乘除的疆域
春 日 画 格〇体例说明（写给小读者和家长）
本书怎么读：一个单元九页
全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；＋ − × ÷ ＝ 各就各位；上标用小肩数字，如 1 米＝10 分米、1 千米＝1000 米。长度单位：千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）；面积单位：平方米（m2）、平方分米（dm2）、平方厘米（cm2）。
一全册目录（八个单元 · 每单元 9 页）
- p.1–9第 1 单元 两三位数除以一位数
- p.10–18第 2 单元 两位数乘两位数
- p.19–27第 3 单元 面积
- p.28–36第 4 单元 小数的初步认识
- p.37–45第 5 单元 复式统计表与条形图
- p.46–54第 6 单元 年月日与 24 时计时法
- p.55–63第 7 单元 方向与路线
- p.64–72第 8 单元 二十四点大赛
两三位数除以一位数
p.1–9 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
468 支铅笔平均分给 4 个班
学校采购了一批铅笔，一共 468 支，要平均分给 4 个班。大队部问：「每班多少支？」
小杏想数一数分：一把一把数到 468？图图说：「先给每班 100 支，用去 400，剩 68……」阿禾说：「其实 400÷4＝100，先拿走大头。」
老师说：「各位读者仨的思路合起来，就是除法竖式——先把好分的整百分掉，再分整十，再分个位，一层一层来。」
乘法学完学除法，它们是一对逆运算。这个单元，两三位数除以一位数的「分步骤大工程」，一步一步竣工。
口算与估算
动竖式之前，先让口算和估算开路。
竖式：一步除
竖式：两步与三步
三位数除以一位数，工程升级到三步——每一层都做同一件事：除、乘、减、落。
看明白了吗？除法竖式是一座逐层施工的大楼：百位一层、十位一层、个位一层，每层工艺完全相同——除一下、乘回去、减掉、把剩下的搬到下一层。
商中间末尾有 0
0 是商里的「占位哨兵」——哪一位不够商 1，就要写 0 占位。
竖式与验算
除法竖式：分步骤的大工程〔商功〕
《九章算术》〈商功〉章算大工程有一套章法：筑一座城墙，先按「每名工人一日筑土几何」分段分层，一层一层结账。除法竖式正是这么干的：百位一层、十位一层、个位一层，每层只干四件事——除、乘、减、落。
而「分」的思想，古人早用到了极致：〈方田〉分田、〈衰分〉分粮、〈均输〉分赋税——凡分，必求平均、必问余数。您今天写的每一层竖式，都是两千年「分之有道」的智慧在您笔尖复工。
把一句话带回家：除法是大工程，分层施工；余数要查岗，验算要收工。
除法纠错游戏
玩法（2 人或小组）：每人拿到 3 张「问题竖式卡」（答案有错），当侦探找出错误并改正，每纠对一题得 2 分并说出错因分类。
加分题：给每种错误类型编一句「防错口诀」。
见过别人翻车的地方，自己开车就会绕开——纠错是最好的预防针。
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设计一次分装物品任务
任务 ① 在家里选一样可分的东西（一袋糖、一摞书、一盒卡），记下总数；② 选定「每份几件」（比如每袋 6 颗糖），用除法算出能装几份、余几件；③ 真分一遍验证结果；④ 设计第二问：如果改成平均分给家人（比如 4 人），每人分几件余几件？
| 方案 | 总数 | 每份数/人数 | 算式 | 几份余几 | 实际验证 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | |||||
| 2 |
重点体会「余数怎么处理」：糖可以留到下次，人却不能分半位车——余数怎么用，由现实说了算。
两位数乘两位数
p.10–18 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
看电影：24 排 × 26 座
周末全班去看科普电影。影厅一共 24 排，每排 26 座。「咱们三年级 600 人，坐得下吗？」
这个问题=24×26？两位数乘两位数——竖式还没学呢！
阿禾先估：「24 当 25，25×26 大约 600 多，悬！」图图说：「要不一排一排加 26 次？」小杏说：「太笨了——把 24 排拆成 20 排加 4 排：20×26 和 4×26 都会算！」
拆数的老朋友又来了！这个单元，我们把它升级成正式的两位数乘两位数竖式，再回头给影厅一个准话。
口算乘法
竖式：不进位
两位数乘两位数，竖式分两层：先用个位乘，再用十位乘，最后相加。
第一层（个位 2 乘）：23×2＝46；
第二层（十位 1 乘）：23×10＝230——竖式里写 23，但末位要和十位对齐；
两层相加：46＋230＝276。23×124623276
为什么分两层？12＝10＋2——竖式的每一层，就是拆数清单的一行：23×12＝23×2＋23×10。
第二层的「错位」最容易错——记住：十位乘出来的积，末位写十位下面。
竖式：进位
每一层内部也可能进位——老规矩：满几十进几。
第一层：48×6＝288（8×6＝48 满 4 进 4；4×6＋4＝28）；
第二层：48×20＝960（48×2＝96，末位对齐十位）；
相加：288＋960＝1248。48×26288961248
两层竖式＝两台小乘法＋一台加法。把每层当独立的算式认真写，进位就乱不了。
乘法验算与估算
下界 70×59≈4130，上界 71×60＝4260——真值在 4130～4260 之间。精确算 71×59＝4189 ✓ 在范围内。
估算不是「粗略算」，是给答案画一个圈——真正的答案必须落在圈里，跑出去就是算错了。
综合题组
错因提示：第二层是 32×2＝64，左移一位成 640，64＋640＝704 才对；他写成了 32（32×11＝352）——十位那一层忘了乘 2。
拆分再合并：第二层分身术〔商功〕
上册我们学过「拆数再合」是一位数乘法的分身术；今天它升级了——两位数乘两位数，拆出两层：23×12 拆成 23×2 和 23×10，分身两路，合兵一处。
《九章算术》〈商功〉章算「城、垣、堤、沟、堑、渠」，一律「穿渠有上下广，袤若干」——复杂形状拆成规则小块分段计算。大工程拆层、大乘法拆层：凡遇大数，切而治之，这把钥匙管用两千年，还通向各位读者高年级的「分配律」。
把一句话带回家：两位乘两位，拆两层、算两层、合一层——分身术的第二式。
格子乘法对照练
玩法（同桌 PK）：每轮一题，一人用竖式、一人用铺地锦（上学期冬令册学过），限时 3 分钟，对答案，同对则「平局加分」。
对照三轮后写一句话：竖式的第二层，对应格子的哪几格？（答案：第二层积＝格子左上斜线区）——两种写法互相翻译，理解就上了双保险。
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计算班级一日用纸量
任务 ① 统计本班同学一天大约用几张纸巾（或草稿纸），每人先记录自己一天的用量；② 全班按 42 人算，用两位数乘法算出「班级一日用纸量」；③ 再算一个月（上学日 22 天）的总量；④ 写两条建议：怎样既讲卫生又节约用纸。
| 项目 | 算式 | 结果 |
|---|---|---|
| 我一天的用量 | — | |
| 全班一日（按 42 人） | ||
| 全班一月（22 天） |
算大数之前先估算：一人一天约 5 张，42 人约 200 张——先有圈，再算账，您的乘法就带着判断力。
面积
p.19–27 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
比较两块橡皮擦的面
小杏和阿禾各有一块橡皮。小杏的细长，阿禾的方宽。「谁的橡皮擦的字更多？」——「擦的字多」到底比的是什么？
比长度？不对，橡皮是「一块」。比大小——比的是面的大小：数学里叫面积。
上学期拼地皮游戏里，我们用「数格子」比过地皮。今天，给「格子」发正式的名字和单位，让面积从游戏走向数学。
面积的概念
桌面有桌面的大小，课本封面有封面的大小——都是面积。注意和周长分家：周长量的是一圈边线的长，面积量的是整面的「占地」。
同一个词「大」：长度用「多长」，面积用「多大」——说清楚量的是什么，才算学会了测量。
面积单位：平方厘米·分米·米
注意单位名里的「平方」：面积单位都是正方形的名字，m2 的 2 就写在肩上（读作「平方米」）。
长方形正方形面积公式
用 1 平方厘米的小方格铺一个长 5 cm、宽 3 cm 的长方形：
每排 5 格，铺 3 排——5×3＝15 格，面积 15 cm2。
公式的道理就是数格子：长是每排格数，宽是排数——「每排 × 排数」就是乘法的本义。公式不是新知识，是数格子的快进键。
单位换算与进率
为什么是 100 不是 10？画给您看：边长 1 分米的正方形，每边是 10 厘米——横着铺 10 个 1 cm2，竖着铺 10 排，10×10＝100 格！
对比记忆：长度进率 10，面积进率 100——面积是「横 × 竖」两层长度，10×10＝100。这层关系，高中还要用「平方」再讲一次。
计算与应用
〔方田〕面积：方格的累计——九章开篇的度量魂
还记得吗？《九章算术》第一章就是〈方田〉——全书从「量田」开篇。古人算「田三亩」，用的正是标准方格累加：长乘宽，得「步数」，再折成亩。
「广十五步，从十六步，问为田几何？」——答：二百四十步。这就是一次 15×16！您今天写的长方形面积公式，两千年前就躺在〈方田〉章第一条里。面积公式不是发明，是发现的传承——方格铺开，答案自现。
把一句话带回家：面积是方格的累计；公式是数格子的快进键。
铺地砖游戏
情景：给一间 6 m×4 m 的房间铺地砖，每块砖 5 dm×5 dm（即 25 dm2）。
玩法（小组合作）：① 把房间面积换算成 dm2（6 m×4 m＝24 m2＝2400 dm2）；② 算一块砖面积 25 dm2；③ 试算需要几块？2400÷25＝96（块）——用乘除互逆验算：96×25＝2400 ✓；④ 讨论：现实中还会多买几块，为什么？（切割损耗、备用替换——数学算出下限，生活留出余量。）
铺完这局您会发现：面积、除法、进率换算三兄弟第一次同台合作——这就是真实生活里的数学。
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量书桌面算面积
任务 ① 量出自己书桌面的长和宽（精确到厘米）；② 用公式算面积（cm2），再换算成 dm2；③ 剪一张 1 dm2 的纸片（边长 10 cm），铺一铺验证您的计算大约正确；④ 量一本数学课本封面并算面积，回答：桌面面积大约是几个课本封面？
| 对象 | 长 | 宽 | 面积 | 换算 |
|---|---|---|---|---|
| 书桌面 | ||||
| 课本封面 | — |
剪 1 dm2 纸片时先量再剪——边长差 2 毫米，面积就差不少。单位是面积的地基，差之毫厘谬以千里。
小数的初步认识
p.28–36 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
超市价签上的小圆点
超市侦察任务：小杏抄下一排价签——铅笔 1.5 元，笔记本 3.25 元，橡皮 0.8 元，书包 98.9 元。
「这些数中间都有个小圆点！」阿禾说，「它叫什么？1.5 元是多少钱？」
小杏懂了：「1.5 元就是 1 元 5 角！圆点左边是整元，右边是角和分。」
带着小圆点的数，叫小数。它是分数的近亲，也是整数家族的延伸。今天只做「第一次见面」：会读、会懂、会比、会简单加减。
小数的读法与含义
读法：3.25 读作「三点二五」——整数部分照常读，小数点读「点」，小数部分挨个读数字。
小数点右边的第一位是「十分位」——1 角就是 1/10 元，写成 0.1 元。小数和分数，是一对一的双胞胎：0.1＝十分之一。
小数与元角分
人民币是小数最好的教室：
| 价钱 | 几元几角几分 | 用分数说 |
|---|---|---|
| 2.6 元 | 2 元 6 角 | 2 + 6/10 元 |
| 0.95 元 | 9 角 5 分 | 95/100 元 |
| 10.05 元 | 10 元零 5 分 | 10 + 5/100 元 |
小数比大小
简单的小数加减
整数加法竖式：1.5 与 0.8 小数点上下对齐，5＋8＝13 写 3 进 1，1＋0＋1＝2——2.3（元）。验算：1 元 5 角＋8 角＝2 元 3 角 ✓。
把 5 写成 5.00 对齐再减：5.00−3.25＝1.75（元）。
价签与购物计算
〔少广〕小数：分数的另一种写法
0.3 元、310 元、3 角——同一个价钱的三个化身。小数就是分母是 10、100、1000 的分数，小数点只是它的「制服」。
《九章算术》时代没有小数点，古人用「分数＋单位」记账：三尺一寸五——整数尺、分数寸，一样精准。小数点是后来人们嫌分数写得慢，发明的一条「位值延伸线」：个十百往左涨，十分百分往右沉，一条数轴两头通。
把一句话带回家：小数点的右边不是「零头」，是排在十分位、百分位上的新邻居。
超市购物清单游戏
准备：每人一张「商品价目卡」（铅笔 1.5 元、尺子 2.8 元、本子 3.25 元、彩笔 9.9 元、胶带 4.05 元……）和 20 元「启动资金」。
玩法（2～4 人）：轮流出牌「购买」，把总价竖式累加，随时可喊「结账」算总额并「找零」（20 减总价）；超支爆卡者出局，钱剩最多者胜。
这局玩的是小数加减连加连减——点对齐、位对位、算完验零头，购物小票就是这么诞生的。
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记录三件商品价格做加减
任务 ① 去超市（或翻购物小票）抄三件商品的价格，写成小数；② 算三件合计；③ 算「最贵 − 最便宜」的差；④ 假设带 50 元全买，还剩多少？
| 商品 | 价格（元） |
|---|---|
| 合计 | |
| 最大差价 | |
| 50 元后剩余 |
抄价签时留意：哪些价签末尾是 0（如 2.50）？那是为了对齐位数——超市算账机器和您用同一条规矩：小数点对齐。
复式统计表与条形图
p.37–45 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
男生女生喜欢的运动一样吗
体育节前，体育委员做了个小调查：三年级同学最喜欢的运动。上学期我们学过单式统计表——可是问题来了：
「男生一张表，女生一张表，想知道『男生爱跳绳多还是女生爱跳绳多』，得两张表来回翻，太费劲！」
老师把两张表并排往中间一推：「合成一张怎么样？」——这，就是今天的复式统计表。
单式到复式：两张表合一
合并秘诀：原来两张表的「项目」（跳绳、踢毽、乒乓……）相同，就让它做横行；两组对象（男生、女生）做竖列；每个格子填对应人数。
| 项目 | 跳绳 | 踢毽 | 乒乓 | 合计 |
|---|---|---|---|---|
| 男生 | 14 | 6 | 10 | 30 |
| 女生 | 16 | 9 | 5 | 30 |
| 总合计 | 30 | 15 | 15 | 60 |
一张表装下两组数据——数据搬家，比较就方便了：横着比男女生，竖着比项目冷热。
复式统计表读法
读复式统计表，先认「三样东西」：表头（说明每行每列是什么）、项目栏、数据格。
读表三连问：横看是谁？竖看是什么？交叉格说了什么？——三问过关，表格对您就是透明的。
数据比较与分析
列表不是目的，从数据里读出话来才是：
分析三问：谁比谁多多少？谁是谁的几倍？哪个最多最少？——数据一开口，决定就好做（体育节项目预算有依据了！）。
简单复式条形图
表格再画成图，比较更直观：复式条形图——每组位置画两根条（男生深色、女生浅色），高矮一眼分明。
图例是图的「说明书」——没有图例，谁知道深色是男生还是女生？好图表自己会说话，但得先递上说明书。
纵轴每格代表 2 人：16 人要涂满 8 格——半格都不许估着画，条形图的美在于准。
调查与制表
比较让数据产生意义
「男生 14 人爱跳绳」——这个数本身没什么意思；「男生 14、女生 16」一放在一起，故事就来了。数据的价值，在于比较。
《九章算术》〈均输〉章分派赋税徭役，要先统计各县人口、路途远近，列成表格对照权衡，才能分得公平。复式统计表的祖先，两千年前就为国计民生服务了。
今天的天气预报（今昨气温对比）、球赛战报（两队比分）、体检单（各项指标与标准对照）——凡是要做决定的地方，就有比较；凡有比较，就有复式表。
把一句话带回家：一个数是信息，两个数放一起才是证据。
班级双项调查
玩法（全班合作，10 分钟）：① 全班投票两件事：「最喜欢的课间活动」「最喜欢的水果」（各选一项）；② 男生一列、女生一列，举手计票填进复式统计表；③ 每组从表里提出 1 个问题，指定另一组用数据回答。
投票有纪律：一人一票、当场计数、合计必须吻合总人数——数据收集的严谨，从第一次举手开始。
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调查家人作息做复式表
任务 ① 问 4 位家人（或邻居同学）：「您每天睡几小时？运动几分钟？」（可问大概值）；② 做一张复式统计表：横行＝人，竖列＝睡眠时长、运动时长；③ 比较并写两条发现（谁睡得最多？睡眠和运动有没有「同涨同落」的现象？）；④ 查一查资料：小学生应睡几小时？您达标了吗？
| 人员 | 睡眠（小时） | 运动（分） |
|---|---|---|
这一表还能反向用：数据反过来「调查」您——看完它，今晚您是早点睡还是继续熬夜？好的统计，最终改变的是统计者自己。
年月日与 24 时计时法
p.46–54 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
生日在哪个月：大月小月
统计墙上的生日表出了怪事：8 月出生的同学特别多，2 月特别少，还有人的生日四年才过一次！
「不是大家扎堆生，是月份自己长短不齐。」老师说，「有的月 31 天，有的 30 天，2 月最古怪——28 天，四年多出一天。」
时间的大单位「年、月、日」里，藏着好几段有趣的历史。这个单元：认大小月、辨平闰年、学 24 时计时法、算经过天数——把日历变成数学题。
年月日与平年闰年
平年全年 365 天：7 个大月 31 天＋4 个小月 30 天＋2 月 28 天＝217＋120＋28＝365。闰年全年 366 天——2 月多一天。
为什么多这一天？——地球绕太阳一圈实际约 365 又 1/4 天，四年攒出一个 2 月 29 日，给日历「补零头」。补不齐的零头，就是整百年那条例外。
记忆法：拳头与口诀
拳头记忆法：左手握拳，从凸起的骨节开始数——一月凸、二月凹、三月凸……凸起的全是大月（31 天），凹下的全是小月（30 天），数到七月折回来接着数八月。
两套记忆法选顺手的——手是随身日历，口诀是随身老师。查准「哪月几天」，后面的计算才不会塌。
24 时计时法
换算两句话：普通时间转 24 时法——下午晚上「加 12」；24 时法转普通时间——超过 12 时「减 12」加「下午/晚上」。
车站、机场、电视节目单都用 24 时法——它没有上午下午的歧义：说 18 时，谁也不会理解成早上。
经过天数计算
日历题组
〔商功〕历法是时间的度量衡
长度有尺，面积有亩，时间也有自己的「度量衡」——历法。年月日的分法是古人对天文的「立法」：月亮圆缺定「月」，四季轮回定「年」，日影最短定「夏至」。
可麻烦在于：年的零头（1/4 天）除不尽，月的天数也难凑整——于是有了大小月、平闰年这套「补丁」。《九章算术》〈商功〉章算土方要「按日结账」，工匠的工期、官吏的赋税都压在日历上——历法不精确，工程要塌方。两千年后，我们的日历比那时准得多，但那份「把时间切齐」的执着一脉相承。
把一句话带回家：日历是时间的度量衡——大月小月，都是人类给时间定的刻度。
生日大搜索
玩法（小组竞赛）：每组抽 5 张「任务卡」，全组合作在日历上找答案，先完成的小组加分。
玩完统计：全组谁的生日离今天最近？——第一个要过生日的同学，给大家带来下个月的日历谜题。
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制作家庭生日历
任务 ① 收集全家 5 位以上成员（含亲戚）的生日（公历）；② 做一张「家庭生日历」大表：横行＝月份（1～12 月），把每位成员的名字和日期填进去；③ 标出今年哪些月有「家庭生日」，算出最近的一个还有几天；④ 顺带调查：哪位亲人的生日在冬天（12、1、2 月）？
| 成员 | 生日（月/日） | 所在月大小（几天） | 距今天数 |
|---|---|---|---|
做完这张表，您就是家里的「日历官」——每年最早想起来提醒大家的人。数学管着日子，日子装着人情。
方向与路线
p.55–63 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
太阳升起的方向
清晨上学的路上，太阳从您左手边的楼群后爬上来。「太阳从哪边升起？」——「东边！」全班都会答。
老师追问：「您面对太阳站着，背后是哪边？左手边呢？右手边呢？」——背后是西，左手是北，右手是南。
「方向这东西很奇妙：它不以您的脸为准，以地球为准。今天我们请出八个方向和一张平面图，把校园、小区都装进方位的世界。」
八个方向
方向盘（从北起顺时针）：北 → 东北 → 东 → 东南 → 南 → 西南 → 西 → 西北 → 回到北。相邻两个方向隔 45°。
相对方向口诀：东西对，南北对，东北对西南，东南对西北——转个身见老对头。
平面图与指北针
在平面图上：N 在上，那么上=北、下=南、左=西、右=东；东北就在右上角 45° 处，八个方向各就各位。
读图第一眼先找 N（指北针）——没有它，左右南北全乱套。方向的世界里，指北针就是宪法。
描述行走路线
描述路线要一段一段说：从哪出发→往什么方向→走多远→到哪。
改路线也要改方向：从学校回家，方向全部反过来——向东改向西、东北改西南，距离不变。相对的两个方向，来去互换。
说路线的三要素：方向、距离、参照点——缺一样，别人就迷路。
简单方位观测
实地观测三件套：认太阳（早东晚西）、认北极星（夜里正北）、认指南针（红针指北，手机也有）。
方向是相对的：没有参照物，就没有方向——这句哲学味的话，是方位教学的灵魂。
方向题组
参照系：方向因您而变
「图书馆在东面」——这句话单独看毫无意义！在教室看是东，在操场看可能成了东北。方向不是地点的属性，是「地点＋观测者」关系的属性。
《九章算术》〈方田〉量田、〈商功〉量城，古人在图上写「广」「袤」（横与纵）之前，必先立一个基准。基准一立，万物有序；今天的 GPS、北斗卫星导航，本质上也是先立坐标原点，再说「您在哪儿、朝哪儿走」。
把一句话带回家：说方向，先说清「以谁为准」——参照系变了，答案就变。
校园定向寻宝
玩法（小组接力寻宝）：老师提前在校园 4 个点藏「宝物卡」，每组拿一张「路线指令单」，按指令依次找到 4 个点，最快且全对的小组获胜。
安全守则＋观察任务：每到一个点，先报「以谁为参照、宝物在哪个方向」——说对方向才算踩点成功。
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画小区方位简图
任务 ① 实地走一圈您家小区（或周边街区），认一认：大门朝哪个方向？您家楼栋在大门的哪个方向？最近的超市、公园呢？② 画一张方位简图：先画指北针（N），再画出大门、家、超市、公园的位置（大概方位即可，注明「示意图不按比例」）；③ 用三句话向家人描述「从家到公园怎么走」；④ 检验：请家人只听您的描述指出公园方向，对得上吗？
| 地点 | 以大门为参照的方向 | 大约距离（步） |
|---|---|---|
| 家 | ||
| 超市 | ||
| 公园 |
太阳是您的免费罗盘：早晨面向太阳=东，背面=西，左手=北，右手=南——大自然把答案挂在天上。
二十四点大赛
p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
从入门到精通
一叠扑克牌，抽走大小王——这就是今天主战场。规则一句话：拿 4 张牌（A 按 1 算），用＋ − × ÷ 和括号把牌面数连成算式，使结果等于 24。
热身三连：2、3、4、6 → 2×3×4＝24，6 都没用上！1、5、5、5 → 5×5−5÷5? 不对，那是 24？5×5＝25，25−1? 1 从哪来——5÷5＝1！25−1＝24 ✓。
别看规则简单，四个数的组合有成千上万种，还藏着「无解牌」这种大魔王。本单元从入门打到精通，最后全册收官大赛见真章。
完整规则：含除法
最常见犯规就是「少用一张牌」——写完算式，先点牌再用。
本单元配套游戏站（P3-3《乘除的疆域》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
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经典题组
入门四题（先自己试，再看提示）：
试玩的收获：消牌（×1、＋0）是高级技巧的萌芽，而「24 的拆法」是第一生产力。
目标拆解法（24＝3×8＝4×6＝2×12）
拆解法让「大海捞针」变成「按图索骥」：每张牌都在替您试探某条路线，路线断了就换下一句拆法。
难题攻坚（如 3,3,8,8）
名局 3、3、8、8——全世界高手都卡过壳。三条乘法路线：3×8 差一半，4×6、2×12 也凑不出……乘法全线崩？
换武器：除法造分数。8÷3＝83（三分之八），那么 3−83＝13，最后 8÷13＝24！！
8 ÷ ( 3 − 8 ÷ 3 ) = 8 ÷ 13 = 24三个知识点一起爆发：除以一个几分之一的分数，结果翻三倍（8 里有 24 个 1/3）；中间结果是分数的大师赛规则被用到了极致；「乘法不通转除法」——绝境翻盘全靠武器库储备。这题您能看懂今天的每一步，就够了；能独立想出它，您就是传说中的高高手。
无解题的发现
「1、1、1、1 怎么算都是 2 以内的小数——它根本无解！」您怎么证明无解？
算式的样子有限：四个数三步运算，括号方式有限、运算符组合有限、数的顺序有限——把所有可能性列全，逐个验算都不等于 24，就证明了无解。这叫穷举。我们的九章格工坊真的让计算机穷举过：四张牌的全部组合中，约四分之一无解！
「这个题无解」和「我不会」是两句话——前者是数学结论，需要证据；后者只是心情。
穷举与巧思之间
二十四点的两种打法：一种是穷举——按顺序把组合全试一遍，机器擅长，人枯燥；一种是巧思——先拆 24 再配牌，人擅长，但可能漏。
《九章算术》的高明正是两者兼用：既有「方程术」这种程序化、人人可学的算法（穷举的祖先），又有「出入相补」这种灵光一现的巧证（巧思的祖先）。算法保下限，巧思攻上限——真正的数学家两手都要硬。您玩二十四点时「先拆 24」是巧思，「都不行，把加减乘除组合全试一遍」是穷举——这门游戏，是两种思维方式的童年合影。
把一句话带回家：笨办法保您不错，巧办法带您飞——先学会不输，再学怎么赢。
二十四点大赛
赛制（全册收官大赛，个人积分）：五局三胜制积分赛——每局裁判翻 4 张牌，1 分钟内举手作答；答对 2 分，答错冻结 30 秒；无人答对进入「无解申辩」环节，能完整说出穷举理由的得 1 分。
大赛三奖：「闪电手」（最快）、「铁算盘」（全对零错）、「神推理」（无解申辩成功）——三种奖，对应三种本事。
家庭积分赛记录表
任务 ① 组织一场「家庭二十四点积分赛」：至少 2 位选手＋1 位裁判，赛 10 局；② 制作积分表（每位选手一行），记录每局得分；③ 每人赛后写一句「本局最漂亮的算式」；④ 附加研究：把 10 局里所有出过的牌组合记下来，回家用「先拆 24」法把没解出来的题补解一遍。
| 选手 | 得分 | 最漂亮算式 |
|---|---|---|
| 冠军 | — |
裁判的权力最大也最重：要用「点牌」核查每道算式四张牌都用上——公正来自慢一点、细一点。