高斯 · 十七边形
高斯，一七七七年四月三十日生于德国布伦瑞克。父亲做过砖匠、园丁，也替人管过钱箱；母亲不识字。家里没有一本书，也没有一个人懂数学。
他九岁那年，算术课上老师出了一道从一加到一百的题，想让全班算上半节课。他几秒钟就写出答案。老师不信，让他说，他说完，老师信了。
十四岁，布伦瑞克公爵听说这个孩子，把他接去资助：先入卡罗琳学院，后入哥廷根大学。公爵供他读书，一直到公爵战死。
一七九六年三月三十日，他差一个月十九岁，在日记里写下一句话：圆可以按几何方法分成十七等份。这一夜之后，他放弃了做语言学家的打算。
一八〇一年，《算术研究》出版。此后五十四年，他做过天文台长、测过国土、算过小行星的轨道、量过曲面上的曲率，数学的许多分支在他的笔记本里改了模样。一八五五年二月二十三日，他在哥廷根去世。
故事层——跟着画面往下读：一个乡下孩子、一夜的推演、一本迟迟不肯出的书。
数学层——暖金色的框里是这一页真正的数学：尺规的规矩、方程的次数、十六个根的分堆、同余与互反律。
注疏层——页面下方的小字，标注年代、出处与真伪，给一起读的大人。
第一幕 两千年只会那几种 · 第二幕 把图变成方程 · 第三幕 十六个根分四层
第四幕 一支笔、一张表、一条线 · 第五幕 判据与后半生
一七九六年三月三十日，哥廷根，一间学生宿舍。桌上摊着纸，纸上是圆。
这个学生当时还在两件事之间摇摆：数学，还是语言学家。他通晓拉丁文与希腊文，读古典作品毫不费力，家里也希望他去做个安稳的语文学家。
那一夜他在想的是一件很具体的事：一个圆，能不能只用直尺与圆规，分成十七份，每份一样大。
这个问题不新。两千年里，人们在这件事上只会做八种：三、四、五、六、八、十、十二、十五。十七不在里面。
天亮之前，他手里有的不是一张十七边形。是一条链：四个二次方程，一层套一层，最底下一层只要求一个平方根。
他在日记里写下一行拉丁文，只有一句。此后他再没动摇过：这一生做数学。
高斯一生只出了三本书，论文也少。他的座右铭是一句拉丁文：少而精。
他写在纸上的东西，比印出来的多得多。日记里有许多条目只有一个词、一个符号，后人花几十年才猜出他当时已经走到了哪里。
最要紧的例子是非欧几何。他从一八一三年起就在想：如果过直线外一点可以作不止一条平行线，几何会长成什么样。他想清楚了，也验算过，却不发表。
一八三一年，他给朋友贝塞尔写信，说他不愿公开这些看法，怕「笨人党」的叫嚷——那些不懂的人会怎么哄。
第二年，匈牙利一个青年鲍耶把同样的想法印成二十几页的附录，寄给他。他回信说：称赞它，就等于称赞我自己。
还有一件事：椭圆函数。他日记里一七九六、一七九七年的条目已含其核心；等到阿贝尔与雅可比发表了，他说他早就有了，可是纸在抽屉里。
「数学是科学的女王，数论是数学的女王。」这句话不是他写下来的，是他说的，由他的学生记进传记里。
女王有三个王国。一个是数：整数、余数、素数。一个是形：多边形、曲线、可以画出来的东西。一个是空间：我们脚下的地面，以及弯曲的曲面。
这三件事看起来分属三处，在他手里却常常是同一件事。这一册要讲的，正是三处接通的那一层。
第一幕到第三幕走「形」与「数」之间的暗道：一个两千年的作图问题，答案是一个数论条件。第四幕回到手上：一条绳、一张表、一条线。第五幕走到「空间」：曲面的弯曲竟然是自己身上的事，与它怎么放在空间里无关。
读完会剩下一个问题：一个人凭什么在十九岁看见这些？
规矩是先定的。两千三百年前，《几何原本》把「作图」限定为两种动作：用一支没有刻度的直尺画直线，用一只圆规画圆。尺上不许有刻度，圆规不许拿来量着搬运长度再画——虽然实践中人人这么干。
在这套规矩下，欧几里得在第四卷里做出了几个正多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形，还有一个正十五边形。
另外几种是顺手来的：把一段弧对半分，圆内接正八边形、正十边形、正十二边形就都有了；再分下去，十六边形、二十边形也行。
于是两千年的清单就是这八种：三、四、五、六、八、十、十二、十五。此后再没有新的。
不是没人试。七边形有人试过，九边形、十一边形、十三边形都有人试过。还有人为了这几个数发明了新工具：一种叫割圆曲线的曲线，一种叫蚌线的曲线——用它们能作出七边形，可那已经不守规矩了。
十七不在名单上。两千年里没有人说它作不出来，也没有人作出来过。
先把规矩说成可操作的条款。允许的动作只有三个：过两个已知点作一条直线；以一个已知点为心、过另一个已知点作一个圆；取两条线（直线或圆）的交点。
不许做的事：在尺上刻一度、用圆规量好一段长度搬到别处、拿直角尺去卡直角、把纸对折。前人试过放宽这些限制，一放宽，十七边形就能作了——可那不叫尺规作图。
从一支给定的单位线段出发，能造出的所有长度，构成一个集合。这个集合有几个性质：它含 0 与 1；两个数在里面，它们的和、差、积、商也在里面；一个正数在里面，它的平方根也在里面。
反过来也成立：凡是从 0 与 1 出发，用加、减、乘、除、开平方这五种动作有限次拼出来的数，都能用尺规画出来。
所以「能不能作图」可以改写成一句话：那个长度，能不能用五种动作写出来。
设可造长度集为 K，则
0, 1 ∈ K； a, b ∈ K ⟹ a ± b, ab, a/b ∈ K； a > 0 ⟹ √a ∈ K
乘法与开方各有几何做法：作两条射线，一条上取 1 与 a，另一条上取 b，连成三角形，再过 1 作平行线，截得的长度就是 ab；开方用半圆——在半圆上，由直径所作的高 h 满足 h2 = pq，取 p = a、q = 1，则 h = √a。
注意：这条改写只说了「能」的一侧。要说明「不能」，还得另找办法——那是第二幕的事。
先看名单上的三种为什么能作。
正三角形最容易：两个圆，各以对方的圆心为心、过对方的心，两圆交点与两个圆心连起来就是。这一步在《几何原本》第一卷第一个命题里。
正五边形难一些。它的对角线把边分成黄金比，那个比是 (1 + √5)/2，根号里只有一个 5。所以正五边形只要求一次开方——比正三角形多一层，仍然做得出来。
最妙的是十五边形。它不在前两种的家族里，也不是靠平分得来的。欧几里得的做法是这样：在同一个顶点上，放一条正三角形的边，再放一条正五边形的边。两条边与圆心连成两个角：一个 120 度，一个 72 度。两角相减，剩 48 度；再对半分，得 24 度。
而 24 度正是圆周的十五分之一。十五边形就这样凭空出现了。
这一手揭示了两件本事：一件是「对半分」（把 360 除以 2 的幂），一件是「相减」（把两个已知的角拼出差角）。名单上的八种，全部由这两件本事造出来。
设正 m 边形与正 n 边形都能作，且 m、n 互素，则正 mn 边形也能作：把两条边放在同一顶点，两角之差的一半即 180°/mn。
360°/3 − 360°/5 = 120° − 72° = 48°， 48°/2 = 24° = 360°/15
于是 15 = 3 × 5 可以被「合成」。同理 3 × 4 = 12、5 × 2 = 10 都已在名单上；而 2 的幂（4、8、16）来自不断对半分。
照这个逻辑，下一个该出现的是 3 × 5 × 2 = 30，或者 17——只要它有办法被造出来。
十七为什么难？三个理由摆在明面上：它是素数，不是 2 的幂；它也不能由 3 与 5 合成；从三、五、十五的作法里，看不出任何可以照搬的地方。
但真正的理由要换一个地方找：不在图上，在方程上。
每个正 n 边形都对应一个方程——它的顶点是单位圆上的等分点，那些点的坐标满足一个方程。方程的次数是可以算的，算出来是一个叫 φ(n) 的数。
把名单上的八种都算一遍：三边形 2 次，四边形 2 次，五边形 4 次，六边形 2 次，八边形 4 次，十边形 4 次，十二边形 4 次，十五边形 8 次。
八个全是 2 的幂。这不是巧合——「对半分」与「相减合成」，每一步都只让次数翻倍或相加，而这两种动作造出来的次数，恰好都是 2 的幂。
再看十七：它的次数是 16，也就是 2 的四次方。而七边形的次数是 6，6 里含一个 3，不是 2 的幂。
于是问题的形状变了：十七边形能不能作，取决于那个 16 次的方程能不能被拆成四层二次方程。
正 n 边形的顶点是 ζ = cos(2π/n) + i sin(2π/n) 的幂，ζ 满足分圆方程，其次数为 φ(n)（欧拉函数：不超过 n 且与 n 互素的自然数个数）。
φ(17) = 16 = 24， φ(15) = 8 = 23， φ(7) = 6 = 2 × 3
十六是二的幂，六不是。第一幕结束时，能说的只有这一句：十七的次数恰好可以一路对半分到底，七的次数不能。
为什么「次数是 2 的幂」就等于「能作」，此时还说不清。这是第二幕的题目。
这一册的暗线只有一句：看见结构。
两千年里，人们盯着的是图。图上有弧、有弦、有角，可这三样东西没有「加法」。两条弧不能相加，两个角相加要靠拼——拼得上就拼，拼不上就没有别的动作了。工具只有这么几件，路自然只有这么几条。
高斯换了对象。他看的是数：具体说，是「十七减一等于十六」这个数。十六可以拆成四个二相乘，这件事在图上完全看不见，在数上一目了然。
「看见结构」不是聪明，是换一张能算的表。换过去之后，原来只能靠试的动作，变成了可以判定的事。
这不是他唯一一次这么做。八天之后，他在同一个方向上又走了一步；三十一年后，他把同一套眼光用在弯曲的曲面上，得到一个让同行震动的结论。这一册的五幕，都是这一句话的变奏。
日记的第二条，写于一七九六年四月八日，距十七边形那条只有九天：二次互反律，他证出来了。
那一年他还有第三条，七月十日：「ΕΥΡΗΚΑ」——希腊文的「找到了」。后面跟着一句话：每个正整数都是三个三角数之和。
一年之内，三件事：一个两千年的作图悬案、一条数论的中心定理、一个关于「表示」的猜想。三件都在「数」上。
这不是三个孤立的灵感。第三幕会看到：十七边形的分堆，用的正是「模 17 的二次剩余」；而二次互反律讲的，就是二次剩余在不同素数之间怎么搬家。同一件事的两面，他在同一周里各写了一条。
所以这一册不能只讲作图。第四幕要用两页讲同余——不是为了凑数，是因为不作图的那一半答案，藏在余数里。
一七九六年的做法，第一步是把圆搬到纸上，第二步是把纸搬到式子上。
设圆的半径为一，圆心在原点。十七个等分点里取一个，它的横坐标是某个角的余弦，纵坐标是同一个角的正弦。只要横坐标定了，点在圆上的位置就定了——圆上一点只有两个可能位置共用同一个横坐标，取上半的那一个即可。
所以作图归结为一件事：把那个横坐标的长度画出来。而这个长度是一个具体的实数，约等于零点九三二五。
第二步：这个实数满足什么？把「绕着圆心转十七分之一圈」看成一个动作，做十七次回到原处。写成乘法，就是十七次方等于一。于是十七个点正是方程 z17 = 1 的十七个解。
方程是十六次的（去掉 z = 1 那一个）。十六次，比十七边形听起来更没指望。可是式子有一样图没有的东西：次数。次数会说话。
上一幕说，可造的数是从 0 与 1 出发，用五种动作拼出来的。现在把这句大白话换成一个结构。
从有理数出发。先添一个平方根，得到一个大一点的数系；在这个数系里再添一个平方根，又大一点；如此反复。每一次只添一个平方根，数系就「翻一倍」。
翻倍这件事有名字：扩张的次数。添一个平方根，次数是 2；添两次，次数是 4；添三次，8。所以从有理数搭到某个数，总次数一定是 2 的幂。
反过来，一个数如果落在这样搭起来的塔顶，它的次数就必须整除塔的总次数——也就必须是 2 的幂。
注意这条推理的方向：它说的是「能画 ⟹ 次数是 2 的幂」。这是一个禁令式的结论，正好是上一幕缺的那一半。
设 ℚ = K0 ⊂ K1 ⊂ … ⊂ Km，且每层 [Ki+1 : Ki] = 2，则
[Km : ℚ] = 2m
若数 α ∈ Km，则 α 的次数整除 2m，故次数是 2 的幂。
例：√(2 + √2) 的塔是 ℚ ⊂ ℚ(√2) ⊂ ℚ(√(2 + √2))，次数 4，可造。
例：∛2 满足 x3 − 2 = 0，次数 3，不是 2 的幂——所以倍立方不可能。
现在算十七的次数。方程 z17 = 1 有一个明显的解 z = 1。把 z − 1 提出来，剩下的那个十六次式子，就是十七等分点要满足的东西。
关键的一句：这个十六次式子在有理数范围内不能再分解。也就是说，一个十七等分点没法用更低次的方程来描述——它的次数就是十六，一分不减。
十六是 2 的四次方。按上一页的禁令，这一条不构成障碍。于是「十七边形能不能作」，就只剩一个问题：那个 16 次的方程，能不能真的一层层拆成二次方程？
拿七边形对照：它的次数是六。六不是 2 的幂，禁令立刻生效——不必试，七边形作不出来。九边形次数六，十一边形次数十，十三边形次数十二，全部被这条禁令挡在门外。
十七是第一个通过初筛的数。它通过，不等于它成功；但两千年里，它是第一个没被立刻挡住的那一个。
z17 − 1 = (z − 1)(z16 + z15 + … + z + 1)
Φ17(z) = z16 + z15 + … + z + 1 在 ℚ 上不可约（p 为素数时 Φp 不可约，见《算术研究》第 341 节）。故十七等分点的次数为 16。
对照表（次数 = φ(n)）：3→2，4→2，5→4，6→2，7→6，8→4，9→6，10→4，11→10，12→4，13→12，14→6，15→8，16→8，17→16。
加粗的五个不是 2 的幂。它们正是两千年里始终作不出来的那几个。
把上一页的禁令讲成一句话：尺规能造的数，次数只能是 2、4、8、16、32 这样的数。除此之外，一概造不出来。
为什么？因为每一次开方只让数系翻一倍。翻一倍、翻一倍、再翻一倍——无论翻多少次，得到的永远是 2 的幂。六这个数，无论怎么翻都翻不出来：它含一个因子 3，而 3 不在翻倍的过程里。
这条推理的力气在于，它不靠「试了很多次都没成功」。它说的是：路只有那么宽，六不在路上。
于是三大难题里的两个，一次被解决。倍立方要求造出 2 的立方根，那是三次，不行。三等分任意角，一般情形归结为解一个三次方程，也不行。剩下一个化圆为方，要等另一套工具——那个数是超越数，连方程都不满足。
两千年来人们前赴后继地去画，画不出来，是因为那几条路根本不通。这个道理，直到十九世纪才被说清楚。
若 α 可造，则 [ℚ(α) : ℚ] = 2m。故凡次数含奇素因子的数，必不可造。
∛2：次数 3 ✗ 三等分 60°：次数 3 ✗ 正七边形：次数 6 ✗
正面清单：次数为 2、4、8、16 的数，才「有可能」可造；是否真能造，还要给出构造。
十七边形正好落在正面清单里：次数 16 = 24。所以要做的不是「找一条巧路」，而是「把这个 16 次方程拆成四层二次方程」——一层都不能少，一层也不能多。
这一册的暗线是「看见结构」。第二幕为它加了一层具体的做法：翻译。
第一道译文：圆上的点 → 一对坐标。图变成了数。
第二道译文：那个数 → 它满足的方程。数变成了一个多项式，而多项式只有一个可数的属性——次数。
第三道译文：次数 → 塔的层数。次数是 16，塔就是四层；次数是 6，塔就永远搭不到。
三次翻译之后，「不可能」这三个字才有语法。在原问题上，人只能说「我画不出来」——这句话没有分量。在译后的问题上，人可以说「它不可能」，而且这句话可以被检验。
把一个「做」的问题，变成一个「判」的问题。这是数学里最实用的一种能力，也是这一册反复示范的那件事。
高斯在一八〇一年那本书的最后，给出了判据的一半：如果 n 是 2 的幂乘上若干个互不相同的费马素数，那么正 n 边形能作。十七正是这样的数：17 自己就是一个费马素数。
另一半他没有给：为什么别的数不能作。也许他觉得不必说，也许他不在意外人的追问。总之那句话空着，空了三十六年。
一八三七年，巴黎，一个二十二岁的青年旺策尔在《纯数学与应用数学杂志》上发了四页文章。他证明：若正 n 边形可作，则 φ(n) 必是 2 的幂。顺手，他把倍立方与三等分角也一并判了死刑。
两半合起来，才是完整的判据。今天它叫高斯—旺策尔定理。
有意思的是这两半的性格：高斯给的是「能」——一条造出来的路；旺策尔给的是「不能」——一道关上的门。数学里，关门往往比开门难，因为门有无限多扇。
十六次的方程摆在面前。硬解是没指望的：十六次方程的求根公式，写出来比一页纸还长，而且十九世纪还没有人想去写它。
高斯做的第一件事，不是解方程，是给十六个根重新编号。
原本的顺序是 1、2、3、4……一直排到 16。他换了一个顺序：取 3 这个数，算它的 1 次方、2 次方、3 次方，一路算到 16 次方，每次都只取除以 17 的余数。
这样得到十六个数：1、3、9、10、13、5、15、11、16、14、8、7、4、12、2、6。恰好把 1 到 16 一个不落地走了一遍，最后回到 1。
于是十六个根有了新的座次。为什么值得费这个事？因为换了座次之后，「两个根相乘」变成了「两个编号相加」——加法比乘法好办得多，而且加法可以按奇偶分堆。
他分了四次堆：十六个分两堆，每堆八个；八个再分两堆，每堆四个；四个再分，每堆两个；两个再分，各成一个。四层，四步，每一步只需解一个二次方程。
十六次，就这样被拆成了四个二次。
为什么是 3？因为在模 17 的世界里，3 是一个「原根」：把 3 一次次乘下去，能得到全部十六个非零余数，一个不漏，最后回到 1。这样的数在模 17 下有几个，3 是最小的一个。
把第 k 个根记作 gk = ζ3k。那么两个根相乘，编号相加就行：gagb = ga+b（编号满十六就从头数）。
第一刀顺着「编号的奇偶」切下去：偶数编号的八个根归一堆，奇数编号的八个根归一堆。这两堆各自记一个名字，叫一个「周期」。
切得动的原因在这里：一个偶数编号乘一个偶数编号，编号还是偶数；奇数乘奇数也是偶数。也就是说，同一堆里的根相乘，结果仍在堆内。堆是「自洽」的，这才叫一个结构，而不只是随便分组。
顺带一句：偶数编号的那些根，指数恰好是模 17 的二次剩余。第四幕会回到这一点。
3 的幂（模 17）：
1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6
十六个余数互不相同，且 38 ≡ −1、316 ≡ 1（mod 17），故 3 为原根。
两个八元周期：
η0 = ζ1 + ζ9 + ζ13 + ζ15 + ζ16 + ζ8 + ζ4 + ζ2
η1 = ζ3 + ζ10 + ζ5 + ζ11 + ζ14 + ζ7 + ζ12 + ζ6
两者相加，正是除 1 以外的十六个根，一个不多一个不少。
两堆分好了。要让它们成为某个二次方程的两个根，得知道两件事：它们的和，与它们的积。
和容易：两堆加起来就是全部十六个根，等于负一。
积要数。八个乘八个，六十四项，逐项合并同类项——指数相同的项相加。数完的结果是负四。这一步没有技巧，只有耐心；结果是个整数，这件事本身就已经很不寻常。
有了和与积，两堆就是方程 t2 + t − 4 = 0 的两个根，用二次公式一开，得到 (−1 ± √17)/2。
第二层：把八个的那一堆再分成两堆，每堆四个。同样求和、求积：和是上一层那个八元周期，积是负一。于是四个的那一堆是方程 t2 − η0t − 1 = 0 的根。
注意这里的层次：第二层的方程，系数里含第一层的结果。一层套一层，每一层只解一个二次方程。这就是「塔」。
第一层：
η0 + η1 = −1， η0η1 = −4
η0, η1 = (−1 ± √17)/2 ≈ 1.5615528, −2.5615528
第二层（η0 拆为下标模 4 为 0 与 2 者）：
η00 + η01 = η0， η00η01 = −1
η00 = (η0 + √(η02 + 4))/2 ≈ 2.0494812
同理 η1 拆得 η10 ≈ 0.3441507（模 4 为 1 的那一堆）。
第三层：把四个的那一堆再分成两堆，每堆两个。和是上一层，积是第二层算出的那个小数（零点三四四一五）。于是这两个是两个具体数的和：一个是 2cos(2π/17)，另一个是 2cos(8π/17)。
第四层：这两个数各自拆开，一个就是要求的那家伙的两倍。
把四层的式子一层层代回去，就得到那条著名的根式。它只用了加、减、乘、除、开平方——按第一幕的规矩，凡是能写成这样的数，都能用尺规画出来。
十七边形到此就有了。一千八百年没人作出来的东西，变成一个可以抄写的式子。
式子里的根号一共四层，层数不多不少，正对应 16 = 2 × 2 × 2 × 2。数学在这里露出了它少见的整齐。
第三层：t2 − η00t + η10 = 0 的两根是 2cos(2π/17) 与 2cos(8π/17)，故
2cos(2π/17) = (η00 + √(η002 − 4η10))/2
四层代入，得
cos(2π/17) = [ −1 + √17 + √(34 − 2√17)
+ 2√(17 + 3√17 − √(34 − 2√17) − 2√(34 + 2√17)) ] / 16
≈ 0.9324722294
于是中心角 360°/17 ≈ 21.1764705882°，半径为一时的边长 2 sin(π/17) ≈ 0.3674990。
回头看这一步的关键：那四层不是高斯安排的，是十七自己长的。
十六个根按乘法排成一个环。环上的分堆，只能按「下标的倍数」来切：切一半、切四分之一、切八分之一。切几次？看十六能对半分几次。十六能分四次，所以有四层。
换一个数就未必。七边形的六个根也排成一个环，第一刀能切成两堆（每堆三个），第二刀就切不动了——三个没法对半分。三层变一层半，塔断在这里，于是七边形作不出来。
所以「看见结构」的最终含义，不是想出一个巧办法，而是发现对象本身带着一个分法，人只是照着它切。切得动，问题就开；切不动，问题就死。
这也是为什么高斯的办法能一路推下去：他不是为十七边形发明了一个技巧，他找到的是所有正多边形共用的那把刀。
一七九六年的那一夜，到一八〇一年成书，中间隔了五年。写进《算术研究》的分圆部分，只有十来节，三十页上下。
三十页里没有一张图。没有一个字说「把圆分成十七份」，通篇是周期、方程、根与因式。最后一句才点明：由此可知，正十七边形可用尺规作出。
同代读者读得懂每一步验算，却看不懂他为什么这样起步——为什么是 3 的幂，为什么按奇偶分堆。他不解释。这本书的难读是出了名的，几十年里真正读完的人不多。
这个反差正是本册的骨架：第一幕的人在图上看，第三幕的人在式子上走，第四幕又要回到图上去。三段之间没有桥，只有翻译。
高斯自己知道这一点。他给这本书写过一句评语，大意是：它会把读者逼到不得不重新学一遍数论。
一七九六年春天，他把图画了出来。作法没有大张旗鼓公布；五年后写进书里时，给的是代数推导，作图那几步说得极简，好像不值得多费笔墨。
同一年七月十日，日记里又添一条：每个正整数都是三个三角数之和。他在前面写了希腊文的「找到了」。这一年他十九岁，日记本上的条目密密麻麻。
接下去几年是另一番光景。一七九八年他回布伦瑞克，没有职位，靠公爵的年金过日子。一七九九年，赫尔姆施泰特大学授他博士学位，论文证明的是代数基本定理：每个多项式方程都有根。一八〇一年，《算术研究》出版。
同一年，天上一颗新星把他推到公众面前——那是下一件要讲的事。
这一幕先回到手上：一支笔把根式变成图，一张表把分堆变成余数，一条线把误差变成最省事的选择。
第三幕得到的那条式子，本身就是一份作图说明书。凡是式子里出现的动作，尺规都做得到：加减是截取，乘除是相似三角形，开方是半圆。
第一步：作 4 与 1 的直角三角形，斜边是根号 17，约四点一二三一。
第二步：作 34 减去两倍根号 17，得二十五点七五三八；用半圆取它的平方根，得五点零七四八。
第三步：同法作 34 加上两倍根号 17，取平方根，得六点四九九七。
第四步：把三个数按式子拼起来——17 加三倍根号 17，减去第二步的得数，再减去两倍第三步的得数，得十一点二九五一一；取平方根，得三点三六〇八。
第五步：把四个数按 (−1 + a + b + 2d)/16 合成。除以 16 就是连续对半分四次。得零点九三二四七二二，这就是十七等分点的横坐标。
第六步：在单位圆上，以这个横坐标作垂线，交出第一个点；再以第一段弦为半径，绕圆连续截取十七次，回到原处。十七边形成了。
√17 ≈ 4.1231056 √(34 − 2√17) ≈ 5.0748191
√(34 + 2√17) ≈ 6.4997086 d ≈ 3.3608155
cos(2π/17) ≈ 0.9324722
边长（半径为一）：2 sin(π/17) ≈ 0.3674990；内角 158.8235°，十七个内角之和 2700°。
第三幕切那一刀，切出的两堆是「偶数编号」与「奇数编号」。换成余数的说法：一堆是模 17 的二次剩余，一堆是非剩余。
二次剩余是这样的数：它是某个整数的平方，除以 17 之后的余数。把 1 到 16 各自平方，除以 17，只得到八个不同的余数：1、2、4、8、9、13、15、16。另外八个余数永远不是平方。
而这八个余数，恰好就是 3 的偶次幂。第三幕按奇偶分堆，与这里按「是不是平方」分堆，是同一刀。
这一刀切出来的两堆之和，就是第一层的两个周期。它们的差是一个著名的量：把 17 个根按平方的次序加起来的那个和，等于根号 17。
所以那条根式里的根号 17 不是算出来的，是数出来的。它来自「一半的余数是平方，一半不是」这件极朴素的事。
同余：a ≡ b（mod m）表示 m 整除 a − b。记号 ≡ 由高斯在《算术研究》第 1 节引入。
模 17 的平方余数：12, 22, …, 82 给出
{1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16}
共八个；另一半 {3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14} 不是平方。八个平方余数正是 3 的偶次幂。
高斯和：
Σk=016 ζk2 = η0 − η1 = √17 ≈ 4.1231056
因 17 ≡ 1（mod 4），此和为实数且取正号。这就是第一层里那个根号的来历。
由二次剩余引出一个极实际的问题：给定两个素数，其中一个是不是另一个的平方余数？
笨办法是逐个试：要判断 5 是不是模 17 的平方余数，就把 1 到 8 各自平方，看有没有 5。大素数就不行了——要试几十万次。
欧拉给了一个判别法：把底数取到 (p − 1)/2 次方，看余数是 1 还是负 1。这仍然要算一个大幂。
高斯的定理说的是另一件事：这两个素数可以互换。互换的时候，答案要么不变，要么变号，变不变号只看两个素数除以 4 的余数。于是大素数的问题可以翻成小素数的问题，一路翻下去，翻到 3 与 4 就结束了。
他称它为黄金定理。一七九六年四月八日第一次证出，一生给了八个证明。为什么一个定理值得证八次？因为每次证法都通向另一片地方。
记 (q/p) = 1 表示 q 是模 p 的平方余数，= −1 表示不是。则对相异奇素数 p, q：
(p/q)(q/p) = (−1)((p−1)/2)((q−1)/2)
例：(2/17)。因 17 ≡ 1（mod 8），得 +1；验之，62 = 36 ≡ 2，确实在平方余数表里。
例：(5/17)。17 ≡ 2（mod 5），而 2 不是模 5 的平方余数，故 (17/5) = −1；又 17 ≡ 1（mod 4），不变号，故 (5/17) = −1。查表：5 确实不在八个平方余数里。
例：(3/17)。同法得 −1；查表亦无 3。
本册到这里出现了一次巧合，值得停下来看：那条件里最要紧的根号 17，同时是两件事的答案。
它在作图里是一个长度：直角边为 4 与 1 的三角形的斜边。
它在数论里是一个和：十七个根按平方次序加起来的结果。
这不是巧合，是同一件事的两种说法。分堆切的是二次剩余；而二次剩余的和，恰好是一个可以用尺规量出的长度。几何的门与数论的门，在这一个数上重合。
「看见结构」的第二层含义就在这里：结构一旦被看见，它会在别的地方再出现一次。认出第二次的人，才算真的看见。
高斯一生反复遇到这种事。同余、分圆、作图是一组；曲面的曲率与曲面的内蕴几何是另一组，第五幕会讲。
一八〇一年一月一日，西西里岛巴勒莫的天文台，皮亚齐在星图上看到一颗会动的星。他观测了四十一夜，二月里它隐入太阳的光里，不见了。
那个年代，天文学家要靠几次观测去推轨道：观测有误差，数据又只有几段，硬算会把人算垮。多数人算出的位置都对不上。
高斯用了另一套办法：不要求曲线穿过每一个点，只要求所有点的误差平方之和最小。这样算出来的轨道，与真实最接近。同年十二月七日，冯·扎克按他给出的位置，在望远镜里找到了那颗星。
这套办法后来叫最小二乘。勒让德在一八〇五年先把它印在书里；高斯在一八〇九年说，他从一七九五年起就在用。
谁先想到的，争了一百多年。可这件事还有另一面：它跟本册第四页那个「不发表的人」是同一件事——纸在抽屉里，优先权就落在别人手上。
给一组点 (xi, yi)，要求一条直线 y = ax + b 使 Σ(yi − axi − b)2 最小。对 a、b 求偏导置零，得正规方程：
Σy = aΣx + nb， Σxy = aΣx2 + bΣx
例：三点 (0, 1)、(1, 3)、(2, 4)。n = 3，Σx = 3，Σy = 8，Σxy = 11，Σx2 = 5，解得 a = 3/2、b = 7/6。
误差平方和 = 1/6 ≈ 0.1667。换任何别的直线，这个和都会更大——「最省事」在这里有确切的意思。
《算术研究》的最后几节，高斯把十七边形的事推到底：不只十七，凡是形如「2 的幂乘上若干个互不相同的费马素数」的边数，都能作。
为什么是费马素数？因为一个素数 p 的次数是 p − 1；要让这个次数是 2 的幂，p 就必须是「2 的幂加一」的形状。这样的素数，后人叫费马素数。
于是可作的正多边形成了可数的一串名字：三、四、五、六、八、十、十二、十五、十六、十七、二十、二十四、三十、三十二、三十四……名单在一百以内有二十四个。
再往后走，下一个新面孔是二百五十七。一八三二年，两位德国数学家各自作出了它。再下一个是六五五三七，一八九四年，一位叫赫尔墨斯的人在十年里把它画完，手稿装了一整箱，存进哥廷根。
一个纯几何的问题，答案落在一串数论条件上。这是本册最后一层意思：看见结构的人，能把「能不能画」变成「是不是这种数」。
判据写起来只有一行，读起来要分三步。
第一步：可作，等价于「次数是 2 的幂」。这一步高斯给了「能」的一半，旺策尔给了「不能」的一半。
第二步：正 n 边形的次数有一个现成公式：把 n 分解成素数的幂，每取一个素因子 p，就把答案乘上 p − 1，再乘 p 的若干次方。
第三步：要让这个结果是 2 的幂，每一个素因子都必须是「2 的幂加一」，而且只能出现一次。这样的素数只有费马素数。
三步合起来：正 n 边形可作，当且仅当 n 是 2 的幂乘上若干个互不相同的费马素数。
一百以内，这样的数一共二十四个。二百五十五（三乘五乘十七）是其中最「饱满」的一个：三种费马素数全用上了，次数是一百二十八。
欧拉函数：若 n = 2a p1e1 … pses（pi 为奇素数），则
φ(n) = 2a−1 p1e1−1(p1 − 1) … pses−1(ps − 1)
故 φ(n) 为 2 的幂 ⟺ 每个 ei = 1 且每个 pi − 1 是 2 的幂 ⟺ 每个 pi 是费马素数。
一百以内可作者（24 个）：
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96
验两个：φ(51) = φ(3)·φ(17) = 2·16 = 32；φ(85) = 4·16 = 64。
费马当年有一个猜想：形如「2 的若干次方再加一」的数，只要那个指数本身是 2 的幂，就一定是素数。
他验了前五个：三、五、十七、二百五十七、六五五三七。五个都是素数。于是他相信后面全是。
一百年后，欧拉算第六个。那个数约四十二亿九千万，欧拉指出它可以分解：六百四十一乘六百七十万零四百一十七。
六百四十一这个因子来得很巧：它等于五乘一百二十八再加一，也等于六二五加十六——也就是五的四次方加二的四次方。两个写法一凑，整除关系就出来了。
此后人们检验了第六个到第三十几个，全是合数。有没有第六个费马素数？至今不知道。
于是本册最后落在一个奇特的位置：一个两千年的几何问题，答案取决于一个至今未解的数论问题——若费马素数只有五个，可作的多边形就只有三十一种奇数边数。
费马数 Fk = 22k + 1：
F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257，F4 = 65537
五者皆素数。而
F5 = 4294967297 = 641 × 6700417
欧拉的整除证明用到两个等式：641 = 5·27 + 1 = 54 + 24。
推论：可作的奇数边数最多 25 − 1 = 31 种（若费马素数确实只有五个）；再乘任意 2 的幂，可得无穷多个可作边数，但「种类」有限。
一八二七年，高斯五十一岁，发表了《关于曲面的一般研究》。薄薄几十页，被后人当作微分几何的开端。
他要问的是：一张曲面弯不弯，弯多少，这件事由谁决定？
直觉的答案是：由它在空间里怎么放决定。把一张纸卷成筒，它就弯了；把纸摊平，它就不弯。可是纸还是那张纸。
高斯算完之后发现：曲面上每一点的弯曲程度——用两个主方向的曲率半径算出来的那个数——只由曲面自己的「度量」决定，也就是只由「在曲面上怎么量长度」决定，与该曲面如何放进三维空间完全无关。
他自己把这个结论叫「绝妙定理」。绝妙在哪里？在于它说：弯曲是曲面的内在性质。住在曲面上的人，不用走出去，也能知道自己所在的世界弯不弯。
这正是第五册、第六册那条暗线的极致：结构不随看法改变。换一个嵌入方式，曲率不变。
高斯曲率 K = 1/(R1R2)（R1, R2 为两个主曲率半径）。绝妙定理：K 只由第一基本形式 E, F, G 决定。
K = (LN − M2)/(EG − F2) → K = K(E, F, G)
三种情形：平面与圆柱 K = 0（可展，纸能卷不能皱）；球面 K = 1/R2 > 0（不可展平）；鞍面 K < 0。
三角形内角和：球面上大于 180°，平面上等于 180°，鞍面上小于 180°；超出（或不足）的部分等于曲率在三角形上的积分——高斯—博内定理的雏形。
暗线走到第五幕，要翻一个面。
高斯看见了非欧几何，看见了三十年，不发表。一八三一年他给贝塞尔写信，说怕那些不懂的人哄起来。第二年鲍耶的附录寄到，他回信说：称赞它，就是称赞我自己。
罗巴切夫斯基在一八二九年印出了同样的东西，得到的回应是漠视。一门新几何，就这样在三个人手里各躺了一段，谁也没能把它及时交出去。
「少而精」是自律，也是一种代价。纸在抽屉里，结构就只属于一个人；交出去，它才成为大家的东西。
所以「看见结构」有两面：一面是能力，能在杂乱里认出一条线；另一面是责任，认出来之后要把它放到别人手上。高斯的第一面几乎无人能及，第二面他做得不好。
这一页不是批评他。是想说：一个结构的命运，不只在它被发现的那一刻，也在它被交出的那一刻。
一八五五年二月二十三日清晨，哥廷根天文台旁的寓所，高斯去世，七十七岁。
他在这座小城住了将近四十年。一八〇七年起任天文台长，一八三三年与物理学家韦伯在城里架起一条电报线，从天文台通到物理研究所，一千多米，是欧洲最早的电报之一。
他葬在城外的阿尔巴尼墓地。墓碑上刻着一枚正十七边形——这个说法流传很广，细节却未必可靠。可以确定的是，他的大脑由解剖学家瓦格纳保存下来，重一四九五克。
回头看这一生三条线：数，是《算术研究》与那一夜；形，是十七边形与作图；空间，是曲面论与非欧几何。三条线在他手里共用一个动作：先把对象换成能算的样子，再看它的结构。
他没留下学派，也没留下几个学生。留下的是一套看的方式，和一大批别人后来重新发现的笔记。
把这一册的主线在最后走一遍。
起点是一个画不出来的图：两千年里，尺规只作得出八种正多边形，十七不在里面。
第一次转折：把图换成数。十七个点是一个十六次方程的解，于是「能不能画」变成「这个数能不能用五种动作写出来」。
第二次转折：把数换成次数。次数是 16，16 可以一路对半分四次；七的次数是 6，6 里有一个 3，分不动。门槛就在这里。
第三次转折：把十六次方程拆成四个二次。按 3 的幂重排十六个根，按奇偶分堆，一层一层剥到单个根。四层开方，一条根式。
终点回到图：那条根式的每一步都能用尺规落地，于是十七边形画出来了，而且从此以后，所有能画的多边形都有了一张名单。
一条线走完，起点与终点是同一个圆。中间三处转弯，每一处都换了一次对象。
高斯一生交付了两样东西：一本出版的书，和一只塞满纸的抽屉。
书是《算术研究》，一八〇一年，七章，拉丁文。它把「同余」变成一门语言，把二次剩余、二次型、分圆整理成体系。第七章末尾那几节，就是十七边形。这本书改变了数论的样子：此后一百年，数论家都在这本书的语法里说话。
抽屉里是日记与手稿：一四六条日记、大量未完成的笔记、给朋友的信。椭圆函数、非欧几何、最小二乘、曲面论的许多想法都在里面。它们在他死后被陆续整理，每整理一次，学界就震一次。
两种交付方式的差别，不在才华，在时间。书出来了，别人能接着做；纸留在抽屉里，只有他能做。
本册讲的那个十七边形，恰好两边都沾：推导写进了书里，作图的具体步骤却只说了一半。于是三十六年之后，还要另一个年轻人来补。
本册留下三个问题，带出门去。
一问：素数是怎么分布的？他十几岁时翻素数表，发现不超过 x 的素数大约有 x 除以 x 的自然对数那么多个。这个观察要到一八九六年才被证明；更精细的版本至今未证。
二问：非欧几何是真的吗？他想了三十年不肯说。后来别人说了，再后来物理学家发现，我们住的这个宇宙，几何未必是平的。
三问：还有第六个费马素数吗？这一个问题决定了两千年的作图问题还剩多少个答案：若只有五个，可作的奇数边数就是三十一种；若还有，名单就再长一格。
三问都不需要现在回答。它们只需要被记得——因为一个好问题，能把后来的人组织起来。
材料：圆规、直尺、铅笔、A4 白纸，一把有刻度的尺（只用来核对，不用来作图）。
第一步 · 定圆：以 O 为心，半径取 5 厘米画圆。过 O 画一条水平直径，右端记作 A。
第二步 · 定第一个点：十七等分点的第一个，横坐标是半径的 0.9325 倍，即 4.662 厘米。在 OA 上自 O 量出 4.662 厘米，得点 M；过 M 作 OA 的垂线，交圆于上半的那一点，记作 P1。
第三步 · 量角：此时角 AOP1 应当是 21.18 度。用量角器核一次；差半度以上，重来。
第四步 · 截弦：弦 AP1 长约 1.838 厘米。用圆规取这一段，自 P1 起沿圆周连续截取，每截一次轻点一下，一直截到第十七次。
第五步 · 闭合检查：第十七次应当正好回到 A。差在一毫米以内算成功；差得多，说明第二步或第四步有累积误差，回到第二步重做。
第六步 · 验算：连起十七个点，量一个内角，应当接近 158.82 度；十七个内角加起来是 2700 度。再把每条边量一遍，十七条边应当一样长。
第一张表 · 3 的幂：从 1 开始，每次乘 3、除以 17 取余，连写十六格：1、3、9、10、13、5、15、11、16、14、8、7、4、12、2、6。第十七格回到 1。检查：十六格里 1 到 16 各出现一次。
第二张表 · 平方余数：把 1 到 8 各自平方，除以 17 取余，得 1、4、9、16、8、2、15、13。在 1 到 16 的格子里给这八个数打勾，其余打叉。检查：打勾的八个，正是第一张表里位于偶数位的八个。
第三张表 · 互反律：取 3、5、7、11、13 五个素数做一张五乘五的表。填法是：算出「左列的素数是不是上列素数的平方余数」，是填 +，否填 −。填完看两件事：交换行列时，若两个素数都形如「四的倍数加三」，符号相反；否则符号相同。
一条线 · 最省事：在纸上点四个点 (0, 1)、(1, 2)、(2, 4)、(3, 5)。拉一条直线，使四个点到线的竖直距离的平方和最小。算一算：这条线是 y = 1.4x + 0.9，误差平方和 0.2。换一条线试试，这个和只会更大。
| q→ p↓ | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 |
| 3 | · | − | + | − | + |
| 5 | − | · | − | + | − |
| 7 | − | − | · | + | − |
| 11 | + | + | − | · | − |
| 13 | + | − | − | − | · |
十七边形之后，这条路一直往下走：257，65537，然后是无穷多个由 2 的幂乘出来的边数。
但「能作」与「值得作」是两件事。257 边形的作法已经长到没人愿意一步步抄；65537 边形的作法，赫尔墨斯花了十年，手稿两百多页，装箱存进图书馆，此后几乎没有人完整复核过。
到了二十世纪，这件事的意义变了。作图不再是目的，判据成了模型：它示范了一件事——一个看似只能动手的问题，可以先被翻译成一个纯代数条件，然后由条件给出答案，而不必真去动手。
今天「可构造」这个词留在了代数和计算里：一个数能不能只用开方写出来，决定了它在计算上有多「便宜」。开方比解高次方程便宜得多，这条经济学从希腊人那里就开始了。
十七边形不再需要被画出来。它已经变成一句话：φ(17) = 16，是 2 的幂。
高斯给「除以几的余数」发明了一个记号，从此余数可以像数一样加减乘除。这门学问今天藏在许多日常物件里。
钟表是最古老的同余：三点加十一点是两点，因为模十二。星期也是，模七。
书的编号、身份证号、银行卡号，最后一位多是校验位：把前面各位按不同权重加起来，取模十一或模十，看余数对不对。错一位，校验就不过。
网页上的锁形标背后是另一套：两个大素数相乘容易，把乘积分解回去极难。加密用模运算，解密用欧拉定理——a 的 φ(n) 次方模 n 等于 1。
而判断一个大数是不是平方余数、以及互反律怎么用，是分解算法（二次筛、椭圆曲线法）每天在做的功课。高斯在一八〇一年写下的第一页，今天仍印在每一本数论书的开头。
这一册讲一件事：一个两千年的作图难题，怎样被翻译成一个数论条件，然后一次判定。
路线五步：尺规的名单（第一幕）、次数成为门槛（第二幕）、十六个根分四层（第三幕）、根式落成图与同余表（第四幕）、判据与余生（第五幕）。第三幕是全册的数学心脏，也是最密的三页；若孩子跟不上细节，只需记住一句：十六个根被分成四层，每层解一个二次方程。
暗线是「看见结构」，在这一册里有三层含义：换一个能算的表征（图换成数）、把「做」的问题翻成「判」的问题、以及认出同一个结构在别处再现（√17 既是长度又是和）。第五幕还给它加了一面：看见之后要交出去。
需要提醒的一点：高斯不是完人。「不发表」让他丢掉了两三项优先权，也让非欧几何晚了几十年才被认真对待。书中没有替他辩护，只把两面都摆出来。
共读时可以带着的几个问题，由浅入深。
一问（对应第 6—9 页）：家里的地砖是几边形？为什么只有少数几种形状能严丝合缝铺满地面？这跟「只有八种正多边形能作」是不是同一类问题？
二问（对应第 14—16 页）：为什么「翻倍」翻不出六来？让孩子用一二四八十六这样的数列想一遍——无论翻多少次，都到不了六。
三问（对应第 21—23 页）：为什么把 1 到 16 换个顺序排，题就变简单了？可以让孩子动手：按 3 的倍数排一遍，看看乘法是不是变成了加法。
四问（对应第 38 页）：一个人想清楚了却不肯说，这算不算他的功劳？若他早说三十年，数学会不一样吗？
四问之外不必追问。这一册真正想留下的是那句话：真问题常常不在它出现的地方。
《数学家的故事》第一辑 · 第 07 册
高斯 · 十七边形
明线：尺规作图与可构造数 · 方程的次数 · 分圆多项式与高斯周期 · 二次剩余与高斯和 · 二次互反律 · 最小二乘 · 正 n 边形可作性判据 · 费马素数 · 曲面论与绝妙定理
暗线：看见结构 · 换表征 · 从「做」到「判」 · 看见之后要交出去
时代：1777—1855 · 德国（下延至 1837 年旺策尔的必要性证明、1894 年 65537 边形、1915 年广义相对论）
主典：高斯《算术研究》（1801）· 《天体运动论》（1809）· 《关于曲面的一般研究》（1827）· 《数学日记》（1796—1814）· 旺策尔 1837 年论文 · 瓦尔特斯豪森《高斯传》（1856）
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
《数学家的故事》第一辑十册：欧几里得 · 刘徽 · 费马 · 秦九韶 · 笛卡尔 · 伽罗华 · 高斯 · 希尔伯特 · 黎曼 · 陈省身。本册为第七册。
封面人物头像：以公版历史画像（克里斯蒂安·阿尔布雷希特·延森绘，1840 年）为底本作水彩素描重绘；底本藏维基共享资源，属公有领域。