一道题摆在那里，问的却是一个说不出的数：「圆城的直径是多少？」城能看见，数却看不见。
七百年前的算学家想出一个妙法：给这个看不见的数起个名字，就叫它「天元」。名字一定，说不出的数就能写进算式了。
这一册讲的，就是起名字的学问：怎么起，怎么用，又怎样从一个人的名字，记到四个名字、再到今天的字母。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
金元之际，河北封龙山下有位李冶先生，聚徒讲学，写书不辍。山下人称他与元好问、张德辉为「龙山三老」。
先生案头摆着一部书稿，题作《测圆海镜》：里面收着一百七十道题，题题都问同一座看不见的圆城。
少年们问：城看不见，直径怎么求？先生笑道：「先给那个数起个名字。」
阿生看着题发呆：题里量了甲走几步、乙走几步，人人都说得出；可题目问的城径，谁也没量过——它藏在哪里？
「它哪儿也不藏，」先生说，「它就在题里站着，只是没有名字。人没有名字，唤不应；数没有名字，算不动。」
古算书里也早有人会解这类题，可解法一段一段，像猜谜——猜中了，也不知为什么中。
先生取过笔，在纸上写下一个名号：「天元一」。
「就当它，」先生指着看不见的城径说，「是天元一。往后算式里提到它，唤这个名字便是。」
名字一落纸，说不出的数忽然说得出了：走多少步，可以写成它的账；城径多大，可以由账里逼出来。这门起名算账的功夫，就叫「天元术」。
先生挑了书里最有名的一道讲：圆城一座，不知周径；甲出北门往东走，乙出东门往南走，两人遥遥望见城门——问城的直径是多少。
阿生把两人的步数记了又记：这些数都是题里给定的，可城径这个要问的数，在题里一会儿也不露面。
「它不露面，」先生说，「就给它安个座位——请天元一入座。」
名字既定，题里的每一句话就都有了着落：甲走的步数、乙走的步数，都能用「天元一」加加减减写出来。
同一段路程，从左边量是一笔账，从右边量又是一笔账——两笔账说的是同一件事，理应相等。
「两账相并，」先生说，「同名的数彼此抵消，剩下的，就是天元一欠下的账。」
天元术的步骤只有三步：
设天元一（起名）⟶ 依题立两式（记账）⟶ 两式相消（对账）
相消之后剩下的那一行，叫「开方式」——它就是方程。
天元一写进算式后，满纸的数要摆个规矩的位置：像一本竖起来的账，一层一个位置。
最底下一层摆常数；往上一层摆天元一本身；再往上摆它的平方、立方——层愈高，幂愈大。
「账竖起来，」先生说，「谁的账、几重的账，一眼便知。」
古人的记法：层与层之间标一个「元」字定住天元一层（也有标「太」字定常数层的）：
上层 平方层
中层 天元层（标「元」）
下层 常数层
缺哪一层，就空着哪层——空位正是后来的「零」。
阿生照先生的法子做了一回：直角三角里容一个圆，勾六、股八、弦十，求圆径。
他先写下：天元一，即圆径。又依古法把「圆径 ＝ 勾＋股－弦」与「圆径 ＝ 二勾股除以勾股弦之和」各列一账。
两账一消，剩下一行短短的开方式；开方一看，得四。
两式都成立，于是同一笔账两种写法：
勾＋股－弦 ＝ 圆径 ＝ 6＋8－10 ＝ 4
这题直接看得出来；难些的题，天元术照样三步走。巧法只解一题，此法解一类——这才是它的分量。
《周易》早说过：言语有时而穷，心里明白的话，未必一句句说得尽。
于是圣人「立象」——立一个看得见的形，让说不尽的意有处安身。
「天元一」正是数学里的立象：那个说不出的数，得了名字，才进了算式。名字本身什么也不是，可没有它，意就落不了纸。
阿生问：「天元一真是城径吗？」
先生道：「名字不是城径，名字是城径的座位。座位安好了，数自己会坐进来——坐着的是谁，全看起名时立的是什么意。」
名无定形，意有所指；会起名的人，先想清楚请谁来坐。
同一个「天元一」，在几何题里是城径，在田亩题里是方边。名字一多义，法就通了万题——这正是立象的力量。
名字有了，座位也定了，可题里的关系偏偏要「自乘」「相乘」——两本竖账碰在一起，怎么算？
先生在纸上把两本账并排摆开：「账与账相遇，不是乱作一团，是各自按层相认。」
阿生盯着账面，忽然看出门道：层与层之间，原来有一套安静的规矩。
先生示范了一遍：天元乘天元，落在平方层；天元乘常数，仍在天元层；常数乘常数，还在常数层。
相加就把同层的数并作一处——各归各层，秩序井然。
阿生照着摆了一遍：一层层相认，账虽多，不乱。
拿「天元加二」自乘做例子：
（天元＋2）自乘
＝ 天元×天元 ＋ 2×天元 ＋ 2×天元 ＋ 2×2
＝ 平方 ＋ 4 个天元 ＋ 4
竖账上写：平方层摆一，天元层摆四，常数层摆四。
账里也有「欠数」：该还的、亏空的，古法在那一层斜画一杠，见杠知负。
「见了斜杠，」先生说，「便是倒欠的账。对账时，正负相抵，欠账抵正账。」
负数有了记号，天元式才算记全了：盈的、欠的、空着的，各得其位。
对账的一条要紧规矩：
同名之数，正负相消（＋5 与 −5 归零）
相消不是丢账——是账的两面在纸面上碰了头。
这一步是全法的关口：两笔账相消，同层的数彼此抵扣，最后只剩一行。
这一行不再说「左边多少、右边多少」——它只说：数满了什么条件，天元一该是多少。
古人叫它「开方式」。开方式一立，剩下的活，就交给第三幕的功夫。
相消后的开方式，形如：
平方 ＋ 6 个天元 ＝ 720
用今天的写法：x2＋6x＝720。一行竖账，就是一道方程。
魏晋的王弼说：话是为了显象，象是为了存意；得了意，话和象都可以放下。
算学里正是这样：天元式是象，方程是意。式子列好、账目对清，答案落定之后，没有人再抱着竖账不放。
可放下的前提，是先立起来、先算明白。
阿生问：「账算完了，竖账是不是就废了？」
先生道：「这一次的账用过了，可这一套记号还在。旧账可忘，新题一来，它还要再立一遍。」
记号比任何一道题活得都长——这是它最了不起的地方。
题有千百，式只一式；式所存的不是某道题的答案，是「这类题怎么想」。
半个世纪后，燕山出了位朱世杰先生。他「周流四方，复游广陵」，一路讲算二十余年，是当时声名最盛的算学名师。
他先写了部入门书《算学启蒙》，把天元术一步步教给四方学子；又写了一部更深的书《四元玉鉴》。
书名里的「四元」，说的正是这一幕的事：一个名字不够用了。
天元术管一个未知数。可田有长有阔，市有进有出——一道题里，说不出的数常常不止一个。
朱先生在「天元」之外再立「地元」：一个名字管一个量。题里两个说不出的数，便各安其座。
名字多了不要紧，要紧的是每个名字都请得动、算得清。
譬如长方田：长加阔是二十步，长乘阔是九十六步。设天元一为长、地元一为阔：
长＋阔 ＝ 20
长 × 阔 ＝ 96
两个式子，两个名字——方程的世界，从一条线走到了一张网。
名字多了，账怎么对？朱先生的功夫是「消」：两个式子都有天元和地元，设法把其中一个名字从式子里请出去。
请出去一个，四元化三元；再请一个，三元化二元；最后只剩天元一个——又是熟悉的天元术。
「多名字的题，」先生说，「终究要归到单名字上收账。」
消元的路子，古法叫「互隐通分、内外相消」：
四元 ⟶ 三元 ⟶ 二元 ⟶ 一元 ⟶ 开方得答
每消一次，式子少一层名字；名字消尽，答案自现。
四元术的名字叫全了：天、地、人、物，四个名字各管一量。
在朱先生的图样里，「太」字坐在中央，天元在下、地元在左、人元在右、物元在上——四个方位，四个座位。
一张图同时记四个名字的账，这已是四个未知数的方程组。
四元的座次，记法如棋盘：
上：物元
左：地元 中：太 右：人元
下：天元
幂次离开中印越远，次数越高——方向表名字，远近表次数。
《庄子》说：竹筌是用来捕鱼的，捕到了鱼，筌就可以忘了。
名字也是筌。天元也好，地元也罢，都是捕「答案」这件鱼的器物——答案到手，谁还记得那一串名字？
可下次下河，筌还得再编。忘，不是丢弃，是不为器物所困。
阿生问：「名字消光了，功夫不就白费了？」
先生道：「名字是请来的客人，账清客散。可请客的路数记在心里，下次四位客人一到，照样安排得妥帖。」
会消名的人，才配得上多名的题。
四元归一，不是减法，是化繁为简的秩序：多与一之间，原有一条走得通的路。
秦九韶——与李冶同时代的另一位大家——写过一部《数书九章》。他在书里立了极难的方程，有的高到四次、十次。
式子立起来只是前一半；后一半的活是：把答案那个数，真真切切地算出来。
阿生问：高高的平方层、立方层，一层层的，可怎么开？先生把算筹摆开了：「一位一位地找。」
先生的法子，像在拨一座数塔：先估答案的第一位——大了小了，账马上显出来；减去这一位欠下的账，再看下一位。
每定一位，账就往细处退一层。位数找齐，答案分毫不差。
「不是一口吃成，」先生说，「是一步一步逼近。」
拿 x2＝1444 走一遍：
先定十位：3（余 1444－900＝544）
再定个位：8（8×68＝544，恰尽）
答：38
「8×68」这一步，正是每定一位便改一次账——古法称「增乘开方」。
这法子凭什么叫「正负」开方？因为账里的系数可正可负——亏的盈的都在式子里，它照解不误。
《数书九章》里最有名的一题，方程高到十次：一面尖塔形的田积问题，立式之后，照样一位一位开出来。
式子多高都不怕——这才是真功夫。
正负开方的气魄，一句话：
任意高次 · 系数正负不论 · 逐位逼近
后来的数值计算，走的正是这条路：一步一步逼近真值。
一八一九年，英国人霍纳发表了一套解高次方程的数值方法，西方学界视为新法。
后来人们发现：霍纳法的一步步，与秦九韶的正负开方，动作几乎一模一样。
相隔五百七十二年，两个算家在各自的纸上，画出了同一张阶梯。
两套法子的骨架完全同构：
秦九韶（1247）：逐位定商 · 增乘改账
霍 纳（1819）：逐位试商 · 降幂改表
今天计算器开方用的近似迭代，思路仍是这一族。
《庄子》说：名字是实的宾客——实是主人，名是陪客。
开方式里的「天元一」，说到底要等那个真实的数来坐；逐位逼近的每一步，都是去迎真主人。
算家不慕虚名：账面上的名字再好听，答案不合实数，便是一纸空账。
阿生问：「答案找不到时怎么办？」
先生道：「逼近。第一近似、第二近似……每一步都比上一步更近。有的数走几步就到，有的数永远在走——走的每一步都不白走。」
名是请帖，数是客人；逐位逼近，就是沿着请帖一步步迎客的路。
有限位可得整数之答，无限逼近通不尽之数——式与数之间，横着一座可以一梯一梯走过去的桥。
宋元两朝，算学走到了古时候的最高处：秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰，后世称「宋元四大家」，全聚在这百余年里。
可高峰之后，路忽然冷了。《四元玉鉴》传到明代，几百年间几乎无人能读，全靠抄本悄悄流传。
到清中期，学者们重新捧起这部书，一字一句细草详注，四元术才重见天日。
名字的用处，很快走出了算书的纸面。元代王恂、郭守敬编《授时历》，推算日月运行，便用了天元术与招差术。
招差术正是上一册朱先生的功夫：把日行的快慢，当一层层的垛来记账。
历法颁行天下，四方所用——天元一这个名字，跟着太阳走了一年又一年。
《授时历》的两件法宝：
天元术 ⟶ 立式布账（方程）
招差术 ⟶ 层层合账（内插）
算学与治历在此合流：立象尽意与积微成著，在同一部历书里相遇。
同一门起名的学问，欧洲人走的是另一条路。一五九一年，韦达用字母表数：已知的、未知的，各有各的字母。
一六三七年，笛卡尔在《几何学》里定下沿用至今的规矩：式子前段的字母管已知数，末尾的字母管未知数——x 便是这样当上主角的。
名字换了衣装，主意还是那一个：给说不出的量一个座位。
两套记号，一字对一字：
天元一 ⟷ x
平方层 ⟷ x2 立方层 ⟷ x3
如积相消 ⟷ 移项整理
竖账躺倒，横排成行——天元式与现代多项式，原是一人两像。
把本册第十六页那道题请出来，两种写法并排一放，一目了然。
七百年前的竖账，与今天课本上的横式，说的是同一件事；孩子们今天写的 x，座位便是当年「天元一」的座位。
名字在变，座位未动——这是传承最踏实的样子。
同一道开方式：
古式：平方 ＋ 6 天元 ＝ 720
今式：x2＋6x＝720
逐项对读，一一相合——古法今法，一脉相承。
《老子》说：最大的声音听不见，最大的形象看不见。
名字用到最后，像用完的桥：人人踏着它过河，桥却退到了看不见的地方。今天的孩子写 x，并不知道自己正站在七百年前那座桥上。
最好的记号，就是让人忘了它是个记号。
阿生合上书问：「这么好的法子，怎么险些断了呢？」
先生道：「书会蒙尘，法子不会。它藏在抄本里、历法里、一代代读书人的手稿里，等着重新被打开的一天。」
学问的火种不熄，靠的正是传递——从天元到 x，一根线没有断过。
继承不是复制：古人立天元，今人写 x；座位同一个，坐法各时代。会变衣装的法子，才走得最远。
回望这一册，是一个名字走过的路。
封龙山下，李冶给说不出的数安了「天元」的座位；竖账一层层立起来，两账相消成方程；名字不够用，朱世杰添到天地人物四元，逐个消去；秦九韶把答案一位一位逼近出来；最后这名字走过历法、走过低谷，在字母时代换了衣装，坐进今天的课本。
起名、立式、消元、开方、传承——五步，三百年。
「给未知数起名字」这门功夫，我们又是早到的客人。
《测圆海镜》成书 1248 年；韦达的字母代数在 1591 年——晚三百四十三年。而正负开方与霍纳法，一在 1247，一在 1819，相距五百七十二年。
今天代数课本里的每一个 x，都是同一个念头的回声。学问不怕早到，只怕没有人肯把它接过来。
这一册留一个问题。
天元一管一个数，四元术管四个数。可题里的说不出的量，能不能没有上限——十个、百个，甚至无穷多个名字呢？
名字一旦可以无穷多，账就没法一张纸摆下了。古人四个座位用到头就收了笔；把「无穷多座位」安排明白，要等后人另起一行。
记号再妙，不如亲手摆一回。
材料：棋子、钮扣或豆子皆可——有一把就够；再备一张画了三条横线的纸当账页。
一 纸上三行自下而上写好：常数层、天元层、平方层（天元层旁画个小「元」）。
二 把「天元加二」的账摆出来：常数层放 2 枚，天元层放 1 枚。
三 照第二幕的法子自乘一遍：平方层 1，天元层 4，常数层 4。
四 给常数层里一枚贴上斜杠（负记），再对账一次，看哪两层抵掉了。
消元的功夫，自己练一遍才算数。
材料：纸、笔；最好再请回动手做一里的那本「竖账」。
一 长方田题抄一遍：长＋阔 ＝ 20，长×阔 ＝ 96。设天元为长、地元为阔。
二 用第一式把「阔」写成「20－长」，请地元退场。
三 代入第二式，化成一元：长 ×（20－长）＝ 96。整理论账。
四 开方求答：长是多少？阔是多少？（提示：答案两个，都是整数。）
天元术——给未知数起名「天元一」并列式求解之法；李冶《测圆海镜》为集大成之作。
天元式——天元术的竖排记式：一层一幂，常数居下，幂次居上；空位为零，负数斜画。
太／元——天元式的层位标记：标「元」定天元层，标「太」定常数层，见标记层。
如积相消——依题意列出两段积式，同名之数彼此抵消，化出开方式，即今之移项消元。
开方式——相消后所得的一行式子，即方程；解之曰「开方」。
四元术——朱世杰之法：天、地、人、物四元各管一量，以「太」居中、四方各据一隅记多元式。
互隐通分——四元消法之名：两式互代隐去一元、通分相消，逐次由多变一。
正负开方术——秦九韶的高次方程数值解法：系数正负不论，逐位定商、增乘改账，与霍纳法同构。
代数一门的要害，在「立象以尽意」：说不出的量，起了名字才有座位；名字入式，才有竖账可记；两账相消，才有方程可解；多元多式，才须消元归一；末了逐位逼近，才以名迎实。命名、立式、消元、开方四步，环环相扣，步步是「象」的功夫。而「四元之后呢」那一问提醒人们：象有尽处，意无涯际。
李冶（金元，1192–1279）——字仁卿，号敬斋，真定栾城人；金亡后隐居讲学，与元好问、张德辉称「龙山三老」。著《测圆海镜》（1248）、《益古演段》（1259），天元术由其大彰。
秦九韶（南宋，1202–1261？）——字道古，著《数书九章》（1247）；正负开方术、大衍求一术皆出此书。
朱世杰（元，约十三—十四世纪）——字汉卿，号松庭，寓居燕山，周游讲算二十余年；著《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303），四元术、招差术集其大成。
王恂、郭守敬（元，十三世纪）——主算主仪修《授时历》（1280），以天元、招差诸术入历。
韦达、笛卡尔（1540–1603／1596–1650，欧洲）——前者以字母系统代数（1591），后者确立 x, y, z 表未知数（1637）；与天元术东西相望。
《测圆海镜》《益古演段》（李冶）——天元术元典；《数书九章》（秦九韶）——正负开方与大衍求一之府；《算学启蒙》《四元玉鉴》（朱世杰）——四元术与消法所本，清罗士琳《四元玉鉴细草》为重光之作；《授时历经》——天元入历之证；《周易·系辞上》——「立象以尽意」；王弼《周易略例·明象》——「得象忘言」；《庄子·外物》《庄子·逍遥游》——「筌鱼之喻」「名者实之宾」；《老子·四十一章》——「大象无形」。
起名字的学问，家里天天都在用。
小票上「单价×数量」的空格、作业本里的 x、计算器开方键下藏着的逐位逼近——背后都站着同一个「天元一」。
空格也是名字：小票上单价空着的格，就是天元一的座位——填上它，账就平了。
开方键也是逼近：按一下开方，机器正学着秦九韶的样子，一位一位地找答案。
——「先命名，再算账」这一套，原来满地都是。
名字的学问后来又开了一扇大门——把名字排成表格。
天、地、人、物四元各据一隅，是「给名字安排座位」；现代的矩阵，把几百几千个名字的座位一次排齐，账目一张表全装下。
四个座位排到无穷个座位，中间隔着的，正是「名字可以有多少」这一问。
从四元到矩阵的路径：
四元座次 ⟶ 多元方程组 ⟶ 系数排成表（矩阵）
排座位这件事，从纸的四角，走到了今日计算机的内存里。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：圆城难题、李冶天元术与天元式竖账、如积相消、朱世杰四元术与消元、秦九韶正负开方、《授时历》的应用、宋元算学的高峰与低谷、韦达笛卡尔的字母代数。
暗线（青绿）：「立象以尽意」「得象忘言」「筌鱼之喻」「名者实之宾」「大象无形」——名字是立出来的象，用名而可以忘名，以名要能迎实。
· 先读故事层，再带孩子亲手摆一回天元竖账（见动手做一），回头讲记号就不抽象了；
· 数学层里「两账相消」与「请名字退场」两段，最宜边读边在纸上演练；
· 五页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 为什么解题要先「起名字」？
因为名字让说不出的量有了座位：有了座位才能写进式子，写进式子才能对账。命名不是绕路，是解题的第一步。
二 「消元」消掉的是名字还是道理？
是名字。名字退场，道理（式子间的关系）一点不少。会做事的人，分得清哪是器物、哪是目的。
三 「答案算不尽」可怕吗？
不可怕：逐位逼近告诉人们，一步步更近本身就是答案的一部分。真实世界里大量的数，本就以「愈来愈准」的方式与我们相处。
《中国古代数学故事绘本》第 09 册
立象尽意 · 给未知数起个名字
明线：李冶天元术 · 朱世杰四元术 · 秦九韶正负开方术
暗线：立象以尽意 · 得象忘言 · 筌鱼之喻 · 大象无形
时代：金元—元（1247 年至 1303 年，远眺 1591 与 1637）
主典：李冶《测圆海镜》《益古演段》；秦九韶《数书九章》；朱世杰《算学启蒙》《四元玉鉴》；《周易·系辞》；王弼《周易略例》；《庄子》；《老子》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
全套十册，依历史时序，自先秦至明清。本册为第九册。