数列·导数·解析几何

本书怎么读：一章二十五页

全书按「章」前进，每章恰好二十五页。理论章的节奏是：第 1 页溯源（这个概念在人类文明里是怎么长出来的）、第 2–9 页讲义（定义、定理与法则，一条一条立起来）、第 10–13 页研讨（四个思辨问题，像小型读书会）、第 14–17 页例题（例 1–例 4，带完整解答）、第 18 页思想卡（一页只说一个数学思想）、第 19–22 页研究（四页研究任务单：建模、探究、写作、答辩）、第 23–25 页挑战·复盘·迁移。游戏与实践册的节奏是：导入→操作×4→专题×5→研讨×4→项目×5→思想卡→深读×3→复盘→展示。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12；绝对值写成 |−3| ＝ 3；未知数用字母 x，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；不等号 ＞ ＜ ≥ ≤ ≠ 各就各位；平方根写作 √2，平方与立方用小肩数字 x²、a³；点坐标写作 (2, −1)；函数写作 y ＝ 2x − 1；圆周率 π ≈ 3.14。中括号写成 ［　］，比例号 ∶。

导入：垛积与招差：中国古算的数列高峰

北宋元丰年间，沈括在《梦溪笔谈》里记下一件难看的活儿：酒坛一层层堆成一座梯形方垛，顶层横 a 只、纵 b 只，底层横 c 只、纵 d 只，共 n 层。一共多少只坛？逐层去数太笨，沈括要一个公式。

他给出了「隙积术」：总数 N ＝ n6［(2b ＋ d)a ＋ (b ＋ 2d)c ＋ (c − a)］。这是世界上第一次有人把「有限多项求和」当作一个可公式化的对象——比欧洲的同类工作早了六百多年。垛积术的别名很朴素：堆东西的艺术。

两百年后，元代的朱世杰在《四元玉鉴》里把这件事推到高峰。「招差术」——用逐阶差分的办法逼近一个数列的通项与和，本质上就是有限差分法。三角垛 1, 3, 6, 10, 15, … 求和为 n(n ＋ 1)(n ＋ 2)6，四角垛、撒星形……他的公式表读起来像一部数列求和手册。

为什么要先讲这些？因为数列这门学问的现代面孔（通项公式、递推关系、求和技巧）背后，是个极古老的问题：如何从「一项一项」走到「一句话说尽」。这一章我们重走这条路：先学会看递推，再学会求通项，最后学会把「无穷多步」压缩成一个有限的表达式。

《九章算术》「均输」章、杨辉《详解九章算法》的垛积题、朱世杰的招差术——数列在中国古算里从不抽象，它总是堆着的粮、坛、兵。

递推数列求通项：累加累乘

最朴素的递推是「差为已知」型：a_n+1 − a_n ＝ f(n)。把 n ＝ 1, 2, …, n − 1 逐条写出再全部相加，左边只留下 a_n − a₁，右边是我们已知的 f 求和——这叫作累加法：

对称地，「比为已知」型 a_n+1a_n ＝ g(n) 用累乘法：把 n − 1 个式子相乘，中间项层层约去，得 a_n ＝ a₁ · ∏_k＝1ⁿ⁻¹ g(k)。

练一次手感：a₁ ＝ 1，a_n+1 ＝ a_n ＋ 2n。累加得 a_n ＝ 1 ＋ 2(1 ＋ 2 ＋ … ＋ (n − 1)) ＝ 1 ＋ n(n − 1) ＝ n² − n ＋ 1。验证：a₃ ＝ 9 − 3 ＋ 1 ＝ 7，从递推算 a₁ ＝ 1 → a₂ ＝ 3 → a₃ ＝ 7，相符。

累加累乘的唯一技术难点是「右边那个和（积）会不会算」。它把数列问题翻译成了求和问题——这正是上一章垛积术的地盘。

递推数列求通项：构造法

递推式一旦长了「尾巴」，累加累乘就不够用。最典型的是线性递推：a_n+1 ＝ p a_n ＋ q（p ≠ 0, 1，q ≠ 0）。它既不是等差（差在变），也不是等比（比在变），但离等比只差一步平移。

例：a₁ ＝ 1，a_n+1 ＝ 2a_n ＋ 3。取 λ ＝ 32 − 1 ＝ 3，得 a_n+1 ＋ 3 ＝ 2(a_n ＋ 3)，故 a_n ＋ 3 ＝ 4 · 2ⁿ⁻¹，即 a_n ＝ 2^n＋1 − 3。

三种常见升级版，用的还是同一招「造一个等比」：① a_n+1 ＝ p a_n ＋ r·qⁿ——两边同除 q^n＋1，令 b_n ＝ a_nqⁿ；② a_n+1 ＝ p a_na_n ＋ q——两边取倒数，令 b_n ＝ 1a_n；③ a_n+1 ＝ p a_n ＋ f(n)——两边同除 p^n＋1 化为累加型。

构造法的哲学：看不出等差等比，就把它搬到等差等比的坐标系里。换元不是技巧，是换一副眼镜。

数列求和：裂项与错位

裂项的三个常用骨架：1n(n ＋ k) ＝ 1k（1n − 1n ＋ k）；1√n ＋ √(n ＋ 1) ＝ √(n ＋ 1) − √n（分母有理化）；2n ＋ 1n²(n ＋ 1)² ＝ 1n² − 1(n ＋ 1)²。

例：S_n ＝ 1·2 ＋ 2·2² ＋ 3·2³ ＋ … ＋ n·2ⁿ。乘 2 得 2S_n ＝ 1·2² ＋ … ＋ (n − 1)2ⁿ ＋ n·2^n＋1，相减得 −S_n ＝ 2 ＋ 2² ＋ … ＋ 2ⁿ − n·2^n＋1 ＝ 2^n＋1 − 2 − n·2^n＋1，故 S_n ＝ (n − 1)2^n＋1 ＋ 2。

两个方法的分工：裂项靠「构造差」，错位靠「制造相同公比」。判断口诀——分母能分解成连号就用裂项，通项里「一次式乘指数」就用错位。

数学归纳法证明数列性质

为什么两步就够？把它想成一排多米诺骨牌：奠基是「第一张会倒」，归纳是「任何一张倒下都会撞倒下一张」。两条合起来，所有牌必倒——这正是皮亚诺公理里「归纳公理」的直白版。

在数列里它主要干两件事。第一，验证猜出来的通项。由递推算出 a₁, a₂, a₃, a₄，猜 a_n ＝ nn ＋ 1，再用归纳法定案：a₁ ＝ 12 成立；设 a_k ＝ kk ＋ 1，则 a_k+1 ＝ a_k1 ＋ a_k ＝ kk ＋ 1 ＋ k ＝ k2k ＋ 1——这里要小心，只有递推式形如 a_n+1 ＝ a_n1 ＋ n a_n 时才有 a_n ＝ 1n 这类漂亮结论。归纳法不是猜通项的机器，它是判决猜想的法庭。

第二，证明求和公式与不等式。如证 1 ＋ 2 ＋ … ＋ n ＝ n(n ＋ 1)2：设对 k 成立，两边加 k ＋ 1，右边整理即得 (k ＋ 1)(k ＋ 2)2。

用归纳法最常犯的错是「在归纳步里偷偷用了结论」。每一步都必须真正从 P(k) 出发，一步不错地推到 P(k ＋ 1)。

数列与函数：增长快慢

数列 {a_n} 就是一个定义域为正整数集的函数 a : ℕ^* → ℝ。把它画出来，是一串孤立的点——点与点之间没有线，这正是它与连续函数最本质的区别。但「孤立」不妨碍我们借用函数的全套工具：单调性、最值、比较。

用具体数字感受一次：n ＝ 20 时，n² ＝ 400，2ⁿ ≈ 1.05 × 10⁶，20! ≈ 2.43 × 10¹⁸。这不是量级上的小差别，而是能否在天文台算完、还是在宇宙寿命内算完的差别。算法分析里，「多项式时间」与「指数时间」的分界就在这里。

数列的单调性判定有两条路：作差 a_n+1 − a_n 与作商 a_n+1a_n（后者只对恒正数列可用）。等比数列的增减不由公比是否为「大于 1」单独决定，还要看首项的正负——a₁ ＝ −1, q ＝ 2 时数列递减，这是个高频陷阱。

把数列当函数看，最值问题可以直接数模型解决：找「最大的那一项」就是解不等式组 a_n ≥ a_n−1 且 a_n ≥ a_n+1。

数列不等式

「数列不等式」是高考与竞赛的分水岭：它要求您在每一步都保持严格的方向。两类主战场——

第一类：证明某个和小于（大于）某个式子。常规武器是放缩：把难算的通项换成好算的、且方向正确的通项。

保留首项、放缩其余是一条重要纪律：上述做法中 k ＝ 1 那项若也放缩，会得到 ＜ 1 的荒诞结论——因为 1k − 1 在 k ＝ 1 时无定义。

第二类：证明数列自身的界。如「a₁ ＝ 1, a_n+1 ＝ a_n ＋ 1a_n，证明 a_n ＜ √(2n ＋ 1)」。思路是「平方看规律」：由递推得 a_n+1² ＝ a_n² ＋ 2 ＋ 1a_n²，放大为 a_n+1² ＜ a_n² ＋ 3，累加得 a_n² ＜ 1 ＋ 3(n − 1) ＝ 3n − 2，再收紧常数即得目标形式。数列不等式的一半技巧，就是先找「可以累加的中间量」。

放缩的每一步都要问一句：方向对不对？等号能不能取？方向错了，越算越离谱；等号永远取不到的「严格」不等式，往往埋着放缩过头的线索。

数列应用：迭代与极限影子

数列最有用的一面，是它能模拟一件事一步步发生。人口逐年、存款逐月、药剂逐小时、谣言逐天——凡是「今天的状态决定明天的状态」的过程，都是一个递推数列。

看一个经典：服药模型。每 6 小时服一次药，剂量 D，人体每 6 小时代谢掉 60%（残留 0.4 倍），则体内药量 x_n+1 ＝ 0.4x_n ＋ D，x₀ ＝ 0。用构造法解：λ ＝ D0.4 − 1 ＝ −5D3，得 x_n ＝ 5D3(1 − 0.4ⁿ)。

盯着这个结果看两件事：① 长期行为——0.4ⁿ → 0，药量趋于 5D3，这就是「稳态」，也是那个不动点；② 短期行为——前几次服药间隔时药量不足，所以医生常给「首剂加倍」。

这就是「极限的影子」：数列的 n 项通项里那个被减去的尾巴 0.4ⁿ，注定要消失。下一册《极限思想》将把「注定要消失」写成 lim_n→∞ x_n ＝ 5D3。这一章我们先用眼睛看，下一章用定义说。

创新数列题型拆解

「创新题」不是没学过的知识，而是没见过的包装。拆包装有固定套路，练熟四种：

拆完包装后的动作永远是老三样：写前几项 → 猜通项 → 证明（或直接构造）。前几项不是浪费时间，它是您的侦察兵：a₁ ＝ 2, a₂ ＝ 4, a₃ ＝ 8，您会立刻想到 2ⁿ；若 a₁ ＝ 1, a₂ ＝ 3, a₃ ＝ 9, a₄ ＝ 27，就是 3ⁿ⁻¹。像侦探一样先收集现场数据，再下结论。

做题的通用语法：读三遍题干 → 翻译定义 → 写前三项 → 找规律 → 用归纳或构造收尾。创新题的「新」只在前两步，后面全是这一章的旧手艺。

研讨① 构造法的思想本质

构造法看起来是个代数小把戏：待定一个常数 λ，把「线性递推」掰成「等比」。但把 a_n+1 ＝ p a_n ＋ q 画成「数轴上的映射」再看，它就有了几何身份：这是一个带不动点的伸缩映射。

第一步，找不动点。解 x ＝ px ＋ q 得 x^* ＝ q1 − p——正是我们待定的那个 −λ。

第二步，换个原点。令 b_n ＝ a_n − x^*（把坐标原点搬到不动点上），则 b_n+1 ＝ a_n+1 − x^* ＝ p(a_n − x^*) ＝ p b_n。在「以不动点为原点」的新坐标系里，映射变成了纯粹的伸缩 b ↦ pb，没有尾巴。

第三步，读懂三种结局。|p|＜1 时 b_n → 0，数列被吸入不动点（吸引）；|p|＞1 时 b_n 发散，数列逃离不动点（排斥）；p ＝ 1 是不动点「失去个性」的临界，此时退化为等差。

研讨问题：① 为什么「把原点搬到不动点」能让尾巴消失？请用 x^* 的定义（x^* ＝ px^* ＋ q）直接说明。② 若 p ＝ −1，数列会怎样？画数轴试验。③ 这个「搬原点」的想法，与解析几何里「平移坐标轴化简方程」是不是同一件事？

这就是数学里反复出现的化归：不动点是一把钥匙，用它把陌生的映射变成熟悉的伸缩。第七章导数里，「切线是曲线的局部线性化」也是同一思想的连续版。

研讨② 归纳-猜想-证明闭环

数学发现的真实流程很少是「从天而降的公式」，多半是这条闭环：算小例 → 猜规律 → 证一般。这一页我们把这个闭环跑三遍，看它如何工作、又在哪里会翻车。

第一遍（成功的例子）：a₁ ＝ 1，a_n+1 ＝ a_n1 ＋ 2a_n。写前四项：1, 13, 15, 17。分母是奇数！猜 a_n ＝ 12n − 1，归纳步验证：12k − 1 ÷ (1 ＋ 22k − 1) ＝ 12k ＋ 1。✓

第二遍（翻车的例子）：著名的「n² − n ＋ 41」。当 n ＝ 1, 2, …, 40 时它的值全是素数——四十个连续正面！第 41 项却给出 41² ＝ 1681，一个合数。单靠「小例正确」推不出一般结论，归纳法之所以必要，正是因为它堵住了这个漏洞。

第三遍（需要人为设计猜想的例子）：a_n+1 ＝ a_n² − 2，a₁ ＝ 3。直接写项：3, 7, 47, 2207, …——看不出规律。但若令 a_n ＝ tⁿ ＋ t⁻ⁿ，则 a_n+1 ＝ t²ⁿ ＋ t⁻²ⁿ，恰好是 a_n² − 2。由 a₁ ＝ 3 解出 t ＋ 1t ＝ 3，于是 a_n ＝ tⁿ ＋ t⁻ⁿ 全盘拿下。这个技巧在切比雪夫多项式与三角恒等变换里处处出现。

研讨问题：① 为什么「前 40 项都对」还不是证明？请用多米诺骨牌比喻说明。② 第三遍里的换元 a_n ＝ tⁿ ＋ t⁻ⁿ 是从哪来的？提示：它是「a_n 是 t 的某种对称函数」这一想法的产物。③ 您能否为 a_n+1 ＝ 2a_n² − 1 设计类似的换元？

闭环的价值在于诚实：不猜就没方向，不证就没安全。「猜」需要勇气，「证」需要纪律。

研讨③ 增长率的神话：复利陷阱

广告里说：「年化收益 20%，十年翻几倍？」很多人答两倍。正确答案是 1.2¹⁰ ≈ 6.19——六倍。这里藏着一个被反复利用的直觉漏洞：人脑对「乘」的增长天然迟钝。

实验一：翻倍次数的常识。年增长 7% 需要多少年翻倍？精确解要解 1.07ⁿ ＝ 2，即 n ＝ ln 2ln 1.07 ≈ 10.24 年。「七十二法则」说：n ≈ 727 ≈ 10.3。这个法则对 5%–12% 的增长率误差在 5% 以内——它为什么有效？因为 ln(1 ＋ r) ≈ r，而 ln 2 ≈ 0.693，故 n ≈ 0.693r ＝ 69.3100r（百分数表示），再补一点修正即得 72。

实验二：陷阱在哪里。某产品宣传「平均年增长 30%」，前两年 ＋80%、−20%。算术平均 ＝ 30%，但活下来的本金只有 1.8 × 0.8 ＝ 1.44 倍，真实的年化（几何平均）是 √1.44 − 1 ＝ 20%。这就是算术平均与几何平均的差别，也是「平均收益」这类说法的常用话术。

实验三：通胀的另一面。若年通胀 3%，十年后购买力是 11.03¹⁰ ≈ 0.744，即缩水四分之一。「钱趴着不动」也是一种以 3% 速率发生的负增长数列。

研讨问题：① 用 72 法则估算「年增长 9% 」的翻倍年数，再与精确值比。② 若某基金宣传「五年累计 100%」，它的年化是多少？（答案约 14.9%，远低于「每年 20%」的错觉。）③ 请构造一个「算术平均很高、几何平均很低」的两期收益组合。

这一页没有复杂的数学，只有一个提醒：凡遇到「增长」，先问是加还是乘、是算术平均还是几何平均。数列是反直觉的照妖镜。

研讨④ 沈括与垛积术

回到这一章的起点。沈括的「隙积术」与朱世杰的「招差术」不只是古老公式，它们用完全现代的思路解决了「二阶差分」问题——比牛顿早四百多年。

先看一个最简单的垛。三角垛（每层是三角点阵）：第 n 层有 1 ＋ 2 ＋ … ＋ n ＝ n(n ＋ 1)2 个；从第 1 层到第 n 层的总数 T_n ＝ ∑_k＝1ⁿ k(k ＋ 1)2 ＝ n(n ＋ 1)(n ＋ 2)6。验证：n ＝ 3 时 3×4×5/6 ＝ 10 ＝ 1 ＋ 3 ＋ 6。✓

再看一般方垛。沈括的公式 N ＝ n6［(2b ＋ d)a ＋ (b ＋ 2d)c ＋ (c − a)］ 里，n ＝ c − a ＋ 1 是层数。取 a ＝ b ＝ 1（顶层 1 只）且 c ＝ d（正四角垛，边长 c），公式退化为什么？代入得 N ＝ c6(3 ＋ 3 ＋ 2c) ＝ c(c ＋ 1)(2c ＋ 1)6——正是平方和公式！

为什么它在中国出现得这么早？因为问题来自实务：粮垛、酒坛、军阵、算赋。数学在中国传统里是「官府的算术」，必须能算清楚实物。而正是这种「必须能数清楚」的压力，逼出了求和公式与差分技术。

研讨问题：① 请验证沈括公式在 a ＝ 2, b ＝ 3, c ＝ 4, d ＝ 5 时给出的结果，并与逐层点算的结果对照。② 试着自己推导平方和公式（提示：用 (k ＋ 1)³ − k³ ＝ 3k² ＋ 3k ＋ 1 累加，这在下一章「累加」的框架里就是一次漂亮的构造）。③ 朱世杰的招差术与「牛顿插值公式」有什么共同点？找一段资料比较古今两种说法。

中国古算的数列成果提醒我们：数学不是从公理往下流的瀑布，它更像是一片被实际问题不断浇灌的梯田——每一块梯田都是一次真实的求和。

例1 递推求通项

解法一（构造法）：设 a_n+1 ＋ λ ＝ 3(a_n ＋ λ)，展开比较：λ ＝ 23 − 1 ＝ 1。于是 a_n ＋ 1 是以 a₁ ＋ 1 ＝ 3 为首项、公比为 3 的等比数列，a_n ＋ 1 ＝ 3 · 3ⁿ⁻¹ ＝ 3ⁿ，即 a_n ＝ 3ⁿ − 1。

解法二（不动点视角）：解 x ＝ 3x ＋ 2 得不动点 x^* ＝ −1，令 b_n ＝ a_n ＋ 1 即为纯伸缩 b_n+1 ＝ 3b_n。

验算：a₁ ＝ 3 − 1 ＝ 2 ✓；a₂ ＝ 8，递推算得 3 × 2 ＋ 2 ＝ 8 ✓。

线性递推 a_n+1 ＝ pa_n ＋ q 的通项公式可背为 a_n ＝ (a₁ − x^*)pⁿ⁻¹ ＋ x^*，其中 x^* ＝ q1 − p。记忆它的最好方式是记住「搬原点」这个动作，而不是背式子。

例2 裂项错位求和

解：通项 1n(n ＋ 2) ＝ 12（1n − 1n ＋ 2）。裂项后求和：

S_n ＝ 12［(1 − 13) ＋ (12 − 14) ＋ (13 − 15) ＋ … ＋ (1n − 1n ＋ 2)］

注意抵消是隔项的（因为分母相差 2）：「−13」与「＋13」相隔一项才碰上，最后留下最前两项与最后两项：S_n ＝ 12(1 ＋ 12 − 1n ＋ 1 − 1n ＋ 2)。

规范化简：S_n ＝ 34 − 2n ＋ 32(n ＋ 1)(n ＋ 2)。验算 n ＝ 1：通项给 13，公式给 34 − 512 ＝ 13 ✓。

拓展（错位相减）：求 T_n ＝ ∑ k·3^k。乘 3 相减得 −2T_n ＝ 3 ＋ 3² ＋ … ＋ 3ⁿ − n·3^n＋1，即 T_n ＝ (2n − 1)3^n＋1 ＋ 34。

裂项题的第一动作永远是「数一数相隔几项」——差 1 留首尾各一项，差 2 留首尾各两项，差 k 留首尾各 k 项。多数失分都发生在这一步。

例3 归纳法证明

证明：奠基：n ＝ 1 时，左边 ＝ 1，右边 ＝ 1×2×36 ＝ 1，成立。

归纳：假设 n ＝ k 时成立，即 1² ＋ … ＋ k² ＝ k(k ＋ 1)(2k ＋ 1)6。则 n ＝ k ＋ 1 时，

左边 ＝ k(k ＋ 1)(2k ＋ 1)6 ＋ (k ＋ 1)² ＝ (k ＋ 1)6［k(2k ＋ 1) ＋ 6(k ＋ 1)］

括号内 ＝ 2k² ＋ 7k ＋ 6 ＝ (k ＋ 2)(2k ＋ 3)，故左边 ＝ (k ＋ 1)(k ＋ 2)(2k ＋ 3)6，正是把 n ＝ k ＋ 1 代入右边的结果。由归纳原理，命题对一切正整数成立。∎

点评：证明的唯一技术动作是「提出公因式 (k ＋ 1) 后把括号凑成目标的两个因子」。归纳法证明求和公式，几乎永远是「一次因式分解」的功夫。

这种「先算前几项、猜出公式、再用归纳法定案」的三段式，正是研讨②那条闭环的标准落地。历史上这个平方和公式在《四元玉鉴》里以垛积形式出现，比欧洲的同类推导早约四百年。

例4 数列综合压轴

（1） 形如 a_n+1 ＝ pa_nqa_n ＋ r，取倒数：1a_n+1 ＝ a_n ＋ 22a_n ＝ 12 · 1a_n ＋ 1。令 c_n ＝ 1a_n，得线性递推 c_n+1 ＝ 12c_n ＋ 1，c₁ ＝ 1。不动点 x^* ＝ 11 − 1/2 ＝ 2，故 c_n − 2 ＝ (1 − 2)(12)ⁿ⁻¹，即 c_n ＝ 2 − 12ⁿ⁻¹。于是

a_n ＝ 12 − 2¹⁻ⁿ ＝ 2ⁿ⁻¹2ⁿ − 1

验算：a₁ ＝ 1/(2 − 1) ＝ 1 ✓；a₂ ＝ 2/3，递推给 2/(1 ＋ 2) ＝ 2/3 ✓。

（2） b_n ＝ n·2ⁿ⁻¹2ⁿ − 1。

（3） 先放缩：b_n ＝ n·2ⁿ⁻¹2ⁿ − 1 ＜ n·2ⁿ⁻¹2ⁿ − 2ⁿ⁻¹ ＝ n——方向对，但 ∑n 不受控。换个更紧的放缩：2ⁿ − 1 ＞ 34·2ⁿ（n ≥ 2 时成立，因 1/2ⁿ ≤ 1/4），故 b_n ＜ 4n3·2·… ——不，直接算：b_n ＜ n·2ⁿ⁻¹(3/4)2ⁿ ＝ 2n3，仍不收。

正确的路是错位相减直接算上界：用 2ⁿ − 1 ≥ 2ⁿ⁻¹（n ≥ 1）得 b_n ≤ n·2ⁿ⁻¹2ⁿ⁻¹ ＝ n 太松；于是保留 n ＝ 1, 2 两项，从 n ≥ 3 用 b_n ＜ n2 · 11 − 2⁻ⁿ ＜ 2n3 不成立，改用指数放缩：b_n ＝ n2 − 2¹⁻ⁿ ≤ n2 − 1 ＝ n（n ≥ 2）。

最终证法（推荐）：直接用 b_n ＝ n2 − 2¹⁻ⁿ ≤ n2·11 − 2⁻ⁿ，得 S_n ≤ 1 ＋ 23 ＋ ∑_k＝3ⁿ k2 − 2^1−k，而由 a_n ≤ 1 与 a_n → 1 可知 b_n ＝ na_n 增长慢于 n 的等比衰减修正项。严格做法：S_n ＝ ∑_k＝1ⁿk2 − 2^1−k ＜ ∑_k＝1ⁿ k2¹ − 1·…

（3）的完整严格证明留给研讨课。这里要记住的是压轴题的战术结构：（1）化归求通项 →（2）构造可求和的新数列 →（3）放缩定界。三问不是三道题，是一条链。

研究任务单：房贷与理财方案

任务背景：等额本息房贷是中国人一生中金额最大的一次数列运算。您已经会解 a_n+1 ＝ pa_n ＋ q，现在用它算一笔真账。

模型设定：贷款总额 P（元），月利率 r（如年利率 4.2% 对应 r ＝ 0.0035），分 N 个月还清，每月还款 M 元。

任务一（建立递推）：设第 n 个月还款后剩余本金为 B_n，写出 B_n+1 ＝ (1 ＋ r)B_n − M，并说明「还清」即 B_N ＝ 0。

任务二（解出月供公式）：用构造法证明 M ＝ P r (1 ＋ r)^N(1 ＋ r)^N − 1。取 P ＝ 100 万、r ＝ 0.0035、N ＝ 360，算出月供（约 4890 元）与总利息（约 76 万）。

任务三（对比方案）：同一笔贷款改为 240 个月，重算月供与总利息，做一张对比表，回答：「少还十年，多付多少钱？」

交付：一页计算报告（含递推式、公式推导、两张表、一句结论）。下次研讨课带作品来。

小组探究：蛛网模型初探

情境：猪肉涨价，农民就多养猪；两年后猪太多，猪肉跌价；农民又少养猪，再两年又涨价……这个「价格 → 产量 → 价格」的循环，是一个标准的递推，也是经济学里著名的蛛网模型。

模型：设第 n 年价格 P_n。供给由上一年价格决定：Q_n ＝ a ＋ b P_n−1；需求由当年价格决定：Q_n ＝ c − d P_n；供求相等即 a ＋ bP_n−1 ＝ c − dP_n，整理得

P_n ＝ −bd P_n−1 ＋ c − ad

小组任务：① 用构造法解出 P_n 的表达式，找出不动点 P^* 并解释它的经济含义（「均衡价格」）。② 令 k ＝ b/d，讨论 k ＜ 1、k ＝ 1、k ＞ 1 三种情形下 P_n 的走势，并在坐标纸上画出「价格—年份」折线（蛛网图）。③ 为什么农产品市场常有「猪周期」而工业品市场较少？用 b、d 的大小关系解释。

讨论题：能预判的波动与不能预判的波动，对生产者的伤害有何不同？政府的「储备肉投放」相当于在模型里改动哪个参数？

本次探究第一次让数列走出纸面：振荡、收敛、发散这些词，会在《极限思想》里得到严格定义。

研究写作：数列应用小论文

写作任务：选取一个您身边的「一步步变化」现象，建立数列模型，写出 800–1200 字的小论文。

选题建议（任选其一或自拟）：① 手机充电：从 20% 充到 100% 的速率是否恒定？能否用递推描述？② 短视频传播：「每个看的人平均转发 0.6 人」，第 7 天有多少人看过？③ 一杯 60 ℃ 的热水在 20 ℃ 房间里每分钟降几度——用递推还是用连续模型？④ 您所在城市的常住人口十年变化。

结构要求：引言（现象与问题，150 字）→ 建模（变量、假设、递推式，250 字，须明确写出「我做了哪些简化假设」）→ 求解与验证（求通项或做数值表，用真实数据核对 2–3 个点，300 字）→ 讨论与局限（模型在哪里失真？为什么？250 字）→ 结论（100 字）。

一点纪律：写「局限」那一段最见水平。数学建模的诚实标志，就是作者能指出自己模型的失效边界。

评价量规：模型合理（30%）、数学正确（30%）、数据核对（20%）、局限讨论（20%）。

研究答辩准备与互评

答辩流程：每人 4 分钟陈述 ＋ 3 分钟答问。陈述必须包含四件东西：现象 → 假设 → 递推式与通项 → 一次真实验证。

答辩自检单：① 我的通项公式能否用递推式验算第 2、3 项？② 我的假设里哪条最容易被攻击？③ 如果有人问「真实数据比您的模型高 30%，是不是模型错了」，我如何回答？

预演的三个必答题：
① 「您为什么不直接用连续函数，而要用数列？」（答：因为变化是逐期发生的，采样是离散的。）
② 「您的 q 或 p 是怎么估的？误差如何影响结论？」
③ 「如果把这个模型外推一百期，您信吗？」（答：说明该说明的发散风险。）

互评规则：听众对每位陈述者按「模型合理性／数学正确性／表达清晰度／应答质量」四维打分（1–5 星），并强制写一条「我学到的新东西」。提问内容禁止问「公式是什么」这类可查之题，必须问边界与假设。

答辩的意义不是表演正确，而是公开地检验自己的假设。被问住的那一瞬，正是学习真正发生的地方。

挑战：新定义数列压轴

挑战题的共同动作：看到递推先想累加/累乘，看到分式先取倒数，看到指数先作商。三条路走完还不通，就回到第一性原理——写前三项。

章评估与错题归档

知识清单自评（能给别人讲明白才算会）：① 递推关系的构成（递推式＋首项）；② 累加法与累乘法的适用条件与推导；③ 线性递推的构造法（含不动点解释）；④ 三种升级型递推的换元（除指数／取倒数／除幂次）；⑤ 裂项相消的「相隔几项」判定；⑥ 错位相减的完整流程；⑦ 数学归纳法的两步与常见错误；⑧ 三类增长的生序；⑨ 放缩的方向与等号检查；⑩ 新定义题的翻译动作。

高频错点归档：累加时上限写成 n（应为 n − 1）；构造法忘了验首项；裂项抵消时留错项数；错位相减首尾处理错；归纳法归纳步偷用结论；等比数列增减性只判 q 不判 a₁；放缩过猛导致界不紧或方向反；数列题忘写 n 的范围（n ∈ ℕ^*）。

错题三问（写进错题本）：错在哪一步？知识缺口还是习惯缺口？同类题的自创例句是什么？

自评标准：把「构造法（搬原点）」讲给同学听，若对方能自己迁移到 a_n+1 ＝ pa_n ＋ rqⁿ，说明您真会了。

预习桥：从离散到连续

这一章最后埋一颗种子。看这组对照：

「差分」与「导数」的关系，就像「照片」与「电影」的关系：把步子缩到无限小，离散的差商 ΔyΔx 就变形成连续的瞬时变化率。您在第 10 页见过的「极限的影子」（0.4ⁿ → 0），第 12 页见过的「七十二法则」（ln(1 ＋ r) ≈ r），都是这条通道的早期路标。

下一章我们先走一条更朴素的路：不等式。为什么？因为「求最值」与「求上界」是同一个动作的两副面孔——数列不等式里的放缩功夫，正是优化问题的基础训练。等到第 3 章导数登场，您手里就有了「优化」的正规军。

预习任务：① 用递推 x_n+1 ＝ (x_n ＋ 2/x_n)/2，x₁ ＝ 1，手算到 x₄，看它逼近哪个数（提示：平方后与 2 比较）。② 预习基本不等式：a ＋ b ≥ 2√(ab)（a, b ＞ 0），并想一想它为什么与 (√a − √b)² ≥ 0 等价。

导入：均输平赋：公平的数学

《九章算术》第六章叫「均输」。「均」是公平，「输」是运送与缴纳。汉代的赋税不是各家各户缴同样多的粮食就完事：有的户离粮仓三十里，有的离三百里；有的用车推，有的用船运；有的缴纳粟，有的缴纳布。怎样分摊才叫公平？

这道题逼出了中国最早的「加权分配」与「约束下求最优」的算法。均输章的题目常以「今有……问……各几何」开头，答案不是「谁多谁少」，而是「按什么比例分摊才不偏不倚」——公平在这里第一次被写成了可计算的式子。

而「不偏不倚」这四个字，正是不等式的灵魂。a ＋ b ≥ 2√(ab) 说的是：两数的算术平均永不小于几何平均。左边是「平分」，右边是「同样面积的方形边长」。等号只在 a ＝ b 时成立——公平恰是极值所在。

这一章我们学三件事：① 不等式的运算法则（怎么「合法地」变换一个不等式）；② 基本不等式及其变体（怎样求上界与下界）；③ 约束下的最优化（怎样在条件里找最好的那个点）。它们是下一章导数的先声：导数解决同样的任务，只是用连续的方法。

「均输」章的算法思想直到今天还活着：税收分摊、资源调度、物流路径、云计算的任务分配——本质都是「在若干约束下，让某个量尽量公平或尽量省」。

不等式性质

由①②③④可推出最常用的同向可加性：a ＞ b, c ＞ d ⇒ a ＋ c ＞ b ＋ d。注意减法与除法没有同向性：5 ＞ 3, 2 ＞ 1，但 5 − 2 ＝ 3 与 3 − 1 ＝ 2 的比较是 3 ＞ 2（碰巧对），换一组 5 ＞ 3, 1 ＞ −5 时 5 − 1 ＝ 4 ＜ 3 − (−5) ＝ 8，不等号翻向。所以不能想当然地「同向相减」。

同样，同向相乘也只在正数时才安全：a ＞ b ＞ 0, c ＞ d ＞ 0 ⇒ ac ＞ bd。若允许负数，1 ＞ −2, 1 ＞ −3 相乘得 1 ＞ 6？显然荒谬。

比较两个式子大小的标准动作是作差（或作商）：A − B ＞ 0 ⇔ A ＞ B；当 A, B ＞ 0 时可用 AB ＞ 1 ⇔ A ＞ B。作差后要么配方、要么因式分解——「作差—变形—定号」是证明不等式的第一基本功。

一个高频陷阱：从 a ＞ b, c ＞ d 推 a − d ＞ b − c 是对的（把 c ＞ d 反号成 −d ＞ −c 再同向相加）；但推 a/c ＞ b/d 通常错。涉及减、除、取倒数，一律先反号、再检验。

基本不等式：均值不等式

证明（作差法）：a ＋ b2 − √(ab) ＝ a ＋ b − 2√(ab)2 ＝ (√a − √b)²2 ≥ 0。因为实数的平方非负，且等号仅当 √a ＝ √b，即 a ＝ b 时取得。∎

几何解释：以 a ＋ b 为直径作半圆，则半径长 a ＋ b2；在直径上取分点把直径分成 a 与 b，过该点的垂线交半圆于一点，则由射影定理（或相似三角形）得垂线长 √(ab)。半径不短于垂线，这就是 a ＋ b2 ≥ √(ab) 的全部内容。

常用变体（同一件事的不同穿法）：
① a ＋ b ≥ 2√(ab)；
② ab ≤ (a ＋ b)²4——和定则积最大；
③ a ＋ b ≥ 2√(ab) 反向用：√(ab) ≤ a ＋ b2，即 积定则和最小；
④ 若 x ＞ 0，则 x ＋ 1x ≥ 2，等号在 x ＝ 1。

口诀「一正、二定、三相等」：用之前先确认两数为正（一正）；两者的和或积为定值才能求出界（二定）；最后检验等号能否取到（三相等）。三条缺一，答案就废。

凑定和定积的技巧

基本不等式给的是「和与积」之间的桥。可现实中题目给的往往既不是定和也不是定积——需要您动手造。这一页专讲「凑」。

第四招：代入消元。若条件给出 a ＋ b ＝ 1（a, b ＞ 0），求 1a ＋ 4b 的最小值。用「1 的代换」：1a ＋ 4b ＝ (1a ＋ 4b)(a ＋ b) ＝ 5 ＋ ba ＋ 4ab ≥ 5 ＋ 4 ＝ 9，等号在 b ＝ 2a，即 a ＝ 13, b ＝ 23 处取得。

「凑」不是乱凑，它的目标是让两项的乘积（或和）变成常数。每一招的检验标准都是同一句话：等号能取到吗？

二次函数视角的最值

基本不等式是「均值」视角，二次函数是「配方」视角。同一道最值题，这两副眼镜都值得戴上试试——有时候一副比另一副省力得多。

与基本不等式的对话：求 y ＝ x(4 − x)（0 ＜ x ＜ 4）的最大值。二次函数视角：y ＝ −(x − 2)² ＋ 4，最大值 4。基本不等式视角：x(4 − x) ≤ (x ＋ 4 − x)²4 ＝ 4，等号在 x ＝ 2。两条路都到，但二次函数顺带告诉您「最大值在哪儿取」，不等式只给值。

含参二次的最小值是三段式讨论的经典：求 f(x) ＝ x² − 2ax ＋ 1 在 x ∈ [0, 2] 上的最小值，须分 a ＜ 0（在左端取，f(0) ＝ 1）、0 ≤ a ≤ 2（在顶点取，1 − a²）、a ＞ 2（在右端取，f(2) ＝ 5 − 4a）三种情形。「对称轴在不在区间内」是讨论的唯一开关。

判别式法求值域：求 y ＝ x² − x ＋ 1x² ＋ x ＋ 1 的值域。视 y 为参数，整理成关于 x 的二次方程 (y − 1)x² ＋ (y ＋ 1)x ＋ (y − 1) ＝ 0，要求它有实根，故 Δ ＝ (y ＋ 1)² − 4(y − 1)² ≥ 0，解得 13 ≤ y ≤ 3。检验端点是否取到（代入 x 有实根即可）。

「二次函数是高中数学的枢纽」——它的身影在导数题里以「判别式」形式复活，在圆锥曲线里以「联立方程的二次项」形式复活。这个工具要练到条件反射。

线性规划初步

现实中的最优化几乎从不是「无约束」的：能不能买得起、装得下、担得起，都是约束。约束是线性的时候，问题有一个漂亮的名字：线性规划。

解法三步：
① 画可行域——每条不等式对应半平面，交集是一个凸多边形（可能有界，也可能无界）；
② 平移目标直线——ax ＋ by ＝ z 是一族平行直线，z 越大，直线越往一个方向平移；
③ 定为最优解——最优解总在可行域的顶点（或顶点连成的边上）取得。

实操例：满足 x ＋ 2y ≤ 8、x ≥ 0、y ≥ 0，求 z ＝ 3x ＋ 4y 的最大值。可行域是顶点为 (0,0), (8,0), (0,4) 的三角形。逐点代入：0, 24, 16，最大值 24 在 (8, 0)。

整数规划一瞥：若 x, y 必须是整数（「买几台机器」不能是 3.7 台），则须在可行域内找格点。此时不能只看顶点，要在顶点附近逐个检查格点。这是线性规划与实际应用之间的第一道坎。

线性规划是二十世纪最实用的数学之一：二战时的运输调度、炼油厂的配方、航班排班、投资组合——每一种都靠它省下巨额成本。发明人丹齐格 1947 年提出单纯形法时说，这个方法是「为节省而生的」。

柯西不等式一瞥

证明（作差配方法）：
(a² ＋ b²)(c² ＋ d²) − (ac ＋ bd)² ＝ a²c² ＋ a²d² ＋ b²c² ＋ b²d² − a²c² − 2abcd − b²d² ＝ (ad − bc)² ≥ 0。∎

它的样子为什么这么熟悉？把 (a, b) 与 (c, d) 看成平面上的两个向量，则柯西不等式写成了 |u|²|v|² ≥ (u · v)²，即 |u · v| ≤ |u| |v|——点积不大于长度之积。您在向量一章学过的这个式子，就是柯西不等式的几何面孔。等号情形 ad ＝ bc 恰好是「两向量共线」。

用法：柯西不等式擅长处理「平方和乘平方和」型的最值。求 y ＝ √(x − 1) ＋ √(5 − x) 的最大值：取 (a, b) ＝ (1, 1)，(c, d) ＝ (√(x − 1), √(5 − x))，则 y² ≤ (1 ＋ 1)[(x − 1) ＋ (5 − x)] ＝ 8，故 y ≤ 2√2，等号在 x − 1 ＝ 5 − x 即 x ＝ 3 时。比求导更快。

推广的写法：(a₁² ＋ … ＋ a_n²)(b₁² ＋ … ＋ b_n²) ≥ (a₁b₁ ＋ … ＋ a_nb_n)²。取等条件：存在常数 λ 使 a_i ＝ λb_i 对每个 i 成立——「成比例」是柯西不等式的等号口令。

柯西不等式是「不等式家族」里最能打的成员，从高中一直用到大学，在函数空间里长成 ⟨f, g⟩ ≤ ‖f‖‖g‖ 这种抽象形态。现在先记住它的二维外貌与「成比例取等」。

放缩的思想

「放缩」是不等式里最重要的思想，也是学生最怕的一招。它只有一句话：为了好算，把式子换成一个大一点（或小一点）但行为已知的东西。

放缩的两条纪律：
① 方向纪律：证 A ＜ B 时，只能把 A 放大、或把 B 缩小，中途不得反向，否则链条断裂。
② 精度纪律：放大得太多，结论就变成「A ＜ 1000」这种无信息量的废话。放缩的功力全在「刚好够用」。

常用放缩库（务必记熟）：
① 1n² ＜ 1n(n − 1)（n ≥ 2），裂项可用；
② 1√n ＞ 2√n ＋ √(n ＋ 1) ＝ 2(√(n ＋ 1) − √n)；
③ 2ⁿ ≥ n ＋ 1（n ∈ ℕ^*，等号仅 n ＝ 1）；
④ n! ≥ 2ⁿ⁻¹（n ≥ 1）；
⑤ ln x ≤ x − 1（x ＞ 0，导数章的访客）。

经典例：证明 1 ＋ 12² ＋ 13² ＋ … ＋ 1n² ＜ 74。用 ① 时须保留首项：1 ＋ (1 − 1n) ＜ 2 ＜ 74——咦，2 ＜ 1.75 不成立！改用更紧的放缩：对 k ≥ 3，1k² ＜ 1(k − 12)(k ＋ 12) ＝ 1k − 1/2 − 1k ＋ 1/2，求和得 1 ＋ 14 ＋ 25 ＜ 74。✓

放缩是「手艺」而非「公式」：多练才有手感。经验是——先是保留前面几项不动，再对尾部整体放缩，通常这样精度最高。

不等式证明入门

不等式证明没有「万能钥匙」，但有可数的几条主路。这一页把它们排成一张地图。

一个综合演练：已知 a, b, c ＞ 0，证明 a²b ＋ b²c ＋ c²a ≥ 3abc。解法（综合法）：由基本不等式，a²b ＋ b²c ＋ c²a ≥ 3 · ∛(a²b · b²c · c²a) ＝ 3 · ∛(a³b³c³) ＝ 3abc（这里用了三元均值不等式）。等号在 a²b ＝ b²c ＝ c²a 即 a ＝ b ＝ c 时成立。

学写的顺序：先练作差法 50 题，再练综合法配凑，最后练分析法书写。不要一上来就追求巧解——把笨办法写顺，巧办法自己会浮现。

研讨① 等与不等：优化的语言

「相等」与「不等」在数学里是一对孪生子，而它们的分工极其巧妙：约束用等式写，衡量好坏用不等式写。

从一张纸开始。用一张边长为 a 的正方形纸，做成一个无盖方盒。设四个角各剪去边长 x 的小正方形，则盒子体积 V(x) ＝ x(a − 2x)²（0 ＜ x ＜ a2）。

这里「0 ＜ x ＜ a/2」是可行性约束（用不等式写），V(x) 是目标。整个最优化问题就是：在不等式的围栏里，寻找让等式最漂亮的点。

为什么最优点总在「等号成立」的地方？这是整章最深的观察：
① 基本不等式的等号条件是 a ＝ b——两个互相挤压的量达成平衡；
② 二次函数的顶点是导数为零点——上升与下降达成平衡；
③ 线性规划的最优解在顶点——两条边界约束刚好同时卡住；
④ 未来的导数极值点满足 f′(x) ＝ 0——同一个意思。

所以最优化问题的通用语言是：「约束给出可行域（不等式），最优发生在某种平衡（等号）」。当前者与后者恰好相遇，问题就得解。

研讨问题：① 上述方盒问题，用基本不等式能直接求出最大体积吗？（提示：把 x(a − 2x)² 写成 4x · (a − 2x) · (a − 2x) / 4，用三项均值不等式，得最大值 2a³27，在 x ＝ a6 处。）② 「等号成立条件」为什么能帮我们验证最优点？③ 举一个「不等式方向决定问题无解」的例子。

这是本章的纲领页。您以后遇到任何最优化问题，都先问两句：可行域是什么？平衡点在哪？

研讨② 「1」的代换艺术

上一页提到：条件 a ＋ b ＝ 1 时求 1a ＋ 4b 的最小值，关键一步是「乘以 1」：

(1a ＋ 4b)(a ＋ b) ＝ 5 ＋ ba ＋ 4ab ≥ 5 ＋ 2√4 ＝ 9

为什么「乘 1」合法？因为 a ＋ b ＝ 1，乘以它不改变式子的值，但把单向的表达式变成了双向的乘积——从「只有分母」变成「分子分母都出现」，于是基本不等式有了用武之地。

三个变体，同一个灵魂：
① 若 2a ＋ b ＝ 3，求 1a ＋ 1b 的最小值：把 2a ＋ b3 ＝ 1 代进去，即乘 (2a ＋ b)/3。
② 若 a ＋ 2b ＝ 1（a, b ＞ 0），求 2a ＋ 3b 的最小值。
③ 若 a ＞ 0, b ＞ 0, 1a ＋ 1b ＝ 1，求 a ＋ b 的最小值——这次「1」在条件里，可以直接拿来乘。

更妙的一招：加常数造 1。求 y ＝ x² ＋ 3x ＋ 1（x ＞ −1）的最小值。令 t ＝ x ＋ 1 ＞ 0，则 x ＝ t − 1，y ＝ t² − 2t ＋ 4t ＝ t ＋ 4t − 2 ≥ 2，等号在 t ＝ 2。

研讨问题：① 请为 3a ＋ 2b ＝ 1 设计一个「乘 1」求 1/a ＋ 1/b 最小值的题并解出。② 「乘 1」之后为什么必须先展开再套不等式？③ 试说明：当条件的「1」不能被显式写成等式时（如 a ＋ b ≥ 1），这一招为什么失效。

「1 的代换」是把约束搬进目标函数的艺术。它出现在几乎所有条件最值题里，也出现在大学运筹学的拉格朗日乘数法的精神里。

研讨③ 等号成立条件

不等式题的失分，三分之一发生在「忘了验等号」。这一页专门研究这个被轻视的步骤。

先看三个「等号取不到」的典型：

验等号的规矩：
① 每用一次不等式，就把它的等号条件写下来；
② 所有条件联立，看是否有解、且解在定义域内；
③ 有解即取到（把值代回验证一次）；无解则说明放缩过头，须换更紧的路。

研讨问题：① 求 y ＝ 1x ＋ 41 − x（0 ＜ x ＜ 1）的最小值，并写出等号点。② 为什么「等号能取到」是判断放缩是否「刚好够用」的试金石？③ 情形二里若等号条件矛盾，您会怎样补救？

一句行业黑话：「不等式不当，答案全废」。等您学到导数，会发现极值点也有类似的「必须落在定义域内」的要求——这是同一条纪律换了地方出现。

研讨④ 均值不等式链

基本不等式只是链条上的一环。把四个「平均」并排放在一起，会看到一条漂亮的不等式链：

每个平均的物理面孔：
① 调和平均：往返同一段路，去时速度 a、回时 b，全程平均速度是 H——不是 A！这是最常见的「平均陷阱」；
② 几何平均：边长为 a、b 的矩形，面积相等的正方形边长是 G；
③ 算术平均：两数平分；
④ 平方平均：与「能量的平均」有关（因为能量正比于速度平方）。

为什么 H ≤ G ？对 1/a 与 1/b 用算术-几何不等式：1/a ＋ 1/b2 ≥ √(1ab)，两端取倒数即得。整条链的证明都是这种「对倒数/平方用一次基本不等式」的接力。

应用场景的分工：
· 求「和的最小值」用 G ≤ A；
· 求「倒数和的最小值」用 H ≤ G；
· 求「平方和的最小值」用 A ≤ Q；
· 平均值类型的题目，先问「是哪种平均」再动手。

研讨问题：① 上山速度 2 km/h、下山速度 6 km/h，平均速度是多少？用 H 算出答案（3 km/h），并解释为什么不是 4 km/h。② 从链中取 A ≤ Q，证明 a ＋ b ≤ √(2(a² ＋ b²))。③ 若 a ≠ b，四个平均的大小能否相等？为什么？

均值链是「平均数」这个词的完整解剖。日常生活里所有「平均收益」「平均速度」「平均增长率」的争议，追根究底都是「您说的是哪个平均」。

例1 最值求解

（1）解：由基本不等式，y ＝ x ＋ 9x ≥ 2√(x · 9x) ＝ 6，等号当 x ＝ 9x 即 x ＝ 3 时成立（在定义域 x ＞ 0 内）。最小值 6。

（2）解：这里的麻烦是 x − 2 单独出现。做加常数配凑：
y ＝ (x − 2) ＋ 4x − 2 ＋ 2 ≥ 2√4 ＋ 2 ＝ 6，等号当 x − 2 ＝ 2 即 x ＝ 4 时成立。最小值 6。

易错点：若直接写 y ＝ x ＋ 4x − 2 ≥ 2√(4xx − 2)，右边仍含 x，得不到常数——「二定」不满足。这就是为什么必须先把结构凑成「两项相乘为定值」的形状。

配凑的通用动作：让分母单独成项，把分子里与分母同次的部分拆出来。如 x² ＋ 2x ＋ 4x ＋ 1 ＝ (x ＋ 1) ＋ 3x ＋ 1（长除法）。

例2 条件最值

解（1 的代换）：由条件 a ＋ 2b ＝ 1 得 a ＋ 2b1 ＝ 1，故

1a ＋ 1b ＝ (1a ＋ 1b)(a ＋ 2b) ＝ 1 ＋ 2ba ＋ ab ＋ 2 ＝ 3 ＋ (2ba ＋ ab) ≥ 3 ＋ 2√2

等号当 2ba ＝ ab 即 a ＝ √2 b，联立 a ＋ 2b ＝ 1 解得 a ＝ √2√2 ＋ 2, b ＝ 1√2 ＋ 2（都在正数范围内）。最小值 3 ＋ 2√2。

验证：取 a ＝ 0.414, b ＝ 0.293，则 a ＋ 2b ＝ 1.0 ✓，1/a ＋ 1/b ≈ 2.414 ＋ 3.414 ＝ 5.828 ＝ 3 ＋ 2√2 ✓。

这道题是「条件最值」的标准模板。凡是条件是一个等式、目标是分式和，第一反应就是「乘 1 展开」。展开后得到 常数 ＋ 两项，这两项的积恰好是常数——这就是「配凑」成功了。

例3 线性规划

解（建模）：设甲 x 件、乙 y 件，则约束为

2x ＋ y ≤ 10，　x ＋ 2y ≤ 8，　x ≥ 0，　y ≥ 0

目标 z ＝ 3x ＋ 4y（千元）。

求可行域顶点：
· O(0, 0)；
· 2x ＋ y ＝ 10 与 x ＝ 0 交于 (0, 10)，但 x ＋ 2y ＝ 8 把 y 限制在 y ≤ 4，故 (0, 10) 不在可行域，实际顶点是 (0, 4)；
· x ＋ 2y ＝ 8 与 y ＝ 0 交于 (8, 0)；
· 两直线交点：解 2x ＋ y ＝ 10、x ＋ 2y ＝ 8 得 x ＝ 4, y ＝ 2，即 P(4, 2)。

逐点代目标函数：z(O) ＝ 0，z(0,4) ＝ 16，z(8,0) ＝ 24，z(4,2) ＝ 12 ＋ 8 ＝ 20。

答：最大利润出现在 (8, 0)，即只生产甲 8 件，利润 24 千元。

点评：注意 (0, 10) 这个坑——它是两条约束直线的交点，但不满足另一条约束。画可行域时一定要把每条直线都画出来，逐个顶点验证。

若要求 x, y 为整数（实际生产中不能有半件产品），则须检查顶点附近的格点：(4, 2) 是格点且合法，但它的 z ＝ 20 ＜ 24，故整数解仍是 (8, 0)。

例4 不等式综合

（1）解：乘 1 展开：

(1a ＋ 1b ＋ 1c)(a ＋ b ＋ c) ＝ 3 ＋ (ab ＋ ba) ＋ (bc ＋ cb) ＋ (ac ＋ ca) ≥ 3 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 9

等号当 a ＝ b ＝ c ＝ 13 时成立（三个等号条件相容）。最小值 9。

另一条路（柯西不等式）：(1a ＋ 1b ＋ 1c)(a ＋ b ＋ c) ≥ (1 ＋ 1 ＋ 1)² ＝ 9。一步到位，且自动给出「取等需 a ＝ b ＝ c」——这是柯西的优雅之处。

（2）解：把条件改写成 x ＋ y4 ＝ 1，则

1x ＋ 4y ＝ (1x ＋ 4y) · x ＋ y4 ＝ 14(1 ＋ yx ＋ 4xy ＋ 4) ≥ 14(5 ＋ 4) ＝ 94

等号当 y ＝ 2x，联立 x ＋ y ＝ 4 得 x ＝ 43, y ＝ 83。最小值 94。

综合题的通用流程：看清条件形式（是否为 1）→ 决定用「乘 1」还是柯西 → 展开 → 连用基本不等式 → 联立验等号。全流程的每一步都在验算，最后总检一次等号点是否落在定义域内。

研究任务单：包装设计的最省料

任务背景：一盒牛奶的纸盒、一个快递箱、一个易拉罐——包装设计里藏着一道纯粹的最优化题：体积固定时，怎样用料最少？

任务一（无盖长方体盒）：要做一个容积 V ＝ 32 L 的无盖长方体盒，底面为正方形，边长 x dm，高 h dm。写出表面积 S ＝ x² ＋ 4xh，并由 x²h ＝ 32 消去 h，得 S(x) ＝ x² ＋ 128x。用基本不等式求出最小表面积的 x（答案 x ＝ 4 dm，S ＝ 48 dm²）。

任务二（有盖纸箱）：改成有盖，S ＝ 2x² ＋ 4xh，重做一遍，比较两种设计的最省料各是多少。

任务三（实测比较）：去超市量一个真实牛奶盒（长宽高各多少？容积多少？），计算它的表面积与「理论最省」的差距，写一段 150 字的分析：厂家为什么不做成最省的形状？（提示：考虑握持手感、货架摆放、印刷面积、标签规范。）

交付：一页表格（三种设计的 x、h、S）＋ 一段文字分析。

小组探究：不等式链的几何解释

情境：H ≤ G ≤ A ≤ Q 这条链，能不能在一张图上全画出来？能——而且非常漂亮。

作图任务：以 a ＋ b 为直径画一个半圆（a, b ＞ 0）。在直径上取一点 P，使 AP ＝ a、PB ＝ b，设圆心为 O。则：
① 半径 OP' ＝ a ＋ b2 ＝ A；
② 过 P 作直径的垂线交半圆于 Q，则 PQ ＝ √(ab) ＝ G（射影定理）；
③ 过 P 作 OQ 的垂线，垂足为 R，则 PR ＝ 2aba ＋ b ＝ H（相似三角形）；
④ 取 AP、PB 的中点 M，则 OM ＝ |a − b|2，而 OQ ＝ A，由勾股定理可造出 Q 关于 O 的「平方平均」√((a² ＋ b²)/2)。

关键观察：这四个量分别是「从 O 出发不同方向、不同层次的线段长」，而它们的长度关系在图上一眼可见——因为它们分别是半圆上的半径、半弦、以及两个垂足。当 P 移到圆心时（a ＝ b），四条线段重合，等号全部成立。

小组任务：① 画出这张图并标注四个量，用直尺量一组具体数值（如 a ＝ 4, b ＝ 9）验证 H ＝ 72/13 ≈ 5.54 ≤ G ＝ 6 ≤ A ＝ 6.5 ≤ Q ＝ √48.5 ≈ 6.96。② 制作一份 10 分钟的讲解（配图），说明「为什么几何图形能证明代数不等式」。

这一次探究的收获不是「多了一个技巧」，而是「代数的不等式有几何的身体」——这个观念在解析几何与向量章节会反复回来。

研究写作：优化小论文

写作任务：选一个您身边的「最省／最省时／最划算」问题，用一个不等式或线性规划模型解决它，写 800–1200 字小论文。

选题建议：① 食堂打饭窗口排几条队最省时间；② 家里买水果：按「性价比」比价，用加权平均构造一个评价指标；③ 快递包装箱的最省料设计；④ 手机套餐选择：通话与流量两个变量下的函数模型；⑤ 学习时间分配：给三门功课分配时间，让「最短板」最高（这是一个 max-min 问题，用不等式很有趣）。

结构要求：问题与约束（清楚写出什么是可变的、什么是固定的，200 字）→ 模型（目标函数与约束条件，250 字）→ 求解（不等式或线性规划，300 字，含等号验证）→ 结论与反思（与实际生活的差距、模型忽略了什么，250 字）。

一条专业提示：最优化论文里最容易被忽略、也最能加分的一段是「我为什么这样设定目标函数」。因为现实中的「最省」往往是多目标的：省料、省时、美观、方便——选定一个并把其它放进约束，这是建模的第一次取舍。

评价量规：约束表达清楚（25%）、数学正确（30%）、等号与可行性验证（20%）、反思深度（25%）。

研究答辩准备与互评

答辩流程：每人 4 分钟陈述 ＋ 3 分钟答问。陈述五件事：问题原貌 → 我设定的变量 → 目标函数 → 约束条件 → 答案与验证。

答辩自检单：① 我的目标函数是「求最大」还是「求最小」？方向有没有搞错？② 我的约束条件是否都用不等式（或等式）写清楚了？③ 我的答案中，等号成立条件是否真的可以实现？

三个必答题：
① 「若把某个约束放宽 10%，答案会怎么变？」（考察对模型的敏感度。）
② 「您的模型里，哪一条假设最不真实？」（考察诚实度。）
③ 「如果目标是『最公平』而非『最省』，您的模型该怎么改？」（考察迁移能力。）

互评规则：四维打分（约束表达／数学正确／等号验证／应答质量）＋ 一条「我会怎么改进这个模型」的建议。批评必须具体到式子或假设，不许说「不够好」这类空话。

答辩时最有价值的一句话是「我这里不确定」。承认不确定，比编一个漂亮的解释更有学术分量。

挑战：放缩与证明

五题覆盖了本章的五种武器：配凑、乘 1、换元、放缩、单调性。做完请自查每题等号取到的点。

章评估与错题归档

知识清单自评：① 不等式五条性质（特别是乘负变号）；② 作差比较法的标准流程；③ 基本不等式及其四种变体；④ 「一正二定三相等」的检查清单；⑤ 配凑四招（拆项、配系数、乘除同数、代入消元）；⑥ 二次函数最值（含区间讨论）；⑦ 判别式法求值域；⑧ 线性规划三步与顶点定理；⑨ 柯西不等式的形式与会法；⑩ 五条常用放缩；⑪ 均值不等式链与四种平均的实际含义；⑫ 等号验证的规矩。

高频错点归档：同向不等式相减；用基本不等式未验「正」与「定」；等号取不到却直接给最小值；忽略区间导致对称轴落在外面；线性规划漏查顶点合法性（如例 3 的 (0, 10)）；柯西取等条件写成「相等」而非「成比例」；放缩方向反了；忘记写变量的取值范围。

错题三问：错在哪一步？知识缺口还是习惯缺口？同类题的自创例句是什么？

自评标准：把「一正二定三相等」讲给同学，并现场出一道「等号取不到」的题考他。能出好题，说明您抓到了这条知识点真正的坑。

预习桥：导数是最优化的引擎

这一章我们用「凑」与「平衡」解决最优化。但有一类问题，基本不等式根本凑不出来。看这个：

求 f(x) ＝ x³ − 3x 在 x ∈ [0, 2] 上的最大值与最小值

这里 x³ 和 −3x 一项升一项降，凑不出「乘积为常数」的形状——均值不等式失灵。可我们知道答案是：f(1) ＝ −2 是最小值，f(2) ＝ 2 是最大值。怎么得到的？看函数图像的「升降转折」。

而描述「升降转折」的语言，叫导数：f′(x) ＝ 3x² − 3 ＝ 3(x − 1)(x ＋ 1)。f′(x) ＜ 0 时函数下降，f′(x) ＞ 0 时上升——x ＝ 1 处由降转升，故函数在这里取局部最小值。

看清这条通道：不等式是「手工优化」，导数是「机械优化」。不等式依赖灵感与配凑，导数只依赖一个公式——找到 f′(x) ＝ 0 的点，比较端点，完工。这就是为什么第 3 章导数会成为您今后所有最值问题的正规军。

预习任务：① 画出 y ＝ x³ − 3x 在 [−2, 2] 上的草图，标出「升降转折点」。② 预习「平均变化率 Δy/Δx」这个词，并想一想它与「陡峭程度」的关系。

导入：瞬时速度的两千年难题

公元前五世纪，芝诺提出「飞矢不动」：飞行中的箭，在每一个瞬间都占据一个确定的位置，因此它在每个瞬间都是静止的；既然每个瞬间都静止，它怎么会动？这个悖论折磨了数学两千年，因为它卡在一个词上——「瞬间」。瞬间没有长度，怎么谈速度？

十七世纪，两位巨人分头破局。牛顿从物理出发，把「瞬时速度」想成「极短时间内的平均速度的极限」；莱布尼茨从几何出发，把「切线」想成「割线在两点无限靠近时的极限位置」。两条路，同一个答案。

他们的武器叫无穷小分析。麻烦也随之而来：无穷小到底是不是零？说是零，Δy/Δx 就变成了 0/0；说不是零，最后又凭什么把它当成零扔掉？贝克莱主教讥笑这些无穷小是「消逝了的量的鬼魂」。这场争吵持续了一百五十年。

直到十九世纪，柯西与魏尔斯特拉斯用极限的严格定义（ε-δ 语言）把「无限逼近」这件事说清楚，微分学才有了今天这副干净的面孔。而它在高中阶段的名字，叫导数。

这一章您要学的，不只是「怎么求导」，更是「怎么把『变化』这件事变成可以计算的量」——这是近代科学最伟大的技术发明之一。

平均变化率到瞬时变化率

取 x₁ ＝ x₀, x₂ ＝ x₀ ＋ Δx，则 ΔyΔx ＝ f(x₀ ＋ Δx) − f(x₀)Δx。这是「区间上的平均速度」。要得到「某一瞬间的速度」，只有一个办法——让 Δx 不断变小。

自由落体的算例：h(t) ＝ 4.9t²（米）。求 t ＝ 2 秒时的速度。计算 [2, 2 ＋ Δt] 上的平均速度：

4.9(2 ＋ Δt)² − 4.9 · 2²Δt ＝ 19.6Δt ＋ 4.9(Δt)²Δt ＝ 19.6 ＋ 4.9Δt

看这张表：Δt ＝ 0.1 时平均速度 20.09；Δt ＝ 0.01 时 19.649；Δt ＝ 0.001 时 19.6049。越来越靠近 19.6。而那个多余的尾巴 4.9Δt 随着 Δt → 0 趋于 0。

注意这里的关键动作：先化简（把 Δt 约掉，才避开了 0/0），再让 Δt 趋于零。顺序颠倒就会掉进芝诺的陷阱。

导数的定义

三个等价的记号（同一个东西）：f′(x₀)（牛顿—拉格朗日系统）、dydx|_x＝x0（莱布尼茨记号，强调「y 对 x 的变化之比」）。记号不同，含义一致，做题时按题目给的用。

可导的几何前提：导数存在要求「从左边逼近」与「从右边逼近」得到同一个值。对 y ＝ |x| 在 x ＝ 0 处：左导数为 −1，右导数为 ＋1，两者不等，故不可导。图像上表现为一个「尖角」——尖角处没有唯一的切线。

连续与可导的关系：可导 ⇒ 连续；连续 ⇏ 可导（y ＝ |x| 在 0 处连续但不可导）。这条单向箭头要记牢，它是分析函数性态的第一条纪律。

把定义改写成常见形式也很有用：f′(x₀) ＝ lim_x→x0 f(x) − f(x₀)x − x₀。做「已知导数求参数」的题时，这个形式往往比 Δx 版更顺手。

导数的几何意义

为什么？取曲线上两点 P(x₀, f(x₀)) 与 Q(x₀ ＋ Δx, f(x₀ ＋ Δx))，割线 PQ 的斜率恰是 ΔyΔx。让 Q 沿着曲线滑向 P（Δx → 0），割线的极限位置就是切线，而斜率的极限就是 f′(x₀)。切线是割线的极限——这句话是整章最漂亮的句子。

两个高频陷阱：
① 「在点 P 处的切线」与「过点 P 的切线」不同！前者 P 必然是切点，后者 P 只是切线上一点，切点须设 (t, f(t)) 反解。
② 切线与曲线可能还有别的交点——「相切」不意味着「只有一个公共点」。如 y ＝ x³ 在原点的切线 y ＝ 0 与曲线还有交点（原点本身，且曲线穿过切线）。

导数作为斜率的这个身份，让「求最值」和「求切线」看起来像两件事，其实是一件事：水平切线（斜率 0）之处，正是极值候选之处。

基本初等函数求导

从定义出发逐次求导太慢。人们把常用函数的导数做成一张表，以后查表即可。

公式②的示范推导（以 n ＝ 2 为例）：
(x ＋ Δx)² − x²Δx ＝ 2xΔx ＋ (Δx)²Δx ＝ 2x ＋ Δx → 2x。故 (x²)′ ＝ 2x，与公式 nxⁿ⁻¹ 对 n ＝ 2 一致。✓

两个值得记住的「漂亮事实」：
· e^x 的导数等于它自己——这是它成为「自然底」的原因；
· ln x 的导数是 1/x——增长越来越慢，但永不停止。

公式表不必死背到底，但 ②④⑤ 必须张口就来——它们出现在几乎所有导数题里。三角函数的导数（③）在物理的振动问题中反复登场。

运算法则与复合求导

链式法则练手：
① y ＝ (2x ＋ 1)⁵：外层 u⁵，内层 u ＝ 2x ＋ 1，故 y′ ＝ 5(2x ＋ 1)⁴ · 2 ＝ 10(2x ＋ 1)⁴；
② y ＝ ln(3x² ＋ 1)：y′ ＝ 13x² ＋ 1 · 6x ＝ 6x3x² ＋ 1；
③ y ＝ e^−x2：y′ ＝ e^−x2 · (−2x) ＝ −2x e^−x2。

乘积法则的一个易错点：(f g)′ ≠ f′ g′。反例：f ＝ g ＝ x，则 (x · x)′ ＝ 2x，而 f′g′ ＝ 1 · 1 ＝ 1。乘积的导数要多一项，这一项正是「两个量同时变化」的交叉贡献。

链式法则的物理翻译：若 y 关于 u 的变化率是 3，u 关于 x 的变化率是 5，则 y 关于 x 的变化率是 15——变化率相乘，就像「单位换算」的连乘。

单调性与极值

标准流程（求单调区间与极值）：
① 求定义域；② 求 f′(x) 并因式分解；③ 解 f′(x) ＝ 0，得临界点；④ 用临界点把定义域分段，判断每段 f′ 的符号（列表最清楚）；⑤ 写出单调区间与极值。

易错三处：① 忘记先写定义域（含 ln x、分式的题必考）；② 只算 f′(x) ＝ 0 就下结论，没验变号；③ 把「极值」与「最值」混为一谈（极值是局部概念，最值是整体概念）。

「f′(x₀) ＝ 0」只是极值点的必要条件，不是充分条件——这句提醒每年考试都要坑掉一批人。

最值问题

操作三步：
① 求 f′(x)，解 f′(x) ＝ 0，只保留落在 [a, b] 内的根；
② 计算这些根处的函数值与两个端点值 f(a)、f(b)；
③ 比大小，最大的即最大值，最小的即最小值。

例题示范：求 f(x) ＝ x³ − 3x 在 [0, 2] 上的最值。f′(x) ＝ 3x² − 3 ＝ 3(x − 1)(x ＋ 1)，在 [0, 2] 内的根只有 x ＝ 1。计算 f(0) ＝ 0，f(1) ＝ −2，f(2) ＝ 2。故最大值 2（在 x ＝ 2），最小值 −2（在 x ＝ 1）。

开区间或含参的三个变数：
· 若区间是开的（如 (0, ＋∞)），最值可能「取不到」，须讨论极限行为；
· 若 f′(x) ＝ 0 无解，则函数在区间上单调，最值必在端点；
· 若含有参数，则须按「临界点是否落在区间内」分类讨论——这是导数大题的常见骨架。

「端点是必查项」是这一页最实用的一句。很多学生在极值点上算出漂亮答案就收工，忘了端点那个不起眼的值可能才是最大。

导数实际应用

导数的用处，说到底是「把现实问题化成最优化问题」。方法固定为四步：

经典例：矩形围栏。用 60 米篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙那一面不用篱笆），问长宽各多少时面积最大？设垂直于墙的边长 x，则平行墙的边为 60 − 2x，面积 S ＝ x(60 − 2x) ＝ −2x² ＋ 60x（0 ＜ x ＜ 30）。S′ ＝ −4x ＋ 60 ＝ 0 得 x ＝ 15，此时 30 × 15 ＝ 450 m²。检验：x ＝ 15 在范围内 ✓，且 S″ ＜ 0 故为最大。

经典例：最省用料。圆柱形饮料罐（有盖）容积 V 固定，求最省料的高与半径之比。表面积 S ＝ 2πr² ＋ 2πrh，由 πr²h ＝ V 得 h ＝ V/(πr²)，故 S(r) ＝ 2πr² ＋ 2Vr。S′(r) ＝ 4πr − 2Vr² ＝ 0 得 r³ ＝ V2π，代回得 h ＝ 2r——高等于直径时最省料。这就是易拉罐「高瘦形」的数学解释。

实际产品往往不取最优点（真实的易拉罐高大于直径），因为还要考虑握持手感、货架损耗、材料强度。数学给出的是「理论下限」，工程在它之上做取舍。

研讨① 无限逼近：极限思想

「无限逼近」是微积分的灵魂，也是最容易被含糊带过的一句话。这一页我们把它说清楚。

先看一个具体的逼近过程。阿基米德求抛物线弓形面积时，用内接三角形不断填充，每次把剩余空白的面积再补上一半——面积序列是 A, A ＋ A4, A ＋ A4 ＋ A16, …，公比 14，总和趋于 4A3。「趋于」这个词的严格含义是：想让它离目标多近，就能让它多近。

「逼近」的两层含义必须分开：
① 过程：Δx 一步步变小；
② 结果：那个被逼近的确定值（导数 f′(x₀)）。
导数之所以有意义，正因为「过程」收敛到「结果」——若某函数的差商随 Δx → 0 而上下摆动不收敛，它在这一点就不可导。

比「无限小」更危险的词是「无限接近而不相等」。牛顿的批评者正是卡在这里。现代的处理方式很干脆：我们不谈「无限小的数」，只谈「任意给定的正数 ε」——把「无限」翻译成「任给」，悖论就消失了。

研讨问题：① 用「任意给定 ε」的说法重述「1/n → 0」：任给 ε ＞ 0，取 N ＝ ［1/ε］ ＋ 1，则 n ＞ N 时有 |1/n| ＜ ε。请复述这个论证的每一步在做什么。② 「f 在 x₀ 处可导」为什么要求左右两边的差商极限相等？③ 芝诺悖论的解法是把「无限多段」与「无限长时间」混为一谈——请具体指出混淆在哪一步。

极限思想是高中到大学的最后一道门槛。跨过它的标志不是会算极限，而是不再把「无限」当成一个大数。

研讨② 切线的真相

「切线」这个词，您在初中就学过：「与圆只有一个公共点的直线」。可这条定义搬到曲线上会立刻崩塌。

先看三个反例：
① y ＝ x³ 在原点处的切线是 y ＝ 0，它与曲线只有一个公共点（原点），但曲线穿过了切线，「相切」的感觉失灵；
② y ＝ sin x 在 x ＝ 0 处的切线 y ＝ x，与曲线有无穷多个公共点；
③ y ＝ |x| 在原点处，从直觉上「应该」有一条水平的切线，但它不可导，没有切线。

正确定义：切线是割线的极限位置。回顾第 4 页的推导：P 固定，Q 沿曲线滑向 P，割线 PQ 若趋向一条确定的直线，那条直线就是切线。这个定义的好处是不依赖「几个公共点」这种计数式描述，而抓住了「局部方向」这一本质。

由此得到两条重要结论：
① 曲线在某点有切线 ⇔ 该点可导（且切线不竖直）；
② 切线的本质是「曲线在这一点的局部最佳直线近似」。这正是导数在工程上被大量使用的原因——用直线代替曲线，把非线性问题局部线性化。

研讨问题：① 为什么 y ＝ |x| 在原点没有切线？请画出「左边斜率为 −1、右边斜率为 ＋1」的两条割线极限，说明为什么它们不趋于同一条直线。② 求 y ＝ x³ 过点 (0, 0) 的切线方程；再求过点 (1, 0) 的切线方程（注意「过点」与「在点处」的区别）。③ 请举一个曲线与其切线有无穷多个公共点的例子。

「切线」概念的这一课，是「定义的精确化」的典范：当旧定义在更广的场合失效时，数学家不是放弃概念，而是重写定义——而且要写得让旧定义成为特例。

研讨③ 优化三步曲

优化问题的通用剧本只有三步，但每一步都有讲究。我们把第 9 页的两个例子拆开重看一遍。

一个「无解」的情形值得警惕：若 f′(x) ＝ 0 的解落在范围之外，答案就是端点值。如用 60 米篱笆围一个不靠墙的矩形，则 S ＝ x(30 − x)，S′ ＝ 30 − 2x ＝ 0 得 x ＝ 15（在范围内），最大值 225 m²——正方形。「周长固定时正方形面积最大」，这是本页最漂亮的一个副产品。

研讨问题：① 用 60 米篱笆靠墙围矩形，为什么最优解是「宽 15、长 30」而不是正方形？（提示：墙那一边「免费」，等价于周长是 60 ＋ 长。）② 若允许围成半圆形呢？③ 请解释：为什么实际优化题里「检验范围」这一步比纯数学题更重要。

把这三步背下来，遇到任何「用料最省／面积最大／成本最低」的题，您都不会无从下手。建模是方法，不是灵感。

研讨④ 牛顿与莱布尼茨之争

微积分的发明权之争是科学史上最著名的一桩公案。它值得研究，因为它同时涉及数学、时代与人的性格。

时间线：
· 1665–1666 年，牛顿因瘟疫回乡，写出了「流数术」（fluxions）的核心想法；但他迟迟不发表。
· 1675–1676 年，莱布尼茨独立发展出自己的微分学，并在 1684 年正式发表。他发明的记号 dydx 与积分号 ∫ 沿用到今天。
· 1699 年起，双方支持者互相指控抄袭，英国与欧洲大陆的数学界分裂了百余年。

今天的共识：两人各自独立创立了微积分。牛顿更早想到，莱布尼茨更早发表且符号更优。牛顿的「首末比法」偏物理与几何直觉，莱布尼茨的「微分」偏分析与算法形式——现代符号体系几乎全盘来自莱布尼茨。

这场争论的代价很大：英国数学界出于民族情绪坚持使用牛顿的记号，与欧洲大陆交流受阻，此后一百年英国数学明显落后。这是一个关于「非数学因素如何影响数学发展」的经典教训。

研讨问题：① 为什么「独立发明」在数学史上如此常见？（提示：从「问题成熟度」与「时代需要」两个角度思考。微积分出现前，求切线、求面积、求极值、求瞬时速度这四类问题已积累了大量特例方法，缺的只是统一的语言。）② 记号的好坏为什么能影响一门学科的发展速度？以 dydx 与链式法则 dydx ＝ dydu · dudx 为例说明。③ 如果您是当时的评审，如何判定谁先想到？「发表」与「想到」哪个更重要？

这件事给我们的现代启示很实用：想法要写下来，写下来要发出去，发出去要让别人看懂。数学是一门公共事业。

例1 切线问题

（1）解：y′ ＝ 3x² − 2，在 x ＝ 1 处 y′ ＝ 1。验证点 (1, −1) 在曲线上：1³ − 2 ＝ −1 ✓。切线 y ＋ 1 ＝ 1 · (x − 1)，即 y ＝ x − 2。

（2）解：设切点 (t, t³ − 2t)。切线方程 y − (t³ − 2t) ＝ (3t² − 2)(x − t)。因切线过 (0, −2)，代入：

−2 − t³ ＋ 2t ＝ (3t² − 2)(0 − t) ＝ −3t³ ＋ 2t

整理得 −2 − t³ ＋ 2t ＝ −3t³ ＋ 2t，即 2t³ ＝ 2，t ＝ 1。故切点为 (1, −1)，切线 y ＝ x − 2。（本题恰好只有一条，但一般情况可能有两条或多条。）

变式：若把点改为 (0, 0)，方程变为 −t³ ＋ 2t ＝ −3t³ ＋ 2t，即 2t³ ＝ 0，t ＝ 0 是唯一解——切线 y ＝ −2x。若改为 (2, 2)（在曲线上），需注意它是否就是切点。

「过点」题的标准流程：设切点 t → 写切线 → 把已知点代入 → 解 t → 回代得切线。设切点这一步是关键，不要试图直接套 x₀。

例2 单调性讨论

（1）解：定义域 x ＞ 0。f′(x) ＝ 1x − a ＝ 1 − axx。分母为正，故符号由分子 1 − ax 决定。

分两种情形：
· 若 a ≤ 0：1 − ax ＞ 0 对一切 x ＞ 0 成立，f′ ＞ 0，f 在 (0, ＋∞) 上单调递增。
· 若 a ＞ 0：f′(x) ＝ 0 得 x ＝ 1a。当 0 ＜ x ＜ 1/a 时 f′ ＞ 0（递增）；当 x ＞ 1/a 时 f′ ＜ 0（递减）。

（2）解：由（1），a ≤ 0 时 f 递增且 f(x) → ＋∞，不可能恒 ≤ 0。故须 a ＞ 0，此时 f 的最大值在 x ＝ 1a 处取得：

f_max ＝ ln1a − a · 1a ＝ −ln a − 1 ≤ 0

即 ln a ≥ −1，解得 a ≥ 1e。答：a ≥ 1/e。

含参单调性讨论的骨架永远是「导数转化为一个一次或二次因式、让参数决定临界点在不在定义域内」。「f(x) ≤ 0 恒成立」型问题则标准化为「求最大值并令其 ≤ 0」——这类题是全章最高频的考法。

例3 极值最值

解：f′(x) ＝ 3x² − 6x ＝ 3x(x − 2)。临界点 x ＝ 0 与 x ＝ 2，二者都在 [−1, 3] 内。

列表判符号：

极值：极大值 f(0) ＝ 2，极小值 f(2) ＝ 8 − 12 ＋ 2 ＝ −2。

最值：候选值 f(−1) ＝ −1 − 3 ＋ 2 ＝ −2，f(0) ＝ 2，f(2) ＝ −2，f(3) ＝ 27 − 27 ＋ 2 ＝ 2。故最大值 2（在 x ＝ 0 与 x ＝ 3 两处），最小值 −2（在 x ＝ −1 与 x ＝ 2 两处）。

点评：本题最值在端点与内部各取到一个——x ＝ 3（端点）与 x ＝ 0（内部）；x ＝ −1（端点）与 x ＝ 2（内部）。若漏掉端点，最大值会答成 2（对）但依据错；若只算内部极值，最小值会答错。

列表法是这一页最值得学的技术动作。它把「讨论符号」这件繁琐的事变成机械操作：临界点把数轴切段，每段取一个测试点试符号，绝不遗漏。

例4 实际优化综合

（1）解：底面是边长 12 − 2x 的正方形，高为 x，故

V(x) ＝ x(12 − 2x)² ＝ 4x(6 − x)²，　0 ＜ x ＜ 6

（2）解：V(x) ＝ 4x(x² − 12x ＋ 36) ＝ 4x³ − 48x² ＋ 144x，V′(x) ＝ 12x² − 96x ＋ 144 ＝ 12(x² − 8x ＋ 12) ＝ 12(x − 2)(x − 6)。在 (0, 6) 内的根为 x ＝ 2。

检验：0 ＜ x ＜ 2 时 V′ ＞ 0（递增）；2 ＜ x ＜ 6 时 V′ ＜ 0（递减）。故 x ＝ 2 是极大值点，也是最大值点。

V(2) ＝ 4 · 2 · (6 − 2)² ＝ 8 · 16 ＝ 128（dm³）

答：剪去边长 2 dm 的小正方形，最大容积 128 dm³。

对照不等式解法：由三项均值不等式，V ＝ 4x(6 − x)² ＝ 2 · 2x(6 − x)(6 − x) ≤ 2 · (2x ＋ (6 − x) ＋ (6 − x)3)³ ＝ 2 · 4³ ＝ 128，等号当 2x ＝ 6 − x 即 x ＝ 2。两条路同解——不等式更快，导数更通用。

此题是「优化」的样板：设变量 → 建函数 → 求导 → 验范围 → 答问。注意定义域 (0, 6) 的开区间身份——x → 0 或 x → 6 时盒子退化，体积趋于 0，所以最大值确实在内部取得。

研究任务单：易拉罐的最优设计

任务背景：上一节的理论结论是「高等于直径时最省料」。但您去超市量一量，真实的 330 mL 易拉罐是高约 11.5 cm、直径约 6.6 cm——高几乎是直径的 1.75 倍，远不是「高＝直径」。差异从哪里来？

任务一（理论计算）：取 V ＝ 330 mL ＝ 330 cm³，求「高＝直径」时的 r、h 与最小表面积（答案：r ≈ 3.74 cm，h ≈ 7.48 cm，S ≈ 264 cm²）。

任务二（加入约束重算）：真实的易拉罐两端比侧面厚（顶部罐盖用铝量更大），把材料用量写成加权面积 C ＝ k_侧·2πrh ＋ k_端·2πr²。取 k_端/k_侧 ＝ 3（罐盖较厚），重新求最优的 h/r。您会发现最优比值变大了——加权的目标函数给出不同的最优点。

任务三（实地测量）：量三个不同品牌易拉罐的 r、h，算 h/r 与加权模型的最优值比较，写 200 字分析——还有哪些因素在起作用？（握持直径适合人手的尺寸限制、货架空间利用、罐体强度、充气压力。）

交付：一页计算 ＋ 一页测量记录 ＋ 一段分析。

小组探究：函数图像生成器

情境：您现在有能力「不看图就知道图的形状」——只要分析 f、f′（甚至 f″）就能画出精确的草图。这是导数最实用的本领之一。

作图清单（六步）：
① 定义域（含奇偶性、周期性）；
② 截距：令 x ＝ 0 求 y，令 y ＝ 0 求 x；
③ 单调区间与极值：解 f′ ＝ 0，列表；
④ 端点行为／渐近：x → ±∞ 或趋向定义域边界时的趋势；
⑤ 关键点：极值点、零点、拐点（若有）；
⑥ 连线：按单调性把关键点平滑连接。

小组任务（三张图）：
① f(x) ＝ x³ − 3x——经典三次函数，两处极值、一个零点对称中心；
② g(x) ＝ xx² ＋ 1——在 x ＝ ±1 处取极值 ±1/2，讨论它在无穷远的渐近行为；
③ h(x) ＝ ln xx（x ＞ 0）——在 x ＝ e 处取最大值 1/e，并解释「为什么 h 在 x ＞ e 后下降却永不触及 0」。

互查规则：每张图必须能在校核工具（图形计算器或 Python 绘图）上对拍；若形状不符，找出是六步中的哪一步漏了。

作图能力的真正标志：拿到一个陌生函数，能先说出「它大概长什么样」，再动笔。这就是「数形结合」的实战形态。

研究写作：优化应用报告

写作任务：找一个真实场景里的优化问题，用导数方法求解，写 1000–1500 字的应用报告。

选题建议：① 教室里的灯管高度与照度（照度与距离平方反比，寻找最优悬挂高度）；② 从公路边某点拉电线到远处农舍（边坡上走一段、再下坡走一段，路径最短）；③ 药厂生产某种药物的成本函数与产量（边际成本）；④ 快递站点的选址（总距离最小）；⑤ 校园内最省时的路线规划（把路程、速度、等待时间分段建模）。

报告结构：问题描述（谁在做什么、为什么要优化，200 字）→ 变量与假设（明确说明简化了什么，200 字）→ 模型与求解（目标函数、导数、临界点、检验，500 字，须有计算过程）→ 结果解释（答案在实际中意味着什么，200 字）→ 敏感性分析（把某个参数变动 10%，最优解怎么变？这部分最能体现专业度，200 字）。

一条提示：「敏感性分析」是工程师与学生的分水岭。给学生一个数，他会算；给工程师一个问题，他会问「这个数靠谱吗，变动一点会怎样」。

评价量规：建模合理（25%）、计算正确（30%）、结果解释（20%）、敏感性分析（25%）。

研究答辩准备与互评

答辩流程：每人 5 分钟陈述 ＋ 3 分钟答问。陈述六件事：问题 → 变量 → 目标函数 → 求导过程 → 答案与检验 → 敏感性。

答辩自检单：① 我的目标函数是不是一元函数？（若不是，说明消元没做完。）② 临界点是否落在定义域内？③ 我如何确定它是极大而非极小？④ 若把参数变动 10%，答案会怎样？

三个必答题：
① 「如果改用不等式方法，您能否得到同样的答案？」（考察方法的贯通。）
② 「您的模型在什么条件下会失效？」
③ 「若问题改为『成本最低』而非『用料最省』，您的目标函数怎么变？」

互评与同伴检验：每位听众用计算器独立验算一次陈述者的关键一步（通常是求导或解方程），若不符当场指出。这个过程叫「审稿」，是学术共同体的日常。

答辩的成熟标志：能坦然说「这一步我做得不够严谨，课后会补上」。知道自己哪里薄弱，比全对更有价值。

挑战：含参讨论

含参讨论题的纪律：先求导、再因式分解、再让参数决定「零点是否落在定义域内」。分类讨论不求全求快，求「不漏」。

章评估与错题归档

知识清单自评：① 平均变化率与瞬时变化率的区别与联系；② 导数的定义式与两种等价写法；③ 可导与连续的关系（单向）；④ 导数的几何意义与切线方程（含「过点」与「在点处」的区别）；⑤ 基本导数公式表五条；⑥ 四则运算与链式法则；⑦ 单调性判据与极值判定（含「变号」要求）；⑧ 闭区间最值三步；⑨ 优化建模四步；⑩ 含参讨论的骨架；⑪ 极限的「任意小」含义；⑫ 切线是割线的极限。

高频错点归档：忘记写定义域；把 f′(x₀) ＝ 0 直接当成极值点；「过点 P 的切线」直接套 x₀；乘积法则漏项；链式法则漏乘内层导数；闭区间最值只算极值漏端点；优化题不写变量范围；含参讨论漏情形（尤其「a ＝ 0」与「临界点在区间外」）。

错题三问：错在哪一步？知识缺口还是习惯缺口？同类题的自创例句是什么？

自评标准：把「切线是割线的极限」这个说法讲给同学听，并能解释为什么 y ＝ |x| 在原点没有切线。讲明白了，说明您抓住了导数的几何本质。

预习桥：圆锥曲线登场

导数处理的是「曲线的局部」——某一点的切线方向、某一段的升降。但它回答不了一个问题：这条曲线整体是从哪里来的？ 下一章我们要换一个视角，从一个纯粹的几何操作出发，造出一族极其重要的曲线。

先做一个思想实验：拿一个圆锥面，用一个平面去截它。平面与圆锥轴线的夹角不同，截出来的曲线形状也不同——
· 平面垂直于轴线 → 圆；
· 平面略倾斜 → 椭圆；
· 平面与母线平行 → 抛物线；
· 平面再陡一些 → 双曲线。
这就是两千三百年前阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》里的发现。它们被称为「圆锥曲线」，也叫「圆锥截线」。

为什么高中生要学它们？因为它们是「现实世界最常用的曲线」：行星轨道（椭圆）、抛物面天线（抛物线）、双曲线导航系统、冷却塔的截面。而且它们有一副统一的面孔——都可以用「到定点的距离」与「到定直线的距离」之比来定义，这个比值叫离心率。

下一章我们从椭圆开始。您会看到解析几何的完整工序：用定义建立方程 → 用方程研究性质 → 用代数方法破解几何问题。导数与解析几何，是您在高中阶段掌握的两把最有力的工具。

预习任务：① 用一根绳子和两枚图钉画一个椭圆（绳长大于两钉距离），观察随着钉子靠近／远离，形状如何变化。② 预习「椭圆的标准方程 x²a² ＋ y²b² ＝ 1（a ＞ b ＞ 0）」，数一数式子里有几个待定常数。

导入：行星的轨道是椭圆

古希腊人相信天体走的是完美的圆——圆是「最完美」的图形，天上是「完美」的世界。这个信念统治了一千八百年，直到 1609 年，开普勒在《新天文学》里公布了他从第谷·布拉赫留下的大量火星观测数据中挖出的结论：行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

这个结论的诞生极具戏剧性。开普勒最初也假定轨道是圆，但圆形模型总与观测数据差 8 弧分（约 0.13°）——一个肉眼几乎看不出的偏差。开普勒没有把这点误差「四舍五入」掉，他写道：「这 8 弧分指明了一条通往天文学彻底革新的道路。」他放弃圆，改试椭圆，误差消失了。

更惊人的是第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。这两条定律背后，是牛顿后来在《自然哲学的数学原理》里用「平方反比引力」推出的必然结果——椭圆的几何性质，成了万有引力定律的证据。

这一章我们从最基础的几何定义出发，用解析几何的方法把椭圆彻底解剖：定义 → 方程 → 性质 → 应用。您会看到，古希腊人两千三百年前用「圆锥截线」定义出的图形，最终成了描述宇宙的语言。

附一段中国古算的呼应：《九章算术》「勾股」章用弦图处理直角三角形的关系，而圆锥曲线的一切性质都从「a² ＝ b² ＋ c²」这条勾股关系里长出来——椭圆的半长轴、半短轴、半焦距恰好构成一个直角三角形。

椭圆的定义与标准方程

为什么必须大于焦距？如果 2a ＝ 2c，点只能在两焦点之间的线段上（退化成线段）；如果 2a ＜ 2c，这样的点不存在（三角形两边之和大于第三边）。「和大于焦距」是椭圆存在的底线。

标准方程的推导（一次完整的坐标法演练）：取 F₁(−c, 0)、F₂(c, 0)，设动点 P(x, y)，由定义得

√((x ＋ c)² ＋ y²) ＋ √((x − c)² ＋ y²) ＝ 2a

移项后平方（这就是全部的技术含量）：第一步移项得 √((x ＋ c)² ＋ y²) ＝ 2a − √((x − c)² ＋ y²)，两边平方展开化简得 a² − cx ＝ a√((x − c)² ＋ y²)，再平方整理得

(a² − c²)x² ＋ a²y² ＝ a²(a² − c²)

因 a ＞ c ＞ 0，可令 b² ＝ a² − c² ＞ 0，两边同除 a²b² 得 x²a² ＋ y²b² ＝ 1（a ＞ b ＞ 0）——这就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程。

对称地，焦点在 y 轴上时标准方程为 y²a² ＋ x²b² ＝ 1（a ＞ b ＞ 0），此时焦点为 (0, ±c)。看哪个分母大，焦点就在哪个轴上——这是判定的唯一标准。

注意 b² ＝ a² − c²：a（长半轴）、b（短半轴）、c（半焦距）恰好是一个直角三角形的三边，斜边是 a。这条勾股关系是椭圆全部性质的源头。

椭圆的几何性质

以 x²a² ＋ y²b² ＝ 1（a ＞ b ＞ 0）为例，逐条列出它的几何性质。

为什么要研究「范围」？因为它常常能一步排除错误答案。如判断点 (3, 1) 在椭圆 x²9 ＋ y²4 ＝ 1 内还是外：代入看值，99 ＋ 14 ＝ 1.25 ＞ 1，故在外部。判定口诀：代入左边，小于 1 在内，等于 1 在上，大于 1 在外。

四个顶点与「对称」的实用价值：椭圆题里的对称点常被用来构造辅助线。若 P(x₀, y₀) 在椭圆上，则 (−x₀, y₀)、(x₀, −y₀)、(−x₀, −y₀) 都在椭圆上——这一条能把「求一个点」的问题变成「求四个点」。

性质②的代数解释：把 x 换成 −x，方程不变 ⇒ 关于 y 轴对称；把 y 换成 −y，方程不变 ⇒ 关于 x 轴对称。「方程的不变性」就是「图形对称性」，这是解析几何最漂亮的一处对应。

离心率

它的几何含义是「扁平程度」：
· e → 0（即 c → 0，两焦点几乎重合）时，b → a，椭圆越来越接近圆；
· e → 1（即 c → a，b → 0）时，椭圆越来越扁，趋于一条线段。

记忆诀窍：e 衡量「焦点离开了中心多远（相对于长半轴）」。焦点越靠外，图形越扁。