比与圆

本书怎么读：一个单元九页

全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。

写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右下角，如 3.14，小数乘法先按整数相乘再点上小数点，小数除法把除数变成整数再除；未知数用字母 x 表示，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；＞ ＜ ≥ ≤ 各就各位，中括号写成 ［　］；上标用小肩数字，如 1 平方米＝10000 平方厘米、1 立方分米＝1000 立方厘米。因数与倍数：2、5、3 的倍数特征；体积与容积单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、升（L）、毫升（mL）。

半张纸的一半是多少

手工课上，小杏折了一只纸鹤，还剩下一张纸的 1/2。她想再折一只小的，只需要「剩下的一半」。

「剩下的一半，是整张纸的多少呢？」阿禾想了想：「把 1/2 再平均分成 2 份，取其中 1 份。」

用算式怎么写？「取 1/2 的一半」，就是 1/2 的 1/2，写作 1/2 × 1/2 ＝ 1/4。

王老师说：「整数乘法是『几个几相加』，分数乘整数也还认识；可分数乘分数，『一半的一半』，乘法第一次有了新含义——缩放。这个单元我们把它学透。」

分数乘整数

先从认识的开始：分数乘整数，就是求几个相同分数的和。

「先约分再乘」让数变小：约的是整数与分母之间的公因数，分子分母交叉约。

分数乘分数

回到「半张纸的一半」：1/2 × 1/2。画图给答案：竖着对折再横着对折，纸被分成 2 × 2 ＝ 4 份，重合的部分（一半的一半）占 1/4。

倒数的认识

观察一组乘法：3/8 × 8/3 ＝ 1，5 × 1/5 ＝ 1，7/2 × 2/7 ＝ 1。乘起来等于 1 的两个数，关系很特别。

倒数是「相互」的关系：不能说「8/3 是倒数」，要说「8/3 是 3/8 的倒数」。它们像照镜子，谁也离不开谁。

分数乘法应用

分数乘法的应用，关键句只有两类，认准了就列得出式子。

题组

乘是缩放：分数乘法的几何感〔衰分〕

整数乘法是「几个几」，我们用重复相加理解它。到了分数乘分数，「加」的图景不管用了——1/2 × 1/2 没法解释成「半个 1/2 相加」。

王老师说：「从『重复加』到『缩放』，是乘法意义的一次升级。到了初中，『乘一个数』就是『做一个变换』——您已经在门口了。」

折纸验证乘积

一张纸就是一台「分数乘法验证机」：竖着折 a 份取 b 份，再横着折 c 份取 d 份，两层重合的格子就是 b/d × a/c 的积。

王老师说：「格子一重叠，『分子乘分子、分母乘分母』就看得见了——分母相乘是切得更细，分子相乘是数重合的格。规则不是背出来的，是折出来的。」

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计算食谱用量调整

家里的菜谱、饮料冲调说明，都是活生生的分数乘法——按比缩放，就是〔衰分〕的日常版。

台风在哪：经纬与方位

新闻里说：「台风中心位于我市东偏南 30° 方向、约 400 千米的海面上。」气象台一张图，就把浩瀚大海里的台风「钉」在了一个点上。

小杏问：「方向我知道了，可『约 400 千米』少得了吗？」阿禾说：「不行！您只说方向，人家会以为台风在我市东南方向随便多远——方向和距离，缺一不可。」

王老师说：「两个条件锁定一个点——这是定位思想的根。船在海上靠经纬度，飞机在空中靠坐标，您今天学的是它们共同的祖先。」

方向与距离确定位置

五年级我们用「数对（列，行）」在方格图上定位，那是在水平竖直的格子里。现在把方格拿掉，换成方向＋距离。

描述行走路线图

定位说「一个点」，路线说「一串点」——每走一段，观测点就换一次。

简单的比例感

图上的 1 厘米，凭什么代表实际的 5 千米？靠的是约定好的比例尺——图上距离与实际距离的比。这里先建立感觉，下学期《比例》再正式学。

位置应用

作图与描述

两个数据锁定一个点〔方程〕

一个条件是一「条线」，两个条件才是一个「点」——方向线与距离圆相交，才钉住台风。

王老师说：「信息不够，答案就『散』；信息够了，答案才『定』。体会这种『确定性』，您就懂了数学为什么精确。」

航海定位游戏

藏宝图游戏。在方格纸中央画一座灯塔（观测点），约定比例尺「1 厘米代表 1 千米」。两人一组：船长写下 3 个「方向＋距离」的藏宝点，水手按描述标点、连线取宝，误差最小的组获胜。

王老师说：「游戏里吃过的亏，就是定位思想长的根。本站工坊里也有同款定位挑战，扫码去试试您的准头。」

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描述从家到地标的位置关系

半个西瓜分四份

夏天的傍晚，爸爸买回半个西瓜，要平均分给家里 4 口人。

小杏掰着手指：「半个西瓜，4 个人分——每人得多少？」阿禾说：「每人得半个的四分之一。」

可是换一道题就卡住了：2 升果汁，每杯装 1/3 升，能装几杯？除数变成分数，这可怎么分？

王老师说：「分数除以整数，老办法还管用；一个数除以分数，是新关卡。这个单元我们要把分数除法一网打尽——您还会发现一个大秘密：除以一个分数，竟然等于乘它的倒数！」

倒数深化

上一单元认识了倒数，现在把它变成趁手的工具。

分数除以整数

一个数除以分数

回到导入的难题：2 升果汁，每杯 1/3 升，能装几杯？

三步口诀：一化（带分数化假分数）、二倒（除数变倒数，除号变乘号）、三约（先约分再乘）。

分数混合运算

题组

除以分数即乘倒数：统一之美〔少广〕

「除以一个分数，等于乘它的倒数」——这句话让所有的除法都变成了乘法。

王老师说：「学一条法则不难，难的是看清它把多少零散的规则统一成了一条。统一，是数学最美的追求之一。」

除法改编赛

玩法。四人一组，每人出一道「分数除法生活题」（果汁分杯、剪绳段、铺路……），写好算式与答案，交换互判；判对了得 1 分，发现对方出错得 2 分。

王老师说：「会出题的人，才是真正会做题的人。本站工坊的除法挑战在等您，扫码去闯。」

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编一道分数除法生活题

果汁浓一点还是淡一点

小杏调了两杯橙汁：A 杯用 1 勺橙粉加 4 勺水；B 杯用 2 勺橙粉加 6 勺水。哪杯更浓？

阿禾尝了一口：「B 浓！」小杏不服：「B 的水多呀？」——水多不代表淡，要比的是橙粉与水的比。

王老师说：「『1 比 4』『2 比 6』，这种两个量的关系就叫『比』。有了比，浓度、速度、单价——所有『相除得到的关系』都有了统一的说法。这个单元学『比』，它是通往比例的大门。」

比的意义与各部分

比值与化简比

比与分数除法的关系

按比分配

「平均分」是按 1 : 1 分；可生活里常常要按别的比分——按比分配，分数乘法在这里接上了头。

综合题组

〔粟米〕比是比例思想的门户

《九章算术》第二章「粟米」，讲粟米与粝米兑换：「粟率五十，粝率三十」——粟 : 粝 ＝ 50 : 30 ＝ 5 : 3。古人换粮，用的正是比。

王老师说：「记住：比是关系，不是数量。抓关系，是数学从『算』走向『推理』的第一步。」

调配果汁实验

玩法。每人一个量杯、一瓶橙粉（或色素水）。任务卡随机发：「调出与标准杯一样浓的果汁」——标准杯是 2 勺粉加 6 勺水。您可以用 1 勺粉，也可以用 3 勺粉，但浓度必须相同！

王老师说：「调对了喝一口——比值不变，味道不变。这就是比的守恒。」

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按比调配一杯健康饮品

一切从圆开始

运动会入场式，各班方阵走的是直线，唯独旗手绕着操场中心跑出一个漂亮的圆。小杏问：「为什么偏偏是圆？」

阿禾说：「因为圆公平——圆上每一点到中心的距离都一样，谁也不多走一步。」

王老师说：「古希腊人把圆当作最完美的图形；两千年前的墨子更早说过『圆，一中同长也』——一个中心，同样的长度。这六个字，就是这个单元的全部纲领。」

圆的认识（圆心·半径·直径）

圆的周长与 π 的故事

直尺能量边长，可圆周是弯的——周长怎么量？

圆的面积（剪拼转化）

圆没有「边」，面积公式从哪来？——还是那个老朋友：转化。

圆的应用（圆环等）

综合计算

〔少广〕圆：一中同长的图形

墨子说「圆，一中同长」，比欧几里得早一个多世纪。「一中」定位置，「同长」定大小——六个字给出圆的精确定义，也是圆规的工作原理。

王老师说：「曲线图形的第一次胜利，就是把『弯』的周长和面积变成『直』的公式——转化的思想再一次立功。下学期圆柱圆锥，它还要登场。」

滚圆测周长

玩法。在硬币、胶带圈、圆罐盖上做个彩色记号，沿直尺滚动一周，读出周长；再用刻度尺量直径，算「周长 ÷ 直径」。三样物品、三次测量，填表比一比：谁的商最接近 3.14？

王老师说：「多测几次您就信了——π 不是规定的，是圆与生俱来的。测量有误差，比值却总往 3.14 那儿靠。」

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测量并计算一个圆桌的面积

打八折是什么意思

周末逛街，文具店的牌子上写着：「全场八折！」小杏看中一个 45 元的书包。

「八折就是 45 元减 8 元？」阿禾摇头：「八折是卖原价的 80%。」小杏追问：「那『80%』这个奇怪的符号，又是什么？」

王老师说：「分数表达『一份是多少』，百分数表达『一百分之多少』——专门用来比较和记录『占比』。这个单元学完，广告和账单在您眼里就都成了数学题。」

百分数的意义与读写

百分数与分数小数互化

求百分率

百分数应用（折扣等）

题组

百分数是比较的统一语言〔粟米〕

「十七/二十」「四十三/五十」——两个分数放在一起，大脑要通分才能比较；「85%」「86%」，一眼定高下。百分数的本质，是给所有「部分与整体」的关系一个统一刻度：一百。

王老师说：「看到百分数，先问三句：谁的百分之几？基数是谁？能超过 100% 吗？这三问，能帮您识破大半的数据把戏。」

购物折扣竞算

玩法。每组发一套「商品卡」（标价：45、120、260、400、999 元……）与「促销卡」（八折、七五折、满 100 减 25、第二件半价……）。翻牌配对，限时算出实际支付价并折算成「相当于几折」，最快且对的组得分。

王老师说：「商家的招数再多，落到「现价 ÷ 原价」这一步都现出原形。工坊里有同款竞算挑战，扫码应战。」

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收集五条百分数信息并解读

时间都去哪了

王老师给全班布置了一道「侦探题」：把小杏的一天 24 小时找出来。小杏记录：睡觉 9 时、上学 7 时、写作业 2 时、吃饭 2 时、运动 1 时、自由活动 1 时……加一加，还剩 2 时——「发呆和找东西。」全班大笑。

王老师说：「扇形统计图——它专治『部分与整体』的问题。今天学读它、画它、更要学什么时候用它。」

扇形统计图的特点

读图与计算

三种统计图的选择

综合数据分析

制图题

〔衰分〕扇形图：份额的直观

《九章算术》「衰分」章按比例分配：「今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之……」——按爵位高低分鹿，各得几成。

王老师说：「读扇形图，永远先看『圆是谁』——单位「1」是什么，比什么都重要。」

我的一天扇形图

玩法。给自己的一天记账：把 24 时分成 6～8 项（睡觉、上学、作业、运动、屏幕、阅读……），算占比与圆心角，用圆规量角器画成扇形图。

王老师说：「画完这张图，您对『时间都去哪了』就有了数学答案——数据是最好的镜子。工坊里的时间分配挑战在等您，扫码试试。」

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制作家庭支出扇形图

圆的游乐场

期末的数学节，操场变成「圆的游乐场」：滚铁环的、套圈的、扔沙包的、走迷宫的——全部游戏都围着「圆」转。

王老师说：「本单元把『学圆』变成『玩圆』：两节真游戏课加一场积分赛。规则先行，公平至上——游戏也要讲道理。」

滚铁环与套圈规则

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滚铁环体验

先「学滚」再「比滚」：铁钩轻贴环的下后方，匀速推行——快了栽跟头，慢了立不住。

套圈的距离与概率

套圈是运气吗？是，也不全是——但数学能告诉您「运气的形状」。

圆面积变式挑战

圆的性质回顾

圆是公平的形状

操场集合站成圆，每人到中心的距离相等；轮子是圆，滚动平稳；硬币是圆，两面均匀；圆桌会议，没有「主位」的长短之分。

王老师说：「玩了一天圆，记住它的品格：处处等距，事事讲理。这也是我们希望数学给您的品格。」

圆游戏积分赛

设计一个圆的小游戏