九章格数学 PhiloMath · K2C 正文 · P 段
游戏数学·二之夏
P2-4 · 夏季段（编目代号 P2-4）· 游戏与实践册 · 正文编写版 · 已完成 72/72 页 · 2026-09-16
小学低段 · 二年级72 页 ＝ 8 单元 × 9 页体例：导入＋精讲＋练习＋思想卡＋游戏游戏与实践册
〇体例说明（写给小读者和家长）
体例
本书怎么读：一个单元九页
全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；＋ − × ÷ ＝ 各就各位；上标用小肩数字，如 1 米＝10 分米、1 千米＝1000 米。长度单位：千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）；面积单位：平方米（m2）、平方分米（dm2）、平方厘米（cm2）。
一全册目录（八个单元 · 每单元 9 页）
- p.1–9第 1 单元 万以内加减法
- p.10–18第 2 单元 测量与估计
- p.19–27第 3 单元 七巧进阶
- p.28–36第 4 单元 等差数列初感
- p.37–45第 5 单元 拼图与覆盖
- p.46–54第 6 单元 数学故事会
- p.55–63第 7 单元 方位与路线
- p.64–72第 8 单元 游戏站：数学集市
第 1 单元 · UNIT 1
万以内加减法
p.1–9 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.1导入
图书馆藏书统计
学校图书馆整理新书。管理员阿姨在公告栏上写了几行数字：
故事类 1280 本，科普类 650 本，工具书 320 本。她还在旁边写了一句：「故事类比科普类多多少本？」
小杏看了一眼就皱起眉头：「1280 减 650……这么多位，数起来头都晕了。」阿禾说：「先估一估嘛，1300 减 650 大概是 650 本。」图图说：「我知道怎么算得准——竖式！只要数位对齐，多少位都一样。」
王老师说：「三个人的办法都对，而且刚好是三条路：估一估看大概，竖式算得准，再回头验一遍。今天我们就用这三条路，去算四位数以内的加减法。」
数变大，办法不变。会估、会算、会验，就什么数都不怕。
p.2精讲
三位数加减法口算
整百、整十的数，可以直接口算。
整百加整百300 ＋ 500：想「3 个百加 5 个百，是 8 个百」，所以是 800。
整百减整百900 － 400：想「9 个百减 4 个百，是 5 个百」，所以是 500。
整千加减2000 ＋ 3000 ＝ 5000；8000 － 5000 ＝ 3000。道理一样，只是换成「几个千」。
几百几十加减120 ＋ 80：先算 20 加 80 等于 100，再算 100 加 100 等于 200。
一个窍门·凑整。算 490 ＋ 130：先把 490 想成 500 减 10，500 加 130 等于 630，再减 10 等于 620。
再试两道。① 250 ＋ 350：凑成 600；② 720 － 240：先减 200 得 520，再减 40 得 480。
要点：口算的诀窍是「先凑整，再补零头」。凑整以后，数的样子就简单了。
p.3精讲
三位数竖式与验算
不整齐的数，就请竖式出来。
1280＋6501930
第一步·对齐个位对个位，十位对十位……数位对齐是第一条铁规矩。
第二步·从右往左从个位开始算，一位一位往左走。
第三步·满十进一哪一位相加满十，就向前一位进 1，别忘了在进到的那一位数字右下角点个小点记着。
减法要退位。1280 － 650：个位 0 减 0 得 0；十位 8 减 5 得 3；百位 2 减 6 不够减，向千位借 1 当 10，12 减 6 得 6。答案是 630。
·1280−650630
验算的两种办法。① 加法用减法验：1930 － 650 ＝ 1280，回到原来的数就对。② 减法用加法验：630 ＋ 650 ＝ 1280，回到被减数就对。
验算的竖式长这样：减法验加法·1930−6501280加法验减法630＋6501280
要点：算完就验，是数学里最简单也最管用的自我保护。
p.4精讲
估算策略
估算是「把数看成近的整百、整千，再算」。它不算出准确答案，只告诉您大概是多少。
策略一·四舍五入到整百1280 看成 1300，650 看成 700。1300 减 700 大约 600。
策略二·只动一个数如果有一个数本来就是整百，就只把另一个凑整：1280 看成 1300，减 650 大约 650。
策略三·看够不够有时不需要精确答案，只要判断「够不够」。比如问「2000 元够不够买这两样」，只要估出总和在 2000 以内就行。
估完想一想。估出的 600 和真实答案 630 差了 30。这个差是怎么来的？——因为我们把 1280 往大里估了 20，把 650 往大里估了 50。知道差从哪儿来，估算才算真的懂了。
要点：估算不追求准，追求「快」和「够用」。什么场合用估算，是一种判断力。
p.5精讲
解决问题：多多少少
「多多少」「少多少」，说的都是「相差多少」，用减法。
例一·求相差。故事类 1280 本，科普类 650 本。故事类比科普类多多少本？
1280 － 650 ＝ 630 本。
例二·求总数。两类一共有多少本？
1280 ＋ 650 ＝ 1930 本。
例三·反过来问。科普类比故事类少多少本？
和例一其实是同一个问题——「A 比 B 多多少」和「B 比 A 少多少」，答案一样。
看清关键字「一共」「和」用加法；「多多少」「少多少」「还剩」用减法。
看清谁比谁「A 比 B 多」要用 A 减 B，不能颠倒——颠倒了方向，答案就变成了负数，可它其实说的是反过来的那句话。
要点：一道题的意思，往往就藏在一个词里。读题时把关键词圈出来，方向就不会搞反。
p.6练习
综合题组
A 组·口算 ① 400 ＋ 700 ＝ （ ）；② 1500 － 800 ＝ （ ）；③ 320 ＋ 280 ＝ （ ）；④ 9000 － 4000 ＝ （ ）。
B 组·竖式计算并验算 用竖式计算并验算。
①1450＋780②2300−860
C 组·估算 先估一估，再用竖式算出准确答案对比。
①1980＋305②4020−1990
D 组·解决问题 学校共 1200 名学生，其中男生 650 名。女生有多少名？男生比女生多多少名？
C 组做完，把「估的」和「算的」并排写出来，看差多少。相差太大，就回头看看自己估的时候把哪个数改得太多了。
p.7思想卡
p.7
思想卡·验算是给自己的承诺
给家长和老师的话：与其反复叮嘱「要检查」，不如教孩子具体的验算动作：加减互逆、估一估量级。有了固定动作，检查才不是空话。孩子第一次靠自己验出错误时，那份成就感很值得保护。
想一想：为什么要验算？不是因为不信任自己，恰恰相反——是因为知道谁都可能出错，所以给自己留一道关卡。能给自己设关卡的人，做事才靠得住。
把一句话带回家：答案对错由算式决定，可靠与否由验算决定。
扫码开玩 ·「大数加减台」本单元配套游戏站（P2-4《游戏数学·二之夏》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
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p.8游戏迁移
购物估算游戏
三人一组，准备一叠「商品卡」（每张写上价格，都是三位或四位数，比如 1280 元、306 元、540 元）。来玩一场估算抢答。
玩法一·够不够主持人抽出 3 张卡，报出总预算（比如 2000 元），三人同时估：够还是不够？先说对的人得 1 分。
玩法二·大约多少抽出 2 张卡，谁先估出「大约贵多少」谁得分。估算的差不能超过 100 元，否则算错。
玩法三·谁估得准抽完卡后各自把估算写在纸上，主持人用竖式算出准确值，谁最近谁得 2 分。
玩法四·换角色三人轮流当主持人，一共玩 12 轮，总分最高者赢。
一个提醒。游戏里不许用笔算精确答案——要练的就是「脑子里估算」的本事。等估算练熟了，再用竖式核对一次，您会发现已经八九不离十。
玩完想一想：为什么练估算？——因为生活里大多数时候，我们只需要知道「大概够不够」，而不是「精确到个位」。
p.9游戏·任务
查两月水表算用水差
这个单元的最后任务，是去看一眼家里真正的水表：
任务 1·读水表请家人带您读一次水表，把两个月的读数分别记下来（一般是四位数）。
任务 2·算差用减法算出这两个月一共用了多少（数字会比较大，正好用上竖式）。
任务 3·估一估先估一估一个月大约用多少，再和实际算出的结果比一比。
任务 4·想一想这个月比上个月多用了还是少用了？想想可能是什么原因（家里来客人了？天气变热了？）
下节课我们把全班的数据汇到一起，比一比：哪个家庭用水最少？为什么？——数学可以帮我们看清生活里的浪费。
第 2 单元 · UNIT 2
测量与估计
p.10–18 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.10导入
不用尺子能知道多长吗
体育课上，王老师把全班带到操场上，手里什么也没拿。她指着跑道问：「谁知道这一圈有多长？不许用尺子。」
小杏的办法：用脚步量。她沿着跑道走了一圈，边走边数：一、二、三……一共 420 步。她事先量过自己一步大约 60 厘米，于是算起来：420 个 60 厘米，大约是 250 米。
图图的办法：用时间估。他跑了一圈，用了 45 秒，平时跑 100 米大约 18 秒，所以估一估大约是 250 米。
王老师拿出卷尺一量：250 米。「两个人的估计都很准！」她笑着说：「今天我们就来学估计——不用尺子也能知道大概多长，这可不是猜，是有办法的。」
估计不等于猜。猜没有方法，估计有依据。
p.11精讲
身体尺复习与校准
一年级学过「身体尺」。今天要做的第一件事是校准——用自己的真实数据，把身体尺量准。
一拃拇指到中指伸开的距离，大约是 13 到 16 厘米。用尺子量一次，记住自己的数。
一步走一步时两只脚跟的距离，大约 50 到 70 厘米。多走几步取平均，更准。
一庹两臂平伸两手中指之间的距离，大约等于自己的身高（厘米数）。
一指食指的宽度，大约 1 厘米；一拃里的一小节，大约是 1 厘米。
把数据写下来。请量一次自己的「身体尺」，填进下面的表。这张表就是您的私人量具——以后不用带尺子，也能量个八九不离十。
| 我的身体尺 | 大约是 |
|---|
| 一拃 | 厘米 |
| 一步 | 厘米 |
| 一庹 | 厘米 |
要点：身体尺是随身带的工具，但它必须先校准——不校准的身体尺，只是感觉。
p.12精讲
分米与毫米补齐
已经学过厘米和米，中间和更小的位置还空着两个单位，今天把它们补上。
分米（dm）比厘米大、比米小。1 分米 ＝ 10 厘米。大约是一拃的宽度，也大约是一支粉笔的长度。
毫米（mm）是很小的长度单位。1 厘米 ＝ 10 毫米。大约是一枚硬币的厚度，也是尺子上最小的那一小格。
连起来看1 米 ＝ 10 分米 ＝ 100 厘米 ＝ 1000 毫米。每换一级，都是「乘 10」。
用哪个单位量门的高度用米；量课本的长度用分米或厘米；量铅笔芯的粗细用毫米。
一个窍门记住「十进」这条链子，换算就是把小数点搬搬家，或者数一数乘了几个 10。
换成毫米试试。① 3 厘米 ＝ 30 毫米；② 2 分米 ＝ 20 厘米 ＝ 200 毫米；③ 5 米 ＝ 50 分米 ＝ 500 厘米。
要点：米、分米、厘米、毫米，一级一级都是十进。记住这一句，四个单位就全串起来了。
p.13精讲
估计的三个策略
估长度不是随便说一个数。常用的有三个策略：
策略一·找参照物先想一个自己熟悉的东西。比如要估课桌的长，可以先想「我的铅笔 18 厘米」，数一数大约几个铅笔长。
策略二·用手比用一拃、一庹去比。估计教室的宽，就用两臂平伸一次一次地比过去。
策略三·分小段再乘把长的东西分成一小段一小段，量一小段，再乘段数。估跑道就用这个办法。
三个策略一起用更好。估黑板的长度：先目测「大约 4 米」，再用身体尺比一比验证，最后想想「我的身高是 1 米 30 左右，黑板大约有三个我这么长」——三种办法互相印证，估得最稳。
要点：估计靠的不是天分，而是「找一个熟悉的东西来对照」。参照物越多，估得越准。
p.14精讲
估后必量：误差记录
估计之后，一定要量一次。量的目的不只是知道准确值，更是看看自己估得差多少。
误差就是估计值和真实值相差的部分。误差不用怕，它是您「越估越准」的依据。
| 估的东西 | 我估的 | 实际量的 | 差多少 |
|---|
| 课桌的长 | 厘米 | 厘米 | 厘米 |
| 教室的宽 | 米 | 米 | 米 |
| 课本的长 | 厘米 | 厘米 | 厘米 |
误差小的原因可能您用的参照物很熟，或者您选的分段很合理。
误差大的原因多半是参照物记错了。比如以为一步 80 厘米，其实是 60 厘米——参照物一错，估计跟着全错。
改进的办法重新校准参照物，再估一次。第二次通常就准多了。
要点：误差不是失败，是反馈。记录误差，才能一点点把「感觉」练成「判断」。
p.15练习
估算题组
A 组·填单位 ① 一根跳绳长约 2（ ）；② 数学书厚约 8（ ）；③ 铅笔芯粗约 1（ ）；④ 教室长约 8（ ）。
B 组·换算 ① 4 米 ＝ （ ）分米；② 60 厘米 ＝ （ ）分米；③ 7 厘米 ＝ （ ）毫米；④ 300 毫米 ＝ （ ）分米。
C 组·先估再量 估一估您的一支铅笔有多长、您的课桌有多宽，写在纸上，再用尺子量一量，记下误差。
D 组·想一想 小明说：「我一个上午走了 10000 米。」这句话可能吗？请用估计的办法说明理由。
D 组的办法：先估一步多长、一秒走几步，算算一小时能走多远，再乘上午的小时数。一算就知道这句话靠不靠谱了。
p.16思想卡
p.7
思想卡·〔方田〕估算先于精确——数感的日常
给家长和老师的话：估算不是「算得不好」，而是一种独立的能力，而且是更常被用到的那种。请多和孩子做「先估后量」的小游戏：估一估超市里一袋米的重量、估一估走回家要多久——这些都在悄悄培养数感。
九章小语：《九章算术》〈方田〉里有「步」「里」这样的单位，量一块田、一段路，古人常常先有大概的数，再细算。工程上更是如此：先估工程量，再定人工，最后才精算。先有数量级，后有精确值——这不是偷懒，是聪明。
把一句话带回家：先估一个大概，心里就有了一杆秤，再看精确答案，就不容易被错误答案骗过去。
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p.17游戏迁移
估计大赛
四人一组，用自己校准过的身体尺，来一场估计大赛。
第一关·目测老师指一样东西（黑板长、门宽、走廊长），每人写下估计值，不许动手。谁最近谁得 2 分。
第二关·身体尺允许用拃、步、庹去比，再一次写下估计值。比较两轮的误差，看用身体尺以后准了多少。
第三关·盲估闭上眼睛，用手摸一样东西（一根绳子、一段木条），估它的长度，摸完睁眼量。
第四关·估时间加一个趣味关：估一估「一分钟」有多长，不许看表，觉得到一分钟了就举手。谁最接近谁得 2 分。
计分与总结。四关总分最高者得「金手指」称号。赛后每人写一句：「我发现估（什么）最难，因为……。」
玩完想一想：为什么「估时间」比「估长度」难？——因为时间看不见、摸不着，没有可以对照的参照物。可见参照物对估计有多重要。
p.18游戏·任务
估一估从家到学校的步数再验证
这个单元的最后任务，是一次真实的「先估后量」：
任务 1·校准先量清自己一步大约多少厘米，写下来。
任务 2·估计在上学路上，先用时间估：平时走多少分钟？每分钟大约走多少步？估出总步数。
任务 3·实测某一天上学时，真的数一数走了多少步（或分几段数，再加起来）。
任务 4·算误差把您的估计值和实际值写在一起，算出差多少，想想为什么。
顺便算一算：一步 60 厘米的话，1000 步大约是多少米？从家到学校大约多少米？——把数学用在自己每天走的路上，很奇妙。
第 3 单元 · UNIT 3
七巧进阶
p.19–27 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.19导入
七巧板的世界之旅
王老师的讲台上摆着一个方方正正的小木盒。她打开盒子，「哗啦」倒出七八块彩色的小板子。
「各位读者认识它吗？」全班齐声说：「七巧板！」小杏还补充：「一年级我们拼过小房子和小船。」
王老师拿出一张地图。「七巧板不光我们玩。两百多年前它传到欧洲，很多大人也迷上了它，还给它起了外国名字叫『唐图』。有人说它是世界上最有名的一种拼图游戏。」
图图惊讶地说：「就这几块板子，能玩遍全世界？」王老师说：「您拼一拼就知道了——这七块板子能拼出上千种图形。同样的七块，无限的可能，这就是它迷人的地方。」
这个单元我们不学新知识，我们把七巧板玩到更深的一层：拼动物、拼成语、和同学对抗。
p.20规则
组合七巧：两副拼一幅
这个单元的玩法有升级，先看清规则：
规则一一副七巧板有七块：2 块大三角形、1 块中三角形、2 块小三角形、1 块正方形、1 块平行四边形。
规则二拼图时七块必须全部用上，一块也不许剩，也不许重复使用。
规则三七块之间不能重叠，也不能留缝——拼好的图形要严丝合缝。
规则四升级玩法：两副七巧板合起来（一共 14 块），拼出一个更大的图形。
规则五拼的时候不许把板子折弯、剪开或者反过来用（平行四边形可以翻面）。
为什么不能重叠重叠意味着「盖住了」，那就等于有一块没用上——这就违反了「全部用上」的规矩。
为什么要严丝合缝因为拼图讲究的是「面积的相加」：七块的面积加起来，正好等于拼成的图形。
开始之前先把七块板子按大小排一排，摸一摸每一块有几条边、几个角。摸熟了，拼起来就快。
p.21试玩
拼自然图形（鹅·狐狸）
先拼两个动物，感受一下「七块全部用上」的难度。
第一件·鹅用两块小三角形拼出鹅的脑袋，用两块大三角形拼出身体，正方形当尾巴，中三角形当翅膀，平行四边形当脚掌。
第二件·狐狸两只耳朵用两块小三角形，尖尖的脸用正方形斜放，身体用两块大三角形，尾巴用平行四边形。
第三件·比一比把两件作品并排放在桌上，比一比：哪一件更像？为什么相像？
拼完问自己三句。① 七块都用上了吗？② 有没有重叠？③ 有没有留下缝？三句都过了，才算真的拼成。
要点：拼得像不像，靠的是「角对得上、边合得拢」。先管干净，再管好看。
p.22策略
边与角的匹配法
拼七巧板有方法，不是瞎试。最有用的一招叫边与角的匹配法。
第一步·看边长七块的边只有几种长度：最长的边、中等长的边、最短的边。要拼在一起的两条边，长度必须一样。
第二步·看角七巧板里只有三种角：直角、45 度角、135 度角。要拼在一起的两个角，加起来要正好凑成直角或平角，缝才对得上。
第三步·从最长的边下手两块大三角形的最长边最长，通常放在最外层当「骨架」，剩下的小块往里面填。
第四步·留一个口子先不急着把角落填满，留出一块空间，方便调整里面的小块。
举个例子。要拼一个正方形：先把两块大三角形斜着拼成半个大正方形，剩下的五块正好填满另一半。这个用法在一年级就见过，今天可以再试一次，看看能不能一眼拼出来。
要点：七巧板的道理很朴素——边一样长才能贴住，角能凑成直线才能接缝。想清楚这两条，手上就准了。
p.23进阶
双人拼图对抗
两个人各拿一副七巧板，同时开始拼同一个图形，比谁先拼好。这就是最直接的对抗玩法。
第一轮·拼正方形两个人都要拼出一个完整的正方形。先拼好的举手。看起来最简单，其实很考手感。
第二轮·拼长方形拼一个长方形。两个大三角形可以并排，也可以上下叠——两条路都试试。
第三轮·照图拼老师画一个轮廓图贴在黑板上，两人照着拼。照着图拼并不简单，因为图里不告诉您每一块在哪儿。
第四轮·互出题一人拼好一个图形，把轮廓描在纸上，让对手照着拼。谁出的题更巧妙，也要算分。
计时与体面。每轮限时 3 分钟。时间到了没拼出来就放下板子，两人交换看一看对方拼到哪一步——学别人的中间状态，比自己闷头快得多。
要点：对抗不是为了赢，是为了「看见别人怎么想」。同一块板子，别人手里可能是另一种用法。
p.24复盘
轮廓留白法
拼图的复盘，最重要的一步是看「轮廓和留白」。
第一步·画轮廓把自己拼好的图形沿着外边缘描一圈，只描外轮廓，不画里面的分块线。
第二步·看留白在轮廓里，把自己拼的每一块轻轻画出来，看看有没有哪一块是硬挤进去的。
第三步·找关键块回过头想：哪一块是最先放下的？通常它就是整个图形的「钥匙」。
第四步·记下来把「钥匙块」的位置记在纸上。下次拼同一类图形，就先找类似的位置下手。
要点：拼图的高手常常「先找最难放的那一块」。把最难的地方先解决，剩下的自然就好办了。
p.25思想卡
p.7
思想卡·〔勾股〕同样的七块，无限的可能
给家长和老师的话：七巧板是孩子最早的「面积与拼合」实验。请多让孩子自己试着拼，不要替他放板子——他摸到「这条边接不上」的那一瞬间，才是真正的学习。
古人的智慧：七巧板不是凭空冒出来的。它在宋代从拼摆「宴几」（一种可以拼合的小桌子）里长出来，到明清才定成现在这七块。它跟「勾股」也有很深的缘分：那两块大三角形，正是两个直角三角形；把它们斜着拼起来，就能看出一个正方形与四条斜边之间的关系。一块小板子里，藏着中国人的几何直觉。
把一句话带回家：一堆看起来简单的零件，配上聪明的规矩，就能生出无穷的花样。
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games/p2-4.html?u=3
p.26对弈赛
七巧创作赛
全班来一次七巧板创作赛，比创意、比手快、也比讲得清。
第一轮·限时拼5 分钟内，用七块板拼出自己的作品，题材不限（动物、人物、器物、汉字都行）。
第二轮·猜作品把作品贴到黑板上，只写编号不写名字。每人选三件，写下「我猜这是什么，为什么」。
第三轮·讲一讲作者上台，用一句话说清：「我先放的是哪一块，为什么先放它。」
第四轮·投票投票选三件作品：最像的、最有创意的、最会讲的。
评分标准。① 七块全部用上、无重叠（30 分）；② 造型像不像、有没有创意（40 分）；③ 能不能讲清思路（30 分）。三样加起来才算总分。
玩完想一想：为什么「讲得清」占 30 分？——因为作品会被收走，思路却能传下去。传得下去的手艺，才是真本事。
p.27游戏·任务
拼一个成语并讲给家人
这个单元的最后任务，是用七巧板拼出一个成语，并把它讲出来：
任务 1·选成语挑一个画面感强的成语，比如守株待兔、亡羊补牢、井底之蛙。
任务 2·设计草图先在纸上画草图：这个成语里有哪些东西？哪一块当什么？
任务 3·拼出来用七块板拼出画面，检查：七块都用上了吗？有没有重叠？
任务 4·讲给家人举着您的作品，把成语和画面的关系讲给家人听：哪一块是树桩，哪一块是兔子。
下节课把作品带来，办一个小展览。如果家人一眼就猜出您的成语，说明您拼得很准——画面会说话。
第 4 单元 · UNIT 4
等差数列初感
p.28–36 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.28导入
高斯的故事：1 加到 100
两百多年前，德国有一所乡村小学。一天，算术老师想给自己找点清静的时间，就给全班出了道题：
「把 1 加到 100，算出来再回家。」孩子们立刻低头写起来：1 加 2 等于 3，3 加 3 等于 6……写得很慢，擦得很多。
可是有个叫高斯的孩子，几分钟就举手了。「老师，是 5050。」老师吃了一惊：「您怎么算得这么快？」
高斯说：「我不是一个一个加的。我发现1 加 100 是 101，2 加 99 也是 101，3 加 98 还是 101——每一对都是 101。1 到 100 一共能配成 50 对，50 个 101 就是 5050。」
王老师讲完这个故事，问全班：「各位读者觉得高斯厉害在哪里？」阿禾说：「他没用加法，他用了规律！」
数得越多，越不能一个一个数。找规律，是数学最省力的一招。
p.29精讲
跳着数：2、5、10 的规律
有些数列，每往后一步都加上同一个数。这种数法叫「跳着数」，很好玩。
隔 2 数2、4、6、8、10、12……每次加 2。这些都是双数。
隔 5 数5、10、15、20、25、30……每次加 5。得数的个位不是 0 就是 5。
隔 10 数10、20、30、40、50、60……每次加 10，得数的个位永远是 0。
倒着跳100、90、80、70、60……每次减 10，一路往回走。
找一找规律。2、4、6、8……第 10 个数是多少？——每次加 2，第 10 个数是 2 加 9 个 2，也就是 2 加 18 等于 20。（也可以直接想：双数排到第 10 个就是 20。）
要点：跳着数的时候，关键不是记住每一个数，而是记住「每次加几」。加了几个 2、几个 5，比背出整串数省力得多。
p.30精讲
等差数列的样子
像这样「每两个相邻的数，相差都一样」的一串数，有一个专门的名字：等差数列。
等差数列相邻两个数的差都相等的数列。
比如：1、2、3、4、5……（每步差 1）
比如：5、10、15、20、25……（每步差 5）
比如：1、3、5、7、9……（每步差 2，都是单数）
相邻的差，叫公差差是 1 就每一步长 1，差是 5 就每一步长 5，差也可以是您自己定的数。
怎么看出来用后一个数减前一个数，多算几组。如果每次的结果都一样，那就是等差数列。
两种方向差是正数就往上涨（1、2、3），差是负数就往下降（100、90、80）。
判断练习。① 2、4、6、8、10（是，每步差 2）；② 1、2、4、8、16（不是，差分别是 1、2、4、8）；③ 9、7、5、3、1（是，每步差 -2，往下走）。
要点：判断是不是等差，只要算一算「相邻两数的差」。差都相等，就是。
p.31精讲
数列填空
给您一串数，空出几个，让您填上。方法只有两步：先算公差，再照着走。
第一题。3、7、11、15、（ ）、（ ）。
先算差：7 减 3 是 4，11 减 7 也是 4——每步加 4。所以接着是 19、23。
第二题。100、90、80、（ ）、（ ）。
每步减 10，所以填 70、60。
第三题。1、3、5、7、（ ）、（ ）、（ ）。
每步加 2，填 9、11、13。
第四题（难一点）。（ ）、5、10、15、（ ）。
公差是 5，往前退一步是 0，往后进一步是 20。填 0 和 20。
填空的时候把公差写在数列上方，每填一个就加一次公差。写下来，比在心里数可靠。
要点：等差数列的填空，就是用「公差」这两步走出来的。公差就是它的节奏。
p.32精讲
高斯的配对法初感
回头看高斯那一招，其实道理很简单：配对。
用小数试试。算 1 加 2 加 3 加 4 加 5 加 6。
配一配：1 加 6 等于 7，2 加 5 等于 7，3 加 4 等于 7——三对，每对 7，一共 21。
再算 1 加到 10。1 加 10 等于 11，2 加 9 等于 11……配成 5 对，每对 11，一共 55。
怎么配最小的配最大的，第二小的配第二大的，一对一对从两头往中间配。
每对的和都一样吗在等差数列里，一样的！这就是配对法能用的原因。
有几对把总数除以 2（如果个数是单数，中间那个数单独留着）。
想一想。1 加到 9 有几个数？——9 个，是单数。两头配对剩下中间那个 5 放在一边：配成 4 对，每对 10，共 40，再加 5 等于 45。
要点：配对法的秘诀在一次「两头看」。从两头往中间配，麻烦的加法就变成了简单的乘法。
p.33练习
规律与求和初步
A 组·找公差 写出下面数列的公差，并再往后写两个数：① 4、8、12、16、…；② 50、45、40、35、…；③ 2、6、10、14、…。
B 组·填空 ① 5、（ ）、15、20、（ ）；② 100、95、（ ）、85、（ ）；③ （ ）、12、18、24、（ ）。
C 组·配对求和 用配对法算出：① 1 加 2 加 3 加 … 加 8；② 2 加 4 加 6 加 … 加 20。
D 组·想一想 1 加 3 加 5 加 7 加 … 加 19（一共 10 个单数），用配对法算一算是多少？
C 组做完验一验：把算出的结果除以数的个数，看看得到的数是不是落在「中间两个数」之间——配对法算对了，这个关系一定成立。
p.34思想卡
p.7
思想卡·〔商功〕配对求和：巧算的智慧
给家长和老师的话：高斯的故事孩子都爱听，但请重点讲「他看见了什么」，而不是「他很聪明」。请让孩子亲手在纸上把 1 到 10 上下写成两行配一配——亲眼看见每对都是 11，比听故事有用得多。
九章小语：《九章算术》〈商功〉里要算一堆一堆的土方、一层一层的粮堆。堆成梯形的东西，一层比一层多一点。要算总量，一个一个加是不行的，古人就想出了按「层」来算的办法。凡是成串出现的量，人总要找一个省力的算法；配对，就是最早被找到的那一个。
把一句话带回家：聪明不是想得更快，而是找到了那个「可以少干一半活」的办法。
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p.35游戏迁移
数列接龙
四人一组，一张纸，一支笔。游戏的目标是接出一条自己的等差数列。
第一步·起头第一个人写两个数，比如「7、10」。这两个数就把公差定成了 3。
第二步·报公差他必须说出来：「公差是 3。」说错就作废，重新起头。
第三步·接下去后面的人每人接一个数：13、16、19、22……接的时候要说清「我加了几」。
第四步·换方向接到第 10 个数之后，下一轮改成往下减。往下走也要说清「我减了几」。
难一点的玩法 · 双龙接。两组数列同时接：一组往上、一组往下，看它们会不会碰面。碰面的那个数是多少？——这就要算得准，也要有点运气。
玩完想一想：为什么接龙时最容易错在第 5 个、第 6 个数？——因为前面几个靠手感，越往后越要靠计算。凭感觉走不远，靠公差才走得远。
p.36游戏·任务
找生活中的等差现象记三例
这个单元的最后任务，是到生活里去找「每一步都多同样多」的现象：
任务 1·找三例找出三处等差数列的例子，比如：日历上一周的日期、跑道上每隔 5 米的标记、楼梯一级一级的高、钟面上每隔 5 分钟的刻度。
任务 2·写公差每一例都写清「每一步相差多少」，也就是公差。
任务 3·往后推每一例再往后写三个数，算出第 10 个是多少。
任务 4·想一想如果这个数列一直走 100 步，会不会数得完？为什么？
做完以后和同学交换看看：别人找到的例子和您的一样吗？有没有哪个例子让您觉得「原来这也算等差数列」？
第 5 单元 · UNIT 5
拼图与覆盖
p.37–45 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.37导入
俄罗斯方块的祖先
课间，图图在纸上画满了方格，一个一个往下填，玩得不亦乐乎。小杏凑过去看：「您这画的是什么？」
图图说：「像俄罗斯方块呀！」他画了四种小块：一条直的三格、一个 L 形的三格、一条直的四格、一个正方形的四格。
王老师听到了，笑着说：「各位读者在玩的东西，数学家几十年前就在研究了。它有个正经名字，叫覆盖问题——用小块把一个图形铺满，不许重叠，也不许留空。」
阿禾问：「铺满有什么用？」王老师说：「铺满就是面积。您要给房间铺地砖，要算出一块地要几块砖，用的就是这个本事。」
铺砖、贴画、拼垫子——数学里最实在的一种能力，就藏在「铺满」这件事里。
p.38规则
覆盖规则：不留空不重叠
覆盖游戏的规矩只有四句：
规则一要盖的图形画在方格纸上，一格一格数清楚。
规则二用来盖的小块由若干小格组成，比如「两格条」（多米诺）、「三格条」、「L 形三格块」。
规则三不许重叠：同一格只能被一块盖住，不能盖两层。
规则四不许留空：图形里每一格都要盖到，一格都不许漏。
先数格子数要盖的图形一共几格？每一块盖几格？格子数除不尽，就一定盖不满。
再想位置小块可以横放、竖放，有的还能翻面。放的位置不同，后面的可能就不同。
盖完要检查数一遍：盖住了多少格？和图形的总格数一样吗？
开始前先把「小块盖几格」和「图形有几格」写下来。算一算能不能整除，能省掉很多白费功夫的尝试。
p.39试玩
用两块三联方覆盖长方形
第一关：用两块「三格条」盖住一个 2 × 3 的长方形。
长方形一共 2 乘 3 等于 6 格，两块三格条正好 6 格，除得尽——有希望。
摆法一两块三格条上下并排：上面一格横着放，下面一格横着放，正好铺满。
摆法二·换成 L 形如果手里是两块 L 形的三格块，也能铺满。第一块占左上三格（上二格加下一格），第二块正好补上剩下的三格。
摆法三·L 形另一种把第一块换个方向摆，第二块跟着转——注意：转方向以后是不是真的不一样？有的摆法只是「翻了个身」，其实和前面是同一种。
数一数有几种。用两个 L 形三格块，盖满 2 × 3 的长方形，一共只有 2 种不同的摆法。用两块三格条呢？只有 1 种——因为长方形的宽刚好是 3，两条并排就完事了。
要点：方案不多，但要数清。数的时候要判断「是不是真的不一样」——转来转去还是一样，就不算新方案。
p.40策略
先铺角落
覆盖大图形时，有一条特别好用的策略：先铺角落。
为什么是角落角落那一格，只有两个方向可以伸出小块（往右、往下）。能盖住它的方式最少，所以最好先定它。
第一步选最左上角那一格，想：盖住它的这一块，能怎么摆？把所有摆法都试一遍。
第二步每试一种，就往下走一格，找下一个「最难盖」的格子——通常是新的角落。
第三步如果走到某一步怎么摆都摆不下，就退回上一步换一种摆法。这叫「回头试试」。
用 2 × 4 的长方形试试。用两格条（多米诺）去盖：左上角那一格，要么横着盖（和右边一格配一对），要么竖着盖（和下面一格配一对）。从这两种开始往下推，一共能推出 5 种不同的铺法。
试的时候准备一支铅笔，把每种摆法都画在方格纸上。光在脑子里想，很容易漏掉方案。
要点：先动手最难的地方，再顺着往下走——这条策略不只用在铺地砖上，做别的事情也一样管用。
p.41进阶
多种覆盖方案计数
进阶玩法：不是求出一种铺法，而是数清一共有几种。
第一步·定图形这次的长方形是 2 行，长度是 4 格——一共 8 格。
第二步·定小块用两格条（多米诺），8 格需要 4 块。
第三步·一个一个数从左上角开始：如果第一块横着放，剩下的部分有 3 种铺法；如果第一块竖着放，剩下的部分有 2 种铺法。合起来是 5 种。
第四步·再加长把长方形加长到 2 × 5 格（10 格），再用同样的办法数一数，会发现是 8 种。
一个漂亮的规律。把 2 × 1、2 × 2、2 × 3、2 × 4、2 × 5 的方案数排起来写：1、2、3、5、8——每一个数都是前面两个数的和！这个数列，我们在别的单元见过：它叫兔子数列。
要点：数方案的过程里，一个漂亮的规律冒出来了。数学最美的时刻，常常就是这样——您本来只是数数，却数出了一条隐藏的关系。
p.42复盘
覆盖失败的原因
铺不满的时候，先别急着换小块。想想是哪种原因。
| 失败的样子 | 原因 | 怎么办 |
|---|
| 怎么摆都差一格 | 格子数除不尽 | 先算格子数，除不尽就别试了 |
| 有一格永远盖不住 | 那块是「死角」 | 回到上一步换个摆法 |
| 总有格子重叠 | 没有按「先铺角落」走 | 从最左上角重新开始 |
一个有趣的例子在 2 × 3 的长方形上，先用一块三格条横着占满上面一行，下面一行是 3 格，正好再放一块三格条。
另一个例子如果长方形的格子数是单数（比如 2 × 3 去掉一格，剩 5 格），用两格条一定盖不满——因为 5 除以 2 除不尽。
最后这个最妙方格棋盘的黑白两色是一样多的。如果去掉两个同色的格子，剩下黑白就不一样多了；而一块两格条永远盖住一黑一白——所以怎么铺都不可能铺满。
要点：有些「铺不满」是注定的。找出这个「注定」的理由，比一直试着硬铺有本事得多。
p.43思想卡
p.7
思想卡·覆盖是面积的前身〔方田〕
给家长和老师的话：「铺满」是孩子理解面积最自然的一条路。请多让他真的用方格纸剪小块去铺一铺，别只做题。铺过一次，他才知道「面积就是盖住了多少格」。
九章小语：《九章算术》〈方田〉算田地的面积，用的正是「步」数一格一格地数；算粮堆的体积，也是一个格一个格往上加。先学会用格子铺满，才谈得上算出面积。铺的过程看着笨，可它是最诚实的一种算法。
把一句话带回家：面积不是量出来的，是「盖住多少格」数出来的。
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p.44对弈赛
覆盖挑战赛
两人一组，方格纸和几块剪好的小纸片，来一场覆盖挑战赛。
第一轮·谁先铺满裁判指定图形（2 × 4）和小块（两格条），两人同时开始铺，先铺满的得 2 分。
第二轮·谁铺得多同一个图形，两分钟内看谁找到的铺法多。每多一种加 1 分，重复的摆法不算。
第三轮·找出不可能裁判给一个「盖不满」的图形（比如单数格，或者去掉两个同色格的棋盘），谁先说出「为什么不可能」得 3 分。
第四轮·自己出题两人各设计一道题：一个「能铺满」的，一个「铺不满」的。交换来解，解对一题得 2 分。
判分的关键一句。说「铺不满」的时候，不能只说「我试了半天不行」，必须说出理由——是格子数除不尽，还是黑白格数不对。说不出理由不算分。
玩完想一想：为什么「说清理由」比「铺出来」更值钱？——因为铺出来只是这一次，理由能管以后所有的题。
p.45游戏·任务
用纸片拼满一块垫子设计
这个单元的最后任务，是当一次小小设计师：
任务 1·画格子在纸上画一个长方形，长 8 格、宽 4 格——这就是您的「垫子」。
任务 2·剪小块剪出若干两格条（或者三格条），给它们涂上两三种颜色。
任务 3·拼满不留空把垫子铺满，一块不重叠、一格不留空。铺的时候数清一共用了几块。
任务 4·换个花样同样一块垫子，试着用另一种铺法再铺一遍，和第一遍比一比：哪一遍更漂亮？
铺完把作品贴到纸上带回来。下节课我们办一个小展览：比一比谁的垫子花样最多、颜色最漂亮，谁用的块数最少。
第 6 单元 · UNIT 6
数学故事会
p.46–54 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.46导入
数学家的小故事从听开始
这节课王老师什么也没带，只搬了张椅子坐到全班中间。
「今天不上新课，」她说，「我们讲故事。」全班都坐直了。图图小声嘀咕：「数学课讲故事？」
王老师笑了：「您怎么知道数学只有算式呢？数学的声音，很多是以故事的形式传下来的。两千多年里，人们把一些想法编成故事，一代一代讲下去——故事比公式好记，也比公式好听。」
小杏举手说：「老师，我知道曹冲称象！」阿禾说：「我听过田忌赛马！」王老师说：「好，今天我们就讲四个故事，看看故事里藏着哪一种数学。」
故事的开头往往是「从前」，可故事里藏的道理，到现在还在用。
p.47精讲
曹冲称象：等量替换〔方程〕
这个故事记在《三国志》里。曹冲只有五六岁，还是个很小的孩子。
故事。有人送来一头大象。曹操想知道这头象有多重，可当时没有那么大的秤，大臣们想了很久都没有好办法。
曹冲的办法。① 把大象牵到船上，在船舷上刻一条线，记下水面的位置；② 把大象牵下来，往船上装石头，一直装到水面又升到那条线；③ 这时候，船上的石头和大象一样重；④ 把石头一块一块称出来，加起来就知道了。
他做了什么他没有造出更大的秤，而是把大象换成了石头——换成一批称得动的东西。
道理是什么两样东西让船沉到同样的深度，就说明它们一样重。这条道理叫「等量替换」。
为什么了不起问题本身没有变小，但他找到了一个「可以动手做」的等价问题。这是数学里最有力的一招。
要点：遇到做不了的事，就换一个「一样意思但做得成」的事。等量替换，是化难为易的古老智慧。
p.48精讲
田忌赛马前传：孙膑的观察
这个故事记在《史记》里。田忌是一位将军，他常和齐威王赛马。
马分三等。两家的马都分成上等、中等、下等。田忌的马每一等都比齐威王的同等级马差一点点，所以他每次都输。
孙膑在旁边看了很久。他发现：田忌的上等马虽然比不过齐威王的上等马，但一定能赢齐威王的中等马；田忌的中等马也一定能赢齐威王的下等马——「差一点点」差得不多。
于是他出了个主意。用下等马去对齐威王的上等马（输一局）；用上等马对中等马（赢一局）；用中等马对下等马（赢一局）。三局两胜，田忌赢了。
赢在哪里马没有换，实力没有变，变的只是出场的顺序。
观察的价值孙膑不是凭运气，他是先看清了「哪匹马能赢哪匹马」，才敢这么安排。
数学的用处把事情排一排、比一比，找出最好的搭配——这就是一种数学思考。
要点：有时不是本事不够，而是安排不好。会安排，本身就是一种本事。
p.49精讲
高斯的算术课
这个故事前面讲过，这一次我们把它看得更细一点。
老师出的题：1 加到 100。别的孩子从 1 开始一个一个加，高斯却在纸上把数写成了两行：
1、2、3、……、100
100、99、98、……、1
他发现每一列加起来都是 101。一共 100 列，所以两行加起来是 100 乘 101 等于 10100。可是每个数被加了两次，所以真实的和是一半——5050。
他做对了两件事第一，把数重排了一遍；第二，发现每一对的和都一样。前者是勇气，后者是眼光。
方法可以再用同样的办法可以算 1 加到 1000，也可以算 2 加 4 加 6 一直加到 100。学会一次，受用很久。
动手试一试：把 1 到 10 写成两行，自己配一配，看看是不是每对都是 11。这样算出来的和是 55——和前面那节课算的一样。
要点：同样一道题，换个写法就变简单了。数学的进步，常常就发生在「换个写法」的那一刻。
p.50精讲
阿基米德与皇冠
这是古希腊流传下来的一个传说，故事的主角是一位叫阿基米德的大数学家。
国王的疑问。国王请工匠做了一顶金皇冠，可是做完以后，他怀疑工匠偷偷掺了银子。皇冠不能切开来看，也不能熔化，怎么才能知道它是不是纯金？
阿基米德想了很多天。据说他在洗澡的时候，看见自己坐进浴盆后水会溢出来，忽然想通了：东西放进去，会挤走同样体积的水。
他的办法。拿来一块和皇冠一样重的纯金块，把皇冠和金块分别放进水里，比一比挤出来的水谁多。如果皇冠挤出的水更多，说明它的体积更大——体积大而重量一样，就说明里面掺了比金子轻的银子。
关键的一步他不能直接量皇冠的体积（皇冠形状太复杂），于是把「体积」变成「挤出来的水」——又是一个「等价替换」。
和曹冲的比较曹冲把「大象的重量」换成了石头的重量；阿基米德把「皇冠的体积」换成了水的体积。两位相隔万里，用的是同一招。
要点：好的想法会到处出现。您在一个故事里学会的招数，常常能在另一个故事里再生效一次。
p.51练习
故事复述卡
听完四个故事，请把一张「复述卡」填完。填得完整，说明您真的听懂了。
| 故事 | 遇到了什么难题 | 用了什么巧思 |
|---|
| 曹冲称象 | | |
| 田忌赛马 | | |
| 高斯的算术课 | | |
| 阿基米德与皇冠 | | |
A 组·答一答 ① 曹冲为什么要在船舷上刻那条线？② 田忌的马没有变，为什么结果变了？
B 组·找一找 四个故事里，哪两个用了「等量替换」这一招？说说您是怎么发现的。
C 组·想一想 如果皇冠比金块挤出的水少，您会怎么判断？为什么？
C 组要用上「重量一样、体积不同」这条线索。想清楚了，您就真的读懂了那个故事。
p.52思想卡
p.7
思想卡·每个故事都有一个巧思
给家长和老师的话：故事是最好的数学入口。请和孩子一起把故事讲一遍，然后只问一句：「他的巧思是什么？」——这一问，比讲十遍知识点更能留下东西。
想一想：四个故事，四个难题，可是它们的巧思很像：把难的换成容易的。大象换成石头，体积换成水，加法换成配对，顺序换一种排法。数学史里最精彩的想法，大多长这个样子。
把一句话带回家：故事里最值钱的不是答案，是那个「他怎么想到的」。
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p.53游戏迁移
故事接龙
四人一组，一起编一个「数学故事」。规则说清了，就能编得很好玩。
第一步·定主角第一个人说出故事的主角：一只小松鼠、一位小木匠，或者您自己。
第二步·出难题第二个人给主角一个难题，而且难题里必须带一个数：比如「要量出一棵大树有多高，可是爬不上去」。
第三步·想巧思第三个人说出一个巧思，而且要用上我们学过的办法：估一估、换成等量、找个规律、排一排顺序。
第四步·收尾第四个人把故事讲完，并说出里面的数学是哪一种（估计、替换、规律还是安排）。
轮流升级。一轮讲完，换一个人当「定主角」的人，再讲一个。四轮之后，全组选出最好的一个故事，讲给全班听。
玩完想一想：编故事的时候，最难的是哪一步？——多半是「想巧思」。讲故事容易，想出一个真能解决问题的巧思才难。
p.54游戏·任务
给家人讲一个数学故事
这个单元的最后任务，是当一次「故事讲解员」：
任务 1·挑一个从四个故事里挑一个您最喜欢的，先自己讲顺了。
任务 2·讲一遍讲给家人听。讲的时候要讲清三件事：难题是什么、巧思是什么、结果怎样。
任务 3·问一句讲完问家人：「您觉得他的巧思是什么？」听听他们的回答。
任务 4·记下来把家人的回答记在下面，看看和您想的一样不一样。
如果家人没听懂，别急着重讲一遍——换一种说法试试：加一个动作、画一张图。能用两种方式讲清一件事，说明您真的懂了。
第 7 单元 · UNIT 7
方位与路线
p.55–63 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.55导入
学校到公园怎么走
周末，小杏要到公园去找同学。妈妈给她打了个电话：「您从学校出发，出门先往东走，走到路口再往北走一段，就能看到公园的大门了。」
小杏听懂了「往北」是什么意思吗？她在原地转了一圈，发现自己分不清哪边是东、哪边是北——只好又打电话问了一次。
图图笑她：「连东南西北都分不清呀？」王老师听见了，说：「别笑。方向感是可以练出来的，练的方法就是——把地图看明白。今天我们就来学怎么看方向、怎么说路线。」
认路靠的不是记性好，是心里有一张图。这张图，是可以学出来的。
p.56精讲
东·南·西·北
方向有四个基本的：东、南、西、北。它们的顺序是固定的，绕一圈正好回到原处。
向东太阳升起的方向。早上面对太阳，您就在朝东。
向南和东垂直，往右转 90 度的方向。
向西太阳落下的方向，和东正好相反。
向北和南正好相反，也是地图上方指的方向。
转一转就记住了。从东出发，一直顺着一个方向转：东、南、西、北、东……每转一次是 90 度，转四次回到原处。这就是四个方向的固定顺序。
相对的方向。东和西相对，南和北相对。说「往东的反方向走」，就是「往西走」。
要点：东南西北的顺序是转出来的，不是背出来的。伸出手指转一圈，一辈子都不会忘。
p.57精讲
平面图上的方向
地图上的方向有一个全世界通用的约定，只有四句话：
上北、下南、左西、右东。
拿到一张地图，先找右上角或左上角的指北针——它指的那一边，就是北。
为什么这么定这是几百年来大家商量好的规矩。规矩一致，不同国家的人才能看懂同一张地图。
怎么用看图上两个地方的关系：一个在图的上方，那它就在另一个的北边。
别搞反最容易错的是把「左」当成北。请每天默念一次：上北、下南、左西、右东。
看图说话。在一张简单的地图上：图书馆在学校的上方，公园在学校的右边。
那么：图书馆在学校北边，公园在学校东边。反过来说，学校在图书馆南边，在公园西边。
说方向时，一定要说清「谁在谁的哪一边」。只说「在北边」，别人不知道是以哪里为准。
要点：地图的方向是一条约定。约定清楚了，陌生人也能照着走。
p.58精讲
描述路线：从哪往哪
描述一条路线，只要把「起点、方向、距离」一件一件说清。
路线的说法从（起点）出发，向（方向）走（多远），再向（方向）走（多远），到达（终点）。
例一。从学校门口出发，向东走 200 米，再向北走 150 米，就到了公园大门。
例二（带拐弯和回头）。从家出发，向南走 300 米，向西走 100 米，再向南走 50 米，就到了超市。
三个要素缺一不可少了方向，不知道往哪走；少了距离，不知道走多远；少了起点，不知道从哪算起。
说清拐弯的顺序先走哪一段先说，按顺序说。顺序一乱，路线就乱了。
走回头也很常见「向西走 100 米，再向东走 100 米」——正好回到原处。
要点：好的描述，能让别人闭着眼睛也走对。这就是「说得清」的价值。
p.59精讲
简单路线图设计
换一个方向：您自己来设计路线，让别人照着走。
第一步·画格子在纸上画一张方格图，标上「上北下南左西右东」。
第二步·放地点先放好起点和终点，再在中间放两三个小地点（小店、花坛、路口）。
第三步·画路线用箭头把路线画出来，每一段标上方向和大致的格数。
第四步·写说明在图旁边把路线写成一句话，像这样说：「从起点向东走 3 格，再向北走 2 格，再向东走 1 格，到达终点。」
自检三问。① 我的方向标对了吗？② 数一数，我写的格数和图上画的箭头一样吗？③ 别人照着我的话走，能走到终点吗？
要点：画图的人要替走路的人着想。能替别人想明白，才是真的清楚了。
p.60练习
路线描述题
A 组·填方向 ① 太阳升起的方向是（ ）；② 和北相对的方向是（ ）；③ 地图上方的方向是（ ）。
B 组·判断相对方向 ① 图书馆在学校的北边，那么学校在图书馆的（ ）边；② 邮局在超市的西边，那么超市在邮局的（ ）边。
C 组·描述路线 从您家出发去最近的便利店：先向（ ）走（ ）米，再向（ ）走（ ）米，就到了。
D 组·想一想 小华从家向东走 100 米，再向西走 100 米，最后又向北走 50 米。他一共离家多远？在家的哪个方向？
D 组的诀窍：先把「向东又向西」两步抵消掉，再看最后那一步。抵消是一种很好用的想法。
p.61思想卡
p.7
思想卡·方向感是空间的第一课
给家长和老师的话：请多带孩子「认路」：出门前让他说方向，回家路上让他当向导。方向感不是天生的，它是一次次真实走路练出来的。认路的本事，会一直用到成年。
想一想：为什么「上北下南左西右东」要用一个约定？因为每个人站的位置都不一样。如果没有共同约定，您说「往左」，站在对面的人就要往他的右边走——有了共同的约定，方向才不是私人的感觉，而是人人都懂的语言。
把一句话带回家：方向先是感觉，有了约定以后，它才成为可以告诉别人的话。
扫码开玩 ·「路线台」本单元配套游戏站（P2-4《游戏数学·二之夏》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p2-4.html?u=7
p.62游戏迁移
寻宝游戏
四人一组，一人当「藏宝人」，三人当「寻宝人」。场地可以是教室，也可以是操场的一角。
第一步·藏宝藏宝人把一个小物件藏在某个角落，然后在纸上写下一条路线说明，只写方向与步数。
第二步·交图说明里只能包含这两句式样：「向东走 4 步」「向北走 2 步」。不许写「在讲台后面」这样的话。
第三步·寻宝三位寻宝人轮流照着念、照着走。走错一步就要退回起点重来。
第四步·换人找到宝物后，换另一个人当藏宝人。四轮之后看谁藏得最巧、谁找得最快。
给藏宝人的提醒。先把「哪边是北」指给大家看，再写说明——方向没有共同起点，这张说明就废了。这是藏宝人最容易犯的错。
玩完想一想：为什么「藏得巧」也是一种本事？——因为藏得巧靠的不是运气，是把一条路线说得刚好、不多不少。
p.63游戏·任务
画一张从家到学校的路线图
这个单元的最后任务，是画一张自己每天走的路：
任务 1·标方向在纸上画方格，标好「上北下南左西右东」，画一个指北箭头。
任务 2·画路线画出从家到学校的大致路线，用箭头表示每一段的方向，标上大致走了多少米或多少步。
任务 3·标地点路上有两三个熟悉的地方（一个路口、一家小店、一棵大树），把它们标在图上。
任务 4·写说明在图旁边写一段话，让别人照着能走到。写好后请家人照着试一试。
| 从家到学校 | 向哪个方向 | 大约多远 |
|---|
| 第一段 | | |
| 第二段 | | |
| 第三段 | | |
画完以后和同学交换看一看：别人的路线图上，方向标对了吗？您能不能照着他的说明走一遍？
第 8 单元 · UNIT 8
游戏站：数学集市
p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.64导入
集市开市：摊位申请
学年最后一次数学课。教室被重新布置了一番：桌子围成一个圈，墙上贴了海报，门上挂着一串小彩旗，上面写着三个大字——数学集市。
王老师发下「摊位申请表」。表上要填三样：摊名、摊主是谁、这个摊要考大家哪一种本事。
六个摊位很快就被认领完了。① 测量摊（估长度、称重量）；② 数列摊（找规律、配对求和）；③ 覆盖摊（拼满不留空）；④ 方位摊（说路线、认方向）；⑤ 故事摊（讲一个数学故事）；⑥ 挑战摊（综合难题）。
图图一边填表一边问：「老师，摆摊能学到什么呀？」王老师说：「摆摊要讲清规矩、要判分、要让别人服气——这三件事，比做十道题都难。」
这一年我们玩过九九歌、平均分、对称、时间、数阵、火柴、二十四点、数独、七巧板、覆盖、故事、方向……今天把它们一起摆出来。
p.65规则
摊主与顾客规则
集市是两个人的事：摊主要出题、判分；顾客要答题、守规矩。规则一共五条：
规则一每摊一人当摊主、两人一组当顾客。顾客逛摊时，先听摊主讲清规则再开始。
规则二每摊满分 10 分，题目由摊主自己设计，但要和本摊的主题符合。
规则三每摊限时 6 分钟。时间一到，摊主收摊、结分，顾客换到下一个摊。
规则四顾客答题要动手做，不许只报答案。摊主判分后要说一句「为什么对」或者「哪里错了」。
规则五不许贿赂、不许放水。摊主给分必须说得出理由，说不出理由的分数要撤回。
摊主的额外工资每接待一组顾客，摊主得 2 分「工钱」。接待的组越多，摊主分越高——所以摊主要把规则讲得又快又清楚。
顾客的额外加分如果顾客在摊上提出了一个摊主没想到的好问题，全组加 1 分。
开市前十分钟，给摊主一点时间「备课」：把题目先写在小卡片上，把判分的标准想清楚。备过课的摊，生意一定好。
p.66试玩
摊①测量②数列
集市先从两个比较轻松的摊开始，让顾客熟悉流程。
摊①·测量摊。摊主给出三样东西（一本书、一支笔、一把橡皮），要求顾客：① 先估一估它们分别有多长多宽；② 再用尺子量出来；③ 算一算估计和实际差多少。三样都估得接近（误差在 1 厘米以内）得 6 分，能把「为什么差」说清再加 4 分。
摊②·数列摊。摊主写出一串数，要求顾客：① 说出公差；② 再往后写三个数；③ 用配对法算出前 10 个数的和。全对得 7 分，能自己另出一串考摊主再加 3 分。
测量摊的窍门先找参照物——用自己的手指宽度当 1 厘米，估起来就准得多。
数列摊的窍门先把公差写在数列上面，再一格一格往后推。写下来，别只在心里数。
要点：头两个摊的意义是「热身」——把流程走顺，顾客就知道后面几摊该怎么逛了。
p.67策略
摊③覆盖④方位
走到一半，这两摊需要用策略。
摊③·覆盖摊。摊主画一个 2 × 4 的长方形，发四块两格条，要求顾客铺满：铺出一种得 4 分；能说出「一共有 5 种不同铺法」再加 4 分；能说出「为什么用三格条就铺不满」再加 2 分。
摊④·方位摊。摊主画一张简单的地图（上面放三四个地点），要求顾客：① 说出各地点在起点的哪个方向；② 写出从起点到其中一个地点的路线说明。全对得 6 分，能画出反向的路线再加 4 分。
覆盖摊的策略先铺角落。左上角那一格只有两种盖法，每试一种往下推，就不容易乱。
方位摊的策略先在图的角落写上「上北下南左西右东」四个小字。写上去，脑子就不会转晕。
共用的策略两摊都要「先写下来，再回答」。写下来的东西能检查，脑子里想的东西查不了。
要点：有策略的人做得慢一点，却做得稳。稳，往往就是快。
p.68进阶
摊⑤故事⑥挑战
最后两摊最考验人：一个要会说，一个要会想。
摊⑤·故事摊。顾客要从四个故事里挑一个（曹冲称象、田忌赛马、高斯的算术课、阿基米德与皇冠），按「难题—巧思—结果」三句话说清。说得完整得 7 分，能说出巧思加 3 分。
摊⑥·挑战摊。摊主出三道综合题，比如：
① 用 1 到 6 填三角形数阵，使三条边的和相等；
② 6 ＋ 4 ＝ 4，移动一根火柴让它成立；
③ 用 1、2、3、4 算出 24（至少说出两种办法）。
每做对一道得 3 分，能说出思路再加 1 分。
故事摊的诀窍先在心里把三句话排好顺序再开口。想好了说，比边说边想清楚得多。
挑战摊的诀窍三道题里先挑最有把握的那道做。拿下第一道，后面的心就定了。
要点：会做不算全本事，会讲才算。两样都会的人，才够格当摊主。
p.69复盘
集市盈亏账
集市收摊了，各组开始算账——算的不是钱，是分数与收获。
| 摊位 | 得分 | 最卡的地方 |
|---|
| ①测量 | | |
| ②数列 | | |
| ③覆盖 | | |
| ④方位 | | |
| ⑤故事 | | |
| ⑥挑战 | | |
| 摊主工钱 | | |
复盘三问① 六摊里哪一摊最亏？② 亏在不会做，还是亏在没时间、没分工？③ 如果暑假要补一样，我会先补哪一样？
写一句给自己「这一年我学得最好的是（什么），最想再练的是（什么）。」写下来，贴在书桌前。
要点：这张账目不是排名，是一份「下一步该往哪儿走」的清单。
p.70思想卡
p.7
思想卡·数学是可以摆摊的手艺
给家长和老师的话：一学年的数学游戏到此收尾。请和孩子一起把这一年的玩法念一遍，让他看见自己长出来的本事——「会估、会算、会验证、会讲清」。这些本事，比任何一张分数单都耐用。
二年级的收获打包：厘米米千米的重量、三位数加减与验算、表内乘法与除法、图形与运动、时间与方向、数阵与数独、七巧与覆盖、推理与证明、还有四个故事。
它们背后其实是同一件事：在规矩里想办法，并且把办法说给别人听。
把一句话带回家：手艺不是记在纸上的，是长在手上的——数学也一样，用得多，才是您的。
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games/p2-4.html?u=8
p.71对弈赛
最佳摊主评选
集市之后，全班投票选「最佳摊主」。奖项不止一个，每个奖项都值得争。
最会讲奖谁的规矩讲得最清楚？顾客一听就懂，不用问第二遍。
最会判奖谁的判分最有道理？有同学答错了，他能说清错在哪里。
最会出题奖谁的题目最有意思？不难倒人，也不让人一下做出来。
最会救场奖顾客卡住的时候，谁能给一个刚好的提示，把他「扶」到答案边上，而不是把答案说出来。
还要评一个「最会提问奖」——给顾客。谁能提出一个摊主没想到的好问题，谁就得这个奖。
玩完想一想：为什么「最会救场奖」最难拿？——因为提示给多了等于代做，给少了又帮不上忙。拿捏分寸，是真正的高手。
本学期数学游戏在此收官。这一年，您从「数一数几颗石子」，走到了会推理、会验证、会讲清的二年级。为三年级，我们准备了一件新的礼物：「格物小树」奖章。它不长在手上，长在心里。
p.72游戏·任务
假期在家开一次家庭集市
这个单元的最后任务，也是二年级的最后一件任务：在假期里，为家人办一次小小的数学集市。
任务 1·选三个摊从六个摊里选三个，自己当摊主，准备好题目与小卡片。
任务 2·讲清规则每位家人当一次顾客。您要把规矩讲清，不许含糊。
任务 3·判分与讲评家人答完，您要判分，并说出理由——对在哪里、错在哪里。
任务 4·写一封信给三年级的自己写一封短信：这一年我最喜欢的一种玩法是（什么），我最想变强的是（什么），我希望三年级的我做到（什么）。
开学时把这封信带来，交给三年级的老师。等三年级的学年结束，再拆开读一次——您会发现一个很有意思的对比：那时的您，又长高了一截。