费马 · 页边空白

帕斯卡的法子是往回退一步：不问「该分多少」，问「如果再打一局，会怎样」。

比分二比一。再打一局，只有两种可能：领先的人赢了——他赢满三局，全部赌注归他；落后的人赢了——比分变成二比二，两人各差一局，此时停下，理所当然一人一半。

两种可能各占一半，于是领先的人手里握着的，是「全部」与「一半」的平均：四分之三。六十四枚金币，他拿四十八枚，对方拿十六枚。

这一步的要紧处不在答案，在问法：把一个停住的局，换成「假如再走一步」的两个分支。

费马的回信走了另一条路，更笨，也更彻底：把剩下所有可能的打法，一种一种摆出来。

比分二比一，最多再打两局就一定分出胜负——因为两局之内，至少有一方能赢满三局。两局，每局两种结果，一共四种：赢赢、赢输、输赢、输输。

四种里，领先的人有三种拿到全部（赢赢、赢输、输赢——只要第一局或第二局赢一次就够），只有「输输」一种归对方。四种等可能，于是三比一：他拿四分之三。

答案与帕斯卡一模一样。两条路，一条从「再走一步」往回推，一条把「所有未来」摊开数；走到同一处，两人都知道：这回大概是对了。

四种结局各占四分之一，靠的是一条默认：每一局，两个人赢的机会一样大。

可赌桌上哪有这样的事。一个人手气正顺，一个人已经连输三把；一个人算牌，一个人凭感觉。若一方每局赢的机会是七成，四种结局还是四种，可它们的「分量」不再是四等分——「赢赢」比「输输」重得多。

还有一层更容易错：连输三把的人，并不会因为「该轮到我了」而在第四把占便宜。牌不会记事。若每局独立，过去的输赢一丝一毫也不改变下一局的胜率——这叫「赌徒谬误」，是这一整套算法最常被误用的地方。

三角的规矩只有一句：每个数，等于它肩上两个数之和。

这一句为什么对？想一个具体的问题：从五局里挑出两局（挑「哪两局赢」），有几种挑法？

分两种情形看。第一局若被挑中，剩下四局里再挑一局，有四种；第一局若没被挑中，五局里只剩四局，要从四局里挑两局，有六种。四加六，十种。而「十」正好是三角第五行（1、5、10、10、5、1）中间那个数——它肩上的两个数，是 4 与 6。

所以这条加法规矩不是巧合，它说的是：按「第一件要不要」分两种情形，各自的挑法相加。一个小学生能懂的分法，撑起了整张表。

三角可以一行一行往下写，也可以一步算出某一格——只要会一种新的乘法：连乘。

把从 1 到 n 的所有整数乘起来，记作 n!，读作「n 的阶乘」。5! 就是 1×2×3×4×5，等于 120。

挑 k 件，相当于把 n 件排成一列（有 n! 种排法），再去掉「挑中的 k 件内部的次序」（k! 种重复）与「没挑中的那些的次序」（(n − k)! 种重复）。除两次，剩下的就是挑法数。

这个式子的好处是：不必从三角顶上逐行写下来，直接就能算出第五十行中间的某个数——只要不怕乘。

有了组合数，赌局的分配就不必一局一局推了。

一方还需 a 局、另一方还需 b 局，最多再打 a + b − 1 局。把这许多局全部打完（哪怕提前分出了胜负，也照打完记账），共有 2^a+b−1 种等可能的结局。其中「领先者至少赢 a 局」的那些，就是他的胜局。

举一个比分一比零的例子：先赢三局者胜。领先者还需两局，落后者还需三局，最多再打四局，共十六种结局。领先者至少赢两局的，有 6 + 4 + 1 = 11 种，故他应得十六分之十一；落后者得十六分之五。

当年在赌桌上争不出结果的问题，如今一行式子就完了——而且对任何比分都成立。

要跟上费马这一步，先得换一副眼睛：不看数有多大，只看它除以几余几。

钟表就是现成的样子。下午三点，过十一小时是几点？不是十四点，是两点——因为钟面只有十二格，走满一圈就回到原处。十四与二，在钟面上是同一格。

把「除以十二的余数相同」说成「在钟面上同一格」，就得到一种新的相等：不真的相等，却「在某一件事上相等」。费马给它起了个名字，叫「同余」。

于是 7 除 2、4、1 的那个圈，也可以看成一只七格钟：2、4、1 是三个格，走到 1 之后，再乘 2 又回到 2——钟面只有七格，绕来绕去，总在格子里。

余数的世界里，加法与乘法照常好使：两数相加，取和的余数；两数相乘，取积的余数。先算再取余，与先取余再算，结果一样。

除法就不一定了。模 6 的世界里，2 乘 3 得 6，余 0——两个都不是 0 的数，乘出了 0。这时候若从「2 乘 3 ≡ 0」两边「约去 3」，就会得到「2 ≡ 0」，荒唐。

问题出在 3 与 6 不互素：它们有公因数。若约去的数与模数互素，约分就安全；否则，得连模数一起改。这一条看着琐碎，却是下一页那道证明的关口——那一步「两边同时约去」，能不能约，全看这里。

费马当年没有把这些话说全。他把结论寄出去，把证明留在口袋里。补齐这些关节的，是后来的欧拉。

定理是这样说的：p 是素数，a 不被 p 整除，那么 a 的 p − 1 次方，被 p 除余 1。

拿 7 与 2 验：2 的六次方是 64，64 被 7 除余 1。拿 7 与 3 验：3 的六次方是 729，729 = 7 × 104 + 1，余 1。都对。

为什么？道理藏在一句很朴素的话里：把 1 到 6 每个数都乘上 a，所得的六个数，被 7 除的余数，恰好还是 1 到 6，一个不多、一个不少，只是换了次序。

就像把七格钟上的六个刻度整体旋了一下：位置变了，刻度还是那六个。于是两边的乘积相等；两边都含 1×2×…×6，约去，就剩 a⁶ ≡ 1。

把「二的幂被 7 除」的余数列出来：2、4、1、2、4、1……三步一循环。这意味着：指数每加三，余数不变。

于是算二的三十次方，不必真乘三十次：把三十折回它在这一轮里的位置——三十被 3 除余 0，位置与「三」相同，余数是 1。

这个「折回来」的动作，就是全部窍门。指数可以任意大，但它在循环里的位置，只有那么几种。大数被折成小数，问题就落地了。

若模数不是 7 而是别的数，循环可能更长、更复杂；但费马小定理保证：模素数 p 时，乘 p − 1 次一定回到 1，循环一定存在，长度一定是 p − 1 的约数。

费马有一件更厉害的工具，叫「无穷递降」。

它的脾气是反着来：要证明某类数不存在，先假设它存在，取其中最小的一个；然后从这个最小者出发，造出一个更小的同类——矛盾。既然最小的都被推翻了，便一个也没有。

用这套办法，他证明了一件很漂亮的定理：凡被 4 除余 1 的素数，都能写成两个平方数之和。13 = 4 + 9，17 = 1 + 16，29 = 4 + 25，41 = 16 + 25，一个不落。

步骤分两段：先造一个「平方加一等于 p 的倍数」，再对这个倍数做递降，一级一级降到底，倍数降成 1，p 就现出两个平方。

第三件用场在几何里：三角形内找一点，使它到三个顶点的距离之和最小。这一点，今天叫费马点。

找法有个极漂亮的物理版：薄板三个顶点各钻一孔，三根绳穿过，板下打结，结下垂一枚重物。松手，重物下坠到底，结就自动滑到那个位置——绳的总长固定，结越低，三绳之和越短。

平衡时三根绳的拉力一样大，三力平衡，夹角必然各为一百二十度。所以费马点的特征就是：到三顶点的三条连线，两两成一百二十度。

尺规作法也简单：三角形外侧各边作一个等边三角形，新顶点与原三角形的对顶点相连，三线共点，就是它。

那条注说：高于二次的幂，不能分成两个同次的幂。三次、四次、五次……一概不行。

费马自己写下的唯一完整证明，是四次方的情形：x⁴ + y⁴ = z⁴ 没有正整数解。用的正是他最爱的那件工具——递降。

更妙的是，他证的是一个更强的命题：不存在一个直角三角形，三条边都是整数，而面积恰好是一个平方数。从这个命题，四次方的情形一步推出。

证法是：假设有解，取「最小」的一组；由这组解，可以造出一组更小的；再造就再小……正整数不能无限变小，矛盾。他在这条注里把每一步都写了，写得干干净净——这也是后人相信「他至少证过这一种」的凭据。

三次、五次、七次……一个个素数被啃下来，可方法一次比一次笨重。到了十九世纪，库默尔发现：真正的墙不在指数，在「分解」这件事本身。

整数有一个好脾气：每个数拆成素数的乘积，拆法唯一。可把这套办法搬到「带根号的数」里，脾气就变了——同一个数可以拆成两套不同的「素因子」，唯一性没了，证明就塌了。

库默尔的办法是绕过去：不拆数，改拆「理想数」，把唯一性重新找回来。他用这套工具一口气解决了一百以内的所有情形（除开几个「不规则」的）。

可这也说明：这条注不是一个「技巧问题」，它牵着整个数论的地基。要证它，得先造新地基。

转折出现在一九八四年。弗雷指出：假如费马方程有一组解，就能用它造出一条椭圆曲线——一条「怪」到不可能是模形式的曲线。

而一九五五年，谷山丰与志村五郎猜过一件事：每一条椭圆曲线，都是模形式。若这条猜想成立，那条「怪曲线」就不该存在；它不存在，费马方程就没有解。

一九八六年，怀尔斯听到这个思路，决定去证谷山—志村猜想的一个足够用的情形：半稳定椭圆曲线。他一个人做了七年，几乎不与人谈。一九九三年六月，他在剑桥连讲三天，最后宣布证完。

审稿时发现漏洞。又过了一年多，他与泰勒补上最后一块，一九九四年九月完工，一九九五年发表于《数学年刊》。三百五十八年，到此为止。