九章格数学 PhiloMath · K2C 正文 · P 段
P 段毕业礼
P6-4 · 夏季段（编目代号 P6-4）· 游戏与实践册 · 结构化复习 · 正文编写版 · 已完成 72/72 页 · 2026-09-15
小学高段 · 六年级72 页 ＝ 8 单元 × 9 页体例：导入＋精讲＋练习＋思想卡＋游戏游戏与实践册 · 结构化复习
夏 日 毕 业 礼〇体例说明（写给小读者和家长）
体例
本书怎么读：一个单元九页
全书按「单元」前进，每个单元恰好九页：第 1 页导入（一个身边的故事，先玩再说理）、第 2–5 页精讲（一步一步把道理讲清楚，配例题）、第 6 页练习（自己动笔）、第 7 页思想卡（一页只说一个数学思想，连着《九章算术》的老智慧）、第 8 页游戏迁移（把学到的东西玩起来）、第 9 页游戏·任务（带回家的小任务）。游戏册的单元换成：导入→规则→试玩→策略→进阶→复盘→思想卡→对弈赛→游戏·任务。
写法约定（TEX 标准）：分数写成上下两层的 12，读作「二分之一」；小数写在个位右下角，如 3.14，小数乘法先按整数相乘再点上小数点，小数除法把除数变成整数再除；未知数用字母 x 表示，方程写作 3x ＋ 5 ＝ 20；＞ ＜ ≥ ≤ 各就各位，中括号写成 ［ ］；上标用小肩数字，如 1 平方米＝10000 平方厘米、1 立方分米＝1000 立方厘米。因数与倍数：2、5、3 的倍数特征；体积与容积单位：立方米（m3）、立方分米（dm3）、升（L）、毫升（mL）。
一全册目录（八个单元 · 每单元 9 页）
- p.1–9第 1 单元 六年的数绘成一张图
- p.10–18第 2 单元 六年的形叠成一座城
- p.19–27第 3 单元 数据的一生
- p.28–36第 4 单元 从盈不足到方程的思想之旅
- p.37–45第 5 单元 九条线串起六年
- p.46–54第 6 单元 项目任务书
- p.55–63第 7 单元 设计一款数学游戏
- p.64–72第 8 单元 庆典流程
第 1 单元 · UNIT 1
六年的数绘成一张图
p.1–9 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.1导入
六年的数绘成一张图
毕业前的整理课，王老师提出一个任务：「把六年学过的『数』画成一张图——怎么分都行，但要画得有道理。」
先想再画。小杏按「正数-零-负数」分；阿禾按「整数-小数-分数」分；还有同学按「能不能化成小数」分……同一堆知识，不同的网——分类的角度，就是理解的深度。
王老师说：「复习不是再学一遍，是重新组织。本单元四站复习（数、形、数据、思想），每站都以『画图整理』开场。会画结构图的人，才算真正把知识带走了。」
p.2精讲
数系扩张之路（自然→小数→分数→负数）
四次扩容。① 自然数（数个数）：0, 1, 2, 3……② 分数/小数（分不匀了）：半个苹果、0.5 元——数从「离散」走向「连续」；③ 负数（方向相反了）：零下温度、支出——数有了方向（拓展）；④ 每一次扩张，都是新的需求逼出来的。
扩张的规律。新数系总是包含旧数系，并且保持旧运算照常进行：分数也能加减乘除，负数也讲大小比较——「旧世界完好，新世界更大」，这是数学扩张的铁律。
例 1 在数轴上标出这六年的足迹：0、1/2、0.75、−2、3/4……所有数都是数轴上的点——一根直线装下全部家当。
例 2（前瞻）。初中还要扩容：分数不够用（√2）→ 无理数；负数开方（拓展彩蛋）→ 虚数。扩张永不停步，这正是数学活着的方式。
练一练 ① 按时间线画出您自己的「数系扩张图」。② 举一个「需求逼出新数」的生活例证。③ 0.75 与 3/4 在数轴上是同一个点，说明什么？
p.3精讲
运算律与运算体系
五大运算律（字母版）。交换律 a＋b＝b＋a、ab＝ba；结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)、(ab)c＝a(bc)；分配律 a(b＋c)＝ab＋ac。它们是运算体系的宪法——所有巧算都是宪法条款的应用。
运算的家族树。加法 →（逆）减法；乘法 →（逆）除法；乘法是「高级的加法」，乘方是「高级的乘法」（初中的新朋友）。减法逼出负数、除法逼出分数——运算与数系手拉手扩张。
例 1 用运算律巧算：4 × 0.25 × 78 × 2.5 ＝ (4 × 0.25) × (78 × 2.5)？注意 78 × 2.5 不巧——应配对 4 与 2.5：(4 × 2.5) × (0.25 × 78)？也不优；正解：0.25 × 4 ＝ 1、2.5 × 4 ＝ 10——配对要看「能不能凑整」，先观察再动手。
例 2。「减法的性质」a − b − c ＝ a − (b ＋ c)；「除法的性质」a ÷ b ÷ c ＝ a ÷ (b × c)——两条「拆闸放水」的性质，简算常客。
练一练 ① 用字母写出您记得的所有运算性质。② 巧算：12.5 × 3.2 × 2.5；99 × 8.6 ＋ 8.6。③ 举一个「不用运算律会算错」的例子。
p.4精讲
计算策略工具箱
工具箱清单。① 凑整（找朋友：0.25 与 4、1.25 与 8、25 与 4）；② 拆数（8.8 ＝ 8 ＋ 0.8、102 ＝ 100 ＋ 2）；③ 转化（分数小数互化选顺手的那种）；④ 逆推（从结果倒着走）；⑤ 估算兜底（先估范围再精算）。
例 1。7.6 × 10.1：拆 10.1 ＝ 10 ＋ 0.1 → 76 ＋ 0.76 ＝ 76.76。例 2。3/8 ÷ 3 ＋ 1/8：3/8 ÷ 3 ＝ 1/8，1/8 ＋ 1/8 ＝ 1/4——转化后口算解决。
检验的习惯。① 逆运算验算（乘除互逆、加减互逆）；② 常识校验（人数不会是 3.5、折扣后应更便宜）；③ 换一种方法重算。「对答案」不是抄答案——是三道安检。
例 3（估算先行的威力）。超市小票 127.5 元，买的是 28 元与 98 元两件——28 ＋ 98 ＝ 126 ≠ 127.5，一眼识破。估算不是「不精确」，是「先锁定合理区间」。
练一练 ① 用三种方法算 25 × 4.4。② 先估算再精算：49.8 × 2.03。③ 给「计算策略工具箱」补一件您自创的工具。
p.5精讲
典型错题会诊
会诊单（六年高频错题）。① 0.2 ＋ 0.3 ＝ 0.5，那 0.2 × 0.3 呢？（0.06！位数法则）；② 分数除法忘「翻转」（除以 1/2 ＝ 乘 2）；③ 圆周长面积公式混用（C ＝ 2πr 与 S ＝ πr2）；④ 百分数「单位 1」找错；⑤ 比的后项为 0。
错因三型。① 概念错（法则本身没懂）→ 回到定义、画图重建；② 技能错（懂但练不熟）→ 定向练习；③ 习惯错（抄错、看漏）→ 流程改良（草稿分区、写关键字）。对症下药，才叫会诊。
例（会诊示范）。「3/4 ÷ 3/4 ＝ 1」对了，但「3/4 ÷ 3/8」写成 3/4 × 3/8 ＝ 9/32——错因：概念（忘翻转）。处方：重做 5 道「除以分数」题＋给同伴讲一遍「为什么翻转」。讲得清，才算真会。
练一练 ① 从六年错题本挑 3 题，各写「错因类型＋处方」。② 互相「会诊」：交换错题本，为同桌开一张处方。③ 统计您六年错因占比（画扇形图！数据课的回马枪）。
p.6练习
综合检测
A 组·数系 ① 在数轴上标出：−2、0.5、3/4、1.6。② 把 0.6、2/3、67%、0.67 排序。③ 「最小的正整数」「最大的负整数」各是谁？
B 组·运算 ① 2.5 × 32 × 0.125（配对凑整）② (5/8 － 1/4) ÷ 3/8 ③ 0.4 × 99 ＋ 0.4 ④ 一件工程 4 天完成 2/5，全工程几天？
C 组·策略 ① 先估算再精算：102 × 4.8。② 用两种方法算 (1/2 ＋ 1/3) × 6。③ 检验并纠错：3/5 ＋ 2/5 × 3 ＝ 3/5 × 3 ＋ 2/5 × 3？
D 组·会诊 诊断并改正：① 4 ÷ 1/3 ＝ 4 × 1/3 ② a2 与 2a 相等 ③ 比值 3 : 1/2 ＝ 3/2。
E 组·挑战 设计一张「六年级计算体检卷」（8 题覆盖：分数四则、小数混合、简算、方程），给出答案与每题考查点。
p.7思想卡
结构：把散珠串成项链
零散的知识像散珠，结构是那根线。六年 12 册书，最后要收进几张图、几行字母——结构化，是复习的全部秘密。
为什么要结构？① 好记：记住「数系扩张」一条线，胜过背一百个零散规则；② 好用：遇到新题先定位「它在哪棵枝上」，立刻找到工具；③ 好长：知道根在哪，新知识才有地方挂——初中代数几何，全挂在这棵树上。
画图三法。① 树状图（分类）；② 时间轴（演化）；③ 网络图（关联）。「数系扩张」用时间轴最妙——知识有历史，理解有脉络。
王老师说：「把书读厚，是六年；把书读薄，是毕业。这张图，请随身带进初中。」
p.8游戏迁移
知识图谱绘制
玩法。小组合作绘制「六年数学知识图谱」大挂图：节点是知识点（数、运算、图形、统计……），连线是关系（「分数除法」连「倒数」「乘法逆运算」「按比分配」……），连线越多越显功力。
评审。互相提问：「『倒数』这个节点为什么连到『分数除法』？」答得出＝真连；答不出＝装饰线，撤下。连线必须能讲出道理。
王老师说：「图谱画完，您会发现数学是一张网而不是一条线——每个新知识都连着老朋友。这就是「温故知新」的数学版。」
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p.9游戏·任务
制作个人数系扩张图
任务。① 制作 A4 大小「数系扩张图」一张：四次扩张的时间线＋每次扩张的「驱动力」（什么问题逼出新数）＋代表数在数轴上的位置；② 配一句「卷首语」（如「数是为了回答问题而生的」）；③ 装饰后贴进成长档案。
加分。在图末端虚线画两个「未拆封的礼物」：无理数、虚数——写上「初中见」。
第 2 单元 · UNIT 2
六年的形叠成一座城
p.10–18 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.10导入
六年的形叠成一座城
「假如把六年学过的图形全部堆起来，会是一座什么城？」王老师抛出问题。城基是线段与角，城墙是多边形，圆是城中花园，立体图形是高楼……
城市地图。平面城区：三角形、长方形、平行四边形、梯形、圆；立体城区：长方体、正方体、圆柱、圆锥；还有一条「运动轨道」：平移、旋转、轴对称。复习几何，就是重绘这座城的地图。
王老师说：「几何复习的钥匙是关系：面积公式之间是「剪拼转化」的家族关系，体积公式之间是「底面积 × 高」的家族关系。看清家族，公式就不用背了。」
p.11精讲
平面图形体系
直线家族。线段（可量）→ 射线（一端延伸）→ 直线（两端延伸）；角：锐角 ＜ 直角 ＜ 钝角 ＜ 平角 ＜ 周角；角的度量：量角器，单位 1°。
多边形家族（转化链）。长方形面积 → 平行四边形（拉直变）→ 三角形（两个拼）→ 梯形（两个拼/割补）——所有面积公式都从长方形「生长」出来：S长＝ab；S平＝ah；S三＝ah/2；S梯＝(a＋b)h/2。
例 1 梯形上底为 0：退化为三角形！公式互通——梯形公式是「多边形面积的总公式」。
例 2 圆是特殊成员：曲边，用 π 立户——C ＝ 2πr、S ＝ πr2；但它的面积也是「剪拼」（扇形拼长方形）得来——家族血缘未断。
练一练 ① 画出「面积公式家族树」。② 三角形面积公式中 ÷2 的几何道理？③ 已知梯形上底 3、下底 5、高 4，若上底渐增到 5，它变成了什么？面积多少？
p.12精讲
立体图形体系
柱体家族。长方体、正方体（特殊长方体）、圆柱——「直柱体」统一公式：V ＝ Sh（底面积 × 高）。长方体 S ＝ ab×h；圆柱 S ＝ πr2×h——一个公式管三兄弟。
锥体家族。圆锥 V ＝ Sh/3（等底等高是圆柱的 1/3）。初中将迎来棱锥——同样的「三分之一」家族关系。
例 1 等底等高的圆柱与圆锥：圆柱 V ＝ 30，圆锥 V ＝ 10；若圆锥高加倍（同底），V ＝ 20——高与底各自影响体积。
例 2（表面积盘点）。长方体 6 面、正方体 6 面（全等）、圆柱「2 圆 ＋ 1 侧」、圆锥「1 圆 ＋ 1 扇」——表面积先数面，再算面；无盖、通风管等变式先「数面」。
练一练 ① 画「体积公式家族树」。② 直柱体 V ＝ Sh 对长方体验证一遍。③ 一个圆锥与圆柱同底同体积，圆锥高 9，圆柱高？
p.13精讲
图形运动（平移·旋转·对称）
三大运动。① 平移：整体滑动，方向距离不变形状；② 旋转：绕一点转角度，形状大小不变；③ 轴对称：沿对称轴翻折，两边重合。三者的共同点：形状、大小不变——变的是位置（保距运动）。
例 1 风车图案：一片叶片旋转四次（90°）生成；格子花纹：基本单元平移铺满；蝴蝶：轴对称。
例 2（对称轴盘点）。线段 2 条（中垂线与自身）、角 1 条、等腰三角形 1 条、等边 3 条、长方形 2 条、正方形 4 条、圆无数条——越对称的图形，对称轴越多。
例 3（运动的应用）。组合图形求面积：把「L 形」分割或补形；不规则图形旋转拼成规则图形——运动是转化的手段。
练一练 ① 说出 26 个大写字母的对称轴条数（A? B? S?）。② 设计一个「旋转 60° × 6」的图案。③ 用平移解释「两个全等三角形拼平行四边形」。
p.14精讲
测量体系（长度·面积·体积）
三个维度，三套单位。长度（一维）：mm、cm、m、km，进率 10；面积（二维）：cm2、dm2、m2、km2、公顷，进率 100；体积/容积（三维）：cm3、dm3、m3 与 mL、L，进率 1000。每升一维，进率升一级（10 → 102 → 103）。
单位换算的几何意义。1 米 ＝ 10 分米（一维排 10 个）；1 米2 ＝ 100 分米2（二维铺 10 × 10 个）；1 米3 ＝ 1000 分米3（三维摞 10 × 10 × 10 个）——进率不是背的，是「摆」出来的。
例 1 4.5 米2 ＝ ? 分米2：× 100 ＝ 450 分米2。例 2 3 升 50 毫升 ＝ 3.05 升 ＝ 3050 毫升 ＝ 3050 立方厘米。
例 3（易错点）。「边长 10 厘米的正方形面积是 1 分米2」：10 cm × 10 cm ＝ 100 cm2 ＝ 1 dm2 ✓——面积单位换算先想「边长怎么变」，永不混进率。
练一练 ① 2.6 公顷 ＝ ? 米2。② 一个正方体棱长 2 分米，体积、容积各多少？③ 0.08 米3 ＝ ? 立方分米 ＝ ? 毫升。
p.15练习
综合检测
A 组·平面 ① 三角形底 8 高 5，与它等底等高的平行四边形面积？② 圆环 R ＝ 7、r ＝ 4；③ 组合图：长方形上叠半圆（长 10、宽 4），总面积？
B 组·立体 ① 长方体 8 × 5 × 4：表面积、体积；② 圆柱 r ＝ 2、h ＝ 6：V；③ 圆锥 d ＝ 6、h ＝ 5：V；④ 熔铸：圆柱铁块 V ＝ 60 重铸为等底圆锥，高是圆柱几倍？
C 组·运动 ① 画一个「轴对称 ＋ 旋转」两步得到的图案并说明。② 正六边形有多少条对称轴？③ 钟表从 3:00 到 3:30，分针旋转多少度？
D 组·测量 ① 3.2 公顷 ＝ ? 米2；② 4.5 升 ＝ ? 厘米3；③ 一块 0.5 公顷的麦田收麦 3750 千克，每平方米收多少？
E 组·挑战 把一张长 20 厘米、宽 14 厘米的长方形纸四角各剪去边长 3 厘米的正方形，折成无盖长方体盒：求容积（先画展开图）。
p.16思想卡
几何是空间的语言〔勾股〕
从「点线面」到「柱锥球」，几何把我们对空间的直觉训练成精确的语言：位置用坐标说、大小用公式说、运动用变换说。
勾股：六年形线的总纲。《周髀算经》「勾三股四弦五」，赵爽弦图以「出入相补」证明——直角三角形三边的平方关系，是几何与代数的第一次深度握手。初中几何的大门上，写的正是这个定理。
转化：几何的第一方法论。平行四边形←长方形，圆面积←长方形，圆柱体积←长方体，圆锥←圆柱——新图形永远靠老图形。遇到没学过的形状，先问「能转化成谁」。
王老师说：「六年学的每个公式都是驿站，转化才是那条路。记住路，驿站会越来越多——初中每个公式背后，都是一条转化之路。」
p.17游戏迁移
图形体系拼图
玩法。把 30 张「图形卡片」（写有图形名称/公式/性质）打乱，小组限时拼成「体系图」：平面城、立体城、运动轨道三大分区，卡片间用「关系线」连接并标注关系类型（转化/包含/特例）。
竞速＋质询。拼图最快的组接受「质询」：任选一条连线问「为什么相连」；答错一条撤一条。又快又对，才是真冠军。
王老师说：「卡片拼完您会发现：圆连着圆柱、圆柱连着长方体——『城』不是方块堆的，是关系织的。」
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p.18游戏·任务
绘制图形家族树
任务。① 绘制 A4「图形家族树」：平面（角→三角形→四边形→圆）与立体（柱→锥）两株；② 每个节点标公式（若有的话）；③ 用不同颜色标注「转化关系」箭头（如 长方形 →平行四边形）；④ 挂进教室「几何城地图廊」。
加分。给家族树补一株「未来的苗」：相似三角形、勾股定理、函数图像——写「初中见」。
第 3 单元 · UNIT 3
数据的一生
p.19–27 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.19导入
数据的一生
一条数据从诞生到发挥作用，要走完一生：出生（收集）→ 整理（分类）→ 表达（图表）→ 分析（比较推断）→ 决策（行动）。本站带您看完这「一生」。
一句话回望。三年级画正字统计表、四年级条形图、五年级折线图与可能性、六年级扇形图与平均数、概率决策——统计的课，一直围绕「如何让数据说话」。
王老师说：「数据时代，统计素养是『公民基本素养』。本站把六年统计知识串成一条生产线——您就是数据的产品经理。」
p.20精讲
收集整理分析全流程
① 收集。方法：调查问卷、实地测量、实验记录、查阅资料。要诀：先定问题再收数据（问题决定收集什么）；样本要有代表性（问全班的近视率不能只问眼镜店）。
② 整理。分类计数（画「正」字）、分组分段（身高按 5cm 一段）、编码录入。要诀：原始数据永不删——整理稿错了还能回溯。
③ 分析。比总量、比份额（扇形）、比趋势（折线）、算平均（总 ÷ 份）。要诀：同一批数据可以有多种「看法」，选哪种取决于要回答的问题。
例（全流程示范）。问题「全班课外阅读偏好」→ 问卷 3 题发放 40 份 → 分类计数 → 条形图（数量对比）＋ 扇形图（占比）→ 分析「科幻类占 35% 居首」→ 决策「班级图书角科幻书加购」。
练一练 ① 「统计校园门口车流量」该用哪种收集法？② 为什么要保留原始数据？③ 举一个「样本无代表性」的例子。
p.21精讲
统计图体系
三图三性。① 条形图：比多少（各类独立柱子）；② 折线图：看趋势（点连成线，升降可见）；③ 扇形图：看占比（圆内的份额）。三图是「一家三兄弟」：同一批数据可换装出演，选图 = 选想强调什么。
制图规范。标题、图例、单位、坐标轴刻度缺一不可；折线图纵轴可不从 0 起（趋势图），条形图纵轴必须从 0 起（高度即数量）——规范不是形式，是「防骗装置」。
例（识图打假）。某商家图「销量暴涨」：纵轴 90～100 且断轴——实际从 91 到 100 只涨 10%！画成完整坐标轴：涨幅平平。断轴＋夸张比例 = 视觉骗局，六年的统计素养在此收网。
例 2。平均数陷阱：「人均收入 5 万」——可能 1 人 50 万、99 人 1 万。平均数会被极端值拉走，必要时补看「中位数」（初中正式学）。
练一练 ① 为「一周气温变化」选图并画简图。② 识破一张「断轴条形图」并把画成诚实的版本。③ 「全班视力 4.8」是平均数——它可能掩盖什么？
p.22精讲
可能性与决策
概率感回收。可能性用 0～1（或 0～100%）度量；用结构算（红球占 3/5 → 摸红概率 3/5）、用列举算（两枚硬币 4 种等可能）、用频率估（大量试验趋稳）。
期望初感。转盘：1/8 机会得 8 分、7/8 机会得 0 分——平均每次「值」1 分（8 × 1/8）。「平均一次的价值」＝ 概率 × 分值，这是期望的种子，游戏设计全靠它。
例（游戏公平性终审）。游戏 A：抛币正面赢 3 元、反面输 2 元——期望 3 × 1/2 − 2 × 1/2 ＝ 0.5 元/次，偏我有利；对家该讨价还价：输 3 元才公平（期望 0）。概率 × 代价，就是公平的天平。
例 2（决策复盘）。「降水 30% 带伞」若带了没下雨，决策错了吗？没有——好的决策依据当时信息，结果好不代表决策对，反之亦然。评价决策看过程，不只看结果。
练一练 ① 袋中 2 白 3 黑，摸白概率？抽后放回再抽呢？② 计算转盘游戏的期望值并判断是否值得玩。③ 举一个「结果好但决策糟糕」的例子。
p.23精讲
综合案例
案例（校园节水行动）。① 问题：学校洗手用水浪费多少？② 收集：实测水龙头流量（量杯 20 秒）× 观察使用次数；③ 整理：表格（课间/午间/放学三个时段）；④ 表达：条形图比时段、扇形图比占比；⑤ 分析：午间占 48%，是浪费重灾区；⑥ 决策：午间增派「节水监督员」；⑦ 复盘：两周后复测，流量降 15%——数据闭环。
案例二（阅读量调查的坑）。问卷「您每天都读书吗？」——诱导性提问；只发放给图书角借书者——样本偏差；选项只有「每天/从不」——漏了中间档。三个坑各 1 分，全避开的问卷才配发。
统计伦理。真实记录不造假；尊重隐私（匿名单独数据不外传）；引用他人数据注明出处——统计的公信力，靠每个用数据的人守护。
p.24练习
检测
A 组·选图 ① 全班上学方式占比；② 一周体温变化；③ 四个小组积分对比——各选什么图？
B 组·读图 扇形图「手机 45%、平板 30%、电脑 25%」共 40 台：各多少？手机比电脑多百分之几？
C 组·可能性 ① 掷骰子素数的可能性？② 摸球 3 红 2 白，摸后不放回连摸两只全红的可能性？（列举 20 种）
D 组·纠偏 ① 修一张「纵轴从 85 起的条形图」；② 修一个「红 5 黄 1 摸红算平局」的不公平游戏。
E 组·挑战 为「班级同学每周屏幕时间」设计一份无诱导问卷（3 题），并说明每题如何避开「三个坑」。
p.25思想卡
让数据说话
数据不会撒谎，但不完整的数据、被挑选的数据、被歪着画的图会。统计素养 = 会收集、会表达，更会质疑。
质疑三连。① 数据从哪来（样本）？② 图怎么画的（坐标轴）？③ 结论怎么推的（相关 ≠ 因果：「冰淇淋销量与溺水同涨」是夏天捣的乱）。
大数之眼。14 亿人的普查、千万级的网购评价——今天的世界用数据运转。读得懂数据的人是公民；读不懂的人只是用户。
王老师说：「毕业前最后一句统计课叮咛：先怀疑，再相信；先算一算，再下结论。」
p.26游戏迁移
小型综合调查
玩法。小组抽取一个真实小问题（「同学最爱的运动」「家庭每周塑料袋用量」……），60 分钟完成迷您闭环：问卷 5 题 → 收集 ≥ 30 份 → 图表 2 张 → 结论 3 条 → 1 分钟路演。
互评表。问题清晰 2 分、样本合格 2 分、图表规范 2 分、结论有数据支撑 2 分、诚实声明局限 2 分——「说明局限」是最成熟的一档表现。
王老师说：「60 分钟跑完数据的一生，您会记住它一辈子。工坊的『数据全流程』关卡同步开放，扫码接力。」
扫码开玩 ·「数据全生馆」
本单元配套游戏站（P6-4《P 段毕业礼》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p6-4.html?u=3
p.27游戏·任务
完成一份完整统计报告
任务。独立（或两人）完成一份 2 页统计报告：① 研究问题与理由；② 数据来源与方法；③ 图表至少 2 张（不同类型）；④ 分析 3 条（含 1 条局限说明）；⑤ 给出 1 条可执行建议。
展示。优秀报告入选毕业游园会「数据馆」展位——您的名字将和您的数据一起展出。
第 4 单元 · UNIT 4
从盈不足到方程的思想之旅
p.28–36 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.28导入
从盈不足到方程的思想之旅
两千年前，一队商人路过集市：「假设每人出 8 钱，多 3 钱；假设每人出 7 钱，少 4 钱。人数、物价各几何？」——这就是《九章算术》第七章「盈不足」的开篇题。
古人的解法。把两种假设的结果排成表格，交叉相乘、相加相减——「盈不足术」一套口诀通杀这类题。今天我们设 x 列方程：8x − 3 ＝ 7x ＋ 4 → x ＝ 7 人，物价 53 钱。一步到位。
王老师说：「本单元是毕业复习的思想收官：把『假设法、盈不足、方程』三代解法排成一列纵队，看数学思想怎么进化。」
p.29精讲
盈不足术回顾
盈与不足。「盈」＝假设后多出来，「不足」＝还差着。盈不足术的骨架：两次假设、两次盈亏，交叉相乘求真值。公式：人数 ＝ (盈 ＋ 不足) ÷ (两次出钱之差)＝(3 ＋ 4) ÷ (8 − 7) ＝ 7 人。
验证。7 人：每人 8 钱共 56，多 3 钱说明物价 53；每人 7 钱共 49，少 4 钱物价 53 ✓。古人的口诀，经得起现代检验。
例 2（加法版）。「几人分银：每人 4 两盈 4 两，每人 5 两不足 5 两」：人数 (4 ＋ 5) ÷ (5 − 4) ＝ 9，银 40 两——口诀照用。
妙在何处。不设未知数、不解方程，只做「两次假设＋一次公式」——在没有符号的时代，这是了不起的算法思维。
练一练 ① 「每人出 5 盈 6，每人出 3 不足 2」：人数与总量？② 用盈不足术解「鸡兔同笼」（假设全鸡＝盈/不足？）试试。③ 把盈不足术的步骤写成流程卡。
p.30精讲
假设法与方程的关系
假设法＝盈不足的近亲。鸡兔同笼「假设全鸡」：35 头全鸡 70 足，实 94 足，多 24 足——每把一只鸡「换成」兔多 2 足 → 兔 12。假设产生「盈差」，盈差除以「单价差」——骨子里就是盈不足。
方程＝假设的自动化。设兔 x：4x ＋ 2(35 − x) ＝ 94 → 2x ＝ 24 → x ＝ 12。对比：假设法每题「重新发明」假设；方程法一次学会，终身通用。假设法的「聪明」被方程法收编成了「程序」。
例 2（同题三解）。「运 1000 只玻璃杯，完好每只运费 3 元，破损每只赔 5 元，最后得 2600 元：破损几只？」① 假设全完好：3000 − 2600 ＝ 400，3 ＋ 5 ＝ 8 元/只差 → 破损 50；② 盈不足双假设；③ 设破损 x：3(1000 − x) − 5x ＝ 2600 → x ＝ 50。三条路，同一个真相。
比较结论。① 一两道题：假设法灵巧；② 成千上万道：方程稳定；③ 数学的发展方向：把灵巧制度化。
练一练 ① 用假设法与方程法解：全班租船，6 人船 4 条、8 人船 2 条正好坐满 38 人？② 三种解法各写在一张纸上比较。③ 您更爱哪种？为什么？（答案无对错）
p.31精讲
经典题目重温
题 1（鸡兔同笼）。35 头 94 足：鸡 23、兔 12——双解重温。题 2（盈亏问题）。分铅笔：每人 3 支多 12 支，每人 5 支少 4 支：人数 (12 ＋ 4) ÷ 2 ＝ 8，铅笔 36 支。
题 3（牛吃草问题初感）。「一片草，10 头牛 20 天吃完，15 头牛 10 天吃完，问草每天长多少」——经典的「动态盈不足」，设草速 x 列方程（初中再来挑战，今天先感受它的刁钻）。
题 4（来自《九章》的原题）。「今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何。」——本单元开篇题的原文！「盈不足」章共 17 题，全是这类「两次假设」结构。
练一练 ① 从四题中选两题「双解」。② 给盈不足术写一句「广告词」（如「不会设 x 的时代，我们还有假设」）。③ 查一查：盈不足术还传入阿拉伯与欧洲，被称为什么？（双设法）
p.32精讲
思想方法的演化
演化时间轴。① 算术假设（逐题发明解法）→ ② 盈不足（假设法程序化，一套口诀通吃一类）→ ③ 天元术/符号代数（设未知数，机械求解）→ ④ 现代方程与函数（结构化、普适化）。每一步都在「减少聪明、增加制度」。
演化的动力。问题越来越复杂：两个人数的问题可以假设，但《九章》「方程」章的三元问题假设法就崩了——需求逼着思想升级，与数系扩张同一逻辑。
回望与前瞻。六年的您：会用假设法的巧，也握得住方程的稳。进入初中，「设未知数」将变成呼吸般的本能——而回望盈不足，您会看到人类用智慧填补工具空白的背影。
练一练 ① 画出「解法演化时间轴」。② 给每代解法各举一题。③ 写 100 字：「假如我是汉代算学家，没有 x，我怎么办？」
p.33练习
综合题
A 组·盈不足直用 ① 每人出 6 盈 8，每人出 4 不足 4；② 每人分 5 枣盈 16，每人分 7 枣不足 12；③ 分梨问题自编并双解。
B 组·假设法 ① 大小客车 10 辆载 190 人：大 24 人小 12 人，各几辆？② 硬币 5 元与 1 元共 20 枚 76 元；③ 答对 +5 答错 −2，答 20 题得 79，对几题？
C 组·方程通吃 把 A、B 组题全部改用方程再解一遍，比较书写量与思维量。
D 组·演化理解 ① 盈不足术能解「人出八盈三、人出五盈六」吗？（两次都盈！）试试公式要不要改。② 为什么「两盈」「两不足」时古人的口诀要变？方程法要不要变？
E 组·挑战 写 300 字小论文《从盈不足到方程：一场思想的接力》：要求引《九章》原题一次、给出双解一次、说出您对「算法进化」的一句话理解。
p.34思想卡
〔盈不足〕方法会老，思想长青
盈不足术在今天的中小学课本里已「退居二线」——方程更好用。但它的灵魂没走：两次假设、检验偏差、逼近真值——这不正是现代「迭代法」的思想吗？计算机解方程，用的正是「假设—校正」的循环。
方法的寿命。具体方法会老：算筹进了博物馆，口诀退出了课本；思想不老：转化、假设、逼近、不变量——它们换上新的数学外衣，一代代传下去。
九章的启示。《九章算术》246 题，几乎每章都是「一种方法＋一批实战题」——古罗马人叹服其「实用」，今人敬重其「算法思想」。实用与思想，从来不是对立面。
王老师说：「毕业复习不是「再算一遍」，是「站在方法进化的高点回望」——您会对每一个公式、每一条口诀多一分敬意：它们都曾是那个时代最聪明的答案。」
p.35游戏迁移
思想故事会
玩法。每人抽一个「数学思想卡」（转化/假设/逼近/不变量/有序/数形结合），以它为主角讲一个「思想的故事」：它解决过什么问题、在哪本书里诞生、今天用在哪。限时 2 分钟，评「最佳讲述」。
示范开头。「我叫『转化』，出生在两千多年前的一个秋天。那天刘徽对着一个圆发愁——他把我请出来，把圆切成了 3618 块……」让思想开口说话，理解就长出了血肉。
王老师说：「故事讲完，请把您的思想卡郑重收进成长档案——它们是六年最值钱的行李。」
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p.36游戏·任务
写一篇数学思想小短文
任务。以「我最欣赏的一个数学思想」为题写 300～400 字：① 思想是什么（用自己话）；② 一个它大显身手的例子（最好来自您自己的错题或游戏经历）；③ 它将怎样陪您进初中。
要求。不许抄定义，要写「自己的话」；举例必须有细节。真情实感 ＞ 华丽辞藻。
第 5 单元 · UNIT 5
九条线串起六年
p.37–45 · 导入 1 · 精讲 4 · 练习 1 · 思想卡 1 · 游戏迁移 1 · 任务 1
p.37导入
九条线串起六年
《九章算术》九章：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。小学六年，您的数学课其实一直在与这九章同行。
对照预览。① 长方形面积（三年级）↔「方田」；② 粮米兑换、比例尺（五六年级）↔「粟米」；③ 按比分配（六年级）↔「衰分」；④ 分数小数、圆面积（五六年级）↔「少广」；⑤ 圆柱圆锥体积（六年级）↔「商功」；⑥ 出行调配（四年级）↔「均输」；⑦ 鸡兔同笼、盈亏问题 ↔「盈不足」；⑧ 方程（五六年）↔「方程」；⑨ 直角三角形与图形拼组 ↔「勾股」。
王老师说：「『九章格』的名字就来自《九章算术》。毕业前，我们把九条线一一收拢——您知道自己在历史长河里的位置吗？这一站告诉您。」
p.38精讲
方田·粟米·衰分
方田（面积）。《九章》第一章：方田、圭田（三角）、邪田（直角梯形）、圆田——「方田术曰：广从步数相乘」；「半周半径相乘得积步」（刘徽注）——您学的长方形、三角形、圆面积公式，两千年前的中国田地里全部耕种过。
粟米（比例换算）。「粟率五十，粝米三十」——以比率换粮。「今有术」：已知三数求第四数，就是今天的比例除法。地图比例尺、浓度配比，都是「今有术」的现代重映。
衰分（按比分配）。「衰分」＝按比例递减分配。按爵位分鹿、按股分红——六年级「按比分配」一节的原型。题：「今有大夫、不更……凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何。」
连线练习。① 给三套课本知识各找一道《九章》原题对应。② 用今有术解一道比例尺题。③ 用衰分术解「按 2 : 3 : 5 分 200」。
p.39精讲
少广·商功·均输
少广（开方与“广少从多”）。已知面积求边长——正方形开方、圆周率于此登场。刘徽割圆、祖冲之密率，都从「少广」的问题出发。无理数的发现之旅，您在五年级已走过一小段。
商功（工程体积）。城、垣、堤、沟、渠的土方，仓、窖的容积——圆柱「圆囷」、圆锥「委粟」体积公式与今天的 πr2h、Sh/3 殊途同归。六年级圆柱圆锥一课，正是「商功」的现代版。
均输（合理调配）。各地按人口路程摊派赋税徭役——「运筹」思想：怎样摊派最公平、运输最省。四年级的「优化与统筹」（沏茶、烙饼、运费）是它的低配版。
连线练习。① 「今有圆囷，周四丈八尺，高一丈」——用现代公式求体积（π 取 3）。② 用均输思想排「三地运粮到两仓」的简单方案。③ 少广章为何与开方有关？说说「已知面积求边长」遇到 2 时会发生什么。
p.40精讲
盈不足·方程·勾股
盈不足（两次假设）。上一单元的主角：双设法解盈亏问题——算法思想的活化石。
方程（线性方程组）。《九章》第八章「方程」的「方」＝算筹布成的方形阵列！18 题全是多未知数联立——用「正负术」消元。现代「方程」一词直接继承自此章；高斯消元法的思想，中国先于西方一千多年。
勾股（直角三角形）。「勾三股四弦五」及一般勾股术——测天量地的数学。赵爽弦图（2003 年北京国际数学家大会会徽）以出入相补证明勾股定理，是中国几何的骄傲。
连线练习。① 用算筹式（画格子）表示方程组 {2x＋y＝8, x＋2y＝7} 并消元。② 用弦图的思路说明「大正方形＝4 直角三角形＋小正方形」。③ 三章里您最敬佩哪一章？为什么？
p.41精讲
九章与现代课本对照
对照总表（贴进档案）。方田＝面积；粟米＝比例换算；衰分＝按比分配；少广＝开方与圆；商功＝体积；均输＝统筹调配；盈不足＝假设与盈亏；方程＝方程组；勾股＝直角三角形。九年九线，小学六年走过每一条。
几点深思。① 《九章》「以题带法」：《九章》246 题几乎全是应用题——数学从生活中来；② 现代课本「以法带题」：先学法则再练习——两条路线，同一种智慧；③ 「九章格」的含义：既承九章之统，又取「格物致知」之格——东方的数学，现代的讲法。
例。「今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍穿，小鼠日自半穿，问几日相逢？」——《九章》「盈不足」的名题（大鼠加速、小鼠减速）：设 x 列式或双假设，两鼠相逢问题等您破。
练一练 ① 完成九章对照表并互相抽查。② 解「两鼠穿垣」题（方程法：x ＋ 2x ＋ 4x ＋ … 太快？用「日」为步长逐日累加）。③ 为九章各画一个小图标。
p.42练习
九章知识竞答
A 组·对号入座 ① 「圆周率计算」属哪章？② 「按 3:5 分 48」属哪章？③ 「圆柱仓容积」属哪章？④ 「方程组」呢？
B 组·原题新解 ① 「今有粟一斗欲为粝米，问得几何」（粟:粝＝50:30，1 斗＝10 升）；② 「今有共买金，人出四百盈三千四百，人出三百盈一百」（两盈！人数与金价？）；③ 「今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸适与岸齐」——勾股名题「葭生池中」：水深几何？
C 组·古法今用 ① 用「今有术」解：3 : 5 ＝ 12 : x。② 用「衰分」解按比分配一题。③ 用「盈不足」公式解盈亏一题。
D 组·文化理解 ① 《九章》成书约何时？共几章几题？② 说出刘徽与祖冲之各一项贡献。③ 「九章格」的「格」是什么意思？
E 组·挑战 「葭生池中」完整解法＋画出弦图并剪拼验证勾股定理——完成这两件，授予「九章传人」称号。
p.43思想卡
两千年智慧的经纬线
《九章算术》约成书于公元一世纪，246 题、九章、246 个生活现场：田亩、换粮、分鹿、筑城、运粮、分钱、合伙买卖、联合工程、测天量地。
经线：问题。九章的每一章都从生活问题出发——数学的第一推动力是真实世界。这一传统穿过刘徽注、祖氏父子、宋元四大家，一直到今天的您的课本。
纬线：算法。九章不搞「纯演绎」，它给「可执行的算法」：术曰……——程序化的解法。这与今天的计算机时代惊人合拍：中国数学自古就是「算法的故乡」。
王老师说：「各位读者即将小学毕业。请记住：您学的每一个公式，都有两千年前的回声；而您，是这条河的下一棒。格物致知，行远自迩。」
p.44游戏迁移
九章飞行棋
玩法。棋盘 81 格排成 9×9，九行分别代表九章。掷骰前进，落到格子答题（该章内容），答对留、答错退回本轮起点；先到第 81 格（「格物致知」终点格）者胜。
格子题样。方田格：三角形面积公式？粟米格：粟 3:粝 2，粟 30 升换粝几升？勾股格：勾 6 股 8 弦几？方程格：x ＋ 3x ＝ 20？终点格：说出「九章格」名字的双重含义。
王老师说：「81 格走完，等于把六年飞览一遍——以游戏收官，以九章为名。本站工坊里有电子版九章棋盘，扫码即战。」
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p.45游戏·任务
选一章做手抄报
任务。① 从《九章算术》九城中选您最感兴趣的一章；② 手抄报含：章名释义、原题一则（含翻译）、现代对应知识、您的一道仿编题、一枚自绘「章徽」；③ 班级展评，投票「最佳章徽」。
加分。把您的章徽投稿给「九章格数学」的毕业游园会印章设计——被选中将印在全体同学的毕业证书上！
第 6 单元 · UNIT 6
项目任务书
p.46–54 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.46导入
项目任务书
毕业游园会的重头戏来了：真实测量项目——「测量并规划校园一角」。本周组队、领任务书、开干；下两周实施、汇报。这是一次「像工程师一样工作」的毕业实习。
任务书。目标：选定校园一角（花坛/空地/走廊），完成测量、计算与改造方案。交付物：① 数据记录单；② 按比例尺平面图；③ 面积/周长/容积计算书；④ 改造方案一页（含预算估算）。
王老师说：「项目制学习：没有标准答案，只有可验证的方案。六年数学，就看这一场综合应用了。」
p.47规则
分组与工具
分组。4～5 人一组，角色轮值：测量员（尺与卷尺）、记录员（数据单）、计算员（公式与单位）、绘图员（平面图）、发言人（汇报）。两周内人人轮过全部角色——不许「专业户」。
工具箱。卷尺（5 米）、直尺、量角器、粉笔/标记贴、计算器（限核验）、方格纸。安全条款：不攀爬、不涉水、测量区避让通行人流。
进度规则。第 1 周五：完成测量与计算书；第 2 周三：完成图纸与方案；第 2 周五：组间互评＋正式汇报。逾期降级验收——真实项目最讲工期。
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p.48试玩
方案设计与分工
选点会议。候选点打分表（测量可行性 3 分、数学含量 3 分、改造意义 2 分、安全 2 分）：「教学楼后花坛」4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 11 分胜出。用数据选点，第一次项目决策。
测量方案。花坛近似圆形：绳绕周长法（C ≈ 9.42 米）→ r ≈ 1.5 米；十字交叉量直径复核（3 米）✓——两种测法互为保险。周边步道宽 0.8 米：条形面积 (3 ＋ 1.6) × 0.8？——先画示意图再定算式！
分工表。周一：测量员＋记录员出场；周二：计算员出计算书；周三：绘图员出 1 : 100 图；周四：全员审校；周五：发言人试讲。轮值表贴在任务书背面。
p.49策略
实地测量与记录
测量三板斧。① 多次取均：每个量测 2～3 次取平均；② 单位即时统一：全程用米，最后换算；③ 原始数据全记：连「测错的」也记下来划掉——可回溯。
间接测量锦囊。量不到的怎么办？① 步测：先标定自己一步的长度（走 20 步量总长 ÷ 20）；② 目测校核：利用已知参照物（砖长 24 厘米、地砖 60 厘米）；③ 比例推算：影子比（同一时刻，杆高：影长 ＝ 树高：影长）——勾股与相似的前菜。
误差声明。方案末尾必须写：「卷尺读数误差 ±2 cm，花坛非正圆引入误差约 5%——结果为近似值」。诚实标注误差，是测量者的职业操守。
练一练 ① 用步测法估走廊长度并与卷尺对比。② 设计「影长测旗杆」方案。③ 给各位读者组定一份「测量记录单」模板。
p.50进阶
数据计算与复核
计算书要点。① 每个公式先写字母式再代数；② 单位全程跟踪（米2、升、元）；③ 结果保留合理位数（测量精度 2 位，结果别写 4 位——假精确比错更糟）。
预算估算。改造方案「沿花坛铺鹅卵石步道」：面积 π(2.32 − 1.52) ≈ 3.14 × 2.84 ≈ 8.9 米2；鹅卵石 60 元/米2 → 预算 8.9 × 60 ≈ 534 元，加损耗 10% ≈ 590 元。面积 × 单价 ＝ 预算——工程预算的启蒙。
复核双签。计算书需另一名组员复核签字；图纸按「量三处回算」验收。复核制度源于工程，也保护友谊——出错是流程的事，不是人的事。
练一练 ① 检查一步计算：步道 8.9 米2、单价 60 元，为什么结果取 534 而不是 534.03？② 把各位读者的预算也加 10% 损耗。③ 设计计算书复核清单（5 条）。
p.51复盘
成果汇报
汇报五件套（限时 5 分钟）。① 我们测了什么、为什么选它；② 怎么测的（方法与误差）；③ 算了什么（公式与结果）；④ 方案是什么（图纸指认）；⑤ 预算与分工复盘。提问环节 2 分钟。
评分表。数据可靠 3、计算正确 3、图纸规范 3、方案可行 3、表达清晰 2、答辩沉着 2——共 16 分；≥ 12 分「验收通过」。
复盘三问。① 最大的误差来自哪一步？② 下次再测，哪一步会改？③ 组内谁的贡献您以前没发现？——项目复盘，复盘的是流程与协作。
p.52思想卡
〔方田〕度量是数学的实践
《九章》第一章「方田」：田亩丈量——中国数学的第一课就是量地。大禹治水「左准绳、右规矩」，测量的历史比文字还长。
测量 = 数学 + 动手 + 诚实。公式给出「理论值」，卷尺给出「现实值」，两者之差叫误差——承认误差、管理误差，是数学成熟者的标志。四年「铺地锦」的格子、六年「割圆」的极限，都建立在「量得准」之上。
工程思维萌芽。本项目的每个环节——分工、测法、复核、预算、汇报——都是工程管理的缩影。数学不只是试卷上的题，更是改变现实的手艺。
王老师说：「两千年前方田里量地的少年，和今天量花坛的各位读者，做的是同一件事：用数学丈量世界。」
p.53对弈赛
组间互评
互评制。各组交换「全套交付物」担任验收方：① 按对方图纸「量三处回算」实际尺寸（误差 ≤ 5%）；② 抽查计算书两条（重算）；③ 审查预算逻辑；④ 出具「验收单」：通过 / 整改（附整改项）。
答辩交锋。验收方可追问：「误差声明为什么是 5% 而不是 2%？」「鹅卵石为什么不按矩形算？」——被问住不扣分，胡答才扣分。
奖项。「金卷尺奖」（数据最扎实）、「鲁班图纸奖」（图纸最规范）、「诚信预算奖」（误差声明最诚实）。
p.54游戏·任务
完成测量报告
任务。把项目全流程整理成正式《测量报告》一份：封面（项目名、组员、日期）→ 数据记录单 → 计算书 → 比例尺平面图 → 改造方案与预算 → 误差声明 → 复盘一页。装订成册，归入个人成长档案。
致谢栏。写一句对组员或帮助过各位读者的人的感谢——工程是团队的事，报告的最后一页永远留给感谢。
第 7 单元 · UNIT 7
设计一款数学游戏
p.55–63 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.55导入
设计一款数学游戏
毕业礼第二项目：您来做游戏设计师。六年玩了近百座工坊游戏——现在轮到您设计一款，在毕业游园会上发布，让学弟学妹玩。
什么是好游戏？回顾您玩过的最爱：滚铁环的爽快、NIM 的算计、独立钻石棋的烧脑、24 点的刺激……共同点：规则简单、可玩性强、有策略空间、公平。您的设计也要过这四关。
王老师说：「设计一款游戏 ＝ 把六年数学打包装进一个盒子里。能给别人讲明白规则的人，才是真正学明白的人。」
p.56规则
设计要求
硬性要求。① 数学含量：游戏核心必须用到六年级知识（分数/百分数/比例/圆/方程/可能性，至少一项）；② 规则书一页：目标、器材、规则、计分、公平性说明；③ 可试玩：实物或纸笔版均可；④ 支持双人或多人。
禁手。① 纯运气无策略（掷骰比大小）；② 规则复杂到没人愿意读完；③ 数学只是「贴纸」（挂名不参与胜负）。数学必须是游戏的发动机。
知识产权。允许「借鉴机制 + 原创包装」（如自创 NIM 新棋盘），必须注明原型；全盘照抄视为不合格——致敬与抄袭的分界线是署名。
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p.57试玩
规则草案
设计示范（草案）。《圆环夺宝》：转盘分 8 区，2 区「宝」6 区「空」；轮流转盘，转到宝区可从对方处「夺」1 分，但若先掷骰子答对一道圆面积题，可「连转两次」。发动机：概率（1/4 命中率）+ 圆的计算（答题卡）；策略：何时用「连转权」？
平衡性初检。命中率 1/4 → 期望每轮 0.5 分；答题连转使期望升至 1 分——奖励学习，正是好游戏的设计伦理。
试玩记录表。每局记：用时、谁赢、有没有「卡壳的规则」、玩家表情（无聊/纠结/上头）。「上头」是好游戏的信号。
p.58策略
试玩迭代
迭代三问。① 太容易赢？（加限制：先答对一题才能动子）② 太难赢？（降门槛：答题可选难度）③ 太拖沓？（缩目标：终局条件从 20 分改 10 分）。每次只改一处，改完再试——控制变量法，游戏设计的科学方法。
玩家反馈处理。「不公平！」→ 复查概率期望；「没意思」→ 加策略层（道具/抉择点）；「规则记不住」→ 写口诀或画流程图。反馈是免费的宝矿。
迭代日志。版本号 V0.1 → V0.2……每版记录「改动 + 理由 + 效果」。三版以上的迭代日志，本身就是一份漂亮的数学实践报告。
p.59进阶
美化与命名
命名之道。好名字三招：① 点出数学核心（《分数争夺战》《圆周夺宝》）；② 有画面感（《梯形攻城》）；③ 有悬念（《谁是 0.618》）。名字是游戏的第一个数学题。
视觉设计。配色统一（深底金纹，九章格审美）、棋盘线清晰、字体大小统一；圆盘的扇区角度要用圆规量角器精确画——1/8 区就是 45°，图案也讲数学。
包装清单。规则书、棋盘/卡牌、计分表、答题卡 10 张、误差与公平声明。齐套才可参展——和真实产品发布一样。
p.60复盘
平衡性检验
平衡性 = 公平 + 深度。① 公平：先手优势多大？期望得分是否因先手而偏？（统计 10 局先手胜率，若 ＞ 70% 需加「后手补偿」）② 深度：赢的人靠什么？若答案只有「运气」，策略层补课。
数据说话。试玩 10 局统计表：先手胜率、平均局时、答题正确率、弃游次数。您的游戏也在被统计——吃自己狗粮的数学。
终检清单。□ 数学核心明确 □ 规则一页可读 □ 试玩 ≥ 10 局 □ 平衡性数据在手 □ 迭代日志 ≥ 3 版 □ 包装齐套。六个勾打满，才有发布资格。
p.61思想卡
设计游戏是最好的复习
出题者比做题者学得多：设计《分数争夺战》要把分数运算规则嚼碎重构；设计《圆周夺宝》要真懂概率与面积。「能造出来」是理解的最高等级。
设计即建模。把「好玩」翻译成「概率 × 得分 × 策略空间」，把「公平」翻译成「期望相等」——您在用数学语言重构一个娱乐世界。这就是数学建模：从模糊需求到精确结构。
给学弟学妹的礼物。您设计的游戏将在游园会被试玩、被带走、被反复玩——您六年学到的东西，将以快乐的形态流传下去。
王老师说：「六年里您玩过的每一个游戏，都是前人设计的数学。今天您执笔——接过接力棒的那一刻，您毕业了。」
p.62对弈赛
游戏发布会展评
展评流程。① 3 分钟「发布会」：设计理念 + 核心数学 + 现场演示；② 试玩区开放 20 分钟：全班自由试玩并投票；③ 质询环节：任何人可问「这里为什么公平？」——设计师必须用数据回答。
评分。数学含量 4、可玩性 4、平衡性 3（有数据佐证加分）、完成度 3、答辩 2；全班投票另设「最受欢迎奖」。
成果去向。前三名作品进入「工坊常驻提案箱」——下学年有机会被制成电子版放进云端工坊，署上设计师大名！
p.63游戏·任务
带回家玩并收集反馈
任务。① 把您的游戏带回家，教家人玩 3 局；② 收集反馈（最好玩的一点 / 最想改的一点 / 一个新点子）；③ 记入迭代日志 V1.1；④ 若家人赢了——复盘：是策略、运气，还是您的规则漏洞？
彩蛋。教爷爷奶奶玩您的游戏并让他们赢一局——把数学的快乐分享给最爱您的人，是毕业礼最暖的部分。
第 8 单元 · UNIT 8
庆典流程
p.64–72 · 导入 1 · 规则 1 · 试玩 1 · 策略 1 · 进阶 1 · 复盘 1 · 思想卡 1 · 对弈赛 1 · 任务 1
p.64导入
庆典流程
六年长跑的最后一站：P 段毕业庆典。这一周，教室变成游园会场，各位读者是策展人、裁判、辩手，也是主角。
庆典总览。① 综合游园（六个展位闯章）；② 毕业答辩（讲您最深的一个理解）；③ 颁章仪式（格物小树・九章章）；④ 成长档案展；⑤ 师生告别赛。每一环都有数学，每一环都有告别。
王老师说：「庆典不是「放松」，是「检阅」——用您最舒服的方式，向六年、向同伴、向自己汇报。笑着答辩，比哭着考试更难，也更有价值。」
p.65规则
毕业条件
四项毕业条件。① 资格赛 ≥ 60 分（含复盘章补齐）；② 游园会集齐 6 枚展位章；③ 完成一次毕业答辩；④ 成长档案完整（含数系图、图形树、统计报告、测量报告、游戏设计书、思想短文）。
弹性条款。某项未达者可在一周内「复活挑战」（重测、补章、补档）——毕业条件是标尺不是闸门，人人都有第二次机会。
组织分工。全班分「策展组、裁判组、答辩记录组、后勤组」轮值；每个展位须配「数学讲解员」——庆典本身也是一道统筹题。
扫码开玩 ·「毕业庆典馆」
本单元配套游戏站（P6-4《P 段毕业礼》）：入门 / 进阶 / 挑战三级难度，扫一扫或输入网址即玩，无需登录。
games/p6-4.html?u=8
p.66试玩
综合游园
六大展位。① 数之馆（24 点、缺陷幻方挑战）；② 形之馆（七巧板、剪拼挑战）；③ 对弈馆（NIM、独立钻石棋、8-滑块）；④ 数据馆（统计报告展 + 现场小调查）；⑤ 图纸馆（测量报告与平面图展）；⑥ 发布馆（同学自设计游戏试玩）。
闯章规则。每馆完成一项挑战得馆章；集齐六枚换「格物令」进入答辩。讲解员有权出「追问卡」——答出追问可得「金章」。
彩蛋任务。各馆藏有一枚「九章格密码」：拼齐六枚线索（每枚是一道小题的答案数字），可破解终极大奖位置——坐标：操场第 (行, 列) 格。数对定位，最后一役。
p.67策略
毕业答辩
答辩规格。5 分钟陈述 + 3 分钟问答；陈述三选一：① 「我最深的一个数学理解」；② 「我的六年错题进化史」；③ 「我设计/解决过的一个问题」。必须用至少一个「作品」作证（档案页、照片、实物）。
答辩工具。开场 30 秒法（钩子 + 主旨 + 路线图）；例证三要素（具体、有数据、有转折）；结尾一句「带进初中的话」。结构 = 表达的方程。
评分。理解深度 4、证据充分 3、表达清晰 2、应对从容 1——「从容」不等于不紧张：紧张而继续，就是从容。
p.68进阶
颁章仪式（格物小树·九章章）
格物小树。六年里，您的每一次「格物」（探究）长出一片叶：三年级第一次量角、五年级第一次设 x、六年级第一次证明……人手一株小树贴纸树，叶片写满您的「第一次」。
颁章。① P 段毕业章（全员过线者）；② 九章章（对九章文化理解最深者，答辩特评）；③ 各展位「金章」（追问全对者）；④ 特设奖：金算盘、火眼金睛、金卷尺、最佳设计师。章是纪念，不是名次——每人至少一枚。
颁章词（示例）。「这枚九章章，颁给把『盈不足』讲成故事的人——懂历史的人，走得最远。」
p.69复盘
六年成长档案
档案总装目录。① 卷首语与数系扩张图；② 知识树（数、形）两株；③ 统计报告；④ 测量报告；⑤ 游戏设计书（含迭代日志）；⑥ 思想短文；⑦ 错题精选与「处方」；⑧ 毕业答辩稿；⑨ 给初中的信。九件套，对应九章——这是六年最后的仪式感。
展评。档案互相传阅，每人写 3 张「互赞卡」贴在他人档案上（写具体：某页某处某亮点）。被看见的努力，才完整。
时间胶囊。从每人档案中复印一页封存，约定初中毕业（M 段结束）开启——与未来的自己有个约会。
p.70思想卡
格物致知，行远自迩
「格物致知」：接触事物、探究原理，从而获得知识——「格」字是九章格的魂。六年里，您格过田（面积）、格过数（数系）、格过形（拼图）、格过局（策略）、格过己（错题）。
行远自迩。《中庸》：「君子之道，辟如行远必自迩，辟如登高必自卑。」走远路从近处起步，登高山从低处开始——数石子的孩子，终会读懂方程；今天的您，是初中那个您的「迩」与「卑」。
九章之意，最后一次细说。「九章」＝《九章算术》，两千年算法智慧的源头；「格」＝格物致知，探究到底的姿态。九章格数学：东方的现代数学教育——从哲学意境里，长出现代的数学课。而各位读者，是这句话的第一批见证者与实践者。
王老师说：「毕业不是句号，是逗号。愿各位读者带着工具箱与好奇心，走进 M 段、走进更远的地方。数学的钥匙已经交到您手上——门后有无穷的世界。」
p.71对弈赛
师生告别赛
压轴局。全班组队 vs 王老师三局：① 24 点团队接力（60 秒/题，答对跳过老师一题）；② NIM 三连胜挑战（全班商量着来）；③ 密室坐标战：六枚密码拼出的坐标处，埋着老师写给全班的信。老师会全力而为——尊重对手，是六年学到的最后一课。
赛前谈判（用得上数学）。让子协商：老师让先手？让几子？——「期望均等」原则最后一次实战。连告别都要讲公平，这才是我们的班。
赛后。无论胜负，合影一张：黑板上写着「1 ＋ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＝ n2」——每一年都在长出新的年轮。
p.72游戏·任务
给初中的自己写一封信
任务。写一封 300 字的信《给初一的自己》：① 现在数学水平的一句话自画像；② 最担心什么、最期待什么；③ 请求未来的您做的一件数学事（比如「保持错题本」「继续玩数独」）；④ 一句暗号——未来某天打开信时，凭它认出「当年的自己」。
封存仪式。信装入信封，封面写「M 段一年后启封」，与时间胶囊页一起封存。数学之路很长——这封信，是路上留给自己的一盏灯。