大军列在旷野上，黑压压一片，头看不见尾。要造册点清人数，一个一个地点，数到天黑也数不完。
古人想出一个巧办法：不必一个个数，只让兵排队——每三人一排、每五人一排、每七人一排，每次只记下排到最后、多出来的那几个人。数了三次，竟能把人数算出来。
这一册讲的，就是这件奇事：只见三个「零头」，怎能反推出整支大军的人数。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
军中要造一册名簿了：这支大军，究竟有多少人？
将军登上高坡，往下一望——黑压压一片，头看不见尾。
一个一个地点数，数到天黑也数不完；何况兵还在走动，数着数着就乱了。
营里有个少年兵阿余，平日最爱摆弄石子算数，凑上来说：「不必一个个数，让兵排队就成。」
「每三人一排！」——排到最后，多出两个兵。
「再每五人一排！」——排到最后，多出三个。
「每七人一排！」——排到最后，多出两个。
三次排完，只记住三个零头：余二、余三、余二。
可这点消息，还看不出人有多少——「余二」的队伍，可以是五人，也可以是八人、十一人……排下去没完没了。
奇怪的是：三个零头合在一起看，答案就只剩一个了。这一册，就讲这「合起来」里头的道理。
将军要在天亮前造好名簿，可这兵，一时数不清。
少年兵阿余凑上来，说自家摆弄石子时得过一个法子：「将军，让兵排队试试。」
将军一挥手：「排！」
「每三人一排！」士兵飞快排好。排到最后，队尾多出两个，站不成排。
阿余把这两个记在石子上：「三三数之，剩二。」
把人数记作 N。每三人一排、最后剩二，就是：N 除以 3 余 2。
换一句话说：N 减去 2，能被 3 整除。
数学家用一个记号把它写短：
N ≡ 2 (mod 3)
读作「N 与 2，对 3 同余」。
「再每五人一排！」——排好，队尾空出三个。
「每七人一排！」——排好，队尾空出两个。
三次排队，得了三个数：余二、余三、余二。阿余一一记下。
三次排队，就是同一支人数 N 的三种「余数」：
N ≡ 2 (mod 3)
N ≡ 3 (mod 5)
N ≡ 2 (mod 7)
这样的一组式子，古人叫「同余式组」。问题变成：找一个 N，同时满足这三条。
三条线索摆上案。阿余看着看着，眼睛亮了：三个石子堆一齐指，指向的是同一个地方。
三个模数 3、5、7 互质，乘起来得 105。
可以证明：在 0 到 104 之间，满足这三条的数只有一个。
这叫「模 105 意义下唯一」。放宽到更大范围，答案就是「那个数，再加 105 的整数倍」——像月亮每月重来一次。
3 ✕ 5 ✕ 7 ＝ 105
《周易》说：天下人走向同一个归宿，走的却是不同的路；达成同一个结果，动的是百样的心思。
三个余数，正是三条不同的路——模 3 一条、模 5 一条、模 7 一条。每条路都只看清一角，合起来却指向同一个终点。
看一样东西看不清，就换几个角度去量它——这是古人对付难题的老办法。
将军看着案上那三小堆石子，将信将疑：就凭三个零头？
阿余说：「三把尺子量同一根竹竿，尺子各不相同，量出的余头也不同；可三下一比，竹竿有多长，就藏不住了。」
看清一件东西，有时不必死盯着它——换几把尺子，去量它的四周。
同一画面里，站着两种眼光：一种想「一眼看穿」，一种肯「换个角度」。
将军问：「只排一次队，成不成？」
阿余摇头：「不成。只看一次，合得上『余二』的人会排成长长一串——五人、八人、十一人……全对得上，可全不是真数。」
「一把尺子太短，量不到那根长竹竿的尽头。」
「三三数之剩二」的人，到底长什么样？阿余在纸上排出一列数。
满足 N ≡ 2（模 3）的数，一个个排下去是：
2，5，8，11，14，17，20，……
规律很简单：从 2 起，每次加 3。
它是一列等差之数，无穷无尽——单看这一条，N 可能是其中任何一个。
再看「五五数之剩三」。阿余另排一列。
满足 N ≡ 3（模 5）的数：
3，8，13，18，23，28，……
同样是一列无穷的数，只是这回想加的数是 5。
两条路各自都指不到一个确定的数——它们都太宽了。
阿余把两列数上下对齐：「看，两条一起算，能对上号的，一下子少了好多。」
两条一起看：既要 N ≡ 2（模 3），又要 N ≡ 3（模 5）。
这样的数，每隔 15 才出现一次；
3 ✕ 5 ＝ 15
可每隔 15 一次，还是很多——仍定不下一个数。要三条一起上，才够。
《周易》说：同一件事，仁厚的人见了说是仁，聪明的人见了说是智——各人只看见自己那一面。
模 3、模 5、模 7，正像三个站在不同地方的人，各看见大石的一角。
一角看不清全貌，不是眼睛不好，而是站的地方只够看见一角。要见全貌，得把几个地方都站过。
阿余把三列数对着看。三个零头单看都糊涂，合在一起，轮廓却一点点清楚起来。
「原来不是要一眼看穿它，是要把它拼出来。」
一种眼光求「一瞥即明」，一种眼光信「积少成多」——算家选后者。
三列数排在案上。阿余顺着往下数，数到第二十三，停住了——三列数，都在这里踩着同一个点。
「二十三。」他抬头，「按这法子，兵是二十三人。」
将军一愣：「就这么点？」阿余笑：「这是最小的一个数。往后每隔一百零五，又是这么一支兵。」
怎么找那个「同时对得上三条」的数？阿余有笨办法：一条一条往上加。
要找 N 同时满足三条。先看只满足前两条的数：
8，23，38，53，68，……
从 8 起，每次加 15（即 3 ✕ 5）。
再从中挑出还满足第三条「模 7 余 2」的——第一个便是 23。
验一验：23 ÷ 3 余 2、23 ÷ 5 余 3、23 ÷ 7 余 2，三条全中。
「那要是兵更多呢？」将军追问。阿余指了指纸上那一长串：「加一百零五就是了。」
最小正解是 23。接着是 23＋105＝128，再接着是 233……
N ＝ 23 ＋ 105k (k ＝ 0, 1, 2, …)
为什么每隔 105 重来一次？因为 105 是 3、5、7 的最小公倍数——三个条件在这里走完一整圈。
「三个零头，凭什么锁得住一个数？」阿余在纸上画了三道刻痕。
「合起来唯一」，意思是：在 0 到 104 这一段里，满足三条的数有且只有一个。
三个条件像三把锁，一把比一把严；三把一齐扣上，整段 105 个数里，就只剩一把钥匙开得动。
3 ✕ 5 ✕ 7 ＝ 105 ｜ 0…104 内唯一
《中庸》说：万物一同生长，彼此不妨害；大路各走各的，并不相冲突。
模 3、模 5、模 7，三条路各走各的，谁也不挡谁；可它们同时指着同一个数，一点也不矛盾。
「同归」不是把三条路强行并成一条，而是容它们并行——走到头，自会相遇。
三条路都通到 23 这个点。阿余忽然明白了「殊涂同归」四个字的意思。
不必让所有的路合成一条——让它们各自平行着走，走到头，自会相遇。
阿余手里捏着三小堆石子，心里想的是同一句话：各走各的路，走到一处。
阿余那套「一条一条往上加」的笨办法，人少时还成；兵要是成千上万、条件加到十三条呢？
五百多年后，南宋的秦九韶也想到了这道题。他不满足于「碰巧算出一个」，要把这法子写成一套人人能照做的算法。
他把算法记进《数书九章》，起名叫「大衍总数术」。
秦九韶的算法分四步。头一步，先把题里的几个除数端端正正记下来。
秦九韶把题里的除数叫「定数」——好比几把刻度不同的尺子。
本题的定数就是 3、5、7，三个两两互质的数。
（若几个除数不互质，要先化简成互质的一组，这一步他叫「约」；本册不深究。）
定数：3 5 7
第二步，把三个定数合成一个「大数」，再由它分出三份。
把定数全部乘起来，叫「衍母」：
衍母 ＝ 3 ✕ 5 ✕ 7 ＝ 105
再用衍母去除每一个定数，得「衍数」：
105 ÷ 3 ＝ 35 105 ÷ 5 ＝ 21 105 ÷ 7 ＝ 15
三个衍数 35、21、15，各是「除自己那一条以外，其余定数的乘积」。
第三步最要紧：给每个衍数配上一个数，让它们「配成一对」。
要给衍数找一个「乘率」，使衍数乘上它以后，对相应的定数余 1。
先把 35 试起：要让 35 乘某数后对 3 余 1。
35 ✕ 2 ＝ 70，70 ≡ 1 (mod 3)
同理，21 的乘率是 1（21 ≡ 1，模 5）；15 的乘率也是 1（15 ≡ 1，模 7）。
于是得三个「用数」：70、21、15。
孔子说：我的道理，用「一」贯穿到底。
秦九韶的算法也正是这般：不管三个余数还是三十个，动手的次序一模一样——定数、衍母、衍数、乘率，一步步走下来，永不用改。
变的是题，不变的是那「一」条路子。这就是「一以贯之」：一套办法，贯通万般情形。
阿余的笨办法，与秦九韶的巧办法，走的是同一条路——只是一个用脚一步步量，一个把步子记成了一本谱。
谱有了，再多的零头，也不过是照着走一遍。
同一条路子，一副是随手而行，一副是落笔成法。数学的进步，常就藏在「把它写成谱」这一步里。
秦九韶的算法，好是好，只是步骤太多，寻常人不耐烦记。
又过了三百多年，明代程大位编《算法统宗》，把这道题的关键几步，编成四句顺口溜——像童谣一样，念几遍就忘不掉。
歌诀里的三个数，打哪儿来？其实正是上一幕求得的三个「用数」。
70 21 15
这三个数各有一个了不起的性子——「只管自己那条，别条一概不碰」：
70：÷3 余 1，却被 5、7 整除；
21：÷5 余 1，却被 3、7 整除；
15：÷7 余 1，却被 3、5 整除。
正因为如此，拿它们分别去乘对应的余数，再一加，三个零头就各归其位、谁也不搅谁。
阿余要是念过这四句，大约也会拍手叫好。
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百零五便得知。
三人同行七十稀——「三三数之」那一条，用 70 去乘它的余数；
五树梅花廿一枝——「五五数之」那一条，用 21；
七子团圆正半月——「七七数之」那一条，用 15（半个月正是十五）；
除百零五便得知——三个乘积加起来，再减 105 的整数倍，剩下的便是答案。
把三个零头代进去，亲手算一遍。
余数是 2、3、2，各配用数 70、21、15：
70 ✕ 2 ＋ 21 ✕ 3 ＋ 15 ✕ 2 ＝ 140 ＋ 63 ＋ 30 ＝ 233
233 太大了，再减掉 105 的整数倍：
233 − 105 ✕ 2 ＝ 233 − 210 ＝ 23
得 23——与阿余一条条数出来的，分毫不差。
再念一遍开篇那句话，意思比先前厚了一层。
三个人量同一块石，三条路通同一个点，三道算式拼同一个数——殊涂，同归。
从孙子的三个余数，到秦九韶的四步算法，再到程大位的四句歌诀，是同一件事的三种说法。形式变了又变，那个「一」始终没变。
三百年，从纸上的算法，走到口边的歌谣。
一支军队的人数，就这样被三个零头钉死；而这法子，一路传到了民间的算盘铺子里。
一道题，三个时代，一条路。
算法成为歌诀，是学问落地的样子：不好记的，编成好念的——这也是一种「殊涂同归」。
回望这一册，是一条线串起的三站。
校场上，三个零头最先露面；灯下，它们合起来拼出一个数；再往后，这法子被写成算法、又编成歌谣，一路传了下去。
三个余数，一个答案，一条路——人就是这样，从「看不全」走到「看得清」的。
这道题，我们是「早到的客人」。
别处的算师还在为三个余数犯难时，中国算家已把它的解法写成了通法。这法子后来被称作「中国剩余定理」——名字里的「中国」，正是对它出处的记认。
学问不怕早到，只怕没有人肯把它接过来。
这一册留一个问题。
古法用的是三个互质的模数——3、5、7，两两不共因数，所以答案被钉得死死的。
可要是模数并不互质呢？比如「四四数之剩二、六六数之剩四」——它们有公因数。这时答案还有没有？又还剩几个？
歌诀里那三个数，家里也背得下来。
材料：纸、笔，外加一捧石子或豆子。
一 随手抓一把石子，先别数；只记「三三数之、五五数之、七七数之」三次各余几。
二 照歌诀写：三个余数分别乘 70、21、15，把三个积相加。
三 从和里减 105 的整数倍，减到不能再减（但仍留正数）。
四 得数报出来，再去数一数石子。若石子多于一百零五，得数要再加上 105 的若干倍。
换几个模数，也能编一首自己的歌诀。以「四、五、九」为例。
一 衍母＝4 ✕ 5 ✕ 9＝180。
二 衍数：180÷4＝45、180÷5＝36、180÷9＝20。
三 求乘率：45 对 4 余 1（乘率 1）；36 对 5 余 1（乘率 1）；20 对 9 余 2，2 ✕ 5＝10 ≡ 1（乘率 5）。
四 三个用数：45、36、100（＝20 ✕ 5）。照此三数各乘余数、相加、再减 180 的整数倍，答案就出来了。
同余——两数之差若能被某数整除，就说它们对这数「同余」。记号 ≡：N ≡ 2 (mod 3) 读作「N 与 2 对 3 同余」。
模——同余里的那个除数（这里就是 3）。模 3 的世界里，数只分「余 0、余 1、余 2」三类。
剩余类——同一模下「余数相同」的一族数，如 2, 5, 8, 11, … 属于模 3 的「余 2」那一类。
同余式组——若干个同余式联立，要求同一个数同时满足它们；本册的核心问题。
物不知数——《孙子算经》的名题：「三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二」，答二十三。
定数 / 衍母 / 衍数 / 乘率 / 用数——大衍总数术的五件术语：定数即模（3、5、7）；衍母即模之积（105）；衍数即衍母除以各模（35、21、15）；乘率使衍数乘它对本家模余 1（2、1、1）；用数＝衍数×乘率（70、21、15）。
大衍求一术——秦九韶用以求乘率的辗转相除之法，是整个算法的关键一笔。
中国剩余定理——模数两两互质时，同余式组在模其积的意义下有唯一解；即本册所讲的「合起来就唯一了」。
「物不知数」的要害，是把一个未知的数「换个说法」：不问它究竟是多少，只问它被几把尺子量过之后各剩多少。三个互质的模数合起来，能认住 105 以内唯一的那个数——于是「看不全」变成了「看得清」。秦九韶的贡献，是把这套想法整理成一步步照做即可的算法；歌诀，则是它的民间简本。
（托名）孙子——《孙子算经》作者，生平不详，「孙子」盖为后人托名，其书约成于公元三至五世纪。
秦九韶（约 1208–1268，南宋）——著《数书九章》，创「大衍总数术」与「大衍求一术」，系统解决一次同余式组。
程大位（1533–1606，明）——著《算法统宗》，载「物不知数」解法歌诀，使古法广传民间。
高斯（1777–1855，德国）——在《算术研究》（1801）中给出同类结果的近代形式，晚于秦九韶约五个半世纪。
《孙子算经》——「物不知数」的出处；《数书九章》——大衍总数术的出处；《算法统宗》——歌诀的出处；《周易·系辞》——「同归而殊涂，一致而百虑」；《礼记·中庸》——「道并行而不相悖」；《论语·里仁》——「吾道一以贯之」。
「同余」离生活一点也不远。
钟表按十二小时一圈转，星期按七天一轮回——都是「到了头就重来」。
「现在几点」其实是一个模 12 的问题；「今天星期几」是模 7。
书号、身份证号末尾的校验码，也是拿整串数按不同模去算，用来查有没有抄错。
——都是同一件事：把无穷多的数，收进有限的几个「余数」里。
门前那几堆石子，后来走了很远。
今天加密信息用的许多方法，底下站着的，正是「同余」这门看家功夫。
有一类加密，靠的是「两个大数相乘容易，反过来拆解极难」；而拆解与还原，用到的正是同余与大数取余。
发信、收信各持一把「钥匙」，其中的一把摆在明处也无人能仿——这钥匙的牢靠，就架在同余的性质上。
古人「换观点看数」的巧思，隔着一千多年，成了今日守密的一道门锁。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：同余的说法、《孙子算经》「物不知数」、逐条叠加取交集、秦九韶「大衍总数术」四步、程大位歌诀——四件出自中国算学的看家功夫，串在「点兵」这一桩巧事上。
暗线（青绿）：「同归而殊涂，一致而百虑」——看不全一样东西时，换几个角度去量它周围。这既是中国哲学对「殊途同归」的洞察，也是同余算法的魂。
· 先读故事层，不必急着讲算式；
· 数学层里「余数乘用数再相加」的一段，最宜带孩子用石子亲手做一遍（见动手做两页）；
· 五页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 只数三次零头，为什么能知道总数？
因为三个互质的模数合起来，像三把刻度不同的尺子，把答案的范围一路收窄，直到只剩一个——「看不全」不妨碍「算得清」。
二 同一个数，为什么换个看法就清楚了？
数的「真身」没变，换的是量它的尺子。难题解不开时，常常不是难题太硬，而是取的视角太单一——这也是「换位思考」在算术里的化身。
三 一个道理，为什么要既写成算法、又编成歌谣？
算法给人照做，歌诀帮人记牢。学问要生根，既得有严整的谱，也得有顺口的调——「殊涂」之中，藏着让道理走得更远的两条路。
《中国古代数学故事绘本》第 06 册
殊途同归 · 将军的兵有多少
明线：同余 · 物不知数 · 大衍求一术
暗线：同归而殊涂 · 一致而百虑
时代：南北朝—南宋（约 3–5 世纪至 1247 年）
主典：《孙子算经》；《数书九章》秦九韶；《算法统宗》程大位；《周易·系辞》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
全套十册，依历史时序，自先秦至明清。本册为第六册。