由 4.5，Z(G) 非平凡，由 Cauchy（定理 4.1，或 4.3 用于阿贝尔群 Z(G)）取 z ∈ Z(G) 阶 p，则 N = ⟨z⟩ ◁ G 且 |N| = p。商群 G/N 阶 pn−1，由归纳有链 {e} ◁ H1 ◁ ⋯ ◁ G/N。取原像 Gi := π−1(Hi−1)，则 |Gi| = p·|Hi−1| = pi，且 G1 = N。∎

命题 4.8 的一个直接推论是p-群都幂零，且可解：链上的商都是 Cp，阿贝尔。值得注意的是它的证明已经用掉了 Cauchy——这也是为什么 §4 要把 Cauchy 放在 Sylow 之前。

4.5　p-群作用：从等式到同余

命题 4.9（p-群作用的模 p 计数）　设 P 是 p-群，作用于有限集 X。则
|X| ≡ |XP|　(mod p)。
证明　把 X 分成轨道。轨道长 = [P : Px]，是 |P| = pn 的因子，故形如 pj。长度 1 的轨道恰是 XP 中的点；其余轨道的长度都被 p 整除。于是
|X| = |XP| + Σ (长度被 p 整除的轨道长) ≡ |XP|　(mod p)。∎
推论 4.10（本章的主力判据）　若 P 是 p-群，作用于有限集 X，且 p ∤ |X|，则 XP ≠ ∅——作用必有不动点。
证明　若 XP = ∅ 则 |X| ≡ 0 (mod p)，与 p ∤ |X| 矛盾。∎
长度 1 的轨道 长度 pj 的轨道（被 p 整除） p-群作用下 X 的轨道分解：单点轨道 + 成块的轨道 |X| = |XP| + p·(非平凡轨道数) 故 p ∤ |X| ⟹ XP ≠ ∅（推论 4.10）
图 4-2　p-群作用的轨道只可能是大小 1 或大小 pj 的块。把大块都划掉，剩下的单点个数与总数模 p 同余——这就是推论 4.10 的全部内容。

推论 4.10 的用处，用一句话概括：想证明某个 p-群有不动点，只要数一数集合的大小，发现它不被 p 整除。Sylow 第二定理就是这么做的——让 p-子群 Q 去转陪集空间 G/P，其大小 m 与 p 互素，于是必有不动陪集，而不动陪集正是「Q 含于某个 P 的共轭」。

4.6　Cauchy 走到哪里就停了

Cauchy 只保证「p 阶元」，也就是「p 阶子群」。当群的阶含 p2 甚至更高幂时，它什么也不保证。这不是证明技巧的问题，是命题本身到顶了。

例 4.11（Cauchy 的天花板）

(a) |G| = 6 = 2·3。Cauchy 给 2 阶元与 3 阶元，也仅此而已：S3 确实没有 4 阶子群（4 ∤ 6，Lagrange 直接否掉）。这里不是 Cauchy 弱，而是阶里只有一次 2。

(b) |G| = 12 = 22·3。Cauchy 给 2 阶元、3 阶元，不给 4 阶子群。但 4 阶子群一定存在吗？是——这正是 Sylow 第一定理的内容，Cauchy 证不出来。

(c) 反向的坑：Lagrange 的逆命题也不成立。A4 的阶是 12，6 | 12，但 A4 没有 6 阶子群。证明：若 H ≤ A4，|H| = 6，则 [A4 : H] = 2，由命题 2.16(i) 得 H ◁ A4。正规子群必是若干共轭类之并（含恒等）而 A4 的共轭类大小为 1、3、4、4，任何含 1 的部分和都取不到 6（1, 4, 5, 8, 9, 12……），矛盾。

例 4.11(c) 的手法值得记住：把「子群」翻译成「共轭类之和」，再用算术筛掉。§6 会用同一手法重证 A5 的单性。而 4.11(b) 留下的空白——p2 阶子群从哪来——正是下一节的主题。

思想卡 2（同余是弱化，也是解放）　等式 |X| = |XP| + p·(非平凡轨道数) 精确无比，但它要求知道轨道结构；一旦只取模 p，就甩掉了全部结构信息，只留下一条不可能被结构细节破坏的硬约束。数学里这类「弱化反而更有力」的现象很常见：精确公式用来算，同余用来判。Sylow 存在性定理（§5.2）的两种证法恰好各占一头——Wielandt 用同余判，归纳法用精确结构算。

§5Sylow 三定理

1872 年，挪威人 Ludwig Sylow 证明了有限群理论的第一组结构定理：对一个素数 p，把 |G| 里 p 的全部幂次提出来记作 pa，则阶为 pa 的子群一定存在、彼此共轭、个数被两条算术条件夹住。这三句话把「群有多少 p-结构」从一个模糊的问题变成一个可以列表计算的问题。本节给出三条定理的完整证明，并交代它们彼此如何依赖。

5.1　定义

定义 5.1（p-子群、Sylow 子群）　设 G 有限，p 素数，写成
|G| = pam，　a ≥ 0，　p ∤ m。

(1) p-子群：阶为 p 的幂的子群（含平凡子群 {e} = p0）。

(2) Sylow p-子群：阶恰为 pa 的子群，即 p-子群中极大者。

(3) 记 Sylp(G) 为全体 Sylow p-子群之集，np := |Sylp(G)|。

注意 np 与 pa 是两件事：前者数「有几个」，后者量「每个多大」。三定理正好一句管一件：存在（np ≥ 1）、共轭（只有一个共轭类）、计数（np 被夹住）。

5.2　第一定理：存在性

先证一个纯粹关于二项式系数的引理。它是 Wielandt 证明的算术引擎。

引理 5.2（二项式引理）　设 n = pam，p ∤ m。则
C(n, pa) ≡ m　(mod p)。
特别地 p ∤ C(n, pa)。
证明　在多项式环 Fp[t] 中比较系数。

第一步：对 1 ≤ j ≤ p−1，二项式系数

C(p, j) = p!/(j!(p−j)!)
的分子含因子 p，分母的两个阶乘都只含小于 p 的因子，故 p | C(p, j)。于是
(1 + t)p = Σj C(p,j) tj ≡ 1 + tp　(mod p)。

第二步（对 k 归纳）：若 (1+t)pk−1 ≡ 1 + tpk−1，两边取 p 次方并用第一步（把 t 换成 tpk−1），得

(1+t)pk ≡ 1 + tpk　(mod p)。

第三步：取 k = a 并两边取 m 次方：

(1+t)n = ((1+t)pa)m ≡ (1 + tpa)m　(mod p)。

第四步：比较 tpa 的系数。左边系数是 C(n, pa)。右边 (1 + tpa)m 按二项式展开，一次项系数是 m，其余项的次数是 pa 的 2 倍以上，不影响一次项。故 C(n, pa) ≡ m (mod p)。因 p ∤ m，得证。∎

定理 5.3（Sylow 第一定理：存在性）　设 |G| = pam，p ∤ m。则存在阶为 pa 的子群，即 Sylp(G) ≠ ∅。
证明（Wielandt 计数，1959）　令 n = |G|。

第一步：选一个「大集合族」。令

Ω = {S ⊆ G ： |S| = pa}，　|Ω| = C(n, pa)。

第二步：让 G 左乘搬它。对 g ∈ G 与 S ∈ Ω，令 g·S = gS = {gs ： s ∈ S}。左乘是双射，故 |gS| = |S| = pa，仍在 Ω 中；公理显然。这叫左平移作用。

第三步：有一条轨道不被 p 整除。轨道长整除 |G|（定理 2.3）。若每条轨道长都被 p 整除，则 |Ω| 也被 p 整除。但引理 5.2 说 |Ω| = C(n, pa) ≡ m ≢ 0 (mod p)。矛盾。故存在轨道 O 与 S ∈ O 使

p ∤ |O|。

第四步：稳定化子的阶至少 pa。令 H = GS = {g ： gS = S}（注意这是「把集合 S 整体搬回自己」的元素，不是逐点固定）。由轨道—稳定化子

|O| = [G : H]，　|G| = |H| · |O|。

因 pa | |G| 且 p ∤ |O|，必有 pa | |H|。

第五步（关键）：稳定化子的阶至多 pa。H 把 S 搬回 S，故 H 左乘作用于 S：h·s = hs ∈ S。这个作用自由：若 hs = s，两边右乘 s−1 即得 h = e。于是固定任一 s0 ∈ S，映射

H → S，　h ↦ hs0
是单射（若 hs0 = h′s0，则 h−1h′s0 = s0，由自由性 h−1h′ = e）。故
|H| ≤ |S| = pa。

第六步：结论。第四步与第五步合起来 |H| = pa，H 就是所求的 Sylow p-子群。∎

注 5.4（第五步为什么容易漏）　多数讲解在这里一句「H 嵌入 S 的对称群，故 |H| ≤ pa!」带过——这是错的，p 整除 (pa)!，这样只能得到 |H| ≤ pa!，远不够。正确的一步是「左乘在 S 上自由」，于是 |H| ≤ |S|，不多不少。这条细节是本册执意把证明写全的理由之一：一个字的松动（「把 S 搬回自己」与「逐点固定 S」）就让界差了一个阶乘。
定理 5.5（Sylow 第一定理，归纳证明）　设 |G| = pam，p ∤ m。则 G 有阶为 pa 的子群。
证明（对 |G| 归纳）　a = 0 时取 {e}。设 a ≥ 1，命题对所有更小的阶成立。

情形一：存在真子群 H < G 使 pa | |H|。那么 H 的 p 部分也是 pa，由归纳 H 有阶 pa 的子群。

情形二：一切真子群的阶都不被 pa 整除。先证 p 整除中心。

反设 p ∤ |Z(G)|。类方程

|G| = |Z(G)| + Σi [G : CG(xi)]
中 p | |G|，故 p | Σi [G : CG(xi)]。若每一项都被 p 整除，则和也被 p 整除，于是 |Z(G)| = |G| − Σ 被 p 整除——所以必定存在某个 i 使
p ∤ [G : CG(xi)]。
由 |G| = |CG(xi)| · [G : CG(xi)] 与 pa | |G| 得 pa | |CG(xi)|。但 xi 非中心，CG(xi) 是真子群，与情形二的假设矛盾。故
p | |Z(G)|。

由 Cauchy（定理 4.1）取 z ∈ Z(G) 阶 p，令 N = ⟨z⟩ ◁ G（中心元素生成的正规）。商群阶 |G/N| = pa−1m，比 |G| 小，由归纳它有阶 pa−1 的子群 P̄。令 P = π−1(P̄) 为其原像，π：G → G/N。则 |P| = |N| · |P̄| = p · pa−1 = pa。∎

两条证明的对照很有意思。Wielandt 的证明是「外部的」：它跳到 G 外面，在子集族上做一次计数；归纳证明是「内部的」：它顺着中心—商群这条链往下走，每一步剥掉一个 p。前者不需要 Cauchy，后者需要（取中心里的 p 阶元）。因此在逻辑依赖上，定理 5.3 是更「干净」的那一条。

5.3　第二定理：共轭与包含

定理 5.6（Sylow 第二定理）　设 |G| = pam，p ∤ m。

(a) 每个 p-子群 Q ≤ G 都含于某个 Sylow p-子群之中。特别地 p-子群都 ≤ 某个 pa 阶子群。

(b) 任意两个 Sylow p-子群共轭；等价地，Sylp(G) 在共轭作用下是单条轨道。

证明　

(a)取定 P ∈ Sylp(G)，考虑陪集空间 X = G/P，|X| = [G : P] = m，p ∤ |X|。Q 左乘作用于 X：q·(gP) = qgP（良定义：gP = g′P ⟹ g′ = gp ⟹ qg′P = qgpP = qgP）。Q 是 p-群，由推论 4.10，XQ ≠ ∅。

取 gP ∈ XQ，则对一切 q ∈ Q，qgP = gP，即 g−1qg ∈ P，即 q ∈ gPg−1。故

Q ≤ gPg−1，

而 gPg−1 是 Sylow（共轭保持阶）。

(b)若 Q 也是 Sylow，则由 (a) Q ≤ gPg−1，两边阶都是 pa，故 Q = gPg−1。∎

推论 5.7（正规 Sylow 的五种说法）　设 P ∈ Sylp(G)。以下五条等价：
(i) P ◁ G；　(ii) np = 1；　(iii) P 是唯一的 Sylow p-子群；
(iv) P 包含 G 的全部 p-元素；　(v) G 的每个 p-子群都含于 P。
证明　

(i) ⟺ (ii)：共轭作用的轨道是一条全长轨道，其稳定化子是 NG(P)，故 np = [G : NG(P)]（定理 2.3）。于是 np = 1 ⟺ NG(P) = G ⟺ P ◁ G。

(ii) ⟺ (iii)：np = 1 就是「只有一个」。

(iii) ⟹ (iv)：设 x 是 p-元素（阶为 p 的幂），则 ⟨x⟩ 是 p-子群，由定理 5.6(a) 含于某 Sylow，由唯一性该 Sylow 就是 P，故 x ∈ P。

(iv) ⟹ (v)：p-子群的每个元素都是 p-元素，故整体落在 P 内。

(v) ⟹ (iii)：任一 Sylow Q 也是 p-子群，故 Q ≤ P，阶相等得 Q = P。∎

命题 5.8（Frattini 论证）　设 N ◁ G，P ≤ N 是 N 的 Sylow p-子群。则
G = N · NG(P)。
证明　任取 g ∈ G。因 N 正规，gPg−1 ≤ gNg−1 = N，且 |gPg−1| = |P|，所以 gPg−1 也是 N 的 Sylow。在群 N 内部用定理 5.6(b)：存在 n ∈ N 使
n(gPg−1)n−1 = P，
即 ng ∈ NG(P)。于是 g = n−1·(ng) ∈ N·NG(P)。∎

Frattini 论证的形状（「共轭一下，用正规性搬回来」）在后面讲 Schur–Zassenhaus 定理时会再遇到，是全套有限群理论的通用手法。这里只用它一条推论：若 N ◁ G 且 N 有唯一的 Sylow p-子群 P，则 P ◁ G——因为 G = N·NG(P) 且 N ≤ NG(P)（P 在 N 中正规、唯一），故 G = NG(P)。

5.4　第三定理：计数

定理 5.9（Sylow 第三定理）　设 |G| = pam，p ∤ m，P ∈ Sylp(G)。则
np ≡ 1　(mod p)，　且　np = [G : NG(P)]　整除　m = [G : P]。
证明　分两半。

第一半（整除性）。由定理 5.6(b)，G 共轭传递地作用于 Sylp(G)。P 的稳定化子是

{g ： gPg−1 = P} = NG(P)，

由轨道—稳定化子定理

np = [G : NG(P)]。

又 P ≤ NG(P)（P 当然正规化自己），故 [G : NG(P)] 整除 [G : P] = m（用 [G:P] = [G:NG(P)]·[NG(P):P]）。

第二半（同余 1）。让 P 共轭作用于 Sylp(G)：g·Q = gQg−1。这是合法的作用（共轭是自同构）。P 是 p-群，由推论 4.10

np = |Sylp(G)| ≡ |Fix|　(mod p)，

其中 Fix = {Q ∈ Sylp ： gQg−1 = Q 对一切 g ∈ P}。

算 Fix。条件「gQg−1 = Q 对一切 g ∈ P」正是 P ≤ NG(Q)。若此条件成立，则 P 与 Q 都是 NG(Q) 的 Sylow p-子群：
· Q ≤ NG(Q) 且 |Q| = pa 已是 |G| 中 p 的最大幂，而 |NG(Q)| 整除 |G|，故 Q 在 NG(Q) 中也是 Sylow；
· P ≤ NG(Q) 是假设，且 |P| = pa，故 P 也是 Sylow。
此外 Q ◁ NG(Q)（正规化子的定义就是「使 Q 正规的那些 g」）。由推论 5.7，正规的 Sylow 是唯一的 Sylow，故 P = Q。

反过来 P 自身显然在 Fix 中（P 正规化自己）。故 Fix = {P}，|Fix| = 1，

np ≡ 1　(mod p)。∎
注 5.10（第三定理的证明为什么短得可疑）　它短，是因为把重量都压在了两条前置结论上：轨道—稳定化子（给整除性）与 p-群作用的模 p 计数（给同余）。真正需要动脑的只有一句「不动点集只有 P 本身」，而这一句的论证链条是：不动 ⟹ P ≤ NG(Q) ⟹ P, Q 都是 NG(Q) 的 Sylow ⟹ Q 在该群正规唯一 ⟹ P = Q。四步里只要少一步，「唯一」就断链。

5.5　三条定理的依赖结构

轨道—稳定化子　定理 2.3 p-群作用模 p 计数　命题 4.9 二项式引理　引理 5.2 Cauchy 引理　定理 4.1 Sylow I（计数）　定理 5.3 Sylow I（归纳）　定理 5.5 Sylow II　定理 5.6 Sylow III　定理 5.9 虚线：第二、第三定理都只需要「存在一个 Sylow」这一条
图 5-1　逻辑依赖图。地基是轨道—稳定化子（定理 2.3）与 p-群作用的模 p 计数（命题 4.9）；第一定理有两条互不相通的道路；第二、第三定理都只用第一定理 + 同余判据。

读图可以看清三件事。其一，Wielandt 的道路完全不经过 Cauchy，归纳的道路要经过，所以「Cauchy ⟹ Sylow I」这条常识只在归纳路线上成立。其二，第二定理与第三定理都只需「存在一个 Sylow」这一条，加上同余判据；它们不需要知道 np 是多少。其三，整座大厦只用了 Lagrange 与轨道计数这两件初等工具——没有任何表示论、任何特征标、任何高等技巧。

5.6　使用手册：把它当判定机

给定一个阶，第三定理给出一个小的候选表：np 必须同时满足「整除 m」与「≡ 1 (mod p)」。候选表只剩 1 时，Sylow 必正规。这是全部「阶数决定结构」论证的第一步。

|G|pnp 的候选结论
1221, 3若 n2 = 3 则 n3 必为 1（见 §6.5）
1231, 4同上
1531（5 ≡ 2 mod 3 被排除）C3 正规
1551（3 ≡ 3 mod 5）C5 正规，故 15 阶群循环
2131, 7可能非阿贝尔
2171（3 ≡ 3 mod 7）C7 正规
3051, 6与 p=3 联合可挤出正规 Sylow
3031, 10同上
6051, 6A5 实际取 6
6031, 4, 10A5 实际取 10
6021, 3, 5, 15A5 实际取 5

表 5-1　若干常见阶的 Sylow 候选表。「结论」一栏只说候选表本身的直接后果，进一步的排除需要 §6 的组合清理。

三条最常用的速判，值得背下来：

速判 A：m < p若 [G : P] = m < p，则 np | m 且 ≡ 1 mod p 只能取 1，Sylow 正规。
速判 B：|G| = pqp < q 时 nq | p 且 ≡ 1 mod q，只能是 1：Cq 总正规。
速判 C：|G| = p²qnp | q，只有 1 与 q 两种；若 q ≢ 1 mod p 则必为 1。

5.7　正规化子与自同构

命题 5.11（N/C 嵌入 Aut）　设 P ≤ G。则共轭给出同态
NG(P) → Aut(P)，　g ↦ (x ↦ gxg−1)，
其核为 CG(P)：= {g ： gxg−1 = x 对一切 x ∈ P}。因此
NG(P)/CG(P) ↪ Aut(P)，　特别地 [NG(P) : CG(P)] | |Aut(P)|。
证明　对 g ∈ NG(P)，映射 ιg：x ↦ gxg−1 是 P 到 gPg−1 = P 的同构，故 ιg ∈ Aut(P)。ιgh = ιg ∘ ιh，故是同态。ιg = idP ⟺ g 与 P 中每个元素交换 ⟺ g ∈ CG(P)。由第一同构定理得单射，阶整除 |Aut(P)|。∎

对 P = Cpa（循环），|Aut| = φ(pa) = pa−1(p−1)；对 P = Cp，|Aut| = p−1。这两条在 §6 构造半直积时正好用得上。

5.8　商与子群里的 Sylow

命题 5.12（Sylow 沿同态与子群的传递）　设 |G| = pam，p ∤ m。

(a) N ◁ G，P ∈ Sylp(G)。则 PN/N ∈ Sylp(G/N)，且 P ∩ N ∈ Sylp(N)。

(b) H ≤ G。则存在 P ∈ Sylp(G) 使 H ∩ P ∈ Sylp(H)；反之 H 的每个 Sylow p-子群都形如 H ∩ gPg−1。

证明　

(a) 先证 P ∩ N 是 N 的 Sylow。设 Q ∈ Sylp(N)。把定理 5.6(a) 用于群 G：存在 P′ ∈ Sylp(G) 使 Q ≤ P′。因 N 正规，g−1Qg ≤ N 对一切 g；取 g 使 g−1P′g = P（定理 5.6(b)），则 g−1Qg ≤ P ∩ N，故

|P ∩ N| ≥ |Q| = |N|p。

另一方面 P ∩ N 是 N 的 p-子群，故其阶 ≤ |N|p。两者合起来 |P ∩ N| = |N|p。

再算 PN/N。由第二同构定理 PN/N ≅ P/(P ∩ N)，故

|PN/N| = pa/|N|p = |G/N|p，

正是 G/N 的 p 部分（因 |G/N| = pam/|N|，其 p 部分为 pa/|N|p）。

(b)设 R ∈ Sylp(H)。由定理 5.6(a) 用于 G，存在 P ∈ Sylp(G) 使 R ≤ P。则 H ∩ P 是 H 的 p-子群且含 R，而 |R| = |H|p 已是最大，故 H ∩ P = R。反向：任一 R ∈ Sylp(H) 都可按上法嵌入某个 P，故形如 H ∩ P；而 P 遍历 Sylp(G) 等价于 gPg−1 遍历（定理 5.6(b)）。∎

思想卡 3（三条定理，一句话各一）　第一定理：p 的全部幂次都在群里找得到位置——「不让 p 浪费」。第二定理：这些位置彼此只差一个共轭——「不许多样」。第三定理：位置的个数被算术夹死——「不许乱跑」。三条合起来把「p-结构」变成了一个可枚举的有限对象，此后一切关于阶数的论证都在这张表上做减法。§6 就是做减法的示范。

§6应用：从阶数读出结构

Sylow 定理的用法有固定套路：先算候选表，再用组合清理。候选表来自第三定理的整除性与同余；组合清理则靠「两个不同的 Sylow 交得很小」这条几何事实——q 阶子群（q 素数）两两的交只有 {e}，于是它们是「互不重叠的小块」，加起来一数就超出群的大小。本节用这套套路处理五个阶数，最后重证 A5 的单性。

6.1　套路与五把锤子

把 §5 的结论整理成可以直接上手的动作：

锤 1：算候选np 整除 m 且 ≡ 1 (mod p)。候选只剩 1 ⟹ Sylow 正规。
锤 2：数元素若 nq = k，则群里有 k(q−1) 个 q 阶元（不同 Sylow 只交于幺元）。
锤 3：挤空间两类元素的个数相加若超过 |G| − 1，必有某一类取 1。
锤 4：正规 × 互素若 P, Q 都正规且阶互素，则 PQ ≅ P × Q。
锤 5：换共轭类正规子群必是若干共轭类之并；用「类大小之和整除 |G|」筛掉不可能。
命题 6.1（PQ ≅ P × Q）　设 P, Q ◁ G，|P| 与 |Q| 互素。则 PQ ≅ P × Q。
证明　P ∩ Q 是两边的子群，阶同时整除 |P| 与 |Q|，故 = 1。于是映射 φ：P × Q → PQ，(p, q) ↦ pq，是单射（pq = p′q′ ⟹ p′−1p = q′q−1 ∈ P ∩ Q）。若 p ∈ P、q ∈ Q，则 pqp−1q−1 = (pqp−1)q−1 ∈ Q（Q 正规）且 = p(qp−1q−1) ∈ P（P 正规），故在 P ∩ Q = 1 中，即 pq = qp。故 φ 是同态，且双射到 PQ（像含一切 pq）。∎

6.2　|G| = pq：总是有正规 q-子群

命题 6.2　设 p < q 是素数，|G| = pq。

(a) nq = 1，即 Sylow q-子群 Q 正规。

(b) 若 p ∤ q−1，则 np = 1，且 G ≅ Cpq 是循环群。

(c) 若 p | q−1，则 G 恰有两种同构型：Cpq 与非阿贝尔的 Cq ⋊ Cp。

证明　

(a)nq | p 且 nq ≡ 1 (mod q)。因 p < q，候选 {1, p} 中只有 1 满足同余（p ≡ 1 mod q 要求 p ≥ q+1，不可能）。故 nq = 1，由推论 5.7 得 Q ◁ G。

(b)np | q 且 ≡ 1 (mod p)，候选 {1, q}。若 np = q，则 p | q−1，与假设矛盾。故 np = 1，P ◁ G。由命题 6.1，G = PQ ≅ Cp × Cq ≅ Cpq（后一步用中国剩余定理，因 gcd(p, q) = 1；直接验证也更短：设 g 生成 P、h 生成 Q，两者交换，则 gh 的阶是 pq）。

(c) 存在性。Aut(Cq) ≅ (ℤ/q)× ≅ Cq−1 是循环群。因 p | q−1，它有唯一的 p 阶子群，取生成元 α 与单同态

φ：Cp → Aut(Cq)，　φ(1) = α，

作半直积 G0 = Cq ⋊φ Cp：元素为 (⟨a⟩, ⟨b⟩)，乘法 (ai, bj)(ak, bl) = (ai + αj(k), bj+l)。它阶为 pq，且 b a b−1 = α(a) ≠ a，故非阿贝尔。

(c) 唯一性。设 G 阶 pq。由 (a) Q ◁ G，且 P ∩ Q = 1、PQ = G，故 G ≅ Q ⋊ P，作用由共轭给出 ψ：P → Aut(Q)。因 P 是 p 阶群，ker ψ 只有两种：若 ker = P 则作用平凡，G ≅ Cp × Cq；若 ker = 1 则 ψ 单，其像就是 Aut(Q) 中唯一的 p 阶子群（循环群每个阶的子群唯一）。不同的单射 ψ, ψ′ 满足 ψ′ = ψ ∘ σ（σ ∈ Aut(P）），而 (σ, id) 是半直积的同构，故半直积在同构意义下唯一。∎

最小的例子：|G| = 21 = 3·7，3 | 7−1，故有两种：C21 与 C7 ⋊ C3（即 n = 7 的 Frobenius 群）。|G| = 15 = 3·5，3 ∤ 4，故只有 C15——15 阶群必循环，这是 Sylow 最经典的表演。

6.3　|G| = 2p：只有两种

命题 6.3　设 p 是奇素数，|G| = 2p。则 G ≅ C2p 或 G ≅ Dp（正 p 边形的对称群）。
证明　np | 2 且 ≡ 1 (mod p)：候选 {1, 2}，而 p ≥ 3 时 2 ≢ 1，故 np = 1，P = ⟨a⟩ ◁ G，阶 p。由 Cauchy（定理 4.1）取 t 阶 2。则 G = P⟨t⟩（阶 2p），且 P ∩ ⟨t⟩ = 1。

共轭给出 ψ：⟨t⟩ → Aut(P) ≅ Cp−1。t 阶 2，故 |im ψ| 整除 gcd(2, p−1) = 2。两种可能：

· 平凡：tat−1 = a，于是 a, t 交换，G ≅ Cp × C2 ≅ C2p。

· 非平凡：tat−1 = a−1（Aut(Cp) 中唯一的 2 阶元就是取逆），于是 G = ⟨a, t | ap = t2 = e, tat = a−1⟩，这正是 Dp 的呈现（t 是反射，a 是旋转）。∎

6.4　|G| = 12 与 |G| = 30：挤空间

命题 6.4（12 阶群必有正规 Sylow）　设 |G| = 12。则 n2 = 1 或 n3 = 1。
证明　候选：n2 ∈ {1, 3}（3 | 12/4 = 3 且 3 为奇），n3 ∈ {1, 4}（4 | 4 且 4 ≡ 1 mod 3）。

反设 n3 = 4。每个 Sylow 3-子群阶 3，两个不同的这样的子群之交是真子群，阶只能为 1。故它们两两只交于 e，一共给出 4 × (3−1) = 8 个 3 阶元。

剩下 12 − 8 − 1 = 3 个既非幺元也非 3 阶元的元素。而 Sylow 2-子群阶 4，含 e 与 3 个非幺元，这 3 个只能从这 3 个元素里取——于是整个阶 4 的子群被「挤」成了唯一的一组元素。若有两个不同的 Sylow 2-子群，各贡献 3 个非幺元且只交于 e，合计需 6 个非幺元，与只剩 3 个矛盾。故 n2 = 1。∎

命题 6.5（30 阶群必有正规 Sylow）　设 |G| = 30。则 n3 = 1 或 n5 = 1。
证明　候选：n5 | 6 且 ≡ 1 mod 5，故 ∈ {1, 6}；n3 | 10 且 ≡ 1 mod 3，故 ∈ {1, 10}。

反设 n5 = 6 且 n3 = 10。5 阶子群两两交于 1，故 5 阶元共 6 × 4 = 24 个；3 阶子群两两交于 1，故 3 阶元共 10 × 2 = 20 个。两类不重叠（阶不同），加上幺元：

1 + 24 + 20 = 45 > 30，
矛盾。故至少有一个为 1。∎

这两个证明都只用了一条几何直觉：素数阶子群之间「占地不重叠」。同一手法可以推到 |G| = 42、66、70 等，附录 A 给出更长的表。

6.5　A5 的单性

交错群 A5 是阶 60 的非阿贝尔单群，也是「五次方程一般不能根式求解」这条定理的关键。它的单性有两种经典证法：一种靠 Sylow 计数加元素清点，一种靠共轭类求和。两者都需要先把 A5 的元素数清楚，而清点的关键又是中心化子的计算——轨道—稳定化子定理的又一次出场。

引理 6.6（A5 的元素清点）　A5 中：恒等 1 个；2 阶元（双换位）15 个；3 阶元（3-轮换）20 个；5 阶元（5-轮换）24 个。共 1 + 15 + 20 + 24 = 60。作为 A5-共轭类，五个类的大小为
1，　15，　20，　12，　12。
证明　

第一步：元素个数。3-轮换：选 3 个字母 C(5,3) = 10 种，每个三点集有 2 个 3-轮换，共 20。5-轮换：4! = 24。双换位：把 5 个字母分成「一对 + 一对 + 单」，C(5,2)·C(3,2)/2 = 10·3/2 = 15。合计 1 + 15 + 20 + 24 = 60 = |A5|，正好用完。

第二步：中心化子的阶。用「A5-类大小 = [A5 : CA5(x)]」这条（定理 2.3）。

· x = (12)(34)：在 S5 中

CS5(x) = {e, (12), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1324), (1423)}，

阶 8（可用「中心化子阶 = ∏ imimi! = 22·2! = 8」直接算）。其中偶置换为 e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)，共 4 个，故 |CA5(x)| = 4，类大小 60/4 = 15。恰等于双换位总数 15，故 15 个双换位构成一个 A5-共轭类。

· y = (123)：CS5(y) = ⟨(123)⟩ × ⟨(45)⟩，阶 3·2 = 6；偶的为 e, (123), (132)，阶 3，故类大小 60/3 = 20，也是单一类。

· z = (12345)：CS5(z) = ⟨z⟩，阶 5，全部是偶置换，故 |CA5(z)| = 5，类大小 60/5 = 12。

第三步：5-轮换分裂成两类。5-轮换共 24 个，而单个 A5-类只有 12 个，故必有两个类，各 12 个。（哪 12 个在同类？把 z 共轭成 zi（同一 Sylow 5-子群内部）需要正规化子 NS5(⟨z⟩) 中的置换，它实现 k ↦ ik（mod 5），奇偶性由 i 决定：i = 1, 4 时是偶置换（4 对应 k ↦ −k，两个换位），i = 2, 3 时是 4-循环（奇）。故 z 与 z4 在 A5 中同类，z 与 z2 不同类。每个 Sylow 5-子群中属于 z 那一类的恰有 2 个，6 个 Sylow 5-子群共贡献 12 个，与类大小相符。）

第四步：合计。1 + 15 + 20 + 12 + 12 = 60，与 |A5| 相符，说明类的清单已完整。∎

恒等 1 双换位 15 3-轮换 20 5-轮换 12 5-轮换 12 A5 的 60 个元素＝1 + 15 + 20 + 12 + 12 后四块是四个非平凡共轭类；正规子群的阶＝「1 + 若干块」且整除 60 可能的部分和：13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48 —— 全不整除 60 故只有 1 与 60 两种可能：A5 是单群
图 6-1　A5 的 60 个元素按阶分块：恒等 1、双换位 15、3-轮换 20、5-轮换 24（再按共轭类拆成 12 + 12）。任何正规子群的阶必须是「1 加上若干块」并且整除 60。
定理 6.7（A5 是单群）　A5 没有非平凡的真正规子群。
证明一（Sylow 清点）　设 N ◁ A5，N ≠ {e}。因 N 正规，它包含任一成员的整个 A5-共轭类。

情形 A：5 | |N|。由 Cauchy，N 含一个 5 阶元 z。5-阶元的 A5-类大小是 12（引理 6.6），故 N ⊇ 该类，|N| ≥ 12。又 N 含 Sylow 5-子群 ⟨z⟩，正规性使它包含 ⟨z⟩ 的全部共轭。不同的 Sylow 5-子群只交于 e（阶 5 素数），A5 中 5 阶元共 24 个，即 6 个 Sylow 5-子群，故 N 含全部 6 个，|N| ≥ 1 + 24 = 25。因 |N| | 60，|N| ∈ {30, 60}。

若 |N| = 30：N 含 24 个 5 阶元，余下 30 − 24 = 6 个元素（含 e）。而 3 | 30，由 Cauchy N 含 3 阶元 y；正规性给 N ⊇ y 的整个共轭类，即 20 个 3 阶元。于是

|N| ≥ 1 + 24 + 20 = 45 > 30，

矛盾。故 |N| = 60，N = A5。

情形 B：5 ∤ |N|。则 |N| ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12}。
若 3 | |N|：N 含 3 阶元，正规性给全部 20 个 3 阶元，|N| ≥ 21 > 12，矛盾。
故 3 ∤ |N|，|N| ∈ {1, 2, 4}，N 是 2-群。若 N ≠ 1，由 Cauchy 它有 2 阶元 x；A5 的 2 阶元必是双换位，其共轭类有 15 个，正规性给 |N| ≥ 16 > 4，矛盾。
故 N = {e}，与假设矛盾。

两种情形都排除，故无非平凡真正规子群。∎

证明二（共轭类求和）　由引理 6.6，A5 的共轭类大小为 1, 15, 20, 12, 12。设 N ◁ A5，则 N 是若干共轭类之并，且含恒等类。于是
|N| = 1 + ε1·15 + ε2·20 + ε3·12 + ε4·12，　εi ∈ {0, 1}。
把 16 种组合列出来：{15, 20, 12, 12} 的子集和只有
0, 12, 15, 20, 24, 27, 32, 35, 39, 44, 47, 59，
故 |N| ∈ {1, 13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48, 60}。其中整除 60 的只有 1 与 60。故 N = {e} 或 N = A5。∎
注 6.8（两条证明的分工）　证明一像解剖：它把 60 一层层拆成 1、15、20、24，然后用「占地不重叠」逼死所有中间情形，读者能看见每一步在防什么。证明二像算术：它把「正规子群」翻译成「子集和」，再用整除性一次筛完，短得几乎看不到群。两条都对，都完整；前者教方法，后者教视角。学会在两者之间切换，是读懂有限群论文献的基本功——文献里几乎不再给这种细节，默认读者自己能补。

顺带说一句 A5 的 Sylow 数据，它们正是证明一的骨架：n5 = 6（24 个 5 阶元 ÷ 4），n3 = 10（20 ÷ 2），n2 = 5（=A5 在 5 个字母上自然作用，Sylow 2-子群 V4 的稳定化子是 A4，指数 5）。三个数分别满足 6 ≡ 1 (mod 5)、10 ≡ 1 (mod 3)、5 ≡ 1 (mod 2)，且各自整除对应的 m：6 | 12、10 | 20、5 | 15。第三定理的三个同余全部「顶格」成立，这是 A5 的一个漂亮特征。

6.6　一条走不到的边界

命题 6.9（Burnside paqb 定理，陈述）　若 |G| 只含两个素因子，即 |G| = paqb，则 G 可解。

本册不证这条。它不是技巧问题，而是工具不够：证明要用群表示论（特征标的正交关系与「不可约特征标的次数整除群阶」这条定理）。也就是说，只用群作用、Sylow 与计数，能走到 pq、2p、12、30、60 这些具体阶数，却走不到「任意两个素因子」这条一般定理。把边界标出来，比假装走通更重要。

同样的诚实也适用于另一侧：Sylow 定理本身不解决可解性。它可以判定「某阶群必有正规 Sylow」，从而用归纳证明可解（这正是 pq、2p、12、30 的做法），但一旦阶含三个以上素因子且候选表里全是大于 1 的数，Sylow 就沉默了。|G| = 60 就是分水岭：Sylow 数据完全允许单群存在，而 A5 确实存在。

6.7　结语：数点即结构

回看全册的路线：

这条路线有一个统一的手势：把「存在某个子群」的问题改写成「某个有限集上有不动点」的问题，然后数这个集合的大小。Wielandt 的 pa 元子集族、Sylow 第二定理的陪集空间、第三定理的 Sylp(G) 本身，都是这个手势的变体。学到这一层，Sylow 定理就不再是三条要背的结论，而是同一招的三次出手。

思想卡 4（下一步去哪）　本册到此为止，往前有三条路。其一，可解性与群列：把「有正规 Sylow」推广成「有正规列」，走到 Jordan–Hölder 定理与可解群的结构。其二，群表示论：把 G-集换成 G-模，Burnside 的双计数变成特征标正交关系，Sylow 与可解性的边界被彻底推开（Burnside paqb 定理、Frobenius 定理都在这里）。其三，分类的算术：给定阶数枚举全部群，小阶的完整清单（1–15 阶共 28 个群）可以靠 Sylow 加半直积逐个造出来，这正是《Sn 子群全录》一册在做的事。三条路都从这个「数点」的手势出发——只是把被数的集合换得更讲究。

附录 A小阶群的 Sylow 数据速查

下表把 4 至 30 阶的候选表一次列全，顺带给出该阶的群个数（分类结果，来自小阶群普查）。读法：候选表里只有「1」的素数，其 Sylow 子群必正规；候选表里出现两个以上数的，就要靠 §6 的组合清理。

|G|分解np 候选该阶群数直接结论
422n2={1}2交换（推论 4.7）：C4 或 V4
55n5={1}1循环
62·3n2={1,3}；n3={1}2C6 或 S3（命题 6.3）
77n7={1}1循环
823n2={1}5全为 p-群，中心非平凡（命题 4.5）
932n3={1}2交换：C9 或 C32
102·5n2={1,5}；n5={1}2C10 或 D5
1111n11={1}1循环
1222·3n2={1,3}；n3={1,4}5必有正规 Sylow（命题 6.4）
1313n13={1}1循环
142·7n2={1,7}；n7={1}2C14 或 D7
153·5n3={1}；n5={1}1必循环（命题 6.2）
1624n2={1}14皆幂零（命题 4.8）
1717n17={1}1循环
182·32n2={1,3,9}；n3={1}5Sylow 3 必正规，G 可解
1919n19={1}1循环
2022·5n2={1,5}；n5={1}5Sylow 5 必正规
213·7n3={1,7}；n7={1}2C21 或 C7⋊C3
222·11n2={1,11}；n11={1}2C22 或 D11
2323n23={1}1循环
2423·3n2={1,3}；n3={1,4}15无强制正规性；S4 取 n2=3, n3=4
2552n5={1}2交换
262·13n2={1,13}；n13={1}2C26 或 D13
2733n3={1}5皆幂零
2822·7n2={1,7}；n7={1}4Sylow 7 必正规
2929n29={1}1循环
302·3·5n2={1,3,5,15}；n3={1,10}；n5={1,6}4必有正规 Sylow（命题 6.5）

表 A-1　4–30 阶的 Sylow 候选表。「群数」一列为该阶同构类的个数。

表里最值得注意的是 24 与 30 的对照：两者都含三个素因子，但 30 被「挤」到必有正规 Sylow，24 却挤不出来。差别不在素因子个数，而在 m 的大小——24 的 m 只有 3，候选表里 3 与 4 都能取到；30 的两类元素一加就超过 29。这也解释了为什么 60 阶能容下单群：60 的候选表（n2={1,3,5,15}、n3={1,4,10}、n5={1,6}）允许三者同时取大，而 A5 恰好取 5、10、6，把清点做到刚好用满 60。

附录 BBurnside 计算速查

只要两步：(1) 写下作用群每个元素的循环结构；(2) 用 |Fix| = k循环个数 求和再除以 |G|。下面把本册用到的表集中列出。

作用群循环型 c(g)公式
珠子圈（项链）Cn旋转 j 格：c = gcd(j,n)(1/n)Σj kgcd(j,n)
珠子圈（手镯）Dn旋转 + 反射（见 §3.3）(1/2n)[Σjkgcd + 反射项]
正方形四格D414, 4, 22, 4, 22, 22, 122, 122(k4+2k+3k2+2k3)/8
立方体六面（旋转）R ≅ S4见下表 B-2(k6+3k4+12k3+8k2)/24
立方体六面（含镜像）Oh见下表 B-3(k6+3k5+9k4+13k3+14k2+8k)/48
群自己（共轭）Gc(g) = |CG(g)|类数 = (1/|G|)Σ|CG(g)|

表 B-1　常用作用速查。第三列的「循环型」指被染色/被搬动的那个集合上的循环分解。

类型个数面的循环型c贡献
恒等1166k6
面心 90°/270°612436k3
面心 180°3122243k4
体对角线 120°/240°83228k2
棱中点 180°62336k3
合计24——k6+3k4+12k3+8k2

表 B-2　立方体旋转群（24 元）。k = 1, 2, 3 分别得 1、10、57。

类型个数面的循环型c贡献
旋转部分合计24见表 B-2—k6+3k4+12k3+8k2
中心反演1233k3
平行于面的镜面 σh314253k5
过对棱的镜面 σd6221246k4
旋转反射 S464·226k2
旋转反射 S68618k
合计48——k6+3k5+9k4+13k3+14k2+8k

表 B-3　立方体全对称群（48 元，含镜像）。k = 1, 2, 3 分别得 1、10、56。与表 B-2 对照：二色时镜像不合并任何两类，三色时合并了一对——这就是 §3.7 警示 3.11 说的那个差别。

附录 C一份可复跑的核对脚本

下面这段脚本把本册的主要数值全部暴力重算（枚举 + 计数，不用 Burnside 公式），用来校验正文。纯标准库，Python 3 直接运行，约两秒。

# gset_sylow_check.py —— 校验《G-集与 Sylow 定理》正文数值 import itertools from collections import Counter # ---------- 1. 项链 / 手镯 ---------- def dihedral(n): rot = [tuple((i + j) % n for i in range(n)) for j in range(n)] ref = [tuple((j - i) % n for i in range(n)) for j in range(n)] return rot + ref def orbits(perms, k): n = len(perms[0]); seen = set(); cnt = 0 for w in itertools.product(range(k), repeat=n): if w in seen: continue cnt += 1 for p in perms: seen.add(tuple(w[p[i]] for i in range(n))) return cnt print("== 珠子 == (n, 项链, 手镯, k)") for n in range(3, 9): P = dihedral(n) print(n, orbits(P[:n], 2), orbits(P, 2), 2) print(6, orbits(dihedral(6)[:6], 3), orbits(dihedral(6), 3), 3) # 期望: 4 4 / 6 6 / 8 8 / 14 13 / 20 18 / 36 30 ; 6,3 -> 130 92 # ---------- 2. 立方体六面染色 ---------- faces = [(0,1),(0,-1),(1,1),(1,-1),(2,1),(2,-1)] idx = {f: i for i, f in enumerate(faces)} def act(m, f): perm, sg = m return (perm[f[0]], sg[f[0]] * f[1]) def is_rot(m): perm, sg = m inv = sum(1 for i in range(3) for j in range(i+1,3) if perm[i] > perm[j]) return (-1)**inv * sg[0]*sg[1]*sg[2] == 1 ALL = [((perm), sg) for perm in itertools.permutations(range(3)) for sg in itertools.product([1,-1], repeat=3)] ROT = [m for m in ALL if is_rot(m)] def cube_orbits(group, k): ps = [tuple(idx[act(m, faces[i])] for i in range(6)) for m in group] seen = set(); cnt = 0 for w in itertools.product(range(k), repeat=6): if w in seen: continue cnt += 1 for p in ps: seen.add(tuple(w[p[i]] for i in range(6))) return cnt print("== 立方体 == 旋转:", [cube_orbits(ROT, k) for k in (1,2,3)], " 全对称:", [cube_orbits(ALL, k) for k in (1,2,3)]) # 期望 旋转 [1,10,57] ; 全对称 [1,10,56] # ---------- 3. D4 作用 2x2 ---------- cur = {0:1, 1:3, 3:2, 2:0} def d4(): out = [] for r in range(4): p = {i:i for i in range(4)} for _ in range(r): p = {i: cur[p[i]] for i in range(4)} out.append(tuple(p[i] for i in range(4))) for r in range(4): p = {i:i for i in range(4)} for _ in range(r): p = {i: cur[p[i]] for i in range(4)} out.append(tuple({0:1,1:0,2:3,3:2}[p[i]] for i in range(4))) return out print("== D4 在 2x2 上 ==", orbits(d4(), 2)) # 期望 6 # ---------- 4. A5 的元素与共轭类 ---------- def parity(p): inv = sum(1 for i in range(len(p)) for j in range(i+1,len(p)) if p[i] > p[j]) return (-1)**inv def ctype(p): n = len(p); seen = [False]*n; t = [] for i in range(n): if not seen[i]: l = 0; j = i while not seen[j]: seen[j] = True; j = p[j]; l += 1 t.append(l) return tuple(sorted(t, reverse=True)) A5 = [p for p in itertools.permutations(range(5)) if parity(p) == 1] print("== A5 ==", len(A5), "元素") print("按阶统计:", Counter(min(ctype(p)) if ctype(p) == (1,)*5 else max(ctype(p)) for p in A5)) cls = Counter() for p in A5: cls[p] += 0 seen = set(); sizes = [] for p in A5: if p in seen: continue c = [q for q in A5 if ctype(q) == ctype(p)] conj = set() for a in A5: inv = [0]*5 for i, x in enumerate(a): inv[x] = i conj.add(tuple(inv[p[a[i]]] for i in range(5))) sizes.append(len(conj)) seen |= conj print("共轭类大小:", sorted(sizes)) # 期望 [1, 12, 12, 15, 20] # ---------- 5. Sylow 候选表 ---------- def fac(n): f = {}; d = 2 while d*d <= n: while n % d == 0: f[d] = f.get(d, 0) + 1; n //= d d += 1 if n > 1: f[n] = f.get(n, 0) + 1 return f print("== Sylow 候选（4..30）==") for n in range(4, 31): out = [] for p in sorted(fac(n)): m = n // p**fac(n)[p] out.append((p, [d for d in range(1, m+1) if m % d == 0 and d % p == 1])) print(n, out)

脚本第 4 段里 conj 的算法是「对每个 a ∈ A5 算 a p a−1」——指数运算无法直接写，故用逆置换 inv 手工复合。这段是本册唯一需要「动手复合」的地方；其余各段都是纯计数。

附录 D术语中英对照

中文English本册出处
左作用 / 右作用left / right action定义 1.1
忠实作用faithful action定义 1.4
正则作用regular action例 1.2(b)
共轭作用conjugation action例 1.2(c)
核（作用的）kernel of an action命题 1.5
轨道orbit定义 2.1
稳定化子stabilizer定义 2.1
传递 / 自由transitive / free定义 2.1
轨道—稳定化子定理orbit–stabilizer theorem定理 2.3
类方程class equation推论 2.6
等变映射 / G-同态equivariant map / G-map定义 2.7
核对（范畴意义）kernel pair注 2.10
正规化子 / 中心化子normalizer / centralizer推论 2.14
不动点集fixed point set定义 3.1
Burnside 引理Burnside's lemma（Cauchy–Frobenius lemma）定理 3.3
项链 / 手镯necklace / bracelet§3.3
循环型cycle type§3.4、§3.5
中心化子阶公式centralizer order formula表 3-3
Cauchy 引理Cauchy's theorem定理 4.1
p-群p-group定义 5.1
中心非平凡nontrivial center命题 4.5
Sylow p-子群Sylow p-subgroup定义 5.1
存在性定理existence (Sylow I)定理 5.3 / 5.5
共轭定理conjugacy (Sylow II)定理 5.6
计数定理counting (Sylow III)定理 5.9
Frattini 论证Frattini argument命题 5.8
半直积semidirect product命题 6.2(c)
交错群alternating group§6.5
单群simple group定理 6.7
可解群solvable group命题 6.9
数学小主题读本 · 其十 · G-集与 Sylow 定理——从群作用到阶数的算术 · 供不同背景的读者独立研读

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