九章格数学 PhiloMath · K2C 正文 · P 段
游戏数学·六之冬
P6-2 · 冬季段（编目代号 P6-2）· 游戏与实践册 · 正文编写版 · 已完成 72/72 页 · 2026-09-15
小学高段 · 六年级72 页 ＝ 8 单元 × 9 页体例：导入＋精讲＋练习＋思想卡＋游戏游戏与实践册
冬 日 数 趣〇体例说明（写给小读者和家长）
体例
本书怎么读：一个单元九页
全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右下角，如 3.14，小数乘法先按整数相乘再点上小数点，小数除法把除数变成整数再除；未知数用字母 x 表示，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；＞ ＜ ≥ ≤ 各就各位，中括号写成 ［ ］；上标用小肩数字，如 1 平方米＝10000 平方厘米、1 立方分米＝1000 立方厘米。因数与倍数：2、5、3 的倍数特征；体积与容积单位：立方米（m3）、立方分米（dm3）、升（L）、毫升（mL）。
一全册目录（八个单元 · 每单元 9 页）
- p.1–9第 1 单元 调奶茶的秘诀
- p.10–18第 2 单元 向日葵的螺线
- p.19–27第 3 单元 1＋3＋5＋…＝平方？
- p.28–36第 4 单元 海平面以下怎么记
- p.37–45第 5 单元 利息怎么算
- p.46–54第 6 单元 把分数拆成俄罗斯套娃
- p.55–63第 7 单元 图形会算术
- p.64–72第 8 单元 侦探破案靠比例
第 1 单元 · UNIT 1
调奶茶的秘诀
p.1–9 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.1导入
调奶茶的秘诀
奶茶店的招牌是「标准杯」：奶茶 3 份、鲜奶 2 份、糖浆 1 份。小杏想自己做一杯给全家喝——全家四口，材料要翻倍；妹妹嫌太甜，要减糖；爸爸那杯要加大杯……
问题来了。量变了，味道能不变吗？秘诀只有一条：各份料按同一比例缩放。标准杯 3 : 2 : 1，四人份 12 : 8 : 4，减糖版 3 : 2 : 0.5——比例不变，口感不变。
王老师说：「本单元八站游戏，全部围绕『关系不变、数量在变』。第一站就管住您的味蕾——配比游戏，开喝！」
p.2规则
配比游戏规则
器材。量杯、滴管、红蓝黄三色食用色素（或浓果汁）、记录单。
玩法。① 每人调一杯「标准色」：红 : 蓝 ＝ 3 : 2（3 滴红、2 滴蓝，兑 10 毫升水）；② 抽任务卡：总量翻倍、总量减半、浓度加倍、颜色不变量减半……按任务重新配比；③ 两杯并排比色，由同伴盲猜哪杯是标准色——猜不出，说明您调对了！
计分。任务完成一次得 1 分；同伴猜错（即您的复刻以假乱真）再得 1 分；说出配比化简过程再得 1 分。三轮一局。
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p.3试玩
按比调配实验
任务卡 1（总量翻倍）。标准 3 : 2 → 6 : 4。倒出来对比：颜色深浅完全一样！记录：3/5 ＝ 6/10——红占总量的份额没变。
任务卡 2（总量减半）。3 : 2 → 1.5 : 1，一滴都嫌多？换算成 30 滴 : 20 滴 → 15 : 10——比的基本性质在救场：同乘同除，比值不变。
任务卡 3（浓度加倍）。水不变、色素加倍？还是色素不变、水减半？两条路殊途同归：红 : 蓝 3 : 2 不动、水从 10 降到 5——「浓度」关心的是色素与水的比！
每次动手前，先在记录单上写出目标比；调完再化简验证——先算后做，才是数学玩家的风格。
p.4策略
比值不变的守恒
守恒律。只要各分量按同一比例缩放，味道、颜色、深浅——一切「关系性质」都纹丝不动。3 : 2 : 1 的八倍是 24 : 16 : 8，尝起来一模一样。
反例体会。若只把糖浆加倍（3 : 2 : 2），比变了——甜味立刻报警。比是味道的 DNA：动哪一项，味道就变哪一项。
策略卡。① 接到任务先找「基准比」；② 想清楚哪个量变、哪个量锁死；③ 大数目先化简、小数目先扩倍；④ 动手前先心算，动手后用感官复核。
想一想。把 3 : 2 : 1 的奶茶兑水再稀释——「浓度」变了，「奶茶 : 鲜奶 : 糖浆」的比变了吗？（不变！三者仍按原比例共进退——这叫同涨同落，比例守住内部关系。）
p.5进阶
三元配比
挑战 1。升级版奶茶 3 : 2 : 1，要调 360 毫升：总份数 6，每份 60 毫升——奶茶 180、鲜奶 120、糖浆 60。按比分配三步走。
挑战 2（逆向）。手头只有奶茶 150 毫升，按 3 : 2 : 1 还能加多少鲜奶和糖浆？150 ÷ 3 ＝ 50 毫升/份——鲜奶 100、糖浆 50，总量 300。
挑战 3（混合比）。两杯不同比：A 杯 3 : 2 : 1 共 360 毫升、B 杯 1 : 1 : 1 共 300 毫升。混在一起还成比例吗？各自分量相加：奶茶 180＋100、鲜奶 120＋100、糖浆 60＋100 → 280 : 220 : 160 ＝ 7 : 5.5 : 4——比一般不再保持！混合是比的「化学变化」，这正是侦探破案的原理（第 8 单元）。
p.6复盘
比与除法分数对照
对照表。比 a : b ｜ 除法 a ÷ b ｜ 分数 a/b。前项↔被除数↔分子；后项↔除数↔分母；比值↔商↔分数值。三兄弟一个娘（相除），性格不同：比重「关系」，除法重「运算」，分数重「数」。
复盘三问。① 3 : 2 : 1 调 360 毫升，为什么要先算总份数？② 「总量翻倍味道不变」用分数基本性质怎么解释？③ 化简比与求比值，答案的形式差在哪？
错题急救。① 单位不统一就写比（25 分 : 1 时？先统一成 1 : 2.4 或 5 : 12）；② 忘了比有顺序（甲比乙 2 : 3 ≠ 乙比甲 2 : 3）；③ 按比分配忘了检验（各部分之和＝总量）。
p.7思想卡
〔粟米〕比例是匀齐之道
《九章算术》开篇第二章「粟米」：粟率五十，粝米三十——换粮按比率，斤两要匀齐。中国古人称比例的思想为「今有术」：已知三数求第四数。
匀齐即公正。按比分劳役、按爵分猎物、按股分红利——古人用比例实现「应得之分」。今天的水泥配比、药液稀释、地图缩放、菜谱增减，都是同一思想的现代版。
守恒之美。世界在变，关系不变——这是比例教给我们的第一课。找到「变中的不变」，您就找到了问题的骨架。
王老师说：「调奶茶调的是感觉，守的是比值。感官守恒背后是数学守恒——这是本站游戏最深的秘密。」
p.8对弈赛
调配大赛
赛制。四人分组，三轮：① 复刻赛：盲调出标准色（评委为裁判长）；② 竞算赛：口答 10 道「按比分配」抢答题，对 1 题得 2 分；③ 创意赛：调一杯「名不虚传」的特饮（如「黄金比特调」红:蓝 ＝ 8 : 5），写出配比故事。
抢答题样例。① 2 : 5 化简后总份数？② 甲乙比 4 : 7，甲 240，乙多少？③ 糖:水 1:9，糖占糖水的几分之几？④ 把 1 : 2 : 3 扩大到总量 600，各多少？
颁奖词参考。「最佳手感奖」给盲调最准者；「最强大脑奖」给抢答王；「最佳创意奖」给特调故事王——人人有闪光点。
p.9游戏·任务
调一杯全家认可的饮品并记录配方
任务。① 真实调一杯饮品（蜂蜜柠檬水、可可奶、果茶均可），定下配比；② 请家人品尝并打分，按反馈微调一次；③ 最终版写成「配方卡」：原料比、三档规格（1 人/3 人/6 人份）、一句话风味描述。
数学检查。三档规格的比完全一致吗？化简验证；总量翻倍时，各原料翻了几倍？
第 2 单元 · UNIT 2
向日葵的螺线
p.10–18 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.10导入
向日葵的螺线
向日葵的花盘上，一粒粒葵花籽排成两组螺旋：顺时针 34 条，逆时针 55 条。松果是 8 与 13，菠萝是 8 与 13——这些数字都不是巧合。
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……从第三项起，每一项都是前两项之和。它叫斐波那契数列，是自然界的密码本。
先玩再学。数一数花瓣：百合 3 瓣、梅花 5 瓣、飞燕草 8 瓣、万寿菊 13 瓣——大自然写数列，写得比我们工整。
王老师说：「一个 800 年前的兔子问题，藏进了葵花籽的排队方式。数学是读自然的字典——本站我们就当一回『自然侦探』。」
p.11规则
斐波那契规则：前两数之和
数列规则。第一、二项都是 1；从第三项起，每一项 ＝ 前两项之和：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……
接力玩法。四人接力：A 写 1, 1；B 写接下来 3 项；C 只用口算续写 5 项；D 抢答「第 n 项是多少」。写错或算错即换人。进阶：从 2, 3 起步、从 1, 4 起步——规则不变，数列换血。
判分。接龙不断 1 分/人/轮；「兔子问题」（每月新生的兔子对数）讲清楚再得 2 分。
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p.12试玩
写数列与数花瓣
写数列。接力到第 12 项 144。观察：相邻两项的差是什么？（还是斐波那契数列！1, 2, 3, 5, 8……）
兔子问题。一对小兔两个月后长大，每月生一对小兔（兔子不死）。第 1 月 1 对、第 2 月 1 对、第 3 月 2 对、第 4 月 3 对……每月兔子对数正是斐波那契数列——1202 年斐波那契就是这么发现它的。
数花瓣与螺线。带一朵花（或照片）：数花瓣数，是不是 3、5、8、13？找松果或向日葵照片，数两向螺线条数，是不是相邻两斐波那契数？记录到「自然侦探表」。
p.13策略
相邻比值趋近 0.618
算一算。相邻两项的比：1/1＝1，2/1＝2，3/2＝1.5，5/3≈1.667，8/5＝1.6，13/8＝1.625，21/13≈1.615……越来越挤向一个数：约 1.618；反过来 8/13、13/21……挤向 0.618。
黄金比。0.618 就是五年级听说过的黄金比！斐波那契数列是黄金比的「阶梯」——走一步近一点，永不停步。
用起来。「黄金分割」拍照法：主体放在画面 0.618 处更耐看；主持人在舞台上偏 0.618 的位置最自然。用尺子量一量名画、明信片，验证一下。
策略卡。要快速估第 20 项附近的比值？取任意相邻两项相除即可——数列越大，比值越稳。这就是「以简驭繁」。
p.14进阶
黄金矩形作图
什么是黄金矩形。宽 ： 长 ＝ 1 : 1.618 的矩形。神奇之处：切掉一个以宽为边的正方形，剩下的小矩形还是黄金矩形！
作图。① 画 21 × 34 的矩形（相邻斐波那契数！）；② 切去 21 × 21 正方形，剩 13 × 21——依然是黄金矩形；③ 继续切 13 × 13、8 × 8……④ 在每个正方形里画四分之一圆弧，连成一条优美的黄金螺线——鹦鹉螺壳、星系旋臂的近似形状。
量一量。名片、扑克牌、A4 纸（1 : 1.414，那是另一个名比 √2）——量算比一比，谁是黄金矩形家族？
p.15复盘
数列与自然的联系
为什么葵花籽「懂」斐波那契？每颗新籽按约 137.5°（黄金角）旋转生长，这样排列最省地方、最不遮挡阳光——数学上黄金角恰与黄金比相连。不是植物会算数，是效率选择出了数学。
复盘清单。① 数列规则能默写吗？② 相邻比值趋向什么数？③ 黄金矩形切掉正方形后剩什么？④ 花瓣数、螺线数各举一例。
迁移一问。数列 2, 2, 4, 6, 10, 16……是什么规则？它相邻比值趋向哪儿？（还是黄金比！起点不重要，规则才重要。）
p.16思想卡
数列是自然界的密码
兔子数、花瓣数、螺线数、松果鳞片数——斐波那契数列像自然界的通用语言。简单的加法规则，生成无限的结构。
简单规则、复杂现象。这正是「数学建模」的雏形：观察 → 猜想规则 → 验证 → 应用。您数花瓣时做的，和科学家做的，是同一件事。
敬畏与好奇。800 年前的数学游戏，今天仍在解释向日葵、鹦鹉螺与星系。数学比我们更早醒着，等我们读懂世界。
王老师说：「带一颗好奇心走进自然——您看到的每朵花，都在出题。」
p.17对弈赛
斐波那契竞答
赛制。两队对抗，三类题：① 抢答（数列续写、第 n 项），对一题 1 分；② 计算（比值取两位小数、黄金比估算），对一题 2 分；③ 发现（说出一种自然界或生活中的斐波那契/黄金比实例），一条 2 分，不重复计分。
题样。① 1,1,2,3,5,8,□,□；② 21 ＋ 34 ＝ ？它在数列第几位？③ 55/34 约等于多少？④ 「前 n 项之和＝第三项起第 n＋2 项减 1」——用 1+1+2+3+5＝12＝13−1 验证！
彩蛋。必胜策略小游戏：两人轮流报数，每次报 1 或 2（累加），先报到 34 者胜——34 是斐波那契数，倒推必胜点：34, 31, 28, 24, 21, 17, 14, 11, 8, 4, 1……斐波那契刻痕处处留。
p.18游戏·任务
数一数身边的花瓣层数
任务。① 找 3～5 种花（或松果、菠萝、多肉植物照片），数花瓣（鳞片、螺线）数；② 对照斐波那契数列，记录「命中」与「例外」；③ 给家人讲「向日葵为什么这么排」。
加分。用 21 × 34 方格纸画出黄金螺线贴在教室「自然数学角」；或拍一张您发现的「0.618 构图」照片。
第 3 单元 · UNIT 3
1＋3＋5＋…＝平方？
p.19–27 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.19导入
1＋3＋5＋…＝平方？
在方格纸上摆正方形：1 个格；再摆一圈「L 形」3 个格，成 2 × 2；再摆一圈 5 个格，成 3 × 3……
发现了什么？1 ＝ 12；1 ＋ 3 ＝ 4 ＝ 22；1 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 9 ＝ 32；1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 16 ＝ 42……从 1 开始的连续奇数之和，恰好是平方数！这是数字的巧合吗？
王老师说：「别急着背结论——本单元的任务是让图形替您证明。用图说话的数学，叫『图证』；图证是几何与代数的握手。」
p.20规则
图证规则
什么是图证。用图形的拼、切、摆、涂来解释一条代数结论——每一步都有「看得见的道理」。图证不是严格证明，但它让公式不再凭空。
图证三守则。① 图要与式对应：每个数在图上有位置；② 讲解要能复述：看图能说清「为什么」；③ 结论要可验证：图证完了再用数字算一遍。
本站积分。完成一张图证并讲解清楚得 3 分；用两种不同图证同一公式加 2 分；指出同伴图证的漏洞得 1 分。
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p.21试玩
正方形数拼图
拼 L 形。在 3 × 3 方格纸里：先铺 1 格，再铺 L 形（3 格）成 2 × 2，再铺 L 形（5 格）成 3 × 3——每层 L 形恰好是连续奇数！因为正方形从 n2 扩到 (n＋1)2，新添的正是 2n ＋ 1 格。
换个方向看。1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 16：把 16 格的正方形按 L 形涂色分层，一层一个奇数——奇数之和藏在正方形的「年轮」里。
抢答热身。1 ＋ 3 ＋ … ＋ 19 ＝ ？（10 个奇数 → 102 ＝ 100）从 1 加到 9 的所有奇数，最后一片「年轮」是第几圈？
p.22策略
三角形数与高斯配对
三角形数。1, 3, 6, 10, 15……圆点排成三角形：1 ＋ 2 ＝ 3，1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 6，1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝ 10。第 n 个三角形数 ＝ n(n＋1)/2。
高斯配对。1 ＋ 2 ＋ … ＋ 100：首尾配对（1＋100、2＋99……）共 50 对，每对 101，得 5050。画成图：两个三角形数拼成一个 n × (n＋1) 长方形——配对法就是「两个三角形拼矩形」。
两大数系的握手。两个相邻三角形数拼成一个正方形数：3 ＋ 6 ＝ 9，6 ＋ 10 ＝ 16——画图验证！数与形在此互相照亮。
策略卡。看到「连续自然数求和」想三角形＋配对；看到「连续奇数求和」想正方形年轮；看到「2n−1」想 L 形——公式背后找图形，图形背后写公式。
p.23进阶
用图证明公式
图证 1（奇数和）。n 个连续奇数之和 ＝ n2：正方形切 L 形年轮，n 层奇数围出 n2 —— 已在试玩完成，试着讲给全班。
图证 2（三角形数）。n(n＋1)/2：两份三角形点阵上下倒置拼成 n × (n＋1) 矩形，取一半——画 n ＝ 4 验证：10 ＋ 10 ＝ 20 ＝ 4 × 5 ✓。
图证 3（自己来）。① 1 ＋ 2 ＋ … ＋ n ＋ (n−1) ＋ … ＋ 2 ＋ 1 ＝ n2（菱形点阵拼正方形）；② n2 − (n−1)2 ＝ 2n − 1（大正方形撕去小正方形剩 L 形）。选一个，画出图并写讲解。
图证的产出一律「一图、一式、一段话」——三者对得上，才算真懂。
p.24复盘
数形对照卡
对照卡（贴在课本）。① 连续奇数和 → 正方形年轮（n2）；② 连续自然数和 → 三角形拼矩形（n(n＋1)/2）；③ 平方差 a2 − b2 → 大正方形撕小正方形（L 形）；④ (a＋b)2 → 大正方形切四块（a2、2ab、b2）——初中第一课就用它！
复盘三问。① 为什么「年轮」恰好是奇数？② 高斯配对的图形版是什么？③ 图证与代数证明，各有什么长处？
易错提醒。画图数格子要逐行核对——图错了，证得再顺也白搭；数字验算是图证的「安全带」。
p.25思想卡
〔勾股〕数缺形时少直观
华罗庚先生写道：「数缺形时少直观，形少数时难入微。」数与形，是数学的两只眼睛，独眼看世界总是偏的。
图证的传统。中国古代数学家以「出入相补」用图证明公式——刘徽注《九章》几乎全是图证；毕达哥拉斯学派在鹅卵石上摆三角形数、正方形数。东西方的先贤不约而同：让眼睛参与证明。
思想价值。1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＝ n2 是「无穷多条式子」的统一解释——一个图，顶一百个例子。好图形是压缩的证明。
王老师说：「本站之后，请养成习惯：学一个公式，先问『它的图长什么样』——问出这个问题，您就有了数学家的直觉。」
p.26对弈赛
图证创作赛
赛制。小组赛：每组抽一个公式（三角和、奇数和、平方差、完全平方……），限时 15 分钟创作图证作品（方格纸＋彩笔），然后上台讲解 2 分钟。
评分。图形准确 3 分、讲解清楚 3 分、有创意 2 分、经得起提问 2 分——「经得起提问」是最重的一关：评委可要求现场用数字验证。
往届佳品。有人用扑克牌摆出奇数和年轮，有人用围棋子拼完全平方——材料不限，道理要硬。
p.27游戏·任务
用图证明一个求和公式
任务。选一个求和公式（不许用课上讲过的两个），完成：① 方格纸/点阵图一幅；② 公式与对应说明；③ 数字验证三例；④ 讲给家人听并请他们提一个问题。
推荐选题。1 ＋ 2 ＋ … ＋ n ＋ (n−1) ＋ … ＋ 1 ＝ n2；12 ＋ 22 ＋ … 的图证（立方阵挑战）；奇数立方和……敢挑战难的，您的作品将进班级「图证博物馆」。
第 4 单元 · UNIT 4
海平面以下怎么记
p.28–36 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.28导入
海平面以下怎么记
爸爸发来新疆旅游照片：吐鲁番盆地的石碑上刻着「海拔 −154 米」。小杏盯着这个奇怪的「−」号：「154 米就 154 米，前面这个横杠是什么？」
先聊三句话。① 珠峰 8848.86 米，「比海平面高」；② 吐鲁番「比海平面低」154 米——高和低是相反意义的量，光写数字分不清方向；③ 温度零上 6℃ 与零下 6℃、电梯上 3 层与地下 3 层、收入 500 元与支出 500 元——全是同一类问题。
王老师说：「为了把『方向』写进数里，人类发明了正负数。这是数的世界第三次扩容：数了几个→数了零头→数了『反方向』。本站游戏带您把负数玩熟。」
p.29规则
正负数规则
正数与负数。像 ＋6、8848.86 这样大于 0 的数是正数（「＋」可省略）；像 −6、−154 这样在正数前加「−」的数是负数；0 既不是正数也不是负数——它是正负的分界、也是「基准」。
相反意义的量。规定一个方向为正（如零上、海平面以上、收入为正），相反方向即为负。基准不同，正负不同：以地面为基准，地下是负；以楼顶为基准，地面反而是负。
卡牌规则。红卡（正数卡：＋3、＋10、0.5……）、蓝卡（负数卡：−2、−8、−1.5……）各一叠。轮流翻卡按「情境报数」：翻到 −8 要说出一个 −8 的合理情境（如「支出 8 元」），说不出自扣 1 分。
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p.30试玩
温度·海拔·收支
温度站。① 冬天某日：北京 −4℃、哈尔滨 −18℃、广州 15℃——读一读；② 「−18℃ 比 −4℃ 冷」：负号后面的数越大，数反而越小、越冷——负数的世界和正数「反着来」；③ 昼夜温差：白天 3℃，夜里 −5℃，温差 3 − (−5) ＝ 8℃（先记账，初中细算）。
海拔站。① 死海 −430 米、吐鲁番 −154 米、泰山 1545 米——按高低排序；② 「甲地 −200 米，乙地 −50 米，甲比乙低多少？」画图看：低 150 米——负数比大小，先在数轴上站好队。
收支站。小杏记账：＋20（零花钱）、−12（文具）、−5（零食）、＋8（卖废品）——「结余」怎么看？把它们正负相抵：＋20 − 12 − 5 ＋ 8 ＝ ＋11 元。
p.31策略
数轴初感与大小比较
数轴。一条直线，取一点为 0（原点），规定向右为正；单位长度统一。每个数在数轴上都有一个「家」：1 的家在 0 右边一格，−1 在左边一格。
大小法则。数轴上，右边的数总比左边的大。所以：正数 ＞ 0 ＞ 负数；两个负数，离 0 越远的越小（−8 ＜ −5 ＜ −2）。
例 1 排序：−5、3、0、−1、4.5 → −5 ＜ −1 ＜ 0 ＜ 3 ＜ 4.5。例 2 最大的负整数是 −1；没有最小的负数——数轴向左走不完。
策略卡。比较负数：① 先脱「正负」比数值；② 数值大者（带负号后）反而小；③ 拿不准就画数轴站队——数形结合，一目了然。
p.32进阶
相反数与绝对值初感
相反数。只有符号不同的两个数互为相反数：＋6 与 −6；0 的相反数是 0。数轴上它们关于原点对称——一个向东 6 步，一个向西 6 步。
绝对值（体验）。数在数轴上到原点的距离，叫绝对值，记作两条竖线：|6| ＝ 6，|−6| ＝ 6，|0| ＝ 0。距离不分方向——−154 米的深度，绝对值是 154 米的「落差」。
例 1 |−8| ○ |5|：比距离，8 ＞ 5，填 ＞——但 −8 ＜ 5！绝对值比的是「多远」，大小比的是「在哪边」，两码事。
例 2（电梯模型）。从 5 层下到 −2 层（地下 2 层），经过几层？|5| ＋ |−2| ＝ 7 层——跨过 0 时，两段距离相加。
练一练 ① 写出 −3、7、0 的相反数与绝对值。② |−12| 与 |3| 谁大？−12 与 3 谁大？③ 温度从 −3℃ 升 5℃ 是多少度？（数轴上走 5 步）
p.33复盘
正负的意义辨析
正负是「记号」不是「价值」。−100 元不是「坏的 100 元」，是「支出的 100 元」；−5℃ 不是「假的 5 度」，是「零下 5 度」。先定基准，再谈正负——基准变，符号全变，量本身不变。
复盘清单。① 0 为什么既不是正数也不是负数？② 「−8 ＞ −10」对吗？用什么解释？③ 相反数与绝对值，一个管方向、一个管距离，说给同伴听。④ 您能举出三个「相反意义的量」的新例子吗？
易错点。① 带单位的量写负数别丢单位（−154 米）；② 「降低 5%」记成 −5% 时，基准是「原来的量」；③ 排序时负数区「数字大的反而小」。
p.34思想卡
〔少广〕正负术：九章的现代回声（拓展体验▲）
负数不是近代发明——《九章算术》第八章「方程」记载了「正负术」：用「正」「负」记号处理方程中相反意义的量，加负减正的运算法则一应俱全。这是人类数学史上最早的负数系统记录，比欧洲接受负数早了一千多年。
为什么需要负数？算「粮食盈余」正数够用；可一旦要算「亏空」「欠债」「差额的方向」，正数就不够了。是问题逼出了新数——数系的每一次扩张，都是现实需求在敲门。
历史的小波折。古代有些地方的数学家一度称负数为「荒谬」；中国的算筹却用红黑两色（正负）从容运算——接纳「反方向的数」，是数学成熟的标志。
王老师说：「七年级您会正式学有理数运算。今天您在数轴上走的每一步，都是提前铺好的路。」
p.35对弈赛
正负数卡牌
玩法（气温棋）。棋盘是一根大数轴（−20 ～ ＋20）。两人各执一枚棋子从 0 出发，轮流翻卡前进/后退：红卡「向右走 |卡面| 步」、蓝卡「向左走 |卡面| 步」；落到同一格可把对方「送回 0」。先到 ＋15 者胜。
策略层。① 负数格是「绕路」不是「死路」——有时主动后退反而卡住对手；② 记牌：大牌出尽后小牌定胜负；③ 心算「离终点还差几步」：15 − 当前位置（位置是负数时变成加法）。
算理复盘。每局结束口头说一次：「我从 ＋3 走到 −4，向左 7 步」——把游戏动作翻译成数学语言。
p.36游戏·任务
记录一周家庭收支含负数
任务。① 用正负数记录家庭一周收支（收入为正、支出为负，金额可请家长提供约数）；② 算出每日结余与一周总结余；③ 画一条收支数轴，把 7 天结余「钉」上去；④ 写一句发现（如「周三支出最猛，是 −86 元」）。
思考。如果把基准改成「周末零花钱预算 50 元」，您的收支正负会怎么变？——体验「基准决定符号」。
第 5 单元 · UNIT 5
利息怎么算
p.37–45 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.37导入
利息怎么算
小杏的压岁钱 1000 元存进了银行。一年后，银行多给了她 17.5 元。「白拿的？」爸爸笑：「这叫利息——钱存着帮银行办事，银行付的报酬。」
拆解利息。利息 ＝ 本金 × 利率 × 时间。1000 元存一年，年利率 1.75%：利息 ＝ 1000 × 1.75% × 1 ＝ 17.5 元。到期取回 1000 ＋ 17.5 ＝ 1017.5 元——本息和。
王老师说：「百分数是经济生活的算术：利息、利率、折扣、税率、涨价跌价……本站游戏把『钱』的事算明白。钱的事，最怕糊涂。」
p.38规则
利率与税率规则
核心概念。① 本金：存入（或借入）的钱；② 利率：利息占本金的百分比，分年利率、月利率；③ 利息 ＝ 本金 × 利率 × 时间；④ 本息和 ＝ 本金 ＋ 利息。
税率。应纳税额 ＝ 收入（或销售额）中应税部分 × 税率。举例感：一家小店月销售额 30000 元，按 3% 纳税：30000 × 3% ＝ 900 元。
游戏币规则。本站用「班级币」模拟：本金卡（100/500/1000）、利率卡（1.5%/2%/3%）、时间卡（1/2/3 年）。出题人翻三张卡，答题人抢算利息，对者收走题卡作分。
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p.39试玩
存款利息计算
第 1 题。500 元存 2 年，年利率 2%：利息 500 × 2% × 2 ＝ 20 元，本息 520 元。
第 2 题。2000 元存 1 年，年利率 1.75%：利息 2000 × 0.0175 ＝ 35 元。小技巧：先算 1% 再乘——2000 × 1% ＝ 20，20 × 1.75 ＝ 35。
第 3 题（逆向）。存 800 元一年得利息 24 元，年利率是多少？24 ÷ 800 ＝ 3%——利率就是「利息 ÷ 本金 ÷ 时间」，三个量知二求三。
第 4 题（比一比）。同样 1000 元：存两年（利率 2%）与存两年「两个一年」（每年 1.75%）差多少？前者 40 元，后者 17.5 ＋ (1017.5 × 1.75%) ≈ 17.5 ＋ 17.81 ＝ 35.31 元——利率是主导，时间复利初见端倪（初中再学复利公式）。
p.40策略
折扣与利润率
利润率。利润率 ＝ 利润 ÷ 成本 × 100%。进货 60 元、卖 75 元：利润 15 元，利润率 15 ÷ 60 ＝ 25%。注意分母是成本不是售价——商家常在分母上做文章。
例 1。商品成本 200 元，想赚 30%，定价多少？200 × 130% ＝ 260 元。例 2。标价 400 元打八折卖，仍赚 25%：售价 320 元，成本 320 ÷ 125% ＝ 256 元。
策略卡（比价三问）。① 单位统一了吗？（都是「每千克」「每件」）② 分母是谁？（成本？原价？收入？）③ 百分比叠加要相乘，不能相加（涨价 10% 再涨价 10% ＝ 涨 21%）。
p.41进阶
综合理财小方案
任务情境。小杏有 3000 元压岁钱，计划三年后买一台 3200 元的平板。方案 A：一次存三年，年利率 2.75%；方案 B：存一年期，到期连本带息再存，年利率 1.75%，连存三年。
算方案 A。利息 ＝ 3000 × 2.75% × 3 ＝ 247.5 元，本息 3247.5 元 ≥ 3200 ✓。
算方案 B。第一年末 3000 × 1.0175 ＝ 3052.5；第二年末 3052.5 × 1.0175 ≈ 3105.9；第三年末 ≈ 3160.3 元 ＜ 3200 ✗——差 40 元！结论：利率高者胜，「利滚利」三年也追不上单利的高利率（本例下）。
再想一步。方案 B 的 3160 元是怎么「缩水」的？把每步算式写出来——这就是复利的种子：利息再生利息。
p.42复盘
百分数关系梳理
一张关系网。利息 ＝ 本金 × 利率 × 时间；利润率 ＝ 利润 ÷ 成本；折扣 ＝ 售价 ÷ 原价；增长率 ＝ 增量 ÷ 原量。全是「部分 ÷ 单位 1」——百分数应用的四张面孔。
复盘三问。① 「利率 2%」是谁的 2%？（本金，每年）② 打八折又满减 50，怎么合成一个折扣？（先算总价再一步算）③ 期望利润率 20%，成本涨了 10%，定价不变，利润率怎么变？先估再算。
易错清单。① 利息忘乘时间；② 利润率分母用错（用成售价）；③ 百分比直接相加（10% ＋ 10% ≠ 21%）；④ 单位「1」换了人没察觉。
p.43思想卡
百分数是经济生活的算术〔粟米〕
从《九章算术》「粟米」的粮米兑换率，到今天的存款利率——比率思维管理着人类的钱袋两千多年。
为什么钱的事要用百分数？因为钱的比较永远是「相对的」：同样 100 元利息，对本金 1000 是 10%，对本金 10000 只是 1%——去掉本金的规模，谈利息没有意义。百分数天生「除掉了基数」，是天然的公平比较语言。
财商与数学。看懂利率、识别折扣陷阱、比较收益——百分数是您的第一件「金融防身武器」。数学不好，钱包先知道。
王老师说：「记住这个单元最重要的一句话：看到百分数，先找单位『1』。找对了它，应用题就破了一半。」
p.44对弈赛
理财方案赛
赛制。小组抽签扮演「理财顾问」，为三张「客户卡」设计方案：① 存教育金的六年级学生；② 想换冰箱的家庭（半年后要用的钱）；③ 想开文具店的小老板（算利润率定价）。每方案限时 8 分钟，包含计算过程与风险提醒。
评分。计算正确 3 分、方案合理 2 分、说明了「单位 1」与利率假设 2 分、表达清晰 1 分。
评委必问。「如果利率下调 0.5%，您的方案还成立吗？」——好的方案要经得起「如果」。
p.45游戏·任务
设计一个零花钱存钱方案
任务。① 盘点您的零花钱来源，估算每月结余；② 定一个三个月的小目标（一本书、一个玩具、一次礼物）；③ 设计存钱方案：每周存多少？放「家庭银行」（约定利率）能生多少「利息」？④ 制作方案卡并与家长签约执行。
月末复盘。达成率百分之几？偏差出在哪一步？——理财方案和数学作业一样，都需要复盘。
第 6 单元 · UNIT 6
把分数拆成俄罗斯套娃
p.46–54 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.46导入
把分数拆成俄罗斯套娃
5/8 ＝ 1/2 ＋ 1/8。神奇吧？任何真分数，都能拆成一串分子为 1 的分数之和——像俄罗斯套娃，一层套一层。
再来一发。4/5 ＝ 1/2 ＋ 1/4 ＋ 1/20。3/4 ＝ 1/2 ＋ 1/4。这种「分子是 1 的分数」有个响亮的名字：单位分数（埃及分数）——四千年前，古埃及人写分数只用它们！
为什么古埃及这么写？分面包：3 张饼分给 4 人，每人 1/2 ＋ 1/4——先拿半张，再把剩下半张对半……单位分数是最自然的「分法」。
王老师说：「拆分数是一场智力套娃：每一步找『不超过它的最大单位分数』，剥一层少一层。本站把它玩成竞速赛。」
p.47规则
连分数展开规则
单位分数展开规则（贪心法）。① 找不超过原分数的最大单位分数（即分母最小的那个）；② 减去它；③ 对余数重复，直到余数为 0。例：5/6 → 最大单位分数 1/2，余 5/6 − 1/2 ＝ 1/3 → 完成：5/6 ＝ 1/2 ＋ 1/3。
连分数展开规则（另一族套娃）。把假分数「倒」出来：7/5 ＝ 1 ＋ 2/5 ＝ 1 ＋ 1/(5/2) ＝ 1 ＋ 1/(2 ＋ 1/2)。层层倒数，写成 [1; 2, 2]——套娃不限于加法！
计分。正确展开一道得 2 分；用的步骤最少（最长单位分数优先）加 1 分；能验证回加成立加 1 分。
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p.48试玩
7/5 的展开
加法套娃版。7/5 ＝ 1 ＋ 2/5 → 2/5 ＝ 1/3 ＋ 1/15 → 7/5 ＝ 1 ＋ 1/3 ＋ 1/15。验证：15/15 ＋ 5/15 ＋ 1/15 ＝ 21/15 ＝ 7/5 ✓。
倒数套娃版。7/5 ＝ 1 ＋ 2/5 ＝ 1 ＋ 1/(5/2)；5/2 ＝ 2 ＋ 1/2 → 7/5 ＝ 1 ＋ 1/(2 ＋ 1/2)，记 [1; 2, 2]。
两种套娃各有所长。加法版分面包直观；倒数版「层层取整」的余数 1/2、1/3 越来越小——它正是连分数，数学里逼近无理数的神器（π 就有一个著名连分数展开）。
每一步都回头验证：把拆开的部分通分相加，回到原分数才算数——套娃合起来还是原来那只娃。
p.49策略
渐近分数与近似
截断套娃。把连分数展开到某层就停，得到「渐近分数」：7/5 ＝ 1 ＋ 1/(2 ＋ 1/2)。取到 1 ＋ 1/2 ＝ 3/2（近似 7/5）；取到 1 ＋ 1/(2 ＋ 1/2) ＝ 7/5（精确）。层越深越准。
逼近 π。π ≈ 3.14159…的连分数 [3; 7, 15, 1, 292, …]，截断得 3、22/7 ≈ 3.1429（约率）、355/113 ≈ 3.1415929（密率）——祖冲之的密率 355/113 精确到小数点后 6 位，用连分数截断即可「再发现」它！
策略卡。① 贪心法每层取「分母最小的单位分数」；② 贪心法保证结束（余数分子严格变小），但项数未必最少——如 5/121 有更省的拆法，等您发现；③ 遇到大分数先约分。
p.50进阶
黄金分割的连分数
最简单的无穷套娃。x ＝ 1 ＋ 1/x（黄金比方程）→ x ＝ 1 ＋ 1/(1 ＋ 1/(1 ＋ 1/(…)))——全部由 1 组成的无穷连分数！截断：1、2/1、3/2、5/3、8/5、13/8……相邻斐波那契数之比！
三线会师。上一站：斐波那契相邻比值 → 0.618；这一站：全 1 连分数 → 0.618；五年级：黄金矩形 → 0.618。三条路通往同一个数——数学深处，殊途同归。
挑战。√2 的连分数是 [1; 2, 2, 2, …]（全 2）。验证：截断 1 ＋ 1/2 ＝ 3/2 ＝ 1.5，1 ＋ 1/(2 ＋ 1/2) ＝ 7/5 ＝ 1.4，再深一层 17/12 ≈ 1.4167……逼近 √2 ≈ 1.4142。
p.51复盘
连分数与密率（祖冲之）
知识链。单位分数（埃及）→ 贪心展开 → 倒数套娃（连分数）→ 渐近分数 → 逼近无理数 → 祖冲之密率 355/113。
复盘三问。① 贪心法的第一步找什么？② 渐近分数为什么「越深越准」？③ 355/113 用连分数怎么截出来？（提示：π ≈ [3; 7, 15, 1, 292]，取到 292 前一层。）
敬礼。公元 5 世纪，祖冲之没有连分数理论，用割圆术算到圆内接正 24576 边形得到密率——千年后数学家发现，密率正是 π 的连分数最佳近似。古人用毅力抵达了今人用理论抵达的地方。
p.52思想卡
层层剥开：数的另一种形态〔少广〕
同一个数可以有很多「形态」：7/5 是分数，1.4 是小数，140% 是百分数，[1; 2, 2] 是连分数。换形态不是为了花样，是为了看清不同侧面。
连分数的独门优势。分数小数把数「一次摊平」，连分数把数「层层剥开」——每一层给出一次近似，越深越准。它把「逼近」做成了结构，这是数学里罕见的优雅。
《九章》少广。「少广」章处理「已知面积求边长」，会遇到开方不尽、以分数逼近——古人的「不以一面为尽」，与连分数「层层逼近」精神相通。
王老师说：「以后您见到 π ≈ 3.14159，可以想想它背后的 [3; 7, 15, 1, 292, …]——数是活的，会一层层向您展示自己。」
p.53对弈赛
展开竞速赛
赛制。三人一桌，轮流当「出题官」：出题官翻一张分数卡（如 13/8、17/12、29/23），其余两人抢答：① 加法套娃展开（贪心法）；② 倒数套娃两层。先答对者得分；出题官验算成功得 1 分「裁判费」。
竞速题样。① 11/12 → 1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/12；② 19/20 → 1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/9 ＋ 1/180；③ 8/5 的连分数 [1; 1, 1, 2]？验证：1 ＋ 1/(1 ＋ 1/(1 ＋ 1/2)) ＝ 8/5 ✓。
终局挑战。谁先用渐近分数写出 π 的三个近似：3、22/7、355/113——直接晋升「套娃大师」。
p.54游戏·任务
展开一个分数并验证近似
任务。① 任选一个真分数（分母 ≥ 7），用贪心法展开成单位分数之和，写出每步与验算；② 再选一个假分数做两层倒数套娃；③ 用渐近分数逼近 π：写出 3 → 22/7 → 333/106 → 355/113 的递进，并各算小数点后 4 位对比。
加分。查一查：莱布尼茨级数、连分数之外还有哪些「逼近 π」的路？挑一条讲给家人听。
第 7 单元 · UNIT 7
图形会算术
p.55–63 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.55导入
图形会算术
一张纸上有 3 个点，两两连线，能连几条线段？小杏画了画：「3 条。」加一个点变 4 个点呢？她数了半天：6 条。5 个点？……越数越乱。
问题升级。线段会数了，那角呢？长方形呢？三角形呢？——「数图形」是逻辑推理的第一块肌肉：光靠眼睛会漏，必须有序思考。
王老师说：「图形不会说话，但它们会『算术』：几条线段、几个角、几个长方形——都是数。数得又快又全的秘密只有四个字：不重不漏。本站训练它。」
p.56规则
图形计数规则
基本图形库。线段（2 点定 1 条）、角（1 点引 2 条射线）、三角形（3 条边）、长方形（2 横 × 2 竖平行线确定）。
玩法。题卡分三级：★ 数线段（一条线段上含 n 个点）；★★ 数角、数三角形；★★★ 数长方形、复合图形。限时 60 秒作答，答案与算式一起交——只写数字不给算式，判一半分。
禁手。不许用手指逐个点着数一遍了事（可以验证，不可以为主）；主答必须说出「分类办法」。
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p.57试玩
数线段数角
线段：分类数。线段上有 A、B、C、D 四个点：以 A 为左端点的有 AB、AC、AD 共 3 条；以 B 为左端点的 2 条；以 C 的 1 条——共 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 6 条。算式：(4 − 1) ＋ (4 − 2) ＋ (4 − 3)，或 4 × 3 ÷ 2 ＝ 6。
为什么 ÷ 2？每条线段有左右两个端点，「以每个点为左端点」数一遍，每条被数两次——乘法原理与除法去重联手。
数角。从一点引出 5 条射线：最小「夹角」4 个，由 2 个小角拼成的 3 个……同构于「5 个点数线段」：4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 10 个角——换汤不换药，结构相同。
抢答。8 个点的线段共几条？8 × 7 ÷ 2 ＝ 28。10 条射线的角呢？
p.58策略
分类计数防遗漏
分类的诀窍：固定一个「主角」。数三角形：底边固定，数「以它为底」的三角形；顶点固定，数「含这个顶点」的……每类只管一件事，数完类与类再合并。
例（数三角形）。大三角形被两条线从顶点切到对边（对边成 3 段）：① 单块 3 个；② 两块拼成 2 个；③ 三块拼成 1 个——共 6 个。算式 3 ＋ 2 ＋ 1——又是三角形数！
防漏检查。① 算式里的每个数有物理意义吗？② 换一种分类法重数一遍，答案一致吗？③ 画一半、猜规律、再验证——「小规模试、大规模套」。
策略卡。复杂图形 = 简单结构的叠加。先找「基本单位」，再找「组合规则」——计数是组合数学的第一课。
p.59进阶
数长方形与三角形
数长方形。3 × 3 方格网里有多少个长方形？横向：4 条竖线取 2 条 → 4 × 3 ÷ 2 ＝ 6 种「左右边界」；纵向同理 6 种「上下边界」。每个长方形由一对左右边界＋一对上下边界唯一确定：6 × 6 ＝ 36 个。
乘法原理首秀。两步独立的事，总方案数 ＝ 各步方案数相乘。先分步，再相乘——比一个一个数快一百倍。
数三角形（网格型）。2 × 2 方格网（含对角线辅助线）中的三角形：按「底在哪条横线、占几格」分类……画图＋分类，数出 8 个——分类标准要一次定死，中途不换。
挑战。4 × 4 方格网的长方形：左右边界 5 × 4 ÷ 2 ＝ 10，上下同理 10，共 100 个——「n × n 方格网长方形 ＝ [n(n＋1)/2]2」，一个漂亮的平方数！
p.60复盘
计数的有序性
有序思考三步。① 定分类标准（按大小？按位置？按含不含某元素？）；② 逐类清点（每类内部再有序：从左到右、从小到大）；③ 合并验算（换标准重数 / 小规模枚举对照）。
复盘三问。① 「n 个点数线段＝n(n−1)/2」里 ÷2 的道理？② 数长方形为什么可以「横竖相乘」？③ 您数错的那次，是「重了」还是「漏了」？原因落在哪一步？
数学眼光。数线段、数角、数三角形、数长方形——结构一脉相承：换皮不换骨。看穿「骨」，就学会了举一反三。
p.61思想卡
有序思考：不重不漏
「数」和「算」一样是数学基本功——但数的目标不是快，是准；准的秘诀不是仔细，是有序。
有序即智慧。垃圾分类数长方形、固定端点数线段、分步相乘数方案——「有序」把混沌的清点变成可复制的流程。分类讨论、乘法原理，初高中的大门槛，今天先迈一条腿。
生活迁移。整理书包按科目分格、列购物清单按超市分区、活动流程按时间分块——「不重不漏」是管理世界的通用算法。
王老师说：「下次数乱了别怪眼睛，怪标准——标准立好，天下太平。」
p.62对弈赛
图形计数赛
赛制。擂台制：出题官出示图形题卡（线段/角/三角形/长方形/复合），台下单人限时抢答，答对坐擂；答错换人。连擂 3 关封「数形金眼」。
必出题。① 12 个点的线段；② 6 条射线的角；③ 3 × 4 方格网长方形（60 个）；④ 大三角形含 2 条内线的三角形总数。
封擂题（压轴）。五角星（不交叉版）图中共有几个三角形？——不许抢，先写分类算式。
p.63游戏·任务
设计一道计数题
任务。① 设计一道图形计数题（自选图形，点数/格数适中）；② 写出标准答案与分类算式；③ 给两名同学试做，记录他们的方法与错误；④ 根据反馈修题（太简单/太坑都要调）。
加分。为您出的题写一段「防坑指南」：大多数人会漏掉哪一类？——会预判错误的设计者，才是真高手。
第 8 单元 · UNIT 8
侦探破案靠比例
p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.64导入
侦探破案靠比例
「案发现场留下一个 26 厘米的脚印。」侦探小李掏出笔记本：「脚印长约是身高的 0.25 倍——嫌疑人身高约 26 ÷ 0.25 ＝ 104 厘米？不对……」他重算：「脚印与身高成正比，系数约 0.25，身高 ≈ 26 × 4 ＝ 104？也不对！」
侦探的自我修养。系数到底多少？多取几组数据（身高 160 → 脚印 24；身高 175 → 脚印 26.5；身高 150 → 脚印 22.5）——比值 0.15、0.151、0.15 稳定！所以身高 ≈ 26 ÷ 0.15 ≈ 173 厘米。第一次算错，是因为没先测「比率」。
王老师说：「侦探的武器是比例：由局部推整体、由样品推全貌。本单元是六之冬的收官战——破案吧，少年！」
p.65规则
案件卡规则
案件卡。每张卡 = 案情一段 + 数据若干 + 三条线索（其中一条有用、两条干扰）+ 待解之谜。破案 = 挑对线索、列对比例、算对结果、说出推理链。
组队规则。2～4 人一侦探组；每案限时 8 分钟；破案陈述必须包含「三件套」：用的哪个比、怎么列的式、结果多可靠（误差说明）。
计分。破案 3 分；陈述三件套齐全 2 分；识破干扰线索 1 分/条；误用干扰线索 −1 分——侦探的声誉比速度贵。
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p.66试玩
脚印与身高案
案情。体育馆失窃，现场脚印 25 厘米。监控显示嫌疑人从三个入口离开。已知：本校六年级学生脚印-身高数据一组（150→22.5、165→24.75、158→23.7）。
破案。比值 22.5/150 ＝ 24.75/165 ＝ 0.15（稳定）→ 嫌疑人身高 ≈ 25 ÷ 0.15 ≈ 167 厘米 → 对照体育器材室登记表锁定区间。干扰线揭示。「脚印 25 厘米 ≈ 40 码鞋」是真线索的另一种说法；「现场发现绳子 2 米」与身高无关——排除。
伦理提示。真实破案不能只靠比例定人——比率给出的是「嫌疑范围」，不是「判决」。数据说话，但也只能说到「可能性」。
p.67策略
图像缩放推理
缩放不变形。照片放大 3 倍，人的身高变 3 倍、帽檐宽度也变 3 倍——所有对应长度同乘一个数。侦探用这一点：把监控截图缩放到与现场同尺度再比对。
例。监控里嫌疑人身高占画面高的 1/6，画面原样对应实际 4.2 米门框高的 5/6……一步步换算：门框 4.2 米在画面中占 5/6 → 画面全高对应 5.04 米 → 人高 5.04 × 1/6 ＝ 0.84 米？——不对劲，回头查：门框占画面 5/6 而不是全画面！修正后得人高 ≈ 1.68 米。侦探会算错，但侦探会复查。
策略卡。① 先找「同框参照物」（门、砖、地砖有标准尺寸）；② 一切长度按同一比例换算；③ 结果要与常识对表（成人身高 1.5～2 米）——违反常识的计算一定有错。
p.68进阶
密度与成分案
黄金掺假案。纯金密度 19.3 g/cm3，铜 8.9。查获「金条」一根：长 5 厘米、宽 2 厘米、厚 1 厘米（体积 10 cm3），重 141 g——密度 14.1，介于铜金之间！估算含金比例（体积）：设金占 x，19.3x ＋ 8.9(1 − x) ＝ 14.1 → x ≈ 0.5——约五成是金。密度是成分的「指纹」。
果汁掺水案。标准果汁含糖 12%，查封一批测得含糖 8%——掺水比例？糖不变：12% × V原 ＝ 8% × V新 → V新 ＝ 1.5 V原 → 掺水占 1/3。「不变量」是破案的锚。
合成线索。脚印案 + 密度案：假金条 5 千克重？真金 5 千克体积 ≈ 259 cm3，掺半约 337 cm3——体积差 78 cm3，比一包烟还大。多条线索交叉，真相才立得住。
p.69复盘
比例知识清单
侦探工具箱。① 比与比值（关系标准化）；② 化简比（统一量纲）；③ 按比分配（由总推分）；④ 正比缩放（由局推全）；⑤ 不变量追踪（浓度、密度）；⑥ 数据核对（与常识/登记表比对）。
复盘三问。① 您的每个案子，「单位 1」是谁？② 两条线索打架时信谁？（信可复核的物理量）③ 侦探的结论为什么总带「约」？（测量有误差，比率给区间）
六之冬总复盘。配比、斐波那契、图证、正负数、利率、连分数、计数、侦探——八站游戏一条线：关系不变量与有序推理。寒假作业：把最喜欢的两站讲给家人。
p.70思想卡
比例是推理的工具〔粟米〕
《九章算术》「粟米」章的「今有术」：已知四数中的三数求第四数——这就是侦探做的事：已知三缺一，按比例补全。
从算术到科学。伽利略量斜面时间与距离，发现「距离与时间平方成比例」——近代科学的第一步，是学会用比例读自然。侦探破案、地图缩放、药物配比、图纸放大——比例是人类推理的通用杠杆。
侦探守则（数学版）。一、先测比率再下结论；二、线索要交叉验证；三、结论附误差；四、常识是最便宜的验算器。
王老师说：「福尔摩斯说『排除一切不可能，剩下的再离谱也是真相』。数学侦探补一句：排除之前，先算准「可能」的边界。」
p.71对弈赛
破案积分赛
赛制。四个侦探组同场竞逐四案（脚印案、金条案、果汁案、地图寻宝案），每案限时 6 分钟，交「破案书」：线索选择、比例式、结果、可靠性说明。
地图寻宝案。藏宝图比例尺 1 : 5000，图上宝物距入口 6 厘米、北偏东 40°——实际多远、哪个方向？（300 米）挖开处只有一张纸条：「到入口正北 200 米处」——图上该画多长？（4 厘米）连环比例尺。
颁奖。「金放大镜」最佳破案组、「福尔摩斯之眼」最佳线索甄别、「华生笔记」最佳破案书——名次重要，推理过程更重要。
p.72游戏·任务
编一个比例侦探小案
任务。① 编一个含「比例破案」的小故事（脚印/密度/浓度/地图任选）；② 数据要自洽：先定真相比率，再倒推「现场数据」；③ 设计两条干扰线索并注明「干扰点」；④ 附完整破案书；⑤ 交换破案并互评。
自查清单。数据符合常识吗？比率稳定吗？干扰线是否「看似相关实则无关」？——出题如布局，高手留而不破。