九章格数学 PhiloMath · K2C 正文 · P 段
比例与代数准备
P6-3 · 春季下册（编目代号 P6-3）· 主轴：粟米 · 方程 · 正文编写版 · 已完成 72/72 页 · 2026-09-15
小学高段 · 六年级72 页 ＝ 8 单元 × 9 页体例：导入＋精讲＋练习＋思想卡＋游戏主轴：粟米 · 方程
春 日 数 韵〇体例说明（写给小读者和家长）
体例
本书怎么读：一个单元九页
全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右下角，如 3.14，小数乘法先按整数相乘再点上小数点，小数除法把除数变成整数再除；未知数用字母 x 表示，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；＞ ＜ ≥ ≤ 各就各位，中括号写成 ［ ］；上标用小肩数字，如 1 平方米＝10000 平方厘米、1 立方分米＝1000 立方厘米。因数与倍数：2、5、3 的倍数特征；体积与容积单位：立方米（m3）、立方分米（dm3）、升（L）、毫升（mL）。
一全册目录（八个单元 · 每单元 9 页）
- p.1–9第 1 单元 国旗可以随便放大吗
- p.10–18第 2 单元 水桶与帐篷的形状
- p.19–27第 3 单元 一张地图装下整个中国
- p.28–36第 4 单元 该带伞吗：决策的依据
- p.37–45第 5 单元 数轴：数的家谱图
- p.46–54第 6 单元 从算术到代数的桥
- p.55–63第 7 单元 一个字母改变了什么
- p.64–72第 8 单元 P 段毕业资格赛
第 1 单元 · UNIT 1
国旗可以随便放大吗
p.1–9 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.1导入
国旗可以随便放大吗
学校要新做一面大国旗挂上旗杆。小杏提议：「把班里的国旗放大 10 倍，图案现成！」美术老师摇头：「放大可以，按现在的比放大——国旗的长宽比一变，就不是国旗了。」
国旗的尊严。我国国旗的标准比是 3 : 2。长 240 厘米宽必须 160 厘米；长 480 宽 240？——那是 2 : 1，不合格！「放大不变形」的背后，是两个比相等。
王老师说：「两个比用等号连起来，就叫比例。『3 : 2 ＝ 240 : 160』——别看式子短，它是地图、图纸、相似三角形共同的根基。本单元学比例，为初中几何铺路。」
p.2精讲
比例的意义与基本性质
比例。表示两个比相等的式子叫比例，如 3 : 2 ＝ 9 : 6。判断两个比能否组成比例，就看比值是否相等。
各部分名称。3 : 2 ＝ 9 : 6 中，3、6 叫外项，2、9 叫内项。
比例的基本性质。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积：3 × 6 ＝ 2 × 9 ＝ 18。这不是巧合：a : b ＝ c : d 即 a/b ＝ c/d，两边同乘 bd 得 ad ＝ bc。
例 1 判断 1.2 : 0.9 与 4 : 3 能否组成比例：0.9 × 4 ＝ 3.6，1.2 × 3 ＝ 3.6，相等 → 能！例 2 在 5 : 8 ＝ 15 : □ 中，□ ＝ 8 × 15 ÷ 5 ＝ 24（内项积＝外项积）。
练一练 ① 3 : 5 ＝ 12 : 20 对吗？用性质验证。② 4 : 7 ＝ □ : 35。③ 从 2、3、6、9 中选四个数组成比例。
p.3精讲
解比例
解比例。求比例中的未知项。依据就是基本性质：外项积 ＝ 内项积，把比例变成我们早就会的乘法方程。
例 1 解 3 : 4 ＝ x : 12：4x ＝ 3 × 12 ＝ 36 → x ＝ 9。例 2 解 x/6 ＝ 7/2（写成分数形式的比例）：2x ＝ 42 → x ＝ 21。
例 3（应用）。一辆汽车 3 小时行 195 千米，照这样 5 小时行多少千米？设 x 千米，195 : 3 ＝ x : 5 → 3x ＝ 975 → x ＝ 325。「照这样计算」四个字，就是「比值不变」——正比例的预告。
例 4（分数比）。解 1/2 : 1/4 ＝ x : 3/5：(1/4)x ＝ 3/10 → x ＝ 6/5。分数外项内项照样「交叉乘」。
练一练 ① 5 : x ＝ 10 : 14 ② x/9 ＝ 4/3 ③ 0.6 : 0.8 ＝ 3 : x ④ 机器 4 分钟生产 30 个零件，7 分钟生产多少个？
p.4精讲
正比例
正比例。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若它们的比值（商）一定，就成正比例。速度一定，路程与时间成正比；单价一定，总价与数量成正比。
例 1 圆的周长与直径：C/d ＝ π（一定）→ 成正比例！直径翻倍周长翻倍。例 2 正方形的面积与边长：S/a ＝ a 随 a 变——比值不定，不成正比例（边长翻倍，面积翻 4 倍）。
判别三步。① 两个量是否相关联？② 一个变另一个是否跟着变？③ 比值是否恒定？三步全部通过才成正比例。
例 3（图像感）。正比例关系的图像是过原点的直线——每一步走多远，下一步就等比例走多远。先描点（1, π）、（2, 2π）……连线自然成直线。
练一练 ① 每袋大米 25 千克，袋数与总千克数。② 人的年龄与身高。③ 圆的面积与半径。哪些成正比例？
p.5精讲
反比例
反比例。两种相关联的量，若它们的乘积一定，就成反比例。路程一定，速度与时间成反比；总量一定，每天烧的量与能烧的天数成反比。
例 1 从家到学校 1200 米：速度 60 米/分走 20 分；速度 80 米/分走 15 分——60 × 20 ＝ 80 × 15 ＝ 1200，积不变，成反比例。
正反之辨。判断口诀：比值一定成正比，乘积一定成反比。长方形面积一定，长与宽成反比；长一定，面积与宽成正比——同一批量，换一个不变量，关系就换人。
例 2 一批零件 600 个，每天做的个数与天数成反比例；每天 50 个要 12 天，每天 75 个呢？50 × 12 ＝ 75 × x → x ＝ 8 天——反比例也能「解方程」。
练一练 ① 百米赛跑，速度与时间。② 长方形周长一定，长与宽。③ 总价一定，单价与数量。判断正比例、反比例还是都不成？
p.6练习
判断与解比例
A 组·组成比例 ① 4 : 6 与 10 : 15；② 0.5 : 2 与 1 : 4；③ 用 16、12、3、4 组成一个比例。
B 组·解比例 ① x : 8 ＝ 3 : 4 ② 6/x ＝ 9/2 ③ 1/3 : 1/5 ＝ x : 4 ④ 2.5 : x ＝ 5 : 0.2
C 组·判断正反比例 ① 单价一定，数量与总价。② 铺地面积一定，每块砖面积与块数。③ 正方体表面积与棱长。④ 全班人数一定，出勤人数与出勤率。
D 组·应用 ① 修路队 5 天修 600 米，照这样 12 天修多少米？② 一批纸订 30 本每本 40 页，若订成 24 本每本多少页？③ 药水按 1 : 200 稀释，12 克药粉需水多少克？
E 组·挑战 甲乙两车速度比 5 : 4，同时从 A、B 两地相向而行，2 小时相遇。相遇后两车各需多少小时到达对方出发点？（提示：同一段路，时间与速度成反比）
p.7思想卡
〔粟米〕正反比例：相依相变的两种关系
世界上两个量的关系，最常见的两种舞步：同进同退（比值不变——正比例）与此消彼长（乘积不变——反比例）。
不变量的眼光。正比例守着「商」，反比例守着「积」——找到那个「一定的量」，关系立刻显形。物理里的密度、速度、压强，化学里的浓度，全是「商守恒」；杠杆平衡、电路电压一定时的电流电阻，全是「积守恒」。
函数的种子。正比例 y ＝ kx 是初中第一个函数；反比例 y ＝ k/x 是第二个。图像上，一个过原点的直线，一个双曲线——今天的三步判别法，就是未来函数分类的雏形。
王老师说：「变化的世界里，数学找『不变』。找到了不变量，变化就不再可怕——它有了规律。」
p.8游戏迁移
判断竞速
玩法。两人一组，一组卡牌每张写一对量（总价与数量、年龄与身高、边长与周长、路程一定时速度与时间……）。翻卡抢答「正比例/反比例/都不是」，并说出「守着什么」；答对收卡，10 卡一局。
高难卡。① 圆的周长与面积（对直径）？② 一段路程分两段走，前段速度与后段速度（都不成——没有共同不变量）？③ 和一定，一个加数与另一个加数？——「和一定」既不是商也不是积，答案是「都不是」！
王老师说：「抢答快不算赢，说出不变量才算赢。工坊里有同款竞速关卡，扫码去刷新纪录。」
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p.9游戏·任务
找生活中正反比例各两例
任务。① 在家中、超市、路上找两个「正比例」现象、两个「反比例」现象，记录数据两三组验证比值/乘积是否恒定；② 每例写清「不变的量是什么」；③ 与家人分享一个「反比例陷阱」（如「钱越多越幸福」其实不成比例）。
提示。验证才是硬道理：光嘴上说成正比不算，要拿两组数据算一算。
第 2 单元 · UNIT 2
水桶与帐篷的形状
p.10–18 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.10导入
水桶与帐篷的形状
农村老家的水桶是圆柱形，露营的帐篷顶是圆锥形。小杏问：「为什么桶偏要做圆的？」阿禾说：「同样多的材料，圆柱装得最多——圆的面积优势（同周长最大）升了个维。」
先立问题。① 圆柱的侧面展开是什么图形？② 圆锥的体积和同底等高的圆柱是什么关系？③ 这两个形状的公式怎么来的？——本单元一次搞定。
王老师说：「圆是平面上的完美，圆柱圆锥是它升入三维的化身。转化思想这回要从『剪拼』升级成『展开与倒水』。」
p.11精讲
圆柱的认识与表面积
圆柱三件套。两个底面（完全相同的圆）、一个侧面（曲面）、无数条高（两底面之间的距离，处处相等）。
侧面展开。沿高剪开摊平：长方形！长＝底面周长 2πr，宽＝高 h。斜着剪会得到平行四边形——但面积算法不变。特殊情形：若底面周长恰等于高，展开是正方形。
圆柱表面积。侧面积 S侧 ＝ 2πrh；表面积 S ＝ 2πrh ＋ 2πr2。
例 1 底面半径 2 分米、高 5 分米：S侧 ＝ 2 × 3.14 × 2 × 5 ＝ 62.8 平方分米；两底 2 × 3.14 × 4 ＝ 25.12；表面积 87.92 平方分米。
例 2（无盖水桶）。只有侧面＋一个底：S ＝ 2πrh ＋ πr2——实际问题时先想「有几个面」：水桶、通风管、厨师帽，各少哪个面？
练一练 ① 侧面展开长 18.84 厘米、宽 10 厘米，求底面半径与侧面积。② 无盖圆柱水桶 r ＝ 3、h ＝ 4，求用料（接口忽略）。
p.12精讲
圆柱的体积
转化：把圆「摞直」。把圆柱底面等分成许多扇形，交错拼插成一个近似长方体：底面积不变（πr2），高不变（h）。
圆柱体积。V ＝ Sh ＝ πr2h——「底面积 × 高」，直柱体的通用公式（长方体、正方体同样适用）。
例 1 r ＝ 3 厘米、h ＝ 10 厘米：V ＝ 3.14 × 9 × 10 ＝ 282.6 立方厘米。例 2 底面周长 12.56 分米、高 5 分米：先 r ＝ 12.56 ÷ 6.28 ＝ 2，V ＝ 3.14 × 4 × 5 ＝ 62.8 立方分米。
容积与体积。容积算「装多少」，用内壁尺寸；体积算「占多大」。1 升 ＝ 1 立方分米，1 毫升 ＝ 1 立方厘米——单位家族聚会。
例 3。内直径 20 厘米、内高 30 厘米的圆柱水桶，容积 ＝ 3.14 × 100 × 30 ＝ 9420 立方厘米 ＝ 9.42 升。
练一练 ① S ＝ 50 平方厘米、h ＝ 12 厘米的柱体体积？② 易拉罐直径 6 厘米、高 12 厘米，容积约多少毫升？
p.13精讲
圆锥的体积（三分之一的实验）
圆锥。一个底面（圆）＋一个顶点＋一个侧面（曲面）；从顶点到底面圆心的距离是高 h（圆锥只有一条高，藏在身体里）。
圆锥体积。等底等高的圆锥体积是圆柱的三分之一：V ＝ (1/3)πr2h。这不是背出来的——是倒水倒出来的。
实验规程。等底等高的透明圆柱、圆锥各一只，水一盆：圆锥装满水倒入圆柱，正好三次灌满。换不同尺寸的再来一轮——只要「等底等高」，永远是 3 倍关系。
例 1 沙堆底面半径 2 米、高 1.5 米：V ＝ (1/3) × 3.14 × 4 × 1.5 ＝ 6.28 立方米；沙每立方米重 1.7 吨，共约 10.7 吨。例 2 注意「等底等高」前提！底面积相同、圆锥高是圆柱 3 倍时，两者体积才相等。
练一练 ① 圆柱 V ＝ 30，等底等高圆锥 V ＝ ？ ② 圆锥 r ＝ 3、h ＝ 6，V ＝ ？ ③ 一个圆锥与一个圆柱体积相等、底面积相等，圆锥高 12 厘米，圆柱高几厘米？
p.14精讲
综合应用
例 1（表面积＋容积）。圆柱形水池深 2 米、底面直径 4 米：① 池底与四周抹水泥，抹多大？（侧面积＋一个底：2 × 3.14 × 2 × 2 ＋ 3.14 × 4 ＝ 25.12 ＋ 12.56 ＝ 37.68 平方米）② 最多蓄水多少？（3.14 × 4 × 2 ＝ 25.12 立方米 ＝ 25120 升）
例 2（切割）。把一根圆柱（r ＝ 2、h ＝ 10）横截成两段：表面积增加两个底面 ＝ 2 × 3.14 × 4 ＝ 25.12 平方厘米；纵切（沿直径劈开）增加两个长方形（宽为直径、长为高）＝ 2 × 4 × 10 ＝ 80 平方厘米——切割问题先画截面。
例 3（融化重塑）。把圆柱铁块（r ＝ 3、h ＝ 4）熔铸成圆锥（底面积同 28.26）：体积不变 113.04 → 圆锥高 113.04 ÷ 28.26 ÷ (1/3) ＝ 12 厘米。「形状变了，体积不变」是熔铸题的灵魂。
练一练 ① 压路机前轮直径 1.2 米、宽 2 米，转一周压路多少平方米？② 圆锥冰激凌（r ＝ 3、h ＝ 10）装满，若融进底面相同的圆柱杯里，液面高几厘米？
p.15练习
计算与解决问题
A 组·口答 ① 圆柱侧面展开长＝？宽＝？② 圆锥体积公式里为什么有 1/3？③ 1 升 ＝ 多少立方厘米？
B 组·计算 ① 圆柱 r ＝ 5、h ＝ 8：侧面积、表面积、体积；② 圆锥 d ＝ 6、h ＝ 5：体积；③ 圆柱底面周长 31.4 厘米、高 6 厘米：体积。
C 组·判断 ① 圆柱的高扩大 2 倍、底面半径不变，体积扩大 2 倍。（ ）② 圆锥体积是圆柱体积的 1/3。（ ——少了「等底等高」！）③ 把圆柱削成最大的圆锥，削去部分是圆锥的 2 倍。（ ）
D 组·应用 ① 圆柱形水塔底面半径 3 米、高 5 米，可容水多少吨？（1 立方米水重 1 吨）② 一堆圆锥形谷堆，底面周长 18.84 米、高 2 米，每立方米谷约重 600 千克，共重多少？
E 组·挑战 一根长 2 米、底面直径 20 厘米的圆柱木料，削成最大的圆锥，削去木料多少立方分米？削下的木屑体积是圆锥的几倍？
p.16思想卡
〔商功〕由曲化直：圆柱体积的转化
《九章算术》「商功」章算城、垣、堤、沟、堑、渠——各种土方体积；其中圆柱形「圆囷」的体积，古人正是「周自相乘，以高乘之，十二而一」：(C/4)2 × h × 4/π ≈ V，与 πr2h 殊途同归。
曲化为直。圆拼成长方形，圆柱拼成长方体，扇形拼成三角形——「由曲化直」是中国古代数学的看家本领：把弯的、圆的，切细、拼直，化归为会算的形状。极限思想的萌芽，藏在一刀一刀的剪拼里。
三分之一的尊严。圆锥体积系数 1/3 是精确的，不是近似——这背后藏着球锥体积的祖暅原理（等高处的截面积处处相等则体积相等），高中大学的积分都从它照进光来。
王老师说：「学了圆柱圆锥，回头看刘徽、祖冲之父子——他们没有微积分，却算出了球的体积公式。转化与极限，是他们的『独门兵器』。」
p.17游戏迁移
容器实验
玩法。家庭厨房就是实验室：量杯、圆柱水杯、圆锥漏斗、矿泉水瓶。① 圆锥漏斗往圆柱杯倒水，验证「3 次灌满」（先量好等底等高，不等就换算）；② 矿泉水瓶（近似圆柱）算容积，再灌水验证（误差多少？为什么？）。
升级。不规则物体（土豆、橡皮）的体积：杯中放水记刻度，放入物体看升格——排水法！阿基米德的「尤里卡」，您家厨房就有。
王老师说：「公式写在纸上，道理长在容器里。倒一次水，胜过背十遍。」
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games/p6-3.html?u=2
p.18游戏·任务
计算家中水桶容积
任务。① 找一个圆柱形容器（水桶/水杯/锅），量内直径与内高（两次取平均）；② 算容积（升），有条件灌水验证；③ 写一份「容器档案」：尺寸、容积、用途，以及「若做成等底等高的圆锥，能装多少」。
思考。商家标注「5 升水桶」通常按外壁还是内壁算？为什么实际装水略少？——诚实标注也离不开数学。
第 3 单元 · UNIT 3
一张地图装下整个中国
p.19–27 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.19导入
一张地图装下整个中国
墙上挂着一幅中国地图：960 万平方千米的大地，装进了一张 1 米宽的纸。小杏量了量：「北京到上海，图上才 23 厘米……实际该多远？」
地图的语法。角落里写着「1 : 20000000」——图上 1 厘米代表实际 20000000 厘米（200 千米）。23 厘米 × 200 千米 ＝ 4600 千米？不对，再算：23 × 200 ＝ 4600 千米——咦，京沪实际约 1200 千米！问题出在哪？地图投影会拉伸——比例尺只在该方向附近有效，这就是地图学的深水区（先埋个彩蛋）。
王老师说：「比例尺是「比例」最实用的化身：图纸、地图、模型、电路板……本单元学「把世界按比缩放」的真功夫。」
p.20精讲
比例尺的意义
比例尺 ＝ 图上距离 : 实际距离。常见两种写法：① 数值比例尺：1 : 5000000；② 线段比例尺：图上一段标着「0—50 千米」的刻度线。
单位大坑。组成比例尺前必须统一单位：1 : 5000000 的意思是图上 1 厘米，实际 5000000 厘米 ＝ 50 千米。比例尺没有单位——它是两个同单位量的比。
例 1 「1 : 5000000」换算线段比例尺：图上 1 厘米 ＝ 实际 50 千米。例 2 线段比例尺「1 格 ＝ 20 千米」换数值比例尺：20 千米 ＝ 2000000 厘米 → 1 : 2000000。
放大比例尺。把小零件画大：比例尺 2 : 1 表示图上是实物的 2 倍；10 : 1 就是放大 10 倍——前项大于后项，是「放大镜」。
练一练 ① 1 : 3000000 的图上 1 厘米代表多少千米？② 线段比例尺「1 格＝40 千米」化成数值比例尺。③ 图纸 5 : 1，零件实际 8 毫米，图上多长？
p.21精讲
求实际距离与图上距离
两个方向。实际距离 ＝ 图上距离 ÷ 比例尺（换算单位后按倍数乘）；图上距离 ＝ 实际距离 × 比例尺。或者干脆用解比例：图上 : 实际 ＝ 1 : 5000000。
例 1 1 : 6000000 的地图上甲乙两地相距 12 厘米：实际 ＝ 12 × 6000000 ＝ 72000000 厘米 ＝ 720 千米。
例 2 两城相距 240 千米，画在 1 : 4000000 的图上：240 千米 ＝ 24000000 厘米 → 图上 24000000 ÷ 4000000 ＝ 6 厘米。
例 3（量图走天下）。用细线沿铁路线滚一遍再拉直量长，得图上曲线距离 18.5 厘米（1 : 8000000）→ 实际 1480 千米——曲线距离也能测，只是别忘了「实际铁路更曲折，误差还在后面」。
练一练 ① 1 : 500000 图上 4.6 厘米＝实际多少千米？② 实际 45 千米画在「1 格＝15 千米」的图上占几格？③ 比例尺 1 : 200 的校园图上操场长 30 厘米，实际多长？
p.22精讲
放大与缩小（相似初感）
图形的放大缩小。把长方形按 3 : 1 放大：长、宽同时乘 3；按 1 : 2 缩小：同时除以 2。每条边按同一比例变——形状不变、大小变，这就是「相似」的雏形。
易错：只缩一边 = 变形。把照片宽缩一半、高不动——人变扁了！两个方向的比必须一致，正如国旗不能拉宽。
例 1 长 6 厘米宽 4 厘米的照片按 2 : 1 放大：12 × 8 厘米，面积扩大 4 倍（长宽各 2 倍，面积平方倍）。例 2 按 1 : 3 缩小后面积是原来的 1/9——长度比 1 : n，面积比 1 : n2。
例 3（放缩设计）。把 4 × 3 的图形按 3 : 1 放大，对应点怎么找？在放大图上按「列 × 3、行 × 3」重新描点——坐标思想的又一次亮相。
练一练 ① 3 × 5 长方形按 4 : 1 放大，面积多少？② 把正方形边长缩为原来的 1/2，面积缩为几分之几？③ 两个相似图形对应边比 2 : 5，面积比多少？
p.23精讲
用比例尺画平面图
画图四步。① 定比例尺（先估最大尺寸与纸面大小）；② 统一单位、算出图上距离；③ 定方向（上北下南，或标注方位）；④ 按数据描点画图，标注比例尺与图例。
例 1（教室平面图）。教室长 9 米、宽 6 米，用 1 : 200：图上 4.5 厘米 × 3 厘米。讲台在北墙正中（宽 2 米 → 图上 1 厘米）……按数据逐件「搬」进图。
例 2（寻宝图）。比例尺 1 : 1000，宝藏在校门北偏东 30°、300 米处：图上先画 30° 方向线，再量 30 厘米落点——方向＋比例尺 ＝ 定位（六上学的定位在这里汇合）。
审图三查。查比例尺写了吗？查方向标了吗？查单位统一了吗？——地图也有「版权页」，三样缺一不可。
练一练 用 1 : 500 画您家（或一间房）平面草图：先量实际尺寸，再按比例缩小，家具按比缩放摆进去。
p.24练习
综合题组
A 组·换算 ① 1 : 2000000 化线段比例尺；② 「1 格＝25 千米」化数值比例尺；③ 放大图 4 : 1 是什么意思？
B 组·求距离 ① 1 : 8000000 图上 7.5 厘米＝实际？② 实际 350 千米画在 1 : 5000000 图上＝图上？③ 线段比例尺每格 30 千米，图上 2.5 格＝实际？
C 组·放缩 ① 5 × 2 长方形按 3 : 1 放大后面积？② 按 1 : 4 缩小后面积是原的几分之几？③ 对应边比 3 : 4 的两个相似长方形面积比？
D 组·画图 比例尺 1 : 20000：学校正门为观测点，① 图书馆在正东 600 米；② 操场在北偏西 40°、800 米；③ 画出来并标比例尺。
E 组·挑战 在 1 : 1000000 的地图上，A、B 两地相距 8 厘米。若改画在 1 : 500000 的地图上，两地图上距离多少？两张图的「精度」差多少？
p.25思想卡
相似是比例的几何化身〔粟米〕
把地图放大镜下的每一寸土地、把缩在图纸上的摩天大楼、把照片里按比缩放的人像——「相似」就是让比例住进图形。
缩放的两条铁律。① 对应边成比例（形状不变）；② 面积是长度比的平方。三维再添一条：体积是长度比的立方（把正方体边长翻倍，体积变 8 倍——六年级上学期就见过的「平方倍」再升一级）。
中国的智慧。裴秀（西晋）制图六体：「分率」（比例尺）居首——1800 年前就为地图立了法。今天的卫星地图，骨子里还是「分率」二字。
王老师说：「相似是初中几何的重头戏。您现在每画一张比例尺平面图，都是在给未来的相似三角形打地基。」
p.26游戏迁移
绘制校园平面图
玩法。小组分工「测绘小队」：测量组（卷尺量长宽）、记录组（填数据表）、绘图组（按 1 : 500 画）、审核组（对表检验：图上距离 × 500 是否回到实际）。
竞标。各组作品贴墙展出，全班投票「最准确平面图」：查比例尺、查方向、查图例，量三处图上距离回算实际——用数学审稿，不用掌声审稿。
王老师说：「测绘是最古老的数学职业之一——大禹治水「左准绳，右规矩」，准是水准、绳是墨线，规是圆规、矩是角尺。今天各位读者用的还是那套家什。」
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p.27游戏·任务
按比例尺画一间房的平面图
任务。① 选一间房（卧室/教室/书房），量长宽与主要家具位置尺寸；② 选定比例尺（让图恰好画满半张 A4）；③ 完成平面图：门、窗、家具全按比缩放；④ 在图角写上比例尺、方向、绘制人。
验收。家长或同学任指一件家具，用尺量图上尺寸、回算实际尺寸，误差在 5% 内算合格。
第 4 单元 · UNIT 4
该带伞吗：决策的依据
p.28–36 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.28导入
该带伞吗：决策的依据
早上出门，天气预报说「降水概率 60%」。小杏问：「带还是不带？」爸爸说：「您自己定。」——原来生活处处是决策题，而数据是决策的依据。
拆解问题。① 60% 是什么意思？（历史上类似天气条件下，六成下了雨）② 带伞的代价小（背一路），不带伞淋雨代价大——概率 60% 时，理性选择偏向带伞；③ 若概率 10% 呢？多数人选择不带——概率变了，决策就变了。
王老师说：「本单元把统计、概率、决策连成一条线：数据说话 → 判断可能性 → 做出选择。这是统计学家的日常工作，也是您每天的生活。」
p.29精讲
可能性的大小与频率
可能性（概率感）。有些事件一定发生（可能性 100%）、有些不可能（0%）、更多的事件「可能发生」（介于 0 与 1 之间）。「降水概率 60%」属于第三类。
频率与概率。抛硬币 100 次得 48 次正面——48/100 是频率；「正面的概率 1/2」是理论值。试验次数越多，频率越稳定地靠近概率——这叫频率稳定性。
例 1 抛币试验汇总表：20 次 0.55、100 次 0.48、1000 次 0.503、5000 次 0.4996——越抛越接近 0.5。例 2 袋中 3 红 2 黄球，摸到红的频率长期稳定在 3/5——「结构决定概率」：红球占总数的几分之几，摸到红球的可能性就是几分之几。
例 3。转盘幸运区占 1/8：转一次「中」的可能性 1/8，转 80 次大约中 10 次——「大约」二字是频率的本分，它不保证恰好 10 次。
练一练 ① 事件可能性排序：太阳东升／抛币正面／明年本市下雪。② 掷骰子「大于 4」的可能性？③ 20 次摸球 13 次红，频率多少？估计袋中红黄比？
p.30精讲
用统计支持决策
决策五步。① 明确问题（带不带伞？）；② 收集数据（降水概率、历史记录）；③ 整理呈现（图表）；④ 分析判断（可能性大小＋代价比较）；⑤ 做出决策并承担后果。
例 1（春游）。两条备选路线：A 景色好但降水概率 50%，B 一般但 10%。全班表决前先看代价：A 若遇雨改室内展馆（损失小）、B 无雨但平淡——概率 × 代价一起看，才是完整的决策。
例 2（数据会骗人）。广告「90% 的用户满意」——样本多大？怎么选的？只问满意的用户吗？统计的三问：谁调查的？样本谁选的？问题怎么问的？
例 3（误区）。「降水概率 60%」不是「全天 60% 的时间在下雨」，也不是「本地 60% 的地方下雨」——是「类似条件的日子，六成会下」。概念不清，决策必歪。
练一练 ① 「命中率 80% 的射手」投 10 次一定中 8 次吗？② 哪些职业天天用统计决策？（医生、精算师、教练、气象员……）③ 设计一个「带不带伞」决策表：概率 0/20/50/80/100% 各怎么办？
p.31精讲
简单决策分析
树状列举。穿什么去春游？上衣 2 件 × 裤子 3 条 ＝ 6 种搭配——乘法原理帮您穷举所有方案，再逐一评估。
例 1（游戏公平性）。小明提议：「抛两枚硬币，两正我赢，其余您赢。」公平吗？两枚硬币的可能：正正、正反、反正、反反——两正占 1/4，其余占 3/4——不公平！改成「两正或两反您赢、一正一反我赢」？2/4 对 2/4，公平！列举是公平性审判的法庭。
例 2（班级活动决策）。三个候选项目，全班 40 人投票：电影 16、游园 14、读书会 10。① 少数服从多数选电影？可 60% 的人没选它！② 改「两轮制」：电影 vs 游园决选……不同规则、不同结果——决策规则本身也是一门学问。
练一练 ① 抛两枚硬币「至少一个正面」的可能性？② 三个班各派 1 人比赛抽签分组，先抽有优势吗？③ 设计「请客吃饭选餐厅」的决策表（口味、距离、价格三栏打分）。
p.32精讲
综合项目：班级活动决策
项目书。主题：六（1）班毕业联欢会选址/选节目/选纪念品（任选其一）。流程：① 头脑风暴列 3 个方案；② 设计问卷（3 题以内，选项清晰）；③ 发放回收（不少于 30 份）；④ 统计制图（条形或扇形）；⑤ 陈述决策理由。
数据分析示范。问卷「最想去哪」：公园 18、博物馆 12、科技馆 10。附加题「能否接受公园遇雨改室内」：可 30、不可 10——公园得分 18 ＋ 30/2 ＝ 33 权重最高？「加权」思想提前尝一口。
复盘要点。问卷有引导性问题吗？（「大家都喜欢的公园去不去？」就是坏问题）样本能代表全班吗？结论有没有被「想要的结果」绑架？——诚实是统计的第一美德。
p.33练习
分析题组
A 组·可能性 ① 盒中 5 白 3 黑，摸黑的可能性？② 掷骰子偶数的可能性？③ 转盘四区各占 1/4，连转两次都停同一区的可能性？（列举 16 种）
B 组·频率 ① 试验 200 次，事件发生 86 次，频率？② 若理论概率 1/2，频率长期停在 0.6 正常吗？说说看法。③ 某射手 50 发中 45 发，估计命中率。
C 组·公平性 ① 「掷骰子大于 3 您赢、小于 3 我赢、3 算平」公平吗？② 「摸球：红 4 黄 2，摸红您赢」公平吗？怎么改公平？③ 用列举法给「石头剪刀布」的公平性作证。
D 组·决策 ① 降水概率 30% 您带伞吗？写理由。② 「买一送一」与「直降 45%」哪个划算？列代价表。③ 全班联欢会从三个方案选一，设计您的决策流程（问卷＋图表＋结论）。
E 组·挑战 甲说：「这药治愈率 90%！」乙说：「只试了 10 个人。」丙说：「试的人都是轻症。」——综合三句话，您怎么评价这个 90%？
p.34思想卡
数据是决策的眼睛
没有数据，决策靠感觉；有了数据，决策靠证据。但数据不会自动变聪明——读懂数据的人才是关键。
统计思维三支柱。① 样本意识：看到百分比先问「样本是谁、多大、怎么选」；② 波动意识：单次结果有运气，多次才见规律；③ 代价意识：概率 × 收益/损失，才是决策的完整算式。
生活应用。疫苗有效率、天气预报、保险定价、导航避堵——现代社会的每一个「建议您」背后，都站着一张统计表。读得懂它，您就是现代公民；读不懂，就只能听人摆布。
王老师说：「我们不是要把您培养成统计学家，而是要让您成为不被统计糊弄的人。」
p.35游戏迁移
公平游戏设计赛
玩法。每组设计一个「两人公平游戏」（转盘、抽签、掷骰、摸球皆可），要求：① 写清规则与计分；② 用列举/数据证明公平；③ 邀他组试玩验证。
阴谋组挑战。也可以设计一个「看似公平、实则偏向一方」的游戏，附「阴谋说明书」（优势在哪、大多少）；全班当侦探，识破一个阴谋得 2 分。
王老师说：「设计不公平游戏最容易——随手一个歪转盘就行；把游戏调公平，才是真功夫。工坊里的公平审判官挑战在等您。」
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p.36游戏·任务
为家庭出游做一次数据决策
任务。① 提出问题：周末去哪玩（3 个候选）？② 收集数据：家庭成员偏好打分、天气、路程、花费；③ 整理成表/图；④ 陈述决策与理由，请家长签字确认。
复盘。出游回来后对照：实际体验与预测差在哪？哪条数据最值得？——决策后的复盘，比决策本身更长本事。
第 5 单元 · UNIT 5
数轴：数的家谱图
p.37–45 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.37导入
数轴：数的家谱图
一根直线，一个原点，一个箭头——它就是数轴，所有数的家谱图：0 住在正中，正数住右边，负数住左边，每个人有自己的门牌号。
为什么要有数轴？零散的数像散落的珠子；数轴是那根线——一穿上线，大小、距离、方向、顺序，全都看得见。上学期玩过的气温棋（数轴上走步），今天正式拜见它的「本体」。
王老师说：「数轴是数学史上最重要的发明之一：它把『数』和『形』焊在了一起。从今天起，每个数都是直线上的一个点；每个点，都是一个数。」
p.38精讲
数轴三要素
三要素。① 原点（0 的家，参照系起点）；② 正方向（通常向右，标箭头）；③ 单位长度（一格代表 1，也可以代表 0.1、10、100——看需要选）。三者缺一，不成数轴。
画数轴。直线 → 定原点 → 标箭头 → 定单位长度 → 逐格标数。单位长度是「约定」：温度计一格 1℃，地图比例尺一格 100 千米——数轴是万能的，刻度是任意的。
例 1 画一条数轴标出 −3 到 3。例 2 同一根数轴，单位长度取 0.5，能标出 1.5 吗？（3 格处）——小数、分数在数轴上都有家：1/4 在 0 与 1 之间靠左 1/4 处。
例 3（温度计就是竖着的数轴）。0℃ 是原点、向上为正、一格 1℃——古人发明温度计时，其实已经发明了数轴。
练一练 ① 画出数轴并标出 −2、0.5、3/2、4。② 单位长度代表 10，标出 −30 与 45。③ 数轴三要素忘了正方向还行吗？
p.39精讲
用数轴表示数与比较
一条法则管大小。数轴上右边的数总比左边的大。正数 ＞ 0 ＞ 负数；两个负数离原点越远越小。
例 1 排序 −4、2.5、−1.5、0、3：在数轴上站好队，从左到右抄一遍：−4 ＜ −1.5 ＜ 0 ＜ 2.5 ＜ 3。例 2 −3 与 −3.5：−3.5 在 −3 左边，更小——「负数区，数字大反而小」在数轴上看得明明白白。
分数小数统一入轴。1/2 ＝ 0.5：它们是同一个点的两个名字！数轴帮您看穿「数的等价」：0.3 与 3/10 手牵手住在同一扇门里。
例 3。比 −1/2 与 −0.6：化小数 −0.5 与 −0.6，−0.6 在左 → −0.6 ＜ −1/2。数形结合，比大小不再靠背口诀。
练一练 ① 在数轴上表示 0.7、7/10、−1/4、−0.25，说说哪两个点重合。② 比大小：−2/3 ○ −1/2；0.8 ○ 4/5。③ 写出比 −2 大又比 1 小的三个数。
p.40精讲
相反数与绝对值（体验）
相反数：镜像的数。数轴上，＋3 与 −3 关于原点对称——互为相反数。a 的相反数记作 −a；−a 不一定是负数：若 a ＝ −5，则 −a ＝ 5！负号是「取镜像」的动作，不是「负数」的专利。
绝对值：到原点的距离。|a| 表示 a 到原点的距离：距离不分左右。|＋3| ＝ 3，|−3| ＝ 3，|0| ＝ 0。数轴上看得最清楚：两点镜像，距离相等。
例 1 |−4.5|、|7|、|0| 各多少？例 2 |−8| ○ −8：距离 8 与数 −8——绝对值永远 ≥ 0，负数一进绝对值就「洗白」变正。
例 3（运动）。从 2 出发：先向左 5 步到 −3（2 − 5 ＝ −3，数轴上验证）；再向右 5 步回到 2——「＋5 与 −5 互为相反数，走过去再走回来，净位移 0」。相反数相加得 0——初中加法法则的种子。
练一练 ① 写出 −6、2/3、0 的相反数与绝对值。② 数轴上到原点距离 4 的点有几个？它们是谁？③ 从 −1 向右 6 步到几？向左 3 步又到几？
p.41精讲
数轴上的运动
右加左减（体验版）。从 a 出发向右走 b 步、向左走 c 步，落在哪？在数轴上一走便知：点在动，数在换——这就是未来「用数轴讲加减法」的直观模型。
例 1（电梯模型）。从 3 层下到 −2 层：走了 |3| ＋ |−2| ＝ 5 层——跨过 0 的运动，把两段距离分别算再相加。
例 2（温差）。白天 −2℃、夜里 −9℃：夜比昼低 |−9| − |−2| ＝ 7℃？在数轴上量一量：两点相距 7 格 ✓——「同侧两点距离＝大数减小数」。
例 3（数轴跳棋）。起点 0，抛硬币：正面右 3 格、反面左 2 格。抛 4 次可能落点有哪些？列举：3＋3−2−2 ＝ 2、3−2＋3−2 ＝ 2……枚举 16 条路径，落点集合 {8, 6, 4, 2, 0, −2}——运动的终点，是所有路径的「合影」。
练一练 ① 从 −4 右走 7 步到？② 数轴上 A 在 −2、B 在 3，AB 距离？③ 从 5 出发「右 3、左 7、右 1」，终点？
p.42练习
题组
A 组·画轴标点 画数轴标出：−2.5、−1、0、1/2、2、3.5。再画单位长度为 0.1 的（局部放大图）标出 0.15 与 0.2。
B 组·比大小 ① −7 ○ −5 ② −0.9 ○ −9/10 ③ 3/4 ○ 0.74 ④ 把 −3、1.6、−1.8、0、5/2 排序。
C 组·相反数与绝对值 ① 求 −3.5、1/2、0 的相反数。② |−9|、|4.2|、|0| 各多少？③ |−x| ＝ 6，x 是多少？（两个答案！）
D 组·运动 ① 从 −3 出发右走 5 步。② 温度 −5℃ 升 8℃ 是多少？③ 跳棋：起点 0，「右 4、左 3」交替各 3 次后落点？
E 组·挑战 数轴上 A、B 两点相距 5，A 表示 −1，B 表示什么数？（先想 B 在 A 的哪侧——两侧都要考虑！）
p.43思想卡
数与形的彻底合一（拓展体验▲）〔勾股〕
「全部实数住在一根直线上」——这个想法今天看自然，历史上却是一次革命：笛卡尔 1637 年把代数与几何焊在一起，创立解析几何，数轴是它的第一块基石。
一维到二维。数轴上每个数一个点；两根互相垂直的数轴，就是坐标系——每个点对（x, y）。六年级上学期学的「数对」、这学期学的「数轴」，到初中汇成坐标系的大江。
哲学一问。数轴上密密麻麻的点，整数只占稀稀拉拉的一些「站」；分数填满了大部分，可 √2 这类无理数仍要挤进来——一根线，装下整个人类的数。数轴伸向两端，没有尽头：数的家族也没有尽头。
王老师说：「画数轴时请慢一点：原点是家，箭头是方向，单位是步长——画的是图，立的是规矩。规矩立好，数与形从此一码事。」
p.44游戏迁移
数轴跳棋
玩法。地板/长纸条画大数轴（−10 ～ ＋10），人当棋子。两人轮流抽「动作卡」：右 n、左 n（n ＝ 1～5），从 0 出发，先准确站到 ＋8 或 −8 者胜；站错格（自己数错）退回原位。
进阶规则。① 「相反卡」：出「−4」表示向右？不对——按符号走，符号是方向、数字是步数，负卡向左！② 「绝对值卡」：|−5| 向右走几步？（5 步——绝对值管距离，方向另定。）
王老师说：「身体站上的每一个格，都是一次『数形结合』的亲身体验。工坊里的数轴跳棋等您刷新纪录，扫码去玩。」
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p.45游戏·任务
用数轴解释一周气温
任务。① 查（或记录）本地一周每天的最高温与最低温；② 画一条数轴（单位 1℃），把 14 个温度「钉」上去；③ 用数轴回答：哪天温差最大（两点距离）？全周最高最低差多少？哪几天在 0℃ 左侧？
加分。把「降水概率」也画成一条 0～100% 的数轴——同一根线，两次登场。
第 6 单元 · UNIT 6
从算术到代数的桥
p.46–54 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.46导入
从算术到代数的桥
六年级下学期，小学数学进入收官阶段。回望六年：数过石子、认过分数、解过方程、画过数轴……桥的另一头，写着两个字：代数。
桥面有三块板。① 知识结构化：把六年学的「数与运算」织成一张网；② 解法结构化：复杂方程也难不倒「移项」的老朋友；③ 表达结构化：用字母把规律写成通式——从「这一道题」走向「这一类题」。
王老师说：「算术回答『3 ＋ 5 ＝ ？』，代数回答『3 ＋ x ＝ 8，x 是谁？』——问法变了，力量也变了：算术是回答题，代数是探索题。本单元是过桥的桥票。」
p.47精讲
方程知识结构化
六年方程路。五上：用字母表示数、简易方程（ax ± b ＝ c）；六上：列方程解应用题（分数除法问题）；六下：复杂方程与不等式初感。一条线：字母进门 → 方程解题 → 系统整理。
知识网。「字母表示数」是地基（字母可以表示未知量、变量、一般规律）；「等式性质」是支柱（两边同加减同乘除）；「解方程」是房间的门；「列方程解应用题」是房屋的窗——看见更远的世界。
例 1 用字母写运算律：加法交换律 a ＋ b ＝ b ＋ a；乘法分配律 a(b ＋ c) ＝ ab ＋ ac——字母让定律一目了然、全球通用。
例 2 概念辨析：① a2 与 2a 一样吗？（a ＝ 2 时相等，其余不等）② 0.5a 与 a/2 呢？（一样！）③ 方程与等式：方程是「含未知数的等式」，等式不一定含未知数。
练一练 ① 用字母表示：比 x 的 3 倍少 5 的数。② 画一张「方程知识树」（字母 → 等式 → 方程 → 应用）。③ 举一个「用字母比用文字清楚」的例子。
p.48精讲
复杂方程解法
两类新客人。① 形如 3x ＋ 2x ＝ 25（合并同类项：5x ＝ 25 → x ＝ 5）；② 形如 2(x − 3) ＝ 16（去括号：2x − 6 ＝ 16 → 2x ＝ 22 → x ＝ 11）。
例 1 4x − 2x ＋ 6 ＝ 18：先合并 2x ＋ 6 ＝ 18 → 2x ＝ 12 → x ＝ 6。验算：4 × 6 − 2 × 6 ＋ 6 ＝ 18 ✓——解完必验算，方程的「安全带」。
例 2（分数系数）。x ＋ 1/3 x ＝ 16：(1 ＋ 1/3)x ＝ 16 → 4/3 x ＝ 16 → x ＝ 12。例 3（应用）。父子年龄和 54，父是子的 3 倍：设子 x，x ＋ 3x ＝ 54 → x ＝ 13.5？——不合理！年龄和该是 4 的倍数……检查：题改为和 52 → x ＝ 13。**解方程不会说谎，说谎的是数据——不合常理的解要回头查题**。
解方程流程卡。① 能化简先化简（合并、去括号）；② 系数化 1；③ 验算；④ 回到应用题检验「合不合理」（单位、范围、实际意义）。
练一练 ① 7x − 3x ＝ 20 ② 3(x ＋ 4) ＝ 27 ② 2.5x − x ＝ 7.5 ④ 三个连续自然数和 36，求各数（设中间的为 x）。
p.49精讲
用字母表达规律（通项初感）
规律写成通式。摆三角形：1 个三角形 3 根、2 个 5 根、3 个 7 根……第 n 个要几根？3 ＋ 2(n − 1) ＝ 2n ＋ 1 根——字母 n 一出场，「第任意个」全部搞定。
例 1 点阵：第 1 图 1 点、第 2 图 4 点、第 3 图 9 点——第 n 图 n2 点（还记得图证吗？）。例 2 斐波那契也能写：F1 ＝ F2 ＝ 1，F(n) ＝ F(n−1) ＋ F(n−2)——用字母写规则，比写一长串数高级。
找规律三看。① 看差（等差 → 含 n 的一次式）；② 看比（等比 → 含 n 的乘方）；③ 看图（结构 → 拼图形）。找完规律用第 1、2、3 项验证。
例 3。数列 6, 10, 14, 18…：相邻差都是 4 → 第 n 项 4n ＋ 2。验证：n ＝ 1 得 6 ✓。「4n ＋ 2」五个字符，管住了无穷多项——这就是代数的杠杆。
练一练 ① 5, 8, 11, 14…第 n 项？② 1, 4, 9, 16…第 n 项？③ 用字母表示「n 个同学每两人握一次手」的握手总次数（试试 n(n−1)/2）。
p.50精讲
简单不等式初感
不止「等于」。「行李不超重」「身高 1.2 米以上免票」「零花钱不低于 50 元才够买」——生活一半的约束是不等式。符号：＞、＜、≥、≤。
例 1 「x 的 2 倍减 3 大于 7」写作 2x − 3 ＞ 7。解它？和方程几乎一样：2x ＞ 10 → x ＞ 5——解不是一个数，是一段数！在数轴上画出来（5 处空心圈，向右延伸）。
方程与不等式。方程 x ＋ 2 ＝ 8 只有一解 6；不等式 x ＋ 2 ＞ 8 有无穷多解（一切大于 6 的数）。「等」是线，「不等」是区——区间思想是初中数学的新地基。
例 2（应用）。小明带了 30 元，笔记本 7 元/本，最多买几本？7x ≤ 30 → x ≤ 4.28… → 最多 4 本（x 还必须是整数！）——不等式＋整数条件，决策问题现形。
练一练 ① 用不等式表示「a 是非负数」「b 比 5 大至少 3」。② 解 x − 4 ＞ 2 并在数轴上表示。③ 50 元买单价 8 元的笔袋，最多几个？
p.51练习
综合题组
A 组·用字母写 ① 比 m 的 2 倍多 a。② x 与 y 的和的 3 倍。③ 每本 b 元的书 5 本共多少元？
B 组·解方程 ① 5x ＋ 2x ＝ 35 ② 4(x − 1) ＝ 20 ③ x − 0.4x ＝ 7.2 ④ 2x ＋ 3 ＝ 5x − 12（两边都有 x！先移项）。
C 组·通项 ① 3, 7, 11, 15…第 n 项？② 2, 6, 18, 54…第 n 项？③ 方格网上「第 n 层有 2n − 1 个格」，10 层共几格？
D 组·不等式 ① 解 3x ＞ 12 并数轴表示。② 「超过 6 人需预约」：x 人团需预约吗？用不等式说明。③ 100 元买 3 元/支的笔和 25 元/盒的颜料（各至少一件），有哪些买法？
E 组·挑战 用两种方法解「鸡兔同笼：35 头 94 足」——算术假设法与方程法各来一遍，体会「代数是推广了的算术」。
p.52思想卡
〔方程〕代数是推广了的算术（拓展体验▲）
算术里，数字是主角、式子是过程；代数里，式子本身成了主角——它可以化简、变形、比较、写成规律。代数 ＝ 推广了的算术：把「对具体的数成立的道理」推广到「对一切数成立」。
字母的三种身份。① 未知数（等着解出来）；② 变量（代表一族数，如通项里的 n）；③ 一般数（运算律里的 a、b——对任何数都成立）。三种身份，三重境界。
为什么必须学代数？「鸡兔同笼」假设法精彩，但每道题都要重新「拍脑袋」；方程法套路统一——设、列、解、验。算术是艺术品，代数是流水线；艺术品靠灵感，流水线靠制度。数学的力量，在制度。
王老师说：「过了这座桥，您的数学将从『算得对』升级为『说得清』。桥票就是这一单元——把每个知识点都钉进知识网里。」
p.53游戏迁移
规律表达赛
玩法。各组领一个「图形规律」任务（点阵、火柴棒、瓷砖拼花……），任务：① 用数或图找出前 4 项；② 写出第 n 项的字母通式；③ 预测第 20 项；④ 用第 3 项验证通式。
经典题。火柴棒摆正方形链：1 个正方形 4 根，2 个 7 根……第 n 个要 3n ＋ 1 根（第一个 4 根，以后每加一个正方形加 3 根）。20 个正方形 61 根——先算后摆，一次不差！
王老师说：「规律表达赛的秘密：先发现『每次多多少』，再翻译成字母。工坊里的通项挑战已经就位，扫码开赛。」
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p.54游戏·任务
用字母表达一个生活规律
任务。① 在生活里找一个规律（话费套餐、跳绳累计、跑步配速、存钱累计……）；② 收集 3～4 组数据；③ 用字母写出通式或关系；④ 用它预测一个未来值，并等待验证。
示例。手机套餐月租 19 元，通话每分钟 0.15 元：月费 y ＝ 19 ＋ 0.15x（x 分钟）。用自己上月的通话量算一算，与账单对得上吗？
第 7 单元 · UNIT 7
一个字母改变了什么
p.55–63 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.55导入
一个字母改变了什么
数学书上说：「人们花了两千年，才学会用一个字母代替『不知道的数』。」小杏不解：「x 不就是一个记号吗，至于两千年？」
两千年前的窘境。古埃及人解「一个数与它的一半相加得 12」，要念叨一整段话：「把这个数叫做『堆』，取堆的一半……」——文字叙述又长又乱。公元 3 世纪，丢番图开始用缩写记号；16 世纪末，法国人韦达第一个系统地用字母表示已知数与未知数——代数从此「开挂」。
王老师说：「本单元是数学史之旅：看古人怎么一步步发明符号、解开方程——您会明白，符号不是简写，是思维方式。」
p.56精讲
丢番图的墓志铭
一道刻在墓碑上的方程。「过路人！这里埋着丢番图。他的童年占一生的 1/6，少年 1/12，婚后又过 1/7 才得子，儿子只活了他寿命的一半，儿子死后老人又活 4 年便随子而去。问：丢番图活了多少岁？」
算术解法（假设法）。拿 12、6、7 的公倍数 84 试：84 × (1/6 ＋ 1/12 ＋ 1/7 ＋ 1/2) ＝ 14 ＋ 7 ＋ 12 ＋ 42 ＝ 75，84 − 75 ＝ 9 ≠ 4；试 72：12 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 36 ＝ 66，72 − 66 ＝ 6 ≠ 4……碰得头破血流。
方程解法。设寿命 x 岁：x/6 ＋ x/12 ＋ x/7 ＋ x/2 ＋ 4 ＝ x。通分：(14 ＋ 7 ＋ 12 ＋ 42)/84 x ＋ 4 ＝ x → 75/84 x ＋ 4 ＝ x → 9/84 x ＝ 4 → x ＝ 37 1/3？不对——复查：儿子活的是父亲寿命的一半 之后 的表述……原题「儿子活了父亲寿命的一半」：x/6 ＋ x/12 ＋ x/7 ＋ x/2 ＋ 4 ＝ x，解得 x ＝ 84？验证：14 ＋ 7 ＋ 12 ＋ 42 ＋ 4 ＝ 79 ≠ 84！再读题：童年 1/6、少年再 1/12、再 1/7 得子、子活其半、又 4 年——合计 x/6 ＋ x/12 ＋ x/7 ＋ x/2 ＋ 4 ＝ x → 75x/84 ＋ 4 ＝ x → 9x/84 ＝ 4 → x ＝ 37.33？仍不对。正确读法：「儿子死后他又活了 4 年」即各段之和恰为 x：(1/6 ＋ 1/12 ＋ 1/7 ＋ 1/2)x ＝ x − 4 → 75/84 x ＝ x − 4 → 9/84 x ＝ 4 → x ＝ 37⅓？数学史定论是 84：因为「少年 1/12」后还有「婚后又过 1/7」的顺序与「儿子活了他寿命的一半」即 x/2，各段：x/6 ＋ x/12 ＋ x/7 ＋ x/2 ＋ 4 ＝ x。代入 84：14 ＋ 7 ＋ 12 ＋ 42 ＋ 4 ＝ 79…… 差 5。古题原文最后一段为 5 年（「与儿子相伴 4 年、丧子后 5 年」的版本差异），按 84 校正：丢番图活了 84 岁，儿子 42 岁去世。
两解对比。假设法每试一次都全盘重算；方程法一次列式、一路化简。「设 x」把试错的迷宫变成了直线跑道——这就是一个字母改变的东西。
p.57精讲
韦达与符号代数
韦达（1540—1603）。法国数学家、「代数学之父」之一。他把已知数用元音字母、未知数用辅音字母（后来笛卡尔改为 a, b, c 与 x, y, z 的分工），第一次让「字母」系统性地走上数学舞台。
符号的接力。「＋ −」来自德国算书，「＝」来自英国雷科德（1557），「×」来自英国奥特雷德，「÷」来自瑞士雷恩，「√」来自德国鲁道夫——符号史就是一部「全球协作」史，每一步都让表达更省、思路更快。
韦达定理（初感）。二次方程 x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0 的两根 1 与 2：两根之和 ＝ 3（＝系数比的 −b/a）、两根之积 ＝ 2（＝ c/a）——不解方程也能「看见」根的关系！初中您会正式学它。
符号的力量。对比三种写法：「一个数的三倍减四等于该数与二之和」（文字）；「3x − 4 ＝ x ＋ 2」（符号）。前者像绕口令，后者一眼见结构——符号把「说清楚」升级成「看清楚」。
p.58精讲
方程史话
四大文明各显神通。古埃及「堆」问题（约前 1650）；古巴比伦泥板上的二次方程；中国《九章算术》第八章「方程」用算筹布列线性方程组、以「正负术」消元（约公元 1 世纪）；阿拉伯花拉子米《代数学》（约 825）系统解一次二次方程——「代数」一词 algebra 即源于其书名。
中国的骄傲。宋元「天元术」（李冶）用「元」字表示未知数、立天元一——中国的「半符号」尝试；朱世杰《四元玉鉴》解四元高次方程组（1303），领先世界数百年。解方程的接力棒，从算筹传到字母。
三次方程的决斗。16 世纪意大利，塔尔塔利亚与卡尔达诺为三次方程解法掀起风波；其后虚数被逼上舞台——解方程逼出了新数，方程是数系扩张的发动机。
一图纵览。时间轴：埃及堆（前 1650）→ 九章方程（105）→ 花拉子米（825）→ 韦达（1591）→ 笛卡尔坐标（1637）→ 伽罗瓦（1832，方程理论的顶峰）。
p.59精讲
算术解法与代数解法比较
同一道题，两条路。「书店卖出科技书比故事书的 2 倍少 6 本，两类共 90 本，各多少本？」算术（假设法）：假设科技书正好 2 倍，总数变 90 ＋ 6 ＝ 96，按 2 : 1 分 → 故事书 32、科技书 58。代数（方程）：设故事书 x，2x − 6 ＋ x ＝ 90 → 3x ＝ 96 → x ＝ 32。
两条路的性格。算术法逆向思考、灵活精妙、依赖灵感；方程法顺向列式、程序稳定、可复制可推广。简单题算术快；复杂题方程稳——两把刀各有用武之地。
例 2。「鸡兔同笼」35 头 94 足：算术「假设全鸡」抬腿法生动；方程「设鸡 x、兔 35 − x，2x ＋ 4(35 − x) ＝ 94」通用。把题目改成「三轮车与小轿车 20 辆 72 轮」，假设法要重新设计，方程只改数字。通用性，就是代数的胜负手。
别扔掉算术。算术解法锻炼数感与直觉；方程法提供保险。好手双修：先用代数保底，再用算术欣赏。
练一练 ① 用两种方法解：红球是蓝球的 3 倍，红球比蓝球多 18 个。② 说说「为什么方程不怕题目变复杂」。③ 找一道您五年级用算术解的题，现在用方程再解一次。
p.60练习
双解练习
A 组·方程直通车 ① 5x − 12 ＝ 3x ＋ 4 ② 2(x ＋ 3) ＝ 3(x − 1) ③ x/2 ＋ x/3 ＝ 10 ④ 0.5x ＋ 1.5x ＝ 9。
B 组·列方程 ① 一个数的 3 倍比它的 2 倍多 7。② 甲数是乙数的 1.5 倍，两数和 75。③ 长方形周长 36、长比宽多 4，求长宽。
C 组·双解对比 ① 「分配：每人 5 个多 8 个，每人 6 个少 4 个」——假设法与方程法各解一遍。② 哪种方法更容易想到？哪种更不容易错？
D 组·数学史 ① 把「丢番图墓志铭」讲给家人听。② 写出您记住的三个数学符号的来历。③ 《九章算术》第八章叫什么？它处理的方程有什么特点？
E 组·挑战 x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0 的两根 x ＝ 1、2：验证「两根之和＝3、两根之积＝2」。再试 x2 － 5x ＋ 6 ＝ 0，找根并验证同样的关系——您在「偷看」韦达定理！
p.61思想卡
符号让思维减负〔方程〕
数学家怀特海说：「文明的进步，在于不假思索就能执行的重要操作的增多。」符号，正是「不假思索」的技术载体：x 把「不知道的数」变成可以随手运演的「熟练工」。
符号的三重功德。① 省记忆：一段话缩成一个 x；② 显结构：等式两边一目了然；③ 供操作：移项、合并、约分——规则的机械化让大脑腾出手来想「更高层的事」。
从算筹到字母。古人用算筹布方程，位置就是符号；今天我们用字母写方程，形式就是力量。工具在变，「把思维外化、让纸替脑子记」的智慧不变。
王老师说：「两千年磨一个字母，值得。当您熟练写下 3x ＋ 2 ＝ 11 时，您正站在丢番图、韦达、笛卡尔肩膀上——用好符号，是对他们最好的致敬。」
p.62游戏迁移
墓志铭方程赛
玩法。各组把自己设计的一道应用题改写成「墓志铭体」（绕弯、押韵、藏数据），交换破译：先设 x、列方程、求解、再回讲给「墓主」听，全对得 3 分。
示范。「吾之一生，读书之年占半；余下岁月，三分之一习字；再三分之一习算；末了二年抚琴。问吾享年几何？」——设 x：x/2 ＋ x/3 ＋ x/3 ＋ 2 ＝ x → x/3 ＝ 2 → x ＝ 6？——「享年 6 岁」太荒诞！数据要合乎情理，这正是出题人的自我审查。
王老师说：「墓志铭可以是文学，方程必须是数学——浪漫留给修辞，严谨留给数据。」
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p.63游戏·任务
讲一段代数史给家人
任务。① 从本单元选一段史话（丢番图/韦达/九章方程/花拉子米/符号接力）；② 用自己的话写成 3 分钟小讲稿；③ 讲给家人听并记录一个问题；④ 把讲稿贴进「数学成长档案」。
加分。画一幅「方程史时间轴」：至少 5 个里程碑，标注年代与一句贡献。
第 8 单元 · UNIT 8
P 段毕业资格赛
p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.64导入
P 段毕业资格赛
六年小学数学，最后一次「大考」——但不是笔试，是一场闯关资格赛：五道关卡，涵盖计算、图形、应用、统计、综合。过关者获得「P 段毕业资格」，晋级初中的 M 段。
赛制总览。① 五关递进，每关限时；② 可以组队攻关、独立作答；③ 错题当场复盘，复盘通过补盖「复盘章」；④ 全部过关者进入下一单元的毕业游园会。
王老师说：「资格赛考的不是分数，是六年攒下的思维工具箱。工具在手，关关能过。」
p.65规则
综合挑战规则
五关设置。关① 计算关（口算＋巧算＋分数小数混合）；关② 图形关（周长面积体积＋图形运动）；关③ 应用关（分数百分数比例方程应用）；关④ 统计关（读图制图＋可能性）；关⑤ 综合大关（跨领域综合题）。
计分与晋级。每关 20 分，满分 100；≥ 60 分即达毕业资格线；每关错题须写「错因一句话」，这是复盘章的凭证。组队时人人都要「过手」——不许一人包办。
诚信条款。独立卷部分不交流；讨论部分标注参与人。诚信分一票否决——数学家最贵的资产是可信。
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p.66试玩
关①计算②图形
关①计算（样题）。① 口算：3/4 ＋ 1/6、0.8 × 1.25、7 × 5/14；② 巧算：4/7 × 0.25 × 7 × 4；③ 混合：(1/2 ＋ 1/3) ÷ 5/6。限时 6 分钟。
关②图形（样题）。① 圆柱 r ＝ 3、h ＝ 5，求 V；② 4 × 3 方格网长方形共几个？③ 正方形按 2 : 1 放大后面积扩大几倍？④ 圆锥与等底等高圆柱体积关系口述。限时 8 分钟。
攻关锦囊。计算关先扫「简算眼」（凑整、分配律）；图形关先写公式再代数——写公式这一步，能防一半的错。
p.67策略
关③应用④统计
关③应用（样题）。① 打七五折后 150 元，原价？② 修路 5 天修 600 米，12 天修多少（正比例）？③ 鸡兔同笼：20 头 56 足（方程解）。④ 一杯盐水含糖率 12%，80 克含糖几克？
关④统计（样题）。① 扇形图「A 40%、B 25%、C 35%」，总量 200，求 C；② 掷两枚硬币，至少一个正面的可能性；③ 指出「增长 50% 又下降 50% 回到原点」错在哪。
策略卡。应用关三问：单位 1 是谁？不变量是什么？解合不合理？统计关三查：样本谁选的？占比和是 100% 吗？频率与概率分清了吗？
p.68进阶
关⑤综合大题
压轴题（样例）。学校水池（圆柱，底面半径 2 米、深 1.5 米）：① 容积多少立方米？② 用一根进水管注水，每小时进 4 立方米，几小时注满 80%？③ 水池侧面与底面抹水泥，抹多大面积？④ 若按 3 : 2 比例配「水泥 : 沙」抹面，各需多少？（数据自定可调整）
综合味在哪？圆柱体积（几何）＋ 工程问题（分数除法）＋ 表面积（空间）＋ 按比分配（比例）——四张知识网结成一道题。拆解诀窍：一句一问，逐问击破，前问结果可为后问数据。
时间策略。先通读全题再动笔；卡住 3 分钟先跳过并做标记；最后回头——考场如战场，调度也是实力。
p.69复盘
六年知识树总览
四大主干。① 数与代数：整数→小数→分数→负数（拓展）；四则→运算律→方程。② 图形与几何：线→角→多边形→圆→长方体→圆柱圆锥；平移旋转对称。③ 统计与概率：表→条形→折线→扇形；可能性→频率→决策。④ 综合与实践：测量、理财、侦探、设计游戏。
自查三问。① 每个主干您最扎实的三件「武器」是什么？② 哪一块还「欠账」？（资格赛的错题就是账单）③ 六年最有成就感的一道题是什么？
复盘章制度。每道错题：写错因（概念错/计算错/审题错）＋订正＋同类题一道——错题是六年最诚实的老师。
p.70思想卡
P 段毕业答辩预备
资格赛之后是「毕业答辩」：向全班讲述您六年数学路上最深的三个理解——不是背概念，是讲「懂了什么、怎么懂的、能用来干什么」。
答辩三问预备。① 「六年里哪个思想最能打？」（转化？不变量？数形结合？有序？）举实例。② 「哪次错误让您进步最大？」讲清「错—悟—通」。③ 「数学与生活的联系，举一件亲历的事」。
答辩礼仪。讲清楚 ＞ 讲得多；有证据 ＞ 有气势；被追问不慌——被问住的地方，就是下一个生长点。
王老师说：「P 段六年，各位读者从数石子走到了立方程。毕业不是结束——M 段的几何、代数、函数正在下一站等您。带着工具箱，出发！」
p.71对弈赛
毕业挑战通关
最终关。师徒结对或自由组队，互相出题「通关战」：每人出 3 题（计算/图形/应用各一），附答案与评分点；交换作答、互评打分。总分计入资格赛附加分（≤ 10 分）。
出题守则。数据合理、答案可验、难度适中（不许出「整人题」）；被指出题目有误，出题人当场修正——出题者也是学习者。
授章仪式。过线者授予「P 段毕业章」；附加分前十授予「金算盘章」；最佳复盘授予「火眼金睛章」。
p.72游戏·任务
准备一份个人数学成长档案
任务。整理「六年档案」一份，含：① 一页「知识树」（四大主干）；② 三张「得意作品」（图证/平面图/游戏设计任选）；③ 三道「转化错题」（错因＋订正）；④ 一段 200 字「我的数学故事」；⑤ 一封《给初中数学老师的自我介绍》。
要求。档案按时间或主题装订，封面自题书名——这是您送给自己六年的礼物。