伽罗华 · 决斗前夜
伽罗华，一八一一年十月二十五日生于巴黎南郊的布尔拉雷讷。父亲是镇长，为人温和，擅长编讽刺打油诗；母亲出身法律世家，亲自教他拉丁文与古典作品，一直教到十二岁。
十二岁进巴黎的路易大帝中学。十五岁那年读到勒让德的《几何原理》与拉格朗日的论文，从优等生变成一个把其余功课全部丢在一边的人。
他两次投考巴黎综合理工学院，两次落榜。论文三次送往科学院：一次没有下文，一次随审查人去世而丢失，一次被退回，评语是「不可理解」。
一八三二年五月三十日清晨，他在巴黎近郊与人决斗，腹部中枪，次日死在医院，年二十岁。决斗前夜，他把手里的数学想法写成一封长信，托付给朋友。信的页边写着：我没有时间了。
十四年后，数学家刘维尔把他的遗稿整理发表。此后一百年，数学被这些手稿改了模样。
故事层——跟着画面往下读：落榜的少年、丢掉的论文、决斗前夜的一盏灯。
数学层——暖金色的框里，是这一页真正的数学：置换、群、乘法表、可解性，一样一样来。
注疏层——页面下方的小字，标注年代、出处与真伪，给一起读的大人。
第一幕 两百年找不到的公式 · 第二幕 换法本身 · 第三幕 方程的群
第四幕 可解与不可解 · 第五幕 决斗前夜
一八二八年，伽罗华十六岁，第一次投考巴黎综合理工学院。这是法国数学的最高门槛：柯西、泊松这些名字都挂在那里的讲席上。
笔试过了。口试没有过。
他在黑板上写字，考官让他慢一点、说清楚。他口头表达能力不好，思路又快，讲到一半发现对面没有跟上，就自己一直讲下去。考官在评分册上写了不予录取。
一八二九年，第二次投考。那一年夏天，父亲自杀了——镇上的政敌冒名写了一串下流的打油诗，散发全镇，老人受不住这个。
口试那天，他发现主考问的题目很浅，又按惯例不给提示。他随口说了一句失礼的话——大意是这道题本不难，难在讲的人自己没讲明白。主考放下粉笔：考试到此为止。
两次落榜之间，他已经在写超越这所学校的论文。
一八二九年，十七岁的伽罗华把两篇关于方程的论文送到科学院。审查人柯西收下了，说要压缩改写后提交。此后没有下文。
一八三〇年初，他把论文投向科学院的数学大奖赛。论文交给秘书傅里叶。三月，傅里叶去世。论文找不到了。
一八三一年一月，他第三次送。这次审查人换成了泊松——当时法国分析数学的第一人。
半年后，泊松退回论文，附了一页评语：论证不够清晰，思想未能看清；建议作者写出完整的阐述，以便评判。
同一份稿子，今天被印在教科书里，是世界数学的基石之一。
一个十七岁的少年，三次把最好的东西送到最高的地方，三次落空。此后发生的一切，都与这三次落空有关。
一八三二年五月二十九日夜里，伽罗华坐在巴黎近郊一间客舍的桌前。第二天清晨，他要去赴一场决斗。
他做了三件事。
第一，给朋友舍瓦利耶写了一封长信，把三年来论文的核心想法重新概述一遍，标明哪些他自己已验算过，哪些还来不及。信写了七页。
第二，在页边补写零碎的想法。来不及展开的地方，他写下一句短语，托付友人转请后世的大家来看。
第三，给另一位朋友写了一封私人信，交代身后的事。
三十日清晨，决斗。他腹部中枪，倒在草地上，几个时辰后才被路人送进医院。三十一日，他死在那里，二十岁。弟弟阿尔弗雷德守在床边。
那封托付的信，十四年后改变了一门学问。
一五四五年，米兰出版了一本书，叫《大术》。书里印着两件此前只在口头流传的东西：三次方程的解法，与四次方程的解法。
从此，人们手里有了完整的阶梯：一次方程人人会解；二次有公式；三次、四次也各有公式。公式只用加、减、乘、除和开方。
自然的下一步，是五次方程。总该也有一条公式，只是更复杂、更长一些。
两百年过去了。数学家换了一代又一代，谁也没有找到那条公式。不是没人找——找的人里有大名鼎鼎的：笛卡尔试过，莱布尼茨试过，欧拉试过，拉格朗日试得最狠。
两百年找不出，只有两种可能。要么那条公式藏得太深，人还没翻到；要么它根本不存在。
伽罗华这一册要做的事，就是把这两种可能分开。
先把「公式」这个词说准。这里说的公式，不是随便什么式子，而是专指一种：从系数出发，只用加、减、乘、除和开方，把根表示出来的式子。
这种解法有一个名字，叫根式解。
为什么要限定这五种运算？因为它们都有逆运算，而人真正「会算」的，其实只有这几种。开方是最后一件「会算」的事——除了它，更复杂的过程（比如「解一个方程」本身）不能算是会算，只能算是把原题换了个写法。
所以两百年间的寻找，目标从来一致：五次方程的根，能不能只用系数、加减乘除和开方写出来。
注意，这里问的是一般情形——对系数不加任何限制的五次方程。个别的五次方程当然可能有根式解，比如缺四次的、能降次的。要问的是：有没有一条包打天下的公式。
二次方程 x2 + px + q = 0 的根式解是
x = (−p ± √(p2 − 4q)) / 2
根号里的数由系数加减乘除而来。整条公式只用了五种允许的运算——这就是「根式解」的标准形状。
所谓五次方程问题，即：一般五次方程
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0
是否存在同形状的公式。两百年的答案始终是「还没找到」。
二次方程人人会配。配方之后，根号里剩下一个由系数拼成的东西：
判别式。它的符号决定根的处境——正的，两个不同的实根；零的，一个重根；负的，实数范围内没有根，根是复数。
这件事在伽罗华之前就被看成一个技术细节。可是有一个现象值得停下来看一眼：
把判别式变号的那一步，恰好对应「把两个根对调」。
设二次方程有两个根。两根之和等于一个系数，两根之积等于另一个系数——这两件事，交换两个根不影响。也就是说，在只看系数的人眼里，两个根是可以随意对调的：换过来、换过去，一切验算照旧。
「根可以怎么换」——这句话在此处第一次出现。它此刻只是个闲笔，但它将长成本册的主角。
设二次方程的两根为 x1、x2，则
x1 + x2 = −p， x1x2 = q
两式对 x1 ↔ x2 对称：对调后左边不变。任何由 x1, x2 经加减乘除拼出的对称式，都能用 p, q 表出。
非对称的式子则不然，如 x1 − x2：对调后变号。它凑不出系数的组合，除非引入开方——
x1 − x2 = ±√(p2 − 4q)
开方，恰好补上「对调」这一步的缺口。这是本册此后一切推理的最小样本。
三次方程的公式比二次的长得多，长到课本常常省略。但真正麻烦的不是长，是它带来的一件怪事。
十五世纪的数学家已经会处理一类特殊的三次方程。到卡尔达诺的时代，一般的三次方程都能经过消元归结为那类特殊形状。公式在手，代入就能算。
怪事出在这里。有一种三次方程，人们明知道它有三个实根——画出来，曲线与横轴相交三次，看得见、摸得着——可是把系数代进公式，根号底下出现的是负数。
负数开平方。当时的算法里没有这种东西，公式却非要它不可；而且只有假装这种数存在、照常运算，绕一圈出来，才能得到那三个看得见的实根。
卡尔达诺说这是「心灵的折磨」。后世把这类数叫虚数。虚数不是被谁想出来的，是被三次方程的公式逼出来的。
先记住这件怪事：方程的根式解，会强制人穿过一类新的数。这在本册第四页将变得要紧。
形如 x3 = px + q 的方程，公式给出
x = ∛(q/2 + √Δ) + ∛(q/2 − √Δ)， Δ = (q/2)2 − (p/3)3
当 Δ < 0 且方程有三相异实根时，公式中出现 √Δ，即负数开平方；三个实根须借这种数运算后方能化出。此情形后世称「不可约情形」。
例：x3 = 15x + 4 有实根 4，而公式给出 ∛(2 + 11√(−1)) + ∛(2 − 11√(−1))。邦贝利（Bombelli，1572）按运算规则硬算这组「虚式」，化得 4——第一次正面处理虚数。
这一册的暗线，只有一句话：换一个看法，难题就变了性质。
两百年里，找五次方程公式的人都在问同一个问题：怎么解。他们把方程拆开、配方、消元、设新未知数，每一条路都通向更复杂的式子。
伽罗华换的问题只有一个字之差：不问「怎么解」，问「这个方程允许哪些对调」。
根与根之间，有的对调做得到——做了之后，一切已知关系照旧成立；有的做不到——做了之后，某个关系立刻破产。一个方程允许哪些对调、不允许哪些对调，这个清单就是这个方程的身份证。
两条路看起来像同一件事的两个方向，其实完全不同。「怎么解」是算术问题，做不出来时人只能说「再试试」；「允许什么对调」是结构问题，做不出来时人可以证明它做不出来。
本册剩下的全部篇幅，都在把这句话变成可操作的东西。
一八二四年，挪威一个乡村牧师的儿子阿贝尔自费印了一篇小册子，只有六页：一般五次方程没有根式解。
他把册子寄给欧洲的几位数学家，包括高斯。没有回音。三年后他去柏林与巴黎，把 expanded 的一版交给科学院，审查人是柯西与勒让德。稿子压在那里，直到他离开。
一八二九年四月，阿贝尔死于肺病，年二十六。两天后，柏林大学的聘书寄到——他被聘为教授，人已经不在了。
伽罗华读过阿贝尔的遗作。门已经关上一半：一般五次方程没有根式解，这是定案。可另一半门还开着，而且更重要：
有的具体方程明明可以根式解，有的不能。界限在哪里？阿贝尔没有回答。他证明了「不都行」，没有说出「什么时候行」。
这就是十七岁的伽罗华要进去的那扇门。
拿一块等边三角板。把它在桌面上动一动，动完之后要看起来跟原来一模一样——这样的动法，有几种？
不动，算一种。
绕中心转三分之一圈，算一种。转三分之二圈，也算。转整圈就回到「不动」了。
翻呢？沿三条中线翻过去，三种。
数下来：一动加两转加三翻，六种。这六种动法，每一种都让三角板「看起来没变」——顶点还在那三个位置，边还压着原来的边。它们是这块三角板的全部对称。
要紧的不是六这个数，是另一件事：这些动法可以连着做。先转再翻，翻完再转，结果总是六种之中的一种。
一个「自己乘自己」的系统，就这样出现在一块三角板上。
三角板动法的实质，是对三个顶点的重新安排。把三个顶点编成甲、乙、丙，每一种对称都对应一个安排方案：甲去哪儿、乙去哪儿、丙去哪儿。
三个东西的安排方案，一共六种。每种方案有一个名字：恒换（什么都不换）、轮换（甲到乙、乙到丙、丙到甲，及其反向）、对换（只换其中两个，留一个不动，三种）。
安排方案这种东西，行话叫置换。三个元素的置换共六种，它们恰好把三角板的六种对称一个一个接住。
于是「转与翻」这种几何的事，变成了「列表与连线」这种代数的事。几何的三角形可以丢掉，留下六个置换照样推演。
这就是第二幕要立起来的东西：换法本身。它不依赖任何被换的东西。
三个元素的全体置换记作 S3，共 3! = 6 个：
e； (123), (132)； (12), (13), (23)
其中 e 为恒换（不换），(123) 表轮换（1→2、2→3、3→1），(12) 表对换（1↔2，3 不动）。
两个置换「相乘」，指先做一个、再做另一个，合成第三个。例：
(123) · (12) = (13)
（先对换 1、2，再轮换。）合成永远是六者之一——S3 对乘法封闭。
六个置换两两相乘，全部结果可以排成一张六乘六的表：行是被乘的，列是乘上去的，格子里填乘积。
把这张表画出来（本册第 44 页教读者亲手做），立刻看见一条规律：
每一行、每一列，六个置换各出现一次，谁也不重复。
这不是巧合。乘积 a·x 里，固定 a 让 x 取遍全体，结果也取遍全体——因为换法是可逆的，不同的 x 不可能被压成同一个结果。
这条「每行每列不重样」的规律，是这一类系统的指纹。满足它的系统，连同几条基本性质（结合律、有不动的那一个、人人可逆），后世统称为群。
一张乘法表，就是群的全身像。两个群同不同，看表就知道。
非空集合 G 带一个乘法，若满足：
① 封闭：任二元素之积仍在 G 内；
② 结合：(ab)c = a(bc)；
③ 单位：有 e，使 ea = ae = a；
④ 逆：每个 a 有 a−1，使 aa−1 = a−1a = e，
则称 G 为群。由 ③④ 可推出乘法表每行每列无重复（消去律）。
S3 的六乘六表依上述四条逐格验算即得。表中还可读出：三个轮换 {e, (123), (132)} 内部相乘不外出——它们自成一个小群。
上一页的末尾藏着一个发现：三个轮换 {e, (123), (132)} 自己乘自己，永远不出门。它们在六人班子的内部，又自成一个小班子。
这样的内部班子，叫子群。
S3 的子群不止这一个。数一数：全体（六人）算；只有恒换的（一人）算；三个轮换的（三人）算；任何一个对换带上恒换的两件套（两人）也算。一共六个子群。
六个人的班子，内部嵌着三人、两人、一人的班子，一层套一层。
为什么要在意嵌套？因为「一层一层剥」这件事，马上就要变成判断方程可解的钥匙：一个方程能不能根式解，将取决于它的群能不能一层一层剥到只剩恒换——而剥的每一刀，只许沿着一种特别的子群下去。
那种特别的子群，叫正规子群。它是下一幕的主角。
群 G 的非空子集 H 若自身成群（对乘法与取逆封闭），则称 H 为 G 的子群。S3 的六个子群：
S3； {e, (123), (132)}； {e, (12)}； {e, (13)}； {e, (23)}； {e}
子群的阶（元素个数）必整除母群的阶——六除以三、六除以二、六除以一，皆整。此即拉格朗日定理：子群的阶数必为群阶的因子。八阶群的子群只能是一、二、四、八阶，不存在三阶、五阶的子群。
数学里最常见的对象是「东西」：数、形、式。变换通常不当东西看，它是附在东西上的动作。
第二幕做的事，是倒过来：把动作本身收进框里，当作新的东西来研究。
置换不再属于任何一个方程、任何一块三角板。它自己就是对象：可以相乘，可以列表，可以数个数，可以考察内部嵌套。原来研究「东西的对称」，如今研究「对称本身的规律」。
这一步挪动，等于给数学添了一层楼。楼下的对象（方程、图形、数系）照旧，楼上多出一门学问：结构的学问。楼下百样东西，到了楼上可能共用同一张乘法表——六阶的非交换群只有两种，六人置换班与三角板对称班恰是同一种。
伽罗华死时没人知道他已登上这层楼。之后一百多年，这层楼长成了整座大厦。
置换的研究不是从伽罗华开始的。前人排成一列：
拉格朗日，一七七〇年：为解方程研究根的置换，证明了阶的整除性质。他用的是「替换」这个词。
鲁菲尼，一七九九年：为证五次方程不可解，写出第一张置换乘法表。也没有用「群」。
柯西，一八一五年：给置换引入记号，系统研究它们的乘法与分类。
伽罗华，一八三一年：在手稿里写下 groupe。不是第一个使用者——拉格朗日的行文里偶尔也这么说——但他是第一个把群当作独立研究对象、给它下定义的人。
前面的每一代人都把置换当工具：为解方程、为证不可解。伽罗华把工具翻过来当成了主角。工具与主角之别，就是「换一个看法」的全部含义。
一八三一年七月，泊松的退稿评语到了。同一年的法国街头，伽罗华在做另一件事：革命。
七月革命推翻了复辟的波旁王朝。他所在的师范学校把学生锁在校园里，不许上街。他在校报上写文章骂校长懦弱，十二月被开除。
此后他加入共和派的炮兵国民自卫军，一年里两次被捕：一次因为举杯、持刀赴宴，一次因为穿了已被解散的部队的军服上街。第二次判了六个月，关进圣佩拉吉监狱。
狱中他喝酒，与人争吵，几乎自杀一次。同伴的记录里，那年他二十岁，脾气坏，把全部学问锁在一叠手稿里。
手稿的内容与街垒无关：他在给方程的根编制身份证。牢房的墙外是政权更迭，牢房的纸上是另一场革命。
现在把群接到方程上。取一个尽量简单的例子，让每一步都看得见：
一个四次方程，四个根是正负根号二、正负根号三。
这四个根之间有哪些关系？两条：根号二的平方等于二；根号三的平方等于三。由这两条还能拼出：根号二乘根号三等于根号六，等等。
问：四个根的全体对调里，哪些是「允许」的——做了之后，上列关系一条也不破？
把根号二换成负根号二：平方还是二，不破；换根号三：不破。这四个换法，各管各的，可以独立地做。
但对调「根号二」与「根号三」就不行：一换，第一个关系变成「根号三的平方等于二」，立刻破产。
所以这个方程的身份证上写着：允许的换法恰好四个。这四个换法组成一个群——这个方程的群。
方程 x4 − 5x2 + 6 = 0 的四根：±√2, ±√3。根之间的一切代数关系（系数为有理数）中，最基本的两条是 (√2)2 = 2、(√3)2 = 3。
保持全部关系的根置换只有四个：
e； √2 ↔ −√2； √3 ↔ −√3； 二者同时
它们对乘法封闭、可逆，构成一个四元的群（与克莱因四元群同构）。这就是方程的伽罗华群。
定义：一个方程的群，是它的根的全体置换中，保持根之间全部有理代数关系的那些置换构成的群。
「有理代数关系」这六个字，值得停下来看清楚。
系数是有理数，所以根之间用加、减、乘、除拼出来的关系，全都在有理数的世界里说话。这个世界叫有理数域：加减乘除随便做，出不了它的门。
但解方程常常要出门。开平方就是开门：把根号二请进世界，新的数域里立刻多出无穷多个新数——一切「有理数与根号二拼出来的数」。
开门之前，根号二和负根号二是两个不可分辨的影子：任何有理式子都区分不了它们。开门之后，它们才成为两个具体的东西。
回到上一页。方程的群是「允许的对调」——现在可以说得更准了：它是在有理数域里保持一切关系的对调。每开一扇门，允许的对调就少一批。
把方程解出来，就是连开几扇门，把允许的对调剥到只剩「不换」。
有理数域 ℚ 中添入 √2，得新域
ℚ(√2) = {a + b√2 : a, b ∈ ℚ}
其中加减乘除封闭。在 ℚ 中，√2 与 −√2 不可分辨（任何有理系数关系对二者对称）；在 ℚ(√2) 中二者已成为具体的数，对调不再合法。
故每扩一次域，伽罗华群缩小一层：上一页的四元群，是方程在 ℚ 中的群；一旦添入 √2，群缩为二元；再添 √3，缩到只剩恒换。
开门的次序有讲究。从有理数域出发去够上面那个例子里的全部根，至少有两条路：先开根号二再开根号三，或者反过来。殊途同归，终点的世界一样。
半途的世界也有名字：只添了根号二、还没添根号三的中间域。它是个真正的域——加减乘除出不了门。
数一数半途世界里的允许对调：根号三的正负两个影子依然不可分辨，可以随意换；根号二已经是具体的数，不许动了。所以中间域对应的群，是四元群里「不碰根号二」的那一半——一个二元子群。
把三层世界排成一列：有理数域、半途域、全城域。把三个群排成一列：四元、二元、一元。两层世界之间，恰好对应两个群之间。
世界的嵌套对应群的嵌套。这是伽罗华手里最锋利的一件工具，本册叫它半页对应，全名见第 46 页小典。
世界链与群链一一对应：
ℚ ⊂ ℚ(√2) ⊂ ℚ(√2, √3)
{e} ⊂ {e, √3↔−√3} ⊂ {e, ±√2↔∓, ±√3↔∓}
（第一行是域从小到大，第二行是群从大到小。）大域对应小群，小域对应大群。
本例每层的「商」都是二元：允许的换法每次砍半。第四幕将给出判据——可解性正比于这条链能否用一种「好剥」的子群（正规子群）从方程的群一路剥到 {e}。
第三页问「方程的根能怎么换」，现在可以换一种问法了。
允许的对调，就是这个世界的墙。有理数域里，根号二的正负两个影子互相看不清——那是一堵墙。开了门，墙塌了，两个影子合成一个具体的东西。
所以「方程的群」还有另一个名字的意思：它是从有理数域看过去，方程世界的对称残影。世界越小，残影越多；世界足够大（把根全部请进来），残影消失，群缩到只剩恒换。
两百年找不到公式的人，其实是在没有墙的地图上找路。伽罗华先画墙，再找门：可解不可解，不看路有多绕，只看墙能不能按规矩一层一层塌下去。
塌墙要按规矩。什么规矩，是下一幕的全部内容。
一七七〇年，拉格朗日发表了一篇长文，把两百年间解三次、四次方程的全部巧法放在一张解剖台上，逐一拆解。
他发现了一个共同机关：所有已知解法都先造一个「预解式」——把原方程的根按某种方式组合出一个新方程，新方程的次数更低，先解它，再回头拼出原方程的根。
三次方程的预解式是二次的；四次方程的预解式是三次的。照这个规律，五次方程该有四次的预解式。
拉格朗日试了。四次预解式造不出来——造出来的东西是六次的，反而更高。路在这里断了。
他停下的地方，正是后人该换看法的地方：他还在「怎么解」的框架里挣扎，没有问「允许什么对调」。可他把置换请进了方程研究——工具已经到位，只差有人把工具翻过来。
六十年后，那个人来了。
圣佩拉吉监狱的几个月里，伽罗华做了一件安静的事：重写。
被泊松退回的论文，他自认写得不好——赶得急，跳步多，术语随手造。狱中他把手稿重新誊清，补证明，写备忘录。给舍瓦利耶的信里他说：我没有时间了，可我想把该交代的都交代。
一八三二年四月底出狱。最后一个月，他把论文的概述、未完成的想法、对后人的托付，陆续整理成几包。
五月底，那封著名的信写完。信末他列出三份手稿的去向，又补了一句：请雅可比或高斯发表他们的意见——不是对这些定理的正确性，而是对它们的重要性。
第二天清晨，他去赴决斗。
群的嵌套人人都有，但剥法有讲究。看 S3：三个人轮换的班子 A3 躺在里面，它有一种特别的好脾气——
拿任何一个外面的元素去「左右夹击」它：先乘一个外部的换法、再乘它的逆，得到的仍落在 A3 里。换法班子从哪个方向进，都撞不进这个内层的隔壁。
这样的子群叫正规子群。它之所以好剥，是因为把它剥掉之后，剩下的层与层之间的结构还够整齐：六个换法除以三个换法，恰好是两种状态的对换——一个干净的二元小群。
而两件套的子群（恒换加一个对换）就没有这个好脾气：外部一夹击，人跑到班子外面去了。剥它，层与层之间就乱了。
规矩由此立下：剥层，只许沿正规子群剥，且每剥一层，剩下的「商」必须是循环的——一种数得到的、一根链条式的结构。
子群 H ≤ G 称为正规子群，若对一切 g ∈ G：gHg−1 = H。此时商集合 G/H 自成群。
群 G 称为可解群，若存在一条从 G 到 {e} 的链
G = G0 ▹ G1 ▹ … ▹ Gk = {e}
每级均为正规子群，且每级商 Gi/Gi+1 为素数阶循环群（即「一根链条」，见第 29 页）。
S3 的链：S3 ▹ A3 ▹ {e}，商为 2 阶与 3 阶循环——可解。两件套子群 {e, (12)} 不正规（夹击检验可验），不可作剥层之刃。
用两个看得见的班子试刀。
三角板，六种换法。剥法：先剥掉三个轮换（它们是正规子群），剩商为二元对换；再剥掉恒换，剩商为三元循环。两层，走完。
正方形，八种对称：四种旋转加四种翻转。剥法：先剥掉四个旋转（正规），商为二元对换；四个旋转里再剥掉两个半圈的（正规），商为二元；再剥，商又是二元。三层，走完。
两个班子都是可解群。它们对应的方程——三次、四次的——恰好都有根式解。这不是巧合，是定理的一半。
定理的另一半，由下一个班子给出：一百二十种换法的班子，剥不动。
三角板之群 S3（6 阶）：
S3 ▹ A3(3) ▹ {e}，商 2、3——可解。
正方形之群 D4（8 阶）：
D4 ▹ C4(4) ▹ {e, 旋转半圈}(2) ▹ {e}，商 2、2、2——可解。
（C4 为四旋转之循环群，中心元「旋转半圈」生成的二元群正规。）
对照：方程 x4 − 5x2 + 6 = 0 的群（第 21 页四元群）亦可解——它的链条每层商恰为 2。一般三次、四次方程的群分别是 S3、S4，皆可解，与费拉里时代已有的根式解法吻合。
五个根的全体对调，共一百二十种：这就是一般五次方程的群，记作 S5。
剥它的第一步只有一条路：先剥掉「偶换法」——那些由偶数个两两对调拼成的换法，共六十个。这一刀没得选，数学上说：六十人的偶班子是 S5 里唯一的、也是最大的正规子群。
第二步就麻烦了。这六十人的班子，内部再没有正规子群——除了它自己和恒换。它是「实心」的：任何夹击、任何切法，切不开。
链条在这里断掉。商不循环——两半对两半，连「数得着的一根链条」都拼不出。剥层走不下去。
所以：一般五次方程的群不可解。再往深处说一步，这句话的逆也立着：群可解，方程才可根式解。
两百年的寻找，到此有了终审判决。公式不存在，且不存在的原因，是一块六十人的实心砖。
S5 的唯一非平凡正规子群是交错群 A5（60 阶，全体偶置换）；而 A5 是单群——正规子群只有自身与 {e}。故 S5 的任何正规链在第 2 级处只能取 A5，而 A5 ▹ H 要求 H = A5 或 {e}，链断。
S5(120) ▹ A5(60) ▹ ✕
S5 不可解 ⟹ 一般五次方程无根式解（伽罗华定理，含阿贝尔—鲁菲尼结论为其特例）。
判据：方程可用根式解 ⟺ 其群可解。此判据同时回答了「哪些特殊方程可解」——验群即可，不必逐个试公式。
「可解 ⟺ 群可解」这把钥匙，开的不止方程一扇门。
换一个两千年没人挪动的问题：正十七边形，能不能只用不带刻度的直尺与圆规画出来？
尺规只会做两种事：画直线、画圆。几何上每一种尺规可作的量，翻译成代数，恰好是「反复开平方」能够够到的量。
于是作图问题又变成了塌墙问题：一个量可作 ⟺ 它所在的域能从有理数域出发，靠一串平方根的门层层够到 ⟺ 对应的群是一条二的幂次的链。
十七是什么？十七等于四加一，而四恰是二的幂。分圆的方程恰好能沿二的幂一层一层剥——所以正十七边形可作。
两千年的几何悬案，被一把为方程铸的钥匙打开了。下一册《高斯》的主角，正是这扇门另一侧的故事。
回望本册的暗线。同一件事，换了三种问法：
第一问：五次方程怎么解？两百年没有答案，因为答案不存在。
第二问：五次方程的根能怎么对调？答案立刻有了——一百二十种对调。问题从不存在的领域搬进了存在的领域。
第三问：允许的对调能不能按规矩剥层？答案是一次验算：剥到第二层，砖是实的。判决出来——不可解。
三问之间没有任何计算量的节省，省掉的是性质：第一问要人「找到」一个不存在的东西；第二、三问只要人「查证」一个存在的东西的结构。
难题变了性质，才谈得上解。这是本册真正要传下去的一句话。
出狱后的最后一月，他住在巴黎南郊。与一位姑娘的一段短暂的交往以两次退信收场——她留下的短信说：请不要再想我。
五月末，一场决斗约定下来。对手是谁、为了什么，说法至今不一。他似乎明白这场架不值得打，又没有退路。给朋友的信里他写：我被迫原谅一切，因为对方有礼数地挑衅了我。
二十九日夜，他把明天要托付的事做完。
给舍瓦利耶的信写了七页：三年来研究的骨架、已被验算的部分、来不及验算的部分、对未来研究的建议。页边一句短注，说他没有时间了。
三十日清晨，决斗。中枪，倒地，几个小时后才有路人经过。三十一日，死。
他妹妹记下葬礼的日期。共和派的队伍来了几百人，有横幅，有过火药味的演说。然后，手稿沉睡了十四年。
信的核心可以用三行说清。
第一行：每个方程都有它的群——保持根之间全部有理关系的对调所成之群。
第二行：方程可用根式解，当且仅当它的群能沿正规子群剥到只剩恒换。
第三行：一般五次方程的群剥不动，因为六十人的偶班子是实心的。
三行之外，信里还有后世才接得住的芽：他把「开平方开不出时怎么办」的讨论推进到一种新的数系——只取某个数乘方循环的有限世界。四十年后，这套结构在密码学里派上了大用场；一百五十年后，纠正通信错误的编码也长在它上面。
一封信，七页，三个世纪的数学。
信中的判据，即第 33 页两句。此处补一例验证其锋利：方程 x5 − 4x + 2 = 0（有理系数、五个根两两独立）的群为 S5，不可解——故此具体方程虽确有五个实根，却无根式解。
「有限世界」：取素数 p，考虑只含 {0, 1, …, p−1}、按「除以 p 取余」做加减乘除的世界（记作 𝔽p）。它的乘法群是循环的——这是信中多次用到的事实。今日：𝔽p 及其扩域是椭圆曲线密码与纠错码的地基。
把时间拨到伽罗华死后的一百年。
雪花的六瓣、石英的棱面、盐粒的立方——晶体的外形千差万别，可是内部粒子排布的对称方式，数学证明只有二百三十种。证明的工具就是群：二维平面上的对称群先数清楚，三维再数，一层一层穷尽。
粒子物理走的是同一条路。上世纪中叶，物理学家面对新发现的粒子 zoo（ Zoo 之乱），最后靠对称分类安顿了一切：粒子按对称群的表示分家，杂乱的名单变成整齐的表格。后来找到的缺失粒子，是按表格的空位去寻的。
密码是最近的一站。通信加密所用的椭圆曲线，其安全性立在一个群的问题上：乘法好算，倒推难算。难到什么程度？全世界的计算机一起算，也算不动。
一个二十岁少年在牢房与客舍里写下的「换法班子」，如今躺在晶体里、粒子表里、每一次手机加密的握手里。
三处远景的数学名目：
① 晶体学：三维空间群共 230 种（弗奥多罗夫与申夫利斯，1891 年各自独立完成穷举）；平面上的壁纸群 17 种。
② 粒子物理：夸克模型即 SU(3) 对称群的表示分类（盖尔曼与奈曼，1961—1964）；标准模型的骨架是三个群的乘积。
③ 密码学：椭圆曲线 y2 = x3 + ax + b 的有理点在特定加法下成群；「乘法易、逆推难」（离散对数问题）是其安全性的来源。
把全册的推理缩到一页，供回看。
左边一列：世界的嵌套。有理数域在里头，每开一扇根式的门，世界大一圈。
右边一列：群的嵌套。全数对调在外头，每大一圈世界，允许的对调就少一批。
两列之间的对应是一一对应的：中间的世界对应中间的群；开门的次序对应剥层的次序；门能否全用「根式的门」（只开平方、立方这类），对应群能否全用「好剥的刀」（正规子群、循环的商）。
方程可解与不可解的一切讨论，都在这张对应表上完成。第三幕的例子、第四幕的判据、这一册之外的一切应用，都是同一张表的读法。
这张对应表，就是后人所说的伽罗华对应。
设方程的根所在的世界为 E、底世界为 F。则
{F 与 E 之间的中间域} ⇄ {伽罗华群的子群}
为一一对应，且反序：域越大，群越小。中间域 K 对应的子群，恰是「保持 K 一切元素不动」的那些对调。
读法一（判据）：根式解 ⟺ 存在一条自 F 至 E 的域链、每层为素数次根式扩张 ⟺ 群侧有一条正规链、每级商素数阶循环。
读法二（不可解）：一般五次方程的群侧无此链（第 30 页），域侧故亦无根式之门。
手稿没有立刻被读。
舍瓦利耶把它保存在自己的书箱里，抄了几份副本分寄。他投稿过一次，被退回——审查人看不懂。此后的十年，巴黎的数学界几乎忘了这个名字。
一八四三年九月，刘维尔在科学院宣布：他读完了伽罗华的稿子，其简明与正确令他惊叹，理论在阿贝尔止步的地方回答了问题。一八四六年十月，论文全文刊出。
刘维尔做了一件要紧的事：他只加按语，不改原文。跳步保留，术语保留，页边的草字也保留。他说，这些文字的意义就在于它们是那些文字。
死后第十四年，一个二十岁的人超过了同时代整整一代人——不是因为他跑得快，是因为他站的位置，要十四年后才有人走到。
决斗这件事本身，可确证的不多。
可确证的：约在五月三十日清晨，地点巴黎南郊；手枪，相距约二十五步；伽罗华中枪，数小时后被送医；三十一日死于腹膜炎。医院里的两封信——给兄弟与给友人——字迹清楚，落款「É. G.」。
不能确证的：对手是谁。两个候选都出自后人的指认，皆无原始文件。起因是感情纠纷还是政治圈套，同样无据。流传最广的「他明知必死、把全部才思留给前夜」，方向可信（信确实写了），细节是浪漫化的。
还有一句话要交给注疏：那页著名的「我没有时间了」，语境是对一处证明的省略说明，不是遗嘱式的悲鸣。让它回到原文，它反而更重——一个赶路的人，连省略都要标明。
把这一册的主线在最后走一遍。
两百年里问「五次方程怎么解」，无人答出——因为答案不存在。伽罗华把问法换了两次：先问根与根之间「能怎么换」，再问这些换法「能不能按规矩剥层」。第二次换法之后，答案是一次验算。
换问法的本事，如今有个名字：把求解的问题变成结构的问题。它不再是这一册独有的巧计，而是此后数学的一种常规武器——凡是硬碰硬做不动的问题，先问它「允许什么对称」。
五次方程的公式永远找不到了，但这不是失败。判决本身就是收获：知道一扇门是墙，胜过在墙上撞两百年。
伽罗华存世的手稿，拢共几十页：三篇论文（一篇经刘维尔刊出）、狱中的备忘录、几页零散演算、两封日期确凿的信。
这几十页里，本册讲了三件事：群、方程的群、可解的判据。没讲的三件事，一样有分量：有限世界（他随手写下的余数数系）、对积分的变资格式的批评、对「可解到什么程度」之外的「不可解到什么程度」的追问。
后世一代一代人从这叠纸里各取所需：若尔当取了公理化的群，戴德金取了域与对应，阿廷取了严格的连接定理，20 世纪的密码学家取了那个余数的世界。
一叠纸喂了一百多年。这大概是对「我没有时间了」最公道的回答：他有的是时间，只是都预付给了别人。
本册留下三个问题，带出门去。
一问：判据说「群可解 ⟺ 可根式解」，可「不可解」的方程照样有根——五个实根明明白白摆在数轴上。数值算得出、公式写不出，这道缝里住着什么？
二问：单群是剥不动的砖。全部有限单群有哪些？这个问题问了一个人半生——最后的清单一九八〇年代初才收尾，用去上万页的证明。一块砖都数完，为什么这么难？
三问：对称之外，还有没有别的东西管着可解性？换一个问题域，换法班子未必是全部答案——这个方向后来长成一门叫表示论的学问。
三问都不需要现在回答。它们只需要被记得。
材料：一块硬纸剪的等边三角形（或一张正三角形折纸），一支笔，一张白纸。
第一步 · 找齐六动：给三个顶点标上记号（一个涂色、一个画圈、一个什么都不画）。在桌上摆出全部「动过之后看不出差别」的摆法：不动；顺时针转三分之一圈、三分之二圈；沿三条中线各翻一次。记下六种。
第二步 · 定名：把六种记作不动、正转、反转、翻一、翻二、翻三。
第三步 · 造表：任意取两种动法，先做第一个、再做第二个，看结果落在六种里的哪一种。把每种组合的结果填进六乘六的空表。规则：每行每列不许重样。
第四步 · 找小班子：在表里圈出「不动、正转、反转」三个名字构成的三乘三小表——它是否也满足「每行每列不重样」？这就是母班子里的小班子。
第五步 · 验正不正规：取一个翻折（如「翻一」），先做它、再做小班子里的动法、再做「翻一」的逆，看结果是否总落在小班子里。再换成两件套（不动加「翻一」）试一遍，看是否同样安分。
材料：一块硬纸正方形，笔，白纸。
第一步 · 八动：标四角。八种对称＝四种旋转（不动、四分之一圈、半圈、四分之三圈）加四种翻转（两条对角线、两条过对边中点的中线）。
第二步 · 八乘八表：同上一册的做法，把八种两两合成，填满八乘八的表。验规则：每行每列八种各一次。
第三步 · 剥第一层：圈出四个旋转。它们内部相乘不出门，且用任意翻转去「夹击」，结果仍落在旋转里——这层刀是安分的（正规）。剥掉它，剩下的商只有两种状态：转与翻。
第四步 · 剥第二层：四个旋转里，圈出「不动」与「半圈」。同样验安分。剥掉，商又是两种状态。再剥一次到「不动」，完毕。
第五步 · 对读判据：这条剥法恰是第 29 页 D4 的链。边剥边想：同样的操作若换到五个点的全对调班子（一百二十人），剥到第二层会发生什么？——那就是第 30 页的断链。
为什么雪花总是六瓣，食盐总是立方？因为内部的粒子在三维里排队，而排队的花样是有限的——用群的语言数出来，恰是二百三十种。
数的过程本身就是一部群论应用史：先数二维（平面上贴壁纸的花样，十七种），再数三维。每一次「没有第十八种（或第二百三十一种）」的断言，都是一次本册第四幕式的穷举证明：列出清单，证明清单外没有漏网。
更妙的是，二百三十种花样里有几十种在化学上根本不存在——没有任何物质按那种对称结晶。群不看物质只看结构，它先于化学把「可能的花样」全部写完，化学再一一对号。
结构先于实例，这是伽罗华式「换看法」在物质世界里的回声。
伽罗华信中那个「按余数运算的有限世界」，长成了两门现代工程的地基。
密码：手机支付与网页锁形标背后的加密，一类用的是椭圆曲线——曲线上按特定规则相加的点组成一个群，正向好算、倒推极难。安全性的根，是群上那个「难」字。
编码：扫描这个页面上的图形码也不会读错，靠的是纠错码；把信息编成有限世界里的多项式，错了能改。数学的家乡仍是那套余数数系。
粒子：物理学家用对称群给基本粒子分家。上世纪的粒子动物园乱成一团，对称表一出，名单整齐，空位处后来真的找到了新粒子。
一个二十岁的人的三行定理，躺在这三处现代生活的底层。
这一册讲两件事。
明线是一次完整的数学推理：两百年找不到的公式，被「换一个看法」终结为一次验算。路线五步——根式解的边界、置换成对象、方程的群、剥层的规矩、断链的判决。每一步都有可以动手的实物（三角板、正方形、乘法表），第 44—45 页的两个动手做覆盖全部验算。
暗线是一种做事的态度：难题做不动时，先换问法。书中给了三次示范——「怎么解」换成「能怎么换」再换成「能否按规矩剥」。孩子若能记住「换问法」三个字，这一册的目的就达到了一半。
需要提醒的一点：伽罗华的生平悲剧成分较重。故事层已按可确证与不可确证分开叙述，注疏层给出考订。低龄读者可只读第一、二幕与动手做；悲剧细节建议由家长视孩子情况决定取舍。
共读时可以带着的几个问题，由浅入深。
一问（对应第 13—15 页）：家里有什么东西的对称「动过看不出」？地砖、碗口、钥匙——各能数出几种换法？哪一种是不能倒次序的？
二问（对应第 21—22 页）：为什么开了根号二这扇门，负根号二就不再与它是「影子」？和孩子一起想清楚「不可分辨」三个字到底在说什么。
三问（对应第 28—30 页）：剥层为什么要挑「安分」的子群？让孩子用第 44 页第五步的结果说一遍——说不全不要紧，说出「夹击」的意思即可。
四问（对应第 32 页）：孩子自己遇到过「换个问法就变简单」的事吗？一道题、一局棋、一次拌嘴，都可以。请举一例。
四问之外不必追问。这一册真正想留下的是那句话：换一个看法，难题就变了性质。
《数学家的故事》第一辑 · 第 06 册
伽罗华 · 决斗前夜
明线：置换与群 · 乘法表与子群 · 方程的群 · 域扩张 · 正规子群与可解性 · 五次方程的群与单群 · 尺规可作性与正十七边形（预告）· 有限域
暗线：换一个看法，难题就变了性质 · 求解问题到结构问题的两次转译
时代：1811—1832 · 法国（下延至 1891 年空间群、1964 年 Ω− 粒子与今日椭圆曲线密码）
主典：伽罗华《论方程可根式解的条件》与决斗前夜书（1846 年刘维尔刊本）· 拉格朗日《思考》· 阿贝尔 1826 年论文 · 若尔当《置换论教程》· 外尔《对称》
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 至 4 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
《数学家的故事》第一辑十册：欧几里得 · 刘徽 · 费马 · 秦九韶 · 笛卡尔 · 伽罗华 · 高斯 · 希尔伯特 · 黎曼 · 陈省身。本册为第六册。
封面人物头像：以公版历史版画（据 1828 年素描，佚名制）为底本作水彩素描重绘；底本藏维基共享资源，属公有领域。