天地间本来没有「数」。
猎人要知道带回几只兔，母亲要知道存了几罐粟，族长要知道来了多少人——数，就是从这些「要知道」里长出来的。
这一册讲三样老东西：一条打结的绳、一把摆数的竹筹、一张九个格子的图。三样东西排成一条线，线的一头是物，另一头是理。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
日头落到山背后的时候，阿禾背着猎物回到部落。
阿公不问「几只」，只从梁上取下一根绳，递过来：「打结去。」
阿禾蹲在火塘边，一只一只数，一个一个打。打到第七个，绳上刚好七个结，地上刚好七只兔。阿公点点头：「记住了。」
部落的屋梁上挂满了绳。一根绳一年，一年一根绳，绳上的结挨挨挤挤，像落了一树的雀。
阿禾问：第三年那根绳，中间那个特别大的结，是记什么的？
阿公想了很久，摇头。结还在，事情忘了。绳记下了「多少」，却没有记下「什么」。
有一年，东边来了个旅人。他腰间挂着一枚木片，木片上刻着一道道横痕。
「这是契。」他说，「刻一道记一，刻两道记二；刻完从中间劈开，两家各执一半，合起来对得上，账就赖不掉。」
阿公摸着那枚木片，摸了很久。绳上的结会散，会烂，会记不清；木上的痕硬，且能对半分开，一人一半。
阿禾第一次独自出猎，回来时天已擦黑。他把七只兔摊在地上，等阿公来数。
阿公却不数。他把一根麻绳递给阿禾，说：「兔在地上，结在绳上。打一个结，就摸一下兔子；摸完最后一只，结也就打完了。」
阿禾打完，把绳举起来对着火光看。七个结大大小小，歪歪扭扭，可他说得出：这就是今天。
阿公教阿禾一个笨办法：不去想「七」这个字，只管配。
一只兔配一个结，配完了，两边都不剩，就说明一样多。要是兔还剩，就再打一个结；要是结还剩，就说明今天打得多了。
「不用会数，只要会配。」阿公说，「配得齐，就是数对了。」
把绳结看成一堆符号，把猎物看成另一堆东西：
结 一 一 对 应 兔 ⟹ 两 堆 一 样 多
一一对应（配成对）是「个数相等」最本原的意思。它比数词更早，也比数词更牢：即便没有「七」这个字，七个结与七只兔的关系照样成立。
绳一多，就要分家：记猎物的用麻绳，记粟米的用草绳，记来人的用皮绳。
结也分了大小：小的一记一，大的记十。七个大结，是七十；七个小结，才是七。
阿禾学会看绳，也就学会了一件事：结不只是「多少」，它还带着「什么」和「哪一档」。
结一有了分别，就成了符号：
小结 ＝ 一 · 大结 ＝ 十
同一个「十」，从此可以只用一个结表示——这是「进位」的第一个念头。符号的值，开始不只由它自身决定，还由它的形状、颜色、位置决定。
麻烦来了：两笔账要合在一起。阿禾把两根绳接成一根，然后从头再摸一遍——一个结，两个结，三个结……
数目一大，绳就摸不完。而且结挨着结，哪个是七、哪个是八，全凭手指去认，稍一分神就错。
阿公叹口气：「结记得住多少，算不动多少。」
结绳之困，困在「每结一单位」：
十 个 结 ＝ 十 个 符 号 · 一 次 加 法 ＝ 重 新 数 一 遍
要算得快，符号就得省；要符号省，就得让「位置」替人记事。这一念，要等到算筹才真正落地。
阿公说，结不是兔。
结是兔的影子。天上星有象，地上纹有象，人心要记住什么，就先给它造一个象——不是照抄它的样子，是取它有用的那一点。
七只兔，可取的是「七」。取了「七」，兔子跑不跑，都与绳上的结无关了。
夜里，阿禾躺在草席上，手指还在摸那根绳。结一个一个过去，白天的事也一件一件回来。
他忽然明白：手里这根绳，是一天的替身。一个结替一只兔，一根绳替一天，一屋子的绳，替了整个部落的许多年。
人第一次把世界搬进了手里。
结是象，数是象里的一根骨。象可以摸，可以挂，可以传给别人；数藏在象里，要用心才看得见。
那年秋收分粟，阿公不用绳了。他从一只旧竹筒里倒出一把竹筹，一根根摆在席上。
阿禾看见：一根筹摆到最右边，是一；挪到左边一格，就成了十；再挪一格，成了百。同一根筹，一步十倍。
「这是谁教的？」阿禾问。阿公说：「不知道。人人都这么摆，摆了好几百年了。」
筹有两种摆法：竖着摆叫纵式，横着摆叫横式。
一至五，一根一根排；六至九，先用一根当五，再添零头。纵式便上横下竖，横式便上竖下横。
最妙的是：个位用纵，十位用横，百位又用纵——一纵一横地隔着，眼睛就不会把相邻两档看混。
算筹记数，一句话可说尽：
一 纵 十 横，百 立 千 僵；千 十 相 望，万 百 相 当
一至五：以根数计，一根当一；六至九：一根当五，余者添足。相邻两位纵横相间，位位分明。
例：三百七十五——百位三根纵筹，十位「一竖二横」作七，个位五根纵筹。
分粟分到一半，阿公要算总数。他没去解绳，只把筹一挪：这一档添三根，那一档减一根，进一位，再挪。
阿禾看得心惊：三百七十五，绳上要打三百七十五个结；筹上，只需十来根。
「结是死记，筹是活算。」阿公说，「筹挪一步，账就变一分。」
位值制的要害，是一个符号的值＝符号本身×它所在的位置：
375 ＝ 3 × 100 ＋ 7 × 10 ＋ 5 × 1
符号只需九个（一至九），位数再多也不怕。加法则逐档相加、满十进一；减法借一当十。运算从「重数一遍」变成了「挪一挪」。
又一日，账上是三百零五。阿禾摆到中间一档，愣住了：这一位是空的，摆什么？
阿公说：「空着。」
「空着怎么看得见？」阿公便把席上的空档用指尖圈了一圈：「空也要留出地方来。这一位没有人，可这一位在。」
空位不是「没有」，是「这一位上是零」：
305 ＝ 3 × 100 ＋ 0 × 10 ＋ 5 × 1
古法先留空，后来在空处放一枚小石、画一个方框「□」，再后来写成「〇」。有了零这个记号，位值制才真正完备：任何数都能写得清清楚楚，加减乘除不再含糊。
阿公说：一根筹不算什么，摆在一起才有话说。
三根、五根，横着错、竖着交；位置一换，值就变；变到极处，一幅图样自己浮出来。
「参伍」是交错着摆，「错综」是打散了再合起来。数不是一个个孤零零站着的，它们彼此牵着。
阿禾把一根筹从右端挪到左端，眼看它一位一位长了十倍。他忽然想起河滩上的事：同一块石头，放在河心是桥墩，放在岸上是界石。
石头还是那块石头。位置不是外加的装饰，位置本来就是它的一部分。
数也一样：一根筹，站在哪一档，就担哪一档的分量。
位值：同一个符号，因位置不同而值不同。数第一次有了「结构」——不是一堆散着的单位，而是一列有次序的位。
那一年大水。部落里的人都说，水是从西边来的，一路漫过田垄，漫过旧路，最后漫到了洛水边。
火塘边，阿公讲很古很古的事：禹治水的时候，洛水里浮出一只龟，背上有纹。禹看了那纹，定下九州的次序。
「纹是什么样？」阿公不答，只用手在灰烬上画：九个点，三三成行。
阿禾在河滩上照画。沙地软，指头一划就是一道线。三行三列，九个格子。
一至九，每个数用一次，不多不少。他先摆中间，再摆四角，摆来摆去，总觉得不对劲。
后来他照着阿公的手势摆定了。抬头一看，那九个点不像龟背，倒像一张网。
一至九各用一次，排成三行三列，使每一行、每一列、每一条对角线上的三个数之和都相等。这样的方阵，后世称为「幻方」，古人称为「纵横图」。
阿禾一条一条验。横着三条，竖着三条，两条斜的——他手指点着沙地，数一遍，再数一遍。
都是十五。
他把这个发现跑去告诉阿公。阿公蹲下来，用手指在沙上又划了三遍，然后笑了：「八条路，走到一处。」
三行：
4＋9＋2 ＝ 3＋5＋7 ＝ 8＋1＋6 ＝ 15
三列：
4＋3＋8 ＝ 9＋5＋1 ＝ 2＋7＋6 ＝ 15
两斜：
4＋5＋6 ＝ 2＋5＋8 ＝ 15
而九数总和 1＋2＋…＋9 ＝ 45，恰为 3 × 15——三条横线之和，正好把九个数各算了一次。
阿禾又看出些名堂。四只角上站的是双数：四、二、八、六；四条边的当中站的是单数：九、三、七、一；正中是五。
隔着中心遥遥相对的两个数，加起来都是十：一与九，二与八，三与七，四与六。
「它不偏。」阿公说，「怎么转，怎么翻，还是它。」
四组对位，其和皆十；加中心之五，遂成十五：
1＋9 ＝ 2＋8 ＝ 3＋7 ＝ 4＋6 ＝ 10 · 10＋5 ＝ 15
四隅皆偶，四正皆奇，中心为五。整幅方阵绕中心旋转九十度、一百八十度、二百七十度，或作镜像翻转，其「八线皆十五」的性质不变——八种摆法，本质是一。
阿公说：图与书，都是象。
圣人不是先有数，再画成象；是先看见象，才从象里读出数来。天上垂下什么，地上浮出什么，人看了，记下来，就成了图。
「天垂象，见吉凶，圣人象之。」象在先，数在后；数既立，又可以回过头去说象。
画到天黑，阿禾退后几步看。沙地上的纹已经不像龟背了。
它像一张网：每一个格子都牵着别的格子，横的、竖的、斜的，牵到一处，数目就一样。
他伸手把一角的沙抹平，重画了一遍。网还是那张网。
象是可见的壳，数是壳里的秩序。龟背可以忘掉，网不能——因为网才是九个数的真相。
阿禾把洛书教给了伙伴。九个孩子一人一枚石子，在沙上排方阵，看谁排得又快又对。
有人摆成了，有人摆到一半就乱。有个孩子索性一枚一枚地试，试到日头偏西，仍差一条斜线。
「是碰运气吗？」他问。阿禾摇头：「不是。中间那个格，早就定下了。」
阿禾捡起一根树枝，在沙上算给伙伴看。
过中心的路有四条：中间一横、中间一竖、两条斜线。四条路都等于十五，合起来是六十。
这四条路走遍九个格：每个格算到一次，唯独中间那一格，被四条路都踩了一遍，多算了三次。
设中心为 c。四线和为 4 × 15 ＝ 60，九数之和为 45：
60 ＝ 45 ＋ 3c ⟹ c ＝ 5
一条推理，胜过一百次试排。由「中心必五」，再可推出：四隅必偶、四正必奇——因为每一过中心的线要凑成十五，两端之和必为十，十只能由同奇或同偶凑成。
阿公教了阿禾一首短诀，四句十六字，念起来像顺口溜。
先斜着排，再上下换、左右换，最后把四个尖角推出去——一推，方阵就成了。
阿禾照着念，一遍做成。伙伴们也跟着念，念到第三遍，人人都会了。
口诀：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
一、九子斜排——把一至九斜着排成菱形，一在上，九在下，中间一行是「三、五、七」。
二、上下对易——一与九互换；左右相更——三与七互换。
三、四维挺出——把二、四、六、八推到四个角上，方阵遂成。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
阿禾想：九个格能排，十六个格呢？四四一十六，把一至十六摆进去，每行每列每条斜线，和也一样吗？
阿公说不上来。阿禾就自己在沙上排，排了三天，排成了。
那年冬天，他把四阶的方阵刻在一块木板上，埋进土里，算是留给后来人。
幻方的「和」是可算的。一至 n2 之和为 n2(n2＋1)/2，分作 n 行，每行和为：
n(n2＋1)/2
三阶：3×10/2 ＝ 15；四阶：4×17/2 ＝ 34；五阶：5×26/2 ＝ 65；十阶：505。
阶数越大，排法越多：三阶本质唯一（八式），四阶已有八百八十种，五阶则多达两亿七千余万种。
阿禾把九个数换着位置摆。摆来摆去，八条线还是十五。
他忽然懂了：变的不是数，是数之间的关系。数没动，关系一动，一张新网就出来了。
「错」是把数打散，「综」是把数合起。打散了合起来，秩序自己浮出来——这不是人硬安排的，是数本来就有的。
阿禾看着九宫，忽然想起绳上的结。
一个结，只是一个结；九个结排好了，就成了一个「和」——横看是它，竖看是它，斜看还是它。
散着看是九，合着看是一。
整体的性质，不等于部分的性质相加。九个各自不同的数，凑在一处，生出了一件谁身上都没有的东西——「八线皆十五」。
许多年过去，阿禾成了部落里记事的人。他的头发也和当年的阿公一样白了。
他把三样东西画在一张兽皮上：一条打结的绳，一把直立的筹，一个九格的方阵。
孩子指着皮问：「这三样，哪个最要紧？」
阿禾想了很久，说：「三样是一样。」
阿禾一阶一阶说给孩子听。
第一阶，配对：一个结对一只兔，于是知道了「多少」。第二阶，位置：一根筹站在哪一档，就担哪一档的分量，于是学会了「算」。
第三阶，结构：九个格排好了，横竖斜都通向同一处，于是看见了「秩序」。
三级台阶，三级抽象：
一 · 基 数（多 少） ⟶ 二 · 位 值（算） ⟶ 三 · 结 构（秩 序）
第一级问「有几个」，第二级问「怎么算」，第三级问「为什么恰好如此」。前两级是工具，第三级才触到数学的骨。
「七只兔，」阿禾说，「兔会跑，会死，会被吃掉。这个『七』，跑不掉。」
七只兔的七，和七天的七、七罐粟的七、七个结的七，是同一个七。
「兔不能加粟，七可以加五。」孩子听到这里，眼睛亮了。
抽象的第一步，是把「数」从「物」上剥下来：
七 只 兔 ⟶ 七 ⟶ 七 ＋ 五 ＝ 十 二
剥下来之后，数就成了可以脱离具体对象而独立运思的东西。数学之所以能到处用，正因为它先把自己从「到处」抽了出来。
阿禾把「七」一样一样摆出来：七个结、七根筹、一个七字、七道刻痕。
「都是七。」孩子说。
「对。七只有一个，样子有千万个。」阿禾说，「将来的人，还会给七想出别的样子。样子换了，七还是七。」
同一个数，可以用许多「象」来承载：
七 个 结 / 七 根 筹 / 七 / 7 / VII / 111（二 进 制）
符号是舟，数是客。舟可以换，客只有一位。懂得分辨「数」与「记数的符号」，才算真的会了数。
阿禾晚年常说一句话：先有象，后有数；数定了，又能造出新象。
龟背是象，九宫是数；九宫一成，又成了后人看世界的一幅图——明堂九室、八方八风、历法节气，都从这幅图上取形。
象生数，数生象。走了一个来回，人才算真的懂了。
阿禾把兽皮卷起来，递给孩子。
「这头是绳，那头是图。中间隔着好几百年，也隔着好多人。」
孩子摸着绳子上的结，忽然说：「摸着结的时候，好像已经摸到图了。」
一端是物（兔、粟、人），一端是理（八线皆十五）。中间是象（结、筹、图）。人靠象，从物走到了理。
回望这一册，是一条线慢慢伸直的过程。
先是弯曲的绳——结绕成圈，摸着才知多少；再是笔直的筹——一根一根立在席上，一挪就换值；最后是方正的格——九个数各就各位，八方同归一处。
曲、直、方。形状换了三次，做的事只有一件：把世界收进手里。
阿禾不曾想到的事，后来都发生了。
位值这个念头，不只长在中国。印度人想出了九个数字和一个零，阿拉伯人把它带到西方，欧洲人叫它「阿拉伯数字」——如今全世界都在用。
它也曾回到中国。元代的安西王府里，有一块铁板，板上刻着六阶幻方，用的竟是阿拉伯数码。洛书的老家，来了远客。
孩子最后问了一个问题：九个格排得这样巧，是谁安排的？
阿禾说：不知道。也许没有人安排，数本来就是这样；也许有人安排，只是人看不见他。
「这个问题，问了三千年，还没有答完。」阿禾说，「答不完，也不要紧。要紧的是——一直在问。」
结绳是最古老的记账法，也最容易亲手复原。
材料：三色毛线或棉线各一段（约一尺）、剪刀。
一 定三色之约：麻色记猎物，青色记粮食，赭色记人数。
二 定大小之约：小结记一，大结记十。
三 记一天的账：猎得七只、存粟三罐、来客五人。该打几个结？各在什么颜色的绳上？
四 把绳交给家人，请他照绳说出这一天的事。
五 再问：他能说出「哪一天」吗？能说出「谁的」吗？——缺的那两样，正是后来「书契」要补的。
洛书是可以动手排出来的，不必背。
材料：九张卡片，各写一至九；或九枚石子，各贴一纸签。
一 先不排，先问：中间那一格，该放几？（提示：四条过中心的路，和为六十；九数之和四十五；多出来的，是中心多算的三次。）
二 配四对：一与九、二与八、三与七、四与六，各和十。每一过中心的线，两端必是一对。
三 按「九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出」排出方阵。
四 验八条线：三行、三列、两斜，条条十五。
五 把纸转九十度、再翻个面，看它还是不是洛书。
结绳——以绳打结记事之法：一结一物，以结之多寡记多少，以绳之色别类别。《周易·系辞下》「上古结绳而治」。
书契——刻写于木片、竹简的记事凭证，晚于结绳。《易》谓「后世圣人易之以书契」。
契——刻齿之木券，中剖为二，两半相合为验；记数之外兼记信用。《周礼》有「傅别」「质剂」。
算筹——竹、木、骨制的小棍，以布数、移筹行算。先秦至宋元间的主要计算工具。
纵式 · 横式——算筹的两种摆法：纵式竖排，横式横排；相邻两位纵横相间，以免混位。
位值——同一个符号因其所在位置不同而表示不同的值，如「三」在百位为三百，在个位为三。
空位——某一位上无数时所留的空档；后以「□」「〇」标记，是为零号之始。
洛书——一至九排成三行三列、八线皆十五的图式，相传出于洛水。《易》「洛出书，圣人则之」。
九宫——三行三列的九个方格；洛书即九宫之数，古以配八方、明堂九室、历法节气。
幻方（纵横图）——将连续自然数排成方阵，使各行、各列、各对角线之和皆相等。三阶即洛书。
参伍错综——语出《周易·系辞上》「参伍以变，错综其数」；谓三五之数交错相参、聚散相综，其变无穷。
象数——中国固有的学问路向：以象尽意、以数尽象；象可见，数为象中之秩序。
观物取象——观照万物而取其为象，不照抄外形，只取可用之一点。《易》「仰则观象于天，俯则观法于地」。
本册的要害，在分清「象」与「数」的先后与循环。结绳以象代物：一结即一兔，象与物一一相配，故能记「多少」而不能算。算筹以位列数：一符号之值随其位而变，故能「算」，而符号由繁趋简。洛书以数成象：九数排定，八线同归，秩序自现，于是「数」又反过来生出了新的「象」。三事相衔，成「象生数、数生象」之一环。其哲学根据，在《易》之「观物取象」与「参伍以变，错综其数」：象是入口，数是骨，错与综是法——数之妙不在一数之身，而在诸数相牵之处。
包牺氏（即伏羲，传说）——相传仰观俯察而作八卦，《易》以为象数之始。
大禹（传说）——治水定九州；洛书出洛、禹因之叙九畴，为后世象数传说之根。
杨辉（南宋，约 1238—约 1298）——字谦光，钱塘人；著《详解九章算法》《续古摘奇算法》，录「纵横图」十三幅，存三阶幻方构造口诀「九子斜排」。
秦九韶（南宋，1208—1268）——字道古，著《数书九章》，书中有「〇」号之用，又创大衍求一术（见第六册）。
《周易·系辞上》——「参伍以变，错综其数」「河出图，洛出书，圣人则之」；《周易·系辞下》——「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」「仰则观象于天，俯则观法于地」；《尚书·顾命》——「河图、洛书，在东序」，为洛书之名最早的记载之一；《尚书·洪范》——「天乃锡禹洪范九畴」；《大戴礼记·明堂》——「二九四、七五三、六一八」，九宫数之早期记载；《周礼》——「傅别」「质剂」，契券之制；《老子》——「善数不用筹策」，先秦已有算筹之证；《孙子算经》——「一纵十横，百立千僵」，算筹记数之定法；《九章算术》——「以空补位」，零位之法；《续古摘奇算法》（杨辉）——纵横图十三幅与三阶构造诀；《庄子·胠箧》——「民结绳而用之」。
位值不在古书里，就在门口。
门牌上的「三〇二」，三是三层，〇是二层没有，二是二号。同一个「二」，写在个位是二，写在十位是二十。
车牌、电话、身份证、日期、电梯的楼层、价签上的小数点——凡有数字排成一列的地方，都有位值在悄悄做事。
试着读一读：2026 这四位数，各是什么意思？
2 个 千 · 0 个 百 · 2 个 十 · 6 个 一
再看「1.05」：小数点右边第一位是十分位，第二位是百分位。位值之理，从个位一路延到小数，仍是同一句话——位置定值。
洛书是一粒种子。种子后来长成了一片林子。
南宋杨辉收了十三幅纵横图，从三阶到十阶；元代那块铁板上是六阶；十八世纪，美国的富兰克林还醉心于八阶幻方，做出许多奇巧的排法。
到了今天，幻方的近亲更多了：拉丁方、数独、正交表——都是从「把数排进格子，让每行每列守同一条规矩」这个念头里长出来的。
幻方的「和」有定法，排法却千变万化：
三 阶 8 式 · 四 阶 880 种 · 五 阶 约 2.75 亿 种
数独则是九宫的另一种玩法：不求和，只求每行、每列、每宫之内一至九各出现一次——九格之阵，换了一条规矩，就成了另一门学问。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：结绳记数与一一对应、契与书契、算筹的纵横两式与十进位值、空位与零、洛书九宫、幻方的重数推理与构造口诀、n 阶幻方、数从物中抽象。
暗线（青绿）：「观物取象」「参伍以变，错综其数」「河出图，洛出书」「象生数，数生象」——人如何借「象」把握世界，又如何在象里认出秩序。
· 先读故事层。第一幕的结绳，最宜先动手（见动手做一），手上有了体会，再回来看书；
· 数学层的「中心为什么是五」是全册最要紧的一页，值得慢慢推一遍，不必急着看结论；
· 五页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 结绳已经够用了，为什么还要发明算筹？
够记，不等于够算。结只能记「多少」，十个结就是十个符号；筹能借位置省符号，一挪即算。工具的每一次改良，都是因为旧工具「算不动」了。
二 洛书的「十五」，是巧合还是必然？
是必然。四线过心、重数相计，中心只能是五；中心定了，四对之和只能是十，其余随之而定。八个摆法看着不同，其实是同一个理。
三 数是被发现的，还是被发明的？
没有定论。有人以为数本来就在那里，人只是看见；有人以为数是人造的符号，好用便算数。这个问题问了三千年，仍值得再问三千年。
《中国古代数学故事绘本》第 01 册
参伍错综 · 数从哪里来
明线：结绳记数与一一对应 · 契与书契 · 算筹与十进位值 · 空位与零 · 洛书九宫 · 幻方之理与其推广
暗线：象数 · 观物取象 · 参伍以变，错综其数 · 河图洛书 · 象生数，数生象
时代：传说—先秦（远眺宋元幻方之学与元代数码铁板）
主典：《周易·系辞》；《尚书·顾命》《洪范》；《大戴礼记·明堂》；《周礼》；《老子》；《孙子算经》；《九章算术》；杨辉《续古摘奇算法》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
全套十册，依历史时序，自先秦至明清。本册为第一册，十册之起首。