案上有一张数表，排成一个三角形：顶上一个「一」，往下一行行多起来。它不是谁一行行画出来的——每一个数，都是肩上两个数相加而生。
给出最顶上那个「一」，余下的无穷无尽，自己就长下去了。
这一册讲的，就是这张会生长的表：它从哪里来，怎么长，藏着哪些秘密，又打开了哪一扇门。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
北宋年间，算学先生贾宪的案前，摆着一个难住的题。
官家要量一块大方田，只告诉了面积，要反求边长——这叫「开方」。数小还好，数一大，开起来步步行难。
先生对案良久。他知道，要走得快，得先备一张「随身的地道」。
邻家有个孩子叫阿生，最爱蹲在树下看树：主干抽出两枝，两枝又各分两枝，一层层长上去，没有一层是凭空冒出来的。
这天他趴在先生案边看算书，忽然愣住——书里那层层叠叠的数，怎么看去像一株树？
先生说：「看得好。它确实是一株树——不过它是数长出来的。」
先生在纸上画出那张表的样子：顶上一个「一」；第二行两个「一」；再往下，一行比一行多。
「这张表不用一行行苦画。」先生说，「只要记住一条规矩，它自己就会往下长。」
什么规矩？往下看。
先生先给阿生看一个小题：一块正方田，面积一百四十四步，边长多少？
阿生拿小方块摆了摆：十二乘十二，正好。这个「反过来求边」，就叫开方。
「小数好摆，」先生道，「数一大，一步摆不出来，得一步一步走。要走稳，就得先知道每一步该用哪些数。」
一百四十四步的方田，阿生数了数边：一行十二格，十二行——边长十二。
他明白了：开方，就是从「摆了多少」反问「一边摆了多少」。
正方田面积＝边长自乘。已知面积求边长，就是把乘法倒过来走：
12 ✕ 12 ＝ 144 ⟹ 边长 12
边长自己乘自己得到的数，叫这个边长的「平方」；反过来由平方求边长，就叫「开平方」。
小数一眼看穿，大数却要分步：先把大数按位分段，一段一段地试，像走一段长路，每段都要落脚找准。
先生把每一步要用的数排在案上。阿生看着看着，发现这些数并非乱来——各有各的位置，各有各的用处。
开平方分步走时，每一步都要用到一组固定的系数：
1 2 1
若是开立方（三次自乘），系数就换一组：
1 3 3 1
次数再高，系数更长。开方要走稳，先得把这些系数一处不差地备齐。
先生索性把各次的系数全排在一起：一次一行，行行相叠，排成一个尖顶的三角。
「往后不管开几次方，」先生说，「钥匙就在这张表里。要用哪一行，取哪一行。」
阿生盯着那张表，心里冒出一个更大的问题：这么多行，是谁一行行算出来的？
把各次的系数叠起来：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
每一行，正是一次开方要用的全套系数。这张表在，开方就不是碰运气。
《老子》说：道生出一，一生出二，二生出三，三生出万物。
万物不是一件件被造出来的，是从最初的那个「一」，按着次第自己长出来的。
先生那张表，也是这样——顶上一个「一」，往下的一切，都从它身上生。
阿生问：「先生，这张表是钥匙，还是种子？」
先生反问：「钥匙开锁，用完就收回；种子下地，自己往上长——那张表像哪一样？」
阿生想了想，答不上来。这个悬念，第二幕揭晓。
同一张表，两种眼光：一种把它当「备好的工具」，一种把它当「活的东西」。
第二天，阿生又来了，开口就问昨天的悬念：「先生，这表几十行几百行，是谁一行一行苦算出来的？」
先生笑而不答，只把笔递给他：「先照着第五行，把第六行写出来——不许问，不许猜，自己长。」
阿生盯着看了半晌，忽然下笔了：两边的「一」照抄，中间的数，是肩上两个数加出来的。
先生点头：「这就是那条规矩。」
整张表只靠两条规矩：
一 每行两端的数，都是 1；
二 中间每个数，等于它「肩上」两个数之和。
1 3 3 1
1 4 6 4 1
瞧：1＋3＝4，3＋3＝6——下一行自己长出来了。
先生取来石子，让阿生亲手把第六行摆出来。
阿生一枚枚摆：1；1＋4＝5；4＋6＝10；6＋4＝10；4＋1＝5；1。
摆完一数——六枚，行行相接，一枚不多，一枚不少。
第五行：1 4 6 4 1
照规矩长出第六行：
1 5 10 10 5 1
再往下还能长：第七行、第八行……想要多少行，规矩不变，一直长下去。
阿生回头再看整张表，看出一件惊人的事：
要把整张表造出来，其实只需要一个数——顶上那个「一」。其余的一切，规矩自己会生。
「所以它不是钥匙，」阿生说，「是种子。」
这叫「递推」：给出开头，给出规矩，后面的一切自动到来。
起点：1
规矩：两端为 1，肩上相加
结果：整张表，想要多长有多长
人不必算每一行——人只立规矩；行，是规矩自己走出来的。
《周易》说：生生不已，才叫作「易」——「易」就是变化与生长本身。
数表的每一行，都由上一行所生；上一行又由更上一行所生。没有一行是画出来的，行行都是长出来的。
规矩一旦立下，生长就不停步。
先生说：「匠人手里有规矩，画得出方圆；可园里的树，不用匠人，也一枝不乱。」
阿生说：「树心里，是不是也藏着一把规矩？」
先生不答，只把那张数表推到他面前。
同一画面里，站着两样东西：一样是「人立的规矩」，一样是「自长的秩序」。
规矩找到了，阿生却不肯停。他说表里一定还藏着别的秘密。
先生乐了：「好。宽限三天，找到一条算赢。」
阿生趴在案上，一行一行地看，一列一列地数——他找到的不止一条。
阿生的第一个发现：每一行，顺着读、倒着读，一模一样。
1 4 6 4 1——从两头往中间看，对称。
他想了想理由：规矩是「肩上相加」，左右肩对称，长出来的行自然也对称。
对称性：每行左右对称，与「到两端的距离」对应。
1 4 6 4 1
（正读＝倒读）
这不是巧合：生成规矩本身是对称的，长出来的结果便也对称。
第二个发现更妙：把每一行的数全加起来——
第一行 1，第二行 2，第三行 4，第四行 8……行行翻倍！
阿生去试第五行：1＋4＋6＋4＋1＝16。果然。
行和：第 n 行各数之和，恰是 2 自乘 n－1 次：
1, 2, 4, 8, 16, …
道理也好懂：往下走一行，每个数都把「自己」拆给底下两个数——所以每降一行，总和翻一倍。
第三个发现藏得最深：斜着看！
斜线上经过的数，加起来依次是：1，1，2，3，5，8……
每个数是前两个之和——正是著名的「斐波那契数列」！它竟藏在这张表的斜线里。
斜线和：自右上向左下斜着相加，得：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
这一列数有个脾气：后一个数，等于前两个之和。草木生枝、花瓣排布，常见这样的节律。
《周易》说：广大富足是大业，天天生出新的，是盛德。
数表的行行不同：新的一行，永远不是旧行的重复——它由旧行相加而生，却比旧行更丰富。
生长的最高模样，不是守成，是日日生新。
阿生把三条秘密讲给先生听。先生问：「这些秘密，是刚发明的，还是本来就有的？」
阿生想了想：「我什么也没做——我只是看见了。」
先生说：「看见了，它就亮了。规律不怕迟到，只怕没人来看。」
同一画面里，站着两件事：一件事「被人发现」，一件事「本来就在」。
这天先生又出一题：两个数 a 与 b，加起来再自乘，会得到什么？
阿生拿小方块摆了摆：三样东西——a 的平方、b 的平方，还有一块两样相乘的部分。
先生把那页数表推过来：「摆出来的三样，各配一个数——配的正是表上的一行。」
两数之和的自乘，画成田最好看：大田里横竖各切一刀——切出两块「方」、两块「长条」。
长条有两个，一样的。数一数：1 块大、2 条长、1 块小——1，2，1！
(a＋b)2 的展开：
(a＋b)2 ＝ 1·a2 ＋ 2·ab ＋ 1·b2
系数 1，2，1——正是数表第三行。
「合着是一个式子，打开是一行系数。」先生说，「表上每一行，都是一扇门的钥匙。」
三次自乘呢？阿生切了一刀又一刀，数出来四块：一、三、三、一。
又对上了——这回对的是第四行。
阿生恍然：开立方用的那组系数，原来和这里的是同一组。
(a＋b)3 的展开：
(a＋b)3 ＝ 1·a3 ＋ 3·a2b ＋ 3·ab2 ＋ 1·b3
系数 1，3，3，1——数表第四行。
对上了：自乘几次，就取第几行；次数比行号少一。开方与展开，用的是同一张表。
先生换一个问法：三样果子，取两样，有几种取法？
阿生拿石子摆：甲乙、甲丙、乙丙——三种。
再看数表第三行中间那个数：正是 3！
「几样里挑几样」的取法数，叫「组合数」。
3 样挑 0：1 挑 1：3 挑 2：3 挑 3：1
——把第三行倒过来读，一模一样。
对上了：数表第 n 行，正是「n－1 样里挑 0 样、挑 1 样……」的取法数。数表又是一张「挑法的账」。
《周易》说：一合一开，就叫「变」；一来一往不停步，就叫「通」。
数表的本事正在这里：一行系数合起来，是一个整整齐齐的式子；式子打开来，是一行明明白白的系数。合上，打开，来来回回，路路皆通。
会合的人也要会开——这才是完整的手艺。
先生把话收拢：「开方要它，展开要它，数挑法也要它——一张表，三处门。」
阿生数着门：「还有吗？」
先生望向窗外：「表还没长完，门就不会开完。」
同一画面里，站着两样东西：一样是「备好的钥匙」，一样是「还没开完的门」。
故事到这里，却有一段波折。
贾宪先生的书，后来散佚了——那张图，眼看要跟着沉没。
幸而两百年后，南宋的杨辉著《详解九章算法》，把这张图原样引录，还郑重写下一行小注：「贾宪用此术。」图，才传了下来。
这张图走了很远。
在东方，贾宪之后有杨辉，再后有朱世杰，用它开高次方，一路用到四层五层。
在西方，它晚了六百年才由法国的帕斯卡重新发现——欧洲人叫它「帕斯卡三角」，而它比帕斯卡早了约六百年。
三张时间卡：
贾宪（约 1050）创图
杨辉（1261）引录传世
帕斯卡（1654）重新发现
创图到再发现，相隔约六百年；杨辉引录到帕斯卡，也早了近四百年。
今天，这张图通行两个名字：「帕斯卡三角」与「贾宪三角」——而史家都知道，最早的那个「一」，落在中国。
阿生有一天忽然说：「先生，这张表用不着我了。」
「只要规矩在，谁来都一样——甚至不来人也一样，它自己往下长。」
先生点头：「这就是造表人和立规矩人的分别。前者造一行，后者生无穷。」
递推的力量，正在「不再需要人」：
起点 1 ＋ 规矩 ＝ 无穷多行
人立一次规矩，规矩行万次之事。今日计算机自动生成这张表，走的仍是同一条路——给起点，给规则，余下的自动到来。
阿生问：「这张表，有最后一行吗？」
先生摇头：「行数没有底。纸上画不下，是纸小；不是表完。」
一张纸，一个「一」，两条规矩——长出来的，是一整片没有边的天空。
表的行数无限，而行行受同两条规矩管束。
有限的开头 ＋ 两条规矩 ⟶ 无限的丰富
有限与无限，就这样接上了头：无限不是凭空的无穷，是从一个「一」出发、一步步走到的无穷。
《庄子》说：柴会烧完，火却传下去，没有穷尽。
贾宪的书佚了——柴，尽了。可杨辉引录的那一行小注，把火接了过来；火又燃了六百年，传到帕斯卡手里，传到今天每一册代数书里。
薪有尽，火无尽。学问的性命，不在哪一卷书，在一代一代肯接火的人。
书的最后一课，先生只写了一句话，让阿生带回家：
「纸上的是一个『一』，纸上长出的是一片天。」
阿生把书合上。他知道的规矩还是那两条，可他知道的东西，已经无穷多了。
同一画面里，站着两样东西：一样是「一页纸的有限」，一样是「一株树的无穷」。
回望这一册，是一粒种子长成的故事。
开方需要钥匙，先生便立一张表；表只有两条规矩，却自己长出了无穷多行；行里藏着对称、翻倍与斜线里的数列；再往后，它把式子的门一扇扇打开，又漂过六百年、两块大陆。
一个「一」，两条规矩，一片天空。
这张图，我们又是「早到的客人」。
欧洲人叫它「帕斯卡三角」，可贾宪比帕斯卡早了约六百年；就算从杨辉引录算起，也早了近四百年。
今天代数书里写它，两个名字都通行——名字各表其功，规律只有一个。学问不怕早到，只怕没有人肯把它接过来。
这一册留一个问题。
数表要一个数，得从顶上一行行长出来。可要是只想要很深处的一个数呢？比如第十行正中间那个——还得一行一行写十层吗？
能不能不走路，一步算出「第几行、第几个」的数？古人的表是长出来的；这个「直接算」的公式，要等后人去寻。
规矩只有两条，家里也能把表种出来。
材料：纸、笔。心急的话，再备一块橡皮——不过多半用不上。
一 纸顶上写一个 1。
二 下一行写两个 1。
三 往下每一行：两端写 1；中间每个数，等于肩上两数之和。写完一行，再长一行。
四 写到第八行为止。写完自查：行行对称吗？每行加起来，是不是 1、2、4、8、16、32、64、128？
表已经到手，正该像阿生一样，自己找秘密。
材料：刚写好的八行数表、一支笔。
一 用铅笔把表上所有的偶数轻轻圈出来——连成片看，像什么图案？
二 从右上往左下斜着相加，把每条斜线的和写在表旁：是不是 1、1、2、3、5、8、13、21？
三 把第七行和第八行并排放，第八行除两端外，每个数能用第七行的数说清楚吗？说说看。
开方——由自乘之数反求底数：由 144 得 12 是开平方，三次自乘之数反求是开立方；数大时须分步进行。
开方作法本源图——贾宪所立的各次开方系数总表，即本册的三角形；今称「贾宪三角」。
递推——给出起点与规矩，让后续结果逐个自动生成的思路；本册表只靠「两端为 1、肩上相加」两条规矩。
二项式系数——(a＋b)n 展开后各项的系数；自乘 n 次，对应表上第 n＋1 行。
组合数——「n 样里挑 k 样」的取法数，记作 C(n, k)；与二项式系数是一物两名。
廉与隅——开方术语：分步开方时，随层次而设的系数位，古人以「廉」（边上的辅助项）、「隅」（最末的角项）称之；贾宪造表正为它们备数。
增乘方法——杨辉书中对逐行生系数之法的称呼；「增乘」二字，说的正是肩上相加、逐行倍增。
贾宪三角的要害，在「生成先于枚举」：不把每一行当作要一个个画出的成品，而当作同一规矩的反复施行。两条极简的规矩，撑起一张用之不竭的数表——开方取它，展开取它，数挑法也取它。递推之道，与《周易》《老子》的「生生」同一机杼：立源头，明次第，万物自来。
贾宪（北宋，约十一世纪上半叶）——师承楚衍，著算书（一说《释锁算术》）已佚；「开方作法本源图」的创始人，早于帕斯卡约六百年。
杨辉（南宋，约十三世纪）——钱塘人，著《详解九章算法》（1261）等；引录贾宪之图并注明「贾宪用此术」，使其传世。
朱世杰（元，约十三—十四世纪）——著《四元玉鉴》（1303），将此表用于高阶垛积与高次方程，使之愈用愈深。
帕斯卡（1623–1662，法国）——著《论算术三角形》（1654），系统研究此表并开启概率论；欧洲称「帕斯卡三角」。
《释锁算术》（贾宪，佚）——数表的最初出处；《详解九章算法》（杨辉）——引录存图的功臣；《四元玉鉴》（朱世杰）——表用集大成；《周易·系辞》——「生生之谓易」「日新之谓盛德」「一阖一辟谓之变」；《老子》——「道生一，一生二，二生三，三生万物」；《庄子·养生主》——「指穷于为薪，火传也」。
「几样挑几样」，家里天天都在发生。
衣裳怎么搭、走路的走法、抽屉里挑几枚……背后都站着同一行系数。
搭配：两件上衣三条裤，搭配共 2 ✕ 3＝6 种——乘法原理，是组合数的第一块基石。
走棋盘：小棋盘上只许向右、向下走，每一路口的走法数＝左、上两口之和——棋盘自己长出的，正是一块斜放的贾宪三角！
——「肩上相加」这一规矩，原来满地都是。
这张表后来又开了一扇大门——概率。
帕斯卡研究它，本为回答一个赌徒的问题：一笔赌金，赌到一半中断，该怎么分才公平？
答案要用这张表来数「各种情形各有多少」。一张开方的数表，就这样成了「算可能性」的学问的地基。
抛几枚铜钱，正面朝上的各种情形数，正是表上的一行：1，3，3，1。
于是「恰好两枚正面」的可能性，一眼可见：3 比 8（三枚共 8 种情形）。
可能性的账，古人早已替我们编好数表——要紧的，是学会去翻它。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：开方的需要、贾宪「开方作法本源图」、肩上相加的递推规矩、三条性质（对称、行和、斜线）、二项式展开与组合数、贾宪—杨辉—帕斯卡的六百年传承。
暗线（青绿）：「道生一，一生二，二生三」「生生之谓易」——万物不是被造出来的，是从源头按次第自己长出来的。递推是这句话在数学里的化身。
· 先读故事层，让孩子自己「长」出几行（见动手做一），再回头讲规矩；
· 数学层里「肩上相加」与「行和翻倍」两段，最宜边读边在自制的表上验证；
· 五页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 一张表只靠两条规矩，为什么能长出这么多行？
因为规矩是「能生」的：一行生出下一行，下一行又能生再下一行——力量不在行数多，在规矩活着。
二 「造一行」和「立规矩」差在哪里？
造一行得一次手艺，立规矩得一世的自动。教孩子时也一样：教一题不如教他一条「肩上相加」式的规矩。
三 一张开方的表，怎么就管起了「可能性」？
因为数来数去，数的是同一件事：各种情形各有多少。开方数的是系数，概率数的是情形——账本同一本，翻开的页不同。
《中国古代数学故事绘本》第 07 册
生生之易 · 会生长的三角形
明线：贾宪三角 · 开方作法本源图 · 二项式系数
暗线：生生之谓易 · 道生一，一生二，二生三
时代：北宋—南宋（约 1050 年至 1261 年，远眺 1654 年）
主典：贾宪《释锁算术》（佚，赖杨辉引录）；杨辉《详解九章算法》；《周易·系辞》；《老子》；《庄子·养生主》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
全套十册，依历史时序，自先秦至明清。本册为第七册。