累加的力量

课桌有多长：手拃量出的争论

开学第一天，王老师让全班同学量一量自己的课桌有多长。

图图站起来说：「各位读者俩的手不一样大呀！小杏的手小，我的手掌更大，我量出来大概只有六拃。」

王老师点点头：「图图说到了根子上。每个人的手都不一样，用「拃」量，全班就答不出同一个数。要想人人的答案都一样，就得有一把大家都一样的尺——这就是今天要学的长度单位。」

《九章算术》里量田也有统一的「步」。度量要先统一标准，「方田」的故事就从这里开始。

厘米：尺子上的小格

请拿出一把学生尺。尺子上最长的那些刻度线之间，一小格一小格排得整整齐齐，每一小格的长度，就是 1 厘米。

尺子上的 0、1、2、3……叫刻度。写着 0 的那一条线，是起点线。

比一比：从 0 到 8 有 8 个小格，所以是 8 厘米；从 0 到 10 是 10 厘米，正好是一根新铅笔那么长。

要点：量长度时，物体的一端要对准 0 刻度，另一端指到几，长度就是几厘米。

量一量：线段与实物测量

两头都有端点、可以量出长短的直直的线，叫线段。量线段的长度只有两步：

量一量身边的实物，先估再量，把估的和量的写在一起比一比：

要点：估测是数感，测量是本领。练多了，眼睛就变成一把尺。

米：量较长的东西

教室的门有多高？黑板有多长？用厘米量太麻烦了——一格一格数，手指都酸了。所以要请出更大的单位：米。

要点：选对单位，量起来又快又准。单位像不同的工具，各有各的用处。

1 米＝100 厘米：换算

把 100 把 1 厘米的小尺子首尾接起来，正好是 1 米。所以：

有了这一条，米和厘米就能互相换算了。

要点：换算的桥就是这句话——1 米 ＝ 100 厘米。记住它，米和厘米就是一家人。

选单位填空与估测

做 C 组的时候，估的数写在前面，量的数写在后面。估准了高兴一下，估不准就把差距记下来。

身体尺游戏：拃·步·庹

古人没有尺子的时候，就用自己的身体当尺。今天我们也来做一次「身体尺」的主人。

玩完想一想：身体尺很方便，可是为什么终归要换成厘米和米？因为要用的人越多，标准就得越牢。

量家里五样东西并记录

这一周，请您在家里当一次「测量员」，选五样东西量出长度，把结果填进下表：

下节课把这张表带到课堂，和同学比一比：谁估得最准？谁量出的数最让人意外？

回收废电池：更大的数来了

学校的环保角放着一个回收箱，专门收废旧电池。一个月下来，王老师把两个班的成绩写在黑板上：

小杏马上算起来：30 加 20 是 50，6 加 3 是 9，一共 59 节。图图不太服气：「我的算法不一样，我是从 36 开始，往后一个一个数 23 个——数到 59。」王老师都表扬了：「两种都对。可是如果数变成 36 加 28，一个一个数就太慢了，我们需要更省力的办法。」

阿禾说：「那就把它们竖着排起来算！」——这一节课，我们就把加减法排成整整齐齐的竖式。

数变大了，办法也要升级。竖式就是为「大数」准备的省力工具。

两位数加两位数（不进位）

把两个数上下对齐写好，就是竖式：

写竖式有一条铁规矩：个位对齐个位，十位对齐十位。也就是相同数位要对齐。

要点：竖式之所以方便，是因为它把「位」摆得明明白白——各位管各位，不打架。

进位加：满十向前一位进一

再来算 36 加 28。个位 6 加 8 等于 14——14 的十位往哪儿放？

所以：个位 6 加 8 等于 14，写 4，向十位进 1；十位 3 加 2 再加进上来的 1，等于 6。答案是 64。

要点：个位满十，就向十位借一个「捆」。十个一捆成一十，这就是「十进」的力量。

两位数减两位数（退位）

减法也会碰上麻烦：52 减 27，个位 2 减 7，减不动，怎么办？

要点：借的时候要记得把十位上的数改小 1，不然答案就会多出 10。

连加连减与加减混合

有时候算式里有三个数：28 加 35 减 19。该怎么算？

也可以把前两个数的得数写下来，做第二个竖式的时候用它开头，不必把三个数挤在一个竖式里。

要点：复杂的算式，靠「一步一步」拆成简单的。这是数学里最朴素也最厉害的办法。

竖式规范与口算混合

写竖式时，把相同数位对齐、进位的点点在相应数字的右下角。做完自己验算一遍，用加法检查减法。

竖式接龙赛

四人一组，两张纸、两副数字卡（0～9 各两张），开始接龙。

玩完想一想：为什么接龙的时候，前面算错一步，后面就全乱？——因为算式的得数是下一步的起点，前面的账错一分，后面就跟着错。

记一周家庭开支小账

这个单元的最后任务，是请您当一周的「家庭小会计」：

算完后向家人报告一次，说话要用数学的话：「这一周一共用了多少元，最多的一天比最少的一天多多少元。」

剪刀·钟面·红领巾：找角

王老师的讲台上摆了三样东西：一把剪刀、一个小闹钟、一条红领巾。

王老师笑了：「各位读者的眼睛真亮。角就藏在我们身边——墙角、桌面、书本的四个角，都是角。可角到底是什么呢？我们把它看清楚一点。」

角是几何学里最基础的图形之一。从剪刀到钟面，我们先把角「找出来」。

角的组成：一个顶点两条边

把红领巾上的一个角描下来，用放大镜看，它有三样东西：

要点：角的边一定要「直」、一定要「从顶点出发」。这两句话是判断角的两把尺子。

直角：方方正正的角

翻开数学书，用手指摸一摸它的四个角。这样的角端端正正、方方正正，它有一个专门的名字：直角。

怎么判断一个角是不是直角？请出我们的小工具——三角尺上的那个直角。

要点：直角是一个「基准角」。比直角小的叫锐角，比直角大的叫钝角。

比角大小：开口与边长无关

两个角，一个画得大、一个画得小，是不是画得大的那个角就更大？不一定。

要点：角是「张开的程度」，不是「画得多大」。这一点最容易看错，也最值得记住。

画角

画一个角，三步就够了。请拿出直尺和铅笔，跟着画一个：

画完以后自己检查：顶点只有一个吗？两条边都是直的吗？两条边是不是都从这个顶点出发？

要点：会画直角，等于随身带了一把「方正的尺」。以后画长方形、正方形都靠它。

数角与辨角

比直角的时候，顶点一定要对准，一条边一定要贴住——做慢一点，判得才准。

做活动角：张开与收拢

用两根硬纸条和一枚图钉，做一个能开合的活动角：

玩完想一想：活动角能开能合，可它的「形状」始终是一个角。变的是张开的大小，不变的是角的身份。

找家里的直角并验证

这个单元的最后一个任务，是当一名「直角侦探」：

做完以后向家人报告一次：我家一共有多少个直角？它们都藏在什么地方？说得越具体，越像一个小侦探。

摆筷子：2 根 2 根地数

开饭了，小杏负责摆筷子。她先数了数家里有几个人：5 个人。

妈妈问她：「您是怎么数的？」小杏说：「一双一双地数呀，五个 2 加起来，2 加 2 加 2 加 2 加 2，等于 10。」

爸爸笑着说：「您这个加法，写得手都累了。如果家里来了 30 位客人，您要写多少个 2 呀？」图图抢答：「我知道！可以用乘法——5 个 2，写成 5 乘 2。」

相同加数一个一个加，太慢了。乘法就是为了「数得快」而发明的办法。

乘法的意义：相同加数的快捷方式

看这一排小圆点：●●　●●　●●　●●，四个 2。

要点：乘法 ＝ 相同加数的快捷写法。看见「几个几」，就要想到乘法。

5 的乘法口诀：一只手五指

伸出一只手，5 根手指。伸两只手，5 加 5，就是 2 个 5。

要点：口诀是「背一次、用一辈子」的好东西。它是古人数百年攒下来的省力办法。

2、4 的口诀

先看 2 的口诀——它最好记，因为它就是「双数」：

再看 4 的口诀。它有一点巧：4 是 2 加 2，所以 4 的口诀，等于把 2 的口诀加两次：

要点：口诀之间不是孤立的，它们互相「搭桥」。会搭桥的人，记得少、用得多。

口诀记法与对答

背口诀有三条小窍门：

背口诀不要贪多。一天记三五句，第二天先回头把那三五句念一遍，再往下走，就稳了。

要点：口诀要「背得出、对得上、用得上」——最后一条最要紧。

口诀填空与看图列式

做 B 组的时候，先用铅笔画一画圈，看清「有几组、每组几个」，再落笔写算式。

口诀扑克对战

两人一副扑克，只留下 1 到 5 的牌（每种 4 张），一共 20 张。开始对战！

玩完想一想：为什么熟练的人总是赢？不是他聪明，是他把口诀变成了「不用想就能说出口」的本能。

数一数家中成双成组的物品

乘法藏在生活里。这个任务，请您当一次「乘法猎手」：

写完以后念一遍您的算式：「有 6 组，每组 2 个，6 乘 2 等于 12。」念对了，才算真的懂。

玩具在转：看到的怎么变

王老师带来一个玩具小房子，把它放在讲台中央，然后慢慢地转了一圈。

三个人看的明明是同一个玩具，说出来的样子却各不相同。王老师问：「谁看错了？」全班都摇头：「都没看错！是他们坐的位置不一样。」

王老师说：「说得太好了。同一个东西，从不同的位置看，看到的形状可能不一样。这节课我们就来学——观察物体。」

眼睛会骗人吗？不会。只是每双眼睛站的地方不同，看到的那一面就不同。

从不同面看同一个物体

一个物体，我们可以围着它走一圈，从很多个方向看它。最常用的有四个方向：

观察的时候有一个规矩：一次只看一个方向。头不动、物体不动，眼睛老老实实地从那个方向看过去，看到的才是真的。

要点：观察要「固定位置」。换来换去地看，记忆就会乱。

谁看到的：辨认视角

下面这道题，请您来当一次「位置侦探」。

老师提问时，可以请三位同学真的站到三个位置去观察，让全班都看到「不同位置不同样子」。

要点：看图猜视角，靠的是「假装自己站在那里」——这是一种很重要的空间想象。

看到的形状一样吗

有时候不同方向看到的样子完全一样，有时候差别很大。我们来分两类：

要点：物体「长得不一样」的地方，正是不同方向看出来不同的地方。抓住这一点，就能猜到答案。

上·前·侧三面观察立体

把几个正方体小方块摆成立体图形，我们可以从三个方向给它「拍三张照片」：

要点：一个立体的东西，用几张「平面的照片」来描述，这就是从「立体」到「平面」的第一步——将来学三视图，说的就是这件事。

连线与判断

做 A 组的时候，先把自己「放」到那个位置上去，闭上眼睛想一秒，再连线。

小摄影师游戏

四人一组，选一件简单的物品（水杯、文具盒、卷笔刀）当「模特」，玩一次摄影比赛。

玩完想一想：为什么「前后」两张画常常很像，而「上面」那张总是不一样？——因为人站着看东西，最习惯的就是「平视」。

拍家中一件玩具的三个角度

这个单元的最后任务，是当一次「家庭摄影师」：

做完以后想一想：如果只给家人一张照片，他猜得准吗？三张一起给他，是不是就好猜多了？把这个体会说给同学听。

竖排的座位：几排几列

开学排座位，王老师让全班在操场上先站好队形：6 排，每排 7 人。

阿禾说：「她数的就是六七的口诀呀！六七四十二。」图图有点发愁：「可是六七、七八、八九这些数最难记，我老是记混。」

王老师说：「难记的，我们就想办法把它变得好记。今天我们把剩下的口诀全部装进口袋，还要看看它们背后藏着什么规律。」

口诀不只是背出来的，更是「看出来」的。看出来的规律，比背下来的字更容易记。

3 的口诀与规律

三个三个地数，就是 3 的口诀：

要点：每一条乘法口诀，都可以从它旁边的口诀「走一步」得到。这是最实用的兜底办法。

6、7 的口诀

难点提示：六七、六八、七九这三条最容易错，今天多念五遍，明天再念五遍，就稳了。

要点：新旧口诀会互相帮忙。学习不是往篮子里加东西，是把东西编成一张网。

8、9 的口诀与记忆规律

要点：规律越清楚，记忆越轻松。9 的口诀是全部口诀里最有规律的一条。

乘加乘减

有时候一组的东西并不整齐。比如一行有 5 个位置，坐了 4 行满的，第 5 行只坐了 3 人。一共坐了多少人？

要点：算的时候要记住——先算乘法，再算加减。乘法的「力气」比加减大，要排在前面算。

九九表完整版填空

B 组做完，把答错的题号圈起来，抄到「易错口诀清单」上——这个清单下个单元还要用。

九九表寻规律：对称线

把 81 条口诀摆成一张 9 × 9 的方格表（横着是 1 到 9，竖着也是 1 到 9，格子里填乘积）。然后三人一组，找规律比赛：

玩完想一想：一条对称线，省掉了整整一半的记忆量。找规律，其实就是找「可以少干一半活」的地方。

背口诀闯关打卡表

这个任务需要坚持两周。请准备一张打卡表，把口诀分成 6 关，一关一关闯过去：

每天只需要 10 分钟，但要每天都做。中间断了两天，就回到上一关重来一次——坚持比速度更值钱。

班级生日墙：怎样记录不乱

王老师在教室后墙留出一块地方，让同学们贴自己的生日。第二天，墙上贴满了 42 张小纸条，乱糟糟的。

王老师说：「您看，同样这些数据，摆对地方，一眼就看懂了。这就是今天要学的——数据的整理与统计。」

数据不怕多，怕乱。整理，是把乱变成清楚的第一个动作。

画记与统计表

整理数据，最常用的工具是统计表。先分类，再把每一类有多少个记下来。

记录的时候，一边看一边画记号，叫画记。最省事的画记办法是划竖线：

要点：分类清楚，记录整齐，数据就变成能回答问题的消息。

涂格子的条形图雏形

统计表是一串数，比一比还是有点麻烦。如果把它画成一格一格的柱子，就一眼看出多少了。

画的时候要让每一格一样大，格子对齐才能比。这是「画得对」的第一步。

要点：从表到图，是把「数」变成「看得见的高低」。这就是条形图的最初样子。

看图回答与比较

有了统计表和条形图，就能回答很多问题。看下面这份「全班最喜欢的运动」统计：

要点：整理数据不是为了好看，是为了能回答问题。会提问，才算会看表。

「正」字法与数据整理

画竖线有点容易看乱。中国人发明了一个更聪明的记录办法：用「正」字记数。

要点：好的记录方法，能让「数」这件事变得不容易出错。「正」字法就是这样一个巧妙的小发明。

小调查全部通过程

今天全班做一次完整的小调查：「您每天睡多少个小时？」请按下面的步骤，一步一步做完。

调查完想一想：为什么总和一定要等于全班人数？如果不等，说明哪一步出了问题？

投票选游戏日

全班要选一个「游戏日」。五名候选人：跳绳比赛、象棋擂台、数学游园、手工剪纸、故事会。请用「正」字法投票、计票、宣布结果。

玩完想一想：如果有一张票看不清，该怎么办？——弃掉这一票并说明，比偷偷当成某一方，要诚实得多。

统计家人一周吃的水果

这个单元的最后任务，是把统计用到自己家里：

做完以后给家人汇报一次：我统计出家里最爱吃的水果是哪种，一周吃了多少次。问问他们「您猜对了吗」。

自制棋盘：乘法地形图

王老师在黑板上画了一条弯弯曲曲的路线，从「起点」一直通到「山顶」，路上画满了小方格，格子里写着数字：2、3、5、7、9……

小杏看出来了：「格子里的数字都是乘数！是不是掷到几，就乘格子里那个数？」王老师点头：「正是。这个单元我们不学新知识，我们把学过的口诀，变成一盘能下、能赢、能输的棋。」

学过的口诀，如果不拿来用，就像买了一把好锄头却放在屋里生锈。今天把它搬到棋盘上。

掷骰走格：答对口诀才能走

乘法棋的规则只有五条：

开始前先约定好：答错要不要重答？说错一个字算不算错？约定清楚，后面才不吵架。

两局热身

先跟同桌试玩两局，目的是熟悉规则，不是争胜负。

要点：热身局不是为了赢，是为了搞清楚「我哪里还不熟」。把不会的找出来，比多赢两局值钱。

卡住对手的口诀弱点

玩了几局之后，您会发现一件很有意思的事：这个棋的胜负，一半靠口诀，一半靠观察对手。

要点：游戏里除了「算得快」，还要「想得远」。这就是策略——先看清局面，再决定这一步怎么走。

双骰乘法升级版

玩熟了单骰，就升级：用两颗骰子。

要点：难度不是麻烦，难度是让本事显出来的地方。您能算到哪一步，您的水平就在哪一步。

我的口诀弱点图

玩过几局之后，把答错的情况统计一次，画出属于自己的「弱点图」：

要点：弱点不可怕，看不见弱点才可怕。会给自己找弱点的人，进步最快。

班级乘法棋淘汰赛

全班来一次乘法棋锦标赛。规则很简单，气氛很热闹。

玩完想一想：为什么比赛要设「最讲道理奖」？——因为会赢的人很多，能说清自己怎么赢的人很少。

与家人对局并记录胜负

这个单元的最后任务，是把乘法棋带回家：

下完最后一局，请家人给您签个名。下次上课我们开一个「家庭对局分享会」，说说最有意思的一局。