柜台上有一把算盘，案头摆着一本来自远方的书：一个管「算得快」，一个管「证得明」。
四百年前，这两样东西在同一片土地上相遇了。最容易的做法是比个高下，可有人偏偏选了第三条路——不比输赢，先求会通。
这一册讲的就是这条路：一条来自祖上的口诀，一本来自远方的公理，怎样在同一个屋檐下各自站好，又彼此照亮。
故事层——跟着画面往下读，先读故事。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学。
注疏层——页面下方的小字，抄着古书里的原话，给一起读的大人。
明万历年间，徽州。天不亮，商铺的门板刚卸下一半，柜台上已经响起了算珠声。
阿生家开着一家小铺。父亲拨算盘极快，指尖起落之间，账目一一归位；嘴里还轻轻哼着口诀，像唱歌一样。
「算盘一响，心里不慌。」父亲说，「这门歌，是程大位先生替天下人写定的。」
几乎在《算法统宗》写成的同一些年月里，京城来了一位远客。
他叫利玛窦，从极西之地来，带着一架自鸣钟、几幅世界地图，和一摞厚厚的书。书里没有口诀，只有图形、定义，和一条一条推到底的证明。
一位叫徐光启的翰林读到了它，惊为奇书：原来数与形的世界，还能这样一层层立起来。
把这两样东西摆上同一张桌，是这一册要做的事。
一把算盘：一拨就响，一响就出账，天下商人赖它吃饭。一本几何：静悄悄的，只有几条人人都认的理，竟撑起一座顶天立地的大厦。
它们是从两个世界来的。相像的地方不多，相敬的地方，要慢慢才看得见。
这一日铺里进了三车粮。父亲把算盘往柜上一放，左手扶框，右手拨珠，噼啪几声，三笔账并作一笔，数目分毫不差。
阿生看得入了神：方才还乱作一团的数，怎么几下就站得整整齐齐？
「算盘上有规矩，」父亲说，「规矩记熟了，指头自己会算账。」
父亲指给阿生看：一根根木档叫「档」，中间一道横梁把珠分作两半。
梁上一珠，一珠当五；梁下一珠，一珠当一。一档一位，个十百千万，从右往左排开——这正是「位值」的老规矩，只是从筹上搬到了珠上。
数进了档，十进一，借了就还，清清楚楚。
算盘的记数与算筹一脉相承：
一档一位，位值十进；梁下记一，梁上记五。
拨珠表数，空档为零。筹算的位值思想，在算盘上变成了看得见、摸得着的手上功夫。
阿生学口诀。三加四，念「三下五除二」；九加一，念「九去一进一」——手指跟着声音走，声音催着手指落。
父亲说，从前老人学算，先背三月口诀，后学三月拨珠；背熟了，算就不必想——「算法住进了耳朵和手指里」。
算筹要摆，笔算要写；珠算连纸都不必，声音就是它的笔。
口诀把「怎么算」一步一句固定下来：
三下五除二：本档加三，下珠不够 ⟶ 拨下五珠（五加三，多出二除去）
九归歌把除法从「试商」变成「见数念诀」。口诀是算法的韵文——节奏、押韵、顺手，三样合起来，学问就成了本能。
阿生拿当日的账试手：粮四十七石、盐一百二十三引、布八十六匹，逐项加总。
口诀一句接一句，珠一颗接一颗；念完最后一个字，梁上珠停处，总数已经等在那里。
父亲点头：「歌是死的，账是活的。死歌对活账，才算学会了歌。」
逐档相加，满十进一：
47 ＋ 123 ＋ 86 ＝ 256
个位 7＋3 满十进一，十位连进再得珠。位值十进的算法，配上口诀的节奏，一串数便如流水过档。
孔子说：君子与人和睦相处，却不必处处相同。
「和」不是「同」。同，是把所有声音变成一个声音；和，是不同的声音各守其位，合成一段乐。
算盘有算盘的道理，远方来的书有远方的道理——还未相见，先记住这一句：和而不同。往后它们相遇，这句话要作准。
夜里，阿生闭着眼也能拨完一页账。手指起落，口诀在心——他忽然明白父亲的话：歌住进手里，人就空出手来想别的事了。
算法炉火纯青，是一种美；可与「明白为什么」比起来，它还差着一步。差的那一步，要等一本远方的书来补。
口诀是「术」的化身：可诵、可传、可速成。术之外，还有一个「理」的世界——彼时它正渡海而来。
万历三十四年，北京。宣武门内的宅院里，利玛窦与徐光启对坐一案，中间摊着那部厚书。
一个通拉丁文，一个精中文；一人讲，一人译，一人润，一句句磨。如此三易春秋，前六卷书成，取名《几何原本》。
付刻那日，徐光启在序里写下心中的震动：「此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心。」
徐光启译到卷首，发现一件奇事：全书六百多个命题，起头却只是寥寥几句「界说」与「公论」。
界说，是名目的约定：点没有部分，线有长无宽。公论，是不证自明之理：等量加等量，其和相等。
「大厦千间，」徐光启想，「根脚原来只有这几块石头。人人认这几块，人人便都得认这座楼。」
公理化的骨架：
界说（定义）＋ 公论（公理）⟶ 逐条证明 ⟶ 命题成网
定义立名，公理立理；凡后续命题，皆由此推出。不诉诸经验、不倚仗权威——只倚仗推理本身。
全书第一题：给一条线段，作一个等边三角形。
只许动两步：以线段一端为心、全长为半径画一圆；再以另一端为心，同样画一圆。两圆相交，从交点连回线段两端——三边等长，一等边三角形便立起来了。
每一步都用到的，只是公论里答应过的那几条。地基之上，第一块砖落定。
命题一的推理骨架：
两圆半径同长 ⟶ 公共交点到两端等距 ⟶ 三边两两相等 ⟶ 等边
没有量、没有猜、没有「大约」——每一步之所以成立，都写明是凭什么。
阿生随父亲进京，在书坊里头一回见到这册新书。翻开来，题题相连：第二题用第一题，第三题用前两题。
「像什么？」父亲问。
「像锁链，」阿生说，「一环扣一环。可这链子不打铁，打的是道理。」
证明的力量正在此：只要起头那几块石头人人认，锁链便对人人一样地成立——不分铺子内外，不分东西。
勾股定理在《原本》卷一之末（命题四十七），是前四十六题层层铺垫的果实：
等腰三角形 ⟶ 角边关系 ⟶ 全等判定 ⟶ …… ⟶ 弦上两方正方之和等于勾股两方
而中算《周髀》以「勾三股四弦五」与出入相补直接算出。同一真理，一由算得，一由证得。
朱子讲过一个比喻：月只一轮，落进万条江河，川川各有一月。
川川的月各不相同——大小、明暗、摇动，处处是「分殊」；可万川之月，同出于一轮——「理一」。
勾股在东方由算而得，在西方由证而成：两条川，一个月。看见分殊的人不必忘了理一；认得理一的人，更该敬重每一条川。
阿生问父亲：「那书里的话，句句都要推，多慢。」
父亲道：「慢有慢的分量。口诀我信，是因为祖辈用了千年没错过；那书里的话他也信，是因为一环环推在明处。两种信，信得都硬。」
信任可以来自千年的验看，也可以来自一环环的推理——两条路，都通向「信」。
验之千年与推之一环：前者是「术」的可信，后者是「理」的可信。同是可信，来路不同——这就是分殊；可信本身，是那轮月——这就是理一。
回程的船上，阿生憋了许久，终于问了：「爹，会算账的人聪明，还是会证题的人聪明？」
父亲拨了三颗珠，笑了笑：「铺子里遇上急账，谁快？书斋里遇上难理，谁稳？」
阿生想了想：「各管各的？」父亲不答，只把口诀书和那册新书并排放进了行囊。
行囊里两样东西并排，正好拿同一道题试手：直角三角，勾三股四，斜边几何？
走算的一路：口诀、筹珠、开方——三三得九、四四十六，相加得二十五，开方得五。快，稳，一步不落。
走理的一路：在斜边上作正方，剖成四块，与勾股两方一一相补——五，是被「证」出来的，不是被「算」出来的。
两路同证一事：
算：32＋42 ＝ 25，√25 ＝ 5
证：弦方正 ＝ 勾方 ＋ 股方（出入相补）⟶ 弦 ＝ 5
算给出数，证给出「为什么必是这个数」。数与理，在同一枚三角形上会师。
两路各有利弊，阿生一一数给父亲听。
算的一路：快如疾风，日结百账；可口诀只答「怎么算」，不答「为何如此」——规矩之外，它就沉默了。
理的一路：一步一证，慢工细活；可它管的是一整类——凡直角三角形，无一例外。算管「此题」，理管「凡此」。
术与理的分工：
术（算法）：给「此题」一个数 ⟶ 快、可普及、依赖口诀
理（证明）：给「一类」一个必然 ⟶ 慢、可扩张、依赖推理
若问「下一题答什么」，问术；若问「凭什么永远不错」，问理。
父亲打了个比方：算法是船，证明是航图。
船快，能载货远行；航图慢，却写明为何此路可达、彼路必沉。有船无图，行到新水域便两眼一摸黑；有图无船，图再好也渡不了河。
「所以谁更聪明？」父亲合上行囊，「会撑船的与会看图的，从来是一伙的。」
术与理相济的实际样子：
理开路（该问什么、为何此法可行）⟶ 术赶路（快算、口诀、工具）⟶ 理验收（对不对、有没有例外）
开路、赶路、验收——三样齐全，学问才走得远。
《中庸》说：万物一同生长，互不戕害；各条道路并行于天地间，互不违背。
会算与会证，正是这样两条道：不必一条吞掉另一条，各自走到极处，反倒互相看见了。
「谁更聪明」这一问，问了一路，答案原来不在输赢里——在并育里。
夜里，铺中的灯与书斋的灯隔着一条街亮着。父亲把两盏灯都比给了阿生：一盏照账，一盏照理。
「灯不必争亮，」父亲说，「同室点两盏，屋子才没有暗角。」
术照「此题」，理照「凡此」；两盏灯同点，快与稳才都看得见——和而不同，在此案上。
译书的人深知：要评判一样东西，先得把它原原本本请进门来。
徐光启定下了次序：会通之前，先须翻译；翻译之后，才有会通；会通了，才谈得上超胜。三步走，一步不跳。
「欲求超胜，必须会通；会通之前，先须翻译。」——他把这句话写进了奏章，也写进了自己的后半生。
遇上有趣的事：译完六卷几何，徐光启没有宣布算盘过时；他自家修历、屯田、练兵，账目算得比谁都勤。
他批评的是「言无法」与「守旧法而不知其所以然」，而不是哪一方的学问。他挑剔两边的短处，也认两边的长处。
评判而先不判输赢——这是最难的功夫，也是最要紧的功夫。
译书期间的两手并进：
一手译《几何原本》《测量法义》⟶ 引入「理」之体系
一手修《崇祯历书》、撰《农政全书》⟶ 用「术」济实用
术与理在一人身上并行不悖——他自己就是「并育并行」的活样本。
数十年后，宣城人梅文鼎把这件事做得更到家。他遍研中法西法，笔下从不偏袒：
「法有可采，何论东西；理所当明，何分新旧。」——法子好就采，不论它从东边来还是西边来；道理该明白，不问它旧还是新。
他把西方的几何讲给中人听，也把中法的勾股讲给西人听：勾股可以通几何，几何亦可以还通勾股。
梅文鼎会通的实绩：
以勾股释几何（平三角、立三角）⟶ 以几何正中法（演段、开方诸图）
一进一出，两法互证。学问的边界，在会通者笔下悄然消融。
康熙年间，朝廷召集学者，把中西算学熔为一炉，纂成《数理精蕴》五十三卷。
书里，西方的几何、代数与中法的开方、勾股各居其篇，又互为注脚。这是「会通」由个人而成国家工程的一刻。
算盘没有因此退休，几何也没有喧宾夺主——两样都进了殿门，各坐各位。
《数理精蕴》的结构即一种「会通宣言」：
首编（纲）立数理之本 ⟶ 次编（目）条分线面体与代数 ⟶ 表编（用）八线、对数与诸法表
理论、方法、工具三层齐备——术与理在官修之书中正式合流。
南宋的陆九渊说下一段有名的话：东海出圣人，此心同、此理同；西海出圣人，此心同、此理同。
四百年后，明清之际的学人拿这句话迎接远方的学问：既然理一，则东西所得之理，必能相认。
会通之所以可能，正因为有这个「同」字垫底——不同是表面，相同是根基。
阿生长成后重读那册几何，又在柜上拨了半日算盘。两样他都舍不得。
后来他懂了：舍不得不是软弱的和稀泥，是「和而不同」最结实的样子——两样都真，两样都留，中间的路自己走。
翻译—会通—超胜，三步的次序里藏着一个道理：先敬重不同，才配得上相同。
这一册到了收束。回头望望，前九册各立着一座山：数从结绳刻符里来，勾股环而共盘，田亩丈出分数，圆周三起三落，同余唤兵点将，贾宪三角生生不息，垛积积土成山，天元为未知命名。
九座山，各是各的峰；合起来，是一条脉。
如今第十座山下，算盘与几何并肩而立——这一册要问的，是山外的事：不同的智慧之间，该怎样相处。
四百年过去，再看这两样东西的去处。
算盘老了么？《算法统宗》风行数百年，珠算口诀至今仍在传习；一粒算珠拨下去的快意，计算器替代不了。
几何旧了么？《原本》的界说与公论，进了今天每一本中学课本；公理化的法子，成了现代数学的通用骨架。两条路，都活着，都往前走。
今日课堂上的合流：
计算（术）与证明（理）同册共教 ⟶ 珠算进非遗 ⟶ 公理化成数学之骨架
会通不再是少数人的志业，成了每个学算之人的日用。
把两条路各自的样子列成一张清单，摆上桌来。
算的一路：从实际问题来，求「好用」，口诀传承，人人可学，验在日用。理的一路：从公理出发，求「必然」，推证传承，层层可溯，验在逻辑。
清单上没有一行是「错」的，也没有一行是完全相同的——这正是「不同」的全部分量。
清单的收梢：
术：问题 ⟶ 口诀 ⟶ 快 ⟶ 验于日用
理：公理 ⟶ 推证 ⟶ 必然 ⟶ 验于逻辑
两条清单尾尾相望，桥就在中间：理给术立「为何可行」，术给理验「果然可行」。
「和而不同」最怕被读歪：和，不是把两样搅成一团浆。
搅成一团，口诀不再是口诀，证明不再是证明，两败俱伤。会通的正解是：承认各自成立，再去找它们共同指向的那一个「理」。
分殊处处，理一则一。守得住分殊，才配得上理一。
会通三戒：
一戒以一灭一（宣布某一方「无用」）
二戒强行混一（把两法搅成半吊子）
三戒徒高下论（只问谁高，不问何为真）
三戒之外，路只有一条：各守其位，共指其理。
西周末年，史伯说下八个字：相和则生出新物，全同则无以为继。
算盘与几何相遇，生出的新物写在往后的岁月里：《测量异同》的对勘、《数理精蕴》的合流、今日课堂里计算与证明同册共教。
若当初选择了「同」——宣布一方吞掉另一方——这一切新物，一样也不会出生。
全书的视觉母题，在此页完成：左半是算盘，右半是几何——第一页分开摆的两样东西，最后一幕合成了一幅图。
合为一图，不是并作一物；算盘仍是算盘，几何仍是几何。合起来的，是那道望向它们的目光。
十册十问，至此同归于一个问：不同的智慧如何相处？答案不在输赢里，在会通里。
回望这一册，是一张桌子慢慢摆齐的过程。
徽州铺子里，口诀把算法唱成了歌；京城案头上，公理把推理立成了塔；徐光启把书译进门，梅文鼎把两法对勘；御制的殿里合流，今日的课堂里同堂。
翻译、对勘、会通、传承——四步，三百多年。十册书至此收官：十座高峰原是一条山脉，山上山下，走的是同一种「求真」。
有一桩事，不能不记在此册的末尾。
利徐二氏只译成前六卷，后九卷悬而未续。徐光启在跋里说：续成大业，有待后人。这一等，就是两百五十年——1857 年，李善兰与伟烈亚力续译全书告成，《几何原本》方在中国团圆。
会通不是一代人的事。肯把未竟之业郑重交给后人，也是会通的一部分。
全书的最后一问，留给还没发生的相遇。
算盘与几何的相遇，用了三百年学会相处。那么，还未逢面的智慧呢——尚未相遇的学问、尚未对话的人心，该怎样等待彼此？
和而不同的功课没有结业的一日：认得出不同，守得住分寸，指得着共同的那一点理。下一场相遇来时，功课还得重做一遍。
口诀是唱出来的规矩，先亲手把「规矩」做出来。
材料：一块纸板、一段粗线、若干珠子（钮扣、豆子皆可）、一支笔。
一 纸板上画出四根竖档，中间画一道横梁。
二 每档穿五珠：梁上一枚、梁下四枚，自右往左标个、十、百、千。
三 拨一数试试：如 375——百档梁下一枚带二枚靠梁（记三），十档梁上一枚带二枚（记七），个档梁上一枚（记五）。
四 加 128，边念口诀边拨，看进位怎样过梁。
证理的功夫，也亲手走一遍才算数。这一回不拨珠，改剪纸。
材料：三色纸各一张、剪刀、笔、尺。
一 各色纸上各剪一个大正方形、两个小正方形（边长自定，譬如三寸、四寸）。
二 把勾三、股四的两个小方剪成碎块，试着拼进弦五的大方——能否恰好填满？
三 拼满之后，把每一步「凭什么可以这样剪」写成一句，列成自家的小「公论」。
四 换一个直角三角形再试。问：碎块的拼法一样吗？「结论」变了吗？
珠算——以算盘拨珠行算之法，宋元成形、明代大盛；一档一位、位值十进，梁上记五、梁下记一，空档为零。
口诀——算法的韵文定式，如加法「三下五除二」、除法「九归」诸诀；可诵可传，算法由此化入手指与耳音。
《算法统宗》——程大位 1592 年所撰珠算总集十七卷，汇口诀、谱盘式、收商旅实用之题，为珠算集大成之作。
界说——利徐译本对 definition 的定名：立名目、定范围，如「点者，无分」。
公论——对公理（含公设）的译名：不证自明、人所共认之理，如「等量加等量，其和相等」。
求作——对 postulate 的译名：允许施行的基本作图，如「自一点至任一点引一直线」。
公理化——由少数定义与公理出发、逐条推出全部命题的组织体系之法；《几何原本》为其范型。
会通——明清之际中西算学对勘融合之总名：先译、次会通、后求超胜；语本徐光启，成于梅文鼎。
本册的要害，在分清三种相处之法。其一是「同」：以一方吞并或取代另一方，史伯谓之「同则不继」。其二是「混」：把两法搅成半吊子，各失其真。其三是「和」：承认各自成立，对勘、互证、各守其位，而共指其理——此即会通。会通之所以可能，哲学上系于「理一分殊」：万川之月虽殊，月则一轮；东西所得之理虽异，理则同源。术与理的相济（船与航图）与东西两学的相济，是同一道理的两副面孔。
程大位（明，1533–1606）——字汝思，号宾渠，徽州休宁人；早岁经商，晚年著《算法统宗》，珠算由是大定。
利玛窦（意，1552–1610）——耶稣会士，1582 年抵华；与徐光启合译《几何原本》前六卷，又与李之藻译《同文算指》，引西学入华之先驱。
徐光启（明，1562–1633）——字子先，号玄扈，上海人；译几何、修历法、撰《农政全书》，「欲求超胜，必须会通；会通之前，先须翻译」为其纲领。
梅文鼎（清，1633–1721）——字定九，号勿庵，宣城人；著《历算全书》，「法有可采，何论东西」，中西会通之宗匠。
李善兰（清，1811–1882）——号秋纫，海宁人；与伟烈亚力续译《几何原本》后九卷（1857），又译代数、微积分诸书，西学东渐之重镇。
欧几里得（希腊，约前三世纪）——著《几何原本》十三卷，公理化体系之范型；利徐译其前六卷，李善兰辈补全十五卷本（合译底本增为十五卷）。
《算法统宗》（程大位）——珠算元典；《几何原本》（利玛窦、徐光启合译，1607／李善兰、伟烈亚力续，1857）——公理化入华之始；《测量异同》《测量法义》（徐光启）——东西对勘之实绩；《崇祯历书》《数理精蕴》（1723）——会通之国家工程；《历算全书》（梅文鼎）——个人会通之集成；《论语·子路》——「和而不同」；《礼记·中庸》——「并育并行」；《国语·郑语》——「和实生物，同则不继」；《象山语录》（陆九渊）——「东海西海，心同理同」；《朱子语类》——「理一分殊」「月映万川」。
会通的成果，家里天天都在用。
买菜算账，用的是「术」的直快；做一道证明题，用的是「理」的谨严；按键计算，机器里同时住着两样——算法是它的船，逻辑是它的图。
计算是术：口算、珠算、笔算、机算，问的都是「此题答什么」。
证明是理：课本里「求证」二字，接的正是《原本》的衣钵——问的是「凭什么永远如此」。
——四百年前那张桌上并排的两样东西，如今在每个人的书包里。
会通这件事，后来走得更远。
公理化的法子不再只管几何：十七世纪牛顿的力学、十九世纪以后的算术公理、集合论公理，直到二十世纪的各门数学，都学着《原本》的样子——立几条公认的地基，推出整座大厦。
而中算「重实用、重算法」的传统，则活在与公理传统并肩的另一翼里：数值方法、计算数学、计算机算法——快与稳，都还在。
从《原本》到现代的路径：
《原本》（前三世纪）⟶ 利徐译本（1607）⟶ 公理化方法遍及各科（十九—二十世纪）⟶ 计算与证明同堂（今日）
和而不同不是终点，是一条越走越宽的路。
这一册有两条线，一明一暗。
明线（暖金）：珠算与《算法统宗》、利玛窦徐光启合译《几何原本》前六卷、公理化体系、术与理的分工、徐光启的会通纲领、梅文鼎与《数理精蕴》、李善兰补全十五卷、珠算与公理化的今天。
暗线（青绿）：「和而不同」「理一分殊」「并育并行」「心同理同」「和实生物，同则不继」——不同的智慧如何相处：不比输赢，各守其位，共指其理。
· 先读故事层，再带孩子亲手做一把小算盘（见动手做一），口诀之「顺」要靠手上体会；
· 数学层「一题两解」与「清单对照」两段，最宜边读边在纸上演练；
· 五页暗线页与每幕的交汇页（偏青绿），适合慢读——只问不答，让画面自己说话。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。这也是全书的最后三问。
一 口诀和证明，能互相代替吗？
不能，也不必。口诀快，回答「此题答什么」；证明稳，回答「凭什么永远如此」。术管快，理管必，各司其职。
二 为什么徐光启坚持「会通之前，先须翻译」？
要先原原本本地懂，才有资格评。评判先于理解的评判，多半是偏见。译书是把「不同」请进门——请进门，才谈得上和。
三 「和而不同」难在哪里？
难在两样都真、两样都留，还要找得到共同指向的那一点理。搅成一团容易，各守其位而相济，才是真功夫。
《中国古代数学故事绘本》第 10 册
和而不同 · 一把算盘与一本几何
明线：珠算与《算法统宗》 · 《几何原本》前六卷译行 · 公理化 · 中西会通
暗线：和而不同 · 理一分殊 · 并育并行 · 心同理同 · 和实生物
时代：明—清（1592 年至 1723 年，远眺 1857）
主典：程大位《算法统宗》；利玛窦、徐光启合译《几何原本》；徐光启《测量异同》；梅文鼎《历算全书》；《数理精蕴》；《论语·子路》；《礼记·中庸》；《国语·郑语》；《象山语录》；《朱子语类》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
全套十册，依历史时序，自先秦至明清。本册为第十册，即全系列之总收束册。