酒家门口，酒坛垛得像一座小山，一层一层收上去。掌柜要报总数，一层层数，数到一半就乱了。
堆，看着是散的；账，却可以是齐的。三百年来，三代算学家接续做同一件事：给「堆」记账。
这一册讲的，就是这本账：怎么记，怎么查，又怎样从一家酒垆，一路记到军营与星空。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
北宋年间，先生带着阿生路过一处酒家。门口的酒坛一层层垛起去，四面收小，像一座小山。
掌柜正发愁：官家要来盘点，这一垛坛子共是多少个？拆开来数，坛子就搬乱了。
先生站定看了一会儿，笑道：「这一垛是散的，账却可以是齐的。」
阿生试着数：顶上一层好数，往下第二层也好数；数到半山，眼睛就花了——一层比一层多，多出来的数目还没个准数。
更难的是：顶上那层给酒垛最外一排挡着，究竟几枚，从地上根本看不见。
「拆开数，是笨功夫，」先生说，「好的算家，要站在堆外把账算清。」
先生在地上画了一条条短线：顶上一层几个，第二层几个，第三层几个……一层一记，把堆写成了一行数。
「堆在眼里是座山，」先生说，「在账上，是一行会说话的数。往后三代人做的，就是把这本账越记越明白。」
一行数怎么说话？往下看。
先生先从最小的堆讲起：顶上一层摆二横二纵，共四枚；往下每边各多一枚，便成了三横三纵，九枚；再往下，四横四纵，十六枚。
阿生一层层记下来：四、九、十六、二十五……
「多出来的数，」先生道，「一层比一层多得多——这本账，乱中有序。」
先生在账目旁又记一行：相邻两层各多了几枚？九比四多五，十六比九多七，二十五比十六多九——多出来的，是五、七、九。
阿生眼睛一亮：五、七、九，层层只多二！
「账下再生账，」先生说，「再乱的堆，也有安静下来的一层。」
把「相邻两项之差」再相减一次：
账 4 9 16 25
一差 5 7 9
二差 2 2
减到第二层，差数齐了——处处是 2。能安静下来，这本账就有规矩可循。
其实老法子不是没有。《九章算术》里收着一种「刍童」之法，本是算粮堆体积的：把垛当成一块上小下大的实心方台，套公式一算便得。
可掌柜按这法子一数，账总是对不上——坛是圆的，坛与坛之间有空隙，实心的公式数不出这些缝。
「法是好法，」先生说，「只是它把堆当成了没有缝的东西。」
刍童法把坛垛当作实心方台，算出来的是「估了个大概」的数：
实心估法 ⟶ 总是偏少（缝没算进去）
缝不是零碎——堆得愈高，缝攒得愈多，账就偏得愈远。
沈括——就是写《梦溪笔谈》的那位大学问家——把这个难题接了下来。他的念头很直：数少了多少，就补上多少。
他把「缝攒下的数目」仔细推了出来：缝隙不是乱长的，攒了多少，与垛的层数、大小都有确定的账目关系。
实心的账，加上缝隙的账，正好对上掌柜的总数。
沈括的算法可以写成一句话：
坛数 ＝ 实心的账 ＋ 补隙的账
后一半是沈括添的。它不是凑数——任换一座垛，账都合。这一添，数堆从此有了自己的算法，叫「隙积术」。
《荀子》说：一捧土一捧土地聚，聚成了山，山里就有风雨兴起。
堆的学问也是这样：没有一枚坛子是白白摆的，每一层都站在下面各层的肩上。
数堆的人若嫌一层层太慢，就永远得不到山。
阿生问：「缝是空的，也能记进账里？」
先生道：「缝虽空，攒起来却有定数。看得见的是实，看不见而数得清的，也是实。」
会记账的人，不漏掉任何一层——连空隙也入账。
同一座垛，两种眼光：一种只数「有」，一种连「无」也数。隙积术的高明，正在把「无」也算成了账。
一百多年过去，到了南宋。钱塘有位算学家杨辉，重读沈括的隙积术，越读越觉得里头藏着一片新天地。
他把酒坛换成果子：果子铺里，果子垛成小小的塔——顶层一枚，第二层三枚围一圈，再往下层层围大。
坛垛太重，不好摆弄；果子垛小，人人摆得起。学问这一回，走进了市井。
杨辉记的第一本账叫四隅垛：顶层一枚；第二层二横二纵，四枚；第三层三横三纵，九枚……
账目排开：一、四、九、十六、二十五——还是平方数！方垛一层层，原来是把平方数一枚枚垒上去。
阿生认得这本账：「这不就是酒垆的账么！」
四隅垛的层账与总账：
层：1 4 9 16 25
总：1 5 14 30 55
「总」这一行，就是把「层」一层层加起来——第三层小塔，共十四枚果子。
数到十层八层，一层层加就慢了。杨辉把总账的规律提了出来，编成一条口诀般的公式。
阿生拿小垛验证：三层小塔，一加四加九，得十四；套公式，也是十四！
「垛不论多高，」先生道，「公式一眼见总。」
前 n 个平方数的和，有一条现成的公式：
1＋4＋9＋…＋n2 ＝ n（n＋1）（2n＋1）÷ 6
验一验：n＝3，便是 3 ✕ 4 ✕ 7 ÷ 6 ＝ 14——与一枚枚数出的果子，分毫不差。
杨辉的账本里，垛不止一家。茭草垛——像一把束起的干草，第一层一枚，第二层两枚，第三层三枚；三角垛——把茭草垛再垛一层，账上便是一、三、六、十。
一座垛一个样，账却行行有规矩。杨辉把它们排成一族，各自配好公式。
阿生看着这一族垛，忽然问：垛和垛之间，是不是也像一家人？
茭草垛的账：1, 2, 3, 4, 5…，求和得
1＋2＋…＋n ＝ n（n＋1）÷ 2
把茭草垛的账再求和：1, 3, 6, 10…——这便是三角垛。一族垛，一条链。
《荀子》又说：半步半步地积，才走得出千里；细流细细地汇，才汇得成江海。
垛也一样：顶层那一枚果子，看似微不足道；可没有它，第二层无处落脚，整座塔立不起来。
账上的每一行，都是一枚一枚攒出来的。
阿生问：「垛是死的，路是活的，怎么算一家人？」
先生道：「塔顶层一枚果，路上第一步印——都是『一』。万里之遥，起于足下；千层之塔，起于顶层。」
一个「一」字，两样走法。
同一句古话，两种读法：垛积把「积」记成账，学问把「积」走成路。账与路，都从第一层起。
阿生把茭草垛的账抄在左页：一枚、两枚、三枚、四枚、五枚。又在右页把左账一层层加起来：一、三、六、十、十五。
加出来的这一行，他越看越眼熟——正是三角垛的层账！
「先生！」他喊道，「我把一座垛的账，加成了一座新的垛！」
先生让阿生再加一回：把三、六、十、十五再层层相加——得出一、四、十、二十、三十五。
又是一座新垛！阿生再要加，纸都不够长了。
「加一回，账升一级，」先生道，「这一架梯子，没有顶。」
把「求和」当作一架梯子，每爬一级，账就换一副面目：
1, 2, 3, 4, 5…
1, 3, 6, 10, 15…
1, 4, 10, 20, 35…
一行比一行「鼓」得快。族里的垛，就这样一座生出一座。
梯子往上爬叫求和；倒过来走，便是作差——第一幕里学过的老功夫。
阿生拿四隅垛的总账来试：一、五、十四、三十、五十五。一差是四、九、十六、二十五；二差是五、七、九；三差——二、二，齐了！
「倒着走三层就到平地，」先生道，「这本账，叫三阶。」
总账逐层作差，减到见齐：
总 1 5 14 30 55
一差 4 9 16 25
二差 5 7 9
三差 2 2
几层见齐，账就是几阶。阶数，是一座垛的「辈分」。
有了「阶」这把尺子，认垛便有了门径：先作差，看几层见齐，再按阶查谱。
一阶的，是茭草一家；二阶的，是平方数一家；三阶的，是平方垛的总账一家。阶数一定，公式就在谱上等着。
乱堆变藏书，全凭这张谱。
垛谱一览（示意）：
一阶 ⟶ 1, 2, 3, 4…（茭草）
二阶 ⟶ 1, 4, 9, 16…（平方）
三阶 ⟶ 1, 5, 14, 30…（平方垛的总账）
作差认阶，按阶取式——账本从此可以检索。
《荀子》又说：要积微小的功夫——按月计不如按日计，按时计不如按月计，愈细的账，愈见真功。
垛上没有一枚果子是「大约」的；账上没有一行是「差不多」的。微处不失，大局自成。
会数垛的人，先学会了不轻看一枚果。
阿生问：「垛生垛，生到哪一层是个头？」
先生道：「墨点聚成山，账行生出新账——『头』不在梯子顶上，在肯不肯再往上走的人心里。」
微不弃，故能著。
同一架梯子，两种说法：数学说「再求和一次」，学问说「再积一层微」。梯子无顶，积亦无涯。
又数十年，到了元代。燕山有位算学家朱世杰，四方游学，人称「朱松庭」。这一日，军中来了个难题。
官府按日招兵，且越招越多：头一日招多少，往后每日加多少，日日不同。问十日之内，共招了多少人？
垛积的学问，从酒垆、果子铺，走进了军营。
朱世杰先把每日招兵的数目排成一行，又把相邻两日之差排第二行，再差排第三行——一本斜斜的差表，便立在案上。
阿生看了眼熟：「这不是第三幕的倒梯么！」
「正是。」先生道，「倒梯走到平地，账的底细就全露了。」
设每日招兵为 2, 6, 12, 20（日日增多），排出差表：
日账 2 6 12 20
一差 4 6 8
二差 2 2
两层见齐，此账是二阶的。差表一立，军营的难题就有了下手的路。
更妙的是倒过来走：只给差表，朱世杰能把整本总账一层层还回去——差是零碎的，加起来便是全数。
招兵的题于是解了：把各日之数一层层累加，加到第十日，总数立见。
「差是散珠，」先生道，「串起来，还是那串账。」
以差还账（试算）：
日账 2 6 12 20
总账 2 8 20 40
十日总招若干，只须把日账续排再累加——差表在手，账不论多长都算得动。
朱世杰最深的发现还在后头：差表上各层的差，各自乘上「垛梯」上对应的数，再加拢——不必一层层排，总数一步可到。
差表管「变化多快」，垛梯管「积了多少层」，两本账一合，再长的时间、再高的垛，都不在话下。
阿生听得发怔：原来垛梯造了几幕，是为这一刻备的。
合账的口诀（示意）：
总数 ＝ 首日账 ✕ 一 ＋ 首差 ✕ 茭草数 ＋ 二差 ✕ 三角数 ＋ …
茭草数、三角数，正是第二、三幕造好的垛梯。旧账在此全部接上了手。
孔子说：堆一座山，只差一筐土停下，是我自己停下；填平洼地，哪怕才倒下一筐土，是我自己在走。
九仞之山，功亏一篑——差的从来不是那一筐土的分量，是停下来的那颗心。
账要一行行记到底，山要一筐筐堆到成。
阿生问：「差表都齐了，账就算完了吧？」
先生道：「表齐了，账还得一行行落笔；山近了，土还得一筐筐往上倒。齐的是谱，成的是功。」
谱在纸上，功在手上。
同一座山，两种说法：数学说「公式再验一层」，学问说「再倒一筐土」。差表再齐，最后一行总要有人肯写。
回望这本账的来历：北宋沈括在酒垆前立下隙积术；一百七十年后，南宋杨辉把酒坛换成果子，排出一族垛谱；又四十余年，元人朱世杰把垛谱与差表合成一路，通成招差术。
三个人，三个时代，一本越记越厚的账。
学问不是一个人做成的——是一代人接着一代人，往下记的。
把这条线画出来，便是一部学问的家谱：沈括立「隙积」，杨辉广为「垛积」，朱世杰通于「招差」——一人一个关口，一关一步天地。
同一个时代，还有李冶在天元术里立方程，秦九韶在正负开方里解高次——宋元算学，群星并明。
垛积这一支，是群星里最「实」的一颗：它从酒垆里生出来，一步一个脚印。
家谱三关：
沈括・隙积术（数堆补隙）
⟶ 杨辉・垛积术（排谱成族）
⟶ 朱世杰・招差术（差垛合一）
每一关都站在前一关的肩上——学问自己，也垛成了一座山。
这本账后来走得很远。欧洲人研究差分与插值，要等到十七世纪——垛积的家谱，比他们早了三百多年。
今天画曲线要先算一串差，造桥算料要层层累加，天气预报把 tomorrow 算进 today 的账里——用的都是「作差、累加」这一对老动作。
从酒垆到计算机，隔着一千年，隔着一条线。
「作差—累加」这对动作，如今叫「差分与求和」：
差分 ⟶ 看变化快慢（几阶见齐）
求和 ⟶ 箋总量几何（垛梯几级）
会了这对动作，再复杂的账，也能一层层读通。
垛的账再长，总有个底——层数有限，总数有限。
可阿生偏偏问出了那句大问题：「要是层数没有底呢？一层、两层、三层……一直加下去，加到永远，总数是多少？」
先生没有立刻回答。他把这一问，郑重地记在了账页的末行。
「加到永远」的账，后世叫「级数」。有的加不到头：
1＋1/2＋1/3＋1/4＋… ⟶ 愈加愈大，没有底
有的却安安静静，守住一个定数。哪样加得到底、哪样加不到底——这一问，要等六百年后的欧洲才吵出结果。
《老子》说：合抱的大树，从一粒芽长起；九层的高台，从一筐土堆起；千里的远路，从第一步走起。
三代人接力记一本账，也是九层之台——沈括倒了第一筐，杨辉倒了第二筐，朱世杰把台顶了上去。
台还没有到顶。账页的末行，留给后来的人。
阿生问：「第一筐土最要紧，还是最后一筐最要紧？」
先生道：「没有第一筐，台无处起；少了最后一筐，台终究不成。一筐都不肯少——这便是积字的全部。」
三代账册，一筐一筐，叠成了一座山。
同一座台，两种说法：数学说「每一项都不可少」，学问说「每一筐都不可少」。求和符号里那个大大的 S，写的原是一个「积」字。
回望这一册，是一座山记成账的故事。
酒垆的难题，逼出一门补隙的算法；算法化成一族垛谱，垛谱叠成一架无顶的梯；梯子倒过来走，差表现了身，军营的难题应声而解；最后三代人接力，把一本账记成了山。
一行数，三条关口，两百年接力。
「作差、累加」这套功夫，我们又是早到的客人。
欧洲人系统研究差分与插值，要等到十七世纪的牛顿、格里高利；而朱世杰的招差术成于 1303 年——早了三百多年。
今天数学书里，「差分」「求和」两个名字都通行——名字各表其功，动作只有一个。学问不怕早到，只怕没有人肯把它接过来。
这一册留一个问题。
垛的层数再多，总有底。可要是层数没有底——一层、两层、三层，一层层加到永远，总数是多少？
有的账加不到底，有的账却守着一个定数。哪样是哪样？为什么？古人的账记到有限就停了笔；这笔「加到永远」的账，要等后人另起一行。
公式再好，不如亲手搭一回。
材料：围棋子、钮扣或豆子，皆可——只要有三十枚，就够搭一座四层的四隅垛。
一 顶层摆 1 枚。
二 第二层摆 2 ✕ 2，共 4 枚。
三 第三层 3 ✕ 3，第四层 4 ✕ 4，层层摆齐。
四 数一数总数：是不是 30 枚？再套公式验：4 ✕ 5 ✕ 9 ÷ 6 ＝ 30——手工与公式，对上了。
认阶的功夫，自己练一遍才算数。
材料：纸、笔；最好再有动手做一里那座小垛。
一 把茭草垛的账 1, 3, 6, 10, 15 抄下，逐层作差，看几层见齐——它是几阶？
二 把四隅垛总账 1, 5, 14, 30, 55 照做一回，与第一题比一比：谁的阶更高？
三 自己编一座垛：层账 1, 2, 4, 8（层层翻倍）。作差之后，见齐了吗？翻倍的账，为什么差不出「齐」来？
隙积——垛与垛之间的缝隙积出的数目；沈括指实心的公式数不出这些缝，须另补一账。
隙积术——沈括所立的数垛之法：实心的账，加上补隙的账，总数分毫不差。
刍童——《九章算术·商功》里上小下大的拟柱体；其体积公式移来数垛「常失于数少」。
垛积术——杨辉整理的各类堆垛求和之法；茭草垛、四隅垛、三角垛皆入此谱。
茭草垛——第一层一枚、第二层两枚、层层加一的垛；总账即 1＋2＋…＋n＝n（n＋1）÷2。
三角垛（落一形）——茭草垛的账再求和所得：1, 3, 6, 10…。
逐差与阶——相邻两项相减为「差」，差上再差，几层见齐即是几阶；阶是一座垛的辈分。
招差术——朱世杰之法：按差累招、以差还账；各阶差乘相应的垛积数再合账，与后世差分插值同构。
垛积一门的要害，在「有限之积，皆可记账」：再散乱的堆，一层一记便成一行数；一行数作差见齐，便有公式可循；公式再与垛梯合账，则无论层多垛高，总数立见。隙积补「无」，垛积立「谱」，招差通「变」——三代关口，步步是「积」。而账末那一问（加到永远）提醒人们：积字有界，问字无涯。
沈括（北宋，1031–1095）——字存中，著《梦溪笔谈》；于卷十八立「隙积术」，为中国高阶等差数列求和之始。
杨辉（南宋，约十三世纪）——钱塘人，著《详解九章算法》（1261）等；系统整理各类果垛公式，垛积一谱由其成形。
朱世杰（元，约十三—十四世纪）——号松庭，著《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）；以招差术通垛积之变，是这一支的集大成者。
牛顿（1643–1727，英国）——其前插公式与招差术同构，晚出三百余年；东西两谱，一理相合。
《梦溪笔谈》（沈括）——隙积术出处；《详解九章算法》（杨辉）——垛积谱系所本；《四元玉鉴》（朱世杰）——「如象招数」门见招差全法；《九章算术·商功》——刍童诸积之母；《荀子·劝学》《荀子·强国》——「积土成山」「积微」；《论语·子罕》——「譬如为山，未成一篑」；《老子·六十四章》——「九层之台，起于累土」。
垛积的账，家里天天都在记。
楼梯有多少级台阶、戏楼一排比一排多几个座、圆盘叠成小塔用了几枚——背后都站着同一行账。
台阶：十级楼梯，第 n 级之下共有 n 级？不必数——茭草垛的公式一步给出：10 ✕ 11 ÷ 2 ＝ 55。
座位：一排比一排多两个座的场子，各排人数作差见齐——按阶查谱，全场座位总数立见。
——「一层一记，按阶取式」这一套，原来满地都是。
垛积后来又开了一扇大门——算面积。
一块曲边的田，直尺量不出：把田切成一条条窄窄的方条，每条当作一层「垛」，一层层加起来，面积便有了账。
条切得愈窄，账算得愈真。垛积问「堆了多少」，这里问「铺了多少」——同一本账，横竖两个方向。
把曲边田切成窄条来加，正是「以直代曲、以垛代田」：
切窄条 ⟶ 记层账 ⟶ 合总数
这套动作成熟之后，名字叫「积分」的雏形——而它的户口，落在本册的垛积上。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：酒垆难题、沈括隙积术、杨辉垛积谱系（茭草、四隅、三角）、作差认阶、朱世杰招差术、宋元四大家与差分法的远行。
暗线（青绿）：「积土成山」「不积跬步」「积微」「九层之台」——总量是一层层攒出来的，学问与功业亦然。垛积求和，是「积渐」在数学里的化身。
· 先读故事层，让孩子亲手搭一座四层小垛（见动手做一），再回头讲公式；
· 数学层里「作差见齐」与「和上加和」两段，最宜边读边在纸上画差表验证；
· 五页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 数堆为什么要「一层一记」，不能一眼报总数？
因为总量藏在结构里：看见层，才看见规矩；看见规矩，才有公式。跳过层的人，得到的是估，不是算。
二 「补隙」高明在哪里？
在肯把看不见的东西也记进账。学算如此，处世亦然：只数「有」的人，账永远偏少。
三 垛的账有底，「加到永远」的账为什么没有？
因为层数不再有限：每一层还都在添数，账就永远在长。有的长着长着慢下来、守住一个数，有的一路奔去不回头——分清这两样，是六百年后级数论的第一课。
《中国古代数学故事绘本》第 08 册
积土成山 · 一层层堆起来
明线：沈括隙积术 · 杨辉垛积术 · 朱世杰招差术
暗线：积微成著 · 积土成山 · 九层之台，起于累土
时代：北宋—元（约 1088 年至 1303 年，远眺十七世纪）
主典：沈括《梦溪笔谈》；杨辉《详解九章算法》；朱世杰《四元玉鉴》；《九章算术·商功》；《荀子》；《论语·子罕》；《老子》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
全套十册，依历史时序，自先秦至明清。本册为第八册。