两千多年前，有一个人站在大地上，抬头问天：天那样高，地那样远，能不能量出来？
后来，商高、赵爽、刘徽各自给出了一段回答。这一册书，就把这三段回答，讲成一个故事。
全书分五幕：从一根会弯的绳讲起，到一把能定直角的矩，再到一张四方嵌合的弦图；再往后，一个人的目光越过海面，落在一座够不到的岛上，最后停在一条量不尽的对角线上。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
很久很久以前，一个人站在空旷的原野上。
他抬头，天像一个扣下来的大圆盖，边缘一直垂到地平线上；他低头，地朝四面八方铺开，一直铺到眼睛看不见的地方。
天有多高？地有多远？没有人答得上来。
手边只有两样东西。
一样是一根绳——软的，能弯成任何形状，也能绷成一条笔直的线。
一样是一把矩——硬的，只会画直角，别的什么也画不了。
就凭这么两件小小的东西，人要跟那片大大的天地打交道。
后来，有三个数字走到了一起：三、四、五。
它们看上去平平常常。可是在这三个数字之间，藏着一件两千多年都没有变过的事。
先把它们记住。答案，要等到第二幕。
都城的郊外，一座大城正要建起来。
城要正，先得定出正南北；田要方，先得量出土地的方圆。周公站在高台上，望着脚下还没有摆正的城基，问身旁的商高：
「天高得架不起梯子，地远得走不到尽头——这样的天地，能量出来吗？」
商高没有马上回答。他先指了指地上。
日头底下，凡是立着的东西，都拖着一道影子。一天里，影子一直在变：清早最长，中午最短，傍晚又拉长。
把影子最短的那一刻记下来——那一刻，影子的方向正好是正南北。
测量，从一个影子开始。
立表：竖一根杆子（古称「表」）。
测影：记下一天中影子最短的时刻。
定方：此时影子指向正北，与之垂直的方向即为正东正西。
表 影 → 正 南 北 → 直 角
商高又举起手里的矩。
矩只有一件事做得最好：画直角。
把矩的一条边贴住已有的直线，另一条边画出来的，一定是垂直的线。直角，是所有测量的起点。有了直角，才谈得上「方」，才谈得上「高」与「远」。
矩：两条边互相垂直的丁字形木尺。
用法：一条边对齐已有的线，另一条边画出垂线。
两条直线相交成直角，就说它们互相垂直，记作直角「∟」。房屋的墙角、书页的角，都是直角。
有了矩，就能画方；有了规，就能画圆。
方：四条边一样长，四个角都是直角。方的东西能一块挨一块铺满地面，不剩缝隙。
圆：从中心到边上，处处一样远。圆的东西转动起来，没有一处磕绊。
一个方，一个圆，是古人手里最先握稳的两个形状。
方：四条边相等，四个角都是直角。
圆：圆心到圆周上任意一点的距离都相等，这个距离叫半径。
想一想：为什么地砖多为方形，而车轮一定是圆形？
在纸上，方和圆只是两个形状。
可在古人眼里，圆是天穹的样子，方是大地的样子。
所以「规矩」不只是画图的手艺——它是照着天地的样子，去立人间的样子。
矩尺画出的那个正方，被放进天穹的大圆里。
尺画的方，叠在天的圆上；方与圆的边，在画面里对上了。
人在方里，方在圆里，圆是天地。
同一画面里，站着两种秩序：一种方而正，一种圆而遍。
商高并不急着去量天地。他先说起一件小事。
「把一根矩尺折过来，让两条边分别取三和四，再把两头连起来——连出的那条斜边，正好是五。」
三，四，五。这就是那句传了两千多年的话：勾三股四弦五。
直角三角形里，三条边各有各的名字。
夹着直角的两条短边，一条叫勾，一条叫股；对着直角的那条长边，叫弦。
勾和股的名字可以互换，弦却永远对着直角，也永远最长。
勾——较短的一条直角边。
股——较长的一条直角边。
弦——对着直角的斜边，三条边里最长的一条。
勾与股只是两条互相垂直的边，谁是勾、谁是股，无关紧要；弦却由直角唯一地定住。
商高的办法，一句话就说清了：让勾和股各自乘自己，把两个结果加起来，再开方——得到的就是弦。
拿三和四试一试。
勾2 = 32 = 9 ； 股2 = 42 = 16
9 + 16 = 25 ； √25 = 5
勾2 + 股2 = 弦2
写成一句话：两条直角边各自的平方，加起来正好等于斜边的平方。
三、四、五，并不是孤零零的一组。
再往下找，还能找出一组又一组：五、十二、十三；八、十五、十七；七、二十四、二十五。
每一组里，两个小数的平方和，都正好等于大数的平方。这样的三个数，后来叫「勾股数」。
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132
82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172
72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252
只要两个整数满足这条关系，就能围出一个三条边都是整数的直角三角形。
三与四相加是七，相乘是十二，各自乘再相加是二十五……
几个小小的数，在彼此之间变出这样多的关系，却始终不越出规矩。
数一旦安放妥当，变化就自有它的秩序。
把三乘三的正方形，和四乘四的正方形，并排放在一起。
它们的面积加起来，正好等于五乘五那个大正方形。
不多一块，也不少一块。
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
「刚好填满」不只是算得巧——每一块都不多不少，正合天地给它的分寸。
三国时候，有一位叫赵爽的人，为《周髀算经》作注。
他读着商高那句话，心里想：三、四、五算得对，可为什么一定对？
他不想让人只是相信，他想让人亲眼看见。
于是他画了一张图。后来的人，叫它「弦图」。
先画一个边长是五的大正方形。
再拿四个直角三角形，两条直角边分别是三和四，斜边是五。把它们沿着大正方形的四条边，一个接一个摆进去。
四个三角形摆好之后，中间正好空出一个小正方形——它的边长，是四减三，等于一。
大正方形：边长 5。
三角形：四个，形状相同，直角边 3 与 4，斜边 5。
中央小正方形：边长 4 − 3 = 1。
想知道大正方形有多大，可以把它看成几块拼起来的：四个三角形，加上中间那个小正方形。
一块一块算，再加起来。
一个三角形：3 × 4 ÷ 2 = 6
四个三角形：6 × 4 = 24
中央小方：1 × 1 = 1
合计：24 + 1 = 25
换一条路走。
大正方形的边长就是弦，等于五；它的面积，就是五乘五，也等于二十五。
两条路，都走到二十五。
拆开数：24 + 1 = 25
整边量：5 × 5 = 25
弦2 = 勾2 + 股2
两条路都得同一个数，只能说明：这条关系是必然的，不是三和四碰巧合了。
同一块面积，从这个位置搬到那个位置；搬出去多少，就必然搬回来多少。
不多也不少。
所以真理用不着谁去硬「证明」，它自己就浮了出来。
四块三角形，从大正方形里走出去，又走回来。
位置变了，总面积一点没变，那个等号照样成立。
有去有来，有增有减，最后归于不多不少。
数学说的「面积守恒」，与古人说的「损益」，在这里是同一件事：
有 所 损 → 必 有 所 益 → 总 量 不 变
魏晋时候，有一位叫刘徽的人，来到海边。
远处海上有一座岛，看得清清楚楚，可它在水里，人过不去。
岛有多高？离岸有多远？绳够不着，尺也伸不过去。
刘徽看了看脚边的两根杆子：不必过去，也能量出来。
先立第一根杆子。
从杆顶望过去，让视线正好擦过岛顶，看它落在前方地面的哪一点上，记下来。
再退开一段，立第二根杆子，重做一次，又记一个点。
两次观测之间，差出了一段距离。这段「差」，正是解题的钥匙。
第一次观测 → 地面落点一。
第二次观测 → 地面落点二。
两个落点之间的距离，就是两次观测的差。
「重差」这个名字，就是这么来的：两次取差，再据以推算。
近处的杆子，和远处的岛，被同两条视线框住。
它们构成一大一小两个直角三角形——形状完全一样，只是大小不同。
形状一样，对应边就成同一个比例。
所以，只要量得出近处那个小三角形，就能按比例，算出远处那个大的。
相似三角形：形状相同、大小不同的三角形。
它们的对应边成比例：大边 ÷ 小边，各边都一样。
举例：若近处三角形的每条边，都是远处对应边的十分之一，那么把近处的边乘十，就得到远处的边。
把两次的落点、两根杆子之间的距离、杆子的高度，一起代进去，按比例一算——
够不到的岛高，够不到的岛远，都出来了。
手没有离开岸边，天地却被量了一遍。
第一步：由「两次落点之差」和「两杆距离」，按比例先求出岛的远近。
第二步：再由「岛距」与「表距」之比，把近处的三角形放大，求出岛的高。
小 三 角 形 × 放 大 倍 数 = 大 三 角 形
从一把量方圆的矩，到能测出海岛高远的重差——
「规矩」两个字，慢慢不只指那两件工具了。
它成了「法度」的名字：凡是要把事情做成，先得有一副人人信得过的规矩。
同一条视线，从近处的杆，一直伸到远处的岛。
近处的每一寸，都对应着远处的某一寸。
远近之间，被一条看不见的比例之线，穿了起来。
能穿过远近的，不只是比例。
「规矩」也是这样：它在岸边成立，在海岛也成立；在纸上成立，在人世间也成立。
画一个正方形，让每条边都正好是一。
再从这头到那头，连一条对角线。
这条对角线，有多长？
拿尺子量：比一点四长一点。量得再细些：比一点四一四还长一点。无论量得多细，总觉得还差着那么一点点。
把正方形的对角线，看成直角三角形的斜边。
两条直角边，各是一。
按勾股定理，算一算就好。
弦2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2
所 以 弦 = √2
√2 读作「根号二」，就是那个「平方以后等于 2 的数」。
试着用小数去找它。
一点四，平方是一点九六，小了；一点五，平方是二点二五，大了。
再往中间挤：一点四一四，平方是一点九九九三九六，还是小一点；一点四一四三，平方是二点零零零一八九，又大一点。
每多算一位，都更近一点。可永远差着那么一点点。
1.42 = 1.96 < 2
1.412 = 1.9881 < 2
1.4142 = 1.999396 < 2
1.41432 = 2.000189 > 2
左边一个数、右边一个数，把它越夹越紧，却永远夹不到正好那一点。
能不能用一个分数，来写这条对角线？
两个分数相乘，得到的一定还是分数。可是二这个数，没有任何一个分数，平方以后能正好等于它。
所以这条对角线的长度，根本不是分数写得出来的。它是一类新的数。
想用分数 p ÷ q 写出它，就会推出「一个偶数同时又是奇数」这样的矛盾——说不通。
结论：√2 不能写成两个整数之比。后来的人把这一类数，叫作无理数。
（此页给高年级：明白「说不通」就够了，严格的证明，等以后再学。）
一根一尺长的木棍，每天取走一半。
第一天取走一半，第二天取走剩下的一半……这样取下去，取一万代也取不完。
量不尽的对角线，和取不完的半根木棍，说的是同一件事：有限的天地里，藏着无限。
规矩能量出方，能量出圆，能量出海岛的高远——
可面对一条小小的对角线，它忽然「量不尽」了。
工具没有变。是天地，比工具大。
知道「到此为止」，不硬把量不尽的东西说成量得尽——这是一种更深的明白。
有 限 的 工 具 ↔ 无 限 的 数
这一册，从一根绳讲起。
绳是软的，能弯成任何形状——像还没有答案的未知。
后来有了矩，能定出笔直的直角——未知，有了确定的落点。
再后来有了弦图，四个三角形围成一个整体——散开的，合拢了。
绳、矩尺、弦图。这一册走的，就是这三步。
三、四、五，这三个数字，走过三个人的手。
商高用嘴，把它们说了出来；赵爽用笔，把它们画了出来；刘徽用一根杆子，把它们推到了海上。
三个数字从来没有变过。变的是人——一次比一次更懂它们。
这大约就是「学问」的样子。
这个问题，书里没有给答案。
画完方，画完圆，量完海岛，量完对角线，也许自己就会明白一点。
不用尺，不用矩，只用一根绳，就能打出一个标准的直角。
因为 3、4、5 是一组勾股数，所以按这个比例围出的三角形，一定是直角三角形。
把赵爽那张图，亲手做一遍。
这一步一步拼出来的，正是勾股定理的一次证明。
这条规律，不止中国发现了它。
西方把它归给毕达哥拉斯，叫作「毕达哥拉斯定理」；中国叫它「勾股定理」，商高讲起它的年代，还要更早。
同一件事，不同地方的人各自想到了——这不是巧合，是它本来就在那里。
盖房子要放直角，量距离要算斜边，导航要算航程，屏幕上的每一帧画面，都在算两个点之间隔了多远。
两千多年前商高讲的那件小事，今天还在被用着，一刻也没有停。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：勾股定理从「算得对」走到「看得见」——商高给出关系，赵爽用弦图给出证明，刘徽把它推到测量。
暗线（青绿）：「规矩」二字，从两件工具，慢慢长成法度。
· 先读故事层，不必急着讲算式；
· 数学层适合高年级孩子慢慢看，算式可以动手验算一二；
· 四页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 把四块三角形搬来搬去，为什么就能证明一件事？
背后是「不变量」的思想：位置会变，总量不变。
二 「规矩」为什么从两件工具，变成了「法度」？
因为量天地要用它，立人间也要用它——同一副标准，管着两件事。
三 「量不尽」为什么不是失败？
知道在哪里停下，不把无限硬说成有限，是一种更清醒的明白。
《中国古代数学故事绘本》 第 02 册
勾三股四 · 丈量天地