方田、直田，用尺一量就知；唯有圆田的周长，量来量去，总差着一点。尺是直的，圆的边却是弯的。
一千七百多年前，三国时有一位算师叫刘徽，想出一把「不用量的刀」：他要「割圆」——用越来越多条直边，一步一步，把圆围起来。这一册，就讲这把刀，和它割出来的那个数。
全书分五幕：从「量不出的圆」讲起，到边数一层层翻倍；然后遇见一个写之不尽的数，再看两百年后祖冲之如何把它算得更细，最后停在「圆『是』的那一瞬间」。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
从前丈量田地，方田最好量：长多少、宽多少，一乘就得了。
圆的田最难量。绕着它走一圈，量出周长；可周长到底准不准，谁也说不好——因为量它用的，是一把笔直的尺。
直尺量弯线，就像用一根硬棍去描一条河——描得再仔细，也总差着一点。
老规矩说：圆的周长，是直径的三倍。古人叫它「周三径一」。
三倍就三倍吧——量田、算粮，凑合着够用。
可刘徽不满足。他隐隐觉得：这个「三」，怕是不对的；真正的那个数，比三大，可大多少，说不上来。
世上的数，大多是「说得清」的：三个、五斗、七分。
可圆里面，藏着一个「说不清」的数——它比三多一点，比三点二少一点，一层层剥下去，永远还有下一层。
这一册，就讲人们怎样与它周旋。他们始终没能把它写尽，却把它越逼越近——近到看不出分别。
那年刘徽为《九章算术》作注，写到「方田」章。方田、直田，一量便知；写到圆田，他搁了笔。
案上的直尺，搁了很多天。邻家来研墨的孩子阿圆凑过来看，忍不住问：
「先生，这圆，为什么量不出来？」
刘徽把尺子递给她：「来，量量看。」
阿圆把尺子贴上圆的边。贴住这一头，那一头翘起来；按住那一头，这一头又翘起来。
「量不准，对不对？」刘徽说，「尺是直的，圆的边是弯的。用直的，量不出弯的。」
圆的周长是一条曲线，而尺子只能量直线段。
拿一段直的去顶一段弯的，中间总夹着一小块——古人叫它「弧矢」（弓形的缝隙）。缝越大，量得越不准。
于是古人退而取一个约数：周长约是直径的三倍，记作「周三径一」。
C ≈ 3 d
阿圆泄了气。刘徽却笑了：「量不出圆，那就别量圆——我们量别的东西。」
他提笔在圆里画了一个正六边形：六个顶点，都落在圆周上。
「这六条边是直的，直的好量。再看——它像不像圆了？」
在圆内画一个正六边形，它的周长由直线段组成，能量得准。
有趣的是：正六边形的边，正好等于半径。
于是它的周长＝六条半径＝三条直径——正好就是古人的「周三径一」。
六 边 之 周 ＝ 三 径
「六条边太少，还是方头方脑的。」刘徽添了几笔，「那就十二条。」
十二条边一画，边更短了，折线更贴圆了。
阿圆眼睛一亮：「那……再翻一倍呢？」
把正六边形的每条边对半再分，就得到正十二边形；再分，得正二十四边形……
边数越多，每条边越短，多边形的轮廓就越贴近圆。
而最要紧的一条：边长是直的，每一步都算得出来。用一堆可算的直边，去围一个不可算的圆——这就是刘徽那把「刀」。
六 → 十二 → 廿四 → ⋯
老子说：有与无，是彼此生出来的；难与易，是彼此成全的。
刘徽的刀，正应了这句话——他不用「曲」去量曲，而是用「直」去逼近曲。
直的尽头，是曲；曲的里面，藏着直。两端相生，圆才有了被算出来的可能。
案上摊着那张圆田图。刘徽拿直尺悬在圆上，悬而不落。
笔直的手，握着笔直的尺；尺下，是一条弯弯的圆。
「量不出来，不代表算不出来。」他说，「直的，也能走向弯的。」
同一画面里，站着两种眼光：一种只看「量」，一种还看「算」。
从那天起，刘徽的案上就多了一个圆。
他不去量它，只是一遍遍地切：六条边、十二条、二十四条……每切一次，就重算一遍边长，把得数添进书里。
阿圆替他摆筹，算到深夜。她渐渐发现：每切一次，那个数就变一点点——一直往上长。
把三条多边形叠在一起看，规律就出来了。
六边形最小，缩在里层；十二边形鼓出来一圈；二十四边形更靠外——它们一层层往圆上贴。
边数越多，周长越长，却永远长不过那圈圆。
若取直径为 1，则「周长÷直径」这个商，就是 π 的值。圆内接正多边形的这个商：
正六边形 3.0000…
正十二边形 3.1058…
正二十四边形 3.1326…
每倍一次边，数值都往上爬一点，一步步逼近真正的 π。
3 → 3.1058 → 3.1326 → ⋯
切到正一百九十二边形，刘徽停了一下笔。
他把算出来的数写进注文：三点一四。
「还想再准些？」阿圆问。刘徽点点头，又添一句：若要更精，可再割下去，得三点一四一六。
刘徽割到正一百九十二边形，得圆周率约 3.14；
继续割到正三千零七十二边形，得 3.1416。
他没有就此封顶，而是在注里留下一句活话：还能一直割下去，越割越准。
π ≈ 3.14 → 3.1416
阿圆把圆放大来看，终于看明白了「差」在哪里。
多边形的每条边，都比它对应的那段弧短一截；那截差，就是边与弧之间的弯月形缝隙。
边越短，缝隙越薄——薄到几乎没有。
每条边与它所对的弧之间，隔着一小块弓形。全部缝隙加起来，就是「圆减多边形」的那点差。
每倍一次边，边长约减半，弓形也随之窄下去。所以缝隙的总量，也在一步步缩小。
差没有变成零，却可以被压得任意小——这正是割圆术的命脉所在。
边 愈 短 → 隙 愈 薄
老子说：真正完满的东西，看上去总是缺着的；可正因留着那一点缺，它才永远用得下去。
刘徽的圆，正是这样一枚「画不满」的圆。
他从不声称自己量到了圆，只是把缺口一次次收窄——而那一点收不尽的缺，恰恰是这门学问还能继续走下去的地方。
边，越加越多；画到后来，多边形的边细得几乎看不出。
于是阿圆发现了一件奇妙的事：她明明画的都是直边，看上去却已经是一条圆。
看得见的，是边；看不见的，是圆。
同一画面里，站着两种东西：一种是有限、可数的直边，一种是无限、难言的圆——它们在边界上悄悄换手。
阿圆忍不住问：「先生，那这个数，到底是多少呢？就算写到头，它总该出来了吧。」
刘徽搁下笔：「写不到头。」
「它不是三个，不是三点一四，也不是任何一个能写死的分数。它藏在圆里，越算，它露得越多——却始终把最后一位收着。」
从前学过的数，总能写成两个整数相除：一半是 1÷2，七分是 7÷10。
可圆周率不行。无论拿哪两个整数去比，都差着一点点。
它不是「还没找到」，而是「本就没有」。
能写成两个整数之比的数，叫有理数；不能的，叫无理数。
π 是无理数——它的小数写下去，既不结束，也不循环。
π ＝ 3.1415926535…（后头永远还有）
π ＝ 3.1415926535…
阿圆问：「既然它写不尽，那还算它做什么？」
刘徽说：「写不尽，不等于找不到。多割一次，它就多说实话一分。」
三、三点一、三点一四、三点一四一、三点一四一六……一步比一步清楚。
每倍一次边，就多算出一位可靠的小数：
正六边形 3
正一百九十二边形 3.14
正三千零七十二边形 3.1416
虽然永远拿不到「最后一位」，却能拿到任意多位——这就是「逼近」的意思。
3 → 3.14 → 3.1416 → ⋯
刘徽还有一招：不只在圆里画多边形，也在圆外画一个。
里面的往外胀，外面的往里收；圆就被这两个数夹在当中，越夹越紧。
「误差能有多小，由我说了算。」
内接多边形的周长给一个不足的数，外切多边形给一个过剩的数：
里面的数 ＜ π ＜ 外面的数
想让误差小于多少，就多割几次边——总能做到。
这种「两头一夹」的办法，叫夹逼；它说明 π 虽然写不尽，却完全说得清。
内 ＜ π ＜ 外
老子说：最大的声音，反而听不见；最大的形象，反而看不见。
圆就是这样。把它画得越细，它的「边」越是消失——最后剩下的，是一条没有边、却明明白白的圆。
最要紧的东西，常常不在眼睛看得见的地方。
阿圆终于明白：「所以 π 是一个……说得清、却说不完的数。」
刘徽点头：「对。每一个字都说得明白，整句话却没有结尾。」
案上那张纸，写满了，又空着。
同一画面里，站着两种眼光：一种要一个「到底是多少」，一种接受「可以一直更清楚」。
刘徽搁笔之后，那个圆在书里等了两百多年。
到南朝，一位叫祖冲之的人翻到了这一段。他把刘徽的刀重新拿起来，接着往下割。
他割得更细，算得更远——远到那个数，又往深处多露了四位。
祖冲之给刘徽的「两头一夹」，添上了更细的刻度。
他算出一个数，比 π 小一点点；又算出一个数，比 π 大一点点——把它们并排写下。
真正的 π，就卡在这两个数之间，再也跑不掉。
祖冲之写下（今用小数表示）：
3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927
一左一右，各准到小数点后第七位——π 被锁进了一条极细的缝里。
3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927
祖冲之还留下了两个「好用」的分数——分数，比一长串小数好记。
一个粗些，叫约率；一个极准，叫密率。
「密率」这个名，是中国算书给它的；它准得叫人吃惊。
约率 22/7 ＝ 3.142857…（够用、好记）
密率 355/113 ＝ 3.14159292…（与 π 只差在小数第七位之后）
355/113，是分母小于一万六千的分数里，最接近 π 的一个。
22/7 · 355/113
祖冲之写下这串数字的时候，别的许多地方，还在用「三」。
一千年后，才有人在西方算出同样精细的值。
这条路，我们比人家先走了整整一千年。
时间的对照：
· 约公元 480 年，祖冲之得 π 至小数第七位；
· 约 1424 年，阿拉伯算家卡西才把 π 算得更精；
· 1573 年，德国人奥托重新得到 355/113 这一密率。
中间的空白，比整整十个世纪还长。
480 年 ⋯⋯ 1573 年
老子讲「道」的运行：它向远处去，去得很远很远，可到了尽头，又会拐回来。
数学里也有这样的回身：一个数被推得越来越远，远到无限的边上，它反而转回了家——转回了那个圆。
远与返，本来就是一个动作。
刘徽剖出一个圆，交给后来的人；祖冲之接过来，把它剖得更细。
书页会旧，圆不会。它一代一代往下传，每一代都把它擦得更亮一点。
一个人算不完的数，交给许多人来算。
同一画面里，站着两个背影：一个在三国，一个在南朝——做着同一个动作。
阿圆又算了一夜，把边数加到她自己都数不清。
「先生，」她说，「再多，也还是差一点点。到底哪一次，它才真的变成圆呢？」
刘徽没有回答，只是提起笔，在注里写下那句最要紧的话。
刘徽的话里，藏着一个新东西——「不可割」。
边可以一直加下去，「一直加」这件事本身，才是关键。
阿圆忽然懂了：不是某一次变成了圆，而是「越来越近」这件事，最后靠着了圆本身。
边数 n 一步步增大：边越多，周长越贴近圆周长。
当 n 无限增大时，多边形的周长就「趋于」圆周长——古人用「合体而无所失」说它。
这种「无限靠近、趋于一点」的想法，就是后来的极限。
n → ∞ 则 多边形 → 圆
刘徽剖圆，割出的是「线」的逼近；他的后人祖暅——祖冲之之子——把这一手用到了「体」上。
他问：「两个形状不同的东西，怎么知道它们一样大？」
答案是：一层一层去比——只要每一层的截面一样大，整块的体积就一样大。
祖暅原理：两个立体，若被任意平行平面所截，截得的两块面积总相等，则它们的体积相等。
原话八字：「幂势既同，则积不容异。」
有了它，球、锥、台的体积，都能借「同截面」的另一块算出来。
同 截 面 ⟹ 同 体 积
刘徽这一「割」，割开的其实不只是一个圆。
他割出了一条路：用一堆「有限的、算得清的」东西，去抓住那个「无限的、说不尽的」东西。
一千五百年后，这条路走到了它的尽头——那儿立着一门新的学问。
「以直代曲、无限逼近」的思想，正是微积分的种子。
· 求曲线下的面积——把它切成细长的矩形去逼近；
· 求曲线的切线——让两点一步步靠拢；
· 求 π、求体积——还是「割了又割」。
牛顿与莱布尼茨（17 世纪）把它们整理成「无穷小分析」；而它的源头，在一个三国人的案上。
割 圆 → 微 积 分
老子说：天下的万物，从「有」里生出来；而「有」，又从「无」里生出来。
割圆割到最后，那些看得见的边全都不见了——剩下的「无」，却把一个最完整的「圆」交给了人。
那个永远达不到的圆，不是没有；它是尚未抵达的确定。
阿圆盯着那个圆，看了很久。
她终于明白刘徽那句话的分量：那些边，永远不等于圆；可它们一直在往圆去——近到最后，圆「是」了。
说不上是哪一次，也说不清是第几步；就像水烧到某一刻，忽然就开了。
同一画面里，站着两种东西：有限与无限，在这一点上悄悄换手——直的那一侧交出手里的数，曲的那一侧，交出一个圆。
回望这一册，是一条线串起的三站。
案头上，先看清了「直尺量不出弯线」；灯下，一重重边把圆围了起来；到最后，那些边一齐退去，圆自己显了形。
从六条边，到无数条边——人就是这样一步一步，走到「圆」跟前的。
π 的答案，我们是「早到的客人」。
祖冲之写下那串数字的时候，别处的算师还在对着「三」发愁。这个秘密被东方先解开了，然后安静地躺在书卷里，等了很久很久。
学问不怕早到，只怕没有人肯把它接过来。
这一册留一个问题。
刘徽说，割到「不可割」的时候，多边形就和圆合体了。可是——那个「不可割」，究竟是什么？它是一个数，还是一种「过程」？
古人把话说到这里，就交给了后人。要回答它，得再等一千五百年——等到有人敢把「无限」当成一个正经的东西来算。它，叫什么？
刘徽的刀，家里也磨得动。
材料：圆规、直尺、铅笔、一张纸。
一 用圆规画一个圆，把圆心点出来。
二 在圆上均匀点六个点（用半径去量，六次正好绕一圈），连成正六边形。
三 把每条边对半再分，取中点向外顶到圆上，连成正十二边形——边更密了。
四 再分一次、两次……会发现：边越多，图形越像圆；可无论画多少，那「边」还在。
不割圆，也能亲手求一个 π 的近似值。
找几个圆的东西：碗口、杯盖、硬币、车轮。
一 拿一根绳子绕圆一周，量出绳长——这是周长。
二 再量出这个圆的直径。
三 用周长除以直径，把得数记下来。换几个不同的圆，再量一遍。
四 会发现：不管圆大圆小，这个商总是三点一几——稳得很。这正是「周长÷直径」之所以叫作 π 的原因。
圆田——《九章算术》「方田」章的一类问题，讲求圆形田亩的面积；书中所用为古率「周三径一」。
割圆术——刘徽所创：在圆内逐次作正多边形，以其周长逼近圆周，从而求得圆周率。
割之弥细，所失弥少——刘徽注中的名言：切得越细，损失越少；是极限思想的古老表述。
圆周率（π）——圆的周长与直径之比，是一个常数，约等于 3.14159265…
约率 / 密率——祖冲之的两个分数近似值：约率 22/7，密率 355/113。
盈数 / 朒数——大于 π 的近似值叫「盈」，小于 π 的叫「朒」（nǜ）；祖冲之即用盈朒二限夹定 π。
幂势既同，则积不容异——祖暅原理：等高截面面积相等，则体积相等。
割圆术＝「以直代曲」的无限逼近法：每倍边一次，用勾股与开方求出新的边长，累加得周长，步步夹紧真正的圆周。它同时用上了本册之前的两件旧工具——勾股与开方——把「量不出的圆」变成了「算得出的数」。而「割之弥细……与圆合体」一句，已是极限思想的雏形。
刘徽（约 3 世纪，三国魏）——注《九章算术》，创割圆术，得 π≈3.14 与 3.1416。
祖冲之（429–500，南朝）——得 3.1415926＜π＜3.1415927，立约率与密率，领先世界近千年。
祖暅（约 6 世纪）——祖冲之之子，提出「幂势既同，则积不容异」，与卡瓦列里原理同旨。
阿基米德（约前 287–前 212）——古希腊算家，用内外接正多边形夹逼 π，思路与刘徽异曲同工。
卡瓦列里（1598–1647）——意大利人，提出同类于祖暅原理的「不可分量」原理，晚约一千年。
《九章算术》及其刘徽注——割圆术的出处；《缀术》——祖冲之算学著作（已佚）；《隋书·律历志》——保存了祖冲之的 π 值；《老子》——「有无相生」「大成若缺」「有生于无」。
刘徽的刀，今天还在割——只是换成了计算机。
人们一遍遍地「倍边」，把 π 的小数推得越来越长。
2021 年，π 已被算到小数点后 62.8 万亿位。
算这么长，其实用不上——工程里，几十位就绰绰有余。
可人们还是算。为什么？因为算 π，从来不只是为了 π：每一次刷新纪录，都在检验新的算法与更强的机器。
——刘徽当年「再割一步」的那股劲，还在。
那座案上的圆，后来走了很远。
17 世纪，牛顿与莱布尼茨把「无限逼近」整理成一门新算术——微积分。求面积、求体积、求切线……用的还是「割了又割」的老念头。
今天，凡要用「简单」去逼近「复杂」的地方——桥梁的应力、天气的演化、股票的曲线——底下都站着刘徽的那个圆。
求曲线下的面积：把它切成无数窄条矩形，一条条加起来——正如把圆切成无数多边形。
这是同一个手艺：把不会算的，切成无数会算的，再加起来。
汉家的「割圆」与今天的「积分」，隔着一千五百年，握了同一只手。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：以直代曲的割圆术、π 的逐次逼近、夹逼求值、祖暅原理——四件出自中国算学的看家功夫，串在「圆」这一个形状上。
暗线（青绿）：「有无相生，极而反」——曲与直、有与无、远与返，中国哲学对「相反相成、物极必反」的洞察，恰是「无限逼近」这一念头得以生长的土壤。
· 先读故事层，不必急着讲算式；
· 数学层的「倍边」数字，可以带孩子亲手画一画、量一量（见动手做两页）；
· 五页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 直的尺，为什么能量出弯的圆？
答案不在「量」，而在「算」——用许多段短的直，去代替一段长的弯；数学常靠「换个办法」解开死结。
二 一个写不尽的数，还值得算吗？
值得。写不尽，不等于说不清；能算到任意精确，就已经够用——「可以无限接近」，本身就是一种确定。
三 「割到不可割」，割的到底是什么？
割的是「无限」。古人把话头停在这里，后来的微积分才接上——好问题不一定当场有答案，它有时会等上一千年。
《中国古代数学故事绘本》第 05 册
割之弥细 · 无限有多远
明线：割圆术 · π 的逼近 · 祖暅原理
暗线：有无相生 · 极而反
时代：三国魏—南朝（263–500 年）
主典：《九章算术》刘徽注；《缀术》（佚）；《隋书·律历志》；《老子》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
全套十册，依历史时序，自先秦至明清。本册为第五册。