九章格数学 PhiloMath · K2C 正文 · P 段

游戏数学·四之冬

P4-2 · 冬季段（编目代号 P4-2）· 游戏与实践册 · 正文编写版 · 已完成 72/72 页 · 2026-09-15

小学中段 · 四年级72 页＝ 8 单元 × 9 页体例：导入＋精讲＋练习＋思想卡＋游戏游戏与实践册

瑞雪运筹

‹ 返回在线阅读

〇体例说明（写给小读者和家长）

体例

本书怎么读：一个单元九页

全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右边，如 3.14；＋ − × ÷ ＝各就各位，中括号写成［　］；上标用小肩数字，如 1 公顷＝10000 平方米、1 平方千米＝1000000 平方米。大数四位一级：个级、万级、亿级；角的单位：度（°）；面积单位：平方米（m²）、公顷（ha）、平方千米（km²）。

第 1 单元 · UNIT 1

运算律

p.1–9 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1

p.1导入

25×4 的捷径从哪来

冬季班开班第一天，王老师在黑板上写了一道题：25 × 7 × 4。全班奋笔疾书，小杏已经报出答案：「700！」

「这么快？」图图不信。「我没算 25×7，」小杏说，「我先算 25 × 4＝100，再 100 × 7＝700。换个顺序，一步就出来了。」

为什么可以换顺序？因为乘法有个「性格」：谁先乘谁后乘，结果不变。这个性格有个名字——运算律。

王老师说：「运算律是数学里的『快捷通道』。学会它，很多又长又难的算式，都能一步跨过去。这一册九个单元，全部靠『玩』来学——今天第一站：运算律。」

p.2规则

交换与结合律体验

加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a。两个数相加，交换位置，和不变。
加法结合律：(a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋ (b ＋ c)。三个数相加，先加哪两个都一样。
乘法交换律：a × b ＝ b × a。
乘法结合律：(a × b) × c ＝ a × (b × c)。

体验一·摆一摆验证。用小方块摆成 3 行 4 列：横着数是 3 × 4，竖着数是 4 × 3——同一堆方块，两种数法，结果当然一样。交换律是「换个角度数」。

体验二·分组凑整。算 17 ＋ 28 ＋ 3：把 17 和 3 先加起来得 20，再加 28 得 48，比按顺序加省事。结合律是「先找好朋友」。

体验三·找好朋友的口诀。能凑成整十、整百、整千的两个数，就是好朋友：2 和 5、25 和 4、125 和 8、20 和 50……见到它们，先拉到一起。

用字母表示运 a、b、c，是为了说明「对任何数都成立」——这是本册第二单元要专门学的本领，先在这里见个面。

扫码开玩 ·「简算快手」

本单元配套游戏站（P4-2《游戏数学·四之冬》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

games/p4-2.html?u=1

p.3试玩

简算题组

用交换律、结合律试一试，看谁算得又快又稳。

① 25 × 7 × 4：调换成 25 × 4 × 7＝100 × 7＝700。

② 125 × 8 × 3：125 × 8＝1000，1000 × 3＝3000。找到 125 和 8 这一对好朋友，一步到位。

③ 17 ＋ 28 ＋ 3：把 17 和 3 先加起来是 20，20 ＋ 28＝48。

④ 4 × 36 × 25：4 × 25＝100，100 × 36＝3600。

⑤ 2 ＋ 9 ＋ 8 ＋ 1：(2＋8) ＋ (9＋1)＝10 ＋ 10＝20。两组好朋友同时上场。

小满总结出一条经验：「简算的第一步，不是算，是先扫一眼，把好朋友找出来。」

p.4策略

分配律：拆数妙招

乘法分配律：(a ＋ b) × c ＝ a × c ＋ b × c。一个数乘两个数的和，等于它分别乘这两个数，再把积相加。

为什么成立？用长 a＋b、宽 c 的长方形看：整块面积是 (a＋b)×c；把它从中间切开，变成两块，面积是 a×c 加 b×c。同一块地，两种量法。

正用（把括号打开）：(20 ＋ 4) × 25＝20 × 25 ＋ 4 × 25＝500＋100＝600。

逆用（把公因数提出来）：38 × 7 ＋ 62 × 7＝(38 ＋ 62) × 7＝100 × 7＝700。相同的因数 7 被提出来，剩下的数刚好凑整。

拆数妙招：102 × 36＝(100 ＋ 2) × 36＝3600＋72＝3672；99 × 47＝(100 − 1) × 47＝4700−47＝4653。

「把 102 拆成 100＋2」「把 99 拆成 100−1」——这就是拆数妙招。凑到整百，算起来比按竖式硬算快得多。

p.5进阶

乘法分配正用与逆用

分配律有两个方向，各有各的用处。

正用（展开）：式子外面有括号，就把它打开。
(125 ＋ 8) × 8＝125×8＋8×8＝1000＋64＝1064。
(40 － 4) × 25＝40×25 − 4×25＝1000−100＝900。

逆用（提取）：两项有相同的因数，就把它提出来。
65 × 12 ＋ 35 × 12＝(65＋35)×12＝100×12＝1200。
37 × 18 ＋ 63 × 18＝100×18＝1800。

隐身的因数 1：45 × 99 ＋ 45。后面的 45 其实藏着「× 1」——45 × 99 ＋ 45 × 1＝45 × (99 ＋ 1)＝45 × 100＝4500。

减法也能用：72 × 101 − 72＝72 × (101 − 1)＝72 × 100＝7200。

判断方向的口诀：括号外面看到乘，就往里展开；两项里面看到同一个数，就往外提取。

p.6复盘

简算错误类型

复盘三问：① 我用了哪条律？② 为什么能凑整？③ 有没有用错律？

错误 1　分配律只乘了一半。(20 ＋ 4) × 25 算成 20 × 25 ＋ 4＝504。错：4 也要乘 25。括号里的每一项都要乘外面的数。

错误 2　把分配律用在乘法结合律的场合。25 × (4 × 8) 算成 25×4 ＋ 25×8。错：括号里是乘法，应直接结合：25 × 4 × 8＝800。

错误 3　减法展开时符号出错。(40 − 4) × 25 算成 1000 ＋ 100。错：括号里是减号，展开后也是减号。

错误 4　交换律用到了除法和减法上。8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8，8 − 2 ≠ 2 − 8。交换律只对加法和乘法负责。

王老师说：「简算最怕的不是不会，而是『用错了还以为自己很聪明』。所以每一步都要能说出——我用的是哪条律。」

p.7思想卡

p.7

〔方程〕律是运算的性格

加法、乘法看起来是我们「规定」的算法，其实它们有各自改不掉的性格：加起来能随便换位置，乘起来也能；但减法和除法不行。这些性格，就是运算律。

《九章算术》里的「方程」章，处理的是几个未知量之间的关系。要解方程，第一步就得把式子整理——而整理的全部依据，就是这些律。古人未必写出「a＋b＝b＋a」，但他们心里清楚：换位置、换分组，结果不动。这正是后来代数能长成参天大树的根。

把一句话带回家：运算律不是要背的规则，是运算自己的性格；懂性格的人，才指挥得动它。

p.8对弈赛

简算抢答赛

赛制（4 人一组，抢答制）：教师逐题出示，各组举牌抢答，答对得 2 分；必须说清用了哪条律，否则减半分。

第 1 轮·找朋友25×7×4、125×8×6、17＋28＋3 这类一调就灵的题。

第 2 轮·拆数102×36、99×47、101×58 这类拆整数的题。

第 3 轮·提取38×7＋62×7、45×99＋45 这类逆用分配律的题。

第 4 轮·找茬教师出示「用错律」的算式，谁先指出错误并说出原因得 3 分。

赛后小结：真正的高手，拿到题的第一秒不是动笔，是扫一眼有没有好朋友、有没有公因数。

p.9游戏·任务

自编三道简算题

任务　① 编三道「能简算」的题：一道用交换／结合律，一道用分配律正用（拆数），一道用分配律逆用（提取）；② 每题都要写出简算过程，并注明用了哪条律；③ 交给家长或同学做，看他是否想到简算。

我编的题	简算过程	用哪条律	对方想到了吗

编题的诀窍：先想「我要凑成哪个整百数」，再倒着设计数字。比如想凑 100，就让 25 和 4 或 125 和 8 出现在题里。

第 2 单元 · UNIT 2

字母表示数

p.10–18 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1

p.10导入

一只青蛙一张嘴：数不清的青蛙

「一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿……」全班拍着手念，越念越快，念到第五只就乱套了。

王老师笑着叫停：「如果池塘里有一百只青蛙呢？」小杏说：「一百张嘴，两百只眼睛，四百条腿。」「那一千只呢？」「一千张嘴，两千只眼睛，四千条腿——太啰嗦了！」

能不能一句话说完？阿禾站起来：「如果有 n 只青蛙，就是 n 张嘴，2n 只眼睛，4n 条腿！」王老师一拍手：「这句话，把一万只、一亿只青蛙都说完了。」

「用字母代替数，是数学里一次了不起的升级——从今天起，各位读者要学一门新的语言：用字母说话。」

p.11规则

字母代数规则

字母可以表示数。用一个字母（如 a、n、x）代替一个还不确定的数，或者代替一个可以变化的数，就叫用字母表示数。

写法省 × 号（三条规则）：
① 字母与字母相乘，乘号可以省略：a × b 写作 ab；
② 数与字母相乘，乘号可省略，数写在字母前面：3 × a 写作 3a（不写 a3）；
③ 数与数相乘，乘号不能省：3 × 5 不能写成 35。

关于 1 的约定：1 × a 写作 a（不写 1a）；a × a 写作 a²（读作 a 的平方），不写 2a。

字母表示的是「一类数」。写 a，不表示某个具体的数，而是「任何数都可以坐进来」——它是一个座位。

字母可以表示任何数，但有时有限制：比如「每盒有 x 支笔」，x 就不能是负数或小数（半支笔不常见）。看情境而定。

扫码开玩 ·「字母密码站」

本单元配套游戏站（P4-2《游戏数学·四之冬》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

games/p4-2.html?u=2

p.12试玩

a＋3 与 3a 的含义

这两个式子长得像，意思差得远。

a ＋ 3：比 a 多 3 的数。如果 a 是小杏的年龄，a ＋ 3 就是比她大 3 岁的人的年龄。

3a：a 的 3 倍。如果 a 是一本书的价格，3a 就是三本书的总价。

代入试试。设 a ＝ 8：a ＋ 3 = 11，3a = 24。设 a ＝ 100：a ＋ 3 = 103，3a = 300。a 越大，两个式子差得越远。

再试 a²。设 a ＝ 8：a²＝64（8 乘 8）；而 2a＝16；a ＋ a＝16。平方和两倍完全是两回事。

小满记下了三句话：「加 3 是往前走三步，乘 3 是每一份都变成三份，平方是边长变成正方形。」

p.13策略

含字母式子的求值

「求值」就是把字母换成具体的数，算出结果。三步走：

① 换：把字母写成指定的数；② 算：按运算顺序计算；③ 验：检查单位和数量级是否合理。

例 1　当 a ＝ 12、b ＝ 5 时，求 a ＋ b 与 ab 的值。
a ＋ b＝12＋5＝17；ab＝12×5＝60。

例 2　当 x ＝ 7 时，求 4x ＋ 3 的值。先算乘法：4 × 7＝28，再加 3，得 31。先乘后加，顺序不能乱。

例 3　当 n ＝ 6 时，求 n² − 2 的值。n²＝6 × 6＝36，36−2＝34。

例 4　长方形的长是 a 米、宽是 b 米，周长是 2(a ＋ b) 米。当 a ＝ 6、b ＝ 4 时，周长＝2 × (6 ＋ 4)＝20 米。

求值出错最多的地方：① 忘写乘号后误当两位数（3a 当 31）；② 运算顺序搞错（4x ＋ 3 算成 4 × 10）。写完后把数字代回去念一遍，能防一半的错。

p.14进阶

简单等量关系表达

用字母表示数的真正威力，是把「关系」写下来。

例 1　苹果每千克 a 元，买 3 千克应付 3a 元；付了 50 元，应找回 50 − 3a 元。当 a ＝ 8 时，找回 50 − 24＝26 元。

例 2　小禾今年 x 岁，爸爸比他大 28 岁，爸爸今年 x ＋ 28 岁；5 年后，爸爸 x ＋ 28 ＋ 5＝x ＋ 33 岁。

例 3　一个数的 5 倍减去 12 等于 43。设这个数是 x，可以写成 5x − 12 ＝ 43——这就是方程的样子。想一想：x 是多少？（5x＝55，x＝11）

例 4　长方形长 a、宽 b：周长 2(a＋b)，面积 ab。当长是宽的 2 倍（a ＝ 2b）时，面积是 2b × b＝2b²。

王老师说：「用一个字母，把一整类情况说清楚——这就是代数的开头。以后您会用一整个单元来学解方程，今天先摸摸它。」

p.15复盘

易混点：a×a 与 2a

复盘三问：① 字母代表什么？② 式子在说什么关系？③ 代入后合理吗？

易混 1　a×a 与 2a。a×a＝a²（自己乘自己）；2a＝a ＋ a（两个 a 相加）。a＝5 时分别是 25 和 10——相差一倍半。

易混 2　ab 与 a ＋ b。ab 是乘法省略号；a＋b 是加法。a＝3、b＝4 时分别是 12 和 7。

易混 3　3a 被看成 31 或 3＋a。见到 3a，念成「三乘 a」或「a 的三倍」，绝不能说「三十一」。

易混 4　a × a 写成 2a。这是最常见的错。记住：平方是乘法叠起来的，2a 是加法叠起来的。

小杏的记法：「正方形边长 a，周长是 4a，面积是 a²——一个是围一圈，一个是铺满里面，当然不一样。」

p.16思想卡

p.7

〔方程〕字母让算术长出翅膀

在没有字母的古代，人们只能解决「具体的一道题」：3 个人分 12 个果子，每人几个？有了字母，问题变成：n 个人分 m 个果子，每人几个？一道题的答案，变成了一类题的答案。

《九章算术》的〈方程〉章用「算筹」摆出未知量之间的关系，虽然还没有字母，但已经出现了「把未知当成已知来摆」的念头——这正是代数的起点。等到人们学会用 x、y 写式子，数学才真正长出翅膀：因为它可以讨论「任意」的事情了。

把一句话带回家：算术回答「这一道题是多少」，代数回答「所有这类题是什么样」。

p.17对弈赛

式子翻译赛

赛制（4 人一组，两组对抗）：教师报出「中文句子」，各组抢答写出「字母式子」；反过来也可以。

第一轮·句译式「比 a 多 7 的数」→ a ＋ 7；「a 的 4 倍少 3」→ 4a − 3。

第二轮·式译句教师写 2(a ＋ b)，各组说出它的一种真实含义（如「长 a 宽 b 的长方形的周长」）。

第三轮·代入赛教师随机给出字母的值（如 a＝9，b＝4），抢答几个式子的值，全对得 3 分。

第四轮·找错教师写 a × a ＝ 2a，谁先指出错误并纠正得 4 分。

裁判提醒：句子与式子之间要一一对应。「多 7」对应＋7，「4 倍少 3」对应 4a − 3——读句子的时候，把每个词都换成运算，就不会错。

p.18游戏·任务

用字母写一条家庭规则

任务　① 找出家里一条「能用数学说清楚」的规则（如每周买牛奶的盒数、电费的算法、家务积分的算法）；② 用字母写出这条规则；③ 设定字母的具体数值，算出结果；④ 请家人检查：这条式子说得对吗？

家庭规则	字母式子	举例代入	结果

示例：「每读一本书得 a 分，每周基础分 10 分」→ 一周总分是 10 ＋ na（n 为一周读的本数）。当 a＝2、n＝3 时是 16 分。

第 3 单元 · UNIT 3

烙饼问题：统筹优化

p.19–27 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1

p.19导入

三张饼两面的锅

阿禾早上帮妈妈烙饼。锅里一次只能放 2 张饼，每张饼要烙两面，每面要烙 3 分钟。

「烙 3 张饼，要多久？」阿禾想：先烙两张，正面 3 分钟、反面 3 分钟，用 6 分钟，一共烙好 2 张；剩下 1 张再烙两面，用 6 分钟——一共 12 分钟。

妈妈却说：「9 分钟就够了。」阿禾不信。妈妈让他一步步做：第 1～3 分钟烙饼 1、饼 2 的正面；第 4～6 分钟，把饼 1 翻面，饼 2 拿出来，换上饼 3 的正面……阿禾数着数着，发现真的只用 9 分钟，而且每张饼两面都烙熟了。

王老师说：「这不是魔法，是安排。天下有很多事，做的时间没办法减少，但『等』的时间可以。这一单元，我们就来学怎么把等待消灭掉。」

p.20规则

烙饼最优规则

条件：一口锅，每次最多放 2 张饼；每张饼有两面，每面需烙 3 分钟；饼的每一面都必须被烙到，不能少。
目标：让「锅里有空位」的时间尽可能少。

关键判断：锅里有没有空位？锅能放 2 张，如果只放 1 张，就浪费了一半的火力——这段时间就叫轮空（空锅时间）。

总工作量算一算。3 张饼 × 2 面＝6 个「面份」。锅每 3 分钟能烙 2 个面份，所以至少需要 6 ÷ 2＝3 轮＝3 × 3＝9 分钟。这就证明了 9 分钟是下限，不可能更快。

规则三条：① 每次尽量放满 2 张；② 面份总数 ÷ 2＝最少轮数；③ 让每张饼的不同面交错进行，把「等的那一面」留给下一次下锅。

烙饼问题的本质是排队：怎样让「机器」（锅）一直在忙，而「活」（面份）一直有得做。

扫码开玩 ·「统筹小厨房」

本单元配套游戏站（P4-2《游戏数学·四之冬》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

games/p4-2.html?u=3

p.21试玩

两张饼的时间

从最简单的开始，把每一步都写清楚。

1 张饼：正面 3 分钟＋反面 3 分钟＝6 分钟（另一格空着，这没办法，只有一张饼）。

2 张饼：第 1～3 分钟同时烙两张的正面；第 4～6 分钟同时烙两张的反面。共 6 分钟。锅一直是满的，没有浪费。

3 张饼：先看总面份＝6，最少 3 轮、9 分钟。具体安排：
第 1～3 分钟：饼 1 正＋饼 2 正；
第 4～6 分钟：饼 1 反＋饼 3 正；
第 7～9 分钟：饼 2 反＋饼 3 反。
检查：饼 1 正反都烙了 ✓，饼 2 正反 ✓，饼 3 正反 ✓。9 分钟完成。

4 张饼：面份＝8，最少 4 轮＝12 分钟（两张两张地烙，两轮 2 张饼，共 4 轮）。

阿禾恍然大悟：「原来烙饼不是一张一张地做，而是两面交错着做——锅里永远不空。」

p.22策略

轮空法：三张饼 9 分钟

「轮空法」的核心是：不要等一张饼两面都烙完，才去动另一张。把每一张饼拆成两个「面份」，让它们像乘客一样排队上车。

画一张三行表，检验有没有轮空：

时间	锅里第 1 个位置	锅里第 2 个位置	有空位吗
0～3 分	饼 1 正面	饼 2 正面	无
3～6 分	饼 1 反面	饼 3 正面	无
6～9 分	饼 2 反面	饼 3 反面	无

对比「一张一张烙」的 12 分钟方案：第 6～9 分钟时锅里只有饼 3 一张，空了一个位；第 9～12 分钟锅里只有饼 3 的另一面。那 6 分钟里，锅一半在休息——这就是被浪费掉的时间。

轮空法的口诀：面份排队、每次满位、交错推进。判断一个方案优不优，就看它有没有让锅空着等。

想一想：为什么 2 张饼只要 6 分钟，3 张饼却只要 9 分钟（不是 12）？因为「多的那 1 张」被塞进了原来空着的位置里。

p.23进阶

多饼规律与公式初感

有了方法，规律就浮出来了。设饼数为 n，每面 3 分钟，锅每次放 2 张：

饼数 n	面份总数	最少轮数	最少时间
1	2	2（只有一张，锅空一半）	6 分钟
2	4	2	6 分钟
3	6	3	9 分钟
4	8	4	12 分钟
5	10	5	15 分钟
6	12	6	18 分钟

公式：当 n ≥ 2 时，最少时间＝3n 分钟；n ＝ 1 时是 6 分钟（特例）。也就是说：平均一张饼只要 3 分钟。

例　烙 7 张饼最少要几分钟？3 × 7＝21 分钟。验算方法：面份 14 个，14 ÷ 2＝7 轮，每轮 3 分钟，7×3＝21 ✓

变式：如果锅每次能放 3 张呢？每张饼两面，共 2n 个面份，锅一次烙 3 个面份，轮数＝2n ÷ 3（向上取整）。3 张饼时 6÷3＝2 轮＝6 分钟；4 张饼时 8÷3≈2.67→3 轮＝9 分钟。

公式是「更快地算」，不是「必须记」。真正的本事是：遇到新条件，能重新把面份和轮数算一遍。

p.24复盘

为什么有空锅时间

复盘三问：① 面份总数是多少？② 最少要几轮？③ 我的安排里，锅有没有空过？

空锅时间的来源有三个：① 锅里放不满（该放 2 张只放 1 张）；② 前一道工序没做完，后一道没法开工；③ 安排的顺序不好，把能同时做的事做成了先后做。

用「同时做」的眼光看生活：煮饭的 30 分钟里可以洗菜切菜；洗衣机转的 40 分钟里可以擦地。凡是「不需要人盯着」的时间，都能塞进别的活。

武器 1面份法：把所有活拆成最小单位，数一数。

武器 2满位法：让「机器」永远不空着。

武器 3交错法：别等一件事彻底做完才做下一件。

武器 4并行法：能在等待里做的事，顺手做掉。

小满说：「原来 12 分钟和 9 分钟的区别，不在手脚快慢，而在安排得巧不巧。」

p.25思想卡

p.7

〔均输〕统筹：把等待消灭掉

《九章算术》有一章叫〈均输〉，专门研究「怎样把有限的粮食和劳役，公平又高效地运送、分配」。古人运粮，路上人吃马喂都要耗粮食——算错一步，运到地方就所剩无几。所以他们特别讲究安排。

烙饼问题也是安排的艺术。锅是有限的，时间是固定的，唯一能动的是「顺序」。数学里把这类问题叫统筹：不改变每一项工作所需的时间，只改变它们的顺序，就能省下真实的分钟数。

把一句话带回家：聪明的人不是把活做得更快，而是让等待不再等待。

p.26对弈赛

统筹方案赛（沏茶问题等）

赛制（4 人一组）：教师出示 4 个生活问题，各组在 5 分钟内设计出「最省时间」的方案，并写出流程图。

问题 1·沏茶洗水壶 1 分、接水 1 分、烧水 8 分、洗茶杯 2 分、找茶叶 1 分、沏茶 1 分。最少几分钟？（提示：烧水的 8 分钟里可以洗杯找茶）

问题 2·换药排队3 位病人，各需 1、2、3 分钟，只有一位护士。怎样安排让三人等待的总时间最少？

问题 3·卸货两辆车需卸货 4 分和 6 分，只有一处卸货台，怎样安排总时间最短？

问题 4·烙饼锅每次放 2 张，烙 5 张饼最少几分钟？（提示：3×5＝15）

评分标准：不仅要答出时间，还要画出「谁在什么时候做什么」的时间条——能画出来，才算真的想清楚了。

p.27游戏·任务

设计一次最优家务流程

任务　① 记录一次家务（如做一顿早饭、打扫房间）的全部步骤与各步所需时间；② 找出哪些步骤可以「同时做」；③ 画出优化前与优化后的时间条，比较总时间；④ 按新方案实际做一次，记录真实耗时。

步骤	耗时（分）	能否与他人／他事同时做	优化后安排

做完后算一算：优化让我省下了多少分钟？一周、一年下来是多少小时？把「省下来的时间」换算成大单位，您会对统筹的威力有一次真正的震撼。

第 4 单元 · UNIT 4

数独六宫

p.28–36 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1

p.28导入

向九宫出发前的营地

数学镇的「推理训练营」开营了。营长说：「九宫数独是登山，六宫数独是山脚的营地。今天我们先在营地扎好帐篷，把规矩练熟——等各位读者上了九宫，才不会半路掉下去。」

图图不服气：「六宫太简单了吧？」营长笑了笑，递给他一张空白的六宫盘：「那您先填满试试。」图图填到一半卡住了——他发现越往后，能用的数字越少，每填一个都要想半天。

数独的规矩只有一条：每一行、每一列、每一个宫内，1～6 各出现一次，不重复、不遗漏。听着简单，做起来是一场纯逻辑的耐力赛。

营长说：「数独不靠猜，靠推。每一格填什么，都是被别的格『逼』出来的——这就是推理的乐趣。」

p.29规则

六宫规则复习

棋盘：6 行 × 6 列，共 36 格；用粗线把它分成 6 个宫，每个宫是 2 行 × 3 列（共 6 格）。
规则：每行、每列、每宫内，数字 1～6 各出现一次。

规则等价说法：任意一行（列、宫）里，同一个数字不能出现两次；且 6 个数字必须凑齐。前一句叫「不重复」，后一句叫「不遗漏」——两条都要满足。

起手三问：① 哪一行／列／宫已经填得最多？从那里入手。② 某个数字在哪一行只剩一个可能的位置吗？③ 某个格所在的行、列、宫一共出现了哪些数字？剩下那个就是答案。

常用记号	含义
唯一余数	某格所在行、列、宫已经出现了 5 个不同数字，剩下那个必填
唯一位置	某数字在某一行（列、宫）里只剩一个空位可放

养成好习惯：每填一格，立刻横竖各扫一遍，看有没有新的「唯一」被逼出来。数独就是这样一环扣一环地推下去的。

扫码开玩 ·「六宫推理营」

本单元配套游戏站（P4-2《游戏数学·四之冬》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

games/p4-2.html?u=4

p.30试玩

标准六宫

看这道题（图中数字为已给条件）：

第 1 步（唯一余数）。看第 1 行：已有 1、3、5，缺 2、4、6。第 1 行第 2 格所在列已有 5、6、2，所以不能填 2、5、6——只能填 4。同理第 1 行第 4 格所在的列已有 1、2、3，行里缺的 2 也被列禁了——填 6；第 6 格所在列已有 3、4、6，填 2。

第 2 步（唯一位置）。再看数字 2：第 2 行只有一处能放（最左边那格），填上。数字 3 在第 5 行也只有一个位置能放，同样填上。

第 3 步（连环推进）。每填一格，就有新的空格变成「唯一」。这样一路推下去，36 格全部填满，且每行、每列、每宫都是 1～6 一次。

图图填完长出一口气：「原来不是难在数字少，是难在每一步都要解释为什么。」

检验方法：填完后横着扫 6 遍、竖着扫 6 遍、宫扫 6 遍，全都没有重复才算对。

p.31策略

区块排除法初感

当每一个空格都不止一个候选数时，就要换个角度：不看格子，看数字。

排除法（也叫「摒除法」）：选一个数字（比如 4），看它在各行、各列、各宫里的分布，把「不可能放 4 的地方」全部划掉，剩下的位置就是 4 的家。这一招是区块排除的基本功。

例　找数字 1。① 第一宫已有 1，划掉第一宫的其余空格；② 某一列已有 1，划掉那一列的其余空格；③ 若某一行（或某一列、某一宫）里，没被划掉的空格只剩一个，这个位置就一定是 1——1 一旦安家，它所在的行、列、宫就都再不能有第二个 1，其余空格便一起划掉。

区块的含义：如果某个数字在一个宫里，只能落在同一行的两个格子里，那么这一行其他的宫里就不能再放这个数字了；只能落在同一列时，那一列的其他宫同理。这就是「区块排除」最有用的一条推论。

操作顺序建议：先找填得最多的行／列／宫 → 用唯一余数；卡住了就换成「找数字」的视角 → 用排除法，进阶用区块排除；再卡住，就对每个空格列出全部候选数，找「唯一候选」。

数独高手脑子里的盘，常常是「每个格子都写着一串小候选数」。您可以在格子里用铅笔记候选数——这不是偷懒，是正规方法。

p.32进阶

对角线六宫

给六宫加一条规矩，难度立刻上一个台阶。

对角线数独规则：在六宫规则基础上，加一条——两条主对角线上的 6 个数字，也必须是 1～6 各一次。（从左上到右下、从右上到左下，共两条对角线，各 6 格。）

例　对角线带来的新线索。六宫是 6×6，两条对角线不共格——它们在盘面正中交叉于四格之间的缝隙上，并没有一个共同的「盘心」。但每条对角线都相当于一条隐形的行：若左上角填了 3，除整行、整列、整宫外，主对角线其余 5 格也一起划掉——一口气划掉 16 个位置，很多空格立刻变成「唯一」。

解题策略调整：① 优先看对角线：对角线上的格比普通格多一层约束，哪条对角线快填满了，就先沿它找「唯一」；② 每填一格，除了扫行、列、宫，还要扫两条对角线；③ 找数字时，把对角线上已有该数字的位置一起划掉。

难度对比：标准六宫多数题靠「唯一余数＋排除」就能解完；对角线六宫线索更密、卡点也更多，区块排除用得更勤——它是通往九宫的重要台阶。

营长说：「多一条规则，就多一层约束；多一层约束，推理的网就更密。数独的难度，从来不在数字多不多，而在线索够不够。」

p.33复盘

解题流程图

复盘三问：① 我卡在哪一步？② 我用了哪条推理方法？③ 有没有「猜」过？（猜了就说明推理不够）

第 1 关扫全盘，找填得最多的行、列、宫 → 用「唯一余数」填。

第 2 关卡住 → 换视角，选一个数字找「唯一位置」。

第 3 关再卡住 → 用区块排除，划掉不可能的格子。

第 4 关还卡住 → 给空格标候选数，找「某格只剩一个候选」或「某数字只剩一个位置」。

复盘要点：数独做不下去，通常不是题太难，而是忘了扫某一行或某一宫。养成「填一格、扫三圈」的习惯，难题会自己变简单。

小杏的笔记本上写着六个字：不猜、只推、多扫。这是她从六宫练出来的信条。

p.34思想卡

p.7

严密推理的健身房

数独为什么让人上瘾？因为它给了一种很纯粹的体验：每一格都有唯一的理由。这里没有大概、没有估计、没有感觉——只有「因为这一行已有 1、3、5，这一列已有 2、6，所以只剩 4」。

这种「每一步都能说出理由」的推理，是数学最核心的训练。中国古人做「盈不足」题，也是靠一步步推理：假设、验证、调整，每一步都摆在明处，别人可以检查。数独就是这么一块练习推理的场地——没有公式要背，没有答案要抄，全凭您自己推出来。

把一句话带回家：推理不是猜得准，而是每一步都能说出为什么。

p.35对弈赛

六宫晋级赛

赛制（4 人一组，三轮晋级）：每轮发一张六宫题纸，限定时间完成，全对且用时最短者晋级。

第一轮·热身标准六宫，空格较少的简单题，限时 8 分钟。

第二轮·进阶标准六宫，空格较多的题，限时 10 分钟。

第三轮·挑战对角线六宫，限时 12 分钟。

附加环节·出题各组从自己完成的题里挑一道，出给对方组，看谁先解完。

裁判规则：不许猜。填错要扣分；能被追问「为什么这里填 4」而答不上来的，也要扣分。理由和答案一样重要。

p.36游戏·任务

出一道六宫题并附解答

任务　① 自己设计一道六宫题：先填好一个完整的六宫盘（每行每列每宫 1～6 各一次），再擦掉一部分数字作为题目；② 保留的数字要保证题目有唯一解；③ 写出完整的解题过程（每一步都写清理由）；④ 请同学试做，看他要多久。

保留数字个数	同学用时	他卡在哪一步

出题比做题更难：您必须确保题目有解且唯一。小提示：先画完整盘，再逐格擦除，每擦一格就问自己「这样还能唯一解出来吗」。

第 5 单元 · UNIT 5

幻方与洛书

p.37–45 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1

p.37导入

洛书与中国数学之源

王老师在黑板上画了一个九宫格，填上九个数字：

「谁来算一算，每一行的和是多少？」小杏很快：「4＋9＋2＝15！」「第一列呢？」阿禾：「4＋3＋8＝15！」「对角线呢？」图图倒吸一口气：「4＋5＋6＝15……怎么都是 15？」

这就是「洛书」。传说大禹治水时，洛水里浮出一只神龟，背上驮着这样的花纹。古人把它看作「数」最初的样子——九个数，排成一方阵，横竖斜的和全都相等。它是中国最早、也最著名的数学图案之一。

王老师说：「让横、竖、斜的和都一样，这叫幻方。今天我们就来玩这个三千年前的宝贝。」

p.38规则

三阶幻方构造规则

三阶幻方：把 1～9 九个数字填入 3 × 3 的方格，每格一个数，不重复。要求：每一行、每一列、两条对角线上的三个数之和都相等。这个相等的和叫幻和。

幻和是多少？先算出来。九个数总和 1＋2＋…＋9＝45。三行的和加起来正好是这 45，所以每行（＝幻和）是 45 ÷ 3＝15。幻和不用猜，可以算出来。

中心数一定是 5。看穿过中心格的四条线（中间行、中间列、两条对角线），它们的和都是 15，四条线相加＝60。这四线把九个格都算了一次，其中中心格被算了 4 次，其余 8 格各 1 次。所以 45 ＋ 3 ×（中心数）＝60，中心数＝5。

构造的经典口诀：「二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央」——2、4 放两个上角，6、8 放两个下角，3、7 放中间两侧，9 在顶中、1 在底中，5 坐中宫。

三阶幻方的解，本质上只有一种（把它的旋转、镜像都算作同一种）。这个「唯一」，正是它迷人的原因。

扫码开玩 ·「洛书幻方馆」

本单元配套游戏站（P4-2《游戏数学·四之冬》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

games/p4-2.html?u=5

p.39试玩

罗伯法（阶梯法）

没有口诀也能造幻方——用「罗伯法」，一步一步走。

罗伯法三步：① 把 1 放在最上面一行的正中间；② 往后每个数，都放在前一个数的右上方（斜着一格）——上边出框，绕到底行同列；右边出框，绕到该行最左端；③ 如果要放的格子已经被占，就改放前一个数的正下方。

走一遍（3 阶）：
1 放顶中。2 想放右上方——上边出框了，绕到底行同列（右下角）。3 放 2 的右上方——右边出框了，绕到该行最左端（中左）。4 想放 3 的右上方——正好是顶中，被 1 占了，改放 3 的正下方（左下）。5 放 4 的右上方（正中）。6 放 5 的右上方（右上角）。7 想放右上方——绕过去一看，那格被 4 占了，改放 6 的正下方（中右）。8 放 7 的右上方——右边出框了，绕到该行最左端（左上角）。9 放 8 的右上方——上边出框了，绕到底行同列（底中）。

检查结果：横、竖、斜的和都是 15——得到的就是洛书那个方阵上下翻转的样子（旋转、镜像都算同一个幻方）。用「走步」的方法，比死记口诀更可靠。

注意两种跳法的口诀：「斜着走，撞墙就绕，撞人就下」。撞墙指超出行列，撞人指格子已被占。

p.40策略

中心与幻和

幻方的很多性质，都能用「算和」的办法推出来。

性质 1　幻和＝（总数）÷ 阶数。三阶：45÷3＝15；四阶：1＋…＋16＝136，136÷4＝34。

性质 2　中心数＝幻和 ÷ 3（三阶）。15÷3＝5。因为穿过中心的四条线各含中心，多算的部分正好是「3 个中心数」。

性质 3　中心两侧的对应数之和＝2 × 中心数。三阶里，1 与 9、2 与 8、3 与 7、4 与 6 互为「对面」，每对的和都是 10＝2×5。这就是「对称」的味道。

用性质解题。已知某个三阶幻方中某格是 7，那么它对面那格一定是 2 × 5 − 7＝3。知道了一条边上的两个数，第三个也能算出来。

做幻方题的顺序：先求幻和 → 再定中心 → 用「对面和为 2 倍中心」配对 → 剩下的用「每条线凑幻和」补。

p.41进阶

四阶幻方初探

四阶幻方：把 1～16 填入 4 × 4 方格，每行、每列、两条对角线的和都相等。

幻和：总数 1＋2＋…＋16＝136，四行平均，幻和＝136 ÷ 4＝34。

「对调法」造四阶幻方（简单好用）：
① 先把 1～16 按顺序从左到右、从上到下填满；
② 找出两条主对角线上的 8 个格子，把它们按顺序倒过来填——原来该填 1 的填 16，该填 2 的填 15，依此类推（相对的数是「和 17」的一对：1↔16、2↔15、3↔14…）；
③ 其余格子保持原样。

为什么能成？因为每一行、每一列、每条对角线上被换掉的格子数，恰好使「换了的部分」和「没换的部分」合计都是 34。这也说明：幻方背后的道理，是对称与配对。

四阶幻方还能做出「四阶双幻方」等更神奇的方阵——有兴趣的同学可以继续探索。今天的任务只是：会用对调法作出一个四阶幻方。

p.42复盘

幻方性质汇总

复盘三问：① 幻和怎么算出来的？② 中心数为什么定了？③ 我用的方法（口诀／走步／对调）在哪一步最容易出错？

性质 1幻和＝全部数字之和 ÷ 阶数（三阶 15、四阶 34）。

性质 2三阶中心必为幻和÷3（即 5）。

性质 3过中心的对称两格，和为 2 倍中心数。

性质 4三阶只有一种本质解，旋转镜像共 8 种。

易错点：① 把幻和当成「随便定的数」——它必须算出来；② 四阶对调时把非对角线的格子也换了；③ 用罗伯法时「撞墙绕、撞人下」的规则记反。

小满的笔记：「幻方不是背书，是先算和、再摆位、最后配对。三句话就能全搞定。」

p.43思想卡

p.7

幻方里的对称与平衡

洛书上有一种惊人的「平衡」：1 与 9 配、2 与 8 配、3 与 7 配、4 与 6 配，每一对的和都是 10；5 居中。整座方阵像一个天平，四面八方都是对称的。

古人把这个图案叫作「洛书」，看作是天地秩序的样子——数字之间不是散乱地堆着，而是彼此呼应。数学的美，很多时候就长在这种对称和平衡上。从洛书到今天的矩阵、群论，人们一直在研究「什么样的排列，能让各部分的和保持均衡」。

把一句话带回家：幻方教我们的不是九个数，而是「对称与平衡」两件事。

p.44对弈赛

幻方构造赛

赛制（4 人一组，三轮）：每轮教师给出不同的条件，各组限时构造或补全幻方。

第一轮·三阶补空教师给一个三阶幻方，擦掉 3～4 个数，限时 5 分钟补全。

第二轮·只有中心只给中心数和一个角上的数，要求补全整个三阶幻方。

第三轮·四阶挑战用对调法作出一个四阶幻方，限时 10 分钟，完成后互相检查幻和是不是 34。

附加分抢答「五阶幻方的幻和是多少」——1～25 的和是 325，325÷5＝65，答对加 3 分。

裁判要求：每组的答案必须当场验证九条线（三行三列两对角线），有一条不是 15 就不算完成。

p.45游戏·任务

制作幻方书签

任务　① 自己构造一个三阶幻方（用罗伯法或口诀都行）；② 设计一张书签，把幻方画在中间，旁边写上「横竖斜加起来都是 15」；③ 在书签背面出一道「补全幻方」的小题，送给同学；④ 书签可以做两个：一个三阶，一个四阶（幻和 34）。

阶数	幻和	中心数	送给谁
三阶	15	5
四阶	34	（无唯一中心）

书签上的数字可以用彩色笔写：同一个数字的对称位置用同一种颜色，您会看到一幅漂亮的对称图案——这时您做的不是书签，是洛书的复活。

第 6 单元 · UNIT 6

植树与间隔

p.46–54 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1

p.46导入

一条路栽几棵树

春季植树，学校分给四年级一段 20 米长的小路，要求每隔 5 米栽一棵树。小杏说：「20 ÷ 5＝4，栽 4 棵！」

她拿着树苗去栽，栽完发现：还剩一棵树苗，而路的两头还空着。王老师带她数了数——路上正好栽了 5 棵。

怎么回事？把路画出来看：0 米、5 米、10 米、15 米、20 米，一共 5 个位置，每处一棵。原来 20 ÷ 5＝4 是「间隔数」，不是「棵数」——两头都栽的时候，棵数＝间隔数＋ 1。

王老师说：「植树问题看着是栽树，其实是数「间隔」。间隔和棵数，永远差一个。这一单元，我们就来把这个『差一』数清楚。」

p.47规则

两端都栽／一端／都不栽

先记住两个词：间隔＝每两棵树之间的距离（如 5 米）；间隔数＝总长 ÷ 间隔＝20 ÷ 5＝4 个间隔。而棵数要看两端栽不栽。

情形	关系	例子（20 米，每 5 米一棵）
两端都栽	棵数＝间隔数＋ 1	4＋1＝5 棵
只栽一端	棵数＝间隔数	4 棵
两端都不栽	棵数＝间隔数 − 1	4−1＝3 棵

为什么「两端都栽」要多一棵？画图看最清楚：一棵树就像一根桩子，4 段路需要 5 根桩子把它「夹」住。线段的段数，总比点数少 1。

现实情形判断：在一条路的两旁都栽树（两侧都栽），棵数要再乘以 2；栽在路的两端是否栽，要看题目怎么说——「两端都栽」「只栽一边」这些字眼一定要圈出来。

一句话总结：先算间隔数，再看端点栽不栽。间隔数永远是总长 ÷ 间隔长。

扫码开玩 ·「植树间隔站」

本单元配套游戏站（P4-2《游戏数学·四之冬》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

games/p4-2.html?u=6

p.48试玩

基础题组

四道题，把三种情形都走一遍。

① 两端都栽。一条 100 米的小路，每隔 10 米栽一棵，两端都栽，共几棵？
间隔数 100 ÷ 10＝10；两端都栽，棵数＝10＋1＝11 棵。

② 两端都不栽。一条长 48 米的水渠，每隔 6 米栽一棵，两端都不栽，共几棵？
间隔数 48 ÷ 6＝8；棵数＝8−1＝7 棵。

③ 只栽一端。一个圆形花坛边缘？——先别急，圆形是封闭图形，见下一页。这里换成：从教学楼门口到操场小路长 30 米，每隔 5 米栽一棵，门口不栽、操场那头栽，共几棵？
间隔数 30 ÷ 5＝6；只栽一端，棵数＝6＝6 棵。

④ 两侧都栽。一条 100 米的路两旁都栽，每隔 10 米栽一棵，两端都栽，共几棵？
先算一侧：10＋1＝11 棵；两侧：11 × 2＝22 棵。

小杏说：「以前我一看到『栽树』就除，现在我先问自己两句：算出的是间隔数还是棵数？两端栽不栽？」

p.49策略

画图策略

植树问题最容易记混「＋1还是−1」。最稳的办法是——画图验证。

画图三招：
① 用「｜」表示树，「—」表示间隔，画出 3～5 个间隔就够看出规律；
② 在图的下面标出「间隔数」与「棵数」，对比一眼就明白；
③ 用一个特别小的例子验算（如总长 10 米、间隔 5 米），错了立刻能发现。

例　验证「两端都不栽」。画 4 个间隔：—｜—｜—｜—（两端都没有树），数一数：只有 3 棵树＝4−1 ✓。若画 2 个间隔：—｜—，只有 1 棵树＝2−1 ✓。规律自己就冒出来了。

反过来用：已知棵数求总长。一条路每隔 8 米栽一棵树，两端都栽，共栽 11 棵，这条路多长？
棵数 11 → 间隔数＝11−1＝10 → 总长＝10 × 8＝80 米。

画图不是「水平不够才用」，而是最快的验算方法。记住：把「＋1／−1」交给图，把脑袋留给题目本身。

p.50进阶

封闭图形上的植树

把直的路围成一个圈，规律就变了。

封闭图形（圆、正方形、三角形等围一圈）：棵数＝间隔数。没有端点，也就没有「多一少一」。

例 1　圆形花坛。一个圆形花坛周长 60 米，每隔 5 米栽一棵，共几棵？
间隔数 60 ÷ 5＝12；封闭图形，棵数＝12 棵。

例 2　正方形操场。正方形操场边长 50 米，四周每隔 10 米栽一棵（四个角都栽），共几棵？
周长 50 × 4＝200 米，间隔数 200 ÷ 10＝20，棵数＝20 棵。（注意：四个角的树被两条边「共用」，所以不能按「每条边 6 棵 × 4＝24」来算。）

例 3　为什么封闭图形不用＋1？想象您沿着圆周走一圈：第 1 棵树是您出发的地方，走完一圈回来，您又见到了它——起点和终点是同一棵树，所以棵数与间隔数相等。

判断口诀：有头有尾（线段）要 ±1，首尾相接（封闭）不加不减。

p.51复盘

三类模型对照表

复盘三问：① 是线段还是封闭图形？② 端点栽不栽？③ 算出来的是间隔数还是棵数？

模型	关系式	典型场景
两端都栽	棵数＝间隔数＋1	路的两端都栽树、路灯（两端都有）
只栽一端	棵数＝间隔数	一头是门／桥，不栽
两端都不栽	棵数＝间隔数−1	两栋楼之间的路
封闭图形	棵数＝间隔数	圆形花坛、方形操场四周
锯木头	段数＝次数＋1（次数＝段数−1）	锯 3 次得 4 段
上楼梯	层数关系：上 4 层＝走 3 段楼梯	从 1 楼到 5 楼走 4 段

易错点：① 忘了乘 2（两侧都栽）；② 封闭图形多加了 1；③ 把「每隔 5 米」当成「每 5 米栽 5 棵」。

王老师说：「记住这张表，您就掌握了『间隔问题』的全部骨架。题目的样子千变万化，骨架只有这几根。」

p.52思想卡

p.7

间隔是「多一少一」的学问〔商功〕

植树问题的本质，是一条极朴素的规律：点与段永远差一个。一根绳子上打 4 个结，就把绳子分成 5 段；铺 5 块砖，中间只有 4 条缝。

《九章算术》〈商功〉章算土方、算城墙，也要用到类似的「段数」关系：一段墙分几层夯筑、一条渠分几段开挖，段数与接缝数总是差一个。古人不写「＋1」这个符号，但他们心里清楚：数东西和数空隙，是两件事。

把一句话带回家：看见「间隔」，就想起那一句——数头比数段多一个。

p.53对弈赛

植树变式赛（锯木·爬楼）

赛制（4 人一组，抢答＋计算）：教师连续报出「换了外衣」的间隔问题，各组抢答。

锯木题一根木头锯成 6 段，每锯一次用 3 分钟，共需多少分钟？（6 段＝锯 5 次，5×3＝15 分钟）

爬楼题从 1 楼到 3 楼走 36 级台阶，从 1 楼到 6 楼要走多少级？（3−1＝2 层×18 级；6−1＝5 层×18＝90 级）

敲钟题钟敲 5 下用 8 秒，敲 10 下用多少秒？（5 下 4 个间隔，每间隔 2 秒；10 下 9 个间隔＝18 秒）

队伍题20 人排成一列，每两人间隔 1 米，队伍长多少米？（20 人 19 个间隔＝19 米）

赛后总结：所有变式的第一步都一样——先想清楚「间隔数」是多少。间隔数一算出来，剩下一句话就能出答案。

p.54游戏·任务

数一数家楼道的间隔

任务　① 数一数您家楼道有几层台阶、几段平台；② 用「爬楼模型」算一算：从 1 楼到家门（若在 5 楼）共走几段楼梯？若每段 18 级，共多少级？③ 数一数您家小区路边（或楼下花坛）的树，用植树模型检验：树数与间隔数差几？④ 记录一个「意外发现」。

项目	数量	用哪个模型	算出结果
台阶级数		爬楼
楼下树木		植树

意外发现往往最值钱：比如「楼道转角的两段台阶不一样多」「树在路口处多栽了一棵」——现实总有例外，把例外找出来，就是数学的眼睛。

第 7 单元 · UNIT 7

代码与密码初感

p.55–63 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1

p.55导入

悄悄话怎么加密

课间，小满在本子上写了一张纸条，递给阿禾，却被图图抢了过去。纸条上写着一行怪字：

GR IRU

图图念了半天：「格－儿－爱－儿－优？」什么也看不懂。小满得意地说：「这是密码！我把字母往后挪了三格写的。」

破译试试。把每个字母往前挪 3 格：G→D，R→O，空格不变，I→F，R→O，U→R。原来写的是 DO FOR——「去做」。图图一拍脑袋：「原来这么简单！」

王老师说：「加密的想法很古老，但背后的数学很现代。今天我们就来玩这门『让外人看不懂』的数学——密码。」

p.56规则

凯撒移位规则

凯撒密码（移位密码）：把每个字母，按同一个固定的数目在字母表上往后挪。比如移 3 位：a→d、b→e、c→f……x→a（到头了就绕回去）。这个固定的数目叫密钥。

明文	a	b	c	d	…
密文	d	e	f	g	…
明文	w	x	y	z
密文	z	a	b	c

绕回来是关键。字母表只有 26 个字母，排到最后还要继续往后挪怎么办？回到开头：y→b（y 往后 3 位是 b）、z→c。这在数学上叫「模运算」——像钟表一样转圈。

解密＝反向移位。加密时往后挪 3 位，解密时就往前挪 3 位。密钥 3 的「反密钥」还是 3（因为它只差 26−3＝23 的反向，正好对称）。

密钥可以选 1～25 中任意一个数（选 26 就等于没加密）。密钥越大，秘密越安全吗？不——只要别人猜到您在用移位密码，挨个试 25 次就能试出来。这就是下一页要讲的问题。

扫码开玩 ·「凯撒密码局」

本单元配套游戏站（P4-2《游戏数学·四之冬》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

games/p4-2.html?u=7

p.57试玩

移 3 位加密一句祝福

动手做一次完整的加密。

明文：HAPPY NEW YEAR（新年快乐）
密钥：3（每个字母往后挪 3 位）

明文	H	A	P	P	Y	N
密文	K	D	S	S	B	Q
明文	E	W	Y	E	A	R
密文	H	Z	B	H	D	U

密文：KDSSB QHZBH DU（空格保留，方便读）

解密验证：把 K 往前 3 位→H，D→A，S→P…… 一路还原，正好是 HAPPY NEW YEAR ✓

小杏试了一下密钥 5：「明文里的 Y 变成了 D，E 变成了 J——只要密钥不同，同一句话看起来完全不一样。」

练一练　用密钥 4 加密自己的名字（或一句两三个字的悄悄话），然后交给同桌解密。

p.58策略

解密：先统计频率

如果不知道密钥，怎么破译？数学给了一个聪明的办法。

频率分析法：在英文里，某些字母出现的次数特别多——e 最常出现，其次是 t、a、o、i、n。所以拿到一段密文，把每个字母出现的次数数一数，出现最多的那个，很可能就是 e 变的。

破译四步：
① 数出密文中各字母出现次数，排出前三名；
② 假设第一名对应明文 e，算出密钥（密文字母序 − e 的序）；
③ 用这个密钥试着解密，看句子通不通；
④ 若不通，改用第二名对应 e，再试。

例　密文里出现最多的是 H（出现 12 次）。假设 H 对应 e：H 是第 8 个字母，e 是第 5 个，8 − 5＝3，所以密钥是 3。再拿这个密钥解全文——果然读通了。

这就是「用统计规律找密钥」。它说明一件重要的事：密码最怕的不是算得快，而是语言本身有规律。知道这一点，您就懂了为什么现代密码要把文字先「打散」。

p.59进阶

换位密码

除了「换字母」，还可以「换位置」。

换位密码：字母本身不变，只改变它们的排列顺序。最简单的做法是「倒序」或「分组倒序」。

例 1　整句倒序。明文 MATH FUN → 密文 NUF HTAM（字母顺序完全反过来）。解密就是再倒一次。

例 2　分组倒序（两两交换）。明文 SECRET，每两个字母一组交换：ES ER CT → 密文 ESERCT。解密同样两两交换。

例 3　栅栏法。把明文分两行写，再按行读出。明文 HELLOWORLD（去掉空格）分两行：
上行 H L O O L；下行 E L W R D。
密文＝HLOOLELWRD。解密时就按「前半段是上行、后半段是下行」交错还原。

换位密码的弱点：字母出现的次数没有变——频率分析还是能看出破绽。所以现代密码常常「移位＋换位」一起用。

动手试：把一句 10 个字母的话用栅栏法加密，再交给同学解密，看看他要多久。

p.60复盘

密码与数学的关系

复盘三问：① 我用的密钥是什么？② 加密和解密是不是「互逆」的操作？③ 这个密码能被频率分析破解吗？

数学点 1模运算：字母表是一个「圈」，排到最后要绕回开头。

数学点 2函数与逆：加密是一个对应关系，解密是它的反向对应。

数学点 3统计：频率分析靠的是「出现的次数」，属于统计规律。

数学点 4排列：换位密码的本质是「重新排列」，排列的种数决定安全性。

算一算安全性。移位密码只有 25 种密钥——太少。若改用「26 个字母重新排列」的换位密码，排列种数是 26!（26 乘 25 乘……乘 1），这是一个 27 位的巨数，穷举几乎不可能。安全性来自选择太多，而不是算得慢。

王老师说：「您以后上网、发消息、买东西，背后都有一大串密码在保护。——它们就是本单元这些玩具的远房后代。」

p.61思想卡

p.7

信息安全的数学基石

古代打仗，传令兵身上带着密信；今天我们在手机上输入密码，数据在几百条网线里奔跑。变的只是速度，不变的是同一件事：用数学把信息变成「只有自己人看得懂的样子」。

有趣的悖论在这里：现代密码的安全性，恰恰建立在「某个数学问题很难算」上——比如大数分解、离散对数。也就是说，数学家要做的不是证明「破不了」，而是让「破」在时间上划不来。数学不但追求精确，也懂得和时间做交易。

把一句话带回家：密码里的数学说明了——把秘密交给数学，比交给锁更可靠。

p.62对弈赛

加解密对抗赛

赛制（4 人一组，两组对抗）：一组当「守方」出密文，一组当「攻方」破译，限时 5 分钟攻方破译成功则得分，否则守方得分。

第一轮·移位守方用密钥（1～25）加密一句 10 个字母以内的话，攻方可查字母表。

第二轮·无密钥守方不告诉密钥，攻方必须用频率分析破译。

第三轮·换位守方用栅栏法加密，攻方破解。

第四轮·自创两组各自设计一种新密码（可以加规则，如每三个字母多加一位），互出题。

裁判提醒：设计密码的人，要先想好「别人会怎么破」。能说出自己的密码怕什么攻击方式，加 2 分。

p.63游戏·任务

与同学建立一套密码本

任务　① 与一位同学约定一套密码：选好方式（移位／换位／两者结合）与密钥；② 制作一张「小密码本」：写出字母对照表，并写 3 条使用说明；③ 互相发送 2 条加密消息，一条祝福、一条谜语；④ 请第三位同学做「攻击者」，看他能不能解开——记录他用了什么办法。

明文	密文	攻击者破译了吗	他用的方法

给攻击者的提示：先数一数密文里哪个字母出现最多。如果他很快就破了，说明各位读者的密码太简单——试着把「移位」和「换位」叠起来用。

第 8 单元 · UNIT 8

游戏站：运筹小达人

p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1

p.64导入

运筹帷幄：总关卡

冬季班的最后一周，教室被布置成了「运筹营」：黑板上画着一张闯关地图，四道关卡一字排开。

营长宣布规则：「这一单元不再讲新知识，只做四件事——烙饼、沏茶、卸货、赛马。每一关都是一个真实的生活难题：怎么安排，才能花最少的时间、拿最好的结果。」

「运筹帷幄」这四个字，出自汉代刘邦夸赞张良的话：「运筹策帷帐之中，决胜于千里之外。」意思是：在帐篷里把方案算好，就能决定千里之外的胜负。

王老师说：「今天各位读者就是小营长。四道关卡，考验的是同一件事——会不会安排。」

p.65规则

关卡与积分

四道关卡：① 烙饼问题（锅一次放 2 张饼）；② 沏茶问题（先做什么、后做什么）；③ 等候卸货（一台卸货台、几辆车）；④ 田忌赛马（三局两胜的出场顺序）。

关卡	核心问题	满分
关① 烙饼	怎样让锅一直不空？	3 分
关② 沏茶	哪些步骤能同时做？	3 分
关③ 卸货	按什么顺序排队，等待最少？	4 分
关④ 田忌赛马	怎样的出场顺序能以弱胜强？	5 分

计分办法：每题要求写出「时间安排表」——谁在第几分钟做什么。只写答案不写得分的一半；能把总时间算对并说清理由的得满分。画出安排表，是这个单元的硬要求。

四关共同的三句口诀：能同时做的一起做；该满位的不空着；该排序的先算清。

扫码开玩 ·「运筹总动员」

本单元配套游戏站（P4-2《游戏数学·四之冬》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。

games/p4-2.html?u=8

p.66试玩

关①烙饼②沏茶

关①：锅一次烙 2 张饼，每面 3 分钟，5 张饼最少几分钟？

面份总数＝5 × 2＝10 个；锅每 3 分钟烙 2 个面份，最少 10 ÷ 2＝5 轮＝15 分钟。安排：前 4 轮每轮兼顾两张饼的不同面，最后 1 轮收尾——只要保证每轮锅里都是 2 张饼，就不会空锅。

关②：沏茶的步骤与耗时。洗水壶 1 分、接水 1 分、烧水 8 分、洗茶杯 2 分、找茶叶 1 分、沏茶 1 分。

时间	做什么	同时还能做什么
0～1 分	洗水壶	—
1～2 分	接水	—
2～10 分	烧水（8 分）	洗茶杯（2 分）＋找茶叶（1 分），还剩 5 分空闲
10～11 分	沏茶	—

总时间＝11 分钟（而不是 1＋1＋8＋2＋1＋1＝14 分钟）。省下的 3 分钟，正是「洗茶杯＋找茶叶」被塞进了烧水的空档里。

图图总结：「能等的让机器等，不能等的才让人做。」

p.67策略

关③等候卸货

一台卸货台，三位司机排队卸货，所需时间分别是 3 分、5 分、8 分。怎样安排顺序，让三人等待的总时间最少？

先算一个「糟糕的方案」。按 8、5、3 的顺序：
8 分那位等 0 分；5 分那位等 8 分；3 分那位等 13 分。
总等待＝0 ＋ 8 ＋ 13＝21 分钟。

再算「聪明的方案」。按 3、5、8 的顺序：
3 分那位等 0 分；5 分那位等 3 分；8 分那位等 8 分。
总等待＝0 ＋ 3 ＋ 8＝11 分钟。省了 10 分钟！

短作业优先（SJF）原则：让用时最短的先做，总等待时间最短。理由很简单：先做完的那个人的耗时，会被后面每一个人「再等一遍」——所以耗时要短的人应该排前面，让他的时间被重复的次数最少。

换个角度想：第一位的时间会被算 3 次（后两人都在等），第二位的时间被算 2 次，第三位被算 1 次。被算最多次的，应该最小。所以从小到大排。

这条原则在生活中到处有用：排队结账、装车卸货、食堂打饭——让小事先办，大家都快。

p.68进阶

关④田忌赛马初版

田忌的三匹马分别比齐王的三匹马弱一点点。若同等级对抗，田忌全输。怎么才能赢？

实力排序（从强到弱）：齐王：上、中、下；田忌：上′、中′、下′，且上′＜上、中′＜中、下′＜下。

场次	齐王派出	田忌派出	结果
第 1 场	上等马	下等马（故意输）	输
第 2 场	中等马	上等马	赢
第 3 场	下等马	中等马	赢

结果：两胜一负，田忌赢。秘诀是——牺牲一场，换取两场。用最弱的马去「消耗」对方最强的马，再用自己的强马去对付对方的中、弱马。

博弈的三条思考：① 不追求每场都赢，追求总比分赢；② 知道对方的顺序，就能安排出最优对策；③ 如果双方都能调整顺序，胜负取决于谁的选择更多。

想一想：若齐王也知道田忌的策略，他会怎么办？——他会改变出马顺序。这就是「博弈」真正的样子：每一步都要考虑对方会怎么变。

p.69复盘

统筹思想清单

复盘三问：① 哪些事可以同时做？② 谁在等谁？③ 有没有更省的顺序？

原则 1满位：机器／人不要空着（烙饼、卸货台）。

原则 2并行：能在等待中做的事，顺手做掉（沏茶）。

原则 3短作业优先：耗时短的先做，总等待最少（卸货）。

原则 4舍小取大：不争每一场，只争最后的结果（田忌赛马）。

易错点：① 把「总时间」算成「各步时间之和」（忘了并行）；② 卸货时按「先来后到」而不看耗时；③ 田忌赛马里只想着「每场都赢」。

小杏在笔记本上写了一行字：「时间不能变多，但安排可以让它够用。」这是她这一单元最大的收获。

p.70思想卡

p.7

〔均输〕最优解永远存在吗

《九章算术》〈均输〉章研究的，是「怎样把有限的粮食、人力和路程安排得最省」。两千年前的粮官，和今天的物流调度员，做的事情其实一样：在有限的条件下，找到最省的方案。

但这里有一个很深的问题：最优解一定存在吗？答案是：在这个单元里的题目中，一定存在——因为选择是有限的（就那几种顺序），挨个试总能找到最好的。可在更复杂的世界里，情况可能多到试不完（比如全国快递的配送路线），这时数学就要用更聪明的办法去「逼近」最优。

把一句话带回家：安排的智慧，就是在有限的时间与条件里，寻找那个「最省」的答案。

p.71对弈赛

综合运筹赛

赛制（4 人一组，两组对抗，四关总分制）：教师逐关出题，两组同时作答，先完成且正确者得分。

关① 烙饼锅每次放 3 张饼，每面 2 分钟，4 张饼最少几分钟？（8÷3→3 轮×2＝6 分钟）

关② 沏茶洗水壶 2 分、烧水 10 分、洗杯 3 分、取茶 2 分、泡茶 2 分，最少几分钟？（2＋10＋2＝14 分钟）

关③ 卸货三辆车卸货需 4、6、10 分钟，最少总等待多少？（按 4、6、10 排：0＋4＋10＝14 分钟）

关④ 赛马给定双方实力顺序，求能赢的出场方案；再问：若对方也换顺序，还赢吗？

裁判强调：答案＋时间安排表，缺一不可。能额外说明「为什么这样最省」的小组，加 2 分。

p.72游戏·任务

优化一次周末安排

任务　① 列出您周末上午要做的 5～6 件事与各自耗时（如吃早饭、收拾书桌、洗衣服、写作业、练琴）；② 找出哪些事能同时做；③ 画一张「优化后的时间安排表」（横轴时间、纵轴事情）；④ 实际按新方案执行一次，记录真实用时，与原来比省了多少。

事项	耗时	能否同时做	原总用时	优化后总用时

提示：洗衣服（洗衣机 40 分钟）就是最好的「背景任务」——让它转着，您写作业。把「等待」变成「做事」，就是统筹的全部秘密。