方程与函数的深化

本书怎么读：一章十五页

全书按「章」前进，每章恰好十五页。理论章的节奏是：第 1–3 页概念（从身边事引进新概念，配定义框）、第 4–8 页方法（法则一条一条立起来）、第 9–12 页例题（例 1–例 4，带完整解答）、第 13 页思想卡（一页只说一个数学思想）、第 14–15 页格物札记（把《九章算术》的古智慧与现代数学接通）。游戏章的节奏是：导入→规则→试玩×3→策略×3→进阶×3→复盘→思想卡→对弈赛→任务。综合站的节奏是：导入→热身→挑战×5→讲评→进阶×2→创意工坊→复盘→思想卡→对弈赛→任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12；绝对值写成 |−3| ＝ 3；未知数用字母 x，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；不等号 ＞ ＜ ≥ ≤ ≠ 各就各位；平方根写作 √2，平方与立方用小肩数字 x²、a³；点坐标写作 (2, −1)；函数写作 y ＝ 2x − 1；圆周率 π ≈ 3.14。中括号写成 ［　］，比例号 ∶。

导入：花圃设计：面积方程

园艺社要修一座长方形花圃：长比宽多 2 米，面积 48 平方米。设宽为 x 米，则长 x＋2 米，于是 x(x＋2)＝48，展开得 x²＋2x−48＝0。这里出现了未知数的平方——一次方程的工具箱不够用了。

试一试：x＝6 时 6×8＝48 ✓。但靠猜不行——方程 x²＋2x−48＝0 的解应当算出来，而且这类方程通常有两个解，需要一套系统的解法来统统找到。

从「一次」跨到「二次」，是代数史上里程碑式的一步：解法的每一步升级，都源于对「形的对称」更深的理解。

一元二次方程的概念

判断三步：①整式方程（分母无未知数）；②只一个未知数；③最高次数恰为 2。例：3x²−2x−1＝0 中 a＝3，b＝−2，c＝−1——系数带符号，这是初学者最常见的疏忽。

注意 a≠0 的用意：a＝0 时二次项消失，方程退化成一次方程，四个解法全部失效。反之 b、c 可以为 0：x²−9＝0、2x²＝0 都是一元二次方程。

「一般形式」不是摆设：所有解法都默认方程已整理成它——解方程的第一步永远是移项合并、化成一般形式。

配方的思想

观察两个式子：(x＋3)²＝x²＋6x＋9 与 x²＋6x＋4。后者只比前者少 5——于是 x²＋6x＋4＝(x＋3)²−5。这步变形叫配方：把普通的二次三项式「修」成一个完全平方式加减一个常数。

配方口诀：加上一次项系数一半的平方，再减去它。x²＋bx＝(x＋b/2)²−b²/4。对 x²＋6x：一半是 3，平方是 9，加 9 减 9——式子的值不变，形状却焕然一新。

为什么要这么修？因为完全平方是「可解的形状」：(x＋3)²＝k 直接开方即可。配方就是把任何二次方程改造成这个可解形状的过程——先在思想里认清它，下一页就能动手了。

配方是「无中生有」的反面：不改变值，只改变形。数学里许多难关，都是靠换个形状闯过去的。

直接开平方法

例 1：x²＝25，开方得 x＝±5，即 x₁＝5，x₂＝−5。两根一个都不能丢——只写 x＝5 是最典型的失分点。

例 2：(x−3)²＝16，开方得 x−3＝±4，x₁＝7，x₂＝−1。整块 (x−3) 当作一个整体开方，再移项。

例 3：(2x＋1)²＝0，开方得 2x＋1＝0（只有一条），x＝−1/2。p＝0 时两根重合，叫相等实根。

√ 出来永远是「±」两支：平方把正负压成了同一张脸，开方就是把两张脸都认回来。

配方法

例：解 2x²＋4x−6＝0。①已是一般形式；②除以 2：x²＋2x−3＝0；③移项：x²＋2x＝3；④加 1：x²＋2x＋1＝4，即 (x＋1)²＝4；⑤开方：x＋1＝±2，x₁＝1，x₂＝−3。

易错：第②步忘了除常数项；第④步只加在左边——配方必须两边同时进行，等式才不失衡。

配方法是通用解法——任何一元二次方程都能走通这条路。它更是公式法的出生证明：下一页的求根公式，就是把这条路对字母走一遍。

公式法与判别式

对 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）配方：除以 a、配上 (b/2a)²，整理得 (x＋b/2a)²＝(b²−4ac)/4a²。要能开平方，右端必须非负——关键量登场了。

例：解 x²−3x−1＝0。Δ＝9＋4＝13＞0，x＝(3±√13)/2。根号里不是完全平方也没关系——公式法来者不拒。

公式法是「万能钥匙」，但开锁最费劲：先判 Δ，若能用因式分解或直接开方，往往更快——四法选优是本章的功夫所在。

因式分解法

三种常用分解：①提公因式：x²−3x＝0 → x(x−3)＝0 → x＝0 或 3（别急着两边除以 x——那样会丢掉 x＝0 这个根）；②十字相乘：x²−3x＋2＝(x−1)(x−2)＝0，x＝1 或 2；③平方差：x²−9＝(x＋3)(x−3)＝0。

十字相乘的窍门：拆常数项找两个数，使它们积为 c、和为 b。对 x²−5x＋6：找积 6 和 −5 的两数——−2 与 −3，得 (x−2)(x−3)。

能分解的方程，分解法最快；它还顺带告诉您两根是哪些「整数搭子」——计算量最小的解法。

根与系数关系：韦达定理

证明只需一行：两根是 (−b±√Δ)/(2a)，相加，根号项抵消得 −b/a；相乘用平方差，得 c/a。

例：x²−5x＋6＝0 两根不必求出——x₁＋x₂＝5，x₁x₂＝6，立即知道是 2 和 3。再看 x²＋2x−4＝0：两根之和 −2、之积 −4，则 x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²−2x₁x₂＝4＋8＝12——不求根也能算对称式的值。

韦达定理把「根」与「系数」织成一张网：根的性质可以直接从系数读出——这是代数里「整体思想」的第一课。

例1 四法选优

解：①缺一次项——直接开平方：x＝±7。②整数两根可拆——十字相乘：(x−1)(x−3)＝0，x＝1 或 3。③不易拆——配方法：(x＋3)²＝8，x＝−3±2√2。④系数复杂——公式法：Δ＝9＋16＝25，x＝(3±5)/4，x₁＝2，x₂＝−1/2（也可十字相乘 (2x＋1)(x−2)）。

选法口诀：先看缺项（直接开方），再看好拆（十字相乘），其次配凑，最后公式兜底。

例2 判别式应用

解：①Δ＝4−4m＜0，得 m＞1。②Δ＝(m＋1)²−4m＝m²−2m＋1＝(m−1)²≥0 恒成立，故总有实数根。证毕。

②还有代数眼：x²−(m＋1)x＋m＝(x−1)(x−m)，x＝1 恒是根——判别式与因式分解在此会师。

判别式是「不解方程看根况」的探测器：把「有没有、有几个」化为一个不等式，含参问题立刻清晰。

例3 增长率问题

解：设平均增长率为 x。第一次后 1000(1＋x) 件，第二次后 1000(1＋x)² 件。列方程 1000(1＋x)²＝1440，(1＋x)²＝1.44，1＋x＝±1.2，x₁＝0.2，x₂＝−2.2。

x₂＝−2.2 使 1＋x 为负，销量为负不合实际，舍去。答：平均每次增长 20%。

增长类方程 1000(1＋x)²＝1440 的模样是 a(1＋x)²＝b——直接开平方法的主场。负根的舍去要有理由：不是「看着不顺眼」，而是不符合实际意义。

「连续两次」是平方的暗号：增长率故事里，时间步数就是指数。

例4 面积与动点问题

解：设 t 秒。AP＝2t，PB＝20−2t，BQ＝t。面积 ½·PB·BQ＝½(20−2t)t＝24，即 t²−10t＋24＝0，(t−4)(t−6)＝0，t＝4 或 6。

检验范围：P 到达 B 用 10 秒，故 t＜10，两根都有效。答：4 秒或 6 秒后。

动点问题三件套：用 t 表示各段长、按几何关系列方程、用速度与路长限定 t 的范围并逐根检验。

〔方程〕配方：把方程「修」成完美的形

本章四种解法，骨架只有一副：配方。直接开平方法配方配到一半（只差一次项为零）；公式法是把配方对字母 a、b、c 走完全程；因式分解法则与配方殊途同归——x²＋bx＋c＝0 配方后开方，整理出来正是求根公式。

「修形」的哲学：方程难解，常不是「数不对」，而是形不对。完全平方、平方差、提公因式——每一个标准形都是一条通往解的通路。

《九章算术》的「开方术」本质上就是逐位配方；花拉子米的「还原」与「对消」，是移项与合并的波斯语称呼。东西方在同一个形状上会师。

解方程是修房子：材料（系数）不变，把歪的砌正、缺的补齐，答案自然住在里面。

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札记① 《九章》开方术与带从开方

《九章算术》少广章给出「开方术」：求 √N 的程序化算法——先估最高位，减去其平方；再「借算」定下一位，用「法」试除……这正是现代竖式开方与配方法的中国源头，比欧洲同法早了一千多年。

解 x²＋bx＝N 这类方程，古算书称「带从开方」——「从」就是一次项 b。刘徽注里说「术家有以从法廉率求之者」，说明当时已有处理带一次项开方的成熟技术。宋元时期，「正负开方术」（秦九韶，1247 年）更发展到可以解高次方程数值根，即后世所称的「霍纳法」。

在纸笔代数符号诞生之前，《九章》用算筹摆出了一台「机械」——程序化、可重复、可推广，这就是算法思想的古老形态。

札记② 花拉子米与方程的「还原」

公元 825 年前后，花拉子米（al-Khwārizmī）写成《还原与对消计算概要》——书名里的「还原」（al-jabr）演化为今天的 Algebra（代数）。他的「还原」指把负项移到等式另一边变成正项，「对消」指两边消去同类项。

由于不接受负数，他把一元二次方程分成六种类型分别给解法与几何证明，例如「平方等于根」对应 x²＝px，「平方与根等于数」对应 x²＋px＝N。每一种都配一幅几何图说明——本质正是几何版配方：把 x²＋px 拼成大正方形，补上 (p/2)² 那一角。

一个词走了八百年：从巴格达的 al-jabr 到拉丁语的 algebra。方程的历史，也是翻译与传承的历史。

导入：抛物线：投石划出的弧

投出的篮球、喷泉的水柱、跨越大河的桥拱——把它们运动的轨迹画下来，都是同一条曲线：抛物线。古希腊人研究圆锥截面时就认识了它，阿波罗尼奥斯给它起名 parabola。

两千多年后，人们发现这条弧的代数身份出奇地简单：y＝ax²＋bx＋c。一条看得见的弧，背后是一串看得见的数。本章我们把「数」与「形」的这条通道彻底打通：给定式子画得出图，给定图求得出式。

上一章我们解方程「求根」，这一章我们把根「画」出来——二次函数的图像与 x 轴的交点，就是方程的根。

y=ax² 的图像

先描点画 y＝x²：取 x＝−2,−1,0,1,2，得 y＝4,1,0,1,4。把点连成光滑曲线——一条开口向上、关于 y 轴对称的抛物线，最低点 (0,0) 叫顶点，y 轴是对称轴。

a 的作用一目了然：y＝2x² 更「瘦」（同一 x 处 y 翻倍），y＝x²/2 更「胖」；y＝−x² 则开口向下、顶点变成最高点。规律：a＞0 开口向上，a＜0 开口向下；|a| 越大，开口越窄。

为什么总有对称性？因为 x 与 −x 代入后 y 相同——平方把正负抹平。对称轴 x＝0 是这抹平的证据。

y＝ax² 是抛物线的「原味模型」：后面所有复杂抛物线，都是它平移变形的结果。

平移与顶点式

例：y＝2(x−1)²＋3 由 y＝2x² 右移 1、上移 3 得到，顶点 (1,3)。注意 (x−1)² 向右移——减号在括号里，方向恰恰相反，这是最易错点。

反过来读图也行：顶点 (−2,5) 的抛物线写作 y＝a(x＋2)²＋5——括号里「＋2」对应顶点横坐标 −2。

顶点式把一条抛物线的「身份证」写在脸上：a 管开口，(h, k) 管位置。

图像性质：开口·对称轴·顶点

一般式 y＝ax²＋bx＋c 怎么直接读出性质？配方即可：y＝a(x＋b/2a)²＋(4ac−b²)/4a。

例：y＝−x²＋2x＋3。对称轴 x＝−2/(2×(−1))＝1，顶点 y＝(4×(−1)×3−4)/(4×(−1))＝(−16)/(−4)＝4，即 (1,4)；开口向下，最大值 4。

一般式→顶点式就是「给函数配方」——第一章的功夫，在这里二次就业。

三种表达式互化

互化路线：一般式配方→顶点式；顶点式展开→一般式；一般式因式分解→交点式；交点式展开→一般式。三条式子各有用场：看顶点用顶点式，看交点用交点式，看与 y 轴交点（c）用一般式。

例：y＝x²−4x＋3 配方得 (x−2)²−1（顶点 (2,−1)），分解得 (x−1)(x−3)（交点 1、3）。一条抛物线的三张名片，信息互通。

同一条曲线，三副面孔——选对表达式，问题就解决了一半。

待定系数求解析式

已知条件类型决定选哪种表达式：过三个普通点→一般式，代入解三元一次方程组；已知顶点（或对称轴＋一点）→顶点式；已知与 x 轴两交点→交点式。

例 1：过 (0,1)、(1,3)、(2,7)。设 y＝ax²＋bx＋c，c＝1；a＋b＋c＝3 得 a＋b＝2；4a＋2b＋c＝7 得 2a＋b＝3。解得 a＝1，b＝1，即 y＝x²＋x＋1。

例 2：顶点 (1,4) 且过 (0,3)。设 y＝a(x−1)²＋4，代入 (0,3)：a＋4＝3，a＝−1，即 y＝−(x−1)²＋4。

待定系数法的本质：几个未知数，就需要几个独立条件——「条件喂饱未知数」。

二次函数与一元二次方程

令 y＝0：ax²＋bx＋c＝0——函数成了方程。图像上的解读：方程的根就是抛物线与 x 轴交点的横坐标。

Δ 的几何身份水落石出：Δ＞0 ⟺ 抛物线与 x 轴两个交点；Δ＝0 ⟺ 恰一个（相切于顶点）；Δ＜0 ⟺ 无交点（整个悬在 x 轴上方或下方）。a 的符号决定悬在哪侧。

例：y＝x²−2x−3 的交点：x²−2x−3＝0，(x＋1)(x−3)＝0，x＝−1 或 3，交点 (−1,0)、(3,0)——与图像完全吻合。

「根」与「交点」是同一件事的代数说法与几何说法——数形互译，从这一页开始成为本能。

实际问题最值

应用最值四步：设变量 → 列函数（注明范围）→ 求顶点 → 检查范围。陷阱几乎都在最后一步：自变量受限时，最值未必在顶点处。

例：一段长 20 米的篱笆围一面靠墙的矩形菜园，求最大面积。设垂直于墙的边长 x，则平行边长 20−2x，面积 S＝x(20−2x)＝−2x²＋20x。顶点 x＝5，S＝50 平方米。范围 0＜x＜10，顶点在范围内，成立。

若顶点落在范围外，则最值在区间端点取得——图像的一段弧，最高点可能在弧的尽头。

抛物线世界没有「无限增长」：过了顶点，优势开始回落——现实里的收益曲线，多半也是这条弧。

例1 画图与性质

解：配方 y＝−(x−1)²＋4。开口向下；对称轴 x＝1；顶点 (1,4)；与 y 轴交点 (0,3)；令 y＝0 得 (x＋1)(x−3)＝0，交 x 轴于 (−1,0)、(3,0)。

列表描点：x＝−1,0,1,2,3 时 y＝0,3,4,3,0。五点定弧，光滑连接。最大值 4（x＝1 时）。

五个关键件——开口、对称轴、顶点、两截距——一次配方全部到手。

例2 求解析式三型

解：①一般式：c＝1，a＋b＝2，2a＋b＝3，得 y＝x²＋x＋1。②顶点式：y＝a(x−1)²＋4，a＝−1，得 y＝−(x−1)²＋4。③交点式：y＝a(x−1)(x−3)，3a＝3，a＝1，得 y＝x²−4x＋3。

三题三种「钥匙」：点喂一般式、顶点配顶点式、交点走交点式——选型的依据始终是条件自带的结构。

例3 最值应用：利润与面积

解：设售价 x 元（x≥40），每天利润 W＝(x−30)(300−10(x−40))＝(x−30)(700−10x)＝−10x²＋1000x−21000。

顶点 x＝−1000/(2×(−10))＝50，W＝−25000＋50000−21000＝4000。答：定价 50 元，最大利润 4000 元。

读式的眼力：(x−30) 是单件利润，(700−10x) 是销量——「涨价多赚的单件」与「涨价流失的客人」在式子里掰手腕，顶点就是平衡点。

例4 二次函数与几何综合

解：令 y＝0 得 x＝−1 或 3，A(−1,0)、B(3,0)；C(0,3)。AB＝4，C 到 AB（x 轴）的距离 3，S＝½×4×3＝6。

形状：AC＝√(1²＋3²)＝√10，BC＝√(3²＋3²)＝3√2，AB＝4。AC²＋BC²＝10＋18＝28≠16，非直角；三边互不相等，是任意三角形。

函数给坐标，勾股算边长——「函数里的几何题」的标准开场：一切几何量都从坐标里长出来。

〔盈不足〕从直线到抛物线：变化的二级刻度

一次函数 y＝kx＋b 的变化是「匀速」的：每走一步，y 涨固定的 k。二次函数的变化是「加速」的：y＝x² 从 0 到 1 涨 1，从 1 到 2 涨 3，从 2 到 3 涨 5——每步增量本身在涨。这条二级刻度（1,3,5,7,……奇数列），正是抛物线弯下去的原因。

《九章算术》的盈不足术处理的是「假设—盈亏」的线性问题；而抛物线告诉我们：当效应不再是等比例，直线就不够用了。顶点是「由盈转亏」的临界——一半是攀升，一半是回落。

从一次到二次，是从「匀速」到「变速」的一跃：数学对变化的描述，从此有了加速度。

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札记① 阿基米德与抛物线求积

公元前 3 世纪，阿基米德在《抛物线求积》中证明：抛物线与弦围成的弓形面积，等于其内接最大三角形的 4/3 倍。他的办法是用越来越小的三角形逐层逼近——每层面积恰为上层的 1/4，无穷级数 1＋1/4＋1/16＋…＝4/3。

这是穷竭法的巅峰之作，比积分发明早了一千九百年。阿基米德还写信给朋友说这是「我 [用力学方法] 先发现、再用几何严格证明」的——力学实验找答案、几何证明给保证，今天的研究者依然这么干。

一条抛物线弓形里，藏着无穷级数求和的第一个范例——有限面积里装着无穷多块碎片。

札记② 抛物面天线：为何都是抛物线

卫星天线、射电望远镜、太阳灶、探照灯——它们的反射面都是旋转抛物面。原因是一条光学性质：平行于对称轴的光线，经抛物线反射后全部汇聚于焦点；反过来，焦点发出的光反射后变成平行光束。

卫星信号从几万公里外来，到达地面时是平行波束——抛物面天线把微弱的平行信号全部叠到焦点上的馈源，效率极高。太阳灶同理：把大面积阳光聚到锅底；探照灯倒过来用：把焦点灯泡的光变成平行光柱射向远方。

一条两千年前的圆锥曲线，如今悬在每个屋顶与山头——纯粹数学总会迟到，但从不下岗。

导入：圆的定义与生活的圆

车轮是圆的，餐盘是圆的，日月是圆的。为什么轮子偏偏是圆？因为圆上的每一点到圆心距离相等——车轴装在圆心，车身高度便永远不变，行进才平稳。

本章的圆，比小学「画个圈」深得多：圆里藏着垂直、比例、对称与勾股——它是初中几何的收官舞台，也是通往高中的桥梁。

圆的定义只有一句话，却规定了一切：对称、光滑、均匀——最简单的条件，造出最完美的图形。

圆心·半径·弦·弧

概念辨析：①直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；②「等弧」不是「长度相等」——必须在同圆或等圆中、能完全重合的两条弧才叫等弧（长度相等的两段弧若所在圆不同，不算等弧）；③半圆是特殊的弧，它的两条端点半径构成一条直径。

弦、弧、圆心角天然绑定：一条弦对着两段弧，也对着一个圆心角。这张「绑定关系表」是本章所有定理的舞台。

给圆上随便两点，就自动生成了弦、弧与圆心角三件套——圆的几何，就是研究这三件套互相牵制的规律。

圆心角与弧的关系

证明的底气来自旋转：把圆绕圆心旋转这个圆心角的大小，一条半径转到另一条半径的位置，由于所有半径等长，两条弧、两条弦也一一重合——「旋转不变性」是圆的一切角弧关系的总后台。

应用速记：在同圆中，「圆心角相等 ⟺ 弧相等 ⟺ 弦相等 ⟺ 弦心距相等」四者互为因果，知一推三。

圆心角是圆里的「总开关」：拨动它，弧、弦、弦心距一起联动。

垂径定理

本质：圆关于任何过圆心的直线（直径所在直线）对称——对称轴两侧的弦被对称地一分为二。

计算套路：半径 r、弦长 a、弦心距 d 构成直角三角形——(a/2)²＋d²＝r²。三个量知道两个，勾股求第三个。这条小直角三角形是圆的计算引擎。

垂径定理＝圆的对称性＋勾股定理：一条「垂直」的辅助线，把几何题变成计算题。

圆周角定理

推论三连：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②直径所对的圆周角是直角；③90° 圆周角所对的弦是直径。

证明分三类讨论：圆心在圆周角一边上（最易，直接拆角）；内部；外部——「分类讨论」在此不是技巧，是逻辑必需。

例：圆内接 △ABC 中若 AB 是直径，则 ∠ACB＝90°——「看见直径，找直角圆周角」是圆中证明的第一反射。

圆周角定理把「角」搬进了圆：同一条弧像一杆秤，称得所有圆周角一样重。

圆内接四边形

证明：四边形 ABCD 内接于圆，∠A 与 ∠C 所对的弧合起来是整圆，两个圆周角之和＝360°×½＝180°。对角互补即得。

用途双向：①知三角求第四角：∠A＝70° 则 ∠C＝110°；②判定四点共圆：若四边形对角互补（或一个外角等于内对角），则四点共圆——这是高中以后「四点共圆」技巧的初中根基。

「共圆」是一张隐藏的关系网：四点一旦共圆，散装的角立刻结成互补的对——圆是角的社交平台。

点与圆·直线与圆的位置

点与圆：设点到圆心距离 d——d＜r 点在圆内，d＝r 在圆上，d＞r 在圆外。

这组关系把「位置」翻译成「不等式」：判断直线与圆的关系，只需算一个距离 d——几何位置问题代数化又一例。

d 与 r 的三种大小关系，对应三种图景：穿越、轻触、擦肩——一个数决定一段缘分。

圆的对称性应用

圆的三重对称：①轴对称——任何过圆心的直线都是对称轴（无数条）；②中心对称——绕圆心转 180° 与自身重合；③旋转对称——转任意角都与自身重合。圆是对称性最强的平面图形。

应用一：折叠问题——圆纸片折叠后重合的弧意味着折痕是对称轴（过圆心或与垂径定理挂钩）。应用二：等弧找等弦——用旋转把条件「搬」到一起。应用三：组合图形中的对称取等（将军饮马在圆情境的翻版）。

解题卡住时，先问一句：这个图里，谁是它的对称轴？——圆的问题，七成靠对称破案。

例1 垂径计算

解：①过 O 作 OD⊥AB 于 D，连 OA。垂径定理：AD＝AB/2＝4。勾股：OD＝√(OA²−AD²)＝√(25−16)＝3。

②弓形高＝半径−弦心距＝5−3＝2。

口诀「半径半弦弦心距，勾股一家亲」：r、a/2、d 三者知二求一，全章垂径计算皆此一招。

例2 圆周角证明

证明：连 BE。AE 是直径 ⟹ ∠ABE＝90°（推论②），∠BAE＝90°−∠AEB。又 AD⊥BC ⟹ ∠CAD＝90°−∠ACB。而 ∠AEB 与 ∠ACB 是同弧 AB 所对的圆周角（推论①），相等。代入即得 ∠BAE＝∠CAD。证毕。

本题是圆周角定理的「标准演出」：直径造直角、同弧造等角——两件武器各出一次手。

圆的证明思路三问：有直径吗？（造直角）有同弧吗？（造等角）有垂直于弦的线吗？（垂径）——三问一出，辅助线自现。

例3 圆与折叠

解：折痕是对称轴。设折痕为线段 AB（A、B 在圆上），折叠后弧上一点 P 与 O 重合，则折痕是 OP 的垂直平分线，圆心到折痕的距离 d＝OP/2＝5/2＝2.5。

垂径勾股：折痕半长＝√(r²−d²)＝√(25−6.25)＝√18.75＝(5√3)/2，折痕全长 5√3 ≈ 8.66。

折叠＝轴对称：找到「谁与谁重合」，折痕的身份（垂直平分线/对称轴）就亮出来了。

例4 圆与动点

解：取过 P 的直径 CD，则 PA·PB＝PC·PD＝(5−3)(5＋3)＝2×8＝16。

取另一条与 OP 垂直的弦：由垂径定理 P 平分该弦，PA＝PB＝√(r²−OP²)＝√(25−9)＝4，PA·PB＝16。两条弦答案一致——这个乘积是定值（下一册「圆幂」将证明它对一切弦成立）。

动点问题的解法常是「挑特殊位置探路」：直径与垂直弦这两块试金石，往往直接试出不变量。

圆是最对称的图形

正三角形转 120° 才与自身重合，正方形要 90°，而圆转任意角度都重合——对称阶数无穷。这解释了圆的一切优待：等周长围出最大面积（等周定理）、滚动最平稳、受压最均匀（气球、气泡）。

对称还是一种「证明语言」：本章的垂径定理、圆心角定理、圆幂不变量，底层都是「圆在旋转与翻折下不变」。数学家克莱因说几何学研究变换下的不变量——圆就是那个「什么都不变」的极致样本。

大自然偏爱圆，因为对称即稳定；数学偏爱圆，因为不变量最好证。

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札记① 墨子的圆：「一中同长」

《墨经》（约公元前 4 世纪）给圆下了六个字的定义：「圆，一中同长也」——一个中心、半径同长。这与欧几里得《几何原本》第一卷「圆是由一条线包围的图形，其中一点到线上所有点距离相等」异曲同工，而墨子早了两百年。

《墨经》还有「圜（圆），规写交也」——用圆规画出的封闭线。定义（一中同长）与作图（规写交）并陈，说明墨家学派已区分「圆是什么」与「圆怎么画」——概念与操作的分离，是数学自觉的标志。

六个字抵得上半页公理：先秦墨家的抽象力，足以与古希腊并肩而立。

札记② 圆周率故事：从 3 到密率

古人最初取 π≈3（《周髀算经》「周三径一」）。西汉刘歆得 3.1547；三国刘徽用割圆术——从正六边形起步逐次倍增边数，算到正 96 边形得 3.14，正 3072 边形得 3.1416。

南北朝祖冲之（429–500）把割圆推到正 24576 边形，得 3.1415926＜π＜3.1415927，并给出密率 355/113（误差不到千万分之三）与约率 22/7。密率直到一千多年后才被欧洲人重新发现，月球上有一座环形山以祖冲之命名。

割圆术的本质是「用多边形逼近圆」——极限思想的萌芽，而它诞生在一千五百年前的算板之上。

导入：照片缩放：形状不变

把一张照片放大 3 倍：边长变 3 倍，周长变 3 倍，面积变 9 倍——但形状一点没变：角度全同、边长成比例。这种「形状相同、大小可异」的关系叫相似。

全等是相似的特例（相似比为 1）。相似把「全等的苛刻」放宽为「比例的约束」，适用面骤然变大：地图、建筑图纸、影子测高、镜头成像——处处是相似，处处是比例。

全等回答「是不是同一个」，相似回答「是不是同一种」——后者的数学语言，叫比例。

相似与比例线段

比例的其他变形同样常用：合比 a/b＝c/d ⟹ (a＋b)/b＝(c＋d)/d；若 a/b＝c/d＝k，则 (a＋c)/(b＋d)＝k（等比合流）。这些小定理是比例计算的常用武器。

判断四个数是否成比例：把它们按大小排序后看第一、四项之积是否等于第二、三项之积——交叉乘一下最稳妥。

比例就是「乘法版的相等」：把除法关系改写成乘法等式，一切运算立刻畅通。

相似三角形判定预备

两个经典模型：A 字型——DE∥BC（D 在 AB 上、E 在 AC 上），则 AD/AB＝AE/AC＝DE/BC；8 字型——AB∥CD 交于点 P，则 PA/PD＝PB/PC。A 字管「上面小三角 vs 大三角」，8 字管「上下两个相对的三角」。

推论（平行线截比例）：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得线段对应成比例——它是相似判定 AA 的踏板。

看见平行线，就找比例式：A 字、8 字两副面孔，是相似世界的通用句型。

判定：AA

为何两个角就够？三角形内角和 180°，两对角相等则第三对自动相等——三个角全同，形状必同。这是最常用的判定，没有之一。

常用角源：公共角（两三角形共用一个角）；对顶角；同角的余角；等腰的底角；圆中同弧所对圆周角。看到「公共角＋一对等角」，AA 即成。

AA 是相似判定的主力：三角形被两个角钉死了形状——第三个角只是陪衬。

判定：SSS 与 SAS

SSS 的用法：把两个三角形的三边各自排好序，逐对求比值，看三个比值是否相等。例：边 2、3、4 与边 6、9、12——比值全是 1/3，相似。

SAS 的警示：必须是夹角——两边与「非夹角」相等不能判定（对照全等中的 SSA 陷阱）。「小证全等、大证相似」：SAS 与 SSS 在全等、相似中各有一条，对照记忆事半功倍。

全等与相似的判定表几乎同构：把「相等」换成「成比例」——两套几何，一套语法。

相似三角形的性质

面积比是平方——道理直观：把小三角形按 k 倍放大，横竖两个方向都放大 k 倍，面积放大 k×k 倍。例：相似比 2:3 的两三角形，面积比 4:9；若小者面积 16，大者面积 36。

逆用同样频繁：知面积比 1:4，知相似比 1:2；知两对应边 3 与 5，知周长比 3:5。

维数决定指数：长度一维用 k，面积二维用 k²，体积三维用 k³——「维数定律」贯穿整个相似理论。

位似

位似是「带锚点的相似」：相似只保证形状，位似还保证「方向对齐、连过一点」。生活中放电影（胶片→银幕）、投影仪都是位似：光源就是位似中心。

坐标作图：△ABC 顶点 (1,1)、(3,1)、(2,3)，以 O 为中心、k＝2 位似，得 (2,2)、(6,2)、(4,6)——每个坐标乘 2 即可。

位似给相似装上了「定位系统」：一条公式 (kx, ky) 把放大与移动一次完成。

相似与测量应用

三大测量套路：①影子法：同一时刻阳光平行，物高与影长成比例——杆高/杆影＝塔高/塔影；②镜面法：地面放镜子，人眼—镜子—塔顶构成相似三角形（入射角＝反射角给出等角）；③标杆法：立标杆，人后退到杆顶与塔顶视线上，用 A 字相似算塔高。

例：身高 1.6 米的同学影长 2 米，同一时刻教学楼影长 15 米，楼高 1.6/2×15＝12 米。

「够不着的长度」用「够得着的影子」来换算——相似是人类最早的遥感技术。

例1 判定证明

证明：DE∥BC ⟹ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C（同位角），加上公共角 ∠A——AA 判定成立。

解：AE/AC＝AD/AB＝1/3，AC＝3AE＝6。

注意对应顶点顺序 △ADE∽△ABC：A 对 A、D 对 B、E 对 C——书写相似时，顶点顺序就是对应关系表，顺序写错，比例全错。

例2 比例计算

解：①B′C′＝8×3/2＝12。②周长比 2:3，差 1 份对应 10，周长 20 与 30。③面积比 4:9，共 13 份对应 65，一份 5，面积 20 与 45。

三个小问演完「维数定律」：边比 k、周长比 k、面积比 k²——同一组数，不同次幂。

例3 射影定理雏形

解：AB＝5（勾股）。CD 是斜边上的高：面积双算 ½·AC·BC＝½·AB·CD，CD＝12/5。

相似：△ACD∽△ABC（公共角 A ＋ 直角），AD/AC＝AC/AB，AD＝AC²/AB＝9/5；同理 BD＝BC²/AB＝16/5。验算：AD·BD＝(9/5)(16/5)＝144/25＝CD² ✓。

直角三角形斜边上的高，把大三角形切成两块小的，三块彼此相似——「射影定理」CD²＝AD·BD 正是这块三明治的内在账目。

例4 相似与动点综合

解：t 秒后 CP＝4−t，CQ＝t（0＜t＜4）。∠C 公共（直角），分两种对应：情形一 △PCQ∽△ACB（CP 对应 AC）：(4−t)/4＝t/3，12−3t＝4t，t＝12/7。情形二 △PCQ∽△BCA（CP 对应 BC）：(4−t)/3＝t/4，16−4t＝3t，t＝16/7。两解均合范围。

直角处的相似有「两副对接方式」——分类讨论的完备性：漏掉情形二，答案就只剩一半。

〔粟米〕今有术：比例的普适

《九章算术》第二章「粟米」开篇即「今有术」：已知四数中三数，按「以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一」求解——这正是 a/b＝c/d 中已知三个求第四个的统一算法。粟米章 38 问全是粮食兑换：粟率五十、粝米三十……比例表即价格表。

相似三角形把今有术推上几何舞台：「对应边成比例」就是把两条边当作「所有率与所有数」，另两条边当作「所求率与所求数」。影高换塔高、图距换实距，全是今有术的化装演出。

两千年前算粮的比例，今天量塔、看地图、用比例尺——今有术证明：最古老的算法往往最长寿。

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札记① 泰勒斯测塔与相似思想

公元前 6 世纪，泰勒斯在埃及用影子测出金字塔高：等到自己的影子与身高等长时，金字塔的影长就是塔高——「人身作尺，日影为算」。传说他还用「立杆双影法」测海上船距，令法老惊叹。

泰勒斯的巧思在于等待时机：不必知道太阳高度角，只需等一个「比例系数恰好为 1」的时刻。后来的测量学家则用相似三角形把任意时刻的影长都能换算——从「聪明地选时刻」到「随时可算」，正是从技巧到方法的进化。

第一位「哲学家」的第一件数学事迹，是拿自己的影子做相似三角形——测量史的第一页写满了比例。

札记② 从相似到射影几何一瞥

相似的本质是「比例保持」。十七世纪德萨格研究「从一个点投影再投影」的变换：长度变了、角度变了，但「点在直线上」「线交于点」这些关系不变——由此诞生射影几何，研究投影下不变的性质。

画家们的透视法与它殊途同归：铁轨在画中相交于「消失点」——平行线经中心投影后不再平行，但相交关系依然井然。射影几何后来成为理解圆锥曲线的钥匙：椭圆、抛物线、双曲线竟可在射影观点下互相转化。

把「量尺寸」的数学放下，才看得见「位置关系」的数学——换一副眼镜，另一个世界。

导入：斜坡多陡：坡度与角

无障碍坡道要求「坡度不大于 1:12」；屋顶的坡、水坝的坡、山路的坡，工程上都要量化「陡不陡」。量法有两种：用比（升高与水平前进之比），或用角（坡面与水平面的夹角）。

比与角可以互相换算——换算的钥匙是直角三角形：把斜坡竖切一刀，得一个直角三角形，斜边是坡面、两条直角边是升高与水平距离。边与角之间的换算关系，就是本章的主角：锐角三角函数。

给直角三角形的边角立一本「换算词典」，一切斜坡、高塔、航船的难题都成了查词典。

正切的定义

关键性质：tan A 的值只与角的大小有关，与三角形大小无关——把三角形放大 10 倍，对边、邻边同乘 10，比值不变（相似！）。这正是「三角函数是角的函数」的含义。

tan A 越大，坡越陡：tan 45°＝1（45° 坡的升高恰等于水平前进）；tan 30°＝√3/3 ≈ 0.577；tan 60°＝√3 ≈ 1.732。坡度 1:√3 就是 30° 的坡。

正切是「每前进一米爬多高」：角的陡峭度换算成数，代数工具立刻进场。

正弦与余弦的定义

边界检查：斜边是直角三角形中最长的边，故 sin A、cos A 恒小于 1——这与 tan 可以任意大形成对照。恒等式 sin²A＋cos²A＝1（勾股定理的三角化身）随定义立即可得。

互余关系：∠A＋∠B＝90° 时，A 的对边正是 B 的邻边，故 sin A＝cos B，即「互余两角的正余弦互换」：sin 30°＝cos 60°＝1/2。

sin、cos、tan 是同一组边的三种「配菜方式」：选哪种，取决于题目给的是哪两边。

特殊角的三角函数值

不必死背——用两块「母三角形」现推：等边三角形取一半得 30°-60°-90°（边 1 : √3 : 2）；等腰直角三角形得 45°-45°-90°（边 1 : 1 : √2）。画出图，定义一照，全部数值当场再生。

记表窍门：sin 从 30° 到 60° 是 (√1, √2, √3)/2；cos 反着来——「正弦递增带根号，余弦倒序走一遍」。

三组数值是从两张图里「长」出来的——理解型记忆，永不过期。

解直角三角形

两大类型：①已知两边——先用勾股求第三边，再用三角函数求角（或先求角后用定义求边）；②已知一边一角——先用角的三角函数求出第二条边，再勾股或互余收尾。

例：已知 c＝10（斜边），∠A＝30°：a＝c·sin A＝5，b＝c·cos A＝5√3，∠B＝60°。一次「定义×2＋互余×1」，四个未知全清。

解直角三角形就是「已知两个，求齐五个」：勾股管边、互余管角、三角函数管边角互换。

仰角与俯角问题

标准场景：塔底与观测点同高——测得塔顶仰角 α，水平距离 d，塔高 h＝d·tan α。若观测点在楼上有俯角，画水平线向上向下各引一条，配合「等高线」构造直角三角形。

易错：仰角是与水平线的夹角，不是与斜视线的什么角；画图先画水平虚线，角标在虚线与视线之间。

「抬头是仰、低头是俯」：一根水平虚线，是所有测高测深题的起跑线。

方位角与坡度问题

航行例：船从 A 出发北偏东 40° 航行，转向后南偏东 50°——两条方向线与正南正北构成的角，常用「北南线平行」转移角度（内错角）。

坡度例：大坝坡度 i＝1:√3，则坡角 30°，坡面每前进 2 米升高 1 米——i 与 tan 的换算是此类题的咽喉。

方位角以「北」为钟表零点顺时针走；坡度是「爬升比」不是角度——两套刻度，别串门。

三角函数与勾股联用

三角函数定义的直角三角形里，三边被 k 缩放：对边＝k·sin A 邻边系数……更直接：设参数法——知 sin A＝3/5，就设对边 3k、斜边 5k，由勾股得邻边 4k（3-4-5 勾股数组）。一切边长随 k 现形。

同角恒等式 sin²A＋cos²A＝1 是「勾股的三角版」：验证 sin30°²＋cos30°²＝1/4＋3/4＝1 ✓。它还能互相换算：知 cos A＝5/13，则 sin A＝12/13（锐角时正）。

「知一角函数值，设勾股数组」是三角计算的万能起手——3-4-5 一家，承包了半本习题册。

例1 求值

解：2×1/2＋√2/2−1＝1＋√2/2−1＝√2/2。

变式：sin²60°＋tan 45°−cos 60°＝3/4＋1−1/2＝5/4。

特殊角求值题的纪律：每个函数值先「归位」（对照定义与母三角形），再按运算顺序逐步算，根号不化到最简不收笔。

例2 解三角形

解：a＝c·sin A＝10×1/2＝5；b＝c·cos A＝10×√3/2＝5√3；∠B＝90°−30°＝60°。

验算（勾股）：a²＋b²＝25＋75＝100＝c² ✓。另解：先求 b（邻边）也行——两条路线结果唯一，恰好互为验算。

解三角形的「自动质检」：末了用勾股回代一遍——三边必须自洽，这是免费的验算器。

例3 测高问题

解：塔高 h 满足 tan 30°＝h/(20√3)，h＝20√3×√3/3＝20 米。

延伸：若在塔上某处测得地面同一点的俯角 60°，该处高度 h′＝20√3×tan 60°＝20√3×√3＝60 米——同一水平距离，仰角与俯角互换，只需把 tan 换成余角的 tan。

仰角测高的公式一句话：高＝距离×tan 仰角——但「距离是水平距离」这一句，多少人栽在斜距上。

例4 综合测量题

解：设山高 h，山脚到山脚「正对山顶」的水平距离 x。视线 45° 处：塔顶高 h＋15＝x·tan 45°＝x。前进 30 米后水平距离 x−30：(h＋15)＝(x−30)·tan 60°＝√3(x−30)。

代入 x＝h＋15：h＋15＝√3(h＋15−30)＝√3(h−15)，整理 (h＋15)/(h−15)＝√3，h＋15＝√3 h−15√3，h(√3−1)＝15(1＋√3)，h＝15(√3＋1)/(√3−1)＝15(√3＋1)²/2＝15(4＋2√3)/2＝30＋15√3 ≈ 56 米。

两次观测建两个方程：双视角测量（重差术的现代版）自刘徽以来就靠「联立」破题。

〔勾股〕角进入代数：三角函数的诞生

勾股定理管「三边互求」，三角函数管「边角互求」——合起来，直角三角形里六个元素（三边三角）中知二可求其余。角从此有了数值身份，几何第一次可以「按角计算」。

正弦的祖先是一张弦表：公元 2 世纪托勒密编制半弦表（对应今天 sin 表的一半）；印度人把它改成正弦表；阿拉伯人发扬光大。从此航海者靠星的高度角查表定纬度——三角函数生来就是「远航的科学」。

勾股给边，三角给角：两条腿一样长，直角三角形才真正「可算」。

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札记① 弦表的历史：托勒密与印度

托勒密《至大论》（约 150 年）附有每隔半度的弦表：给出圆心角对应的弦长。因同弧圆周角是圆心角之半，弦表本质上就是正弦表——把弦长除以直径即可。托勒密的造表术含相当于「和角公式」的运算，精密程度领先千年。

印度天文学家（如 5 世纪的阿耶波多）改用「半弦」（即现代正弦 sidhu/jya），使三角学摆脱「倍角」负担；阿拉伯人继承并命名 jayb，拉丁译为 sinus——「正弦」一词竟源自「衣襟、海湾」的误会式翻译。

一张弦表走过希腊、印度、阿拉伯、拉丁欧洲——数学词汇的旅行史，比帝国疆域更辽阔。

札记② 三角学东传与《大测》

明末 1631 年，徐光启与德国传教士邓玉函等编译《大测》二卷——「大测」意为「大范围测量」，是三角函数系统传入中国的第一部著作。书中译出「正弦、余弦、正切」等名，沿用至今；《崇祯历书》的历法改革即以此为基础。

此前中国算学以「勾股」处理直角三角形，却无「角函数」概念——不是算不了，而是算不到「任意角」的普遍化。《大测》带来三角恒等式与造表法，中国学者梅文鼎等随后融会中西，写出《平三角举要》等独立著述。

「三角」的名字是外来的，思想却与勾股一脉相承——西学东渐的第一课，是发现两边原在同一条直角边上。

导入：彩票为什么难中

双色球头奖需从 33 个红球选 6、16 个蓝球选 1 全对：组合数 C(33,6)×16＝1107568×16≈1772 万分之一。换算成直观：把 1772 万张彩票铺满十几个足球场，头奖只藏在其中一张下面。

「难中」不是感觉，是可计算的数。上一学段我们初步认识概率；本章把工具升级：两步、三步的试验如何算？频率与概率如何互证？游戏公平与否如何裁决？——概率让「运气」进入数学的管辖。

运气无法预测一次，却能刻画一万次：概率是给「不确定性」发的身份证。

概率的频率定义深化

频率是「实验的」，每次试验各不相同；概率是「理论的」，是频率的稳定归宿。试验次数越多，频率离 p 越近——「越掷越准」这一现象本身有个名字：大数定律（札记②详述）。

两类概率的来源：①等可能模型直接计算（下一页）；②复杂试验靠频率估计（如图钉落地钉尖朝上的概率只能实验测——因为它不是等可能的）。

频率是「测出来的样本」，概率是「藏起来的真值」：大量重复是两者之间的桥。

等可能事件

两个条件缺一不可：①「有限」——结果能数得清；②「等可能」——每个结果机会均等。骰子、洗匀的牌、随机抽签满足；「投篮是否命中」不等可能，「明天是否下雨」结果难数——都不能直接套公式。

易错：把「不等可能」当等可能。硬币两枚：正正、正反、反反三种结果，但 P(两正)≠1/3——正反其实有两种（甲正乙反、甲反乙正），等可能的结果是 4 个，P(两正)＝1/4。

古典概型的纪律：先数清「真正等可能」的基本结果——数错对象，概率就错了。

列表法求概率

两步试验（先后各一次，或各取一个）的得力工具：把第一步的可能结果写成行、第二步写成列，交叉格填联合结果——表格一拉，总结果数与目标结果数一目了然，还天然防漏防重。

例：掷两枚骰子，点数和为 7 的概率。6×6 表格填和：和 7 出现在 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 格，P＝6/36＝1/6——和 7 是「最可能」的和；和 1 与 12 各只有 1 格。

适用提醒：两步不放回试验时，表格对角线格（两次同取）要划掉，总数变 n(n−1)。

列表法是「把随机摊在纸上」：二维网格一出，运气变成了数格子。

树状图求概率

三步及以上的试验用树状图：第一步分叉、第二步再分叉……每条从根到梢的路径代表一个等可能结果。三枚硬币：2×2×2＝8 条路径，恰两正的路径 3 条，P＝3/8。

树状图与列表法的分工：两步用表（整齐），三步以上用树（画得开）。放回/不放回在树上表现为「第二层分支是否与第一层相同」——不放回时第二层的数字要「扣掉已取走的」。

例：袋中 3 红 2 白，摸两次不放回，两次都红的概率：3/5×2/4＝3/10（树上数路径同值）。

树状图是随机的「家谱」：分支结构把试验过程画出来，概率就是数叶子。

用频率估计概率

有些试验没有「对称性」可用：图钉落地钉尖朝上吗？投篮命中率多少？此时只能做实验：重复 n 次，用频率 m/n 估计概率。n 越大估计越稳——这正是频率定义的反向应用。

模拟替代：真实试验太贵时用「替代物」模拟。估计 6 人中两人同生日的概率，可用 1–365 的随机数；估计「门后三选一」问题，可用三张牌洗抽。模拟的关键：替代模型与原试验等可能结构相同。

例：抛图钉 200 次，钉尖朝上 128 次，估计概率 0.64——没有理论值可对，频率就是答案。

「没有公式就做实验」：概率论的实用主义一面——当对称性缺席，频率登场。

游戏公平性判断

经典不公：掷两枚硬币，「两正您赢，其余我赢」——P(两正)＝1/4 vs P(其余)＝3/4，我胜算三倍。修改方案之一：改积分制，您赢得 3 分、我赢得 1 分，期望持平。

另一经典：掷两枚骰子比大小和（和大战小）——因和的分布中间大两头小，庄家「押 7」占便宜：赌场骰桌的 7 就是这么设计的。

公平不是「看起来对等」，是「算出来相等」：概率一出手，规则的偏心无所遁形。

概率与统计联动

统计为概率供料：想知道一批零件的次品率，抽 100 件查出 3 件次品——用样本频率 3% 估计总体概率；样本越大越可靠（下一册将讨论「多大才算大」）。

概率为统计算账：已知次品率 3%，从 100 件中任取一件的「风险」可算；保险、质检、抽检方案的制定，全是「频率→概率→决策」这条流水线。本章札记与 M3-3 第四章将把「决策」推向台前。

频率→概率是「从数据到规律」，概率→决策是「从规律到行动」：统计与概率，本是一枚硬币的两面。

例1 树状图计算

解：树状图：第一次摸球 P(红)＝2/3、P(白)＝1/3；第二次在剩余 2 球中摸。红后摸红：剩余 1 红 1 白，P(红)＝1/2。两次都红：2/3×1/2＝1/3。

表格验证：6 个有序结果（红₁红₂、红₁白、红₂红₁、红₂白、白红₁、白红₂），两红占 2 个，P＝2/6＝1/3 ✓。

同一题用树与表两种账本对账——答案一致，心里才踏实。

例2 转盘游戏

解：列表 3×2，六格积：(1,2,2,4,3,6)。偶数格：2,2,4,6 共 4 格，P＝4/6＝2/3。

反面思考更快：积为奇数 ⟺ 两个因子都奇 ⟺ 甲奇（1 或 3，概率 2/3）且乙奇（1，概率 1/2），P(奇)＝2/3×1/2＝1/3，P(偶)＝1−1/3＝2/3 ✓。

「正难则反」：偶数情形多时，先算奇数再用 1 减——补集思想是概率题的常备捷径。

例3 实验设计

解：实验：用计算器/抽签重复取数 100 次，统计和为偶的次数，频率即估计值。

理论：20 数中奇偶各 10。两数和偶 ⟺ 同奇偶：P＝C(10,2)/C(20,2)＋C(10,2)/C(20,2)＝45/190＋45/190＝90/190＝9/19 ≈ 0.474。100 次实验的频率应在 0.47 附近摆动。

先实验后对表（或先理论后验证）——「估计」与「计算」双轨并行，是概率学习的完整闭环。

例4 决策问题

解：P(和 7)＝6/36＝1/6，P(其它)＝5/6。平均每轮：甲 6×1/6＝1 分，乙 5/6 分——甲略占优，不公平。设甲得 x 分公平：x/6＝5/6，x＝5。

公平条款：和 7 甲得 5 分、其余乙得 1 分——规则一字不改，只调分值，博弈立刻平衡。

公平性＝期望相等：把「每轮平均得分」算出来，规则的天平立刻显形。

概率让「运气」可计算

单次掷骰毫无规律——但一万次掷骰的频率纹丝不动地贴着 1/6。概率不预测「下一次」，只刻画「无数次」：这正是它与传统数学最大的不同——关于个体不可言说，关于群体寸步不让。

这门学科诞生于赌桌（札记①），成长于保险与天文误差分析，如今撑起天气预报、药物试验、人工智能的全部地基。它教给我们的第一课：别被单次印象绑架，看长期频率。

随机不是没有规律，而是规律换了写法——写在频率的稳定里，写在期望的平衡里。

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札记① 赌徒问题：概率论的诞生

1654 年，赌徒德·梅雷向帕斯卡请教「分赌注问题」：两人约定先胜 3 局者赢，赌至 2:1 中断，赌注怎么分才公平？帕斯卡与费马通信讨论，各给出正确解法：按「若继续下去各自获胜的概率」分配——这组通信被公认为概率论的诞生证书。

德·梅雷还有一问：掷一骰 4 次至少出一个 6，与掷两骰 24 次至少出一对 6，哪个更划算？直觉说「4/6 与 24/36 相同」，计算却说前者 1−(5/6)⁴≈0.518，后者 1−(35/36)²⁴≈0.491——差之毫厘，赌注见真章。直觉不计算，就要破财。

概率论由一场赌债催生：数学史上最著名的「坏账」，换来了一门精确的科学。

札记② 伯努利与大数定律的故事

1713 年，雅各布·伯努利的遗作《猜度术》出版，证明了划时代定理：重复独立试验中，频率与真概率之差可以任意小的机会趋于必然——大数定律。他写道：「即使最愚钝的人凭本能也明白这个道理，但把它严格证明出来，需要二十年的思考。」

伯努利自评这是「让一切哲学问题最终落脚处的定理」：个体的偶然， aggregate 出群体的必然。后世泊松、切比雪夫把它打磨成现代形态；今天保险定价、民调抽样、蒙特卡洛模拟，全是大数定律的子孙。

「多即必然」：大数定律是偶然王国里的第一块基石——混沌的千军万马，汇成确定的大河。

导入：光与影的几何

正午的影子短，傍晚的影子长；路灯下的影子朝四面发散，太阳下的影子却平行如尺。影子——光被物体挡住的区域——本身就是一门几何：投影。把立体物件「压」到平面上，得到的就是投影；机械图纸上那三张视图，也是投影。

本章沿着「光影 → 投影 → 三视图 → 展开」的路线，把立体与平面之间的翻译规则学全：会「降维」（立体→平面），也要会「还原」（平面→立体）。

投影是立体世界的「户籍登记」：每个三维物件，都能在纸上留下一组合法的证件照。

平行投影与中心投影

性质对比：平行投影下，平行线段的像仍平行（或共线），同一直线上两线段之比不变；中心投影不保平行——「近大远小」，铁轨在灯下会相交于「消失点」。

应用差异：同一时刻阳光下，物高与影长成比例（相似，可测高）；灯光下不成立——影长还依赖物与灯的距离，测高需另建相似（含灯高）模型。

太阳的影子讲比例，灯光的影子讲透视：两种投影，两套几何。

三视图深化

「长对正」：主视图与俯视图的长相等且对齐；「高平齐」：主视图与左视图的高一致；「宽相等」：左视图与俯视图的宽一致——三张图互为校验，缺谁都不行。

视图里的「实线与虚线」：能看见的轮廓画实线，被遮挡的轮廓画虚线——虚线是「藏在后面的证据」，还原立体图时最关键的线索。

三视图是同一件物体的三次「证词」：互相印证，才能锁定立体真相。

组合体三视图

组合体（如积木）的视图按「叠加与挖切」处理：先分解成基本几何体，分别画视图再合并——同一位置后画的轮廓若被先画的挡住，改虚线或并入。

画图顺序建议：先俯视图定「占地轮廓」（几乘几的网格里哪些格有方块），再按网格逐格标注高度，主视图取每列最大高，左视图取每行最大高——网格法是组合体视图的通用算法。

逆向还原同理：俯视图给网格占地，主视图给每列高度上限，左视图给每行——三组数一拼，立体的「高度地图」现形。

组合体视图 = 基本视图的加减法：拆开画、合起来看，复杂的只是过程，不复杂的才是原理。

由视图求面积体积

尺寸标注在视图上时，读数规则：主视图读长与高，俯视图读长与宽，左视图读宽与高。圆柱：主视图是矩形（长＝直径 2r，高＝h），俯视图是圆——体积 πr²h、侧面积 2πrh 全部可从两图读出。

例：某几何体主视图长 4、高 3 的矩形，俯视图是直径 4 的圆——它是圆柱，V＝π·2²·3＝12π，S 侧＝2π·2·3＝12π。

圆锥：主视图是等腰三角形（底＝2r，高＝h），俯视图圆带圆心——母线 l＝√(r²＋h²)，S 侧＝πrl。

视图上的每条线段都是真尺寸：读准「哪条线是直径、哪条是高」，体积面积唾手可得。

投影与相似

平行投影的核心等式：同一时刻，物高 : 影长＝物高′ : 影长′。因为太阳光平行，物体、影子与光线构成的两个直角三角形相似（同角的同位角相等，AA）。

典型两问：①双物求高：杆高 2 影 3、塔影 30，塔高＝2/3×30＝20；②双影求时刻：影长变化反映太阳高度角变化——上午影渐短、下午影渐长，正午最短（北半球中纬地区）。

灯光测高：灯高 H，物高 h，物距灯水平 d，影长 s——相似（h/H＝s/(s＋d)）连四个量，知三求一。

投影题的通法是「造相似三角形」：影子不是障碍，是把空间关系压平的礼物。

视角与盲区问题

盲区画法：从眼睛向障碍物顶点引两条「擦边视线」，落在地面（或目标平面）上的两交点之间的区域就是盲区。电影院选座、路口反光镜、监控摄像头布置，都是视角与盲区的应用题。

规律：观察点越高、越远，盲区越小——「欲穷千里目，更上一层楼」的几何注脚。

视线是射线，盲区是阴影：把「看不见」画出来，是投影几何最实用的一招。

立体展开图

展开是投影之外的另一种「降维」：沿棱剪开摊平。正方体展开图共 11 种（1-4-1 型 6 种、2-3-1 型 3 种、2-2-2 型 1 种、3-3 型 1 种）；「一线不过四、田字与凹字不成立」是快速排除口诀。

展开图的判定练习：给六连方判「能否折成正方体」——想象折叠过程，追踪三个方向的「对面」；对面在展开图中必不相邻（隔一格或隔一行）。

展开更是求最短路径的利器：立体表面两点，摊平后直线最短——下一章例 4 演示。

展开是「剪出来的投影」：立体问题摊平成平面问题，勾股立即上岗。

例1 三视图判定

解：①主、左视图均为矩形，俯视图圆；②主、左视图均为等腰三角形，俯视图圆（含圆心）；③三视图均为圆；④主、左视图均为「下大矩形上小矩形」的阶梯形，俯视图两同心圆（若等底则一圆）。

要点：回转体（圆柱、圆锥、球）的主左视图相同——它们的对称性让「正面」与「左面」看起来一样。

例2 还原计算

解：判定为直立圆柱：底面直径 4（r＝2），高 3。V＝πr²h＝π×4×3＝12π；S 侧＝2πrh＝2π×2×3＝12π，全表面 12π＋2π·4＝20π。

读图诀：主视图的「长 4」其实是俯视图圆的直径——「长对正」在这里翻译成「矩形宽＝圆直径」。

例3 投影测高

解：平行投影成比例：塔高/27.5＝1.6/2，塔高＝0.8×27.5＝22 米。

延伸（灯光版）：若改为高 4 米的路灯，同学距灯柱水平 6 米，影长 s 满足 1.6/4＝s/(s＋6)，1.6s＋9.6＝4s，s＝4 米——中心投影必须带上「灯距」，比例里多了一层。

太阳影子用「外比例」，灯光影子用「内相似」：判断光源是平行还是点状，是测高题的第一步。

例4 展开图最短路径

解：展开有三种「摊法」，分别把两条棱展开到同一平面：①(5＋4)×3 面：√(9²＋3²)＝√90；②(5＋3)×4：√(8²＋4²)＝√80；③(4＋3)×5：√(7²＋5²)＝√74。

√74 ≈ 8.60 最短。答：√74（约 8.6）。

「立体绕行」与「平面直行」之间隔着一次展开：摊平的一瞬间，勾股定理接管一切。

降维与还原：视图的双向翻译

三视图把立体「译」成三张平面图，是降维；由三视图想象并还原立体，是还原。一降一还之间，需要一门中间语言——「长对正、高平齐、宽相等」就是这门语言的语法书。

工程师靠它造机器（图纸），医生靠它读片（CT 的断层即系列投影），计算机靠它渲染（3D 建模先建视图）。学视图，学的不只是画图，是「在低维与高维之间自由穿梭」的能力——高中立体几何、大学画法几何都从这能力起步。

看得懂三张图的人，脑子里装着第四维的想象——视图是空间想象力的健身房。

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札记① 制图学的投影史

把球面地图摊平成平面地图，必然用投影——1569 年荷兰制图师墨卡托设计「等角圆柱投影」：经纬线画成平行直线，纬线越往两极越拉伸。它保角：航海图上的等角航线是直线，船只照直线走即可——大航海时代的水手人手一张墨卡托图。

代价是面积失真：格陵兰岛在图上看着与非洲差不多大，实际只有非洲的 1/14。没有万能投影——保角必失面积，保面积必失角度（高斯已证明球面不可能等距摊平）。选哪种投影，是制图师的价值观。

每一张世界地图都是一次「说谎的艺术」：投影几何告诉我们，摊平球面的代价必须花在某处。

札记② 中国界画与透视

中国传统界画用尺子引线画建筑，《营造法式》（1103 年）的图样已含类似「轴测」的画法：保持平行的柱枋在图中依然平行——不灭点、不近大远小，与西方焦点透视不同。山水画更用「散点透视」：一幅长卷移步换景，仿佛边走边画。

透视法在文艺复兴的欧洲成为科学：布鲁内莱斯基做镜面实验、阿尔贝蒂写《论绘画》，把「消失点」规范化——画家与几何学家在同一间画室里工作。两种传统无所谓高下：界画保「构造之真」，透视求「目见之真」。

怎么画立体，映照怎么理解空间——画法即世界观。

抛物线实验站开幕

欢迎来到秋季综合站！本站把第一学期七章的家底全部摆上实验台：方程的根、函数的图像、圆的计算、相似的测量、三角的应用、概率的裁决、视图的翻译——七个展区，六道挑战，一座数学桥。

规则：①热身区全员过；②五个挑战区任选三区通关；③「数学桥」创意工坊小组合作；④积分制——热身 10 分、每挑战 20 分、工坊 30 分，期末兑换「九章勋章」。

综合站不考新知识，只考「旧知识在新地方的认识」——这就是综合的本义。

二次方程速解

限时 8 分钟，8 题，每题限用「最优解法」并注明方法名：①x²−121＝0（直接开方，x＝±11）；②x²−7x＋12＝0（十字相乘，x＝3 或 4）；③(x−2)²＝9（直接开方，x＝5 或 −1）；④x²＋4x−1＝0（配方，x＝−2±√5）；⑤2x²−5x＋2＝0（十字相乘，x＝2 或 1/2）；⑥3x²＋x−1＝0（公式，x＝(−1±√13)/6）；⑦x²−6x＋9＝0（配方法/完全平方，x₁＝x₂＝3）；⑧不解方程：已知 x²＋px＋10＝0 一根为 2，求另一根与 p（韦达：另一根 5，p＝−7）。

热身的评分不看答案对错——看「方法选得对不对」：四法选优是本章的灵魂。

①抛物线顶点竞速

挑战区一（函数）：给定抛物线，30 秒内报出顶点与开口方向，五轮记分。轮次：①y＝2x²−4x＋1（顶点 (1,−1)，向上）；②y＝−x²＋6x−5（顶点 (3,4)，向下）；③y＝(x＋2)²−7（顶点 (−2,−7)，向上）；④y＝3x²＋6x（顶点 (−1,−3)，向上）；⑤y＝−2x²−8x−9（顶点 (−2,−1)，向下）。

进阶规则：报出顶点后再补一句「最值与何时取得」——全对翻倍计分。

顶点竞速练的是「一眼配方」：−b/2a 口算如飞，函数图像才真正长在眼里。

②投篮抛物线建模

挑战区二（建模）：篮球出手后高度 y（米）与水平距离 x（米）近似满足 y＝−0.2x²＋1.6x＋1.8（出手点高 1.8 米）。①篮筐水平距 4 米、高 3 米，球能否命中？——x＝4 时 y＝−3.2＋6.4＋1.8＝5＞3，需先解「何处高度为 3」：−0.2x²＋1.6x−1.2＝0，x²−8x＋6＝0，x＝4±√10≈7.16 或 0.84，故在 x≈7.16 处球到 3 米——若筐在 4 米处，球在其正上方 5 米处，偏高，判断「飞越篮筐」；②最高点在哪？顶点 x＝4，y＝5，出手后 4 米处达到最高 5 米。

小组任务：换一组参数（距离、出手角）重演一遍，画轨迹草图。

运动轨迹＋方程＝预测：抛物线建模让「这一球进不进」在出手瞬间就有了答案。

③圆的计算接力

挑战区三（圆）：四人接力，每人一棒，限时合计 10 分钟。第一棒：半径 13、弦 24，求弦心距（√(169−144)＝5）；第二棒：弦心距 4、弦 12，求半径（√(16＋36)＝√52＝2√13）；第三棒：⊙O 中 60° 圆心角所对弦长 10，求半径（等边三角形，10）；第四棒：AB 是直径、AB＝10，弦 AC＝6，求圆周角 ∠ABC 所对……（BC＝√(100−36)＝8，∠ABC 对 AC，tan∠B＝AC/BC？——用直角：sin∠B＝AC/AB＝3/5）。

接力规则传递的不只是答案，是「半径半弦弦心距」的工具交接——上一棒的结论是下一棒的已知。

④相似测量赛

挑战区四（测量）：操场实地赛。器材：卷尺、2 米标杆、平面镜一面。任务一：用标杆与影长测旗杆高（记录两影、按比例换算）；任务二：用平面镜法测教学楼高——镜子放在人与楼之间，人后退到恰能从镜中看到楼顶，量「人镜距」与「镜楼距」，按相似（人眼高/人镜距＝楼高/镜楼距）计算。

评分：方法书写 5 分＋测量记录 5 分＋结果合理 5 分＋误差分析 5 分。

课本上的相似公式，只有亲手量过一遍，才算真正「长」进了手里。

⑤三角测量挑战

挑战区五（三角）：给定情景卡抽取作答。卡一：仰角 30°、水平距 30 米，塔高？（30tan30°＝10√3）；卡二：坡度 i＝1:2.4，坡角正切？（tan α＝1/2.4＝5/12）；卡三：sin A＝5/13，求 cos A 与 tan A（cos＝12/13，tan＝5/12）；卡四：两楼水平距 24 米，从甲楼顶测乙楼顶仰角 30°、测乙楼底俯角 45°，求两楼高（甲高 24，乙高 24＋24tan30°＝24＋8√3）。

情景卡随机抽取——考试也好、工程也好，测量从来不打招呼。

实验数据讲评

各组数据上墙对照。三类常见误差：①工具误差——卷尺没拉直、镜子不水平（镜面法要求镜面严格水平，否则入射角失真）；②读数误差——仰角靠自制测角仪，建议三次测量取平均；③模型误差——影子测高假设太阳平行、地面水平，坡地测影必须修正。

讲评金句：误差不是「做错了」，是「测量与模型的极限」——写出误差来源并估计大小，比报一个「漂亮的整数」更像真正的科学。

综合站的分数里，误差分析占两成——尊重误差，是实验数学的第一修养。

抛物线与桥拱设计

跨河桥拱设计任务：河宽 24 米，桥拱用抛物线 y＝−1/9·x²＋8 模型（拱顶 8 米、拱脚跨度 24 米，x 为距拱中点的水平距离）。①求离拱脚 3 米处（x＝9）拱高：y＝−9＋8＝−1？超出——检查范围 |x|≤12，x＝9 时 y＝−(81/9)＋8＝−1，负值说明模型在此处已入「水下」，需改用拱脚抬高的模型 y＝−(1/9)x²＋8，其拱脚在 y＝0：x²＝72，x≈8.49——跨度 16.98 米，不合河宽。修正：跨度 24 时 y＝−(8/144)x²＋8＝−x²/18＋8；②离拱脚 3 米（x＝9）拱高＝−81/18＋8＝3.5 米；③通航要求：距拱脚 2 米处拱高需 ≥4 米，x＝10 时 y＝−100/18＋8≈2.44，不达标——讨论：加高拱顶或改圆弧拱，各自核算。

设计的本质是「在约束里找可行」：模型一改，数字立刻给出裁决。

综合限时挑战

限时 25 分钟，三题连做（允许小组两分钟协商一次）。题一：抛物线 y＝x²−2x−3 与 x 轴交 A、B，与 y 轴交 C，求 △ABC 面积（A(−1,0) B(3,0) C(0,−3)，S＝½×4×3＝6）；题二：上述抛物线上是否存在点 P 使 △ABP 面积为 12？（P 到 AB 距离须 6，y＝±6，取 y＝6：x²−2x−9＝0，x＝1±√10，存在两点）；题三：⊙O 半径 5，弦 AB＝8，P 为 AB 上动点，OP 的最小值（垂线段 3）与最大值（端点处 5）。

三题横跨三区：函数给面积、方程找存在、圆给最值——「限时」逼出的是知识调度的速度。

设计一座「数学桥」

小组任务（4 人，40 分钟）：为一座 30 米宽的河道设计桥拱，提交「三件套」：①模型——选定抛物线（拱高自定，须给通航留出净空）并写出解析式；②计算书——列出拱顶高、跨度、五个等分点的拱高、距拱脚 2 米处净空；③图纸——按比例（1:300）绘制主视图并标注关键尺寸（三视图规则用起来）。

答辩两分钟：为何选这个拱高？净空如何保障？造价与美观如何权衡？

数学桥的意义不在「像不像桥」，在「每一条线都有依据」——模型、计算、图纸，三位一体。

知识图谱整理

个人任务：把第一学期七章画成一张知识地图。建议骨架：以「方程 → 函数」为主干（一元二次方程的根 ↔ 二次函数的交点）；以「圆 → 相似 → 三角」为几何枝（垂径与勾股、相似与比例、三角与边角）；以「概率、视图」为应用枝（不确定与降维）。每章至少写出：核心定理一条、典型方法一招、易错点一个、与其它章的连线一条。

同伴互查：交换地图，找出一处对方「漏连的线」——知识只有连成网，才调得动。

复习不是重读一遍，是把散落的珠子串成项链：地图画完，学期才算合上。

〔方程〕从数到形再到世界

第一学期走过的路：先学会把世界写成方程（花圃、增长率、利润），再把方程画成图像（抛物线的顶点与交点），最后用图像反过来读世界（投篮轨迹、桥拱净空）。数 → 形 → 世界，一个来回，就是「数学建模」的完整动作。

《九章算术》的盈不足术是这条路的古代版：两次假设（形），两次盈亏（数），按比例内插出真值（世界）。今天您做的每一个最值题，都是它两千年后的回声。

数学对世界的全部温柔，在于它总肯把世界翻译成自己能算的样子。

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团队积分赛

四队循环「抢答攻防」：题型分三档——基础档（方程速解、特殊角求值）10 分；进阶档（判别式含参、圆的证明、相似双解）20 分；风险档（动点存在性、桥拱设计）30 分，答错倒扣一半。每队每轮可指定一队「攻防对战」：出题方限时给题，答题方限时作答，主持人判定。

赛制细节：允许每队一张「求助卡」（问老师一个关键词）；末轮设「押分题」——押多少、答对翻倍、答错全失。

积分赛练的不只是解题，是「出题人的眼光」：能把题出难的人，才是真懂了的人。

记录生活中三处抛物线

假期任务：找到并记录身边三处抛物线（或近似抛物线），完成记录卡：①位置与照片（喷泉、投篮、桥拱、卫星锅、彩虹拱……）；②关键数据（用步测或查资料估跨度与高度）；③模型——以跨度和拱高设 y＝a(x−h)²＋k，算出 a 并写出解析式；④一个预测——用模型算一处未量点的数值，并实地核对。

开学提交记录卡并选出「最意外的抛物线」三例张贴教室后墙。

带一双「函数的眼睛」回家：世界欠您的抛物线，自己去收账。