九章格数学 PhiloMath · K2C 正文 · P 段

因倍与立体

P5-3 · 春季下册（编目代号 P5-3）· 主轴：少广 · 商功 · 正文编写版 · 已完成 72/72 页 · 2026-09-15

小学高段 · 五年级72 页＝ 8 单元 × 9 页体例：导入＋精讲＋练习＋思想卡＋游戏主轴：少广 · 商功

春日数韵

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〇体例说明（写给小读者和家长）

体例

本书怎么读：一个单元九页

全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右下角，如 3.14，小数乘法先按整数相乘再点上小数点，小数除法把除数变成整数再除；未知数用字母 x 表示，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；＞＜ ≥ ≤ 各就各位，中括号写成［　］；上标用小肩数字，如 1 平方米＝10000 平方厘米、1 立方分米＝1000 立方厘米。因数与倍数：2、5、3 的倍数特征；体积与容积单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、升（L）、毫升（mL）。

第 1 单元 · UNIT 1

因数与倍数

p.1–9 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1

p.1导入

12 个同学怎么排队形

体育课上，12 个同学要排成整齐的长方形队伍（每行人数一样多，每列人数也一样多）。王老师问：「有几种排法？」

排一排看。可以排成 1 行 12 人、2 行 6 人、3 行 4 人，也可以 4 行 3 人、6 行 2 人、12 行 1 人——一共 6 种。

阿禾看着名单说：「能排成的行数，就是能整除 12 的数。」小杏补充：「1、2、3、4、6、12，正好是 12 的全部因数。」

图图问：「那 7 个人呢？」大家一起试：除了 1 行 7 人、7 行 1 人，再排不出别的长方形了。

王老师说：「一个数能排出多少种长方形，取决于它有多少个因数。因数多的数『多才多艺』，因数少的数『孤零零』。这一单元，我们就把数与数之间的这种关系理清楚。」

p.2精讲

因数与倍数的意义

两个概念，一对比就清楚了。

因数与倍数。如果 a × b ＝ c（a、b、c 都是不为 0 的自然数），那么 a 和 b 都是 c 的因数，c 是 a 和 b 的倍数。例：3 × 4 ＝ 12，3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数。

例 1（找一个数的因数）。找 18 的因数：一对一对找——1 × 18、2 × 9、3 × 6，所以 18 的因数是 1、2、3、6、9、18，共 6 个。

例 2（找一个数的倍数）。3 的倍数：3、6、9、12、15、18、21…… 写不完，末尾要加省略号。

两条重要事实。① 一个数的因数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它自己；② 一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它自己。

例 3（不能说的两句话）。「1 是因数」不完整——必须说「1 是 18 的因数」；「12 是倍数」也不完整——必须说「12 是 3 的倍数」。因数与倍数必须成对出现，不能单独说。

小陷阱：0 不参与这套关系（因为 0 × a ＝ 0，会破坏「因数是有限的」这条规则）；1 只有 1 个因数，它自己。

p.3精讲

2、5、3 的倍数特征

不用除法，看几个数字就能判断——这套「特征」非常省力。

2 的倍数。个位是 0、2、4、6、8。这样的数叫偶数；否则叫奇数。

5 的倍数。个位是 0 或 5。

3 的倍数。各位数字之和是 3 的倍数。例：123 的数字和是 6，所以 123 是 3 的倍数。

同时满足。是 2 的倍数又是 5 的倍数 → 个位是 0；是 2 的倍数又是 3 的倍数 → 是 6 的倍数；是 3 的倍数又是 5 的倍数 → 是 15 的倍数。

例 1　在 170、225、336、405 中，哪些是 3 的倍数？数字和分别是 8、9、12、9，所以 225、336、405 是 3 的倍数。

例 2　既是 2 的倍数又是 5 的倍数的最小三位数是 100。

为什么 3 的倍数要看「数字和」而 2、5 只看末位？因为 10 能被 2 和 5 整除，所以前面的位都不用管；而 10 不能被 3 整除，每位都会留下「余数」，必须合起来看。

p.4精讲

质数与合数

按「因数有几个」给自然数分类（0 除外）。

三类数。① 质数（素数）：只有 1 和它自己两个因数，如 2、3、5、7、11、13……；② 合数：除 1 和它自己外还有别的因数，如 4、6、8、9、10……；③ 1：只有 1 个因数，既不是质数也不是合数。

回顾　上一册「分解质因数」一站，我们从分解的角度认识过质数：大于 1 的自然数，只能分解为 1 与它自身的乘积（平凡分解）——它的小方块只能排成一行或一列。今天按「因数个数」再定义一次，两种说法说的是同一件事。从分解的角度定义质数是有益处的：分解质因数，正是把每个数拆回这些积木。

例 1　判断：17 是质数（因数只有 1、17）；21 是合数（3 × 7）；2 是质数——2 是唯一的偶质数。

例 2（分解质因数）。36 ＝ 2 × 2 × 3 × 3 ＝ 2² × 3²；45 ＝ 3 × 3 × 5；91 ＝ 7 × 13。

例 3（求因数个数）。由 36 ＝ 2² × 3² 得因数个数 (2 ＋ 1) × (2 ＋ 1) ＝ 9 个。

20 以内质数表。2、3、5、7、11、13、17、19（共 8 个）。记住它，分解质因数时会快很多。

判断一个大数是不是质数：只需用不超过它平方根的质数去试。例：判断 97，试 2、3、5、7（7² ＝ 49 ＜ 97 ＜ 121）都不行，就是质数。

p.5精讲

最大公因数与最小公倍数

把两件事一起学，效率最高。

例 1（求最大公因数）。求 24 与 36 的最大公因数：分解得 24 ＝ 2 × 2 × 2 × 3、36 ＝ 2 × 2 × 3 × 3，公共部分是 2 × 2 × 3 ＝ 12。

例 2（求最小公倍数）。同样两数：全部质因数取「较多的那一份」相乘，2 × 2 × 2 × 3 × 3 ＝ 72。

短除法一表两用。把 24、36 并排，左侧用公共质数除到底：
24、36 ÷ 2 → 12、18；再 ÷ 2 → 6、9；再 ÷ 3 → 2、3。
左侧除数相乘 2 × 2 × 3 ＝ 12 是最大公因数；左侧除数再乘最下面剩下的 2 与 3，得 12 × 2 × 3 ＝ 72 是最小公倍数。

例 3（两种特殊情形）。① 6 与 18 成倍数关系 → 最大公因数 6，最小公倍数 18；② 8 与 9 互质 → 最大公因数 1，最小公倍数 72（＝ 8 × 9）。

例 4（应用）。两根绳子分别长 24 厘米、36 厘米，剪成同样长的小段且不浪费，每段最长多少？——就是求最大公因数 12 厘米。

一句话区分：「分完」用最大公因数，「凑齐」用最小公倍数。分东西、裁纸、剪绳 → 公因数；同时出发、同时相遇、同时开花 → 公倍数。

p.6练习

综合题组

A 组·因数倍数　① 写出 24 的全部因数；② 写出 8 的前 5 个倍数；③ 判断：1 是所有自然数的因数吗？说明理由。

B 组·倍数特征　① 在 105、234、370、495 中标出 3 的倍数；② 同时是 2、3、5 的倍数的最小三位数是多少？③ 判断 6315 能否被 3 与 5 整除。

C 组·质数合数　① 20 以内的质数有哪些？② 分解质因数：48、72、105；③ 判断 87 与 89 谁是质数。

D 组·公因数公倍数　① 求 18 与 24 的最大公因数与最小公倍数；② 求 12 与 36 的最大公因数与最小公倍数；③ 求 7 与 10 的最大公因数与最小公倍数。

E 组·应用　① 45 块糖和 30 块巧克力平均分给若干个小朋友且都正好分完，最多分给几个小朋友？② 公交车 A 每 6 分钟一班、B 每 8 分钟一班，两车同时出发后，再过多少分钟又同时发车？

p.7思想卡

p.7

整数的结构地图〔少广〕

这一单元您看到的，是一张「整数结构地图」：质数是基本粒子，合数由它们拼成，而且拼法唯一（算术基本定理）；因数与倍数描述数与数之间的「借还关系」；公因数与公倍数则是两个数「共同的拆法」与「共同的凑法」。

有了这张地图，很多事变得可以算出来：一个数有几个因数（看质因数指数）、能不能被 3 整除（看数字和）、两个数什么时候「同时到齐」（求最小公倍数）。这些都不是零散技巧，而是同一张地图上不同方向的读数。

中国古人在《九章算术》里把这张地图用得很熟。「少广」章要由面积、体积反求边长，必须开方；而开方的前提，就是先把数按平方结构整理清楚。「均输」章要按人口、路程分摊赋税，讲究「同一标准下公平分配」，本质上就是找公因数与公倍数，把不同的量「齐同」起来。两千年前，中国的算筹已经把这张地图走了一遍。

带回家的一句话：因数、倍数、质数、合数不是四个名词，而是「数怎么拆、怎么合」的一套完整答案。

p.8游戏迁移

因倍数抢答

玩法（4 人一组，两两对阵）：裁判报出一个数，双方在 5 秒内抢答——「说出它的一个因数」「说出它的下一个倍数」「判断它是否 3 的倍数」……答对得 1 分，抢先答错扣 1 分。

关卡 1·说因数报 20，抢答它的因数（1、2、4、5、10、20），一次能说全者得 3 分。

关卡 2·报倍数报 7，接着往下报倍数（14、21、28……），接不上者淘汰。

关卡 3·判特征报 1236，抢答「它能被 3 整除吗？依据是什么」。

关卡 4·找公因数报「24 与 36」，抢答最大公因数（12）与最小公倍数（72）。

赛后小结：说得快的同学都用了「配对法」找因数（1 与它自己、2 与一半……），也背熟了 3 的判别。熟练不等于聪明，但熟练真的会让人看起来很快。

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p.9游戏·任务

排队形问题设计

任务　① 选一个 20 到 60 之间的数当作「班级人数」；② 列出所有能排成的长方形队形（每行人数 × 行数）；③ 说出这个数有多少个因数；④ 再给一个「只能排成 1 行或 1 列」的数，并说明它为什么这么『孤零零』。

人数	队形（每行 × 行数）	因数个数	排法种数

找规律：排法种数与因数个数是什么关系？为什么 36（9 个因数）比 30（8 个因数）排法更多？把发现写下来。

第 2 单元 · UNIT 2

长方体与正方体

p.10–18 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1

p.10导入

从面到体：快递盒的学问

妈妈网购的东西到了。图图抱着快递盒看来看去：「这个盒子长 30 厘米、宽 20 厘米、高 15 厘米。快递单上写着『体积 9 立方分米』，是怎么算出来的？」

小杏拿出尺子量了量：「体积应该是长 × 宽 × 高吧？30 × 20 × 15……等于多少？」

算一算。30 × 20 × 15 ＝ 9000 立方厘米。因为 1000 立方厘米＝ 1 立方分米，所以 9000 立方厘米＝ 9 立方分米 ✓

阿禾又把盒子拆开压平：「铺平以后，它的纸板面积也好算——这就是『用料』。」

王老师说：「一个盒子，藏着本单元两件大事：体积（它能装多少）与表面积（要用多少料）。我们从面走到体，把立体图形的账算清楚。」

p.11精讲

长方体正方体认识（棱·面·顶点）

先认识长方体的「骨架」。

三个名词。① 面：长方体有 6 个面（上下、前后、左右），相对的两个面完全相同；② 棱：面与面相交的线段，共 12 条，相对的 4 条棱长度相等；③ 顶点：三条棱的交点，共 8 个。

例 1　一个长方体长 a、宽 b、高 h：12 条棱可以分成三组，每组 4 条，长度分别是 a、b、h。所以棱长总和 ＝ (a ＋ b ＋ h) × 4。

例 2（正方体是特殊的长方体）。长、宽、高都相等的长方体叫正方体：6 个面都是完全相同的正方形，12 条棱长度都相等。棱长总和＝ 12a。

例 3（长 5、宽 4、高 3 厘米的长方体）。棱长总和＝ (5 ＋ 4 ＋ 3) × 4 ＝ 48 厘米；面积相等的面有 3 组（5×4、5×3、4×3），每组 2 个。

动手做：找一个纸盒，数一数面、棱、顶点，把相对的面涂成同一颜色——涂完您会发现正好用了 3 种颜色，每种 2 个面。

p.12精讲

展开图

把长方体沿棱剪开摊平，就得到展开图——这是立体图形与平面图形的桥。

基本认识。长方体的展开图由 6 个长方形组成，其中有 3 组「完全一样的两个」。正方体的展开图由 6 个相同的正方形组成。

例 1（正方体的展开图）。最常见的是「一四一」型：中间一排 4 个正方形，上下各一个。此外还有「二三一」型、「二二二」型、「三三」型等。一共 11 种不同的正方体展开图（不计旋转与翻转）。

例 2（判断能不能折成正方体）。把 6 个正方形排成一排，就不能折成正方体——因为六个面会叠在一起，缺少「侧面围一圈」的结构。判断口诀：「田字、凹字不行；一四一、二三一一般行」。

例 3（找对面）。在「一四一」型展开图中，同一行里隔一个的两个面是相对面；「Z 字」两端的那两个面也是相对面。相对面在展开图里永远不会相邻。

动手做：在方格纸上画三种不同的正方体展开图，剪下来各折一次，看哪些能折成正方体、哪些不能。

p.13精讲

表面积

表面积就是「6 个面的面积之和」，也就是做这个盒子要用多少纸板。

公式。长方体表面积 S ＝ (ab ＋ ah ＋ bh) × 2；正方体表面积 S ＝ 6a²。（a 长、b 宽、h 高。）

例 1　长 5、宽 4、高 3 厘米的长方体：(5 × 4 ＋ 5 × 3 ＋ 4 × 3) × 2 ＝ (20 ＋ 15 ＋ 12) × 2 ＝ 47 × 2 ＝ 94 平方厘米。

例 2　棱长 6 厘米的正方体：6 × 6² ＝ 6 × 36 ＝ 216 平方厘米。

例 3（不封顶的情况）。一个无盖长方体水槽（长 8、宽 5、高 4 分米），要多少铁皮？只有 5 个面：底面 8 × 5 ＝ 40，四个侧面 (8 × 4 ＋ 5 × 4) × 2 ＝ 104，合计 144 平方分米。

两种情况要分清。① 「做一个盒子」→ 6 个面；② 「做一个水槽 / 通风管 / 抽屉」→ 看题目说缺哪一面。通风管是 4 个面，水槽无盖是 5 个面。做题先问一句「要几个面」。

p.14精讲

体积单位与公式

体积是「占多大空间」，容积是「能装多少」。

体积单位。棱长 1 厘米的正方体体积是 1 立方厘米（cm³）；棱长 1 分米、1 米的正方体分别是 1 立方分米（dm³）、1 立方米（m³）。

换算关系。1 立方分米＝ 1000 立方厘米；1 立方米＝ 1000 立方分米＝ 1000000 立方厘米。相邻体积单位之间进率是 1000（面积是 100，长度是 10）。

公式。长方体体积 V ＝ abh（长 × 宽 × 高）；正方体体积 V ＝ a³；统一写法 V ＝底面积 × 高。

例 1　长 30、宽 20、高 15 厘米：30 × 20 × 15 ＝ 9000 cm³ ＝ 9 dm³。

例 2　棱长 0.5 米的正方体：0.5³ ＝ 0.125 立方米。注意 0.5³ ＝ 0.5 × 0.5 × 0.5，不是 0.5 × 3。

例 3（底面积法）。一根方木长 3 米，横截面是边长 0.2 米的正方形：体积＝ 0.2 × 0.2 × 3 ＝ 0.12 立方米。横截面就是「底面积」。

一句话串起来：棱长总和管「边框」，表面积管「包纸」，体积管「装东西」。三件事各有各的公式，看清题目在问哪一件。

p.15练习

综合计算

A 组·棱与面　① 长 6、宽 4、高 2 厘米的长方体，棱长总和是多少？② 正方体棱长总和 48 厘米，棱长是多少？③ 长方体 12 条棱中，最多有几条相等？

B 组·表面积　① 长 5、宽 4、高 3 分米的长方体，表面积是多少？② 棱长 7 厘米的正方体，表面积是多少？③ 无盖长方体（长 10、宽 6、高 5 分米）需要多少平方分米铁皮？

C 组·体积　① 长 12、宽 8、高 5 厘米的长方体体积是多少？② 棱长 0.4 米的正方体体积是多少立方分米？③ 一根方钢横截面边长 3 厘米、长 2 米，体积是多少立方厘米？

D 组·展开图　在方格纸上画出两种正方体的展开图，并标出「哪两个面是相对的」。

E 组·挑战　一个长方体木块，长 8、宽 5、高 4 分米。把它切成棱长 1 分米的小正方体，能切多少块？切完以后，所有小正方体的表面积总和，比原来长方体的表面积大多少？

p.16思想卡

p.7

〔商功〕立体是面的升维

从点开始：点动成线，线动成面，面动成体。立体图形不是凭空出现的，它是平面图形「长高了一个方向」。看公式就明白：面积是「长 × 宽」（两个方向相乘），体积是「长 × 宽 × 高」（三个方向相乘）。每多一个方向，就多乘一次。

这也是为什么单位之间的进率会变：长度单位进率是 10，面积变成 10 × 10 ＝ 100，体积变成 10 × 10 × 10 ＝ 1000。「几个方向相乘」决定了进率是 10 的几次方。明白了这一句，您就再也不会把「1 平方米＝100 平方分米」搞错成 1000。

中国古人把这件事做得极漂亮。《九章算术》卷五「商功」专讲土木工程中的体积计算：城垣、堤坝、沟渠、粮仓，形状有「上广下广不同」的棱台，也有「上下皆平」的柱体。古人给出了「方堡堢」「刍甍」「圆锥」等一整套体积公式，靠的就是把复杂的体切分成若干个「底面积 × 高」的基本块。这套思路，和您今天切快递盒、切方木的思路完全一样。

带回家的一句话：立体并不神秘，它只是「平面的第二个兄弟」；维度每升一级，就多乘一个方向。

p.17游戏迁移

展开图配对赛

玩法（4 人一组，两两对阵，每组一套 6 张正方形卡与 6 张长方体展开卡）：限时 10 分钟，把散开的「面」拼成能折成立体图形的展开图，并说出哪两个面相对。

关卡 1·正方体用 6 个相同的正方形拼出「一四一」型展开图，并折一折验证。

关卡 2·判断题拿到 4 张不同的展开图，标出哪些能折成正方体、哪些不能（提示：田字、凹字不行）。

关卡 3·长方体用 3 组「两个一样的长方形」拼出长方体的展开图。

关卡 4·找对面在展开图上点出「与红色面相对的是哪个面」，说清依据（隔一个 / Z 字两端）。

赛后小结：判断能不能折成正方体时，先在脑子里「合上」一次：哪些面会重叠？哪一个面没地方去？想清楚了再动手折。

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p.18游戏·任务

测量并计算一件快递盒用料

任务　① 找一个快递纸盒，量出它的长、宽、高（用厘米，量三次取一样的结果）；② 算出棱长总和（用了多少「边」）、表面积（用了多少纸板）、体积（能装多少立方厘米）；③ 再把体积换成「立方分米」与「升」；④ 想一想：快递盒为什么要留一点空隙？

盒长	宽	高	棱长总和	表面积	体积

量完再想一个「工程问题」：如果要把 12 盒同样的牛奶装箱，怎样摆放最省纸板？——这个问题，我们夏天还会再遇到一次。

第 3 单元 · UNIT 3

分数加减法

p.19–27 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1

p.19导入

半张纸加四分之一张

手工课上，小杏先用了 12 张彩纸，又用了 14 张。她问：「一共用了多少张？」

图图说：「分母相加，2 ＋ 4 ＝ 6，分子相加 1 ＋ 1 ＝ 2，得 26。」小杏皱眉：「可 26 才三分之一张，我明明用了大半张！」

用纸对一对就明白了。把小杏的两块纸拼起来：12 换成 24，与 14 合起来正好 34 张——不是 26。

阿禾说出关键：「分母不同，就像单位不同。单位不一样，不能直接相加。」

王老师说：「说得好。分数加减法只有一句口诀——先统一单位，再加减个数。这一单元我们就练这件事。」

p.20精讲

同分母加减

分母相同，单位就相同，直接加减分子即可。

法则。同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；结果能约分的要约成最简分数。

例 1　27 ＋ 37 ＝ 57（2 个七分之一加 3 个七分之一是 5 个）。

例 2　79 − 49 ＝ 39 ＝ 13（别忘了约分）。

例 3（结果为 1 或 0）。35 ＋ 25 ＝ 55 ＝ 1；46 − 46 ＝ 0。分子与分母相等时，分数就等于 1。

例 4（带分数同分母）。215 ＋ 135：整数部分相加 2 ＋ 1 ＝ 3，分数部分相加 45，得 345。

小提醒：算完养成两个习惯——能约分就约分；看看结果是否大于 1，大于 1 时可以改写成带分数（如 75 ＝ 125）。

p.21精讲

异分母加减（通分）

分母不同，先通分把单位统一，再加减。

法则（三步）。① 通分：求分母的最小公倍数作公分母；② 调整分子：分子分母同乘同一个数；③ 按同分母分数加减。

例 1　12 ＋ 14：公分母取 4，12 ＝ 24，得 24 ＋ 14 ＝ 34。

例 2　13 ＋ 16：公分母 6，13 ＝ 26，得 36 ＝ 12。

例 3（减法）　34 − 16：公分母 12，912 − 212 ＝ 712。

例 4（分母互质）　23 ＋ 15：3 与 5 互质，公分母取 3 × 5 ＝ 15，得 1015 ＋ 315 ＝ 1315。

公分母怎么取最快？① 一个分母是另一个的倍数 → 取大的那个；② 两分母互质 → 取乘积；③ 一般情况 → 取最小公倍数（短除法算）。

p.22精讲

分数加减混合

三个以上分数相加减，要注意运算顺序与简算。

例 1（从左往右）。12 ＋ 14 − 18：公分母 8，化为 48 ＋ 28 − 18 ＝ 58。

例 2（带括号）。1 − (13 ＋ 14)：先算括号内 412 ＋ 312 ＝ 712，再 1 − 712 ＝ 512。「1」可以随时化成任何需要的分数（1 ＝ 1212）。

例 3（简算：凑整）。15 ＋ 37 ＋ 45：把 15 与 45 先加（交换律）得 1，再加 37，得 137。

例 4（连减简化）。910 − 16 − 56：后两个分母相同，先加得 1，于是 910 − 1 ＝ −110？——不够减！说明要先审题：正确的分组应是先算 910 − 16，再减。看到不合理的分组，立刻换一条路。

混合运算三板斧：① 先统一公分母（可以一步化到最小公倍数）；② 再找能不能凑整（分母相同的先算）；③ 最后才按顺序加减。

p.23精讲

分数与小数加减

分数与小数混在一起时，先统一成同一种「面孔」再算。

例 1（小数化分数）。0.5 ＋ 14：0.5 ＝ 12 ＝ 24，得 34（也可算 0.5 ＋ 0.25 ＝ 0.75，结果一样）。

例 2（分数化小数）。34 ＋ 0.6：34 ＝ 0.75，0.75 ＋ 0.6 ＝ 1.35；也可化成分数 34 ＋ 35 ＝ 1520 ＋ 1220 ＝ 2720 ＝ 1.35。

该选哪条路？① 分母能化成 10、100 的（2、4、5、8、10、20、25…）→ 走小数路更快；② 分母是 3、6、7、9 这类除不尽的 → 走分数路，否则会写出无限小数。

例 3（除不尽的情形）。13 ＋ 0.5：若化小数会得到 0.333… ＋ 0.5，麻烦；改走分数路：13 ＋ 12 ＝ 26 ＋ 36 ＝ 56。

一句话策略：能整除就走小数，除不尽就走分数。两条路都对，选短的那条。

p.24练习

题组

A 组·同分母　① 38 ＋ 48　② 710 − 310　③ 56 ＋ 16　④ 912 − 512

B 组·异分母　① 12 ＋ 13　② 34 − 18　③ 25 ＋ 310　④ 56 − 14

C 组·混合与简算　① 1 − 25 − 15　② 16 ＋ 23 ＋ 56　③ 79 − (13 ＋ 19)

D 组·分数与小数　① 0.25 ＋ 12　② 14 ＋ 0.6　③ 13 ＋ 0.5（说明为什么不用小数做）

E 组·应用　① 一段路第一天修了 15，第二天修了 310，两天共修了几分之几？还剩几分之几？② 一瓶水喝了 14，又喝了 0.5 瓶，共喝了几分之几？

p.25思想卡

p.7

单位统一才能加减〔少广〕

这一单元所有的法则，其实只有一句：单位相同才能直接相加。2 个「七分之一」加 3 个「七分之一」得 5 个「七分之一」；1 个「二分之一」加 1 个「四分之一」要先都换成「四分之一」才好数。分母就是单位，分子就是个数——加减法的本质，从头到尾都是「数个数」。

同样的道理在整数与小数里也成立：3 个「十」不能直接加到 2 个「百」上，要先换成同一级；0.3 与 0.05 相加，要先把它们都看成「百分之一」的个数（30 个加 5 个＝35 个）。通分，只是把「换个单位」这件事写得正式一点。

中国古人给这件事起了一个非常漂亮的名字：齐同术。「齐」是让各个分数的「大小基准」统一，「同」是让它们的「分母」相同；《九章算术》卷一「方田」章里，分数加法（合分术）、减法（减分术）都以此为基础；卷二「少广」章处理开方与分数换算，同样离不开这套「先齐同、后运算」的秩序。两千年前的古人和您今天做的事，一字不差。

带回家的一句话：遇到「单位不同」的加减，先别急着算——先想办法把它们变成同一种单位。

p.26游戏迁移

分数牌对战

玩法（4 人一组，每组一副分数卡：分母为 2、3、4、5、6、8、10、12 的分数）：每人抽 4 张，轮流出牌，出一张并说出「手上这几张的和是多少」；说错则收回牌。谁先出完谁胜。

关卡 1·同分母只用手上分母相同的牌相加，练速度。

关卡 2·异分母自由出牌，每出一次都要通分算和（可用草稿纸）。

关卡 3·凑 1 挑战从手上找出「和正好为 1」的一组牌，找到得 3 分。

关卡 4·分数小数混战加入 0.25、0.5、0.75 三张小数卡，考验选路能力。

赛后小结：对战里最快的办法不是心算快，而是先看分母、先定公分母。定得准，后面就顺；定错了，全盘重来。

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p.27游戏·任务

计算一周阅读时间占比

任务　① 记录自己连续 7 天每天阅读的时长（分钟）；② 算出每天占一周总时间的几分之几（能约分的要约分）；③ 求出「工作日共占几分之几」「周末共占几分之几」；④ 用两种方式表达：既写分数，也写小数（保留两位），比较两种写法的方便之处。

星期	阅读时长（分）	占一周的几分之几	小数表示
一
二
三
四
五
六
日

做完对照一下：七个分数加起来是不是正好等于 1？如果差一点，说明中间有一步算错了——这让「和等于 1」变成了一道免费的自查题。

第 4 单元 · UNIT 4

图形的旋转

p.28–36 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1

p.28导入

风车旋转 90°

美术课上，小杏画了一个简单的「L」形，然后把纸钉在桌上，绕着一个点转了 90°，又转 90°，再转 90°——纸上出现了四片一模一样的「L」，拼成了一台小风车。

看这台风车。四片形状完全相同，方向依次旋转 90°；它们绕同一个中心点转，转四次正好回到原位——这叫旋转对称。

图图问：「如果转 30° 呢？」阿禾说：「那就转 12 次才回到原位。」

王老师说：「旋转看着简单，其实有三个要说清的东西——绕哪一点转、朝哪个方向转、转多少度。这一单元，我们把这『三要素』一个一个搞明白。」

p.29精讲

旋转三要素（中心·方向·角度）

描述一次旋转，必须说清三件事，缺一件就不完整。

三要素。① 旋转中心：绕哪个点转（这个点自己不动）；② 旋转方向：顺时针（与钟表指针同向）或逆时针；③ 旋转角度：转了多少度。

例 1　「把三角形绕点 O 顺时针旋转 90°」——中心是 O、方向顺时针、角度 90°。三个都说到，别人才能画出一模一样的图。

例 2（旋转中不变的三件事）。旋转前后：① 图形的形状、大小都不变；② 每个点到旋转中心的距离不变；③ 对应的角度不变。变的只有方向。

例 3（旋转中心也在图形上）。如果旋转中心正好是图形的一个顶点，那么这个顶点原地不动，其余各点绕它转动。

判断方向的小窍门。把手指顺着钟表走的方向虚画一圈就是顺时针；反过来就是逆时针。顺时针旋转 90°，也可以说是「逆时针旋转 270°」。

p.30精讲

画旋转图形

在方格纸上画旋转图形，有固定的步骤，一步一步来就不会错。

四步画法。① 定中心：找出旋转中心 O；② 找关键点：把图形的每个顶点都看作关键点；③ 逐点旋转：对每个关键点，量出它到 O 的距离与方向，按指定角度转到新位置（在方格纸上可用数格法：转到 O 的另一个方向、同样的格数）；④ 连线：把新位置的点按原图顺序连起来。

例 1（方格纸上的直角旋转）。点 A 在 O 的正上方 3 格处，绕 O 顺时针旋转 90° 后，A 到 O 的正右方 3 格处——「上 3」变成「右 3」。

例 2（四个方向的口诀）。绕 O 顺时针旋转 90°：上 3 → 右 3 → 下 3 → 左 3 → 回到上 3。逆时针则反过来。转 180° 就是「上 3 → 下 3」。

例 3（三角形的旋转）。三角形 ABC 绕 B 点顺时针旋转 90°：B 不动；A 若在 B 的正左 4 格，转到 B 的正上 4 格；C 若在 B 的正下 2 格，转到 B 的正左 2 格；连成新三角形。逐点转、逐点连，绝不整体「瞎转」。

检查办法：① 每个点到 O 的格数变了吗？（不应变）② 图形的形状变了吗？（不应变）③ 转完的角度对不对？（对照原图的两条对应边）三条都过，画对了。

p.31精讲

旋转与设计图案

旋转是最省力的图案设计法：画一片，转出一朵。

例 1（四片花瓣）。画一片花瓣，绕中心依次旋转 90°、180°、270°，得到四瓣花。因为是 4 片，每片占 360° ÷ 4 ＝ 90°。

例 2（六瓣雪花）。雪花有 6 瓣，每次旋转 360° ÷ 6 ＝ 60°。

关键算式。若图案由 n 片相同的图形绕中心均匀排布，则每片之间的旋转角为 360° ÷ n。反过来，知道角度就能求片数。

例 3（正多边形的旋转）。正三角形的中心角是 120°，正五边形是 72°，正八边形是 45°。「绕中心转过一个中心角，图形与自己重合」——这就是正多边形的旋转对称性。

旋转＋对称的组合。很多漂亮的窗花是这么做的：先剪出一小片（对折剪），再把它绕中心旋转若干次复制。旋转管方向，对称管形状，两个动作合起来就是千百种图案。

p.32精讲

图案欣赏与创作

世界的图案，几乎都能被「旋转」解释。

例 1（中国图案）。太极图两个「鱼」互相绕中心旋转 180°；青铜器上的云雷纹、瓦当上的四神纹、织锦上的宝相花，都以四等分旋转或六等分旋转排布。「绕中心一转，四时八方俱全」，这是中国图案极常见的设计语言。

例 2（建筑与器物）。天坛祈年殿的屋顶是三重圆形攒尖，从上往下看是旋转对称；风车、水轮、车轮辐条都是旋转的应用——旋转还能省力：风车叶绕轴转，就把风的力量变成了转动。

例 3（自然界的旋转）。向日葵的种子按螺旋排布、鹦鹉螺的壳沿螺线生长、菊花与雏菊的花瓣绕中心放射展开。自然界用旋转把「重复」变成「美」。

四等分每转 90°；常见于窗花、地毯、地砖。

六等分每转 60°；雪花、蜂巢、六角亭。

八等分每转 45°；八卦图、八角窗、莲纹。

您的创作先定「要几瓣」，再算角度，再画一片转一圈。

动手做：画一个简单的图形（三角形、扇形、水波都行），在方格纸上绕一个点旋转 6 次（每次 60°），看看您设计出什么图案。

p.33练习

作图题

A 组·说清三要素　把下面的旋转说完整：① 「绕点 O 旋转 90°」缺了什么？② 「顺时针旋转」缺了什么？③ 「绕点 O 顺时针」缺了什么？

B 组·方格纸作图　在方格纸上：① 把点 A（在 O 上方 4 格）绕 O 顺时针旋转 90°、180°、270°，分别画出；② 把一条长为 3 格的横线段绕左端点顺时针旋转 90°，画出新线段。

C 组·三角形旋转　在方格纸上画一个直角三角形（两直角边分别长 3 格和 4 格），把它绕直角顶点顺时针旋转 90°，画出新图形，并说出新图形与原来的关系。

D 组·设计与计算　① 要设计 8 瓣的花，每片之间旋转多少度？② 每转 45° 复制一片，绕中心转一圈能得到几片？③ 一个正六边形的中心角是多少度？

p.34思想卡

p.7

旋转创造对称美

旋转与轴对称是两种不同的「美的动作」。轴对称像照镜子——左右两边翻个面；旋转像转圈——绕着中心转过去。轴对称把图形翻过去，旋转把图形转过去。两个动作都很省力：一次操作，就得到一整片。

更妙的是，旋转和轴对称可以「接起来用」。转一次再翻一次，就得到滑移反射；转 90° 又翻一次，图案会变得更复杂。数学家把这类「保持形状不变的动作」统称为对称变换，并把「一共有几种动作」这个数叫对称群。这个数，就是「这个图形有多对称」的度量。

中国图案里，旋转对称用得极多：瓦当、铜镜、方胜纹、团花锦，全靠「绕中心旋转复制」做出繁复而不乱的效果。为什么古人偏爱它？因为它是能用最简单的动作得到最丰满的效果——画一片，得一朵；雕一章，得其全。这正是数学在审美里最实用的一面。

带回家的一句话：对称不是好看而已，它意味着「一个简单的动作，能让图形回到自己」。

p.35游戏迁移

图案旋转设计赛

玩法（4 人一组，每组一张方格纸与一枚图钉）：限时 12 分钟，用同一个基本图形绕中心旋转，设计出一幅有规律的图案，并写出「每片之间转了几度」。

关卡 1·四瓣花画一片叶子，绕中心转 3 次（每 90°），得到四瓣花，说出中心角。

关卡 2·六等分改用每 60° 转一次，做出一片「雪花」，并数出共几片。

关卡 3·配色规则给每一片用不同颜色，按旋转方向形成渐变，让它「像在转」。

关卡 4·反推角度裁判给出「12 片的图案」，抢答每片之间应转多少度（360 ÷ 12 ＝ 30°）。

赛后小结：图案做得整齐的关键，是旋转中心要固定不动。中心一旦偏了，整朵花就散了——这也是曲线救国：做图案和做数学一样，先定「谁不动」。

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p.36游戏·任务

设计一幅旋转对称窗花

任务　① 取一张正方形彩纸，对折两次（找到中心）；② 剪出一个简单的基本形状（角、弧、锯齿均可）；③ 把剪好的纸片绕中心依次旋转，用胶水粘在一张卡纸上，做成 6 瓣或 8 瓣的窗花；④ 在作品旁写明：旋转中心在哪里、每片转了多少度、一共几片。

作品名称	旋转中心	每片角度	片数	基本形状

小提示：先算后做——想要 8 瓣就每 45° 放一片，想要 6 瓣就每 60° 放一片。把角度先算好，摆出来的作品一定匀称。

第 5 单元 · UNIT 5

分数与小数互化

p.37–45 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1

p.37导入

用哪种记法更方便

小杏在记录跑步成绩：跑了全程的 34。阿禾记的是 0.75。两人一比：同一个数。

图图把两组数据排在一起：12 ＝ 0.5、14 ＝ 0.25、15 ＝ 0.2、18 ＝ 0.125。

但他又写了一个：13 ＝ ? 用计算器一按：0.3333… 除不完。

王老师说：「有意思吧？有的分数能化成干净的有限小数，有的化成无限循环小数。为什么会这样？这一单元我们就研究分数与小数这两种记法的互相翻译，还要找出『能化成有限小数』的判别条件。」

p.38精讲

分数化小数

做法很简单：用分子除以分母（分数本身就是除法）。

例 1（除得尽）。34 ＝ 3 ÷ 4 ＝ 0.75；18 ＝ 1 ÷ 8 ＝ 0.125；720 ＝ 7 ÷ 20 ＝ 0.35。

例 2（除不尽）。13 ＝ 0.333…（循环节是 3）；16 ＝ 0.1666…；27 ＝ 0.285714285714…（循环节 285714）。这些叫循环小数，末尾写省略号，或用循环点表示。

例 3（带分数与混合数）。215 ＝ 2 ＋ 1 ÷ 5 ＝ 2.2；52 ＝ 5 ÷ 2 ＝ 2.5。

熟练要记的几个常用互化。12＝0.5；14＝0.25；34＝0.75；15＝0.2；18＝0.125；120＝0.05；125＝0.04。看到它们就能直接换，不用算。

p.39精讲

小数化分数

反向翻译：看小数是几位小数，就用 10、100、1000 作分母。

法则。一位小数 → 分母 10；两位小数 → 分母 100；三位小数 → 分母 1000……分子是小数点后面的数字串。最后要约成最简分数。

例 1（一位小数）。0.7 ＝ 710；0.3 ＝ 310。

例 2（两位小数）。0.25 ＝ 25100 ＝ 14；0.36 ＝ 36100 ＝ 925。

例 3（三位小数）。0.125 ＝ 1251000 ＝ 18；0.375 ＝ 3751000 ＝ 38。

例 4（带小数）。2.4 ＝ 2 ＋ 0.4 ＝ 225；1.75 ＝ 134。整数部分照抄，小数部分单独化。

检查：化完约分后再除回去，看是否等于原小数。除回去一次，胜过检查三遍。

p.40精讲

能否化有限小数的判别

为什么 14 能化成 0.25，而 13 不行？答案藏在分母的质因数里。

判别法。一个最简分数的分母，如果只含质因数 2 和 5，就能化成有限小数；如果含有除 2、5 以外的质因数（如 3、7、11……），就化成无限循环小数。

例 1（能）。34：分母 4 ＝ 2 × 2，只有 2 → 能，0.75。720：20 ＝ 2 × 2 × 5 → 能，0.35。38：8 ＝ 2³ → 能，0.375。

例 2（不能）。13：分母含 3 → 不能，0.333…；56：6 ＝ 2 × 3 含 3 → 不能，0.8333…；27：含 7 → 不能。

为什么？因为十进制的分母永远是 10 的幂（10 ＝ 2 × 5）。要让分数化成有限小数，就得能把分母变成 10 的幂——而 10 的幂只由 2 和 5 组成，所以分母里一旦混进 3、7，就永远变不成 10 的幂。例：34 分母乘 25 得 100，所以是 0.75；13 无论乘什么整数都得不到 10 的幂。

例 3（先约分再判别！）。36：先约分成 12，分母 2 只含 2 → 能化成 0.5。若不约分就判断，会误判。判别一定要用最简分数。

动手算一批：判断 116、512、740、915 能否化成有限小数（先把分母分解质因数，注意先约分）。

p.41精讲

综合比较排序

分数与小数混在一起比大小，先统一「面孔」再比较。

例 1（两种办法）。比较 35 与 0.58。办法 A（化小数）：3 ÷ 5 ＝ 0.6 ＞ 0.58；办法 B（化分数）：0.58 ＝ 2950，35 ＝ 3050 ＞ 2950。两条路都能通。

例 2（排序）。把 0.6、23、58 从小到大排：化小数 0.6、0.666…、0.625，得 0.6 ＜ 58 ＜ 23。（注意 23 化成 0.666… 时，写三位就够比较。）

例 3（挑中间数）。8 个数混排时，先全化成小数、写在数轴上，再从左往右抄。数轴是排序最可靠的草稿纸。

选路准则。① 分母只含 2、5 → 化小数最快；② 分母含 3、7 → 化成分数（通分）最稳；③ 数据多 → 一律先化成小数（保留 3 位足够比较），再排序。

p.42练习

互化题组

A 组·分数化小数　① 14　② 35　③ 78　④ 1120　⑤ 13（保留三位小数）

B 组·小数化分数　① 0.4　② 0.65　③ 0.375　④ 1.2　⑤ 0.06（都要约成最简）

C 组·判别　下面哪些分数能化成有限小数？① 38　② 415　③ 725　④ 69　⑤ 924（注意先约分）

D 组·比较排序　① 比较 23 与 0.65；② 把 0.7、34、710、0.72 从小到大排列。

E 组·应用　一袋米重 2.5 千克，吃了 38 袋，还剩多少千克？（用两种记法各写一次答案）

p.43思想卡

p.7

两种记法一家亲〔少广〕

分数和小数不是两种数，而是同一批数的两种写法。分数是「几个单位」的记法（34 读作「三个四分之一」），小数是「十进单位的记法」（0.75 读作「七十五个百分之一」）。同一份量，换个尺子量，就有了两个名字。

为什么有的分数写不成有限小数？因为十进制的尺子只有 2 和 5 两种「刻度」（10 ＝ 2 × 5）。分母只含 2 和 5，就能把尺子换得刚好；分母混进 3 或 7，就怎么也量不整，只能写成无限循环小数。这条判别法，其实是「进制」在说话。

古人也早就遇到了这个问题。《九章算术》卷一「方田」章里的分数运算，全部用分数记法完成，从不需要化成小数——因为分数是精确的。而卷二「少广」章要开方求边长，遇到开不尽的数时，古人用「以面命之」的办法：开不尽就保留分数形式，如把边长写成分数式的 √ 或带分数的近似值。这正是先辈的智慧：该精确的时候坚持精确，该近似的时候给出近似。

带回家的一句话：分数管精确，小数管方便；两种都会用，您就能按场合选工具。

p.44游戏迁移

互化接力

玩法（4 人一组，站成一排）：裁判给第一人一个数（分数或小数），他必须化成另一种记法并报给第二人；第二人再化回去，依次接力。接错者出列，最后剩下的人胜。

关卡 1·常用互化0.5 ⇄ 12；0.25 ⇄ 14；0.75 ⇄ 34；0.125 ⇄ 18（要求 3 秒内完成）。

关卡 2·含三位小数0.375 ⇄ 38；0.625 ⇄ 58；0.16 ⇄ 425。

关卡 3·判别抢答裁判报一个分母（8、15、25、12），抢答「能不能化成有限小数」并说依据。

关卡 4·比大小裁判报一个分数与一个小数（58 与 0.6），抢答谁大。

赛后小结：接力最容易断在「约分」。化完必须约到最简，否则下一位会认不出来——交接清楚，比单个人快更重要。

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p.45游戏·任务

找一组数据用两种记法表达

任务　① 找一组家里的真实数据（一周用电量、家里成员的年龄、一件商品的重量、一个班级的人数比都行）；② 用分数与小数两种记法各表达一次；③ 判断每个分数能不能化成有限小数，并说明依据（分母的质因数）；④ 最后把它们按大小排序。

数据	分数记法	小数记法	能化有限小数？依据

想一想：生活里哪些地方习惯用分数（菜谱的「半勺」「四分之一杯」）？哪些地方习惯用小数（电子秤、体温计）？记法跟着场合走，这也是数学的一种实用智慧。

第 6 单元 · UNIT 6

折线统计图

p.46–54 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1

p.46导入

气温变化一天折线

科学课上，老师让同学们记录一天的气温。小杏每隔两小时记一次：

时刻	气温（℃）
6:00	14
8:00	17
10:00	21
12:00	26
14:00	29
16:00	27
18:00	22

阿禾把这些点连成线。图图一看就叫起来：「一看就知道中午最热、早晚凉——线往上爬就是升温，线往下走就是降温。」

王老师说：「如果把同样这些数画成条形图，您只能看到『哪个高』；画成折线图，您还能看到怎么变的。这一单元我们就学折线统计图——它是用来讲『变化』的图。」

p.47精讲

折线图的特点与画法

折线图由「点」和「线段」组成：点表示数量，线段表示变化。

五个步骤。① 画横轴（写清是什么，如时刻、日期）；② 画纵轴（写清单位与数量）；③ 定刻度：纵轴从合适的起点开始，间隔要均匀；④ 描点：每组数据画一个点；⑤ 连线：按横轴顺序把点依次连起来。

例 1（读图三问）。拿过一张折线图，问三句：① 最高点在哪儿？② 哪一段上升最快（线段最陡）？③ 哪一段基本没变（线段最平）？

例 2（与条形图的区别）。条形图画的是各个数据的「多少」（用于比较类别）；折线图画的是数据随时间的「变化」（用于看趋势）。要比较「谁多」，用条形图；要看「怎么变」，用折线图。

例 3（看上面的气温表）。6:00 到 14:00 一路上升（升温），14:00 到 18:00 一路下降（降温）；全天最高 29℃，出现在 14:00；相邻两次记录中，10:00–12:00 上升最快（共升 5℃）。

画图小提醒：纵轴起点不一定是 0（但必须写清楚起点是多少）；点与点之间要按顺序连线，不要交叉着连。

p.48精讲

复式折线图

要在一张图里比较两组数据怎么办？画两条折线。

例 1（两组数据）。把「甲地气温」记为实线，「乙地气温」记为虚线，共用一套横轴与纵轴，并画出图例（说明哪条线是哪一组）。

例 2（比较什么）。复式折线图能回答这些问题：① 同一时刻，谁高谁低？（看两条线的上下位置）② 两地的变化趋势一样吗？（看两条线是否同升同降）③ 差距最大出现在什么时候？（看两条线距离最大的地方）

画图要点。① 两组数据用不同的线型（实线/虚线）或不同颜色；② 必须有图例；③ 描点时小心——两组点最容易串位，最好先画完一组再画另一组。

例 3（示例）。同一周内甲、乙两同学的阅读时长（分钟）：甲（实线）30、35、40、38、45、60、55；乙（虚线）20、25、30、40、42、50、52。看图可见：乙的曲线一直上升，甲的曲线有起伏；两人差距最大出现在周一（30 与 20 相差 10 分钟）。

p.49精讲

趋势分析与预测

折线图最厉害的地方，是它能帮您「读到未来」。

例 1（趋势判断）。某城市 5 个月中人口逐月增加（每月 0.1 万人），照这个趋势，下个月大约 0.1 万人的增长。这叫按趋势外推。

例 2（平均变化量）。看 6:00 到 14:00 的气温：共升 29 − 14 ＝ 15℃，用了 8 小时，平均每小时升 15 ÷ 8 ≈ 1.9℃。用「总量 ÷ 时间」得到平均变化速度。

两个常用的说法。① 上升 / 下降 / 持平：描述方向；② 快 / 慢：描述幅度（线段越陡越快）。

例 3（预测要谨慎）。某商品销量连续 3 天上升，第四天一定继续升吗？不一定。折线图的预测只说明「按过去的样子推测」，市场上会有新情况。会说「大约」，是数学的诚实。

读图的标准句式：「从（什么时间）到（什么时间），（什么）在（上升/下降），（上升/下降）了（多少）。」把这句话练熟，读图题就不丢分。

p.50精讲

统计图选择策略

三种统计图各有各的用途，选错了就说不到点子上。

条形图比较「多少」。例：各班人数、各类商品的销量。

折线图看「变化」。例：一个月气温、一周睡眠时长、几年的身高。

扇形图看「占比」。例：一天时间怎么分配、开支各占百分之几。

选择口诀比多少用条形，看变化用折线，看占比用扇形。

同一组数据可以画成不同的图，讲出不同的故事——图不是数据本身，而是您想说的那句话。

常见错误拿条形图讲「趋势」，或拿折线图比「各类的多少」——听众会听不懂。

例 1（选一选）。「本班同学最喜欢的四种运动」→ 条形图；「小明一学期的数学成绩变化」→ 折线图；「本班同学课外活动时间的分配」→ 扇形图。

例 2（为什么折线图能看趋势）。因为折线图的横轴是有顺序的（时间、日期），连线才有意义；把「四种运动」连成折线是没有意义的——运动种类之间没有前后顺序。

p.51练习

制图题

A 组·读图　给出一张一周气温折线图（周一 18℃、周二 20℃、周三 23℃、周四 22℃、周五 25℃、周六 28℃、周日 26℃）。回答：① 哪天最高？② 哪两天之间上升最快？③ 这一周总体趋势是升还是降？

B 组·画图　根据上题数据，在方格纸上画一张折线统计图（注明横轴、纵轴与单位），并描点连线。

C 组·复式图　给出甲、乙两位同学 5 天的跳绳记录（甲：80、85、90、88、95；乙：70、75、85、90、92），画一张复式折线图（含图例），并回答：① 两人的成绩趋势谁更稳定？② 哪一天差距最大？

D 组·趋势与预测　某班图书角藏书 5 个月为 60、75、90、105、120 本。① 每月平均增加多少本？② 按这个趋势，第 6 个月大约多少本？③ 这个预测可靠吗？说明理由。

E 组·选择　下面三种情况各该用什么统计图？① 各班植树棵数；② 一天内气温变化；③ 各类垃圾占垃圾总量的比例。

p.52思想卡

p.7

图随数据而变

一张折线图里，藏着一种很特别的思想：把「变化」本身画成图形。数据不再是一堆孤立的值，而是一条有方向、有快慢的线——您能看到陡、看到缓、看到拐弯。「变化的速度」这个抽象的东西，被一条线变得看得见、摸得着。

这是数学史上一次巨大的跃迁。古人观察天象几百年，靠的就是把位置随时间的记录画成线，从线里读出周期与规律：太阳在一年里怎么升落，月亮多少天圆缺一次。《九章算术》里也有大量「按日程摊派」的算法（如「均输」章按路程远近摊派劳役与粮草），本质是把一串随时间变化的数据整理成可以推算的规律。您会画这条线，您就加入了他们。

更重要的是那份诚实：折线图会提醒您——过去上升，不等于将来继续上升。图给的是「已知的变化」，不是「保证的未来」。会看趋势、也懂得保留一句「大约」，这才是理性的读者。

带回家的一句话：条形图告诉您「多少」，折线图告诉您「在变」；而会读「在变」，才真正开始理解这个世界。

p.53游戏迁移

数据播报员

玩法（4 人一组，每组一张折线图卡，轮流当「播报员」）：拿到图后 3 分钟内，用标准句式播报出至少三句结论（最高点、最快上升段、总体趋势），其他组打分：说对一点得 1 分，说清「从几时到几时、升了多少」再加 1 分。

关卡 1·单线播报一周气温图，播报「最高、最低、上升最快的一天」。

关卡 2·双线播报复式图（甲、乙两人成绩），播报「谁更稳定、差距最大出现在何时」。

关卡 3·预测根据三周的数据预测第四周，并说明「依据是什么、可能出什么偏差」。

关卡 4·挑错图裁判给一张「把四种运动连成折线」的错误图，指出它错在哪里。

赛后小结：播报要按句式说全——时间、对象、方向、幅度。只说「升高了」是不合格的，要说「从 10:00 到 12:00，气温从 21℃ 升到 26℃，共升 5℃」。

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p.54游戏·任务

记录一周睡眠画折线

任务　① 连续 7 天记录自己的睡眠时长（小时，可保留一位小数）；② 画一张折线统计图（横轴写星期，纵轴写小时）；③ 回答三问：最长是哪天？最短是哪天？总体趋势是升还是降？④ 算一算这一周平均每天睡多少小时。

星期	睡眠（小时）
一
二
三
四
五
六
日

画完图再想一想：工作日与周末的睡眠有什么不同？如果想「让曲线更平一点」，您打算怎么调整作息？统计图不只是作业，它能帮您看见自己的生活。

第 7 单元 · UNIT 7

体积与容积

p.55–63 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1

p.55导入

一瓶水倒进杯子几杯

课桌上有一瓶 500 毫升的矿泉水和一个玻璃杯。王老师把水倒进杯子里，正好倒满 2 杯。

小杏说：「所以一个杯子的容积大约是 250 毫升。」阿禾补充：「容积就是『能装多少』。瓶子和杯子的外形不一样，装的量可以一样。」

分清两件事。体积是「占多大空间」（外面量），容积是「能装多少」（里面量）。同一个容器，容积一定小于它的体积，因为器壁有厚度。

图图想到一个新问题：「一杯米倒进什么形状的盒子里都行；可一块石头呢？石头形状不规则，怎么知道它的体积？」

王老师笑：「这个问题古人早就解决了——把石头放进水里，看水位升多少。这一单元，我们把体积、容积和它们的「巧办法」一次讲清。」

p.56精讲

容积的意义与单位

容积是容器内部能容纳物体的体积，所以单位与体积单位一样，只是多了一套「液体专用名」。

两套名字。① 通用体积单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）；② 液体积单位：升（L）、毫升（mL）。

关键换算。1 升＝ 1 立方分米；1 毫升＝ 1 立方厘米；1 升＝ 1000 毫升。「升」和「立方分米」是同一个体积的两个名字。

例 1　2.5 升＝ 2.5 立方分米＝ 2500 立方厘米＝ 2500 毫升。

例 2　一个鱼缸能装 30 升水，换成毫升是多少？30 × 1000 ＝ 30000 毫升。

例 3（容积与体积的差别）。一个木箱外面量长 5 分米、宽 4 分米、高 3 分米，木板厚 0.5 分米。箱子的体积＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60 立方分米；里面量是 4 × 3 × 2 ＝ 24 立方分米，所以容积 24 升＜体积 60 立方分米。

记牢一个生活常识：一瓶常见矿泉水约 500 毫升；一盒牛奶约 250 毫升；一个浴缸约 200 升。有了这些参照，估算容积就不离谱。

p.57精讲

容积计算

算容积与算体积用的是同一套公式，只是数据要从里面量。

公式。长方体容器 V ＝长 × 宽 × 高（内部尺寸）；正方体容器 V ＝ a³。算出来的单位是体积单位，可直接换成升或毫升。

例 1　一个长方体水箱内部长 50 厘米、宽 40 厘米、高 30 厘米，能装多少升水？50 × 40 × 30 ＝ 60000 cm³ ＝ 60 dm³ ＝ 60 升。

例 2（已知容积求高）。一个长方体容器底面积 200 平方厘米，装了 2 升水，水深多少？2 升＝ 2000 立方厘米，2000 ÷ 200 ＝ 10 厘米。

例 3（水的体积与倒入）。把 3 升水倒入一个底面积 600 平方厘米的容器，水深 3000 ÷ 600 ＝ 5 厘米；若容器高 8 厘米，还能再倒 600 × 3 ＝ 1800 立方厘米＝ 1.8 升水。

两个常用关系。① 水体积＝底面积 × 水深；② 把水从容器 A 倒入容器 B，水的体积不变（只要没有洒出）。第二条是做「倒水题」的全部依据。

p.58精讲

不规则物体体积（排水法）

石头、土豆、钥匙——形状不规则的物体，怎么量体积？用排水法。

排水法三句话。① 记下放物体前的水位；② 放入物体（完全浸没）；③ 水位上升的体积，就是物体的体积。因为物体「占走」了同样多的水的位置。

例 1（水位差法）。量筒中原来有水 200 毫升，放入一块石头后水面升到 350 毫升，石头体积＝ 350 − 200 ＝ 150 立方厘米。

例 2（溢出法）。一个装满水的容器，放入石头后溢出 120 毫升水，石头体积就是 120 立方厘米。

例 3（底面积 × 上升高度）。长方体容器内部底面积 200 平方厘米，放入物体后水面上升 3 厘米，物体体积＝ 200 × 3 ＝ 600 立方厘米。这比读毫升数更适合大容器。

例 4（注意「完全浸没」）。若物体浮在水面上（如木块），水位上升的体积不等于物体体积——要先用细针压下去，或改用「沉底+绑重物」的办法。排水法只对完全浸没的物体有效。

动手做：用量杯测一块橡皮、一枚钥匙、一颗核桃的体积，比较三种物体的大小。看见水位涨升，是理解体积最直接的方式。

p.59精讲

体积与容积综合

把两件事放在一起，面对真实问题。

例 1（水池注水）。一个长方体水池长 6 米、宽 4 米、深 2 米。① 容积＝ 6 × 4 × 2 ＝ 48 立方米＝ 48000 升；② 若每分钟注水 200 升，注满需要 48000 ÷ 200 ＝ 240 分钟（＝ 4 小时）。

例 2（装多少箱）。一个箱子内部 60×40×30（厘米），装入棱长 10 厘米的正方体小盒，能装多少盒？6 × 4 × 3 ＝ 72 盒。用「每边能放几个」相乘，比先算体积再除更稳。

例 3（容积换水量）。一箱牛奶 24 盒，每盒 250 毫升，共 24 × 250 ＝ 6000 毫升＝ 6 升。

例 4（桶装水问题）。一桶 18.9 升的桶装水，用 250 毫升的杯子能倒多少杯（整杯）？18900 ÷ 250 ＝ 75.6，所以能倒满 75 杯，还余 150 毫升。「够不够、能不能装满」这类问题一定要看余数。

综合题三步：① 统一单位（体积单位 ↔ 升/毫升）；② 分清问的是体积还是容积；③ 看清「装满 / 还剩 / 能放几个」。

p.60练习

综合题组

A 组·单位换算　① 3 升＝ ____毫升；② 2500 立方厘米＝ ____毫升＝ ____升；③ 0.6 立方米＝ ____立方分米＝ ____升。

B 组·容积计算　① 内部长 40、宽 25、高 20 厘米的容器能装多少升？② 底面积 150 平方厘米的容器装了 1.5 升水，水深多少？

C 组·排水法　① 量筒中原有水 150 毫升，放入物体后升到 220 毫升，物体体积是多少？② 底面积 120 平方厘米的长方体容器，放入石块后水面上升 2.5 厘米，石块体积是多少？

D 组·综合应用　① 一个长方体水池长 5 米、宽 3 米、深 1.5 米，容积是多少升？② 每分钟注水 150 升，多久能注满？③ 用容量 2 升的桶往里倒水，要倒多少桶？

E 组·挑战　一个长方体玻璃缸（内部 30×20×25 厘米）装了 10 厘米深的水。放入一块完全浸没的石块后，水面上升到 14 厘米。石块的体积是多少立方厘米？若石块重 2400 克，每立方厘米重多少克？

p.61思想卡

p.7

〔商功〕曹冲称象的体积版

「曹冲称象」的故事您一定听过：不能直接称大象，就把它请上船，画出水位线，再换成石头称——用可以称的东西，去替代不可以称的东西。排水法是同一个思想的「体积版」：不能直接量石头的体积，就量它「排开了多少水」。

这类思想的共同名字，叫等量代换：把不好对付的量，换成一个与它相等、但好对付的量。水位上升的体积＝物体的体积；人的体重＝船下沉对应的排水量。换过之后，问题就变成了普通的加减乘除。

中国古人对这件事极擅长。《九章算术》卷五「商功」专讲土方与工程量：修城墙、开沟渠、筑堤坝，都要算「要挖多少方土、要运多少趟」。遇到形状不规则的土堆怎么办？古人用「把不规则切成若干规则块相加」的办法——这正是我们在体积与容积里反复用的那一招。而「少广」「句股」章里的测量技术（测高、测深、测远），用的同样是「用一个好量的量，去推另一个量」。

带回家的一句话：数学最聪明的地方，不是「把它算出来」，而是「换一个能算的东西」。

p.62游戏迁移

排水法实验

玩法（4 人一组，配量杯、水、几种小物件）：限时 15 分钟，测出 3 件小物件的体积，谁测得快、算得准，谁胜。

关卡 1·量杯法用量杯测橡皮的体积（读水位差），要求精确到 5 毫升以内。

关卡 2·水位高法用长方体容器测核桃的体积（底面积 × 上升高度），比量杯更精确。

关卡 3·装满溢出法用装满水的杯子和托盘测钥匙体积（收集溢出的水，用量杯量）。

关卡 4·难题测一片会浮起来的木块体积（提示：用细针压到完全浸没，或用重物带下去）。

赛后小结：实验结果往往不整齐，常见原因是物体没完全浸没或读数时视线没与水面齐平。做实验和做数学一样——把条件说清，结果才可靠。

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p.63游戏·任务

测一块石头的体积

任务　① 找一块石头（或土豆、核桃、钥匙）；② 设计两种方法测它的体积：量杯水位差法与底面积 × 上升高度法；③ 两次结果对比，看是否接近；④ 若两次差得多，写出可能的原因。

方法	用到的数据	算式	结果（cm³）
量杯水位差
底面积 × 升高

做完再想一想：为什么两次结果很难完全一样？想出三条原因（读数误差、物体吸水、未完全浸没、水花溅出……）。能说出误差来自哪里，您已经很有数学的自觉了。

第 8 单元 · UNIT 8

游戏站：立方体游戏

p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1

p.64导入

索玛立方体登场

春季段最后一站。王老师端出一个盒子，倒出七块奇形怪状的积木：都是由 3 个或 4 个小立方体粘成的不规则块。

她在黑板画了一个 3×3×3 的立方体框架：「这七块积木合起来正好有 27 个小立方体。各位读者能把它们装回成一个完整的 3×3×3 正方体吗？」

先数一数。七块积木分别含 3 或 4 个小立方体，加起来＝ 27；而 3 × 3 × 3 ＝ 27。数目正好吻合——这就是它一定拼得出来的第一条线索。

「这套玩具叫索玛立方体，是丹麦人海因在 1936 年发明的。」王老师说，「它只有一个答案目标，却有很多种拼法。这一站，我们用七块积木练『空间想象』这项本事。」

p.65规则

七块拼立方规则

本游戏的规则（每一轮都按这三条走）：

规则一（不许拆块）。每一块积木是一个整体，不能拆开、不能折断，只能整块地平移、旋转（翻转也算允许）。

规则二（不许重叠、不留空隙）。拼成的立体图形内部不能有空位，也不能有两块占同一个位置。

规则三（分层观察）。观察时按高度分成三层，逐层说出「这一层摆了什么、占了哪几格」。说出层次，才叫看清了。

计分。拼成得 3 分；能说出「第一层摆哪几块、占了哪几格」再加 2 分；用最少次数试错成功的，加 2 分。

小提示：先把「最怪」的那一块放下——它可放的位置最少，先安排它，后面就容易了。

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p.66试玩

拼三块四块组合

先从少量块开始，把空间感唤起来。

试玩 1（两块）。取两块 L 形三连块，拼出一个 2×2×2 的正方体去掉两角？——试试看，您会发现有些组合天生「对不上」，这本身就是收获。

试玩 2（三块）。把三块积木拼成一个 2×2×2 的立方体（共 8 个小立方体）：需要三块的数目加起来正好是 8（如 3 ＋ 3 ＋ 2，但索玛里没有 2 连块，所以要用 4 ＋ 3 ＋ 1，也不存在）——这条线索说明「数目必须吻合」是第一道关。

试玩 3（搭长条与塔）。用七块中的三块搭一个长 3、宽 1、高 2 的长方体（6 个小立方体），感受「分层摆放」的手感。

观察一每一块积木都有「最薄的方向」（哪一面贴桌最稳）。

观察二把块转一转，它的「影子」会变——同一个块从不同方向看形状不同。

观察三从上面往下看（俯视图）只能看到最上层；要「一层一层想」。

记录法用「坐标」记位置：把 3×3×3 的格子编号（层、行、列），每放一块就记下它占了哪几格。

p.67策略

空间想象与分层法

拼索玛立方体不是碰运气，有章法可循。

策略一：先放最「怪」的块。七块中形状最不规则的那块（可放位置最少），先安排它。它可以放的地方少，试起来快；把它放稳了，剩下的块自由度大，容易收尾。

策略二：分层填。把 3×3×3 分成三层（底层、中层、顶层），每一层都必须「铺满 9 格、不留空」。拼的时候心里默念「这一层满了吗」。只要有一层留下单格空位，几乎就是走不通了。

策略三：看角与棱。大立方体有 8 个角、12 条棱。每一块积木能覆盖的角数有限，先数清「哪一块能占哪个角」——8 个角必须都被某一块盖住，且不能有块同时占据两个角的位置（视形状而定）。角是最难安排的地方，先想角。

策略四：记住失败。每试一次失败就记下「是哪一层出了问题」。失败经验比成功更值钱——它会把您逼向唯一正确的那条路。

策略小结：先怪块、再分层、盯住角、记失败。四条用完，拼成只是时间问题。

p.68进阶

3×3×3 完整挑战

现在是正式挑战：把七块全部装进 3×3×3 立方体。

准备。把 3×3×3 的框架放在桌上，先想三层各占 9 格。七块积木共 27 个小立方体，若拼成立方体，每层恰好 9 个，没有一块可以「跨层多占」——每一块都必须完整地跨在它的位置上。

行进的次序。① 放最怪的那块（常有人选择把它放在底层角落）；② 补底层到 9 格满；③ 中层同样铺满；④ 顶层用剩下的块收尾。每完成一层就核对一次。

另一种玩法（不必是立方体）。用七块拼出其他造型：一把椅子、一座桥、一个「浴缸」、一只小狗。这些造型没有唯一答案，创意分比正确分更值钱。

难度提示。索玛立方体的「标准拼法」共有 240 种（不计旋转与整体翻转），所以不必担心「只有一种答案」——您有大量选择，只需要找到一条通过的路。

卡住时的三句话：① 有哪一层没铺满？② 哪一块还能塞进那个空位？③ 如果我换掉刚才那一块，会不会更顺？这三问能救出绝大多数僵局。

p.69复盘

空间思维总结

回头看看，这一站练的到底是什么？

数一数先算总数（27）与总数是否吻合，用它判断「有没有可能」。

转一转同一块积木换个方向看，形状不同——学会在脑子里「转」。

分层想把立体切成层，一层一层解决，把「三维」变成「二维」。

盯角棱先安排最难的位置（角），把自由度大的留到最后。

记录法用层面 + 格位记录，把「摆过的样子」写下来。

接受失败失败的摆法也是信息，它会缩小下一次的搜索范围。

空间想象力是什么？就是能在脑子里「转」一个物体，并把它的位置说清楚的能力。它不是天赋，是可以练出来的——您今天拼的每一次，都在练它。

复盘一问：如果不用手，只靠看同学摆好的图，您能说出「第五块放在第几层第几行第几列」吗？能说出来，才算真的懂了空间。

p.70思想卡

p.7

〔商功〕空间想象力是立体的眼睛

平面图形您可以一眼看全，立体图形却总有一面藏在您身后。空间想象力，就是让您「看见看不见的那一面」的能力。它靠三件事练出来：动手摆过、分层想过、用坐标记过。

这份能力对古人是生存技能。《九章算术》卷五「商功」里，古人要算城墙、堤坝、粮仓的土方量，形状有方、有圆、有上窄下宽的棱台，甚至还有「上方下圆」的混合体。要算对，必须在脑子里把这些形状拆成一块块熟悉的基本体，再各算各的、最后相加。这和您拼索玛立方体时「逐层铺满 9 格」的思路完全一致。

今天这份能力更值钱了：建筑设计师在脑子里旋转一栋楼；外科医生靠三维影像找到病灶；动画与游戏里的每个立体物件，都是用成千上万个小立方体（体素）或三角形拼出来的——屏幕上那个可以转的模型，本质上是「索玛立方体」的百万倍放大版。您今天练的那点空间感，正是这条路的起点。

带回家的一句话：看得见的是形状，想得到的是空间；空间感让您在三维世界里不迷路。

p.71对弈赛

索玛计时赛

赛制（4 人一组，两两对阵，每组一套索玛立方体与一个计时器，共三轮）：

第一轮·拼三块用指定的三块拼出一个 2×2×2 减去一角的形状，先完成者得 2 分。

第二轮·拼立方体七块拼成完整的 3×3×3 立方体，先完成者得 4 分，5 分钟内完成但稍慢者得 2 分。

第三轮·创意造型限时 8 分钟拼出「指定的造型」（椅子 / 桥 / 塔），由裁判按「形似度」与「解释是否清楚」打分，最高 5 分。

加分题向对手讲清「我第一层摆了什么、占了哪几格」，讲清加 3 分。

赛后复盘：赢的同学未必拼得最快，但一定失败得最有效率——他们每次失败都能说出「错在哪一层」。把失败变成线索，是这一站真正的比赛项目。

p.72游戏·任务

拼出指定造型并拍照

任务　① 用七块索玛积木拼出 2 个造型（一个是 3×3×3 立方体，另一个自己创作，如椅子、台阶、小狗）；② 每个造型从正面、上面、侧面各拍一张照，或画出三视图；③ 用「层次 + 格位」写一段说明，让别人能照着还原；④ 请家人按您的说明拼一次，验证您说清了没有。

造型名称	共几块	分几层	每层占几格	能否还原

如果家人照着您的说明拼不出来，问题通常不在他，而在您的说明里「有一步没说清」。补上那一步，您的空间表达就升级了。