九章格数学 PhiloMath · K2C 正文 · P 段
分与合
P2-3 · 春季下册（编目代号 P2-3）· 主轴：衰分 · 方田 · 正文编写版 · 已完成 72/72 页 · 2026-09-16
小学低段 · 二年级72 页 ＝ 8 单元 × 9 页体例：导入＋精讲＋练习＋思想卡＋游戏主轴：衰分 · 方田
〇体例说明（写给小读者和家长）
体例
本书怎么读：一个单元九页
全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；＋ − × ÷ ＝ 各就各位；上标用小肩数字，如 1 米＝10 分米、1 千米＝1000 米。长度单位：千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）；面积单位：平方米（m2）、平方分米（dm2）、平方厘米（cm2）。
一全册目录（八个单元 · 每单元 9 页）
- p.1–9第 1 单元 除法与平均分
- p.10–18第 2 单元 图形的运动（平移与旋转）
- p.19–27第 3 单元 万以内数的认识
- p.28–36第 4 单元 克与千克
- p.37–45第 5 单元 表内除法
- p.46–54第 6 单元 混合运算
- p.55–63第 7 单元 推理初阶
- p.64–72第 8 单元 游戏站：数独进阶
第 1 单元 · UNIT 1
除法与平均分
p.1–9 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.1导入
熊猫分竹笋：12 个平均分
动物园里，饲养员往熊猫馆里放了一筐竹笋，一共 12 个。馆里有 3 只熊猫。
第一只熊猫冲过来抢走了 6 个。另外两只急得直叫。饲养员赶紧把竹笋收回来，重新分了一次——每只熊猫 4 个。三只熊猫都安静了，各自抱着竹笋啃起来。
图图看着这一幕说：「原来熊猫也知道要平均分呀！分得不公平，它们就闹。」
王老师点头：「没错。平均分不只是数学题，它是所有活物都懂的道理。上学期我们用手一颗一颗地分，今天我们要学一件新工具——把平均分写成算式。」
12 个竹笋平均分给 3 只熊猫，每只 4 个。这句话，可以写成一个式子。
p.2精讲
除号 ÷ 的诞生：平均分的算式
平均分这件事，古人早就会做，可要写成算式，得感谢一位三百多年前的数学家。
除号 ÷出现在 1659 年，一位名叫约翰·拉恩的数学家在书里第一次用了它。他说这个符号的意思很清楚：一条横线，上下各一个点——把上面的东西，分到下面去。
12 ÷ 3 ＝ 4 读作：12 除以 3 等于 4。
意思是：把 12 平均分成 3 份，每份是 4。
被除数12，是要分的总数，写在除号前面。
除数3，是份数，写在除号后面。
商4，是每一份的个数，写在等号后面。
再念一遍。「12 除以 3 等于 4」——念的时候在心里想三句话：总数 12、分成 3 份、每份 4 个。三句话齐了，才算读懂了这个式子。
要点：除法算式不是一串符号，它是「平均分」这件事的简写。念算式时要念出它的意思。
p.3精讲
两种分法：按份数分／按每份数分
平均分有两种问法，写出来的算式也不一样。
第一种·按份数分12 个竹笋平均分成 3 份，每份几个？——写成 12 ÷ 3 ＝ 4，问的是「每份几个」。
第二种·按每份数分12 个竹笋，每份 4 个，能分成几份？——写成 12 ÷ 4 ＝ 3，问的是「能分几份」。
看谁在后面「分成几份」这种问法，份数写在除号后面；「每份几个」这种问法，每份的个数写在除号后面。
练习读题。① 把 8 颗糖平均分给 4 个小朋友，每人几颗？——8 ÷ 4 ＝ 2。② 8 颗糖，每人分 2 颗，能分给几个人？——8 ÷ 2 ＝ 4。
比一比。两个算式里的数相同，意思却不同。做题目之前，一定要先问自己一句：题目问的是「每份几个」，还是「分成了几份」？
要点：同一个总数，两种分法。分清问的是什么，才能写对算式。
p.4精讲
除法与乘法互逆
二年级的小杏发现了一件很有意思的事：
4 × 3 ＝ 12 12 ÷ 3 ＝ 4 12 ÷ 4 ＝ 3
看这三个式子。一个乘法、两个除法，用的是同样三个数。只要知道其中一个，就能推出另外两个。
乘法是「合」4 份，每份 3 个，合起来是 12 个。
除法是「分」总数 12，分成 3 份，每份 4 个——正是走回去的路。
一个对应每一句乘法口诀，都能变成两个除法算式。三四十二，就同时管着 12 ÷ 3 ＝ 4 和 12 ÷ 4 ＝ 3。
把 2 到 9 的口诀各写一句，在下面写出对应的两个除法算式。写十条，您会发现自己已经会做除法了。
要点：乘法和除法是一对「来回走」的运算。想到乘法，除法就已经站在旁边了。
p.5精讲
用口诀求商
既然除法靠乘法就能算，那么求商的办法就很清楚了：想一句口诀。
算 24 ÷ 6。想：几六二十四？——四六二十四。所以 24 ÷ 6 ＝ 4。
第一步·看除数除数是 6，就在 6 的口诀里找。
第二步·找被除数6 的口诀里哪一句的得数是 24？——四六二十四。
第三步·读出商口诀里另一个数就是商，所以商是 4。
再试两道。① 35 ÷ 7：想「五七三十五」，商是 5。② 72 ÷ 8：想「九八七十二」，商是 9。
想口诀的时候不许念「几乘几」——要直接念口诀。念口诀比列乘法快得多，练熟了就是一口答出来。
要点：乘法口诀不只管乘法，它同时也是除法的算表。一张表，两样用。
p.6练习
看图写除法算式
A 组·写算式 ① 15 颗棋子平均分成 3 堆，每堆几颗？算式：（ ）；② 20 个苹果，每 5 个装一袋，能装几袋？算式：（ ）。
B 组·用口诀求商 ① 18 ÷ 2 ＝ （ ）；② 24 ÷ 4 ＝ （ ）；③ 42 ÷ 6 ＝ （ ）；④ 63 ÷ 7 ＝ （ ）；⑤ 56 ÷ 8 ＝ （ ）。
C 组·一个乘法配两个除法 由 5 × 6 ＝ 30，写出两个除法算式：（ ）和（ ）。
D 组·想一想 小华说：「18 ÷ 3 和 18 ÷ 6 的答案一样。」他错在哪里？说说您的判断理由。
A 组写完以后，把每道题在纸上画一画圈：先画总数，再按题目意思圈出份数。画对了，算式就不会写错。
p.7思想卡
p.7
思想卡·〔衰分〕除法是乘法的逆行
给家长和老师的话：除法对二年级的孩子并不容易，因为它是「倒着想」的运算。请务必让孩子先把「平均分」动手做过，再来写算式——用手分过一次，除法就不再是背出来的符号。
九章小语：《九章算术》第一章〈方田〉里有一句很朴素的话：「术曰：以亩法二百四十步除之。」——要把步化成亩，就得「除」。古人把「除」当成一种把大数化成小单位的手段。分之，是为了可以比较；除之，是为了可以换算。今天学的除法，正是这条路的起点。
把一句话带回家：除法不会凭空出现，它只是乘法倒着走的那一段路。
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p.8游戏迁移
分物卡片游戏
准备一副卡片：一边写总数（12、18、24、36……），一边写分法（平均分成几份 / 每份几个）。两人一组玩起来。
第一步·抽卡一人抽一张总数卡、一张分法卡（比如「18」和「平均分成 6 份」）。
第二步·说算式抽出的人必须在五秒内说出除法算式与答案：「18 除以 6 等于 3。」
第三步·验算另一位当裁判，用乘法验算：3 乘 6 是不是等于 18？对了得 1 分。
第四步·交换五轮之后互换角色，谁分高谁赢。
升级玩法·反向出题。裁判只报答案和其中一个数，比如「答案是 4，除数是 6」，让对手说出被除数是多少——这就要倒着想，难度一下子大了不少。
玩完想一想：为什么「倒着想」比「顺着算」难？——因为倒着想的时候，您要在口诀表里反向找数据，这比顺着念要费脑筋。
p.9游戏·任务
把橘子平均分给家人并写算式
这个单元的最后任务，是在家里真分一次，并把过程写成算式：
任务 1·数一数找出家里的橘子（或糖果、饼干），数清一共有多少个。
任务 2·分一分按家里的人数平均分，真的分一次，请家人检查每份是不是一样多。
任务 3·写算式把您的分法写成除法算式，再写出对应的乘法算式。
任务 4·换一种分法如果每份多放一个，能分成几份？把新的算式也写下来。
做完了把这两句写在纸上带回来：「一共多少个，平均分成几份，每份几个。」下节课我们开一个「分物小展览」，请几位同学讲讲自己家里的分法。
第 2 单元 · UNIT 2
图形的运动（平移与旋转）
p.10–18 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.10导入
升旗与风车：两种运动
周一早上，全校在操场升旗。小杏盯着红旗往上看，一直看到旗子升到杆顶。
升旗的时候，红旗是沿着旗杆直直往上走的，一点儿也没有转头、没有转身。
课间的时候，图图拿着一个纸风车在走廊里跑。风车没有离开原来的位置，可是它的四个叶片一直绕着中间那个小钉子转圈。
王老师让大家把这两件事比一比：「升旗和风车转，有什么不一样？」阿禾说：「一个是一直往前走，一个是原地转圈！」王老师点头：「说得很准。今天我们就学这两种最基本的运动——平移和旋转。」
数学里的运动，不管多花样，说到底只有两种玩法：直着走，和绕着转。
p.11精讲
平移：直线滑动
一个图形沿着直线移动，自己一点也不转动，这叫平移。
平移的三个特点
① 走的路线是直的；② 图形自身不转方向；③ 移动前后，图形的形状和大小完全一样。
往上平移电梯上升、红旗上升、气球升空。
往下平移电梯下降、吊篮缓缓放下。
往左、往右平移推拉抽屉、地铁车厢往前走、火车在直轨上开。
动手做一次。把数学书平放在桌面上，沿着桌沿慢慢地往右推一段——书动了，可书上的字还是朝着原来的方向，一个也没有倒过来。这就是平移。
判断是不是平移，问一句：它有没有转过身？没转身，只走了路，就是平移。
要点：平移是「老老实实走直线」的运动。它改变位置，不改变样子。
p.12精讲
旋转：绕一点转圈
一个图形绕着一个固定的点转圈，这叫旋转。
旋转的三个特点
① 有一个固定的中心点，它不动；② 图形绕这一点转动；③ 转动前后，形状和大小也完全一样。
钟表的指针绕着表盘的中心转，中心点一动也不动。
风车的叶片绕中间的小钉子转，转得越快越好看。
旋转门、摩天轮都是绕着中心转的，只是快慢不同。
动手做一次。把三角尺平放在桌上，用一根手指压住它的一个角，另一只手轻轻推它的另一个角，让它转过来——尺子绕着您手指那一点转了。这就是旋转。
判断是不是旋转，问一句：有没有一个点一直不动？有一点不动、别的都绕着它转，就是旋转。
要点：旋转是「绕着一点转」的运动。它也不改变样子，只改变朝向。
p.13精讲
判断生活中的运动方式
生活中这两种运动常常一起出现。我们一起来分一分。
| 看到的运动 | 是平移还是旋转 |
|---|
| 升旗 | 平移（直直上升） |
| 拧开水龙头 | 旋转（绕轴转） |
| 推拉窗户 | 平移（左右滑动） |
| 风扇转动 | 旋转（绕中心转） |
| 汽车在直路上行驶 | 平移（车身不转身） |
| 转动方向盘 | 旋转（绕中心转） |
有点难的例子。车轮往前滚，是平移还是旋转？——车轮自己是在旋转，可整辆车是在平移。同一个东西，可以两件事同时发生。
要点：判断的钥匙只有两句话——「直着走」还是「绕着转」；「有没有一个点一直不动」。
p.14精讲
在方格纸上平移图形
在方格纸上，我们可以把平移说得非常精确：往哪个方向、走几格。
第一步·选一个点在图形上找一个明显的点（比如一个顶点），盯着它看。
第二步·数格子从这个点出发，数它要移动几格。注意：数的是它走过的格子数，不是数到第几条线。
第三步·照样子画把这个点移到新位置，再按照原来的形状，把整个图形照着画出来。
举个例子。一个三角形要往右平移 4 格：把三个顶点都往右数 4 格，点上新的三个点，再连起来。画出来的新三角形，跟原来的大小、朝向完全一样。
最容易错的地方是「数格子和数线」混了。口诀记牢：格数要数整格的跨度，从原来那个点出发，跨过几格就到新位置。
要点：用方格纸说平移，就像用尺子说长度——把「感觉」变成了「准确的说法」。
p.15练习
分类与画图
A 组·分一分 把下面这些运动分成两类（平移 / 旋转）：① 电梯上升；② 时钟的分针走动；③ 拉抽屉；④ 转陀螺；⑤ 传送带运货；⑥ 拧螺丝。
B 组·说一说 ① 您为什么说「电梯上升」是平移？把理由说完整。② 旋转的时候，哪一个点是不动的？
C 组·画一画 在方格纸上画一个三角形，再把它向上平移 3 格、向右平移 2 格，画出新的位置。
D 组·想一想 平移和旋转，哪一个把图形的形状改变了？说说您的理由。
做 C 组的时候，先数准一个顶点的格子数，再照样子把其余两个顶点也数好。三个点都点对了，线就不会画歪。
p.16思想卡
p.7
思想卡·运动不变的是形状本身
给家长和老师的话：平移和旋转是孩子最早接触的「变换」。请多让孩子用手推、用手转，亲眼看见「动了，但形状没变」——这个体会是将来学全等、相似的地基。动手一次，胜过看十张图。
想一想：红旗升到杆顶，它变了什么？——位置变了。它没变什么？——大小和形状都没变。数学很在意「变了什么，也留意没变什么」。找到不变的东西，往往就找到了规律。
把一句话带回家：东西可以移动，可以转身，但它还是它自己。
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p.17游戏迁移
人体做平移与旋转
不用纸笔，用身体做运动，全班一起玩。
口令一·平移「全体向右平移两格」——每人横着走两步，身体不许转身，脸一直朝前。
口令二·旋转「全体顺时针旋转 90 度」——原地转身，脚尖不动，只转身体。
口令三·混合「先向前平移一步，再旋转 180 度」。做错的人站出来当下一轮的口令员。
口令四·双人版两人手拉手，一起做平移、一起做旋转。谁转身了，谁就出局。
一个有趣的问题。如果把「向左平移两步」和「向右平移两步」连着做，最后站在哪里？——回到原地！原来平移是可以「反过来」的。
玩完想一想：为什么平移的时候大家不容易出错，旋转的时候反而容易乱？——因为转身要求身体「有轴」，而轴在心里，是看不见的。
p.18游戏·任务
找家中平移与旋转的例子各三个
这个单元的最后任务，是当一名「运动侦探」：
任务 1·找平移在家里找出三个平移的例子（抽屉、柜门、窗帘、电梯、扫地机器人的直线行走……），写清是什么东西、往哪个方向平移。
任务 2·找旋转再找三个旋转的例子（水龙头、门锁、风扇、钟表指针、搅拌机……），写清绕着哪一点转。
任务 3·动手演用一本书、一支笔，给家人演示一次平移和一次旋转，要用动作说清区别。
任务 4·找特例找一个「既平移又旋转」的例子，说说两部分分别是什么。
| 是什么运动 | 什么东西 | 朝哪个方向／绕哪一点 |
|---|
| 平移 | | |
| 平移 | | |
| 旋转 | | |
| 旋转 | | |
下节课开一个「运动分享会」：请三位同学上来演一演自己找到的运动，让大家猜是平移还是旋转。
第 3 单元 · UNIT 3
万以内数的认识
p.19–27 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.19导入
数米粒：一千粒有多少
王老师端来一小袋米，抓出一小把放在讲台上：「猜一猜，这一小把有多少粒米？」
全班开始猜。有人说 100 粒，有人说 500 粒，图图最大胆：「一千粒！」
王老师说：「一粒一粒数太费劲了。我们换个办法。」她请同学们十粒十粒地数，每十粒装成一小包；再十小包装成一大袋。四组同学一起动手，数了一节课——最后数出 1000 粒。
小杏捧着那袋米说：「原来一千粒米才这么一点点！」阿禾笑了：「也对，一袋米里有几万粒，那才叫多呢。」
王老师说：「数大的东西，不能靠一粒一粒数，要靠分组。今天我们就来认识千和万。」
数得越大，越要靠「十个一捆」的老办法。这个老办法，我们已经在十格阵里学过一遍了。
p.20精讲
千位与千：10 个百是一千
我们已经会数到 100 了。100 是 10 个十。再往下走一步：
10 个一 是 一十；10 个十 是 一百；10 个百 是 一千。
一句话：每十个，就往左边升一位。这个规律，从一、十、百，一直延伸到千、到万，永远不会停。
看图想大小一根小棒是 1；十根捆成一捆是 10；十捆装满一板是 100；十板叠成一箱是 1000。
身边的 1000一千粒米、一千张纸、一千步大约是走十分钟的路。一千并不遥远。
一千有多大比 100 大得多，可我们看到 1000 这个数，只用了 4 个数字。为什么？因为每一位都有自己的位置。
要点：10 个一是十，10 个十是百，10 个百是千——「十进位值」这条老规矩，一路管到底。
p.21精讲
万以内数的读写
读大数有两句要紧的规矩，记住它们就不会读错。
规矩一·中间有 0，只读一个「零」。
例如 3047 读作：三千零四十七。
例如 5006 读作：五千零六。
规矩二·末尾的 0，一个也不读。
例如 3200 读作：三千二百。
例如 8000 读作：八千。
写数也一样「三千零五」要写成 3005，注意那个「零」一定要写，占住百位和十位。
最容易错的地方把 3005 写成 305 或 3500。写的时候想一遍数位：三千（千位是 3）、零（百位是 0）、零（十位是 0）、五（个位是 5）。
一起读一读。① 2040 读作：二千零四十；② 6007 读作：六千零七；③ 4500 读作：四千五百；④ 9999 读作：九千九百九十九。
要点：读写的关键在「零」。中间的零要读一个，末尾的零全部不读。
p.22精讲
数的组成与数位顺序
看这个数：3526。它由几个部分凑起来？
3526 ＝ 3 个千 ＋ 5 个百 ＋ 2 个十 ＋ 6 个一
把数位从左到右排好，就是一张数位顺序表：
越往左越大同样的数字，放在不同的位置，表示的大小就不一样。3 在千位表示 3000，在百位只表示 300。
说组成「3526 里面有 3 个千、5 个百、2 个十和 6 个一」——这句话要能一口气说清。
再往前一步数位表还能往左延伸：万位。10 个一千就是一万。
练一练。① 7080 是由几个千、几个百、几个十组成的？② 5 个千、0 个百、9 个十、0 个一，这个数是多少？（答：5090）
要点：数位表是数字的「座位表」。座位在哪儿，分量就在哪儿。
p.23精讲
比大小与近似数
比较两个大数，只要从最高位比起：
第一步·看千位千位大的数就大。例如 4000 和 3200，千位 4 比 3 大，所以 4000 更大。
第二步·千位相同看百位例如 4520 和 4380，千位都是 4，就看百位：5 比 3 大，所以 4520 更大。
第三步·一位一位比下去只要某一位分出大小，后面的就不用再看了。
近似数怎么说。「我们学校大约有 800 人」——真实人数可能是 786 人，也可能 812 人。说「大约 800」的时候，我们用的是最接近的整百数。
比一比这两句话。①「我们班有 42 人」是准确数；②「我们学校大约有 800 人」是近似数。什么时候用哪一个？要准确的时候用准确数，只想知道大概的时候用近似数。
要点：比大小从最高位看起；近似数是「取最近的整百、整千」。两件事都很实用。
p.24练习
读写作数综合
A 组·读一读 ① 2405；② 3060；③ 7800；④ 9009；⑤ 5210。
B 组·写一写 ① 四千零六 → （ ）；② 六千三百 → （ ）；③ 八千零二十 → （ ）；④ 三千零五 → （ ）。
C 组·说组成 ① 4608 里面有（ ）个千、（ ）个百、（ ）个十、（ ）个一；② 由 7 个千、0 个百、3 个十、0 个一组成的数是（ ）。
D 组·比大小 在（ ）里填上「大于」「小于」或「等于」：① 3400（ ）4300；② 5060（ ）5600；③ 8000（ ）8 个千。
B 组写完以后，把每个数放回数位表里对一遍：哪一位是 0，就要写 0 占位，千万别空着。
p.25思想卡
p.7
思想卡·〔方田〕位值让数字无限延伸
给家长和老师的话：孩子记不住 0 的位置，多半是因为没把「位」当成真东西。请让他把数字写进一张数位表里，一格一格填——位站对了，数就对了。数位表是从万到亿一路管到底的工具。
九章小语：《九章算术》〈方田〉里量田，动辄「二百四十步」一亩，成百上千亩地要算总步数；到了〈商功〉，土方更是成千上万。古人能算得这么准，靠的正是「十进」与「位值」这两件工具——只要位置在，多大的数都写得下；只要位置清楚，多大的数也算得清。
把一句话带回家：十个一捆、十个十捆——老办法不花哨，却能让数字一直长下去。
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games/p2-3.html?u=3
p.26游戏迁移
数字炸弹游戏
两人一组，一人心里想一个四位数（比如 3700 到 3800 之间的一个数），另一人来猜。猜一次，出题人只说一句提示。
提示只有三句「大了」「小了」「对了」。猜的人靠这三句话，一步步把范围缩窄。
数一数猜了几次每猜一次记一笔。谁用的次数少，谁赢。
聪明人会怎么猜先猜中间的数（比如 3750），一次就能砍掉一半的可能性。这叫「从中间下手」。
升级玩法把范围改成 1 到 10000，出题人心里想一个数，全班一起猜。看看要用几次才能猜中。
试试看。出题人想的是 3742。您猜 3750——「大了」；猜 3725——「小了」；猜 3737——「小了」；猜 3743——「大了」；猜 3742——「对了」。一共五次。
玩完想一想：为什么「从中间下手」比「从一头一个一个猜」快那么多？——因为每猜一次，砍掉的范围越大，剩下的越少。这就是聪明猜法的秘密。
p.27游戏·任务
查家乡人口数并读出来
这个单元的最后任务，是去查一个真实的四位数（或更大）的数：
任务 1·查一查请家人帮忙，查一查您的家乡（或所在城市的一个区、县）有多少人。
任务 2·读一读把这个数正确地读出来，写在纸上。特别注意有没有「零」，读的时候对不对。
任务 3·写组成写出这个数是由几个万、几个千、几个百、几个十和几个一组成的。
任务 4·比一比再查一个邻近地区的人口数，比一比哪一个多，多多少（说出大概的差距就可以）。
读一个大数的时候，先在心里把它按四位一格分开，再从左往右读——这个习惯养成以后，再大的数也不会读错。
第 4 单元 · UNIT 4
克与千克
p.28–36 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.28导入
一枚硬币与一袋盐：称重
王老师在讲台上摆了两样东西：一枚小小的硬币，一袋白白的食盐。
她先请大家用手掂一掂硬币。「轻得几乎没感觉。」小杏说。王老师把硬币放在一架天平的一端，另一端加了几粒很小的砝码——天平刚好平了。她说：「这枚硬币，大约重 1 克。」
她又请大家掂一掂那袋盐。图图举起来：「这个重多了！」王老师把它放在一台盘秤上，指针停在一个数字上：「这袋盐重 500 克，也就是半千克。」
阿禾忽然说：「老师，那两袋盐合起来，是不是正好一千克？」王老师笑着说：「问得真好。这正是我们今天要弄明白的事。」
看得见的东西很好比长短，看不见的轻重，就得请出一件工具来作证。
p.29精讲
天平与克
要称很轻的东西，用天平。
天平有两个托盘，中间有一根会摆动的指针。
左边放东西，右边放砝码。哪边重，哪边就往下沉；两边一样重，指针就停在正中间，天平就「平」了。
克是称很轻的东西时用的质量单位，可以写作 g。
大约 1 克的东西：一枚回形针、一粒花生米、两粒黄豆。
怎么读天平天平平了，说明左边的物品和右边的砝码一样重。把砝码上的数加起来，就是物品的重量。
为什么要平「平」是重量的「等于号」。看见平，就等于看见了等号。
常见的克一枚鸡蛋大约 50 克，一支铅笔大约 10 克。
要点：天平教我们一件重要的事——「一样重」是可以看得见的。看见它平了，就知道两边相等。
p.30精讲
盘秤与千克
要称比较重的东西，用盘秤（也叫台秤）。只要把东西放上去，指针或数字就会告诉您重量。
千克是称比较重的东西时用的质量单位，也可以写作 kg。
一袋食盐是 500 克，两袋正好是 1 千克。
大约 1 千克的东西两袋盐、四个中等大小的苹果、六枚鸡蛋、一瓶 1000 毫升的矿泉水。
怎么读盘秤先看清一格代表多少克，再看指针落在几，最后读出来。
称完要做的事把东西拿下来，看指针是不是回到 0。不回到 0，称的就不准。
想一想。为什么秤上要有一个「0」？——因为这个 0 和尺子上的 0 一样，是起点。起点不对，读出来的数就全错。
要点：尺子的 0 对长度，秤的 0 对重量。数学里到处都有「起点」。
p.31精讲
1 千克＝1000 克
把 1000 枚 1 克的回形针堆在一起，就是 1 千克。所以：
1 千克 ＝ 1000 克 也常说：1 kg ＝ 1000 g。
例一（千克化克）。妈妈买了 2 千克苹果，是多少克？1 千克是 1000 克，2 千克就是 2000 克。
例二（克化千克）。一袋米重 3000 克，是多少千克？1000 克是 1 千克，3000 克里有 3 个 1000，所以是 3 千克。
例三（比较大小）。1 千克棉花和 1000 克铁块，哪个重？——一样重！因为它们都是「1 千克」。棉花看起来大，是因为棉花松，不是因为它重。
最容易搞错的那句话是「棉花轻、铁重」。要问的是「多重」，不是「多大」——这两件事不是一回事。
要点：记住这句话——1 千克等于 1000 克。它就像梯子中间那一级，千克和克从这里互相走得到。
p.32精讲
估计与验证
称东西之前，先估一估——这是练「重量感」的最好办法。
估的办法一·找参照先想想它跟已知的东西比，是重还是轻：这个苹果比一个鸡蛋重，鸡蛋 50 克，苹果大概 200 克。
估的办法二·用手掂左右手各拿一样东西，掂一掂，哪个沉就是哪个重。练熟了，一掂就能说出个大概。
估的办法三·看包装很多食品的袋子上印着净含量，比如「净含量 250 克」。看一眼就知道，不用称。
估完必须验。把估的数写在纸上，再用秤称一次，把两个数并排写出来。估准了不稀奇，估错了才有收获——差多少，为什么差。
要点：估是猜，称是验。估了不验，永远不知道自己猜得准不准。
p.33练习
选单位与换算
A 组·填单位（克或千克） ① 一个鸡蛋大约 50（ ）；② 一袋米 25（ ）；③ 一枚回形针约 1（ ）；④ 一个三年级小朋友约 30（ ）。
B 组·换算 ① 3 千克 ＝ （ ）克；② 4000 克 ＝ （ ）千克；③ 1 千克 500 克 ＝ （ ）克；④ 2500 克 ＝ （ ）千克（ ）克。
C 组·比一比 在（ ）里填「大于」「小于」或「等于」：① 2 千克（ ）1900 克；② 3 千克（ ）3000 克；③ 800 克（ ）1 千克。
D 组·想一想 爸爸说：「我买了一斤菜，就是 1 千克。」这句话对吗？问问家长「一斤」到底是多少克。
C 组比较的时候，先把两个数换成同样的单位再比——单位不同就不能直接比大小。
p.34思想卡
p.7
思想卡·轻与重也要有统一标准〔方田〕
给家长和老师的话：「棉花比铁轻」是孩子最常犯的直觉错误。请让他亲手掂一掂、称一称同样重量的棉花和铁——手会告诉他答案，比嘴说有效得多。
九章小语：《九章算术》〈方田〉讲的是量田，量的是长短、方寸；要交换、要纳粮，还得量轻重、量多少。古人很早就懂得：凡是要大家认可的量，都得先有统一的标准。缺斤少两会闹出大事，所以历朝都要立「权」（秤砣）与「量」（斗斛），让天下的「斤」都是同一个「斤」。
把一句话带回家：称得准，是做生意最老的规矩，也是数学最老的本分。
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p.35游戏迁移
手掂估重比赛
四人一组，准备若干样小东西（苹果、鸡蛋、文具盒、书、水杯），蒙住眼睛来一场估重比赛。
第一步·掂一掂每人依次用手掂一样东西，不许看秤，悄悄把自己的估计写在小纸条上。
第二步·亮纸条四个人同时亮出纸条，第一个人报数后，其他人不许改。
第三步·上秤称把东西放上秤称一次，看谁的估计最接近。最接近的人得 2 分。
第四步·换着摸轮到下一个同学蒙眼，全部东西轮流掂一遍。五轮之后看总分。
一个进阶玩法。准备两个外观差不多、重量不一样的东西（比如两只大小相近的水杯，一只装了水），让大家掂一掂，猜哪一只重。有时候手感也会骗人——猜错了正好想想为什么。
玩完想一想：为什么掂得多了就估得准？——因为手在心里慢慢攒起了一本「重量对照表」。这就是经验的力量。
p.36游戏·任务
用秤称三样食品记录重量
这个单元的最后任务，是把家里的秤用起来：
任务 1·选三样从厨房里选三样食品：一样很轻（少于 100 克）、一样中等（几百克）、一样较重（超过 1 千克）。
任务 2·先估后称每一样先估一估，写在纸上；再用秤称一次，把结果也记下来。
任务 3·算差多少算出估计值和实际值相差多少克，把相差最小的那样圈起来。
任务 4·写一句用自己的话写一句：重量看不见，但用（什么工具）就能量出来。
下节课带来您的记录表，和同学比一比：谁估得最准？为什么他估得准？——把找到的办法说出来，就是全班的收获。
第 5 单元 · UNIT 5
表内除法
p.37–45 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.37导入
分组游戏：45 人怎么办
体育课要玩分组游戏。全班 45 人，王老师说：「每 5 人一组，看看能分成几组。」
阿禾的做法。他先让 5 个人站一堆，再让 5 个人站一堆……一堆一堆数过去：1、2、3、4、5、6、7、8、9——正好 9 组，一个不剩。
小杏的做法更快。她说：「我想一句口诀：五九四十五。所以是 9 组。」
图图提出了新问题：「老师，如果是 43 人呢？五八四十，还剩 3 个人，那 3 个人怎么办？」王老师点头：「问得好。今天我们就学两件事——怎样用口诀快速求商，以及剩下的那几个人该怎么办。」
求商要快，处理余数要准。这两件事，是除法里最要紧的功夫。
p.38精讲
用 2～5 口诀求商
求商的核心只有一句话：想一句乘法口诀。
算 20 ÷ 4。除数是 4，就在 4 的口诀里找得数 20 的那一句：四五二十。商就是另一个数——5。
20 ÷ 4想「四五二十」，商 5。
35 ÷ 5想「五七三十五」，商 7。
12 ÷ 3想「三四十二」，商 4。
16 ÷ 2想「二八十六」，商 8。
念的方式很要紧。不要念「4 乘几等于 20」，要直接念口诀「四五二十」。口诀念得快，商就来得快。
练法：把 2、3、4、5 的四句口诀表摊开，每念一句就顺手写出两个除法算式。练三天，求商就成了本能。
要点：除法不靠新记忆，靠的是把乘法口诀「反过来用」。
p.39精讲
用 6～9 口诀求商
除数变大，办法不变。
54 ÷ 6。想「六九五十四」——商是 9。
56 ÷ 8。想「七八五十六」——商是 7。
63 ÷ 9。想「七九六十三」——商是 7。
一个提醒6 到 9 的口诀里，得数相同的句子比较多。看到 54，可能是「六九五十四」，也可能是别的？——不一定有，所以要在除数那一行里找，别乱翻。
找不着怎么办把除数的口诀从前往后念一遍：一六得六、二六十二、三六十八……念到哪一句的得数和您手上的被除数一样，商就出来了。
再练三道。① 48 ÷ 6：想「六八四十八」，商 8。② 72 ÷ 9：想「八九七十二」，商 8。③ 42 ÷ 7：想「六七四十二」，商 6。
要点：被除数有多大，就在除数那一行口诀里找到它。会不会找，比会不会算更关键。
p.40精讲
除法竖式初见
口算能解决的，竖式都能解决；口算解决不了的，就得靠竖式。先看清竖式的样子：18÷63618180
三个位置商写在最上面，除数写在左边，被除数写在「里面」。
第一步18 除以 6，想口诀得 3，把 3 写在上面。
第二步3 乘 6 得 18，把 18 写在被除数的下面，数位对齐。
第三步18 减 18 得 0，写在最下面。得 0，说明正好分完。
再看一道。42 ÷ 6：商 7，7 乘 6 得 42，42 减 42 得 0。竖式写出来也一样清爽。42÷67642420
竖式最重要的规矩和加减法的竖式一样：数位对齐。个位对个位，数才不会串位。
要点：竖式是把「分」的过程一步一步摆出来。看懂它，您就知道商是怎么来的了。
p.41精讲
有余数的除法
回到那 43 个人的问题：43 ÷ 5，每人一组 5 人，能分几组？
8
┌──────
5 │ 4 3
│ 4 0
├──────
3
43 ÷ 5 ＝ 8 余 3 读作：43 除以 5 等于 8 余 3。
意思是：能分成 8 组，还剩 3 个人。
为什么商是 8五八四十，八组用掉 40 人；如果填 9，九组要 45 人，人数不够。
余下 3 人怎么办他们不够再组成一整组，所以留在原地。剩下的人数，就叫余数。
一条铁规矩余数一定要小于除数。余下 3 人，除数 5——3 比 5 小，对；要是余下 5 人，就能再组一组，说明商算小了。
要点：余数小于除数，这是除法的「门闩」。门闩一松，答案就不可靠了。
p.42练习
口算与竖式
A 组·口算求商 ① 24 ÷ 4 ＝ （ ）；② 36 ÷ 6 ＝ （ ）；③ 45 ÷ 9 ＝ （ ）；④ 32 ÷ 8 ＝ （ ）；⑤ 27 ÷ 3 ＝ （ ）。
B 组·用竖式计算 用竖式计算。
①856②749③436
C 组·有余数 用竖式算一算，写出商和余数。
①517②629③750
D 组·判一判 下面的答案对吗？错的请改过来。① 23 ÷ 4 ＝ 5 余 3；② 30 ÷ 7 ＝ 4 余 2；③ 19 ÷ 6 ＝ 2 余 7。
C 组做完，每一题都要检查一次：余数比除数小吗？不小就说明商算错了，把商加大 1 再试。
p.43思想卡
p.7
思想卡·余数要小于除数
给家长和老师的话：「余数小于除数」这条规矩，很多孩子能背却不会用。请让他在出错时自己检查：把余数和除数比一比——这一比，他就能自己发现错误，不必等老师批。
想一想：为什么余数不能大于除数？因为只要有足够的数，就还能再分出一份。「不能再分了」，才是余数真正的意思。数学里很多规矩，其实都是「已经到极限了」这句话的写法。
把一句话带回家：分到底、不能再分，剩下的那一点点，就叫余数。
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p.44游戏迁移
找商比赛
四人一组，一副「被除数卡」（1 到 81 的数卡）和一副「除数卡」（2 到 9）。来一场找商比赛。
第一步·同时翻一组翻出一张被除数卡和一张除数卡，比如「54」和「6」。
第二步·抢答四个人同时心算，谁先答出「9」谁得 1 分。答错扣 1 分。
第三步·分不尽的处理如果翻出的数除不尽（比如 50 和 6），要答「8 余 2」才算对——余数也要说准。
第四步·接力每人轮流当「翻牌人」，共比赛 20 张卡，得分最高者赢。
难度调节。只用 2、5、9 当除数，比赛会很快；换成 6、7、8 当除数，就会慢下来——因为 6、7、8 的口诀最不熟。练一段时间，速度自然会回来。
玩完想一想：为什么「有剩余」的题反而更容易错？——因为要多想一步：先算商，再算余数，还要检查余数比除数小。
p.45游戏·任务
全家分组问题实际解一遍
这个单元的最后任务，是把除法用到真实的生活里：
任务 1·找个真问题问问家里有多少人，找出一样要「按人分」的东西（比如饺子、苹果、椅子）。
任务 2·算一算用除法算出每人分多少；如果分不尽，写清余几个、怎么办。
任务 3·动真格真的分一次，看看您的算式对不对得上现实。
任务 4·换个数字如果家里来了 2 位客人，一共几个人？重新算一遍，商变了吗？余数变了吗？
做完写一句话：「我发现除法不只是算式，它还能帮家里把东西分公平。」下节课把这句话说给同学听。
第 6 单元 · UNIT 6
混合运算
p.46–54 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.46导入
先乘还是先加：糖葫芦问题
放学路上，小杏看见卖糖葫芦的摊子。一根竹签上串 4 个山楂，摊子上有 3 串，旁边还单放着 2 个。
小杏算起来了：3 加 2 等于 5，5 乘 4 等于 20。阿禾摇头：「不对不对，应该是 3 乘 4 等于 12，再加 2 等于 14。」两个人算出的数差了 6，谁也说服不了谁。
图图说：「数一数就知道了嘛！」三个人一起数：3 串共 12 个，加旁边 2 个，一共 14 个。小杏脸红了：「我算错了。」
王老师在一旁听着，说：「您不是算错了，您是顺序排错了。算式里如果有乘也有加，先算哪一步，规矩不能自己定。今天我们就来学这个规矩。」
同一个算式，算的顺序不同，答案就不同。所以必须先讲清顺序——这就是「规则」的意义。
p.47精讲
运算顺序：先乘除后加减
算式里有不同的运算时，规矩只有一句：
先算乘除，再算加减。同一种运算，就按从左到右的顺序算。
算 3 ＋ 4 × 5。先算 4 乘 5 等于 20，再算 3 加 20 等于 23。如果先加后乘，就成了 35——那就错了。
算 20 － 12 ÷ 3。先算 12 除以 3 等于 4，再算 20 减 4 等于 16。
算 2 × 6 ＋ 3 × 4。两个乘各算各的：2 乘 6 是 12，3 乘 4 是 12，再加起来是 24。
为什么要这样定因为乘法是「一组一组」的快捷写法。4 乘 5 表示「5 个 4」，它是一个整体；先加进去就把它拆散了。
一个记法乘法比加减「力气大」，所以站在前面先算。
要点：规矩不是为了为难人，是为了让所有人算出同一个答案。共同的顺序，才有共同的结果。
p.48精讲
小括号改变顺序
如果确实要先加后乘，怎么办？请出小括号。
有小括号，先算括号里面的。括号是一位「优先牌」。
比一比这两道。
3 ＋ 4 × 5 ＝ 3 ＋ 20 ＝ 23 （没有括号，先乘）
(3 ＋ 4) × 5 ＝ 7 × 5 ＝ 35 （有括号，先加）
再看一道。(20 － 8) ÷ 3 ＝ 12 ÷ 3 ＝ 4。如果不加括号写成 20 － 8 ÷ 3，就要先算 8 除以 3——除不尽了，题目也就变了。
括号怎么读读作「括号」，写的时候左右成对，不能只写一半。
加括号要讲道理不是随手加的。您是为了让某一步先算，才加它。
写完算式，回头看一眼：我加的括号，是为了让「哪一步」先算？说不出理由，就说明这个括号不该加。
要点：括号是「顺序的开关」。它一出手，规矩就改。
p.49精讲
两步计算应用题
很多生活里的问题，要算两步。看这三道题：
第一题。一盒彩笔 12 元，一本本子 3 元。买 2 盒彩笔和 1 本本子，一共多少钱？
先算 2 盒彩笔：12 × 2 ＝ 24；再加本子：24 ＋ 3 ＝ 27 元。
第二题。车上原有 45 人，到站下车 18 人，又上来 12 人。现在有多少人？
先算下车后：45 － 18 ＝ 27；再算上车后：27 ＋ 12 ＝ 39 人。
第三题。有 24 颗糖，平均分给 6 个小朋友，每人分到几颗？如果每人再多给 1 颗，一共需要多少颗？
先算每人：24 ÷ 6 ＝ 4；再加 1 颗是 5 颗；6 人一共需要 5 × 6 ＝ 30 颗。（这是三步，慢一点没关系。）
第一步永远是读题读两遍：第一遍知大意，第二遍把数圈出来。
第二步是定顺序问自己：先求什么？再求什么？把顺序说出来再动笔。
第三步是写清步骤每一步只做一件事，得数标在下面。
要点：两步题不难，难在「想清先算什么」。先想清顺序，再动笔，就顺了。
p.50精讲
综合算式列法
分两步算出的题，可以合成一个式子，叫综合算式。
看这个例子。小明有 20 元，买了 3 支铅笔，每支 2 元。还剩多少元？
分步：3 × 2 ＝ 6；20 － 6 ＝ 14。
综合：20 － 3 × 2 ＝ 20 － 6 ＝ 14。
再看一个需要括号的。有 30 个苹果，先装 2 盒、每盒 9 个，剩下的平均装 3 袋，每袋几个？
综合：(30 － 2 × 9) ÷ 3 ＝ (30 － 18) ÷ 3 ＝ 12 ÷ 3 ＝ 4 个。
怎么合把第二步里「用到的那个中间结果」换成第一步的算式，再检查顺序对不对。
为什么常常要加括号因为原来第二步是先算的，写在一起以后，得用括号把它「提」到前面去。
合完要验照着综合算式重新算一遍，看结果和分步算的一样不一样。
要点：综合算式是把两三步的意思压进一行。压之前，先想清顺序；压完，一定回头验一遍。
p.51练习
混合运算题组
A 组·先算什么 在下面的题里画出要先算的那一步，再算出结果：① 6 ＋ 3 × 4；② 40 － 5 × 6；③ 18 ÷ 3 ＋ 7；④ 8 × 2 － 9。
B 组·比一比 算出结果并对比：① 5 ＋ 2 × 6 与 (5 ＋ 2) × 6；② 24 ÷ 4 ＋ 2 与 24 ÷ (4 ＋ 2)。
C 组·两步应用题 ① 一本故事书 15 元，买了 3 本，付了 100 元，应找回多少元？② 有 32 个橘子，先拿 8 个给奶奶，剩下的平均装进 4 个袋子，每袋几个？
D 组·列综合算式 把 C 组的第 ② 题列成一个综合算式，并算出结果。
A 组做题时先用铅笔在您准备先算的那一步下面画一条线。画完再算，出错的次数会少很多。
p.52思想卡
p.7
思想卡·规则让运算有秩序〔方程〕
给家长和老师的话：「先乘除后加减」不是死记的规定，而是为了「同一道题人人算出同一个答案」。请让孩子自己发现「3＋4×5 如果不规定顺序，会有两个答案」，他才肯真心服这条规矩。
想一想：如果每个人想先算哪一步就先算哪一步，算式还有用吗？——没有了。别人看您的算式，永远不知道您想说什么。规则的意义，是让陌生人也能读懂您写的东西。
把一句话带回家：有秩序，算式才能被所有人读成同一句话。
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p.53游戏迁移
算式接龙
四人一组，每人发一张白纸。游戏的目标是：接出一个算式，最后的结果正好是 24。
第一步第一个人写一个数，比如「6」。
第二步第二个人接一个运算符号和数，比如「× 3」，得到 18。
第三步第三个人再接着写「＋ 8」，得到 26。
第四步第四个人写「－ 2」，得到 24——成功！如果超过 24，就得想办法用后面的步骤把它拉回来。
规则限制（很重要）。① 每步都要说出当前的结果；② 说出结果时说错就作废；③ 如果结果已经超过 100，这一轮算失败，重新开始。
玩完想一想：为什么「说错一次就作废」这么严？——因为算式是一步一步接起来的，中间错一步，后面全歪。这也是数学里最容易忽略的一句真话。
p.54游戏·任务
超市两步购物算账
这个单元的最后任务，是跟着家人去一次超市，真的算一次账：
任务 1·选三样选三样要买的东西，看清单价。
任务 2·列式算其中两样是「买两份」，一样是「买一份」。请列一个含乘法和加法的综合算式，算出总价。
任务 3·算找零再列一个算式，算出付 50 元能找回多少。
任务 4·对一对结账时拿小票对一对，看您算的和收银机算出的一样不一样。
如果算出来的数和收银机不一样，先别急着说「收银机错了」——回头把自己的算式一步一步重算一遍，找找差在哪。
第 7 单元 · UNIT 7
推理初阶
p.55–63 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.55导入
谁打碎了花瓶：线索推理
教室里有个花瓶碎了，地上散着几片瓷。三个同学那天最后一个离开教室，王老师要找出是谁碰倒的。
三条线索。① 小杏说：「我走的时候花瓶还好好的，图图比我走得晚。」② 图图说：「我走的时候，阿禾还坐在位子上。」③ 阿禾说：「我走的时候教室里只剩我一个人。」
王老师问：「谁能推出谁最后走？」小杏举手：「图图比我晚，阿禾比图图晚，所以阿禾最后走。」
「很好，」王老师说，「您没有猜，您是推出来的。今天我们就来学这种本事——推理：从已经知道的事情，一步一步推出还不知道的事情。」
推理不靠猜。它靠的是一条条线索之间连起来的那条链子。
p.56精讲
两个条件的推理
推理最小的单位，是「两个条件配合推出一个结论」。
例一。条件一：小明比小华高。条件二：小华比小刚高。
结论：小明最高，小刚最矮。
理由：一条链子——小明 ＞ 小华 ＞ 小刚。
例二。条件一：盒子里只有红球和白球。条件二：摸出来的是红球吗？不，摸出来的是黄球。
结论：这不可能，因为盒子里没有黄球。
怎么推把两个条件摆在一起，看看它们有没有「共同的一个人」或「共同的数」。有共同的地方，就能连起来。
推完要检查结论和两个条件都成立吗？只要有一条对不上，结论就不算数。
写清理由说结论的时候要说「因为……所以……」，不能只说结论。
要点：推理的第一步，是找到两个条件之间「共同的那一块」。找到了，链子就连上了。
p.57精讲
三个人的推理：表格法
要是人多了，光用嘴推就容易乱。请出好帮手——表格。
题目。三个人分别拿着一本书、一支笔、一块橡皮（各拿一样，不重复）。
条件一：小杏拿的不是书。
条件二：小华拿的不是书，也不是笔。
问：三个人各拿了什么？
第一步·画表横着写人名，竖着写物品。
第二步·打叉把「不可能」的格子都打上叉：小杏不是书，打叉；小华不是书、不是笔，两个叉。
第三步·找唯一哪一行只剩下一个格没打叉，那一个就是答案。小华只剩橡皮，所以小华拿橡皮。
第四步·顺着往下小华拿了橡皮，别人就不能再拿橡皮。继续找唯一，直到全部填满。
要点：表格把「想一想」变成了「填一填」。表格越小，脑子越清楚。
p.58精讲
排除法
推理里最常用的一招叫排除法：把不可能的排除掉，剩下的就是答案。
例一。一个数在 20 到 30 之间，且是 6 的倍数。问这个数是几？
排除：21、22、23……一个一个排太慢。换一招——6 的倍数：24、30。落在 20 到 30 之间的只有 24，所以答案是 24。
例二。四个小朋友排队，小红不在第一个，小明在小红后面，小刚在最后。谁在第一个？
小刚在最后（排除），小红不在第一个（排除），小明在小红后面（排除），剩下小华——小华在第一个。
排除的两种方向一种是「从条件排除」：题目说不是的，就划掉。另一种是「从范围排除」：把所有可能的答案列出来，一个一个比。
什么时候最好用当题目给的「不是」比「是」还多的时候，排除法最快。
要点：剩下的那个，才叫答案。排除就是一步一步缩小「可能」的范围。
p.59精讲
数独式的逻辑
上学期我们玩过四宫数独。现在回头看，数独其实就是「推理」的游戏。
数独里的每一句话，都是推理。「这一格不能是 3，因为这一行已经有 3 了。」——这不就是排除法吗？
用表格看数独数独的格子本身就是一张表。每一行、每一列、每一宫，都是一组「不能重复」的条件。
推理的三种动作① 排除：条件说不是的，划掉；② 唯一：只剩一个可能，就是答案；③ 传递：确定一个，就能带动旁边的一大片。
和做题一样做任何推理题，都可以先画一张表，把「已知」写上去，把「不可能」划掉。
下一次做数独的时候，试着把每一步的理由说出来：「这一步我是因为哪一行、哪一列排除了它。」说得出理由，才叫推理。
要点：数独不只是游戏，它是最干净的一种推理训练——每走一步，都有理由。
p.60练习
推理题组
A 组·连一连 小刚比小华重，小华比小杏重。最重的是谁？最轻的是谁？写出您的理由。
B 组·表格法 三个人各参加一项运动（跳绳、踢球、下棋）：小杏不下棋；小华不踢球；小刚不象棋也不跳绳。三人各参加什么？请画表推出。
C 组·排除法 一个两位数，比 30 大、比 40 小，个位比十位小 1，这个数是多少？
D 组·想一想 甲说「乙在说谎」，乙说「丙在说谎」，丙说「甲乙都在说谎」。三个人里，到底谁在说真话？说说您的理由。
B 组题目里的「都不」要慢慢读清——「不下棋」是一条线索，「既不是……」也是一条线索，都要画进表里。
p.61思想卡
p.7
思想卡·推理是从已知走向未知
给家长和老师的话：请多问孩子「您怎么知道的」，而不是「答案是多少」。当孩子能把理由说成「因为……所以……」，他的推理才算真的发生。表格是孩子最好的帮手，请鼓励他画出来。
想一想：推理和猜有什么不一样？猜可以没有理由，推理必须有理由。而且推理的理由要能被别人重复一遍——别人跟着您的链子走一遍，也能到达同一个结论，这才是推理。
把一句话带回家：猜出来的答案靠运气，推出来的答案靠道理。
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p.62游戏迁移
猜数字游戏
两人一组，一人心里想一个 1 到 100 之间的数（写在纸条上折好），另一人来猜。这个游戏只有三种提示。
提示一·大了您猜的数比心里那个数大。
提示二·小了您猜的数比心里那个数小。
提示三·对了猜中，游戏结束。
记一记次数猜中一次记一笔。谁用的次数少，谁赢——所以不是瞎猜，要用策略。
最优策略一·取中间先猜 50，一次就砍掉一半。再猜 75 或 25，再砍一半——这叫「折半」。在 1 到 100 里，这个办法最多 7 次就能猜中。
最优策略二·记范围每听一句提示，就把「可能的范围」写在纸上：大了就把上限改成刚猜的数减 1；小了就把下限改一改。范围写在纸上，脑子就不会乱。
玩完想一想：瞎猜平均要五十次，折半只要七次。同样的信息，用得好，效率差七倍——这就是策略的价值。
p.63游戏·任务
编一道推理题考同学
这个单元的最后任务，是自己编一道推理题：
任务 1·定题型从四种里挑一种：比高矮轻重、表格法分物品、排除法猜数、真话假话。
任务 2·先写答案先把答案定下来，再倒着设计线索——出题人是先有答案，才编条件的。
任务 3·检查唯一重要的一步：看您的条件够不够。如果可能有两个答案，就要再加一条线索。
任务 4·考同学把您的题写在纸条上交上去，让同学来做，您在旁边当裁判。
编题最难的地方是「只留一个答案」。如果同学推出了两个答案，就说明您的线索还差一条——这不是失败，这正是编题最有趣的发现。
第 8 单元 · UNIT 8
游戏站：数独进阶
p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.64导入
从四宫到九宫的路
一年级时，我们玩过四宫数独：4 × 4 的格子，填 1 到 4，每行每列每个 2 × 2 宫里都不重复。那一次，图图卡了很久才填出来。
这一年他又长本事了。如今他能一眼看出「这一格只能填 2」，因为同行同列同宫里的别的数都出现过了。
王老师说：「数独的格子可以从 4 宫长到 6 宫，再长到 9 宫。格子越多，难度越大，可是它的规矩一个字也没变：行不重复、列不重复、宫不重复。」
阿禾问：「那我们从 4 宫跳到 9 宫，是不是太远了？」王老师说：「中间还有一站——六宫数独。这一站走稳了，九宫就不难了。」
规矩不变，格子在长。这就是数学里最常见的一种「升级」：规则守住，天地变大。
p.65规则
六宫数独规则
六宫数独的规矩也只有三句话：
规则一（行）6 × 6 的格子里，每一横行都要把 1、2、3、4、5、6 各填一次，不重复。
规则二（列）每一竖列也要把 1、2、3、4、5、6 各填一次，不重复。
规则三（宫）粗线框出的每一个小宫里，1 到 6 也各出现一次。
规则四六宫数独的宫是 2 行 3 列的小长方形，一共 6 个：上面一行 3 个，下面一行 3 个。
和四宫比，多了什么① 数多了（1 到 6）；② 宫变了形状（不再是正方形）；③ 一个宫里有 6 格，比四宫的宫多了 2 格。
最容易看错的地方把宫看成 3 行 2 列。请一定要先看清粗线——是「横着三格」，不是「竖着两格」。
开局的好习惯先用手指沿着粗线把 6 个宫各描一遍，心里数清哪几格属于同一个宫。
开局前先把「哪一格属于哪个宫」弄清楚，后面就省力了。凭感觉填，最后一定会撞车。
p.66试玩
六宫两题
第一题（提示数较多，比较简单）：
第二题（提示数少了四个，难度上来了）：
填的时候念一念。填每一格之前，先说一句「这一行已经有 1、4、5，缺 2、3、6」，再看列和宫能不能定下来。念出来，就不容易错。
两题都有唯一答案。做不出来不要紧，先做第一题；做完了再看第二题，您会发现它只是少给了几个数。
p.67策略
行列排除法
六宫数独最好用的一招叫行列排除法。它的思路是：找「某个数只可能放在一个位置」的地方。
第一步·选一个数先从 1 开始，一个数一个数地扫，别一格一格地看。
第二步·横着划看这个数已经在哪几行出现过，把这几行划掉。
第三步·竖着划再看它已经在哪几列出现过，把这几列也划掉。
第四步·找剩下的剩下的格子里，如果只有一格是空的，而且它所在的宫也没出现过这个数——这一格就一定是它。
举个例。要找「6」的位置：第一行没有 6，可是第三行、第四行都有 6；再看列，第五列已经有一个 6。这样一排一划，第二行的第 6 列常常就只剩一格可选。
要点：行列排除法的顺序是「先扫一个数，再横划竖划」。这个顺序对了，速度就上来了。
p.68进阶
候选数初感
当每个空格可能的数不止一个时，就得请出「候选数」。
候选数就是在空格里用铅笔轻轻写下的「这一格可能是几」。它是草稿，不是答案。
第一步·写小字每个空格，把同行、同列、同宫里已经出现的数划掉，剩下没出现过的数，就是候选数。
第二步·找唯一候选数只剩一个的格子，直接落定成答案。
第三步·划掉它一个数落定之后，把它同行、同列、同宫里的小字都划掉。
第四步·重复一直做下去，小字会越来越少，答案会越来越多。
一个惊喜。有时候会出现这种情况：某一个数在某个宫里，只有一格能放它——那这一格就是它的位置，哪怕这一格还有别的候选数。这叫「宫的唯一」。请留意这种机会，它常常帮您一次推两格。
用小字做草稿时，一定要轻。做错了要能擦干净——留着一堆擦不掉的错字，后面就会越做越乱。
要点：候选数把「猜」变成了「记录」。把可能性写下来，是推理最踏实的一步。
p.69复盘
卡壳时刻分析
做数独一定会卡住。卡住的地方，正是最值得复盘的地方。
| 卡住时的样子 | 可能的原因 | 下次先做什么 |
|---|
| 整盘都填不下去 | 没有系统地扫某个数 | 从 1 到 6 挨个扫一遍 |
| 填了之后发现撞车 | 只看了行，没看宫 | 填完顺手看一遍所在的宫 |
| 越做越乱 | 用猜的，没写候选数 | 回头擦掉，改用小字 |
复盘三问① 我是哪一步卡住的？② 当时我在看行、看列，还是看宫？③ 如果我改用候选数，能不能推下去？
一个记录办法在纸上画一个小记号，记下卡壳的位置。做完之后回头看看：这几格最后是靠哪一步推出来的？
要点：卡壳不是不会，而是「还没换到合适的工具」。换工具，比硬想更有用。
p.70思想卡
p.7
思想卡·唯一性与确定性之美
给家长和老师的话：数独最迷人的地方，不是填满，而是「答案只有一个」。请提醒孩子：每一个正确解的后面，都有一条可以复述的理由。如果哪一格是靠猜的，即使猜对了，也不算真正解出来。
想一想：为什么数独的答案一定唯一？因为题目里给的每一个数，都在替我们排除一大片可能。给得越多，剩下的可能越少；给到刚好的时候，就只剩一条路。「唯一」，是很多条件共同用力逼出来的结果。
把一句话带回家：一步一步都有理由的路，才配叫「确定」。
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games/p2-3.html?u=8
p.71对弈赛
六宫数独限时赛
全班进行一次六宫数独限时赛，规则简单，气氛紧张。
第一步·发卷每人一张同样的六宫数独题（就用本单元第二题），笔和橡皮允许带，不许带草稿以外的任何提示。
第二步·限时限时 8 分钟。老师在黑板上写倒数时间，最后 1 分钟提醒一次。
第三步·交卷填完就举手，先交先记名次。8 分钟到，全体停笔。
第四步·验算同桌交换检查，每人替对方把六行、六列、六个宫都数一遍，全对才算有效。
三个奖项。① 最快完成奖（速度）；② 零错误奖（稳当）；③ 最会讲奖（能上台把其中一步的推理讲清楚）。三个奖同样光荣。
玩完想一想：为什么「最会讲奖」要单独设？——因为比赛比的是结果，而讲课比的是理由。理由比结果能走得更远。
p.72游戏·任务
自制六宫数独一道
这个单元的最后任务，是自己出一道六宫数独：
任务 1·先填满先自己填出一个完整的六宫答案：1 到 6 每行、每列、每宫各一次。
任务 2·挖空把其中一些数擦掉，第一次先擦掉 12 个左右。这样剩下的提示数大约 24 个，比较容易。
任务 3·查唯一这一步最要紧：把您的题交给家长或同学做，如果他做出来两个不同的答案，说明您挖得太多了，要补回一两个数。
任务 4·交给别人做最终版本写在纸上，请同学来做，您在旁边当裁判。
出题有一条铁律：出题的人必须先有答案，而且答案必须唯一。挖得多不一定好，挖得刚好才叫本事。