数论与游戏初步

本书怎么读：一章十五页

全书按「章」前进，每章恰好十五页。理论章的节奏是：第 1–3 页概念（从身边事引进新概念，配定义框）、第 4–8 页方法（法则一条一条立起来）、第 9–12 页例题（例 1–例 4，带完整解答）、第 13 页思想卡（一页只说一个数学思想）、第 14–15 页格物札记（把《九章算术》的古智慧与现代数学接通）。游戏章的节奏是：导入→规则→试玩×3→策略×3→进阶×3→复盘→思想卡→对弈赛→任务。综合站的节奏是：导入→热身→挑战×5→讲评→进阶×2→创意工坊→复盘→思想卡→对弈赛→任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12；绝对值写成 |−3| ＝ 3；未知数用字母 x，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；不等号 ＞ ＜ ≥ ≤ ≠ 各就各位；平方根写作 √2，平方与立方用小肩数字 x²、a³；点坐标写作 (2, −1)；函数写作 y ＝ 2x − 1；圆周率 π ≈ 3.14。中括号写成 ［　］，比例号 ∶。

数的原子：素数

化学里万物由一百多种元素搭成；数学里，「数的元素」是素数：2＝2，6＝2×3，360＝2³×3²×5——每个大于 1 的整数，都能唯一地分解成一串素数的乘积（算术基本定理）。素数是乘法世界的原子。

本章玩转这些原子：埃氏筛「筛」出素数、试除法判素、短除法分解、再顺手认识完全数与哥德巴赫猜想。游戏精神贯穿：先动手，再讲理。

工坊配套：图形馆「素数筛工坊」让您亲手点格筛数，看素数如何在 100 格内现形。

整除·因数·倍数复习

常用整除判据：2｜尾数偶；5｜尾数 0/5；3｜各位数字和被 3 整除（9 同理）；4｜末两位；8｜末三位；11｜奇偶位数字和之差。

「3｜数字和」的道理：10≡1（mod 3），所以 10 的任何次幂除以 3 都余 1——数字和「替」原数挨了同样的余数。八年级会正式给出这个论证。

素数筛：埃氏筛操作

埃拉托斯特尼筛法（公元前 3 世纪）：把 2～100 排成方格——①2 保留，划掉 2 的所有倍数；②下一个没划的是 3，保留，划掉 3 的倍数；③下一个 5……直到 √100＝10。

动手做（工坊「素数筛工坊」或纸笔）：最后幸存 25 个素数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

为什么筛到 √100＝10 就够？若 n 有大于 √n 的因数 p，则 n÷p 是小于 √n 的因数——大因数总拖着一个更小的同伴。试除只需试到平方根，下一页证明它。

扫码开玩 ·「筛中寻质」埃氏筛工坊

课文里的埃氏筛在这里看得见：数阵从 2 排起，每一步先圈出质数、再划去它的倍数，范围可以从 10 一直选到 200；还能自己动手筛，划错了会闪红提醒。扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

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整除特征判定竞赛

抢答规则：亮出一个数，说出它被哪些数（2、3、4、5、8、9、11）整除，快而准者得分。

第一轮：4 320　第二轮：12 960　第三轮：987 654

参考：4 320＝2⁵×3³×5（尾数 0 有 2 与 5；数字和 9 有 3 与 9；末两位 20 有 4；末三位 320 有 8）。12 960＝2⁶×3⁴×5。987 654：偶有 2；数字和 39 有 3；奇位和 (4＋6＋8)−(5＋7＋9)＝−3，非 11 倍数——只有 2 与 3。

竞赛的诀窍不是背判据，是组合使用：先 2 再 3 再 5，剩下的交给试除。

分解质因数接力

接力规则：一个数从队首传到队尾，每人分解一步（提出一个素因数），最后验收。

10 000＝2×5 000→2×2×2 500→……＝2⁴×5⁴；1 001＝7×143＝7×11×13；65 536＝2¹⁶。

验收标准：末棒给出「素因数幂次表」，全组核对乘积复原。1 001＝7×11×13 是出题人最爱——记住它，见到 1001 倍数秒拆。

分解的长跑冠军如 2¹⁶，一步都偷不了——素因数是数的指纹，两条路分解，殊途同归（唯一性）。

判断素数：试除到平方根

应用：判断 211 是否素数？√211≈14.5，试除 2、3、5、7、11、13——均不整除 → 素数 ✓（第 47 个素数）。

「平方根截断」让试除工作量骤降：判 10 000 以内的数至多试 22 个素数——手算可行的秘诀。

最大公因数与最小公倍数

例：12＝2²×3，18＝2×3²。gcd＝2×3＝6（取低幂），lcm＝2²×3²＝36（取高幂），6×36＝216＝12×18 ✓。

「取低幂／取高幂」两句话替代所有枚举——分解质因数是 gcd 与 lcm 的「母语」。

短除法与互素

短除法：用公有的素数连续去除，直到两数互素为止——左侧一列乘起来是 gcd，全部旁数（含最后的商）乘起来是 lcm。

例：求 36 与 48 的 gcd：短除 2→18,24；2→9,12；3→3,4——gcd＝2×2×3＝12；lcm＝2×2×3×3×4＝144。3 与 4 互素，分母互素正是分数加法要通分的根源。

完全数与亲和数

完全数：等于自身全部真因数之和的数。6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14。第三个完全数 496、第四个 8 128——古希腊人只找到这四个，欧拉证明「偶完全数必呈 2^p−1(2^p−1) 形」；奇完全数至今一个未找到，存在与否是千年悬案。

亲和数：互为对方真因数之和的数对——220 与 284（220 的真因数和恰为 284，反之亦然）。中世纪骑士曾互赠 220 与 284 表示友谊。

数论的游戏票根：定义极简，深渊无穷——完全数、亲和数、梅森素数，一张票看三场戏。

哥德巴赫猜想的故事

1742 年哥德巴赫致信欧拉：「任何大于 2 的偶数都能写成两个素数之和？」欧拉深信而不能证。三个世纪过去，计算机验证到 4×10¹⁸ 无一例外，证明仍然缺席。

中国人两度逼近：陈景润证明「1＋2」（每个大偶数＝素数＋不超过两个素数的积，1966 年）；华罗庚学派系统发展了解析数论工具。猜想的现状是最好的科学教育：验证一万次不叫证明，而「尚无反例」本身就是重要信息。

下一个突破者可能正在读这页书——数学史上许多猜想，答案迟到百年，等到的人当年也是学生。

素数定理一瞥

素数越往后越稀，但稀得多有规律？素数定理（1896 年证明）：前 n 个数中素数个数 ≈ n÷ln n。100 以内 25 个素数，估计 100÷ln 100≈21.7——量级正确；一百万以内 78 498 个，估计 72 381——越来越准。

素数还是「无限多」的：欧几里得的反证两千年不老——设只有有限个素数 p₁…p_k，则 p₁p₂…p_k＋1 除以任何 p_i 都余 1，它的大于 1 的因数必是新素数，矛盾。

素数是数轴上的「星星」：越远越疏，却永不熄灭——欧氏的证明是数学史上最美的十行字之一。

数论工具箱清单

工具箱六格——本册后面各章（钻石棋不变量、七桥图论）都会回来借工具。

〔少广〕乘法的原子世界

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素数抢答赛

赛制：①判素抢答——亮数判素（100～400 范围），对 2 分错扣 1 分；②分解竞速——分解 6 位合数，先交卷验分；③猜数局——主持人说「我是两个素数之和」，抢答所有可能拆法（多解全列才得分）。

压轴题：为什么 2 是唯一的偶素数？用一句话说服裁判。参考：任何其他偶数都有因数 2 与自身，必是合数。

记录 100 内素数并找孪生素数

任务：①独立完成 100 内埃氏筛（纸笔或工坊），与标准表核对；②圈出所有孪生素数对（相差 2 的素数对：3 与 5、5 与 7、11 与 13……共 8 对）；③观察：孪生素数在 100 内的分布是均匀还是「扎堆」？写两句观察记录；④家人问答：背出 10 以内 4 个素数并解释 1 为什么不是素数。

孪生素数猜想（无穷多对？）至今未解——您圈的 8 对，是人类已知 25 万亿对的最初几步脚印。

一盘棋的三百年

18 世纪末的法国宫廷，消磨长夜的贵族道具是一只小木盘：32 孔 32 子，拔起一子开局，跳吃收兵。它就是独立钻石棋（Peg Solitaire）——规则一分钟学会，最优解三百年才被穷尽（1890 年起数学家接力，1989 年计算机宣告全部结局）。

本章不为「通关」，为一件更酷的事：用不变量证明某些开局注定无解——数学家的先手，是算出「不可能」。

工坊配套：图形馆内置我们自研的「独立钻石棋」组件——内置 BFS 求解器，每一步都可请「上帝视角」支招。

走子规则与目标

关键约束：只能横竖跳、必须跳过子、落点必须空——每走一步总数减 1（跳走的子被收走）。32 子走 31 步到剩 1 子。

棋盘上没有「移动」，只有「跳吃」——像跳棋与围棋私定终身的产物。

十字盘入门

最小实验盘：十字形 6 孔（上 1、中 3、下 1？改用「十字 5 孔＋两翼」）。推荐入门盘：3×4 盘（12 孔 11 子，角空）——用工坊内置盘或纸笔画孔、纽扣当子。

入门目标：剩 2 子。别小看它：3×4 角空盘必有解（可剩 1），但中行空位全部无解——为什么？本章第 6 页的不变量给出判决。先玩：随意跳十步，感受「一步被动步步被动」。

建议节奏：第一盘自由发挥；第二盘每走前先数「还剩几子」——规划意识的萌芽。

英式盘体验

标准英式盘：33 孔 32 子，中心空开局，目标中心剩 1——传说为一贵族囚徒在巴士底狱所创。工坊内置此盘。

体验要点：①开局别拔相邻于中心的子（经验：拔中点对称位置的子）；②中盘警惕「孤子」——落单的子四周无伴，基本宣告出局；③残盘 6 子以内是「精算阶段」，一步之差天壤之别。

18 步经典解（伯松复原型）是世界公认的「最少步」中心解——在工坊里重放它，像看一场棋谱演出。

阶段目标挑战

三级挑战（工坊计分）：①剩 5 子以内（3×4 或 4×4 边中空盘）：感受「双跳链」——连续跳吃一条线；②剩 2 子（4×4 边中空）：必须规划「留下谁陪谁」；③剩 1 子（3×4 角空盘）：全部棋力上线，配合第 6 页不变量排除死路。

记分：达成即 2 分，步数少于「BFS 最短步数＋3」再 +1 分。别迷信运气：这棋每盘都可完全推理。

不变量思想：位置类

英式盘经典染法（交叉染色三类，类似国际象棋着色的推广）：可以证明——开局拔子后，若某类空位数为偶（奇），终局该类空位数必保持偶（奇）。中心剩 1 的目标要求「三类空位数的奇偶」满足特定组合；3×4 盘中行空的开局恰好违反这一组合 → 注定无解。

不变量的威力：还没走一步，结局已判——「奇偶守恒」是棋盘上的宪法。

着法分析：连跳

棋感升级三条：①链式跳：同一直线上「跳—落—再跳」一口气可行，规划时把直线当成「传送带」；②孤子预警：每走一步扫一眼「周围无子的子」，优先处理或利用；③向心原则：残局目标在中心时，中盘尽量把「势」往中心推。

验证练习：在工坊 3×4 角空盘，刻意制造一次「一子连跳两步」——感受传送带效应。

经典 18 步解欣赏

中心解 18 步的骨架（英式盘，记号：方向＋跳次）：开局拔中心 → 五条「半十字」链依次跳吃 → 中盘搭「双臂桥」→ 残盘两跳归心。工坊内置 BFS 求解器可逐步重放。

欣赏任务：①观察 18 步解中「子最少跳过几次同一格」（答案：0——每格至多经过一次，且每条直线至多用一次）；②数一数解中「向心跳」与「离心跳」的比例（约 5∶1）——向心原则的定量佐证。

看高手谱像看书法：每一跳都「省」——省步数、省孤子、省对称。

变形盘面探索

换盘再战（工坊可选）：①4×5 盘：多数空位可解，个别空位不可解——先猜后验；②三角盘：斜向跳吃的六边形棋盘（另一种商业版本）；③残局定制：摆出「剩 3 子且都相邻」的终局图，反推可行吗？

探索守则：先用不变量筛（奇偶检查），再上棋盘验证——两道工序一个都不能省。

用不变量判断无解

实战判决书（写清三步才算合格）：①染色方案（怎么分类）；②奇偶追踪（开局各类空位数的奇偶）；③目标比对（终局要求的奇偶组合）→ 判决。

判决示范（3×4 盘中行空）：交叉染色后，中行两空位同类；该类空位开局为偶，而「剩 1 子且在指定位」要求该类空位为奇——矛盾，无解成立。角空开局则三类奇偶全兼容 → 可解。

「判定不可能」与「找出解法」同样光荣——数学的双重荣耀。

线上工坊对局

终极操练：工坊「独立钻石棋馆」三连任务——①3×4 角空盘不求助打剩 1 子；②同盘开启 BFS 提示，对比自己的路线与最短路差几步；③4×4 边中空盘打剩 1 子（可解已验证），记录您的步数与 BFS 最短步数。

AI 求解器是「事后诸葛亮」式老师：它不抢您的乐趣，只在您走完后告诉您「其实还有更短的」。

不变量方法总结

总结卡四问：①这个棋的「守恒量」是什么（各类子数的奇偶）？②它能排除哪些开局（奇偶不兼容者）？③它不能告诉我们什么（不能给具体走法）？④同款思想还见过哪里（幻方中心必 5、点格棋奇偶定胜负）？

不变量家族的族训：变化万千处，先找不变的东西——找到它，混沌立判。

有些局注定无解：不变量的判词

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步数挑战赛

赛制：①资格赛：3×4 角空盘 5 分钟内剩 1 子，晋级；②排位赛：4×4 边中空盘剩 1 子，按步数排名（BFS 最短为基准，差 0 步满分）；③盲棋表演：裁判逐步报「第几步跳哪个方向」，选手口述局面——连续答对 5 步者获「上帝视角」徽章。

赛制的隐藏彩蛋：排位赛冠军获得「为下一届设计开局题」的权利——最刁钻的开局，出自最懂棋的人。

向家人演示一盘并讲解

任务：①教家人规则（30 秒版＋演示一跳）；②陪打一局，故意留一个「让家人跳吃」的机会；③用「位置类」讲清为什么 3×4 中行空无解（讲不清就再学一遍第 6 页）；④收集家人的一句评语写进任务卡。

检验标准：家人能独立走出第二次跳吃，即教学成功。教会一局棋，胜过自通十盘棋。

抛硬币公平吗

足球开赛前掷硬币决定场地——正面朝上算「公平」吗？直觉说五五开。但硬币真的「公正」吗？斯坦福研究者曾用高速摄影发现：硬币落地时更倾向保持起跳时的那一面（约 51%）——「公平」也是一种可以被测量、被质疑的东西。

本章初识概率：随机不是「没有规律」，而是「规律以频率的方式显形」。掷骰子、摸彩球、玩竞猜，我们边玩边算。

工坊配套：图形馆「概率实验台」可以一键掷骰千次，看频率如何慢慢稳住。

随机事件与可能性

三句话立规矩：①任何事件概率 P 满足 0 ≤ P ≤ 1；②所有等可能结果中，事件 P ＝ 该事件包含的结果数 ÷ 结果总数；③「越接近 1 越常发生，越接近 0 越罕见」。

概率是「可能性的度量」——像用温度计量冷热，我们用 0 到 1 的数「量」可能。

抛硬币实验与频率

实验设计：全班每组掷硬币 50 次，记录正面频率，汇成全班 450 次大样本。

预期结果：各组频率五花八门（0.38～0.64 都可能），样本越大频率越稳——全班汇总通常落在 0.45～0.55。这就是频率的稳定性：单次随机，大数有序。

蒲丰与穆林的掷币实验、计算机的百万次模拟——都在说同一句话：偶然之中有必然，必然藏在大数里。

掷骰子事件枚举

骰子六面等可能。求事件概率三步：①列出全部结果（掷一枚 6 个）；②识别目标事件包含几个；③相除。

「掷出偶数」P＝3/6＝1/2；「掷出 ≥5」P＝2/6＝1/3；「掷出 7」P＝0；「掷出 ≤6」P＝1。

两枚骰子升级：结果共 36 个（有序数对），「点数和为 7」P＝6/36＝1/6——和为 7 是骰子界的顶流（6 种组合，比任何别的和都多）。

摸球实验设计

不透明袋：红球 3、白球 2、蓝球 1（同色无差别）。设计三个实验并预测：①摸一球，P(红)＝3/6＝1/2；②不放回连摸两球，P(两红)＝? 枚举：第一红 3/6，剩 2 红 5 中再取 2/5 → 3/6×2/5＝1/5（用「分步相乘」直觉版）；③放回摸两次，P(至少一红)＝1−P(全白)＝1−(2/6)²＝8/9。

「反过来算」是概率的巧门：「至少一个」的对立面是「一个也没有」——补集往往好算得多。

等可能性判定

经典陷阱：「两枚硬币：一正一反的概率是 1/3？」——错！基本结果是（正正）（正反）（反正）（反反）四个，「一正一反」占两个 → P＝1/2。「正反」与「反正」是两种不同的世界，合并它们就低估了概率。

「先拆基本结果，再数」——顺序错了，全盘皆错。

列表与树状图数样本点

多步实验的两大计数工具：列表法（两步实验画方格表，如两枚骰子 6×6）；树状图（分支逐层展开，摸球不放回特别直观——第一层分支后第二层「少一个球」）。

示范：两枚骰子和为 8 的组合：列表对角线一扫：(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) 共 5 个 → P＝5/36。

工具选择口诀：「两步用表，多步用树，有序有序、无序去重」。

简单概率计算

例：掷骰子「偶数或 5」＝P(偶)＋P(5)＝1/2＋1/6＝2/3（互斥）；连掷两次「两次都是 6」＝1/6×1/6＝1/36（独立）。

「互斥用加、独立用乘」八字诀——用错场合（对相依事件乱乘）是概率题第一错因。

游戏公平性分析

案例裁决：「掷两枚骰子，和为 7 您赢我，和为 2 或 12 我赢您」公平吗？——您赢 P＝6/36，我赢 P＝2/36：三倍不公平！但街头骗局常反着包装：「我让您先挑 7，我只留 2 和 12」——听起来让您占便宜，其实您赢三倍于我？不对——重算：您赢 6/36、我赢 2/36，您确实占优；骗局的真实版本是「您赢我赔 1 倍，我赢您赔 5 倍」——赔率藏猫腻。

判断公平永远算期望：频率 × 赔付，两边对账。概率的第一社会用途：识破赔率话术。

设计一个公平游戏

设计任务：用一枚骰子＋一枚硬币设计双人游戏，要求双方获胜概率严格相等，并写出证明。示例骨架：骰子奇偶分两队，硬币定先手与「重掷权」……

验收标准：①等可能基本结果清单完整；②双方胜率算式各一条且相等；③同桌试玩 20 局验证（频率应接近 50%）。

「证明公平」+「实测公平」双重验收——理论派与实验派在游戏桌前握手。

概率与生活决策

三个真实决策题：①「下雨概率 30%」要带伞吗？（若淋湿损失大，30% 也值得带——概率要乘上后果）；②抽奖「中奖率 1%」买 100 张必中一张？（错——独立抽取不保证覆盖，P(全不中)≈0.366）；③体检阳性就一定患病？（若病本身罕见，阳性大概率是「假阳性」——贝叶斯思想的预告）。

概率思维的四字要诀：看基率——别问概率是多少，先问「在什么人群里算」。

频率与概率之辨

频率是概率的「影子」：影子越拉越长（样本越大），越像本人。但影子永远不是本人——单次事件只发生一次。

不确定中有确定：大数的秩序

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概率竞猜赛

赛制：①快算局：10 道基本概率题抢答（骰子、硬币、摸球）；②裁判局：裁定三个「街头游戏」是否公平，并给出期望对账单；③实验局：各组用 30 次实验估一个未知比例（袋中球），全班比谁最接近真值。

实验局的教训年年相似：30 次太少——两小组可能差 20%。恰是体验「大数定律」最疼的一次。

统计一周天气并谈概率

任务：记录本地天气预报一周的「降水概率」与实际是否下雨，做对照表；计算「预报概率 ≥60% 的日子里，实际下雨的频率」；写 100 字短评：天气预报可信吗？它说的概率到底是什么意思（那一天会下雨的比例）？

加分思考：为什么天气概率不能靠「掷骰子」验证？（单日事件不可重复——它是「同类日子」的统计语言。）

一块地换一块地：等积变换

《九章·方田》有云：田形歪七扭八不要紧，剪开重拼，面积不变。几何里最古老的魔法叫等积变换：形状改变、面积守恒。平行四边形「推」成矩形、三角形「补」成平行四边形——小学的面积公式，其实全是剪拼出来的。

本章把这门手艺练到进阶版：出入相补、割补求积、赵爽弦图。剪刀是几何学家的第一支笔。

工坊配套：图形馆「剪拼车间」支持拖拽切割与旋转拼接，实时显示面积对账。

剪拼规则与等积原理

两条纪律：①块与块不重叠、不遗漏（对账第一原则）；②剪的刀数尽量少——「三剪拼定理」保证：两个等面积多边形，总可经有限次剪拼互化（华莱士-博斯科里定理，剪数有上界）。

正方形剪拼长方形

任务：把边长 4 的正方形（面积 16）剪拼成 2×8 的长方形。直觉失败？正确操作：沿两中线剪成 4 个 2×2 小方块，2×2 排两行——1×4 排布即 2×8 ✓。

进阶任务：边长 5 的正方形 → 长方形 3×8？面积 25≠24，差 1——不可能！但著名的「64＝65 之谜」骗局（8×8 切四块拼 5×13）正是利用斜边不严格贴合的缝隙骗过眼睛。眼见不为实，面积要算账。

平行四边形面积推导重现

小学公式「底×高」的推导重现：沿一条高剪下直角三角形，平移到另一侧——平行四边形变矩形。这一剪是所有面积公式的祖先：

平行四边形 → 矩形（剪移）　→　三角形 → 平行四边形（倍拼）　→　梯形 → 平行四边形（双倍拼）

本章作业：闭卷重演这条「推导链」，每步剪法画图说明——把公式从「背的」变成「剪的」。

三角形剪拼

任务：把三角形剪两刀拼成矩形。思路：取两边中点连线（中位线）剪一刀，把顶上小三角旋转 180° 拼到旁边——平行四边形出现；再补一刀变矩形。锐角、直角、钝角三角形各试一次（钝角的最考验刀位）。

对账：矩形面积＝12底×高——三角形面积公式的剪拼证明完成。

中位线是「面积搬运工」：它把顶角无损快递到底边两侧。

出入相补原理

应用示范：梯形面积的「刘徽拼法」——两个全等梯形一正一倒拼成平行四边形（底＝上底＋下底），面积公式水落石出。

「出入相补」四字是中国几何的定海神针：从方田到勾股，从刘徽到高中立体几何，它一以贯之。

割补法求组合面积

组合图形（多边形拼盘）求面积三板斧：①分割——切成基本图形分别算后求和；②补形——补成大图形再减去缺口；③等积变形——整体剪拼成易算形状。

实战：求「L 形地块」面积——分割两矩形；「回字形」——大减小；「斜十字」——旋转 45° 补成正方形减四角。

选刀口诀：凸多边形先想分割，有缺口先想补形，歪斜过度先想变形。

面积法证题初步

面积不只用来「求」，还能用来「证」：同一个图形，两种算法，立等式即定理。

示范：等底等高的三角形面积相等——由此立刻得到「平行线间夹同底三角形等积」，进而可证：三角形中线把原三角形分成两个等积形（等底同高）。「等积变换」的证明用法：欲证两线段关系，转证两图形等积。

面积是一座桥：把「形的结论」翻译成「数的等式」——九年级相似、八年级勾股，全在桥上。

赵爽弦图拼装

三国时赵爽注《周髀算经》，用四张「弦图」证明勾股定理：四个全等直角三角形围成大正方形，中间留一个小正方孔。

拼装对账：大正方形边长 c（斜边）面积 c²＝四个三角形（4×ab2＝2ab）＋小孔（(b−a)²）→ c²＝2ab＋b²−2ab＋a²＝a²＋b²。勾股定理，一图证毕——2002 年北京国际数学家大会会徽即此图。

在工坊「剪拼车间」亲手拖出弦图：当您把第四块三角落位的那一瞬，会理解什么叫「证明的美」。

多边形剪拼难题

挑战集：①正三角形剪两刀拼矩形；②任意平行四边形剪一刀拼矩形（刀必须垂直于底吗？讨论）；③十字形剪四刀拼正方形；④终极：用「两次剪拼」把一个平行四边形变成另一个同底等高但角度不同的平行四边形。

难题公约：每题先面积对账（不可能的当场识破），再动手剪——「64＝65」的教训常备不懈。

自创剪拼挑战

出题任务：设计一个「剪拼谜题」给同伴：①自选两个等面积图形（如 3×4 矩形与某 L 形）；②限定刀数（越少越难）；③附完整剪法图与面积对账单；④测试同伴用时。

出题的隐藏功课：您必须先穷举自己的剪法，才能确信「最少刀数」——出题即研究。

等积变换方法表

方法表五格，前三格是「手艺」，后两格是「思想」——手艺养思想，思想领手艺。

〔勾股〕出入相补：刘徽的剪拼智慧

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剪拼创意赛

赛制：①限时拼装：给定散块（全等直角三角形×4），限时拼出弦图、矩形、平行四边形各一；②最少刀赛：同一转化，评委按刀数排名；③鉴伪局：裁判出示「7×7＝46? 拼图骗局」，先识破者得双倍分。

评分三看：面积对账清不清、刀口直不直、说明有没有「为什么可行」。

设计一幅剪拼贺卡

任务：做一张送给家人的「数学贺卡」：正面是一个用硬纸板做的可拆拼图案（如弦图、七巧变体），背面写三行说明——①两态面积为何相等（对账单）；②最少几刀；③一句《九章》风的话（如「以盈补虚，其积不变」）。

附加挑战：贺卡的散块能否再拼出一个第三种图形？能的话，您已摸到「等价剖分」的门环。

精确到何时够用

买 3.7 kg 西瓜，电子秤显示 3.684 kg——您只关心 3.7。火箭入轨却要精确到小数点后好几位——差一点就是万里。「精确到何时够用」是数学与现实的第一个接口：近似不是偷懒，是工程智慧。

本章练就三样本领：按需取近似、科学记数法管大数、估算验结果。会估算的人，计算器骗不了他。

工坊配套：图形馆「估计靶场」先猜后验，误差即时计分。

精确度与有效数字

例：3.14159 取两位小数＝3.14（精确到百分位，3 个有效数字）；0.00257 取两位有效数字＝0.0026（前导零不算有效数字——它们只报「小数点在哪里」）。

有效数字是「信息的计量」：3.14 与 3.140 不同——后者承诺「百分位后是 0」，是更强的声明。

四舍五入操作赛

接力规则：报一个数与目标精确度，轮流作答，错者出局。

①6.048（十分位）→6.0；②0.795（两位小数）→0.80（末尾 0 必须写！）；③30 540（千位）→31 000；④1.995（两位小数）→2.00。

两个坑：①「6.0」的 0 不能丢——丢掉就变成精确到个位；②连进位：1.995→2.00，连续两次进位。答案的「0」是承诺，不是装饰。

估算购物总价

情境：购物车里有 4 件——12.8 元、8.9 元、24.5 元、6.2 元。收银前先心算：大约多少？

估法一（凑整）：13＋9＋25＋6＝53 元；估法二（上下夹）：低估 12＋8＋24＋6＝50，高估 13＋9＋25＋7＝54 → 真实总价在 50～54 之间（实际 52.4）。

「上下夹」是估算的黄金结构：给出区间而非单点——区间比单点诚实。

大数估计：一亿粒米

挑战：「一亿粒米有多重／多大？」——袁隆平院士给学生出的名题。估算流程：①数一小撮：1 克约 50 粒（数 3 撮取平均）；②1 亿粒 ≈ 1×10⁸÷50＝2×10⁶ 克＝2 吨——约一头大象！③体积：米堆密度约 0.85 t/m³ → 约 2.4 m³，能装满一个小卧室。

估算的仪式感：先「拍脑袋」（1 吨？100 斤？），再「搭桥」（取样→放大），最后「复盘」（桥搭得稳吗）。费米问题的魅力就在这三步。

科学记数法

定 n 的口诀：小数点搬家次数——向左搬 6 位到「3.5」→ n＝6。科学记数法一眼报出「数量级」：地球质量 5.97×10²⁴ kg，电子 9.1×10⁻³¹ kg——指数之差就是世界的尺度之差。

天文学与生物学共用这套语言：从 10⁻¹⁰ m 的原子到 10²⁶ m 的可观测宇宙，科学记数法是「宇宙标尺」。

估算策略与误差意识

三大策略：①凑整（就近取整运算）；②放大缩小（全部取大／取小，得上下界）；③基准比对（与 1、10、100 等基准比较定位数量级）。误差意识两条：相对误差（误差÷真值）比绝对误差更能说明「差得多不多」；运算会放大误差（先近似再乘，误差也跟着乘）。

「先精确后近似」优于「先近似后精确」——乘除混合运算里，近似越晚做越好。

近似计算的取舍原则

同一道题三种答案：「347 人乘车，每车 40 人，需几辆？」——40×8＝320＜347，进一法得 9 辆。「400 元买 45 元一支的笔」——45×8＝360，去尾法得 8 支。「平均每人 2.4 个苹果」——四舍五入报 2.4。

选法口诀：现实允许「多」用进一，不允许「多」用去尾，纯报告用四舍五入。

生活估算项目

项目制任务（三选一）：①「全班一年用多少张纸」——取样（每人每天估 5 张）→ 放大 → 换算成「几棵树」（1 棵树约 50 000 张 A4）；②「学校操场能站多少人」——人均占地 0.25 m² 估容量；③「家庭年用水量」——月单据估算并给出节水 10% 的量化方案。

项目评分三要素：取样方式、放大链条、结论的误差声明——「约 2.1 万张 ±20%」比「21 000」更专业。

用估算检验合理性

计算器时代的核心技能：验算答案的数量级。三道「抓错」题：①18.4×25＝460？（估：18×25＝450，接近，可能对 ✓ 实际 460）；②0.5³＝1.5？（0.5 乘自己两次越乘越小，应＜0.5，错！应为 0.125）；③(3.9＋4.2)×10＝800？（估 8×10＝80，错一位！应为 81）。

「数量级哨兵」上岗：任何计算器结果，先用 1 秒钟估一个量级——算错不怕，错得离谱才可怕。

近似与误差传播初步

提问：a≈10（±0.1），b≈20（±0.5），a×b 的误差多大？——上界 10.1×20.5≈207，下界 9.9×19.5≈193：真值在 193～207，约 ±3.5%。观察：a 的相对误差 1%、b 的 2.5%，乘积相对误差约 3.5%——乘法的相对误差近似相加。

误差传播一瞥：加减看绝对误差累积，乘除看相对误差相加——这条法则统治着一切测量科学。

估算能力自评

自评五项（各 1～5 分）：①数量级直觉（报一个数，5 秒说出它的「邻居」）；②上下夹技术；③费米问题搭桥；④三种取舍法选型；⑤计算器结果哨兵。填一张「最弱项→本周强化动作」对照卡。

估算的成长的标志：看到一道算式，答案的「影子」先于精算出现。

〔方田〕古人的圆周率：逼近的艺术

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估算竞猜赛

赛制：①量级抢答：报出「银河系恒星数」「校园年耗电量」类问题的量级（对指数得分）；②上下夹赛：给出最窄的上下界（区间越窄分越高，答错区间外倒扣）；③费米擂台：现场抽「本市有多少辆出租车」类题，3 分钟搭桥陈述。

竞猜赛的评分哲学：宽而对的区间胜过窄而错的——诚实的不确定性是高级素养。

估一次家庭月开支并复核

任务：①不查账本，先估算家庭月开支（分类搭桥：食／住／行／学）；②再向家长要实际数（或查记账 app）；③算相对误差并写复盘：哪类估得准（为什么）？哪类偏差大（漏了什么）？④给家庭一条「数据化节流建议」。

您会发现「隐性开支」（订阅、充电、外卖满减）最容易被低估——看不见的，恰是估算最该照亮的地方。

柯尼斯堡的七座桥

18 世纪的柯尼斯堡（今加里宁格勒），普雷格尔河穿城而过，河中两岛由七座桥连接。市民散步时争论一个问题：能否不重复地走过七座桥，回到出发点？无数人实地尝试，全部失败。

1736 年，欧拉接手这道「散步题」——他做的第一件事惊人：把陆地缩成点、把桥画成线。大小、距离、风景统统扔掉，只剩「连通关系」。这一扔，扔出了一门新数学：图论。答案是：不可能。

工坊配套：图形馆「一笔画试炼场」内置七桥图与各类网络，拖线试走，自动判定。

一笔画规则与图的语言

翻译七桥问题：四个陆地区域＝4 个顶点，七座桥＝7 条边，每个顶点的度＝该区拥有的桥数——柯尼斯堡图：度数 5、3、3、3——四个全是奇点。

「抽象」不是变简单，是换战场：从河岸与桥的物理世界，换到点与边的逻辑世界。

一笔画判定游戏

试炼集（先猜后画）：①五角星（一笔画 ✓）；②「日」字（✓？试试）；③「田」字（✗——四个内角点度都是 4，中心点度 8？重画发现全偶点……实际「田」可一笔画吗？动手）；④五顶点全连（K₅，每点度 4，全偶点——✓）。

先记录「猜」与「画」的胜负表——您猜错的比例，就是直觉需要升级的证据。

七桥问题抽象化

把七桥图画出来（4 点 7 边），手动尝试「不重复走遍每边」：无论从哪个顶点出发、怎样安排顺序，总是差一口气——不是漏一座桥，就是被迫重复走。

记录至少 5 种失败路线后回答：失败是「路线没设计好」，还是「根本不可能」？——下一页的奇点计数实验给出裁决。

奇点计数实验

统计任务：对试炼集的每个图，数出奇点个数，与「能否一笔画」并列成表：

五角星：奇点 0 个——✓；「日」字：奇点 2 个——✓；七桥图：奇点 4 个——✗；正八边形加两条对角线？——自己数。

规律呼之欲出：奇点越少越容易，四个奇点立刻失败。数据表先立，定理随后——数学发现的经典节奏。

欧拉判据：奇点个数

七桥图 4 个奇点 → 不可能。1736 年欧拉的判定，把市民们几百年的失败一次说尽：不是没找到路，是路不存在。

判据为什么对？每次「经过」一个顶点用掉两条边（一进一出），所以中途顶点必须偶度——奇点只能当起点或终点，最多两个。

构造一笔画路径

判据给出「能不能」，构造给出「怎么走」：①找奇点（0 或 2 个）；②从奇点出发（若存在）；③贪心走「度数递减」的路线，最后留边回访。口诀：「先走岔路多的人」——度数高的顶点先消耗。

练习：「日」字图从哪个点起笔？（两个奇点之一。）走完全程后检查：8 条边一次不落。

图论建模初体验

建模三步（欧拉手法复刻）：①识别要素：什么是点、什么是边？②丢弃无关信息：长度、形状、方向（本题）；③在新世界求解，再把答案翻译回去。

练习建模：①「六人握手问题」——人＝点，握手＝边；②「航班网络」——城市＝点，直飞航线＝边（求「中转最多一次可达」＝两步连通）；③「班级朋友圈」——谁与谁互加好友？

建模的关键一问：这个问题里，什么信息是「桥」，什么信息只是「风景」？

中国邮路一瞥

邮递员问题升级版：允许重复，但重复走的路最短。妙处：若图无奇点，零重复即可；有奇点则需「添重复边」把奇点配对消奇——添哪些边总长最小？

中国数学家管梅谷 1962 年提出并系统研究，国际上称中国邮路问题——环卫路线、洒水车、巡检机器人都在解它。

从「能不能走一遍」到「重复也走得最省」——问题升级一层，数学深一层。

迷宫最短路

图论第二课：最短路径。给迷宫图各边标上长度，求两点最短路——广度优先搜索（BFS）逐层扩散：先访「一步可达」，再「两步可达」……第一次到达终点时的层数即最短步数。

工坊「一笔画试炼场」的迷宫关卡内置 BFS——您走一遍，机器走一遍，比比谁短。

导航软件每天为您跑亿万次 BFS 与它的改良版（Dijkstra、A*）——您口袋里装着欧拉的直系后代。

社交网络与图

把班级社交网画成图：人＝点，互加好友＝边。可算的概念立刻涌现：①度＝好友数（谁是人脉王）；②连通＝能否经好友链到达（六度分隔的班级版）；③「桥」＝拆掉后网络断开的边——信息传播的关键通道。

调查小项目：匿名问卷「您与哪些同学互为好友」，全班建图后统计：最大度、平均度、图是否连通、有几座「桥」。

社交平台的好友推荐、谣言传播控制、疫情流调——全是同一张「图」上的不同算法。

从具体到抽象的跨越

本章的心路复盘：①起点是「散步难题」（具体、杂乱）；②欧拉的刀是「抽象」（点边图）；③判据是「不变量」（奇点个数）；④胜利是「一次性解决所有同类题」。四步复刻一遍——这四步是所有数学建模的通用弧线，与上一章建模四步循环遥相呼应。

自问一句：如果让您向一年级小朋友讲「为什么七桥走不通」，您会用哪 30 秒？——讲得出，才算真懂。

欧拉的胜利：抽象让问题变简单

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一笔画竞速赛

赛制：①判定轮：10 张图限时判定「能否一笔画＋几个奇点」，判对得分；②走线轮：可一笔画的图现场走线，30 秒内完成；③改造轮：给七桥图「加一座桥」或「拆一座桥」，使它恰好可一笔画——写出方案并指认新起点终点。

改造轮彩蛋：加 1 座桥（连两奇点）→ 奇点从 4 变 2，可一笔画！——「改一座桥，救活一座城」。

给小区画路网图并判定

任务：①画出您家小区（或熟悉街区）的路网抽象图（路口＝点，路＝边）；②数每个点的度，统计奇点；③判定：环卫车能否「不重复扫过每条路」？若不能，设计一座「虚拟桥」（在图上加一条边）使它可行，并解释现实意义（哪里需要重复扫）；④写下 150 字「小区路网图论报告」。

这个任务的真实版：环卫部门每天在给全城做同样的计算——您的报告，是一份微型的市政算法。

一张纸的几何学

不用尺规、只用「折」，能做出哪些几何对象？——折出 45°、30°、60°；折出垂直平分线、角平分线；甚至折出正五边形与黄金矩形。一张正方形纸，就是一间随身携带的几何实验室。

折纸的每条折痕都是一次精确的数学操作——日本数学家把「折纸公理」正式化后，人们惊讶地发现：折纸能解决尺规做不到的问题（如三等分任意角）。本章折而思、思而折。

工坊配套：图形馆「折纸镜像馆」的翻折实验与本册操作一一对应。

折纸公理初步

对照尺规公理：尺规能做的折纸几乎都能做；而 O6（点线同时重合的三次操作）超越尺规——这是 20 世纪折纸数学最漂亮的发现。

折出角平分线与垂直

操作一（垂直）：把纸的上下边重合对折——折痕垂直于两边。理由：对折使两边重合，折痕上任意点到两边等距，即垂直平分线。

操作二（角平分线）：把角的两条边重合对折——折痕平分该角。理由：折痕是对称轴，两半完全重合。

操作三（30°）：对折出中线后再把一个 60° 角（正方形对角折出）向中线折靠——组合出 30°。每一步都是公理 O2 或 O3 的实体化。

折正五边形

任务：用 A4 纸（长宽比约 √2）折出正五边形。简化路线（打结法）：拿一条长纸带打一个「松」的平结，轻轻拉紧压平——出现的五边形理论上正（各边等长；角度略需修整，正因为纸带有厚度）。

追问：为什么打结出五边形？——结的自然张力把纸带折成最短闭合路径，五边形是「无滑移打结」的唯一产物。拓扑学在最日常的动作里埋了彩蛋。

折黄金矩形

任务：从正方形纸折出黄金矩形（宽长比 1∶1＋√52≈1∶1.618）。

折法：①正方形对折出中位线；②把左下角向中线折，使底边左端点落在中线上——折痕标记出 √5−12 处；③沿标记剪去一条，余下的矩形即为黄金矩形（约 1.618∶1，需用对角线核对）。工坊「镜像馆」有逐步引导版。

折痕即「无刻度的圆规」：黄金比藏在两次对折之间——上册黄金分割课的实体版。

折痕与对称轴

折纸的通用解码：每条折痕都是一次对称操作——折痕即对称轴，折痕两侧互为镜像。复杂作品=一串对称操作的叠加。

分析练习：拿一张成品折纸（纸鹤或飞机），沿折痕逐层展开，画出「折痕族谱」——您会发现所有折痕族分成两类：谷线（凹）与峰线（凸），且谷峰差恒为 ±2（前川定理：任何顶点处谷峰数之差为 2）——折纸自己的「欧拉判据」！

折纸与方程：三等分角的传说

尺规三等分任意角：两千年证明不可能（1837 年万采尔）。折纸呢？可以——阿部恒 1980 年给出三等分折纸法，靠的正是超越尺规的公理 O6（一线两点同时落两线）。

原理一瞥：O6 等价于解一个三次方程；尺规只能解二次方程的世界（平方根运算），折纸能解三次——工具的公理决定了能解什么方程。

「不可能」都是相对于工具而言的——换一套公理，不可能就变成可能。这句判词的分量，越往后读越重。

模块折纸与多面体

模块折纸（组合折纸）：折多个相同单元（如「花球单元」），不胶不钉，靠插槽咬合成多面体。

数学看点：单元咬合的角度＝多面体的二面角。入门建议从 6 单元的立方体花球开始，进阶可挑战 12 单元、20 单元的正多面体系列，感受「顶点处面角之和必须小于 360°」的约束——这就是为什么折纸球总有「棱」。

欧拉多面体公式（顶点−棱＋面＝2）在组合折纸中处处现身——八年级立体章节的甜蜜预告。

折纸大师作品欣赏

欣赏三个「数学折纸」里程碑：①神谷哲史「龙神」——一张纸数千折，鳞爪俱全（复杂度极限）；②三浦折叠——太阳能帆板的折法（几何对称+刚性折展，装上卫星上了天）；③兰氏「圆河定理」——任何单顶点折痕图都可用圆与河填充——折纸设计从经验变成算法（TreeMaker 软件能按您画的「 Stick 图」自动生成折痕图）。

折纸工程师罗伯特朗的名言：「折纸是数学的体操，也是数学的户口。」——它现在是隐藏几何学、航天工程的正式公民。

折纸与数学定理

用折痕「证明」三个定理：①三角形内角和 180°：把三个角向底边折靠——恰好拼平；②梯形中位线定理：折出两腰中点连线，与上下底重合对比；③勾股特例：等腰直角三角形沿斜边高折两次，两个小三角形与原三角形面积对账。

折痕证法是「出入相补」的手工版——上一章的剪拼思想，这一章换了双手执行。

设计一个折纸作品

设计任务：①选择目标对象（船、盒、星形均可）；②画出「折痕展开图」（CP 图）草稿——至少含 4 条谷线与 2 条峰线，标注谷峰差 =2；③实际折叠验证，记录「设计—失败—修改」的迭代过程；④给作品起名并写一句「数学注脚」。

设计者共识：第一版必败。折纸与建模一样，迭代才是常态——失败记录是作品的一部分。

折纸几何方法册

方法册五格装订成册，与「数论工具箱」「等积变换方法表」并排——您的「个人数学工具墙」又添一员。

折纸是看得见的证明

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折纸作品赛

赛制：①标准局：限时折出角平分线、垂直、黄金矩形三件套，评委用重合度验收；②创意局：自选作品参赛，评分=数学含量（谷峰结构、对称轴数）+完成度+注脚质量；③挑战局：观众出「折出 15° 角」类任务，选手现场设计折法。

挑战局参考：45°（对角折）三等分？——不精确！15°=45°−30°，先折 30° 再差分——角的四则运算用折痕执行。

教家人折一件作品

任务：①选一件作品（建议「纸盒」——实用且含中位线思想）；②把折法写成 6 步以内图文说明（每步标注用到的公理编号）；③教学并记录：家人卡在哪一步？您如何调整语言？④让家人给作品打 1～5 星，附一句评价。

教学复盘金句：折纸教学最难的不是「折」，是「说清哪条边对哪条边」——精确的语言，是精确的手的影子。

夏日研究站开幕

学年终章不是考试，是一次微型研究：从本册六个领域（素数、钻石棋、概率、剪拼、估算、图论）任选其一，走完「开题—试做—修正—发布」的完整研究闭环。综合站五关热身，两轮进阶做研究，创意工坊出展板，最后发布会见。

研究站纪律：真实比完美重要——失败的数据与走通的路线，同样是研究成果。

素数快速判定

热身关卡：30 秒内判定三个数（如 173、221、289）是否素数，写出试除清单。√173≈13.2→试 2,3,5,7,11,13 全不通→素数 ✓；221＝13×17（13²＝169＜221，恰好抓到）；289＝17²。

221 与 289 的教训：只背「质数表」会翻车，试除到平方根才是可靠的仪器。

①钻石棋步数挑战

复盘金标准：把「多走的步」归因到具体一手棋——归因能力是棋力与研究力的公约数。

②概率实验设计

参考：掷一枚骰子与一枚硬币，「骰子 ≤3 且硬币正面」——独立事件相乘：1/2×1/2＝1/4 ✓。注意组合设计时先写乘法式、再动手试——顺序反了就成赌博。

③剪拼难题

本关的深意：整边图形之间「斜剪互化」是一个深坑——勾股数 (√5)²＝5 暗示 1×5 矩形与 √5×√5 正方形的剖分等价，这是华莱士定理的美的实例。

④一笔画地图

起终点即两奇点——判据先行，走线不过是一套执行。走错的同学：检查是否「中途消耗了起点」。

⑤估算大挑战

参考骨架：①2 000 人×1.5 L/天×200 天≈6×10⁵ L＝600 m³；②0.1 mm×2²⁰≈0.1 mm×10⁶＝100 m（比大多数教学楼高！）；③教室 8×7×3 m³≈170 m³×1.2 kg/m³≈200 kg——空气重达两百公斤，是个被低估的住户。

方法亮点讲评

五关讲评聚焦「研究方法」而非答案：①钻石棋的归因复盘；②概率题的先写证明再试做（顺序反了就是赌博）；③剪拼的对账先行；④一笔画的判据先于走线；⑤费米题的误差声明。五句话合成研究心法：先证后试、先账后刀、先判后走、先界后数、先归因后结论。

微型研究开题

开题表四栏：①问题（具体到可动手，如「3×5 盘哪些空位开局可剩 1 子」而非「钻石棋研究」）；②已有信息（本册相关章节＋工坊工具）；③方法与计划（实验？枚举？理论推导？时间表）；④预期与风险（最可能卡在哪）。

选题池参考：孪生素数在 200 内的分布／3×5 钻石棋全空位普查／硬币立稳的概率／纸飞机翼展与滑行距离／校园路网的最短送信路线。

开题评审只问一句：「您的问题，今天下午能动手吗？」——能，就是好题。

微型研究进行

执行与记录：①按计划动手，原始数据即时记（不许事后补）；②每 20 分钟写一行「进展日志」（做了什么／发现什么／下一步）；③遭遇计划外现象不要丢弃——标注「意外发现」，它们常是论文最亮的部分；④时间过半时强制自查：方法需要修改吗？

研究的第一戒律：记录先于记忆——数据的诚信从「当场记」开始。

成果展板制作

展板四区：①问题与动机（为什么值得研究）；②方法与数据（图表优先，原始数据附页）；③结论（含适用边界：「在本次实验条件下……」）；④致谢与遗留（帮过您的人＋没解决的问题）。

美学规范（与本套书同源）：深蓝底、金色标题、图表不溢出——数据的美感也是说服力的一部分。

研究过程复盘

复盘三问：①计划与实际偏差最大的一步是什么？为什么？②如果重做，最先改进什么？③研究中「最惊喜的瞬间」是什么——它离您的预期多远？

科学史的一致经验：惊喜是研究的报酬——按计划得到的东西叫验证，计划外得到的东西才叫发现。

研究是把好奇变成答案

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成果发布会

发布会流程：每组 5 分钟发布＋3 分钟答辩。答辩评委团（全班互评）三问制：①您的数据支持结论吗？②换个场景还成立吗？③下一步研究什么？观众每人一张「金问句」选票，投给全场最锋利的提问。

奖项：最佳研究奖、最佳方法奖、金问句奖、最佳展板奖——四种奖对应研究的四种美德：求真、严谨、好奇、表达。

暑假完成一个小研究

任务：把本章的研究在暑假完成「加长版」：①时间跨度 2 周以上；②数据量至少是课上版本的 5 倍；③成果形式三选一（论文 800 字／视频 3 分钟／展板 1 张）；④开学时向新学年同学做 5 分钟演讲。

出发前收好这张字条：「研究所需的一切，您都已具备——好奇、方法、以及记录本。剩下的交给暑假。」M1 学年毕业快乐，八年级的函数与几何世界见。