作用的结构：S-集、G-集、向量空间与模
数学小主题读本 · 其十一 ｜ 从变换的观点看代数——作用、表示与结构的统一与分野 ｜ 九章格数学 PhiloMath
本册定位。 上一册（《G-集与 Sylow 定理》）把「群作用」当成一件武器，用来数点、证 Sylow。这一册退后一步，把「作用」本身当作研究对象：让一个代数对象去搬动另一个数学世界的对象，会发生什么？答案出奇地整齐——幺半群作用给出 S-集，群作用给出 G-集，域作用给出向量空间，环作用给出模，代数作用给出代数模与线性表示 。五件东西表面上分属五门课程，骨子里是同一个定义换了五副参数。本册沿这条线走：§1 从最宽松的幺半群作用（S-集）起步，看清「不可逆」带来的尾与汇聚；§2 让作用可逆，得到 G-集，轨道重新变成干净的划分；§3 把作用线性化，域上的向量空间就是「作用可以被加、被数倍」的世界，并证 Maschke 定理；§4 让环来作用，得到模——线性代数最普遍的形态，含张量积的完整构造；§5 让代数来作用，kG -模与群表示在定理 5.3 中合二为一，并在循环群上把「群代数分解」算到底；§6 站上范畴论的高台：幺半群、群、环、代数都是单对象范畴，五类作用全是预层函子，Yoneda 引理一句话说清「为什么看作用就够」。全册每一条主定理都给完整证明 ；少数需要更重机械的结论（PID 结构定理、Wedderburn 分类、topos 性质）明确标注【陈述级】并写明缺口在哪。暗线：作用即结构 ——不问一个代数对象「是什么」，只问它「如何作用」；答案就足够把它的内部结构全部还原。
§1 最宽松的作用：幺半群与 S-集把三个代数对象放进同一副框架，是本册全部内容的第一步。框架里最宽松的成员不是群，而是幺半群：有单位元、乘法结合，仅此而已——不要求可逆。先看它如何作用。
1.1 定义与第一批标本
定义 1.1（幺半群作用） 设
S 是幺半群（含单位元 1 的结合半群），
X 是非空集合。
S 在
X 上的一个
左作用 是映射
S × X → X ， (s , x ) ↦ s ·x ，
满足 (A1) 1·
x =
x ；(A2) (
st )·
x =
s ·(
t ·
x )。此时称
X 为
左 S -集 。字面形式与群作用一模一样——差别全在
S 里没有逆元。
例 1.2（六个基本标本）
(a) 平凡作用。 sx = x 恒成立。任何幺半群都会这一手。
(b) 正则作用。 X = S ，s ·x = sx （左乘）。幺半群搬自己；因为没有逆，搬过去的路未必能搬回来。
(c) 自然数作用＝迭代。 取 S = ⟨ℕ , +, 0⟩。给定任意映射 f ：X → X ，令 n ·x = f n x )，就是一个 S-集。每个 ℕ-作用不过是一次次重复同一个动作 ——离散动力系统的全部内容被这一个例子装下。
(d) 幂等作用。 取 S = {1, e }，e 2 = e （二元幂等幺半群）。一个 S-集 ⟺ 一个满足 e 2 = e 的自映射，即一个「投影」。
(e) 奇异矩阵。 取 S = 全体 n ×n 实矩阵（乘法幺半群），作用于列向量。奇异矩阵搬动向量时压扁维数——不可逆作用在解析世界里随处可见。
(f) 全变换幺半群。 T X X 上全体自映射，合成作乘法。它是「所有作用共同的归宿」：命题 1.3 说明一切作用都分解为到某个 T X X | = 3 时 |T X 3 = 27，其中可逆者只有 3! = 6 个——不可逆者占绝大多数，这正是 S-集的世界远比 G-集驳杂的原因。
1.2 作用就是同态：表示的雏形
命题 1.3（作用 ↔ 幺半群同态） S 在
X 上的左作用，等价于幺半群同态
σ ：S → T X σ (s )：x ↦ sx 。
证明 给定作用，令 σ (s ) 为「搬动 s 」。公理 (A1) 说 σ (1) = idX σ (st )(x ) = (st )x = s (t x ) = σ (s )(σ (t )(x ))，即 σ (st ) = σ (s )∘σ (t )（注意 T X σ ，令 sx = σ (s )(x )，两条公理逐字还原。∎
注 1.4（表示、核与撒谎） 同态 σ 的像 σ (S ) ⊆ T X 表示 ：它是 S 投影在「搬动 X 」这件事上的影子。σ 未必单射——两个不同的 s 可以搬动方式完全相同，此时核 ker σ = {s : sx = x 对一切 x } 是 S 的理想 （对左右乘封闭），称为「撒谎的部分」：这部分元素声称自己参与作用，实际上一动不动。作用忠实 ⟺ ker σ = {1} ⟺ S 同构于自己的像。群情形（其十 §1）的核是正规子群，可以取商群继续作用；幺半群情形核只是理想，商 S /ker σ 仍是幺半群——「撒谎的部分」可以商掉，商完照样作用。语言一致，深浅有别。
1.3 轨道：不可逆的世界里，轨道有了形状
群作用的轨道是等价类的划分（其十定理 2.2）；幺半群作用没有逆，「轨道」不再是等价关系，而是有了方向和形状 。这是本册第一个实质的分野，值得逐句看清。
定义 1.5（循环子 S-集） x ∈ X ，记 Sx = {sx : s ∈ S }。它是 X 的子 S-集（S 作用下封闭），称为 x 生成的循环子 S-集 。若 X = Sx ，称 X 循环 。
在 ℕ-作用（例 1.2(c)）里，循环子 S-集有明确的几何形状。X = {0, …, 7}，取
f ：0↦1, 1↦2, 2↦1, 3↦4, 4↦4, 5↦3, 6↦7, 7↦7，
逐点迭代（下节附录 C 的脚本可复跑）：0 走 0→1→2→1→…，先走一段「尾」，然后落进 1↔2 的两环；4、7 是不动点；5 走 5→3→4，尾长 2 后落入不动点。每个循环子 S-集恰是「
一条尾接一个圈 」：尾上的点不断向圈汇入，圈上的点永远转圈。实测八个点的 (尾长, 圈长) 分布为 (0,1)×2、(0,2)×2、(1,1)×2、(1,2)×1、(2,1)×1——三种尾长、两种圈长，这就是不可逆作用的全部地形。
圈：1 ↔ 2
1
2
f f 0
尾
尾＋不动点
4
3
5
f 每条循环子 S-集＝一条尾接一个圈
图 1-1 ℕ-作用的轨道＝尾＋圈。尾上的点单向汇入圈；群作用没有尾，只有圈（§2 对比）。
命题 1.6（循环 S-集的表示） 设 X = Sx 循环。在 S 上定义二元关系 s ∼x t ⟺ sx = tx ，则：(i) ∼x S 的右同余 （等价关系，且 s ∼ t ⟹ su ∼ tu 对一切 u ）；(ii) 商幺半群 S /∼x u ·[s ] = [us ]），且 X 作为 S-集同构于它。
证明 (i) 等价关系显然。右平移保等价：若 sx = tx ，则对任意 u ，(us )x = u ·(sx ) = u ·(tx ) = (ut )x ，故 us ∼ ut 。左平移一般不保：sx = tx 时 (su )x = s ·(ux ) 依赖 ux 而非 x ，无从比较。故 ∼x S /∼x F ：S /∼x X ，[s ] ↦ sx 良定义且双射（像 = Sx = X ；[s ] = [t ] 当且仅当 sx = tx ）。等变性：F (u ·[s ]) = F ([us ]) = (us )x = u (sx ) = u ·F ([s ])。∎
注 1.7（稳定化子为什么不够用） 群情形（其十定理 2.3）只需稳定化子 G x G /G x x ) = {s : sx = x }（这只是右理想，不够细腻），而是整条右同余 ∼x sx = tx 解不出「s 与 t 差一个稳定化子」——s −1 t 这个量不存在。可逆性正是「一个子群决定一条轨道」的全部原因 。例 1.2(c) 的映射 f ：Stab(0) = {n : f n 0 把 1 与 3 认同（f (0) = f 3 (0) = 1）、把 2 与 4 认同（f 2 (0) = f 4 (0) = 2）——一个平凡的稳定化子，一条不平凡的右同余。
结构定理的命运。 群作用的第二结构定理说：每个 G-集是不交轨道之并。幺半群情形这条定理失败 ，而且失败得很有教育意义。
命题 1.8（覆盖引理） 每个 S-集是其循环子 S-集之并：X = ⋃x ∈X Sx 。并可以重叠——不交分解一般不存在。
证明 x = 1·x ∈ Sx ，故并覆盖 X 。重叠的可能由下例坐实。∎
例 1.9（汇聚反例） X = {a , b , c }，S = ⟨f ⟩，f (a ) = f (c ) = b ，f (b ) = b 。逐个清点循环子 S-集：{b }、{a , b }、{c , b }（a 与 c 都「落」在 b 上）。覆盖 X 至少要含 a 的块 {a ,b } 与含 c 的块 {c ,b }，二者交于 {b }；{b } 自身虽循环却盖不住 a 或 c 。故任何 循环子 S-集族都无法不交地拼出 X 。两个源头（a 与 c ）汇入同一个汇（b ）——不可逆作用的轨道可以汇聚 ，而划分要求彼此隔离。∎
a
c
b
f {a, b}
{c, b}
共享 b
图 1-2 汇聚反例：{a,b} 与 {c,b} 两条循环子 S-集共享汇点 b，不交分解不可能。群作用中此图不存在。
注 1.10（可逆性恢复划分） 反例的关键是 b 有两个前身。若作用可逆，则 y = sx 蕴含 x = s −1 y ，轨道关系立刻对称、传递成等价关系，划分自动成立（§2 定理 2.2 给正式证明）。「轨道是划分」不是定义送上门的性质，而是可逆性挣来的 ——这句话是本册的转轴。
1.4 幂等元：不可逆世界里最温顺的作用
幂等元 e 2 = e 是幺半群里「半可逆」的元素：它的作用 σ (e ) 满足 P 2 = P ，是投影。投影虽不可逆，行为却极其规矩。
命题 1.11（幂等作用的结构） 设幂等 e 作用于 X 。则 (i) e 限制在 eX 上是恒等；(ii) 若 S = {1, e }，则 eX 恰是不动点集 {x : ex = x }，且 X 的每一点要么在 eX 里、要么一步进入 eX ；(iii) X 分解为 eX 与「补轨」之并，每个 x ∉ eX 的轨道是两点尾 x ↦ ex 。
证明 (i) 对 y = ex ∈ eX ：ey = e (ex ) = e 2 x = ex = y 。(ii) y = ex 不动已证；反之 ex = x 显然 x ∈ eX 。每点 x ：若不动则已在 eX ；否则 ex ∈ eX 且 e (ex ) = ex ——一步即达。(iii) 是 (ii) 的重新排版：S-集 {x , ex } 循环，形状是两点尾。∎
幂等作用的规矩与迭代作用的驳杂（尾可以任意长、圈可以任意大）形成对照：幺半群里元素「多幂等」，作用世界就「多分解」 。§5 将看到，群代数 ℂG 里的半单性正是靠一批精心构造的幂等元 e χ
1.5 S-Set 作为范畴：第一眼预层
定义 1.12（S-Set 范畴） 对象 = 全体 S-集；态射 φ ：X → Y 是等变映射 ：φ (sx ) = s ·φ (x )。此范畴记 S-Set 。
命题 1.13（S-Set 有积、余积；G-Set 是笛卡尔闭） (i) S-Set 有积（笛卡尔以及对角作用 s (x ,y ) = (sx , sy )）与余积（不交并）。(ii) 若 G 是群，则 G-Set 是笛卡尔闭的：指数对象 Z X X , Z ) 为底层，配共轭作用 (g ·φ )(x ) = g ·φ (g −1 x )；自然双射 G-Set(Y × X , Z ) ≅ G-Set(Y , Z X g −1 x 这个量不存在，上述共轭公式失效；S-Set 仍是笛卡尔闭的，但指数对象的底层不再是函数集，其构造要借 §6 的预层语言【陈述级，缺口说明见 §6 命题 6.6 后注】。
证明 (i) 交换律与作用公理逐条搬到分量上即得。(ii) 先验 Z X φ (x ) = φ (x ) 显然；结合律用 (gh )−1 = h −1 g −1 ：(gh ·φ )(x ) = gh ·φ (h −1 g −1 x )，而 (g ·(h ·φ ))(x ) = g ·((h ·φ )(g −1 x )) = g ·(h ·φ (h −1 g −1 x ))，两式相同。双射：给定等变 g ：Y ×X → Z （对角作用），送 ĝ (y )(x ) = g (y , x )；反向给定 h ：Y → Z X h̃ (y , x ) = h (y )(x )。两方向互逆。ĝ 等变：ĝ (gy )(x ) = g (gy , x ) = g (g ·(y , g −1 x )) = g ·g (y , g −1 x ) = g ·(ĝ (y ))(x )，第二号等号用了 g 的等变性（对角作用：g ·(y , g −1 x ) = (gy , gg −1 x ) = (gy , x )）。h 等变的验算对称。∎
思想卡 1（最宽松的世界已经不简单） S-集只要求「结合＋有单位」，却已经出现三件群世界里没有的事：轨道有尾、轨道会汇聚、稳定化子不够用。它们是同一个根源的三副面孔——没有逆 。记住这张脸；§2 给它加上逆，§3 给它加上加法，§4 给它加上分配，每加一层，结构的定理就换一副面貌。
§2 G-集：当作用变得可逆给幺半群补上逆元，就是群。上一节所有「不听话」的现象，都将在这一节消失——而看清它们为什么 消失，正是理解「作用决定结构」的第一把钥匙。
2.1 定义与对照
定义 2.1（G-集，回顾） 群 G 在 X 上的左作用满足 (A1) ex = x 与 (A2) (gh )x = g (hx )（其十定义 1.1）。每个 σ (g ) 是双射：它以 σ (g −1 ) 为逆。等变映射与 G-Set 范畴如定义 1.12。
把 §1 的结论逐条放到群上重述，得到一张分野分明的对照表。
条目 S-集（幺半群作用） G-集（群作用） 单个元素的作用 任意自映射（可压扁） 双射（不可压扁） 轨道形状 尾＋圈，尾可任意长 纯圈 轨道关系 y = sx ：只是前序，未必对称y = sx ⟹ x = g −1 y ：对称，是等价关系结构分解 循环子 S-集覆盖 X ，可汇聚（例 1.9） X 是不交轨道之并轨道由什么决定 整条右同余 ∼x 一个稳定化子子群（其十定理 2.3） 表示的核 理想（商掉后仍作用） 正规子群（商群继续作用） 范畴气质 笛卡尔闭，无零对象 笛卡尔闭，无零对象（§3 起被线性世界反超）
表 2-1 S-集与 G-集七条对照——每一行的差别都溯源于「有没有逆」。
2.2 划分的恢复与结构定理
定理 2.2（轨道分解） G-集 X 上的关系 x ~ y ⟺ 存在 g 使 y = gx 是等价关系；等价类（轨道）两两不交，每个轨道在 G 作用下封闭，X 是全体轨道的不交并。
证明 自反：x = ex 。对称：若 y = gx ，则按 (A2) 逐层展开，g −1 ·y = g −1 ·(gx ) = (g −1 g )·x = ex = x 。传递：若 y = gx 、z = hy ，则 z = h ·(gx ) = (hg )x 。对称性正是 S-集缺的那一步 ：例 1.9 中 b = f (a ) 但没有映射把 b 送回 a ；群情形 g −1 无条件存在。轨道作为等价类自动两两不交、并出全集；封闭性：轨道 Gx 满足 h ·(gx ) = (hg )x ∈ Gx 。∎
1
2
3
轨道 1：3-圈
4
5
轨道 2：2-圈
7
轨道 3：不动点
两两不交，并出全集
图 2-1 可逆性恢复划分：群作用的轨道是纯圈，两两不交；图 1-1 的尾在群世界里无处容身。
注 2.3（补上被欠的那步） 把定理 2.2 与其十定理 2.3 连起来读：轨道 = 陪集空间 G /G x a −1 Ha ≤ K 与 N G H )/H 计算。这四句话合起来，就是 G-集的完整结构定理 ：G-Set 的每个对象都是陪集空间的不交并，而陪集空间被子群格逐一登记。幺半群情形命题 1.6 只能登记到「右同余」这层——右同余的类目远比右理想庞杂，因为它是逐点定义的，没有一个像子群格那样有限的索引。
2.3 作用的两种命运：忠实与失真
命题 1.4 把「表示」定义为作用的像。现在可以把「表示」这个词的分量称出来。
命题 2.4（像的大小与信任） 设作用 σ ：G → T X ker σ = {g : gx = x 对一切 x } 是正规子群，且 σ 诱导单射 G /ker σ ↪ T X B ⊆ X 使每个非幺元都搬动 B 中某点；(iii) 有限群总忠实作用于某有限集（Cayley，其十推论 1.6）：取 X = G 正则作用，|X | = |G |。
证明 (i) 正规性：h ∈ ker σ ，任意 g ，验证 ghg −1 不动每点：x ↦ x 的路径 (ghg −1 )x = g ·(h ·(g −1 x )) = g ·(g −1 x ) = (gg −1 )x = x ，中间号用 h ∈ ker σ 。单射因子分解由同态基本定理（群版）给出。(ii) 若不忠实，取 e ≠ k ∈ ker σ ，则 k 不动一切点，任何 B 都抓不到它；反之为真——逐点检查即可。(iii) 其十推论 1.6 的证明：gx = x 对一切 x ∈ G ，特别地取 x = e 得 g = e 。∎
(ii) 有一个实用的读法：「作用忠不忠实」不是整体的抽象性质，而是可以逐元素逐点验证的账目 。§3 的线性表示会重新出现同一笔账——那时「点」换成「向量」，判定变成「有没有公共不动向量」。
命题 2.5（幺半群的表示不必单） 存在有限幺半群与非平凡同态 σ ：S → T X σ 把两个不同元素送到同一映射；且商 S /ker σ 的正则作用忠实。幺半群情形没有「每个有限幺半群忠实作用于某集且阶不变」的免费午餐：正则作用的像的大小可以远小于 |S |。
证明 取 S = {1, e , z }，其中 e 2 = e 、z 2 = z 、ez = ze = z （乘法表可直接核验结合性：三元的非平凡合成全部落在 z 与自身幂等上）。令 S 作用于单点集 {∗}：e ∗ = ∗，z ∗ = ∗。则 σ (e ) = σ (z ) = id，ker σ = {e , z } 是理想，商 S /ker σ ≅ {1}，其正则作用忠实（平凡地忠实）。同时例 1.2(f) 的计数 |T 3 | = 27 说明：三点集上任何幺半群的表示像至多 27 元，而三点上的自由幺半群是无限的——像的大小可以任意悬殊。∎
2.4 两个范畴的合影
§1.5 与本节合起来，S-Set 与 G-Set 的范畴面貌已经清楚：都有积、余积；G-Set（命题 1.13(ii)）还笛卡尔闭。范畴论给这张合影一个统一的名字：两者都是预层范畴 ——幺半群与群都是单对象范畴，作用集都是它上面的函子。这句话 §6 展开成正式定理（命题 6.2 与 6.3），此处先把直觉立住：
一个代数对象的最小舞台是单对象范畴；一个作用就是从这个舞台出发的函子；而结构的定理，就是这个函子范畴的普遍性质。 群与幺半群的差别（态射是否都可逆）完全忠实地上传为 G-Set 与 S-Set 的差别（轨道是否划分）。范畴语言没有增加任何新内容，它只是把这层「上传」本身变成了定理。
思想卡 2（可逆性是世界观的开关） 同一个定义（A1＋A2），加上逆元，轨道从「尾＋圈」变成「纯圈」，右同余坍缩成子群，覆盖分解升级为不交划分，汇聚反例（例 1.9）在群的世界里根本无法画出来。结构的深层差异，被作用的最浅层差异完全决定 。接下来两节把这个开关再扳两次：加上「可加」（§3、§4），世界的范畴从集合的搬动变成向量的搬动；加上「可乘」（§5），作用自身也长出乘法。每扳一次，旧定理不废——它们作为特例存活。
§3 域上的向量空间：作用的线性化前两节作用搬的是「点」，点与点之间没有结构。现在让被搬动的东西自己带上加法与数乘——搬动必须尊重这套运算。这一步「线性化」是整个现代表示论的第一原则，而它的定义恰好又是本册的母题：向量空间就是域的模 。
3.1 向量空间公理的重组
定义 3.1（向量空间＝域作用） 设
K 是域，
V 是非空集合，带两个运算：加法
V ×
V →
V （使
V 成交换群，零元 0）与
标量作用 K ×
V →
V ，(
k ,
v ) ↦
kv 。若标量作用满足
(kℓ )v = k (ℓv )； 1v = v ； k (u + v ) = ku + kv ； (k + ℓ )v = kv + ℓv ，
则称
V 为
K -
向量空间 。
命题 3.2（向量空间 ⟺ 域上的模） 定义 3.1 的四条标量公理恰是「V 的加法群被环 K 作用」的完整清单：(A1)＝1v = v ；(A2)＝(kℓ )v = k (ℓv )；而两条分配律说的是每个 k 的作用都是群同态 V → V 。
证明 「环作用」的准确含义：映射 ρ ：K → End(V )（加法群的自同态环），是环同态 ——保乘（ρ (kℓ ) = ρ (k )ρ (ℓ )，即结合律 (kℓ )v = k (ℓv )）、保加（ρ (k +ℓ ) = ρ (k )+ρ (ℓ )，即 (k +ℓ )v = kv +ℓv ）、保幺（ρ (1) = id，即 1v = v ）。剩下一半 k (u +v ) = ku +kv 说的是每个 ρ (k ) 是群同态（从而是自同态）。逐条对账完毕：定义 3.1 ⟺ V 是左 K -模（§4 定义 4.1 的特例）。域的特殊性（每个非零元可逆）此后才登场。∎
重组的收益立刻可见：向量空间的全部线性代数，都是「环作用」这一母题在最乖的环 上的表现。乖在哪里？域的每个非零元可逆，于是：
定理 3.3（基的存在与维数不变，有限维情形） 设 V 由有限集 A 张成（V 中每个向量是 A 的线性组合）。则 A 含一个线性无关的张成集（基）；且 V 的任意两组基都有限、基数相同。
证明（Steinitz 交换） 第一半：极简基。 在 A 的线性无关子集（按包含）中取极大者 B （有限集族中必有）。断言 B 张成 V ：否则取 a ∈ A ∖ span(B )；若 B ∪ {a } 线性相关，则有非平凡组合 λa + Σμb b = 0；λ ≠ 0（否则 B 相关），于是 a ∈ span(B )，矛盾。故 B ∪ {a } 线性无关，与极大性矛盾。第二半：任意两组基 |B | = |C |。 设 B = {b 1 , …, b m C ：若它无限，取其中 m +1 元有限子集充当 C ，下面的论证照用且结论已足（将证 C 不可能多于 m 元）；故不妨设 C = {c 1 , …, c n m < n 。做 m 轮交换：第 r 轮开始时，手上有一组基，含 C 的 r −1 个向量与 B 的 m −r +1 个（第 1 轮即 B 本身）。换入一步： c r B -向量的系数不全为零——否则 c r r −1 个 C -向量的张成里，与 C 线性无关矛盾。把 c r B -向量（可剔：用 c r C -向量增至 r 个。收尾： m 轮后，手上是 m 个全为 C 中的向量组成的一组基；于是 C 的其余 n −m > 0 个向量都被这 m 个线性表出——n 个线性无关向量中的 m 个表出其余，与 C 无关矛盾（把全组 C 写成这 m 个的线性组合，得 n 个未知量 m 个方程的非平凡零组合）。故 |B | = |C |。∎
注 3.4（这条证明在守什么） Steinitz 交换是「维数」这个概念的合法性证书。它依赖域的消去律（λ ≠ 0 可除）——§4 会看到，一般环上的模没有维数：自由模 R m R n m ≠ n （存在这样的环），根源正是消去律失效。线性代数的全部整洁，都是域公理的回声 。
3.2 线性表示：群作用的升级
定义 3.5（线性表示） 群
G 在
K -向量空间
V 上的
（线性）表示 是群同态
ρ ：G → GL (V )，
其中
GL (
V ) 是
V 的可逆线性变换群。等价地：
G 作用于
V ，且每个
ρ (
g ) 线性。
G 群GL (V )可逆线性变换群
V 向量空间带加法与数乘
ρ ：保乘作用：g ↦ (v ↦ gv)
线性且可逆
表示 = 作用（竖）＋线性（横）：搬动者尊重加法与数乘
图 3-1 线性表示＝作用（竖直）＋线性（水平）：群元素送可逆线性映射，乘法保持。
这就是「作用」与「表示」在教科书里的分工：作用是母题（任何集合、任何幺半群），表示是线性化后的作用 （被搬空间有加法与数乘，搬动者必须尊重它们）。从现在起，「表示」专指线性表示。
3.3 Maschke 定理：线性世界里可以拆
群作用在集合上拆成轨道（定理 2.2）。线性表示拆成什么？答案：拆成不可约表示的直和——但只在 char K ∤ |G | 时 。这个「几乎总成立」的定理是线性化送给表示论的第一份大礼。
定理 3.6（Maschke） 设 G 有限，K 域，char K ∤ |G |。V 是表示，W ≤ V 是子表示（G -不变子空间）。则存在子表示 W ′ ≤ V 使 V = W ⊕ W ′。
证明 先任取线性投影
π ：
V →
W （
π |
W = id；存在：把
V 的基前若干个取成
W 的基，令
π 送其余基向量为 0）。
π 未必与
G 相容。把它对群平均：
P = (1/|G |) Σg ∈G ρ (g ) π ρ (g )−1 。(3.1)
char
K ∤ |
G | 保证 |
G | 在
K 中可逆，(3.1) 良定义。
三条性质 ：
① P 是投影且像在 W 。 对 w ∈ W ：子表示性给 ρ (g )−1 w ∈ W ，于是 πρ (g )−1 w = ρ (g )−1 w ，故 ρ (g )πρ (g )−1 w = w ，平均后 Pw = w 。又 P 的像含于 W （每项 π (·) ∈ W ，W 不变）。两者合起来：P 2 = P （对任意 v ，Pv ∈ W ，故 P (Pv ) = Pv ）。
② P 与每个 ρ (h ) 交换。 ρ (h )Pρ (h )−1 = (1/|G |)Σρ (hg )π ρ (hg )−1 ，令 g ′ = hg 遍历 G ，和不变，故 = P 。
③ 取 W ′ = ker P 。 由 ①②，W ′ 是子表示（v ∈ W ′ ⟹ P (ρ (h )v ) = ρ (h )Pv = 0）。分解：v = Pv + (v −Pv )，前项 ∈ W 、后项 ∈ W ′；交为零（v ∈ W ∩ W ′ ⟹ v = Pv = 0）。∎
例 3.7（平均投影的具体样子） G = {1,
g }（C₂），作用于
ℝ 2 ：
g 交换两个坐标。不变子空间
W = 对角线 {(
t ,
t )}。任取投影（如向
x -轴投影），平均得
P = ½( I + ρ (g ) ) = ½ [[1, 1], [1, 1]]， P (3, 1) = (2, 2) ∈ W 。
附录 C 核验
P 2 =
P 与
P ρ (
g ) =
ρ (
g )
P 。
W ′ = ker
P = 反对角线 {(t, −t)}——二维表示拆成两个一维。
∎ 警示 3.8（char 整除时的塌方） 取 K = ℂ p G = C p g ⟩，表示 V = K 2 ，ρ (g ) = [[1, 1], [0, 1]]。记 N = ρ (g ) − I （幂零，N 2 = 0），则 ρ (g )p I +N )p I + p ·N = I （二项式系数全含 p ，且 N 2 = 0），而 p = 0 in K ——确为表示。不变线 W = ⟨e₁⟩。若可分解，ρ (g ) 相似于对角阵 diag(1, λ )；但 ρ (g ) 只有一个特征值 1（三角阵），对角化后只能 λ = 1，则 ρ (g ) = I ——而它不是。平均投影死于 (3.1) 的分母 |G | = p = 0 。Maschke 的失败不是技巧问题，是算术问题。
3.4 向量空间的范畴气质
命题 3.9（VectK 以线性映射为态射，Vect K V /ker f ≅ im f 。
证明 (i)(ii) 逐条验证泛性质（零对象到任何空间有唯一线性映射 0 ↦ 0）。(iii) ker f = f −1 (0) 是子空间且对 g ：U → V 满足 fg = 0 者唯一穿过；余核 = 商空间 V /im f 。单射为核：f 单 ⟺ ker f = 0 ⟺ f ≅ 其像的包含映射；满射为余核：对偶地。(iv) 线性代数标准定理，证明与群版同构（其十定理 2.9）：送 [v ] ↦ f (v )，良定义因 ker f ，双射由定义，线性由商空间结构。∎
注 3.10（对照与预告） G-Set 没有零对象（其十注 2.10：单点集是终对象、空集是初始对象，两者不同），单射也不必是核。线性化补上了这块：零向量给了「核」一个绝对参照点，加法给了「同态基本定理」一个线性的舞台 。§4 把这套性质推广到一切环——那类性质完备的范畴有个专名：abelian 范畴。
思想卡 3（线性化＝让作用可以被加） 从 S-集到 G-集，开关是「可逆」；从 G-集到向量空间，开关是「可加」。第二道开关的代价：被作用的对象必须先自带加法群；收益：作用者之间出现线性组合（ 表示的直和、特征的加权），结构定理从「划分」升级为「直和分解」（Maschke），不变量从「数点」升级为「维数与特征标」。§4 把这道开关推到极限——让任意环来作用。
§4 环上的模：作用的普遍框架把「域」放宽为「环」，向量空间就成了模 。这一步看似只换了术语，实际是本册母题的成熟形态：环作用保留了「每个作用者都是群同态」（加法结构被尊重），却放弃了「每个作用者可逆」与「基的唯一大小」。结构的定理将在这一节第一次展现出分形般的层次。
4.1 定义与六个标本
定义 4.1（左模） 设
R 是有单位元的环，
M 是交换群（加法记号）。
R 在
M 上的
左作用 是映射
R ×
M →
M ，(
r ,
m ) ↦
rm ，满足：
(M1) 1m = m ； (M2) (rs )m = r (sm )； (M3) r (m +n ) = rm +rn ； (M4) (r +s )m = rm +sm 。
称
M 为
左 R -模 。映射
f ：
M →
N 是
R -线性的，若它是群同态且
f (
rm ) =
rf (
m )。
与命题 3.2 同款的逐条对账给出：模 = 交换群 + 环同态 ρ ：R → End(M )。作用、表示、结构三位一体的第三副面孔 ：表示在这里就是 ρ 本身，核 = ρ −1 (0)（环的零同态），忠实 = ρ 单。
例 4.2（六个基本标本）
(a) ℤ-模＝交换群。 n·m = m +⋯+m （n 次）。M1–M4 全部自动成立。模论把整个交换群论收编为环作用论 。
(b) 向量空间。 域上的模（命题 3.2）。本节的警告清单将逐条说明域在哪里「救场」。
(c) 商环模。 R /I 以左乘为 R -模（I 需是左理想）。理想是「模论里的子群」。
(d) 自由模。 R n
(e) 矩阵环模。 M n K ) 作用于 K n
(f) 多项式环模。 k [x ]-模——下一个定理的主角，它是「带一个算子的向量空间」，也是矩阵标准形理论的栖息地。
4.2 最漂亮的标本：k[x]-模与一个线性算子
定理 4.3（k[x]-模 ⟺ 带算子的向量空间） 设
k 是域。
k [
x ]-模与二元组 (
V ,
T )（
V 是
k -向量空间，
T ：
V →
V 线性）一一对应：给定模，取
V 为底层加群（
k ⊆
k [
x ] 的作用给出向量空间结构）、
T 为
x 的作用；给定 (
V ,
T )，令
(Σ ai x i v = Σ ai T i v )。(4.1)
且这个对应把模同态恰好送到与
T 交换的线性映射。
证明 三个方向。① 从模到 (V, T)： M3、M4 保证 V 的加法群上 k （常多项式）的作用是向量空间结构（命题 3.2 的对账逐条适用）；T := 作用 of x ，线性因 x ·(v +w ) = xv +xw （M3）。② 从 (V, T) 到模： (4.1) 定义了 k [x ] 的作用。逐条验：(M1) 常多项式 1 送 T 0 = id；(M2) 多项式乘法 (x i x j x i j 对应 T i T j T i j （线性映射幂的合成律），一般项由双线性展开归结；(M3)(M4) 逐项分派。良定义性是关键：同一个多项式有多种写法时，(4.1) 的值相同——因为多项式写法唯一（系数表唯一），不存在需要核验的等式；倒过来的讲法是：k [x ] 由 k 与 x 自由生成，故给 k 与 T 的任何相容指派唯一延拓成环同态 k [x ] → End(V )。③ 同态对同态： 模同态 f 满足 f (p ·v ) = p ·f (v )；取 p = k 得线性，取 p = x 得 fT = Tf 。∎
k [x ] 多项式环1
2
3
1
x
x 2 x 3 V ＋算子 T v
T x 的作用 ↦ 施行 T
p(x)·v ＝ p(T)(v)：一个模＝一个算子的全部信息
图 4-1 k[x]-模 = (V, T)：多项式环的每一次作用都化归为反复施行同一个算子 T。「一个模＝一个代数对象的全部信息被压缩进一个算子」。
定理 4.3 是本册「作用即结构」的最佳展品：给一个向量空间配一个算子，就自动得到一个模；而模论的定理（下面的结构语言）随后会反哺出矩阵的相似标准形——附录 B 的速查表就是这条路的路牌。自由生成的思想也在此亮过相后即可收起：模论里大量的「存在唯一延拓」，都来自某个环是由生成元自由造出的 。
4.3 模范畴：abelian 的定义终于有主了
定理 4.4（R-Mod 是 abelian 范畴） 对象 = 左 R -模，态射 = R -线性映射。(i) 零模是零对象；(ii) 直和 ⊕ 与直积 ∏ 有限时重合；(iii) 每个态射 f 有核 ker f = f −1 (0)（子模）与余核 coker f = M /im f （商模），且单射即核、满射即余核；(iv) 同态基本定理 ：M /ker f ≅ im f 。
证明 (i)(ii) 平行于命题 3.9，逐条验证泛性质（子模 = 对 R 作用封闭的子群；直和逐分量作用）。(iii) 核：子模性——f (rm ) = rf (m ) = 0；泛性质——任何使 fg = 0 的 g 唯一穿过。余核：商 M /im f 的 R -结构由 r ·(m +im f ) = rm +im f 给出，良定义因 im f 是子模；泛性质同款。单射即核：先证 ker f = 0 ⟺ f 单（群同态两条皆然），再核验「单射 f ：M ↪ N 与包含 im f ↪ N 同为 f 的核」（用分解定理，同构给出）。满射即余核对偶。(iv) 送 [m ] ↦ f (m )：R -线性因 f (r [m ]) = f ([rm ]) = rf (m )；良定义因 ker；双射由群版同态定理（像与原像一一）。∎
0
ker f
M
N
coker f
ι
f
im f
0
零对象在场：每个态射的核与余核都有实位
图 4-3 正合列 0 → ker f → M → N → coker f → 0：零对象在场，每个态射的核与余核都有实位。
注 4.5（两个世界在此分岔） G-Set 没有 abelian 性：没有零对象（§2 表 2-1），核无处安放，轨道划分是它能给的全部「分解」。R-Mod 全套 abelian 公理成立——「核、余核、正合列」这台机器只能装在可加世界里 。这不是范畴论给模论的恩赐，而是加法结构自己挣来的：M3、M4 两条分配律让每个作用者都是群同态，「线性核」才有意义。作用的三个开关（可逆、可加、可乘）里，「可加」是把集合的世界与代数的世界缝起来的那一针。
4.4 张量积：双线性的一站式结算
定义 4.6（张量积，泛性质） 右模 A 与左模 B 的张量积 A ⊗R B 是一个交换群，配双平衡映射 τ ：A × B → A ⊗ B （对每个变量加法线性，且 τ (ar , b ) = τ (a , rb )），满足：任何双平衡映射 β ：A × B → C （C 交换群）唯一地经由群同态 β̃ ：A ⊗ B → C 穿过：β = β̃ ∘τ 。记 a ⊗ b = τ (a , b )。
A × B C 交换群A ⊗ B 生成元 a ⊗ b
τ β：双平衡
β̃ ：唯一线性双线性的一站式结算所：先结算成 a ⊗ b，此后一律线性
图 4-2 张量积的泛性质：双平衡映射一律化归为线性同态。「双线性的一站式结算所」。
定理 4.7（张量积的存在） 定义 4.6 的对象存在。
证明 三步。
造自由群： 取以符号集 { [
a ,
b ] :
a ∈
A ,
b ∈
B } 为基的自由交换群
F （有限形式和，系数整数）。
商掉平衡关系： 设
K 为
F 由下列元素生成的子群：
[a +a ′, b ]−[a ,b ]−[a ′,b ]； [a , b +b ′]−[a ,b ]−[a ,b ′]； [ar , b ]−[a , rb ]。
令
A ⊗
B =
F /
K ，
τ ([
a ,
b ]) = [
a ,
b ] +
K 。
τ 双平衡：三条关系逐一对应。
泛性质： 给定双平衡
β ，先用自由性得群同态
β′ ：
F →
C ，[
a ,
b ] ↦
β (
a ,
b )；
β 双平衡 ⟹ 三类生成元落在 ker
β′ ⟹
K ⊆ ker
β′ ⟹
β′ 下降为
β̃ ：
F /
K →
C 。唯一性：同态由生成元的像决定，而
τ (
A ×
B ) 生成
F /
K 。
∎ 命题 4.8（ℤ/m ⊗ ℤ/n ≅ ℤ/gcd(m,n)） 作为 ℤ-模，ℤ /m ⊗ ℤ /n 同构于 ℤ /gcd(m ,n )。特别地 ℤ /2 ⊗ ℤ /3 = 0（零模），ℤ /4 ⊗ ℤ /6 ≅ ℤ /2——附录 C 按双平衡映射枚举复核。
证明 双平衡映射 β ：ℤ /m × ℤ /n → C 由 t = β (1, 1) 决定，且必须满足 mt = 0 与 nt = 0（m ·(1,1) = (m ·1, 1) = (0, 1)）——合起来 d ·t = 0，d = gcd(m ,n )（d = um +vn ，Bézout，故 dt = u (mt )+v (nt ) = 0）；反之 dt = 0 蕴含 mt = nt = 0（d | m ）。故双平衡映射一一对应于「阶整除 d 的元素 t 」，即对应 Hom(ℤ /d , C )。而张量积的泛性质说双平衡映射一一对应 Hom(ℤ /m ⊗ ℤ /n , C )。对一切 C 同时成立，由 Yoneda 式的论证（§6 定理 6.4 的推论）：ℤ /m ⊗ ℤ /n ≅ ℤ /d 。附录 C 的枚举：到 ℤ /12 的双平衡映射，m =2,n =3 时只有零映射、m =4,n =6 时恰两条（t = 0, 6）。∎
4.5 自由模与模的「不乖清单」
定理 4.9（自由模的刻画） R n M 与任意 n 个元素 m 1 , …, m n M ，存在唯一的 R -线性 f ：R n M 送第 i 个标准基向量为 m i
证明 存在：f (r 1 , …, r n ri mi ；线性逐条验（M3/M4 供加法，作用公理供数乘：f (r ·v ) = Σ(rri )mi = r Σri mi ）。唯一：线性映射由标准基的像决定，而 f (ei ) = mi 被指定。∎
警示 4.10（模不乖清单） 域公理撤走后，五件「显然」逐一失效：① 无维数 ——存在环 R 使 R m R n m ≠ n （Steinitz 交换死于无消去律）；② 子模不必自由 ——理想 I ⊆ R 是子模，可以不是任何自由模的直和项；③ 基可以「多余」 ——自由模可以有超过「秩」的基（同 ①）；④ 张量不保持单射 ——倍乘映射 ℤ → ℤ（n ↦ 2n ）是单射，但张上 ℤ /2 得零映射 ℤ /2 → ℤ /2（命题 4.8 的算法：ℤ ⊗ℤ /2 ≅ ℤ /2，而倍乘 2 在 ℤ /2 上是零）；⑤ 商可以很怪 ——模没有「维数可加」的安心。每一款都标注了它杀死的是线性代数的哪条直觉。补一句正面的 ：主理想整环上有限生成模的结构定理（不变因子分解，附录 B）拯救了其中的大部分——前提是把环限制在「像 ℤ 与 k[x] 这样每理想皆主」的世界里【陈述级；完整证明需 Smith 标准形，超出本册篇幅，缺口在初等因子与不变因子的换基计算】。
思想卡 4（分配律补全了作用语法） M1–M4 四条公理里，M2（结合）是「作用相容」，M3/M4（分配）是「作用尊重加法」。前者管作用者内部，后者管被作用世界——两针缝合后，「核、商、正合列、张量」全部上场。S-集里只能问「轨道在哪」；模里可以问「核多大、张出去多少、差多远才正合」——问题清单的长度就是结构定理的深度 。§5 让作用者自己也有加法，两针合一。
§5 代数与代数模：表示论的正门环作用管加法，域作用管数乘。若作用者同时 是环和域上的向量空间——乘法与数乘相容——就得到 K-代数 。它是本册最后一件作用者：比环多线性、比域多乘法。群表示论的大门正开在它上面。
5.1 代数与代数模
定义 5.1（K-代数与代数模） K-代数 是环 A （含幺）配域 K 的嵌入（K ·1 ⊆ A 的中心），使 A 成 K -向量空间且乘法双线性：k (ab ) = (ka )b = a (kb )。A-模 是左 A -模；A 是代数时还可要求模是 K -空间且作用 K -双线性（这样的模称代数模 ，有限维情形两种说法等价）。
例 5.2（五个代数标本）
(a) 矩阵代数。 M n K )，其模就是向量空间＋一组算子。
(b) 多项式代数。 k [x ]（定理 4.3 已详）。
(c) 群代数。 kG = 以 G 为基的向量空间，乘法按群乘双线性延拓：Σαg g 与 Σβh h 相乘得 Σγt t ，γt = Σgh = t αg βh ——卷积 。
(d) 四元数。 ℍ = ℝ⟨1, i, j, k⟩，i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1。非交换可除代数的标本。
(e) 函数代数。 有限集上的函数逐点乘——交换代数的有限标本，其模与「集合上的向量丛」同义。
5.2 kG-模与群表示合二为一
定理 5.3（kG-模 ⟺ 群表示） 设 G 有限群、k 域。kG -模（K -双线性意义）与群表示 ρ ：G → GL (V ) 一一对应：模给表示（限制到基元素 g ），表示给模（双线性延拓 (4.1) 式）。且这个对应把模同态送到纠缠映射 fρg = ρg f 。
kG -模代数模：卷积作用
群表示 ρ : G → GL(V)
线性可逆搬动
限制到基元 g
(4.1) 双线性延拓
模同态 ↔ 纠缠映射：fρ(g) = ρ(g)f ——两门课在此并轨
图 5-1 群代数 kG：表示论与模论在此互译。「作用者升级为代数，被作用世界自动获得全部线性机制」。
证明 ⇒： 模 V 限制到子集 G ⊆ kG ：每个 g 的作用 ρg 是 K -线性（代数模定义）且可逆（逆 = g −1 的作用：ρg ρ (g −1 ) = ρ (gg −1 ) = ρ (e ) = id，用 M2）：ρ ：G → GL (V ) 是群同态（M2 再立一功）。⇐： 表示 ρ 先按命题 3.2 给 k -作用，再按 (4.1) 延拓到 kG ：Σαg g 作用为 Σαg ρg 。乘法相容性：基元素乘积 gh 的作用 = ρgh = ρg ρh ，双线性展开后卷积公式逐项对齐——与定理 4.3 证明 ② 同构，群代数由 G 作为代数生成、关系只有群乘法，故指派唯一延拓。同态部分：模同态 f 满足 f (g ·v ) = g ·f (v )，即纠缠。∎
注 5.4（这是本册的枢纽） 定理 5.3 把 §3 的表示论与 §4 的模论焊成一门学问：表示的直和 = 模的直和，不变子空间 = 子模，不可约表示 = 单模。前三节「作用」的三副面孔（搬点、搬向量、模算术）至此全部并轨。群表示论就是群代数的模论 ——这句话的每个字都有定理 5.3 撑腰。
5.3 半单性：幂等元兑现 §1 的预演
Maschke（定理 3.6）说 char k ∤ |G | 时表示完全可约。翻译到 kG -模：每个模都是单模的直和。代数自己 作为模（正则模 kG ）也这样分解，分解出的直和项各配一个幂等元——§1 命题 1.11 的预演在此兑现。把循环群算到底：
命题 5.5（ℂC₂ ≅ ℂ×ℂ） 设
C 2 = ⟨
g |
g 2 = 1⟩。令
e + = (1 + g )/2， e − = (1 − g )/2，
则
e ± 2 =
e ± ，
e + e − = 0，
e + +
e − = 1，且
ℂC 2 = ℂ
e + ⊕ ℂ
e − ≅ ℂ × ℂ（代数同构：⟨
g ⟩ ↦ (1, −1)）。
证明 直接算（附录 C 复核）：e + 2 = (1+2g +g 2 )/4 = (2+2g )/4 = e + （用 g 2 = 1）；e − 2 = (1−2g +g 2 )/4 = e − ；e + e − = (1−g 2 )/4 = 0。三条幂等关系满足，故乘法映射 Φ ：a e + + b e − ↦ (a , b ) 是代数同构（线性显然；乘法：e ± 的正交性使交叉项全灭）。它送 g = e + − e − ↦ (1, −1)。∎
ℂC2 （正则模）
g 搬两个基点互换ℂe₊
ℂe₋
χ₀ ≡ 1
平凡表示
χ₁ : g ↦ −1
符号表示
e₊
e₋
幂等元是分解的证书：e₊e₋ = 0，e₊ + e₋ = 1
图 5-2 ℂC₂ 的幂等分解：正则模沿 e₊、e₋ 裂成两条一维表示——命题 1.11 的成年礼。
定理 5.6（循环群的群代数分解） 设
C n = ⟨
g ⟩，
k 含
n 个不同的
n 次单位根（如 ℂ）。则
kC n k × k × ⋯ × k （n 份）， g ↦ (1, ω , ω 2 , …, ω n −1
其中
ω 是本原
n 次单位根。同构由离散 Fourier 变换给出：
a = Σ
at g t ↦ (Σ
at ω kt )
k =0..n−1。
证明 卷积变逐点乘。 对 a , b ∈ kC n a *b )k t a *b )t ω kt t i +j ≡t ai bj ω k (i +j )ai ω ki bj ω kj a )k b )k 双射。 线性显然；单射：DFT(a ) = 0 则多项式 Σat x t n ）有 n 个互异根 1, ω , …, ω n −1n ），故双射。像含全部 k n 代数同构。 卷积↔逐点乘已证，单位元 1 = g 0 送全 1 向量。∎
注 5.7（一般群：只有一步之遥，但那一步需要新机器） 定理 5.6 的半单分解对任意有限群 G （char k ∤ |G |）成立：ℂG ≅ ⊕ρ Vρ ) ，直和跑遍不可约表示（Wedderburn 定理的特例）【陈述级；缺口=矩阵代数与其中心幂等元的双边分解，需要先建立特征标正交与投影公式，篇幅超出本册】。但循环情形的两条现象可以先行记录：① 不可约表示的个数 = G 的共轭类数（一般定理【陈述级】，缺口=特征标理论；ℂC₃ 的验证：三类、三个一维特征标 1, ω , ω 2 ，附录 C 含正交性核对）；② 分解靠幂等元 e χ G |)Σχ (g −1 )g ——命题 1.11 预言的「幂等元＝分解的证书」在这里精确兑现。
5.4 代数模把前四节收拢
作用者 被作用世界 结构定理 本册出处 幺半群 S 集合（S-集） 循环覆盖；汇聚可能 §1 群 G 集合（G-集） 不交轨道分解；陪集登记 §2 域 K 加法群（向量空间） 基与维数；Maschke §3 环 R 交换群（模） abelian 机制；张量 §4 代数 A 向量空间（代数模） 表示论；半单分解 §5
表 5-1 五级作用者一览——一行一个开关，一行一册线性代数。
思想卡 5（表示是作用在 finest 世界的名字） 「作用」搬点，「表示」搬向量。定理 5.3 说明这俩不是比喻的远近，而是同一个定义在两个范畴的取值。表示论的问题清单——可约性、特征标、分解重数——全部是模论语言在群代数上的重述 ；反过来，模论的抽象定理（Jordan–Hölder、半单性）一旦落回 kG ，就变成关于对称性的可计算命题。§6 换最后一副眼镜：把「作用者」本身也看成范畴。
§6 范畴总观：预层、Yoneda 与作用的统一语法前五节五副定义，字面相似而课程各异。范畴论说：它们不只是相似——它们是同一条数学定理在五个参数下的取值 。本节把这话说成定理并证明。
6.1 单对象范畴：作用者的最小舞台
定义 6.1（单对象范畴 B A） 给定幺半群 A ，构造范畴 B A：只有一个对象 ∗；态射 Hom(∗, ∗) = A ；合成 = 幺半群乘法；id∗ = 1。结合律即范畴的结合公理。反之任何单对象范畴给出一个幺半群。若每个态射可逆，B A 是群胚 ，且 A 是群。
加法结构照样能装：若 A 是环，B A 的 Hom 集自带交换群结构（态射可加减）且合成双线性——这叫 pre-additive 范畴 ；若 A 是 K -代数，Hom 集还是 K -空间——K-线性范畴 。一张表收拢全部作用者：
代数对象 范畴化身 附加结构 态射可逆？ 幺半群 S B S — 未必 群 G B G — 全是（群胚） 环 R B R pre-additive 未必 K -代数 A B A K -线性未必 域 K B K pre-additive＋每非零态射可逆 非零者全是
表 6-1 五个作用者、五个单对象范畴——§1–§5 的定义域全部落进「函子的定义域」。
6.2 作用＝函子：五合一的核对
命题 6.2（S-Set ≅ 函子 B S → Set） 从 B S 到 Set 的（协变）函子与左 S-集一一对应，等变映射与自然变换一一对应。
证明 函子 F 给对象 X = F (∗) 与映射 F (s )：X → X 。函子公理：保合成 F (st ) = F (s )∘F (t ) ＝ (A2)；保单位 F (1) = id ＝ (A1)。反之同前。自然变换 η ：F ⇒ F ′ 由唯一分量 η ∗ ：X → X ′ 给出，方块交换 η ∗ ∘F (s ) = F ′(s )∘η ∗ ＝ 等变性。∎
命题 6.3（R-Mod ≅ 加性函子 B R → Ab） 从 pre-additive 范畴 B R 到交换群范畴 Ab 的加性 函子（Hom 集上的映射是群同态）与左 R -模一一对应，R -线性映射与自然变换一一对应。
证明 函子 F 给 M = F (∗) 与映射 F (r )：M → M ，保合成即 (M2)、保单位即 (M1)。加性给其余两条： 函子的加性首先说每个 F (r ) 是群同态（在零态射上：F (0) = 0 映射，且对态射的加法线性——即 F (r +s )(m ) = (F (r )+F (s ))(m ) ＝ (M4)）；其次 F (r )(m +n ) = F (r )(m )+F (r )(n ) ＝ (M3)（群同态自动）。反之，模给 ρ ：R → End(M ) 环同态，环同态对加法线性，故加性函子。自然变换方块 = R -线性。∎
B S 幺半群
B G 群
B R 环
B K 域
B A 代数
Set 集合世界
S-集、G-集
Ab 交换群世界
模、向量空间、表示
函子＝作用
加性函子＝线性作用
等变映射＝自然变换；Yoneda：关系足够还原对象
图 6-1 函子化：左侧五个单对象范畴（表 6-1），右侧两个被作用世界；作用 = 从左到右的函子，等变 = 自然变换。
命题 6.2、6.3 与表 6-1 合起来，本册的五副定义全部变成同一句话：作用者 A 的作用 = 从 B A 出发的（相应增强的）函子 。域情形还有一层：命题 3.2 说向量空间 = K -模，于是向量空间也是加性函子——五件东西，一条定义。
6.3 Yoneda 引理：为什么看作用就够了
定理 6.4（Yoneda） 设
C 是范畴，
c ∈
C ，
F ：
C → Set 函子。则映射
Nat(Hom(c , −), F ) → F (c )， η ↦ η c c
是双射，且自然。
证明 构造逆映射：给
x ∈
F (
c )，定义自然变换
η x ：对
d ∈
C 与
f ：
c →
d ，令
η x d f ) = F (f )(x )。
自然性：对
g ：
d →
e ，
F (
g )(
η x d (
f )) =
F (
gf )(
x ) =
η x e (
gf )，即方块交换。两个方向互逆：① 从
x 出发回到
x ：
η x c (id) =
F (id)(
x ) =
x 。② 从
η 出发回到
η ：对任意
f ：
c →
d ，
f = Hom(
c ,
g )(id) 其中
g =
f （用
g 后复合），由自然性方块
η d ∘Hom(
c ,
g ) =
F (
g )∘
η c 作用在 id 上：
η d (
f ) =
η d (
g ∘id) =
F (
g )(
η c (id)) =
F (
f )(
η c (id))——恰是
η η c d (
f )。
∎ 注 6.5（Yoneda 在单对象范畴上的三个化名） 把定理 6.4 套在 B A 上，前三节的关键定理各领到一个化名。① 模版（§4）： A = R 、F = 遗忘到集合的正则模 R ：Hom(R , M ) ≅ M （f ↦ f (1)）——线性代数里「线性映射由基的像决定」的最普遍形态。② 群版（§2）： A = G 、F = 遗忘函子：G-Set(G /H 的表征, ⋯) 的计算都归结为稳定化子；特别地不动点集 X G X )（∗ 表单点平凡 G-集）：一个自然变换从平凡作用出发，唯一的分量必须落在不动点里，反之亦然——「不变量＝从平凡对象出发的态射」 。③ 张量版（§4 命题 4.8）： 那里「对一切 C 同时 Hom(−, C ) 相等 ⟹ 对象同构」正是 Yoneda 的直接推论（取 F = Hom(−, C ））。范畴论的翻译腔只有一句 ：对象由它的全部外部关系决定。
6.4 五范畴合影与最后一块陈述级拼图
范畴 对象＝ 零对象 abelian？ 笛卡尔闭？ 标志性定理 S-Set S-集 无 否 是【陈述级】 循环覆盖（§1） G-Set G-集 无 否 是（命题 1.13） 轨道分解（§2） VectK 向量空间 有 是 是（维度受限） 维数不变；Maschke（§3） ModR R -模有 是 否（一般无指数） 同态定理；张量（§4） Mod(kG ) 群表示 有 是 否 kG-模⟺表示；半单（§5）
表 6-2 五范畴合影。开关逐列可见：零对象与 abelian 来自「可加」，笛卡尔闭来自「集合味」。
命题 6.6（预层范畴是 topos） 对任何小范畴 C ，预层范畴 SetC y (−)×X , Y ) 给出，子对象分类器是「 sifted 真值对象」Ω(c ) = Hom(y (c ), Ω) 的筛集合；完整构造与验证属于 topos 论的标准章，本册只取其名。】
注 6.7（这还了 1.13(iii) 的债） 命题 6.6 解释了命题 1.13(iii) 的悬案：S-Set 与 G-Set 都是（单对象范畴上的）预层范畴，故都笛卡尔闭——但幺半群情形的指数对象底层不是函数集，而是一个「等变族」的对象，其形状由 Yoneda 式公式给定。群情形函数集公式 (g ·φ )(x ) = g ·φ (g −1 x ) 之所以成立，恰因逆元让「等变族」坍缩回单根函数。同一台机器，两种输出 ——逆元的有无再一次决定形状。
6.5 结语：作用、表示、结构的三位一体
本册用一个定义（A1＋A2 及其线性化变体）走过五门课。收尾把三个关键词各自的岗位钉死：
作用是语法。 它只规定「一个代数对象如何搬动另一个世界的对象」——不涉及搬得好不好、像不像。A1＋A2 是这门语法的全部两条句法规则，幺半群、群、环、代数的差别只是词法（可逆？可加？可乘？）。
表示是语义。 作用给出同态 σ ：A → 搬动者全体（T X V 、GL (V )），像就是译出的文本。忠实与否、核多大（理想还是正规子群）——语义学的问题，其答案全是代数的：命题 1.4 与 2.4。
结构是骨架。 把表示里所有「语义噪音」剥掉，剩下的是轨道的形状、基的大小、不可约的清单——这些结构定理（循环覆盖、轨道分解、Maschke、半单分解）没有一条不是「作用语法的直接推论」。而 Yoneda（定理 6.4）把这句口号升格为数学：对象与其说「是」什么，不如说「如何被使用」——在单对象范畴上，「被使用」就是「作用」。
思想卡 6（终卡：两个开关，一个原理） 本册的对照表其实只按了两个开关：可逆 （群对幺半群）与可加 （模对集合；代数模对纯环模）。每按一次，范畴换一副公理，结构定理换一批形状——但没有一条旧定理作废：S-集的循环覆盖是 G-集轨道分解的退化版，模的同态基本定理是群同态定理的线性化，群代数的半单分解是幂等投影（命题 1.11）的成年礼。作用即结构 ——把「它是什么」永远改写成「它如何作用」，答案不但存在，而且定理说：足够了。
附录 A 五类结构的范畴词典同一条定义（作用）在五个参数下的完整对照。查阅时先定作用者，再查该行。
条目 S-集 G-集 向量空间 模 代数模/表示 作用者 幺半群 S 群 G 域 K 环 R 代数 A （含 kG ） 被作用对象 集合 集合 加法群 加法群 加法群＋数乘 作用公理 A1+A2 A1+A2 M1–M4 M1–M4 M1–M4＋双线性 「表示」 S → T X G → Sym(X )K → End(V )R → End(M )G → GL (V )核的形态 理想 正规子群 理想（域：0 或全部） 理想 理想/正规子群 基本分解 循环子 S-集覆盖 不交轨道并 直和分解 直和（自由时） 不可约直和（半单时） 分解的证书 右同余 稳定化子子群 基 子模直和项 中心幂等元 范畴气质 预层 预层（群胚上） abelian abelian abelian 本册主定理 1.6 / 1.11 2.2 / 2.4 3.3 / 3.6 4.3 / 4.4 / 4.7 5.3 / 5.6
表 A-1 作用的世界词典。最后一行给出本册相应定理编号。
附录 B k[x]-模与矩阵标准形速查定理 4.3 的下游。设 T ：V → V 线性（V 有限维），对应的 k [x ]-模记 VT 。
模论语言 算子语言 成立条件 子模 T -不变子空间恒 循环模 k [x ]/(⟨f ⟩) 由一个向量生成的商空间，T 有极小多项式 f 恒 有限生成模的结构分解 有理标准形（不变因子） k 域（PID）【陈述级】分裂成一次因子的分解 Jordan 标准形 k 代数闭【陈述级】半单（模完全可约） T 可对角化极小多项式无重根 annihilator ann (v ) = ⟨f ⟩ f (T )v = 0 的最小次数多项式恒
表 B-1 k[x]-模词典。【陈述级】两行即 §4 警示 4.10 末段标注的缺口。
附录 C 一份可复跑的核对脚本正文引用的计算（迭代轨道的尾圈分布、幂等分解、张量枚举、Maschke 平均、ℂC₂/ℂC₃ 分解与 DFT）逐项可在下述脚本复跑。标准库实现，无第三方依赖。
# gset_structure_check.py —— C-ST-11 数值核对（python3 即跑）
from math import gcd
from collections import Counter
import itertools, random
# 1. ℕ-作用：自映射迭代的 (尾长, 圈长)
def orbit(x, f):
seen, seq = {}, []
while x not in seen:
seen[x] = len(seq); seq.append(x); x = f[x]
return seen[x], seq[seen[x]:] # (尾长, 圈)
f = {0:1, 1:2, 2:1, 3:4, 4:4, 5:3, 6:7, 7:7}
dist = Counter((orbit(x,f)[0], len(orbit(x,f)[1])) for x in f)
assert dist == Counter({(0,1):2,(0,2):2,(1,1):2,(1,2):1,(2,1):1})
# 2. 幂等作用：eX 恰是不动点集
e = {'a':'b','b':'b','c':'c'}
assert set(e.values()) == {v for v in e if e[v]==v} == {'b','c'}
# 3. 全变换幺半群 T_3：|T|=27、可逆 6、幂等 10
T3 = list(itertools.product(range(3), repeat=3))
assert len(T3)==27
assert sum(1 for t in T3 if len(set(t))==3)==6
assert sum(1 for t in T3 if all(t[t[i]]==t[i] for i in range(3)))==10
# 4. 双平衡映射枚举：Bal(Z/m, Z/n; Z/12) 由 t=b(1,1) 决定，约束 mt=0, nt=0
bal = lambda m,n: [t for t in range(12) if (m*t)%12==0 and (n*t)%12==0]
assert bal(2,3)==[0] and bal(4,6)==[0,6] and len(bal(4,6))==gcd(4,6)
# 5. Maschke 平均投影：P=(I+g)/2 与 g 交换、P^2=P
def mv(M,v): return (M[0][0]*v[0]+M[0][1]*v[1], M[1][0]*v[0]+M[1][1]*v[1])
P = [[0.5,0.5],[0.5,0.5]]; g = [[0,1],[1,0]]
assert mv(P,mv(P,(1,0))) == mv(P,(1,0))
assert all(abs(mv(P,mv(g,v))[i]-mv(g,mv(P,v))[i])<1e-12
for v in [(1,0),(0,1)] for i in (0,1))
# 6. C2 幂等元 e± = (1±g)/2：e+e-=0, e±^2=e±
mul = lambda p,q: (p[0]*q[0]+p[1]*q[1], p[0]*q[1]+p[1]*q[0]) # (a0,a1g)
assert mul((.5,.5),(.5,-.5))==(0.0,0.0)
assert mul((.5,.5),(.5,.5))==(0.5,0.5) and mul((.5,-.5),(.5,-.5))==(0.5,-0.5)
# 7-8. C3：三个一维特征标正交；DFT 把卷积变逐点乘（即 C3 ≅ C^3）
om = complex(-0.5, 3**0.5/2)
chi = [lambda t: 1, lambda t: om**t, lambda t: om**(2*t)]
for i in range(3):
for j in range(3):
s = sum(chi[i](t)*chi[j](t).conjugate() for t in range(3))/3
assert abs(s-(1.0 if i==j else 0.0))<1e-9
dft = lambda a: tuple(sum(a[t]*om**(k*t) for t in range(3)) for k in range(3))
conv = lambda a,b: tuple(sum(a[i]*b[j] for i in range(3) for j in range(3)
if (i+j)%3==k) for k in range(3))
random.seed(7)
for _ in range(5):
a = tuple(random.randrange(-5,6) for _ in range(3))
b = tuple(random.randrange(-5,6) for _ in range(3))
assert all(abs(dft(conv(a,b))[k]-dft(a)[k]*dft(b)[k])<1e-9 for k in range(3))
print("all checks passed")
附录 D 术语中英对照
中文 English 出处 幺半群 monoid 定义 1.1 作用 action 定义 1.1 全变换幺半群 full transformation monoid 例 1.2(f) 忠实作用 faithful action 注 1.4 循环子 S-集 cyclic sub-S-set 定义 1.5 右同余 right congruence 命题 1.6 幂等元 idempotent 命题 1.11 等变映射 equivariant map 定义 1.12 笛卡尔闭范畴 cartesian closed category 命题 1.13 轨道 orbit 定理 2.2 稳定化子 stabilizer 注 2.3 齐性 G-集 transitive G-set 注 2.3 标量乘法 scalar multiplication 定义 3.1 线性无关 linearly independent 定理 3.3 线性表示 linear representation 定义 3.5 不可约表示 irreducible representation 注 5.4 完全可约 completely reducible 定理 3.6 子表示 subrepresentation 定理 3.6 模 module 定义 4.1 自由模 free module 定理 4.9 核 / 余核 kernel / cokernel 定理 4.4 正合列 exact sequence 注 4.5 张量积 tensor product 定义 4.6 双平衡映射 balanced (bilinear) map 定义 4.6 不变因子 invariant factors 附录 B 代数 algebra (over a field) 定义 5.1 群代数 group algebra 例 5.2(c) 卷积 convolution 例 5.2(c) 半单代数 semisimple algebra 注 5.7 单对象范畴 one-object category 定义 6.1 群胚 groupoid 定义 6.1 预层 presheaf 命题 6.2 后文 自然变换 natural transformation 命题 6.2 Yoneda 引理 Yoneda lemma 定理 6.4 子对象分类器 subobject classifier 命题 6.6 拓扑斯 topos 命题 6.6