笛卡尔 · 一格一线
笛卡尔，一五九六年生于法国图赖讷的拉海——今已改名为「笛卡尔村」。父亲是布列塔尼高等法院的参事，家境中等，母亲在他一岁多时去世。
十岁入拉弗莱什的耶稣会公学，读了八年。那里的一位老师很开明，允许体弱的笛卡尔不必早起，可以在床上想到中午——这个习惯他保持了一生。同学里有梅森（Marin Mersenne），此人后来成了欧洲学术的通信中枢，四十年间替半个欧洲的学者转信、转题、转争论。
一六一八年，笛卡尔从军。先入荷兰莫里斯亲王的军队，后随巴伐利亚公爵。他并不真的打仗，只是跟着军队走，看世界。一六一九年十一月十日，多瑙河畔的乌尔姆，冬营，他连做了三个梦。
一六二八年，他迁居荷兰，一住二十年，换过二十多处住处，为的是不被打扰。一六三七年在莱顿匿名出版《方法谈》，书后附三篇论文：《折光》《气象》《几何学》。
一六四九年，瑞典女王克里斯蒂娜邀他去斯德哥尔摩。他去了。北方的冬天，清晨五点的课，一六五〇年二月，他病逝在那里，年五十三。
故事层——跟着画面往下读：军营的一夜、卧房里的一只苍蝇、一册故意写薄的书。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学：坐标、距离、方程、曲线，一样一样来。
注疏层——页面下方的小字，标注年代、出处与真伪，给一起读的大人。
第一幕 画不出的曲线 · 第二幕 两条基准线 · 第三幕 格与式与形
第四幕 四张图 · 第五幕 格子上的世界
一六一九年十一月十日，乌尔姆。笛卡尔二十三岁，随军驻冬。
那一年他想了很久一个问题：一门学问里的「确定」，能不能搬到另一门里去？算术有算术的确定，几何有几何的确定；可这两门之外，人说的话大半是靠不住的。能不能找到一样东西，把可靠的都串起来？
那天夜里，他连做了三个梦。
第一个梦：他被一阵风卷着，走到教堂与学院之间，腿忽然走不动了。第二个梦：一阵巨响把他惊醒，屋里飞满火星。第三个梦：桌上摊着一本诗集和一部字典，翻到一句诗——「我该走哪条人生之路」。
醒来以后，他没有把这三个梦当成梦。他给自己下了一个结论：他的学问不该是一堆零碎，而应当是一棵树——根是形而上学，干是物理，枝是医学、力学、伦理。
树要连成一体，就得有一根共同的绳子。他一辈子在找那根绳子。
相传有一年冬天，笛卡尔卧病，整日躺着看天花板。
一只苍蝇在墙上爬。它一会儿往左，一会儿往上，一会儿停在原处不动。
他忽然想：要跟人说清这只苍蝇此刻在哪里，最省的说法是什么？
说「靠窗那边、靠上一点」，是含糊的。说「离左边那面墙三尺二寸，离下面那道墙脚一尺八寸」——两个数，位置就钉死了。
这个办法不是他发明的。地图上用经纬定位置，早已有之；中世纪的学者也画过带格的图，用来表示「冷热多少、快慢几分」。可那些格子只属于那张图、那架仪器。
他做的是另一件事：把格子从图上拿下来，还给平面本身。从此不管画什么，都可以先放一张格。
一六三七年，莱顿。一本法语写的小书悄悄出版，封面上没有作者的名字。
书名很长：《谈谈正确运用理性在各门学问里寻求真理的方法》。后面跟着三篇附录：《折光》《气象》《几何学》。
《几何学》只有一百多页，是三篇里最短的，也是最难读的。
难读是故意的。笛卡尔在给朋友的信里说：他写得这样简，是为了让那些自以为读得懂的人也不容易读；他要的是「能读的人自己把空补上」，而不是「人人一翻就懂」。
这本书里没有一个「解析几何」的名目，也没有一条今天课本上的公式。它只做了一件事：把几何问题翻译成代数式子，算完，再翻译回去。
翻译这件事，从此改了数学的样子。
一六三〇年前后，巴黎的梅森修士常把各地寄来的题目转给朋友。他是修士，不写数学，可他写信——四十年间，半个欧洲的学问都从他这条邮路上过。
其中有一道题，来自一千四百年前的亚历山大城。帕普斯写过八卷《数学汇编》，最后一卷里记下了一个问题：
给三条（或四条）定直线，求这样的点——它到其中两条线的距离之积，与到另两条线的距离之积，成定比。
三线、四线的情形，古希腊人用圆锥曲线解了出来。五线、六线呢？帕普斯写了一句「尚未解决」，此后一千四百年，没人接。
笛卡尔接了。他回信说：不止五条六条，任意多条都能解。
他没有用尺规，也没有用圆锥曲线的性质。他用了一套新写法——一套把「形」写成「式」的写法。
要把这道题写成式子，先得把「距离」说清。
点到直线的距离，是自该点向直线作垂线，垂线段的长度。这一步不能含糊：不是「大概多远」，是那条最短的线。
古希腊人用尺规，能量出一条垂线；可要把几条距离「乘起来」，尺规就做不到了——在欧几里得的体系里，两条线段相乘得到的是「矩形」，三条线段相乘根本没有位置。
笛卡尔的办法是绕过去：先给平面放两条基准线，每个点用两个数表示；于是每一条定直线，都对应一个含这两个数的一次式。
距离成了式子，「距离之积」就成了「两个式子相乘」——这是代数的事了。
设平面上一点 P 由两个数 (x, y) 确定，一条定直线写成 ax + by + c = 0，则 P 到它的距离是
d = |ax + by + c| / √(a2 + b2)
每一条定直线，都配这样一个式子。距离不再是「量出来」的，是「算出来」的。
这一步看着只是记号，其实换掉了整个难题的性质：问题从「怎样作一条线」变成了「怎样乘两个式子」。
帕普斯四线问题，照这个写法，一步一步是这样的。
设两条基准线，点为 (x, y)。到第一条线的距离，是一个一次式；到第二条，一个一次式；到第三、第四条，各一个一次式。
题目要求：前两条距离之积，等于后两条距离之积乘一个定比。
四个一次式相乘，得到一个二次的式子。把它整理好——它就是那条曲线的方程。
笛卡尔在《几何学》里把这一步做给读者看，然后说了一句很重的话：曲线的种类，由方程的次数定。
这句话的意思是：从此曲线不必一条一条去认识，可以按「次数」分类。一次的是一类，二次的是一类，三次的是一类。
四线问题：d1d2 = k · d3d4。每个 di 是 x, y 的一次式，故左右各为二次式，整理后是一条二次曲线。
一般地：几条定直线，就乘几个一次式；乘积的次数，就是曲线的次数。
二元二次方程的一般形状是
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
椭圆、抛物线、双曲线——古希腊人分三类、各写一大卷的性质，如今只是同一个式子里系数的不同取值。
换了写法以后，最常见的三条曲线，各有一个极简的式子。
x + y = 5：所有「横竖两个数加起来等于五」的点。把 (5, 0)、(4, 1)、(3, 2)、(2, 3)、(1, 4)、(0, 5) 描出来，它们在一条直线上。
x2 + y2 = 25：所有「到原点距离为五」的点。描出来，是一个圆。
y = x2：所有「竖着的数等于横着的数自乘」的点。描出来，是一条开口向上的曲线——抛物线。
三个式子，三种形状。反过来也成立：看到一条直线，能写出它的式子；看到一个圆，也能。
这就是这一册最要紧的一件事：形可以写成式，式可以画成形。这两句话听上去像同义反复，可它们是两个方向，两个方向都有自己的用处。
x + y = 5 直线 · x2 + y2 = 25 圆 · y = x2 抛物线
同一条曲线，写法可以不止一种：x + y = 5 也可写成 y = 5 − x，或 2x + 2y − 10 = 0。式子变了，形状没变。
画图的笨办法最靠得住：把式子整理成 y 关于 x 的样子，x 取一个值，y 就有一个值；一对一对描下去，曲线就出来了。
这一册的暗线，只有一个词：翻译。
几何与代数，本来是两种语言。
几何的话：作一条线、过一个点、两圆相交于何处。它直观，看得见；可每一题都要另想一个巧法，欧几里得的十三卷，是一条一条命题目垒起来的。
代数的话：设一个数、列一个式、解一个方程。它机械，能算；可算出来的东西看不出形状——一个三次方程的三个根，摆在纸上只是三个数。
两种语言各说各的，说了两千年。中间也有人试着通婚：阿基米德用杠杆算体积，花拉子米用「还原与对消」解方程，奥雷姆用格表示变化。可都是零星的，没有一部字典。
笛卡尔做的事，是给它们编了一部字典：点译成数对，曲线译成方程，作图译成运算，交点译成联立。
解析几何不是一个人发明的。
比笛卡尔早几年，图卢兹的费马已经写下一部《平面与立体轨迹引论》：用方程研究曲线，用曲线解释方程。稿子没有发表，只在通信里传。
两人的记号不同。费马守旧：他用韦达的字母，还坚持「齐次」——二次的项不能与一次的项相加，因为「面积不能加线段」。于是他的方程写得层层叠叠，读一行要喘一口气。
笛卡尔不管这一套。他让 x、y 随便加减乘，让次数自由升降；式子短了，路就宽了。
两人还为一件事吵了起来：切线怎么求。费马有「极值法」，笛卡尔有「重根法」。吵了几年，各自都对，各自都不全。
两条路后来并成一条，名字叫解析几何。
《几何学》第一卷的开头，笛卡尔先不讲曲线，讲一件更小的事：怎样用一个数说清一条线段上的一个点，用两个数说清平面上的一个点。
他说：取一条直线，上面定一个起点，再定一个单位长；那么线上任一点，都可以用一个数说清——在起点右边几个单位，或在左边几个单位。
一条线，一个数。那么平面呢？
在平面上取两条相交的直线作基准，交点叫原点；每个点向两条基准线各作一条垂线，量出两个长度，再配上一对正负号。
两个数，一个点。位置说清了。
这一步小得不像发明。可它是整册书的地基——没有它，后面的方程、曲线、微积分，全都无处落脚。
把两条基准线摆成直角，就叫坐标轴：横的叫 x 轴，竖的叫 y 轴；交点叫原点，记作 O。
平面上任一点 P，作两条垂线落到两轴上，落点处的两个数，就是 P 的坐标，记作 (x, y)。前一个数是横的，后一个数是竖的。
两个数有正负。原点右边为正、左边为负；上边为正、下边为负。
两条轴把平面分成四块，叫四个象限：第一象限两数皆正，第二象限横负竖正，第三象限皆负，第四象限横正竖负。
古人也用坐标——地图上的经纬、天文上的黄赤、历法上的度数。可那些坐标只属于那张地图、那架仪器。笛卡尔把它变成了平面本身的性质：不管画什么，都可以先放这张格。
点与数对的对应，是一一对应：每个点恰有一对 (x, y)，每对数恰有一个点。
这意味着一件了不起的事：几何问题可以整体搬进数的世界，搬过去不会丢东西，也不会多出东西。
反过来也成立：任何一对数，都能在平面上找到唯一的落点。所以方程的解，可以「看」出来——这是第十六世纪的人从未有过的一种验算。
四象限的编号，按逆时针从右上起：I (+, +)、II (−, +)、III (−, −)、IV (+, −)。
坐标一到手，第一件要算的是距离：两个点之间有多远？
设两点 (x1, y1)、(x2, y2)。横着差多少，竖着差多少；两差一横一竖，正好是一个直角三角形的两条直角边。
斜边就是两点的距离。用勾股定理：距离的平方，等于横向差的平方加纵向差的平方。
这是《几何学》里最不显眼、也最要紧的一条。它是两种语言之间的桥墩：没有它，坐标只是一堆标号；有了它，长度、角度、面积才能从数里算出来。
也正因为它，古希腊人两千年的勾股定理，忽然有了一个新身份——它不只是「三个正方形面积的拼补」，它是「距离的算法」。
d = √((x2 − x1)2 + (y2 − y1)2)
例：(1, 2) 与 (4, 6) 的距离 = √(32 + 42) = √25 = 5。
中点则是两坐标各取平均：((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)。
有了距离，就能定义「圆」：到一点距离相等的所有点。也能定义「垂直平分线」：到两点距离相等的所有点。几何的定义，一条一条变成了式子。
同一个圆，式子可以不一样。
圆心在原点、半径五的圆：x2 + y2 = 25。若圆心搬到 (2, −3)，半径仍是五：式子变成 (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25。
形状一点没变，式子变了。变的不是圆，是「站在哪里看」。
反过来更有用：拿到一个乱糟糟的式子，先配方，把它整理成「(x − a)2 + (y − b)2 = r2」的样子，圆心与半径就一眼看出来了。
x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0，配方之后是 (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25：圆心 (2, −3)，半径五。
选对原点，是解析几何的第一门手艺。这一手，往后所有的「化简」都是它的后代。
配方：x2 − 4x = (x − 2)2 − 4，y2 + 6y = (y + 3)2 − 9。
代入原式：(x − 2)2 + (y + 3)2 = 25。
一般式 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件：D2 + E2 − 4F > 0。等于零时缩成一点，小于零时没有图形——这是「式子有解」与「图上有形」之间的一道门槛。
翻译要能成立，得守三条规矩。
第一条：一词一义。每个点只配一对数，每对数只配一个点，不许含糊。这条保证「搬过去不丢东西」。
第二条：句法可算。几何里的每个动作，都要在代数里有对应的算法：作垂线对应取差，求交点对应联立方程，求长度对应开方。这条保证「搬过去能算」。
第三条：可回译。算完的答案，要能画回图上，并且画出来确实是要的那个东西。这条保证「搬过去不算白算」。
三条都守住，翻译才算通了。少一条，就成了两套各说各话的记号——古人也试过，两套记号的「对话」往往只是互相抄写，抄完还是不懂。
后来三百年的数学，凡有新东西出现，第一件事都是问：它能不能被这样翻译？
《几何学》寄到图卢兹。费马读了，指出一处：切线的方法不对。
笛卡尔的切线法，是把切线看成「与曲线交于两点的直线」，让这两点渐渐靠近，最后「重」成一点；在方程上，就是让一个方程有两个相等的根——判别式等于零。
费马的法子另开一路：设一个极小的增量，比较函数值的变化；让增量趋近于零，剩下的一比，就是斜率。今天看，这条路直通导数。
两人书信往来数年，各不相让，也各自补上了对方的漏洞。
这场争执没有输家：一条路通向「判别式」，一条路通向「极限」。二十年后，牛顿与莱布尼茨的微积分，正是从第二条路上长出来的。
有趣的是，两人吵架用的都是同一套语言——都是坐标与方程。语言一通，吵架也成了推进。
《几何学》三卷，各有各的活。
第一卷讲「怎样用线算数」：一条线段的长度是一个数，两段相乘仍要写成一条线段——靠比例。这一卷把加减乘除、开方，全都翻译成尺规作图：加是接长，减是截短，乘是作第四比例项，开方是作比例中项。
第二卷讲曲线：哪些曲线算「几何的」，怎样由方程定它的性质。帕普斯问题在这里解完。
第三卷讲方程：三次、四次以上的方程怎样用圆锥曲线的交点来解，根的个数与符号怎样判断。
三卷合起来，是一句话：凡是能用式子写的，都能作出来；凡是能作出来的，都能写成式子。
这句话今天是常识，在当时是异端。因为「尺规作图」在古希腊是一门有规矩的手艺：只许用无刻度的直尺与圆规，别的工具一概不许。笛卡尔把「曲线」也拉进了这门手艺，等于改了规矩。
把翻译写成可操作的规则，只有三条。
规则一（点）：图上每一点，配一对数；每对数，配一点。
规则二（线）：满足一个方程的所有点，连起来是一条曲线；反过来，一条曲线上的所有点，都满足某个方程。
规则三（作）：几何里的「作」，配代数里的「解」。求两线交点，就是解两个方程联立；求中点，就是两坐标取平均；求垂足，就是把垂线方程代进去。
有了这三条，一道几何题就可以整题搬进代数，算完再搬回来。搬的过程不必看图，图在最后画——这正是它的好处：算的人可以不会画图，画图的人可以不会算。
分工一旦成立，事情就快了。一个人的力气有限，一门手艺的规矩也有限；可一旦能拆成「算」与「看」两道工序，两样都能各自长进。
联立 y = x + 1 与 x2 + y2 = 25：
x2 + (x + 1)2 = 25 ⟹ 2x2 + 2x − 24 = 0 ⟹ x2 + x − 12 = 0
即 (x + 4)(x − 3) = 0，两交点 (−4, −3) 与 (3, 4)。
验：(−4)2 + (−3)2 = 25，32 + 42 = 25，且两点都在 y = x + 1 上。
一次方程 Ax + By + C = 0，画出来一定是直线。为什么？
取线上两点，连成一条直线；再取第三点，只要它也满足这个方程，它就落在这条直线上——因为一次式在两点之间「按比例变化」，中间的点不会拐弯。
反过来，直线也一定是一次方程：直线上每一点的「横竖之比」是常数，写成式子只含一次项。
两个特殊位置最有用：让 x = 0，得 y 轴上的截距；让 y = 0，得 x 轴上的截距。两个截距一定，直线就定了。
斜着看，还有一个量叫斜率：横着走一格，竖着升多少。斜率是直线的「脾气」：两条直线平行，斜率相同；垂直，斜率相乘为 −1。
这些今天看来天经地义的话，在笛卡尔笔下还没有「斜率」这个词。他用的是「与基准线的夹角」——同一个意思，换了一个说法。
点斜式：过 (x0, y0)、斜率 k 的直线：y − y0 = k(x − x0)。
例：过 (0, 5) 与 (5, 0)，k = (0 − 5)/(5 − 0) = −1，故 y = −x + 5。
平行 ⟺ k1 = k2；垂直 ⟺ k1k2 = −1。
两点式：(y − y1)/(y2 − y1) = (x − x1)/(x2 − x1)。
圆与直线，能有三样关系：不相交、相切、相交于两点。
几何上要一眼看出来，得靠眼睛；代数上不用看，只要算。
把直线方程代进圆方程，得到一个二次方程。这个二次方程有几个解，就有几个交点：判别式小于零，无解，不相交；等于零，一个解（重根），相切；大于零，两个解，相交。
判别式就是几何的「眼睛」。这正是笛卡尔与费马争的那个「重根」：相切，就是两个交点合成一个。
这一招的用处远不止圆。两条曲线相交，都是解联立方程；交点有几个、是否相切、什么时候不相遇，全看判别式。几何里那些「看图说话」的问题，从此可以算。
例：圆 x2 + y2 = 25，直线 x + y = c。
代入：x2 + (c − x)2 = 25，即 2x2 − 2cx + c2 − 25 = 0。
判别式 Δ = 4c2 − 8(c2 − 25) = 200 − 4c2。
|c| < 5√2 相交；|c| = 5√2 相切；|c| > 5√2 相离。
而圆心到直线的距离是 |c|/√2，与半径 5 比大小，结论相同——两条路，一个答案。
把形变成式，换来了什么？
换来了三样：可以算、可以批量、可以交给不懂几何的人去做。一个只会解方程的人，也能求出两圆的交点；他不必知道那两条弧是怎么画的。
也失去了三样：看不见、摸不着、容易算错方向。式子对了，可能答的不是题；参数一多，图景就散了。
所以翻译不是取代。真正会用的人，两边都看：先看形，得一个直觉；再写式，算一个准数；最后回到形，看这个数是不是那个意思。
光会算，是匠；光会看，是猜；两个都会，才是这一册要说的人。
笛卡尔自己就是这样的人。他在《折光》里先用几何画出光路，再用式子算角度，最后回到图上改曲线——三样来回倒，倒了十几年。
翻译要通，先得有称手的记号。
一五九一年，韦达做了一件事：用字母代表数。元音表未知，辅音表已知。这一步把「一道题」变成了「一类题」——因为字母可以代任何数。
可韦达还守一条老规矩：齐次。二次的项不能与一次的项相加，因为「面积不能加线段」。于是方程必须写成同次的样子，缺一项就得补一个「单位」进去；式子越长，意思越糊。
笛卡尔把这规矩破了。他说：线段就是数，数就是线段；既然都是数，就可以随便加减，次数可以自由升降。式子一下短了，短到能一眼看完整。
他还定了几个习惯：未知量用 x、y、z（后头的字母），已知量用 a、b、c（前头的字母）；乘方写成上标。今天课本上的一整页式子，用的都是他这套排法。
记号不是小事。记号一改，能想的东西就变了——从前写不出来的式子，现在写得出来；写出来看得懂，才谈得上想。
《折光》是《方法谈》的第一篇附录，讲的是眼镜与望远镜。
当时的透镜靠磨工的经验：磨成什么弧度，全凭手感。磨得好不好，要磨完拿去看，看远处的塔尖清不清。
笛卡尔想给它一个算法：给定要聚光的距离，反推出镜面该是什么曲线。
他算出来的答案是：椭圆与双曲线。这两种曲线能把平行光（或一点发出的光）按折射线束聚到一点，比球面精确——球面总有「球差」，边缘的光聚不到一处。
这一步不是几何作图能做的。要知道「光走到哪里」，得把每一条光线的路径写成一个关系式，再让这些关系式同时成立。
曲线第一次不只是形状，它是一条规律：满足这个式子的所有点，光就走这条路。
第一张图：x + y = 5。
列一张表：x 取 0，y 是 5；取 1，得 4；取 2，得 3；取 3，得 2；取 4，得 1；取 5，得 0。
六对描在格上，六个点排成一条斜线。
这条线穿过两个特别的位置：(5, 0) 与 (0, 5)——两个截距。它与两轴围出的三角形，两条直角边都是五，面积是十二点五。
斜率是 −1：横着往右走一格，竖着往下走一格。所以它是一条斜四十五度的线，从左上到右下。
一个式子，一条线；改一个数，线就挪个位置。把 5 改成 10，线平移出去；把 x 的系数改成 2，线就变陡。
x + y = 5 ⟺ y = −x + 5
斜率 −1，y 截距 5，x 截距 5。
若改成 x + y = 10，斜率不变，线平移；若改成 2x + y = 5，斜率变成 −2，线变陡。
一般的 ax + by = c，斜率是 −a/b：两个系数之比，定下这条线的方向。
第二张图：x2 + y2 = 25。
这个式子的意思是：到原点的距离的平方等于二十五，也就是距离等于五。
所以它是一个圆：圆心在原点，半径五。
列表描点也能画：x 取 0，y 是 ±5；x 取 3，y 是 ±4；x 取 4，y 是 ±3；x 取 5，y 是 0。四个象限一配，八个点就够看出形状。
它与两轴各交于两处，四点连起来是一个边长十的正方形，圆恰好内切于它。式子里的那个「25」，就是半径的平方；改成 16，圆就缩一圈。
圆在古希腊是「最完美的图形」，只能用圆规画；现在它只是「平方和等于常数」的那一堆点。身份变了，脾气没变——它仍然是唯一处处等距的曲线。
x2 + y2 = 25 ⟺ √(x2 + y2) = 5
与直线 x + y = 5 联立：x2 + (5 − x)2 = 25，得 2x2 − 10x = 0，x = 0 或 5。
两交点 (0, 5)、(5, 0)——正是上一条线的两个截距。图上看，直线正好在圆上「切过」一段弦。
参数写法：(5 cos t, 5 sin t)，t 从 0 走到 2π，绕一圈。
第三张图：y = x2。
x 取 0，y 是 0；取 ±1，y 是 1；取 ±2，y 是 4；取 ±3，y 是 9。左右对称，越往外越陡。
它过原点，顶点在 (0, 0)，开口向上。整条曲线在 x 轴上方——因为平方不会是负数。
它还有一条古怪的性质：曲线上每一点，到某个定点的距离，等于到某条定直线的距离。那个定点叫焦点，那条定直线叫准线。
y = x2 的焦点在 (0, 1/4)，准线是 y = −1/4。验一点：取 (2, 4)，到焦点是四分之十七，到准线也是四分之十七——两样相等。
这个性质不是玩具：平行于轴射进来的光，经抛物面反射，全都聚到焦点上。望远镜、卫星天线、车灯、太阳灶，用的都是这一条。
设 y = x2 上一点 (t, t2)。
到焦点 (0, 1/4)：√(t2 + (t2 − 1/4)2) = t2 + 1/4；到准线 y = −1/4 也是 t2 + 1/4。恒等。
一般式 y = x2/(4p) 的焦点 (0, p)，准线 y = −p。
配方后 y = ax2 + bx + c 的顶点 (−b/(2a), c − b2/(4a))：开口、对称轴、最值，一个式子全给。
第四张图，换一种写法。
前三条都用「横多少、竖多少」。这一次改用「转多少度、走多远」：从原点出发，先定一个方向（角 θ），再定这个方向上的距离（r）。这叫极坐标。
心形线的式子是：r = a(1 − cos θ)。
θ = 0 时，cos 是 1，r 是 0——曲线回到原点，那是心尖。θ = 90° 时，cos 是 0，r 是 a。θ = 180° 时，cos 是 −1，r 是 2a——最宽的一处。
θ 从 0 转到 360°，曲线绕一圈，画出两瓣，合成一颗心。
它不是为了好看才被研究的：这类曲线出现在光线在圆面上的反射（焦散线）里——杯底那道明亮的心形亮斑，就是它。
r = a(1 − cos θ)
描点：(0, 0°)、(a, 90°)、(2a, 180°)、(a, 270°)、(0, 360°)。
换算成直角坐标：x = r cos θ，y = r sin θ。
若写成 r = a(1 − sin θ)，心形转九十度，尖朝上；r = a(1 + cos θ) 则尖朝右。同一个形状，三种写法。
一六三八年，伽利略做了一件和笛卡尔相配的事。
他问：一块石头斜着扔出去，走的是什么路？
他把这件事拆成两半：横着，石头匀速走；竖着，石头被重力越拉越快。两半各自写成一个式子，消去时间，剩下一个 y 与 x 的关系——抛物线。
这是「翻译」的第二次胜利：不是把几何译成代数，是把运动译成式子。
从此，物理有了语言。牛顿在《原理》里写「运动之量」，写「加速度与力成正比」，用的都是这套语言；没有坐标，那些话根本说不成句子。
而笛卡尔的野心比这还大一点：他在《哲学原理》里想把整个世界写成「广延」与「运动」——凡物皆有长宽高，凡变化皆是运动的传递。世界若能写成式子，就能算。这句话既是他最了不起的洞见，也是后人最该警惕的地方。
一六四九年，瑞典女王克里斯蒂娜派人来请。笛卡尔犹豫了很久，最后去了。
女王要他在清晨五点讲课。北方的冬天，天亮得晚，宫殿又冷；他从小习惯在床上想到中午，这个作息要了他的命。
一六五〇年二月，他得了肺炎。十一天后去世，年五十三。
他留下的未完成稿里，有一部《论人》：把人体当机器来写，心脏是热源，神经是管子，肌肉是杠杆。
还有一部《哲学原理》：把世界写成「广延」与「运动」——凡物皆有长宽高，凡变化皆是运动的传递。
他想把一切都放进同一套语言里。坐标是那套语言的字母表。字母表编好了，句子才刚开始写。
平面上的点要两个数。空间里的点呢？三个。
加一条垂直于纸面的轴，就叫 z 轴。点的坐标写成 (x, y, z)。
球面：到原点距离为 r 的点，式子是 x2 + y2 + z2 = r2。
再加一个数，就是四维。四维看不见，但式子照写不误——这正是这套语言的厉害处：看不见的东西，只要写得出式子，就能算。
爱因斯坦的相对论用四个数记一件事：三个说「在哪里」，一个说「在何时」。时空成了一个四维的格。
闵可夫斯基在一九〇八年说：从此，空间与时间不再是两样东西，而是一个四维世界的两个方向。这句话，用的正是笛卡尔的语法。
二维 (x, y) · 三维 (x, y, z)。
球面 x2 + y2 + z2 = r2；球体 x2 + y2 + z2 ≤ r2。
三维距离 d = √((Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2)。
四维的「距离」（时空间隔）是 s2 = c2(Δt)2 − (Δx)2 − (Δy)2 − (Δz)2：时间项取正、空间项取负，与欧氏的距离不同，故称「伪欧氏」。
坐标还有一个副作用，比它本身更大。
一旦每个 x 都有对应的 y，就可以把「y 随 x 怎么变」画成一条线。这条线叫函数图像。
有了图像，两件事变得看得见。
一是「变多快」：曲线上某点的切线有多陡，就是那一刻的变化率。这叫导数。牛顿与莱布尼茨在十七世纪六十至八十年代各自做出。
二是「积多少」：曲线与横轴之间夹的那块面积有多大。这叫积分。
而这两件事互为逆运算：求面积的反过来就是求斜率。这一条叫微积分基本定理。
微积分是坐标的儿子：没有「把变化画成线」这一步，就没有「线的斜率」这个想法。
导数：f′(x0) = limh→0 (f(x0 + h) − f(x0))/h
例：f(x) = x2 的导数是 2x；在 x = 3 处斜率为 6。
积分：∫03 x2 dx = 9——曲线 y = x2 与横轴在 0 到 3 之间围出的面积。
两者互逆：对 x2 积分得 x3/3，再求导又回到 x2。
今天看的任何一块屏幕，都是格子。
屏幕由像素排成，每个像素有两个数：第几列、第几行。要在屏幕上画一条线，就是把这条线的方程交给一块芯片，让它一格一格地填。
要把一个图形转个角度，就把它每个点的两个数按一个固定的公式换一遍：横的新值等于「横乘余弦减竖乘正弦」，竖的新值等于「横乘正弦加竖乘余弦」。这叫旋转。
缩放、平移，也各有各的公式。三维游戏里每一次转头、每一次靠近，做的都是这件事——把几百万个点的坐标乘一遍。
笛卡尔那张格，成了所有图像的底。它不发音，也不发光，可每一帧画面都在用它。
旋转（绕原点，逆时针 θ）：x′ = x cos θ − y sin θ，y′ = x sin θ + y cos θ。
例：(1, 0) 转 90°：x′ = 0，y′ = 1，得 (0, 1)。
平移不能写成这样的乘法，故计算机图形学用三个数记二维点（齐次坐标），把平移也变成乘法。
坐标是中性的，原点不是。
把原点定在哪里，就把什么当成「中心」。地图上的本初子午线，定在格林尼治，是一八八四年一次国际会议投票的结果；此前各国各用各的，法国一直用到一九一一年。
把 y 轴朝上还是朝下，也不只是习惯：屏幕上 y 朝下，因为扫描线从上往下走；数学书上 y 朝上，因为「高」是正的。
连「时间」的零点也是人定的：公元元年、各文明的纪元、计算机里的一九七〇年一月一日。
翻译把人放进格子里，可格子是人自己画的。这一点，值得在每个坐标背后记一笔。
笛卡尔本人对此并不糊涂。他一生谨慎，屡次删改自己的书，连出版都要匿名——他知道「确定」二字的分量，也知道谁在定这些确定。
今天的定位，是两套坐标的接力。
地球是球面，用经度、纬度、高度三个数说清一个位置——这叫球坐标，是极坐标的三维版。
卫星在天上发信号，接收机算出自己到四颗卫星的距离，用三个球的交点定出位置——这是三维的「两圆相交」，只不过圆换成了球，判别式换成了误差修正。
算出经纬度，还要画到平面图上：这一步叫投影，是一次不可避免的变形。墨卡托把球面拉成方格，航向成了直线，可格陵兰被放大得比非洲还大。
格与线，从来没有离开过人的生活。从乌尔姆军营那间小屋，到口袋里的那块屏，用的是同一套写法。
回望这一册，是一条越走越宽的翻译之路。
起头只是乌尔姆军营里的三个梦，和一句「一切科学应当连成一体」。为了这句话，他先做了一件最小的事：用一个数说清线上的点，用两个数说清面上的点。
然后是那条最要紧的桥：距离公式。有了它，长度才能从数里算出来。
然后是三条规则：点、线、作，各有一个代数的对应。
然后是四张图：直线、圆、抛物线、心形线——四种形状，四种写法。
最后是三百年：微积分、相对论、屏幕上的每一个像素。
五个环，扣在一起：位置 → 距离 → 互译 → 画图 → 生长。
《几何学》一百多页，是三部附录里最短的一部，也是最难读的一部。
它没有统一的记号系统，没有一条今天课本上的定理编号；它把解题的过程一段一段写下来，像一个人在纸上边走边想。
可它做对了一件事：把「作图」这件事，变成了「计算」。
此后两百年，解析几何的书一本一本出来：欧拉的《无穷小分析引论》把曲线写成方程，克莱罗的《代数基础》把三维坐标讲清，蒙日的画法几何把投影变成学科。
到了十九世纪，坐标系本身也成了研究对象：可以斜着放，可以弯着放（曲线坐标），可以放在任意曲面上（黎曼）。
一本书薄，一条路宽。
笛卡尔把「位置」写到了极处。可他没有回答另一个问题：是不是所有东西都能这样写。
颜色能写成三个数，声音能写成一串数，情绪不能。一段旋律的美，写不成坐标；一个人的犹豫，也写不成。
三百年来，凡能翻译成数的，都被翻译了；剩下没被翻译的，不是不重要，是这套语言够不着。
更该小心的是另一件事：一旦写成了数，人就容易相信数就是全部。
格能说清「在哪里」，说不清「该去哪里」。这一问，笛卡尔留给后面的人。
材料：一卷胶带（或粉笔）、一块空地、一张写着式子的纸。
一 在地上贴出一个大十字，交点标为原点；沿两条轴每隔一步贴一道短胶带，当刻度。
二 一个人站到「横三步、竖两步」的位置——这就是 (3, 2)。再站到 (−2, 1)、(0, −3)，体会负号是「往另一边」。
三 给一条线：x + y = 5。两个人分别站到 (5, 0) 与 (0, 5)，第三人站到 (3, 2)——三点应当在一条直线上，用一卷绳子拉直验一验。
四 再给一条：x + y = 6。同样三人站到 (6, 0)、(0, 6)、(3, 3)。两条线平行——用眼睛看，再用「斜率都是 −1」说一遍。
五 最后问一句：站在原点的那个人，凭什么说自己是中心？
为什么两点定一线？一次式只有两个自由参数（斜率与截距），两组数就够定死。第三点是验算。
为什么要负号？一维只需要「左右」，二维必须能说「两边都有」；没有负数，格只剩四分之一。
换个人当原点，式子怎么变？若原点往右挪三步，所有 x 都减三：x + y = 5 变成 (x + 3) + y = 5，即 x + y = 2。
材料：方格纸、直尺、量角器、铅笔、一枚图钉与一根线（可选）。
一 画一个十字，交点是原点。用量角器每隔三十度画一条射线，从原点射出。
二 取 a = 4 格。射线角度为 θ 时，从原点量出 4(1 − cos θ) 格，点一个点。
三 一档一档量：θ 为 0° 时量 0 格；60° 时 2 格；90° 时 4 格；120° 时 6 格；180° 时 8 格；240° 时 6 格；270° 时 4 格；300° 时 2 格；360° 回到 0。
四 把这些点连成一条光滑的线。心尖在原点，最宽处在负 x 轴上，宽 8 格。
五 若把式子改成 r = 4(1 − sin θ)，同法再描一张，心尖朝上。
为什么走完 360° 就闭合？因为 cos θ 以 360° 为周期，走完一圈，r 回到起点。
心尖为什么在原点？θ = 0 时 cos θ = 1，1 − 1 = 0，故 r = 0。
最宽处为什么是 2a？θ = 180° 时 cos θ = −1，1 − (−1) = 2，故 r = 2a。
可以把描出的点用直角坐标验一遍：θ = 90° 时点在 (0, 4)；θ = 180° 时点在 (−8, 0)。
- 坐标
- 用有序的一组数确定点的位置。平面用两个数 (x, y)，空间用三个数。
- 原点 · 象限
- 两轴交点记 O；两轴把平面分成四块，按逆时针编 I–IV。
- 解析几何
- 用坐标与方程研究图形的学科；笛卡尔与费马各自开创，18 世纪得名。
- 一次方程
- 形如 Ax + By + C = 0，图像为直线。
- 斜率 · 截距
- 斜率 k = Δy/Δx，即横走一格竖升多少；截距是直线与坐标轴交点的坐标。
- 圆的标准式
- (x − a)2 + (y − b)2 = r2，圆心 (a, b)，半径 r。
- 判别式
- Δ = b2 − 4ac。大于零两解、等于零一解、小于零无实解；在几何上对应相交、相切、相离。
- 抛物线
- 到定点（焦点）与定直线（准线）等距的点的轨迹；y = ax2 + bx + c 的图像。
- 焦点 · 准线
- y = x2 的焦点 (0, 1/4)，准线 y = −1/4。
- 极坐标
- 用 (r, θ) 定点：r 为距、θ 为方向角；x = r cos θ，y = r sin θ。
- 心形线
- r = a(1 − cos θ)；尖在原点，最宽处 2a。
- 齐次坐标
- 用三个数记二维点，使平移也能写成乘法；计算机图形学通用。
- 函数图像
- 所有 (x, f(x)) 的点连成的曲线；切线斜率为导数，曲线下面积为积分。
- 笛卡尔（1596—1650）
- 法国哲学家、数学家。著《方法谈》及三附录（1637），创解析几何；另有《哲学原理》(1644)、《论人》(1664 刊)。
- 梅森（Marin Mersenne，1588—1648）
- 法国修士，欧洲学术的通信中枢；帕普斯问题经他转到笛卡尔手上。
- 费马（1601—1665）
- 法国数学家，独立发明解析几何（《平面与立体轨迹引论》，1679 刊）；与笛卡尔争切线法。
- 帕普斯（约 290—350）
- 亚历山大数学家，《数学汇编》八卷；三线四线轨迹问题出自其中。
- 阿波罗尼乌斯（约前 262—前 190）
- 《圆锥曲线论》，古希腊圆锥曲线的集大成者。
- 韦达（1540—1603）
- 法国数学家，首创以字母表未知量与已知量（《分析术引论》，1591）。
- 伽利略（1564—1642）
- 意大利物理学家，1638 年证明抛体轨迹为抛物线。
- 牛顿（1643—1727）· 莱布尼茨（1646—1716）
- 微积分的创立者，各自独立；为优先权争执终生。
- 欧拉（1707—1783）
- 把解析几何与函数概念系统化；《无穷小分析引论》(1748)。
- 典籍
- 《几何学》(1637) ·《折光》(1637) ·《哲学原理》(1644) · 费马《平面与立体轨迹引论》(1679 刊) · 牛顿《自然哲学的数学原理》(1687) · 欧拉《无穷小分析引论》(1748)
地球是圆的，地图是平的。要把圆的画成平的，必须撕开或拉伸。
经纬度是最早的球面坐标：纬度说南北，经度说东西。一条经线是一个大圆的半圈，一条纬线是一个小圆。
墨卡托在一五六九年想了一个办法：把纬线越往两极拉得越开，使得「航向恒定的线」（等角航线）在图上是一条直线。航海的人靠这个。
代价是面积：格陵兰在图上比非洲还大，实际只有非洲的十四分之一。
另一种办法是等面积投影：面积对了，形状又歪了。
球面不能既不撕裂、又不拉伸地铺平。这不是技术不够，是几何不允许。
一块手机屏幕，约有两百万个像素。每个像素三个数：红、绿、蓝的亮度。
要画一条从左上到右下的斜线，计算机不做「几何作图」，它做的是：把屏幕每一列代进方程，算出一个行号，把那一格点亮。旁边一格补一点浅色，让边缘看起来不锯齿。
要转一下画面，就把两百万个点各乘一次旋转公式。
要画一个三维的球，先算它在屏幕上的投影：把三个数变成两个数——距离越远，看起来越小。
每一次滑动、每一次缩放，都是笛卡尔那张格在动。它动得很快，快到人看不见，只看见流畅。
这一册讲的不是「解析几何的发明」，而是一个人怎样把两种语言接上。
几何看得见、说不出；代数说得出、看不见。两千年来，两边的人各干各的。笛卡尔做了一件翻译的活：给点编号，给曲线写式子，给作图找算法。翻译一通，两边都长了本事。
孩子读这本书，能拿到三样东西：一是「位置可以用数说清」这个念头；二是「换一种写法，题就变简单」的办法（配方、换原点）；三是「翻译要能译回去」的谨慎——算完要回图上验一验。
还有一层，值得与孩子慢慢说：这套语言后来把世界写成了数，写在纸上、写进机器里。它极有力，也不是全部。
给孩子的——看图，听故事：那只苍蝇为什么只要两个数？那本薄书为什么故意写难？那颗心是怎么一笔画出来的？
给少年的——跟着算一次：p.15 的距离公式、p.16 的配方、p.23 的判别式、p.30 的焦点、p.31 的心形线描点，都可以拿纸笔验。验过，就知道「翻译」不是背公式。
给大人的——留意注里的分寸：哪些是笛卡尔原文的术语（他不用「坐标」「斜率」这些词），哪些是后人的命名，哪两桩故事是附会（p.4 的苍蝇、p.47 的情书）。
三个可以不急着回答的问题，留给亲子一起慢慢聊。
一 为什么「位置」要用数来说？
因为说「靠窗那边」别人听不懂，说「横三竖二」谁都一样。数的作用不是精确，是可以转述——一个人说的，另一个人能接住。这一条，比精确更重要。
二 翻译会不会丢掉东西？
会。形状译成式子，丢掉的是「看见」；式子译回形状，丢掉的是「精确」。所以两种语言都要留着，谁也别想代替谁。今天把一切写成数据的人，常忘了这一条。
三 能算的，就是全部吗？
不是。笛卡尔把「在哪里」算到了极处，可「该去哪里」他一个字也没写。这不是他的疏漏，是这套语言管不到的地方。承认有管不到的地方，才是真的会用。
（此处留给亲子手写。读完这一册，最想留住的一句话是什么？）
《数学家的故事》第一辑 · 第 05 册
笛卡尔 · 一格一线
明线：两条基准线与坐标 · 距离公式 · 点线作三规则 · 直线与圆的方程 · 判别式与相切 · 抛物线与焦点准线 · 极坐标与心形线 · 《几何学》的方法
暗线：翻译的力量 · 几何与代数本是两种语言，他把它们接上了电
时代：1596—1650 · 法国与荷兰（下延至 1908 年闵可夫斯基时空与今日图形学）
主典：《几何学》·《折光》·《哲学原理》· 帕普斯《数学汇编》· 费马《平面与立体轨迹引论》· 欧拉《无穷小分析引论》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 至 4 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
《数学家的故事》第一辑十册：欧几里得 · 刘徽 · 费马 · 秦九韶 · 笛卡尔 · 伽罗华 · 高斯 · 希尔伯特 · 黎曼 · 陈省身。本册为第五册。
封面人物头像：以公版历史画像（弗兰斯·哈尔斯绘，约 1648 年）为底本作水彩素描重绘；底本藏维基共享资源，属公有领域。