度量的世界

本书怎么读：一个单元九页

全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；＋ − × ÷ ＝ 各就各位；上标用小肩数字，如 1 米＝10 分米、1 千米＝1000 米。长度单位：千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）；面积单位：平方米（m²）、平方分米（dm²）、平方厘米（cm²）。

1 分钟能做什么：体验活动

上课铃响了，王老师没有打开课本，而是举起一个沙漏：「先不学新东西，我们来玩一个『一分钟』的游戏。」

「奇怪，」小满说，「刚才闭眼的那一分钟特别长，跳绳的这一分钟特别短。」

王老师笑了：时间是公平的——每一分钟都一样长；长长短短的，是我们心里的感觉。要认识时间，不能靠感觉，要靠测量。这个单元，我们就来认识时间家里最小、跑得最快的成员——秒。

秒针与秒：最短的时间单位

钟面上住着三兄弟：又短又胖的时针，高一点的分针，还有最细最长、跑得最快的秒针。

生活中的秒到处都是：红绿灯的倒计时用秒数，微波炉「叮」之前跳的也是秒数，运动员冲刺计时精确到十分之一秒。

想一想：哪些事情用「秒」来量合适？眨一下眼、深吸一口气，大约 1～3 秒；写一个字、系一颗扣子，就要用「分」来量了。单位选得小，量得才精细。

1 时＝60 分，1 分＝60 秒

时间单位像一组齿轮，一个咬着一个转：

把「60」当作时间世界的口袋：装满一个口袋就升一级，倒空一个口袋就降一级。

时间计算：经过时间

「动画片 8:30 开始，8:55 结束，播了多久？」像这样求一段时间的长短，叫求经过时间。

在钟面图上画箭头，把经过的时间分段标出来，就不会数丢。

作息中的时间安排

会算时间，就能当自己的「时间小管家」。

安排时间分三步：① 列出每件事要花的时间；② 依次相加；③ 和出门或开始时刻对一对。

王老师说：「会把时间加起来的人，就再也不会被时间追着跑了。」

单位换算与计算

一分钟挑战赛

玩法（4 人一组，轮流当计时员）：计时员按下秒表喊「开始」，其余三人在一分钟内完成同一个挑战项目，时间一到齐声喊「停」。

计分：每项第一名 3 分，第二名 2 分，第三名 1 分。三轮过后总分最高者获「分秒必争」勋章。

玩完想一想：为什么估 60 秒总有人数快了？因为心跳和数数的节奏都会赶——要量时间，还是要靠钟表和秒表。

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记录自己刷牙穿衣的用时

今天回家做一个「时间小侦探」：

任务　① 请家长帮忙计时（或用计时器），分别记录您刷牙、穿衣服、吃早饭各用几分几秒；② 把三次用时填进表格；③ 算一算：从起床到出门一共用了多少时间？

如果哪一项比 3 分钟还长，试试明天提速一点——您已经会算经过时间了，完全管得住自己的一天。

电路检修车的行程

城东停电了，检修车得赶过去。显示屏上跳出两行字：

「一共要修多少户？」阿禾张口就报：「358 加 264……」加到一半卡住了：8＋4 满 12 了怎么办？

傍晚回来，屏幕又问：「今天共修 622 户，上午修了 358 户，下午修了多少？」这回是新问题：2 减 8 不够减！

原来，数变大了以后，加减法也会遇到新麻烦——满十要进位，不够要退位，而且还会连着来。这个单元，我们就把三位数的加减法练得又准又快。

三位数加减三位数

三位数加减，靠的是位值：个位管个位，十位管十位，百位管百位，各算各的，互不打架。

竖式三句话：相同数位对齐，从个位算起，满十向前一位进 1。个位 8＋4＝12，写 2 向十位进 1；十位 5＋6＋1＝12，写 2 向百位进 1；百位 3＋2＋1＝6。得 622。

连续进位与退位

麻烦来了：进位、退位连着出现，一次比一次考验细心。

退位口诀：不够减，向前借一位；借过的数位记得减 1。

500−268 这样的题，连续退位要「跨」过中间的 0——0 自己没得借，它是传递员：把借来的 1 变成 10 转手借出去，自己剩 9。

验算方法整理

算得快不如算得对。验算是给答案上一道保险，方法有三样：

养成习惯：竖式做完别急着擦，花 20 秒验一遍——20 秒能拦住一个大错，这笔账很划算。

解决问题：相差与合计

应用题里最常见的两件事：把几部分合起来（合计），或者比一比多多少、少多少（相差）。

解题先画一幅小图：两条长短不同的线段，谁长谁短一目了然，加还是减就不会选错。

竖式与纠错题组

计算接力赛

玩法（每组 4 人一列）：黑板上有一串算式，每人上台只做一题，做完把粉笔交给下一位，全组先做完且全对的组获胜。

规矩：后一棒发现前一棒有错，可以先纠错再往下算——纠错加分，错而不改扣分。接力赛比的不只是速度，更是互相把关。

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查两个月电表算用电量

家里的电表每月都在往前走，会读数就会算用电量：

任务　① 请家长帮忙，抄下本月 1 日和月底电表的读数（或者查两张电费单）；② 用减法算出这个月的用电量：月底读数 − 月初读数；③ 再算一算和上个月比，是多用了还是少用了，相差多少？

电表的数字只往前进，从不清零——所以「这一段走了多少」，永远用「后读数减前读数」。这与经过时间的算法一模一样。

硬币的厚度怎么量

科学课上要记一枚 1 元硬币的「身高」。小杏拿厘米尺一比：硬币比 1 厘米矮，比 9 毫米高一点，卡在两个刻度中间，量不出来！

阿禾出主意：「把 10 枚硬币叠成一摞再量。」量出来是 18 毫米多一点点，还是不整。

老师拿来一把新尺子——刻度比厘米尺密得多。「厘米」这只鞋太大了，硬币的脚只能穿更小的鞋。要量得更精细，就得有更小的单位。今天我们把长度单位家族的新成员请出来：毫米、分米，还有大个子千米。

毫米：更精细的分度

厘米尺上 1 厘米之间的小格，每一小格就是 1 毫米。数一数：1 厘米里有 10 个小格。

什么时候用毫米？量硬币、量雨点直径、量螺丝钉、医生量瞳距——当厘米量不出来的时候，毫米就上场了。

分米：10 厘米一搭

伸出大拇指和食指，轻轻张开：从指尖到指尖大约就是 1 分米。一枚粉笔盒的高、一枝圆珠笔的长，都接近 2 分米。

有了分米，长度家族从大到小排好了队：

千米：走一走 1 千米

1 千米有多长？绕操场跑道（一圈 400 米）走两圈半。放学走一走：从校门口到家，如果走了 15 分钟，大约就是 1 千米。

马路上「限速 40」是指每小时不超过 40 千米；天气预报的「降水量 10 毫米」用的是毫米——大单位量辽阔，小单位量细微，各司其职。

单位换算全表

把长度家族画成一张梯子，往上走乘 10，往下走除以 10：

选单位·换算·比大小

单位对对碰

准备：每人一套 16 张卡片——8 张写数量（如「2 分米」「3 千米」「15 毫米」），8 张写实物（如「课桌的高」「两站公交的距离」「指甲盖的宽」）。

玩法（2～4 人）：像玩配对牌一样轮流抽对方的牌，抽到能「合理配对」的一对（数量和实物匹配）就亮牌得 1 分，配错了扣 1 分并由对方纠正。

对对碰的真功夫不在背换算，而在心里有杆秤：一说「2 分米」，脑子里就浮出铅笔盒的长度。

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量五样小物精确到毫米

任务　① 在家里找五样比 1 分米短的小东西（如橡皮、钥匙、纽扣、硬币、勺柄）；② 用毫米刻度逐一量长，记到整毫米；③ 按从长到短排个队；④ 选最长和最短的两样，算出差是多少毫米、合几厘米几毫米。

量的时候眼睛正对刻度，尺的 0 刻度线要对齐物体的一端——读数准，先姿势对。

兔子的萝卜是熊猫的几倍

劳动课上，饲养角今天分萝卜：兔笼里堆了 6 根，熊猫筐里放了 2 根。

小杏说：「兔子比熊猫多 4 根！」阿禾摇头：「不对，应该说兔子的萝卜是熊猫的 3 倍。」

两个人争起来了——一个说的是「多多少」，一个说的是「几倍」。老师把两组萝卜摆成图：

熊猫　◎ ◎
兔子　◎◎◎　◎◎◎（每 2 根圈成一组，正好圈了 3 组）

「6 里面有 3 个 2，所以 6 是 2 的 3 倍。『多 4 根』说的是差，『3 倍』说的是份——同样是比，比法不一样。这个单元我们就学『倍』这种新比法。」

倍：包含关系的比

「倍」的眼睛看的不是差多少，而是「里面有几个它」。

注意：说「几倍」的时候，要先说清「谁的几倍」。1 份选谁，是很重要的。份选得不同，倍数就跟着变。

求一个数是另一个数的几倍

求一个数的几倍是多少

倍与份：画图策略

倍数问题画线段图最清楚：1 份画一段短线条，几倍就接着画几段同样长的。

线段图一画，谁是 1 份、谁有几个 1 份、多几份，全在纸上——把话说清楚，不如把图画明白。

倍数题组

倍数拍手游戏

玩法（全班围圈）：从 1 开始轮流报数，报到 3 的倍数（3、6、9……）不报数、改拍手；拍错或报错的坐下，坚持到最后的三人获胜。

追问：报数报到 30 时，一共拍了几次手？哪些数又拍手又跺脚？（它们是谁的倍数？）

拍着拍着您就会发现：3 的倍数像每隔 2 个报一次的节拍——倍数就是乘法的脚步声。

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找生活中「几倍」的说法三例

任务　① 这周留心身边的「倍」，找三个真实例子（如：爸爸的鞋码、妹妹的年龄、一包纸巾的张数……）；② 每个例子写出三样东西：甲数、乙数、谁是谁的几倍；③ 挑一个例子，再算出「多多少」，体会差和倍两种说法。

新闻里的「增长 2 倍」、菜单上的「大份是小份的 2 倍」都算——练出「倍」的眼睛，处处是数学。

一盒彩笔 12 支，3 盒呢

美术课每组发一盒彩笔，一盒 12 支。老师问：「3 盒一共多少支？」

小杏扳手指：12＋12＝24，24＋12＝36。「加法能算，可要是有 8 盒呢？」图图说：「那就加 8 次，太累了！」

老师说：「加法累了怎么办？——请乘法来帮忙。乘法本来就是求几个相同加数的和的快算法。不过数大了以后（12×8），乘法自己也要有新的本事：口算有口算的巧，竖式有竖式的规矩，还会有『进位』这个小麻烦。这个单元我们一样一样收拾它。」

口算：整十整百乘一位数

竖式：不进位乘

两位数乘一位数，用竖式一步一步算：从个位乘起。

竖式：进位乘

某一位乘出来满十，就要向前进位——和加法的进位是老相识了。

口诀：个位乘起，满十进一（满二十进二……），进位数字写在心里或小角上，下一位别忘了加。

估算护航：169×4 约等于 170×4＝680，得数 676 靠谱；若算出 2676，先跟估算一对，立刻露馅。

中间有 0 的乘法

被乘数中间藏着 0，是最容易出错的路段。

竖式与解决问题

乘法侦探：找错游戏

玩法（2 人或小组）：一方当「出题人」故意算错一道乘法题（悄悄埋一个错误），另一方当「侦探」找错并改正，找到得 2 分并说明理由；找不出则出题人公布答案得 2 分。五题一轮。

当过出题人，您就知道了所有「坑」的位置——最好的复习，是替别人犯一遍错。

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算一算全家一周的鸡蛋数

任务　① 问一问家人：咱们家每天早餐大约吃几个鸡蛋？（比如 4 个）② 用乘法算一算：一周（7 天）一共吃几个？一个月（按 30 天）呢？③ 再算一笔账：鸡蛋每千克约 12 元，家里一周买 1 千克，一个月（4 周）买鸡蛋花多少钱？

把得数先估算一下范围（比如一天 4 个，一周 20 多个），再精算——估算和精算一对，答案就跑不掉。

教室的门是什么形状

数学课搬到门口上：老师让大家观察教室的门、黑板、窗户的框。

「门是一个长方形！」「黑板也是！」「窗户是正方形！」……小满忽然问：「它们都是四边形，凭什么有的叫长方形、有的叫正方形？」

老师又抛出一个问题：「给相框镶一圈金边，买多长的边条才不浪费？」——这就要认识周长了。

这个单元先认四边形的家谱，再学长方形和正方形的脾气，最后学会算「一圈的长」。

四边形家族再认识

四边形是个大家族：

用集合圈看家谱：四边形是外圈，长方形住在内圈；正方形又是长方形里的「特殊公民」——它的 4 条边全都相等。所以正方形是特殊的长方形。

长方形与正方形的特征

特征要用「量」来说话，不能靠眼睛猜。

周长的概念

想象一只小蚂蚁沿着图形的边爬一整圈，它爬过的路程就是这个图形的周长。

关键句：周长是「线」的长短，不是「面」的大小。桌面的周长是一圈边线，桌面的大小是另一件事——下学期它有新名字。

长方形正方形周长计算

周长计算与应用

围栏设计游戏

情景：动物园要给新来的小羊围一个长方形围栏，栅栏总长 24 米，怎么围让小羊活动得舒服？

玩法（小组）：在方格纸上画设计方案，每边长取整米数，四周加起来必须恰好 24 米。

比一比：都用了 24 米，哪个方案看起来「装」的地方大？先猜一猜，数一数格子验证（每格代表 1 平方米）。

比赛结果常常出人意料——这个悬念，等春季《乘除的疆域》学完面积再揭晓。

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量相框边长算周长

任务　① 找一件长方形的物品（相框、书皮、手机垫、餐桌垫）；② 用直尺量出它的长和宽（精确到厘米）；③ 用公式算出周长；④ 想一想：如果要给它四周贴一圈花边，再留 5 厘米打结，一共剪多长？

量两次更保险：第一遍量长，第二遍量宽，记录后再各复核一遍——工程师出图都要「双人复核」。

半块月饼：不满一个怎么记

中秋分月饼：一块月饼切开，您和妹妹一人一半。可是问题来了——「我吃了半块」，这个「半」怎么记下来？

用 1 来记？不对，那是一整块。用 0？更不对，明明吃了东西。

老师拿出粉笔，在黑板上画了一条线，上面写 1、下面写 2：

「这是人类专门为『不满一个』发明的数——分数。今天起，您的数的世界要扩容了。」

整数不够用的时候，分数就登场了。这是小学数学里一次了不起的升级。

几分之一：平均分取一份

关键词是平均分——每一份必须一样大，不一样大就不算分数。

几分之几

取不止一份，就是几分之几。

分数各部分名称与读写

写的顺序：先写分数线，再写分母，最后写分子——和读的顺序一样：「四分之三」，先分母后分子。

记口诀：母在下，子在上，先读妈妈后读娃。

简单分数比大小

涂色与读写

分数扑克比大小

准备：每人 8 张「分数牌」（自己写在卡纸上，如 12、34、25、78 等）。

玩法（2～4 人）：各出一张亮牌，比谁大，最大者收走本轮全部牌；牌多者胜。

裁判规则：说不出「为什么大」的，赢了也不算——分数牌桌上，理由比运气值钱。

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折纸找四分之一的不同形状

任务　拿 4 张同样大的正方形纸，折出（或剪出）它的 14，要求四次的形状都不一样（比如：横竖十字折、沿对角线折、田字格剪开、四条竖条剪开……）。

然后回答两个问题：① 不同的形状，每一份真的都一样大吗？怎么验证？（叠一叠、剪一剪、比一比）② 这个实验说明了分数的什么道理？用一句话写在下面。

答案藏在「平均分」三个字里：只要分得公平，每份都是 14，形状不重要，公平才重要。

一块地皮之争

游戏开场：数学镇要拍卖两块「地皮」——甲地是一排 6 格的长条，乙地是 4×4 的方阵（每格代表 1 平方米）。

买家阿禾抢下乙地：「4×4，看起来大多了！」买家小杏抢下甲地又反悔：「可它细细长长的，站不下几个摊位……」

两人吵到镇长那里。镇长说：「吵没用，这个单元我们就来玩『拼地皮』——用单位方格拼出各种形状的地，比一比谁的地装得下。游戏玩完，谁是谁非自然见分晓。」

先立一条规矩：衡量地皮的尺子是小方格——数一数占了几格，就说了算。

用单位方格拼指定面积

拼地皮规则：① 在方格纸上涂出指定的格数（如 12 格）；② 涂出的形状必须是长方形（或正方形）；③ 方格之间必须边贴边连成一片，不许斜接、点接、断开。

准备工具：方格纸、彩笔。每拼成功一种形状，就在旁边记下「几排 × 每排几格」。

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拼面积 12 的三种长方形

任务：拼出面积恰好 12 格的长方形，看谁拼出的种类多。

发现：不管怎么拼，格子数都是 12——格数（面积）没变，变的是排法和每排格数。

12＝1×12＝2×6＝3×4。每一种拼法，都是一道乘法算式；一道乘法算式，就是一种地皮形状。

因数配对找形状

想不遗漏地找全所有拼法，有个诀窍——因数配对：

从 1 开始试：12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，再试 4？4×3 和 3×4 重复了；试 5？除不尽，不整；试 6？2×6 重复；之后全是重复。所以面积 12 的长方形只有 3 种。

配对时一对一对地记，像拉链一样从两头往中间合——有序地找，才不重不漏。这就是四年级「搭配」思想的预演。

周长不同面积相同

回到开场之争：甲地 1×12，乙地……我们重新拼几块「面积同为 12」的地，数数它们的周长：

发现：面积一样，周长却可以差很多！越「瘦长」的形状，周长越大；越「方正」的形状，周长越小。

所以「周长大的地皮面积不一定大」——阿禾和小杏当初都只看了一面。这就是面积与周长的第一次交锋。

面积与周长的第一次分家

把游戏里学到的东西理一理：

记住这盘棋的结论：比「装得下多少」，数格子（面积）；比「围一圈用多少料」，数边线（周长）。两个问题，两把尺子，别再混用。

拼图限时赛

赛制（2 人对弈，3 局 2 胜）：每局裁判抽一张「面积卡」（如 18、24、20、36），两人同时用彩笔在方格纸上拼出长方形，先拼出一种并举手者得 1 分；对方在 30 秒内拼出不同形状也可得 1 分。

加分题：说出「哪一种周长最小」并说理由，再得 1 分。

赛后复盘：36 的种类最多——因为 36＝6×6，因数特别多。因数多的数，拼法就多，这样的数叫「号称拼接冠军」的数。

铺一铺家里的地垫算块数

任务　① 找一块长方形的地面（门口、阳台、床头），用步测或尺量出大约几「块地垫」长、几「块地垫」宽（选一块现成地垫当单位）；② 算一算：铺满要几块？③ 如果改用大一倍的地垫（长宽各是 2 倍），要几块？先猜，再画格子验证。

「长 × 宽 ＝ 块数」就是春天的面积公式提前亮相——您已经在生活中用上它了。