游戏数学·四之夏

本书怎么读：一个单元九页

全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右边，如 3.14；＋ − × ÷ ＝ 各就各位，中括号写成 ［　］；上标用小肩数字，如 1 公顷＝10000 平方米、1 平方千米＝1000000 平方米。大数四位一级：个级、万级、亿级；角的单位：度（°）；面积单位：平方米（m²）、公顷（ha）、平方千米（km²）。

十进制是全世界的语言吗

暑假第一天，小禾在看一部关于古埃及的纪录片。屏幕上出现一串奇怪的符号：一根竖杠代表 1，一个倒着的 U 代表 10，一卷绳子代表 100……古埃及人就用这些图画来记数。

「他们的 1 和我们的一样吗？」小禾问。爸爸说：「不一样。我们的数字叫『阿拉伯数字』，可它其实不是阿拉伯人发明的。」

王老师说：「这一单元，我们要当一回数学侦探——从中国的算筹，一路追到印度、阿拉伯，看看数字是怎么走到今天的。」

中国算筹的十进制

中国很早就用算筹记数与计算：一堆同样长短的小竹棍，横着摆或竖着摆，就能表示任何数。

九个数字的「筹零件」长什么样？上排纵式，下排横式——6～9 都是「一根当五」：当五的那根筹，纵式横放在上、横式竖放在上：

《孙子算经》的口诀：「一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当」——个位摆纵式，十位摆横式，百位又摆纵式……纵横交替往下走；空位就是 0，不摆筹。同一个数字 3，摆在不同数位，值就完全不同：

有趣的是：算筹的横竖交替，其实是为了「不用写零」。后来人们改用笔画书写，才发明了「0」这个占位的符号。

印度-阿拉伯数字之旅

今天我们写的 0、1、2、3……其实走过了一条很长的路。

小满感慨：「一个圆圈（0）竟然这么重要——它像个座位牌，告诉别人『这一位是空的』。」

小数与十进制记数法

十进制不只往左长，也往右长——往右长出来的部分，就是小数。

想一想：如果人类只有 8 根手指，会不会用「八进制」？——会。这正是下一页要讲的：十进制是方便，不是必然。

其他进制初感（二进制）

为什么我们正好用十进制？一个流行的说法是：因为我们有十根手指。如果数数只用「有」和「没有」两种状态，那就是二进制。

您手机里的一张照片、一段视频，本质上都是一长串 0 和 1——这就是二进制的力量。

进制小题

二进制卡片游戏

玩法（4 人一组，每组一套「位值卡」）：准备 5 张卡，分别写着 16、8、4、2、1（从左到右由大到小）。

小杏发现：「每张卡片只有『翻』和『不翻』两种状态——这就是二进制的『1 和 0』。」

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伸出就是 1，收拢就是 0：拇指 1、食指 2、中指 4、无名 8、小指 16——一只手摆尽 0～31。跟操、自由摆数、闯关擂台，和上面的卡片游戏配合玩。

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讲一段记数法历史给家人

任务　① 从本单元里挑一个您最感兴趣的点（算筹、0 的发明、阿拉伯数字的传播、二进制）；② 用 3～5 句话整理成一段小故事，写下来；③ 讲给家人听，并出一道小题目考考他（如「13 的二进制是多少」）；④ 记录家人的反应。

讲的技巧：先说清「以前的人怎么记数，有什么不方便」，再说「新办法解决了什么」。能把「为什么需要它」讲清楚，才是真的懂了这段历史。

地板为什么没有缝

数学镇的文化馆翻新，图图去看工人铺地砖。他发现一个奇怪的现象：地砖一块紧挨着一块，铺满了一整片地，中间居然一点缝也没有。

「砖和砖之间不会互相挤吗？」图图问。工人师傅笑着说：「不会，只要选对形状就行。您试试用圆形铺地——准会留下缝。」

王老师说：「用同一种图形既不留缝、也不重叠地铺满平面，叫密铺。为什么有的图形能密铺，有的不能？这一单元，我们就来当一回『地砖设计师』。」

密铺条件探索

注意：能密铺的图形，可以不是正多边形。比如任意一个三角形、任意一个四边形，都能密铺（把两个全等三角形拼成一个平行四边形，再铺开）。

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正三角形·正方形·正六边形

三种最常见的密铺图形，逐个验算。

小满发现：「能密铺的正多边形，内角必须能被 360 整除——60、90、120 都可以，接下来呢？下一页我们就去看『不行的那几个』。」

内角和判别法

要判断正 n 边形能不能密铺，两步就够。

记忆窍门：能单独密铺的正多边形只有三种——正三角形、正方形、正六边形。其他都不行。这是可以证明的结论，不是巧合。

正五边形为何不行

用「凑 360°」的办法，说得明明白白。

王老师说：「正五边形不能密铺，是数学上的一条硬结论。发现『不行』和发现『行』一样重要——知道边界在哪里，才知道自由在哪里。」

密铺条件总结

复盘三问：① 每个角多少度？② 几个角能凑成 360°？③ 是整数吗？

小杏总结出一句：「密铺的秘诀不在边，在角——围一圈正好 360°，就能铺。」

密铺设计赛

赛制（4 人一组，方格纸 + 图形卡片）：各组用给定图形设计密铺图案，比谁铺得又满又美。

评分：能否铺满（60%）＋ 图案美观（20%）＋ 讲解清楚（20%）。铺不满的组要说出「差多少度」，也算部分得分。

用两种图形设计密铺图案

任务　① 选两种图形（其中至少一种是正多边形）；② 验证它们能搭配密铺（写出每个顶点处角的加法算式，和必须等于 360°）；③ 在方格纸上画出一个重复单元；④ 说明您的设计能用在哪里（地砖、墙壁、包装纸）。

经典例子：正八边形内角 135°、正方形内角 90°——在每个顶点处放 1 个八边形和 2 个正方形，135 ＋ 90 ＋ 90＝360° ✓，能密铺。您也来找一组吧。

万花筒里的数学

小满的生日礼物里有一个万花筒。她举起来对着窗外的光，轻轻一转——眼前绽放出一朵六瓣的花；再一转，花瓣变了形状，但还是那么对称。

「为什么怎么转都这么好看？」小满把万花筒拆开看：里面只有三片长条镜子，围成一个三棱柱，底部散着几粒彩色小珠。没有花，花是镜子变出来的。

王老师说：「万花筒是『旋转对称』的天然实验室。今天我们先弄清一件事——为什么三片镜子能得到六瓣花？」

旋转对称规则

判断方法：把图形描在透明纸上，用笔尖按住中心，旋转，看什么时候能和原图重合。能重合的最小角度，就是旋转角。

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三面镜子围成正三角形，彩色纸屑随手转动，12 个镜像铺满全屏——亲手「转」出课文里的六重对称之花，每一格进度都是一朵新花，无需登录。

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自制万花筒

动手做一个，边做边算。

小杏数了数自己万花筒里的花瓣：「1、2、3、4、5、6——正好六瓣！和镜子数量不一样，说明有个规律在起作用。」

三镜夹角 60° 的秘密

用「光线反射」和「角度除法」两步就能算清。

动手验证：把两面小镜子摆成 90° 夹角，在中间放一支笔，数一数能看到几个像？——应该是 4 个（包括真的那一个）。

旋转对称图形创作

知道了原理，就能自己造出对称图案。

小满的作品：一片叶子复制 6 次，变成一朵「叶子花」；她说：「原来对称图案不是画出来的，是转出来的。」

对称类型汇总

复盘三问：① 是折叠重合还是旋转重合？② 旋转角是多少？③ 有几重？

小杏的笔记：「先看是不是能对折；再看是不是能转动。两问都答完，才算分析完整。」

图案设计赛

赛制（4 人一组，圆纸片 + 彩笔 + 剪刀）：各组设计并制作一个旋转对称图案，比对称的准确与美观。

判分要点：把作品放在桌上，用透明纸描一遍再旋转——能重合才算数。图上标出旋转中心，也是加分项。

拍摄家中对称物品五例

任务　① 在家中找出 5 件具有对称性的物品（碗、盘子、风扇、窗花、灯罩、镜子、地毯……）；② 判断每件属于哪种对称（轴对称／旋转对称／两者都有）；③ 尽可能数出对称轴条数与旋转重数；④ 拍下照片或画下来，做成一页「对称图鉴」。

小提示：厨房里的圆形盘碗大多有「无数条对称轴」；电风扇的叶片通常有 3 重旋转对称；窗花常常同时具有轴对称和旋转对称。先猜一猜，再用手转一转验证。

下等马如何赢齐王

两千多年前的齐国，流行赛马。齐威王的三匹马都比大将田忌的强一点点，每次比赛，田忌都输。

田忌的门客孙膑看了比赛，悄悄说：「我有办法让您赢。」他让田忌用自己的下等马去对齐王的上等马，用上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马。三局下来，田忌两胜一负，赢了！

王老师说：「这个故事的作者是司马迁，它记在《史记》里。两千年前的这场赛马，已经被现代数学看作『博弈论』的一个经典案例。今天我们就来当一回孙膑。」

赛马博弈规则

这里有一个重要前提：田忌知道齐王的出马顺序。如果双方都不知道对方怎么出，胜负就有了不确定性——这正是后面要讨论的「博弈」。

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经典对局

用一个表格，把经典对局完整复盘一遍。

图图玩完说：「我一开始想不通——为什么强的马要去对弱的？现在我明白了：关键在于让每一匹马都『打得过』对手。」

出马顺序的博弈

把「有多少种出马顺序」算清楚，策略就有了底。

关键洞察：比赛的总胜负由局数决定，不由单局的分差决定。输要输得小（用最弱的马去输），赢要赢得稳（用强马去赢）。这就是「策略」的价值。

先后手与必胜策略

如果双方都很聪明，这个游戏还有必胜策略吗？

孙膑的智慧不在于「马更好」，而在于「安排得更好」。这正是「运筹帷幄」四个字的意思：不改变实力，只改变顺序。

博弈论初感

复盘三问：① 我知道对手的出法吗？② 我牺牲了什么、换回了什么？③ 有没有更好的顺序？

小满总结：「先算清对手有多少种可能，再挑出对自己最好的那一种——这就是『策略』的全部意思。」

田忌赛马对抗赛

赛制（4 人一组，两组对抗）：每组用三张卡片代表三匹马（甲组写 A1、A2、A3 由强到弱；乙组写 B1、B2、B3），规则同田忌赛马（同号相比 A 略强）。

裁判提示：做记录！每一轮都把双方的三局结果写下来，赛后再分析——能复盘的人，才会进步。

与家人玩并分析策略

任务　① 用三张数字卡片（如 3、2、1 与 4、5、6）代表马，与家人玩田忌赛马；② 每局记录双方出牌顺序与胜负；③ 分析：在什么情况下您能赢？如果双方都保密，胜负会怎样？④ 写下一句您的策略心得。

交流问题：如果家人的牌每张都比您的强一点，您还能赢吗？试一试孙膑的办法。能把「牺牲一场、赢下两场」讲给家人听，说明您真正掌握了这个策略。

零下的温度怎么记

寒假的一天早晨，小禾看天气预报：屏幕上写着「哈尔滨 −18℃，广州 12℃」。他指着那个带小横杠的数字问：「这个横杠是什么？」

「那是『零下』，」爸爸说，「−18℃ 就是零下 18 度。」小禾想了想：「那我们这儿今天 2℃，比它高多少度？」2 − (−18)＝20——高了整整 20 度。

王老师说：「这一单元我们不上新算式，只做一件事——读故事。读一读『负数』这个数是怎么被人类想出来、又怎么被接受的。」

中国古代的正负术

中国人很早就开始用「负」来表示「欠」和「相反」。

小杏惊了：「原来两千年前中国人就会算负数了！我还以为负数是很晚才有的。」

负数在世界各地的历史

有意思的是，别的文明也各自摸索出了「相反的量」。

发现了吗？负数的历史，是一部「从账本走向数轴」的历史——先有真实的用途（欠债、亏空），后来才被抽象成「数」。

负数被接受的曲折

为什么一个这么有用的数，会被怀疑上千年？

王老师说：「以后您会正式学负数的运算。今天先记住：负数不是『假的数』，它只是『零的另一边』。」

生活中的负数

负数在生活里到处都是，只是我们常常没注意。

重要提醒：0 是正负的分界。0 既不是正数，也不是负数。它是测量时的「基准」——冰点、海平面、地面层。

读记与比较

温度播报游戏

玩法（4 人一组，一张中国地图 + 温度卡片）：教师报出一组城市与温度，各组完成播报与比较。

播报小知识：气温播报里「零下」两个字必须说清楚，否则听众会误解。这就是负数在语言里的作用——不给方向，数字就没意义。

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记录一周气温找负数

任务　① 连续记录 7 天的日最低气温（可以是本地，也可以是您关心的某个城市）；② 用正负数写下温度；③ 找出其中的负数，并找出最低的那一天；④ 计算一周内最高温与最低温相差多少度。

延伸问题：如果这一周都是零上，您还可以去查一查「去年最冷的那一天是多少度」，看看有没有负数。能找到一个真实的负数，这个任务才算完成。

平行四边形能变长方形吗

手工课上，老师给每人发了一个平行四边形纸片，上面还画着虚线：「不许量长和宽，您能算出它的面积吗？」

图图发愁了：「面积公式是长×宽，可平行四边形没有『长』和『宽』啊。」小杏盯着虚线看了半天，忽然动手剪了一刀——把左边那个三角形剪下来，挪到右边去。

王老师说：「这一刀有个名字，叫割补。它背后是最重要的一条数学思想——转化：把不会算的图形，变成会算的图形。」

平行四边形面积（割补）

记住「转化」这一步：平行四边形 → 长方形。以后算三角形、梯形面积，用的还是这个思路。

三角形面积（倍拼）

三角形只有三条边，怎么转化？——用两个完全一样的三角形拼一拼。

动手做一次：用两个全等三角形（剪两张一样的）拼一拼，您会发现不管拼哪条边，都能拼出平行四边形——所以三条边都能当底，每条边都有对应的高。

梯形面积

梯形有两条平行的底，公式稍微复杂一点，但思路一样：拼成平行四边形。

小杏感慨：「原来三个公式是一家子！三角形是上底为 0 的梯形，长方形是上下底相等的梯形。」

组合图形面积

生活中的图形往往不是单一的三角形或梯形，而是它们拼起来的。这时用拆分或补全。

做题顺序：先看图里有没有能直接算的部分 → 不能就直接分割 → 分割不方便就补全。三种办法都对，选最省事的那种。

面积综合

割补拼图赛

玩法（4 人一组，一套七巧板或可剪的方格纸图形）：用「剪一刀、挪一块」的办法，把图形变成规则图形。

赛后总结：每一次「剪拼」成功，都等于发现了一条面积关系。能说出「为什么面积不变」，才是真懂。

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推导梯形公式讲给家人

任务　① 用硬纸剪两个完全一样的梯形（上底 4 cm、下底 6 cm、高 3 cm）；② 把它们拼成一个平行四边形，量出拼成图形的底和高；③ 用「平行四边形面积 ÷ 2」推出梯形面积公式；④ 讲给家人听，并请他判断您的推理对不对。

讲解的要点顺序：把两个梯形拼成平行四边形 → 平行四边形的底是（上底＋下底） → 高不变 → 一个梯形是它的一半 → 所以除以 2。能按这四步讲清楚，说明您不仅记住了公式，还懂它怎么来的。

折线图上的旅程

暑假，小禾一家自驾旅行。回来后，爸爸给他看了一张图：横轴是时间（小时），纵轴是路程（千米），图上有一条起伏的线。

「这是我们的行程，」爸爸说，「您看这一段平的——是我们停在服务区休息；这一段特别陡——是在高速上飞跑；最后一段慢慢平下来——是进城堵车了。」

王老师说：「折线统计图最厉害的地方，就是能把『变化』画出来。它不只是记录数据，它记录了事情的过程。今天我们就来学读这种『会讲故事的图』。」

折线统计图读法

注意：折线图的横轴通常是「时间」，但也可以是别的连续量。关键在于两点之间的连线代表「变化」。

行程图（s-t 图初感）

把「路程随时间的变化」画成图，就是行程图。它是折线图最有趣的一种用法。

看行程图先问自己：这个人在第几小时停下来了？哪一段最快？全程一共走了多少千米？（看最后一个点的纵坐标。）

从图判断快慢与停留

把「陡、平、下」三种线型练熟，行程图就读通了。

一句话记住：横轴管时间，纵轴管路程；陡是快、平是停、下是回。

复式折线图比较

要比较两组数据的变化趋势，就把两条折线画在一张图上——复式折线统计图。

小杏总结：「一张图里放两条线，就能看出『谁更快、谁更稳、什么时候打平』——比看两张表省事多了。」

读图题组

画自己的心跳折线

玩法（4 人一组，秒表 + 方格纸）：测量自己在不同状态下的脉搏，画成折线图。

小组讨论：为什么运动后折线突然变陡？为什么恢复段越来越平？折线的形状，就是我们身体变化的「地图」。

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记录一周气温画折线图

任务　① 记录一周的最高气温（可从天气预报获取）；② 在方格纸上画出折线统计图（横轴日期、纵轴气温，注明每格代表多少）；③ 从图中回答三个问题：最高是哪天？起伏最大的是哪两天？整体趋势是升还是降？④ 写一句「看图得出的结论」。

进阶挑战：把「最高气温」和「最低气温」两条线画在同一张图上（复式折线图），看看两条线什么时候最接近、什么时候离得最远。温差最大的那天，就是昼夜温差最剧烈的一天。

博弈周开幕

暑假班最后一周，教室变成了「博弈馆」：墙上贴着五张游戏海报，桌上摆着骰子、棋子、小棒和计分表。

王老师站上「擂台」说：「这一周我们不上新课，只做一件事——玩游戏，然后想清楚为什么这么玩。五关下来，会诞生我们这个班的『博弈王』。」

「博弈」两个字听起来高深，其实很简单：您的决定会受别人的影响，别人的决定也会受您的影响。这时候，怎么选才是最好的？——这就是博弈要回答的问题。

五游戏积分制

重要：这个单元的分数，一半来自「赢」，一半来自「说清为什么」——能讲清策略的人，才算是真正的高手。

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关①田忌②骰子

关① 田忌赛马（3 分）：双方各三张牌（A 组 3、2、1；B 组 6、5、4，B 的每张都比 A 大）。A 组先亮牌，B 组后出，三局两胜。

关② 非传递骰子（3 分）：用课本上学过的三颗骰子（甲 2、2、4、4、9、9；乙 1、1、6、6、8、8；丙 3、3、5、5、7、7）。

两关玩下来，小满说：「关① 拼的是顺序，关② 拼的是选择——都是在『安排』上动脑筋。」

关③取子棋（尼姆初感）

规则：桌上放 5 根小棒（或 15 颗棋子），两人轮流取，每次可取 1～3 根，取到最后 1 根的人赢。谁有必胜策略？

变式：如果规则改成「取到最后 1 根的人输」，必败点变成什么？（提示：变成 4 的倍数加 1）

关④井字棋必胜研究

井字棋：3×3 的格子，两人轮流画（一人画 ×，一人画 ○），先连成一条直线（横、竖、斜）的人赢。

王老师说：「井字棋告诉我们一个有趣的事实：有的游戏没有赢家，只有『不输的人』。知道这一点，您就不会轻易被『必胜』的说法骗到。」

博弈思想清单

复盘三问：① 我的对手下一步可能怎么走？② 我这一步之后，会给对手留下什么？③ 有没有「无论如何都不输」的走法？

小杏的总结：「以前我下棋只想着自己怎么走；现在我会想——我走完这一步，他会怎么走？」

博弈王争霸

赛制（全班参与，五关总分制）：

颁奖时说一句：赢的人靠策略，输的人靠复盘——两种人都在进步。

假期与家人博弈五局写战报

任务　① 假期里与家人玩 5 局博弈游戏（田忌赛马、取子棋、井字棋任选）；② 每局记录：游戏名、对手、胜负、关键的一步；③ 至少找出一次「如果我当时那样走，结果会不同」的复盘；④ 写一份 100 字左右的「博弈战报」。

战报的写法：先写「我赢了哪几局、怎么赢的」，再写「我输的那局，失误在哪一步」。能坦然分析自己失误的人，下一局就会赢。假期结束，把战报交给老师——这也是这一册的最后一页。