刘徽这个人，正史里没有传。
《三国志》没有提他，《晋书》也没有提他。生卒年、籍贯、官职，全都只能推测。关于他的一生，今天能确定的只有一件事：公元二六三年，他给一部旧算书《九章算术》写完了注——九卷，逐题逐术，从头讲起。
但正是这部注，改变了此后一千多年中国数学的样子。他做了一件当时几乎没有人做的事：不写答案，写怎么想出来的。
故事层——跟着画面往下读：一座算错的粮仓，一册只有答案没有道理的旧书，一个把圆拆开来算的人。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学：割圆术、出入相补、率的运算。
注疏层——页面下方的小字，标注史料的出处与真伪，给一起读的大人。
三国魏的屯田区里，圆仓一座接一座立起来。仓是圆的，叫囷——省料，围得起，装得实。
可这座仓出了岔子。账上算得满满当当，粮装进去，还空着小半截。督粮的官吏把量斗翻了又翻，把绳子拉了又拉：仓的周长量了，高量了，《九章算术》的术文一道一道核过去——算式没有错。
错的是算式之前的那句老话：周三径一。周长三尺的圆，直径一尺。这话传了不知道多少代，量车轮、做锅盖、画圆田，人人都用它。没有人问过：三，是哪来的？
翻开来的是《九章算术》。方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股——九卷，二百四十六道题，每道题下面跟着一句术：怎么算，一二三四。
这本书是好的。它把几百年来四方流传的算法收拢成册，题题能用。可它有一个奇怪的脾气：只给做法，不给道理。圆面积怎么求？「半周半径相乘得积步。」为什么这样乘就是面积？书里没有说。
用的人背下来，一代传一代。算对的，照旧算；算错的，也照旧算——因为没有一套办法，可以查这句术文是怎么来的。
魏景元四年，公元二六三年。一个人给《九章算术》写完了注。
他叫刘徽。他在自序里说，自己幼年学《九章》，长大后再拿起来细看，看出了两件事：这些术文「事类相推，各有攸归」，看似零散，其实共着同一副根干；而光背术文是不够的——要紧的不是它算得对，而是它凭什么对。
于是他做了两件前人没有做的事：用文字把道理一条条讲出来，叫「析理以辞」；用图形把道理一步步画出来，叫「解体用图」。粮仓那一笔错账，就是他要还的第一笔账。
督粮的官吏和老工官在仓前算了一下午。仓的周长是量的，高是量的，量斗校过三遍；《九章》的圆囷术，一步一步照着摆——算式不错，数字不错，可粮就是装不下。
「术不会错。」老工官说，「这术传了两百年，人人用。」
「术没错，」另一个人说，「错在术里掺的那句老话——周三径一。」说话的人正是注书的刘徽。他蹲下去，拿一根柴棍在土里画了一个圆、又画了一个外切的正方形：「径一的三倍，是正方形的周长，不是圆的周长。圆是往里收的，收了多少，三这个字没说。」
要紧的不是把三改成一个更准的数，而是把「准到哪一步」说清楚。这就要从头算起。
周三径一，不是谁拍脑袋定的。拿根绳子沿车轮绕一圈，再拿它对着直径量——差不多正好三倍。量得越多，越确信：周，大约就是径的三倍。
可「大约」两个字里藏着账。粮仓的差错就是这么来的：拿三当三的话，每一座仓都少报一段容积，百座仓就是一笔大数。
老工官不服：「三，是我爹传的，他爹也传的。」刘徽说：「传得久，不是它对的凭据。得说得出它差多少、怎么差。」
圆的周长与直径之比，今天写作 π。周三径一说的是 π ≈ 3。真值是 3.14159…，每一尺直径，周长少算了约一寸四分。
这个比值有个麻烦：它连着「曲」与「直」——周是曲的，径是直的。曲的东西，直尺量不着；能精确量出来的直的东西，又凑不出圆。
经验给了一个粗糙的数，却给不出「这个数准到哪一步」的说法。要准数，先得把圆变成算得了的东西。
《九章》圆田术说：半周半径相乘，得积步。把圆周的一半乘上半径，就是圆的面积。
刘徽没有推翻这句术文，反而认下了它：「此术至善。」——半周乘半径，径直就是圆面积的准确式子。毛病出在用的地方：周长若按周三径一算成三倍直径，好术套上坏数，结果照样坏。
所以圆的问题，归根到底是周与径的比这一个数的问题。把这一个数算准，田赋、仓廪、车轮、浑天，一路的账都跟着准。
用今天的话写：圆面积 S = (1/2)C · r，其中 C 是周长、r 是半径。代入 C = 2πr，得 S = πr2——正是圆面积的准确公式。
刘徽评语的关键在「率」字：周与径的比。率准，则百术皆准；率不准，术文背得再熟也是白背。
这个思路很现代：先把公式立对，再单独解决公式里最难的那一个数。难处集中，火力集中。
直的东西，算筹会算：长乘宽是面积，勾乘股是面积，账清清楚楚。曲的圆，算筹不会算——它没有「长」和「宽」。
刘徽在土上画的那个圆里，慢慢显出一个思路：圆算不了，可圆里的直线算得了。在圆里放一个正六边形，六个顶点都坐在圆周上——它有边，有角，有面积，每一样都能用算筹精确摆出来。
六边形贴着圆，可它不是圆：六个角外，各空着一块弓形的月牙地。空多少，是能算的。
「那就把这块空地，一块一块地吃掉。」
圆内接正六边形有个漂亮的事实：它的边长恰等于半径。六个顶点把圆周六等分，每条边对着的圆心角六十度，三角形三边相等，边长就是 r。
于是 r = 10 寸时，六边形每边 10 寸，面积一步可算。它比圆小——小多少，量得出。
把每条边从中间割开，顶点翻倍，十二边形更贴圆；再割，二十四边形更贴……每割一次，多边形与圆之间的空隙就小一圈。圆算不了，可「更贴圆的多边形」一直算得了。
割下去，割下去——边数翻一倍，贴圆一分。可翻到哪一步算完？一千边？一万边？多边形永远有角，圆永远没有。照这样问下去，永远差着最后一步。
刘徽不这样问。他不问「哪一步能到达圆」，他问：这一步，还差得多小。
差多少是能算的——多边形与圆之间的空隙，本身就有面积，有面积就有数。把「差」记成一本账，账越记越薄；等到账薄得对粮仓的那笔差错毫发无伤，就不用再割了。
圆的账，不止一家的文明在算。
巴比伦的泥板用 3 + 1/8，埃及的纸草用 3 + 1/7 再打点折扣，中国《周髀》用三。各家都从各自的车轮、粮仓、圆田里量出来——量得都对，也都糙。
粗糙不丢人。丢人的是停在粗糙里。刘徽的做法是转身向里：不再换一个更巧的经验数，而是造一台自己会变准的机器——割下去，每翻一倍，准一分；再翻，再准。数不再是被「找到」的，是被「算出来」的。
割圆，从一件旧东西起步。工匠早就知道：在圆里画正六边形，不用量——圆规张开成半径，绕圆走六步，步步落在圆周上。
刘徽在《注》里把这一步写成了账：六觚之一面，与半径等。觚，就是棱角。一个曲的圆，从今天起有了一个完全直的替身：边长等于半径的正六边形。
它当然不是圆。但它边上每一寸、角里每一分，算筹摆得出真数。圆墙外面吃不着的那块地，就从这里开割。
割法很简单：每条边从正中割开，中点向外顶到圆周上，一个顶点变两个。六边形割成十二边形，十二割成二十四。
可新顶点落在哪，得算出来——落在圆周上，不能凭手摆。刘徽用的是勾股：从圆心到边中点拉一条垂线，垂线、半边、斜到顶点，恰好围成一个直角三角形。勾股一勾，新的边长就出来了。
一步一割，一割一算。算筹在案上摊开，从六觚一路往下割。
设六觚边长 c6 = 10 寸（等于半径）。边心距 d = √(102 − 52) = √75 ≈ 8.6603 寸——刘徽开方至厘毫，得八寸六分六厘强。
十二觚一边的平方：c122 = 52 + (10 − 8.6603)2 ≈ 26.795，开方得 c12 ≈ 5.176 寸。
这串运算里没有一处近似，只有最后开方那一步舍入。换句话说：倍边的过程把「画不准」全部变成了「算得准」——画图会手抖，算筹不会。
边会算了，接着算面积。刘徽的切法干脆：从圆心向每个顶点连一条线，多边形被切成一片一片的窄三角形，每片两条腰是半径、底是一边。
每片的面积：底的一半，乘高——高就是半径。一片乘上片数，整个多边形的面积到手，分毫不差。
于是这本账可以一档一档记下去：六觚一片，十二觚十二片，二十四觚二十四片……片片是直的，片片算得出。贴着圆的面积，就这样一片一片凑出来。
每片面积 = (1/2) · (cn/2) · r，全形 Sn = nrcn/4。半径 10 寸，算得：
S6 = 259.81 S12 = 300 S24 = 310.58 S48 = 313.26（平方寸）
圆的真面积是 π·102 ≈ 314.16 平方寸。看这条数列：259.8，300，310.6，313.3……一步一步，正从下面爬向 314.16。
只从下面爬，永远不知道还差多远——除非把「差」也算出来。刘徽的本事在这儿：他不光算多边形有多大，还算多边形和圆之间那圈空地有多大。
空地分两层：贴着边的一层是「余径」，再外面是弓形。割一次，两层都薄一分。他证了一件事：把这一次割出的空隙整片加上去，圆面积就被夹在了两个数之间——下界是多边形，上界是多边形加一圈空地。
圆被关进了门槛。而且每割一次，门槛就窄一圈。
刘徽给出夹逼：S2n < S圆 < S2n + (S2n − Sn)。
右边多出来的那一块 S2n − Sn，正是这次割掉的空隙，刘徽称「差幂」。它随割制递减：割得越细，上下两个门槛夹得越紧。
原注里那两句话，说的就是这件事：「割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。」
「割之又割」，割到哪天算完？刘徽自己说了句奇怪的话：割到「不可割」。多边形明明可以一直割下去，怎么会不可割？
他不是真要人割到天边。战国时惠施说过「一尺之棰，日取其半，万世不竭」——一根尺，每天截一半，一万年也截不完。这话是对的，可对工匠没用：粮仓等不得一万年。
刘徽把这句话倒过来用：既然万世不竭，那就不必等竭——只要账上显示剩下的误差已经小得伤不着任何一道实务，割的工序就可以收工。无限的过程，有限的步骤就接管了。
割圆这件事，西方也有人做——阿基米德，比刘徽早五百年。他也画内接多边形，也一路加倍，也把圆夹在两个数中间。连停在九十六边形的档位，都惊人地接近。
可两个人手里的家伙不一样。阿基米德靠比例论与归谬法，一条命题一条命题地「证死」上下界；刘徽靠算筹与十进位值，一档一档地「算」出逼近值，误差记成分数账。
一个是逻辑的刀，一个是计算的尺。两个文明隔着欧亚大陆，用不同的家伙，割着同一个圆——这大概就是数学：换任何人、换任何家伙，走对了路，都通向同一个数。
从这一幕起，没有窍门了，只剩算。每割一档，都要开一次方，乘一片面积，减一遍差幂——全在算筹上做。没有纸笔演草，没有算盘，更没有计算机；一根一根筹，摆上去，拿下来，再摆上去。
帮了大忙的是中国算术的底子：算筹记数，十进位值，逢十进一，空位就是零。开方、乘除，在筹阵里都是干净的程序——程序对，答案就跑不掉。
刘徽割到九十六觚，案上的筹换了多少回，没有人知道。账留下了。
账报到九十六觚这一档，数字是——
九十六觚之幂，三百一十三寸，六百二十五分寸之五百八十四。换成小数：313.9344 平方寸。离圆的真面积 314.16，还差 0.225 平方寸。
六百二十五分之五百八十四——分数记到这么细，是把误差当正经账目记。要知道圆被夹得多紧，还差最后一割。
半径 10 寸，圆面积真值 π·102 ≈ 314.159 平方寸。
S96 = 313 + 584/625 = 313.9344（平方寸）
下一档的账预告了上界：S192 − S96 = 105/625 = 0.168。差幂只剩零点一七平方寸——圆已经被夹在一个指甲盖大小的门槛里。
再割一档。一百九十二觚之幂，三百一十四寸，六百二十五分寸之六十四——314.1024。加上差幂 0.168，上界是 314.2704。
圆面积被夹死了：314.1024 与 314.2704 之间。半径是十寸，两边一除，圆周率就被夹在 3.1410 与 3.1427 之间。
刘徽在这本账上取了 3.14——宁可让掉第三位小数，取一个两边都信得过的数。这就是后世尊称的徽率：一百五十七比五十。
314.1024 < S圆 < 314.2704 ⟹ 3.1410 < π < 3.1427
取 π = 3.14 = 157/50。用徽率重算粮仓：每百斛的账，误差不过小半升——周三径一时代那笔大糊涂账，就此了结。
留意刘徽的取法：在夹逼的门槛里取，不取门槛外的漂亮数。宁可少一位准头，不破自己立的规矩。
账没有停在 192。注文里另有一组数：周率三千九百二十七，径率一千二百五十——3.1416。按这组数反推，多边形要一路割到三千零七十二觚。
三千零七十二个顶点。每割一档，开方、乘、减，全程算筹。这一档账，是耐心对误差的胜利：三千边与圆之间的空隙，只剩万分之几平方寸。
从六到三千零七十二，倍了九轮。每一轮，圆都更近一分；每一分，都有账可查。
3927/1250 = 3.1416
与真值 3.1415926… 相比，四位小数只差末位。达到这一精度所需的边数，按差幂的缩小速度倒推，正是 6 × 29 = 3072。
差幂的缩小有铁律：边数每翻一倍，差幂约缩为四分之一。想准一位小数，就得翻三倍多的轮次——准，是用翻倍换来的。
把每一档的差幂排成一列，看看这本账是怎么薄的——
十二觚，差四十有二；二十四觚，差十又六；四十八觚，差二又七；九十六觚，差零六七；一百九十二觚，差零一七。数字一位一位地矮下去，像退潮。
刘徽没有写「无穷」两个字。他写的是：割之弥细，所失弥少。失，是多少，账上有数。不宣布抵达，只登记逼近——这本越记越薄的账，就是中国数学对「无限」的答法。
S12−S6 ≈ 40.2 → 10.6 → 2.7 → 0.67 → 0.17 → 0.042 → …
公比约四分之一：边数翻一倍，误差缩四倍。想把误差压到原来的百分之一，翻六倍多即可；千分之一，翻十倍。任何指定的「足够小」，都在有限步之内等着。
「割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。」——这句话，用今天的数学话怎么说？
这么译：随手指定一个要多小有多小的口袋，总有一档多边形，与圆的全部差距都装进这只口袋。口袋再小，档数总存在——只是可能要割很多轮。
刘徽没有口袋这个词，但他做的事一模一样：差幂就是口袋的尺寸，边数就是档数。一千六百年后，欧洲的分析学家把这件事写成了严格定义；而账目的骨架，刘徽的注里早已搭好。
圆的账收完了，注还没写完。九卷书里，方田算地、粟米换粮、商功筑城、勾股测远——每一卷的术文，刘徽都要给出道理。
给他撑腰的，是同一件兵器。这兵器名字朴素，叫出入相补：一块图形剪下来，挪个位置拼进去，面积不变。多出来的补给缺的，盈虚相抵，账就平了。
听着像剪纸手艺？可从三角形的面积、直角三角形的勾股，到柱、锥、亭、仓的体积，全靠它一寸一寸证出来。九章的二百四十六问，一大半账目都过过这件兵器的手。
《九章》勾股卷开篇的术文只有一句：勾股各自乘，并而开方除之。两条直角边的平方相加，开方，得斜边。为什么？书里照例不说。
刘徽说：以图验之。图怎么做？取四个一模一样的直角三角形，斜边朝外，围成一圈——中间剩下的那块，是一条直角边减去另一条的小方。整幅图的账，一目了然。
「自乘」的两块面积，就这样被拆成看得见的四片三角形加一方。剪剪挪挪，定理落地。
外方边长是弦 c，面积 c2。它由四片三角形与中央小方拼成：
c2 = 4·(ab/2) + (b − a)2 = a2 + b2
展开、消去，勾股定理立住。没有一步是量的，每一步都是拼的。
圭田（三角形田）求积，《九章》说：半广乘正从。刘徽注：把三角形里多余的一半剪下来，补到缺的那一半去——三角形变成矩形，账就直了。这叫「以盈补虚」。
同一套手法，回头来收拾圆。圆不是直的，可把圆切成一瓣一瓣极窄的扇条，近似一排三角；把扇条一上一下交错铺开，铺到极细时，铺出来近似一个矩形：宽是半径，长是半周。
圆田术「半周半径相乘」，到这里才算真正看见了。而半周里藏着割圆术挣来的那个准数——两件兵器，在这里接上了头。
S = (半周) × (半径) = (1/2)·2πr·r = πr2
割得极细时，扇条无穷接近矩形——「半周乘半径」由一条口诀，变成了一幅看得见的图。
平面会拼了，立体怎么办？《九章》商功卷堆着一套陌生的名字：堑堵、阳马、鳖臑。堑堵是把长方块沿对角面斜切出的三棱柱；再斜切一刀，一个切成阳马（底是矩形、一条棱垂直立起的四棱锥），一个切成鳖臑（四个面都是直角三角形的小楔）。
长方块的体积人人会算，可城、堤、谷仓的斜面怎么算？刘徽的路子：任何复杂的立体，都能剖成堑堵、阳马、鳖臑这几种「积木」；而积木的账，归到一件事上——
一个阳马，恰是两个鳖臑。二比一，分毫不差。这个比例，后世称为刘徽原理。
阳马：鳖臑 = 2 : 1，于是堑堵的体积立刻可分：阳马得 2/3，鳖臑得 1/3。四棱锥、三棱锥乃至锥、亭、圆囷的体积，都从这一刀接一刀的剖分里长出来。
有意思的是证法：长、宽、高相等时，二比一一刀可见；不相等时，刘徽把每一维对半再剖，剖一次，未定的部分缩一圈，最后剩下的零头「微少如丝毛」——又是熟悉的收法：剖之弥细，所失弥少。割圆的那套账法，在立体上原样活着。
自序里那八个字——「析理以辞，解体用图」——现在可以看全了。
辞，是文字的推理，一步一句，管「为什么」；图，是剪开的图形，管「是什么样」。光有辞，账目悬空；光有图，剪完就忘。刘徽两条腿走路：术文背后配图，图后面配辞，辞里再指回图。
这也是本册反复在做的事：每一道定理，先画一张拼贴的图，再记一本可查的账。图散开的时候，恰好是理最清楚的时候——散，是为了看得见每一块。
刘徽注里出现最多的字，是率。换粮的比价是率，圆周与直径是率，勾股三边是率，连两地相望的远近高低，也是率。
率怎么算？他有「齐同术」：分数比大小，先通分——分母相乘为「同」，分子调整相称为「齐」。齐了同了，异分母的账就变成同分母的账，一路算下去。
同一杆「率」的秤，还称到了天上。两根木表一高一低、一前一后立在地上，影子与视线几经相除，千里之外的岛高就算了出来——这是《海岛算经》的重差术，刘徽原本附在《九章》之末的最后一卷。
齐同术：a/b 与 c/d 相比，以 bd 为「同」、调整分子为「齐」：ad/bd 与 cb/bd。
重差术望海岛（原题）：表高三丈，两表相去千步；自前表却行一百二十三步望岛峰，与表末相合；自后表却行一百二十七步，亦与表末相合。两望之差四步——
岛高 = (表高 × 表间) ÷ 相多 + 表高 = (30×1000)÷4 + 30 = 1255（步）
答：岛高四里五十五步。不见海，量出岛。
注到《九章》最后一卷，刘徽撞上了墙。开立圆术——由球的直径算球体积——书里给的公式，折算出来相当于把球算成直径的九分之十六倍。以他手里那位徽率一验，错了，而且错得不少。
他找出错处，还找到了出路：造一个新几何体，两只一样粗的圆柱，轴线垂直相交，交出的公共部分像一具四角浑圆的方盖。方盖与它内切球体积之比，恰是四比圆周率。算出方盖，球就到手。
可是方盖自己，算不出来。刘徽算到能算的尽头，停笔，写下一句：「敢不阙疑，以俟能言者。」——不敢装懂，留给能算的人。
接棒的是两百多年后的祖氏父子——祖冲之与他的儿子祖暅。他们给方盖搭了一座桥，桥的名字叫一句话：幂势既同，则积不容异。等高处、横截面处处相同的两个立体，体积不会不同。
拿这句口诀去剖方盖：方盖挖去八块角料，剩下的部分处处能和另一个已知体对上截面。对上了，账就通了。方盖的体积终于落定，球的体积跟着落定：
V球 = (4/3)πr3
刘徽挂了两百年的疑，就此结清。他停笔的地方，正是后人起笔的地方——这道接力的姿势，比球体积公式本身更贵重。
「幂势既同，则积不容异」，即等高截面面积相等则体积相等。以之推得方盖 V = (16/3)r3，再乘 π/4：V球 = (4/3)πr3，与今日公式一致。
古法 9/16 D3 的错账至此改正：真值系数 π/6 ≈ 0.5236，古法 0.5625——验算徽率，一验便知。
割圆的路，后来的人接着走。祖冲之把徽率推到小数八位，还留下两个便于使用的分数：约率二十二分之七，密率三百五十五分之一百一十三。再往后，七世纪的印度、十五世纪的撒马尔罕、十六世纪的欧洲，名单一页页续下去。
一千四百年后，路忽然宽了：牛顿把割圆换成了一串无穷相加的项——级数。名字变了，骨子里还是那件事：一项一项加下去，误差一档一档缩下去。割圆术的账本，换了新封面。
密率 355/113 = 3.14159292…，七位小数，分子分母皆不逾四位数——它是最省字的七位近似，欧洲人一千多年后才重新走到。
十九世纪，欧洲的分析学家干了一件事：给「逼近」立法定义。极限不再靠图去想、靠话去说，而是一条能当众检查的定义——数列一项项排下去，指定误差口袋，必有一步之后，每一项都落进口袋。
这句定义，本册已经见过三次了。割圆术的差幂是一本口语版的账；「割之又割……与圆周合体而无所失」是它的文言版；而柯西与魏尔斯特拉斯写下的，是它的公文版。
数学史上常有这样的巧合：直觉先到，语言后至。语言迟到了一千六百年——但直觉只要带着账本，就经得起等待。
现代定义（节意）：称数列趋于 a，若对任意给定的正数 ε，存在下标 N，凡 n > N 皆有 |an − a| < ε。
对照刘徽：ε 即「所失」的容许限度，N 即割圆的档数。结构相同：先定误差，再定步骤——顺序也是同一个顺序。
值得记一笔：刘徽从头到尾没有用过「无穷小量」这个悬空的物件。他要的只是误差可算、可缩、可停。现代分析绕了几个世纪的弯，最后也把「无穷小」从定义里请了出去。
现在可以把这条暗线说全了。
圆是一道曲直之间的墙。硬翻，翻不过去——没有人真的画出一个无穷多边形。刘徽的办法是退半步：不翻墙，记墙的账。每一档差多少、下一档还剩多少、哪一档可以收工，笔笔可查。
于是「无限」在账簿里换了一种存在方式：它不再是要抵达的远方，而是一本可以一直记下去、又随时可以停下的账。缺疑处阙疑，留给能言者；够用处收笔，不敢多写一字。以有限逼近无限——这六个字，是二六三年那个案头的算筹，留给后来的全部计算机的一句话。
一九四九年，第一台通用电子计算机算圆周率，七十小时，两千零三十七位。今天，机器算到百万亿位，用的不是割圆，是它的后代——一串收敛更快的级数，还是那本账：一项一项加，误差一档一档缩，缩到够为止。
而在千万台屏幕上，割圆术的远房子孙无处不在：地图上把曲线的海岸线切成小段累加，医学影像里把身体切成薄片重组，飞行器的轨道一帧一帧向前推算。把难算的东西切碎、逐段逼近、账上盯误差——两千年前案上的章法，如今跑在每一块芯片里。
计算机时代的圆周率纪录仍在刷新，方法皆收敛级数，逐项相加至所需位数。核验时机器仍会回头用「上下夹逼」——算出一个下界与一个上界，两边夹住，方才认可。
从算筹到芯片，换了的是速度，没换的是章法：切碎、逼近、查账。这三步，本册一幕一幕都走过。
回望这一册，是一条链子慢慢收紧的过程。
先是一句传了千年的老话——周三径一；接着是圆里那个边长等于半径的六边形；然后一割再割，九十六觚夹出徽率，三千边逼出四位数；再往后，方盖悬了两百年，被一句「幂势既同」接住；最后，那本越记越薄的误差账，在十九世纪领到了自己的名字——极限。
老话、六边形、账本、口诀、定义。东西换了五回，做的只有一件事：不跨过无穷，也能把圆算准。
刘徽注随着《九章算术》走了一千七百多年。
唐代，朝廷把带刘注的《九章》立为算学教科书，与另外九部算书合称十部算经，算学生人手一部；北宋刊刻印行；宋末战乱，书一度几乎失传，清人从《永乐大典》残卷里把注文一条一条辑了回来。今天中学课本里的「出入相补」，源头就是那间摆着算筹的书案。
一部只有九卷的旧算书，因为有人肯为它写下「为什么」，竟成了不可能失传的书——道理写在纸上，纸会烂；道理同时也写进了代代读它的人脑子里。
圆周率算准了。那么，还有什么是可以逼近的？
斜坡上滚落的东西，速度一瞬一瞬地变——把一瞬切成无限小段来算，是微积分；风与潮的走向，把天地切成网格一步一步推，是数值天气预报；一张照片放大到没有锯齿，靠的是在像素之间插值逼近。
还有更根本的：数本身。圆周率写不成分数，可任何想要的小数位都取得到——它站在所有逼近值的尽头，却谁也到不了尽头。刘徽若看见这些，大概不会惊讶：他的账本，本来就没有封底。
材料：圆规、直尺、铅笔、一张纸（最好打格）。
一 以任意半径 r（约五厘米）画一个圆。
二 圆规保持张开 r 不变，在圆周上任取一点起步，绕圆连走六步——第六步恰好回到起点。
三 相邻足迹两两连线，得内接正六边形。这就是「六觚之一面与半径等」。
四 取每边中点，从圆心向中点引线延长到圆周，得六个新顶点；十二个顶点依次连线，得内接正十二边形。
五 数一数格子，估算两个多边形的面积，填进 p.15 的那张表里。
圆规为什么可以走六步？六边形边长等于半径，所以「以半径绕圆」恰好走出六条弦——圆规一步不用改张口。
量面积为什么要打格？数格就是刘徽「分片计积」的笨办法：片数越多，越接近真值。数完格再想想：十二边形离圆还差几格？
材料：一张圆纸片（半径五厘米为宜）、剪刀、直尺。
一 在圆片上过圆心画几条直径，把圆分成十六瓣。
二 沿线剪开，得到十六枚窄瓣。
三 把窄瓣一上一下交错着排成一排——像拼一张席子。
四 看拼出的形状：近似一个矩形。量一量它的长与宽，算一算面积。
拼出的「席」，宽约是半径 r，长约是半个周长 πr——因为十六瓣的弧，一半朝上一半朝下，正好把整个周长摊平。
S ≈ πr × r = πr2
瓣剪得越窄，席边越直，近似越好。这就是 p.29 那幅图的手工版——圆田术的「半周半径相乘」，可以亲手拼出来。
「先定误差，再定步骤」这套章法，日用里到处都在跑。
导航报「还有八分钟」——它是把路切成小段、逐段估算的逼近值，走一段更新一次，误差一路缩小。天气预报同理：把天空切成网格，一格一格往前推算，网格越细越准，算力代价也越大。
连「打折找零」里也有它：先估到元，再估到角，不够细再往下——每一步都问「现在够用了吗」。逼近的对手不是无穷，是「糊」：只要账上写得出差多少，糊就变不成错。
圆周率的位数史，是账本封面的更新史。
刘徽的算筹算到 3.1416；祖冲之的父子上推到八位；此后一千二百年，各文明的位数以一两位、十几位地爬。计算机一来，位数陡然起飞：两千零三十七位、百万位、万亿位——而方法一脉相承：把数拆成一串越加越细的项，一项一项累加，误差有账，够位即停。
有意思的是最后一步：机器算完，还要回头验账——再算一个略小的下界、一个略大的上界，两边一夹，确认落点。这份谨慎，正是 p.22 那两道门槛传下来的家法。
这一册不打算教「圆周率」，它想让孩子看见一件事：够不着的东西，也可以算准。
圆是曲的，直尺够不着——这是每个孩子都能体会的困境。刘徽的回应不是硬翻过去，而是把问题改写：圆里放得下直线形，直线形算得了，误差算得了；剩下的交给耐心。这套「切碎、逼近、查账」的章法，是后来整个计算科学的地基，也是每个人面对难事都用得上的思路。
给孩子的——看图，听故事：粮仓为什么装不下？那个人在圆里画的是什么？越画越多的边，最后像什么？
给少年的——跟着算一档：从六边形到十二边形，p.14 的三行算式每一步都可以自己动手验。验过，就懂了「以直代曲」。
给大人的——留意注里的分寸：哪些是刘徽原文，哪些是后人推论，哪些悬而未决（3927/1250 的公案在 p.47）。这份诚实，正是本册要传的那门手艺的一部分。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 割到多少边才算「算完了」？
刘徽的答案是：不看边数，看误差——差幂小到伤不着要办的实事，就可以收工。「算完」从来不是一个固定的数字，而是一个关于误差的决定。
二 刘徽明明算得更好，为什么不把话说满？
「敢不阙疑，以俟能言者」不是谦虚的姿态，是方法的一部分：账上没有的，不入账。科学能自我修正，靠的正是这种克制。
三 三千边的耐心，今天还值得学吗？
值得。机器快了千万倍，但「切碎、逼近、查误差」的章法没有变。学它不是为了算圆，是为了遇到够不着的问题时，知道下一步该做什么。
《数学家的故事》第一辑 · 第 02 册
刘徽 · 割圆见理
明线：周三径一之疑 · 割圆术（六觚起步、勾股倍边、分片计积、差幂夹逼）· 徽率 3.14 与 3927/1250 · 出入相补与弦图 · 堑堵阳马鳖臑与刘徽原理 · 齐同术与重差术 · 牟合方盖与祖氏接力 · 极限的古注今译
暗线：以有限逼近无限 · 不空谈无穷，只谈差得多小
时代：公元 263 年 · 三国魏（下延至 2022 年圆周率百万亿位）
主典：《九章算术》及刘徽注 · 《海岛算经》· 赵爽《周髀注》· 《隋书·律历志》· 《庄子·天下》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
《数学家的故事》第一辑十册：欧几里得 · 刘徽 · 费马 · 秦九韶 · 笛卡尔 · 伽罗华 · 高斯 · 希尔伯特 · 黎曼 · 陈省身。本册为第二册。