账上多出来的，是「得」；账上短了的，是「亏」。千百年来，得算数，亏也实实在在。
两千多年前的汉家书吏，做了一件破天荒的事：给「亏」一个正式的座位，让它坐进数的世界。这一册书，就讲这把椅子是怎么搬来的。
全书分五幕：从一笔对不上的账讲起，到两色算筹，再到一张三行四列的方阵；然后学一招「先猜一次再猜一次」，最后看「亏」如何堂堂正正地成为数。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
汉家官仓的账，一年对两次。
入仓多少，出仓多少，一笔一笔，都要对上。可是这一年，阿禾对来对去，总差着一截——账上短了三斛粟。
多出来的数目好记，短了的数目……该怎么记？
汉家人算数，用算筹。三根筹并排一摆，就是三。
可是「亏三」怎么摆？再摆三根筹，那就成了「又是三」，不是「少了三」。
筹会说「有多少」，却还不会说「少了多少」。
天下的数，好像都到齐了：整数、分数，田亩粮仓都用得上。
可是账上那一截「亏」，一直站在门外。
它不是算不出来——是还没有人给它一个名字，一个座位。这一册，就讲它进门的故事。
那年冬天格外冷，官仓的账房里却灯火通明——年终对账，要连对三个夜晚。
阿禾报数，老书吏核账：「入仓粟一千二百斛，出仓粟一千一百九十七斛……」
对到最后，两本账合不上：仓里的粟，比账上算出来的，少了三斛。
阿禾盯着那行数字，忽然问：「师父，少掉的这三斛，记在哪里？」
老书吏不急着回答，先带阿禾到仓门口站了一会。
「看那两辆车。一辆往仓里送，一辆往外出。都是三斛粟——它们一样吗？」
阿禾摇头。数目一样，方向不一样。
数量除了大小，还有方向。
入仓三斛与出仓三斛，大小相同，方向相反——这样的一对量，叫作相反的量。
入与出、收与支、进与退，人间的量，成双成对地相反着。
入 三 斛 ⇄ 出 三 斛
回到案前，老书吏用筹演给阿禾看。
「同向的量，并在一起，越并越多；反向的量，碰到一起，就互相抵消。」
一进一出，一收一支——抵消之后，剩下的才是账的真相。
相反的量相并，规则只有两条：
同向相并——方向相同的量，大小相加；
反向相抵——方向相反的量，大小相减，剩多剩少，随多的那方。
入五斛、出三斛，相抵剩入二斛；入三斛、出五斛，相抵剩出二斛。
同 向 并 · 反 向 抵
老书吏把筹推到阿禾面前：「来，把『亏三斛』摆出来。」
阿禾摆了三根，收回来，又摆上去——怎么摆，都是「三」。
筹能摆出「有三斛」，却摆不出「少三斛」。方向这样要紧的东西，竟没有记号。
一个记号要立得住，得能三件事：
叫得出——有一个名字；
摆得出——有一种摆法；
算得动——能加减，能继续参与运算。
「亏」此时三样都缺。缺的不是聪明，是一个约定。
叫 得 出 → 摆 得 出 → 算 得 动
古人看天地，从来是成双地看：昼与夜，生与成，屈与伸。
阴不是「没有阳」，阴是另一种实在；失不是「没有得」，失是另一种所得。
相反的两者站在一起，才撑起完整的一。
仓门开着，粮车进去，粮车出来。
同一扇门，迎与送；同一斛粟，入与出。
数账的人两只手都要用：一只手记「得」，一只手，记「失」。
同一画面里，站着两种眼光：一种只看多少，一种还看方向。
第二天一早，老书吏从柜里取出一只小木盒，打开来——两色算筹，静静躺在里面。
「从今天起，立个约定。」他说，「赤筹记得，黑筹记失。赤为正，黑为负。」
阿禾取出一根黑筹，轻轻放在案上。那一刻，天下的「亏」，第一次有了自己的名字。
有了两色筹，正负数的减法，就在案上摆出来了。
赤五减赤三：同色的相抵，剩赤二。赤三减赤五：抵完了还不够抵，欠下的二，记作黑二。
赤五减黑三：一赤一黑，本就反向，抵不拢，索性并作一处——成了赤八。
减法口诀（今译）：
同号相减——符号相同，绝对值相减；
异号相加——符号相反，绝对值相加，符号随被减数。
减去一个负数，等于加上它的相反数：赤五减黑三，得赤八。
同 号 减 · 异 号 加
加法也一样在案上摆。
赤三加黑五：反向的三根对抵五根，抵完还剩黑二。黑三加黑五：同向的并作一列，黑八。
阿禾摆完，忽然觉得这规矩眼熟——这不是仓门口那一进一出吗？
加法口诀（今译）：
异号相减——符号相反，绝对值相减，符号随绝对值大的一方；
同号相加——符号相同，绝对值相加，符号不变。
减法与加法，说的是同一件事的两面：正负相消，多少立见。
异 号 减 · 同 号 加
有了两色筹，那笔对不上的账，终于能记了。
昨日亏四斛，今日入七斛；明日又要出九斛，后日入五斛——阿禾一笔一笔摆，一色一色抵。
三个晚上对完的账，如今一个时辰就清清楚楚。
把账记成今天的写法（盈记正，亏记负）：
亏四、入七：−4＋7＝＋3（今盈三）；
又出九：＋3−9＝−6（今亏六）；
再入五：−6＋5＝−1（仍亏一斛）。
负数一旦进门，账就不必再「欠着说不清」——一路算下去，笔笔有归。
−4＋7−9＋5＝−1
《周易》六十四卦，有一卦就叫「损」。
损，不是单纯的失去。湖底沉一块石，水面反而漾出光环——减损一处，成全另一处。
损与益，从来携手同行。
案上，赤筹与黑筹并排躺着。
从前，账房只认赤不认黑；如今两色同案，谁也不欠谁。
记「得」的那只手，从此也名正言顺地，记「失」。
同一画面里，站着两种眼光：一种把「亏」当麻烦，一种把「亏」当数。
这年秋收，上等、中等、下等的禾都要核产。管田的官吏出了这样一道题——
上禾三捆、中禾二捆、下禾一捆，打粮三十九斗；上禾二捆、中禾三捆、下禾一捆，打粮三十四斗；上禾一捆、中禾二捆、下禾三捆，打粮二十六斗。
问：三种禾，一捆各打粮多少？
三件事缠在一处，一根筹也算不动。阿禾看着题，半天没落子。
老书吏教阿禾一个新摆法：不摆成行，摆成列。
三道条件，布成三列；每列四根位，三种禾的捆数占三格，得的粮数占一格。
纠缠的三件事，被端端正正码在案上——像一座小小的数之城。
三个条件，三列筹（今写成表格）：
上 3｜2｜1
中 2｜3｜2
下 1｜1｜3
实 39｜34｜26
竖着看是一列条件，横着看是三种禾的「底细」。这样的长方数阵，「方程」二字的本义就是它。
布好了阵，开始拆城。
老书吏的口诀只有八个字：遍乘、直除。
先把中间一列整个乘上二，让它头顶的上禾数，与右列看齐；然后整列去减——上禾的数，两两相抵，一次消净。
再看左列，照样乘、照样减。三个未知数，就这样被一个一个请出阵外。
消元的两步：
遍乘——把一列整体乘一个数，使它与另一列的某个位置看齐；
直除——整列连减，把那个位置直接减成空位。
空位，就是「这一个未知数被消去了」。三列消成两列，两列消成一列。
遍 乘 → 直 除 → 位 空 而 消
阵消到最后，只剩最左边短短一列：下禾三捆，实二十六斗——不，消到最后，是一根独筹，孤零零立着。
它说：下禾一捆，实二斗有零。阿禾报出这个数，再倒着推回中禾、上禾——三捆禾的底细，全部现形。
缠成一团的题，被一层层拆开了。
消尽之后回代，三禾各得一捆之实：
上 禾 一 秉 · 实 九 斗 又 四 分 之 一
中 禾 一 秉 · 实 四 斗 又 四 分 之 一
下 禾 一 秉 · 实 二 斗 又 四 分 之 三
这就是《九章》给出的答案，与案上分毫不差。
求学问，一天天增加；求道，却要一天天减损。
减去缠扰，减去冗杂，减到无可再减——事情的本相，反而亮了出来。
案上那座筹之城拆到最后，剩下的那一根独筹，就是这道题的「道」。
消去，不是丢弃。
每消一层，是为了看得更清一分；每拆一座城，是为了留住城里真正的珠子。
会消去的手，也是会留住的手。
同一画面里，站着两种眼光：一种数着消去了多少，一种盯着留下了什么。
这天阿禾到市集办事，正遇上一伙人围着一口新铸的铜鼎议论。
「众人凑钱买它。每人出八文，凑齐了还多三文；每人出七文，又差四文。」有人犯了难，「到底是几个人？鼎价几何？」
出八文的多，出七文的少——多与少之间，答案藏着。阿禾蹲下来，在案上摆开了筹。
盈不足术的头一步，出人意料：先不去求答案，先去猜。
第一次猜：每人出八文——比实价多了三文，盈三。第二次猜：每人出七文——差了四文，不足四。
一次猜多，一次猜少。两次都落了空，可这两次落空，本身就是线索。
双假设法的架子：
假设一——每人出八文，得「盈三」；
假设二——每人出七文，得「亏四」。
盈与亏，是两次猜测与真价之间的两段「距离」。有了两段距离，真价就夹在了中间。
猜 一 次 · 盈 · 猜 二 次 · 亏
把两段距离摆上线：盈三，亏四，合起来一段七。
两次猜的钱数，八与七，相差一。每差一文，账上就拉开一文的距离——七个距离，正是七个人。
人数有了，鼎价随之而出：五十三文。集上的难题，就此两讫。
盈不足术（今译）：
人数＝（盈＋亏）÷ 两次出钱之差＝（3＋4）÷（8−7）＝7 人；
物价＝7 × 8 − 3 ＝ 53 文。
验一验：七人，出八多三，出七少四——分毫不差。
（盈＋亏）÷ 两 假 之 差 ＝ 人 数
阿禾又遇一题：墙高九尺。墙头生瓜蔓，一日长七寸，垂着往下；墙脚生瓠蔓，一日长一尺，攀着往上。
几日相逢？
照老方子：先猜五日——两蔓共长八十五寸，差五寸，不足；再猜六日——共长一百零二寸，多出十二寸，盈。
盈亏一摆，相逢之日自己走了出来。
双假设再来一次：
假设一：五日，共长 5 × 17 ＝ 85 寸，不足 5 寸；
假设二：六日，共长 6 × 17 ＝ 102 寸，盈 12 寸。
日数＝（5 × 6 ＋ 12 × 5）÷（5 ＋ 12）＝ 90/17 ＝ 五日又十七分之五日。
瓜 瓠 相 逢 · 九 十 寸 之 程
月有盈亏，潮有涨落。盈到极处便亏，亏到极处又盈。
古人不说「盈是好，亏是坏」——盈有盈的时刻，亏有亏的时刻，跟着时势走的，才是道。
一案的盈亏摆上线，盈与亏谁也不欺负谁，合起来指认真相。
猜多了三文，猜少了四文——两次都错了，两次都没白猜。
盈亏夹着真价，多寡夹着真数。
肯猜错两次的人，往往比一次就想猜中的人，离答案更近。
同一画面里，站着两种眼光：一种怕错，一种把错用成线索。
三年过去，阿禾已能独当一面。这天他问老书吏：「黑筹记的『亏』，到底算不算一个数？」
老书吏没有直接答。他打开那只从不轻开的黑筹匣，取出一根黑筹，端端正正，摆进了数的行列。
「从今往后，」他说，「它有名字，叫负；有座位，在数的家里。赤黑两班，同殿称臣。」
负数进门，数的世界一下子宽了。
从前算不通的账，如今一路通到底；从前减不开的算式，如今减出结果照样能用。
数的世界，不是一次盖成的，是一间一间添出来的。
数的世界，三次扩容：
整数——记「有多少」；
分数——记「分不完」，一尺之棰、半分再半；
负数——记「方向与亏」，得失从此对称。
整 数 → 分 数 → 负 数
负数这门亲事，各家应允得有早有晚。
汉家算师最先迎它进门；七世纪，印度算师也给了它名分；而在欧洲，直到十六世纪，还有大学者管负数叫「荒谬之数」。
一件本来明白的事，要走一千多年才能被所有人明白。
负数的「正名」之路：
公元前一世纪前后——《九章算术》立正负术，定义与法则齐备；
628 年——印度婆罗摩笈多以「财产与债务」解说正负；
17 世纪——笛卡尔立坐标系，负数有了图上的家，欧洲才普遍接受。
如今再看，负数早就不稀奇了。
冬天清晨的温度计，电梯里的负一层，游戏里扣掉的血量，账本上的支出栏——黑筹无处不在，只是换了衣裳。
汉家书吏当年在案上立的那个约定，今天还在替天下人记账。
负数住在这些地方：
温度——零下五度，记 −5 ℃；
位置——地下二层，记 −2 层；海平面以下，记负海拔；
收支——支出记负，余额为负即透支。
凡有相反方向的量，就有负数的座位。
−5 ℃ · −2 层 · −100 文
数的世界不设围墙。
田里量出了分数，账上逼出了负数——世上每添一种新事，数的世界便添一间新屋。
数跟着事生长，就像庄稼跟着时令。这，就是「生生」。
案的这一头，赤筹记着收成；案的那一头，黑筹记着亏空。
从前隔案的两位，如今同桌而坐，一起把天下的账算完。
承认「亏」也是数的那一刻，数才真正把人间看全。
同一画面里，站着两种眼光：一种只要「有」，一种连「亏」也收留。
回望这一册，是一条线串起的三站。
仓门口，先看清了「量有方向」；案桌上，两色筹给「亏」立了名分；九格柜里，纠缠的未知数被一层层消去，而盈亏两次假设，把藏着的真数夹了出来。
从一进一出，到赤黑同桌——「亏」走完了一条完整的路。
负数是数的世界里一位「早到的客人」。
汉家算师在案上给它正名的年代，别的许多地方还在把它拒之门外。千年之后，它才被普遍欢迎——而那时它的名字，早已写在竹简上了。
学问不怕早到，只怕没有人肯为它开门。
这一册留一个问题。
赤与黑，盈与亏，都有了座位。可是在它们的正中间，还站着一个沉默的数——不盈不亏、得失相抵的那一位。
古人摆筹时，只用「空位」安顿它；给它正式的名字与记号，又是很久之后的事。它，是谁？
老书吏的案上功夫，家里也做得。
材料：红色与黑色的小棒（火柴棒、豆子、围棋子都行），一张白纸当「案」。
一 约定：赤为正，黑为负——这是本册最要紧的一个仪式，郑重地立。
二 摆「赤五减黑三」：红五根与黑三根相向而列，反向不相抵，并作一处——红八。
三 摆「赤三减赤五」：红五根对抵红三根，抵完还欠两根——欠的记黑二。
四 自出一道账，用两色筹算到底。
阿禾的账法，家里也用得上。
画一张两栏账页：左栏记「得」，右栏记「失」——把这一周的收支，一笔一笔记下来。
一 每天的进项记正数，花销记负数（单位自定：零花钱、积分、分钟都行）。
二 每晚「相抵」一次：把当日各笔加起来，看余额是正是负。
三 周末总结算一次。若合计出现负数——恭喜，黑筹便在家中案上正式落座。
四 想一想：下周怎样让合计回到正数？这就是「与时偕行」的家政版。
正 / 负——得失相反的两个方向。汉家以赤、黑两色算筹为记：正算赤，负算黑。
正负术——《九章算术》「方程」章所立正负数加减法则，是世界上最早的负数运算法则。
方程（本义）——列筹成方、程式分明：把多个条件布成长方数阵。今天「方程」一词即源于此。
遍乘 / 直除——方程术消元二步：整列乘一数使两位看齐（遍乘），整列连减消去其一（直除）。
盈 / 不足——假设值与真值相较，「多出来」叫盈，「差着」叫不足（亦作亏、肭）。
盈不足术——双假设法：猜两次，借盈亏两段距离夹出真数。
秉——捆。禾一秉即禾一捆。实——打得的粮，题中被求的总数。
方程术＝线性方程组的消元法，与今天的高斯消元法思路全同，而早出一千七八百年；正负术使消元中「减不开」的局面一律可行——负数正是被「解方程」的需要请进门的。
张苍（汉初）——收集删补先秦旧题，《九章》的早期整理者之一。
耿寿昌（汉宣帝时）——大司农中丞，再度整理定目，《九章》定型于此际前后。
刘徽（263 年注《九章》）——注中明言「正算赤，负算黑」，并阐明「两算得失相反」的负数本义。
婆罗摩笈多（628 年）——印度算师，以「财产与债务」系统解说正负数运算。
笛卡尔（17 世纪）——立坐标系，负数在数轴与平面上有了几何的家。
《九章算术》——本册三术的源头；《周易》——「一阴一阳」「损益盈虚，与时偕行」；《老子》——「损之又损」。
两色算筹退休了，黑筹的差事却越派越多。
天气预报里的零下刻度、电梯的负一楼、银行卡的透支额、游戏里的扣分、地理书里的海平面以下——凡有「相反方向」，就有负数当值。
找一个家里的负数：温度计的零下刻度，或电梯的负一层按钮。
想一个问题：为什么海拔用海平面作「零」，温度却把水的冰点定作零？
——「零」立在哪里，是人的约定；立在哪，哪里的正负才说得清。
那座案上的筹之城，后来走了很远。
七世纪，它以「矩阵」的模样重现在东方与西方的算书里；十九世纪，高斯把它磨成了标准的消元法；今天，导航定位、图像处理、统计预测——凡「多件事纠缠求多个未知数」的地方，都有它在拆局。
手机地图定位，就是一道方程组：
到三颗卫星的距离各是一个条件——三个条件，三个未知数，布成方阵，消元求解。
汉家书吏的「遍乘直除」，此刻正在天上的卫星与掌上的方寸之间，日日上演。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：负数的定义与加减法则（正负术）、线性方程组的消元法（方程术）、双假设法（盈不足术）——三条出自《九章算术》的看家术。
暗线（青绿）：「阴阳损益，与时偕行」——得失相反、损中有益、盈虚有时，中国哲学对「相反相成」的洞察，恰是负数得以早早登门的土壤。
· 先读故事层，不必急着讲算式；
· 数学层适合高年级孩子慢慢看，正负加减可以摆豆子或围棋子亲手验一验；
· 四页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 「亏」为什么非要一个名字不可？
不给名字，账只能记一半；给了名字，相反的方向才都进了算术——命名即扩容。
二 先猜两次、再夹出真数，这样的解法「笨」吗？
盈不足不设符号也能通解一大类题；「肯试错」本身就是一种算法思想。
三 不盈不亏的那一位（零），为什么最难有座位？
正与负是「方向」，零是「原点」——先约定零立在哪里，正负才说得清。
《中国古代数学故事绘本》第 04 册
损益消长 · 亏，也是数
明线：正负术 · 方程术 · 盈不足术
暗线：阴阳损益 · 与时偕行
时代：西汉（约公元前二世纪至前一世纪）
主典：《九章算术》方程章、盈不足章；《周易》损卦；《老子》第四十八章
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
全套十册，依历史时序，自先秦至明清。本册为第四册。