牛顿 · 流数与万物
艾萨克·牛顿，一六四二年圣诞节（旧历）生于英格兰林肯郡的伍尔索普农庄。他是个不足月的遗腹子：父亲在他出生前三个月病故，他自己生下来小得能装进一只一夸脱的马克杯——这是他晚年的回忆。三岁那年母亲改嫁，把他留给外祖母；十一年后继父去世，母亲带着三个弟妹回来。他在乡下长大，在格兰瑟姆的国王学校读书，成绩不算出众，显眼的是手工：他做风车、水钟、纸鸢，还在风车模型里放一只老鼠当动力。
一六六一年他进剑桥三一学院，身份是「减费生」——靠服侍富家同学、清理餐桌抵一部分学费。一六六五年瘟疫来了，学院关门，他回到乡下，断断续续待了将近两年。这两年他后来称之为「我发明的最好的时期」：流数法、白光的分解、万有引力的轮廓，都在这两年发芽。
此后六十年，他做成了三件事、写了一部书。三件事是：一门新的算法（流数法，今天的微积分）；一套关于运动的定律（三条）；一条把天与地缝在一起的力（万有引力）。一部书是《自然哲学的数学原理》，一六八七年出版，用几何写成，当时全欧洲读得通的人不超过一打。
他后来做了三十一年皇家铸币厂的主管，把英国的银币重铸了一遍；做了二十四年皇家学会会长；一七〇五年受封爵士。他终身未娶，晚年沉迷炼金术与神学，留下的神学手稿比数学手稿还多。这个人身上最值得看的一点，不是他算得快，而是他敢把「一瞬间」当成一个可以算的东西——在他之前，变化只能描述；在他之后，变化可以计算。
故事层——跟着画面走：瘟疫年关门的学院、乡下果园里的一间小屋、一间摆满棱镜的暗室、一叠写了十八个月的稿纸、铸币厂炉火边的天平。
数学层——暖金色的框里是这一页真正的数学：平均速度与瞬时速度、割线与切线、流数记号、面积与变化率的互逆、级数、v2/r、平方反比与椭圆。
注疏层——页面下方的小字，标注年代、原文与真伪，给一起读的大人。
第一幕 大瘟疫与乡下的两年 · 第二幕 「每一瞬间都在变」怎么算 · 第三幕 流数法与运动定律
第四幕 用平方反比算月亮为什么不掉下来 · 第五幕 《原理》与理性的时代
一六六五年夏天，伦敦的死亡簿上，一个星期的数字从几百跳到几千。鼠疫从圣吉尔斯教区的一间屋子开始，顺着泰晤士河两岸铺开，最烈的一周死了七千多人。有钱的人家套上马车往乡下跑，国王跑了，法院跑了，大学也跑了。
剑桥在八月关了门。学院的通知写得干脆：学生遣散，何时复课另告。二十二岁的牛顿收拾了一只箱子，装了几本书、一叠白纸、一瓶墨水、几支羽毛笔，坐马车往北走，一百多里地，回到林肯郡的老家伍尔索普。
那不是一次自愿的休假。乡下没有图书馆，没有可以讨论的人，没有仪器。有的是母亲的唠叨、地里的活、教堂的钟。母亲让他学做农活：看羊、赶车、修篱笆。他看羊的时候看书，羊走进了别人家的麦田；他去集市卖粮，站在书摊前忘了时间，回来被母亲骂。
可就是在这间没有书、没有人的屋子里，他把日后要用的东西几乎都想出来了。他后来的自述里说，那些年他「正处于发明的鼎盛期，对数学与哲学的关心超过此后任何时候」。一六六六年一年之内，他手里同时握着三样东西：一门新的算法、一个新光的理论、一条关于引力的猜想。
这三样东西，每一样都足够让一个人进史书。他把它们压在箱底，一样也没有发表。要理解他为什么压着，得先理解他要解决的那个问题有多难——难到当时没有一种语言能把它说清楚。
一颗石子从手里松开，往下掉。月亮挂在天上，不掉。这是每个人从小就看见的两件事，看上去毫不相干：地上的东西往下落，天上的东西绕着转。
牛顿的第一个念头是：也许它们是同一件事。石子往下掉，是因为地球在拉它；月亮不掉，是因为地球也在拉它——只是拉得刚好，让它一直「掉歪」，掉成一个圈。
这个念头可以用一根绳子来验。把一块石头系在绳上，抡起来转。石头不会飞走，是因为绳子在拉它；绳子一断，石头就顺着切线飞出去。月亮就是那块石头，地球的引力就是那根绳子。区别只在于：绳子有长度、会断；引力没有形状，也不断。
照这个说法，月亮一直在往地球掉，只是它横向的速度太快，每落下一尺，地面已经弯下去一尺，所以永远落不到地上。这个画面一旦成立，问题就变成一道算术题：月亮每秒往地球「落」多少？这个数能不能用地面上的重力算出来？
能。这就是本册第四幕要算的那笔账：一个 3600 倍的比值。可在算这笔账之前，得先有一样工具——一种能算「此刻的速度」的算术。因为月亮的速度，每一瞬间都在变。
两千多年前，芝诺提出过一个怪问题：飞着的箭，在每一个瞬间都占据着一个和自身等长的位置，所以它在每一个瞬间都是静止的；既然每个瞬间都静止，它怎么会动？
这个论证当然是错的，但错在哪里，说不清。说「瞬间有速度」，可一个瞬间没有长度，走的路程是零，时间是零，速度等于零除以零——这个式子没有意义。说「瞬间没有速度」，可箭明明在飞，它此刻的速度是多少？
要让「此刻的速度」有意义，得换一种说法：不问「这一瞬间走了多少」，而问「如果让它照这个趋势一直走下去，一小时会走多少」。前一句话里是零除以零，后一句话里是两个可以量、可以算的平均速度，而这两个平均速度随着时间间隔缩小，会越来越靠近某一个数。
那个数，就是瞬时速度。它不是一个「消失了的量」，而是一个「趋近的极限」。牛顿把它叫作「初末比」——最初与最后之比：在增量消失之前与消失之后，两个量的比值趋于的那个比。
这需要一门新的算术：能处理「越来越小、但永远不为零」的量。牛顿在乡下那两年，把这门算术造了出来。他没有用「无穷小」这个词，也不肯说「除以零」，他绕开了那个陷阱——绕得很漂亮，也很含糊，含糊到两百年后才被人补严。
伍尔索普的屋子是石头砌的，两层，屋前有一小片果园。牛顿住二楼朝南的一间，屋里一张桌子、一把椅子、一张床。窗框的木头上，他用刀刻了一道道线，按日影的落点标出时刻——那是一具刻在房子上的日晷，今天还在。
他带来的书不多，其中最要紧的两本，是笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》。笛卡尔的书他一开始读不懂，读了半年，回头去补欧几里得；沃利斯的书他读得进去，因为那本书里全是一列一列的数：曲线下的面积，被拆成一串越来越细的项加起来。
他很快就越过了那两本书。沃利斯会算 x2 下面的面积，也会算 x3 下面的面积，靠的是一条猜出来的规律；可他不会算 x1/2 下面的面积，也不会算一般的 xn。笛卡尔会求某些曲线的切线，靠的是一套繁重的代数手续，换一条曲线就得从头再来一遍。
牛顿要的是一把通用的钥匙：有没有一种办法，不管什么曲线，切线和面积都能算？他注意到一件别人没有在意的事：求面积和求切线，看上去是两件事，可沃利斯算面积用的那些式子，和笛卡尔求切线得到的那些式子，形状很像——像一对反着的操作。
这个「像」字，就是全部工作的起点。要把它变成一个「是」，得先解决一个算术上的死结：切线要用「两点无限靠近时的斜率」，而两点一旦重合，斜率就成了零除以零。
平均速度好算：走了多远，除以用了多久。一块石头自由落下，落下的距离按 s＝4.9t2 增长（t 以秒计，s 以米计）。从第 2 秒到第 2.1 秒，走了 2.009 米，用了 0.1 秒，平均每秒 20.09 米。
可这不是「第 2 秒那一刻」的速度。要那一瞬的速度，只能把时间间隔压短。压到 0.01 秒：走了 0.19649 米，平均每秒 19.649 米。压到 0.001 秒：19.6049 米。再压：19.60049 米。
数字排成一列，眼睛就能看出它往哪里去：19.6。这个「往哪里去」，就是瞬时速度。间隔越小，平均速度越靠近它；间隔不能等于零，但可以要多小有多小——而这一列数，竟然有个确定的落脚点。
19.6 这个数不是凑出来的，它等于 9.8 × 2：重力加速度乘时刻。换成一般的时刻 t，瞬时速度就是 9.8t。一句话：距离公式里的平方，落到速度公式里变成了乘 2。这个「平方变乘 2」，就是整门学问的指纹。
牛顿要做的，是把这个动作从「落体」这一件事上摘下来，变成一条对任何式子都管用的规则。要做到这一点，他得先给「越来越靠近」这件事一个名字和一套算法。
把刚才那件事画在纸上，就是一条曲线上的两个点：一点站住不动，另一点沿着曲线向它爬。两点连一条直线，这条线叫割线；亮点越爬越近，割线就越转越陡，最后停在某个位置上——那个位置，就是曲线在这一点的切线。
拿最简单的曲线 y＝x2 试一次，站住的点取 (2, 4)。另一点横坐标往前挪 h，纵坐标就是 (2+h)2。割线的斜率是两点纵差除以横差：
[(2+h)2 − 4] / h ＝ 4 + h
h 取 1，斜率 5；取 0.1，4.1；取 0.01，4.01；取 0.001，4.001。它往 4 去。所以 y＝x2 在 x＝2 处的切线斜率是 4。
妙处在这一步：h 在除的时候不能是零，可答案里它偏偏自己消失了——因为分子展开后是 4h+h2，一除就成 4+h，那个碍事的 h 变成了一项跟在后面、越来越小、最后可以扔掉的东西。先除，再扔——这就是牛顿那道「通用钥匙」的形状。
「先除，再扔」这四个字，藏着一个不小的麻烦。除的时候，h 不能被当成零；可答案里要把它扔掉，又等于把它当成了零。同一个量，一会儿不是零，一会儿是零——这是不是骗术？
牛顿自己也知道这里不干净。他换了一种说法：不比「两个量」，比「两个量的最后比值」；不说「h 等于零」，说「h 无限减小，其最后比是 4 比 1」。他把这个比叫「初末比」，还专门声明：最后比不是最后两个量的比，而是量在消失过程中所趋近的极限。
话说得很小心，可它仍然是一个「说法」，不是一个「证明」。五十年后，贝克莱主教写了一本《分析家》，专挑这个漏洞：照这套说法，那些量在求商的时候还是「有」，在扔的时候已经「没有」；一个「有」又「没有」的量，是什么东西？他给它起了个绰号——消失之量的鬼魂。
这个讥讽在当时很难反驳。要真正把它堵死，需要另一套语言：不说「变小」，说「对任给的误差，总能找到一个范围」；不说「趋近」，用一个不等式把它钉住。这套语言要等到十九世纪才成型。
所以牛顿的工作有一个奇特的性质：答案是对的，地基是后补的。这在小册子里不是缺点，反而是理解科学史的钥匙——一个工具往往先被用起来，用顺手了，再回头问它为什么合法。
一六六六年的伍尔索普，瘟疫还没走。牛顿这一年二十四岁，独居，白天被农活打断，夜里接着算。他后来把这段日子叫作「奇迹年」——不是我说的，是他自己在一份手稿边上记下的。
这一年他手里同时长出了三样东西。第一样是流数法：一套算切线、算面积、算极值的通用算法。第二样是光的分解：他在一间暗室的窗板上开一个小孔，让一束日光穿过棱镜，落在墙上——出来的不是白光，是一条按红橙黄绿蓝紫排开的色带。他把第二只棱镜架在色带前面，红色那一段再穿过一次，颜色不变。这一下把「颜色是光被弄脏了」的旧说推翻了：颜色不是棱镜加上的，是白光里本来就有的。
第三样是引力。他拿月亮试算：如果引力跟距离的平方成反比，那么月亮每秒往地球「落」多少？他用手边的地球大小去算——当时通行的一度合六十英里，算出来的数比观测差了约一成半。差得不多，可他是个不肯将就的人：既然对不上，就先搁在一边。
这一搁就是十六年。要等到一六七一年法国人皮卡德用更精的三角测量定出一度合六十九点一英里，那个数才对上；牛顿一算，几乎分毫不差。
三样东西都压着不发。他不是一个以发表为业的人：手稿越积越厚，论文一篇不投。这种沉默后来给他带来了两场大风波，也给他留下了一个名声——一个把答案藏在抽屉里的人。
第一幕有两条线，看着毫不相干。一条在天上：开普勒用第谷留下的观测数据算了二十年，算出行星绕着太阳走椭圆，还给出两条规律——从太阳到行星的连线，等时间扫过等面积；公转周期的平方，正比于轨道半长轴的立方。另一条在地上：伽利略从斜塔与斜面上滚下的球，得出落体的距离与时间的平方成正比，抛出去的石头走一条抛物线。
两条线各自的账都算得很准，可它们互不相干。天上的运动被当成「完美」的，走圆；地上的运动被当成「不完美」的，走直线下落。这是两套物理学、两套规则，谁也没法从一套推出另一套。
牛顿看到的交汇点在「变化率」三个字上。行星在轨道上，速度时时在变：不只是快慢，还有方向。方向变，也是变——所以按第一定律，它一定受了力。抛出去的石头，速度也在变：横向是匀速，纵向越落越快，合起来的方向一直在转——它一定也受了力。
如果这两处的「力」是同一种，都按距离的平方反比往中心拉，那么一条抛物线、一条椭圆，就是同一个定律在两种情形下的样子：石头离地太近、速度太小，力把它拉回地面，轨迹是一段被截断的椭圆；月亮离得远、速度够大，椭圆合拢了，成了绕地一圈的轨道。
这个统一在数学上可行，只因为有了流数。没有「瞬时速度」这个数，从天到地的这一步根本迈不出去。
第一幕从一扇关上的门出发，账清一清。
问题是「此刻」。 平均速度好算，可它不是「这一瞬间」的速度。要那一瞬的值，只能让时间间隔越来越小，看平均速度往哪里跑。那个落脚点，就是瞬时速度——一个不是零、却由零趋近而来的数。
工具是一把通用钥匙。把「两点靠近」的图形画出来，割线会转成切线；把「趋近」写成代数，就是先除、再让增量消失。这套动作对 x2 管用，对 xn 也管用——平方变乘 2，立方变乘 3。
地基是后补的。「消失之量的鬼魂」这个讥讽，要等到十九世纪的极限论才算回敬。可这不影响牛顿先把工具用起来：他要算的是月亮，不是定义。
平均速度 Δs/Δt；瞬时速度 ds/dt＝limΔt→0 Δs/Δt。
幂函数：(xn)′＝nxn−1。落体 s＝4.9t2，故 v＝9.8t，t＝2 时 v＝19.6 m/s。
切线斜率＝曲线在该点的变化率；割线＝两点间的平均变化率。两者之差随两点靠近而消失。
一六六七年春天，瘟疫过去了，牛顿回到剑桥。十月，他被选为三一学院的研究员——有了固定薪俸、一间房、可以一直住下去的权利。两年后，数学教授巴罗辞去卢卡斯讲座的教席，推荐这个二十六岁的年轻人接任。
卢卡斯教授要讲课。牛顿讲得不好：他面对着几乎空着的长凳，把讲稿念完，一年又一年。听课的人少，有时一个也没有；据说他对着墙壁讲完规定的时数，然后回房继续算。
他的心思不在课堂上。那些年他写下的东西，堆起来有几百页：一份《论用无穷项方程的分析》，一份《流数法与无穷级数》，还有无数散页的计算。这些纸大部分没有出版——《分析》只以抄本在几个人手里传，署名的地方写着「一位匿名的作者」。
这份「匿名」后来惹出大事。一六七六年，他通过皇家学会的秘书给莱布尼茨写了两封信，把自己的级数方法和一些结果透露出去；涉及流数法的那一段，他写成了一串字母谜——把一句话的每个词首字母排出来，附上各种字母的个数。谜底是「给定含流量的方程，求流数，反之亦然」。他用这种方式既宣布了优先，又不肯把方法交出来。
一个把方法写成谜语的人，和一个把方法印成书的人，日后必然要打一场架。这场架打了三十年，见第五幕。
牛顿给两样东西起了名。一样叫「流量」，指随时间流动而变的量，比如走过的路程、走过的时刻、矩形的边长；另一样叫「流数」，指这个量变化的快慢。流量记作 x，流数记作 ẋ——在字母头上点一个点。这一个点，就是微积分的门牌号。
规则只有三条。第一条，和的流数等于流数之和。第二条，幂的流数：xn 的流数是 nxn−1ẋ。第三条，乘积的流数：xy 的流数是 ẋy＋xẏ。
第三条最不像话，也最有用。它的意思可以看成一个矩形：宽 x、高 y。过了一瞬，宽长了 ẋo，高长了 ẏo。新矩形的面积比旧的多出两条窄带（ẋoy 与 xẏo），再加角上一小块（ẋṏo2）。那一小块是两个「无穷小」相乘，比窄带小一个量级，扔掉。剩下两条窄带，除以 o，正是 ẋy＋xẏ。
有了这三条，什么式子都能算。比如 y＝x2(1−x)＝x2−x3，流数是 2xẋ−3x2ẋ，也就是 (2x−3x2)ẋ。令它为零，得 x＝2/3——这就是这个式子的最大值所在，值 4/27≈0.1481。
「令流数为零」，一句话就把求极值这件难事做完了。古代人求最大最小，靠的是几何比较与凑试；从这里开始，它成了一个解方程的问题。
现在看另一件事：曲线下面的面积。设曲线是 y＝x2，从 0 量到 x，那块面积记作 A(x)。让 x 再往前挪一点点 h，面积增加的那一条，形状近乎一个细长的矩形：宽 h，高约等于 x2。
所以 A(x＋h)−A(x)≈x2h，两边除以 h，再让 h 趋近于零，得到一件惊人的事：面积函数的变化率，就是曲线本身的高度。
A′(x) ＝ y(x)
这条式子把两门活计接上了。求切线是「已知 A 求 A′」，求面积是「已知 A′ 求 A」——后者是前者的反着做。x2 的流数是 2x，那么谁的反流数是 x2？x3/3。于是在 0 到 1 之间，y＝x2 下面的面积是 1/3——试算一下：把 [0,1] 分成十份，用小矩形加起来得 0.385；分成一百份得 0.338；分得越细，越靠近 0.3333。
这就是微积分基本定理。它的分量在于：它把一个「求和」的问题，换成了一个「找反函数」的问题。求和要一项一项加，无穷多项永远加不完；找反流数只要认出一个式子，一步到位。牛顿称之为「反流数法」，我们今天叫积分。
牛顿手里还有一样武器：把式子展开成一串越来越小的项。他先做出二项式的一般展开——不只整数次幂，分数次幂、负数次幂也行：
(1＋x)1/2 ＝ 1 ＋ x/2 − x2/8 ＋ x3/16 − …
这一串项有个脾气：x 越小，后面的项掉得越快，取前几项就够准。牛顿用它算圆：圆 x2＋y2＝1 在第一象限下的面积是 π/4，可 y＝(1−x2)1/2 没法直接求反流数。他把根号展开成一串项，逐项求反流数，再逐项加起来——面积就成了一个可以硬算的加法。
他还有更省的路：反正弦的展开。arcsin x ＝ x ＋ x3/6 ＋ 3x5/40 ＋ …，取 x＝1/2，六倍的这一串就是 π。算到第六项，得 3.141577；算到第八项，3.141592；算到第十项，3.14159262——十项就到七位小数。
用这套办法，牛顿在一六六六年把 π 算到了十五位：3.141592653589793。祖冲之的七位，用了一千二百年；牛顿的十五位，用了几个下午。
同一件事，两个人各起了一个名字。牛顿的点号：ẋ，读作「x 的流数」。莱布尼茨的写法：dy/dx，读作「y 对 x 的微分之比」。
两个记号背后是两种想法。牛顿的「流数」以时间为底：一切量都在时间里流动，ẋ 是每秒变多少，所以点号自带时间的意味。莱布尼茨的「微分」以比为底：不问每秒多少，只问两个无穷小量相除是多少——dy 与 dx 都是无穷小，它们的比才是实在的东西。
两种想法在数学上等价，可写出来的式子差别很大。莱布尼茨的 dy/dx 一眼就能看出「比」，复合函数的链式法则 dy/dx＝(dy/du)(du/dx) 像是分数约分；积分符号 ∫ 是一个拉长的 S（求和 Summa 的首字母），∫f(x)dx 让人想起「把许多细条加起来」。
英国数学界为这点面子，硬撑了一百年。牛顿的追随者坚持点号，欧陆用 d 与 ∫；结果是英国的数学在十八世纪越走越慢——因为一套不便于运算的记号，会把人的思路一起箍住。直到一八一二年，剑桥几个年轻人成立「分析学会」，喊出「谁把 d 主义带入英国，谁就造福英国」，才把欧陆的记号接回来。
这件事在本册里不是花絮。它说明：记号不是包装，是工具的形状。好记号让人一眼看见结构，坏记号让人每一步都想半天。
一六七二年，牛顿把关于光与色的论文寄给皇家学会。文章不长，结论只有一句：白光不是单纯的光，是各种颜色的光混在一起；棱镜不「制造」颜色，只是把它们分开。
这个结论冒犯了当时的权威。胡克是学会里管实验的人，他公开写文章反驳，说牛顿的实验不足以支持这么强的结论，说光大概是「波」，说颜色可能是光被介质扰动之后的结果。话不算客气，语气里带着长辈的不耐烦。
牛顿的反应出乎所有人意料。他写了一封长信，几乎逐条反驳，末了提出：既然这样，我退出学会吧，只保留三一学院的席位。后来他没退，但他此后十年几乎不再发表光学的东西——一篇论文换来一场消耗，他不想再来第二次。
他没停手，只是把结论压到一本书里。一七〇四年，《光学》用英文出版，副题里写着「论反射、折射、弯曲与颜色」。书里把三十年的实验一件件摆出来，不做推测，只做实验，最后附上「疑问」若干条，把不能证实的想法写成问句。这本书的影响不比《原理》小：十八世纪的光学，半本都建立在它上面。
同一年代他还做了一件实物：一台用凹面镜代替透镜的望远镜。透镜会把不同颜色的光折到不同的地方，成的像带彩边；改用反射，就没有这个问题。他亲手磨的镜子，口径两英寸，长六英寸，放大四十倍——今天还摆在皇家学会。
第二幕讲的是「造工具」，账清一清。
给变化起了名。流量与流数，一个点号。三条规则：和、幂、乘积。有这三条，任何幂次与多项式的切线都能算，求极值变成一个解方程的问题。
把两门活计接上。面积的变化率就是曲线高度。于是「求面积」不必再一项项加，改成「找一个反流数」。这是微积分里最要紧的一条，今天叫基本定理。
多了一件算数的武器。把式子展开成无穷多串项，取前几项就得高精度。π 的十五位、根的近似、以后所有的数值计算，都从这串项里出来。
还有一条教训。英国抱着一套不便运算的记号过了一百年，直到 1812 年才认输。工具的形状，会决定人想得动想不动。
流数三则：(x＋y)·＝ẋ＋ẏ；(xn)·＝nxn−1ẋ；(xy)·＝ẋy＋xẏ。
基本定理：d/dx ∫axf(t)dt ＝ f(x)。例：∫01x2dx＝1/3。
二项级数：(1＋x)α＝Σ C(α,k)xk（|x|＜1）。
一六八四年八月，一个三十岁的年轻人从伦敦坐马车到剑桥，专程来找牛顿。他叫哈雷——对，就是后来那颗彗星的名字。他来的理由听上去像一桩赌局：年初在伦敦的一家咖啡馆里，雷恩、胡克和他三个人争论，如果行星受的力与距离的平方成反比，那么轨道该是什么形状？雷恩出四十先令的赏，胡克说他能证，可两个月过去，他什么也没拿出来。
哈雷问牛顿：那该是什么曲线？牛顿答得干脆：椭圆。哈雷吃了一惊，问怎么知道的。牛顿说，算过。哈雷要看计算，牛顿在纸堆里翻了半天，没找到——那是一六六六年的一份手稿，早不知塞在哪里了。
牛顿答应重写一份寄来。三个月后，哈雷收到一份九页的拉丁文手稿：《论运动》。这份九页的稿子，是《原理》的种子。
哈雷拿到稿子，立刻意识到来对了。他跑到皇家学会宣读，学会表示愿意出版，可当时学会刚为一部鱼类的书赔了钱，拿不出经费。哈雷自己掏钱——他并不富裕，年收入不过几百镑，可他把这部书的印刷费全部担了下来。
接下去的十八个月，牛顿把自己关在房里，把九页扩成了一部书。书成之后，他没有立刻交稿：胡克来信，要求牛顿在序里承认「平方反比」这个想法是他先提出来的。牛顿火了，威胁要把整个第三卷删掉。哈雷两头劝，才算把书保住。
《原理》开篇不讲行星，先立三条公理。牛顿把它们叫作「运动定律」，后世叫牛顿三定律。
第一条，惯性。每个物体都保持静止或匀速直线运动的状态，除非有外力迫使它改变。这句话在今天听着平常，在当时却是革命：亚里士多德说，物体要一直动，就得一直有东西推着；牛顿说，动不需要理由，改变才需要理由。
第二条，力与动量的变化率。运动的改变，正比于所加的力，并且沿着力的方向。牛顿的原话用的是「运动的改变」，他说的「运动」是质量乘速度（动量）。写成今天的式子：
F ＝ d(mv)/dt ＝ m·dv/dt ＝ ma
第三条，作用与反作用。两个物体相互作用，力总是大小相等、方向相反。这一条最不直观：推墙，墙也推人；地球拉苹果，苹果也拉地球——只不过地球太重，那点加速度量不出来。
第一定律说：没有力，就走直线。可月亮走的是圈。圈上的速度大小没变，方向却一直在变——按第一定律，方向变就是「运动的改变」，就得有力。这个力不问快慢，只问拐弯，所以叫「向心力」。
它有多大？把速度画成一支箭头，过一小段时间，箭头的方向转了一个小角度，尖端挪了一小段。这一段就是速度的变化量。用两个相似的三角形一比：
Δv / v ＝ Δs / r，故 a ＝ v2 / r
这个式子很怪：速度加倍，加速度变四倍；半径加倍，加速度减半。它意味着转得越快、圈越小，需要的力越大——甩一块石头在短绳上转，手会被勒得发疼，就是这么回事。惠更斯在一六七三年把这个式子发表了，牛顿独立得出，用它去算月亮。
拿地球绕日试一次：v＝29.8 km/s，r＝1.496×1011 m，代入得 a＝5.93×10−3 m/s2。再拿万有引力算一次：GM/r2＝1.327×1020/(1.496×1011)2，也是 5.93×10−3。两条路走到同一个数上——这不是巧合，而是因为把 v2/r＝GM/r2 两边一整理，就得 v2＝GM/r；再把 v＝2πr/T 代进去：
T2 ＝ 4π2r3 / GM
这就是开普勒的第三定律——周期的平方正比于半径的立方。天文学家量了六十年的规律，被一条引力律一行推了出来。
圆周是个特例。开普勒说行星走的是椭圆，太阳在一个焦点上——那力还按平方反比吗？牛顿要证的正是这件事，而且他证的是双向的：力按平方反比，则轨道是圆锥曲线（椭圆、抛物线或双曲线）；反过来，轨道是焦点在力心的椭圆，则力按平方反比。
他的办法很妙：不用连续的曲线，用一条折线。把时间切成一小段一小段，在每一段里让行星走直线（惯性）；每走完一段，就在那个点上给它一次「冲量」，方向指向太阳，大小按距离的平方反比。这样得到的是一条曲折的轨迹，段数越多，越接近真实的轨道。
用这套「折线法」，他证出两件事。第一，折线的所有顶点落在一个椭圆上，太阳在一个焦点。第二，每段折线与太阳连成的三角形面积相等——因为三角形的底（走的路程）与高（到太阳的距离）恰好此消彼长。把段数加到无穷，就成了开普勒的面积定律：等时间扫过等面积。
反过来那一半更难：给定椭圆，证明力恰好按 1/r2。牛顿用了十一页几何，绕了很长的路。今天用微积分，几行就够：椭圆的极坐标方程是 r＝p/(1＋e cos θ)，把它代进「向心力 ＝h2/(pr2)」（h 为角动量常数），分母里的 r2 赫然在目，分子的 h2/p 是个常数。一望而知：力与距离平方成反比。
所以「行星为什么走椭圆」这个问题的答案，不是「因为椭圆最美」，而是：在平方反比的引力下，椭圆是唯一闭合的、能一直走下去的轨道。速度再大一点，椭圆就撑破了，成了抛物线或双曲线——彗星走的就是这种。
《原理》写了十八个月。这十八个月里，牛顿几乎不见人：吃饭不定时，睡得极少，据说有时候在床边坐着就睡着了。他的秘书后来回忆，那段时间他「极少离开房间」，连学院的例会都常缺席。
书的样子很古怪。全书三卷，几乎全是几何：命题、引理、证明、推论，用的是古希腊人的写法。明明他自己手里有一门更快的算法（流数），他却一次也没有用它。
为什么？他自己说了理由：用几何写，懂几何的人才能读。流数法在当时只有他自己和极少数人懂，若用流数写，这本书就成了孤本。为了让欧洲接受这套新物理，他宁愿绕远路，把每个结论都翻译成「相似三角形与面积相等」的样子。
这个选择让他付出了代价，也让读者付出了代价。据说当时能读通第一卷的人不超过一打；剑桥的学生后来回忆，跟着念这本书，「像在读天书」。可是正因为写得像古典几何，它才没有被当成一本「古怪的新算术」，而是被当成一部可以与欧几里得并列的著作，进了大学、进了课程、进了后世每一本物理教科书。
一六八七年七月，书印出来了。第一版印数大约三四百册，售价约十先令，装帧简陋，纸也不好。哈雷在给牛顿的信里说，书已经送到，钱还没收齐——他垫的那笔印刷费，最后大概也没全收回来。
第三幕的账可以合成一句话：三条定律讲「力怎样改变运动」，一条引力律讲「力有多大、指向哪里」，两样合起来，天上和地上的运动就成了同一道算术题。
在这之前，需要四条线各走一段。第谷二十年如一日地记下行星的位置，把误差压到两角分以内；开普勒用这些数据磨了二十年，磨出三条规律；伽利略从斜面上滚球，量出落体的时间与距离；笛卡尔把几何变成代数，让曲线可以写成式子；惠更斯研究摆，得出转圈的加速度。这五个人谁也没有得到「万有」这两个字。
牛顿做的事情，是把这五条线接在一处，并且给出一个能算的框架。他晚年给胡克写信，写过一句被引用了三百年的话：如果我看得更远，那是因为我站在巨人的肩上。这句话既是谦辞，也是实情——没有第谷的数据，开普勒磨不出椭圆；没有椭圆，牛顿的平方反比就没有靶子。
但「站在肩上」不等于「只是叠加」。这五条线加起来，还得有一样东西把它们焊住：一门能算「瞬时」的算术。没有它，「力指向太阳」这句话说不清——力指向一个点，可行星在动，方向每一瞬都在变；要写出这个「每一瞬」，就得有变化率。
所以第三幕真正的交汇点不在天文学，在数学。微积分让「力」这个模糊的词，变成了一个可以写下来、可以解出来的式子；而物理让微积分不再是一门关于曲线的游戏，成了描述世界的语言。
第三幕从一次拜访写到一部书，账清一清。
一条定律，改写了两千年的常识。动不需要理由，改变才需要。这句话一立，天上「永恒圆周运动」的特权就没有了——天体也得受力，也得服从同一条定律。
一条公式，把「转弯」变成了算术。a＝v2/r。看起来只是一个几何比值，可它与平方反比一联立，就吐出开普勒的第三定律。天文学家量了六十年的规律，成了代数的推论。
一条路，把力指向何处写清楚。用折线逼近轨道，用等面积定方向，用十一页几何证出「椭圆 ⟺ 平方反比」。这条路很长，长到没有几个人跟得下来——可它是当时唯一能让欧洲读懂的路。
第二定律：F＝d(mv)/dt＝ma；第三定律：F12＝−F21。
向心加速度：a＝v2/r；联立 a＝GM/r2 得 T2＝4π2r3/(GM)。
椭圆：r＝p/(1＋ecosθ)，向心加速度 ＝h2/(pr2)，故力 ∝1/r2。
《原理》出版以后，卖得不算差，读得懂的人却极少。剑桥的学生抱怨，跟着念这本书「像在读天书」；欧洲大陆的数学家翻开第一卷，看见满页的相似三角形与「最后比」，多半合上就放下了。
真正读进去的只有几个人。惠更斯在荷兰读到，承认这是了不起的工作，但到死都不接受「超距作用」；莱布尼茨在汉诺威读到，评价是「把数学里能做的都做了，可物理里最要紧的东西——力如何传递——他一句没说」。
这个批评说对了。牛顿确实没说什么。他在第二版（一七一三年）加了一篇「总释」，里面有一句被引用了三百年的话：我不做假说。他的意思是：引力存在、按什么规律作用，这些我都能算、能证；至于引力「为什么」存在、靠什么传过来，我不知道，也不打算编一个故事。
书的影响是慢慢渗进去的。一七三〇年代，荷兰人's 格拉弗桑德写出第一本用牛顿体系讲的教科书；一七三八年，伏尔泰在《牛顿哲学原理》里把它讲成法语，让巴黎的沙龙也能听懂。到十八世纪中叶，欧洲的大学里，「自然哲学」这门课讲的就是这本书。
一部没人读得懂的书，最后改写了所有人读书的方式。这件事本身值得记一笔：一本书的力量，不取决于它被读懂的速度，取决于它被读懂之后，别的东西就再也回不去了。
这笔账只有三步。第一步，量出月亮离地心有多远：月球平均距离 384,400 公里，地球半径 6,371 公里，相除得 60.3——月亮在 60 个地球半径之外。这个「60」是整笔账的关节。
第二步，按平方反比，把地面的重力「稀释」到那里。地面重力加速度 9.81，除以 60.3 的平方（3,641），得 0.0027 m/s2。这就是月亮每秒钟往地球「落」的加速度。
第三步，独立地算一遍。月亮绕地一周 27.32 天，轨道周长 2π×384,400 公里，除下来速度 1,023 米每秒；再用 v2/r，得 0.00272 m/s2。两个数对上了，差不到百分之一。
换个说法更好懂：地面上的东西，一秒钟落 4.9 米；月亮，一分钟才落 4.9 米。慢了 3,600 倍，正好是 60 的平方。牛顿当年报的数，是「每分钟十五巴黎尺」——十五巴黎尺合 4.87 米，与他算的 4.85 米几乎一模一样。
一六六六年他算过一次，没对上。原因很土：他用的地球大小是旧的，一纬度六十英里，地球半径只有 5,532 公里。按这个数，月亮在 69.5 个地球半径之外，平方是 4,830，算出来 0.0020，比实测小了四分之一。一六七一年皮卡德把一纬度测成 69.1 英里，地球「变大」了，那个四分之一就补上了。
下一页之前，先把账摆成一张表。开普勒说「周期的平方比半长轴的立方」对一切行星都是同一个数。拿今天的观测值算一遍，把每个行星的 T2/a3 列出来（T 以年、a 以天文单位）：水星 1.00005，金星 1.00005，地球 1.00000，火星 0.99997，木星 0.99901，土星 1.00044，天王星 0.99887，海王星 0.99877。
八个行星，从离太阳最近到最远，跨了七十八倍的距离、八百倍的周期，这一列数字挤在千分之一的范围里。它不是巧合，它是「同一条引力律」的指纹。
三条规律里，面积定律最容易证：力永远指向太阳，这个方向的力不能改变「绕太阳转的那份动量」，于是行星扫面积的速度是个常数——等时间扫等面积。反过来说，若观测到等面积，就证明力指向太阳。牛顿用这一条把「力心在太阳」这件事定了下来。
椭圆定律要难一些。由 v2/r＝GM/r2 只能得圆周轨道；椭圆要在更一般的式子里解，牛顿用了十一页几何（p.23）。结论是：平方反比下，一切有界轨道都是椭圆，太阳在一个焦点；速度超过某个界限，轨道就张开成抛物线或双曲线，一去不回。
那张界限叫逃逸速度：v逃＝√(2GM/r)。地球表面是 11.2 公里每秒，月球是 2.4 公里每秒——月球留不住大气，一半原因在这里。
如果引力只是「往中心拉」，那海水应该只在一个方向鼓起一次。可海边的人都知道，一天有两次高潮。牛顿的解释是：引力随距离减弱，靠近月亮的那一侧被拉得比地心厉害，背着月亮的那一侧被拉得比地心轻——两边都被「拉出去」，中间被「挤进来」，于是水体成了长条形，长轴对着月亮。地球转一圈，任何一个海岸都会经过两个鼓包，所以一天两次。
这个「有差别的引力」衰减得比引力更快：按距离的立方反比。所以依它算，月亮虽是太阳质量的两千七百万分之一，却因为离得近（近 389 倍），潮汐效应反是太阳的 2.18 倍。朔望时日月同线，潮差最大；上下弦时互相抵消，潮差最小。
同一条「有差别的引力」还解释了两件事。一是岁差：地球赤道略鼓，日月对这个鼓包的拉力不通过地心，于是地轴像陀螺一样慢慢摇，二万五千七百七十二年转一圈。二是地球的形状：自转产生的离心效应使赤道鼓起、两极压扁，牛顿算出扁率约二百三十分之一。
这个预言当时被巴黎天文台反对。卡西尼父子测量后认为地球是「两极伸长」的。一七三六年，法国科学院派两支远征队，一支去拉普兰（北极圈内），一支去秘鲁（赤道），量同一段纬度的弧长；结果证实牛顿：靠近极地，一度所对应的弧更长。一场可以用尺子量出来的争论，就这样结束了。
还有一件牛顿没做成的事：他不知道引力有多强。万有引力常数 G 要等到一七九八年，由卡文迪许用一台扭秤「称」出来——顺带把地球的质量也称了。
一六九六年，牛顿五十三岁，离开了剑桥，到伦敦去当皇家铸币厂的督办。这个职位本来是给有功之臣的闲差，薪水五百镑，事情不多。他把它做成了全英国最忙的一份工作。
当时的英国货币是一团糟。银币被人剪边——把边缘剪下一圈银子去卖，剪过的币还在流通；假币遍地，一枚真币里能掺三成铜。市面上称银子要按重量算，不按面值算，贸易因此乱成一锅粥。
牛顿的做法不像个学者：他亲自去伦敦的监狱提审犯人，混进酒馆听造假币的人说话，把线索一条条串起来；他推动改法，让伪造货币从「轻罪」变成「重罪」；他出庭作证，把几十个人送上了绞架。有人说他做得太狠，他不管——在他眼里，这是一道算术题：币值不稳，是因为每枚币里的银不一样重。
一七〇〇年他升任厂长，随后主持了一次全国性的重铸：旧币收回、熔掉、按标准重量重铸，四年之内把市面上的烂币基本清干净。一七一七年，他又推动把金币的定价定死——一几尼（guinea）等于二十一先令。这个比价维持了两百多年，事实上把英国送上了金本位。
一个写出《原理》的人，后半生最得意的工作是查假币。这句听起来像玩笑，可它说明一件事：他的数学不是挂在墙上的，是用来办事的。称一枚币的银、算一次熔铸的损耗、核一笔国库的账，用的还是同一副脑子。
平方反比是一条极简的规律：力与两物质量的乘积成正比，与距离的平方成反比。它最了不起的地方不是准，而是远：从苹果到月亮，从月亮到木星的卫星，从太阳到银河系边缘，同一条式子一直管用。
管到多远？今天我们知道：地球上抛一块石头，走的是它；月球绕地，走的是它；行星绕日、彗星往返、双星互绕，走的都是它；三百光年外的一对恒星，测出来的轨道仍按它走。在弱引力、低速的场合，它没有出过一次错。
可是它也有边界。水星近日点每世纪多进 43 角秒，牛顿的式子算不出来，要等一九一五年广义相对论；光线经过太阳边缘会弯，牛顿按「光有质量」算得只有实测的一半，也要等相对论；GPS 卫星上的钟每天快 38 微秒，同样是牛顿体系之外的效应。
这些边界不是「牛顿错了」，而是「牛顿对了一个范围」。他自己很清楚这一点：他不知道引力靠什么传递，所以他不说；他只说「按这个规律算，结果与观测相符」。
这种态度，比多算对一位小数更难。它意味着：一门学问的成熟，不是把话说满，而是知道自己的话在哪里为止。
第四幕算了一笔账，账清一清。
一笔 3600 倍的账。地面一秒落 4.9 米，月亮一分钟落 4.9 米；60 的平方是 3600。这笔账对上，天和地就真是同一套法则了。
一次测量救了一个理论。一六六六年差四分之一，一六七一年皮卡德把地球测大了一点，差的那四分之一就补上了。理论与观测的关系，有时就是这样：错不在理论，在尺子。
三条规律都成了推论。等面积是「力指向太阳」的另一句话；椭圆是平方反比的解；周期律是联立之后的代数结果。天文学家量了两千年的东西，成了三条可以推出来的结论。
一个人的两副面孔。写《原理》的人和查假币的人是同一个。数学不是他的职业，是他处理世界的办法。
月地检验：a月＝g/(60.3)2＝0.0027 m/s2；独立算 v2/r＝0.00272。
潮汐力 ∝M/r3，月／日＝2.18。逃逸速度 √(2GM/r)：地球 11.2 km/s，月球 2.4 km/s。
万有引力：F＝Gm1m2/r2，G＝6.674×10−11（1798 年卡文迪许首测）。
这场架从一六九九年打到一七一六年，主角是两个已经不在同一片大陆上的人。一边是伦敦的皇家学会会长，一边是汉诺威公爵的图书馆长。争的是一句话：微积分是谁先做出来的。
先是瑞士人法蒂奥·德·杜伊勒在一篇文章的注里暗示，莱布尼茨的第二手思想来自牛顿。莱布尼茨不服，一七一一年正式向皇家学会提出申诉。皇家学会接下申诉，成立了一个「公正的委员会」——可委员会的 report 是牛顿自己暗中写好的，材料也是他挑的。一七一二年，《书信汇编》出版，把一六六九年到一七一一年间的通信按时间排出来，结论对牛顿有利。
莱布尼茨的反击很刻薄：他发表了一封公开信，语气客气，句句带刺，说这份「汇编」只证明了写它的人手上有旧信。可他没有拿出更硬的东西——因为他确实发表得晚（一六八四年），而牛顿的手稿确实早（一六六五年）。
一七一六年十一月，莱布尼茨去世。葬礼冷冷清清，除了他自己的仆人，几乎没人送。他最后几年写的《单子论》，是哲学史上的名篇；可他在数学上，输掉了这场名声之战。
今天的结论是：两个人各自做出来了。牛顿先发明（一六六五—一六六六），莱布尼茨先发表（一六八四年）。一个把方法藏了二十年，一个把方法印成了六页纸。这场争吵真正争的不是「谁先想到」，而是「谁让世界用上了它」——这一点，莱布尼茨赢了。
莱布尼茨赢在记号上，这一点连英国人后来也认了。他的 dy/dx 看起来像一个分数，于是「链式法则」也像一个分数的约分：
dy/dx ＝ (dy/du) · (du/dx)
他的 ∫ 是一个拉长的 S，来自「和」的拉丁文 summa。写成 ∫f(x)dx，一眼就看出这是「把无数个高为 f(x)、宽为 dx 的细条加起来」。牛顿的点号做不到这一点——ẋ 只表示「变多快」，不表示「对谁变」。
记号的好处，到最后都落在一件事上：它让运算变成可以动手的。比如最简单的微分方程 dy/dt＝ky，写成 dy/y＝k dt，两边各加一个积分号，左边得 ln y，右边得 kt＋C，于是 y＝Cekt。三步，答案就出来了。
这三步里，每一步都是「把一个记号当成数来摆弄」。数学的进步，很多时候就是找到了这样一种记号：它不改变意思，却让手上能动。好的记号把难事变成习惯，坏的记号把习惯变成难事。
牛顿把「变化率」造出来了，可他没有把这件工具用尽。真正把它用尽的是十八世纪的一批人：伯努利一家、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯。他们做的事，可以概括成一句：把自然写成方程，再解方程。
弦的振动是第一个大题目。一七四七年，达朗贝尔写出弦振动的偏微分方程；欧拉随后给出通解；伯努利主张用正弦波叠加。三个人吵了二十年，吵出一个新领域——偏微分方程。今天所有关于波的东西（声、光、水、地震、电磁）都从这条方程出发。
天体的运动是第二个大题目。牛顿给了两体的解（椭圆），可太阳系里有好几个天体，互相扰动。欧拉与拉格朗日找出「三体问题」的几个特殊解（一七六七年与一七七二年）；拉普拉斯用摄动法算行星的长期变化，写成一五四卷的《天体力学》。一七八八年，拉格朗日出版《分析力学》，全书没有一张图，全用代数——他在序里得意地说：这本书里「没有一个图形」。
这些工作的共同点是：牛顿开了门，别人把屋子填满了。牛顿的《原理》是一部关于「是什么」的书；十八世纪的书，是关于「怎么算」的书。前者给出世界的样子，后者给出计算的手艺。
到十九世纪初，这套手艺已经能预测看不见的东西：一八四六年，勒维烈与亚当斯各自算出天王星外面还有一颗行星，柏林天文台按坐标去找，一夜之间就找到了海王星。这是牛顿体系最漂亮的一次胜利——用一支笔，找到一颗星。
贝克莱的讥讽（p.9）悬了一百年。十八世纪的数学家大多绕开它：反正算出来是对的，管它地基怎么样。可到了十九世纪，绕不过去了——因为有些级数会算错，有些函数不能求导，有些「显然」的结论会崩。
柯西第一个动手。他在一八二一年的《分析教程》里定下规矩：不说「无穷小」，说「变量趋于一个极限」；导数不是一个「比」，是一个极限。他把整座大厦从「量」搬到了「过程」上。魏尔斯特拉斯再往前一步，把「趋于」写成不等式：对任给的一个正数，总能找到一个范围，使得范围内的值与极限的差小于那个正数——这就是今天课堂上那个 ε-δ。
与此同时，黎曼在一八五四年给出了积分的严格定义（分割、取和、取极限），戴德金与康托尔在一八七二年把实数本身造了出来。到这一步，「连续」「极限」「可导」这些词才有了可以检验的意思。
这场补修花了七十年，比牛顿造房子还久。它没有改变任何一个计算结果——牛顿算错的地方本来就少；它改变的是「什么算证明」。从此以后，一门学问要站得住，不能只靠「算出来对」，还得说清「凭什么可以这样算」。
顺带说一句：那些被赶出去的「无穷小」，一九六〇年代又被请了回来。罗宾逊用数理逻辑造出一套包含「非零的无穷小」的数系，把莱布尼茨的老想法做成了合法的数学。鬼魂回来了，这回带了证件。
一七〇三年，牛顿当选皇家学会会长。这个位子他坐了二十四年，一直坐到死。他管得很细：每周开会，亲自看实验，把学会从一潭死水办成了欧洲最有面子的学术机构。
一七〇四年，《光学》出版。一七〇五年，安妮女王在剑桥封他为爵士——他是英国第一个因科学而受封的人。一七一七年，他推动了金本位的那道定价。一七二六年，《原理》第三版出来，他八十三岁。
他晚年住在伦敦远郊的肯辛顿，一幢宅子里。客人来访，看见的是一个和气、爱说话的老人；可他的书房里堆着上百万字的手稿，写的是神学、预言解释、炼金术——他自己觉得那些才是正事。他说过一句被人记下来的话：他只是一个在海边玩耍的孩子，偶尔捡到一枚比较光滑的石子，而真理的大海，他还没有发现。
一七二七年三月底，他病倒。三月三十一日（新历）凌晨，他去世，八十四岁。葬礼在西敏寺举行，灵柩由两位公爵、三位伯爵和一位大法官抬着；伏尔泰当时在伦敦，他后来写道：英国人把他葬在国王中间。
他的墓碑上刻着一句拉丁文，是后人选的：让凡人庆幸，如此伟大的光荣曾属于人类。这句颂词没有提数学，也没有提物理——它说的是：一个人可以凭脑子，把世界想清楚到什么程度。
一册走到这里，回头看牛顿留下的东西，可以数成三样。
一样是语言。微积分。它把「变化」变成可以写、可以算、可以解的东西。此后三百年，物理、工程、经济、生物，凡是要处理「变化」的学问，都得说这门语言。牛顿自己用的是点号，可世界最后选了 d 与 ∫——这没关系，语言的内核是同一个。
一样是宇宙。三条定律加一条引力律。它把天和地缝在一起，让「为什么行星走椭圆」变成一个可以算的问题，也让「明年这个时候月亮在哪里」变成一个可以预报的数。这套东西管了两百年，直到相对论指出它的边界。
一样是态度。「我不做假说」。能算的就算到底，算不出的就说不知道。这句话在十七世纪是一种罕见的克制：当时流行的写法是从几条形而上的原则推出一整个世界，牛顿反过来——先有现象，再有定律，至于定律背后的机制，他不编。
三样东西里，最耐用的是第三样。语言会换（点号换成了 d），宇宙会扩（从太阳系扩到星系），可「把能算的算到底、把不能算的说明白」这个态度，今天仍然是科学的分界线。
第五幕讲的是「一本书之后」，账清一清。
一场吵了两百年的架，结论是「各自做出」。牛顿在先，莱布尼茨先刊。争的其实是名声，赢的是记号——d 与 ∫ 传遍了世界。
一门手艺长成了一片森林。微分方程、偏微分方程、摄动法、分析力学。到一八四六年，人们用一支笔算出了一颗没见过的行星。
地基补了七十年。从柯西到魏尔斯特拉斯到戴德金，把「无穷小」换成「极限」，把「显然」换成「证明」。计算结果没变，可「什么算证明」变了。
一个人的最后二十年。当会长、封爵士、定金价、写神学。他留下的三样东西里，最耐用的是那个态度：能算的算到底，算不出的说不知道。
链式法则：dy/dx＝(dy/du)(du/dx)；分离变量：dy/dt＝ky ⟹ y＝Cekt。
极限定义（ε-δ）：∀ε＞0，∃δ＞0，|x−a|＜δ ⟹ |f(x)−L|＜ε。
牛顿体系的边界：水星近日点每世纪 43″、光线偏折 1.75″、GPS 钟差 38 μs/日，均须相对论修正。
把这一册的事按年份排开，只有十几个点。
一六四二，圣诞节，生于伍尔索普，遗腹子、早产。一六六一，进剑桥三一学院，减费生。一六六五，学士；瘟疫，回乡。一六六五—一六六六，奇迹年：流数、棱镜、引力。一六六七，回剑桥，任研究员。一六六九，二十六岁，卢卡斯数学教授。
一六七二，皇家学会会员，棱镜论文，与胡克论战。一六七六，两封信、一道字谜。一六八四，哈雷来访，写《论运动》。一六八七，《原理》出版。一六九六，入铸币厂。一七〇三，皇家学会会长。一七〇四，《光学》。一七〇五，封爵。一七一七，金价报告。一七二七，卒，葬西敏寺。
十六个点里，真正改变世界的只有三个：一六六六年的那门算法、一六八七年的那部书、一七〇四年的那本书。其余的点，是一个人在处理名声、职位、争吵与日常。
这条线还有一层意思：他最重要的成果，出在他最不重要的年纪；他最风光的年头，成果已经写完了。二十四岁想出来的东西，四十五岁才印出来；四十五岁以后，他做的事多半是守护与执行。这大概是很多大工作的共同形状。
《原理》活了三百多年，靠的是不停被重做。
第一版一六八七，拉丁文，印数三四百，错字不少。第二版一七一三，由年轻的科茨编校，加了「总释」，也把牛顿与莱布尼茨的争论写了进去。第三版一七二六，彭伯顿编，牛顿八十三岁，还在改。
译本接着来。一七二九年，莫特把它译成英文（牛顿生前认可）；一七四七年起，夏特莱侯爵夫人把它译成法文——她是伏尔泰的伴侣，也是第一个把牛顿的《原理》完整译成法语的人。译本一七五六年出版，她已去世七年。她的序里有一句话：这本书不是写给孩子的，可它是为所有人写的。
再往后是教科书。十八世纪的剑桥、十九世纪的德国、二十世纪的全世界，每一本力学教材都是它的缩写本。今天一个高中生学的「牛顿三定律」，是这本书经过三百年压缩之后的样子——压缩掉了几何证明，留下了结论。
压缩是有代价的。今天的人知道 F＝ma，却很少有人知道这句话在原著里是一句关于「运动的改变」的话，也很少有人知道它背后有十八个月的几何。一部书的命运，往往是这样：它被记住的部分越来越少，可每一代人都以为自己记住了全部。
他为什么压着不发表？流数法一六六六年就有了，一七三六年才印出来——中间七十年。有人说他怕人挑错，有人说他厌恶争论（棱镜论文那一场让他记了一辈子），有人说他根本不在意发表，只在意想清楚。三种说法都有材料，可没有一种能解释全部：他明明又在信里用字谜宣布优先，说明他在意；他明明又把《原理》写出来出版，说明他不怕。
微积分到底谁先想到？牛顿的手稿早（一六六五），莱布尼茨的发表早（一六八四）。可「想到」这件事没有日期：一个想法在脑子里长十年，哪一天算「想到」？更麻烦的是，两人用的语言不同，一个用流数与几何，一个用微分与符号，很难说谁「先做出了同一个东西」。
「不做假说」是诚实还是回避？他确实不去编引力的机制，这一点让他的书干净、可检验。可这也让他关上了一扇门：万有引力为什么按平方反比、为什么能穿过真空作用，这些问题他不问，于是两百年里也没人替他问。直到爱因斯坦，才把这扇门重新推开。
三个问题，都没有标准答案。它们的价值不在答案，在提醒：一个伟大的人，往往不是把所有问题都解决了，而是把某几个问题问对了，另外几个问题绕开了。绕开的地方，正是后人接手的入口。
材料：纸、笔、计算器（能算平方就行）。
第一步，认式子。自由落体的距离 s＝4.9t2（米、秒）。要算 t＝3 秒那一刻的速度，先算 s(3)＝44.1 米。
第二步，填表。取一段时间 h，算 s(3＋h)，减去 44.1，再除以 h。把结果填进表里：h＝1 得 34.3；h＝0.5 得 31.85；h＝0.1 得 29.89；h＝0.01 得 29.449；h＝0.001 得 29.4049。
第三步，看趋势。一列数往 29.4 走。29.4 就是 t＝3 秒那一刻的速度，正好等于 9.8×3。再换 t＝1、t＝5 各算一遍，会发现每次都是 9.8 乘时刻。
第四步，换一条曲线。取 y＝x2，在 x＝3 处照同样的办法填表：h＝1 得 7；0.1 得 6.1；0.01 得 6.01；0.001 得 6.001。趋势是 6——这就是曲线在那一点的切线斜率，正好是 2×3。平方变乘 2，立方变乘 3，规矩就在这里。
想一想：为什么 h 不能直接取 0？如果取了 0，分子是 0、分母是 0，这个式子还有意思吗？可如果不取 0，算出来的又只是「平均」——那么「瞬时」到底在哪里？
材料：一根一米长的绳子、操场或一条长走廊、计算器。
第一步，把地球缩小。约定一米代表地球半径（6,371 公里）。那么月亮在哪里？月亮离地心 384,400 公里，是地球半径的 60.3 倍——把绳子接成 60 米长，末端就是月亮的位置。摆一次，才知道 60 倍有多远：站在操场这头看那头，月亮只是一粒芝麻。
第二步，算「稀释」。地面重力 9.81，按平方反比除 60.3 的平方（3,641），得 0.0027 米每二次方秒。这个数太小，不好体会。换个说法：地面上的东西，一秒钟落 4.9 米；月亮，一分钟才落 4.9 米。
第三步，验一遍。月亮绕地一周 27.32 天，路程是 2π×384,400 公里，速度 1,023 米每秒；用 v2/r 算加速度，得 0.00272。与第二步的 0.0027 一比，几乎相同。两条完全不同的路，走到同一个数上——这就是「万有」两个字的实证。
第四步，想一个反事实。如果把月亮的速度砍掉一半（从 1,023 变成 511 米每秒），它会怎样？答案是：它撑不住现在这个圆轨道，会掉进一个很扁的椭圆，近地点低于地面——也就是说，它会撞上地球。月亮之所以不掉下来，不是因为引力小，是因为它跑得够快。
想一想：要让一颗卫星「不掉下来」，它至少要多快？提示：把 v2/r＝GM/r2 解出来，代进地球的数，得 7.9 公里每秒。这个数，就是第一宇宙速度。
- 流量 · 流数
- 牛顿术语。流量是随时间变化的量（x），流数是它变化的快慢（ẋ）。今称函数与导数。
- 瞬 · 初末比
- 「瞬」（moment）指无穷小的时间增量；「初末比」指增量消失时所趋近的比，牛顿用它代替「0/0」。
- 微分 · 积分
- 莱布尼茨术语。dx 是无穷小增量，dy/dx 是两者的比；∫fdx 是把无数细条加起来。
- 极限
- 变量无限接近的某个定值。19 世纪后成为微积分的基础概念，取代「无穷小」。
- 惯性
- 物体保持静止或匀速直线运动的性质。第一定律即惯性定律。
- 质量 · 重量
- 质量是「物质的量」（m，单位千克），重量是所受的重力（W＝mg，单位牛顿）。同一物体在月球上质量不变、重量变轻。
- 向心加速度
- 做圆周运动的物体指向圆心的加速度，a＝v2/r。
- 平方反比
- 某量随距离的平方而减弱，如引力 ∝1/r2、光照 ∝1/r2。
- 万有引力常数 G
- F＝Gm1m2/r2 中的比例常数，今值 6.674×10−11 N·m2/kg2。
- 圆锥曲线
- 圆、椭圆、抛物线、双曲线的统称。平方反比引力下的轨道都是圆锥曲线。
- 逃逸速度
- 脱离某天体引力所需的最小速度，√(2GM/r)。地球 11.2 km/s。
- 潮汐力
- 引力在不同位置强弱不同而产生的「拉扯差」，∝M/r3。
- 岁差
- 地轴像陀螺一样缓慢摇动，使春分点逐年西移，周期约 25,772 年。
- 艾萨克·牛顿
- 1642/43—1727，英国物理学家、数学家。流数法、运动三定律、万有引力、《原理》《光学》。
- 伊萨克·巴罗
- 1630—1677，剑桥首任卢卡斯教授，牛顿的老师与举荐人；其《几何讲义》含「切线—面积互逆」的几何形式。
- 埃德蒙·哈雷
- 1656—1742，天文学家。1684 年访牛顿促其写作《原理》，并自费出版；1705 年预言彗星 1758 年回归。
- 罗伯特·胡克
- 1635—1703，皇家学会实验总管。提出平方反比猜想与弹性定律，与牛顿在光学与引力优先权上长期争执。
- 克里斯蒂安·惠更斯
- 1629—1695，荷兰物理学家。摆钟、向心加速度 v2/r、光的波动说。
- 戈特弗里德·莱布尼茨
- 1646—1716，德国哲学家、数学家。独立发明微积分，给出现代记号 dy/dx 与 ∫；二进制。
- 让·皮卡德
- 1620—1682，法国天文学家。1671 年测得子午线一度弧长，修正了地球大小，使牛顿的月地检验吻合。
- 亨利·卡文迪许
- 1731—1810，英国化学家、物理学家。1798 年以扭秤测出 G 与地球密度。
- 伏尔泰
- 1694—1778，法国启蒙思想家。《牛顿哲学原理》（1738）使牛顿学说在法国通行。
- 夏特莱侯爵夫人
- 1706—1749，法国数学家、物理学家。《原理》法文全译本的译者，1740 年《物理学原理》。
- 《自然哲学的数学原理》
- 1687 年初版，三卷：运动公理与数学论证、流体与涡旋、世界体系。拉丁文，几何体。
- 《光学》
- 1704 年英文初版。棱镜实验、色散、反射望远镜，末附「疑问」31 条。
- 《流数法与无穷级数》
- 1671 年成稿，1736 年身后出版。流数法的系统表述。
- 《书信汇编》
- 1712 年皇家学会刊行，为优先权之争的官方文件，实由牛顿主导编纂。
《原理》出版两百八十年后，人类用它算出了去月亮的路线。一九六九年七月，阿波罗十一号的飞船从地球出发，三天后进入月球轨道。它带的计算，核心还是那三条定律加一条引力律——只是把两体问题换成了「地球、月亮、飞船」的三体，用数值方法一步步算。
速度的门槛是三个数：7.9 公里每秒，绕地球不掉；11.2 公里每秒，脱离地球；16.7 公里每秒，脱离太阳系。这三个数都能从 v＝√(GM/r) 与 √(2GM/r) 直接算出来，用的是牛顿的式子，一个字没改。
更妙的是「引力弹弓」：飞船靠近一颗行星，借它的引力改变方向、提高速度，自己不烧一滴燃料。旅行者一号一九七七年发射，靠木星与土星的接连「甩」了一把，二〇一二年飞出太阳风层，今天离地球两百多亿公里。它走的每一步，都是解同一组方程。
所以不必替牛顿惋惜「他没见过火箭」。他有的东西，火箭没有：在没有火箭的年代，算出了火箭必须遵守的规律。三条定律写在纸上，三百年后变成了推力、轨道与落点。
这也解释了为什么他的书至今还在印：它不是一本关于十七世纪的书，它是一本关于「任何有质量的物体怎样动」的书。只要还有东西在动，它就有用。
公案一：苹果的故事是真的吗？故事的最早来源，是斯图克利一七五二年写的回忆：一七二六年，牛顿请他到肯辛顿的家中，两人在苹果树下喝茶，牛顿说，当年正是「一个苹果落下」让他想到，使苹果落地的力与使月亮绕行的力可能是同一个。牛顿的侄女也有类似转述。所以「苹果」不是后人编的，是牛顿自己晚年讲的——可他讲的是一个「启发的瞬间」，不是一个「发现的过程」。真实的过程是十几年的计算，苹果只是那根线头。
公案二：《原理》为什么用几何？他在第二版序里说，是为了让懂几何的人能读。可也有人猜，他是不愿意把流数法公开——毕竟那时正与莱布尼茨争优先权。两种解释不矛盾：一个作者可以同时为了「可读」与「保密」选择一个写法。
延伸阅读（给想往下走的人）：Westfall《Never at Rest》（最详的传记）；Cohen《Introduction to Newton's Principia》（读《原理》的导览）；Guicciardini《Reading the Principia》（讲清了几何证明的技术细节）；Hall《Philosophers at War》（优先权之争的全记录）；Dobbs《The Janus Faces of Genius》（炼金术与神学的那一面）。中文可看赵振江译《自然哲学的数学原理》、阎康年《牛顿的科学发现与科学思想》。
读这些书会发现一件事：牛顿留下的材料多到读不完——数学手稿八卷、神学手稿上百万字、炼金术笔记成堆。可真正改变世界的，只有其中很薄的一叠。史料的多寡，与影响的大小，从来不成比例。
这一册讲一个人怎样把「一瞬间」变成可以算的东西：牛顿不问「这段时间走了多远」，问「这一刻有多快」；不问「行星为什么走圆」，问「它每一刻被拉向哪里」。
路线五步：瘟疫年回乡（第一幕）、造出流数（第二幕）、写出三定律（第三幕）、算月亮掉多快（第四幕）、一本书之后的三百年（第五幕）。两个动手做（p.44–p.45）都建议先做后读：填一次表，就知道「瞬时」是「趋势」；拿一根绳子在操场上摆 60 米，就知道月亮有多远。
暗线是「把一瞬间算出来」，本册给了五层：瞬时速度是极限（第一幕）、变化率有规则（第二幕）、力就是动量的变化率（第三幕）、平方反比能算月亮（第四幕）、方法本身成了遗产（第五幕）。孩子最容易记住的是「地面一秒落 4.9 米，月亮一分钟落 4.9 米」——就从这句话讲起，再补一句：为什么慢了 3600 倍？
需要提醒的一点：本册的数学比第一辑同册深（极限、导数、向心加速度）。三层读法照旧——故事层可以独立成篇；数学层的 p.22（v2/r）与 p.29（开普勒表）可以略过细节，只记结论；注疏层给大人核对。
「牛顿是不是最伟大的科学家？」——这类排名没有意义。可以说的是：他一个人同时给出了「一套算法」「一套定律」「一种方法」，这三样合起来，定义了此后两百年的科学。二十世纪后，物理学的重心转到相对论与量子，可牛顿的体系仍是「慢速、弱引力」世界里的标准答案。
「他为什么晚年去研究神学？」——在他自己看来，那不算「晚年转向」。他从年轻时就同时研究自然与圣经，两者在他眼里是同一件事的两面：读自然之书与读启示之书。用今天的学科分类去看他，会觉得分裂；用他那个时代的眼光看，是统一的。
「孩子问：微积分有什么用？」——短期看，它是升学的门槛；长期看，它是处理「变化」的唯一通用语言。手机里的信号处理、天气预报的方程、股票的期权定价、疫苗的传播模型，底层都是导数与积分。
虚实成分说明。本册的场景与对话有虚构成分（瘟疫年回乡的细节、哈雷敲门的具体问答、铸币厂审案的对白），凡年代、数据、引语、书名均在注中给出处。特别提醒：牛顿割圆式的「先除再扔」在数学上并不严格，本册不掩饰这一点（p.9、p.37 已把边界说清）；《原理》的几何证明本册只讲思路，不代读者补全。
《数学家的故事》第二辑 · 第 13 册
牛顿 · 流数与万物
明线：流数与瞬时变化率 · 运动三定律 · 万有引力的平方反比 · 《原理》的几何证明 · 月地检验与潮汐岁差
暗线：把「一瞬间」算出来 · 先除再扔的算法 · 能算的算到底，算不出的说明白
时代：1643—1727 · 英格兰（伍尔索普—剑桥—伦敦；下延至 1687 年《原理》出版、1717 年金价报告、1798 年卡文迪许测 G、1915 年广义相对论修正水星近日点）
主典：《自然哲学的数学原理》（1687）· 《光学》（1704）· 《论运动》（1684）· 《流数法与无穷级数》（1671 成稿）· 《书信汇编》（1712）
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 故事/暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
《数学家的故事》第二辑十册：阿基米德 · 祖冲之 · 牛顿 · 莱布尼茨 · 欧拉 · 柯西 · 阿贝尔 · 庞加莱 · 诺特 · 华罗庚。本册为第二辑第三册。
封面人物头像：以公版历史画像（戈弗雷·内勒绘，1689 年）为底本作水彩素描重绘；底本藏维基共享资源，属公有领域。