游戏数学·二之冬

春秋时期「九九歌」的故事

两千多年前的春秋时期，各国之间常有使者往来。有一次，一位齐国的使者去见一位很有学问的人，想考考他。

使者非常惊讶：「连我都只能背个大概，您怎么记得这么熟？」那人说：「这首歌，我们村里的孩子都会唱。它叫九九歌——就是今天的乘法口诀。」

王老师讲完这个故事，问全班：「这首歌为什么能传这么久？」图图说：「因为它有用啊！买菜、分东西、算人数，哪一样不用它？」

这个单元，我们不去学新口诀，我们把九九歌玩起来——接龙、点背、擂台，一样一样试。

口诀接龙规则

口诀接龙，四个人一组，只要一张九九表和一套规则：

开始前先定好：三秒怎么数？可以一起轻轻念「一、二、三」，念完还没答就算错。

按行接龙

第一次玩，先不许乱挑，改成一个整齐的玩法：按行接龙。

要点：按行接龙的目的是先找出「哪一条不熟」。找出来了，后面才好专门练。

难点口诀专攻：三七、六八

全班统计下来，最容易错的就是那么几条。我们来专门收拾它们。

要点：难记的东西，不要硬背，要找一条「能走上来的路」。会走路，就不怕忘。

倒背与点背

背得顺，还不算本事。倒着背、随便点着背，才叫真会。

要点：从「照着念」到「随便问」，中间隔着一道坎。跨过去，口诀才真正属于您。

易错口诀清单

玩了这么多局，把自己错过的全部抄一遍，整理成一张清单：

要点：这张清单别扔掉。下个阶段的每一步，都可以从它开始练起。

口诀擂台赛

全班分成四队，在黑板前摆开擂台，来一场口诀闯关赛。

玩完想一想：为什么「反转出题」这一轮最有意思？——因为出题的人要先站到别人的位置上，想清楚「他会错在哪里」。

教家人玩口诀接龙

这个单元的最后任务，是当一次「小教练」：

教别人是最好的复习。教的时候要慢一点、多鼓励，说对了要马上表扬——这是小教练的本事。

分月饼：怎样分才公平

中秋节，桌上摆着 8 块月饼，家里有 4 个人。小杏自告奋勇来分。

图图说：「我明白了！要让每个人都一样多，才叫公平。」王老师点头：「这就是今天要玩的一种分法——平均分。它的意思是：每一份，同样多。」

数学里最朴素的公平，就是这四个字：每份同样多。

平均分：每份同样多

「平均分」听起来像大词，其实规则只有三句：

玩游戏时要有一个约定：每分一次，就把三句话念一遍——「一共几个、分成几份、每份几个」。

分物游戏：12 颗豆分一分

请每人准备 12 颗豆子（或 12 颗棋子、12 根小棒）。我们来分三次。

要点：平均分有两种问法——「分成几份」和「每份几个」。这是将来学除法的两条不同的路。

一颗一颗轮流分

一下子分不准怎么办？用最稳的办法：一颗一颗轮流分。

要点：「一颗一颗轮流分」慢，但从来不会错。想快之前，先用慢办法把道理摸清楚。

分不完的情形：剩一个怎么办

如果把 13 颗豆平均分成 4 份，会怎么样？

要点：「分不完」不是失败，它是平均分的另一半故事。下个学期学除法，这一颗余数会成为主角。

平均分与不平均分对比

玩过几局之后，把「平均分」和「不平均分」摆在一起比一比：

要点：复盘时最该问的一句是——「我这一盘比那一盘多吗？」多一个也不算平均。

分豆速度赛

两人一组，一堆豆子（30 颗），来一场分豆竞速赛。

玩完想一想：为什么有剩余的那一局最难？——因为手里的动作要停，心里的判断还要跟上。

把果子平均分给家人

这个单元的最后任务，是在家里真的分一次：

如果有余下的，就把余下的留给今天最辛苦的人——这也是「衰分」里的老规矩：数量一样多，心意可以不同。

春节的窗花：两边一样

过年了，奶奶剪窗花。小杏蹲在旁边看：奶奶把一张红纸对折起来，「咔嚓咔嚓」几剪刀，再展开——纸上出现了一棵两边一模一样的小树。

图图凑过来看那张纸，把红纸沿着中间那条折痕对了一对：「真的！左边和右边一模一样，像照镜子。」

王老师说：「各位读者的眼睛真准。像这样沿一条线对折，两边能完全重合的图形，叫做对称图形。今天我们就一边剪窗花，一边把对称看懂。」

对称不是数学家的发明，它是过年时贴在窗上的红纸，是每个人一看就爱的样子。

对折剪纸法

对折剪纸，规矩只有四句：

开始前先练一次「空折」：把纸折好、展开、再折好，感受那条折痕在哪里。心里有轴，手上才准。

剪对称小树·爱心

第一次剪，剪两个最简单的图形，感受「一刀变两刀」的乐趣。

要点：对称图形有「一半」，也有「镜子」。折起来能重合，展开来有两边——这两句话，是判断对称的两把尺子。

折两次剪一剪

折一次，得到两边对称。折两次呢？

要点：折的次数越多，剪出的形状越复杂。策略就是：先想清楚「会变出几个」，再动剪刀。

多次折叠的放射对称

如果换一种折法——不是对折两次，而是把纸围着中心「转着折」，会剪出什么？

要点：雪花为什么好看？因为它绕着中心转一转，样子还是原来那样。大自然用对称做设计，我们用剪刀把它模仿出来。

展开图的预测

剪纸里最有意思的一步，是「展开之前先猜一猜」。玩过几轮之后，来一次专门的预测复盘：

要点：预测－展开－对照，这三步就是数学里的「猜想与验证」。剪纸是它的游戏版。

剪纸创意赛

全班来一次剪纸比赛，比创意，也比「讲得清」。

玩完想一想：为什么「讲得清」也算分？——因为只有讲得清，别人才学得会；学得会，您的剪法才真的存在过。

剪一幅对称窗花贴窗上

这个单元的最后任务，是剪一幅真正的窗花，把它贴到家中的窗上：

贴好以后请家人猜：这幅窗花是怎么折的？猜中了，说明您的作品「讲得清」；猜不中，您就来当一次小老师。

出发和到达：路上多久

周六早上，小杏要去外婆家。妈妈在小黑板上写下两个时间：

小杏盯着这两个数看了一会儿，说：「不知道……这两个时间又不能相减，钟表又不是数字。」阿禾也皱眉头：「要是时间也是钱就好了，钱就能减。」

王老师笑了：「其实时间也能算。钟面上的每一格，都有它的长度。今天这一单元，我们就来学会算『过了多久』——这是每个人一生都要用的本事。」

时间摸不到、看不见，可它走得极有规律。有规律的东西，就能计算。

经过时间＝结束−开始

算「经过了多少时间」，规矩只有四句：

记住这句话的写法：经过时间 ＝ 结束时间 − 开始时间。它和「剩下的 ＝ 总数 − 用掉的」是同一个道理。

整点经过时间三题

先做三道最简单的，专门练整点，把道理走顺。

要点：先把整点算熟，再碰半点。一步一步走，比一上来就做难题可靠得多。

数钟面格子的方法

遇上不整齐的时间，最稳的办法是数格子。

要点：算时间最忌讳「硬减」。先凑到整点，再算零头，两段相加，又快又准。

半点与分段问题

难一点了。请准备好纸笔，一步一步来。

要点：复杂的时间问题，其实只是「几段小时间加在一起」。切开来算，就不难了。

易错点：时针走过 12

算时间最容易掉进去的坑，是时针走过 12 的时候。

要点：时间题的错，九成不是「不会」，而是「漏了一段」或者「忘了加零头」。验算能救回来。

时间题抢答赛

两人一组，一副题卡，来一场时间题抢答赛。玩法简单，节奏要快。

玩完想一想：为什么答错要倒扣？——因为抢答不只比谁快，还比谁稳。敢抢和敢等，都是本事。

记录自己一天三个时段用时

这个单元的最后任务，是给自己算一次「时间账」：

算完以后和同学比一比：谁的睡眠时段最长？大家的答案为什么不一样？——同样的时间，各人的用法不同。

洛书复习与新谜题

王老师在黑板上画了一个九宫格，很快填上 1 到 9，让每行、每列、每条对角线上的三个数加起来都一样。

王老师说：「洛书我们已经玩过了。今天我们玩它的兄弟——数阵图。数阵图不是要求每一行都相等，而是要求每条边上的数加起来相等。」

图图看着黑板上的三角形发愣：「每条边加起来一样？那怎么填呀？」王老师笑着说：「别急，我们先弄清规则，再找一个最要紧的位置下手。」

从洛书到数阵图，变的是规矩，不变的是那句话：找对下手的地方，难题就变成小题目。

数阵图：每边和相等

数阵图的规矩只有四条：

开始前先问自己两句：这个图一共几个点？哪几个点是公共点？想清楚这两个问题，再动手。

三角形数阵

第一关：三角形的三个顶点，填 1、2、3，使三条边上的和都相等。

等一下——这说明三角形只有三个点的时候，1、2、3 是填不成的。那怎么办？

要点：填数阵时，最先要试的不是「随便填」，而是「把大数放大数放在哪里」。位置选对了，后面就顺了。

先填重复使用的数

数阵图有一条特别好用的策略：先填被重复使用的数，也就是先填公共点。

要点：先算「目标值」，再填数。心里有一个明确的目标，填起来就不乱试了。

十字数阵与四角数阵

换个图形，策略还是一样。

要点：图形变了，招数没变。抓住「公共点」这一条，多少种数阵都能上手。

尝试与调整的过程

做数阵图，没有一次就成功的。重要的是把「试错的过程」记下来。

要点：会复盘的人，第二次尝试比第一次聪明。这就是「越玩越会」的秘密。

数阵填空竞赛

全班进行一次数阵竞赛，分四轮，难度一级一级往上走。

玩完想一想：为什么「说出方法」比「填对答案」分更高？——因为方法的用处，比一道题的答案大得多。

自制一道数阵考家人

这个单元的最后任务，是自己当一次出题人：

出题最大的收获是：您开始明白，题目为什么会长成那个样子——这是从「会做」到「会想」的一大步。

一根火柴救活一道算式

课间，图图在桌上用火柴棒摆了一道算式，愁眉苦脸：

三个人围着桌子看了半天。小杏忽然伸手，把加号中间那一竖拿起来，插到「6」的右上角——「6」变成了「8」，加号变成了减号。算式成了 8 － 4 ＝ 4，对了！

王老师正好走过来，笑着说：「这一根挪得很聪明。今天我们就玩这个——火柴棒算式。它的乐趣在于：只动一根，就能把错的变成对的。」

数学里有一句话：变与不变。火柴棒游戏，正是这句话最好玩的练习场。

数字火柴拼法与移动规则

玩之前先弄清两件事：数字怎么摆，动哪几根。

摆的时候用火柴、牙签或小纸棒都行，一定要摆出来，别只在脑子里想。

移一根使等式成立

三道热身题，每题都只移动一根火柴棒。请一定动手摆出来。

要点：一根火柴有时只改一个数字，有时同时改两个。摆出来、动手挪，比盯着看快得多。

先看两边差多少

火柴棒算式有策略，不是乱试。

要点：先算差距，再看哪里能补。有方向的试，比瞎挪省力十倍。

去一根·添一根

移一根玩熟之后，换两种玩法：

要点：每增加一根火柴的自由度，难度就上一个台阶。稳着来，才玩得久。

常见数字变形一览（0↔6↔9）

把常见的变形记下来，下次玩起来就快。先看清「哪几个数是一根之差」：

要点：熟记变形，等于手里多了一本字典。题目千变万化，用到的变形就那么几对。

火柴算式攻防赛

两人一组，一人出题一人解，来一场攻防赛。

玩完想一想：出题比解题难在哪里？——解题只要找到一条路，出题要把别的路都堵掉，只留一条。

给家人出一道火柴题

这个单元的最后任务，是当一回家里的「出题人」：

下一节课，把您的题目和火柴带来，全班开一个「火柴擂台」——您出一道，让别人来解。

四张牌算 24：经典游戏

放学后，小杏、阿禾、图图三个人在课桌边玩一种老游戏：从扑克里抽出四张牌，用牌面上的数算 24。

小杏忽然说：「5 加 3 减 2 等于 6，4 乘 6 就是 24！」三个人一起验算了一遍，果然对。

王老师走过来看了一眼桌上的牌，笑着说：「这个游戏叫二十四点。它的规矩只有一句：四张牌，每张都用一次，算出 24。今天我们就把它玩明白。」

四张牌、一个目标，却能生出千变万化的路——这就是数学游戏最迷人的地方。

使用加减乘与括号

二十四点的规矩一共有五条：

开始前约定一件事：答案写在纸上才算数，光说「我算出来了」不算——这样才公平。

[2,3,4,5] 等易题热身

先用三组熟悉的牌热身，把规矩走顺。

要点：热身题里每一道都要验证。热身的目的不是赢，是把「每个数都用一次、结果正好 24」这条底线记牢。

凑数习惯：先找 3×8、4×6

二十四点有策略，熟手都是这么想的：

要点：先想「24 可以拆成谁乘谁」，再想「手上的牌能不能凑出这两个因数」。有目标地凑，比乱试快得多。

需要括号的题

有些牌，不加括号就算不出来。这一类题最考脑筋。

要点：括号不是装饰，它是「改变先后」的工具。想清哪两个数要先算，括号就自然出现了。

一题多解欣赏

二十四点最有意思的地方是：同一组牌，往往有几条不同的路。拿 1、2、3、4 来说，我们至少能找出三条：

要点：一题多解不是炫技，它告诉我们：答案只有一个，路却有很多条。

小组二十四点循环赛

四人一组，一副扑克（只用 1 到 9 的牌），进行循环赛。

玩完想一想：合作局里，为什么「先说出来的那个人」往往不是最后想到好办法的人？——因为想得快和想得巧，是两种不同的本事。

与家人玩一轮并记下最难题

这个单元的最后任务，是把二十四点带回家：

下节课开一个「最难局挑战会」：每人带来一组自己觉得最难的牌，写在黑板上，看谁先攻下来。

冬令营开幕：任务地图

学期末，教室里挂起了一张大大的手绘地图：地图上有六个小摊，每个摊子旁边都画着一个图标——数字、月饼、圈圈、火柴、方块、红纸。

图图盯着地图找自己的名字：「我在第三队，我们的路线是先从九九歌摊开始。」小杏在算积分：「每摊满分是 10 分，六摊就是 60 分，再加上团队合作分……」

阿禾举手问：「老师，要是过不去怎么办？」王老师笑着说：「过不去就记下来，回头我们专门练它。营地不是考您，营地是让您看清自己学到了哪儿。」

这一单元是本学期游戏册的收官。六个摊子，就是这半年我们玩过的六件事。

营地任务卡与积分

营地规则很简单，但有五条要记清：

开局前先推举一名「统筹员」：他负责看时间、安排谁先上哪一摊，也负责在任务卡上记分。

摊①九九歌②平均分

营地从最容易的两摊开始，让每队先热起来。

要点：先易后难。头两摊热身顺利，全队的士气就起来了，后面两摊才跑得动。

摊③数阵④二十四点

营地走到一半，难度上来了。这两摊要用策略。

要点：这几摊光靠一个人快没用，要有人分工、有人验算。团队配合好了，八分钟能干不少事。

摊⑤火柴⑥对称

最后两摊，一摊动手，一摊动眼。

要点：到这第四关，比的已经不是「会不会」，而是「稳不稳」。慢一点、想清楚再动手，反而更快。

营地战报

六个摊走完，每队把任务卡上的分数汇总，写出自己的战报：

要点：战报不是排行榜。它是一张「体检表」，告诉您下学期该往哪儿使劲。

团队积分赛

营地休息之后，来一场收官赛：团队积分赛。

玩完想一想：为什么最后一轮叫「讲清分」？——因为能玩会算的人有很多，能讲明白的人很少。讲明白，才说明您真的懂了。

寒假每日一题打卡

营地的最后一个任务，把寒假的每一天变成一小步：

打卡不为名次，为的是别让手感冷掉。哪怕只做一道最小的题，也比空着一天强。