游戏中的代数

本书怎么读：一章十五页

全书按「章」前进，每章恰好十五页。理论章的节奏是：第 1–3 页概念（从身边事引进新概念，配定义框）、第 4–8 页方法（法则一条一条立起来）、第 9–12 页例题（例 1–例 4，带完整解答）、第 13 页思想卡（一页只说一个数学思想）、第 14–15 页格物札记（把《九章算术》的古智慧与现代数学接通）。游戏章的节奏是：导入→规则→试玩×3→策略×3→进阶×3→复盘→思想卡→对弈赛→任务。综合站的节奏是：导入→热身→挑战×5→讲评→进阶×2→创意工坊→复盘→思想卡→对弈赛→任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12；绝对值写成 |−3| ＝ 3；未知数用字母 x，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；不等号 ＞ ＜ ≥ ≤ ≠ 各就各位；平方根写作 √2，平方与立方用小肩数字 x²、a³；点坐标写作 (2, −1)；函数写作 y ＝ 2x − 1；圆周率 π ≈ 3.14。中括号写成 ［　］，比例号 ∶。

幻方：洛书的千年谜题

四千多年前，传说大禹治水时，洛水浮出一只神龟，背甲上刻着一张 3×3 的点阵图——洛书：戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。任一行、任一列、任一条对角线上的三个数之和都是 15。

这就是人类历史上第一个幻方（magic square）。它为什么必然成立？有没有别的摆法？四阶、五阶幻方又是什么样？本章把这道千年谜题拆开、玩透、再重新装回去。

工坊配套：游戏馆「洛书九宫」可以真拖拽摆数，本册的每个构造步骤都能在里面亲手验证。

三阶幻方条件与幻和

三阶幻方用 1～9，总和 45，平分三行，幻和＝45÷3＝15。这不是巧合而是算出来的——幻和永远等于「总和÷行数」。

先记两条铁律：①数 1～9 各用一次，不许重复；②对角线与行列一视同仁。判定一局「摆好没有」，就是三横三竖两斜共 8 条线逐一求和验 15。

①三阶幻方构造

第一局：不用任何提示，把 1～9 摆成三阶幻方。先摆 5 分钟，再往下读。

试过的人很快发现：1 这种小数不能放角上也不能放中心——比如 1 放中心，它所在的四条线都要配出 14，凑不过来。这盘棋的第一课：位置有性格，中心只收 5，角上住偶数，边中住奇数（下一节讲道理）。

一个可行的开局：先放 5 居中心，再在角上放 2、4、6、8，最后奇数补边。试着照这个思路在纸上摆完，或到工坊「洛书九宫」里拖一局。

②杨辉四阶幻方

南宋杨辉在《续古摘奇算法》（1275 年）里给出四阶幻方「花十六图」：用 1～16，幻和＝(1＋16)×16÷2÷4＝34。

杨辉的构造法（「易换术」）：先把 1～16 顺次排入四阶方阵，再把外四角与内四角各数对角交换——一、四角互换，13、16 角互换，6、11 与 7、10 对换。所得即幻方，每行每列每斜线和恰为 34。

自己动手排一遍：顺次填表是「病方」，交换六处是「药方」——古人的算法原来是一副中药。

③数字谜算式恢复

幻方的近亲是数字谜：算式里的数字被虫蛀掉了，把它恢复出来。

□ 4 □ ＋ 2 □ 5 ＝ 7 □ 1

从个位起步：□＋5 的个位是 1 → □＝6（进 1）；十位：4＋□＋1（进位）的个位是 □——设十位加数为 k，4＋k＋1＝10＋m，k＝5 时得 10，结果十位 0 不符；k＝6 得 11，写 1 ✓，进 1；百位：□＋2＋1＝7 → □＝4。恢复：446＋265＝711。

数字谜与幻方共用一种思维：从约束最强的位置下手。

幻和＝中心和的三倍

设中心数为 c。三阶幻方中，过中心的有 4 条线（一行、一列、两条对角线），把这 4 条线的和全加起来：4×15＝60。

换个数法：角上 4 个数各被数 2 次（各在两条线上），边中 4 个数各被数 1 次，中心 c 被数 4 次。而全体 9 数之和 45＝角和＋边和＋c。于是 4×15＝2×(角和)＋(边和)＋4c＝(角和＋边和＋c)＋(角和＋3c)＝45＋(角和＋3c)。

又，两条对角线之和 30＝(角和)＋2c。代入化简得：c＝5，角和＝20（两对对角互补：2＋8、4＋6）。

没摆一个数，中心是几已被推理锁定——这就是「算出来的必胜」。

先定中心与角数

由上一页：中心必是 5，四个角全是偶数 2、4、6、8（角和 20），边中是奇数 1、3、7、9。剩下的自由度只有「偶数怎么转」：2、4、6、8 绕中心旋转与翻折，恰得 8 种摆法——而 8 种其实是同一个幻方的 8 个镜像。

结论：三阶幻方本质上只有一个，洛书是它的全家福。

对局策略：与同伴比赛「先摆出任意一个三阶幻方」，胜者须能解释为什么中心是 5——摆出来是手艺，讲得出是数学。

数字谜：从进位入手

数字谜的通用战法三条：①从个位或最高位下手（约束最强）；②盯住进位链——每一位的进位只有 0 或 1，像多米诺骨牌一环扣一环；③用尾数判定：乘法看个位（5×n 的尾数只能是 0 或 5）。

例：□□×7＝3□6。个位：□×7 尾数 6 → □＝8；则前积 56 进 5，十位□×7＋5 尾数 3 → □＝4（28＋5＝33 ✓）；百位 3 ✓。答：48×7＝336。

进位链 + 尾数表，数字谜两大法宝——比全盘乱试快十倍。

幻方性质拓展：对角互补

三阶幻方还有一条隐藏性质：过中心的任何直线上，两端之数必互补于 10（如 1＋9、3＋7、2＋8）。试证明：设某条中心线上两端为 a、b，该线和为 15，则 a＋c＋b＝15；又另一条线两端 x、y 有 x＋c＋y＝15。利用上一页的「角和＝20、c＝5」以及旋转对称，可得 a＋b＝10。

这条性质是「破解残局」的神器：比赛时对方擦掉三个数，您靠互补关系两步还原。到工坊「洛书九宫」开一局残局验证。

幻方变形：反幻方

数学家常反过来玩：反幻方——把 1～9 填入九宫，要求每行每列每条对角线之和都不相等。听起来容易？试了才知道：必须精心安排，才能「处处不同」。

一个反幻方（各行 6、15、19；各列 17、11、12；对角线 14、16）——请自行用 1～9 验证这组答案的摆法：

1 2 3 ／ 8 9 4 ／ 7 6 5 的变体之一……不剧透，留作挑战：找到一种摆法，使 8 条线之和互不相同。

「反过来提要求」是数学常见的游戏：正问题难，反问题有时更难——反幻方的最小阶数问题曾是趣题杂志的常客。

双幻方叠加

终极挑战：能否把 1～9 与 10～18 叠加在同一张九宫里，使得一张纸同时藏着两个幻方？

思路：若 A 是 1～9 的幻方（幻和 15），把 B 的数全部取「19−b」放进 A 的对应格，B 恰是 10～18 的幻方（幻和 42）——因为 19−b 只是给每个数做了「翻转」，行和变成 3×19−15＝42。

结论：能，而且只需一个幻方——另一个是它的「倒影」。双重幻方、乘法幻方（各行之积相等）是更高阶的玩法，留作研究。

构造思路流程图

把本章的功夫串成一张流程图：

算幻和 → 定中心（三阶：c＝5）→ 分奇偶定位（角偶边奇）→ 补对角（互补配对）→ 验 8 线 → 若卡壳：残局用「对角互补」反推

四阶以上：先算幻和 → 杨辉易换术或「对称交换」 → 验算。数字谜：进位链 → 尾数判定 → 逐位回填。

复盘不是抄答案，是把「我当时怎么想」写成箭头图——下次卡壳时，流程图会替您接续思路。

对称与平衡的数学〔方程〕

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幻方限时构造赛

赛制：①三阶速构——纸笔限时 2 分钟摆出三阶幻方并验算 8 线，先完成且全对者得分；②残局还原——每人出一个「挖空 3 格」的残局交换对手，3 分钟还原；③四阶挑战——用杨辉易换术构造花十六图，限时 8 分钟。

计分：三阶 1 分／残局 2 分／四阶 5 分。判卷标准：不仅摆对，还要能指出「我用了哪条策略」。

赛后必做题：输掉的那一局，找出卡住您的那一步——它就是您的下一课。

给家人出一道幻方题

任务：设计一道「残局幻方」——摆好一个三阶幻方后擦掉 3～4 个数，请家人还原。要求：①自己先用对角互补性质验证可解；②准备两种提示（提示一：中心是几？提示二：哪对角互补？）；③记录家人用时，并与自己的用时对比。

复盘：家人卡在哪一格？那格的「约束」您讲清楚了吗？出题比解题更考验对幻和与互补的理解。

数织：格子里的密码画

日本有一种报纸背面的谜题叫数织（Nonogram）：一张空白方格纸，每行每列边上写着几个数字，照着数字涂黑格子，最后浮现一幅画——一只猫、一艘帆船、一把伞。

规则只有一条，乐趣没有上限：数字告诉您「这一行（列）里黑格是怎么排的」，您要靠逻辑推出每一格涂不涂。没有猜测、没有运气，每一步都有理由。

工坊配套：图形馆「数织画坊」支持 5×5 到 10×10 拖拽涂格，错了会提示，本册每一幅都可以在里面亲手织完。

行列提示数规则

例：提示「3 1」表示这一行从左到右（涂黑顺序不唯一但有约束）是「3 连黑、至少 1 白、1 黑」，如 ■■■□■、□■■■□■ 等。

两条推理底线：①提示为 0 或空 → 整行全白；②提示之和＋段间隔 ≥ 行长 → 可整体定位。谜题必须保证唯一解——好的数织，每一步都由逻辑锁定。

5×5 入门三幅

第一幅（目标：小十字）：第 3 行提示 [5]，第 3 列提示 [5]——两笔直接涂满，中心十字已成；其余行列提示含 1 的自己推。

第二幅（目标：对角线）：第 k 行提示 [1] 且仅当第 k 列也 [1]——配合「这行那个黑格必须在第 k 列」的交叉验证，五个黑格沿对角线落位。

第三幅（目标：字母 L）：左列 [5]、底行 [4]、其余全 [1]。先把满行满列涂掉，再处理 [1] 的归属——记住：一个 [1] 在与满行满列相交处「顺水推舟」即可定位。

10×10 一幅

升级到 10×10，提示变长，格子变多，策略不变。示范一条 10 格行的推理——提示 [2 4]：占格 2＋1＋4＝7，左右各余 3 格可滑动。最左摆法：■■□■■■■□□□；最右摆法：□□□■■□■■■■。

比较两种极限摆法：两者都黑的格子可以放心涂黑——「最左最右取交集」是长提示的标准开局。

10×10 的第一遍不必确定每格，只锁定「必然黑」与「必然白」，剩下的交给交叉推理。

交叉点判断训练

数织的真正引擎是行与列的对话：行的推理给列提供线索，列的新信息又反哺行。

训练题：第 4 行提示 [7]（10 格），故最左最右重叠部分为中间 4 格必黑：■■□□■■■■□□？重算：左右各余 10−7＝3 格，重叠段＝7−3＝4 格，即第 4～7 格必黑。

同时第 5 列提示 [1]：它的黑格必在重叠段中 → 第 5 列的唯一黑格锁定在第 4 行。一次交叉，两处落子——您只做了一步，收获是两个。

满行满列先行

职业玩家的顺序：满行满列 → 长提示取交集 → 短提示收尾。顺序错了会多做许多无用推理。

先易后难不是偷懒，是让每一步推理都有最多的「已知」可用。

重叠区间法

例：[7] 在 10 格中重叠 4 格；[4] 在 10 格中重叠 0 格（4−6＜0，无保证）。双段 [2 4] 也适用：先算「整体最左／最右」，再对各段取交。

重叠法是「强制力」的度量：提示越长、行越短，逻辑越硬。硬推理优先，软推理（多种可能）押后。

假设与排除

当直接推理枯竭，用「假设检验」：挑一个两面派格子，假设它黑，顺推几步——若撞出矛盾（某行提示放不下），则它必白；若一切顺利，再假设白试试。两次假设只有一次不矛盾，格子锁定。

假设 ■ → 第 3 行放不下 [4] → 矛盾 → 该格必白 ✓

假设法是「逻辑的探雷器」：矛盾是礼物，它告诉您哪条路死绝了。正规数织题保证不靠猜测可解——需要深层假设时，说明前面的推理还有漏网的线索。

15×15 挑战

15×15 是业余选手的分水岭：行数多了，一条线索的影响半径变长，「满行满列先行」的清扫收益更大。建议节奏：①通读所有提示，标记最长的五条；②满行满列与长提示交集并行；③每推进 5 分钟做一次「全面交叉扫描」——很多格子是隔了十分钟才被「顺理成章」地锁定的。

到工坊「数织画坊」选 15×15 关卡，本册战略直接上手用。

无提示逻辑谜题段

不画图、只推理的数织近亲——逻辑格谜：「某行三个数之和 12，其中恰有两个相邻」这类纯语言线索。练的是把「画面」完全交给文字逻辑。

例：A 行 [2 2]，B 行 [5]。B 行满涂后，A 行的两个 2 段若都贴着 B 行的黑格列，则 A 行形如 □■■□■■□——「贴边判断」让文字线索落地成格。

把图形题做成了文字题，再把文字题做回图形题——两种思维反复横跳，逻辑肌肉才长结实。

数织＋逻辑混合关卡

终极关卡：一半格子用数织规则，一半用附加约束（如「每行黑格数是质数」「对角线上无黑格」）。混合关卡教您一课：不同类型的线索要排优先级——确定性强的先落子（满行、0 提示），概率性弱的最后处理（附加约束往往只做「排除」不做「肯定」）。

侦探破案与此同构：铁证先固定，孤证缓下定论。

卡点与突破记录

填一张「卡点卡」：①卡在第几步？②当时我知道什么、缺什么？③突破靠哪一招（满行／交集／交叉／假设）？④同类卡点下次的「条件反射」是什么？

统计发现，多数卡点集中在两类：忘了交叉（只看行不看列）与忘了取交集（只用最左）。把这两个高频错写进流程图，下次自动触发。

从线索到唯一解：逻辑的力量

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数织竞速赛

赛制：同题竞速。①5×5 组（3 分钟）；②10×10 组（10 分钟）；③「残幅还原」——主考官把完成图擦掉 30% 的标记，各队抢答空格。计分：完赛 3 分，提前 1 分钟＋1 分，抢答对 1 格＋1 分、错 1 格 −1 分。

禁止事项：抢答未经交叉验证的格子——这是「赌」，不是「推」。违者扣 2 分。

竞速赛的真相：快不是手快，是推理顺序对——满行满列先行的队伍，往往最后十分钟闲庭信步。

设计一幅数织送朋友

任务：先画一幅 8×8 的小画（一只猫、一棵树都行），再「倒推」出每行每列的提示数；自己先完整解一遍，确认唯一解；装进信封送给朋友并附三条由弱到强的提示。

自检清单：提示数与画一致吗？有没有多解（换一种涂法也满足所有提示）？提示难度是渐增的吗？设计者的质检标准只有一条：朋友不靠运气也能解开。

点格棋：连线成盒

一张点阵纸、两支铅笔，世界上最「简单」的棋类诞生了：点格棋（Dots and Boxes）。轮流在相邻两点间画一条边，谁画上一条边的第 4 条边、围成一个格子，就得 1 分并再走一次。棋终分多者胜。

规则 30 秒学会，策略一辈子学不完——「让一步」与「吃两步」的算计，让无数数学家着迷。本章从 3×3 小盘玩到 5×5 标准盘，把「双链」「让子」这些黑话一一破译。

工坊配套：图形馆「点格棋馆」提供 3×3 到 5×5 真对弈（可与 AI 过招），本册每一局都能在线复现。

双方轮流画边，成盒得点

「连走」规则是游戏的灵魂：一次成盒不是终点，若新的一步又成盒，继续走——高手一回合能连吃一串。得分后「再走一次」也可能把您送进陷阱，走还是停（若规则允许弃走），是进阶话题。

3×3 小盘两局

第一局（乱战流）：随便画。结果常见一幕：前 3 格各得 1 分后，最后一格的两条边谁先画谁送分——新手局往往变成「比谁犯傻晚」。

第二局（数边流）：开局先数总边数。3×3 盘共 12 条边、4 格、每格 4 边，但共享边只算一次——画满需要恰好 12 步。若双方都不成盒，奇数边意味着先手画最后一条边；而「被迫画第 3 条边」的人就是开盒人。先数边，再布局——这就是从「乱战」到「策略」的一步。

4×4 盘体验长链

4×4 盘（9 格）会出现新现象：长链——几格肩并肩排成一条，中间只有一条「咽喉」边。谁先画开咽喉，谁就把整条链白送给对方连吃。

体验任务：与同伴各下一盘，约定双方都不碰任何第 3 条边，看棋盘如何被逼成「两张网＋一条链」的死局——最后总有一个人不得不开链。这盘「互相僵持」的棋，正是点格棋策略的精华舞台。

双链与三链现象观察

双链：两格并排，每格已被围 3 边、共享一条待画边——谁碰共享边，连送两格。三链：三格一线，同理更贵。把这些「一碰就连环送礼」的结构记熟，棋感立刻升级：

观察任务：下一盘 4×4，每当棋盘上出现双链或三链，喊出来并记数。一局下来您会发现：胜负几乎总由「谁被迫第一个开链」决定。

棋手与棋手的差距，就在「看见结构」的速度。

长链让子战术

双盒让子的关键：留下「回」字形的双盒结构，对方吃完两盒后无路可走，只能开新边。这一手把「送 5 格」缩成「净送 1～2 格」——高手与新手的分差，大半由让子术贡献。

主动开短链

反过来，当短链（孤格或双链）出现且轮到您时，有时主动开出反而占优：吃下短链后「再走一次」的权利可以用来封闭大盘，逼对方去开那条昂贵的大链。

判断口诀：链数定生死——数一数棋盘上还剩几条「长链」。若长链条数为奇数，设法让对手开链；为偶数，抢先消耗短链。这条口诀在 5×5 盘上命中率惊人。

奇偶性定胜负

点格棋最深的一层是奇偶分析：棋盘共 B 条边，双方共走 B 步。考虑「无代价画完所有安全边」的阶段后，剩余结构由若干链与环组成。数学家证明：先手与后手的胜负，由点数与链环结构的奇偶在开局阶段即可预判——4×4 盘（9 格、奇数格）先手若稳住双链数，后手几乎无力回天。

不必现在吃下完整证明，记住方法论：把胜负归结为一个奇偶量——这一招在下一学年「独立钻石棋与不变量」里会再次大放异彩。

与 AI 对局（线上工坊）

到工坊「点格棋馆」与 AI 过三盘：①第一盘随便下，感受 AI 的惩罚；②第二盘只用「满行满列先行＋数链」两条，观察胜率变化；③第三盘尝试让子术，记录净失格数。

AI 难度分三级：随机（送分）、贪心（只看眼前一格）、搜索（会做奇偶分析）。目标：战胜贪心级，逼平搜索级。

与 AI 下棋最大的收获不是胜负，是它能「无限复盘」——每一局结束都回放它想过的地方。

5×5 标准盘

5×5 点阵（16 格、40 条边）是世界标准赛场。开局原则：①前 20 步几乎全是「安全边」，尽量让每条边都不制造第 3 边；②中盘开始「造链布局」：有意把格子分组，控制长链的条数与奇偶；③残盘执行让子术。

一个惊人事实：5×5 盘先手在完美对局下必胜或至少和（取决于规则细节），整棵博弈树已被计算机完全解出——小小点格棋，也有它的「上帝视角」。

复盘名局：吃盒连走

复盘 1980 年代点格棋名局片段（工坊内置）：黑方在残盘故意送出 3 格长链，白方连吃后「再走」却无安全边，只好开新链——黑方回敬 6 格。一步「亏本买卖」，净赚 3 格。

复盘任务：逐手标出「这步是安全边／开链／让子」，统计双方各犯几次「不必要开链」。输棋的原因 90% 写在「不必要开链」那一栏。

双链识别自测

自测五图（工坊内置）：每图 10 秒，答「图中有几条链、几环、先手该开还是避」。评分标准：识别链环数全对 2 分/图，先手决策正确再 1 分。

错得最多的题型：「假双链」——两格看似共咽，实则第三方还有一条逃跑边。识别要点：数一数「待画边」与「已围边数」，缺边数超过 1 的不算链。

让一步赢两步：策略中的「亏」

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班级点格棋淘汰赛

赛制：单败淘汰，4×4 盘，每轮一局定胜负（平局加赛 3×3）。决赛改 5×5 盘、双局制。赛间纪律：观战者保持沉默——点格棋的喊话杀伤力太大。

赛后作业：冠军写 300 字「夺冠路」，重点写「哪一步自己差点开链、为什么忍住了」。忍住的那一步，就是冠军的全部秘密。

与家人三局并写战报

任务：教家人玩点格棋（从 3×3 教起），连下三局并写战报：①每局的链数对比；②家人最常犯的错误；③您「让」过的一步棋及后续变化；④第四局 handicap（您先送 2 格）能否依然取胜？

教棋是最好的复盘：把「数链」「让子」讲给别人听时，您自己的理解会升一级。

一切规律都值得一个字母

火柴棒搭「小鱼」：第一条鱼 8 根，第二条鱼只需加 6 根，第三条再加 6 根……搭第 n 条鱼要几根？8＋6(n−1)。一个字母 n，替您说完无穷句话。

上一册学过「用字母写规律」，这一章把它当成一场游戏来玩：找规律、猜公式、编自己的规律题、抢答赛。字母不再是符号课，而是您的「规律发动机」。

工坊配套：图形馆「规律工坊」把火柴棒鱼、数表规律做成可拖拽关卡，公式当场验证。

用字母表示运算律与公式

游戏规则：给出一个「文字规律」，两队各用字母把它写成式子，又快又准者得分。例：「任选一个数，乘 2 加 6，再除以 2，最后减去原来的数」——(2a＋6)÷2−a＝3，永远是 3！规律一旦符号化，「必然性」当场现形。

规律探索：火柴棒搭鱼

任务：小鱼图案第 1 条 8 根，之后每条多 6 根。搭 n 条鱼要多少根？

解：8，14，20，26……每步＋6，是首项 8、公差 6 的等差数列：8＋6(n−1)＝6n＋2。

验证：n＝3：6×3＋2＝20 ✓（动手摆：8＋6＋6＝20）。换个拆法：每条鱼「先给 2 根尾巴，再 6 根身子」——6n＋2 的几何意义当场可见。同一公式，两种拼装，符号与图形对上了暗号。

数表规律找第 n 项

数表游戏：给出数列前几项，猜第 n 项公式，然后互相「检验」。

① 3, 7, 11, 15, …　② 1, 4, 9, 16, …　③ 2, 6, 12, 20, …

参考：① 4n−1；② n²；③ n(n＋1)。第③个最难：相邻差 4, 6, 8 是等差——「二阶等差」的初体验，它的公式与「三角形点数」同源。

抢答规矩：报公式必须带验证（代 n＝1、2、3）——「猜想＋验证」才是一条完整的推理。

图形面积拼式

用面积「看」出公式：边长为 a 的大正方形挖掉边长 b 的小正方形，剩下的 L 形面积 a²−b² 能不能剪拼成 (a＋b)(a−b)？

拼法：把 L 形剪成两个矩形：宽 a−b、长 b 与宽 a−b、长 a——拼起来恰是长 a＋b、宽 a−b 的大矩形。a²−b²＝(a＋b)(a−b) 不靠背，靠剪。

工坊「规律工坊」内置这幅剪拼的动态版——拖一下，平方差公式从纸上站起来。

从特例到一般：归纳法

「看出来」的示范：1＋3＋5＋…＋(2n−1)＝n² 为什么？把点阵排成 L 形逐层包裹正方形——每层 L 形恰是奇数，n 层裹出 n×n。公式有了画面，就不再是猜的。

验证与反例意识

归纳出的公式也可能错！经典陷阱：「前 n 个数，n²−n＋41 总是质数？」n＝1～39 都对，n＝40 时＝41²，合数！

教训两条：①验证再多特例也不等于证明——「举例万次 ≠ 必然」；②一个反例就能推翻。数学的判决书只认两种：证明（全对）与反例（推翻）。

带着「找反例」的眼光做题，您离数学家的思维方式就只差一个证明了。

整体代入技巧

规律题的快招：不拆散整体。已知 x²＋x＝3，求 x²＋x＋7——不必解出 x，把 x²＋x 整体代入：3＋7＝10。

再例：a＋b＝5，ab＝3，求 a²b＋ab²＝ab(a＋b)＝3×5＝15。分配律反着用一次，两个未知量被一个「整体」收编。

「整体思想」的座右铭：不是所有字母都需要知道身世，有时只需知道它们抱成的团。

规律题综合：递推型

递推规律：「下一项＝上一项×2−1」，首项 1：1, 1, 1, 1……太平淡；首项 2：2, 3, 5, 9, 17……差是 1, 2, 4, 8——二的幂！猜通项：a_n＝2ⁿ⁻¹＋1。

验证：n＝5：2⁴＋1＝17 ✓。递推型的通用武器是「列差表」：一阶差不行看二阶差，差变等比猜指数。

数列侦探的三板斧：做差、做比、套经典（平方数、三角形数、斐波那契）。

用字母编自己的规律题

角色互换：您当出题人。选题方向：①生活规律（楼梯每级高 15 cm，第 n 级离地多高）；②图形规律（第 n 个图形有几个点）；③「陷阱题」（某式对前几项成立、第 40 项露馅——上一页的 n²−n＋41 就是范本）。

出题合格线：附完整答案＋至少两种验证＋（若做陷阱题）指明反例位置。会设陷阱的人，最不容易掉进陷阱。

归纳与证明的分界

「找规律」与「证规律」之间隔着一座桥，桥的名字叫证明。初中阶段我们用「说理」预演证明：为什么 6n＋2 是偶数？因为 6n 是偶数（有因数 2），加 2 还是偶数——一句「有因数 2」就是微型证明。

高中将学到完整的数学归纳法：先证 n＝1 成立，再证「若 n 成立则 n＋1 成立」——多米诺骨牌的两件事。今天您摆火柴棒时验证的那几步，就是它的童年。

归纳发现四步法总结

本章方法的浓缩卡：①列（特例排成表）→ ②察（做差做比找节奏）→ ③猜（写成含 n 的式子）→ ④验（代值＋说理＋找反例）。

自评三问：哪一步您最熟？哪一步常跳过？（多数人跳第④步——而它恰恰是数学与迷信的分界线。）把四步法贴在错题本第一页。

〔方程〕字母是数学的「变量革命」

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规律抢答赛

赛制：主持人展示数列或图形规律的前四项，抢答第 n 项公式；答对 2 分，答错倒扣 1 分；附「为什么」（说理）另加 1 分。特别回合「陷阱局」：主持人藏了一个反例级陷阱，识破者 3 分，掉进去者 −2 分。

备战清单：平方数、奇数列、三角形数、二阶等差、二的幂——五大家族过一遍。

找一个生活规律并符号化

任务：在生活中找一个能用字母写下来的规律（电话费套餐、楼梯高度、日历上同一列的日期、纸的对折厚度……），完成三件套：①文字描述；②含 n 的公式；③验证（代 3 个值＋一个「为什么」的说理）。

加分挑战：您的规律里有没有「失效的 n」？（纸不能无限对折——第 42 折已是数学的胜利、物理的失败。）

我想的数您知道吗

经典魔术：心里想一个数，乘 2，加 10，除以 2，减去最初想的数——报出您的答案！是 5，对吧？无论您想的是几，答案永远是 5。

秘密：设您想的数为 x，(2x＋10)÷2−x＝x＋5−x＝5。魔术师玩的是「字母与消去」。本章我们反过来当魔术师：只给结果，倒推原数——这就是方程思维的逆向玩法。

工坊配套：图形馆「猜数机器」让您亲手输入运算流程、生成自己的魔术，并用逆推破解。

逆向思维：说结果猜原数

核心概念叫逆运算：加法的逆是减法，乘法的逆是除法。程序是单向的路，逆推就是原路返回——每一步都留下脚印。

一步逆推

第一回合：甲「我的数 ×3 得 15」。乙倒推：15÷3＝5。检验：5×3＝15 ✓。

第二回合：甲「我的数 −7 得 −2」。乙倒推：−2＋7＝5。检验：5−7＝−2 ✓。

一步逆推的实质：解最简单的方程 ax＝b 与 x−a＝b。「倒着做」与「移项」是一回事——您已经会解方程了，只是还没给它起名字。

两步逆推

回合：甲「我的数 ×2 再＋6，得 16」。乙倒推：最后一步是「＋6」→ 先减：16−6＝10；再倒「×2」：10÷2＝5。检验：5×2＋6＝16 ✓。

要诀：从最后一步往回剥，顺序绝不能乱——先除后减就掉进坑：16÷2＝8，8−6＝2，代入检验 2×2＋6＝10≠16 ✗。

逆推如同脱衣服：先脱最后穿上的。顺序颠倒，就是「把内衣穿在外面」。

逆推与方程互译

把「×2 再＋6 得 16」写成方程：2x＋6＝16。对照两种解法：

逆推：16−6＝10，10÷2＝5　‖　移项：2x＝16−6，x＝10÷2＝5

一模一样！移项就是逆推的书面语，逆推就是移项的口算法。学会互译，您在纸上是代数学家，在心里是速算魔术师。

逆推顺序：倒着走

三步以上尤其重要：流程「×3 → −5 → ×2 → ＋1 得 49」的逆推：49−1＝48 → 48÷2＝24 → 24＋5＝29 → 29÷3 非整数——哪里错了？回头微检验发现第三步：若原数是 29，×2＝58，＋1＝59≠49。原来流程听岔了——逆推的微检验连「听错题」都能抓出来。

平衡方程的两边

逆推的本质是天平平衡：结果已知、原数未知，每倒退一步，都是在问「天平另一边少了什么」。另一种视角：两边同时做逆运算——2x＋6＝16，两边同减 6、同除 2，天平始终平，x 现形。

2x ＋ 6 ＝ 16 → 2x ＝ 10 → x ＝ 5（两边同减 6、同除 2）

「倒着走」与「两边同做」殊途同归：一个是时间逆流，一个是天平双锉。

变形中的不变量

魔术「答案永远是 5」为什么成立？因为程序 (2x＋10)÷2−x 在化简中 x 被消去——结果与原数无关，这个「不随 x 变的量」就是程序的不变量。

设计魔术的诀窍：让流程里「×2 与 ÷2」「＋x 与 −x」成对出现，x 自然消光。检验一个魔术的成色：把 x 代成 0、1、100 三个值，结果若不变，魔术成立。

不变量思想第一次登场——四个月后的钻石棋课，它将决定「哪些局面注定无解」。

含括号与分数的猜数

升级程序：「我的数加 3 后乘 2，再减原数的一半，得 15」。设原数 x：(x＋3)×2−x2＝15 → 2x＋6−x2＝15 → 3x2＝9 → x＝6。

逆推版：15＋x2？卡住——含「原数本身」的流程不能纯逆推，必须列方程。结论：程序一旦用到原数两次以上，方程是唯一正道。

设计猜数程序

您来当魔术师，设计自己的猜数程序。设计要求：①流程 3～5 步；②结果必须是「定值」（不变量），并写出化简过程证明；③准备一句戏剧化的台词；④预测观众最常见的错步，备好「温柔提醒」。

范本台词：「请把答案写在手心，不要让我看见——我看不见，但它已经注定。」

能设计「必然结果」的程序，说明您对消去与不变量已是「作者视角」。

逆推与移项的等价

本节给「等价」盖章：把第 3–8 页所有猜数题逐一翻译成方程并两种方法各解一遍，填对照表。您会发现逐题同解——这不是巧合，是定理：逆推的每一步，恰是等式性质 1、2 的应用。

写一份 200 字小论文《逆推即移项》，用一题为例逐步对照。能把两种方法讲成一种方法的人，才算真正毕业。

逆推五步流程图

记下流程（竖排）→ 从末步倒走 → 每步微检验 → 碰「原数二次」转方程 → 全程验算 + 报答案

自测三题（工坊「猜数机器」随机模式）：①全对＝毕业；②错在顺序＝重读第 4 页「脱衣服原则」；③错在计算＝把微检验养成习惯。

〔少广〕少广之逆：开方是乘方的逆

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猜数对战赛

赛制：①破译局——甲亮程序与结果，乙限时 60 秒逆推，答对甲乙各 1 分（程序出得好也有分）；②魔术局——甲现场表演自创定值魔术，乙识破「为什么是定值」各得 2 分；③陷阱局——程序含「原数二次」，纯逆推必卡，先列出方程者得 3 分。

对战赛的冠军密码：出题时故意留一步「微检验」能抓的错——考验对手的习惯，也考验自己。

编三个猜数题考家人

任务：①一道一步逆推（给家人开门）；②一道两步逆推（正确顺序才有分）；③一道定值魔术（结果与所想无关，附您的化简证明）。把三道题的「参考答案＋常见错误」写在题纸背面。

复盘必答：家人在哪道题上用了「错误顺序」？您怎么讲清楚「先脱最后穿的」？——教会的瞬间，就是您掌握的瞬间。

分苹果：多了还是少了

老师拿来一袋苹果分给小组：每人分 3 个，多出 8 个；每人分 5 个，还缺 4 个。几个小朋友？几个苹果？

「一多一少」两个线索一夹，答案被逼出来了——这类题叫盈亏问题，两千年前《九章算术》专门用「盈不足术」伺候它。本章先玩后证：游戏里试错，方程里破案，古术里升华。

工坊配套：图形馆「盈亏实验室」用滑动条实时演示「每人分的越多，盈亏翻转越快」。

盈亏问题的两种表述

术语：多出来叫盈，不够叫亏；两次标准之差是「每人变动量」，两次盈亏之差是「总量变动量」。所有公式都从「总数不变」这四个字长出来。

一盈一亏型

苹果局：每人 3 个盈 8，每人 5 个亏 4。表格试错：6 人→总数 26 与 26？3×6＋8＝26；5×6−4＝26 ✓！6 人 26 个。

为什么是 6？从 5 人试到 7 人当然行，但更快的是算账：每人从 3 涨到 5，多要 2×人数 个，恰好把「盈 8」吃成「亏 4」，吃掉 8＋4＝12 个 → 人数＝12÷2＝6。

人数 ＝ (盈＋亏) ÷ (两次标准之差) ＝ 12 ÷ 2 ＝ 6

两盈与两亏型

两盈局：每人分 4 个盈 10，每人分 3 个盈 4。总账：4n−10＝3n−4 → n＝6，总数 14。公式版：人数＝(大盈−小盈)÷标准差＝(10−4)÷1＝6 ✓。

两亏局：每人 5 个亏 9，每人 4 个亏 2。n＝(大亏−小亏)÷差＝(9−2)÷1＝7，总数 26。验：5×7−9＝26 ✓。

三种型号一条总纲：两次总账相等。公式可以忘，总账不能忘。

盈不足公式套用

《九章》盈不足术的标准程序：随便设两次人数（或两次假设），算出两次的盈亏，然后一次到位：

人数 ＝ (盈₁ ＋ 亏₂) ÷ |标准₁ − 标准₂|　（一盈一亏）

更神的是盈不足术的通用形态：对任何「难以直接求解」的问题，设两个假想答案 x₁、x₂，算出各自偏差 y₁、y₂，则真解 ＝ (x₁y₂−x₂y₁)÷(y₂−y₁)——这是线性插值！对线性问题一次命中，对非线性问题给出极好的近似（第 10 页用它算古题）。

设份数代替设具体数

遇到「男女生人数比 3∶5」这类题，别急着设 x——设男生 3 份、女生 5 份，份数运算全整数，快且不易错；最后按「每份」还原。

盈亏题同理：「每人分 3 个盈 8」→ 设每人 3 份时总数 3n＋8。份数思维是算术与代数之间的过渡桥：它保留具体，又孕育抽象。

量表法与线性思维

把盈亏画成「量表」：横轴每人标准，纵轴总数。两条「总账线」各是一条直线，交点就是真相——人数使两线相会。

线一：y＝3n＋8；线二：y＝5n−4。交点：3n＋8＝5n−4 → n＝6，y＝26。

「盈亏＝两条直线的交点」——盈不足问题的线性本质一览无余。八年级学一次函数时，您会重逢这两条线。

用方程重解盈亏

方程视角：设人数 x、总数 y。「每人 3 个盈 8」→ y＝3x＋8；「每人 5 个亏 4」→ y＝5x−4。两个方程、两个未知数——这是二元一次方程组的雏形！下学期它将正式登场，今天的盈亏题就是它的练习场。

同一道题，算术、表格、图像、方程四副面孔——每多一副面孔，理解就深一层。

三种解法对照

把苹果局（每人 3 盈 8、每人 5 亏 4）用三种方法各解一遍并对照：

评价一种解法看三点：速度、可靠、可迁移。算术法赢速度，方程法赢天下。

盈不足术古题今解

《九章》原题：「今有共买物，人出八盈三，人出七亏四，问人数物价。」盈不足术：人数＝(3＋4)÷(8−7)＝7，物价＝7×8−3＝53。

再玩一道非线性古题：「蒲草第一天长 3 尺，以后每天减半；莞草第一天长 1 尺，以后每天加倍，问第几天蒲与莞一样高？」这不是线性问题！两天后蒲 4.5、莞 3（蒲盈 1.5 尺）；三天后蒲 5.25、莞 7（蒲亏 1.75 尺）。盈不足插值：(2×1.75＋3×1.5)÷(1.75＋1.5)＝8÷3.25≈2.46 日；而现代方法（设 t＝2 的天数次幂，解二次方程）给出真解 log₂6≈2.58 日——插值有偏差，但对古人来说已相当接近。

盈不足术是古代的「数值方法」：线性问题精确命中，非线性问题给出近似——知道工具的边界，才是真懂工具。

复杂情境建模

升级情境：班级租车，甲车每辆 400 元限 30 人，乙车每辆 480 元限 40 人，共 98 人、预算 1400 元。全租甲 4 辆（120 座）1600 元超支；3 甲＋1 乙？160×? 试：3×400＋480＝1680 超支；2 甲＋2 乙＝1760 超支……全超？重读题：乙车 480 限 40 更「贵」吗？人均：甲 13.3、乙 12——乙更划算但总价高。结论：预算 1400 不够两种正解组合，题设藏「方案比较」而非精确解——建模题的第一课：先判断问题要什么。

算术法与代数法优劣表

本章真正的考点不是答案，是这张表——选对工具的人，才是有方法的人。

〔盈不足〕盈不足术：两次试验逼近真值

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盈亏应用题闯关赛

赛制：三关积分制。①速算关：10 道标准型口算（公式或总账），限时 5 分钟；②建模关：3 道两盈两亏与混合型，须写出「两次总账」，限时 12 分钟；③古题关：一道《九章》原文题，先翻译再解，答对双倍分。

评分亮点：允许「方法混搭」——用方程验算术、用图像验方程，双保险者加 1 分。

从生活编一道盈亏题

任务：从家里找素材（分饺子、发零花钱、装文具袋），编一道盈亏题：①一盈一亏或两盈两亏；②数字别太大、答案为整数；③附三种解法（算术、方程、您选的第三种）；④请家人用「生活直觉」口算验证您的答案。

家人的直觉常常就是「总账法」——听他们怎么算的，您会对「盈亏＝总账相等」多一分敬意。

七巧与轴对称复习

一副七巧板：5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形，能拼出一千六百多种图案——飞禽走兽、人物器物，无所不能。七巧板的魔力有一半来自数学：角度与对称（每块的角度都是 45° 的倍数）。

本章围绕「对称」做游戏：剪纸、照镜子、补全拼板、设计标志。对称不只是「好看」，它是数学里最深刻的概念之一——最后您会看到，物理学家说「对称决定世界」。

工坊配套：图形馆「镜像工坊」提供镜面对称谜题与拼板补全，鼠标一点即翻。

轴对称图形判定

常见图形的对称轴条数：线段 1 条（所在直线＋中垂线 2 条——注意别漏）、角 1 条、等腰三角形 1 条、等边 3 条、矩形 2 条、正方形 4 条、圆无数条。

易错警报：平行四边形（一般）不是轴对称图形——对折永远不重合，它是「中心对称」（下学期主角）。

剪纸对称创作

任务：一张纸对折，剪出「囍」「雪花」「手拉手小人」三者之一。剪前先回答：折痕就是什么？（对称轴！）想让小人手拉手连成一串，纸该怎么折？（风琴折，每条折痕都是对称轴。）

创作挑战：剪出一个有两条对称轴的图案（提示：先对折再对折）；再挑战四条对称轴——您剪出的多半接近正方形或雪花（八重对称）。

剪纸是「看得见的对称轴」：每一次展开的惊喜，都是一次重合验证。

镜面对称谜题

镜子游戏三条规则：①镜子里的字左右反（写个 F 照照看）；②镜面与纸面的交线就是对称轴；③「镜子里的钟」真实时间＝12:00 减镜中读数（或按对称轴翻转）。

谜题：镜中时钟显示 3:40，实际几点？把 3:40 关于竖直轴翻转——12:00−3:40＝8:20。动手验证：在纸上画 8:20，用镜子照，读数恰是 3:40。

「镜子减法」的原理：镜面把钟面沿 12-6 线反射——对称变换的第一次实战。

拼板补全：给一半拼另一半

任务卡：给出一幅图形的一半与一条对称轴，用七巧板块补出另一半。三条必过关卡：①等腰三角形（1 块镜像即可）；②小房子（正方形＋三角屋顶，3 块）；③带烟囱的房（4 块，烟囱破坏了对称——如何在「整体对称」里藏一个「不对称元件」？）。

第③关的启示：对称是整体性质，烟囱在左右各有一个镜像伙伴才保住全局对称——补拼板时永远盯着「对应块」。

对称轴找法

进阶判断：对称轴两侧的图形「处处等距、方向相反」——所以斜着的对称轴最考眼力，用中垂线法最稳。

网格坐标描述对称

在方格纸上，对称变成「数对游戏」：点 (3, 2) 关于竖直轴 x＝5 的对称点是 (7, 2)——到轴 2 格，另一侧也 2 格。规律：

关于竖线 x＝a：横坐标变 2a−x，纵坐标不变；关于横线 y＝b：纵坐标变 2b−y，横坐标不变。

对称被「坐标化」后，找对称点不再需要镜子，只需一次减法——下学期坐标系正式登场，今天先占个座。

多重对称轴图形

对称轴的条数是图形的「基因」：等边三角形 3 条、正方形 4 条、正五边形 5 条、正六边形 6 条、圆无穷条。正 n 边形有 n 条对称轴——规律到这一步已是「显然」。

思考题：矩形为什么只有 2 条而正方形有 4 条？——「邻边相等」补上了两条对角线轴。对称轴条数精确地记录了图形的「平等程度」。

对称与折叠展开

反向游戏：给您「展开后的成品」，推「折剪的过程」。例：一张纸对折 2 次后剪去一个角，展开后有几个洞？——每次对折层数 ×2，2 次后 4 层，1 个剪口 → 4 个洞；但若剪在折痕上，洞数减半——剪口位置决定一切。

挑战：对折 3 次剪一个「半格」口，展开的图案是什么对称？8 重对称——雪花的剪法正是如此。

用对称设计标志

设计任务：为本班「数学之夜」设计一枚标志，要求：①至少 1 条对称轴（加分：2 条以上）；②含一个数字或字母元素（注意字母自身是否对称：A、M、T 有，F 没有）；③单色可印。评审标准：对称性 2 分、创意 2 分、可制作 1 分。

世界名标大多对称：奔驰三星、丰田三椭圆、奥迪四环——对称给 logo 稳定与信任感，这是设计的数学。

拼板中的对称计数

数学化一击：用七巧板拼正方形，拼法有多少种「本质不同」？若把旋转、翻折后的拼法视为同一种（毕竟只是转个方向），计数立刻变小——「视旋转翻折为同一种」正是上册五联方课的原则。

挑战：用 2 块、3 块七巧板分别能拼出几种凸多边形？穷举＋对称归并，答案会让您意外（3 块可拼 4 种三角形：正三角、等腰直角、以及两种不同的直角梯形拼法……自己验证）。

对称创作展评

全班作品三线展评：①剪纸线（对称轴条数标注在背面）；②镜子线（解出一道镜子时钟并展示验证）；③设计线（标志投票）。评「最佳对称奖」的硬指标：评委用折叠或镜面现场复验对称成立。

复盘一问：哪个作品让您「以为对称、复验翻车」？——眼缘会骗人，折纸不会。

对称是守恒的另一种说法

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对称设计赛

赛制：①速拼局：给一半拼另一半，限时 3 分钟/题，共 4 题；②镜面局：镜子时钟抢答 6 题；③创作局：5 分钟内设计一个「恰有 2 条对称轴」的图案（多一条扣 1 分——「恰好」比「越多越好」难）。

「恰好 2 条」的陷阱：随便画个图形容易不对称或全对称，精确控制对称轴条数，是对对称的真正掌握。

找身边对称之美拍三例

任务：拍摄（或手绘记录）三处生活中的轴对称：建议路线——建筑（门、窗、桥）、自然（树叶、蝴蝶、雪花若赶得上）、文字与标志（银行的 logo、汉字「中」「日」「田」）。每例标注：对称轴在哪？几条？有没有「差点对称」的细节（挂在门上的营业牌歪了 5°）？

「差点对称」最值得记录：世界的对称从不完美，而数学告诉我们要多接近完美本可以。

冬令营地图与积分规则

冬令营开幕！本章是六座营地的闯关总动员：幻方营地、数织雪原、点格棋帐篷、猜数暗语屋、盈亏集市、对称冰灯。每营一挑战，通关盖一枚雪花章；集满五枚进入对弈赛总决赛。

积分规则：挑战基础分 2，最优解法加 1，团队协作（讲解给同伴听）加 1。个人得分与营地总分双轨制——既比强弱，也比「谁让团队更强」。

幻方速构

开幕热身：2 分钟内写出任意一个三阶幻方，并标注您使用的策略（先定中心？互补配对？）。随后 1 分钟「残局互换」：与邻座交换、擦去对方 3 个数、归还复原。

热身合格线：8 线验算全部通过。热身目的：把上册的手感唤醒——今天的五座营地都要用。

①数织竞速

策略提醒：先扫满行满列 → [7] 以上的长提示取交集 → 中盘全面交叉扫描一次。完赛者得 2 分；提前 2 分钟＋1 分。

雪花的图案有左右对称性——对称性是数织的隐藏外挂：左半解出，右半照抄镜像。

②点格棋对弈

弃走权改变什么？「吃盒连走」不再强制——高手可以在连吃中途停手保安全。用弃走权缩小让子亏损者，赛后加 1 分。

③猜数暗语

参考：①−5；②(8＋7)÷3＝5；③恒为 4，因 (2x＋8)÷2−x＝x＋4−x＝4，x 消去。

④盈亏古题

参考：两天后共穿 3＋1.5＝4.5 尺（大鼠 3、小鼠 1.5），剩 0.5 尺；第三天速率和 4.5＋0.25×2？重算：大鼠第 3 天 4 尺、小鼠 0.25 尺，合 4.25/日 → 0.5÷4.25＝217 日。约 2217 日相逢（古人用盈不足插值得 2 又 2/17，与精确解完全一致——本题恰是线性的！）。

⑤对称拼板限时

「恰有 3 条」的通关钥匙：先把图形做成正三角形版（自然 3 条轴），再加一个不增轴的装饰（放在轴上的小圆点）。

各关最优策略分享

五关讲评的公共议题：①数织——用对称性砍半工作量是全场最佳策略；②点格棋——弃走权的本质是「把强制连走变成可控停顿」，让子亏损普遍缩小；③猜数——「原数二次必列方程」被反复验证；④盈亏——双鼠穿垣题其实是「变速直线」问题，盈不足插值恰好精确，展示了古术的适用边界；⑤对称——「在轴上加装饰」是控制对称轴条数的通用技巧。

团队接力赛（上）

团队接力赛（下）

设计一个营摊

小组任务：为「冬令营集市」设计一个数学摊位。要求：①游戏规则 30 秒能讲完；②用到本章至少一个思想（幻和、消去、不变量、总账、对称）；③有明确的胜负判定与积分；④材料成本低（纸笔即可）。

评审维度：好玩（游客排队程度）、公平（先手无必胜）、讲得清（摊主解说 60 秒内完成）。「公平」需要证明——这正是本学期学的「有据表达」。

营地战报与策略笔记

每人写一份战报，三栏：战绩（集章数、个人分）；关键一手（印象最深的一步及理由）；策略入库（本轮学到的、要写进「个人策略库」的一句话）。

小组汇总后选出「全营最佳一句话策略」贴上荣誉墙——往届金句：「先数链，再动手」「对称砍半工作量」「定值魔术是 x 的葬礼」。

游戏是思想的健身房

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巅峰对决与颁奖

总决赛：集章前八名捉对厮杀，项目三轮——幻方残局（复原速度）、点格棋（4×4 单局）、24 点（含负数牌，抢答五局四胜）。观众席同步开放「复盘竞猜」：猜出选手下一步的胜手者得纪念雪花章。

奖项：冠军「洛书杯」、最佳策略奖、最佳讲解奖、最佳逆转奖——每个奖都在说：比赢更重要的，是赢得有道理。

寒假每日一题打卡表

任务：制作 21 天打卡表，每天一道「自己出的题」（幻方残局、猜数程序、盈亏题、数织提示轮流上岗），开学带来：①打卡表（家长签字版）；②自己最满意的三道题及答案；③一段 100 字的「寒假数学发现」。

打卡的隐藏任务：坚持本身。21 天后您会承认——「每天 10 分钟」比「某天 3 小时」强大得多。