大数与运算律

本书怎么读：一个单元九页

全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右边，如 3.14；＋ − × ÷ ＝ 各就各位，中括号写成 ［　］；上标用小肩数字，如 1 公顷＝10000 平方米、1 平方千米＝1000000 平方米。大数四位一级：个级、万级、亿级；角的单位：度（°）；面积单位：平方米（m²）、公顷（ha）、平方千米（km²）。

地球到月球的距离有多少米

开学第一课，王老师在黑板上画了一个地球，又画了一个月亮，中间画了一条虚线：「谁知道，地球到月亮有多远？」

小杏举手最快：「约 38 万千米！我在书上看到过。」王老师点头，又问：「那换成米呢？」

阿禾也凑过来：「我家楼下超市搞活动，说是『全场消费满 1000000 分』，我也读不出来。」全班笑了。

王老师说：「数长大了，就要有长大的读法。今天起，我们给数排座位——一位一位排整齐，再长也不怕。这个单元，我们就来认识大数。」

万级与亿级

我们早就知道：从右往左，第一位是个位，接着是十位、百位、千位。这四个数位组成个级。

可是数不会停在千位。再往左数四位，就进入了万级：万位、十万位、百万位、千万位。再往左数四位，进入亿级：亿位、十亿位、百亿位、千亿位。

数位顺序表要背熟，但更要用熟：每见到一个大数，先在草稿上从左往右画短线分级，眼睛就不会花。

大数的读写

读法三步：① 先分级（四位一段）；② 从最高级读起，一级一级往下读；③ 读万级时加一个「万」字，读亿级时加一个「亿」字。

写数三步：① 听清有几级、每级是多少；② 从高位写起；③ 哪一位上一个单位也没有，就写 0 占位。

大数比较与改写（万·亿作单位）

比大小两句话：位数多的那个数大；位数相同时，从最高位比起，哪一位上的数大，那个数就大。

改写和近似的区别，就差一个符号：＝ 是照镜子，≈ 是量身高。

计算工具的认识：算筹到算盘

人类记数、算数的工具，走了一条长长的路。

九个数字的「筹零件」长什么样？上排纵式，下排横式——6～9 都是「一根当五」：

《孙子算经》的口诀：「一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当」——个位摆纵式，十位摆横式，百位又摆纵式……纵横交替往下走；空位就是 0，不摆筹。照这个规矩摆几个数：

工具换了三代，规则却只变了一次：从「一根筹就是一个数」到「同一颗珠在不同的档表示不同的值」。这一步，数学史走了上千年。

有机会找一把算盘拨一拨：拨出 380000000，您会发现九位数字只用了两位档上的珠。

读写综合

大数竞猜

玩法（4 人一组，轮流当出题人）：出题人在纸上写完一个大数，只念出它的读法；其余三人 30 秒内在练习本上写出数字。写对了得 1 分，能同时说清它的级数（几级、最高位是什么位）再加 1 分。

赛后小结：大数题出错的，十有八九不是算错，而是分级丢了 0。写完后回读一遍，是最好用的检查。

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收集五个大数新闻并读出来

任务　① 从报纸、电视或网络上找 5 个含大数的真实消息（人口、距离、金额、产量、销量都可以）；② 抄下数字，标出它是几位数、最高位在什么位；③ 写出它的读法；④ 挑其中一个，把它改写成用「万」或「亿」作单位的数。

读给家人听，请他核对一次：新闻里的数是「总共多少」，还是「大约多少」？找到数据里的 ＜＝≈＞，您就读懂了它。

我们校园有多大

课间操站队时，小满望着操场问：「王老师，我们的校园到底有多大呀？」

王老师没直接回答，而是带着全班去操场走了一圈：「咱们先量一个小的——这块塑胶场地，长 60 米、宽 30 米，面积是多少？」小杏脱口而出：60 × 30＝1800（平方米）。

王老师笑了：「说对了——一万平方米有个专门的名字，叫 1 公顷。咱们操场再大一点，就整整 1 公顷。」

图图举手：「那整座学校、整个城市，用什么量？」「问得好。今天我们就给「面积」换几把更大的尺子。」

公顷：10000 平方米

平方米量教室、量操场很合适，量菜地、量公园就嫌小了。于是人们把「100 米 × 100 米」这么大的正方形面积，另起一个名字。

换算口诀：平方米换成公顷，把 4 个 0 去掉；公顷换成平方米，后面添 4 个 0。可别和「万」混了——它们换的都是 4 个 0，但一个管面积，一个管计数。

平方千米

再大下去，公顷也不够用了：一座城市、一个省、一片森林，用公顷数会数出几千几万个。

感受一下尺度：我们的教室约 60 平方米，操场约 1 公顷，一座小县城约 1500 平方千米。从教室到县城，面积大了两千万倍。

面积单位家族谱

面积单位其实是一家人，都按「10 × 10」的步子长大：

记住口诀：长度进 10，面积进 100。一维的尺子伸长 10 倍，二维的「格子」就要多 100 倍——这就是面积单位的秘密。

估测与实测

会换算还不够，还要能「估」。估测的关键，是在心里存几把常用的尺子。

王老师说：「真正的『大』，不是背出来的数字，是您走一遍、看一眼之后心里的那个尺度。」

单位选择与换算

校园面积测绘

玩法（4 人一组，用卷尺或步测）：① 选定校园里 4 个长方形区域（操场、花坛、教学楼前的广场、停车棚）；② 每组认领 1 个，量出长和宽；③ 算出面积，换算成公顷；④ 每组派代表在黑板上贴一张面积条，比一比谁大。

比一比各组的估计值和实测值，谁的误差最小？他的秘密一定是：心里先存了一个参照物。

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查家乡面积并感受尺度

任务　① 查一查您所在城市（或家乡县城）的面积是多少平方千米；② 把它换算成公顷；③ 再查一个您熟悉的更大地方（本省或某个著名景区）的面积，两个数放在一起比一比；④ 用「多少个我们学校」来描述这个面积，让家人一听就懂。

「相当于几个我们学校」这种说法，是把一个陌生的数翻译成熟悉的数——会翻译，才叫真的懂了。给家人讲一遍，看他有没有立刻「啊」一声。

角也可以量

数学课上，王老师在黑板上画了两个角：一个张得很开，一个几乎合拢。「这两个角，哪个大？」全班齐声：「张开的那个。」

王老师又问：「大多少？」教室里安静了。小杏说：「看起来大约……大一点？」图图说：「说不准。」

王老师举起一把半圆形的尺子：「数有数位，长有刻度，重量有克和千克——角也有自己的单位。它叫『度』。今天我们就给角做一把尺子。」

量角器的构造与「度」

把一圈（一个周角）平均分成 360 份，每一份所对的角就是 1 度，记作 1°。这样一圈就是 360°。

量角的工具是量角器，它是一个半圆，量的是 0°～180° 的角。

量角器上有两圈数字，别被它骗了：从哪一边的 0 开始数，就读哪一圈。两条刻度线对齐时，内圈读数和外圈读数加起来一定是 180°。

量角两步法

量一个角，只要两步，但两步都不能错位。

角的分类（锐·直·钝·平·周）

知道了度数，角就有了精确的名字：

判断角的类型不必量：拿三角尺的直角去比一比——比直角小的是锐角，比直角大的是钝角。这一招在考场上比量角器还快。

画指定度数的角

画 60° 的角，四步走：

用一副三角尺还能直接拼出很多角：30°＋45°＝75°、60°＋45°＝105°、90°＋30°＝120°、90°＋90°＝180°。这也是检验的好办法。

量角画角题组

角度侦探

玩法（4 人一组，每人一张任务卡）：教师出示 8 张照片（楼梯扶手、剪刀、折扇、挂钟、屋顶、鼠标垫、路牌、书页翻角），每张照片里都藏着一个角。

侦探的秘诀是「参照物」：心里装着 90° 的直角，小于它的都是锐角，大于它的都是钝角——一眼就能分家。

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量家中五个角度

任务　在家里找 5 个真实存在的角，用量角器量出度数并记录。

小提示：椅背与座面的夹角、剪刀张开的角、书翻开的角、钟表上两针的夹角、楼梯扶手的斜角，都是很好量的对象。给家人念一遍您的数据，再考考他：哪个角最接近 90°？

高铁 12 小时行多少千米

小禾全家坐高铁去旅行。「复兴号」列车飞驰而出，小禾盯着车厢屏幕上的速度：每小时 305 千米。

「照这个速度，坐 12 小时能跑多远？」小禾算了半天没算出来。爸爸说：「这是三位数乘两位数，今天正好学。」

王老师在课堂上说：「三位数乘两位数，是一位数乘法的『长大版』——只要一步步来，再大的数也跑不掉。」

口算与估算

口算靠拆分：把两位数拆成「整十数 ＋ 一位数」，分别乘完再相加。

估算用来看「大概多少」，笔算用来求「正好多少」。先估再算，答案一出来就能立刻感觉出对不对劲。

竖式算理

笔算 145 × 12，竖式分两层：

两层相乘，最后相加——记住六个字：分层、错位、求和。

常见错误会诊

医院里有会诊，算错题也要会诊。下面是四位同学的「病例」：

王老师说：「会给自己『会诊』的人，进步最快。每次做错题，别急着改答案，先写清楚——我错在哪一步，为什么错。」

因数中间末尾有 0

因数里有 0，竖式可以更省事。

算完用估算验一验：205 × 13≈200 × 13＝2600，与 2665 很接近——对了；若是算成 1115，一眼就能发现不对。

综合题组

竖式找茬赛

玩法（4 人一组对抗）：教师每次出示一道有毛病的竖式（错位、漏层、进位忘加、0 被跳过），各组在 1 分钟内找出全部错误并改对。

裁判提示：最常见的「茬」就是第二层没对齐十位。您要是能一眼看出这个，说明您真的懂竖式了。

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计算一年上学往返路程

任务　① 用步子或卷尺测出「家到学校」的单程距离（米）；② 算一算往返一次是多少米；③ 上学大约多少天（一周 5 天 × 一学年约 40 周＝200 天）；④ 算出一学年上学的往返总路程是多少米，再换算成千米。

算完再想一想：这个总路程，相当于从家走到哪个城市？和爸妈比比看谁的估算更准。把数字放回生活里，数学才算真的学完。

伸缩门里的图形

早上到校，小杏在校门口的电动伸缩门前站住了。门缓缓拉开，一根根金属杆交叉着伸展、收拢，门就变宽变窄。

「咦，」小杏发现，「这些杆子怎么都是平行的？不管门拉开还是收拢，它们两两都不相交。」

王老师在黑板上画下两条线：「两条直线的位置关系，其实只有两种结果——相交，或者永不碰面。今天我们就来认识『永不碰面』，还有一群住在四边形家族里的成员。」

垂直与平行

「同一个平面内」这六个字很关键，别漏掉。以后在立体图形里，您会遇到既不平行也不相交的两条直线。

平行四边形的特征

画高的两步：① 选一条边当底；② 从对边上任意一点向底作垂线（用三角尺的两个直角边卡住）。

梯形的特征

画梯形时最容易出错的地方：把两条腰画成了平行的——那就变成平行四边形了。画完记得检查「只有一组对边平行」。

四边形关系图（集合）

四边形这一大家子，彼此是什么关系？用一张「家族图」看得最清楚：

王老师说：「说『特殊』的时候，要能说清『特殊在哪儿』。正方形比长方形多了什么条件？多了『四边相等』——这一个条件，就把它从长方形里挑了出来。」

判别与作图

图形分类赛

玩法（4 人一组，人手一套图形卡）：教师发下 16 张四边形卡片（各种平行四边形、梯形、一般四边形、长方形、正方形），各组按指定规则分类。

赛后结论：分类的标准必须是可检查的。「看起来像梯形」不算理由，「只有一组对边平行」才算。

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找家中四类四边形

任务　在家中找出四类四边形各一例，拍照或画图，并把「为什么它属于这一类」说清楚。

提示：斜放的窗框横档、晾衣架、折叠椅往往藏着平行四边形；纸盒侧面常能看到梯形；地砖、书页是长方形；拼接地垫上有正方形。向家人解释时，请用「边」和「角」两个词——这是几何的话。

924 本书分给 21 个班

图书馆到了一批新书，一共 924 本。管理员请阿禾帮忙：全校有 21 个班，平均每班能分到多少本？

阿禾想了想：「估计一下，21 接近 20，924 ÷ 20≈46，所以每班大约 40 多本。」管理员点头：「估得不错。但要算出准确结果，得用笔算——除数变成了两位数，这可比以前难一点。」

王老师说：「除法像分东西，除数就是每份是多少。分东西最怕分错份数——所以我们要学会『试一试、调一调』。」

口算与试商

口算搬家法：除数是整十数的除法，先盖住 0 算，再处理 0。

试商时把除数看大一些（21→20 是把除数看小，所以商会偏大；34→30 也是看小），一般规律是：把除数看小，商容易偏大，要往小调。

调商：初商过大过小

试商很少一次就中，会调才叫会算。

「四舍法」试商（把除数看小）商容易偏大，「五入法」试商（把除数看大，如 26 看成 30）商容易偏小。知道偏向哪边，调起来就有方向。

商是两位数的除法

被除数的前两位够除，商就是两位数。判断方法：先看被除数的前两位，够除就用前两位，不够就多看一位。

写竖式时先把商的位置空出来：商该写在十位上还是个位上？位置错了，结果就会差十倍。

商不变规律初感

先看一组算式，找找规律：

王老师说：「这个规律以后会帮您做很多大事——今天是初识，先记住一句话：被除数和除数，一起乘一起除，商不变。」

综合题组

试商竞速

玩法（4 人一组，每组一支粉笔或一张答题纸）：教师连续出示除法算式，各组比谁试商的次数最少。

赛后总结三条经验：把除数看成整十数试；余数比除数大说明商小了；乘积比被除数大说明商大了。调商有方向，速度就上来了。

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设计一道分物题并解

任务　① 自己编一道「除数是两位数的除法」应用题，要写清总数和份数（或每份数）；② 把题目写在下面，交给同学做；③ 同时写出完整解答与验算；④ 至少要有一题是「有余数」的。

验算口诀：商 × 除数 ＋ 余数 ＝ 被除数。编题时想一件真实的事——分糖、分书、栽树苗、装苹果，题目就活了。

一格代表多少：刻度的学问

班级要办「阅读节」，王老师让小杏统计全班同学上个月读了几本书。小杏把数据整理成一张表，又想画成条形图贴在墙上。

她在纸上先画了格子：每个格子代表 1 本书。画到第三位同学，格子就顶到纸的边上了——班里有同学读了 28 本！

小杏恍然大悟：「那 28 本只要画 5 格半！」王老师点头：「对——画统计图的第一件事，不是画条，是定刻度。今天我们就来学这门『格子的学问』。」

1 格 1 与 1 格 2

条形统计图用直条的长短表示数量的多少。直条越长，数量越多——一眼就能看出来。

选刻度的原则：让最大的数据正好占满纵轴，图既节约地方，又不失真。

1 格 5 与 1 格多

数据再大一些，一格代表 1 或 2 就画不下了。

选刻度的诀窍：先看最大数据，再定每格代表几，让纵轴格数落在 8～20 格之间，图就既清楚又好看。

读图与画图

一张规范的条形统计图，四样东西一个都不能少：

画完后用手指横着比一比：最高的一条是不是占了纵轴最高的刻度？如果是，说明刻度选得正好。

数据分析初步

画图的目的是看出问题。看条形图时，可以问三个问题：

王老师说：「看统计图，先看形状，再看数字，最后想一句『所以呢』。第三句最重要——它是数学走进生活的那一步。」

制图题组

班级数据日历

玩法（全班参与，4 人一小队）：每个小队负责调查一项全班数据，画成条形图，贴到班级「数据墙」上。

贴完后做一件事：找出「最意外」的一张图，说说您原本以为是什么样，实际是什么样。数据最有价值的时刻，就是它推翻了您原来的想法。

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制作家庭图书统计条形图

任务　① 统计家里 4 位成员各自拥有的图书数量（或本月各自读书的本数）；② 选定每格代表几本，并说出理由；③ 画出条形统计图，标出标题、每格代表的数量与数据；④ 写一句从图中看出的结论与建议。

画完拿给家人看，先请他猜「谁最多」，再用图验证。如果一眼就看出来了，说明您的刻度选得好——好的图表，不需要解释。

铺地锦：明朝的乘法艺术

图图在图书馆翻到一本旧画册，上面画着一些奇怪的方格：每个方格都被一条斜线分成两半，格子里写着数字，格子外面还写着一些数。旁边写着三个字——铺地锦。

「这是什么？」图图看不明白。王老师凑过来一看，笑了：「这是明朝人算乘法用的图。中国人算乘法，曾经不用竖式，用格子。」

王老师说：「这一单元的九页，我们跟着古人算一次乘法：不用竖式，只用格子。您会发现，数学不止一种走法。」

格子乘法完整规则

三条铁律：数字写半格、十位在上个位在下、斜线相加从右下起。记住这三条，格子乘法永远不出错。

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34×52 起步

跟着做一遍，您就学会了。

小杏看着这张格子图：「好漂亮！数字都待在自己的小斜格里，不会跑错位置。」

对角线与进位

格子乘法最有意思的地方，就在那几条斜线。它们其实代表数位：

进位的数字要写在上一条斜线的下端，别丢。这就是格子乘法里唯一需要「记着」的地方——和竖式里的进位一模一样。

三位数乘法

格子乘法最厉害的地方：位数增加了，规则不用改。

算完了别急着翻页——用估算验一遍：246 × 35≈250 × 35＝8750，与 8610 接近，靠谱。格子乘法位数再多规则也不变，但斜线串错数的后果很严重，验算就是保险。

与竖式对拍

复盘三问：

① 格子乘法和竖式，是两种方法还是同一种方法？——同一种。格子里的每条斜线，对应竖式里的一层；斜线相加，对应竖式的最终求和。

② 各自的优点是什么？——竖式省纸、快；格子图清楚、不易错位、能看出一层层的来源。

③ 我掉过什么坑？——进位的 1 忘写；斜线顺序读反；方格位置与因数位置对错。

两种方法互相对拍，是学习算法时最聪明的做法：用熟悉的方法验证新方法，用新方法理解老方法。

铺地锦团体赛

赛制（4 人一组，共三轮）：每轮教师出示一道乘法题，全组用格子乘法完成，并把格子图画在答题纸上。

裁判要求：算错的小组要当场指出错在哪条斜线上——能找出错，比算对更值得表扬。

教会一位家人铺地锦

任务　① 先在另一张纸上完整画一遍 34 × 52 的格子图；② 把三步规则写下来（画格、填乘积、斜线相加）；③ 教家里一位大人学会它，并让他独立完成一道两位数乘两位数（如 25×46）；④ 记录他的感受：觉得格子乘法难，还是竖式难？

教是最好的学。如果您讲得让他一次就懂，说明您真的把三条规则咬透了。能把方法讲给外行听懂，才算真正掌握。