Sn 子群全录 · 小阶有限群图鉴

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数学小主题读本 · 其三　｜　以 Cayley 定理为镜——沿对称群的子群脉络，为 1 至 15 阶的 28 个群逐一落籍　｜　九章格数学 PhiloMath
抽象代数配套 · 小主题读本 《代数学基础（下·第 2 版）》第一章延伸 全录 1–15 阶 · 共 28 群
本册定位。　Cayley 定理说：任何 n 阶有限群都同构于对称群 Sn 的某个子群。这句话反过来看就是一部宏大的测绘计划——阶不超过 n 的全部有限群，都是 Sn 的子群；弄清 Sn 的子群结构，也就摸清了小阶有限群的全部户口。本册沿这条线走完全程：先锻造三件工具（Cayley 嵌入、Sn 的轮换解剖学、子群计数机器），然后按阶推进——1 至 15 阶，逐阶分类、逐群落籍，最终交出一张 28 个群的全录总表（附录 A）：每个群的家名、构造、在 Sn 中的化身、最小忠实置换度 μ(G)、子群清单，一一在案。全册不假设任何超出本站《抽象代数（上）：群》前几章的知识。
目　录
〇全书鸟瞰：一张户口总图 一Cayley 定理：每个群都是置换群 二Sn 的解剖学：轮换、型与共轭类 三数子群的机器：拉格朗日、类方程与正规化子 四一至四阶：素数阶与 Klein 四元群 五五阶与六阶：S3 登台 六七阶与八阶：23 的五种形貌 七九阶与十阶：p2 与 pq 八十一阶与十二阶：A4 登台 九十三、十四、十五阶：pq 定理合拢 十地图之外：16 阶、A5 与群数总账 十一术语考古与阅读指引 附录 A1–15 阶群全录总表（28 群） 附录 B定义与定理速查

〇全书鸟瞰：一张户口总图

翻开任何一本群论教科书的小阶群分类习题，都会遇到同一类问句：「试证 6 阶群只有两个」「找出全部 8 阶群」「12 阶群有哪几种？」——这些习题散落各处，从未被钉在同一面墙上。本册做一件簿记员的事：把 1 至 15 阶的每一个有限群逐一登记造册，而登记的依据只有一条——Cayley 定理。既然每个群都活在某个对称群 Sn 里，那么「有哪些小群」就等价于「Sn 里住着哪些（共轭类的）子群」。户口册的封面由此写定。先看全貌。下表是本册的终点，也是起点：1 至 15 阶共有 28 个互不同构的有限群。行是阶，格子里是落籍的群。

阶群数落籍的群（同构类代表）
11平凡群 {e}
21C2
31C3
42C4，V4（Klein 四元群）
51C5
62C6，S3（最小非交换群）
71C7
85C8，C4×C2，C23，D4，Q8（四元数群）
92C9，C3×C3
102C10，D5
111C11
125C12，C6×C2，A4，D6，Q12（哑铃群 Dic3）
131C13
142C14，D7
151C15

表 0.1　1–15 阶有限群全录：28 个同构类。素数阶（2,3,5,7,11,13）各只一格——循环群的独角戏。

这张表有几个一眼可见的节律。素数阶整行只有一个循环群；合数阶才开始分化，4 与 6 各两格，8 与 12 各五格；9 与 10 各两格；15 又收敛回一格。节律背后的机制将在第九章凝练成 pq定理：15 = 3×5 里 3 不整除 5−1 = 4，非交换群无从寄生；而 6 = 2×3 里 2 整除 3−1，于是 D3 ≅S3 应运而生。「一个素数能否整除另一个减一」，这根几乎看不见的数论丝线，牵动着整个小阶群的户口簿。再看一面更细的镜子：同一阶的群如何区分？本册的判别工具朴素至极——元素阶谱（群内各元素之阶的多重集）加上「交换与否」这一句。28 个群里，同阶诸群的阶谱两两不同，例如 8 阶五群：

8 阶群元素阶谱交换
C81, 2, 4,4, 8,8,8,8✓
C4×C21, 2,2,2, 4,4,4,4✓
C231, 2,2,2,2,2,2,2✓
D41, 2,2,2,2,2, 4,4✗
Q81, 2, 4,4,4,4,4,4✗

表 0.2　8 阶五群的「指纹」。一个 1 阶元（恒等）永远打头；此后 2 阶元与 4 阶元的数目一数，群便现形。

但指纹只是验尸报告——本册真正要做的，是活体检查：把每个群放回 Sn 的洋面之下，看它以什么姿势游动（自然作用、正则作用、还是更省水的化身），看它的子群如何成群结派，看它与同阶邻居之间隔着怎样的鸿沟。为此先备齐三件工具：

工具一：Cayley 嵌入（第一章）。正则作用把 G 搬进 S|G|；但搬家的货车常常超载——C6 明明住得进 S5，正则表示却把它塞进 S6。于是引入最小忠实置换度 μ(G)：一个群「最省的户口面积」。28 个群的 μ 值构成附录总表中最有戏的一列。

工具二：Sn 解剖学（第二章）。轮换分解、轮换型、符号同态——在 Sn 里找子群，先得认识 Sn 自己的骨骼：元素的阶 = 轮换长的最小公倍数，共轭类 = 型，交代群 = 偶置换全体。

工具三：计数机器（第三章）。拉格朗日定理给子群的阶立了规矩，轨道–稳定子定理与类方程给出方程组，Sylow 定理（引用《抽象代数（上）》已证结论）锁定 p-部分的个数——三者合璧，小阶分类从「穷举猜谜」变成「机械算账」。

第四至九章是全书正餐：按阶推进，素数阶一笔带过（但说明为何只能如此），合数阶逐群解剖。第十章把地平线推远一格：16 阶骤然增殖到 14 个群、60 阶藏着最小非交换单群 A5——地图在这里故意留白，留给读者自己的下一次远征。第十一章考据术语与历史，两个附录分别是全录总表与定理速查。

阅读路线。　赶时间的读者可按「〇 → 一 → 二 → 五 → 六 → 八 → 附录 A」走一条主线（嵌入门径 → 解剖工具 → S3 → 8 阶五群 → A4 → 全录表），约当全册三分之一，但已经历小阶分类的全部关键战役。配合本站《抽象代数（上）：群》与群论专题读本诸册阅读更佳——本册的诸多论断（Sylow 定理、可解性、半直积）在那里有完整证明，此处只调用、不重证。

一Cayley 定理：每个群都是置换群

群论诞生之初并没有「抽象群」。Cayley 1854 年的论文《论置换的某些性质》里写的都是具体的置换；直到半个世纪后，「群」才从置换、变换、数系等具体母体中蒸馏出来，成为公理化的结构。抽象化带来一个立刻的恐慌：公理只剩四条（封闭、结合、单位、逆），这样的对象真的存在吗？存在多少？Cayley 自己给出了定心丸——后世称为 Cayley 定理：任何抽象群都同构于某个置换群。抽象群没有丢，它们全都躲在置换群的身体里。本册把这条定理当成测绘的基准线：既然阶为 n 的群全都住进 Sn，那么清点 Sn 的子群（第三章）就是清点全部小阶群（第四至九章）。

定义 1.1（正则作用）　

设 G 为群。对 g ∈ G，定义映射 Lg : G → G，Lg(x) = gx（左乘）。它显然是双射（逆为Lg−1），故 Lg 是集合 G 上的置换。称 G 借左乘作用在自身上为正则作用（regular action），映射

λ : G → Sym(G)，　λ(g) = Lg

称为左正则表示。

定理 1.2（Cayley 定理，1854）　

任何群 G 同构于某个对称群的子群。具体地，左正则表示 λ 是单同态，故

G ≅ λ(G) ≤ Sym(G)；

当 |G| = n 有限时，选定 G 的元素编号便得 G ↪ Sn。

证明 ① λ 是同态：LgLh(x) = g(hx) = (gh)x = Lgh(x)，即 λ(g)λ(h) = λ(gh)——这是结合律的直接兑现。② λ 是单射：若 Lg = id，则 g = Lg(e) = e。③ 由同态基本定理 G ≅ im λ ≤ Sym(G)；有限时 |Sym(G)| = n! = |Sn|。∎
注 1.3（哪些公理进了证明）　这个十三行的证明值得逐字读一遍：同态性用的是结合律，单射性用的是单位元的存在——「每个 Lg 都搬动 e 到 g，故不同的 g 给不同的置换」。逆元与封闭性则保证了每个 Lg 确是双射。四条公理各司其职、无一浪费；反过来说，凡是把「左乘都是双射」与「单射」同时兑现的代数结构，都在 Cayley 定理的荫庇之下。
例 1.4（C3 的正则化身）　G = ⟨a⟩ ≅ C3 = {e, a, a2}。左乘 a 把 e ↦ a ↦ a2 ↦ e，即三循环( e a a2 )；左乘 a2 是其逆。于是 C3 = ⟨( e a a2 )⟩ ≤ S3——恰是 3 阶交代群 A3。三个元素的循环群与「把三个点轮转」的置换群，从此在户口册上是同一个群。
例 1.5（V4 与 Q8 的正则化身）　把 G 的元素编号 0, 1, …, n−1，正则表示就是一张「左乘表」逐行读出的置换。Klein 四元群 V4 = {e, a, b, ab}（a2 = b2 = 1，ab = ba）左乘 a 得对换对 (0 1)(2 3)，左乘 b 得 (0 2)(1 3)——所以 V4 ⊆ S4，正是正方形对角线反射与半圈旋转张成的那只正规子群（见 §4）。四元数群 Q8 的左乘表更出名：i 左乘给出 (1 i −1 −i)(j k−j −k) 型的置换——两个不相交的四循环。
注 1.6（正则表示的「浪费」）　Cayley 定理给的住址是 S|G|，但那常常不是最省的住址。C6 按定理住进 S6；可它同样住得进 S5——把 C6 写成 C2 × C3，让 C2 部分对换两点、C3部分轮转三点，两段轨道互不相扰，8 个符号缩成 5 个。更极端地，C100 住得进 S99 却要按定理住 S100，浪费只有一位；而 C2 × C2 × C3（12 阶）按定理住 S12，实际 2+2+3 = 7 个符号足矣。正则表示是「人人有房」的保底方案，不是精打细算的户型图。量化的账本由下一组定义与定理给出。
定义 1.7（忠实作用与 μ(G)）　

群 G 在集合 X 上的作用（同态 φ : G → Sym(X)）称为忠实的（faithful），若 φ 是单射，即核 ker φ = {e}——不同的群元素总有办法在 X 上被区分出来。对有限群 G，最小忠实置换度（minimal faithful permutation degree）定义为

μ(G) = min{ m : G ↪ Sm 存在单同态 }

即 G 能忠实作用于其上的最小集合的大小。Cayley 定理保证 μ(G) ≤ |G|，且等号可以发生（如 Q8）。

定理 1.8（μ 的轨道–核账本）　

设有限群 G 忠实地作用在有限集 X 上，把 X 分解为轨道 X = X1 ⊔ ⋯ ⊔ Xk，记 Hi 为 Xi 中某代表点的稳定子，core(H) = ⋂g∈G gHg−1 为其核（core，即含于 H 的最大正规子群）。则

ker φ = ⋂i core(Hi)，　且　μ(G) = min{ Σi [G : Hi] : ⋂i core(Hi) = {e} }。

∎

证明 某元素 g 属于核，当且仅当它固定每一点，当且仅当它在每条轨道上都固定代表点（它在整条轨道上的行为由代表点决定），当且仅当 g ∈ core(Hi) 对每个 i 成立——第一个等号得证。第二条：轨道 Xi 同构于陪集空间 G/Hi，代价 |Xi|= [G : Hi]；忠实 ⟺ 核平凡 ⟺ 诸 core 之交平凡；对全部轨道分解取最小即得。
注 1.9（单轨道 vs 多轨道）　定理 1.8 说明 μ(G) 的计算是一场「拼轨道」的游戏：单轨道的代价是某个 core-free 子群的指数；可两条短轨道之和往往更省。C6 是最小的教科书案例：core-free 子群只有平凡群（指数 6，因 C6 交换，core(H) = H）；但取 3 阶子群与 2阶子群各拼一条轨道，核之交为 C3 ∩ C2 = {e}，代价 2 + 3 = 5。所以 μ(C6) = 5 < 6——Cayley 的货车确实超载了。同样的拼法解释了全表中一大批「非正则」住址。
例 1.10（素数阶：μ(Cp) = p）　设 |G| = p 素数。G 的子群只有 {e} 与 G（拉格朗日定理，§3）。core(G) = G 的作用是平凡的，核非平凡；唯一能进账本的是 H = {e}，单轨道代价p。故 μ(Cp) = p：素数阶群无房可拼，只能按 Cayley 的原价入住。但注意姿势：Cp ↪ Sp的像是一个 p-循环生成的子群——同样的面积，几何上却是「一个点绕圈」的极简舞姿。
命题 1.11（交换群的多轨道公式）　

设 G 为有限交换群，分解为素数幂循环因子之直积 G ≅ Cp1a1 × ⋯ × Cpk ak（各 pi 互异，即把同素的素数幂因子并成最大循环块）。则

akμ(G) = p1a1 + ⋯ + pk

证明梗概 交换群里 core(H) = H，故账本条件是「所选子群之交平凡」。设 Gi 为ai）。取 G 中一条素数幂循环因子对应的子群链，对每个 i 拼pi-Sylow 子群（阶 pi一条轨道使稳定子「漏掉」Gi 的一个生成元而含其余素数部分：诸稳定子之交必平凡（每个素数幂部分都至少被一条轨道「看穿」），代价恰为各块阶数之和。反向的不等式需要一条引理：交换群的忠实作用必有一条轨道的稳定子不含某Sylow 的全部非生成元……此处从简，完整论证见 D. L. Johnson, Topics in the Theory of Group Presentations（1980）第 5 章；本册对 28 个交换群逐一验证，无一例外。∎
例 1.12（公式 1.11 的三个兑现）　① C12 ≅ C4 × C3，故 μ(C12) = 4 + 3 = 7（不是 12！）。② C6 × C2 ≅ C22 × C3，故 μ = 4 + 3 = 7。③ C15 ≅ C3 × C5，故 μ = 3 + 5 = 8——15 阶的群住得进 8 个符号的 S8，比正则的 S15 省了将近一半。对照附录 A 总表的 μ 列，每个交换群的数字都由这条公式一次读出。
例 1.13（非交换群没有通用公式，但有明星样本）　μ(S3) = 3（三个转置子群 core-free，指数 3）；μ(D4) = 4（正方形顶点作用）；μ(D5) = μ(D7) = 5, 7（正多边形顶点作用，且 |D5|= 10 ∤ 4! 故进不了 S4）；μ(A4) = 4（四面体顶点的自然作用）；μ(D6) = 5——这是 28 群里最反直觉的一个：正六边形的对称群住得进 S5。配方：透过商群 D6/⟨r3⟩ ≅ S3 借 3 点，再透过商 D6/⟨r⟩ ≅ C2 借 2 点，核之交 = ⟨r3⟩ ∩ ⟨r⟩ = ⟨r3⟩ ∩ ⟨r⟩……准确地说取 3 阶子群 ⟨r2⟩与 2 阶子群 ⟨r3⟩ 的两条陪集轨道，core 之交 = ⟨r2⟩ ∩ ⟨r3⟩ = {e}，代价 3 + 2 = 5（4 点不可行，因 S4 的唯一 12 阶子群是 A4，而 D6 ≇ A4——后者将在 §8 验明正身）。
注 1.14（μ(G) 何以重要）　μ(G) 不是炫技的冷知识：它是「把群画出来」的最低成本——您手里最少要几个符号，才能让这只群的每一个元素都有可辨识的动作。正八面体群为何要用 6 个顶点而不是 8 个？D6 为何住在 S5？答案都写在 μ 账本里。在本册的叙事里它还有第二重身份：附录 A 总表把 28 个群按 μ 排开，一眼看到「哪些群在 S4 里就能集齐」（μ ≤ 4：C1…V4、S3、D4、A4），哪些群非要等到 S5、S7、S8 才现形（C8、Q8、C9的 μ 都是 8 或 9）。小阶群的宇宙，就这样按「最省住址」分了层。
教材接口　① Cayley 定理即《代数学基础（下·第 2 版）》§1.7；本册定理 1.2 的证明逐字沿用该处，新增的只是「浪费」视角。② 忠实作用、轨道与稳定子是 §1.6 群作用与 §1.5同态基本定理的合流；core 的定义与「core 是含于 H 的最大正规子群」即该章习题（正规化子一节的延伸）。③ 命题 1.11 需要有限交换群的结构定理——那是《抽象代数（上）》第七章的内容，此处按「先验支票、后文兑现」的方式使用。④ 群论专题读本其六（G-set 语言）把本节全部概念再对象化一遍：μ 账本正是「传递 G-set 的不交并」的最省表示问题。
思考 1　 　① 用正则表示把 C4 写进 S4，再用「2+2 拼轨道」写出 C4 ↪ S4 的另一幅像——两幅像是否共轭？② 证明：μ(G) = 1 当且仅当 G 平凡。③ 证明：若 G 单且非素数阶，则任何忠实作用的每条轨道长都 ≥ 5。（提示：③ 单群的子群 core 只能是 {e} 或 G；轨道长 = 指数 ≥ 5 意味着稳定子不能是指数 2、3、4

的子群——想一想为什么这三档恰好被 A4 之前的宇宙排除。）

二Sn 的解剖学：轮换、型与共轭类

要在 Sn 里找子群，得先认识 Sn 自己。幸运的是，对称群是所有典型群里骨骼最透明的一具：每个元素都能拆成一圈圈互不相扰的「轮转」，而两个元素共轭与否，只看它们拆出来的轮转「形状」是否相同。这一节把骨骼画清楚，后文找子群时全靠它导航。

定义 2.1（轮换与轮换分解）　称 σ ∈ Sn 为一个轮换（cycle），若存在互异的 x1,…,xk 使σ(x1)=x2, …, σ(xk)=x1，且 σ 固定其余各点；记作 (x1 x2 … xk)，k 称为轮换长。轮换分解定理：任何非恒等置换可唯一（不计循环次序与轮换内部起点）写成若干个不交轮换之积，其中轮换长 > 1。
例 2.2　 　在 S5 中，(1 3)(2 5 4) 表示 1↔3、2→5→4→2。验算：(1 3)(2 5 4) 的平方 = (2 4 5)，三次方 = (1 3)——两个不交轮换各转各的，互不串门。
定义 2.3（轮换型）　把 σ 的不交轮换按长从大到小排成 (a1, a2, …)，不足处补 1（固定点），称为 σ 的轮换型（cycle type / partition），记 1m1 2m2 ⋯，其中 mk 是长为 k 的轮换个数。恒等式 Σ k·mk = n。
命题 2.4（阶 = 最小公倍数）　

置换 σ 的阶等于其各轮换长的最小公倍数：

ord(σ) = lcm(a1, a2, …)

证明 不交轮换相互交换，σk 是各轮换各自 k 次方之积；长 a 的轮换 k 次方为恒等 ⟺ a | k。故全部轮换同时归位 ⟺ lcm | k。∎
注 2.5（在 Sn 里找各种阶的元素）　命题 2.4 是往 Sn 里安插指定阶元素的地图：想要 m阶元素，就找若干正整数，其 lcm 为 m 且总长 ≤ n。于是：S4 有 3 阶元（(123)，型(3,1)）、4 阶元（(1234)）、却没有 6 阶元（lcm = 6 至少要 3+2 = 5 个符号）。这条「lcm 地图」在后面每一阶的分类里都要现役：判断「某群能否住进 Sn」的第一道关卡，永远是「Sn 里有没有阶谱对得上的元素」。
定理 2.6（型计数公式）　

Sn 中轮换型为 1m1 2m2 ⋯ nmn 的元素恰有

N = n! ∕ ( 1m1·m1! · 2m2·m2! ⋯ nmn·mn! )

证明 把 n 个符号排成一列，切成长度 1, 1, …, 2, 2, … 的段（长 k 的段共 mk条）：切法数 = n!/(∏ kmk mk!)？细看：每条长 k 的段内部的 k 种旋转等价（除以 k），mk 条同类段互相换位不新（除以 mk!）；段间排序由「长从大到小 + 各长内部」账目自动结算。合计即公式。∎

用公式 2.6 给 S3、S4、S5 全面「体检」，结果如下：　

群型 → 个数
S3 (6)13: 1 2·1: 3 3: 2
S4 (24)14: 1 2·12: 6 22: 3 3·1: 8 4: 6
S5 (120)15: 1 2·13: 10 22·1: 15 3·12: 20 3·2: 20 4·1: 30 5: 24

表 2.7　S3、S4、S5 的型分布。行和 = 6, 24, 120，与群阶吻合——一道无形的验算。

定理 2.8（共轭 ⟺ 同型）　

Sn 中两个元素共轭，当且仅当它们的轮换型相同。因而 Sn 的共轭类与 n 的整数分划一一对应，类大小即定理 2.6 的计数。

证明 直接演算共轭对轮换的作用：τ(x1 … xk)τ−1 = (τ(x1) … τ(xk))——共轭就是「把轮换里的符号改名换姓」，长与条数原封不动，故型是共轭不变量。反向：同型则可逐圈配对，构造 τ 把一个的各轮换符号送到另一个对应轮换即可。∎
例 2.9（类方程的前奏）　由表 2.7，S4 有 5 个共轭类（大小 1, 6, 3, 8, 6），S5 有 7 个（1,10, 15, 20, 20, 30, 24）。中心元素 = 自成一个共轭类的元素，即型全为 1 的恒等（n ≥ 3 时Sn 无中心）——「共轭类账本」在第三章将升级为分类小阶群的主引擎。
定义 2.10（符号同态与交代群）　对 σ ∈ Sn，定义 sgn(σ) = (−1)n−c(σ)，其中 c(σ) 是把σ（连同固定点）写成不交轮换的总条数。sgn = +1 者称偶置换，sgn = −1 者称奇置换；偶置换全体记 An，称交代群（alternating group）。
命题 2.11（符号的三副面孔）　① sgn 是满同态 Sn → {±1}；② sgn(σ) = (−1)逆序对数（逆序对 = i<j 而 σ(i)>σ(j) 的对子数）；③ 长为 k 的轮换是奇是偶看 k−1 的奇偶：sgn(轮换) = (−1)k−1。因而 |An| = n!/2（n ≥ 2）。
例 2.12（用符号读小阶群）　表 2.7 里 S4 的 24 元素按符号一分为二：A4 = 恒等 + 3 个双对换 (22) + 8 个三轮换 (3·1)，恰 12 个；奇的一半是对换 (2·12) 六个 + 四循环 (4) 六个。S5的 A5 同理 = 1 + 15 + 20 + 24 = 60 个。记住这两张「户口按偶奇分流」的底稿，§8 的 A4与 §10 的 A5 都要从这里出发。
命题 2.13（生成元）　① Sn 由对换生成——事实上由相邻对换 (1 2), (2 3), …, (n−1 n) 生成；② 对 n ≥ 2，Sn = ⟨(1 2), (1 2 ⋯ n)⟩（一个对换加一个 n-循环）；③ An 由三轮换生成（n ≥ 3）。
注 2.14（为什么「型 + 符号」就是全部入口）　在本册后续各章里，「在 Sn 中找某阶的子群」的每一步都从三句话起步：子群的阶必须整除 n!（拉格朗日，§3）；子群元素必须从某一列型里出（表 2.7）；子群要么全偶、要么奇偶各半（符号同态限制在子群上：全偶⟹ 子群 ≤ An，否则一半对一半，因为 sgn 的像只能是 {1} 或 {±1}）。三句话像三道闸门，把 S4、S5 的子群候选缩到屈指可数，小阶分类从此不再是猜谜。
例 2.15（先练一遍闸门：S4 里可能有 6 阶子群吗？）　6 | 24 ✓ 过第一闸。元素阶谱：6 阶群若循环则需 6 阶元，S4 无（注 2.5）；若非循环则为 S3 型（§5 将证明 6 阶只有两种），需 3 个对换 + 2 个三轮换 + 恒等，且「对换」们要组成对换生成元在 3 个固定点上的动作……把候选放在 4 个符号上试拼：3 阶元 8 个，每个三轮换留 1 个固定点；任何含(123) 的 6 阶子群还得含一个对换 t 使 t(123)t 仍是该群的 3 阶元——逐个试 t ∈ S4 发现⟨(123), (12)⟩ = S3 ≤ S4（住在 {1,2,3} 上、固定 4）确实存在！所以 S4 有 6 阶子群，共 4 个（第三章的账目：按阶分布 6:4 正是它们）。这道题请带着悬念做完：S4 的 6 阶子群全是 S3 的化身；而 §8 将看到 A4 里一个 6 阶子群也没有——同样的阶，换一个母群，风景全非。
教材接口　① 轮换分解与型的唯一性即《代数学基础（下·第 2 版）》§1.6 的主干；命题2.4、2.6、定理 2.8 是该节习题的成套答案。② 符号同态是 §1.5 「同态的核与像」的第一个非平凡实例：An = ker(sgn)，而「核必正规」这句抽象定理在这里立刻兑现为「An ◁Sn」。③ S4 型分布表 2.7 是本站《几何基础》变换群一讲（运动按型分账）的同款手法。④ 专题读本其六的 Burnside 引理在本册第十章用来数染色与数群——同一条工具在两册里各司其职。
思考 2　 　① 写出 S6 中全部 6 阶元素的型（答案不止一种！），并说明为何 S4、S5 都没有6 阶元。② 用定理 2.6 算 S5 中型 (3,2) 的个数，并验证它与「选 2 个出圈、剩 3 个排圈」的拼法一致。③ 证明：型 (2,2) 的三个对换对与恒等构成 S4 的正规子群——这正是 §4 的V4。（提示：③ 对 (2,2) 型元素做共轭——共轭保型，故该子集在共轭下封闭；再验证乘法封闭。）

三数子群的机器：拉格朗日、类方程与正规化子

第二节的「型 + 符号」是透视镜，看得见却数不清；本节安装三件计数装置——拉格朗日定理、类方程、Sylow 定理——把「Sn 里有哪些子群」从鉴赏题变成算术题。装置的核心都在《抽象代数（上）》前几章造好，这里组装调试，并在 S4 上试车：穷举出它的全部 30 个子群，作为后续各阶分类的样扳。

定理 3.1（拉格朗日定理）　

有限群 G 的子群 H 之阶整除 G 之阶：|H| ∣ |G|；更精确地，|G| = [G:H]·|H|，其中陪集个数 [G:H] 是 G 的阶除以 H 的阶的整数商。

证明 陪集 gH 分划 G（左乘是双射 ⟹ 每个陪集与 H 等势），清点即得。∎
推论 3.2（元素阶整除群阶）　有限群中任何元素的阶整除群阶；因而 n 阶群的元素阶谱被 n 的因子表严格约束。
警告 3.3（拉格朗日的逆命题一般不成立）　「d ∣ |G| ⟹ 存在 d 阶子群」对一般群是假的。最小的反例：A4（12 阶）没有 6 阶子群——§8 将给出两条独立证明（穷举确认 6 阶子群数为 0）。拉格朗日是必要条件，是筛子而非打印机；筛掉之后还剩什么，得靠本节其余装置与下一章的逐阶手艺。
定理 3.4（Cauchy 定理）　设素数 p 整除有限群 G 之阶，则 G 有 p 阶元素（从而有 p 阶子群）。（证明见《抽象代数（上）》：交换情形用元素的阶分解直接摘出 p-部分；一般情形对 |G| 归纳，中心要么含 p 阶元、要么用共轭类大小模 p 分账。）
定义 3.5（中心化子、正规化子、类方程）　

对 x ∈ G，中心化子 CG(x) = {g : gx = xg}；对子群 H ≤ G，正规化子 NG(H) = {g : gHg−1 =H}。G 的中心 Z(G) = {g : 对一切 x，gx=xg}。共轭作用给出类方程：

|G| = |Z(G)| + Σx [G : CG(x)]，

求和跑过每个非中心共轭类取一个代表元。

定理 3.6（子群共轭类的账目）　

与子群 H 共轭的子群恰有 [G : NG(H)] 个；特别地 H 正规 ⟺ NG(H) = G ⟺ 共轭类里只有它自己。此外 H ◁ NG(H)，且 NG(H) 是 G 中最大的、使 H 正规的子群。

证明 共轭作用在子群集合上，轨道–稳定子定理（专题读本其六定理 2.2 的子群版）：稳定子恰为 NG(H)，轨道长 = 指数。∎
定理 3.7（p-群的中心非平凡）　

设 |G| = pa，则 Z(G) 非平凡；从而存在 p 阶正规子群（取中心里的 p 阶元生成）。

证明 类方程两边模 p：左边 ≡ 0；每项 [G:CG(x)] 是 p 的幂且非 1（非中心类的中心化子是真子群）；故 |Z(G)| ≡ 0 (mod p)，而 e ∈ Z(G)。∎
定理 3.8（Sylow 三定理，陈述）　

设 |G| = pa·m，(p, m) = 1。一：存在 pa 阶子群（Sylow p-子群）。二：Sylow p-子群两两共轭；G 的每个 p-子群都装在某个 Sylow 之内。三：Sylow p-子群的个数 np 满足

np ≡ 1 (mod p)　且　np ∣ m；

且 np = [G : NG(P)]（对任一 Sylow 子群 P）。（证明引用《抽象代数（上）》，此处全数调用。）

注 3.9（三件装置在小阶分类里的分工）　小阶分类的每一仗都是同一套流程：① 拉格朗日 + Cauchy 列出子群阶的候选清单；② Sylow 第三定理对 np 的同余与整除双约束常常直接锁死个数（锁死为 1 ⟹ 正规 ⟹ 半直积登场）；③ 类方程 + 正规化子管住共轭类的个数与大小。例如 15 阶群（§9）：n3 ≡ 1 (mod 3) 且 n3 ∣ 5 ⟹ n3 = 1；n5 ≡ 1 (mod 5) 且 n5∣ 3 ⟹ n5 = 1。两个 Sylow 都正规、交平凡、乘积全群 ⟹ G ≅ C3 × C5 ≅ C15——三行算完，15 阶分类收工。这套「数 Sylow → 逼正规 → 直积合拢」的流水线，将在第九章一次性冲掉 13、14、15 三阶。

3.1 穷举的算法：子群闭包扩张

装置之外还需一台机床：给定 Sn（或其子群）的具体置换实现，机械化地穷举全部子群。所用算法朴素而可靠：

算法 3.10（闭包扩张法）　

已知群 G 的置换实现（元素集合）。

① 从 {e} 出发，维护候选子群集合 𝒮 = {{e}}。② 反复扫描：对每个 H ∈ 𝒮 与每个 g ∈ G，计算 ⟨H, g⟩（生成闭包：从已有元素反复左乘、取逆、直到不再出现新元素）；若得到新子群则并入 𝒮。③ 直到一轮扫描无新收获（不动点）。𝒮 即 G 的全部子群——因为任何子群都能从 {e} 逐个并入生成元到达。

正确性与「任何子群有生成元集」同义；效率对本册规模（|G| ≤ 120）绰绰有余。共轭类归并则对每个子群求 gHg−1 去重。

3.2 试车：S4 的三十个子群

把机床装到 S4 上跑一遍，得到全册第一份完整户口档案：

阶个数同构型备注
241S4全群
121A4偶置换全体，正规
83D4Sylow 2-子群（n2 = 3），正方形对称群的三种摆法
64S3各住在「固定一个符号」的三元组上
473 个 C4 + 4 个 V4C4：四循环生成；V4：其一正规（双对换），其余三个与对换搭档
34C3n3 = 4 ≡ 1 (mod 3)，Sylow 3-子群，互不正规
29C26 个对换 + 3 个双对换
11{e}平凡群

表 3.11　S4 子群总账：30 个子群、11 个共轭类（按阶分布 1:1, 2:9, 3:4, 4:7, 6:4, 8:3, 12:1,

24:1；共轭归并后 11 类）。

这张表是后文的「样扳间」：4 阶的 7 个子群预演了 C4 与 V4 的两种形貌（§4）；6 阶的 4 个 S3是 §5 主角在 S4 里的预支；8 阶的 3 个 D4 是 §6 五群之一；12 阶的 A4 独苗将在 §8 加冕。还有一个细节值得先盖章：V4 中有一个是正规的（恒等 + 三个双对换——共轭保型 (2,2)，故该集合共轭封闭），另外三个 V4（如 {e, (12), (34), (12)(34)}）在共轭下互相换位，不正规。同构的子群可以有完全不同的「户口性质」——这是子群分类比元素分类微妙的地方，也是第三章装置（正规化子）存在的理由。

例 3.12（用账本复核 Sylow）　S4：24 = 23·3。n2 ≡ 1 (mod 2) 且 n2 ∣ 3 ⟹ n2 ∈ {1, 3}；表 3.11 实测 3 个 8 阶子群——n2 = 3，非正规。n3 ≡ 1 (mod 3) 且 n3 ∣ 8 ⟹ n3 ∈ {1, 4}；实测 4 个 3 阶子群——n3 = 4，非正规。S4 是个「全 Sylow 都不安分」的群；对比之下 §9的 15 阶群将把每个 Sylow 都按在地上变成正规的——同一个定理，两种命运。
注 3.13（为什么小阶要「手艺」而不只靠装置）　装置三件套（拉格朗日、Sylow、类方程）在 15 阶以内近乎万能，但它们给出的常是「排除法」：排掉不可能，剩下的形貌仍要亲手搭出来——8 阶五群、12 阶五群都如此（§6、§8）。手艺的核心动作只有一个：拿住一个子群（常常是 Sylow 或循环子群），看群怎么由它和另一个元素拼装。这个动作的成熟形态叫半直积（《抽象代数（上）》第六章），本册只在需要处调用其结论，不重造机器。
教材接口　① 拉格朗日与 Cauchy 即《代数学基础（下·第 2 版）》§1.2–1.3；类方程与 p-群中心是该章共轭类一节的标准应用。② Sylow 三定理的完整证明在《抽象代数（上）》第五章，本册全文调用。③ 正规化子账目（定理 3.6）与专题读本其六的「陪集空间 = 传递 G-set」互为表里：子群共轭类正是「传递作用的同构类」。
思考 3　 　① 在 S4 的 30 个子群里，找出全部正规子群（提示：从 {e}, V4, A4, S4 出发，验证再无其他——这道题的完整答案将在 §6 由 D4 的缺席揭晓）。② 证明 12 阶群若有 6 阶子群则该子群指数为 2 从而正规，再由此推出 A4 无 6 阶子群的「矛盾式」证法骨架（与§8 的两条证明对照）。③ 用定理 3.6 说明：S4 中 6 阶子群的共轭类大小为 4，正规化子恰是它自己。（提示：③ ⟨(123)⟩ 的正规化子 = 固定 4 的那个 S3——6 阶群自正规化，轨道长 24/6 = 4。）

四一至四阶：素数阶与 Klein 四元群

工具上膛，开始测绘。头三站（1、2、3 阶）几乎是白送的，第四站（4 阶）出现第一个真正的岔路口——也是全书第一次「同阶不同群」。

4.1 阶一与素数阶：独角戏

定理 4.1（平凡群）　1 阶群只有一个：仅含单位元的 {e}。它在 S1（一个符号上的恒等置换）中落籍；约定 μ({e}) = 0——空集上的空作用即忠实作用（亦有文献记 1，本册随Johnson 取 0）。它的子群表、共轭类表、自同构表统统只有一行：这是户口册上最薄的一页，却也是唯一的「无奇不有」——它是唯一既交换又单、既平凡又正规的群。
定理 4.2（素数阶群唯循环）　

设 p 为素数，则 p 阶群只有循环群 Cp。

证明 取 g ≠ e，则 ord(g) ∣ p（推论 3.2）且 ord(g) > 1，故 ord(g) = p，⟨g⟩ 已是全群。∎
注 4.3（素数阶的三张面孔）　同一只 Cp 有三种著名化身：① 数的加法群 ℤ/p；② 复平面上正 p 边形的旋转群（阶 p 的旋转乘法群）；③ 置换群里由一个 p-循环生成的子群 ⟨(1 2 ⋯ p)⟩ ≤ Sp。三者同构——但只有第三种进本册的户口册。注意 ③ 的落点是 Sp 而非更小的 Sm（m < p 的 Sm 无 p 阶元，因 p ∤ m! 由 p > m）——这正是例 1.10 的 μ(Cp) = p。素数阶在 15 以内共六格：C2, C3, C5, C7, C11, C13，全部住址 = 自身大小的对称群。
注 4.4（C2 与 C3 的初见）　C2 = {e, (12)}——对换；C3 = A3——三轮换。它们将在每个更大的群里反复现身：C2 是一切对合的居室，C3 是一切三轮换的居室。小阶分类的产物不是「用完即弃」的例题，而是后续所有分类的备件。

4.2 阶四：第一个岔路口

定理 4.5（4 阶分类）　

4 阶群恰有两个：循环群 C4 与 Klein 四元群 V4 = C2 × C2。判据一行：有 4 阶元则是 C4，否则是 V4。

证明 由推论 3.2，元素阶只能是 1, 2, 4。① 若有 4 阶元 a，⟨a⟩ 已含 4 个元素即全群：C4。② 若无 4 阶元，则三个非单位元全是 2 阶（对合），记 a, b, c。乘积 ab 不能是 a（否则 b=e）、不能是 b（否则 a=e）、不能是 e（否则 b=a−1=a），故 ab = c；同理ba=c, ac=ca=b, bc=cb=a。整张乘法表填完：正是 C2×C2 的表，记 V4。∎
例 4.6（两个 4 阶群在 S4 里的化身）　① C4 = ⟨(1 2 3 4)⟩：一个四循环。S4 里 4 阶元共 6个，每个 C4 含两个 4 阶元，故 C4 的化身共 3 个，互共轭、不正规（表 3.11 的「4 阶 ×3」）。② V4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}：三个双对换。它是 §3 的正规 V4——6 个 4阶元与 6 阶子群们的出入行动都无法撼动它。同阶的 C4 与 V4 在同一个 S4 里，一个流浪、一个定居——「同构型之外的户口性质」在这里第一次显出分量。
定理 4.7（V4 的刻画）　① V4 是最小的非循环群；② V4 是最小的非循环单群？不——V4 的子群 {e, a} 等三个 2 阶子群都正规（V4 交换，一切子群正规），故 V4 不单；它是最小的非循环群、且一切真子群皆素数阶循环；③ 4 阶群的 μ：μ(C4) = 4（1.11 或 1.10 直接读出），μ(V4) = 4（三个 2 阶子群任取两个拼 2+2 轨道，核之交平凡？V4 交换，core = 子群本身，两个 2 阶子群之交 = {e}，代价 4 = 单轨道代价，故 μ = 4）。
注 4.8（Klein 与「 Ui 」的源头）　V4 因 Felix Klein 而得名：他在《二十面体讲义》（1884）与更早的 Erlangen 纲领研究中大量使用这只「四元群」，德文称 Vierergruppe（四之群），故记 V4。Klein 的几何眼光——群是「变换的家族」——正是本册把群放进Sn 的精神源头。顺带一提：V4 也是第一个让人看清「交换 ≠ 循环」的群；此后「交换群的分类」与「循环群的计数」正式分家。
例 4.9（V4 正规性的两条快证）　① 共轭保型（定理 2.8）：型 (2,2) 的三个元素加上恒等构成集合，共轭把它变到自身，且乘法封闭、含逆——是正规子群。② 商群速算：S4/V4有 6 个元素——它竟然还是 S3（§6 将给出显式同构 S4/V4 ≅ S3）。一只 4 阶的小正规子群，把 24 阶的 S4 折叠成 6 阶——「正规子群是商群的省略号」这句格言的最小标本。
教材接口　① 定理 4.2、4.5 即《代数学基础（下·第 2 版）》§1.2 拉格朗日应用两例；②V4 ◁ S4 与 C4 ≰ 正规 的对照是 §1.3 共轭类一节的习题原型；③ C2×C2 的直积语言在《抽象代数（上）》第四章；
思考 4　 　① 证明：交换群的任何子群都正规，并用它解释 V4 的三个 2 阶子群为何个个定居。② 在 S4 的三个 C4 化身里任取一个，求其正规化子（答案 4 阶——自正规化，共轭类大小 24/4 = 6？不对，C4 的共轭类大小是 3，请检查哪一步错了）。③ 用 V4 ⋪ S4 造出同态 S4 → S3（先想清楚：商群作用在什么集合上？）。（提示：② 共轭类大小 = [S4 : N(C4)]；N(C4) ⊇ ⟨(1234)⟩ 是 4 阶，又 C4 不正规故 N ≠ S4，|N| 须整除24 且是 4 的倍数、大于 4——候选 6, 8, 12；逐个排除得 N = C4 自身，类大小 = 6。数一数表 3.11：4 阶元 6 个、每个 C4 揽两个，3 个化身——与类大小 6/2 = 3 对上了。）

五五阶与六阶：S3 登台

5 阶仍是素数阶的独角戏；6 阶则是全册的第一次正面交锋——非交换群在此第一次露面，而且一来就是最熟悉的陌生人：S3。

5.1 阶五

定理 5.1　 　5 阶群只有 C5（定理 4.2）；μ(C5) = 5，落籍于 ⟨(1 2 3 4 5)⟩ ≤ S5。
注 5.2（5 阶的特别纪念意义）　在 15 以内，5 是最后一个「素数阶之外无故事」的阶吗？不是——7、11、13 也是。但 5 的特别在于它马上要在 6、10、12、20 里反复打工：D5（10 阶）、A4 的 Sylow 3 无它、A5 的 Sylow 5 有 6 个（§10）。素数阶群作为「构件」的利用率，远高于它们自身户口页的厚度。

5.2 阶六：两群之辨

定理 5.3（6 阶分类）　

6 阶群恰有两个：C6 与 S3。判据一行：有 6 阶元（等价地：交换）则是 C6，否则是 S3。

证明 ① 有 6 阶元则循环。② 设 G 无 6 阶元。元素阶由推论 3.2 只能取 1, 2, 3,6，故非单位元是 2 阶或 3 阶。Cauchy 定理给出 2 阶元与 3 阶元。Sylow 计数：n3 ≡ 1 (mod 3) 且 n3 ∣ 2 ⟹ n3 = 1，3 阶子群 P = ⟨a⟩ 正规。先证 G 非交换：若交换，取 2 阶元 b，⟨a,b⟩ ⊇ {e,a,a2,b,ab,a2b} 六元两两不同（ab= e 或 ak 与 a、b 相等都会逼出 b = e），且交换、元素阶 ≤ 6；此时 ab 的阶 =lcm(3,2) = 6（交换群中 (ab)6 = a6b6 = e，且 (ab)k = e ⟹ ak = b−k ∈ ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = {e}⟹ 3|k 且 2|k）——6 阶元与假设矛盾。故 G 非交换，|G| ≥ 6 已知，交换支路封闭。再证非交换情形 G ≅ S3。取正規 P = ⟨a⟩（a3 = e）。2 阶元 b 存在（Cauchy），b∉ P。三个陪集 P, bP, Pb 盖满 G。若 bP = Pb 则 P 正规（已知）且 b 与 P 交换化——回到交换支路，矛盾；故 bP ≠ Pb，即 bab−1 ∉ P 的左陪集……直接算：bab−1∈ P（P 正规），且共轭保阶，故 bab−1 ∈ {a, a2}；又 ≠ a（否则交换），故 bab−1 =a2 = a−1。于是 G 满足关系 a3 = b2 = 1, ba = a−1b——6 个元素 e, a, a2, b, ab, a2b 的乘法表被关系唯一确定。而 S3 里取 a = (1 2 3), b = (1 2) 恰满足同一组关系（(12)(123)(12)−1 = (132) = (123)−1），且 S3 的乘法表同样被唯一确定——两张表逐格相同，G ≅ S3。∎
注 5.4（这个证明是全册的「标准战役」）　请特别留意 ② 的骨架，它在 §6（8 阶）、§7（10 阶）、§8（12 阶）将原样重演：Sylow 逼出正规 p-子群 → 拿一个 q-阶元素来「转动」它 → 共轭作用给出自同构 → 关系组定出乘法表 → 与某个具体置换群对表。小阶分类的「手艺」（注 3.13）指的就是这套动作；半直积记号 G ≅ C3 ⋊ C2 只是它的速记。

5.3 S3 的完整解剖

既然 S3 是最小非交换群，就值得把它的户口页写到最厚。以下五张表合计，就是 S3 的全身体检。

子群（6 个，4 个共轭类）
6 1 S3 ✓
3 1 A3 = {e, (123), (132)} ✓（指数 2）
2 3 ⟨(12)⟩, ⟨(13)⟩, ⟨(23)⟩ ✗（互共轭）
1 1 {e} ✓
共轭类（3 个）与中心、自同构 元素 大小 备注
} e 1 中心 Z(S3) = {e}（S3 无中
换 (12),(13),(23) 3 奇；阶 2
换 (123),(132) 2 偶；阶 3 = A3 − {e}

表 5.5　S3 户口明细：类方程 6 = 1 + 3 + 2；子群 6 个；正规子群塔 {e} ◁ A3 ◁ S3（{e} 与 A3 之间无中间

层——这将在 §8 与 A4 的「 V4 无三阶中间层」形成镜像）。

命题 5.6（S3 的自同构全内）　

Aut(S3) ≅ S3，且全部自同构都是内自同构（Inn(S3) = Aut(S3)）。

证明 自同构保阶，把三个对换类映到自身——三个对换的像可以是任意一个置换（3! = 6 种），而对换生成 S3，像确定则自同构确定。故 |Aut(S3)| ≤ 6；又|Inn(S3)| = |S3/Z(S3)| = 6/1 = 6。两个不等式夹出等号。∎
例 5.7（S3 ≅ D3：对称的验证）　正三角形的对称由旋转 r = 120° 与翻转 s 组成：r3 = s2 =1, srs = r−1——与定理 5.3 的关系组一字不差。把三角形顶点标号 1,2,3，旋转 r = (1 2 3)、翻转 s = (2 3)（固定顶点 1 的轴），六个对称恰是 S3 的六个置换。「正三角形的对称群」与「三符号的置换群」从此是同一个户口的两个名字；二面体群记号 D3 与对称群记号 S3并用，本册约定 Dn 表示正 n 边形对称群（阶 2n），故 D3 = S3。
例 5.8（S3 的两种住址）　① 自然住址：S3 ≤ S3，μ(S3) = 3——三个转置子群 ⟨(12)⟩ 等的core 之交 = {e}，指数 3 的单轨道（自然作用）即最省。② 正则住址：Cayley 把 S3 塞进S6（元素编号 e↦0, (123)↦1, (132)↦2, (12)↦3, (13)↦4, (23)↦5，左乘 (123) 得置换 (0 1 2)(3 4 5)，左乘 (12) 得 (1 2)(4 5)）。两幅像的「面积」差一倍：6 vs 3。μ 账本的价值就在于它告诉您哪幅是「写实」、哪幅是「冗余」。
注 5.9（C6 与 S3：同一张因子表，两种人生）　6 = 2 × 3，两个素数幂因子。C6 把它们串成一条循环链（2 与 3 互素，直积仍循环）；S3 让 3 阶正规子群被 2 阶元素「翻转」（C3⋊ C2，2 | 3−1 使非平凡作用得以存在）。这两种命运的分岔参数将在 §9 凝练为 pq 定理：pq 阶（p < q）只有循环与非交换半直积两种；后者存在 ⟺ p ∣ (q−1)。6 阶（2 ∣ 2 ✓有 S3）与 10 阶（2 ∣ 4 ✓ 有 D5）、14 阶（2 ∣ 6 ✓ 有 D7）同谱；15 阶（3 ∤ 4 ✗）只有C15 一格——§9 见。
例 5.10（S3 在更大舞台上的回响）　S3 是 S4 的 6 阶子群（固定一个符号即得，共 4 个化身——表 3.11「6 阶 × 4」）；是 S5 里 6 阶子群 30 个中最常见的一型（S5 的 6 阶子群 30 个 = S3 型 20 个 + C6 型 10 个，正文按下不表）；还是 12 阶群D6 ≅ S3 × C2 的直积因子（§8）。第一次露面的非交换群，此后无处不在。
教材接口　① 定理 5.3 的证明即《代数学基础（下·第 2 版）》§1.2 习题「6 阶群分类」的完整展开；② 生成关系 ⟨a,b ∣ a3=b2=1, ba=a−1b⟩ 是《抽象代数（上）》第三章「群的呈示」第一例；③ D3 = S3 的验证即专题读本其三（平面对称群）主角的最小情形；④ 自同构计算与专题读本其五（自同构群）的第一个非平凡样本呼应。
思考 5　 　① 证明：指数为 2 的子群必正规，并指出它在定理 5.3 与 4.9 中的两次现身。②求 C6 与 S3 的子群个数之比（答案 4 : 6），并解释为何「更小的群」反而子群更多——「同阶不同构，子群结构也不同」的第一个活例。③ 设法在 S5 中找出一个 C6（提示：型 (3,2) 元素生成——(123)(45) 的阶是 lcm(3,2) = 6）。（提示：③ ⟨(123)(45)⟩ = {e, (123), (132), (45), (123)(45), (132)(45)}——S5 的 6 阶循环子群，它就是表 3.11 里缺席的 C6 型；S4 里找不到它，因为 (3,2) 型需要 5 个符号。）

六七阶与八阶：23 的五种形貌

7 阶素数，一票通过；8 阶 = 23 则是全册第一座高峰——五个群、四种性格、两位名人（V4 之外的 D4 与 Q8），以及一个贯穿此后所有 2-幂阶的核心引理。8 阶的分类是「2-群分类」的第一章：读懂它，16 阶的 14 个群（§10）不过是同一出戏的加长版。

6.1 阶七

定理 6.1　 　7 阶群只有 C7；μ(C7) = 7，落籍 ⟨(1 2 3 4 5 6 7)⟩ ≤ S7。

6.2 阶八：五群定理

定理 6.2（8 阶分类）　

8 阶群恰有五个互不同构的类型：

C8，　C4 × C2，　C23，　D4，　Q8。

证明 设 |G| = 8。元素阶由推论 3.2 取值于 {1, 2, 4, 8}，分三支。支一：有 8 阶元 ⟹ G = ⟨a⟩ 循环 C8。支二：无 4 阶与 8 阶元（全体非单位元皆 2 阶）⟹ G 交换（(ab)2 = 1 ⟹ ab =(ab)−1 = b−1a−1 = ba），且是 F2 上的向量空间（对合交换群 = 加法群，8 = 23 维数3）⟹ G ≅ C23。支三：有 4 阶元 a、无 8 阶元。⟨a⟩ 有 4 元、指数 2，故正规（思考 5①）。取 b∉ ⟨a⟩，则 {e,a,a2,a3,b,ab,a2b,a3b} 是 G 的全部元素。　(i) b2 ∈ ⟨a⟩（陪集分解：G/⟨a⟩ 只有两个陪集，b2 所在陪集为 b2⟨a⟩；而 (b⟨a⟩)2= ⟨a⟩ 故 b2 ∈ ⟨a⟩），且 (b2)2 = b4 = 1（b 的阶 ≤ 4），故 b2 ∈ {1, a2}。　(ii) bab−1 ∈ ⟨a⟩（正规）且保阶（共轭保阶），4 阶元只有 a, a3，故 bab−1 ∈ {a,a3}。　四种组合逐一结算：　• bab−1 = a（b 与 ⟨a⟩ 交换）：若 b2 = 1，则 G = ⟨a⟩×⟨b⟩ ≅ C4×C2；若 b2 = a2，令c = ab，则 c2 = a2b2 = a4 = 1（交换性），⟨a, c⟩ = G 且 c 对合——仍是 C4×C2（换一组生成元）。　• bab−1 = a3 = a−1：若 b2 = 1，关系组 a4 = b2 = 1, ba = a−1b 定义 D4（正方形对称群：a 是 90° 转、b 是翻转）；若 b2 = a2，关系组 a4 = 1, b2 = a2, ba = a−1b 定义 Q8（令 i = a, j = b, k = ab：i2 = j2 = k2 = a2 ≠ 1，ij = k = −ji——四元数的乘法表）。五案彼此不同构：交换 vs 非交换先行分账；交换三案由 8 阶元之有无与元素阶谱区分（表 0.2：C8 有 8 阶元，C4×C2 有 4 阶元，C23 全 2 阶）；非交换两案 D4有 5 个 2 阶元（r2 与四个反射）、Q8 只有 1 个 2 阶元（−1）——阶谱(1,2,2,2,2,2,4,4) 对 (1,2,4,4,4,4,4,4)，泾渭分明。∎
注 6.3（定理 6.2 的证明骨架又是什么）　还是注 5.4 的标准战役，只是这次正规子群 ⟨a⟩不是 Sylow 逼出来的（8 是素数幂，没有「另一个素数」可用），而是「最大循环子群 +指数 2」逼出来的。「指数 2 必正规」是 2-群分类的第一杠杆；§7 的 9 阶、§9 的 15 阶会用同样的杠杆撬非素数幂的阶。支三里「b2 的两种落点 × 共轭的两种落点」的 2×2 结算表，则是半直积 C4 ⋊ C2 分类——4 阶循环群的自同构群 Aut(C4) ≅ C2 只有两个元素（a↦ a 与 a ↦ a−1），b 的像非此即彼，b2 的约束非此即彼，组合有限、穷举即得。「自同构群小 ⟹ 半直积少 ⟹ 分类短」——8 阶分类短，是因为 Aut(C4) 只有 2 阶。

6.3 五群的户口页

群定义最省住址（化 身）μ子群速写
C8⟨a ∣ a8 = 1⟩⟨(1⋯8)⟩ ≤ S88循环，子群链 1<2<4<8 各一个，共 4 个子群
C4×C2⟨a,b ∣ a4=b2=1, ab=ba⟩⟨(1 2 3 4), (5 6)⟩ ≤ S66交换非循环；子群 8 个
C23F2 三维向量空间 加法群⟨(1 2), (3 4), (5 6)⟩ ≤ S66初等交换 2-群；子群 = F2 子空间：15 个 （1+7+7+1？实为 16 个，见下）
D4⟨r,s ∣ r4=s2=1, srs=r−1⟩⟨(1 2 3 4), (1 3)⟩ ≤ S44正方形对称；10 个子群；三个 2 阶反射子群互 共轭
Q8⟨i,j ∣ i4=1, i2=j2, ji=i−1j⟩Cayley ≤ S8（左 乘表）8六个真子群全部循环且全部正规

表 6.4　8 阶五群户口速览。

例 6.5（C23 的子群 = 子空间）　C23 的子群恰是 F23 的子空间：维数 0, 1, 2, 3 的子空间个数 = 1, 7, 7, 1（一维 = 7 条直线：7 个非零向量各张一条；二维 = 每条直线配 6 个补向量再除以每平面 3 条直线 = 7），共 16 个。注意 16 = 24 而 S6 里嵌它的位置 ⟨(12),(34),(56)⟩只是它的一个化身——「子群计数」与「住址选择」是两本独立的账。
例 6.6（D4 在 S4：唯一直接落进 S4 的 8 阶群）　D4 = ⟨(1 2 3 4), (1 3)⟩ 就是 S4 的 Sylow 2-子群（表 3.11「8 阶 × 3」——三个化身对应正方形的三个顶点标号法）。五群里只有它 μ= 4；其余四群都进不了 S4（S4 的 8 阶子群只有 D4 型 3 个）。几何与代数在此对齐：正方形是最小的一块「有 8 阶对称」的图形。

6.4 Q8 专节：一只不肯缩小住址的群

例 6.7（四元数的诞生）　

1843 年 10 月 16 日，William Rowan Hamilton 在都柏林运河边的 Broome 桥上刻下

i2 = j2 = k2 = ijk = −1。

他寻找「三维复数」（用三个虚单位扩张复数）已逾十年，那天突然醒悟：三个不够，四个刚好——放弃交换律（ij = k 而 ji = −k）。桥上的刻痕今日仍存，四元数环 ℍ 成为第一个非交换除环。Q8 是它的「骨架」：8 个元素 {±1, ±i, ±j, ±k} 在乘法下封群，i、j、k 三个4 阶元两两互负交换。

定理 6.8（μ(Q8) = 8：Q8 无处安身）　

Q8 的任何真子群都含中心元 −1，从而 core 非平凡；由定理 1.8，Q8 的忠实作用必是单轨道且稳定子 core 平凡——唯一可能是稳定子 = {e}，轨道长 = 8。故

μ(Q8) = 8 = |Q8|，

即 Q8 的任何忠实置换表示都是正则表示；它住不进任何 Sm（m < 8）。

证明 Q8 的真子群清单：⟨−1⟩ = {1, −1}、⟨i⟩ = {1,i,−1,−i}、⟨j⟩、⟨k⟩（三个 4 阶）——每个都含 −1（因 i2 = −1 等）。Q8 交换吗？不交换，但所有子群都正规（交换群与 Q8 是仅有的两种「真子群全正规」的 8 阶群——非交换单化验：⟨i⟩ 的共轭只能含 −1 且保阶，被 i2 = −1 的唯一性锁死）。于是 core(H) = H ⊇ {−1}，定理1.8 的账本里没有任何「便宜轨道」可拼。∎
注 6.9（Hamiltonian 群：Q8 的王冠）　「所有子群皆正规」的非交换群称 Hamiltonian群；Q8 是最小的、也是不可绕过的起点——Dedekind 证明：任何有限 Hamiltonian 群 ≅Q8 × A（A 交换、无奇阶元之外的成分）。对照 D4：同样 8 阶、同样非交换，D4 的反射子群却不正规（三个反射子群互共轭）。「子群是否听话」把两只 8 阶非交换群分成了两种宇宙观——这一分岔在 12 阶将再次上演（A4 的 3 阶子群全不正规 vs Q12 的「半Hamiltonian」气质，§8）。
注 6.10（8 阶之后：2-群的世界急速变宽）　23 = 8 阶：5 个群；24 = 16 阶：14 个群；25 =32 阶：51 个；26 = 64 阶：267 个；210 = 1024 阶：四千九百多亿个（4 231 646 267 个，精确计数属 O'Brien 1990 年代）。2-群是有限群的「热带雨林」：物种密度按阶指数膨胀，且没有任何「闭式分类」可言。8 阶五群是这片雨林边缘最后一块能一眼看全的空地——这正是本册把地图停在 15 阶的quiet原因之一（16 阶的 14 个群只点名不导游，§10）。
教材接口　① 定理 6.2 是《代数学基础（下·第 2 版）》§1.2 综合习题的标准内容，也是《抽象代数（上）》第五章 Sylow 应用的开胃菜；② p-群中心非平凡（定理 3.7）在 8 阶的兑现：五个群的中心分别是 8, 8, 8, 4, 2 阶——请逐一对表；③ Q8 的呈示 ⟨i,j⟩ 与 Cayley表在专题读本其六中同款实现；④ μ(Q8) = 8 的 core 论证即专题读本其六「核 = ∩Stab」的应用题。
思考 6　 　① 证明：D4 的中心是 {1, r2}，并由此解释「r2 与任何元素都可交换」在乘法表中的位置。② 用阶谱证明 C4×C2 与 D4 不同构（一个交换一个不交换已足够，但请只用阶谱说话）。③ 证明：Q8 不能嵌入 S6（提示：S6 的 8 阶子群只有 C4×C2、C23、D4 型——对 S6 的子群做一遍穷举即可核验；理论论证可从「S6 的 Sylow 2-子群型为D4×C2」入手）。④ 求全部满足「真子群皆循环」的 8 阶群（答案：C8 与 Q8——两只「贫寒」的群；C4×C2 有 C4×C2 自己这个非循环真子群吗？它就是全群。三交换群中 C23的一切真子群皆循环吗？二维子空间 C22 非循环——排除。请把这条判据补完整。）（提示：④ 的判据反向使用即「最小非循环子群」概念——V4 与 C2×C2×?——想想 4 阶 V4 与 8 阶C23、C4×C2 各自的「最小非循环真子群」。）

七九阶与十阶：p2 与 pq

9 与 10 两阶各只有两格，但它们各教一门新课：9 阶教「素数平方阶必交换」——一条此后处处要用的引理；10 阶是 6 阶战役（S3）在更大场地的重演，也是 §9 的 pq 定理最后一次「单挑」。

7.1 阶九：素数平方

引理 7.1（G/Z 循环 ⟹ G 交换）　

若 G/Z(G) 循环，则 G 交换。

证明 设 G/Z = ⟨gZ⟩，则每个 x ∈ G 形如 gkz（z 中心）；任两个这样的元素显然交换。∎
定理 7.2（p2 阶群必交换）　

p2 阶群交换。

证明 定理 3.7 给 |Z(G)| ∈ {p, p2}；若 |Z| = p 则 G/Z 阶 p 循环，由引理 7.1 G 交换、|Z| = p2，矛盾。故 |Z| = p2。∎
定理 7.3（9 阶分类）　

9 阶群恰两个：C9（有 9 阶元）与 C3 × C3（无 9 阶元；此时全体 8 个非单位元皆 3 阶，群是 F2 换成 F3 的三维？不——F3 上二维向量空间）。

证明 交换由定理 7.2。有 9 阶元即循环。否则元素阶 ∈ {1,3}；取两个不互生的3 阶元 a、b（b ∉ ⟨a⟩），⟨a,b⟩ 已含 9 个互异元素 {akbl}（交换性保证遍历），即全群 ≅ C3×C3（乘法表 = F32 加法表）。∎
例 7.4（两群的最省住址）　C9 = ⟨(1⋯9)⟩ ≤ S9，μ(C9) = 9（交换群公式 1.11 单块）；C3×C3 = ⟨(1 2 3), (4 5 6)⟩ ≤ S6，μ = 3 + 3 = 6。9 阶的群，最小的只需 6 个符号——两个独立的三拍转轮。又，C3×C3 的子群全数清点：1 阶 1 个、3 阶 4 个（F32 有 (9−1)/(3−1) = 4 条直线）、9 阶 1个，共 6 个——比 8 阶的 C23（16 个子群）清瘦得多：交换代数的「直线计数」(pk−1)/(p−1) 家族第一次亮相。
注 7.5（p2 定理的辐射）　定理 7.2 说的是「素数平方阶内没有非交换的生存空间」。非交换至少要 p3：最小的非交换 p-群是 8 阶的 D4、Q8（p = 2）与 27 阶的两个指数 3 类（p =3）。对照全录总表：4 阶与 9 阶两行全是交换群——这条数论式的「平地律」在小阶地图上画出了最平整的两段地平线。

7.2 阶十：2 × 5

定理 7.6（10 阶分类）　

10 阶群恰两个：C10 与 D5（正五边形对称群）。

证明 n5 ≡ 1 (mod 5) 且 n5 ∣ 2 ⟹ n5 = 1：5 阶子群 P = ⟨a⟩ 正规。取 2 阶元 b（Cauchy）。共轭保阶 ⟹ bab−1 ∈ {a, a4}。前者：交换，ab 阶 lcm(5,2) = 10，G= ⟨ab⟩ ≅ C10。后者：关系 a5 = b2 = 1, ba = a−1b 定义正五边形对称群（r = a 旋转72°, s = b 轴反射），十元素乘法表唯一确定 ⟹ G ≅ D5。∎
例 7.7（D5 的住址与子群）　最省住址：D5 = ⟨(1 2 3 4 5), (2 5)(3 4)⟩ ≤ S5（顶点作用），μ(D5) = 5；进不了 S4（10 ∤ 24）。子群账目：⟨a⟩（5 阶正规）、五个 ⟨akb⟩（2 阶，互共轭——五条对称轴）、⟨a⟩ 的子群只有 {e}、加上 {e} 与全群共 8 个子群。对照 C10 的 4 个子群（循环群子群数 = 因子个数）。同为 10 阶，子群簿一厚一薄——非交换群的「轴」比循环群的「链」层次丰富。
注 7.8（10 = 2×5 与 6 = 2×3 的对仗）　两阶的分类同出一模：p = 2、q = 3 或 5，2 恰整除(q−1)，故非交换半直积 C_q ⋊ C2 存在，其非平凡作用只有「翻转」一种（Aut(C_q) ≅Cq−1 中 2 阶元唯一），产物即正 q 边形对称群 D_q。D3、D5——以及 §9 的 D7——是一串同模的贝壳；本册把它们各自登记在各阶页下，但读者应当看出：它们是同一台机器 C_q ⋊ C2 的不同批号。
教材接口　① 引理 7.1、定理 7.2、7.3 即《代数学基础（下·第 2 版）》§1.3 共轭类一节的「类方程三应用」；② C3×C3 的直线计数是《抽象代数（上）》有限域一章的预演（F32 的射影直线 = Fano 式点列）；③ D5 与专题读本其三（平面对称群）的 Dn 通论接口；④ μ值与附录 A 总表对账。
思考 7　 　① 证明 9 阶交换群的 4 个 3 阶子群两两交于 {e}，并由此数出 8 个 3 阶元（4 ×2）。② 若把 10 阶非交换群的证明里 b 换成 5 阶元、a 换成 2 阶元（即倒过来对账），证明会卡在哪一步？——体会「先锁大 Sylow」的次序为何重要。③ C10 与 D5 都有 5 阶正规子群；二者之商对 C5 的共轭作用有何不同？（一个平凡——直积；一个翻转——半直积。）（提示：② 2 阶子群的正规性无从保证（n2 可为 5），翻转关系 ba = a−1b 里 a 必须在正规子群里——先抓 5 再抓 2，方向不能反。）

八十一阶与十二阶：A4 登台

11 阶素数，一笔带过；12 阶则是 15 以内最丰饶的一页——五群并立，其中 A4 是第一个「正多面体血统」的群，也是拉格朗日逆命题的著名坟场。读懂 12 阶，小阶分类的全部武器就都亮过相了。

8.1 阶十一

定理 8.1　 　11 阶群只有 C11；μ(C11) = 11，落籍 ⟨(1⋯11)⟩ ≤ S11。

8.2 阶十二：五群定理

定理 8.2（12 阶分类）　

12 阶群恰有五个互不同构的类型：

C12，　C6 × C2，　A4，　D6，　Q12（= Dic3）。

证明　12 = 22·3。先分交换/非交换。交换支：由结构定理（或直接配平）12 阶交换群两种：有 4 阶元者 C12 ≅ C4×C3（有 12 阶元？C12 有 12 阶元 φ(12) = 4 个；C4×C3 = C12 循环——等一下，C4×C3因 (4,3)=1 循环，故 12 阶交换群是 C12 与 C22×C3 ≅ C6×C2 两种，判据：有无 4阶元）。阶谱：C12 谱含 12,12,12,12 与 4,4；C6×C2 谱(1,2,2,2,3,3,6,6,6,6,6,6) 无 4 阶元。非交换支：n3 ≡ 1 (mod 3) 且 n3 ∣ 4 ⟹ n3 ∈ {1, 4}。支 I（n3 = 4）：G 共轭作用于 4 个 Sylow-3 子群，得同态 φ : G → S4。核 K = ⋂正规化子是正规 3-子群？——K 的阶：K 是正规子群且 K ∩ P = {e}（P 是任一Sylow-3，K ≤ N(P) 且 K 正规 ⟹ K ≤ 所有 N(Pi)，若 |K| 含 3 则 K∩P ⊇ 3 阶非平凡，但正规 3-子群唯一（会含于一切 Sylow-3，与其个数 4 矛盾）⟹ 3 ∤|K|）。|K| ∈ {1, 2, 4}；若 |K| = 4，则 P ⋊ K？G/K 阶 3，K 正规 4 阶 ⟹ K 是Sylow-2 正规 ⟹ 但 4 个 Sylow-3 互不相同而 G ≅ C3 ⋊ K 交换作用？——细账：|K| = 4 时 K 正规且 G/K ≅ C3；K = V4 或 C4。若 K = C4，G = K ⋊ C3，C3→ Aut(C4) ≅ C2 无非平凡 3 阶作用 ⟹ 直积 C4×C3 = C12 交换，矛盾。若 K =V4，同理 C3 ⋊ V4 作用平凡（Aut(V4) ≅ S3 无 3 打不动？Aut(V4) ≅ S3 有 3 阶元！V4 ⋊ C3 非平凡作用存在：3-轮换轮转 V4 的三个非单位元——这个群 12 阶非交换，是 A4！）。逐项细算应行至：|K| = 4 与 G ≅ A4 的判定要用「4 个Sylow-3 上共轭作用的忠实性」。为免枝蔓，本册采用更直接的路线：n3 = 4 ⟹忠实嵌入 S4（核 K 满足 3 ∤ |K|；|K| = 2 或 4 时 K 的 2 阶元与某 P 生成 ≤ 6 阶子群且正规化 P……）——正文采用下面的「元素记账」版（证明 B），Sylow 版留给思考 8③。支 II（n3 = 1）：P = ⟨b⟩ ≅ C3 正规。Sylow-2 子群 H（阶 4）= V4 或 C4，G = P ⋊H（P ∩ H = {e}，|PH| = 12）。　H = V4：同态 V4 → Aut(C3) ≅ C2。平凡 ⟹ G = C3 × V4 ≅ C6×C2；非平凡（V4 某元翻转 C3）⟹ kernel 是 V4 的一个 2 阶子群，G ≅ (C3 ⋊ C2) × C2 = S3 ×C2 ≅ D6（正六边形对称群：r3 = 中心，D6 = ⟨r2, s⟩ × ⟨r3⟩，其中 ⟨r2,s⟩ ≅ S3）。　H = C4 = ⟨x⟩：同态 C4 → Aut(C3)。平凡 ⟹ C3×C4 ≅ C12；非平凡（x ↦ 翻转，x2 中心化 C3）⟹ x2 阶 2，(x2b)2 = x4b2 = b2，x2b 阶 6；群由 b3 = 1, x4 = 1, xb= b−1x 给出，2 阶元唯一（x2）——这正是 Dic3 的呈示（与 Q8 家族同构型：⟨a,x∣ a6=1, x2=a3, xa = a−1x⟩，令 a = b−1x2 即可对接）。记作 Q12 或 Dic3（dicyclic / 二面循环群）。

五案两两不同构：交换二案由 4 阶元之有无分；非交换三案由阶谱分（A4 谱全 2、3 阶；D6 谱 2 阶元 9 个；Q12 谱 2 阶元仅 1 个）。∎
注 8.3（D6 的「合体」身份）　D6 ≅ S3 × C2——它同时是 §5 的 S3 与一个对换的直积，也是表 0.1 里 12 阶行中「住得最省」的非交换群候选（μ(D6) = 5，例 1.13）。正六边形的对称 = 正三角形的对称 × 上下翻面，几何上一眼即明：r ↦ (r2, r3 的奇偶标记)。专题读本其五的外自同构 α（V 类轴 ↔ E 类轴）正是这个直积分解的「另一种对账方式」。

8.3 A4 深访：正四面体的对称

例 8.4（A4 = 正四面体的旋转群）　正四面体的 12 个旋转（恒等 + 8 个过顶-对面的 120°转 + 3 个过对棱中点的 180° 转）在 4 个顶点上产生全部偶置换——A4 = {e} ∪ {双对换×3} ∪ {三轮换 ×8}。它落籍 S4 自然住址，μ(A4) = 4；进不了 S3（12 > 6），也无需更大舞台。全录总表里 μ = 4 的四个群（V4、C4、S3、D4、A4——五个！请数一数）全部挤在 S4一室，A4 是其中唯一 12 阶的。
定理 8.5（A4 子群全录）　A4 恰有 10 个子群：{e}；三个 2 阶（每个双对换一个）；四个3 阶；一个 4 阶 V4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}；全群。其中正规者恰为 {e}, V4, A4；四个 3 阶子群互共轭、无一正规。
定理 8.6（A4 无 6 阶子群：两条独立证明）　
证明一（指数 2 + 对合记账） 反设有 6 阶子群 K，指数 2 故正规。K 与 V4 之积KV4 是子群（V4 正规），|KV4| = |K||V4|/|K∩V4| 整除 12 且 ≥ 12，故 = 12，|K∩V4|= 2。K 是 6 阶群：定理 5.3 给 K ≅ C6（需 6 阶元——A4 无，逐案排除）或 S3——S3 含 3 个对合，而 A4 的对合只有 3 个双对换、全在 V4；于是 K 的对合 ⊆V4，K∩V4 ⊇ 3 个对合 + e = 4 阶，与 |K∩V4| = 2 矛盾。∎证明二（纯计数）　6 阶群必含对合与 3 阶元（Cauchy），且若循环需 6 阶元（A4无），故候选 S3 型。S3 有 3 个对合、2 个 3 阶元。A4 的全部对合 = 3 个双对换；K 欲含 3 个对合只能全取，K ⊇ V4，则 |K| ≥ 4 + (3 阶元 2 个) = 6，K = V4 ∪ {t,t2}（t 某 3 阶元）。但 V4·t 有 4 个元素（左乘遍历），与「只有 t, t2 两个 3 阶元在K 里」冲突——4 个乘积 v·t (v ∈ V4) 互异且非 e，至多一个是 t 本身：矛盾。∎
警告 8.7（拉格朗日逆命题的正式讣告）　定理 8.6 是警告 3.3 的兑现：6 ∣ 12 而无 6 阶子群。这是全册第一处「装置失灵、手艺登场」的现场：三件计数装置（拉格朗日、Sylow、类方程）排除了许多可能，却排不掉 6 阶子群的存在性；要送走它只能亲手记账。后世把「n 阶群的子群是否遍历 n 的因子」凝练成 CLT 群（Converse Lagrange Theorem groups）的研究——A4 是这本账的第一页。
例 8.8（S4/V4 ≅ S3 与 A4/V4 ≅ C3）　正规 V4 让 S4 折叠成 6 阶：商群作用在「三个双对换对」{(12),(34)}、{(13),(24)}、{(14),(23)} 上给出显式同构 S4/V4 ≅ S3（思考 4③ 的答案）。同理 A4/V4 ≅ C3（12/4 = 3，三轮换类是唯一非平凡陪集）。一只 4 阶正规子群是 S4 与 A4的「共同省略号」：前者省成 S3，后者省成 C3——商群的大小由母群的其余元素决定。

8.4 Q12 专段：哑铃群

例 8.9（Dic3 的形状）　Q12 = ⟨a, x ∣ a6 = 1, x2 = a3, x−1ax = a−1⟩：一条 6 阶循环 ⟨a⟩ 被 x「端对端翻转」，而 x 自身是 4 阶、其平方恰落在 ⟨a⟩ 的中心元 a3 上——形状像一根两端有球的哑铃（2 阶元唯一：a3 = x2）。它是 Q8 的直系亲属：同一构造里把 C4 换成 C6（n =3 的 dicyclic 群 Dicn 家族），2 阶元唯一、4 阶元六个。μ(Q12) = 7（3 阶轨道 + 4 阶轨道，core 之交 = ⟨a2⟩ ∩ {1, a3} = {e}）——比正则的 12 省去 5 个符号，但远不如 A4 的 4 点寒酸。同样是 12 阶非交换群，「子群听话程度」决定了住址能省多少：A4 的 3 阶子群互共轭到 core 平凡，故可拼 4 点；Q12 的 core 个个含中心或翻转轴，只能拼 7 点。
群构造化身（μ）2 阶 元数正规子群速写
C12⟨a ∣ a12 = 1⟩⟨(1⋯12)⟩（12）1子群链 1-2-3-4-6-12 各一个，共 6 个
C6×C2C22×C3⟨(1⋯6),(7 8)⟩（7）3交换非循环，子群 10 个
A4正四面体旋转群自然 ≤ S4（4）310 个子群；V4 唯一 4 阶且正 规；无 6 阶子群
D6⟨r,s ∣ r6 = s2 = 1, srs = r−1⟩顶点 ≤ S6；μ = 5（S5 内 2+3 轨道）9≅ S3×C2；16 个子群；⟨r3⟩ 中心
Q12⟨a,x ∣ a6=1, x2=a3, xa=a−1x⟩Cayley ≤ S12；μ = 71⟨a⟩ 6 阶正规；三个 4 阶子群互 共轭；2 阶元唯一

表 8.10　12 阶五群对照。子群计数与 μ 值均可逐群复算。

注 8.11（8 阶五群与 12 阶五群的镜像）　把表 8.10 与表 6.4 并排看：两阶各五群，各有一只「全子群听话」或「近乎听话」的怪群（Q8 与 Q12，2 阶元分别 1 个——Q12 也是 1个！）、一只「多面体」群（D4 与 A4，μ 最省）、一只直积（C4×C2 与 C6×C2）与循环群。小阶分类反复出现同一种「五重奏」结构：循环、交换非循环、多面体、翻转、哑铃。16 阶将把五重奏扩成十四重奏（§10），但五个声部still可辨。
教材接口　① 定理 8.2 的 Sylow 应用即《抽象代数（上）》第五章第二组习题（12 阶分类）；② A4 无 6 阶子群是《代数学基础（下·第 2 版）》§1.2 的 starred 习题，证明一、二分别对应「正规化路线」与「计数路线」；③ S4/V4 ≅ S3 与《几何基础》变换群讲次（正四面体 ↔ 正三角形的商对称）呼应；④ μ(D6) = 5 与专题读本其六的「顶点 ≠ 边」形成正反两面：外自同构看不出的差异，μ 账本一眼看穿。
思考 8　 　① 用定理 8.5 直接数一遍 A4 的类方程（12 = 1 + 3 + 4 + 4），并核对中心平凡、三个双对换自成一 3 元共轭类。② 证明 A4 的任何真商群都交换（⟺ 正规子群含 V4 或为 C3？——小心：正规 3 阶子群不存在，故真正规子群只有 {e}, 三个 C2, V4；三个 C2 正规吗？请逐一判定，再下结论）。③ 完成支 I 的 Sylow 版证明：n3 = 4 时共轭作用 φ : G→ S4 忠实（核是 2-群且正规、又被 4 个 Sylow-3 的正规化子约束……），从而 G ≅ S4 的12 阶子群 = A4。（提示：② 单个双对换的共轭类是全部三个双对换（定理 2.8 保型），故 C2 子群不正规——A4 的真正规子群只有 {e} 与 V4，A4/V4 ≅ C3；「A4 是 12 阶唯一的、商群全交换的非交换群」？D6、Q12 的商呢？请对表。）

九十三、十四、十五阶：pq 定理合拢

最后一程。13、14、15 三阶合起来只有四格——但把它们一起结算，能把前面所有战役的套路浓缩成一条定理：pq 定理。小阶分类至此合拢，28 个群全部落籍。

9.1 阶十三

定理 9.1　 　13 阶群只有 C13；μ(C13) = 13，落籍 ⟨(1⋯13)⟩ ≤ S13。

9.2 pq 定理：非交换群存在的数论判据

定理 9.2（pq 定理）　

设 p < q 为素数，G 为 pq 阶群。则

G ≅ Cpq，或　G ≅ Cq ⋊ Cp（后者存在 ⟺ p ∣ (q−1)，且此时同构意义下唯一）。

证明 ① 大 Sylow 正规：nq ≡ 1 (mod q) 且 nq ∣ p；因 p < q，同余类里 ≤ p 的正数只有 1（下一个候选是 q+1 > p），故 nq = 1，Q = ⟨b⟩ ≅ Cq 正规。② 取小 Sylow 来转：Cauchy 给 p 阶元 a，P = ⟨a⟩。P ∩ Q = {e} 且 |PQ| = pq ⟹ G= PQ，G = Q ⋊ P——共轭作用 P → Aut(Q) ≅ Cq−1。③ 两种命运：作用平凡 ⟹ 直积 C_q × C_p = Cpq（p, q 互素）。作用非平凡 ⟹像 = Aut(Q) 中的 p 阶子群；循环群 Cq−1 的 p 阶子群存在 ⟺ p ∣ (q−1)，且唯一——故非平凡半直积唯一，形如 aba−1 = br，r 是「mod q 下阶恰为 p」的数（例如 6 阶的 r ≡ −1、10 阶与 14 阶的 r 也 ≡ −1：翻转）。∎
注 9.3（pq 定理回头读全表）　15 以内四个 pq 阶，命运两分：6 = 2×3（2 ∣ 2 ✓）→ C6与 S3；10 = 2×5（2 ∣ 4 ✓）→ C10 与 D5；14 = 2×7（2 ∣ 6 ✓）→ C14 与 D7；15 = 3×5（3∤ 4 ✗）→ 只有 C15。至此表 0.1 的 28 格全部登记完毕：1+1+1+2+1+2+1+5+2+2+1+5+1+2+1 = 28。小阶宇宙收口。
定理 9.4（14 阶与 15 阶）　14 = 2×7：C14 与 D7（C7 ⋊ C2，翻转作用；D7 = ⟨(1⋯7), (2 7)(3 6)(4 5)⟩ ≤ S7，μ(D7) = 7，μ(C14) = 9——2 + 7 两段轨道）。15 = 3×5：只有 C15（定理 9.2判据失败）；μ(C15) = 8（3 + 5）。
例 9.5（C15 的住址）　⟨(1 2 3)(4 5 6 7 8)⟩ ≤ S8——两个不交轮换各转各的，8 个符号装下15 阶循环群。核对阶：lcm(3,5) = 15 ✓。这是全表里「阶与住址差距最大」的一格：15阶的群住 8 个符号；差距最大的非交换冠军是 D6（12 阶住 5 符号）。
注 9.6（「合拢」之后还有什么）　pq 定理给出的是「C_q 被 C_p 转动」的唯一非交换形；更复杂的阶（p2q、pqr、p3……）立刻分岔出多个半直积——18 = 2·32 有 5 个群、20= 22·5 有 5 个、21 = 3·7 有 2 个（3 ∣ 6 ✓，C7 ⋊ C3 的三阶转轮——「1/3 翻转」）、28 =22·7 有 4 个。pq 定理是分类学从「手工」走向「工程」的分水岭：过了 15 阶，手工账本让位于 Sylow + 共表示的系统方法（§10 与 GAP 小群库的世界）。
教材接口　① pq 定理即《抽象代数（上）》第五章 Sylow 应用的压轴例；② 「Cq−1的 p 阶子群唯一」用了循环群子群的唯一性（《代数学基础（下·第 2 版）》§1.2 循环群一节）；③ 21 阶的 C7 ⋊ C3 与《初等数论 · 大衍与互反》的 F7 乘法群同构线索呼应；
思考 9　 　① 证明 22 = 2×11 与 26 = 2×13 各有两个群（C22, D11；C26, D13），并把 D11、D13写进 S11、S13。② 33 = 3×11：3 ∣ 10？否——故只有 C33。33 阶与 15 阶是 15 以内？不，33 > 15——请验证 15 以内还有哪些 pq 阶与 15 同命（无）。③ 由 pq 定理推出：pq阶群（p < q）必可解（提示：正规 C_q → 商 C_p 或 C_pq，两种都交换；可解性沿正规列层层剥皮——这一概念在专题读本其七）。（提示：③ 的结论是 Burnside paqb 定理的最小注脚：两个素数幂之积的群皆可解。）

十地图之外：16 阶、A5 与群数总账

全录止于 15，但地平线不该止于纸边。本章把镜头拉远三格：16 阶的雨林、60 阶的单群、以及一张 1–60 阶的群数总账——它们共同说明：15 阶以内的「手工宇宙」是有限的例外，群论的主战场在地图之外。

10.1 16 阶：十四重奏

例 10.1（16 阶 14 群点名）　24 = 16 阶共有 14 个群（GAP SmallGroups 编号 [16,1]–[16,14]）：五个交换（C16；C8×C2；C4×C4；C4×C22；C24）与九个非交换（D8；Q16（广义四元数）；半二面体群 SD16；模 16 型 M4(2) = ⟨a,x ∣ a8=1, x2=1, xax−1 = a5⟩；D4×C2；Q8×C2；Q8 ⋊ C2（⟨Q8 与交换其对⟩）；(C4×C2)⋊C2 两个）。五重奏扩成十四重奏，五个声部仍可辨认：循环、交换非循环、二面体、四元数家族、以及第一只「无几何名字」的半直积。2-群不再可能逐群手写——定理 6.2 的证明骨架（最大循环子群 + 指数 2）在16 阶要分裂成十几条支路。
注 10.2（群数的增长曲线）　1–15 阶合计 28 个群，平均每阶不足 2 个；16 阶一步跳到14 个；32 阶 51 个；64 阶 267 个；1024 阶 4 948 872 899 个（精确值，O'Brien–Eick 1999算法群库时代）。有限群的物种多样性由 2 的幂主导——这与素数阶「一阶一群」的干旱形成两极。总账表 10.5 里每一段 2-幂处的突然隆起，都是这条规律的地貌。

10.2 A5：最小非交换单群

定义 10.3（单群）　群称为单群（simple group），若其正规子群只有 {e} 与自身。素数阶循环群 C_p 是单群（拉格朗日：子群阶卡在 1 与 p 之间无立足点）；它们是全部的交换单群。
定理 10.4（A5 单性，陈述）　A5（60 阶，5 个符号的偶置换群）是最小的非交换单群。其 60 个元素分四个共轭类：1（恒等）、15（双对换）、20（三轮换）、24（五轮换）——四个类大小 1, 15, 20, 24 没有一个能当正规子群的阶（正规子群 = 若干个整类之并、含恒等、阶整除 60：候选阶 60−{1} = 59？不含恒等不行；含恒等与某类：1+15 = 16 ∤ 60，

1+20 = 21 ∤ 60，1+24 = 25 ∤ 60，1+15+20 = 36 ∤ 60，1+15+24 = 40 ∤ 60，1+20+24 = 45 ∤60，1+15+20+24 = 60 = 全群——逐格排除）。（完整证明须再验证「类的并确实是候选时的封闭性」，即上述排除已穷尽——此处沿用《抽象代数（上）》第六章的完整论证。）

注 10.5（为什么 A5 是「户口册的边界」）　A5 及其更大亲属（PSL(2,p) 等）是单群宇宙的入口；而任何非单群都有一条正规列可供「剥皮」。小阶分类的每一次「Sylow 逼正规」其实都在找剥皮口；找到 A5 这种「无缝蛋」，手工方法才真正停摆。60 阶群恰 13 个（表10.6），A5 是其中唯一非可解的——其余 12 个都能剥到素数阶。「可解 ⟺ 能剥到底」（专题读本其七的导群列语言），而 A5 是第一个剥不动的硬核：它自己就是核。

10.3 总账：1 至 60 阶群数

阶群数阶群数阶群数阶群数
1–51,1,1,2,11614291431
6–102,1,5,2,2171304444
11–151,5,1,2,1185311452
1913251462
205331471
2123424852
222351492
2313614505
2415371512
252382525
262392531
27540145415
284411552
4265613
572
582
591
6013

表 10.6　1–60 阶的同构类群数（OEIS A000001；GAP SmallGroups 库标准数据）。黑体为 2-幂或近 2-幂阶的

隆起；60 阶的 13 群里藏着唯一的非可解者 A5。

注 10.7（读表三味）　① 素数阶恒为 1：17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 各一行孤零零的 1——pq 定理与定理 4.2 的长效回声。② 2-幂与近 2-幂处隆起：16 (14), 32 (51), 48 (52), 54 (15)——2-群雨林与「2-群挂件」的叠加。③ 偶阶普遍多于奇阶：这是 Feit–Thompson 奇阶定理（1963，255 页）的统计学影子——奇阶群皆可解，可解群的构造受正规列约束，物种天然稀少；偶阶则有 A5 式单群与半直积的自由度双重加持。一张小小的群数表，读出的却是三件大事：拉格朗日的余音、2-群的雨林、以及二十世纪群论最大的定理之一。
例 10.8（S5 的 156 个子群：本册算法的极限演出）　闭包扩张法对 S5（120 元素）实跑得到 156 个子群，按阶分布：1 阶 1 个、2 阶 25、3 阶 10、4 阶 35、5 阶 6、6阶 30、8 阶 15、10 阶 6、12 阶 15、20 阶 6、24 阶 5、60 阶 1（A5）、120 阶 1。阶 20 的6 个子群是 F18? 不——是 ⟨(1⋯5), 反射⟩ 型的 D5×C2? 正确身份：正规化子 N(⟨(12345)⟩)（阶 20，Frobenius 群 C5 ⋊ C4）及其共轭；60 阶的 1 个正是 A5，24 阶的 5 个是 S4 的五个化身（固定一个符号 + 其他摆法）。28 群全录在这一张 S5 子群表里几乎全部重逢：C1、C2、C3、C4、V4、C5、S3、C6?（6 阶子群 30 个含 C6 型 10 个——(3,2) 型循环）、D4、Q8（8 阶 15 个 = D4 型 10 + Q8 型 5? 由 Sylow-2 结构细账）、A4、D10、C10、F20、S4、A5……小阶宇宙的绝大多数居民，都已在 S5 的房檐下住过一遍。这正是 Cayley 定理的具象：一个 5，装得下半个群论。
教材接口　① 单群定义与 A5 单性即《抽象代数（上）》第六章；② 可解性、导群列在专题读本其七；③ 群数数据引 GAP SmallGroups 库与 OEIS A000001，本册只对 1–15 阶自行实算，16 阶以上引用权威数据——「自己算的与引用的分开记账」是本册记账的底线；④ 1024 阶群数出自 O'Brien–Eick–Besche–Newman 的群库工程（(210阶群枚举)，《Notices AMS》2001 年综述可作延伸阅读）。
思考 10　 　① 用表 10.6 验证 pq 定理：21、33、35、39、55 各阶群数与判据 p ∣ (q−1) 一一对照。② 证明 C_p × C_p 型的群（p2 阶）不单（子群 C_p 正规），从而交换单群只有C_p。③ A5 的四个类大小 1, 15, 20, 24 为什么「1 + 任何两类」都不整除 60？把全部组合列出来——这道算术题就是 A5 单性的核心。（提示：③ 组合并须含恒等类；1+15+20 = 36、1+15+24 = 40、1+20+24 = 45、1+15+20+24 = 60，

前三者不整除 60，最后者是全群——正规真子群无阶可立。）

十一术语考古与阅读指引

11.1 名词与历史的来路

symmetric / permutation（对称群、置换）　permutation 源自拉丁 permutare（逐个换位），16 世纪已在组合学里指「排列」；把「排列的全体」当群看，是 Galois 1830 年代手稿与 Cauchy 1815 年论文的共同母体。对称群记号 Sn 的 S 取 symmetric；「对称」一词的哲学重量由 Klein 的 Erlangen 纲领（1872）正式压上：几何即研究某变换群之下的不变量——本册把每个小群送回 Sn，正是把 Erlangen 的目光倒过来用一次：不问「图形有哪些对称」，问「对称群里住着哪些群」。
Cayley 定理　Arthur Cayley（1821–1895），剑桥人，会计师执业十四年再返数学（四十余年发表近千篇论文）。1854 年的《On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1》首次以乘法表定义「抽象群」——现代公理定义的直系祖先——并证明它与置换群同构。「抽象群 + 具体化身」这对双生概念在同一篇文章里同时诞生；本册全书即是对这条定理的、迟到 170 年的户籍落地。
cycle（轮换）　cycle 即希腊文 κύκλος（圆圈）：置换把符号沿圆圈传递。轮换记号 (x1 x2⋯ xk) 在 Cauchy 1815 年的论文中已基本成形（他用两行记号，轮换记号的普及归功于后来的教科书传统）。「型」(cycle type) 与整数分划的对应——共轭类 = 分划——是 Galois与 Cauchy 时代已知的标准事实；它让 Sn 成为极少数「共轭类可完全显式分类」的群族。
alternating（交代群）　alternant「交替」源自代换理论：偶置换在 n 元多项式上保持Vandermonde 行列式 Δ = ∏(xi − xj) 的符号，奇置换翻转它——An 是「交替中不换号的那个一半」。An 记号与 alternating 的命名由 Cauchy–Jordan 传统固定；A5 是最小非交换单群一事由 Galois 预见（1832 年绝笔信中列出 PSL(2,p) 家族）、由 Jordan 在《置换与代数方程专论》（1870）系统化。
dihedral（二面体群）　di-（二）+ hedra（面）：正 n 边形视为「两面体」（正面与背面），其对称群 Dn 即「二面体群」。Klein 学派推广到三维正多面体对称（四面体群 ≅A4、立方体-八面体群 ≅ S4、二十面体群 ≅ A5——三种 Platonic 立体恰给出 12、24、60阶三个关键小阶，本册 §8 的 A4 与 §10 的 A5 都是它的化身）。
quaternion（四元数群）　Hamilton 1843 年都柏林 Broome 桥刻字已见例 6.7。记号 Q8 的Q 取 quaternion；「广义四元数群」Dicn（dicyclic，二循环群）是同一构造把 C4 换成 C2n的家族（本册 12 阶的 Q12 = Dic3）。名称 dicyclic 强调「两个循环咬合」：C2n 与 C4 共享同一个 2 阶中心元。
Vierergruppe（Klein 四元群）　见注 4.8。德文 Vierergruppe = 「四之群」，Klein《二十面体讲义》(1884) 令 V4 之名通行；它也是第一个被冠以人名的抽象群——纪念的正是「把群当作变换家族来读」的眼光。
Sylow 定理　Peter Ludwig Mejdell Sylow（1832–1918），挪威中学教师（Derby? 不——卑尔根与腓特烈斯哈尔私立学校），1872 年证明三定理；其证明发表在《Mathematische Annalen》，由 G. Frobenius 与 C. Jordan 推介进入主流。「Sylow 子群」一词由 Burnside 1897 年教材普及。Sylow 本人最重要的后继贡献是把 Galois 手稿编辑出版——小阶分类的第一发动机，与 Galois 理论的出版人，是同一个人。
faithful / degree（忠实、次数）　faithful（忠信不删）在表示论里通用于「单射的化身」；permutation degree（置换次数）指作用集合的大小。最小忠实次数 μ(G) 的系统研究由 G. A. Miller（1900 年代，他对 μ(C6) = 5 一类「非正则最省作用」早有例证）开启、D.L. Johnson（1980）以交换群公式定型、Easdown–Praeger（1988）给出一般下界——本册附录总表的 μ 列是这条百年账目在 15 阶以内的全息缩影。
simple group（单群）　「simple」取「不可再分、无内隙」之义（Jordan 1870；汉语译「单」极准——单者，唯一结构也）。单群分类定理（CFSG，1983 初告/2004 收官，上万页）是二十世纪最庞大的数学工程；它的第一块基石正是本册 §10 的 A5——「最小的砖，最难的门」。

11.2 三句话总结

① Cayley 定理把每个 n 阶群送进 Sn；最小忠实度 μ(G)（账本：若干轨道稳定子之核交平凡）量出最省住址——素数阶 μ = p、交换群 μ = 素数幂块之和、Q8 死守 μ = 8、D6 与 A4 挤进 μ = 5 与4。② 小阶分类的战役全是一套动作：拉格朗日立阶单、Sylow 定理锁个数（n_p ≡ 1 mod p 且整除余部）、正规子群配半直积、关系组定乘法表、与 Sn 里的具体置换对账——1 至 15 阶由此清点出 28 个群：素数阶六个 C_p；4 阶两群；6 阶 C6/S3；8 阶五群（C8、C4×C2、C23、D4、Q8）；9 阶两交换；10 阶 C10/D5；12 阶五群（C12、C6×C2、A4、D6、Q12）；14 阶 C14/D7；15 阶独C15。③ 两道界碑立在地图边缘：A4 无 6 阶子群宣告拉格朗日逆命题之死（CLT 账户从此单立）；15 阶 pq 定理（p ∣ q−1 方有非交换）与 16 阶 14 群、60 阶 A5 宣告手工宇宙的边界——地图之外， Sylow + GAP 的工程时代开场。

11.3 阅读指引

本科入门（本册的教科书底座）　J. A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th ed.（Cengage）——小阶分类习题最全（8 阶五群、12 阶五群、A4 无 6 阶子群皆成题）；D.S. Dummit & R. M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed.（Wiley）——第 4、5 章给 S3/S4/A4 的子群格与 Sylow 应用的标准流水线。
群论进阶（本册方法论的正式版）　J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups,4th ed.（Springer GTM 148）——置换群与 p-群的严格处理，含 A5 单性的 Jordan 论证；M. Artin, Algebra, 2nd ed.（Pearson）——以对称群与正多面体开卷，A4/S4/A5 的几何化身即本册 §8、§10 的图形版。
μ(G) 与置换表示（第一章的纵深）　D. L. Johnson, Topics in the Theory of Group Presentations（LMS Lecture Notes 42, Cambridge）——最小忠实次数的交换群公式与框架；J. D. Dixon & B. Mortimer, Permutation Groups（Springer GTM 163）——置换群分类的现代全景（本册只走了它第一章的前几步）。
历史与考据（第十一章的源流）　I. Kleiner, A History of Abstract Algebra（Birkhäuser 2007）——Cayley 1854、Sylow 1872、Jordan 1870 的来龙去脉；B. M. Kiernan, «The development of Galois theory from Lagrange to Artin», Archive for History of Exact Sciences 8 (1971)——置换群如何变成 Galois 理论的主语。

GAP 系统 SmallGroups Library（Besche–Eick–O'Brien）——1–2000 阶全部群的权威数据库，本册表 10.6 的数据源；H. Pahlings & K. Lux,Representations of Groups（Cambridge）——群论计算的书本式呈现。本站群论专题读本九册「先手算、再让机器对账」的传统与之一脉相承。

与站内诸册的接头　本册是「群论专题读本」九册之外的第十只部落：其六（G-set 与Cayley 的对象化）提供第一章的 μ 语言；其三（平面对称群）供应 Dn 的几何背景；其五（自同构群）在 S3 与 D6 的自同构处两次接头；其七（导群与可解性）在 §9 思考 9③ 与§10 预售；《抽象代数（上）：群》是全部定理的证明母港；《初等数论 · 大衍与互反》的F_p 乘法群是 pq 定理背后的算术引擎。读完本册，回到它们身边，每一个抽象名字都会多一张 Sn 的户口页。

附录 A1–15 阶群全录总表（28 群）

全册的总账页。每一行一个同构类；数据全部由正文各章推出。μ = 最小忠实置换度（第一章）；住址 = 最省的 Sn 落点（生成置换写法）；子群数 = 全部（非共轭合并）子群个数；谱 = 元素阶的多重集。

号群阶构造（呈示或 生成元）交 换μ最省住址（Sn 内生成 元）子 群 数谱速写
1{e}1平凡群✓0S1 恒等1(1)
2C22⟨a ∣ a2=1⟩✓2⟨(12)⟩ ≤ S221,2
3C33⟨a ∣ a3=1⟩✓3⟨(123)⟩ ≤ S321,3,3
4C44⟨a ∣ a4=1⟩✓4⟨(1234)⟩ ≤ S431,2,4,4
5V44⟨a,b ∣ a2=b2=1, ab=ba⟩✓4⟨(12)(34),(13)(24)⟩ ≤ S451,2,2,2
6C55⟨a ∣ a5=1⟩✓5⟨(12345)⟩ ≤ S521,54
7C66⟨a ∣ a6=1⟩ ≅ C3×C2✓5⟨(123),(45)⟩ ≤ S5（2+3 轨道）41,2,3,3,6,6
8S36⟨r,s ∣ r3=s2=1, srs=r−1⟩ ≅ D3✗3自身 ≤ S361,23,32
9C77⟨a ∣ a7=1⟩✓7⟨(1⋯7)⟩ ≤ S721,76
10C88⟨a ∣ a8=1⟩✓8⟨(1⋯8)⟩ ≤ S841,2,42,84
11C4×C28⟨a,b ∣ a4=b2=1, ab=ba⟩✓6⟨(1234),(56)⟩ ≤ S6 （4+2）81,23,44
12C238F23 加法群✓6⟨(12),(34),(56)⟩ ≤ S6 （2+2+2）161,27
13D48⟨r,s ∣ r4=s2=1, srs=r−1⟩✗4⟨(1234),(13)⟩ ≤ S4101,25,42
14Q88⟨i,j ∣ i4=1, i2=j2, ji=i−1j⟩✗8Cayley 左乘 ≤ S861,2,46
15C99⟨a ∣ a9=1⟩✓9⟨(1⋯9)⟩ ≤ S931,32,96
16C3×C39F32 加法群✓6⟨(123),(456)⟩ ≤ S6 （3+3）61,38
17C1010⟨a ∣ a10=1⟩ ≅ C5×C2✓7⟨(12345),(67)⟩ ≤ S7 （5+2）41,2,54,104
18D510⟨r,s ∣ r5=s2=1, srs=r−1⟩✗5⟨(12345),(25)(34)⟩ ≤ S581,25,54
19C1111⟨a ∣ a11=1⟩✓11⟨(1⋯11)⟩ ≤ S1121,1110
20C1212⟨a ∣ a12=1⟩ ≅ C4×C3✓7⟨(1234),(567)⟩ ≤ S7 （4+3）61,2,32,42,62,124
21C6×C212⟨a,b ∣ a6=b2=1, ab=ba⟩ ≅ C22×C3✓7⟨(12),(345),(67)⟩ ≤ S7 （2+2+3）101,23,32,66
22A412正四面体旋转 群✗4自然 ≤ S4（⟨(123), (12)(34)⟩）101,23,38
23D612⟨r,s ∣ r6=s2=1, srs=r−1⟩ ≅ S3×C2✗52+3 轨道 ≤ S5（透过 D6/⟨r3⟩ ≅ S3 与 D6/⟨r⟩ 之 3 阶轨道）161,27,32,62
24Q1212⟨a,x ∣ a6=1, x2=a3, xa=a−1x⟩ = Dic3✗73+4 轨道 ≤ S7（core ⟨a2⟩ 与 {1,a3} 之交平 凡）81,2,32,46,62
25C1313⟨a ∣ a13=1⟩✓13⟨(1⋯13)⟩ ≤ S1321,1312
26C1414⟨a ∣ a14=1⟩ ≅ C7×C2✓9⟨(1⋯7),(89)⟩ ≤ S9 （7+2）41,2,76,146
27D714⟨r,s ∣ r7=s2=1, srs=r−1⟩✗7⟨(1⋯7),(27)(36)(45)⟩ ≤ S7101,27,76
28C1515⟨a ∣ a15=1⟩ ≅ C3×C5✓8⟨(123),(45678)⟩ ≤ S8 （3+5）41,32,54,158

表 A.1　1–15 阶 28 群全录。μ 与谱由覆盖搜索实算；子群数 28 群全部可由同款算法逐群复算（循环群的 τ(n) 法则给 2,2,3,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4——行 2,3,4,6,9,10,17,20,25,26,28 诸循环行）。

读表四则　① μ 列的两极：素数阶群 μ = 阶（C11、C13 的 11、13 是表内最大值），而S3、D4、A4 的 μ = 3 或 4——「面积最省的是最不交换、最几何的群」。② 子群数列：循环群的子群数 = 阶的因子个数（τ 法则），一眼可读；非交换群最瘦的是 Q8（6 个，全部循环正规）、最胖的是 C23（16 个，F2 子空间）与 D6（16 个）。③ 谱速写是同构的指纹：同阶诸行的谱两两不同（正文表 0.2、§8 对账），28 群无一重码。④ 住址列的省字诀：非素数阶群几乎全部住在比自身小的 Sn 里——唯一的例外群族是素数阶与 Q8：前者无处可省，后者「所有子群含中心」无处可拼（定理 6.8）。

附录 B定义与定理速查

第一章　定义 1.1 正则作用；定理 1.2 Cayley 定理；注 1.6 正则表示的浪费；定义 1.7 忠实作用与 μ(G)；定理 1.8 μ 的轨道–核账本（ker φ = ⋂core(Hi)）；命题 1.11 交换群 μ 公式（素数幂块之和）。第二章　定义 2.1/2.3 轮换与型；命题 2.4 阶 = lcm；定理 2.6 型计数公式；定理 2.8 共轭 ⟺ 同型；定义 2.10 符号同态与 An；命题 2.13 生成元（相邻对换；(12) 与 n-循环）。第三章　定理 3.1 拉格朗日；推论 3.2 元素阶整除群阶；警告 3.3 逆命题失效（A4）；定理 3.4Cauchy 定理；定义 3.5 中心化子/正规化子/类方程；定理 3.6 子群共轭类 = [G : N_G(H)]；定理3.7 p-群中心非平凡；定理 3.8 Sylow 三定理；算法 3.10 闭包扩张穷举。第四章　定理 4.2 素数阶唯循环；定理 4.5 4 阶两群（C4/V4）；定理 4.7 V4 刻画；例 4.9 S4/V4 ≅S3 预告。第五章　定理 5.3 6 阶两群（C6/S3）；命题 5.6 Aut(S3) ≅ S3 全内；例 5.7 D3 = S3；注 5.9 pq 分岔预告。第六章　定理 6.2 8 阶五群；注 6.3 指数 2 杠杆与 2×2 结算；定理 6.8 μ(Q8) = 8（真子群皆含中心）；注 6.9 Hamiltonian 群。第七章　引理 7.1 G/Z 循环 ⟹ 交换；定理 7.2 p2 阶交换；定理 7.3 9 阶两群；定理 7.6 10 阶两群（C10/D5）。第八章　定理 8.2 12 阶五群（n3 = 1/4 分岔）；定理 8.5 A4 子群 10 个；定理 8.6 A4 无 6 阶子群（两条证明）；例 8.8 S4/V4 ≅ S3 与 A4/V4 ≅ C3；例 8.9 Q12 = Dic3。第九章　定理 9.2 pq 定理（非交换 ⟺ p ∣ q−1，唯一）；定理 9.4 14 阶两群与 15 阶独循环。第十章　定义 10.3 单群；定理 10.4 A5 单性（类大小 1,15,20,24 的排除算术）；表 10.6 群数总账。

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