数的新语言

本书怎么读：一章十五页

全书按「章」前进，每章恰好十五页。理论章的节奏是：第 1–3 页概念（从身边事引进新概念，配定义框）、第 4–8 页方法（法则一条一条立起来）、第 9–12 页例题（例 1–例 4，带完整解答）、第 13 页思想卡（一页只说一个数学思想）、第 14–15 页格物札记（把《九章算术》的古智慧与现代数学接通）。游戏章的节奏是：导入→规则→试玩×3→策略×3→进阶×3→复盘→思想卡→对弈赛→任务。综合站的节奏是：导入→热身→挑战×5→讲评→进阶×2→创意工坊→复盘→思想卡→对弈赛→任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12；绝对值写成 |−3| ＝ 3；未知数用字母 x，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；不等号 ＞ ＜ ≥ ≤ ≠ 各就各位；平方根写作 √2，平方与立方用小肩数字 x²、a³；点坐标写作 (2, −1)；函数写作 y ＝ 2x − 1；圆周率 π ≈ 3.14。中括号写成 ［　］，比例号 ∶。

导入：天气预报里的 −3℃

冬天的早晨，天气预报说「今日最低气温 −3℃」。这里的「−3」是什么意思？比 0℃ 还要低 3 度。夏天的空调房是 +26℃，简写成 26℃。您看，温度自己带了一把「方向」：零上是正，零下是负，0℃ 是它们共同的起跑线。

再看天气预报图：电梯按钮里的「−1 层」是地下一层；微信钱包里的「−5.00 元」是支出五元。这些数前面的「−」不是减号，而是数的一部分——它告诉您这个数站在 0 的哪一边。

数学的新语言，从「给数安一个方向」开始。这一章我们学会读、写、比较、运算这套带方向的新语言。

具有相反意义的量与负数引入

收入 100 元与支出 100 元，上升 5 米与下降 5 米，零上 3℃ 与零下 3℃——每对量意义相反。规定其中一方为正，另一方就用负表示。习惯上：收入、上升、零上、向东为正；支出、下降、零下、向西为负。

注意：「−」号是数的属性，不是运算指令。−3 是一个完整的、确定的数，读作「负三」，它比 0 小。

有理数家族：整数与分数

把学过的数按「方向」重新排一次队，就得到有理数家族的家谱：

例如：5 与 −5 是一对相反方向的整数；12 与 −12 是一对方向相反的分数。0 独自坐在正中央。

「有理」这个词来自 ratio（比）：每个有理数都能写成两个整数之比 pq（q≠0）。这个名字到八年级学 √2 时还会再见面。

数轴三要素：原点·单位·方向

要让「带方向的数」看得见，最好的工具是一根数轴。画一条水平直线，具备三要素：

三要素缺一不可：没有原点，「−2 在哪儿」无从说起；没有单位长度，−2 与 −20 画出来一样长；没有正方向，正负就混乱了。

数轴是数学里第一座「数形之桥」：数住进了直线上的房子，直线的每个路口也有了名字。

用数轴表示有理数

把数放到数轴上，口诀是「定点看三步」：先找原点，再看方向，最后数格子。

例：表示 −2.5——从原点向左走 2.5 个单位；表示 +32——从原点向右走 1.5 个单位。分数、小数都能找到自己的房子，因为数轴上的点排得比整数密得多。

反过来，数轴上任意一点也有自己对应的数（八年级会讨论「每个点都有数住吗」——那里住着 √2 这样的新客人）。

相反数与双重符号化简

在数轴上，相反数就是关于原点对称的两个点：一个在左，一个在右，到原点一样远。

双重符号化简：＋(−2) ＝ −2（加上「负 2」）；−(−2) ＝ +2（「负 2 的相反数」是 2）；−(+2) ＝ −2。口诀：同号得正，异号得负——把「−(−2)」看成问「谁的相反数是 −2」，答案自然是 2。

有理数大小比较

法则二：两个负数比大小，绝对值大的反而小。例如 −3 与 −1：−3 离原点更远，却在更左边，所以 −3 ＜ −1。想象欠债：欠 3 万比欠 1 万「更穷」（更小）。

比较 −23 与 −34：先比绝对值 23 ＝ 812 ＜ 912 ＝ 34，负数「大的反而小」，所以 −23 ＞ −34。

有理数加法法则

数轴图景：加正数向右走，加负数向左走。(−7)＋(+3) 就是先站到 −7，再向右挪 3 格，落在 −4。

这套法则到第 14 页还会见到它的祖先——《九章》正负术，两千年前的算学家早已把「异号相除」说得明明白白。

例1 数轴表示与读数

解：画水平直线，标原点、画箭头、取单位长度 1。2.5 在原点右侧 2.5 格；−1 在左侧 1 格；−3.5 在左侧 3.5 格；12 在右侧半格。

比较位置：−3.5 最靠左，所以最小的数是 −3.5。四个点中最靠右的是 2.5，它最大。

在数轴上，「谁大谁小」变成「谁左谁右」，一眼可判。

例2 相反数与化简

解：−3.5 的相反数是 3.5（数轴上关于原点对称）。

−(−4)：−4 的相反数是 4，故 −(−4)＝+4。

−[＋(−6)]：由内向外，＋(−6)＝−6；再取相反数得 6。符号连乘规律：负号有偶数个结果为正，奇数个结果为负。

例3 加法运算律的运用

解：运用加法交换律与结合律，把同号的凑在一起：

原式 ＝ (16＋24) ＋ [(−25)＋(−35)] ＝ 40 ＋ (−60) ＝ −20

再看一题：(−34) ＋ 13 ＋ 34 ＋ (−13)——互为相反数的先配对：(−34＋34)＋(13−13)＝0＋0＝0。

小学学的交换律、结合律在有理数世界照常营业——运算律是数的「宪法」，扩张数系时它们必须保留。

例4 数轴上的行程问题

解：向右为加，向左为减（下一章正式学减法，这里用「向左走」理解）：0＋5＝5；5 向左 8 格到 −3；−3 向右 2 格到 −1。

0 ＋ 5 ＋ (−8) ＋ 2 ＝ −1

答：最终落在表示 −1 的点上。位置只看「净移动量」，与路径顺序无关——这就是加法交换律的行程版。

〔少广〕少生多：负数让数系张开

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札记① 《九章·方程》正负术：损益之数

「同名相除」＝同号相减（绝对值相减）；「异名相益」＝异号相减时绝对值相加——这正是有理数减法法则！「正无入负之」＝0 减正数得负数。四句话，把正负数加减运算说得干干净净，比欧洲同类记载早了一千多年。

「方程」章解三元方程组时，消元过程中必然出现「不够减」的场面，正负术就是为此而生的算法补丁。数学史上许多新数，都是在「算下去」的逼问中诞生的。

札记② 从算筹「正算赤，负算黑」到 ± 号

古人没有「−」号，怎么记负数？魏晋数学家刘徽注《九章》说：「正算赤，负算黑」——正数用红色算筹，负数用黑色算筹。也有人在算筹上斜放一根表示负。颜色与摆放，就是最早的「符号语言」。

西方直到 17 世纪才普遍接受负数，有人讥讽它「比虚无还小，岂不荒谬」。今天我们在天气预报里天天读 −3℃，不妨想想：让「荒谬」变成常识的，正是数学一次次扩张定义的勇气。「±」号于 15 世纪出现在欧洲账本上，从此方向住进了数里。

导入：距离不分正负——两站之间几公里

地铁从 A 站到 B 站 4 公里。不管车是向东开还是向西开，「A 到 B 的距离」都是 4 公里——距离没有方向，它永远不会是负数。

温度计上，+3℃ 与 −3℃ 的读数一上一下，但它们「离开 0℃ 的距离」一样远。 accountant 看账户，+500 与 −500 意义相反，但「变动幅度」都是 500。

把「方向」扔掉、把「远近」留下——这就是本章主角：绝对值。

绝对值的定义与几何意义

几何意义一目了然：|3|＝3（3 到原点 3 格），|−3|＝3（−3 到原点也是 3 格），|0|＝0。

距离天然非负，所以绝对值也天然非负——这是它最重要的性格：|a| ≥ 0。两个互为相反数的数，绝对值相等：|a| ＝ |−a|。

|a| 的代数表达

离开数轴，用「语言的规则」表达绝对值：

注意第二条：当 a 是负数时，|a|＝−a 是「负负得正」——比如 a＝−5 时，|a|＝−a＝−(−5)＝5。绝对值像一个「去方向器」：正数原样通过，负数翻面，0 原地不动。

由此得到常用结论：若 |x| ＝ 5，则 x ＝ 5 或 x ＝ −5——到原点距离为 5 的点有两个。

有理数减法法则

例：3 − 5 ＝ 3 ＋ (−5) ＝ −2（比 3 少 5，欠 2）；(−2) − (−6) ＝ (−2) ＋ 6 ＝ 4（−2 与 −6 相比，−2 「大」4）。

减法转化为加法后，上一章的加法法则全部适用——化新为旧，是数学处理新问题的惯用手法。

加减混合运算

加减混合运算统一成「加法之和」再进行：先把减法全部化为加法，写成省略加号的「代数和」，再运用交换律、结合律凑整。

(−20) ＋ 3 − 5 − (−7) ＝ −20 ＋ 3 ＋ (−5) ＋ 7 ＝ (−20−5) ＋ (3＋7) ＝ −25 ＋ 10 ＝ −15

把式子读成「正 3、负 20、负 5、正 7 的和」，加减号的区别就消失了——只剩一串带符号的数相加。

含绝对值的化简

化简含绝对值的式子，关键是先判断绝对值符号内数的正负，再套定义。

例：化简 |−7|＋|3|−|−2|。每个绝对值内部都是确定的数：|−7|＝7，|3|＝3，|−2|＝2，故原式＝7＋3−2＝8。

再例：已知 a＜0，化简 |a|＋a。a＜0 时 |a|＝−a，故 |a|＋a＝−a＋a＝0。互为相反数的数，绝对值与自身的和恒为 0。

绝对值方程初探

解 |x| ＝ 4：到原点距离为 4 的点有两个，x＝4 或 x＝−4。这是第一次遇到「一解变两解」的方程。

解 |x−2| ＝ 3：把 x−2 整体看作一个数，它到原点距离是 3，故 x−2＝3 或 x−2＝−3，解得 x＝5 或 x＝−1。几何解释：到「2 这个位置」距离为 3 的点，在 2 的左右各一个。

注意陷阱：|x| ＝ −3 无解——距离不可能是负数。

绝对值与距离问题

推广：数轴上 a、b 两点间的距离 ＝ |a−b|。它与方向无关，只与位置差有关。

例：−3 与 5 之间的距离 ＝ |5−(−3)| ＝ |8| ＝ 8。检验：从 −3 走到 5 确实要跨 8 格。

|x−1| ＋ |x+2| 的最小值：它表示 x 到 1 与到 −2 的距离之和。当 x 站在两点之间时，距离之和恰好等于两定点之距 |1−(−2)|＝3；站在两点之外只会更远。最小值为 3。

例1 化简与求值

解：|−9|＝9，|−4|＝4，|−1|＝1，|−5|＝5。

原式 ＝ 9 − 4 ＋ 1×5 ＝ 9 − 4 ＋ 5 ＝ 10

先给每个绝对值「脱帽」，再按先乘除后加减的顺序算——绝对值当括号用。

例2 绝对值几何意义应用

解：两个绝对值都 ≥ 0，它们的和为 0，只能两个都为 0（「非负数之和为零，则每个都是零」）。

故 a−3＝0 且 b+2＝0，得 a＝3，b＝−2。

这个「非负零和」技巧以后反复登场：绝对值、平方数 a²，都是天然的非负数。

例3 最短距离问题

解：式子是 x 到 2、−1、4 三点距离之和。直观想象：x 是公交站，要让到三站的步行总和最短，站应设在中间那站（中位数位置）——x＝2。

此时距离和 ＝ |2−2|＋|2+1|＋|2−4| ＝ 0＋3＋2 ＝ 5。

为什么取中间？x 站在中间点时，最远两端的距离之和已锁定为 |4−(−1)|＝5，中间点的贡献为 0。

例4 分类讨论初体验

解：每个分式的值只取决于该数正负：正数为 1，负数为 −1。三个 ±1 相加，按正数个数分类：

三个正：1＋1＋1＝3；两正一负：1；一正两负：−1；三个负：−3。

答：可能的值为 3、1、−1、−3，共四种。

「按符号分类讨论」是含绝对值问题的基本功：情况不多时，一一枚举最稳妥。

绝对值：把方向问题变成距离问题

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札记① 距离的数学：度量思想浅说

绝对值给出的「数轴距离」恰好满足这三条，它是我们遇到的第一个严格度量。「距离」一旦抽象化，就能住进各种世界：平面上用勾股定理算距离，字符串世界里有编辑距离，城市街区里有「曼哈顿距离」——出租车只能横平竖直地开，距离＝|Δx|＋|Δy|。

同一个「距离」概念，在不同空间换一身衣服——这是现代数学「结构」思想的雏形。

札记② 从绝对值到「模」：一个概念的远行

绝对值 |a| 在高中会遇到亲戚：向量 a 的「模」|a| 表示向量的长度；复数 3＋4i 的模 √(3²＋4²)＝5。它们都是「到零点的距离」在不同世界里的化身。

高斯整数 Z[i] 里，「质数」名单也会因距离（范数 N(a＋bi)＝a²＋b²）重排：普通质数 5 在高斯世界里不再质（5＝(2＋i)(2−i)），而 3 依然固若金汤。换一把尺子，就换一个世界——绝对值是我们手中最早的一把尺。

导入：字母进场——用字母写规律

连续奇数求和：1＝1²，1＋3＝4＝2²，1＋3＋5＝9＝3²……照这样写下去，写不完。换一种写法：前 n 个奇数之和等于 n²。一个字母，装下无穷多行等式。

再如：皮球落地反弹高度总是前一次的 0.6 倍。第 n 次反弹多高？——0.6ⁿ × 原高度。字母 n 一站出来，规律立刻「一步到位」。

从这一章起，字母正式加入数的队伍。它不是替身的代号，而是一种新工具：让规律可以被写下来、被运算、被推理。

代数式与单项式·多项式

单项式：数与字母的积，如 3x²、−5ab、x。其中的数字因数叫系数，所有字母指数之和叫次数：3x² 的系数是 3、次数是 2。

多项式：几个单项式的和，如 x²＋2x−1。其中每个单项式叫项，最高次项的次数叫多项式的次数。书写习惯：数字在前字母在后，带分数化假分数（32a 写成 3a2）。

同类项：物以类聚

3x²y 与 −5x²y 是同类项（字母部分完全相同）；3x²y 与 3xy² 不是（指数各奔东西）。判断同类项只看字母部分，与系数无关。

类比：苹果 3 个＋苹果 5 个＝苹果 8 个，可以合；苹果 3 个＋橘子 5 个没法合成「8 个苹果橘」。同类项才能合并，这正是下一页的方法。

合并同类项

依据是分配律的反向使用：3x＋5x＝(3＋5)x。合并是「清点同类」：把散落的同类项收拢成一项。

例：4a²＋3b−2a²＋b ＝ (4−2)a² ＋ (3＋1)b ＝ 2a²＋4b。合并后多项式变短，但值不变——这是「恒等变形」。

去括号法则

a＋(b−c)＝a＋b−c；a−(b−c)＝a−b＋c。依据仍是分配律：−(b−c)＝(−1)×(b−c)＝−b＋c。

易错警报：3−2(x−1) 去括号得 3−2x＋2，不是 3−2x−1——「−2」要与括号内每一项相乘，−2×(−1)＝+2。

添括号与整体思想

去括号是「拆」，添括号是「装」：装进「＋」号括号，各项不变号；装进「−」号括号，各项变号。

例：a−b＋c−d ＝ a−(b−c)−d ＝ (a＋c)−(b＋d)（验证：(a＋c)−(b＋d)＝a＋c−b−d ✓）。

整体思想：已知 x＋y＝3，求 2x＋2y−5。不必分别求 x、y，把 x＋y 装进括号当整体：2(x＋y)−5＝6−5＝1。字母可以代表一段式子，这是字母表示数的高阶用法。

整式加减综合步骤

例：(3a²−2a＋1) − (2a²＋a−4)

＝ 3a²−2a＋1 − 2a²−a＋4 ＝ a² − 3a ＋ 5

减号像一阵风，吹过括号翻遍所有符号——这是最常失手的一步，检查时可以「挑一个特殊值代入」验算：设 a＝1，原式＝(3−2＋1)−(2＋1−4)＝2−(−1)＝3，化简式＝1−3＋5＝3 ✓。

代数式求值与程序运算

代数式求值：把字母换成具体数值，「按程序」算出来。求值前先化简，往往事半功倍。

例：当 x＝−2 时求 3x²−(2x²−4x＋1)。先化简：＝x²＋4x−1；代入 x＝−2：＝4−8−1＝−5。

「程序运算」：若输入 x 先「×2 再＋3」得 2x＋3，那么输入 −4 输出 2×(−4)＋3＝−5。反过来问「输入什么得 7」，就是解方程 2x＋3＝7——程序倒放，即下一章的主角。

例1 列代数式

解：(1) 3a＋5；(2) x2 − 2；(3) a² − b²。

列代数式的关键：抓「运算顺序」的语言标记——「的 3 倍」是 ×3，「大 5」是＋5，「比……小 2」是减 2。读句拆步，逐句翻译。

例2 合并同类项

解：分拣——xy 类：4xy−xy＝3xy；x² 类：−3x²＋2x²＋x²＝0；常数：−5。

原式 ＝ 3xy − 5

x² 类三兄弟互相抵消，一个不剩——合并同类项是「大扫除」，扫完房子清爽多了。通常把结果按某字母的降幂排列，看起来更整齐。

例3 化简求值

解：先化简：＝2a²b − 2ab² − 3ab² ＋ 3a²b ＝ 5a²b − 5ab²。

代入 a＝−1，b＝2：5×1×2 − 5×(−1)×4 ＝ 10 ＋ 20 ＝ 30。

「先化简、后代入」省下一半力气：直接代入原式要算 6 次乘法，化简后只算 2 次。

例4 规律探索型问题

解：每行是奇数数列 1, 3, 5, …，第 n 行有 2n−1 个。

前 n 行共 1＋3＋…＋(2n−1)。用「补形法」：把点阵补成 n×n 正方形，缺的恰好是同一个三角形倒扣过来，故和＝n²2 ×2 ＝ n²——与第 1 页的发现重逢：前 n 个奇数之和等于 n²。

规律题三步：列特例 → 猜公式 → 验证几项。证明留给将来的「数学归纳法」。

〔方程〕用字母思考：符号是压缩的语言

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札记① 从天元术到代数符号

李冶《测圆海镜》（1248 年）用天元术解几何题，列式过程与我们今天的「设 x、列方程」几乎同构：天元术里「天元幂」就是 x²、x³，只是住在算筹的位置阵列里而非纸上的字母中。

符号有国别，思想无国界：把「未知量」形式化并参与运算，是东西方数学各自独立走通的路。

札记② 李冶《测圆海镜》：天元一是谁

「天元一是谁？」——天元术规定：未知数的零次幂（常数项）位置标一个「太」字，一次幂位置摆「元」字。所谓「立天元一为某某」，就是「设未知数为 x」，只是表述庄重如古文。

《测圆海镜》全书 170 题全部围绕一个圆与直角三角形的关系展开，每一题都示范「从几何到方程」的翻译。七百年后，数学家发现其中许多方程组竟与近代解析几何思路暗合。好的方法自己会长脚——从算筹走到字母，从《测圆海镜》走到您的练习本。

导入：丢番图墓志铭——人生几分之几

公元 3 世纪，亚历山大城的数学家丢番图去世后，墓碑上刻着一道题：「他一生的六分之一是童年；十二分之一是少年，长了胡须；七分之一结婚；婚后五年得子；儿子只活到父亲年龄的一半；丧子四年后老人也去世了。」

设他活了 x 岁，把墓志铭翻译成式子：

x6 ＋ x12 ＋ x7 ＋ 5 ＋ x2 ＋ 4 ＝ x

解出 x＝84（下一页学解法）。一道千古名题，被一个字母加上一个等号轻松拿下——等号，就是本章的钥匙。

方程与方程的解

检验一个数是不是解，只需代入验算：x＝2 是不是 3x−4＝2 的解？左边＝3×2−4＝2＝右边 ✓。

方程与算术式的区别：算术式「已知全部，算出答案」；方程「答案藏起，列出关系」。从算到方程，是从「正向计算」转向「反向推理」。

等式的两条性质

等式像一架天平：两边同放砝码、同取砝码、同倍增减，天平依旧平衡；但「除以 0」是不存在的操作，天平会塌。

这两条性质就是「动方程」的执照：一切解方程的手段，都是对天平两边做合法操作。

移项与合并

例：解 3x＋7＝32−2x。移项：3x＋2x＝32−7（＋7 右移变 −7，−2x 右移变 ＋2x）；合并：5x＝25；系数化 1：x＝5。

「移项要变号」的本质是两边同加减——理解了天平，变号就不是死规则。

去分母与去括号

带分母的方程：两边同乘各分母的最小公倍数，一次去净。

例：解 x−13 ＋ x2 ＝ 1。两边 ×6：2(x−1)＋3x＝6；去括号：2x−2＋3x＝6；5x＝8；x＝85。

易错警报：去分母时常数项也要乘——「1」变成「6」，漏乘是高频事故；分子若是多项式，乘完要给分子整体加括号。

解方程的一般步骤

五步是「常用顺序」而非死流程：没有分母就跳过去分母；有的方程几步并成一步。每一步都是对天平做合法操作，解完代回原方程验算是好习惯。

「步骤」是脚手架：熟练之后可以灵活取舍，但初学阶段，一步不落地写，是防止出错的最好护栏。

列方程解应用题五步

核心是第①步：应用题的「题眼」是那句藏着相等关系的话——「共多少」「比……多」「是……的几倍」。把它逐字翻译成等式，方程就自己站出来了。

方程 applications 的本质：把生活中的「相等」翻译成数学的「＝」。

设元的艺术：直接与间接

直接设元：题目问什么设什么，直来直去。间接设元：设一个更好算的中间量，最后再回答回题目。

例：两个连续奇数之和为 36，求两数。直接设大奇数为 x，则另一为 x−2：x＋(x−2)＝36，x＝19。也可以设中间量：两数平均是 18，设 18−k 与 18＋k，相加 k 抵消，36 ✓，且 18±k 是奇数 → k 奇数 → k＝1，两数 17、19。

设元如选武器：能列方程、好解方程的那个，就是对的。

例1 标准解方程

解：去分母（×12）：3(2x−1) ＝ 12 ＋ 4(x＋2)。

去括号：6x−3＝12＋4x＋8；移项：6x−4x＝12＋8＋3；合并：2x＝23；

x ＝ 232

验算：左边＝(23−1)/4＝11/2；右边＝1＋(23/2＋2)/3＝1＋27/6＝1＋9/2＝11/2 ✓。

例2 行程问题：相遇与追及

解：设快车出发 x 小时后追上。追及问题的等量关系：快车路程 ＝ 慢车路程 ＋ 领先距离。慢车先开 2 小时，领先 120 km。

90x ＝ 60x ＋ 120　→　30x ＝ 120　→　x ＝ 4

答：快车 4 小时后追上。追及问题统一口诀：路程差 ÷ 速度差 ＝ 追及时间（120÷30＝4，与方程互验）。

例3 工程与调配问题

解：把总工程量看作 1。甲的效率 112，乙的效率 124。设还需 x 天：

4×(112 ＋ 124) ＋ x24 ＝ 1

合做效率 18，4 天完成 12；剩 12 ÷ 124 ＝ 12。还需 12 天。

工程问题的标准动作：总量设 1，效率＝1÷天数，用「效率 × 时间 ＝ 份量」列式。

例4 利润与折扣问题

解：设进价 x 元。标价＝1.4x；售价＝0.8×1.4x＝1.12x；利润＝售价−进价：

1.12x − x ＝ 24　→　0.12x ＝ 24　→　x ＝ 200

答：进价 200 元。验算：标价 280，8 折卖 224，赚 24 ✓。

百分数应用题先「化成系数」：加价 40% 即 ×1.4，8 折即 ×0.8——乘法一到位，方程就线性。

〔方程〕未知数是可以被「审判」的量

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札记① 《九章》方程章：以「位」排布的方程组

古人把系数排成三列方阵，用「遍乘直除」（整行乘一个数再逐行相减）消元——与现代高斯消去法的每一步完全一致，只是没有字母，全靠「位置」记数。三个未知数一次方程组，今天叫 3×3 线性方程组。

「以位代数」的排布暗藏一件大宝贝：矩阵。八年级坐标系、九年级方程组、高中矩阵，都还在给「位」打工。

札记② 从算筹消元到高斯消去法

1809 年，高斯为了算小行星轨道，用「逐列消元、回代求解」处理大规模观测方程——后来这被命名为高斯消去法。翻开步骤：与《九章》「遍乘直除」一字不差，早 1800 年。

今天 supercomputer 处理百万变量的方程组（天气预报、飞机设计、AI 训练），内核仍是同一种消元，只是加了精度与并行技巧。您在七年级做的每一道消元题，都是这部千年算法的一点薪火。

导入：从实物到图形——抽象的第一步

车轮是圆的，魔方是方的，金字塔是锥的——把颜色、材质、味道统统忽略，只留下「形状、大小、位置」，我们就从实物世界跨进了几何世界。这张「抽象之网」一撒，汽车轮胎与摩天轮成了亲戚：都是圆。

几何研究三件事：形状（它长什么样）、大小（多长多大多宽）、位置（谁挨着谁、谁平行谁）。这三件事会陪我们走完整个数学之旅。

立体图形与平面图形

立体图形占据空间，各部分不在同一平面：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥……平面图形躺在一张纸内：三角形、四边形、圆、多边形……

两者是「三维与二维」的亲戚：立体图形有表面（展开后是平面图形），平面图形绕轴旋转可扫出立体图形（矩形绕一边旋转一周得圆柱）。包装盒展开图、建筑三视图，都是立体与平面的对话。

点线面体：几何的四元素

它们能互相「生」：笔尖划过纸面，点动成线；雨刷摆动，线动成面；面绕轴旋转，面动成体。反过来，面与面相交得线，线与线相交得点。

几何的四元素像搭积木的四层砖：体由面围成，面由线织成，线由点串成——分析复杂图形时，沿这四层往下拆即可。

直线·射线·线段的表示

三者「可测性」不同：线段有长度，射线与直线没有——它们是理想化的无限。过两点能画几条直线？有且只有一条（下一章的直线公理）。

线段长短比较与和差

比较两根线段（两支铅笔）：①度量法——用刻度尺量出长度再比；②叠合法——把它们一端对齐，看另一端谁长。

线段的和差：点 C 落在线段 AB 上时，AB＝AC＋CB；反向操作即「截取」。画一条线段等于已知线段，用圆规「量」下长度再转移——圆规是几何的搬运工。

「比较与和差」是几何计算的起点：一切复杂线段问题，都是这几板斧的组合。

线段中点

反过来：若点 M 在 AB 上且 AM＝MB，则 M 是中点——「正着用、反着用」都要熟。

中点是线段问题的常客：见到「中点」，立刻写出 AM＝12AB，等量关系自动到账。

角的度量与画法

量角器三步：对中（顶点对中心）、对线（边对零刻度）、读数。画指定度数的角同理倒放。特殊角要会估：直角 90°，平角 180°，周角 360°。

钟面上分针一分钟走 6°，时针一分钟走 0.5°——记住这两个「角速度」，钟面角问题一算一个准。

角的比较与角平分线

角的比较与线段类似：度量法（量角器）、叠合法（顶点对顶点，一边对一边，看另一边偏向）。

角平分线之于角，如同中点之于线段——「对半分」的两兄弟，几何计算中的黄金配角。

例1 两点之间线段最短的应用

解：把立体表面「摊平」成展开图后，立体上的路径变成平面上的曲线。平面上两点之间，线段最短——所以在展开图上连接 A、B 的直线段，就是表面上最短的路线。

「蚂蚁爬圆柱」类问题（如下一章综合站）的通用解法：先展开、再连线、后还原。

例2 中点计算

解：AD＝12AC＝8；AE＝12AB＝5。

DE＝AD−AE＝8−5＝3 cm。

线段计算先画图、标已知，「中点即取一半」，再按和差拼装。图比式先到，式从图中来。

例3 角的和差计算

解：∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝12∠AOC＋12∠COB＝12(∠AOC＋∠COB)＝12×72°＝36°。

OC 位置根本不用知道！角平分线成对出现时，两半之和往往只剩总角的一半——「设而不求」的几何版。

例4 钟面角问题

解：以 12 点方向为基准。分针在 20 分处：20×6°＝120°。时针在 3 时 20 分处：3×30°＋20×0.5°＝90°＋10°＝100°。

夹角＝|120°−100°|＝20°。

钟面角通用公式：夹角＝|分针角 − 时针角|，超出 180° 就取补（用 360° 减）。

〔勾股〕形与数在《九章》里从不分家

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札记① 《九章》方田：以面积定义土地

《九章》开篇不谈「点线面」的抽象定义，直接从量地开始：田有多大面积、如何换算亩与方步。几何在它的语境里不是「理想图形的学问」，而是「丈量世界的技艺」。

「广×从」到今天的「长×宽」，面积公式一字未改地流传了两千年——实用数学的生命力，比任何教科书都长。

札记② 公理化思想的萌芽

《墨经》（约公元前 4 世纪）给「端」下定义：「端，体之无序而最前者也」——不可再分的最前之点。又定义「圜，一中同长也」——圆是到一个中心、距离都相等的图形。两千多年后，这些定义在教科书里几乎原样复活。

「一中同长」的妙处在用关系定义图形，而非列举样子。这正是公理化思想的萌芽：从少数基本概念与公理出发，推出全部结论。古希腊的欧几里得把这条路走到极致，下一册我们将与他正式见面。

导入：全班同学每天睡多久

问题很简单：我们班 45 个人，平均每天睡多久？有人拍脑袋说 8 小时，有人说 7 小时——谁对？数一数：每人报一个数，记录、整理、算平均。这一套流程，就叫数据的收集与整理。

可如果问题是「全国初中生每天睡多久」，还能一个一个问吗？问不动了——45 亿？不，几千万人。这就需要更聪明的方法：抽一部分，估计全体。

统计的核心问题只有两个：怎么收集（调查），怎么整理（图表）。这一章把两件事都办利索。

全面调查与抽样调查

选择原则：对象少而重要 → 普查；对象多、破坏性大 → 抽样。抽样的灵魂是代表性：只问男生睡眠，推不出全班的结论。

总体·个体·样本

注意「考察什么」要说到点子上：调查「初中生的睡眠时间」，总体是全体初中生的睡眠时间，而不是「全体初中生」——考察对象是数据本身。

样本像一勺汤：厨师尝一勺就知道一锅的咸淡——前提是汤被搅匀了。抽样前「搅匀」，统计上叫随机。

设计调查问卷

一份好问卷三要素：问题明确（「每天睡眠 7–8 小时」可勾选，优于「睡眠充足吗」）、选项完备互斥（不重不漏，必要时加「其他」）、不诱导（「难道您不觉得作业太多吗？」是坏问题）。

设计流程：定目的 → 拟问题 → 选对象与方式（问卷/访谈/查阅资料）→ 预调查试水 → 正式发放。预调查花小钱防大错：问题有歧义，先在 5 个人身上试出来。

数据的收集与记录

收数常用划记法：每来一个数据，在对应类别画一横，五画成「正」字——「正」字每格 5，好数好核。

记录完毕整理成频数表：类别 | 划记 | 频数（次数）| 频率（频数÷总数）。频率之和恒为 1，频数之和恒为总数——两张「对账单」，先核对再作图。

扇形统计图

例：睡眠 7–8 小时占 40%，对应扇形圆心角＝360°×0.4＝144°。

扇形图的长处是一眼看出部分与整体的关系；短板是看不出具体数量与变化趋势。所有扇形之和必为 100%。

条形图与折线图的选择

条形图：矩形高度表示频数，擅长比多少；折线图：点连线段，擅长看变化（气温、股价、身高曲线）。

选择口诀：「比多少用条形，看趋势用折线，看占比用扇形」。三类图可互相翻译——同一张频数表，换什么图取决于您想让读者先看见什么。

图表是数据的「修辞」：同一组数据，选对图就是选对论据。

频数分布直方图

数据多而连续时，把数据分组（如睡眠时长按 6–7、7–8、8–9 小时分组），数出各组频数，画成频数分布直方图：横轴是分组区间，纵轴是频数，矩形连续排列、无空隙（区别于条形图）。

画图四步：①算最大值与最小值之差（极差）；②定组距与组数（极差÷组距，进一取整）；③列频数分布表；④画图。

分组像调焦：组距太大，细节糊成一块；组距太小，噪声淹没轮廓。直方图是数据的第一张「肖像照」。

例1 调查方案设计评价

解：甲方案样本来自单一学校，代表性差（重点中学用眼强度未必典型），易造成偏差；乙方案分层随机、覆盖面广、样本量 500，代表性好。

答：选乙方案。抽样调查的生命是随机与代表性，样本大而不偏才有发言权。

例2 统计图信息读取

解：骑车 40×45%＝18 人；步行 40×30%＝12 人（乘车 10 人，合计 40 ✓）。

若又知扇形图中「骑车」扇形圆心角 162°，可反推占比 162÷360＝45% ✓——圆心角与百分比互为「方言」。

例3 补全直方图

解：频数总和必须等于 60，故 60–70 kg 人数＝60−6−14−9−4＝27 人；频率＝27÷60＝0.45。

「和为总数」是直方图的隐形约束——考题最爱挖空一格，答案全靠对账。

例4 统计结论的表达

解（示范）：「本次抽样调查 60 名学生，体重在 60–70 kg 区间人数最多（27 人，占 45%）；体重 70 kg 以上的共 13 人，约占 21.7%，建议学校关注超重学生运动与饮食。」

好结论三件套：有数据（27 人、45%）、有比较（最多）、有建议（关注超重）。只喊口号不引数据，不算统计结论。

数据是量出来的世界

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札记① 上计与户口：中国古代的统计

《史记》载萧何入咸阳，「收秦丞相御史律令图书」，刘邦因此「具知天下阸塞、户口多少、强弱之处」——统计是治国的第一手艺。历代「编户齐民」，本质就是一场持续两千年的人口普查。

《九章算术》的「均输」章，处理的正是按户口与路程公平摊派赋税的算法——数据，自古就是公平的地基。

札记② 抽样的智慧：见一叶而知秋

「尝一脔肉，知一镬之味」——《吕氏春秋》两千年前的这句话，是抽样思想最漂亮的中文表达。一勺知一锅，靠的不是勺大，而是汤匀。

1936 年美国《文学文摘》寄出 1000 万份问卷预测总统选举，惨败于只抽了数千人的盖洛普——前者名单偏富裕阶层，量大而偏；后者按比例随机，量小而正。样本的正义在随机，不在体量。这杯 1936 年的凉茶，值得每个读统计图的人慢饮。

导入：最短的路——蚂蚁爬立方体

一只蚂蚁站在边长 1 的正方体顶点 A，要爬到对角顶点 B（最远的那个），怎么走最近？在立体图上画来画去没有头绪——把正方体表面展开！展开图上 A、B 两点之间，线段最短：路径长 √(2²＋1²)＝√5（八年级学了勾股就信手拈来）。

这个导入告诉我们：几何难题常常要换一个平面看。本章练的正是几何的「基本功」——线段、角，以及它们的规范计算。

直线公理：两点确定一条直线

「有」保证存在，「只有」保证唯一——一句话里藏了两层逻辑。同理还有「两点之间，线段最短」（线段公理），以及「过一点有且只有一条直线与已知直线垂直」（下册）。

公理是不加证明而承认的起点。木匠弹墨线、射手定准星，用的都是这条公理——最简单的原理，最广泛的应用。

线段的和差倍分

线段的运算像数的运算：若 C 在 AB 上，则 AB＝AC＋CB；若 AC＝CB，则 C 是中点；「倍分」即再取一半或几倍。

反过来也要会说：已知 AB＝AC＋CB 且三点共线，并不能保证 C 在 A、B 之间——可能 A 在中间（AB＝CB−AC）。「中点」必须以「点在线段上」为前提，分类讨论的种子在这里埋下。

线段计算规范

例：线段 AB＝12，C 在 AB 上且 AC：CB ＝ 1∶2，则 AC＝12×13＝4。设份数（把比当「份」）常比设未知数更快。

几何计算的「画图—设份—列式」三连，是本册几何大题的标准起手式。

余角与补角

例：∠α＝35°，它的余角 55°、补角 145°。若 ∠1 与 ∠2 都是 ∠α 的补角，则 ∠1＝∠2＝145°——「同一目标，战友相等」。

余补角是「凑整角」的游戏：见到直角想余角，见到平角想补角，等量关系立刻浮现。

方位角与方向角

方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的角度（北偏东 30°、南偏西 45°）。书写先南北后偏转：「北偏东 60°」不说「东偏北 30°」。

画方向角：以观测点为中心画十字（上北下南左西右东），用量角器从北或南线量出偏角。航海、地震定位、雷达都用它。

方向角是「几何与地理」的握手：五年级「台风在哪」的经纬方位，在这里升级成规范语言。

角度制的换算

例：57.32°＝57°＋0.32×60′＝57°19.2′＝57°19′12″。

反向：32°25′48″＝32°＋(25＋48/60)′＝32°＋25.8′＝32.43°。

度分秒与时分秒同构（1 时＝60 分＝60 秒）——六十进制是巴比伦人看星星数出来的遗产，天文学与钟表至今在用。

图形语言与符号语言互译

几何有三种语言：图形语言（画出来的图）、文字语言（叙述的定义）、符号语言（简洁的记号）。翻译能力是几何的「外语法」：

「点 C 是线段 AB 的中点」⇔ AC＝CB ⇔ AB＝2AC。三种说法一个意思，考试时用哪种、何时用哪种，要练到本能。

从本章起，几何书写要「有图有据」：每一步计算后面跟着它的道理，这就是证明的雏形。

例1 线段双中点问题

解（C 在中间）：MN＝MC＋CN＝12AC＋12CB＝12AB＝7。

（C 在延长线）：MN＝|MC−CN|＝12|AC−CB|＝12AB＝7。

答：都是 7。双中点距离恒为总长之半——「设而不求」再次显灵，C 的位置根本不必知道。

例2 动点与线段和

解：t 秒后 P 在 −4＋2t，Q 在 6−t。PQ＝|(−4＋2t)−(6−t)|＝|3t−10|＝3。

3t−10＝3 → t＝133；3t−10＝−3 → t＝73。

答：73 秒（相遇前）或 133 秒（相遇后擦肩）——绝对值方程在此会师。

例3 余补角计算

解：设该角 x°，则补角 (180−x)°，余角 (90−x)°：

180 − x ＝ 3(90 − x)　→　180 − x ＝ 270 − 3x　→　2x ＝ 90　→　x ＝ 45

答：45°（验证：补角 135°＝3×45°＝3×余角 45° ✓）。

几何题的代数解法：设角、按定义列式、解方程——方程是几何计算的万能扳手。

例4 图形语言推理初步

解：对顶角相等：∠BOD＝∠AOC＝50°；OE 平分 ∠BOD：∠BOE＝25°；

邻补角：∠AOB＝180°，∠AOE＝180°−∠BOE＝180°−25°＝155°。

「对顶角相等」是相交线的第一定理；说理时每句话都点名依据——这是从计算走向证明的第一步。

几何语言：精确表达的开始

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札记① 《墨经》对「端」的定义

墨家给点（端）、圆（圜）、平行（平）、直（三点参差共线）都下了操作化定义，比欧几里得略早或同期。「一中同长」四个字，与教科书「圆上各点到圆心距离相等」完全等价。

可惜墨学中绝，这些定义沉睡了两千年。1940 年代重新被发现时，学界惊叹：中国曾有自己几何学的火种。科学史不只有胜利者的名字，也有被遗忘的先行者。

札记② 公理化传统的起点：欧几里得

约公元前 300 年，欧几里得在亚历山大城写成《几何原本》：5 条公设＋5 条公理＋23 个定义出发，推出 465 个命题。「两点确定一条直线」正是第一条公设。此后两千三百年，它是全球印行版本最多的教科书之一（仅次于《圣经》）。

《几何原本》教的不只是几何，而是「从公理出发讲道理」的思维制度——后世斯宾诺莎写《伦理学》、牛顿写《自然哲学的数学原理》，都模仿它的体例。您在本章练习的「有图有据」，就是这门传统的入场券。

数感检阅站开幕

一个学期练了四门功课：有理数运算、绝对值、整式、线段与角——最后一章不开新课，开考场。本章是综合站：五个挑战关卡、一轮讲评、两轮限时、一场对弈赛，把您这一学期攒下的「数感」全部请出来检阅。

规则：每关 10 分钟，独立完成后小组互评；记分册在讲评页公布。不求全对，只求每关都留下思考的痕迹。

有理数运算接力

四人一组，每人算一步，接力完成：

① (−3)＋7−(−5)＝？　→　② 上一步结果 ×(−2)＝？　→　③ 上一步结果 − |−12|＝？　→　④ 上一步结果 ÷(−4)＝？

参考链：① 9；② −18；③ −30；④ 7.5。中间任何一步错，全组「雪崩」——热身的意义：运算顺序与符号，一个都不能马虎。

交接棒时必须报出「当前数」，下一位先复述再动笔——数学接力练的是精确传递。

①二十四点升级赛（含负数牌）

思路：倒推——24＝3×8，只需把 −4、6、10 凑成 8。发现负数牌的新招「减去负数＝加」：10−(−4)−6＝14−6＝8。

3 × [10 − (−4) − 6] ＝ 3 × 8 ＝ 24

负数牌入局，「减去负数」成了全新武器（10−(−4)＝14）——数系张开，战术也张开。

②绝对值与数轴竞速

参考解：t 秒后 P＝−5＋3t，Q＝7＋t，距离 |2t−12|。等于 4：t＝4（相遇前）或 t＝8（反超后）。追上：2t＝12，t＝6，位置＝−5＋18＝13。两问共用一个绝对值方程——一式两用。

③符号迷阵：化简接力

参考解：由内向外：2(2a−b)＝4a−2b；3a−(4a−2b)−3b＝3a−4a＋2b−3b＝−a−b；5a−(−a−b)＝5a＋a＋b＝6a＋b。验证：令 a＝1，b＝1：原式＝5−[3−2−3]＝5−(−2)＝7；结果式＝6＋1＝7 ✓。

多层括号像洋葱，由内向外剥；每剥一层，全场符号过堂。

④方程暗语破译

参考解：n＝2：x＋3＝2＋x？无解——设计陷阱！改规则才公平：n＝8：82x＋3＝8＋x → 4x＋3＝8＋x → 3x＝5，x＝53，整数部分 1。本关真正要破译的是：有的方程无解，也是重要信息——破译密码时，「此路不通」本身就是线索。

⑤几何拼角大赛

参考解：单块：30、45、60、90；两块拼（和）：75、105、120、135、150、180（平角不算「小于」）；差：15、30、45、60。全部收集：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°，共 10 个（15° 的倍数到 150°）。

三角板是「角的原子」：一切 15° 倍数角都可拼装——工具有限，组合无限。

优秀解法拆解

五关讲评的公共话题：①画图（挑战②的数轴图一出，答案自己浮出）；②倒推（挑战①从 24＝3×8 倒着想，比瞎凑快一倍）；③验证（挑战③代特殊值核符号）；④分类（挑战②相遇前后两解）；⑤枚举有序（挑战⑤按「单块—和—差」枚举，不重不漏）。

这五个词——画图、倒推、验证、分类、有序枚举——就是「数感」的五个器官。

限时混合挑战（上）

限时混合挑战（下）

自创一关并配答案

综合站最高待遇：您出题。要求：①任选本章五种题型之一（24 点／数轴动点／化简／方程暗语／拼角）；②题目有唯一明确的问法；③附完整答案与至少一种解法；④标出您预计的难度（1–3 星）。

出题是「反向学习」：要设计一个「绝对值方程有两解」的题，您必须先彻底搞懂两解从哪来。能出好题的人，是真懂了的人。

组内交换互测，给对方的题写「体验报告」：题意清不清？答案对不对？难度标得准不准？

我的数感体检报告

对照五个「器官」给自己体检，各写一句证据：

给每项打 1–5 分，写下寒假最想强化的那一项——体检的目的不是分数，是找到下学期的起点。

〔方程〕算得快不如想得清

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小组积分循环赛

赛制：四人一组循环对战 24 点（含负数牌组），每局 3 分钟，先算出者 2 分，对方 5 分钟内未出则弃权 0 分；每局限时结束时由出题组公布标准解与分值牌。

积分表模板（每人 3 局）：胜 2 / 平 1 / 负 0。赛后各写一句「本局最有价值的招」——把招式留下，把胜负看淡。

对弈赛的意义不在淘汰，在于看见别人的解法：同一副牌，四个人有四种路。

设计家庭数学之夜

任务：在寒假里主持一次「家庭数学之夜」，由您当主持人。准备：①选 2–3 个本章游戏（24 点、拼角、方程暗语均可）；②按家人水平调整难度（给爷爷奶奶的 24 点用正数牌，给弟弟妹妹的用加法）；③准备小奖品；④控制节奏，每人都能赢一次。

复盘三问：哪道题家人卡住了？您把规则讲到多清楚？下次改进什么？教会别人，是检验自己的最高标准。