祖冲之，字文远，公元四二九年生于建康（今南京），祖籍范阳遒县（今河北涞水）。祖家世代掌管土木与天文：祖父祖昌做过刘宋的「大匠卿」，管朝廷工程；父亲祖朔之学识渊博，常被邀去参加皇室的典礼。少年祖冲之在这样的门第里长大，一面看工匠放线、立柱，一面跟着父祖认星、记日影。
他一生做成了三件事，三件都用同一副筋骨。《大明历》把岁差第一次写进历法，把「十九年七闰」改成「三百九十一年一百四十四闰」，定一个回归年为三百六十五点二四二八日；圆周率算出 3.1415926 与 3.1415927 之间，又给了两个分数：约率 22/7、密率 355/113；机械上改造指南车、造千里船、制水碓磨，都是史书里记下名目的实物。
他的著作《缀术》六卷，唐代曾是国子监算学的课本，学官要讲四年，后来失传了。今天能读到他的圆周率，靠的是《隋书·律历志》里一段不到百字的记载——一串用「丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽」写下的数。书没了，数还在。
这个人身上最值得看的一点，不是他算得比别人快，而是他知道自己算到了哪一步、还差多少。他给圆周率不是报一个近似值，而是报一个上下界；给历法不是报一个「合用」，而是报出每年差多少秒。这在公元五世纪，是一种罕见的诚实。
故事层——跟着画面走：工地上的一架圭表、一院子摆开的算筹、朝堂上的一场争辩、江面上一艘试航的快船。
数学层——暖金色的框里是这一页真正的数学：位值记数、割圆递推、开方、夹逼与误差、连分数、历法常数。
注疏层——页面下方的小字，标注年代、原文与真伪，给一起读的大人。
建康城的春天，将作监的后院里立着一根八尺高的木杆。杆叫「表」，杆下平铺的石台叫「圭」，合起来是「圭表」——中国最古老的天文仪器，只用来看一件事：正午太阳投下的影子有多长。
影子每天都不一样。夏至最短，冬至最长；一年走一圈，影子在石台上进退一个来回。祖父祖昌告诉他：冬至那天影最长，量准了这一天的影长，一年的长度就定了。祖冲之蹲在石台边看刻线，问了一句：那去年的冬至，和今年的冬至，影长一样吗？
祖父没有立刻答。他翻出旧档：同一根表、同一座台，几十年来记下的冬至影长，一年一年，总在慢慢地变——不是量错了，是真的在变。变多少？几十年才看得出一点。这一点，当时的历法里没有它的位置。
这就是祖冲之一生要对付的东西：不是「差很多」，而是「差一点」。差一点，肉眼看不见，秤也称不出，可它会攒——攒上几十年，冬至就错了一天；再攒，节气和月份就对不上，农时、祭祀、日月食的预报全都跟着错位。
历法的全部难处，都藏在这「一点」里。要抓住它，先得有一把能读到「一点」的尺子——而在公元五世纪，那把尺子是一堆小竹棍。
算筹是一把竹棍，每根长短粗细一样，装在一只布袋里，随身带着。用的时候往席上或案上一摆，就是数；挪一挪、撤几根、添几根，就是加、减、乘、除。没有算盘，没有纸笔竖式，也没有小数点——所有的数都躺在这把棍子里。
摆法有讲究。一至五，用相应根数的棍子表示：一竖、二竖、三竖、四竖、五竖；六至九，则是一根横棍压在一根竖棍上（六），压两根（七），压三根（八），压四根（九）。这是「纵式」。另有一套「横式」：横着摆的棍子计一至五，一根竖棍压在横棍上计六至九。
为什么要两套？为了认位。个位用纵式，十位用横式，百位又用纵式，千位用横式……纵纵横横相间，一眼就能看出哪一位是十、哪一位是百。哪一位是零，就空出一段席面。位值制，就这样被摆在了桌上。
祖冲之的父亲教他布算，第一课不是算得快，而是摆得正：位与位要对齐，行与行要留出空当，撤筹的手不能碰乱旁边的数。一笔大账动辄几十个数位，摆错一位，前面全废。后来祖冲之算圆周率，一动笔就是九位数、十几次开方——靠的正是这份从小学来的整齐。
这把竹棍还有一个脾气：它只会整数。分数怎么办？古人用「几分之几」的筹式摆出来，分子在下、分母在上，或者用「丈尺寸分厘毫」这样的十进制名数往下细分。祖冲之的那串圆周率，就是用名数写下来的。
「周三径一」——周长三尺的圆，直径一尺。这句话写在《周髀算经》里，是古人传下来的「古率」，工匠世代照用。它简单、好记、下料方便，用在碗口大的物件上，谁也看不出错。
可圆一大，错就藏不住了。取直径一丈的圆，按周三径一算，周长三十尺；真值是三十一尺四寸一分五厘九毫。差了整整一尺四寸一分六厘——做车轮，这一尺多的木料要么接不上，要么多出来没处去；做大钟，音就不准；造浑天仪的铜环，两个环的周长对不上，装不进同一副架子。
更麻烦的是：这点比例上的差，会随着尺寸一起长大。直径一尺，差一分四厘，木匠用刨子推两下就补上了；直径一丈，差一尺四寸，一段木料就废了；直径十丈的大环，差出一丈四尺，整副架子都装不起来。造一口鼎、铸一只钟、算一仓米，误差不是一个数的小事，是材料、工钱和音律的事。
所以「周三径一」不是错，是不够细。它把一个无限不循环的数，四舍五入成了一个整数。要让它够用，只有一条路：把这个数算得更准——准到用一丈作直径时，误差落在「分」以下；准到用一里作直径时，误差还落在「寸」以下。
这条路，前人已经走了半步。三国时一位叫刘徽的人，给《九章算术》作注，在「方田」章里写下八个字：割之弥细，所失弥少。他把圆切开，用直边去逼近曲边。他停在了九十六边形，得了一个数：三点一四。祖冲之从这里接着走。
将作监的后院在造一辆牛车。轮子直径三尺，六段辋木围成一圈。老木匠按「周三径一」下料：径三尺，周三尺乘三，得九尺；六段各一尺五寸，锯口留一分。料裁得整整齐齐，围上去却短了——最后一段与第一段之间，空出三寸多的一道缝。
木匠不慌：这是常事，把每段的斜口放宽些，敲进去就严了。一千年来都是这么干的。祖冲之蹲下来，用一根细线绕过轮圈量了一遍，又量了直径，回头在席上布了几根算筹：径三尺，周不该是九尺，该是九尺四寸二分五厘。六段辋木，每段短了七分。
木匠笑了：差七分，敲一敲就进去了，车轮照样转。祖冲之没有笑。他问：若是造一辆直径一丈的大车呢？若是给浑天仪造一只直径一丈的铜环呢？若是量一里见方的田地，要按圆算呢？——每处都短一截，短的那截加在一起，就是一座房子的木料。
这不是手艺的事，是率的事。「周三径一」把圆周与直径的比定成了三，可这个比不是三。它比三多一点，多出来的那一点，是个除不尽的数。用三去下料，等于每三尺就少给一寸四分的料——木匠的手再巧，也补不回一个错的率。
那天晚上，祖冲之把《九章算术》翻到「方田」章。刘徽的注写在圆田术下面，八个字：割之弥细，所失弥少。他在这八个字上停了很久。第二天，他去借了一间空屋，搬进去一袋算筹。
把问题写成一句话：圆周与直径的比值，不是一个整数。这个比值后来写作 π，它的真值在 3.1415926 与 3.1415927 之间，而且永远写不完。「周三径一」取的是 3，比真值少了 0.1415926……——相对误差约百分之四点五。
百分之四点五听起来不大。可它是按比例错的：直径越长，错的绝对长度就越大。直径一尺，差一分四厘；直径一丈，差一尺四寸；直径十丈，差一丈四尺；直径一里（一百五十丈），差二丈一尺——足够让一只铜环套不进另一只。
换一个方向看：如果一只轮的周长按「周三径一」下料，那么轮子转一圈，实际走过的路比算出来的多百分之四点五。走一里，少算七丈；走百里，少算七里。造车的人只关心轮子转不转，可管历法的人关心「走了多远」——历法里的「里」，是天的里。
所以误差有两种报法。一种报「差多少」：差一尺四寸。一种报「差百分之几」：差四点五。前一种随尺寸变，后一种不变。真正管用的，是后一种——它才是这个「率」的本来面目。
要改，只有一条路：把 π 算得更准。准到小数点后几位，误差就缩到几万分之一，大圆的差也就落到「分」以下。问题是：怎么算？靠量不行——尺子的刻度比要量的差还粗。得靠算。
刘徽的办法，说穿了很朴素：用直的去量曲的。在圆里画一个正六边形，六个顶点落在圆上，六条边是直的、能量、能算。这个六边形的周长比圆短——它整个缩在圆里面。那么把六边形的每条边对着的弧再一分为二，连成十二边形：它比六边形更贴近圆，周长更长，也更接近圆。
再分：二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形……每分一次，多边形的边就多一倍，边就越短，整个形状就越「鼓」，越贴住圆。刘徽的原话是「割之弥细，所失弥少」——割得越细，丢掉的那点越少。
他算的是面积，不是周长。圆内接正 n 边形的面积，可以拆成 n 个等腰三角形来算：每个三角形的两腰是半径 R，夹角是 360°/n。有了边数和半径，面积就能用筹算一步步逼出来。算到一百九十二边形，他得 3.141024；他给出的实用值，是分数 157/50，也就是 3.14。
更妙的是他给了一个「夹」的办法：算到第 n 边和第 2n 边，两者面积之差是一个可算的「零头」；圆的面积比 2n 边形大，又比「2n 边形加上这个零头」小。于是圆被夹在两条可算的界线之间——不必知道真值，也知道真值在哪一段里。
刘徽在一百九十二边形停了手，得 3.14。这个数用了五百年，够用。可祖冲之要的不是「够用」，他要的是「差多少」——要把那段夹缝，收到七位小数那么窄。
每倍一次边，误差不是减半，而是减到约四分之一——因为误差与边数的平方成反比。这既是好消息，也是坏消息：想多对一位小数，边数得翻三倍多；想多对两位，边数得翻十倍。越往后，付出的力气越大，收回的精度越小。
更实在的难处是算。倍边一次，要用勾股定理求新边长：先算弦，再开方。开方在算筹上是一整套手续——要试商、要减、要把已得的商翻倍再试，每一步都得摆筹、撤筹。刘徽算到一百九十二边形，已经开了五轮方；再往下，每轮的开方要保留的位数还要加。
所以他停在一百九十二边，把 3.14 交出去，并留下一句话：真要更准，得割到三千零七十二边。这句话是留给后人的——他知道路怎么走，只是没走完。走完这段路，需要的不只是聪明，是几年的空闲、一屋子算筹和一副不嫌烦的性子。
五百多年后，祖冲之接着走。他要的不是 3.14，是七位小数：从 192 边起，再倍七次，到 24576 边。每倍一次，开方一次；每次开方，要把数算到第九位。这是一条用竹棍铺出来的路。
这条路上还有一件刘徽没有明说的事：光有内接的「少」，不够。还得有外切的「多」——一个从外面压下来的界。两边一夹，才知道真值落在哪一段。下一页之前，先看这条路为什么非走不可。
大明六年，公元四六二年，祖冲之三十三岁。他把一部新历的稿本呈给宋孝武帝，附一道表，请朝廷颁行。这部历后来叫《大明历》——不是因皇帝的年号得名，是他自己起的名字。
他凭什么改历？凭三笔账。当时的《元嘉历》是何承天所造，通行了二十年，祖冲之实测后发现：冬至那天太阳所在的位置，算的与实际差了三度；冬至、夏至的时刻，差了一天；金木水火土五星出没的时间，差了四十天。三笔账，一笔比一笔大。
表文里他写自己的做法：亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策——亲自量日影，亲自看漏刻，眼睛盯到毫厘，心里把算筹走到底。这十六个字，是他全部工作的自述：不靠古书，不靠推算的方便，靠一件件量出来的数。
《大明历》改了三件大事。第一，把岁差写进历法——冬至点每年不是回到原处，而是往西退一点，退的速度要算进去。第二，改闰周——旧法十九年七个闰月，他改成三百九十一年一百四十四个闰月。第三，定交点月——月亮两次经过同一黄白交点的时间，定准了，日月食才预报得准。
这三件事，说到底都是同一件事：把一个「差不多」的常数，换成一个「差多少」都写清楚的常数。历法的命门不在算得巧，在于敢不敢报出自己差多少。这道表递上去，等来的不是准奏，是一场辩论。
第一幕有两条线：一条在工地上，一条在星空中。工地上量的是车轮的周长，星空里量的是太阳走一圈的天数。两条线看着不相干，用的却是同一把尺——把一段连续的、分不清界限的量，切成可数的份。
切法完全一样。历法先把天周分成三百六十五又四分之一度，再把一度分成「分」，一分分成「秒」；割圆先把直径定成「一」，再把一分成十份、百份、千份。两边都是：先立一个基准，再定一个等分的规矩，然后数格子。
连记法都一样。中国算学不用小数点，用「丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽」这样的名数往下写：一丈等于十尺，一尺等于十分，一分等于十厘……每往下一级，就是一位小数。祖冲之的圆周率原文写「三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽」，翻成今天的写法，就是 3.1415926 丈。小数没有被发明，它被「量」出来了。
所以第一幕的答案是：圆周率与历法，不是两门学问，是同一种手艺的两个活儿。手艺的名字叫「定率」——把两个量之间的固定比例找出来，并且说清这个比例准到什么程度。车轮的率是周长比直径，历法的率是一年比一日。
下一幕，看这把尺怎么落到一屋子算筹上。那是全册最笨、也最见功夫的一幕：他没有巧办法，只有一双手和九年。
第一幕从一辆车轮出发，账清一清。
错在一个「率」。「周三径一」把圆周率定成 3，真值多出 0.14159……；相对误差百分之四点五，绝对误差随直径成比例长大。小物件看不出，大圆藏不住。
刘徽给了刀法。圆里画正多边形，边数一次次加倍，多边形一层层贴住圆；他算到一百九十二边，得 3.141024，交出徽率 157/50。他还给了「夹」的办法：圆的面积介于两个可算的多边形之间。
祖冲之接了棒。刘徽停在 3.14，因为再往下算，力气翻倍而精度只多一点点；祖冲之要的是七位小数，得把边数从一百九十二推到两万四千五百七十六。第一幕给全册立了题：不是「算不算得出」，是「敢不敢报出还差多少」。
圆周长 C＝πd；相对误差＝(π−3)/π≈4.5%，绝对误差随 d 线性增长。
割圆：内接正 n 边形面积 Sn＝(n/2)R2sin(360°/n)；Sn＜S圆＜Sn＋(Sn−Sn/2)。误差随边数平方反比缩小。
娄县的县衙后院有一间空屋。祖冲之到任之后，把屋子清出来，地上铺席，席上摆筹。一摆就是几个月。县里的吏员起初以为县太爷在算什么大账，后来发现他算的东西谁也看不懂：一堆越来越长的数，一遍遍开方，一遍遍抹去重来。
他要算的是一件极简单的事：一个圆，直径定作一，周长是多少。这个「多少」不是一个能写完的数。他只能一段一段地逼近：先算六边形，再十二边，再二十四边……每翻一倍，就把答案往真值那边挪一点。
麻烦在于，每翻一倍都要开一次方。而开方在算筹上不是一步，是一整套手续：定位、试商、乘、减、加倍、再试。一次开方要摆几十根筹，一个数要开七八轮。一轮算错，前面全废，得从头再来。
史书没有记下这间屋子，也没有记下他算了多久。只有他自己在表文里写过八个字：心穷筹策——心里的那笔账，一直走到筹策的尽头。这四个字，比任何传奇都更接近那几年的真相：没有灵光一闪，只有一遍遍地重来。
后院那间屋子，后来成了县里的谈资。有人说县太爷在算天，有人说他在算什么了不得的东西。他确实在算天——只不过先从一口井口大的圆开始。
割圆的第一步，是把「翻倍」写成一个可算的式子。设圆的半径为 R，正 n 边形的一边长为 an。把每条边对着的弧一分为二，就得到正 2n 边形，它的边长记作 a2n。
从圆心向 an 的中点连一条线，这条线垂直于边，把边切成两半，每半是 an/2。用勾股定理，这条垂线的长是 √(R2−an2/4)。新边 a2n 是直角三角形的一条斜边，两条直角边分别是 an/2 和「半径减去那条垂线」。
把 R 取作 1，式子就变干净了：a2n＝√(2−√(4−an2))。从正六边形起步，a6＝1（六边形的边长正好等于半径），一代进去就能算出十二边形的边：√(2−√3)，约 0.5176381。
再代一次，得二十四边形的边 0.2610524；再代，四十八边 0.1308063；九十六边 0.0654382；一百九十二边 0.0327235。每代一次，数就小一半——边越来越短，边数越来越多，形状越来越圆。
有了边长，周长就有了：正 n 边形的周长是 n·an；除以直径 2R＝2，就是这一层给出的圆周率近似值。整个割圆术，就是这一个式子的反复代入——没有别的秘密。
递推式里套着两层根号。要算出下一层的边长，就得开方——而且是开一个已经带小数的数的方。算筹不会「按一下」，它只会摆。开方的全套手续，写在《九章算术》「少广」章里，叫「开方术」。
手续是这样：把要开的数（叫「实」）摆好；在它下面「借一算」，按位隔一位摆开（「超一等」），这是为了定出商有几位；然后在最高位试一个数，让这个数的平方不超过实，写下来作商；从实里减去这个平方，剩下的叫「余」。
接下来是最费事的一步：把刚才的商加倍，作为新的「法」，退一位摆到余数下面；再试一个数，让「法×试数＋试数2」不超过余——这个试数就是下一位商。减完，再把这个试数加到法上，法再加倍、再退位、再试下一位……一位一位往下走。
拿 √2 试一遍：先得商 1，余 1；法加倍成 2，退一位，试 4（24×4＝96＜100），余 4，商成 1.4；法变 28，再退位，试 1（281×1＜400），余 119，商成 1.41；继续试，得 1.414、1.4142……要几位，就试几位。
割到两万四千五百七十六边，这条链要走十二轮；每一轮的开方，都得算到小数点后八九位。也就是说，每一步都要试商八到九次，每次试商都要摆一遍筹、减一遍数。这就是「算筹的长征」——路不长，一步一脚。
只有内接多边形，只能给出一个「偏小」的数：真值比它大，大多少不知道。要夹死真值，还得从外面套一层。把多边形的每条边向外推到与圆相切，就得到外切正多边形——它把圆整个罩住，周长一定比圆长。
于是每层都有两个数：内接的偏小，叫朒数；外切的偏大，叫盈数。真值卡在两者之间。层数越高，两张网收得越紧；收到一定程度，盈数与朒数在小数点后第七位上还相同——这一位就被「夹」定了。
这里有一个容易忽略的细节：用周长逼近和用面积逼近，收网的速度不一样。周长法的误差与边数平方成反比；面积法的误差是它的四倍。同样割到一万二千二百八十八边，周长法已经能定到七位，面积法还差一点。刘徽用的是面积（他会算「差幂」），祖冲之承的是刘徽的路子，所以要一直割到二万四千五百七十六边。
到这一层，内接形给出的数约是 3.14159263，外切形给出的数约是 3.14159267——两个数都落在 3.1415926 与 3.1415927 之间。真值被关进这一间「七位小数」的屋子，前后左右都封死了。
这就是那串看起来奇怪的记载的来历：正数在盈朒二限之间。不是「约等于」，是「大于谁、小于谁」——一个区间，八个数字，两千年后仍然精确。
有人会问：既然只要量出周长和直径，拿一根绳子绕一圈、再量绳子不就行了？答案是：量得出来，但量不准——不是手不稳，是尺子本身不够细。
一根绳绕圆一圈，绳的松紧、粗细、贴合的程度，每一处都带来误差。就算绳完美，尺子上的最小刻度是「分」；一尺的圆，周长三尺一寸四分，读到「分」已是极限，再往下就是估读。要读出第七位小数，等于要求尺子上刻出「一亿分之一丈」的格子——那不是尺，那是显微镜。
算就不一样。算的精度不受材料限制，只受耐心限制：多算一层，多开一次方，就多对一位。算筹不会松，不会弯，不会看错刻度——它只会因为人摆错而错。人只要坐得住，数就一直往下走。
这就是数学史上一个反复出现的转折：当测量到了尽头，计算接过来。天文上也是如此——肉眼看星，看到的是「度」；要更细，就得靠推算。祖冲之测量、推算两条腿走路，正是这个转折点上的人。
但算也有算的代价。算出来的数，得有人相信；相信的前提，是每一步都能复查。所以割圆术的每一步都要留下可检验的式子——不是为了好看，是为了让别人能一遍遍重算，直到确认。
《隋书》记祖冲之的算法，开头有一句极怪的话：以圆径一亿为一丈。直径一亿，怎么叫一丈？这句话让后世读者卡了一千多年。
把它翻过来就通了：他取直径为一个「一亿」，单位不是尺，是忽。一丈等于十尺、百寸、千分、万厘、十万毫、百万秒、千万忽——一亿忽。所以「径一亿」就是「径一丈」，只不过把丈拆成了最小的一格。这样一拆，圆周的长度也落在这套格子上：三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，就是三亿一千四百一十五万九千二百六十六个「忽」。
为什么要这么绕？因为算筹没有小数点。要表示 3.1415926，筹上没法写那个点；但可以把它写成一串整数位——亿、千万、百万、十万、万、千、百、十、个。每一个「忽」就是一位小数。把小数点藏进单位里，这是中国古代算学最实用的一招。
于是整个计算变成了整数运算：直径一亿，周长三亿一千四百多万，两者相除，商就是圆周率。数字大得吓人，可每一步都是加减乘除和开方，算筹完全应付得来。位数多，只是多摆几行筹。
这才是「以圆径一亿为一丈」的真意：不是他量了一个一亿大的圆，是他把一个小圆放大到一亿格，让每一格都成为一位数。九位数的耐心，换来七位小数的确定。
第二幕进了那间摆满算筹的屋子，账清一清。
翻倍有式子。正 n 边形边长 an 与倍边后的边长 a2n 之间，只隔一层根号：a2n＝√(2−√(4−an2))。整个割圆术就是这一个式子的反复代入。
开方最苦。每代一次要开一次方；算筹开方要定位、试商、乘、减、加倍、退位，一位一位往下走。算到两万四千五百七十六边，要走十二轮，每轮算到八九位。
夹住才算数。内接偏小（朒）、外切偏大（盈），两张网收到七位小数上会合，真值就无路可逃。这一步给全册定了调：报一个区间，比报一个近似值诚实得多。
倍边递推（R＝1）：a2n＝√(2−√(4−an2))；a6＝1。
夹逼：n·sin(180°/n)＜π＜n·tan(180°/n)（周长口径）；面积口径同形，收敛慢四倍。误差 ∝ 1/n2。
从六边形到两万四千五百七十六边形，一共十二次倍边。每一次倍边，都要把整条链上的数重算一遍；每一次开方，都要从最高位试到最低位。这不是一次冲锋，是一场长征——路是一寸一寸挪出来的。
史书没有给出年份，只留下一个含混的说法：「久之」。但后人可以从别处推：他在三十三岁上《大明历》，历法里已经用了很精的常数；他到娄县任县令在大明年间，那间摆筹的屋子就在县衙后院。把这些点连起来，割圆的工作大约横跨了他三十岁上下的几年到十几年。
一个人一生能有多少个九年？这九年里，他还要治县、看星、校历、跟人辩论。算筹摊开又收起，收起又摊开。每一轮算完，他把结果记在简上；下一轮从同一个起点重来，只是边数翻倍。这样的日子，没有观众，也没有掌声。
后来的人给他的工作加了很多传奇：说他算错了就整夜不睡，说他把筹摆满了整个院子，说他能从日月食反推圆周率。这些都没有史料。真正有史料的只有两样：他报出的那个区间，和他自己写的八个字——心穷筹策。
第三幕要做的，是把这九年拆成三层看：一层是数（每一层算出什么），一层是误差（每一层比上一层准多少），一层是判据（算到哪一层可以停）。三层看完，就知道那九年不是苦熬，是一场有章法的推进。
把十二层的结果排开，就是一张表。表里每一行是「边数」和「这一层给出的圆周率」。数值按面积法算（内接正多边形面积除以半径平方），与刘徽的口径一致。
最后三层：六一四四边得 3.14159203，一二二八八边得 3.14159252，二四五七六边得 3.14159264。真值是 3.14159265……——到最后一行，前七位小数终于全部对上。
看这张表有一个要紧处：前几层爬得很快，后几层爬得极慢。六边到十二边，一口气从 2.6 跳到 3.0；九十六边到一九二边，只挪了 0.0017；到后面，翻一倍边数只挪动小数点后第七位的一个数字。这就是「割之弥细，所失弥少」的另一面：越接近，越难挪。
所以这张表不是十二次重复，是十二次「逼近」——每一次都在向一个够不着的数靠近一点，永远差一点。数学的诚实，就在这个「差一点」里：他从不写「等于」，只写「在这一层与那一层之间」。
误差不是随便降的，它有一个很规整的节奏：边数翻一倍，误差降到约四分之一。原因是误差与边数的平方成反比——边数变两倍，平方变四倍，误差就只剩四分之一。
拿数字看：三千零七十二边的误差约 0.0000023；六千一百四十四边约 0.00000056；一万二千二百八十八边约 0.00000014；二万四千五百七十六边约 0.000000035。每次确实少掉四分之三，规律一点不乱。
这个「四倍律」有一个实际后果：想多对一位小数（误差缩小十倍），边数得翻约三倍多（因为 √10≈3.16）；想多对两位，边数得翻十倍。所以越往后越费力——从六边到一九二边只用了五轮，就换来三位小数；从一九二边到二四七五六边用了七轮，才换来四位。
这也解释了刘徽的停手：他算到一九二边，误差约千分之二，够日常用；再往下，每一轮都要多开一次高精度的方，而只多一位小数。他把「值得」与「不值得」的分界，划在了自己的耐心边上。
祖冲之把这条线又往后推了七轮。多出来的四位小数，值不值七轮？对历法来说，值——因为历法要把一年算到「秒」，而一年有三千多万秒。常数的精度，决定了历法的精度。
一个算法要能收尾，得有一个「停」的判据。祖冲之的判据不是「算累了」，是两张网在小数点后第七位上会合了。会合了，就停；不会合，就再割一层。
到二四七五六边，内接形给出 3.14159263，外切形给出 3.14159267。两个数不同，但都落在 3.1415926 与 3.1415927 之间。既然真值一定在内接与外切之间，那么真值也一定落在这两个七位小数之间——第七位被夹死了，再算下去只能定第八位。
再算一层呢？四九一五二边，内接约 3.141592651，外切约 3.141592657，可以把第八位定成 5。再一层，定第九位。每多一层，多一位，成本翻倍。他停在第七位，是因为第七位已经够历法用，而再多一位，要再赔上几个月。
这个判据里藏着一种今天叫「误差控制」的思想：不是追求绝对精确，而是明确知道当前结果的误差上界。知道误差有多大，才知道这个数能拿去干什么、不能拿去干什么。反之，一个不知道误差的近似值，等于一个不知道保质期的药。
所以祖冲之的贡献不只是「算得准」，更是「知道自己算得多准」。这句话听起来平淡，可在公元五世纪，它是数学方法论上的一次跃进：从「求一个数」，到「求一个带误差界的数」。
《大明历》递上去，宋孝武帝没有立刻准，也没有立刻驳。他把它交给朝臣「难之」——请懂历的人来挑错。挑错的人里，声音最大的是戴法兴。
戴法兴是中书舍人，皇帝的近臣，权倾一时。他的理由不是算错了，而是：历法是古人定的，后代不该改。这句话在当时很有市场——改历意味着承认前朝错了，也意味着动一批人的饭碗。朝中百官惧怕他的权势，大多附和。
祖冲之没有退。他写了一篇《驳议》，逐条回答。开头两句后来常被引用：愿闻显据，以核理实——请拿出明白的证据，来核对道理与事实；浮辞虚贬，窃非所惧——空话与贬损，不是我害怕的东西。
他给出的证据很硬：日影的长度、漏刻的读数、五星出没的日期，一条条列出来，都是「有形可检，有数可推」的。戴法兴拿不出反证，只能说古人如何如何。辩论至此，胜负其实已分。
可胜负归胜负，历法没有颁行。孝武帝一度决定在大明九年改历，第二年皇帝去世，事情就搁下了。此后宋亡、齐兴，祖冲之在齐朝做到长水校尉，七十二岁去世。他生前始终没看到自己的历法通行——直到死后十年，他的儿子祖暅再三上奏，梁朝天监九年（五一〇年），《大明历》才正式颁行。
把祖冲之的做法翻成今天的语言，它是一个标准的算法：给一个初值（六边形边长），定一条递推规则（倍边公式），设一个终止判据（内外两网夹住第七位），然后循环。三样东西，一样不少。
更妙的是它还带「误差分析」：每一层的误差是多少，翻一倍降多少，什么时候可以停。这三件事——递推、终止、误差——正是现代数值计算的三根柱子。今天的计算机算圆周率，用的公式换成了无穷级数（每算一项多好几位），但骨架没变：给初值、按规则迭代、看误差停手。
差别在速度。祖冲之每翻一倍边数，只多对零点几位小数；现代级数公式每加一项，能多对十几位。计算机算到小数点后一百万亿位，靠的是公式好、机器快，不是耐心多。但「耐心」这一项，在最开始的那一步，是唯一的办法。
还有一层：他的算法是可复查的。每一步的边长、面积、开方，都摆得出来，别人可以照着重算。这在古代数学里不是理所当然——很多算法靠口诀、靠师徒相传，错了也查不出。割圆术把每一步摊在席上，这是它能传下来的原因。
第三幕收在这里：一个没有纸笔竖式、没有小数点、没有计算器的时代，用一堆竹棍，完成了一次误差可控、步骤可查、结果可验的计算。这不是奇迹，是手艺的最高形态。
第三幕走完了那九年，账清一清。
十二层，一层一个数。从六边的 2.598 到二四七五六边的 3.14159264，每一层都是同一个递推式的一次代入；越往后越慢，翻一倍只挪一点点。
误差有节奏。边数翻倍，误差降到四分之一；多对一位小数，边数要翻三倍多。刘徽停在一九二边，是因为再往下不值当；祖冲之多推七轮，是因为历法需要那几位。
停有判据。内接与外切两张网在小数点后第七位会合，就停。于是有了那句「正数在盈朒二限之间」——不是约等于，是一个封死的区间。全册的暗线在这里露了底：把「差不多」说成「差多少」。
递推：a2n＝√(2−√(4−an2))，a6＝1。误差 ∝ 1/n2，故倍边降为四分之一。
终止判据：内接与外切两值同落在一个七位小数区间内，则 3.1415926＜π＜3.1415927 成立。
七位小数算出来了，麻烦才刚开始。一颗珠子、一段木料、一斗米，报账时不能报「三点一四一五九二六」——太长了，算筹摆不下，嘴上念不清，写进简册占半行。工匠要的是一个能上手的数。
古人的办法是给分数。「周三径一」是 3；刘徽的徽率是 157/50，也就是 3.14；还有一个广为流传的「径七周二十二」，即 22/7，约 3.142857。这三个数，一个比一个准，可都不够准：22/7 与真值差千分之一以上，造大车大钟，仍然差得出来。
祖冲之给了两个分数。一个叫约率：22/7，粗而好用。一个叫密率：355/113，直径一百一十三，周长三百五十五。密率的值是 3.14159292……，与真值只差亿分之二点七。
这两个名字起得极准。「约」是简略，「密」是精密。同一个数，给两种人：给工匠约率，一眼能算；给历官密率，一算就准。这不是妥协，是分层的智慧——好数学不只求一个最精确的答案，还要给不同场合配不同精度的工具。
三百五十五与一百一十三，这两个数是怎么找出来的？史书没有说。后来的数学家猜了几百年：有人说是用「调日法」凑的，有人说是用连分数，有人说是解不定方程。下一页先看那个最漂亮的解释。
把一个数写成「整数＋一个分数的倒数」，再把这个分数同样处理，一层层套下去，叫连分数。它像剥笋：每次剥下一层整数，剩下的部分翻个个儿，接着剥。π 剥出来是这样的：
π＝3＋1/(7＋1/(15＋1/(1＋1/(292＋…))))
每剥一层，就截一次断，得到一个分数。截在第一层，得 3/1；截在第二层，得 22/7；第三层得 333/106；第四层得 355/113；再往下是 103993/33102。这些分数叫渐近分数，它们有一个了不起的性质：在所有分母不超过它的分数里，没有比它更接近真值的。
看这几个分数怎么逼近：3/1 差 0.1416；22/7 差 0.00126；333/106 差 0.000083；355/113 差 0.00000027。每一次都跳一个量级——因为 π 的连分数里出现了 292 这样的大数，一遇到大数，逼近就突然加速。
355/113 就是从这串笋里剥出来的第四层。它简单到只用 1、3、5 三个数字，精确到小数点后第六位——一个三位数除以三位数，胜过了七位小数。好的记号与好的分数，都是一种压缩：把冗长的信息，压进一个能上手的形式。
355/113 好在两处。第一处是准：与真值差 0.00000027，比 22/7 准了约四千八百倍。第二处是小：分母只有一百一十三，一支笔、几根筹就能算，不需要九位数的大账。
还有第三处，最难得：它是最优的。数学史家梁宗巨做过验证：在所有分母小于一万六千六百零四的分数里，没有哪一个比 355/113 更接近 π。换句话说，用这么小的分母，已经把精度用到了尽头——想更准，分母就得跳到三万三千以上（103993/33102）。
这就解释了一个常被忽略的事实：密率不是「碰巧凑出来的好分数」，它是 π 的一个结构性的「台阶」。π 的无理性格局决定了，在某些分母上会出现特别好的逼近，355/113 正是其中最漂亮的一级。
对比一下同代的世界：印度数学家耆那教典籍里有 355/113 的记载（一说公元五世纪），欧洲要到十六世纪才由奥托重新得到。而在中国，这个分数被写进史书的「律历志」，作为官方常数流传——不是某个人的私藏，是一个文明的计算底账。
也正因为它是「台阶」，后世才反复回到它：日本数学史家三上义夫建议叫它「祖率」，把这份荣誉归给那个用算筹磨了九年的人。
《大明历》里最硬的四个数，都不是「一个数」，而是「一个分数」——和密率同一个脾气：用整数之比，把除不尽的量记下来，既准又便于筹算。
回归年：三百六十五又九千五百八十九分之三万九千四百九十一日，即 365.24281481 日。今天的值是 365.24219878 日，两者差 0.000616 日——一年差五十三秒。这个精度，此后七百多年无人超过，直到南宋《统天历》。
朔望月：二十九又三千九百三十九分之一十一万六千三百二十一日，即 29.530592 日。今值 29.530589 日，差三秒不到。交点月：二十七又二万六千三百七十七分之七十一万七千七百七十七日，即 27.212230 日。今值 27.212220 日，差不到一秒。
闰周：三百九十一年置一百四十四个闰月。旧法十九年七闰，两百多年就差出一天；新法把闰月撒在更长的周期里，误差缩到一年不到一秒。这个闰周的意思是：三百九十一年里的月数（四千八百三十六个朔望月），正好等于三百九十一个回归年。
四个数放在一起看，才看得出祖冲之在做什么：他不是在「改进历法」，他是在用一套整数比，把日、月、年的三个周期锁进同一个账本。锁得越紧，历法走得越久不歪。
祖冲之不是只坐在席上摆筹的人。史书里记着他造过几样东西，每一样都让同代人吃惊。
指南车。传说上古有指南车，到南北朝已失传。齐高帝萧道成命祖冲之仿制，他「改造铜机，圆转不穷」——用一套铜制齿轮，让车上的木人无论车子怎样转弯，手臂始终指南。这不是磁针，是纯粹的机械传动：车轮转，齿轮转，木人反向补偿，方向就守住了。
千里船。他在新亭江试一艘船，「日行百余里」，当时人没见过这么快的船。船的具体形制没有留下，后世推测是改进的桨轮或车船一类。水碓磨。他在乐游苑造水碓磨，用水力带动碓与磨，齐武帝亲自去看。
这几样东西有一个共同点：都是把一种运动，精确地传给另一种运动。指南车把车轮的转动传给木人，水碓把水流的转动传给碓头，千里船把踏轮的转动传给水。这和割圆是同一副筋骨——都是把一个量，按一个固定的比例，转成另一个量。
所以他造器不是「业余爱好」，是同一套数学的另一面。会算比率的人，才造得出转得准的齿轮；懂误差的人，才知道齿轮咬合要留多少隙。第四幕把这两面放在一起，是想说：他的数学不是纸上的，是能转起来的。
历法不是文人的雅好，是国家的日程表。什么时候播种，什么时候收税，什么时候祭天，什么时候出兵，都按历法走。历法差一天，农时就差一天；差得多了，「春分」落到「清明」后头，整套秩序就乱了。
更要紧的是日月食。古人视日月食为天意，朝廷要提前知道、提前行礼。要预报日月食，得知道三件事：月亮走多快、太阳走多快、月亮在哪个点上穿过黄道（交点）。第三件事就是交点月——祖冲之把它算到了 27.212230 日，误差不到一秒。
他拿这个数去验旧账：从元嘉十三年（四三六年）到大明三年（四五九年），二十三年间有四次月食，用《大明历》推算的时刻，与实际发生的时刻全部相合。这不是运气，是常数的精度够了。
所以第四幕的四个数，不是四个孤立的数字，是一张网：回归年定「年」，朔望月定「月」，交点月定「食」，闰周把三者锁在一起。四根绳子绷紧，历法才站得住。
换句话说，355/113 与《大明历》是一件事的两头：一头是把圆算准，一头是把天算准。同一个「准」字，一头落在纸上，一头落在天上。
第四幕从一个「不好用」的七位小数出发，账清一清。
分数是压缩。355/113 只用了三个数字，把 3.1415926 的精度压进一个能上手的形式；22/7 更简，精度差些。约率给工匠，密率给历官——同一件事，两种精度，各得其所。
它是最优的。分母小于一万六千六百零四的分数里，没有比 355/113 更接近 π 的。它不是碰巧凑出的好数，是 π 的结构里一个真实的「台阶」。
同一副筋骨造器。指南车、千里船、水碓磨，都是把一个运动按固定比例传给另一个运动——与割圆同一个思路。历法的四个常数，则是把日、月、年锁进一本账。准，是这一切的共同标准。
密率 355/113＝3.14159292…，误差 2.7×10−7；约率 22/7＝3.142857…，误差 1.3×10−3。两者相差约四千八百倍。
《大明历》：回归年 365＋9589/39491 日；朔望月 116321/3939 日；交点月 717777/26377 日；闰周 391 年 144 闰。
祖冲之写过一部《缀术》，六卷（一说五卷）。「缀」是缀合、连缀的意思——把自己的专论缀在刘徽的注后面。这部书在唐代是国子监算学的课本，学官要讲四年，是当时最深的一门算学课。
然后它消失了。北宋时官家搜求天下遗书，《缀术》已不可得；此后一千年，只有目录书里还留着它的名字。一个能把圆周率算到七位的人，他到底怎么算的，就这样成了一个永久的空白。
奇怪的是，他的数没有跟着消失。《隋书·律历志》里有一段不到百字的记载，把他的圆周率原原本本抄了下来：「宋末，南徐州从事祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。」
写这段的是唐初的史官，离祖冲之已一百多年。他们大概并不懂割圆，只是照抄了前朝的历志。可就是这一次照抄，把一个文明最精密的计算保存了下来——书可以烧，数抄进了另一本书。
这也是古代科学常见的命运：著作散佚，成果靠「引用」活着。祖冲之的幸运，是被一部正史的「律历志」捎带上了；不幸的是，捎带的只有结果，没有方法。
祖冲之的儿子祖暅，接过了父亲没做完的活。他留下的名字，绑在一条原理上：幂势既同，则积不容异——两个等高的立体，如果在每一个高度上截出的面积都相同，那么它们的体积一定相同。
这条原理今天叫「祖暅原理」，西方叫「卡瓦列里原理」（1635 年）。它的用处是：把一个算不出的立体，换成一个算得出的立体。像一摞书，推斜了，每层的面积没变，整摞的体积就没变。
父子俩用它解决了球体积。刘徽当年留下一个难题：球的体积与外切圆柱的体积之比，应当是 π 比 4；可要证明这一点，得先算出「牟合方盖」——两个同样粗细的圆柱垂直相交，公共部分的体积。刘徽算不出，叹了一句「敢不阙疑，以俟能言者」。
祖氏父子把它算出来了。他们把牟合方盖切成八块，取其中一块，再切成「外三棋」，一块块拼补，证明这块占所在立方体的三分之一——于是牟合方盖占三分之二，球占 π/4，合起来得球体积 (4/3)πR3。
这个结果，阿基米德在七百年前已经得到（见第 11 册）。两条路各自走通，工具不同，结论一样。数学的有趣就在这里：山可以有不同的爬法，山顶只有一个。
刘徽写下过一句话：「割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。」割了再割，割到不能再割，多边形就与圆合成一体，一点不差。这句话，是极限思想的种子。
祖冲之做的是把这颗种子种下去：他不谈「不可割」，只谈「割到第几层，误差多少」。这是从哲学到算术的一步——把「无穷」换成了「足够多」。十七世纪的微积分，做的正是这个转换：不谈无穷小，谈「任意小的误差」。
所以数学史上常把这三个人排成一条线：阿基米德的穷竭法、刘徽的割圆术、祖冲之的七位小数。三个人都在「用直的量曲的」，都在「用有限的步骤逼近无限的过程」。差别在工具：希腊人用几何与归谬，中国人用筹算与递推，近代人用代数与极限。
再往后一步，是柯西与魏尔斯特拉斯把「任意小」写成 ε 与 δ（第 16 册）。到那时，「割之弥细」才有了一副不会漏风的逻辑骨架。可骨架里的那块肉——「逼近」这个念头——是公元三世纪到五世纪的三个人给的。
这就是第五幕要说的「远」：祖冲之不知道微积分，可他的工作里已经有一颗微积分的种子。数学的传承，常常不是「传递结论」，而是「传递一个动作」——割、夹、逼近。
355/113 在欧洲出现，要等到一五七三年。德国数学家奥托（Valentinus Otho）在《巴拉丁努斯算术》的附录里给出这个值，方法与祖冲之无关——他是从别的途径算出来的。欧洲人给它起了个名字，叫「Metius 值」，因为荷兰人阿德里安·梅蒂乌斯也独立得到过。
一千年。这中间，中国的算学走过了唐、宋、元，出现了秦九韶的高次方程、朱世杰的四元术、杨辉的垛积术；欧洲走过了经院哲学、文艺复兴、印刷术。两条线各自走了很远，然后在同一个分数上碰了头。
碰头之后，两边的反应不一样。欧洲人把它当成一个「好用的近似」，写进教科书；中国人把它写进正史的「律历志」，当成国家的常数。前者是学者的发现，后者是文明的底账——一个数被官方记住，比被某个人记住更难。
十九世纪末，西方数学史家开始系统研究中国算学。他们惊讶地发现：这个分数不是欧洲人先得的。日本学者三上义夫在二十世纪初提议，把它叫作「祖率」——用一个中国人的名字，给这个常数命名。
命名的意义不大，承认的意义很大。它意味着：在一部以希腊为源头的数学史里，必须给中国留一个位置，而且不是「早就有零碎想法」的位置，是「算得比谁都准」的位置。
一九六四年，紫金山天文台发现了一颗小行星，编号一八八八。后来它被命名为「祖冲之」。
一九六七年，国际天文学联合会把月球背面的一座环形山命名为「祖冲之环形山」。月球背面永远背对地球，那座山人类看不见——只有探测器绕到背面，才能拍到它。
这两个命名，和圆周率没有直接关系。它们是现代科学对一个古代算学家的敬礼：一个在五世纪用竹棍算数的人，名字被刻在了天上。
更实在的纪念在别处。巴黎的发现宫、莫斯科大学的礼堂，都写着他的名字；中国的邮票上印过他的像；中学课本里，每个孩子都要背「3.1415926 到 3.1415927 之间」。
但如果祖冲之自己来选，他大概会选另一样东西作纪念：那串写在《隋书》里的数，和那句「正数在盈朒二限之间」。因为那才是他真正做的事——不是给一个答案，是给一个范围。答案会被超越，范围不会：它说的是「我知道我算到了哪里」。
常有人问：花九年算一个数，值吗？这个问题，用今天的眼光看更尖锐——一台计算机一秒能算出的位数，比他一辈子算的还多。那他这九年，是不是白费？
不值，如果只看数。值，如果看三样别的东西。
第一样是方法。他留下的不是 3.1415926，是「割圆—开方—夹逼—定误差」这一整套程序。这套程序可以搬到任何「算不出的量」上：算面积、算体积、算天体轨道。方法比结果活得久。
第二样是标准。他立了一个规矩：报数要报误差。这个规矩一旦立下，后来的历家就不能只说「合天」，得说「差几分」。一个文明的计算水平，不是由最聪明的人决定的，是由「大家公认要报到几位」决定的。
第三样是态度。九年摆筹，没有观众，没有即时回报，靠的是相信「这件事值得做」。这种态度不能在短期内换成任何东西，但它是所有长期学问的地基。一个常数值九年，因为九年里长出来的不只是这个常数。
第五幕从一部失传的书出发，账清一清。
书亡数存。《缀术》在北宋失传，方法成了永久的空白；可《隋书·律历志》抄下了那串数，于是结果活了下来。古代科学的命运，常常靠「被引用」延续。
父子接棒。祖暅以「幂势既同，则积不容异」解决了刘徽留下的牟合方盖，得球体积 (4/3)πR3——与阿基米德殊途同归。
千年重逢。355/113 在 1573 年由奥托在欧洲重新得到；二十世纪，三上义夫提议称之为「祖率」。名字刻上了月球，可真正的纪念是那句「正数在盈朒二限之间」——他给的不是答案，是范围。
祖暅原理：等高两立体，若每层截面积相等，则体积相等。由此 V球＝(4/3)πR3。
极限的种子：割圆（刘徽）→ 七位区间（祖冲之）→ 穷竭法（阿基米德）→ ε-δ（柯西、魏尔斯特拉斯）。四次跳跃，同一个动作：逼近。
一册走完，回头看祖冲之留下的东西，其实是三样。
一个区间。3.1415926 与 3.1415927 之间。这不是一个数，是一句话：「真值在这个范围里。」他给的不是答案，是答案的边界。这种诚实，比答案本身更难。
一个分数。355/113。三个数字，胜过七位小数；分母一百一十三，一支笔就能算。它证明了一件事：好的数学不只是「更精确」，还是「更好用」。
一部历。《大明历》。岁差第一次入历，闰周从十九年七闰改成三百九十一年一百四十四闰，交点月定到一秒之内。它在祖冲之生前没被采用，死后十年才颁行，一用八十年。
三样东西，一个共同的底色：他从不掩饰自己算到了哪里。这一点，让他的工作在两千年后仍然站得住——因为一个知道误差的数，永远不会过时；过时的只是误差的大小。
祖冲之死后，他的两件东西走了两条完全不同的路。
《大明历》活了。梁天监九年（五一〇年）正月，梁武帝下诏颁行，此后梁、陈两朝沿用，一直到陈亡（五八九年），整整八十年。一部被压了四十八年的历法，最终成了南朝后半段的官方时间表。它的回归年值，直到七百年后的《统天历》才被超过。
《缀术》死了。它在唐代还是国子监的课本，学官讲四年，是算学里最深的一门；到了北宋，官府刻印算经时已经找不到完本。此后一千年，只剩书目里一个名字，和几条被别的书引用的片段。
两条路的差别，说到底是「载体」的差别。历法是公器，一旦颁行，就抄进历书、写进史志、发到州县，想丢也丢不掉；算书是私学，靠师徒抄录、靠注家引用，一遇战乱就断。文明的记忆，不只取决于内容多好，还取决于它被放在多结实的架子上。
所以今天读祖冲之，读到的是一具「骨架」：数在，方法没了。这不是他一个人的遗憾，是古代科学共同的遗憾——我们常常只知道他们算出了什么，不知道他们怎么算的。
他怎么算的？这是最大的空白。《缀术》失传，我们只知道结果，不知道过程。后人推测他用了割圆术，算到一万二千二百八十八边或二万四千五百七十六边；也有人推测他另有巧法——「缀术」这个名字，本身就像一种「缀合」的技巧。可推测归推测，没有一本他的书来作证。
密率怎么来的？355/113 太漂亮了，漂亮得不像算出来的。有人说是用何承天的「调日法」凑的：拿两个已知的近似值，按比例调配，凑出更准的分数。有人说是用连分数（可那时候中国还没有连分数）。有人说是解不定方程。三条路都走得通，没有一条有史料。
书为什么丢？《缀术》在唐代是官学课本，按理不该丢。可它「深」——深到能讲的人少，抄本也少；一遇唐末五代战乱，就断了。同类的还有《九章算术》的某些注本、祖暅的著作。古代科学的传承，靠的是「人」不是「制度」，人一断，书就断。
这三个问题，两千年来没人能答。它们的价值不在答案，在提醒：我们看到的「历史」，是被抄写、被引用、被保存下来的那一小部分。没被保存的，比保存下来的多得多。
所以读古代数学，要有一份自觉：我们读到的是「幸存者」。祖冲之的七位小数能留下来，一半靠他的本事，一半靠《隋书》那位不知名史官的一次照抄。
材料：四十根左右的竹签、棉签棒或吸管（长短一致），一块平整的桌面或一张大纸。
第一步，认两种摆法。纵式：一至五用竖棍的根数表示；六至九是一根横棍压在竖棍上（压一根是六，压四根是九）。横式：一至五用横棍；六至九是一根竖棍压在横棍上。两套并排摆出来，一眼能看出区别。
第二步，摆一个多位数。个位用纵式，十位用横式，百位纵、千位横，依次相间。哪一位是零，就空出一段。试着摆出 2026：千位横式「二」，百位空，十位横式「二」，个位纵式「六」。
第三步，摆祖冲之的数。把 3.1415926 摆成「三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽」——从丈到忽，一共八位，每一位摆一组筹。摆完数一数：一共用了多少根？再摆 355/113：分子三百五十五在上，分母一百一十三在下，中间留一道缝。
想一想：为什么古人要「纵纵横横」地摆，而不全用竖棍？如果全用竖棍，一千一百一十一会摆成什么样子？还认得出哪一位是千位吗？
做法一：量。找三个大小不同的圆——杯口、碗口、锅盖。用一根细绳绕圆周一圈，在接头处捏住，再把绳拉直，用尺量出绳长（周长）；再量直径。周长除以直径，记下结果。
三个圆量完，多半会得到三个不同的数：3.1、3.2、3.05……这不是算错了，是量不准。绳子有粗细，绕的时候有松紧，尺子的刻度只到毫米。圆越小，相对误差越大。换个更大的圆（比如自行车轮），结果会更靠近 3.14。
做法二：算。取一个直径为一的圆，用计算器填表：正六边形面积 2.598；十二边 3.000；二十四边形 3.106；四十八边 3.133；九十六边 3.139；一百九十二边 3.1410。每翻一倍，就把答案往 3.14159 推近一点。
做法三：夹。把内接的数与外切的数并排写：九十六边，内接 3.13935，外切 3.14327。真值一定在这两个数之间。再算一九二边：内接 3.14103，外切 3.14271。缝隙从 0.004 缩到 0.0017——每翻一倍，缝缩到约四分之一。
想一想：要缝缩到 0.0000001，还得翻几倍？祖冲之翻了七倍，用了九年。今天的计算器按一下 sin 键，抵得上他摆一天筹。
祖冲之的算筹，是中国「算的器具」链条上的一环。这条链很长：先秦的算筹，宋元的珠算，明代的算盘，近代的计算尺与机械计算机，二十世纪的电子计算机，一直到今天口袋里的手机。
每一次换代，换的都是「速度」，不换「算法」。算盘打的是口诀，口诀背后是筹算的位值；计算机跑的是程序，程序背后是同一个「按规则一步步算」的念头。祖冲之的割圆程序——给初值、按公式迭代、看误差停手——今天仍然写在每一本数值分析的教科书里。
速度的差别有多大？祖冲之算到七位小数，用了以年计的时间；一九四九年，ENIAC 算到两千零三十七位，用了七十小时；二〇二二年，一台云服务器算到一百万亿位，用了几个月。位数从七位到一百万亿位，涨了十四万个数量级，可方法的骨架没变。
这也是数学史上有意思的一点：工具会过时，方法不会。算筹早就不用了，可「割圆」这个动作还在——今天的计算机算 π，用的是无穷级数，本质仍是「用一串可算的项，逼近一个算不尽的数」。
所以不必替祖冲之惋惜「他要是有一台计算机就好了」。他有的东西，计算机没有：在没有工具的时候，想出工具。这才是最难的一步。
公案一：《缀术》究竟写了什么？唐代算学把它列为「十部算经」之一，学四年，比《九章算术》还多一年。一本要学四年的书，内容一定不浅。有学者推测它含割圆的高级技巧、球体积的完整推导、甚至某种内插法；也有人认为它是祖冲之父子论文的合集。书佚之后，所有推测都只能是推测。
公案二：密率是凑的还是算的？「调日法」是一条实在的路：拿两个已知近似值（比如 22/7 与 157/50），按「强弱」比例调配，可以凑出很接近的分数。用这套方法，从 3.1415926 出发，经过若干次调配，确实能得到 355/113。但这只是「可行」，不是「他确实这么做过」。
两条公案的共同点：结果确凿，路径成谜。这也正是古代数学史研究的常态——我们面对的不是完整的著作，是别人转抄的几句话，和几件出土的器物。
延伸阅读（给想往下走的人）：钱宝琮《中国数学史话》、李俨《中国算学史》、梁宗巨《世界数学史简编》、薮内清《中国の天文暦法》；《九章算术》与刘徽注的校点本（郭书春汇校本）；《隋书·律历志》的现代整理本。外文可看 Needham《中国科学技术史》第三卷数学章、Martzloff《A History of Chinese Mathematics》。
读这些书会发现一件事：关于祖冲之，能确证的材料只有几页；可就是这几页，撑起了中国数学史最重要的一章。史料的多少，不等于分量的轻重。
这一册讲一个人怎样把「差不多」变成「差多少」：祖冲之算圆周率，不给一个近似值，给一个上下界；造历法，不说「合用」，说「一年差五十秒」。
路线五步：前人的圆周率够不够用（第一幕）、割圆术怎么割（第二幕）、十二年边与那场九年的长征（第三幕）、355/113 怎么来（第四幕）、书失传而数留下（第五幕）。两个动手做（p.44–p.45）都建议先做后读：摆一次算筹，就知道「位值」不是抽象概念；量三个圆，就知道「量不准」是真的。
暗线是「把差不多说成差多少」，本册给了五层：率差会随尺寸放大（第一幕）、夹逼给出区间（第二幕）、误差有节奏（第三幕）、分数是压缩（第四幕）、方法是遗产（第五幕）。孩子最容易记住的是「3.1415926 到 3.1415927 之间」——就从这句话讲起，再补一句：他为什么不说「等于 3.14」。
需要提醒的一点：本册的数学比第一辑同册稍深（面积、开方、连分数）。三层读法照旧——故事层可以独立成篇；数学层的 p.28（连分数）与 p.30（历法常数）可以跳过，不影响主线；注疏层给大人核对。
「祖冲之是不是最早算出圆周率的人？」——不是。阿基米德在公元前三世纪就把 π 夹在 223/71 与 22/7 之间；刘徽在公元三世纪算到 3.141024。祖冲之的贡献是把精度推到七位小数，并保持世界纪录约九百年（直到十五世纪阿尔卡西）。先有「夹」，才有「精」。
「他为什么不算到更多位？」——成本。每多一位，边数要翻三倍多，开方的位数也要加。第七位够历法用（一年差五十几秒），第八位要再赔几个月。这是一个理性的「停」，不是能力的「止」。
「孩子问：算这个有什么用？」——短期没用，长期有大用。历法、授时、天文、地图、机械，都要常数；常数准一寸，下游准一丈。更重要的是方法：割圆、夹逼、误差控制，是今天所有数值计算的老祖宗。
虚实成分说明。本册的场景与对话有虚构成分（将作监的车轮、娄县的后院、朝堂的具体问答），凡年代、数据、引语、书名均在注中给出处。特别提醒：祖冲之割圆的具体方法无史料（《缀术》佚），本册取「割圆术」为主线，属主流推测而非定论；p.43 与 p.49 已把这个边界说清。
《数学家的故事》第二辑 · 第 12 册
祖冲之 · 算筹九年
明线：割圆术与盈朒二限 · 3.1415926＜π＜3.1415927 · 约率 22/7 与密率 355/113 · 《大明历》岁差、闰周、交点月 · 祖暅原理与球体积
暗线：把「差不多」说成「差多少」 · 误差是一种诚实 · 方法比结果活得久
时代：429—500 · 南朝宋、齐（建康—南徐州—娄县—建康；下延至 510 年《大明历》颁行、1573 年奥托重得密率、1913 年「祖率」命名）
主典：《九章算术》及刘徽注 · 《周髀算经》 · 《宋书·律历志》 · 《南齐书·祖冲之传》 · 《隋书·律历志》 · 《缀术》（佚）
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 故事/暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
《数学家的故事》第二辑十册：阿基米德 · 祖冲之 · 牛顿 · 莱布尼茨 · 欧拉 · 柯西 · 阿贝尔 · 庞加莱 · 诺特 · 华罗庚。本册为第二辑第二册。