小数与策略
春 日 策 略〇体例说明（写给小读者和家长）
本书怎么读：一个单元九页
全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右边，如 3.14；＋ − × ÷ ＝ 各就各位，中括号写成 ［ ］；上标用小肩数字，如 1 公顷＝10000 平方米、1 平方千米＝1000000 平方米。大数四位一级：个级、万级、亿级；角的单位：度（°）；面积单位：平方米（m2）、公顷（ha）、平方千米（km2）。
一全册目录（八个单元 · 每单元 9 页）
- p.1–9第 1 单元 四则运算与括号
- p.10–18第 2 单元 小数的意义与性质
- p.19–27第 3 单元 三角形：内角与分类
- p.28–36第 4 单元 小数的加减法
- p.37–45第 5 单元 轴对称再认识
- p.46–54第 6 单元 平均数与条形图
- p.55–63第 7 单元 鸡兔同笼进阶
- p.64–72第 8 单元 游戏站：非传递骰子
四则运算与括号
p.1–9 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
一道算式引发的争论
春季班第一课，王老师在黑板上写了一道算式：
小杏举手：「36！先算 8＋4＝12，再 12×3＝36。」阿禾不同意：「不对，应该先算乘法，4×3＝12，再加 8 得 20。」两人各执一词，谁也说服不了谁。
「算式不能有两种答案，」王老师说，「所以数学规定了统一的运算顺序。今天我们就来把这条规矩彻底讲清楚——顺便认识一位新朋友：中括号。」
运算顺序总复习
① 只有加减（或只有乘除）时，从左往右依次算；
② 既有加减又有乘除时，先算乘除，后算加减；
③ 有括号时，先算括号里面的。
为什么乘除要先算？因为乘除是「高级运算」，加减是「低级运算」。在实际问题里，「每盒 3 个、共 4 盒」要先合成一个整体，才能和别的部分相加。
中括号登场
如果小括号外面还要再「套一层」计算，就需要第二个括号。
先算小括号：15＋5＝20；再算中括号：20×3＝60；最后除以 6：60÷6＝10。
小括号：8−4＝4；中括号：4×5＝20；120÷20＝6。
小括号：12＋18＝30；中括号：90−30＝60；60×2＝120。
写中括号时，［ ］要写成一对，别用了左边忘了右边。数一数括号的对数，就知道该算几层。
0 与 1 的运算特性
0 和 1 是两个「性格特别」的数，和它们打交道要格外小心。
| 运算 | 规律 | 例子 |
|---|---|---|
| 加法中的 0 | 任何数 ＋ 0 ＝ 原数 | a ＋ 0 ＝ a |
| 乘法中的 0 | 任何数 × 0 ＝ 0 | a × 0 ＝ 0 |
| 减法中的 0 | a − 0 ＝ a，但 0 − a 我们还不学（会变成负数） | 7 − 0 ＝ 7 |
| 除法中的 0 | 0 不能作除数！ | 8 ÷ 0 无意义 |
| 乘法中的 1 | 任何数 × 1 ＝ 原数 | a × 1 ＝ a |
| 除法中的 1 | a ÷ 1 ＝ a | 9 ÷ 1 ＝ 9 |
另外记住：a − a ＝ 0，a ÷ a ＝ 1（a ≠ 0）。这两条在简算时非常有用。
递等式规范
「递等式」就是把每一步计算都写下来，等号对齐。它是检查计算过程的最好工具。
(8 ＋ 4) × 3 − 10
＝ 12 × 3 − 10
＝ 36 − 10
＝ 26
❌ (8 ＋ 4) × 3 − 10 ＝ 12 × 3 ＝ 36 − 10 ＝ 26（两个等号写了三件事，混乱）
✓ 一行一步，等号上下对齐。
［(15 ＋ 5) × 3］ ÷ 6
＝［20 × 3］÷ 6
＝ 60 ÷ 6
＝ 10
递等式写得好，一眼就能看出「哪一步算错了」。这也是一种成绩单：写得清楚的人，错的少。
混合运算题组
括号是运算的指挥棒〔方程〕
同样的四个数、同样的运算符号，括号一换，结果就变——8＋4×3＝20，(8＋4)×3＝36。括号的作用，就是改变计算的先后。它像一根指挥棒：说先拉哪一组、后合哪一段。
这件事在代数里太重要了。以后您写 2(x ＋ 3)，就必须知道括号里的 x＋3 是一个整体，要一起乘 2。解方程时的一步一步变形，也全靠括号划出「哪块该先处理」。《九章算术》里没有括号符号，但古人用「算筹」的分行摆法来区分先后——顺序这件事，古人早就明白它有多要紧。
把一句话带回家：括号是运算的指挥棒，它不说数是多少，只说先算谁。
二十四点复习赛
玩法（2 人或 4 人一组）：从一副扑克中抽 4 张牌（A 记 1、J/Q/K 可记 11/12/13 或直接去掉），用 ＋ − × ÷ 和括号，把 4 个数算成 24，每个数用且只用一次。
总结技巧：先想「24 可以由哪两个数相乘得到」（3×8、4×6、2×12），再想办法把剩下的数凑成另一个因数，或凑成 1、0 去「清理」。
本单元配套游戏站（P4-3《小数与策略》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p4-3.html?u=1
用三个括号编一道题
任务 ① 编一道混合运算题，要求同时出现小括号和中括号，且包含加、减、乘、除中的至少三种；② 写出正确答案与完整的递等式；③ 再给同学出一道「添括号让等式成立」的题；④ 请家长核对您的答案。
| 我编的题 | 递等式解答 | 答案 |
|---|---|---|
编题的三条小要求：① 结果要是整数，别出现小数或负数；② 中间某一步最好「凑整」（如凑成 100）；③ 让人一眼就想错的地方，往往是「先算乘除还是先算括号」。
小数的意义与性质
p.10–18 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
一米的一千分之一是多少
科学课上，老师给每人发了一把米尺和一支铅笔。小禾想量铅笔芯的粗细——可是铅笔芯太细了，刻度最小只到毫米，剩下的一点点量不出来。
「那一点点是多少？」小禾问。老师说：「比 1 毫米还小。1 米分成 1000 份，每一份是 0.001 米。」
王老师说：「整数解决『有几个』，小数解决『比 1 还少的零头』。生活中到处都是这样的零头：身高 1.42 米、体重 32.5 千克、体温 36.8 度——小数是量得越来越细的工具。今天我们就来认识它。」
小数的意义与计数单位
小数其实就是「分母是 10、100、1000…… 的分数」的另一种写法。
「0.1 里有几个 0.01？」——10 个。「0.01 里有几个 0.001？」——10 个。往右一位，就变细 10 倍。
小数的基本性质
如 0.5＝0.50＝0.500；5.300＝5.3。
一句话记住：末尾添零去零，大小不分；中间增添零，大小立变。
小数点移动的规律
小数点是个「搬运工」：它往哪边移动，数就跟着放大或缩小。
小数点向左移动一位，数就缩小到原来的 110；两位，1100；三位，11000。
移动规律与进率是一回事：米→千米是「÷1000」，所以小数点左移三位。
单位换算与近似数
单位换算三步：① 想清两个单位之间的进率；② 判断是「大变小」还是「小变大」；③ 大变小用乘（小数点右移），小变大用除（小数点左移）。
保留一位小数：3.47≈3.5；保留两位小数：3.474≈3.47。
易错：求近似数时，如果末位进了 1 变成 0，这个 0 不能去掉——5.296 保留两位小数是 5.30，不是 5.3（5.30 表示精确到百分位）。
综合题组
〔少广〕小数是十进制向下的延伸
整数的十进制是「往上长」：十、百、千、万，越往左越大。小数让它「往下长」：十分、百分、千分，越往右越细。同一个十进位值制，往两头延伸，就长出了完整的十进小数。
《九章算术》第一章的章名是〈方田〉，而「少广」也是《九章》的篇章之一，讲的是从面积反求边长、从已知推未知——它提醒我们：度量这件事可以越做越细。古人量田用「分、厘、毫、丝、忽」，一层层往下分；今天我们写 0.001 米，做的是同一件事——把「一」切成更小的格子，世界就量得更准。
把一句话带回家：小数不是新数，只是十进制往小数点右边又走了几步。
小数接龙
玩法（4 人一组，围成一圈）：第一人说出一个一位小数，下一人必须说出一个比它大的两位小数，再下一人说出更大的三位小数……只要说错（没变大、位数不符、重复）就淘汰。
比大小的要点：小数比大小，不要看位数多少，要从最高位一位一位比。0.305 与 0.35：十分位都是 3，看百分位 0＜5，所以 0.305＜0.35。
本单元配套游戏站（P4-3《小数与策略》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p4-3.html?u=2
收集生活中的小数并解读
任务 ① 收集身边 6 个含小数的数据（身高、体重、体温、商品价格、饮料净含量、跑步成绩、气温等）；② 写下每个数的意义（"这个小数表示什么"）与单位；③ 挑一个数做单位换算（如 1.42 米＝142 厘米）；④ 找出一个「保留几位小数最合适」的例子并说明理由。
| 数据 | 数值与单位 | 它表示的意思 | 换算 |
|---|---|---|---|
思考题：商品价格为什么常常是 3.99 元而不是 4 元？体温为什么会写成 36.8 而不是 36.80？「保留几位」不是数学问题，是生活问题。
三角形：内角与分类
p.19–27 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
三根小棒的稳定魔法
春季班的手工课上，老师给每组发了三根小棒和四根小棒。要求：用小棒搭一个「推不动」的图形。
图图用四根小棒搭了个四边形，手一推——歪了；再推——竟变成了另一个形状。小杏用三根小棒搭了个三角形，无论怎么推、怎么按，形状纹丝不动。
王老师说：「三角形是图形里的『硬骨头』。今天我们就来认识这个最稳固、也最基础的图形——它的角有什么秘密，它的三条边又有什么关系。」
三角形的特性与底和高
「底」不是固定的——哪条边当底，就画与之对应的高。三条边分别当底，就得到三条不同的高。
按角与按边分类
三角形可以按两种标准分类。
| 分类标准 | 类别 | 特征 |
|---|---|---|
| 按角分 | 锐角三角形 | 3 个角都是锐角 |
| 按角分 | 直角三角形 | 有 1 个直角 |
| 按角分 | 钝角三角形 | 有 1 个钝角 |
| 按边分 | 等腰三角形 | 2 条边相等（相等两边叫腰，另一边叫底） |
| 按边分 | 等边三角形 | 3 条边都相等（也叫正三角形） |
| 按边分 | 不等边三角形 | 3 条边都不相等 |
「按角分」看角，「按边分」看边，两套标准可以同时用：一个三角形可以是「直角三角形」同时是「等腰三角形」。
内角和 180° 的探究
知道了内角和是 180°，三角形就变成了「缺一个角的计算题」：只要知道两个角，第三个立刻能算出来。
三边关系初感
检查最短两边：3 ＋ 4＝7＜8——连不上，搭不成三角形。
最短两边 3 ＋ 4＝7＞5 ✓；再检查另外两组：3＋5＝8＞4 ✓，4＋5＝9＞3 ✓。三组都成立，能搭成。
王老师说：「判断能不能搭成三角形，只要检查最短的两条边加起来，有没有超过最长的那条——一次就够。」
判别与计算
〔勾股〕三角形是形的原子
为什么说三角形是「形的原子」？因为任何一个多边形，都能剪成若干个三角形：四边形剪一刀变成两个三角形，五边形剪两刀变成三个……以后算多边形面积、研究立体图形，都会把它「拆成三角形」再动手。
《九章算术》〈勾股〉章整章都在研究直角三角形：勾三、股四、弦五。这是中国数学里最有名的一组数——直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4 时，斜边一定是 5。三角形不只是个图形，它是「形」这门学问的起点。
把一句话带回家：学会三角形，就等于拿到了一把拆解一切图形的剪刀。
拼三角形比赛
玩法（4 人一组，每组一套小棒，长度分别为 3、3、4、5、6、8、10 cm）：
小杏总结：「比赛前先检查最短的两根——它们加起来够不够长，决定能不能搭起来。」
本单元配套游戏站（P4-3《小数与策略》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p4-3.html?u=3
量三个三角形内角验证
任务 ① 在纸上画三个不同的三角形（锐角、直角、钝角各一个）；② 用量角器分别量出每个三角形的三个内角，填入下表；③ 把每个三角形的三个角相加，看看是不是 180°；④ 再用剪拼法验证一次（把三个角剪下来拼在一起）。
| 三角形 | ∠1 | ∠2 | ∠3 | 三角之和 |
|---|---|---|---|---|
| 锐角三角形 | ||||
| 直角三角形 | ||||
| 钝角三角形 |
量的结果可能在 178°～182° 之间浮动——这是测量误差，不是定理错了。数学定理说的是精确的 180°；用尺子量，总要允许一点点偏差。能把「误差」和「错误」分清，是量角高手的标志。
小数的加减法
p.28–36 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
两张购物小票
周末，小禾和妈妈去超市。收银台打出两张小票，小禾拿起来看，发现每一张上都有一串带小数点的数字：
小票 2：苹果 15.60 元，付了 20.00 元，找回多少钱？
妈妈问：「您会算吗？」小禾试了试：「12.50＋8.70……嗯，小数点怎么办？」他把小数点对齐，算出来 21.20 元。妈妈笑着点头：「对——小数加减法最重要的就一件事：小数点对齐。」
王老师说：「生活中买东西、量身高、称体重，处处要算小数。今天我们就来练这门『钱和量』的算法。」
小数加减算理：对齐小数点
12.50
＋ 8.70
＝ 21.20（元）
小数部分 50＋70＝120，写 20 进 1；整数部分 12＋8＋1＝21。
20.00
− 15.60
＝ 4.40（元）
被减数位数不够时，用 0 补足：20.00 与 15.60 都是两位小数，直接相减。
一句话记住：小数点对齐，就是数位对齐；末位对齐是错的。写完结果别忘了点小数点，也别忘了能化简就去掉末尾的 0。
位数不同的小数加减
位数不同时，最稳的办法是补 0 对齐。
5.60
＋ 2.35
＝ 7.95
10.00
− 3.72
＝ 6.28
整数减法的小数版：借 1 当 10，一位一位退。
8.70
− 0.85
＝ 7.85
先统一成米：1.35 ＋ 0.60＝1.95 米。算小数加减，先统一单位。
验算办法：把两个小数都当整数算（如 5.60 与 2.35 看成 560 与 235），算完再点回小数点——用整数验算，是小数的护身符。
混合运算与简算
小数的混合运算，运算顺序与整数完全一样。
看到小数就想三件事：有没有能凑成整数的伙伴（0.25＋0.75、0.4＋0.6）？有没有共同的因数？能不能把接近整数的数拆开？
解决问题
把小数计算放回生活，需要注意单位的统一与结果的合理性。
12.80 ＋ 6.50＝19.30（元）；50 − 19.30＝30.70（元）。
1.78 − 1.35＝0.43 米，也就是 43 厘米。
王老师说：「小数题最常错的不是算错，而是小数点丢了或错了位。所以算完一定回头看——结果的『大小级别』对不对？」
题组与纠错
对齐数位：老规矩的新应用
小数加减法看起来是新知识，其实只有一句老实规矩：相同数位对齐，才能相加减。整数加减时，您把末位对齐；小数加减时，您把小数点对齐——两次都是同一件事，只是换了「对齐的标志」。
这一点，古人也懂。中国算筹摆数时，个位对个位、十位对十位，一旦错位，算出的粮草数字就会差十倍百倍。《九章算术》〈粟米〉章换算粮米比例、〈均输〉章计算运输耗损，都要反复用到小数与分数的加减——他们靠的也是这套「对齐」的规矩。规矩简单，但两千年没变。
把一句话带回家：小数加减不难，难的是永远记得——小数点要对齐，因为只有同一单位的数才能相加。
账单计算赛
玩法（4 人一组，每组一张「超市小票」）：教师发给每组一张模拟小票（5～6 件商品，各带两位小数的价格），比谁算得又快又准。
裁判提示：算钱最容易错的地方是「忘记补 0」——如 8.7 元必须看成 8.70 元。把每个价格都写成两位小数，是最保险的习惯。
本单元配套游戏站（P4-3《小数与策略》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p4-3.html?u=4
汇总一次家庭小账单
任务 ① 记录一次真实购物（或一周内家里的几项支出）的 5 项金额；② 用小数加法算出合计；③ 假设用 100 元付款，算出找回金额；④ 检查一遍：每个数都是两位小数吗？结果的大小级别合理吗？
| 物品 | 金额（元） |
|---|---|
| 合计 | |
| 找回（付款 100 元） |
向家长汇报时，请说明您的验算办法（估算、或把两个数当整数再核算）。家长如果发现您算错了，让他指出错在小数点还是计算——找错比改错更有价值。
轴对称再认识
p.37–45 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
蝴蝶翅膀的秘密
春游时，小满在花丛里看到一只蝴蝶，翅膀一开一合。她盯着看了很久，忽然发现：蝴蝶左边的翅膀，和右边的翅膀一模一样。把两翅之间的身体当作一条线对折，两边正好重合。
「这不就像照镜子吗？」小满把这个发现告诉王老师。王老师拿出剪刀和一张纸：「您折一折、剪一剪，就能做出自己的蝴蝶。」
王老师说：「大自然特别喜欢对称：蝴蝶、树叶、雪花、贝壳。数学把这件事说得很清楚——对折后两边能完全重合的图形，叫轴对称图形。今天我们就来研究这个『对折』的学问。」
轴对称图形与对称轴
| 图形 | 对称轴条数 |
|---|---|
| 等腰三角形 | 1 条 |
| 等边三角形 | 3 条 |
| 长方形 | 2 条 |
| 正方形 | 4 条 |
| 圆 | 无数条（每条直径所在直线） |
对称轴是直线（可以无限延长），不是线段；画的时候要用虚线，并画出图形的轮廓。
补全轴对称图形
已知对称轴和图形的一半，怎样画出另一半？四步走：
② 作垂线：过每个关键点，向对称轴作垂线（垂足在对称轴上）。
③ 量距离取对称点：在垂线上取与「关键点到对称轴的距离」相等的一点，方向在对称轴另一侧。
④ 连线：按原来的顺序把这些对称点连起来。
在方格纸上做题时，「距离」可以直接数格子，非常方便。关键点的选择：只取转折的顶点，边上中间的点不用管。
多条对称轴的图形
有的图形不止一条对称轴。
小杏发现：「对称轴越多，图形越『匀』；像圆那样有无穷多条对称轴，它就完全均匀了。」
设计对称图案
会画对称轴的另一半，就能设计图案了。
动手做：把名字里对称的那个字放大，画上对称轴，做成书签——您会得到一枚世界上独一无二的书签。
作图与判断
对称是自然的韵律〔勾股〕
为什么树叶、蝴蝶、雪花都长成对称的样子？因为对称是一种「省力又稳当」的结构：两边一样，受力就均衡，身体就不会偏。数学把这件事抽象出来，就叫轴对称。
《九章算术》〈勾股〉章研究直角三角形时，等腰直角三角形是最简单的一种——它本身就是关于「斜边中线」对称的图形。古人在方田、筑城、造车时，处处要用对称：城墙左右一般宽、车轮辐条均匀分布。对称不只是好看，它让东西更结实、更好用。
把一句话带回家：对称是大自然和人类共同偏爱的一种「稳当」。
镜像画游戏
玩法（2 人一组对抗，方格纸 + 彩笔）：一人在对称轴左侧画一个图形，另一人必须在右侧画出它的镜像。
判分标准：对折后能否完全重合。画得漂亮不加分，画得准才加分。
本单元配套游戏站（P4-3《小数与策略》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p4-3.html?u=5
设计一幅对称剪纸
任务 ① 取一张纸，对折两次（得到 4 重对称）；② 在折好的一侧画上图案的一半（可以是花、树、人或几何图形）；③ 沿轮廓剪下，小心展开；④ 数一数您的作品有几条对称轴，画出来；⑤ 给它起个名字。
| 作品名 | 对折次数 | 对称轴条数 | 贴在哪里 |
|---|---|---|---|
进阶玩法：把两次对折改成「对角折」，会得到旋转对称的雪花图案。折的次数越多，展开的惊喜越大。
平均数与条形图
p.46–54 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
两组身高谁更高
体育课上，老师量了甲、乙两组的立定跳远成绩，各有 4 人：
乙组：175、178、176、171（厘米）
老师说：「哪一组跳得更好？」小杏看了看：「甲组有人跳 200，最厉害！」阿禾说：「可甲组还有 168 的，乙组都挺平均。」两人又争起来了。
「这个『匀一匀』的数，就叫平均数。它能把一堆数据变成一个数，让我们一眼比较。」
平均数的意义与移多补少
把最高的 200 拿 20 给 180（都变成 180、180）……不对，我们仔细挪：200 拿 28 给 168，变成 172 和 196，再 196 拿 16 给 180，变成 196−16＝180……一步一步挪，最后大家都变成 180。这个 180 就是平均数。
注意：平均数不一定是数据里的某一个数（例：1、2、3、4 的平均数是 2.5，数据里没有 2.5）。平均数是算出来的，不是挑出来的。
平均数的计算
总数 180＋172＋168＋200＝720；720 ÷ 4＝180（厘米）。
总数 175＋178＋176＋171＝700；700 ÷ 4＝175（厘米）。
总数 18＋20＋22＋19＋21＝100；100 ÷ 5＝20（℃）。
口诀：总数 ÷ 个数＝平均数。看到「平均」两个字，就先想着把数据全加起来。
复式条形统计图
当我们要同时比较两组数据时，可以把它们画在同一张图里——这就是复式条形统计图。
复式图最大的好处就是「省地方、好比较」：两组数据放在一起，谁高谁低一看就明白。
用平均数分析数据
平均数不只用来「算」，更要用来「想」。
王老师说：「平均数是一把尺子，它把一堆数压成一句话——这组数据大概在什么水平。但别把它当成全部：还得看看有没有拖后腿的、有没有特别突出的。」
题组
① 求出两队的平均数；② 画出复式条形统计图（画出图例）；③ 从图中您能看出什么？
平均数是数据的平衡点〔衰分〕
把一组数据想成一块高低不平的土地，平均数就是「推平以后的高度」——高的地方削下来，填到低的地方去，推土机不增不减，所以平均数就是这块地的平衡点。
《九章算术》里有「衰分」章，讲的是按一定比例分配财物和徭役。要分得公平，就要先算清「平均该是多少」——两千年前的官员，也得靠平均数来办事。平均数背后是「公平」两个字：总量一定，大家分匀。
把一句话带回家：平均数不是把数据抹平，而是找到一个能代表大家的位置。
投球平均成绩赛
玩法（4 人一组，每人投沙包 5 次）：记录每人 5 次的投掷距离，先算个人平均数，再算小组平均数。
小满发现：「平均分高的组，不一定每个人都有强项——有时候是因为没有人拖后腿。」
本单元配套游戏站（P4-3《小数与策略》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p4-3.html?u=6
计算家人平均身高并解读
任务 ① 记录家里 3～5 位成员的身高（厘米）；② 算出平均身高；③ 找出谁高于平均、谁低于平均；④ 算一算：如果全家人手拉手，平均身高能代表「家门的通行高度」吗？为什么？
| 成员 | 身高（厘米） | 与平均数相比 |
|---|---|---|
| 平均数 | — |
思考题：家里最高的人和最低的人相差多少？平均数与这两人各相差多少？平均数总在最大和最小之间——不管数据怎么变，这个规律永远成立。您可以用家里的数据验证一下。
鸡兔同笼进阶
p.55–63 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
大数字来了怎么办
上学期，小杏学会了用列表法解鸡兔同笼：笼子里有若干只鸡和兔，一共 8 个头、26 条腿，问鸡兔各几只。她一个个列出来，很快就找到了答案。
可这次的题目变了：笼子里一共 100 个头、280 条腿，鸡兔各几只？
王老师说：「这时候，就需要一种『不管数字多大都能一步算出来』的办法。它叫假设法——先大胆假设全是鸡，再看腿差多少，一下子就解出来了。」
假设法完整版
① 假设 100 只全是鸡：腿数＝100 × 2＝200（条）。
② 实际有 280 条，比假设多了 280 − 200＝80（条）。
③ 每把 1 只鸡换成兔，腿就多 4 − 2＝2 条。所以要换 80 ÷ 2＝40 只。
④ 兔 40 只，鸡 100 − 40＝60 只。
假设法的妙处在于：它不关心数字多大，100 个头和 8 个头，算起来一样快。这就是「想清楚」比「数得快」更重要的地方。
画图与列表对照
三种方法各有各的好，放在一起看最清楚。
| 方法 | 做法 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 画图法 | 先给每个头画 2 条腿，再给不够的补 2 条 | 看得见，适合小数 | 数字大了画不完 |
| 列表法 | 一行一行试，直到腿数对 | 有条理，能找到所有情况 | 数字大了太慢 |
| 假设法 | 假设全是鸡，用腿差一步算出 | 多快好省，数字越大越显本事 | 要想清楚「为什么这样算」 |
做题时先用画图法理解，再用假设法算——理解靠图，速度靠算式。
变式：龟鹤·人民币·运费
鸡兔同笼不只是鸡和兔——换件外衣，还是同一个模型。
假设全是鹤：20 × 2＝40；差 56 − 40＝16；16 ÷ 2＝8 只龟；鹤 12 只。
假设全是 2 元：10 × 2＝20 元；差 32 − 20＝12 元；12 ÷ (5 − 2)＝4 张 5 元；2 元的有 6 张。
假设全部完好：50 × 5＝250 元；差 250 − 160＝90 元；损坏 1 个的「代价」是 5＋20＝25 元（少了 5 元运费还赔 20 元）；90 ÷ 25＝3.6——不是整数，说明数字要重新设计。用 75 元差：75 ÷ 25＝3 个损坏。
变式的关键：先弄清「两个量各是多少」和「换一个的代价是多少」。代价＝两者的差，不是其中一个。
方程思想萌芽
假设法已经很快，但还有一种更「通用」的办法——把不知道的数用字母表示出来。
腿数可以写成：4x ＋ 2(100 − x) ＝ 280。
整理一下：4x ＋ 200 − 2x ＝ 280，也就是 2x ＋ 200 ＝ 280，所以 2x ＝ 80，x ＝ 40。
兔 40 只，鸡 60 只——和假设法的答案一模一样。
方程思想是五年级的重头戏，今天只是「萌芽」——先认识「把未知数当成字母写进算式」这件事有多方便。
综合题组
〔盈不足〕假设法：让不可能变可能
假设法的核心思想，叫做「先假设，再调整」。这个想法在中国有两千多年的历史——它就是《九章算术》〈盈不足〉章的看家本领。古人算「几个人分东西」，先假设每人分 3 个，多出 8 个；假设每人分 4 个，少了 2 个；然后用这两次的结果，算出人数和总数。
为什么假设法这么有用？因为它把一个「完全不知道从哪下手」的问题，变成了「先算一个错的，再看差多少」。错的答案一点也不可怕，差多少才是信息。数学史上很多伟大的发现，都是从「先假设一个」开始的。
把一句话带回家：会假设的人，不是敢猜，而是知道猜完之后该怎么算。
假设法编题赛
玩法（4 人一组，两组对抗）：每组用「假设法」编 3 道应用题，交给对方组解。
编题提示：先想好答案（如鸡 12 只、兔 8 只），再倒着算出「头数 20、腿数 56」——这样编出来的题一定解得出整数。
本单元配套游戏站（P4-3《小数与策略》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p4-3.html?u=7
用假设法解一道生活题
任务 ① 在生活中找一件事，可以用「两种东西、两个总数」来描述（如买两种票、两种包装的糖、菜市场两种菜）；② 收集真实数据并编成一道题；③ 用假设法解出答案，并用验算核对；④ 把题目和解法写下来，讲给家人听。
| 我编的题 | 假设什么 | 解出的答案 | 验算 |
|---|---|---|---|
示例：电影院成人票 30 元、儿童票 15 元，买 10 张票花了 210 元，成人票几张？
假设全是儿童票：15 × 10＝150 元；差 210 − 150＝60 元；60 ÷ (30 − 15)＝4 张成人票，儿童票 6 张。
游戏站：非传递骰子
p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
石头剪刀布没有最强
课间，图图发明了一个「必胜猜拳法」：他觉得「石头」最厉害。可小杏马上用「布」赢了他——「布包石头！」图图不服，改用「剪刀」，结果又被小杏的「石头」砸了。
「咦，」图图愣住了，「石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头——没有哪个是永远最强的！」
王老师说：「今天我们把这件事搬到骰子上。您会看到三颗骰子，A 赢 B、B 赢 C、C 却赢 A——这是一场关于『强弱到底是什么』的数学探险。」
三颗神奇骰子规则
普通的骰子每面是 1～6。而这三颗骰子，每一面写的是不同的数字（数字可以重复）：
| 骰子 | 六个面上的数字 |
|---|---|
| 甲 | 2、2、4、4、9、9 |
| 乙 | 1、1、6、6、8、8 |
| 丙 | 3、3、5、5、7、7 |
公平起见，每颗骰子的数字在六个面上各出现 2 次，所以掷出每个数字的可能性相同（都是 26）。
本单元配套游戏站（P4-3《小数与策略》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p4-3.html?u=8
两两对战记录
先动手玩一轮，把结果记下来。
| 对局 | 甲胜 | 乙胜 | 平 | 谁更强 |
|---|---|---|---|---|
| 甲 vs 乙（18 局） | ||||
| 乙 vs 丙（18 局） | ||||
| 丙 vs 甲（18 局） |
甲 vs 乙：甲胜 18、乙胜 14、平 4 → 甲赢；
乙 vs 丙：乙胜 18、丙胜 14、平 4 → 乙赢；
丙 vs 甲：丙胜 18、甲胜 14、平 4 → 丙赢。
小杏惊呼：「那如果对手先选，我岂不是永远能选到克制他的那颗？！」——这正是这个游戏最妙的地方。
实掷的结果会有波动（可能 18 局里 11:7），因为「随机」不会每次都正好按比例出现。多掷几轮，比例会越来越接近理论值。
概率表绘制
不用掷骰子，也能算出胜负——画一张「对战表」。
· 甲出 2 时：乙出 1 胜 2 次，出 6、8 输 4 次 → 甲胜 2、负 4（每个 2 各 2 次，共 2 个 2）
· 甲出 4 时：乙出 1 胜（2 次），出 6、8 输（4 次）→ 甲胜 2、负 4（共 2 个 4，合计胜 4、负 8）
· 甲出 9 时：乙出 1、6、8 全输给甲 → 甲胜 6 次（共 2 个 9，合计胜 12）
画表要细心：每一行是甲的一个面，每一列是乙的一个面，36 个格子一个不能漏。数字相同的格子数是「平」的次数。
循环胜负的发现
把三张对战表都画出来，规律就浮现了。
| 对战 | 前者胜 | 后者胜 | 平 | 前者胜率 |
|---|---|---|---|---|
| 甲 vs 乙 | 18 | 12 | 6 | 约 50% |
| 乙 vs 丙 | 18 | 12 | 6 | 约 50% |
| 丙 vs 甲 | 18 | 12 | 6 | 约 50% |
· 甲的 9、9 很吓人，但它有 2、2、4、4 这些小数字；
· 丙的 3、3、5、5、7、7 全部「中等」——正好克住甲的小数字，又躲开了甲的 9（丙最大 7，遇到甲 2/4 时赢，遇到甲的 9 时输，但甲出 9 只有 2 面）。
王老师说：「所以『谁更强』这个问题，取决于跟谁比。强弱不是骰子的属性，而是两个骰子之间的关系。」
为什么没有最强骰子
复盘三问：① 我算的胜负是「几比几」？② 平局算不算胜负？③ 如果对手改了骰子，结论还成立吗？
如果四个骰子首尾相接，就形成「四环」；五种玩法更复杂。喜欢挑战的同学可以自己造一组非传递骰子。
强弱是关系，不是属性
我们从小就习惯说「谁更强」，好像强弱是贴在一个人身上的标签。可是非传递骰子告诉我们：有时候，强弱只在「跟谁比」的时候才存在。
这件事有个更古老的名字——「石头、剪刀、布」。它在中国古已有之，传到日本、欧洲，成了全世界的游戏。数学家用一个专门的词描述这种现象：非传递关系。体育比赛里的「甲队胜乙队、乙队胜丙队、丙队胜甲队」，也是同样的道理。
把一句话带回家：不要急着给谁贴上「最强」的标签——先问一句，是跟谁比。
选骰博弈赛
赛制（3 人一组，轮流当「先选者」）：一个人先选一颗骰子，另一个人可以从剩下的两颗里挑一颗；两人各掷 10 局，胜局多者得 1 分。
裁判提示：后选者占优势，所以每一轮都要交换先后，比赛才公平。这也是一个数学结论：在这个游戏里，「选择权」比「骰子」更值钱。
向家人演示循环克星
任务 ① 用纸片自制三颗非传递骰子（按课本上的数字写上 6 个面）；② 请家人先选一颗，您选一颗「克制」他的；③ 各掷 10 局记录胜负，让家人亲眼看到「循环克星」；④ 向家人解释：为什么没有最强的骰子？
| 家人选的骰子 | 我选的骰子 | 我赢几局 | 他赢几局 |
|---|---|---|---|
讲解要点：胜负不是看「最大的数字」，而是看所有数字的搭配。甲有 9 也有 2，丙全是中等数——中等数正好「压制」了小数字。能把这个道理讲明白，您就真的懂了。