关系与图形

本书怎么读：一章十五页

全书按「章」前进，每章恰好十五页。理论章的节奏是：第 1–3 页概念（从身边事引进新概念，配定义框）、第 4–8 页方法（法则一条一条立起来）、第 9–12 页例题（例 1–例 4，带完整解答）、第 13 页思想卡（一页只说一个数学思想）、第 14–15 页格物札记（把《九章算术》的古智慧与现代数学接通）。游戏章的节奏是：导入→规则→试玩×3→策略×3→进阶×3→复盘→思想卡→对弈赛→任务。综合站的节奏是：导入→热身→挑战×5→讲评→进阶×2→创意工坊→复盘→思想卡→对弈赛→任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12；绝对值写成 |−3| ＝ 3；未知数用字母 x，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；不等号 ＞ ＜ ≥ ≤ ≠ 各就各位；平方根写作 √2，平方与立方用小肩数字 x²、a³；点坐标写作 (2, −1)；函数写作 y ＝ 2x − 1；圆周率 π ≈ 3.14。中括号写成 ［　］，比例号 ∶。

导入：十字路口的几何

站在天桥上看十字路口：两条道路相交，四个方向的车流、斑马线的平行、天桥与地面的垂直——一整座十字路口，就是一页「相交线与平行线」的活教材。

道路为什么这样修？铁路的两条铁轨为什么永不相交却能始终保持等距？本章研究两条直线的全部关系：相交（含垂直）与平行，以及角度在其中的规矩。

对顶角与邻补角

对顶角相等：因为 ∠1＋∠2＝180°（邻补角），∠3＋∠2＝180°，两边同减 ∠2 得 ∠1＝∠3——「同角的补角相等」一秒证完。

剪刀开合，四个角联动：∠1 变大 ∠3 同步变大，∠2、∠4 同步缩小——对顶角相等是「看得见的定理」。

垂线与点到直线的距离

垂线段的长度就是点到直线的距离。「跳远成绩为什么量落点到踏板的垂直距离」——垂线段最短的直接应用。

「有且只有」四个字再次登场：存在性＋唯一性，几何语言的黄金句式。

同位角·内错角·同旁内角

两条直线被第三条直线所截（「三线八角」），没有公共顶点的角有三类：

识别要领：先找截线（两角的公共边所在直线），再看两角相对截线与被截线的位置。字母 F、Z、U 是最快的视觉向导。

平行线判定三法

三条判定互为翻译：同位角相等 ⟺ 内错角相等（对顶角牵线）⟺ 同旁内角互补（180° 一转手）。

还有两条法宝：平行公理「过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行」与推论「平行于同一条直线的两直线平行」（传递性）。

平行线的性质

注意方向！判定：已知角的关系，推平行（用角找平行）；性质：已知平行，推角的关系（用平行找角）。两者互逆——「由角到线」与「由线到角」，先分清方向再动笔，是本章第一大基本功。

下笔前的自问：「平行是条件还是结论？」一句话定乾坤。

平行线间的折线问题（拐点）

两条平行线间夹一条「折线」，拐点处的角怎么算？拐点模型：过拐点作一条平行线，把折线角拆成两段，分别用内错角接住。

AB∥CD，折线 M 在中间：∠M ＝ ∠1 ＋ ∠2（M 左右两侧的内错角之和）

变化版：拐点凸向上、凸向下、两次拐弯——通通是「过拐点作平行线」一招破。口诀：见拐点，作平行。

命题与真假判断

例：「两直线平行，同位角相等」真；「同位角相等，两直线平行」也真（互为判定）；「相等的角是对顶角」假——反例：把一个角对折，折痕两侧的角相等却不是对顶角。

推翻一个命题只需一个反例；确认一个命题需要证明——真假判断训练的是「证据意识」。

例1 角度计算规范

解：因为 a∥b，所以 ∠1＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∠2＝126°。

因为 ∠3 与 ∠2 是对顶角，所以 ∠3＝∠2＝126°。

规范两件套：每步写依据（平行性质／对顶角），角度带单位。

例2 判定与性质的互逆辨析

解：第一问：同位角相等 → 两直线平行（判定），能断定。第二问：平行 → 同位角相等（性质），∠2＝70°，不需要额外条件。

辨析总结：判定是「角的相等 ⟹ 线的平行」，性质是「线的平行 ⟹ 角的相等」——箭头方向相反，使用场合相反。

例3 拐点模型

解：过 M 作 MN∥AB（平行公理），则 MN∥CD。∠AMC＝∠1＋∠2（两个内错角拼成），故 ∠2＝75°−28°＝47°。

辅助线只有一条：「过拐点作平行线」——拐点模型的变化题再多，也是这一刀。

例4 说理与证明初步

证明：因为 ∠A＝∠D（已知），所以 AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

又因为 AB∥CD（已证），所以 ∠B＝∠C（两直线平行，同位角相等）。

两步走完一次「角→线→角」的往返——这就是证明的雏形：每个箭头都有名字。

平行是「永不相见」的约定

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札记① 《墨经》的平行与圆界说

墨家还留下「圜，一中同长」「直，参也」「厚，有所大也」等界说，构成一套朴素的几何定义体系。更难得的是《墨经》的论证意识：「故，所得而后成也」「说，所以明也」——论断须有依据、论证方能明理，这是与欧几里得遥相呼应的方法论。

「同高」二字的现代版本：平行线间距离处处相等——两千年前的定义至今一字可改。

札记② 第五公设：一条公理的两千年

欧几里得《几何原本》的第五公设（平行公设）措辞冗长，两千年来无数数学家怀疑它是定理、想用其余公理证明它——全部失败。19 世纪，罗巴切夫斯基与鲍耶干脆换掉这条公设：过线外一点作不止一条平行线——竟然毫无矛盾！非欧几何诞生，里奇曲线、引力透镜、GPS 的相对论修正，都在其中。

一条公理的「叛乱」打开了新宇宙。公理不是真理的枷锁，而是宇宙的选择题——这是数学给人类思想最大的礼物之一。

导入：电影院座位如何定位

「请到 5 排 3 座」——两个数字，锁定一个座位，全世界的电影院都懂这套语言。台风播报「位于东经 125°、北纬 23°」，也是两个数定一个位置。

要用数描述平面上的点，一个数不够、两个刚好——这就是坐标的直觉。本章把「排与座」升级成带正负方向、能做运算的坐标系，让数与形正式结盟。

工坊配套：图形馆「寻宝坐标图」让您在网格上按坐标挖宝、按平移指令搬箱子。

有序数对与坐标

平面上任一点 P 对应唯一的有序数对 (x, y)：x 是 P 到 y 轴的「带符号距离」，y 是到 x 轴的。反过来，每个数对也对应唯一点——点与数对一一对应。

象限与坐标符号

两条坐标轴把平面分成四块，逆时针依次是第一、二、三、四象限：

坐标轴上的点不属于任何象限：x 轴上的点 y＝0，y 轴上的点 x＝0，原点 (0, 0)。判象限只看两个符号——「口诀：一全正、二竖正、三全负、四横正」。

点的平移与坐标变化

规律：左右平移动横坐标，上下平移动纵坐标；「移动方向与数轴正方向一致就加，相反就减」。

易错警报：向左平移 3 是 x−3 不是 x＋3——把「平移」翻译成「加减」时，先问一句「往数轴哪头走」。

图形平移的坐标表达

图形的平移＝所有点做同样的平移。三角形 A(1,1)、B(3,1)、C(2,3) 向右平移 2、向上平移 3，新顶点：A′(3,4)、B′(5,4)、C′(4,6)——每个坐标「＋2、＋3」。

重要观察：平移只改变位置，形状、大小、方向全不变（对应线段平行且相等）。反过来，若两个图形所有对应点坐标差恒定，则两图形平移重合。

「图形整体搬家＝坐标集体加减一个常数」——下册学函数图像平移时，这一页就是地基。

对称点的坐标

记忆法：「关于谁对称，谁不动」。关于 x 轴对称＝沿 x 轴折纸，x 坐标自然不动。

三条规律一口气验证：关于 x 轴再关于 y 轴，两次翻折＝关于原点转 180°——(x,−y)→(−x,−y)，负负全反，一步到位。

用坐标描述位置与路线

路线也能用坐标串成串：从 (0,0) 出发，东行 3 格到 (3,0)，北行 2 格到 (3,2)——路线是一串有序数对，位移是一串加减。

「方位＋距离」与「坐标」可以互换：目标在东偏北 30°、距 10 处，八年级学了三角函数后可换算为坐标 (10cos30°, 10sin30°)。今天先用整数格：北偏东 45°、3 格 → (2.1, 2.1)？不——先玩格点版：北偏东 45°、距离 √18 的格点＝(3, 3)。

坐标系里的面积计算

顶点坐标全是整数的图形，面积有妙法：割补法——把斜图形装进一个「正」的矩形里，用矩形面积减去周围直角三角形。

例：A(0,0)、B(4,0)、C(4,3) 围成直角三角形，面积＝12×4×3＝6。斜一点的：A(0,0)、B(5,1)、C(1,4)：外接矩形 5×4＝20，减去周围三块直角三角形 52＋8＋2＝12.5，面积＝7.5。

「装框再减」是坐标几何的万能起手式——高中还要学更快的「鞋带公式」，它的思想就是今天的割补。

例1 写坐标与找点

解：①第二象限横负纵正：(−2, 3)（注意：到 x 轴的距离给的是纵坐标！）；②(4, −1) 关于 y 轴对称 → (−4, −1)，纵坐标不变，仍在 x 轴下方，与「x 轴上方」矛盾——该点不存在！警惕条件冲突；③设 (0, y)：到 (3, 4) 距离 5 → 9＋(y−4)²＝25 → (y−4)²＝16 → y＝8 或 0：(0, 8) 与 (0, 0)。

第②问是「不存在」题：条件互相打架时，敢于写「不存在」是数学的诚实。

例2 平移作图

解：A′(2, 0)、B′(6, 0)、C′(6, −2)、D′(2, −2)。

扫过面积：先算水平扫带——矩形右移 4，扫过 x∈[−2, 6]、y∈[−1, 1] 的整带，面积＝原面积＋位移×高度＝8＋4×2＝16。再算竖直新增——下移 1 只在「右移后矩形」的正下方新露出 4×1 的窄条（x∈[2, 6]、y∈[−2, −1)，水平扫带未覆盖），新增 4。

扫过总面积 ＝ 16 ＋ 4 ＝ 20

装框验算：外接矩形 x∈[−2, 6]、y∈[−2, 1] 共 8×3＝24，只有左下角 x∈[−2, 2)、y∈[−2, −1) 的 4×1＝4 从未被扫到：24−4＝20 ✓。两法一致，尘埃落定。

扫过面积公式：原面积 ＋ 每段位移 ×「与位移垂直方向的投影长度」，重叠只数一次——先分段算、再装框验，两法互查。

例3 轴对称坐标规律

解：(1) A₁(1,−2)、B₁(3,−1)、C₁(2,−4)（横同纵反）。

(2) 原三角形面积：装框 2×3＝6，减周围 1＋1.5＋1＝3.5？重算：框取 x∈[1,3]、y∈[1,4]：2×3＝6；周围三角：AB 下方 0.5×2×1＝1、BC 右侧 0.5×1×3＝1.5、AC 左侧 0.5×1×2＝1；原面积＝6−3.5＝2.5。对称三角形同面积。合围六边形＝两倍原面积＝5（因为对称三角形恰好「倒扣」，中间无重叠、无空隙，对折即重合）。

例4 坐标中的行程路径

解：逐段记账：x：0＋4−5＋2＝1；y：0＋3＋1＝4。终点 (1, 4)。

直线回家距离＝√(1²＋4²)＝√17（勾股定理八年级正式学，先用：直角边 1 与 4 的斜边）。与「路程」（4＋3＋5＋1＋2＝15 格）对比：路程 15，位移 √17≈4.1——位移只看起终点，路程数的是脚程。

数形结缘：坐标是桥

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札记① 笛卡尔：一只蜘蛛启发一座桥

传说未必是真事，但思想是真的：把代数的运算律引入几何，把几何的直观还给代数。此后 380 年，从牛顿力学到计算机图形学，屏幕上每个像素都有坐标——您此刻看的手机屏，是 10⁷ 个 (x, y) 在发光。

恩格斯评价：数学的转折点是笛卡尔的变数——有了变数，运动进入了数学；有了坐标系，辩证法进入了数学。

札记② 中国古算的「位」：方程章的矩阵雏形

坐标系用「位置」存数，其实《九章·方程》早就这样干了：三元方程组的系数排成方阵，每根算筹的位置自带含义——第几行是哪个未知数、第几列是哪条方程。「以位表数」让消元变成整行整列的机械操作。

这是人类历史上最早的矩阵。1850 年代西尔维斯特正式命名 matrix（母体），矩阵成为现代数学与 AI 的语言；而它的祖先，躺在两千年前《九章》的算筹方阵里。「位」的思想，东西方各自开花。

导入：鸡兔同笼——两个未知怎么办

《孙子算经》：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？一个方程搞不定——设鸡 x 只，腿的方程里还藏着兔。两个未知量，需要两条方程：x＋y＝35，2x＋4y＝94。联立解出 x＝23、y＝12。

上学期您已经用盈亏、假设法解过它；这一章给它正式装备：二元一次方程组——两个未知数、两条方程、一套消元手艺。

工坊配套：图形馆「方程天平」双盘联动的消元实验，加减消元的每一步可视化。

二元一次方程与它的解

关键认知：二元一次方程的解不止一组，是一整串——x＝23, y＝12 行；x＝30, y＝5 也行（30＋5＝35）。一元方程的解是「一个数」，二元方程的解是「一对数」，而且有无穷多对。

一串解排成点，画在坐标系里恰好是一条直线——「解集是一条直线」，这个画面八年级函数课会大开大阖。

方程组的公共解

x＋y＝35 的解有无穷多，2x＋4y＝94 的解也有无穷多；两条「解的直线」相交于一点——公共解唯一：x＝23, y＝12。这就是「联立」的几何含义：两条直线唯一交点＝唯一公共解。

反例预告：两方程若「平行」则无公共解（无解），若「重合」则无穷多解——方程组的解的个数问题，几何上就是直线的位置关系。

代入消元法

例：y＝x＋2 与 x＋y＝20。把 y 代入：x＋(x＋2)＝20 → 2x＝18 → x＝9，y＝11。

「代入」的哲学：既然 y 与 x＋2 相等，就处处可替换——等量替换，天经地义。

加减消元法

例：x＋y＝35 与 2x＋4y＝94。前者 ×2：2x＋2y＝70；与后者相减：2y＝24 → y＝12，代回 x＝23。鸡 23、兔 12——与《孙子算经》的「半足术」殊途同归（抬脚法：94÷2−35＝12 只兔）。

加减消元的许可来自等式性质 1：两方程的左右各自相减，等式依然成立——「整体相减」是天平叠天的平。

消元策略的选择

两把刀怎么选？口诀：「有一个现成的用代入，系数对得齐的用加减」。

①y＝3x＋1 与 2x＋y＝9 → 现成 y，代入快；②2x＋3y＝8 与 2x−3y＝4 → 系数天然同反号，直接相加秒杀（x＝3）；③一般情形：先给某方程乘一个系数，把某未知数凑成同（反）号，再加减。

「凑系数再加减」是最常用的通用打法——消元的目标只有一个：让一个未知数先消失。

三元一次方程组初步

三个未知数怎么办？一样的刀，多挥几刀：三元 → 消一个 → 二元 → 消一个 → 一元。

例：x＋y＋z＝6；x＋y＝3；y＋z＝4。方程②代入①：z＝3；代回③：y＝1；代回②：x＝2。

「消元」是化归思想的流水线：n 元问题逐步降元，直到熟悉的一元。工具不新增，只在重复中变锋利。

列方程组解应用题

两条等量关系藏在哪里？「共」「合计」给一条，「比」「倍」「差」给另一条。审题时拿荧光笔把数量句全部划出来——两条方程自己会浮出来。

设元的自由：问鸡设鸡也行，设「鸡兔脚数各占几」也行——选让两条方程都最简洁的设法。

例1 标准消元

解（加减法）：第二个方程 ×2：2x−2y＝2。与第一式相加：5x＝14，x＝145；代回：y＝x−1＝95。

验算：3×145＋2×95＝42＋185＝12 ✓。

解不是整数很正常——方程组的世界不承诺整齐，只承诺正确。

例2 鸡兔同笼双解法对照

解：(1) x＋y＝35；2x＋4y＝94 → x＝23 鸡，y＝12 兔。

(2) 抬脚法：所有鸡兔抬一半脚，剩 94÷2＝47 条；此时鸡 1 脚兔 2 脚，比头数多出的 47−35＝12 就是兔数；鸡＝35−12＝23。

一致性：「抬一半脚」＝方程 ÷2（2x＋4y→x＋2y）；「比头数多」＝减去 x＋y＝35。古法的每一步，都是消元的一步——一千五百年前的算法，今天翻译成代数，一步未错。

例3 行程与调配问题

解：设船静水速 x、水速 y。顺流：x＋y＝240÷6＝40；逆流：x−y＝240÷8＝30。

相加：2x＝70 → x＝35；相减：y＝5。船速 35、水速 5 km/h。

「顺流＋逆流」两条方程天然一加一减就能消——行程类方程组的黄金结构，记住这个形状。

例4 方案决策问题

解：设单价 x、y：3x＋2y＝190；4x＋3y＝270。消元：第一式 ×3、第二式 ×2：9x＋6y＝570；8x＋6y＝540；相减 x＝30；代回 y＝50。

结论：价格无变动（与标价一致）。「双账核对」是审计的基本手法——方程组就是最小的审计工具。

〔方程〕消元：把二元化归为一元

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札记① 《九章》方程章的「损益」：消元术世界第一

《九章》方程章 18 题全部是多元方程组，用「遍乘直除」统一消元，涵盖正负数运算、整数与分数系数。刘徽注还讨论了「方程有解无解」的判定（相当于行列式思想的萌芽）。世界数学史公认：线性方程组的系统解法，《九章》世界第一，比欧洲早约 1500 年。

札记② 位置表示法：矩阵思想的源头

把方程组的系数按「位」排成方阵，消元按「行」操作——这个流程在 19 世纪被正式命名为矩阵消元（高斯消去法）。矩阵的加法、乘法、逆，都是从「解方程组」这门手艺里长出来的。

今天的图像压缩、搜索引擎排序、神经网络训练，底层全是矩阵运算。七年级的您在纸上「遍乘直除」的样子，与机房里每秒万亿次的浮点消元，是同一个动作的两种尺度。以位表数，天下皆矩阵。

导入：限重与超速——现实的「不等于」

桥头的限重牌「49 t」：车重超过 49 吨才违法，49.1 不行、49.01 也不行——现实里大量规则不是「相等」而是「不越过」。高速公路「限速 120 km/h」、电梯「限乘 13 人」、身高「1.2 m 以下免票」。

相等只是数学世界的特例，不等才是常态。本章给不等号装上运算规则，学会解不等式、画解集、做方案。

工坊配套：图形馆「不等式直梯」在数轴上拖动解集端点，含参讨论一目了然。

不等式的性质

例：2＜3；两边 ×(−1)：−2＞−3——方向翻了。这是不等式与方程唯一的分水岭，也是本章第一易错点。

为什么负数要翻向？因为负数乘法把数轴「镜像翻转」：原来左边的跑到右边——大小秩序随之颠倒。

解集与数轴表示

例：x≥2：从 2 出发向右，2 处实心；x＜−1：从 −1 向左，−1 处空心。「界点实空」与「方向左右」两件小事，考试各值一分。

解集是「一段数轴」而非一个数——从方程到不等式，答案从「点」扩成「线段」，这是量级的跃迁。

一元一次不等式解法

例：解 2x−13 − 1 ≥ x。去分母（×3）：2x−1−3 ≥ 3x → 2x−4 ≥ 3x → −x ≥ 4 → x ≤ −4（两边 ×(−1)，翻向！）。

「−x ≥ 4」是经典陷阱：答案是 x ≤ −4 而非 x ≥ −4。检验：代 x＝−5：左边 (−10−1)/3−1＝−14/3 ≤ −5？ −14/3≈−4.7 ≥ −5 ✓。

不等式组与公共解集

四种基本型（以 x＞a 与 x＜b 为例）：a＜x＜b（大大取小、小小取大，夹住）；x＞b（同大取大）；x＜a（同小取小）；无解（大小小大，两头跑了）。

口诀「大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了」。数轴上把两条解集都画出来，重叠区一目了然——能画图就别背口诀。

含参不等式讨论

参数进场的经典题：关于 x 的不等式 ax＞3 的解集是 x＜3a，问 a 是什么数？——除以 a 后翻向了，说明 a＜0。反向推理：「看翻向，定符号」。

再例：解集 x＞2，而不等式为 (a−1)x＞2a−2＝2(a−1) → 化简两边同除 (a−1)：若 a−1＞0 得 x＞2 ✓；若 a−1＜0 得 x＜2 ✗。故 a＞1。

含参讨论的原则：参数站在「系数」的位置上，就要问它「正、零、负」三态——零还有特判（除以零非法）。

列不等式解应用题

关键词翻译表：超过→＞，不足→＜，至少→≥，至多→≤，不多于→≤，不低于→≥。「至少」「至多」带等号——丢等号是应用题的头号失分点。

不等式应用题的最后一步常是「取整数」：x≥4.5 而 x 是人数，答案取 5——解集对了，答案还要「落地」。

方案最优化初步

现实问题常带两个约束（预算、容量），答案是一个方案区间。套路：列不等式组 → 解出 x 的范围 → 落地为整数方案 → 逐个比较目标（最省钱/最多载客）。

例：8 座车租金 300/天，4 座车租金 200/天，共 34 人、预算 1500，既要坐得下又要不超预算——先列座位不等式，再列租金不等式，交集里挑最省的方案（下一页例 4 实战）。

「可行方案不止一个，再按目标挑最优」——这就是线性规划的思想雏形，高中数学的常客。

例1 解不等式规范

解：去分母（×6，正数不翻向）：3(x＋2) ＞ 2(3x−1) → 3x＋6 ＞ 6x−2 → −3x ＞ −8 → x ＜ 83（除以 −3，翻向！）。

数轴：83 处画空心圈，向左画线。

规范三查：分母乘全？负除翻向？界点空实？

例2 解不等式组

解：① x＞2；② −3x＜−9 → x＞3（翻向）。公共部分：x＞3（同大取大）。

整数解：4, 5, 6, ……有无穷多个。若加一条 x＜7，则整数解 4、5、6，共 3 个。

「求整数解个数」的隐形任务：先确定边界是否可取（等号），再一个一个数。

例3 含参数取值范围

解：解集要「两头跑空」：x＞m 的区域与 x＜3 的区域没有交集，需要 m ≥ 3（m＝3 时 x＞3 与 x＜3 也无公共值）。

答：m ≥ 3。验证边界：m＝3 无解 ✓（x＞3 与 x＜3 之间是空的，3 本身两边都不取）；m＝2.9 时 2.9＜x＜3 有解 ✗。

「无解」题的边界值最易错：等号往往恰好在边界上成立——逐一代入边界值是唯一可靠的检验。

例4 租车与购票方案比较

解：人均成本：甲 400÷45≈8.9 元，乙 280÷30≈9.3 元——甲更划算，尽量多用甲。

方案：全甲 4 辆（180 座）1600 元；3 甲＋1 乙：165 座 不够；3 甲＋2 乙：195 座 1760 元；4 甲已 1600 元且 180≥175 ✓。试 2 甲＋3 乙：180 座 1640 元 > 1600；1 甲＋5 乙：195 座 1800 元。最省：4 辆甲车，1600 元（空 5 座）。

「人均便宜的多用」是直觉，直觉要经穷举检验——本例穷举后 4 甲恰最优，但记住：直觉偶尔会输给「满座率」。

〔均输〕均输：在约束里找最优

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札记① 《九章》均输章：负担的公平分配

均输的算法核心是「按比例摊派 + 路程修正」：远的少派、近的多派，使每县的实际负担（含运输成本）均衡。汉武帝时代的「均输平准」政策，正是把这套数学用成了国策——数学治国，古已有之。

「公平」在数学里是个可计算的对象：加权平均、比例分摊、约束优化——今天的社会保障、运力调度，仍在解均输章的题。

札记② 从不等式到线性规划一瞥

1939 年，苏联数学家康托罗维奇为胶合板厂优化原料分配，创立线性规划；1947 年丹齐格发明单纯形法，从此「在几百个约束里找最优解」成为工业标配。今天快递路径、航班排班、饲料配方、投资组合，全是线性规划的疆土。

它的数学核心您已见过：一堆不等式围出可行域，最优解总在可行域的顶点上（对线性目标而言）。三个约束画一个三角形，目标沿某个方向平移，最后一个接触点就是答案——这一页的画面，高中等着您亲手画。

导入：哪个班更整齐——两种「好」

两个班百米测试平均成绩都是 15.2 秒，但甲班成绩挤在 15.0～15.5，乙班忽快忽慢 13～18 秒。谁更「整齐」？平均数答不了——它只报「中心」，不报「散开程度」。

描述数据需要一组量词：平均数、中位数、众数说中心，极差、方差、标准差说波动。本章把这套「数据的体检单」配齐。

工坊配套：图形馆「波动观察站」拖动数据点，方差实时重算，波动可视化。

平均数与加权平均数

例：平时成绩 90 占 30%，期中 85 占 30%，期末 80 占 40%：总评＝90×0.3＋85×0.3＋80×0.4＝27＋25.5＋32＝84.5。

「权」是砝码：权重大的数，话语权大。期末占 40%，一锤定音的分量就重——加权平均是「重要的多说几遍」的数学表达。

中位数与众数

数据：28, 30, 30, 32, 95。平均数＝43——被 95 一票拉飞，失真；中位数＝30，众数＝30，更贴「大多数」的真实水平。

三个「中心量」各司其职：平均数用全部信息但怕极端值；中位数抗极端、不看具体值；众数管「最常见」。选谁，取决于您想说什么。

极差·方差·标准差

例：1, 2, 3 平均 2，方差＝[(−1)²＋0²＋1²]÷3＝23。

为什么要平方？直接求和偏差会正负抵消恒为 0！平方让所有偏差「全变正」，再平均，波动无处遁形。

用样本估计总体

总体太大测不完？测样本，算样本的统计量，去估计总体。样本平均数估计总体平均、样本方差估计总体波动——统计的日常操作。

关键提醒：样本要随机且有足够容量，估计才可信。同上册「一勺汤」原理：先搅匀，再尝一勺。

工厂质检抽 50 件灯泡测寿命，写进整批出厂报告——「用样本说话」支撑着现代工业的每一天。

数据分析报告写法

一份合格的数据分析报告四段式：①背景与问题（调查什么、为什么）；②数据来源（普查还是抽样？样本多大？如何随机？）；③统计量与图表（中心量＋波动量＋至少一张图）；④结论与建议（有数据支撑、有边界声明「本次样本仅代表……」）。

第④段的「边界声明」是科学态度：不说「全校都这样」，只说「在随机抽取的 120 名样本中……」。

平均数陷阱辨析

平均数会说谎的三大现场：①极端值——5 人年收入 5、5、5、5、100 万，「人均 24 万」；②加权缺失——「平均每客仅消费 30 元」可能把一桌 300 元的大客与 10 元的小客混算；③辛普森现象——两组各自占优，合并后反转（分层数据不能直接看总平均）。

见到「平均」，先问三句：谁的平均？怎样加权？有没有极端值？——这三问能拦下大半统计谎言。

统计量的综合选择

决策表：①比赛评分去掉最高最低再平均——抗极端的平均；②「多数人选择的答案」——众数；③居民收入报告——中位数（政府公报常用，正是为了抗极端）；④质控车间——平均数＋标准差（中心与波动都要管）。

统计量是「提问的工具」：想问「多数人怎样」用众数，想问「中游在哪」用中位数，想问「总体水平」用平均数，想问「稳不稳」用方差。先有问题，再选工具。

例1 加权平均计算

解：加权：总数＝3×5＋20×4＋15×3＋2×2＝15＋80＋45＋4＝144；人均＝144÷40＝3.6 棵。

别把 (5＋4＋3＋2)÷4＝3.5 当人均——各档人数不同，权不同，答案就不同。加权平均的「权」就是各档人数。

例2 方差计算与比较

解：平均都是 6。甲：偏差全 0，方差 0。乙：偏差 −3、−1、1、3，方差＝(9＋1＋1＋9)÷4＝5。

结论：平均相同，乙波动大（s²＝5 vs 0）。「平均一样」时，方差出场定胜负——投篮教练选人就看这个。

例3 统计量选择决策

解：(1) 平均＝(0.8×3＋1.0×2＋1.2＋1.5＋8)÷9＝15.1÷9≈1.68；中位数＝1.0；众数＝0.8。

(2) 老板用的正是平均数≈1.68——不足 2 万，他的说法连平均数都撑不起来；即使勉强成立，对普通员工而言中位数 1.0、众数 0.8 才是「您的工资」。一句话评价：统计量的选择就是立场的暴露。

例4 生活数据分析报告

示范：「背景：初中生睡眠达标率受关注。方法：本班 45 人随机抽样，问卷自报。结果：平均 7.4 h（中位 7.5 h），标准差 0.8 h，个体差异不大但整体不足——35 人未达 8 h（77.8%）。建议：作业分层与就寝公约。边界：样本仅代表本班，不外推全年级。」

微报告的满分要素：两类统计量＋一张图＋边界声明——本页示范可作模板。

平均数会说谎：数据的另一面

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札记① 算术平均的历史与「权」思想

高斯在处理天文观测误差时把「最小二乘 + 算术平均」推上王座：多次测量的算术平均是正态误差下最可信的估计——平均数由此成为科学数据的代言人。但它天生带着阿喀琉斯之踵：对极端值零免疫。中位数在 19 世纪被重提，正是为补此弊。

札记② 数据说话的边界：统计伦理

「用数据说话」之前，先问数据怎么来的：样本是否随机？问题是否诱导？有没有幸存者偏差（只统计了「还在飞」的飞机上的弹孔——该加固的是没有弹孔的地方）？

统计伦理三条底线：不删「不好看」的数据、不换「更有利」的统计量而不声明、不把相关说成因果（冰淇淋销量与溺水人数同涨，凶手是夏天）。数字不会说谎，但选择数字的人会。——学统计的人，第一课是学会不骗人。

导入：三角形内角和的验证之旅

小学您用量角器「量」过：三角形三个内角加起来约 180°。但量总有误差，量一万个三角形也不算证明——本章用「拼」与「推理」把 180° 钉死，再推广到任意多边形。

从「量出来」到「证出来」，是几何学习的分水岭。本章是证明正式登堂的第一章。

工坊配套：图形馆「拼角剧场」可以拖动三个角拼成平角、自动推多边形内角和。

三角形边角关系

例：2、3、7？2＋3＝5＜7，搭不成三角形——两根短棒够不着长棒的两端。2、3、4？2＋3＝5＞4 ✓。

「为什么」：两点之间线段最短——从 A 到 B，走「直达边」不会比绕道两条边更远。三边关系的根，扎在上册那条线段公理里。

多边形内角和公式推导

三角形内角和 180°。四边形呢？连一条对角线，切成 2 个三角形：2×180°＝360°。五边形切 3 个：540°。

外角和更是惊人：任意多边形（不限边数）外角和恒为 360°——「绕一圈，转回原方向」，这条不变量下一节细讲。

内角和的多种证明（拼角·平行线）

证法一（拼角）：把三角形三个角撕下来，顶点对顶点拼在一条直线上——恰好铺平（180°）。直观但靠「恰好」，需追问为什么铺得平。

证法二（平行线，正式证明）：过 A 作 BC 的平行线 DE。∠DAB＝∠B（内错角）、∠EAC＝∠C（内错角）；DE 是直线：∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，代换得 ∠B＋∠A＋∠C＝180°。证毕——每步有据，一步不多。

辅助线「过顶点作平行线」把未知的三个角「搬运」到一条已知直线上——化未知为已知，证明的第一课。

外角与外角和

外角和为什么恒 360°？每个内角＋对应外角＝180°，n 边形总账 n×180°；内角和 (n−2)×180°；相减：外角和＝2×180°＝360°——与 n 无关！

「绕多边形走一圈，转过的弯恰好一整圈」——360° 是「转回原方向」的几何意思。散步时绕一个街区试试。

多边形对角线计数

n 边形有多少条对角线？每个顶点向「非相邻顶点」连线：n−3 条，n 个顶点共 n(n−3) 条——但每条被数了两次（两端各数一次），故 对角线数＝n(n−3)÷2。

验算：四边形 4×1÷2＝2 ✓；五边形 5 条 ✓；三角形 0 条 ✓。

「先数两次再除 2」是计数题的经典手法（高中叫去重），与上册「握手问题」同宗。

平面镶嵌的条件

用什么图形能不留缝、不重叠地铺满地面？关键在一个内角处「拼满 360°」。正 n 边形每个内角＝(n−2)×180°n，要求 360° 能被它整除：

正三角形 60°（×6）、正方形 90°（×4）、正六边形 120°（×3）——只有这三种正多边形能单独镶嵌。正五边形 108°？360÷108 非整数，铺不满（会有 36° 缝隙）。

地板砖的世界里住着一条整除定理——「数学决定您家的地板长什么样」。

三边关系应用

三边关系的两类题型：①判定：a、b、c 能否成三角形（最小两边和 vs 最大边）；②求范围：已知两边求第三边范围 |a−b|＜c＜a＋b。

例：两边 5、8，第三边范围：3＜x＜13。若还知周长为偶数：x∈{5, 7, 9, 11}？——x 取 4～12 的整数且周长 13+x 为偶数 → x 为奇数：5、7、9、11，4 种。

「范围＋整数＋奇偶」三连约束——先范围后筛数，逐层收紧。

例1 内角和计算

解：三角形：180°−47°−58°＝75°。

五边形：内角和 (5−2)×180°＝540°，每角 540÷5＝108°——正是地板铺不满的那个角度。

例2 由内角和反求边数

解：(n−2)×180°＝1620° → n−2＝9 → 十一边形。

外角版：外角和 360°÷24°＝15 → 十五边形。

两条路通向 n：内角和走「(n−2)×180°」，外角走「360°÷外角」——外角那条永远更快。

例3 镶嵌判断

解：混合镶嵌条件：在一个顶点处各图形内角拼满 360°。正三角形 60°＋正方形 90°：找 60a＋90b＝360 的正整数解 → 2a＋3b＝12 → (a, b)＝(3, 2)——3 个三角形＋2 个正方形拼一个顶点，可行（经典地板纹）。

加六边形：60a＋90b＋120c＝360 → 2a＋3b＋4c＝12 → (1, 1, 1)? 2＋3＋4＝9 不行；(3, 0, 1.5) 非整。另一组 (0, 4, 0) 已是纯方形。试 (a,b,c)＝(1, 0, 2.5)✗、(2, 0, 1.5)✗、(0, 0, 3)=12? 4×3=12 ✓ 纯六边形。混合 (2, 1, 1)：4+3+4=11 ✗。三者混铺的经典组合不存在（正三角形+正十二边形等另有花样，属于半正镶嵌的领域）。

例4 边角关系不等式应用

解：分类：腰 4 底 9？4＋4＝8＜9，构不成三角形，舍；腰 9 底 4：9＋9＝18＞4 ✓，周长＝22。

等腰「两边」必分类讨论，且三边关系是检验员——舍解的依据永远写明「不满足两边之和大于第三边」。

拼角：把三角形拆成一条直线

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札记① 泰勒斯测金字塔：思想的移植

比测量更伟大的，是泰勒斯的方法论：他最早提出并证明了几何命题（「直径平分圆」「等腰三角形底角相等」「对顶角相等」），把几何从「经验集」变成「命题＋证明」的体系。数学史上第一个「为什么值得追问」的人——本册的每次「有据书写」，都是他的遗产。

札记② 内角和定理的公理化意义

「三角形内角和＝180°」在欧氏几何里是定理；但请记住它的「户口」：它依赖平行公设。一旦换掉第五公设（非欧几何），球面三角形内角和大于 180°（北极走赤道的三角坑：270°！），双曲面中小于 180°。

爱因斯坦的广义相对论告诉我们：有质量的宇宙，时空整体弯曲——宇宙的「三角形」内角和真的不等于 180°。一条七年级定理，通向时空的形状；而判断它属于哪种几何的钥匙，正是那条「永不相见」的平行公理。

导入：数学建模是做什么的

手机套餐 A 月租 18 元、每分钟 0.15 元；套餐 B 无月租、每分钟 0.3 元。您每月打多少电话该选哪个？——把生活问题翻译成数学问题、解出来、再翻译回生活，这套流程叫数学建模。

建模不是新知识，而是把学过的知识「编排上市」：这一章用整章时间走完一次完整建模，让前面七章的全部装备（方程、不等式、统计）联合作战。

模型：现实的简化影子

「简化」不是「失真」：地铁线路图故意不按真实比例，却更利于出行决策。模型的好坏取决于您要回答什么问题——问路用线路图，量地用比例尺图。

一切模型都是「影子的影子」：现实 → 抽象 → 数学。评价模型永远问一句：哪些被忽略了？忽略得有道理吗？

建模流程：假设·建立·求解·检验

循环箭头「④→①」是建模的灵魂：第一版模型几乎注定不合理——迭代不是失败，是建模的正常节奏。

《九章》每题的「术曰」就是一份建模说明书：审题（今有）→ 假设 → 术（算法）→ 答。四步循环两千年未变。

情境问题拆解

拿到情境题第一步是拆：①已知量清单；②未知量清单；③约束与关系（谁等于谁、谁不超过谁）；④要回答什么。

示范（套餐题）：已知：A 月租 18、单价 0.15；B 无月租、单价 0.3。未知：通话时长 t、费用 W。关系：W_A＝18＋0.15t；W_B＝0.3t。要答：t 为何值选 A、何时选 B。

拆解完成的标志：所有量都有了「身份」——已知、未知、参数、目标。身份不清就动笔，是建模跑偏的第一原因。

变量识别与合理假设

变量识别：什么在变（通话时长 t）？什么不变（单价）？什么可以自己定（假设）？假设要明说：假设「月内话费只与时长有关、不区分长途本地」——这是简化，写进模型说明书。

合理假设的判断标准：①保留主要矛盾（话费大头是时长）；②让模型可解（线性）；③诚实声明（不假装假设就是现实）。

「所有模型都是错的，但有些是有用的」——统计学家博克斯的名言。有用的前提：假设清单诚实公开。

建立方程/不等式模型

把拆解好的关系写成式子。套餐题：W_A＝18＋0.15t，W_B＝0.3t；「哪个便宜」→ 不等式 W_A＜W_B：

18 ＋ 0.15t ＜ 0.3t　→　18 ＜ 0.15t　→　t ＞ 120

读出答案：每月通话超过 120 分钟选 A，不足选 B，恰 120 分钟两者相同。

「等号给分界，不等号给方案」——方程找临界点，不等式划范围，一动一静配合干活。

解模与合理性检验

解出的数学答案要过三道「现实关」：单位关（分钟 vs 小时）、范围关（人数不能是负数或分数）、常识关（结论符合生活直觉吗）。

示范：解得「租车 4.3 辆」——落地取整并验两种取法（4 辆 vs 5 辆），比较后选优。数学给「4.3」，决策给「4 或 5」：解模负责精确，检验负责落地。

修改假设再迭代

第一版模型被检验驳回怎么办？改假设、再来一轮。例：套餐模型加入「节假日双倍时长」或「家庭共享」后，临界点移动了——这正是建模的价值：换个假设，就能预演不同未来。

迭代记录表：版本｜改动假设｜新结论｜现实反馈。三行表格，就是科学方法的微缩景观。

工程师的口头禅：「先上第一版，再谈完美」——建模同理：v1 先跑通，v2 才精确。

例1 移动套餐选择建模

解：W_A(150)＝19＋0.2×50＝29；W_B(150)＝0.25×150＝37.5 → 选 A。

临界：分段模型——t≤100 时 A 恒 19 元，B 需 0.25t≥19 → t≥76 时 B 才追上；100＜t 时 19＋0.2(t−100)＝0.25t → 19＋0.2t−20＝0.25t → 0.05t＝−1 无解，说明 t＞100 后 A 永远更便宜（斜率 0.2＜0.25）。综合结论：月通话 ≥76 分钟选 A，否则选 B。

分段模型先画两段再谈交点——「含免费的套餐」是分段函数的启蒙现场。

例2 租车方案建模

解：设大车 x、小车 y。座位：45x＋20y≥98。人均：大车 11.1 元/座＜小车 12 元/座，尽量大车。x＝3：135 座已够，y＝0，1500 元；x＝2：90 座不够，y＝1，100＋240→1000＋240＝1240 元 ✓ 更省；x＝1：y≥3（45＋60＝105 座），500＋720＝1220 元 ✓ 更省！x＝0：y＝5，1200 元？20×5=100 座，5×240＝1200 元！

结论：全小车 5 辆 1200 元最省——人均直觉「大车便宜」输给了「空座率」！大车 3 辆空 37 座、全小车仅空 2 座。教训：约束模型必须穷举边界，直觉只是起跑线。

例3 水池注水问题建模

解：速率：A＝16，B＝14，C＝−112（排水记负）。合速率＝16＋14−112＝2＋3−112＝412＝13。3 小时注满。

检验：3 小时 A 注 0.5、B 注 0.75、C 排 0.25：0.5＋0.75−0.25＝1 ✓。假设复核：「速率恒定」对水泵基本成立；若考虑水压随水位变化，进阶模型（八年级一次函数）再迭代。

例4 小组成果答辩

示范答辩单：①假设：高峰期到达人数均匀、窗口速率恒定；②模型：排队人数≈到达速率×等待时间−服务速率×开放窗口数；③求解：开放 3 窗时等待 ≤5 分钟；④检验：实测 6 分钟，偏差来自「到达不均匀」；⑤迭代：12:10 与 12:35 两个高峰，建议错峰放学；⑥边界：模型仅适用本食堂高峰时段。

答辩评分四维：假设诚实、模型清楚、检验认真、建议可行——「可行」比「精确」值钱。

模型是人与现实之间的翻译

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札记① 《九章》就是一部建模之书

这种「从情境中提炼算法」的写法，与现代建模教材「问题 → 模型 → 算法 → 应用」的编排完全同构。中国古代数学没有「证明」传统，却有世界最强的算法传统——两千年后计算机科学登场，算法思想成了新时代的通行证。

札记② 数学建模竞赛的天空

今天全球有面向中学生的建模挑战（IMMC 等），题目全是真实情境：共享单车如何投放、流感如何错峰、教学楼电梯如何调度。72 小时内组队完成「假设—模型—求解—检验—论文」，比的不是算得快，而是团队、假设与表达。

本章的四步循环，就是那项赛事的完整预演。八年级学了函数，模型会从「一次」进化到「二次、反比例」；九年级学了三角与概率，天空再扩一圈。建模没有毕业，只有迭代——这恰是它迷人的地方。

消元主题挑战站

春季学期收官站！本章主题「消元与化归」：数独是消元的纸面游戏、方程组是消元的正业、不等式方案是消元的应用、坐标寻宝是消元的地图版。五关连闯，积分入册，为 M1 学年画上一个「化归」的句号。

通关印章规则不变：基础 2 分、最优解法 +1、讲给同伴听 +1。

数独九宫限时

标准 9 宫数独一道，限时 10 分钟。策略提醒：数独的每一步都是「消元」——某行已有 1、2、5，则该行剩余格消去这三个候选；行列宫三线交叉，候选唯一时落子。

热身口诀：先扫「候选唯一格」，再扫「某数在某宫仅一格可放」——两条扫描线轮转，卡壳自然少。

到工坊「数独馆」可开任意难度一局，双主题随心。

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☆启蒙 4×4 到 ★★★★大师五档难度，每题唯一解；笔记、提示、冲突提醒齐全，还能读数独简史与背后的算法。扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

sudoku/

①方程组速解赛

参考：①(5,2) 加减；②(3,6) 代入；③相加：6x＝24 → x＝4，y＝83；④ x＝5, y＝3；⑤ x＝12, y＝−1（第⑤题先去分母）。

②对角线数独

策略：对角线约束让「候选唯一格」翻倍出现——某格若在主对角线上且该行该宫已排走大部分数字，往往一击必中。变体数独的要诀：新规则=新的消元维度，先榨干它。

③消元数字谜

参考解：三连加即 3×ABC＝BBD。十位条件最强：3B＋进位 c 的尾数必须是 B 自身。从结果 ≤999 反推 ABC ≤ 333，逐个试 B：B＝3 时 (330＋D)÷3 须为整数且商是三位数——D＝6 给 ABC＝112；验算：112×3＝336，百位 3＝B、十位 3＝B、个位 6＝D ✓；四个字母 1、3、2、6 互不相同 ✓。

追问：本题不止一组解——B＝6 时还有 221×3＝663（2、6、1、3 互异）。您能再找出第三组吗？（提示：B＝7、B＝8、B＝9 各藏着至少一组。）

数字谜的真相：它是一组「伪装成算式的方程」——个位、十位、百位各有一条方程，进位是它们之间的纽带。消元思想在这里换了戏服。

④不等式方案设计

参考：设钢笔 x、笔记本 y：12x＋8y≤200；x＋y≥20；2x≥y。可行域举例：(8, 12)：96＋96＝192 ✓；(10, 10)：200 ✓ x 最大且 y＝x≥y2 ✓——(10, 10) 即钢笔最多方案（x 再大超预算）。

⑤坐标系寻宝

本关的真考点：多条件冲突时敢于宣布「宝藏不存在」——线索③把宝藏钉在 x＝4 的中垂线上，与①②硬冲突。侦探的尊严：宁可宣布无解，不肯将就硬凑。

双解法对照讲评

五关讲评主题：①速解——先看形状再选刀，平均提速 30%；②变体数独——新约束是新的消元维度；③数字谜——字母消元（对进位分类）与方程消元同宗；④方案——不等式组的可行域要「落地取整」再比较；⑤寻宝——冲突条件宣布无解是高级素养。

全场方法公约数只有一个词：化归——把没见过的，化成见过的。

混合限时（上）

混合限时（下）

出题与互评

每人出一道「消元主题」原创题（方程组/不等式方案/数字谜任选），附完整解答。互评三维度：①题目自洽（有解且不矛盾）；②解法有教学价值（能体现消元技巧）；③表述无歧义。

优秀题目将进入班级「M1 挑战题库」，署名保留——您的题会被下一届同学做到。出题是学习的最高段位。

消元思想总结卡

把这张卡抄进错题本首页——它是 M1 下半年的「思想总纲」。

〔方程〕化归：把未知变成已知

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团队积分赛

赛制：四人一队，五站循环——速解站（方程组限时）、数独站（对角线变体）、方案站（不等式组最优）、暗语站（数字谜消元）、侦探站（冲突条件判无解）。每站 6 分钟，队内自由分工但每人至少主答一站。

积分规则：主答得分 ×1.5、补答 ×0.5——鼓励人人扛旗，也奖励雪中送炭。

家庭消元游戏之夜

任务：把「消元」带回家——①教家人玩一局 4×4 点格棋或数独（任选）；②出一道生活方程组题（如「买水果混合价」）请家人用「总账法」口算，再用您的标准解法对照；③记录家人最巧的一句「民间算法」。

民间算法常是绝妙的「朴素消元」——把「抬脚法」式的智慧记下来，您会对《孙子算经》的作者多一分亲切：他们也是这么想的。