游戏数学·三之冬

本书怎么读：一个单元九页

全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；＋ − × ÷ ＝ 各就各位；上标用小肩数字，如 1 米＝10 分米、1 千米＝1000 米。长度单位：千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）；面积单位：平方米（m²）、平方分米（dm²）、平方厘米（cm²）。

两块菜地围栏之争

数学镇的两位农夫吵起来了：胖农夫的菜地四四方方，瘦农夫的菜地窄窄长长。两人都说自家的围栏更费料，该多收一份钱。

镇长想了个办法：「别吵了，冬天举办『围栏节』——全镇的测量高手都用绳子量地，量完周长，胜负自明。」

可是问题来了：菜地的边不是每条都直、每个角都方，弯弯绕绕的边怎么量？这一册的九个游戏，全都从「量」和「玩」开始——今天第一局：量周长。

周长测量规则

分工建议（3 人一组）：测量员 1 人按住尺子，读数员 1 人看刻度，记录员 1 人写数据——每人都是「眼睛」，互相校对。

先估后量：量之前猜一猜大约多少厘米，写下来，测完对一对——「估」的眼睛是这么练出来的。

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量课本·桌面·黑板

第一轮：数学课本封面。先量长≈26 cm、宽≈18 cm，周长＝(26＋18)×2＝88（cm）。

第二轮：课桌桌面。长≈60 cm、宽≈40 cm，周长＝200 cm＝2 m。哇，整整 2 米！

第三轮：黑板面。长≈4 m、宽≈1 m——尺子不够长了，改用卷尺，或者分段量再相加：4 m＋1 m＋4 m＋1 m＝10 m。

对比「估计」和「实测」两列——估得准不准不重要，差得多不多才重要，下次估就更有数了。

化曲为直：绳测法

碰上弯的边怎么办？——化曲为直：用软绳沿着曲线铺过去，记下首尾，再把绳拉直量绳长。

「化曲为直」是测量里的万能钥匙：曲线不好量，就请绳子当翻译。地图上的弯路、腰围、手腕，都这么量。

不规则图形周长

凹凹凸凸的图形，一条边一条边加太繁琐——有聪明办法吗？看这个「楼梯形」：

横着的边一共 3 段：5＋2＋3＝10；竖着的边一共 3 段：4＋1＋3＝8。可是把最上面横段向上「推平」、右侧竖段向右「推直」，楼梯形的周长恰好等于长 10、宽 8 的长方形周长！(10＋8)×2＝36。

不是所有图形都能这么推——只有「边都朝两个方向走」的台阶形才可以。判断一下再动手。

平移边求周长

复盘三问：

① 本局我用了几种量法？（直接量、绳测、分段相加、平移法——四样武器）

② 哪种最快？哪种最稳？（快：平移法；稳：分段量相加——各有用武之地）

③ 我掉过什么坑？（起点没做记号量重了一段；弯边用直尺硬量……）

周长的本质从没变过：一周的长。武器在变，眼睛要盯住「一周」两个字。

周长估算赛

赛制（4 人一组）：裁判连续报出 6 件物品（橡皮、凳子面、门框、水杯口、枕头、窗户），每件报出后各组 15 秒内写下「周长估计值＋打算用的测量方式」。

计分：实测后对答案，估计误差在 ±20% 以内得 2 分，±40% 以内得 1 分；选对测量方式（直量/绳测/平移）另加 1 分。

赛后各队一句话总结：估周长靠的不是运气，是心里的参照物——拇指宽 1 cm、一步 50 cm、课桌高 7 dm。

量家中一件不规则物的周长

任务　① 挑一件边不平直的物品（锅盖、盘子、抱枕、鞋垫、花盆口）；② 选对工具（绳测或卷尺）量出周长；③ 记录三样东西：物品名、估测值、实测值；④ 如果是圆的，再量一次它的直径（最宽处），发现「周长≈直径的 3 倍多」了吗？把两个数记下来。

「周长是直径的 3 倍多一点」——这个规律古人量了几千年，六年级它会正式见面（π）。您今天已经和它打过招呼了。

纸条折出的分数世界

每人发一张长纸条。老师宣布：「这张纸条就是『1』。请折出它的一半。」

大家齐刷刷对折。「很好——折痕右边就是 12。接下来请一位同学上台，用您的 12 纸条和老师的『1』拼一拼，要拼出完整的 1。」

上台的小杏把纸条往老师纸条的空缺处一放——严丝合缝！

「今天我们就用纸条做一副『分数条』，让分数从纸上站起来，亲手拼、亲手比。这一局的游戏道具，全是数学。」

分数条规则：拼出等于 1

制作：每人一套分数条——4 张长条，分别折出并剪开（或贴色条标记）：

拼 1 规则：用任意几张凑在一起，长度正好和红条（1）一样，就算「拼出 1」。两人轮流出条，先拼出 1 者得 1 分；拼过头（超过 1）本轮作废。

先看清红条的长度再下手——心里要装着「1」这把尺。

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1/2＋1/2＝1 拼条

最简开局：两张 12 黄条并排——和红条一样长！

第二种拼法：1 个 12 加 2 个 14——放上去也正好补满。原来 24 和 12 一样长！

第三种：4 个 14＝1；8 个 18＝1。

试玩结论先记下：同一个「1」，可以由不同分数拼成——这是后面「同值不同形」的种子。

凑 1 策略

拼 1 拼到残局，手上只剩几张零碎条，怎么决断？三条策略：

分数条比大小与求差

分数条不止能拼 1，还能直接比大小：两条并排一放，长的赢。

等您年级渐高，会学「通分」把分数变同分母再比；今天您用眼睛先做到了同一件事——长短见面，大小立判。

同值不同形（1/2＝2/4）

本局最大的发现，复盘写清楚：

① 12＝24＝48——同一个长度，三种写法！

② 为什么？黄条的 1 张是折半来的；蓝条的 2 张拼起来，也是同样的长度。分得越细，份数越多，每份越小，但拼出的总量不变。

③ 这在生活里叫什么？——半张饼＝两张「四分之一」饼；一杯水倒进两个小杯，水没多没少。

分数条对弈

赛制（2 人对弈，共用一副分数条，各执颜色）：轮流往同一条「1 尺」上放条，谁放上后正好填满 1，谁得 1 分；放不下（超出）则跳过。填满后重新开局，5 局定胜负。

这局棋里藏着的全是分数加法和推算——算得远的人，走得赢。

自制一套分数条

任务　① 用硬纸条自制一套分数条（1、2 个 12、4 个 14、8 个 18），涂色区分；② 用它给家人演示两件事：拼出 1；证明 12＝24；③ 拍照或画下您的成品，标上分数。

加分挑战：再做一套 13 和 16 的条，试试 2 个 13 和 4 个 16 谁长——三套条混拼，能发现新等式吗？

做的过程就是学的过程：折不对、剪不齐都没关系——修一修误差，恰好是「平均分」最真实的注脚。

既参加舞蹈又参加合唱的同学

班里报名社团：舞蹈队报出 8 人名单，合唱团报出 7 人名单。班长一算：8＋7＝15 人参加社团。可老师一数，上台的人只有 12 个！

「少了 3 个人？」大家对着名单一看——原来小杏、阿禾、图图两个团都报了，名单上出现了两次！

加起来怎么会「多出人」？因为被数了两遍。今天我们请出一位画圈高手——维恩图，让重叠的人一眼现形。

维恩图两圈规则

填图三规则：① 两项都参加的人，写在中间重叠处；② 只参加一项的，写进对应只属于一边的区域；③ 每个名字只能出现一次——出现两次就是「重复计数」事故。

先填谁？规则下一页揭晓——这是全单元最关键的一步棋。

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简单重叠问题

把开头的事画成维恩图：中间写上小杏、阿禾、图图（3 人）。

维恩图的妙处：每一块区域不重不漏，12 个人各就各位，谁也不会被数两次。

重叠部分先放

如果反过来先填 28，您根本不知道其中几个是双料——顺序错了，满盘别扭。先放重叠，是维恩图的「落子口诀」。

三量关系（A＋B−重叠）

画图避免重复计数

本局复盘：重叠问题为什么容易错？——「数了两遍」；怎么防？——「画圈分工」。

维恩图是英国逻辑学家维恩发明的，如今在计算机、统计、人工智能里处处都是。画个圈，思路就清楚——这是数学给您的第一件「思维工具」。

重叠问题抢答

赛制（分两队抢答）：主持人念题目，画完维恩图再举牌作答，答对 2 分、答错对方 1 分；能说出「重叠是谁」的另加 1 分。

抢答的秘诀不是快，是图快：维恩图画得快的人，答案总比别人先到。

统计家人喜好画维恩图

任务　① 问家里 4～6 位成员（含亲戚电话问询）：爱吃苹果吗？爱吃橘子吗？② 画两个相交的圈：左圈「爱吃苹果」、右圈「爱吃橘子」，把名字填进正确区域；③ 算一算：爱水果的总人数＝？验证 A＋B−重叠；④ 给「两样都不爱吃」的人也留个位置——想想维恩图外面该记谁？

「两样都不爱」站在两个圈的外面——这提醒我们：维恩图永远要问一句「圈外还有谁」。

身份证号里的生日

老师抄出一串号码：110105201508212238。「谁能在里面找到一位同学的生日？」

全班盯着看。阿禾忽然喊出来：「20150821——2015 年 8 月 21 日！第 7 到 14 位是生日！」

「完全正确。这串号码全世界只有一个人能用——它就是编码：把一个人的身份信息，编成一串永不重复的数字。」

号码不是数数用的，是说话用的。今天学：怎么让数字开口，说出唯一的、有序的信息。

编码规则：唯一与有序

身份证的「字典」：前 6 位＝省市区；第 7–14 位＝出生年月日；第 15–17 位＝顺序号；第 18 位＝校验码。每个人都查同一本字典，所以人人读得懂。

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解读学号·车牌·邮编

学号 2023051228：2023＝入学年份；05＝五班；12＝本班第 12 号；28＝?——最后一位如果是随机校验位，就要去查「字典」了。试试给自己的学号编「解读说明书」。

车牌 京A·12345：京＝北京；A＝城区代码；数字字母＝唯一顺序。看到车牌就能查到这辆车的「户口」。

邮编 100875：10＝省级行政区；08＝邮区；75＝投递局。一封信靠它分拣，不出半步冤枉路。

试着「破译」三个身边编码，您会发现：设计者都遵守同一句格言——分段说话，段段有序。

设计班级图书编号

任务：给班级图书角 200 本书画编号，让管理员「看号知书」。

示例：2003007＝科学类、上学期、第 7 本。

设计前先想三问：要区分哪些信息？每段留几位够用？将来扩容怎么办？——第三问最见功力：类别只留 1 位，超过 9 类就崩了，留 2 位才是工程师思维。

校验位的发现

为什么身份证最后一位有时是 X？——那是校验位：由前面 17 位数字按公式算出来的「防伪码」。

校验位像门卫：它不告诉您信息是什么，只盯着「有没有人抄错」。银行卡、条形码、ISBN 书号里都站着这样一位门卫。

校验思想的核心：让信息之间互相牵制——一个数字变了，别的痕迹必然跟着变。

编码与数数的区别

「5 号同学」的 5 和「5 个苹果」的 5，是一回事吗？复盘一下：

看数字先问一句：这是数量，还是编码？——问出这句话，您已经比数字多想了一层。

编码解密赛

赛制（小组积分赛）：每队拿到一张「编码字典」和 6 道解密题，限时 10 分钟，答对 1 题 2 分，写出完整推理再得 1 分。

解密赛的胜负手：先抄字典、再拆段、后核对——按规矩破译，不靠灵感蒙。

为家庭书架设计编码

任务　① 清点家里一个书架（或书桌抽屉）的书，数一数总量；② 设计编码方案：类别段、架层段、序号段（每段几位先论证）；③ 给 10 本书正式编号，写在便签上贴到书脊；④ 请家人当「管理员」：您说编号，他找书——限时 10 秒一本，测试方案好不好用。

如果家人找书老失败，别急着改编码——先问：是字典太复杂，还是标签没贴醒目？好编码是设计出来的，更是测试出来的。

古人怎么算乘法

老师变魔术似的铺开一张画满格子的纸，斜斜的线上爬着数字：「五百多年前的意大利商人出海谈生意，不会竖式，就用这张格子纸算账；差不多同时的明朝，中国的数学书里也记下了这门算法，后来还得了个好听的名字——铺地锦，像在地上铺了一块绣满数字的锦缎。」

23×14，老师没列竖式，只在四个格子里写下 02、03、08、12 八个数字，沿着斜线一加——322！

全班哇了一声。这一单元，我们就学这门古老的手艺：铺地锦。学会它，您会发现竖式里那些「进位」，原来是被藏在了斜线里。

格子乘法规则

下面这幅是 23×14 的完整演算——列标 2、3，行标 1、4，对照四步看一遍：

规矩记牢：对角线方向统一（左低右高）；加的时候斜着加，别横着串行。

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铺地锦算 23×14

第一步：2×2 格子，列首写 2、3，行首写 1、4。

第二步逐格相乘：2×1＝02（上 0 下 2）；3×1＝03；2×4＝08；3×4＝12（上 1 下 2）。

第三步对角线相加（从右下角开始）：最右斜线只有 2，写 2；中间斜线 3＋8＋1＝12，满十写 2、向左进 1；再往左 0＋0＋2，加进上来的 1，等于 3，写 3；最左 0，写 0。

六个乘法全是一位数乘一位数——格子把一道「大乘法」拆成了六道口算，这就是它的魔法。

对角线相加

铺地锦的胜负手在第四步。斜线认格子：每条斜线串起「同一位值」的数字——最右斜线是个位，往左依次是十位、百位、千位。

检查妙招：斜线相加前先把每条斜线的数字圈起来——圈错了线，满盘皆错。

铺地锦与现代竖式对照

看明白了吗？两种算法算的是同一张「拆数清单」——竖式把它写成四层，格子把它摊成四格。殊途同归，答案都是 322。

两种算法的相同与不同

复盘一问：既然竖式更快，学铺地锦干嘛？——因为看懂两种写法的人，才算真懂乘法的骨相：拆数、对位、进位，一个都不少。

铺地锦速度赛

赛制（小组接力）：每组 4 人，黑板上一题两人合作铺格子（一人填格、一人斜加），完成后击掌换下一对。8 分钟内完成题数多且全对的组获胜。

翻车保障：可申请「验算暂停」一次——换用竖式对答案，对了加 1 分。

赛后聊聊：格子铺到三位数就开始手忙脚乱——竖式的诞生，就是人类给自己「提速」的结果。

教家人铺地锦算一题

任务　① 回家把铺地锦教给一位家人（爸妈、爷爷奶奶都行）；② 出题 63×37，陪他从画格子做到斜线相加；③ 请他说一句感想，记录下来；④ 您再用竖式算一遍，两人对答案。

教是最好的学：家人哪一步卡住，说明那一步最值得您重新想一遍——小老师，大收获。

笼子里鸡兔：头脚数谜

数学镇的集市上有个著名的谜摊：「笼子里有鸡和兔。从上面数，有 8 个头；从下面数，有 22 只脚。问：鸡几只，兔几只？」猜中免摊位费！

小杏抢先猜：「鸡 5 只兔 3 只！」摊主数脚：5×2＋3×4＝22——正好！摊主竖起大拇指，小杏领了免单。

可阿禾不服：「您运气好。要是 80 个头 200 只脚，您也瞎猜吗？」

好问题！瞎猜不行，得有章法。这一单元我们把「猜」升级成三招：列表、逐一调整、跳跃调整——猜也要猜得有学问。

列表法规则

表格四列：鸡（只）｜兔（只）｜脚（只）｜对不对（22？）。

排表规矩：① 头数总和永远是 8——每行鸡＋兔＝8；② 按顺序排，鸡从多到少（或从少到多），不跳行；③ 每行都要算脚数，不能凭感觉打勾。三条规矩合起来，就是下面这张表——一行一行，把答案「试」出来：

按顺序排、不跳行；每行都验算——末行 5×2＋3×4＝22 ✓，答案试出来了。

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从小数字试起

面对 8 头 22 脚，先别慌着列满全表——从一头一兔的小情况找感觉：

1 鸡 1 兔：脚 2＋4＝6。加 1 只兔换走 1 只鸡，脚多 2。8 头全是鸡：脚 16。目标 22，差 22−16＝6，每换 1 兔多 2 脚，6÷2＝3——换 3 次！

「全鸡起步、逐步换兔」——每一行的差都在变小，差变 0 就到站。这就是有序试出来的答案。

逐一调整

为什么换一只兔脚多 2？——兔子比鸡多 2 只脚。「差」藏在换手里的那一下。会解释这一步的人，才算真会了。

跳跃调整与假设法初感

数字大了，一格一格换太慢——学会跳：

「假设全 A，看差额，用每次交换的差去抵」——这就是名满天下的假设法，五年级会正式收编它。今天您只是提前见了面。

试错记录表

好猎手复盘弹道，好棋手复盘棋局，好的解题人复盘试错记录表：

填完这张表您会发现：方法没有好坏，只有合不合身。解题高手的第一反应不是「套公式」，而是「选方法」。

鸡兔变式赛

赛制（个人闯关制）：三关限时共 15 分钟，全对过关者获「驯兽师」徽章。

挑战题：自己编一道「两种东西、两个总量的谜」，写出答案和验算，明天考同桌。

变式赛的真谛：鸡兔只是马甲，「总量一、总量二、每换差几」才是骨架——看穿骨架，万物皆可鸡兔。

编一道同类题考家人

任务　① 自己编一道「鸡兔同笼」型题目（数字自选，头 10～20、脚 26～50 之间）；② 必须自己先用「假设法」解出答案并验算——出题人自己不会解，可就砸了招牌；③ 考一位家人，观察他用什么方法（瞎猜？列表？算式？），记录下来；④ 把家人的方法和您的方法比一比，写一句评语。

出题小诀窍：先定鸡兔各几只，再算出头数脚数——倒着出题，正着解，两头都练了。

一张长方形变正方形

老师手里有一张长 16 厘米、宽 9 厘米的长方形纸。「不许扔掉任何碎片，能把它拼成一个正方形吗？」

全班先愣后试。剪剪拼拼十几分钟后，图图的小组成功了：剪三刀，错位一拼，一个方方正正的 12×12 正方形出现了！

「神奇的不是手，」老师说，「是各位读者没有丢掉任何一块纸——面积一个平方厘米都没变。今天这一单元，我们就玩这门『不丢一块』的手艺。」

剪拼规则：不丢弃

为什么要「不丢弃」：纸片没多没少，总面积就永远不变——这是剪拼游戏的定海神针。形状可以千变万化，面积岿然不动。

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长方形→正方形

目标：16×9 的长方形 → 正方形。面积＝16×9＝144，所以目标正方形边长是 12（12×12＝144）。

剪法示范：图图小组的口诀是「补短边，借长边」。长边 16 比正方形边长 12 多出 4——先从长边一头剪下 4×9 的窄条（借长边）；再把窄条剪成三段 4×3；三段横着排成一排（4＋4＋4＝12），补到 12×9 的头上——短边 9 缺的 3 正好补齐（补短边）：

验证：拼好数格子，144 格，一片不少 ✓。

第一刀剪在哪，取决于您想把谁补齐——先算目标，再定刀法，别上来就剪。

先想后剪

剪刀是最后一步武器，高手都先在脑子里剪完：

「先想后剪」不只是省纸——它是所有工程的第一定律：图纸先行，动工在后。

三角形拼回长方形

反着玩：把一个长方形沿对角线剪成两个直角三角形，再拼回各种图形。

这次您亲眼看见：平行四边形的面积＝底×高，因为它「藏」着一个长方形——五年级的面积课，您今天已经用剪刀提前推出来了。

面积不变的验证

每场剪拼结束，必须过「验证三关」：

验证过关，才能宣布「剪拼成功」。数学不承认「看起来对」——要数得出、算得出、讲得出。

剪拼创意赛

赛制（小组展示制，评委=全班同学）：每组抽一张挑战卡，15 分钟内完成剪拼作品并上台讲解，按「正确 3 分＋创意 2 分＋讲解 2 分」打分。

评委提问环节必问一句：「面积变了吗？怎么证明？」——答不上来的组，创意分减半。我们的赛场，只认讲得清的神奇。

剪拼一件作品并记录过程

任务　① 选一张长方形纸（如 15×10 厘米），自己设计一次「两步剪拼」（变两次形状）；② 用照片或简笔画记录：原图形→第一剪→拼法一→第二剪→成品；③ 验证面积不变（数格或计算），写进记录单；④ 给作品起个名字，向家人讲解您的刀路。

允许失败：拼不上就说明刀路想岔了——把失败的那条路也画进记录单，错误路径是作品的一部分。

数字画谜：行与列的提示

老师亮出一张神秘的方格纸：格子大部分空白，纸上沿和左沿各挂着几串数字——就是下面这张的样子：

「这是一幅画好的图画，但画被藏起来了，只留下线索。左边『2　1』的意思是：这一行有两段黑格——先连续 2 格，空至少 1 格，再 1 格；上面『5』的意思是：这一列连续涂黑 5 格。看，第三行已经整行织黑了！」

「猜猜这个游戏的名字？——数织（Nonogram）。用数字当线，把图画织出来。这一册压轴的游戏就是它：比拼图烧脑，比魔方安静，一玩就上瘾。」

数织规则

线索是「分布」不是「坐标」——同一段黑格可能有好几个位置都合法，要靠行和列合谋才能定案。

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5×5 入门两题

题 1（一行 5 格，行线索「5」）：整行全黑——不用想！满行先定。

题 2（行线索「3」，列线索见下表）：行「3」在 5 格中只有三种放法（1–3、2–4、3–5），三列交叠处取公共格先涂：第 3 格在三种放法里都被占——必黑！两端 1、5 格呢？行放法会占到它们，但列线索「—」是全白令——第 1、5 列一格都不许黑——必白！画上「×」。

三种放法摆在一起看——公共格和全白令一目了然：

「必黑」「必白」先钉死，剩下的再慢慢磨——入门题的乐趣就在这一步一个钉子。

大数字与满行先定

策略口诀：先啃硬骨头（满行、大数），再顺藤摸瓜（钉一格查一线）。先手技用尽还剩悬念？那就是进阶题的滋味。

10×10 挑战

格子翻四倍，线索更密——升级两件装备：

10×10 通关一次，您就是班里的「织布大师」——注意劳逸结合，眼睛离纸远一点。

卡点回溯

数织玩到一半卡住了？复盘三步走：

复盘纪律：每一步都要有依据。说不出「为什么涂它」的格子，宁可空着——依据链一断，后面全是猜谜。

数织限时赛

赛制（个人积分）：三题限时（5×5 用 4 分钟、5×5 用 6 分钟、10×10 用 12 分钟），每题按「完成＋全对」计 3 分，完成但有 1～2 格错计 1 分。赛场纪律：每涂一格必须能说出依据，裁判抽查。

三张线索卡贴在下面——画好 5×5 或 10×10 的方格，按行列线索把图案「织」出来：

颁奖词模板：本届织布大师最大的优点不是快，而是每格都有据——这在数学里，叫严谨。

设计一幅 5×5 数织考同学

任务　① 先在 5×5 格里画一幅简单图案（心形、字母、小花都行）；② 数出每行每列的黑格分布，写出线索串；③ 自查：把线索交给同桌，看他能否唯一还原出您的图；④ 还原后图案对不上或「多解」（两种涂法都合法）？修改图案或线索，直到唯一。

出题比解题难——您要同时保证「有解」和「唯一解」。发现多解的那一瞬间，恭喜您：您已经在用出题人的眼光审视逻辑了。