天下的难题，多得像秋天的谷粒：量田、换粮、分钱、摊役……每一件都不一样，每一件都得算。
两千多年前的汉家人，做了一件安静而了不起的事：把这些难题分门别类，装进九个抽屉。这一册书，就讲这只柜子怎么立起来。
全书分五幕：从一本没有作者的书讲起，到一张分不完的饼，再到一座九格的柜子；然后学一招「先猜一次再猜一次」，最后看分类这门手艺，怎样把天下变小。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
汉家的天下很大，天下的事更多。
田要量，粮要换，徭役要摊，钱要分；官仓里一进一出，账册上的数目像谷粒一样，数也数不完。
每一件事都得算，每一件事好像都不一样。
官仓的一角，立着一只木柜。
柜子不高，三纵三横，一共九格。每一格里，静静躺着几卷竹简。
天底下数不清的难题，就睡在这九格里——而且，每一格都睡得整整齐齐。
把杂多的事，装进九个格子——这件事听上去平平无奇。
可是天下人被难题难住，往往不是因为不会算，而是因为不知道这一题跟哪一题是一家人。
先把这个念头记住。答案，要等到第五幕。
汉家长安的郊外，有一座大官仓。仓里管账的书吏，世代相传。
这一年，仓里来了个少年，名叫阿禾。带他的老书吏指着案上堆成小山的竹简，说：
「这些都是题。量田的、换粮的、分钱的、派差的——一件一件，全得有人算。」
阿禾问：「这么多题，是谁出的？」老书吏笑了：「田埂上出的，粮仓里出的，工地上出的——没有作者。」
老书吏把一捆捆竹简摊开，让阿禾做第一件功课：分堆。
「量田亩的放一堆，算粮米互换的放一堆，摊派差役的放一堆……」
分到后来，案上出现了九个整整齐齐的堆。乱麻一样的难题，忽然都各自有了去处。
把东西按照一个共同的标准分开摆放，叫作分类。
分堆之前，先要立一个「标准」：按事情的性质分？按要用的算法分？标准不同，分出来的堆就不同。
汉家书吏选的标准是——这一题要用哪一条术（算法）来解。
杂 题 → 立 准 则 → 各 归 其 类
九个堆，后来有了九个名字，就是《九章算术》的九章。
全书二百四十六道题，配二百零二条术。一道题只讲一件事，一条术却管一类题。
阿禾数完，忽然明白：这本书真正的宝贝，不是那一堆题，而是那些短短的「术」。
方田——田亩面积，兼讲分数四则（38 题）。
粟米——粮米按比例互换。衰分——按比例摊派。少广——开方。
商功——筑城体积。均输——赋税徭役的均摊。盈不足——双设法。
方程——线性方程组。勾股——直角三角形测量。
这本没有作者的书，有两位「园丁」。
汉初，张苍把散落的旧题收集起来，删去重复，补上缺漏；一百多年后，耿寿昌又在官任上增删整理，定下九章的目次。
一代一代人往里添题、提炼术文，像农人一年一年往仓里添谷。
整理一本题集，靠的是三步：
收集——把散见的题搜拢到一起；
分类——立标准，把题归入九类；
提炼——从每类题里，抽出那条共同的术。
收 → 类 → 通
在荀子看来，天下的「物」本来就是一个大共名——最大的那一类。
往下分，一类里再分小类，一直分到不能再分为止；往上并，小类并成大类，一直并到不能再并。
分与并，是同一件事的两个方向。
九个格子，装的是九类事；可九个格子，又并成同一只柜。
分的时候，一格一格，条理分明；合起来看，一柜之内，天下的事。
分类的人，一只手在分，另一只手，其实一直在合。
同一画面里，站着两种眼光：一种把杂多分开，一种把分开的看成一个整体。
仓里的少年不止阿禾一个。邻家两个孩子分一张饼，分到一半，吵起来了。
一个说：我拿这张饼的二分之一，再添上它的三分之一；一个说：不对，添在一起明明是六分之五张，哪有你说的「五分之几」！
两个人一起跑来找老书吏评理。
老书吏不先讲算，先让阿禾把一条布带折一折。
折成两段，一段就是二分之一；折成三段，一段就是三分之一。分成的份数一样多，每份才一样大——「分」，先得分得均匀。
分数，就是把一个整体均匀切分之后，取出其中几份的说法。
把整体均分成 n 份，取其中的 a 份，记作 a/n：
分母——分成了几份（在下）；分子——取了几份（在上）。
分母相同，份才一样大；分母不同，每份的大小就不同——这正是两个孩子吵起来的原因。
分 母 定 大 小 · 分 子 定 多 少
老书吏取来两张纸：一张折成两份，一张折成三份。
「一份二分之一，一份三分之一——份大小不同，怎么直接相加？」
把两张纸摞在一起压出格线：两份与三份交错，正好把整张分成六小份。二分之一变成了六分之三，三分之一变成了六分之二——份一样大了，才能相加。
通分：把分母不同的分数，化成分母相同的分数。
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
合分术：「母互乘子，并以为法」——分母互乘各分子做新分母，分子相乘做新分子，再相加。
通分之后，加、减都是分母不动、分子相加减。
分饼的事刚了，又来一桩：三人合伙买绢，每人出钱二分之一贯，事后要退回其中三分之一——该退多少？
老书吏仍旧铺纸：先纵着分成两份，取一份；再把这份横着分成三份，取其中一份。纵横一交错，纸上出现了六个小格，要退的正是其中一格——六分之一。
乘分术：分数相乘，分母相乘做分母，分子相乘做分子。
1/2 × 1/3 = 1/6
「份额的份额」，分母越乘越大，每一份反而越来越小。
除以一个分数，等于乘它的倒数：1/2 ÷ 1/3 = 1/2 × 3/1。
通分这件事，说穿了只有一句：先把份做成一样大，再谈多少。
天下的道理常常如此——两样东西要相比，先得站在同一种「份」上。尺与尺比，寸与寸比；类与类比，群与群比。
不同的类硬放在一起，是吵不出结果的。那两个孩子吵的，其实就是这一句。
折痕划开的地方，纸有了公共的份；类划开的地方，世界有了共同的尺。
带上的格，雾中的群，在画面里悄悄对上了。
能把不同的份变成同一种份的手艺，古人给它起了个名字，叫通。
同一画面里，站着两件事：算术里的通分，与世间的分类——都要先找到公共的尺度。
这天，猎户送来五只鹿，说是县里五个人合伙猎的：大夫、不更、簪褭、上造、公士——五个人，五个爵位，高的高、低的低。
鹿怎么办？平分，爵高的人不服；全给爵高的，其余四人不服。
老书吏展开简册：「这样的题，仓里每年都要办几百件。翻开衰分那一格。」
「衰分」，就是按等级差列来分——爵位高的多分些，低的少分些，但要有章法。
老书吏摆下五束筹：五枚、四枚、三枚、二枚、一枚，对应五个爵位。五束共十五枚，五只鹿对十五份——每枚筹，摊三分之一只鹿。
衰分术：各置列衰（列出演算的比率），相并做除数，所分之数乘各自比率做被除数。
比 率 5 : 4 : 3 : 2 : 1 总 15
大夫：5 × 5/15 = 1⅔ 鹿 不更：4 × 5/15 = 1⅓ 鹿
簪褭：3 × 5/15 = 1 鹿 上造：2/3 鹿 公士：1/3 鹿
五份相加，不多不少，正好五只鹿。
衰分之所以行得通，靠的是一个更老的法子——比例。
粟米章里，粮与米互换；商功章里，工与程相折。凡是两样东西之间有一个不变的「折算率」，就互成比例。
斗、升、合，是量；率，是量背后的那根线。
率：两个量之间固定的倍数关系。粟率五十、粝米三十——五十斗粟，总能舂出三十斗粝米。
比例的用处：换算（今有术：所求率 × 所有数 ÷ 所有率）与分配（衰分：按比率摊派）。
「今有术」，就是今天的比例式解法。
郡县要征徭役，各县路程远近不同、户数多少不同——怎么摊才公道？
老书吏翻出均输一格：路远的少出些人，户多的多出些力，按「户 × 路」的比率把总役摊到各县。
衰分管「按等级分」，均输管「按条件摊」——同一副比例的骨架，穿上了不同的衣裳。
均输术：以各县户数与路程之比为准，折算出各县的摊派额，使劳役整体均衡。
户 多 × 路 远 → 摊 得 多
分的原则只有一条：摊下去的每一份，都有明明白白的依据。
分东西，最怕的不是分得少，而是分得不公。
衰分、均输这些术，说到底是在回答同一件事：怎样让「不一样」的人，得到「有依据」的份额，人人都服气。
比例，是算术里的公道。
阶梯上的每一束筹，对应雾里的每一颗星。
比率立在哪里，公道就跟到哪里；类分到哪里，尺度就量到哪里。
仓场的分与天下的分，用的是同一根线。
同一画面里，站着两件事：算术里的按比分配，与世间的公平——都要求一个「有依据」。
集上有一件好物，几个人合伙要买。第一回各自出八钱——多了三钱；第二回各出七钱——又不够四钱。
人数不知道，物价也不知道。两个都不知道的题，怎么下手？
阿禾挠头。老书吏说：「猜。」
猜，也要猜得有章法。老书吏把两次猜的结果，各写成一行：
第一行：出八，盈三；第二行：出七，不足四。
盈，是多出来的；不足，是还欠着的。一盈一不足，像天平的两端，各自称过了一回。
盈不足术第一步：把两次假设的结果并排列出——
人出 8 盈 3 ｜ 人出 7 不足 4
这种把未知问题先假设两次、记下盈亏的设法，古称双设法。它把一道「不知道」的题，变成了两行「已知道」的数。
两行数摆好，答案其实已经藏在里面。
每多出一钱，账上就少欠一钱：从「盈三」走到「不足四」，一共要走七钱的路；而每人的出钱只走了一钱——所以是七个人。
人数一定，物价随之而出：五十三钱。
人数＝（盈＋不足）÷（两次出钱之差）＝(3+4)/(8−7) = 7 人。
物价＝（盈 × 不足 + 不足 × 盈 …… 以交叉相乘取其和）＝8×4 + 7×3 = 53。
验一验：七人各出八钱，五十六，多三；各出七钱，四十九，欠四。分毫不差。
两 次 猜 → 交 叉 相 乘 → 正 好 的 数
盈不足的妙处，不止会解买物这一类题。
瓜长、蒲生，一天长一尺一天长三尺，何时相遇？油自和漆，本折相问——凡是一时看不出路数的题，都可以先假设、再校正，两把尺子量出真数。
老书吏说：术不怕少，怕的是不能通用于类。
盈不足的本质是假设—校正：先任取两个答案试算，用盈亏两条信息反推出真值。
对一次变化均匀的题，两猜即中；对变化不匀的题，也能步步逼近——这个思路，今天叫「迭代」。
假 设 → 试 算 → 校 正 → 复 始
先比拟，再说话；先商议，再行动。
盈不足术做的，正是这件事：不敢断言，就先拟两个假说，让事实来裁决。
猜，不是胡来；猜过之后校正，猜就成了法。
两把尺子，量的是同一样东西；两个假设，指向的是同一个真数。
虚线在雾中交会的地方，答案亮了。
分而能合，猜而能中——这是分类的手艺，也是分类的心法。
同一画面里，站着两件事：算术里的双设法，与处世中的拟议而行——都相信「先试，再断」。
年复一年，九个格子满了。
二百四十六道题，各归各位；二百零二条术，写在各类之后。竹简编连成册，题作——九章算术。
阿禾捧着编好的书简，问老书吏：「分类，为什么就能管住天下这么多的难题？」
老书吏没有立刻答。他说，这一问，值得用一生去想。
老书吏取来两道题：一道量方田，一道量圭田——田形不同，算法却都是「半广以乘正从」。
「同一类的事，共用同一条术。题目千变万化，类是不变的。」
学会一条术，等于学会了这一类题里的所有题。
类：具有同一种结构、可用同一种方法处理的问题的集合。
同属一类的题，形式可以千差万别，骨架却相同——所以一条术能管一类题。
类 不 变 → 术 可 通
这叫以类行杂：拿类，去行走于杂多。
「方田」一格，起初只管田；后来管一切要算面积的东西。
「粟米」一格，起初只管粮；后来管一切按率互换的东西。
格子的名字，起得越具体越容易懂；格子里的道理，却越用越广。抽象，就是给格子换一个更大的名字。
抽象：丢开题目里的具体外衣，只留下结构与关系。
「田的面积」→「图形的面积」→「量与量的运算」——每一次改名，格子就大了一圈，能装的新题就多了一层。
具 体 → 抽 象 → 更 广
有一年，来了几道新题：几个人合伙分钱不均，要立行立列、正负相消——旧九格里，竟没有一格装得下。
老书吏沉吟半晌，取刀新辟一格，题名——方程。
柜子是死的，分类是活的。类太小了，就长一格。
分类有两个方向：往里收——新题归入旧类，类就被填得更满；往外长——旧类装不下的，另立新类。
「方程」一章，就是汉代人为线性方程组新开的一格——世界上最早的矩阵式解法。
收 得 拢 · 也 长 得 出
二百四十六道题，归入九类；九类题，各配几条术。
以有限的术，御无穷的事——这就是「以类行杂，以一行万」。
秦汉的大一统，不只在车同轨、书同文，也在这一只安静的柜子里：天下的杂事，理应可以被说得清楚。
九个格子，九个世界；合上柜门，天下装进一格之间。
会分类的人，眼里的事再多，也多不到哪里去——因为每一件，他都认得它姓什么。
把问题分类，就已经解决了问题的一半。
同一画面里，站着两件事：算术里的九章分目，与心中的万事万物——都始于肯先分类的那一念。
这一册，从一片杂多讲起。
田埂上的事是杂的，谁也数不清；题搬进官仓，还是杂的，堆成了山。
直到有人立起标准，把题分作九类，题才有了家——杂，变成了类；类，凝成了术。
杂、类、通。这一册走的，就是这三步。
《九章算术》没有作者——或者说，人人都是它的作者。
量田的农人出一道题，管仓的书吏解出一术，张苍收拢它们，耿寿昌订定它们，刘徽为它们写下注文……
一本在田埂与粮仓里长出来的书，最后长成了此后一千多年里，每一个学算之人的第一课。
这个问题，书里没有给答案。
分完田、分完粮、分完盈与不足之后，也许自己就会明白一点：类，既让世界清楚，也让世界有了边界。
不用笔算，只用两张纸、一双手，就能看见「通分」。
叠纸压出的细格，就是两个分母的公共份——公共份找到了，加法才谈得上。
衰分不难，难的是分得让人服气。来分一次家里的果子。
「列衰、副并为法、以所分乘未并者各自为实」——《九章算术·衰分》的口诀，就是这五步。
九个抽屉的思路，今天无处不在。
图书馆给书编号，生物学家给万物分门纲目科属，电脑里的文件一层层装进文件夹——全都是「立标准、归其类」。
连手机相册，也会自动把照片分成人像、风景、美食。
差不多同时代，希腊人欧几里得把知识装进了另一种柜子：不按事情分类，而按道理排序——从几条不证自明的公理出发，一条一条推下去，写成《几何原本》。
《九章》问「这件事怎么算」，《原本》问「这件事为什么必然如此」。一个从用出发，一个从理出发。
两千年后，这两条路在中国相遇了——那是第十册的故事。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：分数四则、衰分（比例分配）、盈不足（双设法）——三条来自《九章算术》方田、衰分、盈不足三章的看家术。
暗线（青绿）：「以类行杂，以一行万」——分类这门思维手艺，如何在秦汉「大一统」的底色上，把天下杂事装进九个抽屉。
· 先读故事层，不必急着讲算式；
· 数学层适合高年级孩子慢慢看，分数四则可以动手验算一二；
· 四页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 通分，为什么是给「不同的份」找一位公共的母亲？
背后是「统一尺度」的思想：先共其类，才可比其数。
二 分类让世界清楚了，它会不会也让世界变小了？
每一类都有边界；被柜子留在门外的东西，值得回头看一看。
三 一本没有作者的书，为什么反而更像「学问」？
学问是无数双手接力做成的——收集、分类、提炼、作注，代代不息。
《中国古代数学故事绘本》 第 03 册
九章以类 · 把天下装进九个抽屉