九章格数学 PhiloMath · K2C 正文 · P 段
游戏数学·五之冬
P5-2 · 冬季段（编目代号 P5-2）· 游戏与实践册 · 正文编写版 · 已完成 72/72 页 · 2026-09-15
小学高段 · 五年级72 页 ＝ 8 单元 × 9 页体例：导入＋精讲＋练习＋思想卡＋游戏游戏与实践册
冬 日 游 戏〇体例说明（写给小读者和家长）
体例
本书怎么读：一个单元九页
全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右下角，如 3.14，小数乘法先按整数相乘再点上小数点，小数除法把除数变成整数再除；未知数用字母 x 表示，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；＞ ＜ ≥ ≤ 各就各位，中括号写成 ［ ］；上标用小肩数字，如 1 平方米＝10000 平方厘米、1 立方分米＝1000 立方厘米。因数与倍数：2、5、3 的倍数特征；体积与容积单位：立方米（m3）、立方分米（dm3）、升（L）、毫升（mL）。
一全册目录（八个单元 · 每单元 9 页）
- p.1–9第 1 单元 分数的意义
- p.10–18第 2 单元 图与面积的证明
- p.19–27第 3 单元 分解质因数
- p.28–36第 4 单元 数论初感：整除特征
- p.37–45第 5 单元 折纸与对称
- p.46–54第 6 单元 约分与通分游戏
- p.55–63第 7 单元 勾股故事：正方形拼图
- p.64–72第 8 单元 游戏站：数与式游戏周
第 1 单元 · UNIT 1
分数的意义
p.1–9 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.1导入
一个物体与一群物体的四分之一
王老师在讲台上放了四样东西：一张饼、一根绳子、一盒糖（8 颗）、一张纸（对折过）。她让四个人各取「四分之一」。
小杏把饼切成 4 块，拿走 1 块；阿禾把绳子对折两次剪开，取 1 段；图图从糖盒里数出 2 颗；第四位同学把纸折成 4 份，撕下 1 份。
比一比。饼的 1 份、绳子的 1 段、纸的 1 份，都是「把一个物体平均分成 4 份，取 1 份」；可糖盒里拿的是 2 颗——8 颗的 4 份之一是 2 颗。
图图挠头：「同样都是四分之一，为什么有的拿一个、有的拿两个？」
王老师说：「因为『四分之一』前面还藏着一个没写出来的字——单位「1」。四分之一是『这整份东西』的四分之一。整份是什么，决定了四分之一有多大。这一站，我们就专门的分数来。」
p.2规则
单位「1」的规则
本游戏的规则：分数的每一步都要先说清「单位 1 是谁」。
规则一（单位已定）。单位「1」可以是一个物体（一张饼、一根绳），也可以是一群物体（8 颗糖、12 名学生、一盒鸡蛋）。先把整份圈出来，再分。
规则二（平均分）。必须是平均分。分成 4 份，每一份同样大（同样多）才叫四分之一；「随便切 4 块」不算。
规则三（说清两句）。每次写出 14 时，必须补上两句：「把（什么）看作单位 1」「平均分成 4 份，取 1 份」。
计分。说清单位 1 与平均分各得 1 分；能举出「同在四分之一、大小不同」的两个例子，再加 2 分。
为什么先讲规则？因为分数最常错的地方不是计算，而是「不知道在对谁分」。
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p.3试玩
分数墙搭建
分数墙是理解分数最好用的道具：把同样长的纸条一层层等分。
第一层（整条）：一条完整的纸条，记作 1。
第二层：平均分成 2 份，每份 12；两条 12 拼回 1。
第三层：平均分成 3 份，每份 13；三条拼回 1。
第四层：分成 4 份，每份 14；第六层分成 6 份，每份 16……
看出来的三件事。① 分的份数越多，每份越小：12 ＞ 14 ＞ 18；② 每层都能拼回 1；③ 不同层的分数可以对齐比较——12 正好盖住两条 14。
动手做：拿 6 条一样长的纸条，分别折成 1、2、3、4、6、8 份，一条条贴在纸上，就做成了一面分数墙。
p.4策略
分数单位计数
分数的「计数」办法，和整数一模一样：先找一个单位，再数有几个。
分数单位。把单位「1」平均分成 n 份，其中的 1 份就是分数单位 1n。34 里有 3 个 14；57 里有 5 个 17。分子就是「数了几个」。
例 1 38 的分数单位是 18，它有 3 个这样的单位。
例 2（同单位相加）。29 ＋ 59：都是「九分之一」为单位，2 个加 5 个是 7 个，得 79。单位不变，只加个数。
例 3（凑整）。45 再加几个 15 等于 1？还差 5 − 4 ＝ 1 个，即 15。
例 4（一群物体的分数）。12 颗糖，每人分 13：把 12 颗看作单位「1」，平均分成 3 份，每份 12 ÷ 3 ＝ 4 颗。分一群物体时，分母当除数用。
策略小结：先定单位，再数个数。有了「分数单位」这把尺子，比大小、算加减都变成了数数。
p.5进阶
真假分数与带分数
分数能不能「满出来」？能——这就分出了两类。
真分数与假分数。分子小于分母的叫真分数（小于 1），如 34；分子大于或等于分母的叫假分数（大于或等于 1），如 54、66。
带分数。由整数和真分数合成的数，写作 114，读作「一又四分之一」。
例 1（假分数化带分数）。74：7 个 14 里有 1 个「4 个」还余 3 个，即 7 ÷ 4 ＝ 1 余 3，得 134。
例 2（带分数化假分数）。213：2 个整份是 2 × 3 ＝ 6 个三分之一，再加 1 个，得 73。
例 3（在数轴上找位置）。把 0 到 1 之间分成 4 格：14、24、34、44＝1；再往右就是 54、64……假分数不是「错分数」，它只是跑过了 1。
一句口诀：分子大，假分数；拆出整份变带分数。7 ÷ 4 得商 1 余 3，写成一又四分之三。
p.6复盘
分数意义结构图
把这一站学到的东西连成一张图，回头看一眼就全清楚了。
单位「1」一个物体或一群物体；分数必须先说清「对谁分」。
平均分分成若干等份；不平均分就不叫分数。
分数单位分 n 份，一份即 1n；分子＝数了几个单位。
真分数分子 ＜ 分母，小于 1。
假分数分子 ≥ 分母，大于或等于 1。
带分数整数 ＋ 真分数；与假分数可以互化。
复盘三问：① 这道题的单位「1」是谁？② 是平均分还是随便分？③ 分子数的是几个什么单位？三问都答得出来，分数题就稳了。
动手做：把上面六个格子画成一张图，每个格子下面各写一个自己的例子，贴在书桌旁。
p.7思想卡
p.7
〔少广〕分数是新的计数单位
想想整数是怎么数出来的：有一个「1」，数出 2、3、4……不够一个「1」的时候怎么办？把 1 切开，切成同样大的小份，取一份当新的单位——这就是分数的由来。
换个角度看，分数其实什么都没发明：它只是把「计数单位」造得更小、更多。整数的单位是 1、十、百、千；分数的单位是 12、13、1100。有了这些新单位，任何「不够一个」的量都能被数出来，就像给尺子加上了更细的刻度。
中国古人把这件事叫作「通分」之前的第一步——先把整体「通」成同一种小份。《九章算术》卷一「方田」里的「合分术」（分数相加）与卷二「少广」（由面积求边长，要开方、要处理不足整数的量）里，古人反复在做同一件事：选一个合适的分数单位，把所有量都化成它，然后像整数一样数。两千年前，中国的算筹已经在做这件事了。
带回家的一句话：分数的分母不是「麻烦」，它是您选定的那把尺子。尺子选得合适，问题就变简单。
p.8对弈赛
分数墙对局
赛制（4 人一组，两两对阵，共三轮，每组发一面手折分数墙）：
第一轮·盖格子裁判报一个分数（如 34），双方用分数墙上的小条把它正好盖住，先盖对者得 2 分。
第二轮·比大小裁判出示两个分数（35 与 23），用墙上的条比出大小并说明理由，说对得 2 分。
第三轮·凑整给定 58，说出还要加几个几分之一才等于 1，答对得 2 分。
加分题把 94 化成带分数，并在数轴上指出它的位置，加 2 分。
赛后小结：比大小的失误几乎都是「单位没对齐」。先问「它们各自的分母是多少」，再想办法变到同一种小份上比较。
p.9游戏·任务
找生活中三个「单位 1」
任务 ① 在家里找 3 样东西作为单位「1」（建议：一盒鸡蛋、一袋水果、一板药片、一张饼、一盒彩笔）；② 分别写出「它的几分之一是多少」并实际数一数；③ 比较三种「几分之一」的实物大小，写出您的发现。
想一想：为什么「一盒 12 个鸡蛋的三分之一」是 4 个，而「一张饼的三分之一」只有一小块？把这个道理讲给家人听，您的分数就学通了。
第 2 单元 · UNIT 2
图与面积的证明
p.10–18 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.10导入
不用公式能证明面积吗
王老师把一张三角形纸片和一把剪刀放在桌上：「谁能不用公式，说明三角形的面积是『底 × 高 ÷ 2』？」
图图背了一遍公式，王老师摇头：「背下来不算证明。我们要的是——让别人看见它为什么是这样。」
阿禾拿起剪刀，剪了两个完全一样的三角形，拼在一起——正好是一个平行四边形。他指着说：「两个三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是底 × 高，所以一个三角形就是它的一半。」
看清楚了。这不是「算了算」，而是「摆给您看」：能拼出来，就等于说明了面积关系。
王老师说：「这种说服方式，叫拼图证明。古代中国的弦图、古希腊的欧几里得，都在用这个办法。这一站我们就用剪刀和方格纸，学会『眼见为实』的证明。」
p.11规则
拼图证明规则
本游戏的规则（每一步都要说出来，不能只在心里想）：
规则一（材料可剪不可变形）。只能剪、只能平移和旋转，不能拉伸、不能把纸片压扁——面积在移动中保持不变，这是整套证明的根基。
规则二（说清三步）。每一步必须说：「我拼成了什么图形」「它的边长与高是什么」「两块面积是什么关系」。
规则三（拼完要能还原）。拼出的新图形必须能被拆回原来的图形，否则不能证明面积相等。
计分。拼对 1 分；三步说明齐全 1 分；能指出「为什么面积没变」再加 1 分。
记住这条最要紧的规矩：剪、拼、转、移都不改面积。这是全部拼图证明能够成立的唯一理由。
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p.12试玩
三角形面积拼证
热身三连：从三角形的三种情况出发，各拼一次。
拼法一（两个三角形拼平行四边形）。取两个完全一样的三角形，把其中一个旋转 180° 拼上，得到一个平行四边形。它的底＝三角形的底，高＝三角形的高，面积是 ah；一个三角形是它的一半，故 S ＝ ah ÷ 2。对锐角、直角、钝角三角形都一样成立。
拼法二（沿中位线剪拼）。取一个三角形，沿中点连线剪开，把上面的小三角形旋转拼到旁边，得到一个平行四边形，底＝三角形的底，高＝原来高的一半。面积 a × (h ÷ 2) ＝ ah ÷ 2，与拼法一殊途同归。
拼法三（长方形包围法）。对一个直角三角形，直接用一个长方形包围它——长方形的另一半也是一样的三角形，所以三角形面积是长方形的一半。
动手 1剪出两个全等三角形，拼成平行四边形，量一量底和高。
动手 2剪出两个全等梯形，拼成平行四边形，找出「上底＋下底」在哪里。
说一句「两块图形只是挪了位置，面积没有变」——把这句话写在作业本上。
想一想如果两个三角形不一样大，能这样拼吗？为什么？
p.13策略
梯形的两种拼法
梯形公式有两条拼图路线，学会对比，就知道「同一个面积能有好几种做法」。
拼法一（两个梯形转 180°）。两个完全一样的梯形，把上面那个旋转 180° 并上去，得到一个平行四边形：底为「上底＋下底」，高不变，面积是 (a ＋ b)h，一个梯形为一半 → S ＝ (a ＋ b)h ÷ 2。
拼法二（沿中位线剪开）。把梯形沿中位线剪开，将上半部分旋转拼到右侧，得到平行四边形：底＝上底＋下底，高＝原高的一半 → 同一个公式。这条路线更漂亮：只用一个梯形就能剪拼。
两法对照。拼法一需要两个全等梯形（多剪一个），但看得更直观；拼法二只需一个梯形，但剪的位置要准（中位线在高的中点处）。两条路线都给出同一个结果——这正是数学让人放心的地方。
策略小结：拿到一个「不会算」的图形，先问三句——能不能剪开拼成平行四边形？能不能补成长方形？有没有中位线或中点可用？
p.14进阶
圆的剪拼初感
最难相信面积公式的图形是圆。它曲里拐弯，怎么变成「直边」的图形？
动手做个实验。把一个圆形纸片沿直径平均分成 16 份（每份是一个小扇形），把这 16 个小扇形一正一反地拼起来，得到的是一个近乎平行四边形的形状。
看关键的两条边。① 拼出的「底边」是圆周长的一半，即 πr；② 它的「高」是圆的半径 r。所以面积 ≈ πr × r ＝ πr2。
再分得细一些。分成 32 份、64 份、128 份——每一次剪拼，拼出来的形状都更像长方形，边越直，算得越准。这就把「圆的面积」用逼近的方式说清楚了。
为什么这叫「初感」？因为「分得越细越接近」这句话里，藏着初中和大学才正式学的极限思想。今天我们只要体会到：再弯的东西，切细拼一拼，也能像直的——这个感受非常宝贵。
动手做：用两种颜色的纸各剪 8 个小扇形，交替拼在一张纸上，您会亲眼看到圆「站直」了。
p.15复盘
证明即说服
回头看这一站我们做的事：我们几乎没有「用公式计算」，而是在说服。
三角形两个拼成平行四边形 → 一半。
梯形两个拼成平行四边形（上底＋下底），或剪中位线拼。
圆剪成小扇形交替拼，份数越多越像长方形。
共同的三步① 剪拼成型；② 找出边长与高的对应；③ 说明面积不变。
什么叫「说服」？它必须满足两条：① 说得清（每一步都有理由）；② 看得见（别人照着做能得到同样的结果）。只有自己心里明白，还不算证明。
复盘一问：如果同学说「我不同意」，您能重复一遍刚才的动作，让他自己拼一次吗？能重复、能演示的过程，才叫证明。
p.16思想卡
p.7
眼见为实的证明观〔勾股〕
数学有两种让人相信的方式：一种是演绎——从公认的前提出发，一步步推出结论（欧几里得最擅长这个）；另一种是构图——把道理摆成一幅图，让眼睛直接看出来。中国人偏爱后者。
《周髀算经》记载了商高与周公的对话，讲出「勾三股四弦五」；三国时期的赵爽为它作注，画出了「弦图」——四个相等的直角三角形围成一圈，中间留下一个小正方形。大正方形的面积既可以用边长算，也可以用「四个三角形＋中间小正方形」算，两条路必须相等，于是就得出了直角三角形三边的关系。这幅图没有一个多余的字，却把道理说尽了。一千多年后的印度、阿拉伯数学家也各自画出了类似的图，可见「用图说话」是多么自然的思路。
为什么中国数学特别相信「看得见」？因为我们的数学长在「实用」的土壤上——量田、筑城、修渠、算粮，都要让工匠看得懂、做得出。能被演示的道理，才能被真正采用。
带回家的一句话：数学的证明有两种力量，一种让人「无话可说」，一种让人「一眼看明白」；最好的证明，两者都有。
p.17对弈赛
拼证讲解赛
赛制（4 人一组，两两对阵，每人一套纸片与剪刀，共三轮）：
第一轮·拼三角形用两个全等三角形拼出平行四边形，并说出公式来源。先拼先说对者得 2 分。
第二轮·拼梯形用两个全等梯形拼出平行四边形，指出「上底＋下底」落在哪条边上，得 2 分。
第三轮·讲圆把 16 个扇形拼成近似长方形，说出「底是半个圆周、高是半径」，得 3 分。
加分题同学质疑「两块形状不同面积为什么相等」，能回答「剪拼只是挪动位置」并演示，加 2 分。
赛后复盘：得分高的同学，靠的不是手快，而是每拼一步就说一句。把话说明白，是这一站真正的比赛项目。
p.18游戏·任务
录一段讲证明的小视频
任务 ① 选一个面积公式（三角形 / 梯形 / 圆，任选其一）；② 用纸片剪拼，边做边讲，录一段 1 分钟以内的视频；③ 视频里必须出现三句话：「我拼成了什么」「底和高分别在哪里」「面积为什么不变」；④ 播放给家人看，请他判断听懂了没有。
讲得越慢越好。如果家人中途问「为什么」，说明那一步您没讲透——回去补上，再录一遍。
第 3 单元 · UNIT 3
分解质因数
p.19–27 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.19导入
数的积木：质数
王老师发下一堆积木块：有 1 格的、2 格的、3 格的、4 格的……她让同学们用「完全一样」的长条把数量摆出来。
试一试。12 块小方块，可以摆成 2 行 6 列，也能摆成 3 行 4 列；7 块小方块呢？只能摆成 1 行 7 列——摆不成别的长方形。
阿禾说：「7 像一块拼不动的积木，只能自己排成一条。」小杏补充：「12 能拆，2×6、3×4 都行，拆到最后是 2×2×3。」
王老师说：「各位读者发现了数世界最基本的一件事：有些数能拆，有些数拆不动。拆不动的那些，是所有数的『积木』。这一站，我们专门研究怎样把一个数拆到底。」
质数（从分解的角度）。大于 1 的自然数，如果只能分解为 1 与它自身的乘积——这样的分解称为平凡分解——就叫做质数。质数拆不动，所以它的方块只能排成一行或一列：7 除了 1 × 7 再没有别的分解，是质数；12 能写成 2 × 6、3 × 4，拆得动，下面几页就要把它拆到底。
p.20规则
短除法规则
本游戏的规则：把合数用「短除法」一路拆到不能再拆。
规则一（只用质数试）。每一次都用质数作除数，从最小的质数开始试：2、3、5、7、11……
规则二（能除就除到底）。选定一个质数后，只要还能整除，就一直除下去，直到不能整除，再换下一个质数。例：24 ÷ 2 ＝ 12，12 ÷ 2 ＝ 6，6 ÷ 2 ＝ 3，再 3 ÷ 3 ＝ 1。
规则三（写成连乘形式）。结果写成 24 ＝ 2 × 2 × 2 × 3，也可以写成 23 × 3。最后一定除到商为 1 才算结束。
计分。分解正确 1 分；每步都用质数除（不出现合数除数）1 分；能解释「为什么除到 1 就停」再加 1 分。
把 24 一路拆到底，短除法长这样（左边一列全是质数，最下面剩下 1）：24 的短除22421226331
短除法为什么叫「短」？因为它是把竖式横过来写：左边一列全是质数，最下面剩下 1。
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p.21试玩
分解 20 以内合数
从最小的合数开始，一个一个拆。
4 ＝ 2 × 2（除一次 2 得 2，再除一次 2 得 1）
6 ＝ 2 × 3 8 ＝ 2 × 2 × 2 9 ＝ 3 × 3
10 ＝ 2 × 5 12 ＝ 2 × 2 × 3 14 ＝ 2 × 7 15 ＝ 3 × 5
16 ＝ 2 × 2 × 2 × 2 18 ＝ 2 × 3 × 3 20 ＝ 2 × 2 × 5
顺便记住质数名单（20 以内）。2、3、5、7、11、13、17、19。剩下的 4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20 都是合数。1 既不是质数也不是合数，它自己是起点，不是积木。
动手做：把 2～20 的数写成一排，把质数圈起来、合数写成连乘形式，看看会不会漏掉谁。
p.22策略
从最小质数试起
分解的数一大，就要讲方法，不然会试乱。
策略一：从 2 开始按顺序试。顺序试质数，不会漏，也不会重复。例：分解 90 → 90 ÷ 2 ＝ 45 → 45 不能被 2 整除，换 3 → 45 ÷ 3 ＝ 15 → 15 ÷ 3 ＝ 5 → 5 ÷ 5 ＝ 1，得 90 ＝ 2 × 3 × 3 × 5。
策略二：先看末位。末位是偶数 → 一定能被 2 除；末位是 0 或 5 → 一定能被 5 除。先把这两种「白送」的除掉，数立刻变小。
策略三：只试到「平方不超过它」。要判断一个数 n 是否还能分解，只需用不超过 √n 的质数去试。例：判断 97，试 2、3、5、7（因为 72 ＝ 49 ＜ 97 ＜ 121 ＝ 112），都不用试了，说明 97 是质数。这一招能让判断快很多。
策略四：先把大数拆成两块积。如 210 ＝ 21 × 10，再分别拆：21 ＝ 3 × 7、10 ＝ 2 × 5，合起来 210 ＝ 2 × 3 × 5 × 7。分块再合，比逐格试更快。
策略小结：先除掉最容易的（2、5），再按顺序试，只试到平方根。这三条用完，再大的数也不怕。
p.23进阶
100 以内数分解
把方法用熟，来一批实战。
例 1 36 ＝ 2 × 2 × 3 × 3 ＝ 22 × 32；48 ＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 3 ＝ 24 × 3。
例 2 60 ＝ 2 × 2 × 3 × 5；72 ＝ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 ＝ 23 × 32。
例 3（含较大质数）。91 ＝ 7 × 13；85 ＝ 5 × 17；77 ＝ 7 × 11。
例 4（判断质数）。判断 87 是不是质数：87 ÷ 3 ＝ 29，所以 87 ＝ 3 × 29，是合数。判断 89：试 2、3、5、7（92 ＝ 81 ＜ 89，还要试 9 以内的质数即 2、3、5、7），都不能整除，所以 89 是质数。
把分解结果用起来（求因数个数）。36 ＝ 22 × 32，每个质数指数加 1 再相乘：(2 ＋ 1) × (2 ＋ 1) ＝ 9，所以 36 有 9 个因数（1、2、3、4、6、9、12、18、36）。
验算小技巧：把分解出的质数乘回去，看看是否等于原数。乘一次只要几秒，却能把错误全拦住。
p.24复盘
唯一分解的体会
做了一堆分解，回头看一个惊人的事实：不管您怎么拆，结果总是一样的。
试两次看。分解 60：路线 A 先除 2（60 ＝ 2 × 30 ＝ 2 × 2 × 15 ＝ 2 × 2 × 3 × 5）；路线 B 先除 5（60 ＝ 5 × 12 ＝ 5 × 3 × 4 ＝ 5 × 3 × 2 × 2）。两条路，最后的质数名单完全一样，只是顺序不同。
结论（算术基本定理）。任何一个大于 1 的整数，都能写成若干个质数相乘，而且如果不计顺序，写法是唯一的。这个结论叫「唯一分解」。
它有什么用 1求最大公因数与最小公倍数——把共同的质数挑出来相乘。
它有什么用 2判断整除、约分通分、比较分数大小。
它有什么用 3今天的信息安全：大数的质因数分解极难，加密就靠它。
它有什么用 4求因数个数、判断完全平方数（指数全为偶数）。
复盘一问：为什么说质数是「数的积木」？因为别的数都能用它们拼出来，而它们自己再也拆不动。
p.25思想卡
p.7
合数的基因测序〔少广〕
把 60 分解成 2 × 2 × 3 × 5，就像给一个数做了 «基因测序»——测完您就知道它由哪些「基本粒子」构成，也就知道它能被谁整除、能拆成哪几种长方形、和别的数有什么共同点。
为什么质数是「基本粒子」？因为它不能拆。任何数要拆，只能拆成质数；拆到底就是它唯一的身份单。这个结论被叫做算术基本定理，是整个数论的地基。古希腊的欧几里得在《几何原本》第九卷里给出了证明；而中国古人在《九章算术》里虽然没有写成「定理」的样子，却一直在使用它的结果——「少广」章要由面积求边长（开方），开方过程就是把数按平方结构层层分离；「均输」章要分配、要按比例摊派，也离不开约分与公因数。
两千年后，这件事变得极不平凡：大数的质因数分解至今是最难的计算问题之一，今天网上的支付与聊天加密，正是靠「分解一个很大的数有多难」来保护我们的信息。您手里的短除法，是这条长路的起点。
带回家的一句话：质数是数的原子，分解是数的化学。
p.26对弈赛
分解竞速赛
赛制（4 人一组，两两对阵，每轮一张题卡，共三轮）：题卡上是一个数，要求写出质因数分解式并判断它是不是质数。先完成且正确者得 2 分，后完成但正确得 1 分。
第一轮·基础分解 24、45、56、63（任选其一，裁判抽）。
第二轮·进阶分解 84、96、100、108，并要求写成乘方形式。
第三轮·判断质数给出 91 与 97，先判断哪个是质数，再说明理由（试到几就够？）。
加分题求出 36 的因数个数，并说出用指数怎么算，加 2 分。
赛后复盘：慢，往往慢在「试除数跳步」。按 2、3、5、7、11 的顺序一个一个试，不要跳——跳了就会漏、就会返工，反而更慢。
p.27游戏·任务
制作质数表挂历
任务 ① 在 1～100 的数表上，用筛法找出所有质数：先把 1 划掉，把 2 的倍数（除 2）划掉，再把 3 的倍数（除 3）划掉，接着 5、7 的倍数……剩下的就是质数；② 数一数 1～100 里共有多少个质数；③ 把质数用红笔标在一张 10×10 的方格表上，做成一页「质数挂历」。
| 范围 | 质数个数 | 最大质数 |
|---|
| 1～20 | | |
| 21～50 | | |
| 51～100 | | |
做完观察一下：质数是不是越往后越稀？试着说明为什么——数越多，能被别人整除的机会也越多。这个办法叫「筛法」，两千多年前古希腊的埃拉托色尼就用它筛质数了。
扫码开玩 ·「筛中寻质」埃氏筛工坊挂历上的质数在这里一个一个筛出来：点「开始」，2 的倍数、3 的倍数依次被划去，剩下的就是质数；划到已经划过的数还会闪三下提醒您。范围可选 10 到 200，最后数一数筛出了多少个。无需登录。
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第 4 单元 · UNIT 4
数论初感：整除特征
p.28–36 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.28导入
不用算就知道能不能分
班里要分组做手工。王老师说：「全班 48 人，6 人一组，能正好分完吗？」
图图立刻竖式除：「48 ÷ 6 ＝ 8，正好分完。」王老师又问：「那 7284 人 6 人一组呢？」图图愣住了。
阿禾看了看末位：「末位是 4，是偶数，能被 2 整除；各位数字加起来 7 ＋ 2 ＋ 8 ＋ 4 ＝ 21，21 能被 3 整除，所以这个数能被 3 整除。既能被 2 整除又能被 3 整除，就一定能被 6 整除——不用除就能判断。」
王老师说：「这就是数论里的『判别法』——不用真的除，只看数的形状就知道能不能整除。这一站，我们把这些『指纹』一个一个认全。」
p.29规则
2、5、3 整除判别规则
本游戏的规则：判断整除必须先说「看哪里」，再说结论。
规则一（看末位）。个位是 0、2、4、6、8 → 能被 2 整除；个位是 0 或 5 → 能被 5 整除；个位是 0 → 同时能被 2 和 5 整除（也就是能被 10 整除）。
规则二（看数字和）。各位数字之和能被 3 整除 → 这个数能被 3 整除。例：7284，7 ＋ 2 ＋ 8 ＋ 4 ＝ 21，21 ÷ 3 ＝ 7，所以 7284 能被 3 整除。
规则三（说清依据）。每做一个判断，都要说出「我看的是末位还是数字和」。说不出依据的判断，按「猜」计分。
计分。判断正确 1 分；说出依据 1 分；能在 5 秒内连续判断 5 个数再加 2 分。
这两条规则为什么管用？因为 10 能被 2 和 5 整除，所以「前面的位」都自动被 2、5 整除，只剩个位要管；而 3 的关系藏在「10 ＝ 9 ＋ 1」里，我们稍后会讲透。
扫码开玩 ·「整除指纹局」本单元配套游戏站（P5-2《游戏数学·五之冬》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p5-2.html?u=4
p.30试玩
快速判断题组
先练手感，10 秒一组。
组 1（能否被 2 整除）。134 ✓（末位 4）；275 ✗（末位 5）；1000 ✓；907 ✗。
组 2（能否被 5 整除）。235 ✓（末位 5）；1420 ✓（末位 0）；638 ✗；49 ✗。
组 3（能否被 3 整除）。123 ✓（1＋2＋3＝6）；451 ✗（4＋5＋1＝10）；7284 ✓（数字和 21）；1000001 ✗（数字和 2）。
组 4（同时判断）。一个数能被 6 整除，必须同时满足什么？——既能被 2 整除，又能被 3 整除。例：738（末位 8 ✓，数字和 18 ✓）能被 6 整除。
提醒。「能被 6 整除」不能只看末位或只看数字和，两条都要过。同理，「能被 15 整除」要同时过 3 与 5 两关。
动手做：把 1～50 写成一排，分别标出能被 2、3、5 整除的数，用三种颜色各画一道线——您会看到三条规律交替出现。
p.31策略
9 的判别：数字和
与 3 同理，还有一个更好用的判别法。
9 的判别法。各位数字之和能被 9 整除 → 这个数能被 9 整除。例：7284 的数字和是 21，21 不能被 9 整除，所以 7284 不能被 9 整除；而 7632 的数字和是 18，能被 9 整除，所以 7632 能被 9 整除。
为什么？看一个两位数。设数是 10a ＋ b。因为 10 ＝ 9 ＋ 1，所以 10a ＋ b ＝ 9a ＋ (a ＋ b)。9a 一定能被 9 整除，所以整个数能不能被 9 整除，只看 a ＋ b——数字和。三位、四位、更多位，道理完全一样。
顺带看懂 3。因为 3 能整除 9，所以「能被 9 整除」的数一定能被 3 整除；反过来不一定（如 21 能被 3 整除、不能被 9 整除）。数位和能被 3 整除 → 能被 3 整除，理由同上。
用起来的两个小招。① 数字和太大时，可以边加边「减 9」：7284 → 7＋2＝9（记 0）→ ＋8＝8 → ＋4＝12 → 1＋2＝3，得数字和 3（对 9 判别而言等价）；② 反过来，还能用它求出缺的数字：已知 4□2 能被 9 整除，则 4 ＋ □ ＋ 2 要是 9 或 18，得 □ ＝ 3。
p.32进阶
4、8、11 判别
再看三个「大师级」判别法，它们的道理都在「10 的乘方」里。
4 与 25。看末两位：末两位能被 4 整除 → 整个数能被 4 整除。因为 100 能被 4 整除，所以「百位以上」都自动没问题。例：7316 的末两位 16 ÷ 4 ＝ 4 ✓，故 7316 能被 4 整除。末两位能被 25 整除 → 能被 25 整除（如 75、50、00）。
8 与 125。看末三位：因为 1000 能被 8 和 125 整除。例：54216 的末三位 216 ÷ 8 ＝ 27 ✓，故能被 8 整除；37125 的末三位 125 ✓，故能被 125 整除。
11。从右往左，奇数位数字和与偶数位数字和，两个和的差能被 11 整除 → 整个数能被 11 整除。因为 10 ＋ 1 ＝ 11，所以 「10 的奇次方」与「−1 的奇次方」关系特殊。例：2728：奇数位（从右数第 1、3 位）8 ＋ 7 ＝ 15，偶数位 2 ＋ 2 ＝ 4，差 15 − 4 ＝ 11 ✓，故 2728 能被 11 整除。
综合演练。判断 3960 能被哪些数整除：末位 0（能被 2、5、10）；数字和 18（能被 3、9）；末两位 60（能被 4）；末三位 960（能被 8）；11 检验：奇数位 0＋9＝9、偶数位 6＋3＝9，差 0，能被 11 整除。它是一个非常「合群」的数。
p.33复盘
判别法背后的道理
把所有判别法排成一张表，您会看到一个共同的结构。
2、5、10看末位——因为 10 能被它们整除，前面各位都自动过关。
4、25看末两位——因为 100 能被它们整除。
8、125看末三位——因为 1000 能被它们整除。
3、9看数字和——因为 10 ＝ 9 ＋ 1，多出来的「1」凑成了数位和。
11看奇偶位数字和的差——因为 10 ＋ 1 ＝ 11，符号交替抵消。
统一的念头把 10、100、1000 拆成「能被整除的部分 ＋ 一点余数」，只看余数那部分。
方法的名字。这种「把大数拆成许多小份、只看余数」的做法，叫做找余数；判别法其实是「先算余数、再看余数是不是 0」。您已经在不知不觉中用了余数思想——它在初中会正式叫作「同余」。
复盘一问：为什么「3 的判别」不能只看末位？因为 10 不能被 3 整除，末位以外那些「10 的倍数」也都不是 3 的倍数，它们各自都带着余数，必须加在一起看。
p.34思想卡
p.7
整除特征是数的指纹
不用真的去除，只看几个位置上的数字，就能知道一个数能不能被 3、4、9、11 整除——这种「看一眼就知道」的能力，靠的是每个数与 10、100、1000 之间的特殊关系。每个整除特征，都是一个数在十进制里的「指纹」。
这些指纹从哪来？来自一个极简单的事实：十进制的每一位都带着一个 10 的幂。把 10 ＝ 9 ＋ 1、100 ＝ 99 ＋ 1 这样拆开，能整除的那部分扔掉，剩下的「余数」就变成了判别依据。中国古人算筹演算，讲究「以少驭多」——先用小份整理，再动手计算；判别法正是「以少驭多」的极端例子：连除都不用做。
这个念头后来长成了一门大学问：同余理论。高斯在《算术研究》里系统写出它时，距欧几里得已有两千年；而今天，它保护着您的每一次网上支付——加密算法里的每一步，都在做「取余数」。
带回家的一句话：整除特征不是为了少做一步除法，而是让您看见「数的形状」。看见形状，才算真的认识了数。
p.35对弈赛
整除抢答赛
赛制（4 人一组，两两对阵，共三轮）：裁判报出一个数与一个除数（如「3712 能不能被 4 整除」），双方同时抢答「能 / 不能」，并说出依据。抢答正确得 2 分，依据说得清再加 1 分，抢答错误扣 1 分。
第一轮·基础三法在 2、3、5 中随机指定除数，报数抢答。
第二轮·进阶指定 4、8、9、11，报数抢答，必须说出「看末两位 / 末三位 / 数字和 / 奇偶位差」。
第三轮·填空题「4□2 能被 9 整除，□ 是几？」谁先算出并说明得 3 分。
加分题说出 3960 能被几个不同的数整除（2、3、4、5、8、9、10、11 等），答得多的加分。
赛后复盘：抢答错的，多是「心里急着喊、没看清除数」。先默念一句「除数是几，该看哪里」，再开口。
p.36游戏·任务
验证车牌号的整除特征
任务 ① 记下家里或小区里 5 个车牌号（只取其中的数字部分）；② 对每个号码分别判断：能否被 3、9、4、11 整除；③ 把依据（数字和、末两位、奇偶位差）写清楚；④ 找出一个「能被 11 整除」的车牌号，作为本任务的冠军。
| 号码（数字部分） | 能被 3？依据 | 能被 9？依据 | 能被 4？依据 | 能被 11？依据 |
|---|
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做完再想一个「实用」的问题：如果银行排队号码是 4 位数字，怎样设计一个规则，让 11 号窗口、22 号窗口能一眼看出该去哪个窗口？
第 5 单元 · UNIT 5
折纸与对称
p.37–45 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.37导入
一张纸的几何学
王老师给每人发一张正方形纸。「不用尺子、不用量角器，就靠折，您能做出什么？」
小杏对折两次，展开了四个一样的小正方形，中间是一个「十」字折痕。阿禾把纸沿对角线折，得到等腰直角三角形。图图折着折着喊起来：「我折出的这些折痕，全都是对称轴！」
看得出来吗？对折后两边能完全重合的那条折痕，就是一条对称轴。正方形有 4 条对称轴；折出来的直角，比量角器还准。
王老师说：「折纸是最便宜的几何实验室。折痕会告诉您角度、告诉您对称、告诉您中点在哪里。这一站，我们用一双手把几何折出来。」
p.38规则
折纸基础折法
本游戏的规则：所有图形只能靠「折」得到，不许用尺量、不许用笔标注后再折。
折法一（对折）。把纸的两边对齐压平，折痕在正中——得到二等分，同时得到一条对称轴。再对折一次即四等分。
折法二（对角折）。把两个对角对齐压平——折痕是对角线，同时也是对称轴，还折出了 45° 角。
折法三（边对边、点对点）。把一条边折到另一条边上（边对边），折痕与两边平行；把一点折到另一点上（点对点），折痕是这两点连线的垂直平分线。
折法四（压痕定长）。折的时候把「重叠的部分」压出痕迹后展开，痕迹的端点就是中点或等分点——不用尺也能找出中点。
计分。折法正确 1 分；说出折痕是什么（对称轴 / 中线 / 垂直平分线）1 分；折出的角或长度正好符合要求再加 1 分。
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games/p5-2.html?u=5
p.39试玩
折对称图形
热身三式，折完就把纸打开看痕迹。
试玩 1·折直角与 45°。正方形沿对角线折一次，得到一个等腰直角三角形，它的两个锐角都是 45°；再把这条对角线与一条边重合折一次，可以折出 22.5°。
试玩 2·折对称轴。正方形有 4 条对称轴：两条「边对边」的中线，两条对角线。折一折就会明白：折痕两边的图形能完全重合，这条折痕就是对称轴。
试玩 3·折正三角形。把正方形对折找到中线，再把一个顶点折到中线上，使折线过另一个顶点——压平后展开，可以折出一个正三角形（六十度角）。折的过程就是「用纸做圆规」。
动手 1折出正方形的一条对称轴，并检查两边是否完全重合。
动手 2折出一个 45° 角与一个 22.5° 角，比一比谁更准。
动手 3折出一个正三角形，用三角尺量一量它的三个角。
说一句「折痕＝对称轴＝两边的点一一对应」，把这句话写在纸背上。
p.40策略
折出三等分线
二等分很容易，三等分就难了——这是折纸里的经典难题。
方法一（S 形调整法，小学最实用）。把纸弯成一个「S」形：上段向左折、中段向右折、下段再向左折，让三段尽量一样长；反复滑动调整三次，直到三段看起来完全重合，压平——就得到了三等分。手感比计算更直接。
方法二（对角交点法，比较精确）。① 先把正方形对折，得到左右两条半边的中线；② 把右上角折到左边中点，压出折痕；③ 把左上角折到右边中点，压出折痕；④ 两条折痕与上下边的交点，把边分成三等分。这套折法的原理正是「相似三角形」——您已经在用比例了。
方法三（纸条打结法）。用一条等宽长纸条打一个平结（像系鞋带那样），轻轻拉紧压平，结的中间部分正好是一个正五边形——它天然把纸条的长分成五等份。
策略小结。「能折出几等分」取决于能不能找到成比例的交点。折纸大师（如日本的吉泽章）发明了大量精确折法，把「折」变成了可以严格证明的几何构造。
p.41进阶
折正五边形
正五边形是折纸里最漂亮的一道题，因为它的每一个角都是 108°，不能靠简单的对折得到。
打法（纸条打结法，成功率最高）。① 取一条宽约 2 厘米、长 30 厘米左右的纸条；② 在纸条的一端打一个松的「平结」；③ 慢慢拉紧——注意不要拉出死褶；④ 压平后，把多余的两端剪掉或折进去。您就得到一个正五边形。
验证。量一量五个内角：每个都是 108°；量一量五条边：一样长。若角度偏了，说明拉结时用力不均。
为什么打结能出正五边形？因为打结的动作强制纸条的等宽边「自相缠绕」——每条边被折成同样的角度，五次之后正好闭合。这背后是「等宽曲线的对称性」，也是折纸与数学最迷人的相遇处。
更进一步。用折纸还能折出正六边形（由正三角形拼成）、正八边形（不断对折角），甚至折出圆（用许多短折痕逼近）。能被折出来的正多边形，本质上都对应着「能不能用尺规作出来」这个古老的问题。
动手做：把折好的正五边形贴在纸上，旁边写上「五个角都是 108°，五条边一样长」，这就是一份完整的几何作业。
p.42复盘
折痕里的几何
把这一站折过的纸展开，一起读读那些折痕。
对折痕对称轴；两侧图形全等；折痕上的点到两侧对应点距离相等。
对角折痕也是对称轴；把直角平分为 45°；正方形两对角线的交点是中心。
点对点折痕两点的垂直平分线；线上任一点到两点距离相等。
边对边折痕与两边平行的中线；折出来的长是原长的一半。
多次折叠每折一次，边数或份数翻倍：2 → 4 → 8 → 16。
打结折法等宽纸条自缠绕，得到正五边形等高度对称的图形。
一句话总结。「折」这个动作，天生对应三种几何对象：对称轴、垂直平分线、角平分线。所以折纸不是手工，而是把几何定理做到了手上。
复盘一问：为什么对折后两边「一定」重合，而不是「大概」重合？因为折纸的物理约束强迫每条垂直折痕保持两边点距相等——物理定律替您执行了数学定理。
p.43思想卡
p.7
折纸是手上的几何学〔勾股〕
几何（geometry）这个词的本义是「土地测量」。可以说，几何从诞生起就长在手上。后来欧几里得把它写成了纯粹的逻辑体系，用「公理—证明」来说理；但还有一个传统从未断过：靠折、靠拼、靠摆，把道理做出来给您看。
折纸（origami）本来是中国与日本流传千年的民间手艺，二十世纪以后却变成数学的正经研究对象：折纸的每一条折痕都对应一条「点对点」「边对边」的构造，折纸公理（藤田公理）比圆规和直尺能做的事更多——有不少用尺规作不出的图形，用折纸能作出来。而《九章算术》卷九「勾股」章的许多结论，古人也是靠折纸与拼图来验证的：折一折、量一量，看到三个正方形的关系，道理自然浮出水面。
所以别小看这一张纸。您今天折出的直角，和三千年前工匠拉起绳子定直角（「勾三股四弦五」的「绳」）用的是同一件事：让手上的动作，替您把几何定理一次一次地重复正确。
带回家的一句话：折痕是纸上写着的定理；读得懂折痕，您就读得懂几何。
p.44对弈赛
折纸创意赛
赛制（4 人一组，两两对阵，每组一张正方形纸与一张长纸条，共三轮）：
第一轮·折角裁判报一个角度（45°、22.5°、67.5°），先折出的得 2 分，并说出「折了几次、依据是什么」再加 1 分。
第二轮·折等分折出正方形的三等分线，先完成且三段抽查均匀者得 3 分。
第三轮·折正多边形用长纸条打结折出正五边形，量角验证（每个角 108°），得 3 分。
加分题折出一个正三角形，并说明为什么它的三个角都是 60°，加 2 分。
赛后复盘：折不准的原因几乎都是「没压平」。每一次折都要把折痕压到能留下清楚的白线——这一步看似小事，却决定了后面所有角度准不准。
p.45游戏·任务
折一件作品并讲折痕原理
任务 ① 折一件自己的作品（千纸鹤、纸船、五边形、正方形窗花，任选）；② 展开作品，把折痕画成一张「折痕图」；③ 在图上标出哪几条是对称轴、哪几条是垂直平分线、哪些角是 45° 或 90°；④ 向家人讲一次「我的折痕里有什么几何」。
讲的时候慢一点，指着一张折痕图说：「这两条是对称轴，因为两边能完全重合；这条是垂直平分线，因为它把两个点连线的中点垂直于……」能说清一句，就懂了。
第 6 单元 · UNIT 6
约分与通分游戏
p.46–54 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.46导入
同一个分数的不同面孔
四个人各拿一张同样大的饼（印在纸上的圆形）。他们要表示「同样多」，写法却不一样：
小杏写 12；阿禾写 24；图图写 48；第四位同学写 816。
王老师把四张纸叠在一起对着光看——涂色的部分完全重合。
图图纳闷：「数字完全不一样，怎么会同样多？」阿禾看出来了：「2 是 1 的两倍，4 也是 2 的两倍——分子分母同时乘了同一个数，大小不变。」
王老师说：「这就是分数最动人的地方：同一个值，可以有好几种面孔。会换面孔，就是这一站要练的本事——约分与通分。」
p.47规则
分数变形守恒规则
本游戏的规则：每换一次「面孔」，都要说清「乘了几」或「除了几」。
规则一（乘除守恒）。分数的分子和分母同时乘或同时除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。这就是分数的基本性质。
规则二（约分有终点）。约分要除到「分子分母只有公因数 1」为止，得到的是最简分数。48 → 24 → 12，12 是最简的。
规则三（通分要统一）。通分是把分母不同的分数化成同分母的分数，通常取原来分母的最小公倍数作公分母。
计分。约分到最简 1 分；说出用了什么公因数 1 分；通分后公分母取最小者再加 1 分。
记牢一句话：约分是「除以」，通分是「乘」。两者都遵守同一条守恒规则。
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games/p5-2.html?u=6
p.48试玩
约分接龙
玩法：前一人给一个分数，后一人说出「用几除」，把结果写出来，直到最简为止；接不上的淘汰。
接龙示范 1。1218 →（同时除以 2）69 →（同时除以 3）23。2 与 3 只有公因数 1，结束。
接龙示范 2（一步到位）。1824：分子分母的最大公因数是 6，直接同时除以 6，得 34。分两步、一步都对，结果相同。
常见例子。1525 ＝ 35；2436 ＝ 23；4560 ＝ 34；2842 ＝ 23。
自查办法。约分是否到底，只要看「分子分母还能不能同时被 2、3、5……整除」。最快的检查：分子分母的分质因数分解有没有共同项——有共同项就还能约。
别担心「是不是还能约」：能一眼看出大公因数就用大的（18/24 用 6），看不出就一步步试 2、3、5。两条路都对。
p.49策略
最大公因数先行
一步到位的秘诀是：先找最大公因数。
短除法求最大公因数。求 24 与 36 的最大公因数：24 ＝ 2 × 2 × 2 × 3，36 ＝ 2 × 2 × 3 × 3。两边都有的部分是 2 × 2 × 3 ＝ 12，所以最大公因数是 12。
短除法的写法。把两数并排，左边用公共质数除：24、36 都除以 2 得 12、18；再除以 2 得 6、9；再除以 3 得 2、3。左边的除数相乘 2 × 2 × 3 ＝ 12，就是最大公因数。
顺带求出最小公倍数。同一张短除表里，左边除数相乘再乘最下面剩下的两个数：12 × 2 × 3 ＝ 72，就是 24 与 36 的最小公倍数。一张表出两个结果，非常省事。
两个快捷情形。① 两数成倍数关系时（如 6 与 18）：最大公因数是较小的那个（6），最小公倍数是较大的那个（18）；② 两数互质时（如 8 与 9）：最大公因数是 1，最小公倍数是它俩的乘积（72）。
策略小结：先求最大公因数，约分就一步到位；先求最小公倍数，通分就一步到位。两个「最」是这一站的两把钥匙。
p.50进阶
通分比大小
分母不同怎么比大小？把它们化成同分母的分数——就像量长度先要统一单位。
例 1（通分比大小）。比较 23 与 35。3 与 5 的最小公倍数是 15：23 ＝ 1015，35 ＝ 915；10 > 9，所以 23 ＞ 35。
例 2（一个分母是另一个的倍数）。比较 34 与 58：公分母直接取 8，34 ＝ 68 ＞ 58。
例 3（化小数更快的情形）。比较 12 与 25：1 ÷ 2 ＝ 0.5、2 ÷ 5 ＝ 0.4，立刻看出 12 ＞ 25。
例 4（三个分数排序）。把 12、23、34 从小到大排：公分母 12，化成 612、812、912，得 12 ＜ 23 ＜ 34。
三个小窍门。① 分子相同、分母不同：分母小的那个分数大（13 ＞ 15）；② 都接近 1 时，看「离 1 差多少」（45 差 15，56 差 16，所以 56 更大）；③ 拿一个中间数（如 12）作参照。
p.51复盘
公因数公倍数对照
约分靠公因数，通分靠公倍数。把两件事并排放在一起看，就再也不会混。
公因数·干什么用约分（把分数变小变简）。
公因数·要哪个最大公因数，一步约到最简。
公倍数·干什么用通分（把分母统一）。
公倍数·要哪个最小公倍数作公分母，数最小最好算。
两者相同的道理都是把两个数「配对」：公因数是共同的「拆」法，公倍数是共同的「凑」法。
一句话记忆约分用除、通分用乘；都靠分子分母同时动、大小不变。
一句串起来。比较两个分数：先通分（最小公倍数），变成同分母，再看分子大小；比较完若要答案简洁，再约分（最大公因数）。一乘一除，正是一套完整的流程。
复盘一问：为什么通分时不挑「两个分母相乘」作公分母？因为那往往不是最小公倍数，会让数字变大、容易算错。
p.52思想卡
p.7
变形不变值〔少广〕
整张卡只讲两个字：守恒。分数变了面孔，值却没变——因为它只是把「每个小份」换成更小的单位，份数也跟着换了。12 换成四分之一的尺子来数，就是 2 个，所以写成 24。这份「换尺子不减量」的信念，就是它守恒的理由。
守恒是数学里最有威力的思想之一。您在几何里见过它：剪拼图形时，形状变了、面积不变。您在计算里也见过：等式两边同加同减，等式不变。现在您又在这里见到它：分子分母同乘同除，分数不变。同一个念头，在三个地方长出了三棵不同的树。
中国古人在《九章算术》里大量使用这份信念。「方田」章讲分数加法，要先「通分」——把不同的分数单位统一成同一种小份；「少广」章讲求边长与开方，要反复换算再比较。古人把这套操作叫「齐同术」：「齐」是让分数大小统一，「同」是让分母统一。四个字，说的就是今天课本里的约分与通分。
带回家的一句话：约分、通分看似两种技术，其实是一种信念——样子可以换，值不能变。
p.53对弈赛
约通分对局
赛制（4 人一组，两两对阵，每组一副分数卡片，共三轮）：
第一轮·约分抢答裁判亮出一张分数卡，先说出最简分数者得 2 分，说明用了几除再加 1 分。
第二轮·比大小亮出两张卡（如 56 与 79），用通分法比出大小并写出过程，得 3 分。
第三轮·找等值从桌上 12 张卡中，找出与 23 等值的所有卡片，找全得 3 分。
加分题说出「分子分母都加 1 分数会不会变大」，并举一个例子验证（如 12 → 23 变大，但 32 → 43 变小），加 3 分。
赛后复盘：比大小出错，八成是通分算错。养成习惯：先写公分母，再写两个新分子，最后才比较。三步分开写，就不乱。
p.54游戏·任务
制作分数等值卡片
任务 ① 剪 12 张同样大的卡片，每张写一个分数；② 其中要有 4 组「等值」的分数（如 12／24／36／48 为一组）；③ 背面画一个同样大小的圆或长方形，把涂色部分按分数涂出来；④ 打乱后请家人玩「配成一对」的游戏，看他要多久配对完成。
| 第几组 | 卡片上的分数 | 最简分数 | 涂色是否重合 |
|---|
| 一 | | | |
| 二 | | | |
| 三 | | | |
| 四 | | | |
检验卡片做对没有：把每组卡片背面的涂色图叠在一起对着光看——完全重合，说明这组分数确实等值。
第 7 单元 · UNIT 7
勾股故事：正方形拼图
p.55–63 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.55导入
2000 年前的正方形谜题
王老师在黑板上画了一幅古旧的图：一个大正方形，里面斜放着四个一模一样的直角三角形，围出中间一个小小的正方块。
「这幅图叫弦图，两千年前中国人就画出来了。」王老师说，「它想回答一个问题：一个直角三角形的三条边，到底有什么关系？」
先看清图。① 外面的大正方形，边长是三角形的斜边；② 里面的四个三角形，直角边分别是勾（短边）和股（长边）；③ 中间留下一个小正方形，边长是「股 − 勾」。
阿禾盯着看：「这么大一幅图，只用来算一块面积？」王老师笑：「它算的正是三边的关系。今天我们用剪刀和纸，把这幅图拼出来。」
「这一站不背公式，只做一件事：用两种方法算同一块面积，让答案自己跳出来。」
p.56规则
弦图规则
本游戏的规则（拼之前先读清，否则拼出来也不成图）：
规则一（四个三角形全等）。四张三角形纸片必须完全一样：直角边一长一短，直角在两短边的夹角处。
规则二（旋绕摆法）。四个三角形依次旋转摆放：每一个都由前一个旋转 90° 得到，斜边围成外面的大正方形，直角留在内侧。
规则三（中间留出小正方形）。四个直角三角形摆好后，中间要正好空出一个小正方形，边长等于「长直角边 − 短直角边」。
规则四（两条路算面积）。拼成后必须写出两个算式：① 直接用大正方形边长算；② 用「四个三角形 ＋ 中间小正方形」算。两式相等，结论自现。
计分。拼图正确 1 分；两个算式都写对 2 分；能说出「面积没变」的依据再加 1 分。
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p.57试玩
拼弦图初体验
先用最简单的「勾三股四」试一次。
准备。剪 4 个直角三角形纸片，直角边分别是 3 厘米与 4 厘米（用方格纸剪最容易，直角边正好数格子）。
拼。把四个三角形绕中心依次旋转 90° 摆好。看两件事：外面的四条斜边连成了什么？中间空出来的小正方形边长是多少？
数一数。斜边长 5（因为方格纸上从一端到另一端是「横 4 竖 3」，正好数得 5 格）；中间小正方形边长 4 − 3 ＝ 1。
第一算（大正方形）5 × 5 ＝ 25（平方厘米）。
第二算（四块三角形）每个 3 × 4 ÷ 2 ＝ 6，四个共 6 × 4 ＝ 24。
第二算（加中间小正方形）24 ＋ 1 × 1 ＝ 25。
看见什么两次都是 25，严丝合缝——图没有说谎。
如果拼出来「对不上」，通常是某个三角形转错了方向。检查办法：让每个三角形的直角都朝里、斜边都朝外。
p.58策略
面积关系观察
把刚才两次计算写成字母，结论就跑出来了。
设勾为 a、股为 b、斜边为 c。
第一算（大正方形）。边长是斜边 c，面积 c2。
第二算（四块三角形）。每个三角形面积 ab ÷ 2，四个共 4 × (ab ÷ 2) ＝ 2ab。
中间小正方形。它的边长是 b − a，面积 (b − a)2 ＝ b2 − 2ab ＋ a2。
两算相等。c2 ＝ 2ab ＋ (b2 − 2ab ＋ a2)。中间的 2ab 与 −2ab 正好抵消，得 c2 ＝ a2 ＋ b2。
这就是勾股定理。直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。用「勾三股四」验算：32 ＋ 42 ＝ 9 ＋ 16 ＝ 25 ＝ 52 ✓
策略小结：整幅图只做了三件事——摆图、两条路算面积、让它们相等。这就是「面积法」，是几何里最有力的工具之一。
p.59进阶
赵爽弦图完整版
现在把它做成一幅完整的「赵爽弦图」，并读懂古人的注文。
图的构造（严格描述）。取四个全等直角三角形，直角边为 a（勾）与 b（股），斜边为 c（弦）。将它们绕中心依次旋转 90° 放置：每条斜边成为外大正方形的一条边，四个直角朝内，中间留出边长为 b − a 的小正方形。
两种算面积（完整版）。
① 大正方形：c2；
② 四三角形 ＋ 小正方形：2ab ＋ (b − a)2；
③ 两边相等并展开：c2 ＝ 2ab ＋ b2 − 2ab ＋ a2 ＝ a2 ＋ b2。
另一种证法（拼成两个正方形）。取两个边长都是 a ＋ b 的大正方形，第一种摆法放 4 个三角形（中间留 c2），第二种摆法放同样 4 个三角形（中间留 a2 ＋ b2 两块）。两个大正方形去掉同样四个三角形，剩下的面积必然相等 → c2 ＝ a2 ＋ b2。这就是古希腊欧几里得《几何原本》里的经典做法。
动手做：用方格纸剪两套 4 个三角形（勾 3 股 4），按两种摆法各拼一次，亲眼确认「剩下的面积一样」。
p.60复盘
勾股定理图形初感
我们做了很多摆弄，回头看，它到底说明了什么、又有什么用？
它说什么直角三角形两条直角边的平方和 ＝ 斜边的平方。
怎么来的不是背的，是「同一块面积两种算法」算出来的。
用它能做什么已知两边求第三边；判断三角形是不是直角；量对角线、算距离。
为什么叫「勾股」古人把直角三角形的短边叫「勾」（也写作「句」）、长边叫「股」，斜边叫「弦」。
为什么这幅图珍贵它是中国最早的、用面积法证明勾股关系的图，比欧洲同类记录早很多。
还能再远吗能。它是一切的起点：距离公式、三角学、解析几何都从它长出来。
初感的意义。今天不需要您写严格的证明，只要您有两个「体感」：① 定理是看得见的；② 证明是算同一块面积的两种方法。这两个体感，比背公式重要得多。
复盘一问：如果三角形不是直角三角形，a2 ＋ b2 与 c2 还相等吗？试一试、猜一猜——这个「猜」的方向，正是初中会学到的重要结论。
p.61思想卡
p.7
〔勾股〕弦图：中国几何的骄傲
这幅图的名字叫弦图，因为它以「弦」（斜边）为边做成大正方形。三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时画出了它，并写下一段极简的注文，大意是：四个直角三角形，勾股各自相乘、再折半，中间留出一个小正方形，拼起来正好是大正方形——于是「勾股各自乘，并而开方除之，即弦」。
这句话用今天的符号写，就是 c ＝ √(a2 ＋ b2)。更早的记载还在《周髀算经》里：商高与周公对话，说出「勾三股四弦五」——这是全世界最早的勾股数记录之一。而《九章算术》卷九「勾股」章，整整一卷都在处理与直角三角形有关的实际测量问题：测高、测远、测深，全从这条三边关系出发。
为什么中国数学特别爱用「面积+拼图」来说理？因为我们做的数学要能落地：量田、筑城、修渠、造楼，都要让人看得见、照着做。弦图正是这种气质的结晶：一张图，胜过一大段推理。它是一份能上手的证明，也是中国几何给世界的礼物。
带回家的一句话：勾股定理不只是一条公式，它是「同一块面积、两种算法」的胜利。
p.62对弈赛
弦图拼装赛
赛制（4 人一组，两两对阵，每组一套方格纸与剪刀，共三轮）：
第一轮·拼图用勾 3 股 4 的四个三角形拼出弦图，先拼成、中间小正方形边长正确者得 2 分。
第二轮·算面积写出两条路的算式并算出数值（25 ＝ 24 ＋ 1），写全得 3 分。
第三轮·换一组数改用勾 6 股 8 的三角形（斜边 10），重复一次，验证 36 ＋ 64 ＝ 100，得 3 分。
加分题用「两个大正方形」的摆法再证一次，说清「同样去掉四个三角形」，加 3 分。
赛后复盘：拼装题的关键是「直角朝内、斜边朝外」。若拼不成，先别怀疑定理——检查是不是有个三角形放反了。
p.63游戏·任务
拼一幅弦图装裱
任务 ① 用两种颜色以上的纸，剪出四个全等直角三角形与一个小正方形；② 在 A4 卡纸上拼出完整的弦图；③ 在图的旁边写出两个算式（大正方形面积、四三角形加小正方形面积）与结论 a2 ＋ b2 ＝ c2；④ 写上您的名字与日期，做成一张可以挂起来的小作品。
| 勾 a | 股 b | 弦 c | 四点三角形面积 | 小正方形面积 | 验证 |
|---|
| 3 | 4 | | | | |
| 6 | 8 | | | | |
| 5 | 12 | | | | |
第三行的 5、12 有点特别：斜边是多少？（提示：25 ＋ 144 ＝ 169）古人把 3-4-5、5-12-13 这样的整数组叫「勾股数」，去找找还有哪些。
第 8 单元 · UNIT 8
游戏站：数与式游戏周
p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.64导入
游戏周开幕
冬季段最后一站。王老师在教室前面挂起一条横幅：「数与式游戏周」。黑板上画了五道门，每道门上写着一件这一季学过的东西。
五道门。① 分解质因数；② 整除特征；③ 分数墙与分数单位；④ 约分与通分；⑤ 弦图与勾股。
图图看着看着笑了：「这不就是我们这几个月玩过的东西吗？」阿娇点头：「是，但这次要连起来玩——一关一关往后走，最后拼弦图。」
王老师说：「这一站不一样：不是我教各位读者，是各位读者自己闯关。规则我讲一遍，剩下的靠各位读者排兵布阵。」
p.65规则
积分与关卡
本游戏的规则（游戏周总章程）：
规则一（五关顺序）。必须按 ① → ② → ③ → ④ → ⑤ 的顺序闯关。前一关通过，才能进入下一关。
规则二（积分）。每关满分 10 分：做对一题得 2 分，超过半数题目正确即可过关；五关全部通过并累计 40 分以上，评为「数与式达人」。
规则三（讲理加分）。每关若能用一句话说清「这一关的方法为什么对」，额外加 3 分。答对不等于讲清。
规则四（互助记分）。同组同学卡住时，允许提示一句，但小组总分扣 1 分——合作有代价，也有价值。
目标。五关总积分最高者获胜，同时评出「讲得最清楚」的一个人。这两个奖项，分量一样重。
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p.66试玩
关①分解②整除
前两关是数论关，先热热身。
关①·分解质因数。
① 36 ＝ 2 × 2 × 3 × 3 ＝ 22 × 32；
② 84 ＝ 2 × 2 × 3 × 7；
③ 105 ＝ 3 × 5 × 7；
④ 判断 97 是质数还是合数：试 2、3、5、7 都不能整除，97 是质数；
⑤ 求 36 的因数个数：(2 ＋ 1) × (2 ＋ 1) ＝ 9 个。
关②·整除特征。
① 判断 4512 能否被 3 整除：数字和 4 ＋ 5 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 12，能 → 能；
② 能否被 4 整除：末两位 12 ✓ → 能；
③ 能否被 9 整除：数字和 12 不能被 9 整除 → 不能；
④ 判断 2728 能否被 11 整除：奇数位 8＋7＝15，偶数位 2＋2＝4，差 11 ✓ → 能；
⑤ 说出「能被 15 整除」要同时满足什么：既能被 3 整除，又能被 5 整除。
过关标准：五题做对三题以上，并说出每题的判断依据。
p.67策略
关③分数墙④变形
中两关是分数关，要靠手里的纸片。
关③·分数墙与分数单位。
① 58 的分数单位是什么？有几个这样的单位？——18，5 个；
② 用分数墙比较 34 与 58：34 ＝ 68 ＞ 58；
③ 把 94 化成带分数：9 ÷ 4 ＝ 2 余 1，得 214；
④ 12 颗糖的 14 是多少颗？——12 ÷ 4 ＝ 3 颗。
关④·约分与通分。
① 约分 2436 ＝ 23（最大公因数 12）；
② 通分比较 56 与 79：1518 与 1418，得 56 ＞ 79；
③ 把 23 化成分母为 12 的分数：812。
策略提示：分数关最容易乱，办法是每道题先在旁边写一句「我要做什么」——是约分（除）还是通分（乘）。写清了再动笔。
p.68进阶
关⑤弦图终极
最后一关是手里的活：拼图 ＋ 说理。
关⑤·弦图终极。
① 用四个勾 3 股 4 的直角三角形拼出弦图，中间小正方形的边长是多少？——4 − 3 ＝ 1；
② 大正方形的面积是多少？——5 × 5 ＝ 25；
③ 四个三角形的面积和是多少？——(3 × 4 ÷ 2) × 4 ＝ 24；
④ 写出结论并说明来历：c2 ＝ a2 ＋ b2，由「同一块面积两种算法」得到。
加试（挑一个）。① 改用勾 5 股 12，求出弦长（25 ＋ 144 ＝ 169，弦 = 13）；② 反过来问：如果一个直角三角形的两直角边为 8 和 15，斜边是多少？（64 ＋ 225 ＝ 289 ＝ 172，斜边 17）
拼图时记住两条口诀：直角朝内、斜边朝外；四个三角形依次旋转 90°。这两条做到，图就成了。
p.69复盘
数论与分数知识树
五关走完，把这一季学过的东西连成一棵树。
树根·数的积木质数与合数；分解质因数；唯一分解。
树干·整数的结构因数与倍数；公因数与公倍数；整除特征。
树枝·分数的来历单位「1」；分数单位；真分数与假分数。
树枝·分数的变形约分（除）与通分（乘）；比大小。
树冠·面积与证明剪拼证明；弦图；勾股关系。
共同的方法转化（换单位、换形状、换面孔），一切不变的是「值」。
复盘三问。① 这一季我学到的方法里，哪一条用得最多？（多半是「转化」）② 哪一关我卡得最久？为什么？③ 如果让我给同学出题，我会出哪一道？能出题，才算真的会了。
老师说：「数学不只是一堆孤立的技巧。它像一棵树——根是质数，干是整除与因数，枝是分数，冠是证明。看清了整棵树，您就知道自己学的是什么。」
p.70思想卡
p.7
数的结构之美
这一季我们把「数」翻来覆去地看了一遍，您可能已经感觉到：数不是一排排在数轴上的点，它们有结构。
看几件事：质数是数的原子，任何数都能唯一地分解成它们（算术基本定理）；整除特征让「一个数能不能被 3 整除」变成「看几个数字的和」这件极轻的事；分数的分子分母可以同时乘除而不改值（守恒）；直角三角形的三边又用一次面积计算连成 a2 ＋ b2 ＝ c2。它们看起来毫不相干，却总能被「转化」与「守恒」这两条线串起来。
这种「明明是分开的东西，背后却是一回事」的感觉，就是数学的美。古希腊人第一次把「数」当成独立的研究对象（毕达哥拉斯学派相信「万物皆数」）；中国古人把它用在具体的算与量上，也在《九章》里留下了极精密的算法。两条路都很了不起——一条问「数是什么」，一条问「数能做什么」，合起来才是完整的数学。
带回家的一句话：数学的美不在难，而在「居然对得上」。学会了欣赏这种吻合，您就会一直想往下走。
p.71对弈赛
综合冠军赛
赛制（4 人一组，两两对阵，五关连闯，限时 25 分钟）：
开场两队各领一张「闯关卡」，从关①开始，做完一关举手请裁判核对，核对通过才能进下一关。
关卡题目关①分解（36、84、105）；关②整除（4512 的 3 与 4；2728 的 11）；关③分数（58 的单位、94 化带分数）；关④约通分（2436 约分、56 与 79 比大小）；关⑤弦图（拼图＋两个算式）。
计分每关全部正确得 6 分；有错则该关只得 2 分（不返还重做）；讲理关卡每关另加 3 分。
评奖总分最高者「数与式达人」；讲理得分最高者「最佳讲解员」。
赛后复盘：冠军队往往不是算得最快的，而是每关只核对一次、一次就过。快的秘诀是稳，不是赶。
p.72游戏·任务
假期数论题打卡
任务 ① 假期里连续 7 天，每天做 1 道数论小题（分解、整除、分数、勾股任选）；② 写下题目、过程、依据；③ 每天请家长或同学打一个勾；④ 7 天结束后，把自己出的最有意思的一道题寄给老师。
小提示：可以每天换一个题型，也可以同一个数（比如今年的年份）用不同的方法研究七天——一个数看久了，您会认识它。
