Congruence · 从等价关系到同余关系
数学小主题读本 · 其二 ｜ 同态映射与商结构——半群上的分类如何升级为群论的干道 ｜ 九章格数学 PhiloMath
本册定位。前一册我们证明了：集合上的等价关系与分类是一回事。可是数学里的集合很少赤裸着出现——它们往往带着运算。把「分类」与「运算」放在一起，第一个问题立刻冒出来：类上还能不能做原来的运算？这就是所谓良定义性问题。答得好的分类，名字叫同余关系；它给出的商集合自带结构，升格为商半群；此时自然投影把原集合映到商集合上，同态映射由此第一次登场。而当半群升级为群，故事全线提速：同余类获得第二个名字——子群的陪集；左右陪集何时重合，把正规子群从千百个子群中挑选出来，并兑现为商群；「每个陪集与子群一样大」兑现为 Lagrange 定理；「群通过左乘搬运自己的陪集」兑现为 Cayley 定理。从半群的同余概念出发，我们几乎看到了群的研究之全部路径。全册不假设任何超出高中的知识（置换与映射复合会在具体例子中现教现用）；每节末配思考题（不附详解，提示仅供自查）。
§1分类与运算的相遇：良定义性问题
1.1 一个「先斩后奏」的老习惯
小学算术里有一个大家做熟了的动作：a+b 是多少，只看个位。6+4 的个位是 0，86+4 的个位还是 0——我们心里其实把全体整数按「个位数字相同」分了十类，然后直接对类做加法：「个位 6」加「个位 4」等于「个位 0」。到了高中，这套语言改名叫 mod n 同余：a≡b (mod 10) 就是「个位（更准确说是除以 10 的余数）相同」，商集合记作 ℤ/10ℤ 或 ℤ10，类加法照做不误。
可是请留意一个被熟练遮住的细节：我们从来没有真的定义过「类的加法」。实际的操作一直是：随便从两个类里各挑一名代表，按原来的加法把它们相加，再看结果落在哪个类里。这样做为什么合法？换个代表，答案会不会变？——这不是个钻牛角尖的问题。本节就来把这件事掰开看。
例 1.1（换代表实验） 在 ℤ 上按 mod 5 分类：⋯, [0]={…,−5,0,5,…}, [1]={…,−4,1,6,…}, …。计算 [2]+[3]：
① 取代表 (2, 3)：2+3=5，落类 [0]；
② 取代表 (7, −2)：7+(−2)=5，落类 [0]；
③ 取代表 (−3, 13)：−3+13=10，落类 [0]。
怎么换代表，答案都停在 [0]。实验告诉我们：mod 5 分类经得起换代表。
1.2 良定义性：换代表，答案不许变
想给类做加法，最自然的写法是照抄代表的运算：
[a] + [b] := [a + b]
这个定义里藏着一个承诺：左边的 [a]+[b] 只取决于 a、b 所在的类，不取决于挑了谁当代表。也就是说，若 a∼a′ 且 b∼b′，必须总有 a+b ∼ a′+b′。承诺兑现，运算才真正「落在类上」，这叫良定义（well-defined）；承诺落空，写出来的「类运算」就是一句空话——它对同一个输入会给出不同的输出，根本不是运算。
反例 1.2（首位分类翻车） 在正整数全体 ℕ+={1,2,3,…} 上按十进制首位数字相同分类：[1]={1,10,11,…,19,100,…,199,…}, [2]={2,20,…,299,…}, [3]={3,30,…}, …。这当然是一个规规矩矩的等价分类（自反、对称、传递样样齐）。现在学着刚才的样子定义「类加法」[a]+[b]:=[a+b]，算一笔：
① 取代表 (1, 2)：1+2=3，落类 [3]；
② 取代表 (199, 2)（与 1 同类、与 2 同类）：199+2=201，落类 [2]。
同一个「[1]+[2]」，两笔账给出两个不同的类——类加法在首位分类上根本立不起来。
旁注（错在谁？） 首位分类没有任何错——它就是一个正常的分类，在「自反、对称、传递」的体检表上与 mod 5 分类得分完全相同。错的是我们想做的那个运算：加法搅动正整数的方式，不尊重「首位」这条界线。良定义性检查的对象从来不是分类本身，而是「这对（分类，运算）是否相容」。同一个分类，换一个运算结论就可能改写：首位分类对「取较大者 max」行不行？随手一验：[1]⋆[2] 取代表 (1,2) 得 max(1,2)=3 落 [3]；取代表 (199,2) 得 max(199,2)=199 落 [1]，而 [3]≠[1]——也翻车。可见连「和谐」也要逐运算逐条验，直觉不作数。
图 1-1 ℤ6 的加法表按 mod 3 分类 {0,3},{1,4},{2,5} 染色合并：任何两块相加，块内九种搭配全部落进同一块——类加法良定义，右侧商表应运而生（它正是 ℤ3 的加法表）。
1.3 相容性条件：全册的种子
把两节的观察拧成一句话，就得到贯穿全册的判据。
定义 1.3（与运算相容） 设 S 带一个二元运算 ·，∼ 是 S 上的等价关系。若对任意 a,a′,b,b′∈S 都有
a ∼ a′ 且 b ∼ b′ ⟹ ab ∼ a′b′ ，
则称 ∼ 与运算 · 相容，并称 ∼ 是 S 上的一个同余关系（congruence）。
这条条件正是「良定义」的逐字翻译：两个类的任何代表搭配，运算结果都落在同一个类里，于是 [ab] 有资格充当「类的运算结果」。mod 5 分类的加法满足它（例 1.1）；首位分类的加法违反它（反例 1.2）。同余关系 = 经得起换代表检验的等价关系。接下来的全部故事——商半群、陪集、正规子群、商群——都是这颗种子在不同土壤里的开枝散叶。
思考 1 ① 用定义 1.3 逐字验证：ℤ 上 mod 10 分类与加法相容（只需证：a≡a′, b≡b′ (mod 10) ⟹ a+b≡a′+b′）。② 首位分类对乘法相容吗？用 (1,2) 与 (199,2) 各算一笔。③ 在 ℤ 上找一个不是 mod n 的、与加法相容的等价分类（提示：把 {0} 单独放一类，看看别人怎么被迫站队）。④ ℤ 按「绝对值相同」分类，对乘法相容吗？对加法呢？
§2半群：运算的最小舞台
2.1 半群与幺半群：只保留最要紧的公理
要研究「分类与运算如何相处」，我们希望舞台越小越好——台上的道具越少，真正起作用的东西越藏不住。第一册说过，二元运算本质上是一个映射 · : S×S→S，也就是笛卡儿积 S×S 的一个特殊子集。对这样的运算，最起码的体面是结合律：三个元素相乘，括号搬不搬家结果都一样——(ab)c = a(bc)。连结合律都没有的运算里，「幂」a3=a·a·a 这类记号都无从谈起（不同算法给出不同答案）。
定义 2.1（半群 · 幺半群 · 群） 半群（semigroup）＝非空集合 S ＋ 一个满足结合律的二元运算。若半群中存在单位元 e（对一切 a：e·a=a·e=a），称为幺半群（monoid）。若幺半群中每个元素都有逆元（对每个 a 存在 a−1：a·a−1=a−1·a=e），称为群（group）。
例 2.2（例样集锦） ① (ℕ, +) 是半群（加法结合），没有单位元（0∉ℕ 时）；把 0 请进来，(ℕ0, +) 成幺半群；再给每个数配对 −a，得到群 (ℤ, +)。三级台阶一级级爬上去，同一个「+」演了三出戏。② (ℤ, −) 不是半群：(2−3)−4=−5，而 2−(3−4)=3。③ 字符串拼接：固定字母表 Σ，全体词（含空词 ε）在拼接下成幺半群 Σ*，单位元是 ε——「语言」的世界就是它。④ 集合 X 上全体变换（映射）在复合下成幺半群 T(X)，单位元是恒等映射；其中双射全体构成群——这正是 Cayley 定理（§7）的舞台，提前亮相。⑤ n×n 矩阵乘法成幺半群，可逆矩阵全体构成群。⑥ (ℤn, +)、(ℤn, ×) 都是幺半群（模 n 加法还成群；乘法因 0 无逆不成群）。
注记 2.3（单位元若存在则唯一） 若 e、e′ 都是单位元，则 e·e′=e′（e 是单位元）且 e·e′=e（e′ 是单位元），故 e=e′。逆元同理唯一：若 b、c 都是 a 的逆，则 b=b(ac)=(ba)c=ec=c。
图 2-1 代数结构的三级台阶：半群 ⊃ 幺半群 ⊃ 群。同余关系诞生在半群层——它不需要单位元，也不需要逆元；陪集与正规性则是群层的风景。层次分清，才能看清哪些性质属于「分类」，哪些是「群」的馈赠。
2.2 运算如何搅动分类
第一册的中心定理：等价关系与分类可以互相翻译。现在让运算走进这片分类的疆域。运算 · 是一个映射 S×S→S：给它喂两个元素，它吐出第三个。而分类把 S 切成了块——于是运算的每一步「喂入—吐出」都可以改问成块的语言：喂入两个块，吐出哪个块？
定义 1.3 的相容条件说的正是这件事：吐出的块必须只由喂入的块决定，与块内选谁当代表无关。若相容，运算就能「整体下沉」到块与块之间，分类世界随之获得自己的小宇宙——商集合（§4）；若不相容，块被运算搅得七零八落（同一对块吐出不同的块），商世界的大门就此关闭。
例 2.4（两种命运，同一个集合） ① ℤ6 按 mod 3 分类（{0,3},{1,4},{2,5}），加法下沉成功（图 1-1）；乘法也下沉成功：{0,3}×{1,4} 的四种搭配 0·1=0, 0·4=0, 3·1=3, 3·4=12≡0 (mod 6)，全部落进 {0,3}——同一对块，加乘两套运算都相容。② 同样在 ℤ6 上，按奇偶分两类 {0,2,4} 与 {1,3,5}。乘法相容吗？逐格验：{0,2,4}×{1,3,5} 的九种搭配 0·1=0, 0·3=0, 0·5=0, 2·1=2, 2·3=6≡0, 2·5=10≡4, 4·1=4, 4·3=12≡0, 4·5=20≡2——全部落进 {0,2,4}，相容！这不是运气：模 2、模 3 同属 mod n 家族，它们对加乘「一起相容」的统一解释将在 §3 注记里揭晓。
注记 2.5（舞台为什么建到最小） 本册坚持从半群出发，而不是一上来就谈群，原因有二。其一，同余本是半群级的现象：定义 1.3 只用到「运算」与「等价」，没有借单位元或逆元一分力气——字符串半群、矩阵半群里同余照样生机勃勃。其二，登高才知风景的归属：到了群层（§5 起），同余类会突然多出一整套群论别名（陪集），并最终收敛到「正规子群」这条群论的干道。在半群层先看清同余的素面目，才知道群层的富丽堂皇里，哪些是同余的本相、哪些是群的馈赠。
延伸 「相容性」是数学里反复现身的一条审查原则：想在某类对象上做某件事，先问这件事是否尊重对象身上的等价关系。线性代数里，「行列式」之所以能定义在「矩阵的相抵类」之外而直接谈相似类，靠的是 det(PAP−1)=det(A)——行列式与相似关系相容；高中函数里「只与自变量取值有关、与记法无关」的每一个记号 f(x)，都是良定义性的一次无声通过。往后遇到环论的同余（理想）、拓扑的同伦，都会重逢这同一道关卡。
思考 2 ① 验证字符串拼接 Σ* 满足结合律（按定义逐字展开三次拼接）。② 列出 T2={id, c}（c 是把两个元素都送到第一个元素的常值映射）的复合表，验证它是幺半群。③ 例 2.4 ② 中，奇偶分类对 ℤ6 乘法相容——那么 ℤ6 的乘法「下沉」到两类上得到的商幺半群，乘法表长什么样？它有单位元吗？④ ℕ+ 上的首位分类，对运算 a⋆b := ab（幂）相容吗？随便算两笔。
§3左同余、右同余与同余
3.1 三种相容性：向左搅与向右搅
定义 1.3 的相容条件一口气管住了「两个输入同时换代表」的全部情形。把它拆开来看，会发现其中藏着两种单侧的弱化版——它们各自成一派，韵味不同。
定义 3.1（右同余 · 左同余） 设 S 是半群，∼ 是 S 上的等价关系。
① 若对任意 a∼b 与任意 c∈S 都有 ac∼bc，称 ∼ 是右同余（right congruence）——右乘任何元素不搅乱分类；
② 若对任意 a∼b 与任意 c∈S 都有 ca∼cb，称 ∼ 是左同余（left congruence）。
既左又右的同余（定义 1.3）也称双侧同余，本册「同余」一词不加修饰时即指它。
三者是层层收紧的关系：同余 ⟹ 既左又右（在定义 1.3 里让第二个输入与自己等价即可，见定理 3.2 的证明），而左右同余彼此都推不出对方——非交换的世界里，「向左乘」与「向右乘」是两种不同的搅动方式，分类可能扛得住一边、扛不住另一边。
图 3-1 三种相容性的检验卡：右同余管「右侧同乘」，左同余管「左侧同乘」，双侧同余管「两对代表分别相乘」。同余是最严的检验，左右同余各是它的单侧投影。
3.2 主定理：同余 = 左同余 ∧ 右同余
单侧检验各自只管一半，会不会漏掉双侧才有的破绽？——不会。整册最经济的一条定理在此：
定理 3.2 半群 S 上的等价关系 ∼ 是（双侧）同余，当且仅当它既是左同余又是右同余。
证. （⟹）设 ∼ 是同余。任取 a∼b 与 c∈S，由自反性 c∼c，代入定义 1.3（取第二对为 c∼c）得 ac∼bc——右同余；同理（取第一对为 c∼c）得 ca∼cb——左同余。（⟸）设 ∼ 既左又右，且 a∼b、c∼d。由右同余（乘 c）：ac∼bc；由左同余（对 c∼d 乘 b）：bc∼bd；由传递性：ac∼bd。□
注记 3.3（证明里的一次「接力」） ⟸ 方向的三行值得回味：右同余把 a∼b 搬到 ac∼bc，左同余接力把 c∼d 搬到 bc∼bd，两段轨道在 bc 处交接，传递性收尾。左右同余各自负责一半的搅动，合起来恰好覆盖双侧——这正是「同余 = 左 ∧ 右」的机理。也请注意 ⟹ 方向根本没有用到结合律以外的东西：这条定理是半群级的。
例 3.4（交换半群：左右合一，mod n 之谜揭晓） 若半群交换（ab=ba 对一切），则 ac=ca、bc=cb，左右同余的条件逐字相同——交换世界里左右同余自动重合，相容性检查量减半。这也解开了 §2 例 2.4 的「屡试屡中」之谜：(ℤ6, +) 与 (ℤ6, ×) 都交换，mod 2、mod 3 分类的相容性只需验一侧；而对 mod n 本身，一条计算管住加乘：若 a=a′+nk、b=b′+nℓ，则 a+b=a′+b′+n(k+ℓ)，且 ab=a′b′+n(a′ℓ+b′k+nkℓ)——加与乘都只挪动 n 的整倍数，分类自然岿然不动。mod n 同余对加、乘同时相容，它正是 §4 以后「环的同余」的预告片。
3.3 一个分拆的实地考察：变换幺半群中的「像的大小」
左右同余可以真的分道扬镳吗？到一个非交换的半群里实地看一眼。取三元素集 {1,2,3} 上全体映射组成的幺半群 T3（共 33=27 个映射，运算是复合 ∘）。按像的大小|im f|（f 的取值个数）给 T3 分类：大小 1、2、3 各成一类——这当然是一个等价分类。取三个具体映射来检验：
例 3.5（一次左右都翻车的检验）
f : 1↦1, 2↦1, 3↦2（像 {1,2}，大小 2）； g : 1↦2, 2↦3, 3↦2（像 {2,3}，大小 2）； h : 1↦1, 2↦1, 3↦2（像 {1,2}）。
① f 与 g 同类（像大小都是 2）。
② 左乘检验：h∘f 的像 = h({1,2}) = {h(1), h(2)} = {1}，大小 1；h∘g 的像 = h({2,3}) = {1,2}，大小 2。左乘 h 把这对同类拆散了——「像的大小」不是左同余。
③ 右乘检验：f∘h 的像 = f({1,2}) = {f(1), f(2)} = {1}，大小 1；g∘h 的像 = g({1,2}) = {2,3}，大小 2。右乘 h 同样拆散了它们——「像的大小」也不是右同余。
④ 但「像的大小」仍是等价关系：三类分得清清楚楚、互不重叠。一个体面的分类，就这样同时通不过左右两场检验。
图 3-2 T3 实地考察：f∼g（像大小同为 2），但左乘 h 与右乘 h 都把这对拆散（复合后像大小 1 与 2）。等价分类可以经不起任何一侧的搅动。
注记 3.6（左右同余：对同余的富有韵味的「分拆」） 例 3.5 的分拆生活在左右同余之间的缝隙里：它是等价关系，却连一侧的检验都过不了。而更多的例子恰好卡在中间——左同余而非右同余的单侧派确实存在（§5 的陪集将批量供给：子群的左陪集分类天生是左同余，除非子群特殊，右乘会搅乱它）。左同余、右同余、双侧同余，恰是「与运算相容」这座金字塔的三个层级：左 ∨ 右 是最宽的外圈，左 ∧ 右 才收拢为同余。把「相容」分拆成两个单侧概念分别研究，再合拢回来——这套「先分拆、后合拢」的手法，是代数里反复上演的戏码（下一节它立刻兑现：合拢之时，商结构登场）。
思考 3 ① 验证定义 3.1 的两个条件各自都是「等价关系＋一条封闭性」，并确认：若 ∼ 是右同余，则 [a]=[b] 时对一切 c 有 [ac]=[bc]。② 例 3.5 中换一个 h（仍要求它拆散 f∼g），要选像集怎样的 h 才行？③ 证明：右同余的交（作为等价关系的交）仍是右同余；双侧同余的交呢？④ T3 中「像的大小」分类把 27 个映射分成三类，各类各有几个元素？（用计数：大小 3 是双射，3! 个；大小 1 是常值，3 个。）
§4商半群：把运算搬上类的舞台
4.1 商运算与商半群
§1 的种子此刻发芽。给定半群 S 及其上的等价关系 ∼，商集合 S/∼ = { [a] : a∈S } 是全体等价类。我们想在其上定义运算：
[a] ⊙ [b] := [ab] （挑代表、运算、看落类）
定理 4.1（良定义性判据） ⊙ 是 S/∼ 上合法的（良定义的）运算，当且仅当 ∼ 是 S 上的同余关系。此时 (S/∼, ⊙) 构成半群，称为 商半群（quotient semigroup），⊙ 由 ∼ 与原运算唯一决定。
证. ⊙ 良定义，意思正是：当 [a]=[a′]、[b]=[b′]（即 a∼a′、b∼b′）时，[ab]=[a′b′]（即 ab∼a′b′）——与定义 1.3 逐字相同，故与「∼ 是同余」等价。此时结合律从原半群原封继承：([a]⊙[b])⊙[c]=[ab]⊙[c]=[(ab)c]=[a(bc)]=[a]⊙[bc]=[a]⊙([b]⊙[c])，中括号里只用到 S 中的结合律。⊙ 的定义式已表明它由 ∼ 与 · 唯一决定。□
于是「同余」之名名副其实：同余关系恰好是那些能让商集合继承运算的等价关系。mod n 分类与加法相容，我们从小做的「类加法」原来一直生活在商半群 ℤ/∼ 里；首位分类与加法不相容，它的「商半群」从未存在过——反例 1.2 的两笔账，正是定理 4.1 里「良定义性破裂」的直接目击。
图 4-1 商运算的方形交换图：底边的商运算 m̄ 因左右两条竖直路径（取类）而良定义。π ∘ m = m̄ ∘ (π×π)——这半张图是全册「同态」概念的心脏。
4.2 自然投影：标题里的「同态映射」登场
商半群不只是「又一个半群」——它与原半群之间隔着一条明晃晃的桥：把每个元素送到它的类。
定义 4.2（半群同态） 设 (S,·) 与 (T,⋆) 为半群。映射 φ : S→T 若满足 φ(ab) = φ(a) ⋆ φ(b)（对一切 a,b），称为（半群）同态（homomorphism）；双射的同态称同构（isomorphism），此时记 S ≅ T。投影 π : S→S/∼，π(a)=[a]，称自然投影（canonical projection）。
定理 4.3（投影是同态） ∼ 是半群 S 上的同余关系时，自然投影 π 是满同态：π(ab) = [ab] = [a][b] = π(a)π(b)。首尾两个等号分别是 π 的定义与商运算的定义，中间那个等号恰是良定义性——定理 4.1 与同态公理是同一句话。
注记 4.4（同态不必保单位元——一条防错注记） 半群同态的公理只管乘法，不承诺把单位元送到单位元：单点幺半群 {e} 映到任何含幂等元的半群（取 φ(e)=x，只要 x2=x）都是合法同态。但若 φ 是满同态且值域有单位元 e′，则空洞自动闭合：对任意 y=φ(a)∈T，φ(e)·y = φ(e)φ(a) = φ(ea) = φ(a) = y，故 φ(e) 是 T 的左单位元；同理 y·φ(e) = φ(ae) = φ(a) = y，也是右单位元——由单位元唯一性（注记 2.3），φ(e)=e′。到了群层（§5）这一切天然成立：群同态保单位元、保逆元。
更令人愉快的是：每个同态都自带一份同余。给定 φ : S→T，令 a ∼φ a′ ⟺ φ(a)=φ(a′)（「φ 分不出彼此」的等价关系，称为 φ 的核等价），则 a∼φa′ 且 b∼φb′ 时 φ(ab)=φ(a)φ(b)=φ(a′)φ(b′)=φ(a′b′)——∼φ 是同余。于是：
注记 4.5（一枚硬币的两面） 同余 → 商半群＋自然投影（定理 4.1、4.3）；同态 → 核同余（刚才的三行）。两件乐器合奏出的完整曲子，是代数学里最响亮的定理之一——同态基本定理：S/∼φ ≅ φ(S)（「商」与「像」同构）。本册把它作为 §8 的装配成品，此处只立路标：从同余出发去看结构，「商」是主角；从同态出发去看结构，「核」是主角；两者本是一体。本册标题「同态映射与商结构」的深意即在于此。
4.3 商的化简力：丢掉信息，留下骨架
例 4.6（ℤ6 商出 ℤ3） ℤ6=( {0,1,…,5}, + ) 按 mod 3 分类：[0]3={0,3}, [1]3={1,4}, [2]3={2,5}。商半群 ℤ6/∼3 的加法（图 1-1 右表）：[1]3+[2]3 的全部代表搭配 1+2=3, 1+5=6≡0, 4+2=6≡0, 4+5=9≡3，全部落进 {0,3}，故 [1]3+[2]3=[0]3。三阶商表与 ℤ3 的加法表逐格相同：ℤ6/∼3 ≅ ℤ3。六元世界按模 3「对账」，账本只剩三行——商是一台化简机：有偿丢弃信息（3 与 0 从此无法区分），换来更小的、往往更好算的结构。
延伸 商构造是代数学制造新结构的标准机床：整数模 n 得 ℤn（算术）；多项式模掉 (x2+1) 得到复数的替身（代数）；下一册会看到，向量空间模掉子空间得商空间。每个「模掉」的背后都站着一个同余（环里改称「理想」），而每台机床的产出都配着一张图 4-1 那样的方形交换图。先分类、验相容、再下沉——这三个动作，您已在 ℤn 上做了多年，如今终于看清了它们的出厂设置。
思考 4 ① 写出 ℤ6 按奇偶分类的乘法商表（两类），并找出商幺半群的单位元（对照思考 2③）。② 字符串半群 Σ* 按「长度 mod 2」分类是同余吗？商半群的两个元素乘起来是什么规则？③ 证明：满同态 φ : S→T 之下，T ≅ S/∼φ——每个满同态都是某个商的化身。④ 自然投影 π : ℤ6→ℤ6/∼3 把 3 与 0 送去同一个类：列举 π 「抹平」的全部对（a,b），并验证它们的确满足 a∼3b。
§5群的情形 I：陪集——同余类的群论化身
5.1 群中，同余被一个子群全权决定
半群升级为群（幺半群＋人人可逆），同余关系立刻显露出惊人的纪律性：全部等价类，居然由其中一个类——单位元所在的类——单独决定。
定理 5.1（单位元类一锤定音） 设 ∼ 是群 G 上的同余关系，e 是单位元。则对任意 a,b∈G：
a ∼ b ⟺ a−1b ∈ [e] 。
证. （⟹）设 a∼b。同余关系是左同余（定理 3.2），对 a∼b 左乘 a−1：a−1a ∼ a−1b，即 e ∼ a−1b，即 a−1b∈[e]。（⟸）设 e∼a−1b，左乘 a：ae ∼ aa−1b，即 a∼b。□
理由其实浅白：可逆性让「左乘」成为自由可用的搬运工——想知道 a、b 是否同类，把两者错开一位（左乘 a−1）再看错位后的 b 落不落在 e 的类里。半群里做不到这一点（a−1 未必存在），这正是群层风景的起点。
定理 5.2（[e] 是子群） 定理 5.1 的 [e] 是 G 的子群：e∈[e]；x,y∈[e] 时 xy∈[e]（由 x∼e、y∼e 与同余：xy∼ee=e）；x∈[e] 时 x−1∈[e]（由 x∼e 左乘 x−1：e∼x−1）。
定理 5.3（每个类都是 [e] 的平移） 对任意 a∈G：[a] = a[e] = [e]a。
证. 先证 a[e]⊆[a]：x∈[e] 即 x∼e，左乘 a 得 ax∼ae=a，故 ax∈[a]。再证 [a]⊆a[e]：x∈[a] 即 x∼a，左乘 a−1 得 a−1x∼a−1a=e，故 a−1x∈[e]，于是 x=a(a−1x)∈a[e]。两侧同理（用右同余与右乘）。□
系 5.4（群中同余类左右不分家） 群中任何同余关系，其每个等价类同时是 [e] 的左平移与右平移：[a]=a[e]=[e]a。半群世界里左右同余的分家（§3），在群层的同余这里自动弥合——但请记住：弥合的是「同余」的名册；普通的子群分类仍有左右之别，这正是下一幕。
5.2 陪集：换一个名字，天地一新
定理 5.1–5.3 反着读，就是一套「制造同余」的流水线：从任一子群 H 出发，a∼b ⟺ a−1b∈H 应当给出一个同余，其类应当是「H 的平移」。这套平移值得一个专门的名字。
定义 5.5（左陪集 · 右陪集） G 是群，H≤G 是子群。对 a∈G，称 aH = { ah : h∈H } 为 H 的左陪集（left coset），Ha = { ha : h∈H } 为右陪集（right coset）。G 被全体左陪集分成若干块，称 H 的左陪集分解（右陪集分解同理）。
定理 5.6（陪集关系的身份） 定义 a∼Lb ⟺ a−1b∈H。则：① ∼L 是等价关系，其等价类恰是左陪集（[a]=aH）；② ∼L 是左同余：a∼Lb ⟹ ca∼Lcb（因 (ca)−1(cb)=a−1b∈H）；③ ∼L 未必是右同余：(ac)−1(bc)=c−1(a−1b)c，H 未必「装得下」c−1Hc。右陪集分解对偶地给出右同余。
证. ① 自反：a−1a=e∈H。对称：a−1b∈H ⟹ b−1a=(a−1b)−1∈H（子群对逆封闭）。传递：a−1b, b−1c∈H ⟹ a−1c=(a−1b)(b−1c)∈H（对乘法封闭）。类：b∈aH ⟺ b=ah（某 h∈H）⟺ a−1b=h∈H。② 已算。③ 的反例见例 5.7②。□
例 5.7（三组实算） ① ℤ6（加法群），H={0,3}：子群（0+3=3, 3+3=0，封闭）。左陪集 0+H={0,3}，1+H={1,4}，2+H={2,5}——正是 §1 图 1-1 的三类！ℤ6 交换（a+H=H+a），左右陪集分解相同，三块把 ℤ6 铺满。
② S3（三个元素的置换群），H={e,(12)}：子群。全体左陪集——
eH = {e,(12)}， (13)H = {(13), (13)(12)} = {(13),(123)}， (23)H = {(23),(132)}；
全体右陪集——
He = {e,(12)}， H(13) = {(13), (12)(13)} = {(13),(132)}， H(23) = {(23),(123)}。
(13)H ≠ H(13)：左分解是 {e,(12)}、{(13),(123)}、{(23),(132)}，右分解是 {e,(12)}、{(13),(132)}、{(23),(123)}——同样的三块「砖」，砌法不同，左右陪集分家（复合约定 (στ)(x)=σ(τ(x))，逐项可验）。
③ ℤ（加法群），H=5ℤ：陪集 5ℤ, 1+5ℤ, …, 4+5ℤ——模 5 同余类，§1 的老朋友在群论户口下重新登记。
图 5-1 ℤ6 中子群 H={0,3} 的陪集分解：加 1 把 {0,3} 平移成 {1,4}，加 2 平移成 {2,5}——三块等大的砖无重叠地铺满全群。交换群中左右平移无差别；非交换群里（S3），左砌与右砌可以不同。
5.3 每个陪集与子群一样大
定理 5.8（几乎显然的一一映射） 固定 a∈G，映射 H→aH，h ↦ ah，是双射。因此 |aH| = |H|：每个左陪集与 H 元素个数相同（有限群时）。
证. 满射按定义。单射：ah=ah′ 时左消去（乘 a−1）得 h=h′。□
我们称它是「几乎显然的一一映射」——右乘 a 无非是把 H 这块砖整体搬运（不压缩、不重叠、不折叠），搬运后的落点就是陪集 aH。「一样大」这个几何直觉得以严格落地，靠的正是群特供的消去律。定理 5.8 现在还只是一句观察，到 §7 它将升级为 Lagrange 定理的整块地基。
注记 5.9（陪集的双重身份） 此刻应当停下来，看清陪集身上的两件戏服。其一，同余类：定理 5.6 说左陪集分解是一个左同余的类——陪集是「与运算相容的分类」在群里的模样。其二，子结构的影子：每个陪集 aH 都是子群 H 的整体平移，是「一个子结构被群扫过全群留下的足迹」。两件戏服合起来，就是本册标题的路数：从分类（等价关系）走到结构（子群），再由结构反哺分类（陪集分解）。而定理 5.6③ 埋下的问题——左右陪集何时重合——是下一节的全部内容，也是群论干道上最重要的一道分岔。
延伸 「陪集」在后续课程中无处不在：线性代数里，非齐次方程组 Ax=b 的解集是解空间（齐次解集，一个子空间）的陪集 b+U——「特解＋通解」的口语，正是「陪集元＋子群」的语法；数论里模 n 的剩余类是 ℤ 对 nℤ 的陪集；拓扑学的基本群 π1 里，道路的伦型分类也是陪集的语言。凡有子结构处，皆有陪集分解。
思考 5 ① 证明：aH=H 当且仅当 a∈H（陪集里有子群自己，当且仅当代表元本在子群中）。② 在例 5.7② 中补算 (123)H 与 H(123)，确认左陪集 (123)H 与右陪集 H(123) 也不相同。③ ℤ6 中 H={0,2,4}（三层子群）的陪集分解是什么？它对加法是同余吗（对照思考 4①）？④ 两个左陪集 aH、bH 要么相等要么不交——用定理 5.6 的等价关系语言解释为什么（第一册的定理：等价类两两不交或重合）。
§6群的情形 II：正规子群与商群
6.1 重合判据：左右陪集何时分家、何时合龙
例 5.7 摆出了两种命运：ℤ6 的 {0,3} 左右陪集重合，S3 的 {e,(12)} 左右分家。重合与否不是偶然的口味差异——它精确地等价于一整串重要性质。
定理 6.1（重合判据） G 是群，H≤G。下列五条等价：
（i）左陪集分解与右陪集分解相同（每一块 aH 同时也是某块 Ha）；
（ii）aH = Ha 对一切 a∈G；
（iii）aHa−1 = H 对一切 a∈G（H 在一切「共轭搬运」下不动）；
（iv）左陪集关系 ∼L（a−1b∈H）是双侧同余；
（v）商集合 {aH} 上有合法的群运算 [a][b]:=[ab]。
证. （i）⟺（ii）：分解相同即每块相等。（ii）⟺（iii）：aH=Ha 时右乘 a−1 得 aHa−1=Haa−1=H；反向同理。（iii）⟹（iv）：需验右同余（左同余是定理 5.6②）。设 a−1b∈H，要证 (ac)−1(bc)∈H，即 c−1(a−1b)c∈H。由（iii）对 c−1 用：c−1Hc=H，而 a−1b∈H，故 c−1(a−1b)c∈H。（iv）⟹（v）：定理 4.1（良定义性判据），且运算的结合律从 G 继承。（v）⟹（iii）：良定义性要求 [c][h]=[ch] 不依赖 h 的代表选取；取 h∈H（即 [h]=[e]），对一切 c、一切 h 须有 c(hc−1)∼e，即 cHc−1⊆H；对 c−1 用同一论证得 H⊆cHc−1，故相等。□
定义 6.2（正规子群） 满足定理 6.1（等价地，任一条）的子群称为正规子群（normal subgroup），记作 N ◁ G。此时左陪集集合 G/N 连同运算 [a][b]=[ab] 构成的群称为商群（quotient group）。
图 6-1 重合判据的两幅对照：ℤ6 的 H={0,3} 左右砌法逐块相同（正规，商群 ≅ ℤ3）；S3 的 H={e,(12)} 左右砌法错位（不正规，无商群）。「左右陪集分解是否重合」把子群一刀切成两个世界。
6.2 商群：正规性的兑现
定理 6.3（商群） N ◁ G 时，G/N = { aN } 在运算 [a][b]=[ab] 下成群：封闭与结合由同余保证（定理 4.1）；单位元是 N 本身（[e]=N）；逆元 (aN)−1 = a−1N。
例 6.4（两个商群） ① ℤ/nℤ：整数加法群里 nℤ 正规（交换群一切子群正规），商群正是模 n 剩余类群 ℤn——从群论视角重访 §1 的老家。② A3 ◁ S3：A3={e,(123),(132)} 的左右陪集分解重合（例 5.7 的方法逐块验：另一块都是 {(12),(13),(23)}）。商群 S3/A3 恰有两个元素——它是「奇置换／偶置换」的二分类：置换的奇偶（符号）在乘法下像正负号一样遵守「同号得正、异号得负」。
命题 6.5（指数 2 必正规） 若 H≤G 且 [G:H]=2（H 恰占一半），则 H ◁ G。
证. 左陪集只有两块：H 与补集 G∖H（a∉H 时 aH 与 H 不交、又占满剩余——陪集等大铺满）。右陪集同理也只有 H 与 G∖H。两套分解连 H 本身都共享，故逐块相同。□
注记 6.6（正规性：子群的「商群资格证」） 群里有千百个子群，但不是每个子群都能决定一个商群。定理 6.1 甄别的标准极简：左右陪集是否重合。重合者，运算可以下沉，商群诞生；错位者，[(13)]·[(23)] 这类「类的乘法」会因代表的选择而摇摆不定（用例 5.7② 亲算一遍 [(13)]·[(23)] 的两笔账即可体会）。正规性不是子群的额外装饰，而是它向商结构开放的门户。子结构决定商结构——这条思路在下一册换场重演：环里担当同余角色的子结构改称「理想」，正规性思想将以「理想的模样」再度登台。
延伸 「正规」之名源于线性代数与群表示：正规子群恰是那些在一切共轭变换 a(−)a−1 下不动的子群——「共轭不变量」。往后学群同态会看到：每个同态的核（映到单位元的元素全体）自动正规（§8 验收），且所有正规子群都是某个同态的核；正规子群之于群论，恰如理想之于环论、不变子空间之于表示论——「能被商掉的子结构」这一个念头，在三个世界里换了三套衣裳。
思考 6 ① 用例 5.7② 的数据算「类的乘法」两笔账：取 [(13)]·[(23)]，代表组合 ((13),(23)) 得 (13)(23)=? 组合 ((132),(23))（注意 (132)∈(13)H）得 (132)(23)=? 两个结果同类吗？——这就是不正规时良定义性破裂的直接目击。② 交换群的一切子群正规——逐字翻译 ab=ba 到陪集语言。③ S3 中找出全部正规子群（提示：{e}、S3、A3；逐个验证，⟨(12)⟩ 型三个都不正规）。④ 命题 6.5 的证明用了「陪集等大铺满」——把这句话严格化为：两块左陪集要么相等要么不交，且并集为全群。
§7群的情形 III：Lagrange 定理与 Cayley 定理
7.1 Lagrange 定理：陪集铺满，大小整齐
工具已经齐备：左陪集分解把 G 无重叠地铺满（等价类两两不交、合拢成全），每块砖又与 H 一样大（定理 5.8 的搬运双射）。数一数砖，定理自动到手。
定理 7.1（Lagrange） G 为有限群，H≤G，则
|G| = |H| · [G:H] ，
其中 [G:H] 是左陪集的块数（H 的指数，index）。换言之：子群的大小整除群的大小。
证. 左陪集全体构成 G 的分类（定理 5.6①）：非空、两两不交、合拢成 G。故 |G| = Σ 各块大小 = [G:H] 块 × 每块 |H|（定理 5.8）。□
图 7-1 Lagrange 定理的铺砖直观：左陪集分解把群铺成若干等大的砖，每砖 |H| 格、共 [G:H] 块。图中 S3 被 H={e,(12)} 铺成 3 块 2 格砖。有限群的全部子群大小由此一网打尽。
系 7.2（Lagrange 的两记重拳） ① 元素的阶整除群阶：a∈G 的阶（最小的 n>0 使 an=e）等于它生成的子群 ⟨a⟩={e,a,a2,…} 的大小，而 ⟨a⟩ 是子群，故 n ∣ |G|。
② 素数阶群必循环：|G|=p 素数时，任取 a≠e，⟨a⟩ 的大小整除 p 且大于 1，只能 =p，故 ⟨a⟩=G。
7.2 陪集集合上的变换：通往 Cayley 之路
前面指出的下一步尤其精彩：群不满足于被陪集铺满——它还要亲自搬运这些砖。固定子群 H≤G（此刻不必正规！），陪集集合 G/H={aH} 共 [G:H] 块。任取 g∈G，「左乘 g」把每块砖搬到另一块：
τg : G/H → G/H， τg(aH) = (ga)H 。
定理 7.3（陪集搬运给出同态） ① 每个 τg 良定义且是双射（逆是 τg−1），故 τg 是 G/H 上的变换（置换）。② g ↦ τg 是群同态 G → Sym(G/H)（Sym(X) 表集合 X 的全体置换在复合下构成的「变换群」）：τg∘τh = τgh。③ 该同态的核 = { g : gaH=aH 对一切 a } = ⋂a aHa−1（H 的「核」，core）。特别地，N◁G 时核恰为 N，此时 τ 诱导出单同态 G/N ↪ Sym(G/N)。
证. ① 良定义：设 a−1b∈H，要证 (ga)−1(gb)∈H，而 (ga)−1(gb)=a−1b∈H ✓（注意这里用的只是「左陪集关系对左乘稳定」，不需要正规性）。双射：τg−1∘τg(aH)=(g−1ga)H=aH。② (τg∘τh)(aH)=τg((ha)H)=(g(ha))H=((gh)a)H=τgh(aH)。③ τg=id ⟺ gaH=aH ∀a ⟺ a−1ga∈H ∀a ⟺ g∈aHa−1 ∀a。N 正规时每个 aNa−1=N，交集既含 N（正规性）又含于 eNe−1=N（取 a=e），故恰是 N。□
现在把 H 缩到最小——H={e}。此时 G/H 的「陪集」就是单元素集 {a}，与 G 的元素一一对应；τg(a) = ga 是群在自己的元素集上的左乘，称为左正则表示。同态的核：ga=a 对一切 a 的 g 只能是 e——单射！
定理 7.4（Cayley） 任何群 G 都同态于某个集合上的变换群（定理 7.3，取任意 H）；特别地，G 同构于以其自身为集合的变换群 Sym(G) 的一个子群——左正则表示 g ↦ (a ↦ ga) 是到 Sym(G) 的单同态。
图 7-2 Cayley 定理的最小样张：ℤ3 通过左乘（加法）作用于自身，τ1 是三轮换、τ2 是其反向、τ0 是恒等——ℤ3 同构于 Sym(ℤ3) 里由这三个置换组成的子群。任何群都如此把自己「翻译」成置换。
注记 7.5（数砖与搬砖：一枚硬币的两面） §7 的两大定理其实是同一台机器的两个读数。机器是「陪集集合上的左乘变换」（定理 7.3）；Lagrange 读出的是静态账目——砖块等大铺满，大小相乘得总数；Cayley 读出的是动态能力——群通过左乘在砖块（或自己身上）实现全部对称。二者共享同一幅图景：群的内部由子结构（子群）切分，又通过平移（乘法）整体搬运。把 H 换成正规子群 N，搬运同态的核恰为 N，商群 G/N 便作为置换群的子群获得第二次生命——「商结构能搬进变换群」，这正是 §8 要装配的同态基本定理的地基。
思考 7 ① |G|=4 的群只有两种：ℤ4 与 Klein 四元群 V4。用 Lagrange 系 7.2①（阶只能 1,2,4）分类元素行为，自行搭出证明骨架。② S3 中 ⟨(123)⟩ 的指数是多少？写出它的陪集分解并验证与左右无关（⟨(123)⟩=A3 正规——呼应例 6.4②）。③ 定理 7.3 中若 H 正规，τ_g(aH)=(ga)H 与 aN↦(ga)N 都合法；对非正规 H，τ_g 仍是良定义双射——为什么正规与否影响的不是 τ 的存在性，而是核的大小？④ ℤ4 的左正则表示把 1 送到哪个置换？把 2 呢？（答案应显出 2 的像是一个二阶轮换——元素阶在表示下不变。）
§8全路径回望：从同余看到群论的全部地图
8.1 十二站路线图
本册从一句小学口诀（看个位做加法）出发，终点却已立在群论的干道上。把走过的路并成一张地图——每一站都是「分类与运算如何相处」这一问在不同深度的回声。
图 8-1 全册十二站路线图：半群层（上半，蓝）解决「分类能否继承运算」，群层（下半，金绿）把答案兑换成陪集、正规子群、商群与两大定理。「可逆」是两层的分水岭——它让等价类被一个子群全权接管。
8.2 装配成品：同态基本定理
分散在 §4–§7 的零件，现在可以总装了。设 φ : G→G′ 是群同态（半群同态＋群层自动升级：φ(e)=e′ 且 φ(a−1)=φ(a)−1）。它的核（kernel）是映到 e′ 的元素全体：
ker φ = { g∈G : φ(g) = e′ }。
定理 8.1（同态基本定理） ker φ ◁ G（正规），且
G / ker φ ≅ φ(G) ，
同构由 [a] = a·ker φ ↦ φ(a) 给出（「商」与「像」同构——满同态的值域就是被核压扁后的商）。
证. 正规：φ(xgx−1)=φ(x)φ(g)φ(x)−1=e′，故 x(ker φ)x−1⊆ker φ，两侧夹逼。良定义：a·k ∼ a′·k′（k,k′∈ker φ）时 φ(ak)=φ(a)φ(k)=φ(a)=φ(a′)=φ(a′k′)（φ(k)=e′），代表无关 ✓——「良定义」的检验正是定理 4.1 的原题。同态：映射保乘法由 φ 直接给出；满射到 φ(G) 按定义；单射：φ(ak)=e′ ⟺ ak∈ker φ ⟺ [a]=[e]，核只有单位元类。结合律、单位元、逆元随映射搬运。□
用地图的语言对账（图 8-1）：核是「单位元类」（站 4–5 的 [e]），商 G/ker φ 是「陪集集合」（站 7），同构映射是「自然投影 π 与搬运 τ 的合体」（站 6 与站 11），而「单射」的验法正是 Cayley（站 12）验核同款——十二站的每一站都在这台机器里有自己的岗位。
例 8.2（最小样张） 符号同态 sgn : S3 → {±1}（奇置换 ↦ −1，偶置换 ↦ +1）是满同态（「奇×奇=偶、奇×偶=奇」正是符号律），ker sgn = A3。同态基本定理给出：S3/A3 ≅ {±1}——例 6.4② 的商群，在这里领到了自己的同态护照。
注记 8.3（「同态映射与商结构」的最终含义） 本册标题的两个词，至此显出它们本是一体：每个同态都用自己的核决定一个商（G/ker φ），每个正规子群都自封为一个同态的核（π : G→G/N）。同态是「结构之间的桥」，商是「桥尽头的彼岸」，而同余是造桥的许可证——三者互相生成、缺一不可。半群层我们已看到这枚硬币的两面（注记 4.5），群层把它推向完整：正规性（商的资格）与核性（同态的指纹）竟然是同一件事。
8.3 下一程的三条岔路
延伸（站在干道上看三岔口） ① Sylow 定理（Lagrange 的逆向）：Lagrange 说子群的阶必整除群阶；反过来，「每个除数都有子群吗？」——否（A4 没有 6 阶子群），但素数幂除数有：Sylow 定理给出 |G|=pka·m 时 pk 阶子群的存在与计数，是有限群分类的引擎。② 群扩张（商的逆问题）：知道 N 与 G/N，如何拼回 G？直积、半直积与上同调在此登场——商结构反过来当「图纸」。③ 表示论（Cayley 的矩阵版）：Cayley 把群装进置换群，置换太笨重；表示论改把群装进可逆矩阵群 GLn——线性化之后，特征值与维数成为群的「体检指标」。三条岔路的共同起点，都是本册的「同余—商—同态」三件套。
回到最初的画面：小学算术里「看个位做加法」的那个孩子，其实早已在商半群 ℤ10 上运算；本册做的全部工作，不过是把这个动作的准入条件（同余）、产物（商结构）、群层化身（陪集—正规—商群）与终极兑换（Lagrange—Cayley—同态定理）逐一验明正身。从半群的同余概念开始，我们几乎看到了群的研究之全部路径——剩下的路，方向已经标好。
思考 8（回味） ① 合上册子，凭记忆画出图 8-1 的十二站，并在每一站标注「上一站的什么、催生了这一站的什么」。② 「同余 = 左 ∧ 右」在群层变成了哪句话？（提示：左右陪集分解重合。）③ 从「首位分类翻车」到「⟨(12)⟩ 无商群资格」，两个相距甚远的落榜者，共同违反的评价标准是什么？④ 若去掉「可逆」回到半群层，本册哪些定理仍然成立、哪些立刻失效？（定理 3.2 无恙；定理 5.1 需要 a−1——逐条排查，您会精确看到「群」这两个字买到了什么。）
附录 A 词汇表
| 术语 | 定义要点 | 本册位置与要义 |
|---|
| 良定义性 | 结果不依赖代表元选取 | §1 的入场券：类运算合法的唯一标准 |
| 同余关系 | a∼a′, b∼b′ ⟹ ab∼a′b′ | 经得起换代表的等价关系；商结构许可证 |
| 左同余 / 右同余 | ca∼cb ／ ac∼bc | §3：单侧相容；同余＝左∧右（定理 3.2） |
| 半群 / 幺半群 / 群 | 结合律 ／ ＋单位元 ／ ＋逆元 | §2 三级台阶；本册前半后半的分界 |
| 商半群 | S/∼，[a][b]=[ab] | §4：同余的兑现；结合律原封继承 |
| （半群）同态 | φ(ab)=φ(a)φ(b) | §4：结构间的桥梁；不必保单位元 |
| 自然投影 | π(a)=[a] | §4：满同态；商半群的官方导游 |
| 子群 | 含 e、对乘与逆封闭 | §5：群内的小群；陪集之源 |
| 左陪集 / 右陪集 | aH ／ Ha | §5：同余类的群论化身；等大之砖 |
| 正规子群 | aH=Ha（∀a） | §6：左右分解重合；商群资格证 |
| 商群 | G/N，[a][b]=[ab] | §6：正规性的兑现；单位元是 N |
| 指数 | [G:H] = 陪集块数 | §7：|G|=|H|·[G:H] 的第二个因子 |
| 变换群 | Sym(X)：X 的全体置换 | §7：Cayley 的栖身之所 |
| 左正则表示 | g ↦ (a ↦ ga) | §7：群在自身上的平移；单同态 |
| 核 | ker φ = φ−1(e′) | §8：同态的指纹；必正规；商的身份证 |
| English | 中文 | English | 中文 |
|---|
| congruence relation | 同余关系 | quotient semigroup / group | 商半群 / 商群 |
| left / right congruence | 左同余 / 右同余 | well-defined | 良定义（的） |
| semigroup / monoid | 半群 / 幺半群 | homomorphism / isomorphism | 同态 / 同构 |
| subgroup | 子群 | canonical projection | 自然投影 |
| left / right coset | 左陪集 / 右陪集 | normal subgroup | 正规子群 |
| index | 指数 | kernel | 核 |
| permutation / transformation group | 置换群 / 变换群 | left regular representation | 左正则表示 |
| order (of element / group) | （元素 / 群的）阶 | cyclic group | 循环群 |
| Lagrange's theorem | 拉格朗日定理 | Cayley's theorem | 凯莱定理 |
| conjugate / conjugation | 共轭元 / 共轭（作用） | symmetric / alternating group | 对称群 / 交错群 |