九章格数学 PhiloMath · K2C 正文 · P 段
游戏数学·五之夏
P5-4 · 夏季段（编目代号 P5-4）· 游戏与实践册 · 正文编写版 · 已完成 72/72 页 · 2026-09-15
小学高段 · 五年级72 页 ＝ 8 单元 × 9 页体例：导入＋精讲＋练习＋思想卡＋游戏游戏与实践册
夏 日 游 戏〇体例说明（写给小读者和家长）
体例
本书怎么读：一个单元九页
全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右下角，如 3.14，小数乘法先按整数相乘再点上小数点，小数除法把除数变成整数再除；未知数用字母 x 表示，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；＞ ＜ ≥ ≤ 各就各位，中括号写成 ［ ］；上标用小肩数字，如 1 平方米＝10000 平方厘米、1 立方分米＝1000 立方厘米。因数与倍数：2、5、3 的倍数特征；体积与容积单位：立方米（m3）、立方分米（dm3）、升（L）、毫升（mL）。
一全册目录（八个单元 · 每单元 9 页）
- p.1–9第 1 单元 分数应用
- p.10–18第 2 单元 方程应用进阶
- p.19–27第 3 单元 找次品（逻辑）
- p.28–36第 4 单元 黄金分割
- p.37–45第 5 单元 包装与密铺
- p.46–54第 6 单元 数学阅读：无理数的发现
- p.55–63第 7 单元 数据与图表陷阱
- p.64–72第 8 单元 游戏站：独立钻石棋
第 1 单元 · UNIT 1
分数应用
p.1–9 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.1导入
喝了这瓶水的几分之几
一瓶水 500 毫升。小杏喝掉了一部分，瓶子里还剩 300 毫升露出水面。她问：「我喝了这瓶水的几分之几？」
图图说：「喝了 200 毫升，200 ÷ 500……这怎么写成几分之几？」
算一算。喝掉的是 500 − 300 ＝ 200 毫升。把它与「整瓶」相比：200 ÷ 500 ＝ 200500 ＝ 25。所以喝了这瓶水的 25。
阿禾总结：「求『A 是 B 的几分之几』，就用 A ÷ B，结果写成分数并约分。」
王老师说：「分数有两种身份：它是数，也是比较的工具。这一单元我们就练这件工具——什么时候用分数来说话，比说『200 毫升』更清楚。」
p.2精讲
求一个数是另一个数的几分之几
核心关系只有一句。
关系式。求「A 是 B 的几分之几」：A ÷ B ＝ 结果（写成分数，要约成最简）。被比较的量作分子，作为标准的量作分母。
例 1 全班 40 人，其中 16 人戴眼镜。戴眼镜的占全班的几分之几？16 ÷ 40 ＝ 1640 ＝ 25。
例 2 一根绳长 6 米，剪下 2 米，剪下的占全长的几分之几？2 ÷ 6 ＝ 13。而「剩下的占全长」是 4 ÷ 6 ＝ 23（与 13 合起来正好 1）。
例 3（谁作分母？）。男生 24 人、女生 16 人。「女生是男生的几分之几」→ 16 ÷ 24 ＝ 23；「男生是女生的几分之几」→ 24 ÷ 16 ＝ 32。问句里「是……的」，后面的那个量就是分母。
两个提醒。① 结果能约分必须约分；② 两个量必须同类可比（米比米、人比人），单位不同要先换算。
p.3精讲
求一个数的几分之几
现在反过来：已知整体，求它的一部分。
关系式。求「B 的 mn 是多少」：B ÷ n × m（先求一份，再求几份），或写成 B × mn。
例 1（分一群物体）。48 颗糖的 34 是多少颗？48 ÷ 4 × 3 ＝ 12 × 3 ＝ 36 颗。
例 2（一段长度）。一根 20 米的绳子，用去了 25，用去多少米？还剩多少米？用去 20 ÷ 5 × 2 ＝ 8 米；还剩 20 − 8 ＝ 12 米（也就是全长的 35）。
例 3（钱的几分之几）。零花钱 120 元，买书用了 13，买文具用了 14。买书 120 ÷ 3 ＝ 40 元，文具 120 ÷ 4 ＝ 30 元，共花 70 元，还剩 120 − 70 ＝ 50 元。
两种理解（都重要）。「48 的 34」既可以说成「把 48 平均分成 4 份取 3 份」，也可以说成「48 乘 34」。两种说法结果一样——这正好说明分数就是个「待乘的数」。
检查办法：求出的部分一定小于整体（真分数的情形）。若算出「36 颗糖的 34 是 48 颗」，说明分子分母对调了。
p.4精讲
已知部分求整体初感
最难的一类：只知道一部分，要推回整体。
例 1（用除法）。一本书读了 60 页，正好是全书的 35。全书多少页？60 ÷ 3 ＝ 20（一份），20 × 5 ＝ 100 页。
例 2（画线段图）。把整体画成 5 段，其中 3 段是 60 页，则每段 20 页，全长 100 页。线段图是这类题最好用的工具。
例 3（一题两问）。一桶油用去 25 后还剩 18 升，这桶油原来多少升？剩下的占 1 − 25 ＝ 35，18 ÷ 3 ＝ 6（一份），6 × 5 ＝ 30 升。
思路三步。① 找出「已知的量」占整体的几分之几；② 用除法求出「一份」是多少；③ 乘上总份数，得整体。一句话：部分 ÷ 它占的分数 ＝ 整体。
这类题最容易错在「把已用去的分数当成剩下的」。做题第一步永远先在图上标清楚：哪一段是用去的、哪一段是剩下的、题目给的是哪一段。
p.5精讲
分数应用综合
把三类问题混起来练，学会先判断「这是哪一类」。
例 1（比较型）。一班 45 人，二班 36 人。一班人数是二班的几分之几？45 ÷ 36 ＝ 54（假分数，表示一班比二班多）。
例 2（求部分型）。一本书 240 页，小明第一天读了 14，第二天读了 13。两天各读多少页？共读几分之几？第一天的 240 ÷ 4 ＝ 60 页，第二天 240 ÷ 3 ＝ 80 页；共读 14 ＋ 13 ＝ 712，即 140 页；还剩 100 页。
例 3（求整体型）。果园里桃树 90 棵，占全部果树的 38。全部果树多少棵？90 ÷ 3 × 8 ＝ 240 棵。
例 4（两步混合）。一批水果 200 千克，苹果占 25，其余是梨。梨有多少千克？苹果 200 ÷ 5 × 2 ＝ 80 千克；梨 200 − 80 ＝ 120 千克（也可写 200 × 35）。
判类三问。① 题目给的是「一个量」还是「两个量」？两个量比 → 比较型（用除法）；② 只有一个整体量，问它的一部分 → 求部分型（先除后乘）；③ 给出的是「一部分＋它占的分数」，问整体 → 求整体型（部分 ÷ 分数）。
p.6练习
题组
A 组·比较型 ① 25 是 100 的几分之几？② 全班 48 人，女生 20 人，女生占全班的几分之几？③ 男生 24 人、女生 18 人，男生是女生的几分之几？
B 组·求部分 ① 36 的 23 是多少？② 80 千克的 35 是多少千克？③ 一段 60 米的路，已修了 34，已修多少米？还剩多少米？
C 组·求整体 ① 一本书读了 45 页，占全书的 38，全书多少页？② 一桶油用去 14 后还剩 30 升，原来多少升？
D 组·综合 一批大米 300 千克，第一天卖出 15，第二天卖出 14。① 两天各卖多少千克？② 共卖出几分之几？③ 还剩多少千克？
E 组·挑战 小明读一本书，第一天读了全书的 14，第二天读了剩下的 13，这时还剩 60 页。全书共多少页？（提示：先算出「剩下的」是多少页）
p.7思想卡
p.7
〔衰分〕分数是比较与应用的语言
分数最实用的地方，不是「表示一块饼」，而是比较。说「喝了 200 毫升」，您不知道喝得多还是少；说「喝了整瓶的 25」，您立刻明白这是多少。分数把「绝对量」变成了「相对量」——相对量才能跨场合比较。
这份能力在生活里天天用：浓度、折扣、成材率、命中率、增长率，全是「一部分与整体相比」的分数（或者它的兄弟：百分数）。而「求一个数的几分之几」这个动作，就是把比例关系变成实际的数量——这是所有分配、预算、统计的起点。
中国古人对这件事的重视，写在一整章的标题里：《九章算术》卷三叫「衰分」。「衰」是依次递减，「分」是分配——讲的就是「按不同的比例把东西分下去」：爵位高的多分、路程远的少摊、户数多的多派。要分得公平，就必须把每一份写成「占总量的几分之几」，再乘总量。这和今天按比例分配奖金、按份额分担成本，用的是同一种算法。两千年前的「衰分」，就是分数的第一次大规模应用。
带回家的一句话：分数既是「一块」，也是「一份比率」；会用后一种眼光，您就开始用数学思考世界。
p.8游戏迁移
分数应用编题
玩法（4 人一组，每人当一次「出题人」）：出题人给出一个分数与一组数据，要同伴现场编出一道分数应用题并算出答案；编得合理、算得正确的得 1 分，能指出「这是三类中的哪一类」再加 1 分。
关卡 1·比较型给定「25 与 100」，编出「25 是 100 的几分之几」。
关卡 2·求部分型给定「48 颗糖与 34」，编出求部分的题。
关卡 3·求整体型给定「60 页与 35」，编出求全书的题。
关卡 4·两步综合给定「300 千克、15 与 14」，编出两问的题。
赛后小结：编题的关键是先把「整体」交代清楚——不写清整体是谁，题目就没有答案。这也是读题时要抓的第一个信息。
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p.9游戏·任务
统计家庭开支占比
任务 ① 向家长了解本月家里的 4～5 项主要开支（食品、水电、交通、教育、其他）；② 算出各项占总开支的几分之几（先求小数，再化成最简分数）；③ 找出占比最大的一项；④ 把结果画成表格或条形图。
| 开支项目 | 金额（元） | 占比（分数） | 占比（小数） |
|---|
| 食品 | | | |
| 水电 | | | |
| 交通 | | | |
| 教育 | | | |
| 其他 | | | |
做完自查：各项占比加起来是不是正好等于 1？如果差一点，就是某一项算错了。「和等于 1」是分数应用题最方便的自检工具。
第 2 单元 · UNIT 2
方程应用进阶
p.10–18 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.10导入
年龄问题里的不变量
图图问王老师：「我今年 11 岁，妈妈 38 岁。再过几年，妈妈的年龄是我的 3 倍？」
小杏试着倒推：「3 倍……38 除以 3 除不尽。」阿禾在白纸上写下：设再过 x 年，38 ＋ x ＝ 3(11 ＋ x)。
解一解。38 ＋ x ＝ 33 ＋ 3x → 38 − 33 ＝ 3x − x → 5 ＝ 2x → x ＝ 2.5。再过 2.5 年（两年半）。检验：那时图图 13.5 岁、妈妈 40.5 岁，40.5 ＝ 3 × 13.5 ✓
王老师点头：「注意一件事——两人同时长大，岁数差永远不变：38 − 11 ＝ 27，两年半后还是 27。这个『不变量』是做年龄题的眼睛。」
「这一单元，我们用方程去处理几类经典的『难题』：相遇、工程、鸡兔。您会发现——它们看起来各不相同，列方程的套路却是同一个。」
p.11精讲
相遇问题方程版
两人从两地同时出发、相向而行，什么时候相遇？
例 1（相遇求时间）。两地相距 180 千米。甲车每小时 50 千米，乙车每小时 40 千米，同时出发相向而行，几小时相遇？
设 x 小时相遇。等量关系：甲走的路 ＋ 乙走的路 ＝ 全程。
50x ＋ 40x ＝ 180 → 90x ＝ 180 → x ＝ 2 小时。
例 2（相遇求速度）。两地相距 240 千米，两车同时相向而行，2 小时后相遇。已知甲车每小时 70 千米，乙车每小时多少千米？
70 × 2 ＋ 2x ＝ 240 → 140 ＋ 2x ＝ 240 → x ＝ 50 千米/时。
例 3（追及问题）。甲每小时走 4 千米，先走 1 小时后乙以每小时 6 千米追。几小时追上？
等量关系：乙走的路 ＝ 甲走的路。6x ＝ 4(x ＋ 1) → 6x ＝ 4x ＋ 4 → x ＝ 2 小时。
两个基本关系。相遇：速度和 × 时间 ＝ 路程；追及：速度差 × 时间 ＝ 追及的距离。画一条线段、标出两人的路程，关系看得最清。
p.12精讲
工程问题初感
把「一项工作」看作单位「1」，这是工程问题的第一步。
核心约定。把工作总量看作 1。若某人 a 天完成全部工作，则他每天完成 1a（工作效率 ＝ 1 ÷ 时间）。
例 1（两人合作）。甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。两人合作几天完成？
甲每天 110，乙每天 115。设合作 x 天完成：(110 ＋ 115)x ＝ 1，括号内合起来是 16，所以 x ＝ 6 天。
例 2（一队先做）。一项工程甲 12 天完成、乙 24 天完成。甲先做 3 天，剩下的由两人合作，还要几天？
甲 3 天完成 3 × 112 ＝ 14，剩 34。两人合作每天 112 ＋ 124 ＝ 18，还需 x 天：18x ＝ 34 → x ＝ 6 天。
例 3（先求效率）。一项工作甲每天做 16、乙每天做 19。两人合做 2 天后，甲离开，乙还要几天做完？
2 天共完成 2 × (16 ＋ 19) ＝ 59，剩 49；乙每天 19，还需 4 天。
工程问题的三个关键：① 工作总量写作 1；② 效率 ＝ 1 ÷ 时间，用分数表示；③ 等量关系永远是「已完成 ＋ 未完成 ＝ 1」。
p.13精讲
鸡兔方程版
经典的「鸡兔同笼」，用方程做最省心。
例 1（经典题）。笼里鸡兔共 20 只，脚共 56 只。鸡兔各几只？
设鸡 x 只，则兔 20 − x 只。等量关系：鸡脚 ＋ 兔脚 ＝ 56。
2x ＋ 4(20 − x) ＝ 56 → 2x ＋ 80 − 4x ＝ 56 → 80 − 2x ＝ 56 → x ＝ 12。鸡 12 只、兔 8 只。检验：12 × 2 ＋ 8 × 4 ＝ 24 ＋ 32 ＝ 56 ✓
例 2（换情境）。买邮票：甲种每张 0.8 元、乙种每张 1.2 元，共买 12 张花 11.6 元。两种各买几张？
设甲种 x 张，乙种 12 − x 张：0.8x ＋ 1.2(12 − x) ＝ 11.6 → 0.8x ＋ 14.4 − 1.2x ＝ 11.6 → −0.4x ＝ −2.8 → x ＝ 7。甲种 7 张、乙种 5 张。
例 3（得分问题）。答对一题得 5 分，答错一题倒扣 2 分，共 20 题得 72 分。答对几题？
设答对 x 题，答错 20 − x：5x − 2(20 − x) ＝ 72 → 5x − 40 ＋ 2x ＝ 72 → 7x ＝ 112 → x ＝ 16 题。
这类题的共同骨架。① 设「一个未知量」为 x；② 用总数表示另一个（如 20 − x）；③ 用「另一个总量」列方程（脚数、金额、分数）。「两个总数」是这类题的两条腿。
p.14精讲
算术与方程双解对照
同一道题，两条路走一遍，您会更懂两种方法各自的脾气。
题目。鸡兔共 20 只，脚共 56 只，求鸡兔各几只？
方程法（顺着写）。设鸡 x 只，兔 20 − x 只，2x ＋ 4(20 − x) ＝ 56，得 x ＝ 12。步骤多但思路统一，不管什么题都这么走。
算术法（假设法，倒着想）。假设 20 只全是鸡，共有脚 20 × 2 ＝ 40 只，比实际少 56 − 40 ＝ 16 只。每把一只鸡换成兔，脚多 2 只，所以要换 16 ÷ 2 ＝ 8 只——兔 8 只，鸡 12 只。算式短，但要先想到「假设全是鸡」。
方程法的长处思路固定、适合复杂题、不容易绕晕。
方程法的代价书写较多，解方程要细心（尤其括号展开）。
算术法的长处算式精简，算得快，适合熟练者。
算术法的代价每种题型要另想一招，「假设什么」全靠经验。
双解对照的意义：您会两种方法，就能互相验证。两法得到同一个答案，几乎可以断定算对了——这是考场上最可靠的保险。
p.15练习
综合题组
A 组·年龄 ① 爸爸今年 40 岁，儿子 12 岁。几年后爸爸的年龄是儿子的 2 倍？② 今年母女年龄和为 50 岁，5 年后母亲是女儿的 3 倍。今年各多少岁？
B 组·行程 ① 两地相距 300 千米，两车相向而行，甲 60 千米/时、乙 40 千米/时，几小时相遇？② 甲先走 2 小时（4 千米/时），乙以 6 千米/时去追，几小时追上？
C 组·工程 ① 甲 8 天完成、乙 12 天完成，合做几天完成？② 甲 10 天完成、乙 15 天完成，甲先做 2 天后两人合做，还要几天？
D 组·鸡兔型 ① 三轮车与小汽车共 15 辆，轮子共 54 个（三轮车 3 轮、汽车 4 轮），各几辆？② 答对得 8 分、答错扣 3 分，20 题得 124 分，答对几题？
E 组·双解 鸡兔共 35 只，脚共 94 只。请用方程法与假设法各解一次，比较两种解法。
p.16思想卡
p.7
〔方程〕顺向思维的力量（拓展体验▲）
算术法有个隐形的门槛：它要求您倒着想。「鸡兔同笼」要想到「假设全是鸡」；「工程问题」要想到「把总量看作 1」；「年龄问题」要想到「差不变」。这些「想到」需要经验，也需要灵感。
方程却把这些门槛全拆了。它只要求做一件事：照着题目的话往下写。未知数用字母代表，照样参与运算；题目说「共 20 只」，就写 x ＋ y ＝ 20；题目说「脚共 56 只」，就写 2x ＋ 4y ＝ 56。剩下的交给等式性质——一步步把字母周围的东西搬走。
这就是顺向思维的威力：把「需要灵光一闪」的问题，变成「有固定流程」的问题。数学史上这一步极关键——中国古代的「方程」章（《九章算术》卷八）用「遍乘直除」的机械步骤解出成组的等量关系，是世界上最早的线性方程组解法之一；欧洲直到十六、十七世纪，才由笛卡儿等人把字母记号彻底普及。您今天随手写下 x，是这条千年长路的结果。
带回家的一句话：聪明靠灵感，可靠靠流程。方程给您的，是「不必靠灵感也能解出来」的底气。
p.17游戏迁移
双解比赛
玩法（4 人一组，两两对阵）：裁判给出一道典型题（年龄 / 行程 / 工程 / 鸡兔），两队各用规定的方法（一队用方程、另一队用算术）解出，先解完且正确者得 3 分；若能说出另一种方法的第一步，再加 2 分。
关卡 1·年龄爸爸 40 岁、儿子 12 岁，几年后爸爸年龄是儿子的 2 倍？（提示：差 28 不变）
关卡 2·行程两地相距 300 千米，相向而行 60 与 40 千米/时，几小时相遇？
关卡 3·工程甲 8 天、乙 12 天，合做几天完成？
关卡 4·鸡兔共 35 只、94 只脚，各几只？两队各用一种方法，比谁先说出答案。
赛后小结：比赛里最快的往往是算术法，最稳的是方程法。真正的高手会先判断：「这道题我一眼看得出巧劲吗？」看得出就用算术，看不出就用方程——选工具，就是数学的判断力。
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p.18游戏·任务
选一道难题写两种解法
任务 ① 从本单元的四类题（年龄 / 行程 / 工程 / 鸡兔型）中选一道您觉得最难的；② 分别用方程法与算术法各解一次；③ 比较两种方法的步骤数、易错点、思路是否顺畅；④ 写一段 3 句话的小结：这道题我更喜欢用哪种方法，为什么。
写完请家长看一眼：他当年学这类题时用哪种方法？数学的教法在变，但「两种方法互相印证」这条经验，一直很好用。
第 3 单元 · UNIT 3
找次品（逻辑）
p.19–27 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.19导入
81 个零件一个次品
工厂送来 81 个零件，其中 1 个是次品——它比正品轻一点，外形完全一样。质检员只有一架天平，没有砝码。
图图挠头：「一个一个比？那要称好多次。」阿禾想了想：「可以先分组——把 81 分成三堆，每堆 27 个。」
看这一步。拿两堆上天平：① 若平衡，次品在第三堆里；② 若某边翘起，次品就在那一堆里。称一次，就把范围从 81 个缩到 27 个。
小杏接着说：「27 再分三堆各 9 个，9 再分三堆各 3 个，3 再分……」
王老师说：「81 → 27 → 9 → 3 → 1，正好 4 次。这就是本单元最漂亮的一道题——怎样用最少的称重次数，找出那一个次品。它考的不是运气，是策略。」
p.20规则
天平称重规则
本游戏的规则（每一局都守着这四条）：
规则一（只比重量）。没有砝码，天平只能比较两边谁重、谁轻、或一样重。每次称重只有三种结果。
规则二（次品轻一点）。已知次品比正品轻。若题目改成「次品可能轻也可能重」，难度会大增——本单元先做「已知偏轻」这一种。
规则三（称完要说得清）。每次称重必须说：「我把哪几个放左边、哪几个放右边」「结果说明次品在哪一堆」。
规则四（计数要公平）。比拼的是称重次数，不是时间。次数少者胜。
计分。找出次品得 3 分；说出「称几次、每次怎么分」再加 2 分；能解释「为什么这样分最好」加 3 分。
请先记住一条经验：每次称重都有三种结果，所以一次称重最多能把范围分成三份。这是全单元的钥匙。
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p.21试玩
3 个 5 个的找法
先从小数目开始，把「分组—称—判断」的手感练出来。
试玩 1（3 个）。取 1 号称左边、2 号称右边。
① 若平衡 → 次品是 3 号；② 若 1 号轻 → 次品是 1 号；③ 若 2 号轻 → 次品是 2 号。一次搞定。
试玩 2（5 个）。先取 2 个对 2 个（1、2 号 vs 3、4 号）：
① 若平衡 → 次品是剩下的 5 号，一次完成；
② 若不平衡 → 次品在轻的那两个里，再称一次就能确定。所以 5 个最多要 2 次。
试玩 3（9 个）。分成 3、3、3：称两堆。
① 平衡 → 次品在第三堆，再称一次可定；② 不平衡 → 在轻的那堆，再称一次同样可定。2 次。
数一数3 个 → 1 次；9 个 → 2 次；27 个 → 3 次；81 个 → 4 次。
看看规律每多称一次，能查的数目变成前一个的 3 倍。
想一想「为什么是 3 倍」——每次称重有 3 种结果。
动手做用 9 枚硬币（其中一枚稍轻）实际称一次，把过程写下来。
p.22策略
三分法最优
为什么一定要分三份，而不是两份？
比较两种分法（以 9 个为例）。① 分两份（4 与 5）：称 4 对 4。若平衡，次品在剩下的 1 个里（运气好）；若不平衡，次品在轻的那 4 个里，还要继续分。最坏情况下需要 3 次。② 分三份（3、3、3）：称 3 对 3，无论平衡与否，范围都缩到 3 个；再称一次即可。最坏情况 2 次。
三分法的道理。每次称重有 3 种结果（左轻 / 右轻 / 平衡）。要让「每种结果都尽可能分担少的数量」，就必须把物品分成尽量相等的三堆，而不是两堆。
具体分法（通用写法）。待查 n 个，取 q ＝ n ÷ 3：分成 q、q、n − 2q 三堆（第三堆可多一点或少一点，但差距不要超过 1 个）。称前两堆。
例（10 个）。分成 3、3、4：称 3 对 3。若平衡，次品在 4 个里，再称 1 对 1（留 2 个），最多再 2 次；若不平衡，在 3 个里，1 次即可。共 3 次。（而 32 ＝ 9 ＜ 10，所以 3 次是必要的，不能更少。）
p.23进阶
称 k 次最多辨多少
现在把规律写成公式，这是本单元最重要的结论。
核心结论。用天平称 k 次，最多能找出次品的数目是 3k 个（次品已知偏轻或偏重的情形）。
反过来：要处理 n 个物品，所需次数是「最小的 k，使 3k ≥ n」。
例 1（查表）。31 ＝ 3、32 ＝ 9、33 ＝ 27、34 ＝ 81、35 ＝ 243。所以：3 个要 1 次；4～9 个要 2 次；10～27 个要 3 次；28～81 个要 4 次；82～243 个要 5 次。
例 2（为什么？）。每次称重有 3 种结果，k 次称重就有 3 × 3 × … × 3 ＝ 3k 种「结果组合」。每一种结果组合必须对应一个「次品是谁」的答案，否则就分不清。所以 3k 必须不小于物品个数——这就是「最多能辨 3 的 k 次方个」的理由。
例 3（回到开头）。81 个零件：34 ＝ 81，所以 4 次恰好够，而且不能更少（因为 33 ＝ 27 ＜ 81）。前面讲的「81 → 27 → 9 → 3 → 1」，正好把 81 用到了极限。
动手算一算：① 26 个零件要称几次？（答：3 次，因 27 ≥ 26 ＞ 9）② 100 个呢？（答：5 次，因 81 ＜ 100 ≤ 243）
p.24复盘
最优策略证明初感
我们已经会算了。但要回答一个更硬的问题：为什么不能更少？
下界论证（很重要的一种思路）。假设只称 3 次就能在 81 个里找出次品。那么 3 次称重的「结果组合」共有 33 ＝ 27 种。可需要区分的答案有 81 种（次品可能是 1 号、2 号……81 号）。27 种结果无法一一对应 81 种答案，所以必然有两种情况「结果完全一样」——那就分不清了。结论：3 次不可能，至少 4 次。
步骤一数「可能答案」的个数（81）。
步骤二数「观察结果」的个数（3 的 k 次方）。
步骤三比较：结果数必须 ≥ 答案数。
步骤四得出下界，再用具体分法达到它 → 就是最优。
这套思路的名字。「先证明至少需要多少次，再给出做到这么少的方法」，是数学里证明「最优」的标准套路。您今天做的事情，和运筹学、信息论里的论证是一样的。
复盘一问：如果题目改成「次品可能轻也可能重」（而且不知道是哪种），3 次还能辨 27 个吗？——不能，因为答案多了一倍（轻 / 重各算一种情况）。这条思考留着，初中会正式遇到。
p.25思想卡
p.7
信息最大化：每次称重都要问对问题
找次品的本质，是用最少的提问，得到最多的信息。每一次称重都是一次「提问」：「次品在左边、在右边、还是不在天平上？」——三种回答，正好把可能性切成三份。把三份切得尽量平均，才能把不确定性砍掉最多。
这就是信息最大化的思想：一次操作能区分多少种情况，取决于它有几种结果。天平给 3 种，所以每次能把范围压到三分之一；称 k 次，就能处理 3k 个。这已经悄悄通向二十世纪才正式建立的信息论——信息量是可以计算的，办法是数「有多少种可能结果」。
古人也会这招。中国的「均输」章讲按标准摊派，要求「一次算清、不出纠纷」，本质上也是在设计流程让每步都产生最大信息；而「少广」章开方时，逐位求商、每次用平方差试，正是「每一步都缩小范围」的古老做法。两千年前的中国算法，和今天的「二分查找」「三分查找」，是同一种智慧的两种说法。
带回家的一句话：聪明的问题，是那种「无论怎么答，都能砍掉一大半可能」的问题。
p.26对弈赛
找次品竞速
赛制（4 人一组，两两对阵，每组一副「小球+天平卡」道具，共三轮）：
第一轮·9 个找出 1 个偏轻的小球，要求 2 次内完成。先完成者得 2 分。
第二轮·27 个3 次内完成，先完成者得 3 分；能说出「第一次把 27 分成 9、9、9」再加 2 分。
第三轮·10 个这题有点怪：10 个球称 3 次能不能保证找出？抢答并说明理由（答：能，因为 33 ＝ 27 ≥ 10）。
加分题「100 个零件最少称几次？」抢答 5 次，并说明「因为 34 ＝ 81 ＜ 100 ≤ 243 ＝ 35」，加 3 分。
赛后复盘：速度慢的组，多是把「平均分三份」做成了「差不多分三份」。8、8、8 比 10、7、7 好——差一点点，最坏情况就会多一次。
p.27游戏·任务
设计一道找次品题
任务 ① 自己设计一道找次品题（给出物品个数、次品偏轻或偏重）；② 写出最少称重次数，并用 3k 的规律说明「为什么不能更少」；③ 写出具体的分组方案（每次怎么称、若平衡或不平怎么办）；④ 拿给同学做，看他几次能找出。
设计时注意：如果题目说「次品可能轻也可能重」，最少次数会变多——那是一个更难的问题（提示：答案多了一倍）。有兴趣可以试着研究一下。
第 4 单元 · UNIT 4
黄金分割
p.28–36 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.28导入
为什么矩形好看
美术课上，老师摆出三张卡片：一张很长的（20 厘米 × 4 厘米）、一张很方的（10 厘米 × 10 厘米）、一张不大不小的（16 厘米 × 10 厘米）。她问：「哪一张看着最舒服？」
全班几乎都指向第三张。小杏说：「它不胖也不瘦。」阿禾拿出尺子算了算：16 ÷ 10 ＝ 1.6。
记下这个数。把长除以宽，得到 1.6；反过来宽除以长，得到约 0.618。这个比值，就是大名鼎鼎的黄金比。
图图追问：「那 1.6 有什么特别？」
王老师指着那张卡片：「它不是随便『好看』——您量量身份证、银行卡、书本、窗户，会发现很多都是这个比例。这一单元，我们就去找找这个数藏在哪儿，以及它为什么让人看着舒服。」
p.29精讲
黄金比 0.618
黄金比有一个漂亮得让人记住的定义。
定义。把一条线段分成两部分，使全长与较长部分的比等于较长部分与较短部分的比，这个比值就叫黄金比，约为 1.618 : 1（或写作 0.618 : 1）。
例 1（用线段理解）。设较长为 1，较短为 x。则要求 (1 ＋ x) ÷ 1 ＝ 1 ÷ x，即 x2 ＋ x ＝ 1，解得 x ≈ 0.618。所以较长与较短的比是 1 : 0.618 ≈ 1.618 : 1。
例 2（用在矩形上）。宽 10 厘米、长 16.18 厘米的矩形叫黄金矩形：16.18 ÷ 10 ≈ 1.618。上面那张 16×10 的卡片，正是按这个比例裁的。
例 3（两种说法都常见）。① 长∶宽 ≈ 1.618∶1；② 宽占长的 0.618。做题时看清题目问的是哪一个。如：一根 100 厘米的绳子按黄金比分成两段，长的那段约 100 × 0.618 ＝ 61.8 厘米，短的一段约 38.2 厘米。
记住这个数就够用：黄金比 ≈ 0.618（或 1.618）。它的正式写法是一个无限不循环小数，我们在「无理数」那一课还会见到它。
p.30精讲
黄金矩形与螺线
黄金矩形有个奇特的性质：不断切下去，形状永不改变。
切法。在一个黄金矩形里画一个最大的正方形，剩下的小矩形还是一个黄金矩形（比例不变）。再在里面画一个最大的正方形，又剩下一个黄金矩形……可以一直切下去。这叫「自相似」。
连成螺线。在每个正方形里，以正方形边长为半径画四分之一圆弧，把这些弧顺次连起来，就得到一条优美的黄金螺线——它越转越大，但形状始终一样。
自然界的例子。鹦鹉螺的壳、向日葵花盘的种子排列、羊角、松果的鳞片、台风的云系，都呈现出类似黄金螺线的形状。它们长大时「按同样的比例」增加，所以形状不变。
动手 1取一张长 16.2 厘米、宽 10 厘米的纸，画最大的正方形并剪下，看剩下的是不是黄金矩形。
动手 2在切出的各正方形里画四分之一圆弧，连成螺线。
观察螺线每一圈的宽度，大约是前一圈的 1.6 倍。
联系这种「按同一比例长大、形状不变」的性质，是自然界最常见的生长规律。
p.31精讲
艺术与建筑中的黄金比
黄金比被称为「美的比例」，因为它出现在大量艺术品与建筑里。
例 1（建筑）。古希腊帕特农神庙正面的宽与高之比接近黄金比；许多教科书、身份证、信用卡、A4 纸的裁切也都接近这个感觉（A4 的比例是 √2，是另一种「折半不变」的比例，与黄金比不同，但同样讲究）。
例 2（绘画与摄影）。画家把画面的主体放在「黄金分割点」上（把画面按 0.618 分割出的四条线的交点上）；摄影里的「三分法构图」（把画面横竖各三等分，主体放在交点）就是黄金分割的简化版，效果立竿见影。
例 3（中国之美）。中国古建筑讲究「比例匀称」：故宫太和殿的面阔与进深、古典园林中的门窗、书法中的「结字」讲「上紧下松、左紧右松」，都在追求「不平衡中的平衡」——与黄金比的精神相通。美的比例是人共通的感受。
科学的一点提醒。并不是所有「好看的」东西都严格等于 1.618，也不是所有 1.618 都好看。黄金比更像一个参考坐标：它告诉我们，人对「既不方也不长」的比例有天然偏好——而 1.618 恰好落在那个舒服的区间里。
p.32精讲
斐波那契数列初感
黄金比还藏在一串「兔子数」里。
斐波那契数列。从 1、1 开始，每一项等于前两项之和：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
例 1（神奇的地方）。把相邻两项相除：2÷1 ＝ 2、3÷2 ＝ 1.5、5÷3 ≈ 1.667、8÷5 ＝ 1.6、13÷8 ＝ 1.625、21÷13 ≈ 1.615、34÷21 ≈ 1.619、55÷34 ≈ 1.618……越往后，越接近黄金比 1.618。
例 2（为什么？）。可以这样想：如果相邻两项的比稳定在某个数 r，那么「后一项 ＝ 前一项 ＋ 再前一项」就变成 r ＝ 1 ＋ 1 ÷ r，解得 r ≈ 1.618——正好是黄金比。两个看起来毫无关系的东西，竟然对上了。
例 3（自然里的兔子数）。向日葵的花瓣数常是 21、34、55；松果的螺旋数常是 8 与 13；菠萝的鳞片排成 8 与 13 两族螺旋——都是斐波那契数列里的数。植物按「上一代 ＋ 上一代」的方式生长，自然就长出了这串数。
动手算：写出斐波那契数列前 12 项（1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144），再算 89÷55 与 144÷89，看看各是多少。
p.33练习
测量与验证
A 组·算比值 算出下面矩形的长宽比，并判断哪个最接近黄金比（1.618）：① 长 20 厘米、宽 4 厘米；② 长 16 厘米、宽 10 厘米；③ 长 24 厘米、宽 15 厘米；④ 长 10 厘米、宽 10 厘米。
B 组·按黄金比分割 ① 一根 100 厘米的绳子按黄金比分成两段，各约多少厘米？② 一条 50 厘米的线段，较长的一段约多长？（提示：50 × 0.618）
C 组·实际测量 量一量下面物品的长与宽，算出比值，看哪些接近 1.6：① 数学书封面；② 一张银行卡或公交卡；③ 一扇门或一扇窗户。
D 组·斐波那契 ① 写出斐波那契数列前 10 项；② 计算 21÷13、34÷21、55÷34，看它们怎样逼近 1.618；③ 找出数列里第 7 项与第 10 项各是多少。
E 组·思考 把一张黄金矩形按「切掉最大正方形」的办法剪 3 次，剩下的矩形长宽比是多少？这说明什么？
p.34思想卡
p.7
美是有数字的〔粟米〕
「美」听起来最不像数学，可它偏偏能被写成数字。黄金比 1.618 出现在建筑、绘画、证件、窗户里，也出现在向日葵和鹦鹉螺里——人眼与自然，似乎共享了同一个比例偏好。这不是巧合，而是「按同样比例增长」这件事带来的结果：形状保持不变，眼睛就感到安定。
数学与美的结合，中国古人早有体会。《九章算术》卷一「方田」讲田地面积与形状的算法；卷二「粟米」讲粮食按比例换算（粟、米、麦之间的兑换）；卷三「衰分」按比例分配。这些「比例」看起来只与实用有关，实际上正是比例感让人把器物做得匀称、把赋税算得公平。中国古人把比例写进了算法，也写进了青铜器的纹样、园林的布局、书法的结字。
再往后看，黄金比和斐波那契数列还有更惊人的身份：它们在植物生长、晶体结构、甚至股市波动的模型里反复出现。数学家用一个词形容这种现象——普遍性。同一把钥匙，能打开很多看起来无关的门，这就是数学最令人着迷的地方。
带回家的一句话：美常常是有道理的；找到那个道理，您就既懂了美，也懂了数学。
p.35游戏迁移
黄金比找茬
玩法（4 人一组，每组一把直尺与 6 张不同形状的矩形卡）：限时 10 分钟，量出每张卡的长与宽、算出比值，把「最接近黄金比」与「最不像黄金比」各挑出来，并说出理由。
关卡 1·量一量量出 6 张卡片的长与宽，填表算出比值（保留两位小数）。
关卡 2·排一排按「离 1.618 的远近」排序，找出最接近与最不接近的。
关卡 3·猜一猜不看尺子，先凭眼力把 6 张卡分成「舒服」与「不舒服」两类，再量一量验证——对了几个？
关卡 4·画一画用直尺画一个「比 10 厘米宽、接近黄金比」的矩形，让同伴量一量判断像不像。
赛后小结：眼力往往比想象中准——很多人凭感觉分出的「舒服组」，量出来真的接近 1.6。这说明比例感是人天然的直觉，而数学把它变成了可以计算的数。
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p.36游戏·任务
量五件物品验证黄金比
任务 ① 选家里 5 件长方形物品（书、卡、屏幕、相框、门、窗、镜子等）；② 量出长与宽，算出长宽比（保留两位小数）；③ 判断哪些接近黄金比 1.618；④ 找出「最接近」与「最远」的各一件，写下您的发现。
如果某项的比值是 1.41 左右，那可能是「A4 比例」（√2 ≈ 1.414）——A 系列纸张都用它，因为「对折以后比例不变」。两种比例各有各的用处，都值得认识。
第 5 单元 · UNIT 5
包装与密铺
p.37–45 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.37导入
商品的包装盒怎么省料
数学活动课上，王老师搬来一箱牛奶：每盒牛奶是一个长方体，长 6 厘米、宽 4 厘米、高 10 厘米。
「如果要把 2 盒装在一起卖，包装纸用多少？」小杏一算：「一盒表面 (6×4 ＋ 6×10 ＋ 4×10) × 2 ＝ 248 平方厘米，两盒就是 496 平方厘米。」
阿禾摇头：「不用那么多！两盒贴在一起的那一面，就不用包纸了。」图图也表示：「那贴哪一面最省？」
算两种贴法。① 把最大面（6 × 10）贴在一起：省下 2 × 60 ＝ 120 平方厘米 → 共 496 − 120 ＝ 376；② 把最小面（4 × 6）贴在一起：只省 2 × 24 ＝ 48 → 共 496 − 48 ＝ 448。
王老师说：「同样两盒牛奶，包装纸能差 72 平方厘米。这就是『优化问题』——在条件一样的情况下，找出最省的那一种。这一站我们专门研究怎么摆最省料。」
p.38规则
包装最优规则
本游戏的规则（摆放与计算的统一约定）：
规则一（只能整盒摆放）。盒子必须面贴面地拼在一起，不许斜放、不许重叠、不许留缝。允许整体旋转以改变贴合的面。
规则二（减少的面翻倍）。两盒贴在一起时，重合的两个面都不用包纸，所以表面积减少「重合面面积 × 2」。这是全部计算的出发点。
规则三（比总表面积）。比的是拼好之后整个大长方体的表面积（也就是「用纸量」），不是单个盒子的面积。
规则四（说清贴合面）。每提一个方案，都要说：「我把哪两个面贴在一起」「省下多少平方厘米」。
计分。方案算对 2 分；指出「哪种最省」并说明理由 2 分；能说出「为什么」的一般道理（重合面越大越省）加 3 分。
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p.39试玩
两盒牛奶的包装
用长 6、宽 4、高 10（厘米）的牛奶盒，把三种贴法都算一遍。
三种贴法。盒子的三个面面积分别是：6 × 10 ＝ 60（最大）、4 × 10 ＝ 40（中等）、4 × 6 ＝ 24（最小）。
贴 60 的面。减少 60 × 2 ＝ 120 → 表面积 496 − 120 ＝ 376 平方厘米。拼成的长方体是 12×10×4（或 6×10×8）。
贴 40 的面。减少 80 → 表面积 416 平方厘米。拼成 6×20×4。
贴 24 的面。减少 48 → 表面积 448 平方厘米。拼成 6×8×10。
结论。把最大的面贴在一起最省纸（376 ＜ 416 ＜ 448）。道理很直白：省下的纸 ＝ 被遮住的面 × 2，遮得越大越省。
验算小技巧：用「拼成大长方体的长宽高」再算一次表面积，看是否与「496 减去减少量」一致。两种算法结果相同，说明算对了。
p.40策略
重合面最大化
把上面的经验提炼成策略。
核心策略。拼装时，让重合的面越大越好。（因为重合的面不用包纸，且一次重合省两个面。）
策略一：按面的大小排序。先算出盒子的三个面面积，从大到小排；能贴大面就贴大面。
策略二：多盒时优先「抱大堆」。三盒以上时，先把大面相互贴牢，形成一个「厚板」，再考虑别的方案。
策略三：方形更省。在体积相同的情况下，形状越接近正方体，表面积越小。所以「把盒子堆得方一点」通常更省纸。
例（4 盒）。4 盒有两种典型摆法：① 排成一排 4 个（长条）：只有 3 处贴合；② 摆成 2×2 的方阵：有 4 处贴合。方阵的贴合处更多，一定更省。（具体算一算：4 盒总表面积 992，长条省 3 × 2 × 60 ＝ 360 → 632；方阵省 4 × 2 × 60 ＝ 480 → 512。）
策略小结：多贴一次就多省两个面；贴的面越大越省；堆得越方越省。三句话，够解决所有包装题。
p.41进阶
四盒包装方案比较
现在做四个方案，比较谁最省。
已知。每个牛奶盒长 6、宽 4、高 10 厘米；一盒表面积 248 平方厘米；4 盒分开共 992 平方厘米。
方案 A（排成一排，贴 6×10 面）。3 处贴合，省 3 × 120 ＝ 360，得 632 平方厘米。
方案 B（2×2 方阵，贴 6×10 面）。4 处贴合，省 480，得 512 平方厘米。
方案 C（叠成 4 层，贴 4×10 面）。3 处贴合，省 3 × 80 ＝ 240，得 752 平方厘米。
方案 D（2×2 方阵，但贴 4×6 面）。4 处贴合，省 4 × 48 ＝ 192，得 800 平方厘米。
比较结论。方案 B 最省（512）；方案 D 最费（800）。差别的原因有两条：① 方案 B 有 4 处贴合（比 A、C 多）；② 方案 B 贴的是最大的面（比 D 大）。「处数多 + 面大」两个条件同时满足，当然最省。
动手做：用 4 个相同的小盒（或 4 块橡皮）实际摆一摆四种方案，用手指摸一摸「哪些面被遮住了」，您会有更深的体会。
p.42复盘
表面积与体积的权衡
回头看看，这一站背后其实是一个「权衡」。
体积不变不管怎么摆，4 盒的体积都是 4 × (6 × 4 × 10) ＝ 960 立方厘米。
表面积会变从 992 到 512，差了将近一半。
为什么能变因为「贴合」把本来要包纸的面藏起来了。
越方越省体积相同时，正方体表面积最小；越接近正方体，用纸越少。
生活里的印证大桶装洗衣液比小瓶装省塑料；正方体的箱子比长条的箱子省纸板。
代价方阵包装可能不便拿取、不便摆货架——所以真实设计还要考虑「好用」。
什么是优化？就是在「条件固定」（体积一定）的情况下，让某个指标（用纸量）达到最好。优化问题没有唯一答案，只有「在什么条件下最好」的答案。
复盘一问：如果厂家说「包装要好看，盒子要扁一点」，那您还会选方案 B 吗？——这就是数学与现实的对话：数学给出最优，现实加上约束。
p.43思想卡
p.7
〔商功〕优化就在一叠一放之间
您刚才做的事，名字很朴素：把两盒贴在一起，省下两个面。可它带来了一条普遍的道理——在总量不变的情况下，把「接触」做到最大，就能把「外露」做到最小。
这条道理在很多场合都成立：装箱时多贴合就少用纸板；砌墙时砖缝对齐更省料；切菜时把菜码紧更省盘子；甚至朋友相处时「多接触」也让关系更牢固——数学的规律常常能翻译成人生的经验。
中国古人在「商功」章里做的正是这件事：修城墙、筑堤坝，要用多少土方、多少人力、多少粮草？把形状切分成规则块相加，再比较不同方案的用土量。这种「先算清楚，再挑最省的方案」的做事方式，是古代工匠与官吏都要掌握的本事。而您今天算的这 512 与 632 平方厘米，就是这条传统的小小延续。
带回家的一句话：优化不是「多花心思」，而是先把账算清楚，再让算式告诉您怎样最省。
p.44对弈赛
包装方案赛
赛制（4 人一组，两两对阵，每组 8 个相同小盒与包装纸样，共三轮）：
第一轮·两盒说出三种贴法中最省的一种，并报出表面积，先答对得 2 分。
第二轮·四盒摆出最省方案（2×2 方阵贴大面），并算出用纸面积（512 平方厘米），得 4 分。
第三轮·六盒/八盒裁判给 8 个盒子，要求摆出「最方」的形状（如 2×2×2 的立方体），并说出为什么它最省，得 5 分。
加分题回答「为什么体积一样时，越接近正方体表面积越小？」举一个例子说明（如把 1×1×8 与 2×2×2 比较），加 3 分。
赛后复盘：这一场比赛里有两种分：算得对的分，和讲得清的分。能讲清「为什么要贴大面」的人，往往下一次不用算就答对了。
p.45游戏·任务
为四盒物品设计省料包装
任务 ① 找 4 个同样的长方体物品（药盒、牛奶盒、火柴盒、纸巾盒都行）；② 量出长宽高，算出单个的表面积与三面面积；③ 设计 2 种不同摆法，分别算出用纸面积；④ 选出最省的那一种，并写出「为什么它最省」（要求提到「贴合处数」与「贴合面大小」两点）。
做完再想一步：如果包装时要留 0.5 厘米的余量（防止挤坏），用纸会增加多少？把「理想计算」加上「现实余量」，您就完成了一次真正的工程设计。
第 6 单元 · UNIT 6
数学阅读：无理数的发现
p.46–54 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.46导入
一个引发危机的数
数学阅读课上，王老师在黑板上画了一个边长为 1 的正方形，然后画了一条对角线。
「这条对角线有多长？」小杏立刻动手：12 ＋ 12 ＝ 2，所以对角线的平方是 2，长度应该是「平方等于 2 的那个数」。
问题来了。1 的平方是 1，2 的平方是 4，所以这个数在 1 和 2 之间。用小数试试：1.42 ＝ 1.96、1.412 ＝ 1.9881、1.4142 ＝ 1.999396……越来越接近 2，却总差一点点，永远写不完。
阿禾说：「那我们写成分数不就行了？」图图摇头：「两千多年前，就有人试着这样做，结果发现——根本做不到。」
王老师说：「这条对角线，让当时的数学家们陷入了一场真正的危机。它是一个『不能写成分数的数』。这一站我们读这段故事，并认识这群新数——无理数。」
p.47精讲
毕达哥拉斯学派的信仰
要理解这场危机，先要知道当时的信念。
毕达哥拉斯学派。公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯和他的门徒组成一个学派。他们有一个核心信念：「万物皆数」——世界的一切都能用数来表达，而他们说的「数」，指的是整数以及整数之比（也就是分数）。
他们的贡献。① 证明了很多几何定理（勾股定理在西方以毕达哥拉斯命名）；② 发现音乐的和谐与弦长比例有关（弦长比 2∶1 得八度、3∶2 得五度）；③ 把「证明」变成数学的规矩——这是他们最伟大的遗产。
当时的「数」＝ 有理数。在他们的世界里，任意两条线段的比都可以用两个整数之比写出来。这个信念优美而整齐，撑起了整个学派的哲学：既然万物皆数，而数只有整数和分数，那么一切比例都能用分数表达。
可是，正方形对角线给了他们一记重击：它不能写成任何两个整数之比。整个信仰的地基被戳了一个洞。
p.48精讲
√2 的发现与危机
「不能写成分数」这句话本身需要证明。古人给出的证明短得惊人。
反证法（设它能写成分数，然后推出矛盾）。
假设 √2 ＝ pq，其中 p、q 是整数且已经约到最简（不能再约分）。
两边平方：2q2 ＝ p2。这说明 p2 是偶数，所以 p 也是偶数（奇数的平方仍是奇数）。
设 p ＝ 2k，代入得 2q2 ＝ 4k2，即 q2 ＝ 2k2。同理，q 也是偶数。
于是 p 与 q 都是偶数——它们还能同时除以 2，与「已经约到最简」矛盾！
所以假设不成立：√2 不能写成两个整数之比。
危机的规模。这不是「还没找到」，而是「永远不可能找到」。学派的信仰被推翻了：原来除了分数，还有另一种数。据说学派对这个发现极为震动，一度要求保密。
这个证明的手法叫「反证法」。要证明一件事不可能，就先假设它可能，然后推出自相矛盾，从而断定原假设错误。反证法是数学最锋利的工具之一，您刚刚已经学会它的骨架。
p.49精讲
无理数与有理数之别
现在给两类数起名字、划界线。
有理数。能写成两个整数之比（分数形式）的数。包括整数、有限小数、无限循环小数。例：3、−2、12、0.25、0.333…（＝13）。
无理数。不能写成两个整数之比的数，它们是无限不循环小数。例：√2 ≈ 1.41421356…、π ≈ 3.14159265…、黄金比 1.618033…。
例 1（分类判断）。0.5 是有理数（＝12）；0.1010010001…（每次多一个 0）是无理数——它不循环；√4 ＝ 2 是有理数（能开尽方）；√5 是无理数。
例 2（重要区别）。无限小数的「无限」不等于「无理」。0.333… 是无限循环的，能写成分数 13，所以是有理数。判断的关键是「循环不循环」，不是「完不完」。
怎么看出无理数？① 开不尽的方根（√2、√3、√5……）；② 圆周率 π；③ 看似随意、实则不循环的小数。判别它们，需要加一句「无限不循环」的说明。
p.50精讲
实数大家庭
把所有的数归到一起，看看这个大家庭的结构。
实数数轴上所有的点，都对应一个实数。
有理数能写成整数之比的数（整数、有限小数、无限循环小数）。
无理数无限不循环小数（√2、π、黄金比）。
实数 ＝ 有理数 ＋ 无理数两类合起来，正好填满整条数轴——一个空都不剩。
在数轴上找 √2用「边长为 1 的正方形的对角线」，从原点量出 1.414…的位置。
更重要的一点无理数不比有理数少；事实上，无理数远远多于有理数（只是很难直观看见）。
例 1（数轴上的位置）。在数轴上标出 √2：画一个边长 1 的正方形，用圆规把它的对角线的长度「搬」到数轴上，落点就是 √2 的位置（约 1.414）。
例 2（大小比较）。比较 √2 与 1.4：因为 1.42 ＝ 1.96 ＜ 2，所以 √2 ＞ 1.4；同理 1.422 ＝ 2.0164 ＞ 2，所以 √2 ＜ 1.42。故 1.4 ＜ √2 ＜ 1.42。用「平方」来比大小，是最可靠的办法。
例 3（近似值估算）。估算 √5：2.22 ＝ 4.84、2.32 ＝ 5.29，所以 √5 在 2.2 与 2.3 之间，约 2.24。
p.51练习
判断与读写
A 组·分类 判断下面各数是有理数还是无理数：① 0.75 ② √9 ③ √7 ④ π ⑤ 0.666… ⑥ 3.1415926（有限小数） ⑦ √16 ⑧ 0.1010010001…
B 组·读写与近似 ① 写出 √2 保留三位小数的近似值；② 写出 π 保留两位小数的近似值；③ 说出「无限不循环」与「无限循环」的区别，各举一例。
C 组·比大小 ① 比较 √2 与 1.5；② 比较 √8 与 3；③ 比较 √10 与 3.1。（提示：平方后再比）
D 组·数轴 在数轴上标出 √2 的位置（用「边长 1 的正方形对角线」的办法），并说出它大约在什么位置。
E 组·思考 用「反证法」的骨架，说明为什么 √3 也不能写成分数（提示：模仿 √2 的证明，注意「3 的倍数」的性质）。
p.52思想卡
p.7
数学危机推动数学成长〔少广〕
无理数的发现，在当时是一场危机：精心建立的「万物皆数」信念被推翻了。可危机的结果不是数学的衰败，反而是数学的成长——为了安放这些「说不清的数」，数学家不得不把「数」的定义重新想清楚，最终建立了实数理论。
这样的故事在数学史上反复出现：每一次危机，都把数学推上一个新台阶。后来还有「无穷小到底是不是 0」的危机（推动了极限理论）、「集合论中出现的悖论」的危机（推动了公理化运动）。可以这么说：数学不是靠不出问题而强大，而是靠敢面对问题而强大。
中国数学走的是另一条路，却同样在拓展数的世界。《九章算术》卷二「少广」章专门讲开方：由面积求边长，开不尽怎么办？古人毫不回避，用「以面命之」的办法——直接承认「这个边长就是那个开不尽的量」，并给出足够精确的近似值（如用 1.41421 这样的近似）。不自欺，也不放弃——这是两千年前中国数学家的态度。
带回家的一句话：数学的强大，不在于它从不遇到做不到的事，而在于它总能想出办法，把做不到的事变得说得清。
p.53游戏迁移
数的分类游戏
玩法（4 人一组，每组一套数字卡：含整数、分数、有限小数、循环小数、方根、π 等）：桌上摆三个「家」（有理数 / 无理数 / 需商量），轮流出牌把数字卡放进对应的家，放错要收回。放完讨论「谁需要商量、为什么」。
关卡 1·直接分整数、分数、有限小数 → 有理数；√2、π → 无理数。
关卡 2·易错卡0.333…（是有理数！）、√9（＝3，是有理数）、√25、0.1010010001…（无理数）。
关卡 3·比大小抽两张卡比大小（如 √5 与 2.2），用「平方」来说明。
关卡 4·自己造自己写一个无理数，说明为什么它不循环。
赛后小结：最容易错的两张卡是「0.333…」与「√9」。记住判别的唯一标准：能不能写成两个整数之比——不是看它有没有根号，也不是看它写不写得完。
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games/p5-4.html?u=6
p.54游戏·任务
讲 √2 的故事给家人
任务 ① 向家人讲一段 3 分钟的故事：「为什么正方形对角线的长度不是分数」；② 讲清三件事：这条对角线为什么让人惊讶（不能写成分数）、毕达哥拉斯学派的信仰是什么、这场危机怎样推动了数学；③ 用一张边长 1 的正方形纸，画出对角线并量一量（约 1.41 分米）；④ 请家人问一个问题，您来回答。
| 要讲的要点 | 怎么说（写下关键词） | 家人听懂了吗 |
|---|
| 对角线多长 | | |
| 为什么不是分数 | | |
| 危机与成长 | | |
讲的时候可以用一个比喻：「假设所有数都是分数，就像说所有长度都能用有限的小刻度量出来；结果发现有一条长度，无论刻度多细都量不尽。」——能讲出比喻，说明您真的懂了。
第 7 单元 · UNIT 7
数据与图表陷阱
p.55–63 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.55导入
广告里的统计图骗了您吗
王老师展示了两张图。图一写着「A 品牌销量领先」，柱子高得惊人；图二写着「B 品牌紧追」，柱子看着差不多。她让同学猜两家的销量差多少。
「差一倍吧？」有人猜。王老师把图放小、露出纵轴——原来纵轴不是从 0 开始，而是从 980 开始的：A 是 1000，B 是 985。
真相。两家只差 1000 − 985 ＝ 15，差 1.5%，可图上看着像差一半。图没有写错数字，却「说」了一个错误印象。
图图瞪大眼睛：「这不是骗人吗？」
王老师说：「这类『看着有道理、其实有陷阱』的图，生活里到处都是。这一单元我们不学怎么画图，学怎么不被图骗——这是一项终身受用的本事。」
p.56精讲
截断坐标轴的魔术
最常用、也最有效的视觉陷阱：不让纵轴从 0 开始。
例 1（两组数据）。甲、乙两人成绩：90 分与 91 分。
① 纵轴从 0 开始：两根柱子的高度几乎一样，看不出差别；
② 纵轴从 88 开始：91 的柱子比 90 的柱子高出三倍。同一个数据，两种画法，两种印象。
例 2（折线图更夸张）。气温从 25℃ 升到 26℃。若纵轴从 0 开始，这条线几乎是平的；若纵轴从 24.5 开始，线陡得像「暴升」。折线图的「陡」不一定是真相，可能只是纵轴起点的选择。
怎么识破？读任何图，先看三处：① 纵轴从哪个数开始？② 每一格的间隔是多少？③ 横轴的方向与单位。三个都看清，图的「脾气」就摸到了。
规矩：比较数量的条形图，纵轴应当从 0 开始（否则比例失真）；看趋势的折线图可以不从 0 开始，但必须标清起点，且不能故意压缩使变化显得夸张。
动手做：把「90 与 91」两组数据各画一张图（一张从 0 开始、一张从 88 开始），亲身感受视觉的反差。
p.57精讲
百分比与基数陷阱
百分比看起来很客观，但它依赖「基数」（拿谁当 100%）。
例 1（基数不同）。甲班 40 人，25% 会游泳（10 人）；乙班 20 人，40% 会游泳（8 人）。按百分比乙班强，按人数甲班多。广告只说百分比，就会让人误判。
例 2（百分比不能直接相加）。先涨 20%，再降 20%：100 × 1.2 ＝ 120，120 × 0.8 ＝ 96。结果比原来少 4%，不是「回到原价」。因为两次百分比的基数不同。
例 3（打折连环）。「先打 8 折，再打 9 折」＝ 0.8 × 0.9 ＝ 0.72，即 7.2 折——不是 7 折，更不是 8.9 折。连着打折要先相乘。
识破三问。① 这个百分比是「谁的百分之几」（基数是什么）？② 基数变了没有？③ 「涨了 X%」之后如果再「降 X%」，能回到原数吗？（不能）
p.58精讲
平均数误导
平均数是最容易被「一个极端值」拉歪的统计量。
例 1（被拉高的平均）。某公司 5 人工资：3 万元、3 万元、3 万元、3 万元、88 万元。平均工资 ＝ (3×4 ＋ 88) ÷ 5 ＝ 20 万元。可 4 个人都只拿 3 万——平均值没说出「多数人的情况」。
例 2（被拉低的平均）。10 名同学的身高（米）：1.2、1.3、1.3、1.35、1.4、1.4、1.45、1.5、1.5、1.6。平均 1.4 米，代表「中间水平」，说得过去；但若其中一人身高 0.5（婴儿），平均就被拉低——所以要看数据里有没有「特殊值」。
更可靠的两个补充。① 中位数：把数据从小到大排，正中间那个数（上例工资的中位数是 3 万元，比平均数诚实得多）；② 众数：出现次数最多的数。三个一起看，才不会被单一的「平均」误导。
老师的话：平均数是一个「摊平」的数，它不是「每个人的数」。看到平均数，先问一句：「数据里有特别大或特别小的吗？」
p.59精讲
做个理性的读者
把前面的招数合成一套「读图三步」，遇到任何图表都能用。
第一步·看清坐标。纵轴从几开始？每格代表多少？横轴是什么、有没有顺序？单位是什么？
第二步·看清基数与口径。百分比是谁的百分比？统计了多少人 / 多少件（样本大不大）？说的是「平均」还是「大多数」？
第三步·问一句反话。「如果换个画法（换个基数、换个起点），结论还一样吗？」经得起换画法的结论，才算可靠。
例 1（实战演练）。某广告：「使用本产品，成绩提高 20%！」——追问：① 提高 20% 是什么的 20%（分数？名次？）；② 谁统计的、多少人参与；③ 有没有对照（没用的那组提高了多少）？三个问题下来，多数广告就现原形了。
例 2（正确读法示例）。「本班 40 人，30 人每天阅读，占 75%」——基数清楚（全班 40 人）、口径清楚（每天阅读）、数值可核（30 ÷ 40 ＝ 0.75）。这才是一个说得清的统计表述。
把这三步写在小纸片上贴在学习桌旁。以后看到新闻里的图表，先走一遍。
p.60练习
辨析题组
A 组·识破坐标 某条形图纵轴从 100 开始，两根柱分别标 105 与 110。① 图上后者看着是前者的几倍？② 实际是多少倍？③ 这种画法合不合规矩？
B 组·识破基数 ① 甲班 40 人中 20 人及格，乙班 20 人中 15 人及格，谁的及格率高？谁及格的人多？② 「先涨 25%，再降 25%」，最后是原来的百分之几？
C 组·识破平均 一组数据 2、3、3、4、48。① 求平均数；② 求中位数；③ 哪一个更能代表「这个班的水平」？为什么？
D 组·改写 把「本产品让 90% 的用户满意」改写成一句信息完整的统计表述（要包含样本大小、基数、统计方式中的至少两项）。
E 组·挑战 某商店标出「全场 5 折起」。「起」字是什么意思？请举一个具体的例子，说明宣传语与实际的差别可能有多大。
p.61思想卡
p.7
批判性读图
图表本是为了让人看清数据，但它也能被用来制造错觉。截断坐标轴、换基数、只报平均、只挑有利的区间——每一种都是「真数字」组合出的「假印象」。最有威力的谎言，从来不靠编造数字，靠的是挑数字。
所以批判性读图是一种能力，也是一种责任。它要求您养成三个动作：看坐标、问基数、换个画法再想一遍。这三个动作，能挡掉生活里绝大多数的统计误导。
中国古人有一句极精辟的话：「不以规矩，不能成方圆」（《孟子》）。画图要守规矩、读图也要守规矩。而《九章算术》里那些精确到「几分之几」的算法，体现的正是同一种态度：把话说准，是数学的第一美德。您学会「不被图骗」，也就学会了替别人把关——在信息纷杂的世界里，这是一种很难得的可靠。
带回家的一句话：不要只看图长什么样，要看图「从哪里开始、按什么比例、拿谁当分母」。
p.62游戏迁移
图表打假赛
玩法（4 人一组，两两对阵，每组一套「有陷阱的图表卡」）：裁判亮出一张图，两队竞相找出陷阱——说出「错在哪、应该怎样改」。找得准、说得清者得分。
关卡 1·截断纵轴找出「纵轴不从 0 开始」的条形图，并说出真实差别。
关卡 2·基数不明找出「只给百分比不给基数」的表述，并指出该问什么。
关卡 3·平均数陷阱给出一组含极端值的数据，抢答「平均数」与「中位数」，比较哪个更可信。
关卡 4·打假改写把一张假的宣传图改写成一句诚实的统计表述，说得清者得 3 分。
赛后小结：打假的关键动作是先读坐标轴——很多陷阱一读纵轴就露出来了。会读坐标轴，等于戴上了一副「防骗眼镜」。
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p.63游戏·任务
找一个广告图表并分析
任务 ① 从报纸、网络或包装上找一个「带数字或图表的广告」；② 按「读图三步」分析：坐标从哪开始、基数是什么、样本大不大；③ 判断它有没有误导，写出「如果我来画，我会这样画」；④ 把结论写成 5 句话的小报告。
| 广告里的说法 | 纵轴起点 | 基数 / 样本 | 有没有误导 | 我的改法 |
|---|
| | | | |
小提醒：分析不是「指控」。有些图只是设计者没考虑清楚，并非故意骗人。您的任务是把「怎样看才准确」说清楚——这是数学素养，也是处事的分寸。
第 8 单元 · UNIT 8
游戏站：独立钻石棋
p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.64导入
一人一棋盘的修行
夏季段最后一站。王老师拿出一块木板棋盘，上面有 33 个圆孔，摆着 32 枚棋子，只有正中间是空的。
「这个游戏叫独立钻石棋，一个人就能玩。规则只有一个动作：跳吃。目标也很单纯——吃掉 31 枚，最后只剩 1 枚，最好留在正中心。」
先看看棋盘。它是十字形：中间 7×7 的方阵挖去四个角，共 49 − 4 × 4 ＝ 33 个孔。像一枚铜钱，也像一个「井」字。
图图试着跳了两步就卡住了。阿禾说：「这个游戏不靠运气，靠每一步都想清楚——走错一步，后面就废了。」
王老师说：「它被称为『一个人的棋』。法国大革命时期，据说被囚的贵族在牢房里用这个游戏打发时间，还留下了『在巴士底狱独自研究出解法』的传说。它练的是耐心，也是『回头看』的能力。」
p.65规则
跳吃规则
本游戏的规则（三条，必须一字不差地记住）：
规则一（跳吃）。选一枚棋子，沿水平或竖直方向跳过紧邻的一枚棋子，落在它后面的空孔里。被跳过的那枚棋子拿掉（吃掉）。不能斜跳，不能连着跳两格。
规则二（只能横竖走）。每步只走「上、下、左、右」四个方向；斜线方向一律不许。
规则三（目标）。走到最后只剩 1 枚棋子（称为「成局」）。留在正中心是最高成就——法国人把这称为「天才级」的结局。
计分。剩下 1 枚且位于中心：5 分（满分成局）；剩下 1 枚不在中心：4 分；剩下 2 枚：3 分；剩下 6 枚以内：2 分；剩下 7 枚以上：1 分。
最要紧的一条经验：不能孤零零地留一枚棋子。棋子必须成「伴」，才能继续跳吃——所以每走一步都要看「跳完之后，两边都还有棋子吗」。
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p.66试玩
简化盘热身
先在小棋盘上练手感，把「跳吃」变成肌肉记忆。
试玩 1（一排 3 枚）。横排 3 枚棋子（甲、乙、丙），丙的外侧是空位：从甲跳过乙落到空位——甲乙都消失（甲跳过去，乙被吃）。练熟「跳过去的那枚留下，被跳过的那枚拿掉」。
试玩 2（十字 5 枚）。在十字形的 5 个孔上放棋子（中心 + 上下左右），尝试用两步吃到只剩 1 枚。感受「一步走错就卡住」。
试玩 3（7 孔小盘）。只玩棋盘正中一条 7 孔的横排：摆满 7 枚，从左端起跳吃，看最少能剩几枚？试试能不能剩到 3 枚以内。
动作 1找一枚棋子，看它沿着四个方向能不能跳（跳过的那枚必须存在）。
动作 2看落点必须是空孔——落点有棋子就不能跳。
动作 3每完成一次跳吃，把被跳过的棋子拿掉，棋盘重新变空一格。
记录用「起→落」记录每一步（如「中→上」），方便复盘。
p.67策略
保留中心与对称思路
这个游戏有明确的门道，学会能少走很多弯路。
策略一：中心是「黄金位置」。中心那个孔的「跳吃通道」最多（上下左右共 4 条），所以最后想留中心，就要在整个过程中保护中心的通路——不要过早把它堵死。
策略二：棋子要成伴。孤立的一枚棋子既不能跳别人，也不能被别人跳——它是「死子」。每一步都问一句「跳完之后还有没有伴」。宁可少走一步，也别留下孤子。
策略三：对称开局更容易「成局」。从中心空位出发，前几步沿对称方向走，能让棋盘始终保持均衡，避免过早出现无法利用的死角。
策略四：利用「边角」。棋盘四个角（十字的四个尖）最不好处理——它们只有一条通路。所以边角的棋子要早点「吃掉」或「送走」，别留到最后。
关键提醒。这个游戏没有「必胜公式」，但有一个很实用的复盘方式：每走几步就停下来，问「如果倒退三步，我会换个走法吗？」这项「后悔练习」，是提高水平最快的方法。
p.68进阶
经典盘冲六子
正式挑战经典盘：33 孔、32 枚棋子。
第一关：剩 6 枚（入门目标）。这个目标很务实——初学者一般能剩 7～10 枚，能稳定剩 6 枚就说明您懂「成伴」的道理了。
第二关：剩 3 枚。 需要更细致的规划，特别是要提前吃掉边角。
第三关：剩 1 枚（成局）。这是目标中的目标。剩 1 枚的位置如果在中心，就是最高成就。
练习方法（重要）。① 先用 20 枚左右试试（把棋盘上的棋子减少），比较轻松就成局；② 逐步加满到 32 枚；③ 每局结束后记录最后剩下的位置——如果总是剩在边角，说明您的走法总把边角的棋子留到最后。
关于「最少剩几枚」。这个游戏已被完整研究：在标准 33 孔棋盘、从中心空位开始的玩法下，可以达到剩 1 枚的结局（而且有多种走法）。这告诉我们一件事：看起来很困难的事，往往有系统性的解法，只是需要耐心找。
卡住的时候不要乱走：倒退两步重新开始，比消耗掉所有可能性要划算。
p.69复盘
每一步的后悔与总结
独立钻石棋最有价值的地方，是它逼您「回头看」。
复盘一·数数这局走了几步？剩下几枚？（用「步数 + 余子」记录棋力）
复盘二·找原因最后剩下的棋子为什么留在那儿？是「特意留」还是「没办法」？
复盘三·找临界在第几步之后，局面就难以挽回了？那一步有没有别的选择？
复盘四·换走法把那一步换个方向重走一次，结果会更好吗？
复盘五·写结论用一句话写下这一局的教训（如「我太早吃掉了中心的帮手」）。
复盘六·再开一局带着这句教训再来一局——这才是「练」。
「后悔」是能力。能准确说出「哪一步最好改」，说明您已经能看懂局面，而不只是「走一步看一步」。这种「可回溯的思考」，是解题、写作文、做实验都用得上的本事。
复盘一问：这一局里，哪一步最像「一时冲动」？如果当时多想三秒，您会怎么走？
p.70思想卡
p.7
独处也能玩数学
独立钻石棋的名字里有一个字值得琢磨——「独立」。它不需要对手，只面对自己：没有运气的推诿，也没有对手的失误可以依赖，赢与不赢都取决于您每一步的判断。这是一种特别纯粹的数学体验。
数学的很多部分都是这样「独自」进行的：找规律、推证明、解方程，都需要长时间的静思。世界各地的古人都发明了这种「一个人的游戏」：中国的九连环、七巧板，欧洲的独立钻石棋、汉诺塔，都有一套清晰的规则、无限的可能和「越想越有味道」的深度。它们教的是同一件事：思考的快乐不依赖外力。
而这类游戏还往往藏着很深的数学。独立钻石棋的棋盘结构、可解性、最少剩余数，都被人用组合数学认真研究过；九连环的拆解步数是一个精确的数列（每加一环，步数按固定规律增长）；华容道的最少步数更是要用计算机搜索。玩具是数学最古老、也最亲切的老师。
带回家的一句话：玩得越安静，想得越深。一个人对着一块棋盘，也能练出很硬的本事。
p.71对弈赛
计时挑战赛
赛制（4 人一组，每人一块棋盘（可用纸面棋盘 + 硬币模拟），共三轮）：
第一轮·热身12 枚棋子的简化盘，5 分钟内尽量少吃剩，剩余少者得 2 分。
第二轮·标准盘32 枚棋子，10 分钟内比赛「剩余数」，剩 6 枚以内得 3 分，剩 3 枚以内得 4 分，成局得 5 分。
第三轮·中心挑战特别奖：成局且最后一枚在中心的同学，另得 5 分（这项要重开一局）。
加分题向对手讲清「我这局的最大失误在第几步、当时应该怎么走」，讲清加 3 分。
赛后复盘：这场比赛的关键不在手快，而在「每一步都确认落点是空孔、跳的是紧邻的棋子」——规则错了，后面全作废。先把规则走准，再求走得妙。
p.72游戏·任务
假期挑战并记录最好成绩
任务 ① 假期坚持挑战独立钻石棋（自制的纸面棋盘也可以，用硬币或豆子当棋子）；② 每天至少玩 1 局，记录「步数」与「剩余棋子数」；③ 一周后统计最好成绩；④ 写一段 5 句话的心得：我最好的成绩是多少、我的常用策略是什么、我还在哪一步容易失误。
进阶目标：等您能稳定剩 6 枚以下，试着整局不看棋盘、只在脑子里预演三步——这项练习对空间想象和专注力都很有帮助。
