秦九韶，字道古，普州安岳人——今四川安岳。约生于一二〇八年，卒年有异说，约在一二六八年前后。
他的父亲做过官，在临安（今杭州）的秘书省任职。少年秦九韶随父居京，得以出入太史局，跟掌天文历法的人学星象、学律吕、学营造。周密《癸辛杂识》记他「性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究」——这句评语出自一位并不喜欢他的人之手，反而更可信。
一二四四年，母丧。他居湖州守孝，三年不得任官。就在这三年里，他把平生所习写成一部书：九类，每类九问，共八十一问，题名《数书九章》。书成于一二四七年。
这部书在他生前没有刊行。此后五百年，它靠抄本流传，入《永乐大典》，再由清代馆臣辑出；直到一八四二年，才有第一个完整的刻本。
故事层——跟着画面往下读：一队兵、一张账、一盏守孝时的灯。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学：同余、大衍求一术、正负开方、三斜求积。
注疏层——页面下方的小字，标注年代、出处与真伪，给一起读的大人。
淳祐四年，湖州。这一年秦九韶三十七岁，母丧居家，按制三年不得任官。
屋外的消息一天比一天坏。北边的战报一封接一封：端平年间宋军北上失利，蒙古铁骑南下，四川屡遭兵火——那是他的老家。亲族流散，田庐焚毁，书信一年比一年少。
他不出门。白天料理丧事，夜里就着灯摆算筹。
摆的是什么？不是高深的题目，是官府里那些永远算不清的账：一块不方不正的田有多大，一仓米折成几石几斗，一段城墙要多少工，一队兵有多少人。他把这些账一道一道写成题，写完一道，再写一道。
三年下来，八十一问。
军营里点兵，有个省力的老办法。
不必一个一个报数，只让兵站队：三人一排，站完看余下几个；五人一排，再看余下几个；七人一排，再看余下几个。三次站完，余数记下来，总数就出来了。
那天余下的数是：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。
队正张口就报：「三千零六十八。」
秦九韶问他：怎么知道？队正答不上来。他说这是老规矩，祖父就这么教，祖父的祖父也这么教。至于为什么——没人问过。
这三个余数，凭什么钉死一个数？
《数书九章》的序里，有一句话很短，却很硬：
数与道非二本也。
意思是：算术与「道」，不是两件事。
这句话在当时是要顶人的。士大夫读经史、谈性理，把算账看作吏胥的杂役；会算的人地位不高，算得再准，也只是「能吏」。秦九韶偏不认这个分法：在他看来，能把一件事算清，与能把一个道理讲明，是同一种功夫。
所以这部书不只是给官府用的账本。他把每一道题都写全：为什么这样问、凭什么这样算、算完怎么验。八十一问，问问答答，像八十一级台阶。
那年秋天，秦九韶随军到江边一处营寨清点兵员。
营门外的沙地上，队正让兵站队。三人一排，站完，余下两个；五人一排，余下三个；七人一排，余下两个。他低头在沙上划了两道，抬头就报：三千零六十八。
秦九韶在旁边看了半晌，问：「凭什么？」
队正愣了。他想了一会儿，说：「三三数剩二，五五数剩三，七七数剩二——就这三个数，一报就知道。老规矩了。」
「老规矩从哪里来？」
队正笑了：「先生，这我可说不上。我爹这么教，我爹的爹也这么教。会用的多，说得出道理的，没见过。」
那天晚上，秦九韶在灯下把这三个余数抄在纸上。他要的不是这一个答案——他要的是那句话背后的走法。
「三三数之剩二」，用一句更省的话说：这个数被三除，余二。
「五五数之剩三」：被五除，余三。「七七数之剩二」：被七除，余二。
三条话，就是三个条件。秦九韶把它们并排写在一张纸上——写下这一行的时候，那个「说不清」的兵数，忽然变成了一道题。
这是这一册的第一个转弯：不问「有多少」，先问「除几余几」。数不清的东西，只要肯换一个问法，就能清得出来。
「a 被 m 除余 r」，记作
a ≡ r (mod m)
读作「a 与 r 对模 m 同余」。三个条件合起来，是一个同余式组：
x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 3 (mod 5) x ≡ 2 (mod 7)
一个条件的力气有多大？以模 3 为例：它把全部整数分成三堆（余 0, 1, 2），只说中一堆——三分之二的可能，一句话就排除了。三个条件叠起来，剩下的可能极稀。
三条一起看，眼会花。秦九韶的法子是：一次只看两条。
先看「被三除余二」：二、五、八、十一、十四、十七、二十、二十三……一步一步加三。
再看「被五除余三」：三、八、十三、十八、二十三……一步一步加五。
两列一比，第一个同时出现的是八；再往后，二十三也同时出现。八与二十三差十五——正好是三乘五。原来这两条一旦同时满足，就每隔十五个数重现一次：八、二十三、三十八、五十三……
两条条件，合成了一条：被十五除余八。三条变两条，题就轻了一半。
两条同余可以并成一条：
x ≡ 2 (mod 3) 且 x ≡ 3 (mod 5) ⟺ x ≡ 8 (mod 15)
为什么是十五？因为第一个条件每 3 个一循环，第二个每 5 个一循环；两个循环要重新对齐，得等 3 × 5 = 15 个。若两模不互素，等的是它们的最小公倍数。
这一步可以反复做：并出的新条件，再与下一条并。三条并两次，四条并三次——无论多少条，都能这样一条一条吞下去。
现在手里只剩下两件事：被十五除余八，被七除余二。
把「被十五除余八」的数一路写下去：八、二十三、三十八、五十三、六十八……挨个拿七去除，看谁余二。
八除七余一，不对；二十三除七，三七二十一，余二——对了。
于是最小的答案是二十三。再往后呢？每过 15 × 7 = 105 个数，两条条件又同时重现。所以全部答案是：二十三，一百二十八，二百三十三……一直加一百零五。
三千零六十八，正是二十三加一百零五的二十九倍。队正那个「张口就报」，报的其实是这套循环里的一个数。
x ≡ 8 (mod 15) 且 x ≡ 2 (mod 7) ⟹ x ≡ 23 (mod 105)
验算：23 = 3 × 7 + 2，23 = 5 × 4 + 3，23 = 7 × 3 + 2。三条全中。
一般地：模数 m1, …, mn 两两互素时，同余式组在 0 ≤ x < M（M = m1 ⋯ mn）内恰有一个解。题目问「几何」，问的就是这个最小的正解。
这一册的暗线，只有一句：乱世里的秩序。
秦九韶生活的年代，什么都算不清。哪一年能回四川，不知道；明天这座城还在不在，不知道；一封家书能不能到，也不知道。天下大势，没有一个人算得出来。
但一道题的余数是算得清的。给三个条件，答案就钉在一个数上；换谁来算，都是这个数。它不因战报而改，不因官位而改，也不因谁说得好听而改。
人在乱世里能守的东西不多。守不住城，守不住家，甚至守不住一具遗体。可他能守住一小块算得清的地方——那是他自己造的秩序，谁也拿不走。
同余不只用来点兵。它还有一件更大的用场：定历。
古人编历，先要定一个「上元」——一个理想的起算点：那一刻，冬至与朔日同时发生，又恰好是甲子日的夜半。此后每过一年、一月、一日，都从这个点往上加。
可冬至有冬至的周期，朔望有朔望的周期，干支有六十日的周期；三个周期长短不一，要找一个三者同时「归零」的时刻，正是解一道同余式组。模数越大、条件越多，算起来越苦——而这正是大衍求一术的用武之地。
《数书九章》「大衍类」九问，一半与历法有关。兵与历，看似相隔千里，用的却是同一套走法。
二十三这个答案，队正也会。会的人不少——这门手艺在军中、在官府、在市井，传了不知多少代。
可秦九韶把自己问住了：换一道题呢？
若模数是四、九、十一？若余数是一、七、五？若不止三条，有七条、十条？若有一条的余数是零？
会做题的人多，会做「所有同类题」的人少。他想要一套走法：不论模数是多少、余数是多少、有几条，照着走，都能走到底；而且每一步都能验，不靠猜、不靠记。
碰巧算对一次，是运气；能算对每一次，才叫术。
先给「一类题」起个名字。设模数为 m1, m2, …, mn，余数为 r1, r2, …, rn，要找一个 x：
点兵那道题，就是把 3, 5, 7 与 2, 3, 2 填进这个架子。
但有一个前提必须先看：这些模数之间，不能有公因数。三、五、七两两互素，所以怎么凑都凑得出来。若模数是四与六——它们都能被二整除——条件就可能自己打架。
打不打架，怎么看？看余数：四除余一，数必是奇数；六除余二，数必是偶数。一个数不能又奇又偶，于是无解。
x ≡ ri (mod mi) (i = 1, 2, …, n)
相容判据 对任意 i, j，必须有
ri ≡ rj (mod gcd(mi, mj))
两模互素时 gcd = 1，任何整数都同余于模 1，条件自动满足——所以「两两互素」时，只要有解，就一定解得出。
反例：x ≡ 1 (mod 4) 与 x ≡ 2 (mod 6)：gcd(4, 6) = 2，而 1 − 2 = −1 不被 2 整除，故无解。正例：x ≡ 1 (mod 4) 与 x ≡ 3 (mod 6)，x = 9 即满足，通解为 9 + 12k。
第一步，把三个模数乘起来，得「总数」：3 × 5 × 7 = 105。
第二步，为每个模数各配一个「衍数」：用总数除以这个模数。三的衍数是 105 ÷ 3 = 35；五的是 105 ÷ 5 = 21；七的是 105 ÷ 7 = 15。
衍数有什么好？看三十五一数：它是五的倍数，也是七的倍数——所以往答案上加三十五个、加七十个，被五除、被七除的余数一点不变；可它被三除余二，正好能用来「调」第一条。
一句话：每个衍数只管一条，不碰其他。这就是分头办事的妙处。
总数 M = m1m2 ⋯ mn（模数两两互素时）。
衍数 Mi = M / mi。则 Mi 是除 mi 之外所有模数的倍数，故
Mi ≡ 0 (mod mj) (j ≠ i)
本例：M = 105，M1 = 35，M2 = 21，M3 = 15。三个衍数在各自的模下分别是 35 ≡ 2 (mod 3)、21 ≡ 1 (mod 5)、15 ≡ 1 (mod 7)。
衍数有了，可它不听话：三十五被三除余二，不是余一。要用它调第一条，得先把它「扳」成余一。
怎么扳？乘一个数。三十五乘几，被三除余一？三十五余二，二乘二得四，四被三除余一——乘二就行。这个二要记下，秦九韶叫它「乘率」。
五与七那两条省事：二十一再被五除，本来就余一，乘率是一；十五被七除也余一，乘率也是一。
三份「用数」就出来了：35 × 2 = 70、21 × 1 = 21、15 × 1 = 15。它们各管一条，且在本条上余一，在别的条上余零。
最后按余数配方：余二的那条配七十的两份，余三的配二十一份的三份，余二的配十五的两份，全加起来——二百三十三。去掉两个一百零五，得二十三。
求一 对每个 i，求乘率 ki 使
Mi ki ≡ 1 (mod mi)
用数 Ni = Mi ki。于是 Ni 在第 i 条上余 1，在其余各条上余 0。
合并 x ≡ Σ ri Ni (mod M)。
本例：k = (2, 1, 1)，N = (70, 21, 15)，故
x ≡ 2×70 + 3×21 + 2×15 = 140 + 63 + 30 = 233 ≡ 23 (mod 105)
验：233 ÷ 3 余 2，÷ 5 余 3，÷ 7 余 2。三条全中。
算法是什么？说穿了不神秘：把一个人的聪明，拆成别人也能走的步子。
定母、求衍、求一、合并。四步，每一步只做一件小事：乘一乘、除一除、凑个余一、加总去零。每一步都能验，验不过就回头查那一步——不必整题重来。
队正的「老规矩」是一种聪明，可它在队正的脑子里，队正一走，规矩就断了。秦九韶要把它从脑子里搬出来，搬到纸上，变成任谁照着走都能走通的东西。
乱世里最靠得住的，从来不是聪明人，是能传下去的步骤。
把秦九韶的四步写成今日的程序，不过几行：
先算总数与三个衍数；再对每个衍数求乘率——这一步，程序里叫「扩展欧几里得」；最后把「余数 × 用数」加起来，对总数取余。
八百年前的算筹，与今天的机器，做的是同一件事：照着步骤走，一步不错。区别只在速度：人摆一次算筹要几息，机器一息能走百万次。
这也是算法的好处——它不挑工具。竹筹、算盘、纸笔、电子管、芯片，换的是手，不换的是那四步。
八十一问编成九类，秦九韶把最难的一类放在最前，题作「大衍」。
「大衍」二字出自《周易·系辞》：大衍之数五十，其用四十有九。那是揲蓍求卦的法子，讲的是从一个总数里分出余数、再由余数定吉凶。借这两个字作类名，意思很明白：从一个总数里，由余数定出答案。
这一类九问，用的都是同一套走法。走法要有个名字，他取作「大衍求一术」——「求一」，是四步里最要紧的那一步：凑出一个余一。
名字起定，这一术就不再属于某一个人了。谁翻开第一卷，都能照着走。
把整件事排成一张表，四步一目了然。
第一行「定母」，写下三个模数；第二行「求衍」，用总数除各自模数；第三行「求一」，各凑乘率；第四行「用数」，衍数乘乘率，再乘余数，最后加起来。
表一填完，答案自己就浮出来了。这也是秦九韶的脾气：能排成表的，就不靠记性。
例 x ≡ 2 (mod 3)，x ≡ 3 (mod 5)，x ≡ 2 (mod 7)。
总数 M = 3 × 5 × 7 = 105。
定母 3 5 7
衍数 35 21 15
乘率 2 1 1
用数 70 21 15
余数 2 3 2
合并：2 × 70 + 3 × 21 + 2 × 15 = 233；以 105 约之，233 − 2 × 105 = 23。答案二十三。
乘率不能靠碰。三十五一数，与三互素，凑出余一并不难；可若遇上大模数，试乘几十次也未必撞上。秦九韶用的是减法——更相减损，也就是今天的辗转相除。
拿三十五去减三：减十一次，剩二。再拿三去减二：减一次，剩一。到这里，余一出来了。
接着往回代：这个一是三减二得来的；而二是三十五减十一个三得来的。把二换回去，整理一下，就成了「十二个三，减去一个三十五，等于一」。
既是「减去一个三十五」还余一，那么「加两个三十五」自然也被三除余一——乘率是二。减法的尽头，就是乘率。
更相减损（辗转相除）：
35 = 3 × 11 + 2 → 3 = 2 × 1 + 1
回代：
1 = 3 − 2 = 3 − (35 − 3 × 11) = 12 × 3 − 1 × 35
即 −35 ≡ 1 (mod 3)，两边乘 −1：35 × 2 ≡ 1 (mod 3)，故 k1 = 2。
一般地，若 gcd(Mi, mi) = 1，辗转相除必终止于 1，回代即得乘率——总能求到，且步数有限。这是「求一术」敢称「术」的底气。
走法能走通，全靠一条前提：模数两两互素。
为什么？因为「求一」要凑出余一。若两个模数有公因数，比如四与六，公因数是二；那么无论怎样乘、怎样减，凑出来的数总是二的倍数，永远凑不出余一来——术就断在半路。
凑不出余一，未必是题无解。四与六的题有的有解、有的没解：判据在余数上。四除余一、六除余三，有解（九就是）；四除余一、六除余二，无解——前者必奇，后者必偶。
秦九韶没有把这类题推开。他另立一法，叫「收数」：先把公因数约掉，把模数化小，再按常法走，最后把结果放大回去。
无解之例 x ≡ 1 (mod 4)：x 为奇数；x ≡ 2 (mod 6)：x 为偶数。二者不能并存，故无解。
判据 r1 ≡ r2 (mod gcd(m1, m2)) 时才有解。本例 gcd(4, 6) = 2，1 − 2 = −1 不被 2 整除，故无解。
有解之例 x ≡ 1 (mod 4)、x ≡ 3 (mod 6)：1 − 3 = −2 被 2 整除，有解 x ≡ 9 (mod 12)。
若两两互素，则 gcd = 1，任何余数都「模 1 同余」，判据自动成立——所以互素时必有一解，且在 M 内唯一。
一个时代崩坏的时候，人最先失去的是「可预期」。
明天会不会来兵，不知道；今年的漕运能不能到，不知道；说好的事还算不算，也不知道。什么都在变，人便学会了不信任何一句准话。
算法给的，正是可预期。同样的条件，同样的答案；换一个人算，还是这个答案；隔一百年再算，仍是这个答案。它不承诺太平，只承诺：只要照着走，就不会错。
这就是乱世里，一个人能给自己造的一小块秩序——纸上的、四行的、谁也拿不走的。
十三世纪的中国，算法忽然一起长高。
秦九韶在南方写《数书九章》；李冶在封龙山写《测圆海镜》，用「天元术」设未知数列方程；杨辉在钱塘写《详解九章算法》，把「开方作法本源图」画进书里——那正是贾宪的三角数表；朱世杰稍晚，写《四元玉鉴》，把未知数从一元推到四元。
四个人隔着山河，互不相识，写的却是同一件事：把「怎么算」讲成一套可传的步骤。那是一个战乱的时代，也是一个算法的时代。
《数书九章》分九类，每类九问。
大衍——同余与历元；天时——历法、雨雪、日食；田域——田地面积；测望——测量远近高深；赋役——税粮徭役的分派；钱谷——粮仓、米麦折算；营建——土木工程用工用料；军旅——行军、布阵、粮草；市物——买卖、利息、物价。
看这份目录，就知道这部书是给谁写的：一个县官、一个管仓的、一个领兵的、一个修城的。全是日常要算的账。
可秦九韶在每一问后面都写明「术」——不是这一问的答案，是这一类题的走法。账本是死的，术是活的。他要交出去的不是八十一笔账，是八十一套算法。
第四幕讲三件用场。第一件：开方。
营建要算城墙的立方、粮仓的容积，常常要问：什么数的立方等于这个数？若数不整，古法就一位一位地逼。
拿一千七百二十八来试。先看最高位：十的立方是一千，二十的立方是八千——答案在十与二十之间，十位定为一。从一千七百二十八里减去一千，剩七百二十八。
再定个位。设个位是 b，那么整个数是十加 b，它的立方展开成四项：一千、三百 b、三十 b 的平方、b 的立方。要让这四项凑成七百二十八——试 b = 2：六百、一百二十、八，加起来正好七百二十八。
于是答案十二。
求 x3 = 1728。设 x = 10a + b，则
(10a + b)3 = 1000a3 + 300a2b + 30ab2 + b3
首位 a = 1：1000，余 728。
次位 b = 2：300 × 1 × 2 = 600，30 × 1 × 4 = 120，8；合计 728，恰尽。故 x = 12。
验：12 × 12 × 12 = 1728。
开平方好懂，开四次、开十次呢？道理一样：一位一位地定，每定一位，就把方程「降」一层。
定下十位之后，原来的三次方程里，那个未知数已经「用掉」了一半。把 10a 代进去，剩下的部分按 b 重新整理：b 的立方项、平方项、一次项，系数都变成已知的数——方程还是三次，可它已经变成「一个关于 b 的、系数全知的方程」。
再定下一位，再降一层。如此下去，无论多少次，最后都落到一次；一次方程，一眼就看得出答案。
秦九韶把这个「每步更新系数」的动作叫「增乘」：乘一次，加上去；再乘一次，再加上去。层层相因，不重算。
设 f(x) = 0 为所求，令 x = 10a + b，代入并按 b 的幂整理：
f(10a + b) = f(10a) + f′(10a)b + …
其中常数项 f(10a) 即「已定部分」代入后的余数；一次项系数由「增乘」逐层累出。因 0 ≤ b ≤ 9，只需在这十个数里试，试中了便定一位。
例：f(x) = x3 − 1728。定 a = 1 后，余 −728，一次项系数为 300 + 60b + b2；试 b = 2，得 300 + 120 + 4 = 424，424 × 2 = 848… 逐层核至七百二十八，恰合。
第二件用场：量田。
田很少是方的。一块斜斜的三角田，要报面积，怎么算？量高最麻烦——高在田中间，没有实物可依，脚踩进去还会踩坏庄稼。可三条边好量：沿着田埂走一圈，绳子一拉就有。
秦九韶的法子只用三条边：把三边各自平方，两两相乘，再减去一个由三边凑出来的数，开方，取一半。
拿一块十三、十四、十五步的田来试：三边平方是一六九、一九六、二二五；前两者相乘得三万三千一百二十四；三边凑出的那个数是七十，平方四千九百；相减得二万八千二百二十四；开方得一百六十八；一半，八十四步。
不必量高，不必画图，三条边一报，面积就出来了。
三斜求积术（秦九韶）：三边为 a, b, c，则
S = ½ √( a2b2 − ( (a2 + b2 − c2) / 2 )2 )
例 a = 13, b = 14, c = 15：
a2b2 = 169 × 196 = 33124；(169 + 196 − 225)/2 = 70，702 = 4900；
33124 − 4900 = 28224，√28224 = 168，S = 84。
式中「(a2 + b2 − c2)/2」正是 a, b 夹角上的投影长乘积——古人以「勾股」代余弦，不必提三角函数。
田在乱世里是最要紧的东西，也是最难说清的东西。
一块田，界石可能被推倒，田埂可能被踏平，业主可能逃了，契书可能烧了。剩下来的，只有地本身：三条边还在，形状还在。
秦九韶的术，让「说清」不必依赖那些会消失的东西。不必有契，不必有界石，不必有高——只要还能走一圈，量出三条边，面积就算得出来，且算得一样。
这就是算法给人的另一种秩序：把说不清的事，变成量得出的事；把量得出的事，变成算得清的数。
同样一件事，西方也有人做。
古希腊的海伦，約公元一世纪，写过一部《度量论》，里面有这样一个式子：三角形面积等于半周长乘上「半周长减每一边」三个数，再开方。
秦九韶的三斜求积，与海伦的式子，形状完全不同：一个从平方与开方入手，一个从半周长与连乘入手。可把两者展开、化简，竟是同一个式子。
两条路，一条从代数走，一条从几何走，走到同一处。这不是巧合——三角形的面积只有一个，路可以有很多条。
书成于淳祐七年，秦九韶约四十岁。他没有等到它印出来。
宋末兵火连年，抄本流散。这部书在元代不甚流传，明代被收入《永乐大典》——那部卷帙浩大的类书，收书七八千种，抄本仅两部。
清乾隆年间开四库馆，馆臣从《永乐大典》中辑出这部书，题作《数学九章》，收入《四库全书》。可辑本仍有阙误，世间少见。
又过了近百年，一八四二年，宋景昌重加校勘，郁松年以「宜稼堂丛书」刊行，题名《数书九章》。至此，这部书写成近六百年后，才有了第一个完整的刻本。
他死后十一年，南宋亡。
一八〇一年，德国，二十四岁的高斯出版《算术研究》。
书里给同余立了一门语言：符号、运算、定理。其中一条说：若干个两两互素的模数，各配一个余数，这样的同余式组必有解，且解在模数之积以内唯一。
这就是今日的「中国剩余定理」。
高斯没有读过秦九韶。他走的是另一条路：从欧拉、拉格朗日一路下来的同余理论。可他得出的结论，与五百五十年前那个守孝的人所做的，是同一件事——只不过一个写成「术」，一个写成「定理」。
中国剩余定理 设 m1, …, mn 两两互素，M = m1 ⋯ mn，则对任意余数 ri，同余式组
x ≡ ri (mod mi) (i = 1, …, n)
在模 M 下恰有一解：
x ≡ Σ ri Mi ki (mod M)
其中 Mi = M/mi，ki 为 Mi 模 mi 的逆元。
与 p.21 的表逐项对照：定母即 mi，衍数即 Mi，乘率即 ki，用数即 Miki。一名之异，实质全同。
这门八百年前的术，今天仍在做事。
一是算大数。密码里的大数有几百位，直接算很慢；把它拆成几个小模数分头算，再合回来，能快上数倍——RSA 解密就用这个法子。
二是定历。农历的闰月、节气、朔望，本质都是周期对齐；十九年七闰，就是一道同余。
三是分钥匙。一份机密拆成三份，交给三个人；任取两份能拼回原样，缺一份则拼不出。这叫「秘密共享」，靠的正是同余式组：两份条件足以定解，一份则候选太多。
秘密共享（简例） 取模数 5, 7, 9（两两互素），秘密 23。三份钥匙为余数：
23 ≡ 3 (mod 5) 23 ≡ 2 (mod 7) 23 ≡ 5 (mod 9)
任取两份，例如模 5 与 7：解得 x ≡ 23 (mod 35)。因 23 < 35，秘密唯一确定。
只拿一份（模 5 余 3）：候选是 3, 8, 13, 18, 23, 28, …，太多，无法定夺。这就是「两把钥匙开锁，一把开不了」的算术根据。
换一组数，把整张表重走一遍。
题：某数被三除余一，被五除余二，被七除余四，求最小正解。
总数仍是一百零五，三个衍数仍是三十五、二十一、十五，三个乘率仍是二、一、一——因为乘率只与模数有关，与余数无关。这是术的省力处：模数不变，前三步可以照抄。
只换最后一步的配方：余一配七十，余二配二十一，余四配十五，加起来一百七十二；减去一百零五，得六十七。
验一遍：六十七除三余一，除五余二，除七余四。全中。
x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 4 (mod 7)
M = 105；Mi = (35, 21, 15)；ki = (2, 1, 1)；Ni = (70, 21, 15)。
x ≡ 1×70 + 2×21 + 4×15 = 70 + 42 + 60 = 172 ≡ 67 (mod 105)
验：67 = 3×22 + 1，67 = 5×13 + 2，67 = 7×9 + 4。
省力之处 乘率 ki 只依赖模数：模数一改，才需重求；余数改了，只需重配。若有一百道题共用同一组模数，前三步算一次就够。
秦九韶没有等来太平。他死时，南宋已在最后十年；十一年后，崖山。
他也没有等来名声。书未刊行，抄本稀见，明清两代的算家多半只知道《九章算术》，不知道有过这样一部书。他的生平，甚至被后人写得颇为不堪（见 p.47）。
可那套步骤活着。它活在抄本里，活在《永乐大典》的夹页里，活在四库馆臣的辑本里，活在一八四二年的刻版里，活在今天的教科书与程序库里。
王朝会亡，人会死，名声会烂。算法不会——它只要有人照着走一遍，就还在。
同一件事，两种命运。
秦九韶把它写进一部账本式的书里，题为「大衍求一术」，排在九类之首。他写得很细，每题列表、逐步演算，可这部书五百年无人接续。后来的算家读《九章》，不读《数书》。
高斯把它写成定理，放在《算术研究》第一卷。这部书成了欧洲数论的起点，同余成了全世界的语言；此后每一本讲数论的书，都要从这里开始。
不是中国人没想到。是想到了之后，那本书没有印出来，没有人接着往下走。
一件事要活下来，光有人想到不够，还得有人抄、有人印、有人读、有人接着做。
回望这一册，是一条越走越宽的算路。
起头只是营门外的一件小事：三个余数，一个兵数。为了说清「凭什么」，先把「剩几个」写成同余；为了不只解一道，先凑两条、再并第三条；为了不再靠碰，把走法拆成四步——定母、求衍、求一、合并；为了让它有用，拿去开方、量田、定历；最后，它走出了一部书，走到了八百年后。
五个环，扣在一起：余数 → 合并 → 求一 → 开方与求积 → 流传。
秦九韶一生没有打过一次胜仗，没有做过一件大事，也没有等到自己的书印出来。他做的只是把一件小事想到底——想到别人也能照着走。
《数书九章》九卷，八十一问，今天读来仍不轻松。
其中最惊人的一题叫「遥度圆城」：远处一座圆城，只量得几段可见的距离，要算出城的周径。秦九韶列出一个十次方程，用正负开方术求到正根——十次方程，在十三世纪，用算筹，一位一位地开。
这部书里还有「蓍卦发微」，用同余解释《周易》揲蓍为什么十九、十七、十三这样取数；有「市物」类的利息与物价；有「军旅」类的行军与粮草。天文、田土、赋税、营造、买卖——一个南宋官府要办的事，几乎都在里面。
后来的人给它很高的评价，也给它很少的读者。它是一部「写得太早、传得太晚」的书。
秦九韶把「怎么算」写到了极处。可他没有回答另一个问题：为什么要算。
他自己答过一次：数与道非二本。算得清，是一种通理。但这个回答还不够——八百年后，机器一息能算百万次，人反而更要问：哪些事该交给算法，哪些事不能？
一道题可以算得毫无差错，可题目本身可能是错的；一套术可以传八百年，可用它的人可能只想多收几斗米。算法是中性的，用算法的人不是。
秦九韶留下的，不只是四步走法，还有一个姿态：把手里这件事想到底，想到别人也能照着走；然后，别忘了问一句——走这条路，是为了什么。
材料：二十三枚豆子（或棋子、硬币）、一张纸、一支笔。
一 在纸上画三格、五格、七格三条横线，当作三张「队列表」。
二 把豆子三枚一行排开，排完看余几个（应余二）；记下。
三 重新五枚一行排开，看余几个（应余三）；再七枚一行排开，看余几个（应余二）。
四 现在反过来：只给三个余数（二、三、二），不许数豆子，看能不能把总数推出来。先凑「三余二、五余三」：两列并看，最小的共同数是八；再每加十五试一次，看哪一个七除余二。
五 试到二十三，正是。再把豆子加到一百二十八（二十三加一百零五），验一遍三个余数是否仍旧不变。
为什么余数不变？因为一百零五同时是三、五、七的倍数——加上它，三条余数一条也不动。
若豆子是二十四枚呢？三个余数变成三、四、三；照同样走法，答案应是二十四本身。可见「余数」是一组坐标，把数钉在一条循环上。
材料：方格纸、铅笔、直尺、剪刀。
一 要开一万二千一百六十七的立方。先估十位：二十的立方是八千，三十的立方是二万七千——十位是二。
二 八千减去，余四千一百六十七。
三 个位设为 b。展开式告诉我们，余数要由三块凑成：三块「二十乘二十乘 b」、三块「二十乘 b 乘 b」、一块「b 乘 b 乘 b」。
四 试 b = 3：三块大的各一千二百（共三千六百），三块中的各一百八十（共五百四十），小块二十七；合计四千一百六十七，恰尽。答案二十三。
五 用剪刀把五块纸片剪下来，试着拼成一个边长二十三的立方体展开图——拼得上，就说明这一步没有算错。
(20 + 3)3 = 8000 + 3 × 400 × 3 + 3 × 20 × 9 + 27 = 8000 + 3600 + 540 + 27 = 12167。
三块「大」的是三个面，三块「中」的是三条棱，一块「小」的是一个角——这正是立方体展开的五个部分。
再验：23 × 23 = 529，529 × 23 = 12167。
农历的难处，在于两个周期对不齐。
一个朔望月约二十九点五三日；一个回归年约三百六十五点二四日。十二个朔望月只有三百五十四日上下，比一年少了十一天。若只管月份，三年之后，正月就要跑到夏天去。
古人的办法是置闰：十九年里插进七个闰月。十九年若每年十二月，共二百二十八个月；加七个，得二百三十五个月。二百三十五乘二十九点五三，约六千九百四十日；十九乘三百六十五点二四，也约六千九百四十日——两者只差一个多时辰。
「十九年七闰」是这个差数被逼出来的结果；而「哪一年该闰、闰几月」，历代历法各有算法，其中的推算正是同余式组。
今天每一次网上付款，都在做两件事：把一个大数乘起来，把一个余数算出来。
密码的锁，建立在「乘起来容易、拆回去难」上：两个大素数一乘，几毫秒；要把乘积拆回那两个素数，几万年。而开锁的一步，需要算「模逆元」——正是秦九韶的「求一」。
于是八百年前的四步，成了今天芯片里的一小段指令：定母、求衍、求一、合并，改名叫模数、预计算、扩展欧几里得、Garner 合并。
同一套算术，还可以用来「分钥匙」：一份机密拆成几份，交给几个人；凑够份数才能拼回，少一份都不行。这不是比喻——它真的就是同余式组：条件够了，解唯一；条件不够，候选无穷。
这一册讲的不是「一位古代数学家的成就」，而是一个人怎样把「说不清」变成「算得清」。
秦九韶生活在南宋末年，四川残破，仕途坎坷，书成而不得刊行。他做的事，说到底是给自己造一小块秩序：三个余数，一道题；一道题，一套术；一套术，八十一问。
孩子读这本书，能拿到三样东西：一是「换个问法」的习惯——数不清就改问余数；二是「分头办事」的办法——一次只凑两条；三是「把聪明写下来」的意识——步骤比聪明更靠得住。
还有一层，值得与孩子慢慢说：这么好的东西，为什么埋了五百年？这问题没有简单答案，但它比任何一道题都重要。
给孩子的——看图，听故事：为什么点兵不用一个一个数？那个人为什么夜里不睡？那本书为什么五百年后才印出来？
给少年的——跟着算一次：p.9 的三条合并、p.16 的配方、p.30 的三斜求积、p.37 的六十七，都可以拿纸笔验。验过，就知道「术」不是背出来的。
给大人的——留意注里的分寸：哪些是秦九韶原文的术语，哪些是后人的命名（如「中国剩余定理」），哪一桩公案至今存疑（p.47）。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 为什么「会算」的人，地位却不高？
因为算被看作手艺，理被看作学问。秦九韶不服这个分法，才写下「数与道非二本」。今天也有类似的偏见：会动手的不如会说话的。这一条，值得与孩子辨一辨。
二 一部书写得再好，没人读，算不算白写？
对作者是遗憾，对人类是浪费。可若没有那本书躺在《永乐大典》里，八百年后的人连遗憾的机会都没有。写下来，本身就是一种抵抗。
三 算法能替人做决定吗？
能算的，是「怎么走最快」；算不出的，是「该往哪里走」。秦九韶把「怎么算」写到了极处，可他留下的最后一问是「为什么算」。这一问，机器答不了。
《数学家的故事》第一辑 · 第 04 册
秦九韶 · 数书九章
明线：物不知数与同余 · 逐次合并 · 大衍求一术（定母、求衍、求一、合并）· 收数与相容判据 · 正负开方术与增乘 · 三斜求积 · 上元积年 · 中国剩余定理与其今用
暗线：乱世里的秩序 · 当世界算不清时，人还可以把余数算清
时代：约 1208—约 1268 · 南宋（下延至 1801 年高斯《算术研究》与今日密码学）
主典：《孙子算经》·《九章算术》刘徽注 ·《数书九章》·《测圆海镜》·《四元玉鉴》·《算术研究》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
《数学家的故事》第一辑十册：欧几里得 · 刘徽 · 费马 · 秦九韶 · 笛卡尔 · 伽罗华 · 高斯 · 希尔伯特 · 黎曼 · 陈省身。本册为第四册。